Laboratorio de Control Automatico

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

Campus Tampico

Profesor: Dr. Roberto Rodríguez Said

Armando Vázquez Ramírez 508371

Miguel Ángel Martínez Banda 509346

Omar Artemio Flores Flores 510484

Identificación paramétrica de

sistemas usando Mínimos

Cuadrados

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Contenido Objetivos ............................................................................................................................................3

Marco Teórico ....................................................................................................................................3

Metodología/Diseño ..........................................................................................................................4

Código comentado & Diagrama a bloques .........................................................................................6

Diagramas de bloques del sistema caracterizado...........................................................................6

PWM implementado en LabView y captura de datos (Diagrama a Bloques) .................................6

Simulaciones ......................................................................................................................................7

Diagrama eléctrico del driver .............................................................................................................7

Resultados comentados .....................................................................................................................8

Conclusiones ......................................................................................................................................9

Trabajos citados .................................................................................................................................9

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Objetivos Implementar un código de interfaz capaz de recolectar los datos de la evolución de un

proceso de 1er orden ante una entrada escalón.

Registrar la respuesta en velocidad de un motor de corriente directa ante una entrada

escalón.

Utilizar el algoritmo de mínimos cuadrados para llevar a cabo la identificación de la

función de transferencia de la velocidad de un motor de corriente directa.

La teoría de control es clara sobre la forma en la que los polos de un sistema en lazo cerrado se

pueden colocar para obtener una respuesta transitoria adecuada. Esto será siempre y cuando el

modelo matemático del proceso sea confiable. Nuestro controlador entonces será tan acertado

como acertada sea la identificación del proceso que se quiere controlar.

Marco Teórico El método de mínimos cuadrados es una aproximación estadística para encontrar una función que describa satisfactoriamente un conjunto de datos experimentales. La intención de este método estadístico es que se disminuya la función de pérdida, es decir, la varianza. Por eso se le conoce como mínimos cuadrados, se busca la mínima diferencia cuadrada. Tomando en cuenta que el método de los mínimos cuadrados consiste en ajustar una recta a valores dispersos, necesitamos conocer las características de la recta, la pendiente y su ordenada al origen, de la cual necesitamos estimar los valores de la siguiente ecuación: (1) De manera tal que la función de pérdida sea mínima

(2) Esto se logra aplicando el siguiente teorema, que puede ser leído con más detalle en la bibliografía

(3) Aplicando esta técnica al modelado de plantas discretas, la aproximación sería la siguiente. Se define de manera general la función de transferencia como

(4) Despejando, se obtiene la ecuación de la curva que se va a aproximar como:

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(5) Para aplicar esto, primero se debe decidir el orden del sistema a modelar para definir y con ello darle forma a las ecuaciones (4) y (5) para la aplicación específica definida. Una vez hecho este paso, se definen los valores máximos m,n y d. Posteriormente, con los datos obtenidos acomodados como (6), se define la matriz Φ como se muestra en (7) y se aplica el teorema (3) para obtener un resultado como el mostrado en (8).

(6)

(7)

(8)

Metodología/Diseño Utilizando el VI de la práctica pasada para generar un PWM y el driver construido con un

optoacoplador y un transistor, se tomaron datos en un archivo txt con una alimentación de 5v a un

escalón de 50% con 10ms de tiempo de muestreo. Estos datos graficados en MATLAB se aprecian

en la siguiente figura.

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Luego se definió que la planta a controlar, la velocidad de un motor DC, es un sistema de primer

orden. Además, considerando el retenedor de orden cero, la función de transferencia para una

planta de primer orden queda definida como:

(9)

De manera que solo habrá un coeficiente a y uno b en (5) y la matriz Φ definida en (7) tendrá

solamente 2 columnas.

El procesamiento de los datos se llevó en MATLAB, mismo que está anexo al final de este trabajo.

Primeramente, los datos del txt se introdujeron a como una matriz y Luego, se modificó aplico el

terema (8) para obtener la función de transferencia de nuestra planta. Obteniendo a=0.9246 y

b=1.052.La función de transferencia queda definida como:

(10)

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Código comentado & Diagrama a bloques

Diagramas de bloques del sistema caracterizado

PWM implementado en LabView y captura de datos (Diagrama a Bloques)

1 Este conjunto de VI’s abre un nuevo archivo txt y le da nombre, el cable verde que conecta con 11 y 12 da el path del archivo creado en este paso.

2 Este DAQ asisitant configurado como entrada analógica de voltaje RSE del tacogenerador que representa la velocidad.

3 En este VI se convierte el arreglo de datos a string. La constante %.3f es el formato de datos, esto es float con 3 decimales.

4 Espera de 10 ms que representa el tiempo de muestro. 5 Este control manipula el Ciclo de Trabajo desde el Panel Frontal. 6 El switch controla el encendido/apagado del PWM. 7 Se compara el estado del switch (6), si la condición es verdadera la salida es la del control (5) y

PWM en Labview

Salida Analógica de la DAQ

Driver Motor DC TacogeneradorEntrada

Analógica de la DAQ

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si es falsa la salida es 0. 8 Convertidor de número double escalar a string. 9 <Espacio en blanco intencional>

10 Se concatenan los datos separados por un TAB, en primer lugar la magnitud de la salida del PWM y luego la entrada de la DAQ (2).

11 Se escribe la información en el archivo definido en el (1). 12 Se cierra el archivo abierto una vez que se detiene el VI. 13 Se genera una señal cuadrada con amplitud y offset constante 2.5 , para que varíe de 0 a 5. 14 Gráfica de la salida del PWM. 15 Salida de voltaje por el canal de salida analógica de voltaje de la DAQ. Nótese que el VI 1 donde se define la ruta del archivo donde se va a grabar y el VI 12 donde se

cierra el archivo, están afuera del while loop. Lo que esté dentro de éste se ejecutará cada 10 ms,

tomando datos de la entrada y escribiendo datos a la salida. Los VI’s 1 y 12 están acomodados así

para que se ejecuten una sola vez estas instrucciones y se guarde todo en un solo archivo.

Simulaciones La función de transferencia se graficó en MATLAB y comparó con la gráfica generada de los datos

experimentales, el resultado se puede observar en la siguiente gráfica:

Diagrama eléctrico del driver Se realizó un driver con acoplamiento óptico con el fin de aislar la DAQ del circuito de potencia y

evitar dañar la tarjeta DAQ.

Componente Modelo

R1 10 Ω

R2 3k9 Ω

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R3 270k Ω

Q1 4N28

Q2 TIP 122

Resultados comentados Con el PWM de LabView se generó un voltaje promedio de alimentación del motor DC para variar

su velocidad. Es importante en este paso de caracterización tener el PWM como referencia del

sistema en lazo abierto para que sea considerado el ciclo de trabajo en la caracterización.

En los datos obtenidos, una vez graficados, se puede observar mucho ruido. Este fenómeno es

inherente al sistema porque hay mucha vibración mecánica que afecta la señal. Se debe de tener

mucho cuidado de que esta señal no exceda los 10 V para evitar dañar la DAQ.

El resultado fue satisfactorio, pues se obtuvieron datos experimentales en los que claramente se

puede apreciar el momento en que se inicia la entrada escalón y cuando finaliza. Esto es

importante para solamente tomar la parte de los datos que contiene la información de los

parámetros de la planta. En base a esta observación se decidió posteriormente truncar las 300

muestras a 140, que es el momento en que el sistema ya se ha estabilizado, con el fin de saber si

se podía disminuir la diferencia apreciable gráficamente entre datos experimentales y modelo

matemático. Los resultados se muestran más abajo como la función de transferencia (10) y 2

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gráficos. En ellos se observa que el comportamiento en estado transitorio es más cercano a los

datos experimentales, aunque el comportamiento en estado estable difiere.

De aquí se concluye que la cantidad de muestras tomadas en cuenta durante el análisis de

mínimos cuadrados es importante. Si hay muchos más datos del estado transitorio que del estado

estable el modelo recoge información detallada del primero, y viceversa. Por ello se recomienda

ser cuidadoso al escoger el subconjunto de datos a analizar.

(11)

Se puede observar que en 1.4 segundos (muestra 140) ya se alcanzó estabilidad.

Se puede apreciar que la nueva función de transferencia (en verde) se apega más a los datos experimentales en su transitorio aunque la ganancia de estado estable es ligeramente diferente.

Conclusiones La caracterización paramétrica por mínimos cuadrados nos da una mejor aproximación que los

métodos gráficos siempre y cuando se seleccione correctamente el subconjunto de datos

adecuado del total de datos muestreados. Además, es importante hacer correctamente la

consideración del orden de la planta y su discretización para que el modelo obtenido sea útil.

Trabajos citados Lopez Hurtado, I. (2010). Control Engineering Lab Notes.

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ANEXO: Script de MATLAB

%% Entrada %Consideramos los datos de entrada y salida de un sistema ante una

entrada escalon de la siguiente forma.

Nota, los datos fueron truncados para no desperdiciar espacio, la matriz

original contiene 300 muestras

e=[ 50 0.000 50 0.307 50 0.711 50 1.03 50 1.048 50 1.724 50 1.43 50 2.099 50 2.464 50 2.36 50 2.693 50 2.878 50 3.02 50 3.45 50 3.455 50 3.691 50 3.776 50 3.897 50 4.24 50 4.151 50 4.45 50 4.61 50 4.613 50 4.694 50 4.943 50 4.953 50 5.341 50 5.227 50 5.279 50 5.412 50 5.648 50 5.271 50 5.566 50 5.777 50 5.858 50 5.773 50 6.121 50 5.961 50 6.151 50 6.28 50 6.45 50 6.374 50 6.533 50 6.204 50 6.512 50 6.158 50 6.137

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50 6.295 50 6.435 50 6.2 50 6.643 50 6.775 50 6.4 50 6.49 50 6.585 50 6.742 50 6.627 50 6.307 50 6.457 50 6.564 50 6.612 50 6.784 50 6.654 50 6.957 50 6.478 50 6.764 50 6.897 50 7.245 50 6.901 50 6.981 50 7.176

];

e(:,1)=.5;

%% Construimos la matrix phi usando los datos en a, consideramos m=1, n=1

y d=0 de acuerdo a la discretización. m=1;n=1;d=0;p=m+d; %para primer orden

phi(:,1)=e(p:(length(e)-1),2); %Vector de valores de salida

empezando en p-1 (sumamos 1 porque matlab referencia desde el indice 1) phi(:,2)=e((p-d):(length(e)-1-d),1); %Vector de valores de entrada

empezando en 0 (nuevamente sumamos 1) y=e((p+1):(length(e)),2);

theta=((phi'*phi)^(-1))*(phi'*y);

%% Definiendo la función de transferencia num_dis=[theta(2,1)]; %Se define el numerador obtenido

en el paso anterior den_dis=[1 -theta(1,1)]; %Se define el denominador de la

planta de 1er orden con el coeficiente obtenido en el paso anterior disc_sys=tf(num_dis,den_dis,.01) %Se define la función de

transferencia de la planta discreta con TS=0.01 segundos

%% Graficando t=0:.01:2.99; %Vector que define el tiempo que

duró la prueba con intervalos de tiempo TS plot(t,e(1:300,2),'R');figure(gcf) %Gráfica de datos experimentales

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hold on %Para esperar la siguiente

instrucción y que las dos gráficas estén en la misma figura step(0.5*disc_sys,t) %Entrada escalón de magnitud 0.5

al sistema definido en el bloque anterior