IES BAHÍA DE BABEL · circunstancias en las que se encuentra el juego, pretenden dividir el premio para el ganador de forma equitativa, teniendo en cuenta las probabilidades que

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IIEESS BBAAHHÍÍAA DDEE BBAABBEELL CCAALLEENNDDAARRIIOO MMAATTEEMMÁÁTTIICCOO:: FFeebbrreerroo 22001111

Datos del centro

Calle Paraguay, 6. 03008 Alicante

[email protected]

Telf.: 965281946 Fax.: 965115585

Coordinadora: Gema Foronda San Juan ([email protected])

Alumnos participantes: 1º Bachillerato

Carolina Brito Santiago

Marina Cartagena González

Mario Fabregat López

Adela Fernández Gil

Alejandro Gómez Fuentes

Verónica Mallen Martínez

Gemma Muñoz Espín

María José Navarro Vicente

Nerea Paredes López

Ángel Prieto de la Cruz

Juan Pedro Sánchez López


11.. MMOOVVIIMMIIEENNTTOO RREECCTTIILLÍÍNNEEOO YY UUNNIIFFOORRMMEE

En un movimiento rectilíneo y uniforme la gráfica x-t coincide con la

bisectriz del primer cuadrante. ¿Qué velocidad lleva el vehículo?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10

T (tiempo)

X

Si suponemos que en el eje X se representa el espacio recorrido (medido en metros) y

que en el eje Y se representa el tiempo (medido en segundos), la velocidad del

vehículo será de 1m/s. Esto se debe a que al realizar una línea paralela al eje x que

trazamos desde 1m, observamos que coincide, en la línea de la velocidad, con otra

línea perpendicular al eje x que trazamos desde 1s.

Al coincidir en el mismo punto, decimos que la velocidad del vehículo es de 1m/s.


22--33--44.. GGRRÁÁFFIICCAASS

¿Cuál de las siguientes gráficas v-t corresponde con la de un MRU?

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10

T (s)

V (

m/s

)

Es un MRU, pero que sea rectilíneo no queda reflejado en la gráfica. La gráfica cumple

todas las características de un MU: movimiento sobre una paralela al eje x, velocidad

constante de 6m/s y aceleración nula por tanto esta gráfica es el MU que buscamos.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10

T (s)

V (

m/s

)


Esta gráfica no cumple la condición de velocidad constante por tanto deja de ser un

MRU, porque tiene aceleración constante y su velocidad es creciente.

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

T (s)

V (

m/s

)

Esta gráfica no cumple ninguna de las características. Es una línea curva, cuya

velocidad no es constante, sino creciente al igual que su aceleración. Por tanto no es

un MRU.


55--66.. LLEEYY DDEE HHOOOOKKEE

La ley de Hooke dice que cuando se aplica una fuerza a un muelle, le

provoca una deformación directamente proporcional al valor de dicha

fuerza. La constante de proporcionalidad se llama constante de

elasticidad y es característica del muelle. A partir de la siguiente tabla,

¿sabrías calcular el límite de elasticidad del muelle en cuestión?

Peso (N) 0 100 200 300 400 500 600 700

Longitud (m) 0,40 0,44 0,48 0,52 0,55 0,61 0,66 0,70

Alargamiento (m)

0 0,04 0,08 0,12 0,15 0,21 0,26 0,30

Matemáticamente podemos escribir la ley de Hooke así:

Donde F es la fuerza aplicada al muelle, k es la constante de elasticidad que depende

de la naturaleza del muelle y es el alargamiento producido. También podemos

escribirla así:

Donde llll es la longitud final del muelle y llll0000 la inicial.

El límite elástico es la tensión máxima que un material elástico puede soportar sin

sufrir deformaciones permanentes. Al ser sometido a tensiones inferiores de su límite

de elasticidad, se deforma siguiendo la ley de Hooke. Si lo sometemos a tensiones

mayores a su límite de elasticidad, adquiere un comportamiento plástico. Si continúan

aumentando las tensiones ejercidas el material alcanzará el punto de fractura.

En la primera medición, el muelle está en reposo, manteniendo su forma original ya

que ninguna fuerza actúa sobre él. En las tres mediciones siguientes, se puede

observar un aumento lineal de la longitud en función de la fuerza (peso). Si sustituimos

los datos en la fórmula anteriormente mencionada:

En las mediciones posteriores, no continúa siendo el alargamiento proporcional a la

fuerza:

Por tanto, la ley de Hooke deja de funcionar, convirtiéndose en un comportamiento

plástico.


Si representamos las mediciones en una gráfica alargamiento/fuerza podemos señalar

el límite de elasticidad del muelle, y cómo varía su comportamiento según el

alargamiento producido:

A partir de los datos de la tabla, el límite de elasticidad es 300 N. Pero esta tabla nos

dice que cuando P=300 N hay un comportamiento elástico, y cuando P=400 N la

gráfica deja de ser constante. Por tanto, el límite de elasticidad real solo se puede decir

que se encuentra en el intervalo ]300, 400[.


77.. BBLLAAIISSEE PPAASSCCAALL

Blaise Pascal (Auvernia, 19 de junio

de 1623- París, 19 de agosto de 1662)

fue un matemático, físico, filósofo y

teólogo francés. Fue un niño prodigio,

educado por su padre, un juez local.

Pascal fue un matemático de primer

orden. Ayudó a crear dos grandes

áreas de investigación, escribió

importantes tratados sobre

geometría proyectiva a los dieciséis

años, y más tarde cruzó

correspondencia con Pierre de

Fermat sobre teoría de la

probabilidad, influenciando

fuertemente el desarrollo de las modernas ciencias económicas y sociales.

Es considerado el padre de las computadoras junto con Charles Babbage. La imagen muestra “la Pascalina” primera máquina para automatizar los cálculos.

”Triángulo aritmético”

En 1653, Pascal publica el Traité

du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) en el que describe las propiedades y aplicaciones del triángulo aritmético o triángulo de Pascal, manera de presentar coeficientes binomiales.

En 1654, incitado por Antoine Gombaud, caballero de Méré, quien le plantea el problema matemático de dividir una apuesta después de la interrupción anticipada de un juego de azar ("problema de los puntos"). Blaise mantiene correspondencia con Pierre de Fermat y envía una primera aproximación al cálculo de probabilidades. El problema consistía en que dos jugadores quieren finalizar un juego anticipadamente y, dadas las circunstancias en las que se encuentra el juego, pretenden dividir el premio para el ganador de forma equitativa, teniendo en cuenta las probabilidades que tiene cada


uno de ganar el juego a partir de ese punto. A partir de esa discusión nace el concepto de valor esperado o esperanza matemática. Años más tarde, Pascal formuló la hoy llamada Apuesta de Pascal, una reflexión filosófica sobre la creencia en Dios, basada en consideraciones probabilísticas.

El trabajo realizado por Fermat y Pascal en el cálculo de probabilidades permitió crear el marco de trabajo a partir del cual Leibniz desarrollaría el cálculo infinitesimal.

Además, Pascal trabajó en los campos de estudio de líquidos (hidrodinámica e hidrostática), centrándose en los principios de fluidos hidráulicos. Entre sus invenciones se incluye la prensa hidráulica, la jeringuilla y el llamado teorema de Pascal: “la presión ejercida en cualquier parte de un fluido incompresible y en equilibrio dentro en un recipiente de paredes indeformables, se transmite por igual en todas las direcciones en todo el fluido.“

”Teorema de Pascal”

En el año 1646, Pascal ya conocía los experimentos de Evangelista Torricelli con barómetros. Tras replicar la creación de un barómetro de mercurio, para lo cual se coloca un tubo de mercurio boca abajo en un recipiente lleno de ese metal, Pascal comenzó a cuestionarse qué fuerza era la que hacía que parte del mercurio se quedase dentro del tubo y qué era lo que llenaba el espacio por encima del mercurio hasta el final del tubo. Por aquella época, la mayoría de los científicos consideraban que existía algún tipo de materia invisible, en lugar de simplemente el vacío. Este pensamiento se basaba en la noción aristotélica de que la creación es algo con sustancia, ya fuera visible o invisible, y que la sustancia está siempre en movimiento. Es más, Aristóteles declaraba que todo lo que está en movimiento debe estar a su vez siendo impulsado por algo. La noción del vacío como tal era una imposibilidad bajo las concepciones de la época.

Sin embargo, y tras una serie de trabajos experimentales en esta línea, en 1647 Pascal publicó Experiences nouvelles touchant le vide ("Nuevos Experimentos sobre el Vacío"), en donde detallaba una serie de reglas básicas que describían hasta qué punto varios líquidos podían estar soportados por la presión del aire. También ofrecía razones por las que lo que había por encima de la columna de líquido era realmente un vacío, haciendo frente a las críticas que establecían que debe haber algún tipo de materia invisible en el espacio vacío de Pascal, éste replicó a Estienne Noel a través de una de las principales afirmaciones que se hicieron en el siglo XVII sobre el método científico: "En orden a mostrar que una hipótesis es evidente, no es suficiente con mostrar todos los fenómenos que surgen de ella; por el contrario, si lleva a algo contrario a la hipótesis en un sólo caso, eso es suficiente para establecer su falsedad."

Su insistencia en la existencia del vacío también llevó a un conflicto con otros científicos prominentes, incluyendo a Descartes entre ellos.


88.. VVEELLOOCCIIDDAADD

Si viajaras a la velocidad del desplazamiento de la Tierra en su órbita,

¿cuánto tiempo tardarías en viajar de Madrid a París?

En primer lugar, vamos a calcular la distancia media entre la Tierra y el Sol.

Sabemos que la luz solar tarda aproximadamente 8'32 minutos en llegar a la Tierra.

Como:

Es decir, la luz tarda 500 segundos en llegar del Sol a la Tierra.

La velocidad de la luz en el vacío es aproximadamente:

Como la velocidad de la luz es la distancia Tierra-Sol (de centro a centro) partida del

tiempo que tarda la luz en ir de un astro al otro, despejando la distancia nos queda:

A esta distancia, en términos astronómicos, se le conoce como ua (unidad

astronómica).

A continuación, procederemos a calcular la velocidad orbital de la Tierra.

Debido a la escasa excentricidad de la órbita terrestre, considerémosla circular.


La velocidad angular es el ángulo barrido por el radio vector en la unidad de

tiempo, es decir:

Sabiendo que la Tierra da una vuelta alrededor del Sol en un año y considerando el año

como 365 días:

La relación entre la velocidad angular y la orbital depende de la distancia:

Si sustituimos en la ecuación anterior y :

La Tierra lleva una velocidad orbital de 30 Km./s.

En caso de que yo llevase dicha velocidad y quisiera viajar de Madrid a París, primero

he de saber a qué distancia se encuentran. La distancia entre ambas ciudades es de

1053 km, y como el tiempo es la distancia partida de la velocidad:

Por tanto, si viajase a la velocidad orbital de la Tierra,

tardaría 35s en recorrer la distancia Madrid-París.

Este resultado es en el supuesto caso de que viajase en

línea recta. En caso de seguir una trayectoria cualquiera

no rectilínea, la distancia aumentaría, por tanto el

tiempo sería mayor.


99.. CCHHRRIISSTTIIAAAANN HHUUYYGGEENNSS

Christiaan Huygens (14 de abril de 1629 - 8 de julio de 1695) fue un astrónomo, físico y matemático neerlandés, nacido en La Haya, en el seno de una importante familia holandesa. Su padre, el diplomático Constantijn Huygens, le proporcionó una excelente educación y le introdujo en los círculos intelectuales de la época.

Estudió mecánica y geometría con preceptores privados. En esta primera etapa, Huygens estuvo muy influido por el matemático francés René Descartes, visitante habitual de la casa de Constantijn durante su estancia en Holanda. Su formación universitaria transcurrió entre 1645 y 1647 en Leiden, y entre 1647 y 1649 en el Colegio de Orange de Breda. En ambos centros estudió Derecho y Matemáticas, destacándose en la segunda.

Huygens fue uno de los pioneros en el estudio de la Probabilidad, tema sobre el que publicó el libro De ratiociniis in ludo aleae (Sobre los Cálculos en los Juegos de Azar), en el año 1656. En el introdujo algunos conceptos importantes en este campo, como la esperanza matemática, y resolvía algunos de los problemas propuestos por Pascal, Fermat y De Méré.

Además resolvió numerosos problemas geométricos como la rectificación de la cisoide y la determinación de la curvatura de la cicloide. También esbozó conceptos acerca de la derivada segunda.

”Curvatura del cicloide”

Por otro lado, los trabajos de Huygens en Física se centraron principalmente en dos campos: la mecánica y la óptica. En el campo de la mecánica publicó su libro Horologium oscillatorum (1675); en él se halla la expresión exacta de la fuerza centrífuga en un movimiento circular, la teoría del centro de oscilación, el principio de


la conservación de las fuerzas vivas (antecedente del principio de la conservación de la energía) centrándose esencialmente en las colisiones entre partículas (corrigiendo algunas ideas erróneas de Descartes) y el funcionamiento del péndulo simple y del reversible. En el campo de la óptica elaboró la teoría ondulatoria de la luz, partiendo del concepto de que cada punto luminoso de un frente de ondas puede considerarse una nueva fuente de ondas (Principio de Huygens). A partir de esta teoría explicó, en su obra Traité de la lumière, la reflexión, refracción y doble refracción de la luz. Dicha teoría quedó definitivamente demostrada por los experimentos de Thomas Young, a principios del siglo XIX.

“Fuerza centrífuga y reflexión y refracción de la luz”


1100.. GGEEOORRGG SSIIMMOONN OOHHMM

Georg Simon Ohm, nacido en 1789 y

fallecido en 1854 fue un físico y

matemático alemán.

En 1806, decide irse a Suiza donde obtuvo

una plaza de maestro de matemáticas.

Estando trabajando allí, empezó a leer los

trabajos de Euler, Laplace o Lacroix.

Prosigue sus estudios de matemáticas,

hasta que en 1811 decide volver a su

ciudad natal donde recibe el doctorado,

ese mismo año.

Seis años después, decide irse a impartir clases de matemáticas y física en un Liceo de

Colonia. En esa situación, con mejores condiciones materiales que en las anteriores

donde había trabajado, pudo contar con un laboratorio de física bien equipado. Ahí

comenzó a realizar sus primeros experimentos con electricidad, después de conocer

las investigaciones llevadas a cabo en 1820 por el físico danés Oersted.

En 1825 empieza a publicar los resultados de sus experimentos sobre mediciones de

corriente y tensiones, en el que destacaba la disminución de la fuerza

electromagnética que pasa por un cable a medida que éste era más largo.

Siguió publicando sus trabajos, hasta

que en 1827 publica un libro llamado

“Die galvanische Kette,

mathemathisch bearbeitet” en el cual

expone toda su teoría sobre la

electricidad, cuyo resultado más

destacable fue el planteamiento de

una relación fundamental de la corriente eléctrica, que hoy conocemos como “Ley de

Ohm”.


Esta importante ley postula que “la intensidad de la corriente que circula es

directamente proporcional al voltaje aplicado e inversamente proporcional a la

resistencia.”

La representación matemática de dicha ley es la siguiente: I=V/R donde, “I” es la

intensidad de la corriente eléctrica medida en amperios (A); “V” es la tensión o voltaje

medido en voltios (V) y “R” es el valor en ohm (Ω) de la resistencia o carga que tiene

conectada.

Esta ley la podemos utilizar para hacer diversos cálculos.

Ejemplo: ¿Cuál es la resistencia de una lámpara que al conectarla a 320 V, absorbe

una corriente de 16 A?

Solución: En primer lugar, vamos a

la fórmula de dicha ley I=V/R.

Cuando tenemos la fórmula,

despejamos la incógnita que

queremos calcular, que en este

caso es “R” (resistencia).

Despejamos “R” R= V/I. Una vez

que la tenemos despejada, vamos al problema, cogemos los datos (320V y 16A) y

sustituimos en la fórmula. Así pues, nos quedaría R= 320/16 = 20 Ω. En este caso,

diríamos que la resistencia de nuestra lámpara es de 20 ohms.

Pese a que su descubrimiento era de gran peso científico, no fue reconocido por parte

de los físicos de la época.

En Marzo de 1828 decidió establecerse en Berlín y en 1853 aceptó un puesto como

profesor en Nüremberg (Alemania). En 1842 la “Royal Society” lo admitió como

miembro al reconocer el mérito que tenían sus trabajos de investigación y en 1845 la

Academia Bávara lo nombra también miembro, con plenos derechos.

Hacia 1849 George Simon Ohm comenzó a desempeñar el puesto de conservador del

gabinete de física en esta misma Academia. También comenzó a impartir conferencias


en la Universidad de Munich. En 1852 logró, finalmente, ver realizado su sueño de ser

nombrado catedrático de física en ésta última Universidad.

Dos años después, en 1854, falleció este insigne matemático y físico en la propia

ciudad de Munich.

En honor a su memoria, veintisiete años después de su muerte, en la Exposición

Internacional De Electricidad efectuada en París, en 1881, se adoptó el “ohm” y su

símbolo (Ω) (letra griega omega) como unidad de medida de la resistencia eléctrica.


1111.. MMÓÓVVIILL

Un móvil se desplaza en línea recta desde un punto situado a 2 metros

de distancia del origen con una velocidad inicial de 2m/s y una

aceleración constante de -2m/s2. Dibuja las gráficas del movimiento.

Estudiamos el movimiento:

Como la aceleración es constante, el movimiento es rectilíneo uniformemente

acelerado (MRUA).

Sustituimos en sus fórmulas para que nos queden las funciones a representar:

−=→⋅+=

−+=→⋅+⋅+=

tvtavv

ttxtatvxx

22

222

1

0

2200

Dibujamos las gráficas:

Gráfica espacio/tiempo

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (s)

Esp

acio

(m

)


Gráfica velocidad/tiempo

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (s)

Vel

ocid

ad (

m/s

)


1122.. SSTTEEPPHHEENN HHAAWWKKIINNGG

Stephen William Hawking nació el 15 de enero

de 1942 en Oxford, Inglaterra. Se educó en el

seno de una familia con una gran formación

intelectual. En 1959 comenzó sus estudios de

matemáticas y física en la University College de

Oxford, donde se licenció en 1962. En 1966, en

la Universidad de Cambridge, consiguió su

doctorado en física teórica y cosmología, cuyo

objetivo se centra en investigar el origen del

universo. Se encuentra paralítico y sin habla,

debido a una enfermedad (esclerosis lateral

amiotrófica) que padece desde joven.

Hawking ha trabajado en las leyes básicas que

gobiernan el universo. Junto con Roger Penrose,

mostró que la Teoría General de la Relatividad

de Einstein implica que el espacio y el tiempo han de tener un principio en el Big Bang

y un final dentro de agujeros negros. Semejantes resultados señalan la necesidad de

unificar la Relatividad General con la Teoría Cuántica, el otro gran desarrollo científico

de la primera mitad del siglo XX. Una consecuencia de tal unificación que él descubrió

era que los agujeros negros no eran totalmente negros, sino que podían emitir

radiación y eventualmente evaporarse y desaparecer.

Otro éxito notable de Hawking fue su propuesta de una topología "sin fronteras" del

universo, formulada en 1983 junto a Jim Hartle. Hawking lo explica así:

"Que tanto el tiempo como el espacio son finitos en extensión, pero no tienen ningún

límite o borde... no habría distinciones y las leyes de la ciencia se sostendrían por todas

partes, incluyendo el principio del universo. Preguntarse qué había antes del Big Bang

es como preguntarse qué hay al norte del polo norte."

En la teoría clásica de la Relatividad General, el principio del universo tiene que ser una

singularidad de densidad y curvatura de espacio-tiempo infinitas.

"Mientras más examinamos el universo, descubrimos que de ninguna manera es

arbitrario, sino que obedece ciertas leyes bien definidas que funcionan en diferentes

campos. Parece muy razonable suponer que hay principios unificadores, de modo que

todas las leyes sean parte de alguna mayor".


Actualmente el cosmólogo considera

inevitable un desastre en el planeta en los

próximos 100 años y ve el futuro de la

especie humana en el espacio. El

científico británico afirma en un nuevo

libro, El Gran Diseño, que la física

moderna excluye la posibilidad de que

Dios crease el universo.

Del mismo modo que el Darwinismo

eliminó la necesidad de un creador en el

campo de la biología, el conocido

astrofísico afirma en su obra que las

nuevas teorías científicas hacen

redundante el papel de un creador del

universo.

La raza humana necesita un desafío

intelectual. Debe ser aburrido ser Dios, y

no tener nada que descubrir.


1133.. RREENNÉÉ DDEESSCCAARRTTEESS

René Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en Turena (Francia). Su familia pertenecía a la baja nobleza, siendo su padre y su hermano mayor magistrados de Tribunal superior de Bretaña, en Rennes. Su madre murió al año de nacer Descartes.

En 1604 y hasta 1614 estudió en el colegio de la Fleché en Anjou, escuela regida por los jesuitas y de una apertura intelectual poco usual para la época.

En 1616 se graduó por la universidad de Poitiers. Sin embargo, no se encontraba realmente satisfecho de la enseñanza que había recibido Descartes. Se interesó pronto por las Matemáticas única disciplina que puede considerarse un “autentico saber” porque es la que nos aporta “certeza” o imposibilidad de dudar.

Este motivo impulsa a Descartes a abandonar sus estudios y dedicarse al esparcimiento y los viajes. En 1618 se alista en el ejército del príncipe Mauricio de Nassau, hijo de Guillermo el Mudo, en Holanda. Por aquella época conoció al que despertaría en él la inquietud por las cuestiones científicas: el medico Isaac Beeckman. En 1619 se traslada a Alemania, donde se incorpora al ejército del duque de Baviera. Este mismo año, el 10 de noviembre, descubre su verdadera vocación: la filosofía. Pero esta surge como filosofía del conocimiento. Es por este motivo por lo que Descartes se apasiona por la cuestión del método, único camino que permitirá recomponer y unificar no solo la pluralidad de ciencias sino la propia sabiduría humana.

Descartes abandona el ejército y entre 1620 y 1629 se dedica a viajar, iniciándose en una nueva experiencia que “el estudio de las letras” no le podía ofrecer: aprender del “gran libro del mundo”.

Va a vivir a Paris y finalmente se retira a Holanda, lugar que se convirtió en el refugio de numerosos filósofos y científicos debido a su tolerancia y donde Descartes vivió con algunas interrupciones hasta 1649.

Comienza su época creadora; en 1628 termina su obra fundamental “regulae ad directionem ingenii” (reglas para la dirección del espíritu) que, escritas en latín, se publicaran después de su muerte. Esta obra plasma su intención de crear una ciencia universal de carácter matemático. Pero también se subrayan los aspectos metodológicos de su pensamiento.

En 1633/64 escribe Descartes su “tratado del mundo”, obra que no se atrevió publicar cuando recibió la noticia de la condena que sufrió Galileo en Roma. Su tratado


contenía también tesis heliocentristas, así como afirmaciones sobre el movimiento de la Tierra. Partes de esta obra será incorporada mas tarde en trabajos posteriores.

Descartes mantuvo siempre una postura conciliadora, precavida, que evitó el enfrentamiento con la Iglesia. Quizás debido a que pretendía no quedar fuera de los círculos “oficiales”.

En 1937 publico el “discurso del método” acompañada de tres pequeños tratados: “Dióptrica”, “Meteoros” y “Geometría”, escritos en francés, lo cual suponía una novedad y un intento de que su obra se extendiera entre los círculos menos dogmaticos y academicistas.

En 1641 se publican en Paris sus “Meditaciones de prima “philosophia”, considerada, junto con las Regulae, la obra fundamental de Descartes, también escrita en latín. Esta obra denomina comúnmente meditaciones metafísicas. Las Meditaciones se publicaron pronto en francés junto con un grupo de Objeciones de varios autores y Respuestas del propio Descartes.

Descartes no se librará de los ataques eclesiásticos. En 1644 publica su obra Principia Philosophiae (Principios de la filosofía), que dedica a la princesa Isabel de Bohemia y que se presenta en forma de libro de texto. Descartes deseaba que pudiera ser utilizado en la enseñanza “oficial” aunque se apartara de muchos de los preceptos aristotélicos aceptados.

En 1649 Descartes es invitado por la reina de Suecia a Estocolmo con el fin de instruirla en su filosofía. Al partir deja su obra “Las pasiones del alma” en la imprenta. En este escrito desarrolla uno de los temas que más interesaban a la princesa Isabel: el tema de las pasiones y la relación entre el alma y el cuerpo.

En Suecia, Descartes se encontraba solo y atareado en algunas cuestiones enojosas, como la elaboración de unos poemas para un ballet conmemorativo de la paz de Westfalia. El 11 de febrero de 1650 muere Descartes de una neumonía. El duro invierno sueco así como el hábito de la reina de reunirse con el en la biblioteca a las cinco de la mañana, mellaron la salud de nuestro filósofo, que estaba acostumbrado a una vida más reposada: Descartes pasaba muchas horas reflexionando y escribiendo en la cama hasta las once de la mañana.

Enterrado en Estocolmo, su cuerpo fue trasladado a Paris en 1666.

Descartes aplicado: Una de las aplicaciones más utilizadas y recurridas del matemático y filósofo es el sistema cartesiano:


El punto (0,0) recibe el nombre de origen de coordenadas. Se escoge también una unidad de medida, con la que se marcan con signo positivo las distancias en las semirrectas desde el origen hacia arriba y hacia la derecha, y con signo negativo desde el origen hacia abajo y hacia la izquierda. El eje perpendicular se denomina eje de abscisas o eje de las x, mientras que el eje vertical se denomina eje de ordenadas o eje de las y. Este sistema de referencia se denomina sistema de ejes cartesianos o sistema cartesiano (de Cartesius, nombre latinalizado de René Descartes, filósofo y matemático francés del siglo XVII). Con ello, todo el plano queda dividido en cuatro cuadrantes (I, II, III y IV), que se numeran en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj.

Por cada punto P del plano pasan dos rectas perpendiculares entre si y paralelas a cada uno de los ejes, es decir, pasa una recta paralela al eje de las x y una recta paralela al eje de las y.

Se debe prestar atención en no confundir el eje de las abscisas con el de las ordenadas: el primer número representa el de la abscisa x y, en consecuencia, se marca sobre el eje horizontal de las x, mientras que el segundo es la ordenada y, por tanto, se indica sobre el eje vertical de las y.


1144--1155.. AAÑÑOOSS LLUUZZ

Próxima Centauri es la estrella más cercana al Sol y forma parte de un

sistema estelar triple conocido como Alfa Centauro. Esta estrella se halla

apenas a 4,22 años luz. Un año luz equivale a la distancia recorrida por la

luz en un año.

Sabiendo que la luz viaja a 300000 Km/s ¿a cuántos Kilómetros se

encuentra esta famosa estrella?.

Si un mapa estelar cada 1000000 kilómetros está representado por un

milímetro ¿a qué distancia del Sol estaría Próxima Centauri?

Lo primero es expresar un año luz en kilómetros:

kmkm

min

seg

hora

min

día

horas

año

díasaño

seg

km

añoseg

Kmluzaño

1210.46,9510.94608000

1

60.

1

60.

1

24.

1

365.1.510.3

1.510.31

≈=

==

==

Como la estrella se halla a 4,22 años luz, la distancia será de

kmkm 1210.9212,391210.46,9.22,4 ≈

Por tanto, la distancia de la estrella Próxima Centauri al Sol será de aproximadamente

40 billones de kilómetros.

La escala del mapa estelar es 106 km : 1mm.

Si la distancia real es la calculada anteriormente, la distancia en el mapa estelar será de

kmmmkm

mmkm 4010.4010

1.10.40 66

12 ==

¡¡¡ La distancia en el mapa estelar será de 40 Km!!!


1166.. EEQQUUIILLIIBBRRIIOO

A partir de la representación, determina si el cuerpo que se encuentra

sometido a la acción de estas fuerzas está en equilibrio:

F1 = 20 N

F2 = 10 N

F3 = -30 N

F1 = F1X + F1Y :

• F1x = F1 · cos 30º -> F1X = 20 · cos 30º = 17’32 N

• F1Y = F1 · sen 30º -> F1Y = 20 · sen 30º = 10 N

Eje X:

F3 + F1X = -30 + (20 · cos 30º) = -12’68 N.

No está en equilibrio.

Eje Y:

F2 + F1Y = 10 + 10 = 20 N.

No está en equilibrio.


1177--1188.. AACCEELLEERRAACCIIÓÓNN

En la tabla siguiente aparecen las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo y las

aceleraciones provocadas:

Fuerza (N) 4 12 20 28 36 44 52

Aceleración (m/s²) 1 3 5 7 9 11 13

Representa la gráfica F- a y realiza un comentario-conclusión haciendo

referencia a la forma de la gráfica, el valor de la pendiente y qué

magnitud representa la misma.

La gráfica Fuerza- aceleración quedaría de la siguiente manera, situando F en el eje de

abscisas y a en en el de ordenadas:

Podemos observar que la gráfica resultante de nuestros datos es una recta. Por tanto,

responderá a la ecuación y= mx+n. Centrémonos en su ecuación, concretamente la

ordenada en el origen será 0, pues corta al eje Y en el punto (0,0).

Ahora, elijamos dos puntos cualesquiera para hallar su pendiente. El primero, será el

punto (4,1), mientras que el segundo podría ser el más simple de todos, el (0,0).

Sabemos que la pendiente m de una recta se define por la división de la resta de las


coordenadas de Y de dos puntos entre la resta de las respectivas coordenadas en X en

dichos puntos. Es decir:

Ya tenemos la pendiente, que será m=4. Por tanto, la ecuación a la que responde

nuestra recta es y = 4x.

Ahora comentaremos la magnitud representada en esta gráfica que estamos

estudiando. Podemos enunciar la segunda ley de Newton que se resume en F= m ·a. En

realidad, podríamos suponer que los datos que nos han dado han sido dados gracias a

un experimento de un cuerpo cualquiera (de masa 4 kg), al que le han proporcionado

unas distintas fuerzas y éste ha adquirido unas ciertas velocidades. Ahora bien,

podemos decir que la aceleración del cuerpo y la fuerza a la que es sometido son

directamente proporcionales ya que responden a la ecuación de la segunda ley de

Newton (enunciada anteriormente). Y, también, podemos decir que la magnitud que

representa la gráfica y que resulta de la división de la Fuerza entre la aceleración es a

lo que nosotros llamamos como masa inercial, y que en este cuerpo su valor es 4, es

decir, que el que estamos experimentando tiene una masa de 4 kg.


1199.. AAllbbeerrtt EEiinnsstteeiinn

Es increíble que la matemática, habiendo sido creada

por la mente humana, logre describir la naturaleza

con tanta precisión.

Albert Einstein fue el físico más ilustre del siglo XX.

De pequeño era tímido y retraído, con dificultades en

el lenguaje y lento para aprender en sus primeros

años escolares, apasionado de las ecuaciones. El

colegio no le motivaba; era excelente en

matemáticas y física pero no se interesaba por las

otras asignaturas.

Con solo 16 años, empezó a contemplar los efectos

del movimiento a la velocidad de la luz, un

rompecabezas cuya solución cambiaría por siempre

la física y la cosmología.

Obtuvo un lugar en la Oficina de Patentes suiza, en Berna. Einstein pudo robar tiempo

en su trabajo y dedicarlo para sus propios estudios sobre temas como las propiedades

físicas de la luz.

Empezó a publicar los resultados de sus investigaciones en uno de los principales

diarios científicos, y focalizó sus análisis intuitivos sobre las implicaciones de la

cuestión que la había intrigado años antes: ¿Cómo sería cabalgar en un rayo de luz?

A la temprana edad de veintiséis años, Einstein publicó cuatro trabajos científicos. En

un postula los quanta de luz, para explicar el efecto fotoeléctrico. El segundo trabajo

era sobre el movimiento browniano. Sin duda el trabajo más importante fue el titulado

«Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento», donde expone la relatividad

especial. En él plantea dos postulados que tienen inmensas consecuencias:

• Todos los observadores que se mueven entre sí con velocidad constante son

equivalentes en lo que a las leyes de la física se refiere. Este es el principio de la

relatividad que excluye la noción de espacios y tiempo absolutos.

• La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores,

(299.792 kilómetros por segundo), y es independiente del movimiento relativo

entre la fuente de luz y el observador. Este postulado explica el resultado

negativo del experimento de Michelson-Morley. En esos primeros años Einstein

plantea su famosa relación, , el producto de la masa por el cuadrado

de la velocidad de la luz dan la energía asociada a una masa m. Masa y energía


son dos formas equivalentes. Esto produjo una revolución en nuestra

comprensión de la física Del Sol y las estrellas y constituye la base de la energía

nuclear.

Einstein trabajó afanosamente en una generalización de su teoría de la relatividad. En

1916, dio a conocer su teoría general de la relatividad.

En la relatividad general, geometriza la gravitación. Una masa deforma el espacio-

tiempo a sus alrededores y Einstein proporciona las matemáticas que permiten

calcular punto a punto la 'geometría' en la vecindad de una masa. La relatividad

general tenía un gran número de aplicaciones concretas. Por una parte, explicaba una

desconcertando discrepancia en la órbita de Mercurio, el planeta más interior del

sistema solar.

El perihelio del planeta -el punto en que está más cerca del Solo avanzaba cada año en

una cantidad significativamente más grande que la predicha por las leyes de Newton.

En sus esfuerzos por explicar la diferencia, los astrónomos habían especulado durante

algún tiempo en la existencia de uno pequeño planeta que orbitara entre Mercurio y el

Sol (Vulcano). Einstein demostró que ese cuerpo era innecesario.

Su nueva teoría de la gravedad explicaba completamente el misterio de la órbita de

Mercurio como una consecuencia del espacio intensamente curvado en los

alrededores del Sol.

La primera comprobación empírica de la teoría de la relatividad ocurrió, cuando

mediciones hechas durante el eclipse total de Sol de 1919 demostraran que sus


cálculos, sobre la curvatura de la luz en presencia de un campo gravitatorio, eran

exactos.

Obtuvo el Premio Nobel de Física en 1921 por su explicación del efecto fotoeléctrico y

sus numerosas contribuciones a la física teórica, y no por la Teoría de la Relatividad,

porque el científico a quien se encomendó la tarea de evaluarla, no la entendió, y

temieron correr el riesgo de que se demostrara errónea posteriormente.

Albert era una persona pacifista. Ante el ascenso del nazismo, abandonó Alemania con

destino en Estados Unidos. Aunque es considerado “el padre” de la bomba atómica,

por el hecho de que dio las bases científicas para crearla, abogó en sus escritos por el

pacifismo, el sionismo y el socialismo. Durante sus últimos años trabajó por integrar en

una misma teoría las cuatro Fuerzas Fundamentales, pero sus esfuerzos fueran en

vano.

Lo importante es no dejar de hacerse preguntas.


2200.. PPLLAANNOO IINNCCLLIINNAADDOO

¿Cuál es la descomposición de la fuerza- peso de un cuerpo de 5Kg que

está sobre un plano inclinado 15º respecto a la horizontal?

El peso (m · g) siempre se dibuja vertical, dirigido hacia el centro de la Tierra.

Cuando un cuerpo está situado sobre un no inclinado se descompone en dos fuerzas

para estudiar su movimiento:

- Una paralela al plano: m · g · sen α (sentido hacia abajo)

- Una perpendicular al plano: m · g · cos α

De manera que el peso es la suma vectorial de estos dos componentes.

El ángulo de inclinación α=15º que forma el plano con la horizontal es también el

ángulo que forman el peso (vector rojo) y la componente perpendicular al plano

(vector azul).

Puesto que la masa es de 5Kg y la gravedad (g) = 9’8m/s² obtenemos lo siguiente:

P = 5 · 9’8 = 49N

Sustituimos este valor de mg en las fórmulas para hallar la descomposición de la

fuerza-peso: P = m · g = 49N

Ptangencial = m · g · sen 15º = 12’6N

Pnormal = m · g · cos 15º = 47’3N


2211.. CCOONNSSTTRRUUCCTTOORR

Un constructor necesita contratar un obrero pero debido a los tiempos

de crisis en los que vivimos quiere comparar primero a los dos

candidatos al puesto. El primero, Juan, levanta 110 azulejos de 900 g

cada uno hasta una altura de 2 m en 5 minutos. El segundo, Luis, levanta

los mismos azulejos hasta una altura de 1,75 m en 4 minutos.

¿A quién debe elegir el constructor y por qué?

Juan:

110 azulejos

900 g cada uno

2 m en 5 minutos

Luis:

110 azulejos

90 g cada uno

1’75 m en 4 minutos

Un buen criterio para elegir sería según la potencia (rapidez con la que se realiza un trabajo), ya que aquél cuya potencia sea mayor realizará un trabajo en menos tiempo y por tanto obtendremos más beneficios.

P1 = PJUAN

P2= PLUIS

PMEDIA1 = = = = 23’28

PMEDIA2 = = = = 25’47

23’28< 25’47 P1 < P2

Por tanto, según este criterio contrataría a Luis.


2222.. ÉÉMMBBOOLLOOSS

Los dos émbolos circulares de una prensa hidráulica miden 2 cm y 2 dm

de radio, respectivamente, Sobre el émbolo mayor se ejerce una fuerza

constante de 500 N.

¿Qué presión soporta cada uno de los pistones?

En este ejercicio hay que tener presente el Pº de Pascal, el cual se basa en que la

presión ejercida en cualquier parte del fluido en equilibrio dentro de 1 recipiente se

transmite con la misma velocidad en todas las direcciones.

La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del Pº de Pascal, ya que

según éste la P1 = P2 y de aquí deducimos que

P =

F1= 500N

S1= π (al tratarse de una superficie circular)

S1= π · = 12’566

P= = 39’79 N/

Como sabemos que 1 Pa = 1N/ 39’79 N/ · = 397900 Pa

En este caso no se nos pide la fuerza resultante sobre el émbolo mayor, pero se podría

calcular de la siguiente manera:

=

S2 = π = π · = 1256’636

F2= = 50000 N

S2 es 100 veces mayor que S1, ya que es directamente proporcional a la superficie (


2233.. CCOONNCCEENNSSIIOONNAARRIIOO

En un concesionario de coches el vendedor nos informa de las

características de dos coches en los que estamos interesados. El primero

tiene 300 CV y el segundo 1900 W.

Si queremos comprar el de mayor potencia, ¿por cuál nos decidiremos?

Y ¿cuál será el trabajo realizado por dicho motor durante una semana si

utilizamos el coche 30 minutos diarios?

C1= 300 CV Para poder compararlos necesitamos trabajar en las mismas unidades

C2 = 1900 W

1CV= 735 W C1 = 300 CV · = 220500 W

Con mucha diferencia, exactamente 218600 W (220500 – 1900) el primer coche es el

de mayor potencia, por tanto compraríamos ese.

P = W = P · t

Debemos usar los segundos para así obtener el trabajo en julios, como en el S.I.

· 7 días = 12600 s que habremos usado el coche en 7 días

W= 220500W · 12600s = 277830000 J

2’78 · J es el trabajo realizado por el motor

del segundo coche, usándolo 30 minutos al día.


2244--2255.. FFUUNNCCIIÓÓNN SSEENNOO

La ecuación más general de una onda armónica unidimensional es:

donde es la posición inicial, que en el caso del seno diremos que .

A es la amplitud de la onda (distancia del eje x a una cresta o valle), t es el tiempo,

siendo la longitud de onda y T el período.

Podemos reescribirla así:

sacando factor común :


O bien, como la velocidad de propagación de una onda es la longitud de dicha onda

partido del período:

Sustituyendo en la ecuación de la onda armónica:

Al tratarse de una gráfica de la función seno, el foco será en punto O(0,0).

Como la primera cresta está a la cuarta parte de la onda, podemos generalizar ya que

la función es periódica, hay infinitas crestas, y la posición de cada una depende de la

longitud de onda y de su orden, que le llamaremos n:

Es decir, la cresta de cualquier gráfica la podemos encontrar en el punto genérico:

Para los valles ocurre lo mismo, salvo que están desplazados de las crestas.

Por tanto, los valles los encontramos en el punto genérico:

Si el período vale T=5s

De la amplitud no podemos decir nada, ya que depende de otros factores.

Sustituyendo y despejando en la ecuación general de las ondas


Como ya hemos dicho, la velocidad de propagación de la onda es la longitud de onda

partida del período, si sustituimos y despejamos:

Consiguientemente, la velocidad de propagación será:

La frecuencia es la inversa del período, por tanto:

Si se tratase de la gráfica de la función coseno, sería igual pero con .

La diferencia es que el foco se encuentra en el punto F(0,A) , por consiguiente crestas y

valles quedan desplazadas.


2266.. GGAALLIILLEEOO GGAALLIILLEEII

Galileo Galilei nació en Pisa (Italia) en 1564. Aunque se le

destaque en el campo de la astronomía, también fue

filósofo, matemático y físico, aunque también le gustaban

las artes. Esto último le venía de familia, debido a la

influencia de su padre intento estudiar medicina, pero se

dio cuenta de que lo suyo eran los números y estudio la

carrera de matemáticas.

Como hemos dicho antes, destacó en astronomía y

es ahí donde verdaderamente encontramos granes

aportaciones, tales como el telescopio. Los

primeros telescopios que realizó sólo ampliaban

dos o tres veces los objetos, pero los siguió

perfeccionando hasta alcanzar los 30 aumentos.

Con sus propios telescopios Galileo descubrió los

cráteres de la Luna, las fases de Venus, los 4

mayores satélites de Júpiter, las manchas del Sol y

los anillos de Saturno (estos no los interpretó como

tales, sino como estrellas que acompañaban a

Saturno). Estos descubrimientos casi le costaron la

vida por negar la Teoría Geocéntrica impuesta por

la Iglesia, ya que la Inquisición ostentaba un

carácter muy conservador y castigaba a quien

contradijera lo mas mínimo la doctrina papal.

De su manera de trabajar resalta su capacidad para la medición y la constante

repetición de sus experimentos, que generaron lo que hoy conocemos como método

científico. Pero si hay un experimento, una investigación que le hace famoso es la que

estudia los movimientos acelerados. Según Aristóteles en la caída libre de los cuerpos

hay una relación proporcional entre la masa y la velocidad, pero Galileo demostró que

no es así. Para ello subió a la Torre de Pisa y dejó caer dos objetos, siendo uno más

pesado que el otro, comprobó que llegaron al suelo al mismo tiempo. Con ello

concluyó que la velocidad de caída es independiente de la masa de los cuerpos.

Conclusión errónea, porque Galileo no sabía que además de la fuerza de gravedad,

sobre un cuerpo en caída libre existe otra fuerza que se opone a la caída, el rozamiento

del aire. Esta historia, parece que fue relatada por un alumno del propio Galileo, pero

se considera una leyenda.


Por último, cabe decir que Galileo era un hombre que siempre luchó para difundir la

ciencia y el saber. Un hecho significativo es que Galileo escribió sus teorías en la lengua

del pueblo, no el latín, ya que el latín sólo era conocido por gente privilegiada.


2277.. EEvvaannggeelliissttaa TToorrrriicceellllii

Nacido en Faenza (Italia) el 15 de octubre de 1608 y

murió en Florencia (Italia) 25 de octubre de 1647, fue

físico y matemático. Enseñó matemáticas en el colegio

de Sapienza, ya que fue llamado por Urbano VII cuando

se encontraba estudiando Ciencias con el benedictino

Benedetto Castelli en Roma. Hizo importantes

aportaciones a la geometría y el desarrollo del cálculo

integral.

Poco antes de ser discípulo de Galileo, estudió

una de sus obras “Dialoghi delle nuove scienze”

(1638) donde los principios mecánicos que

nombraba los desarrolló introduciéndolos, más

tarde, en su obra “De motu”. Gracias a esto

Galileo le aceptó como su copista.

La imagen muestra a Galileo con Torricelli.

El principio del barómetro (1643) fue su gran

descubrimiento, demostrando que existía la

presión atmosférica: llenó con mercurio un

tubo de vidrio de 1 metro de longitud por un

centímetro cuadrado de sección, y lo

introdujo boca abajo en un recipiente que

también contenía mercurio. El mercurio del

tubo descendió hasta quedar a una altura de

76 centímetros (760 milímetros). Esto

demostraba que había una fuerza que

impedía al mercurio descender más, lo cual

rechazaba la hipótesis de Aristóteles según la cual la materia era compacta y continua.

Torricelli realizó este experimento al nivel del mar y a

una latitud de 45º N, donde la presión atmosférica

equivale a una columna de 760 mmHg (milímetros de

mercurio) a 0º. Actualmente a esa medida equivale 1

atm (atmósfera).

1 torr = 1mmHg

1 atm = 760mmHg = 760 torr


Más tarde Pascal confirmó su teoría realizando mediciones a distinta altura, y años

más tarde, la unidad de presión torr se nombró en su memoria.

También enunció el Teorema de Torricelli, basado en los principios de Bernoulli que

estudian el flujo de un líquido contenido en un recipiente, usando la acción de la

gravedad. Gracias a esto se puede calcular la cantidad de líquido de salida por un

orificio del recipiente despreciando el efecto del rozamiento y la resistencia del aire.

Este teorema fue un gran descubrimiento para la hidráulica.

Así Torricelli enunció que: "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un

orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde

el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio". Creando esta fórmula:

Vt = velocidad a la que saldría el líquido.

vo = velocidad de aproximación.

h = distancia que hay desde la superficie del líquido al centro del orificio.

g = aceleración de la gravedad.

Torricelli también es conocido por:

Su obra “Opera geométrica”, publicado en 1644, en la que expuso sus hallazgos sobre fenómenos de mecánica de fluidos y descubrió que el movimiento de proyectiles lanzados desde un punto con igual velocidad, pero en direcciones diferentes, es un paraboloide de revolución. En las matemáticas se entregó al estudio de los cálculos sobre la curva formada por un punto en el radio de un círculo en movimiento y otras figuras complejas.

Además, descubrió que dos cuerpos están en equilibrio cuando, estos, están conectados de modo que, debido a su movimiento, su centro de gravedad no puede ascender ni descender.


Otro de sus descubrimientos fue el de un sólido infinitamente largo llamado cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli que se caracterizaba por tener una superficie infinita pero que encierra un volumen finito.

También creó lentes mejorando los telescopios y microscopios, donde era un experto. Éstos se conservan en Florencia con su nombre.

Nunca llegó a publicar sus conclusiones por miedo a la Inquisición.

En 1715 Tommaso Bonaventure publicó los manuscritos de Torricelli con el título

“Lezioni Accademiche”.

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IES BAHÍA DE BABEL · circunstancias en las que se encuentra el juego, pretenden dividir el premio para el ganador de forma equitativa, teniendo en cuenta las probabilidades que