IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de ... · IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de

IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS

1

1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) 12)( += xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

b) 8)( 3 −−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

c) 1)( 2 ++= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

d) 96)( 49 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

e) 62)( 5 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

f) 3)1()( −= xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

g) x

xf37

1)(

−= función racional

−ℜ==−−ℜ=→

3

7}037/{)( xxfDom

3

773037 =⇒−=−⇒=− xxx

h) 14

1)(

2 −=

xxf función racional

−−ℜ==−−ℜ=→

2

1,

2

1}01/{)( 2xxfDom

2

1 ò

2

1

4

114014 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

i) 34

2)(

2

7

+−−=xx

xxf función racional { }3,1}034/{)( 2 −ℜ==+−−ℜ=→ xxxfDom

==

=±=−±=⇔=+−1

3

2

24

2

121640342

x

xxxx

j) 3

1)(

xxf = función racional { }0}0/{)( 3 −ℜ==−ℜ=→ xxfDom

000 33 =⇔=⇔= xxx

k)

5

7)(

2 −=

xxf función racional { }5,5}05/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

5505 22 ±=⇔=⇔=− xxx

l) 1

1)(

4 −=

xxf función racional { }1,1}01/{)( 4 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

11101 444 ±=⇔±=⇔=⇔=− xxxx

m) 1

1)(

3 +=

xxf función racional { }1}01/{)( 3 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom

11101 333 −=⇔−=⇔−=⇔=+ xxxx

n) 8

97)(

3 ++=

x

xxf función racional { }2}08/{)( 3 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom

28808 333 −=⇔−=⇔−=⇔=+ xxxx

o) 22

3)(

xxf

−= función racional { }2,2}02/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

2202 22 ±=⇔=⇔=− xxx


2

p) 43

1)(

24 −−−=xx

xxf función racional }043/{)( 24 =−−−ℜ=→ xxxfDom

� bicuadradaecuación 043 24 =−− xx � 043 variablede Cambio 22 =−−⇒= tttx

⇒−=⇒−=±=⇒=⇒=

=±=+±=⇔=−−realsolución tieneno11

244

2

53

2

1693043

2

22

xx

xxtttt

� Por tanto, { }2,2}043/{)( 24 −−ℜ==−−−ℜ= xxxfDom

q) 87

)(36 −−

=xx

xxf función racional }087/{)( 36 =−−−ℜ=→ xxxfDom

� 087 36 =−− xx � 087 variablede Cambio 23 =−−⇒= tttx

−=⇒−=⇒−=⇒−=

=⇒==⇒=⇒==±=+±=⇔=−−

1111

22888

2

97

2

32497087

33

332

xxxx

xxxtttt

� Por tanto, { }2,1}087/{)( 26 −−ℜ==−−−ℜ= xxxfDom

r) 99

846)(

23

23

+−−++−=

xxx

xxxxf función racional }099/{)( 23 =+−−−ℜ=→ xxxxfDom

� 09923 =+−− xxx

9 9 1 1 −− 9 0 1 −+ 0 9 0 1 −

±=⇒=−

=⇒=−⇔=−⋅−⇔=+−−

309

101

0)9()1(0992

223

xx

xx

xxxxx

� Por tanto, }3,1,3{}099/{)( 23 −−ℜ==+−−−ℜ=→ xxxxfDom

s) 22

3)(

23

2

+−−−=

xxx

xxf función racional }022/{)( 23 =+−−−ℜ=→ xxxxfDom

� 022 23 =+−− xxx

2 1 2 1 +−−

2 1 1 −−+ 0 2 1 1 −−

1

1


3

−==

=±=+±=⇒=−−

=⇒=−⇔=−−⋅−⇔=+−−

1

2

2

31

2

81102

101

0)2()1(022 2223

x

xxxx

xx

xxxxxx

� }2,1,1{}022/{)( Por tanto, 23 −−ℜ==+−−−ℜ= xxxxfDom

t) xxxx

xxf

33

13)(

234 −−++= función racional }033/{)( 234 =−−+−ℜ=→ xxxxxfDom

�

=−−+=

⇒=−−+⋅⇒=−−+033

00)33(033

23

23234

xxx

xxxxxxxxx

� 03323 =−−+ xxx

3 3 1 1 −−+

3 0 1 +− 0 3 0 1 −

±=⇒=−

−=⇒=+⇔=−⋅+⇔=−−+

303

101

0)3()1(0332

223

xx

xx

xxxxx

� }3,3,1,0{}033/{)( Por tanto, 234 −−−ℜ==−−+−ℜ= xxxxxfDom

u) 43

2)(

2

7

+−−=xx

xxf función racional }043/{)( 2 =+−−ℜ=→ xxxfDom

realsolución tieneno2

16930432 =−±=⇔=+− xxx

ℜ=)( Por tanto, fDom

v) 4

1)(

2 +−=

x

xxf función racional }04/{)( 2 =+−ℜ=→ xxfDom

realsolución tieneno4404 22 ⇒−=⇔−=⇔=+ xxx ℜ=)( Por tanto, fDom

w) 1681

97)(

4 −+=

x

xxf función racional }01681/{)( 4 =−−ℜ=→ xxfDom

3

2

81

16168101681 444 ±=±=⇔=⇔=− xxx

−−ℜ=

3

2,

3

2)( Por tanto, fDom

1−


4

x) 16

97)(

4 ++=

x

xxf función racional }016/{)( 4 =+−ℜ=→ xxfDom

realsolución tieneno1616016 444 ⇒−=⇔−=⇔=+ xxx


y) 5)1(

2)(

+−=

x

xxf función racional }1{}0)1/({)( 5 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom

1010)1( 5 −=⇔=+⇔=+ xxx

z)

2

3

1

85)(

xx

xxf

++−= función racional }01/{)( 2 =++−ℜ=→ xxxfDom


4110101 22 =−±−=⇔=++⇔=++ xxxxx



a) 826)( +−= xxxf ),0[)()( +∞===→ xyDomfDom

b) xxxf −−+= 32)(

� ),2[}02/{Dominio2 +∞−=≥+=→+= xxxy

� ]3,(}03/{Dominio3 −∞=≥−=→−= xxxy Por tanto, ]3,2[]3,(),2[)( −=−∞∩+∞−=fDom

c) xxf 24)( −= función radical con índice par ]2,(}024/{)( −∞=≥−ℜ∈=→ xxfDom

22

442024 ≤⇒

−−≤⇒−≥−⇒≥− xxxx

d) 3 24)( xxf −= función radical con índice impar ℜ=−==→ )24()( xyDomfDom

e) x

xf24

1)(

−= función radical con índice par )2,(}024/{)( −∞=>−ℜ∈=→ xxfDom

Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha de ser estrictamente mayor que 0.

22

442024 <⇒

−−<⇒−>−⇒>− xxxx

f) 3 24

1)(

xxf

−= función radical con índice impar }2{)( −ℜ=→ fDom

Nota: El denominador no puede ser 0 20240243 ≠⇔≠−⇔≠−⇒ xxx

g) 4 2 45)( +−= xxxf función radical con índice par }045/{)( 2 ≥+−ℜ∈=→ xxxfDom

045 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥+− xx

Ceros

==

=±=−±=⇔=+−1

4

2

35

2

162550452

x

xxxx


5

),4[]1,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom

h) 32)( 2 +−= xxxf función radical con índice par }032/{)( 2 ≥+−ℜ∈=→ xxxfDom


Ceros


12420322 ⇒

−±=⇔=+− xxx


i) 352)( 2 −+−= xxxf función radical con índice par }0352/{)( 2 ≥−+−ℜ∈=→ xxxfDom

0352 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥−+− xx

Ceros

=

==

−±−=

−−±−=⇔=−+−

2

3

1

4

15

4

242550352 2

x

xxxx

=2

3,1)( Por tanto, fDom

j) 43)( 2 +−= xxxf función radical con índice par }043/{)( 2 ≥+−ℜ∈=→ xxxfDom


6

043043 :inecuación laresolver que Tenemos 22 ≥++−⇒≥+− xxxx

Ceros

=−=

=−

±−=−

+±−=⇔=++−4

1

2

53

2

16930432

x

xxxx

]4,1[)( Por tanto, −=fDom

k) x

xf1

)( = función radical con índice par ),0(}0/{)( +∞=>ℜ∈=→ xxfDom


l) 3

1)(

xxf = función radical con índice impar }0{)( −ℜ=→ fDom

Nota: El denominador no puede ser 0 003 ≠⇔≠⇒ xx

m) 5 2 1)( −= xxf función radical con índice impar ℜ=−==→ )1()( 2xyDomfDom

n) 5 2 1

1)(

−=

xxf función radical con índice impar }1,1{)( −−ℜ=→ fDom

Nota: El denominador no puede ser 0 10101 25 2 ±≠⇔≠−⇔≠−⇒ xxx

o) 4 29

1)(

xxf

−= función radical con índice par }09/{)( 2 >−ℜ∈=→ xxfDom


� 0909 22 >+−⇒>− xx Ceros

3909 22 ±=⇔=⇔=+− xxx

� Por tanto, )3,3(}09/{)( 2 −=>−ℜ∈=→ xxfDom

p) x

xxf

1)(

−= función radical con índice par

≥−ℜ∈=→ 0

1/)(

x

xxfDom


7

01

:inecuación laresolver que Tenemos ≥−x

x

Ceros Polos

101 =⇔=− xx 0=x

),1[)0,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom

q) 31

)(x

xxf

−= función radical con índice impar }0{1

)( −ℜ=

−==→x

xyDomfDom

r) 2

3)(

−+=

x

xxf función radical con índice par

≥

−+ℜ∈=→ 0

2

3/)(

x

xxfDom

02

3 :inecuación laresolver que Tenemos ≥

−+

x

x

Ceros Polos 303 −=⇔=+ xx 202 =⇔=− xx

),2(]3,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom

s) 1

)(2

−=

x


≥−

ℜ∈=→ 01

/)(2

x

xxfDom

01

:inecuación laresolver que Tenemos2

≥−x

x

Ceros Polos 002 =⇔= xx 101 =⇔=− xx

),1(}0{)( Por tanto, +∞∪=fDom

t) 32 23

2)(

+−−=

xx

xxf función radical con índice impar }2,1{

23

2)(

2−ℜ=

+−−==→

xx

xyDomfDom

==

=±=−±=⇔=+−1

2

2

13

2

8930232

x

xxxx


8

u) 23

2)(

2 +−−=

xx


≥

+−−ℜ∈=→ 0

23

2/)(

2 xx

xxfDom

0)1)(2(

)2(0

23

2 :inecuación laresolver que Tenemos

2≥

−−−

⇒≥+−

−xx

x

xx

x

Ceros 202 =⇔=− xx

Polos

==

=−±=⇔=+−1

2

2

8930232

x

xxxx

),2()2,1()( Por tanto, +∞∪=fDom

v) 33 5

1)(

xxxf

−= función radical con índice impar =

−==→

xxyDomfDom

5

1)(

3

}5,0{}05/{ 3 ±−ℜ==−−ℜ= xxx

±=⇔=−

=⇔=−⋅⇔=−

505

0

0)5(052

23

xx

x

xxxx

w) 32

6

44

15)(

+−+−=

xx

xxxf función radical con índice impar =

+−+−==→

44

15)(

2

6

xx

xxyDomfDom

}2{}044/{ 2 −ℜ==+−−ℜ= xxx

==

=±=−±=⇔=+−2

2

2

04

2

161640442

x

xxxx

x) 42 65

)7()(

+++=xx

xxxf función radical con índice par

≥

+++ℜ∈=→ 0

65

)7(/)(

2 xx

xxxfDom

0)3)(2(

)7(0

65

)7( :inecuación laresolver que Tenemos

2≥

+++⇔≥

+++

xx

xx

xx

xx

Ceros Polos

7 ò 00)7( −==⇔=+ xxxx 2 ò 30652 −=−=⇔=++ xxxx

),0[)2,3(]7,()( Por tanto, +∞∪−−∪−−∞=fDom


9

y) 4

1)(

−+=

x

xxf

}0)(/)({)]()([)()()(

)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh

xgxf

(Valores de x en los que g

y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

� ),1[}01/{Dominio1 +∞−=≥+ℜ∈=→+= xxxy

� ℜ=→−= Dominio4xy

404 ≠⇔≠− xx

),4()4,1[)( Por tanto, +∞∪−=fDom

z) xx

xxf

2

4)(

2

2

−−=

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf



� ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞∪−−∞=≥−ℜ∈=→−= xxxy

04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥−x

Ceros

2404 22 ±=⇔=⇔=− xxx

� ℜ=→−= Dominio22 xxy

2y 00)2(022 ≠≠⇔≠−⇔≠− xxxxxx


10

),2(]2,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom

aa) 1

65)(

4

2

−+−=

x

xxxf

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf



� ℜ=→+−= Dominio652 xxy

� ),1()1,(}01/{Dominio1 44 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque el

denominador no puede ser 0)

01 :inecuación laresolver que Tenemos 4 >−x

Ceros

1 ò 11101 444 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

),1()1,()],1()1,([)( Por tanto, +∞∪−−∞=+∞∪−−∞∩ℜ=fDom

bb)27

4)(

3

2

+−=

x

xxf

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf



� ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞∪−−∞=≥−ℜ∈=→−= xxxy


Ceros

2404 22 ±=⇔=⇔=− xxx

� ℜ=→+= Dominio273xy

32727027 333 −≠⇔−≠⇔−≠⇔≠+ xxxx


11

),2[]2,3()3,()( Por tanto, +∞∪−−∪−−∞=fDom

cc) 3

2

6

4)(

−−=

x

xxf

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf



� ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞∪−−∞=≥−ℜ∈=→−= xxxy


Ceros

2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

� ℜ=→−= Dominio63 xy

606063 ≠⇔≠−⇔≠− xxx

),6()6,2[]2,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom

dd)3 9

72)(

x

xxf

−+=

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf




12



rdenominado al anula porque dominio elen está no 9 luego 9093 →≠⇔≠− xx

}9{)( Por tanto, −ℜ=fDom

ee) 6 9

72)(

x

xxf

−+=

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf




� )9,(}09/{Dominio96 −∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (mayor estricto porque el radical está en el

denominador y, por tanto, no puede anularse)

)9,()( Por tanto, −∞=fDom


a) )23ln()( +−= xxf { }

∞−=>+−ℜ∈=→3

2,023/)( xxfDom

3

223023 <⇔−>−⇔>+− xxx

b) xxf 3log)( −= { } )0,(03/)( −∞=>−ℜ∈=→ xxfDom

03

00303 <⇔

−<⇔>−⇔>− xxxx

c) )5ln()( 2xxf −= { } )5,5(05/)( 2 −=>−ℜ∈=→ xxfDom

0505 :inecuación laresolver que Tenemos 22 >+−⇒>− xx

Ceros

5505 22 ±=⇔=⇔=+− xxx

d) 3 1ln)( −= xxf ),1(}1/{}01/{}01/{Dominio 3 +∞=>ℜ∈=>−ℜ∈=>−ℜ∈=→ xxxxxx


13

e) )23ln()( 2 +−= xxxf ),2()1,(}023/{Dominio 2 +∞∪−∞=>+−ℜ∈=→ xxx

023 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >+− xx Ceros

1

2

2

13

2

8930232

==±=−±=⇔=+−

x

xxxx

),2()1,()( Por tanto +∞∪−∞=fDom f) )3log()( 2 −= xxf ),3()3,(}03/{Dominio 2 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→ xx


g)

−+++−=152

2log)(

2

2

xx

xxxf

>−+++−ℜ∈=→ 0152

2/)(

2

2

xx

xxxfDom

0)5)(3(

)2)(1(0

152


2

2

>+−−+−⇔>

−+++−

xx

xx

xx

xx

Ceros Polos

2 o 1022 =−=⇔=++− xxxx 5 o 301522 −==⇔=−+ xxxx

)3,2()1,5()( Por tanto, ∪−−=fDom

h) 1ln)( −= xxf ),[}1ln/{}01ln/{Dominio +∞=≥ℜ∈=≥−ℜ∈=→ exxxx

),[1ln 1ln +∞∈⇔≥⇔≥⇔≥ exexeex x


14

i) 3

ln)(

−=

x

xxf

� ),0(Dominioln +∞=→= xy

� ),3(}03/{Dominio3 +∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque al estar el

radical en el denominador no puede ser 0)

El dominio de la función es la intersección de los dos intervalos anteriores,

Por tanto, ),3()( +∞=fDom

j) )1ln(

)(−

=x

xxf

� ℜ=→= Dominioxy

� ),1(}1/{}01/{Dominio)1ln( +∞=>ℜ∈=>−ℜ∈=→−= xxxxxy

2110)1ln( ≠⇔≠−⇔≠− xxx

),2()2,1()( Por tanto, +∞∪=fDom


15

k) 29log)( xxf −= )3,3(}09/{}09/{Dominio 22 −=>−ℜ∈=>−ℜ∈=→ xxxx

09 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >− x

Ceros

3 ò 39909 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

l) 1

)3ln()(

2 −+=

x

xxf

� ),3(}03/{Dominio)3ln( +∞−=>+ℜ∈=→+= xxxy

� ),1()1,(}01/{Dominio1 22 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque

al estar el radical en el denominador no puede ser 0)


Ceros

1 ò 11101 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

El dominio de la función es la intersección de los dos intervalos anteriores,

),1()1,3()( por tanto, +∞∪−−=fDom

m) x

xxf

)7log()(

+=

� ),7(}7/{}07/{Dominio)7log( +∞−=−>ℜ∈=>+ℜ∈=→+= xxxxxy

� }0{Dominio −ℜ=→= xy (eliminamos el 0 porque el denominador no puede anularse)

),0()0,7(})0{(),7()( Por tanto, +∞∪−=−ℜ∩+∞−=fDom


16

n)

+=x

xxf

7log)(

>+ℜ∈=→ 0

7/Dominio

x

xx

Ceros Polos

707 −=⇒=+ xx 0=x

),0()7,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom

o) 3log

92)(

+−=x

xxf

� ℜ=→−= Dominio92xy

� ),3(}03/{Dominio3log +∞−=>+ℜ∈=→+= xxxy

2131303log −≠⇔≠+⇔≠+⇔≠+ xxxx

El dominio de la función es el conjunto de números reales que cumplen todas las condiciones anteriores,

),2()2,3(}2{)],3([)( por tanto, +∞−∪−−=−−+∞−∩ℜ=fDom

p) 25)( −= xxf ℜ=−==→ )2(Dominio xyDom

q) xxf −= 15)( =≥ℜ∈=≥−ℜ∈=−==→ }1/{}01/{)1(Dominio xxxxxyDom

]1,(}1/{ −∞=≤ℜ∈= xx

r) 22)( −= xxf ),0[)()2(Dominio +∞===−==→ xyDomxyDom

s) 22)( −= xxf ),2[}2/{}02/{)2(Dominio +∞=≥ℜ∈=≥−ℜ∈=−==→ xxxxxyDom

t) 132

2

1)(

+−

=xx

xf ℜ=+−==→ )13(Dominio 2 xxyDom

u) xxxf −−= 9)52()(

�

+∞∈→>⇒>⇒>− ,2

5

2

552052 xxxx


+∞=ℜ∩

+∞= ,2

5,

2

5)( Por tanto, fDom

v) 24)53()( xxxf −−=

�

+∞∈→>⇒>⇒>− ,3

5

3

553053 xxxx


17

� ]2,2[}04/{Dominio4 22 −=≥−ℜ∈=→−= xxxy

04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥− x

Ceros

2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

=−∩

+∞= 2,3

5]2,2[,

3

5)( Por tanto, fDom

w) 1

)(+

=x

x

e

exf

� ℜ=→= Dominioxey

� ℜ=→+= Dominio1xey ) devalor cualquier para 0(solución tieneno101 xeee xxx >⇒−=⇒=+

Por tanto, ℜ=)( fDom

x) 2

)(−

=x

x

e

exf

�� ),0[Dominio +∞=→= xey

�� ℜ=→−= Dominio2xey 2ln2lnlne202 =⇒=⇒=⇒=− xee xxx

Por tanto, ( ) ),2(ln)2ln,0[2ln),0[)( +∞∪=−ℜ∩+∞=fDom

y) 42

2)(

−=

x

x

xf

�� ℜ=→= Dominio2xy

�� ℜ=→−= Dominio42xy 242042 ≠⇔≠⇔≠− xxx

Por tanto, }2{)( −ℜ=fDom

z) 1)( −= xexf función radical con índice par ),0[}01/{Dominio +∞=≥−=→ xex


18

),0[0101 +∞∈⇔≥⇔≥⇔≥− xxee xx

aa) 3 1)( −= xexf función radical con índice impar ℜ=−==→ )1(Dominio xeyDom


a) 32)( −+= xxf ℜ=→ )( fDom

b) 31

)(x

xxf

−= función radical con índice impar }1,1{

1)( −−ℜ=

−==→

x

xyDomfDom

}1,1{}01/{1

−−ℜ==−−ℜ=

−= xx

x

xyDom

1101 ±=⇔=⇔=− xxx

c) 2

2)(

−=

xxf }2{

2

2)( −ℜ=

−==→

xyDomfDom

d) 2

2)(

−=

xxf }2,2{}02/{)( −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

2202 ±=⇔=⇔=− xxx

e) xx

xxf

−−=

2

1)( }1,0,1{}0/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxxfDom

==⇒≥=−

−==⇒<=+⇔=−

1 o 00 si 0

1 o 00 si 0

02

2

2

xxxxx

xxxxx

xx

f) 24

1)(

xx

xxf

−−= }4,0,4{}04/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxxfDom

==⇒≥=−

−==⇒<=−−=

≥=−

<=−−⇔=−

4 o 00 si 04

4 o 00 si 04

04 si 04

04 si 04

042

2

2

2

2

xxxxx

xxxxx

xxx

xxx

xx


19

g) 1ln)( −= xxf }1{}01/{Dominio −ℜ=>−ℜ∈=→ xx

h) 1ln

1)(

−=

xxf }2,0,1{}01ln/{}01/{Dominio −ℜ==−−>−ℜ∈=→ xxxx

}1{01 −ℜ∈⇔>− xx

0 ò 21101ln ==⇔=−⇔=− xxxx

i) 1ln

1)(

−=

xxf ),(),0(}{),0(}01ln/{)1ln(Dominio +∞∪=−+∞==−−−==→ eeexxxyDom

exxxx =⇔=⇔=−⇔=− 1ln01ln01ln

j) 1ln)( −= xxf ),0()1ln(Dominio +∞=−==→ xyDom

k) )7()( += xsenxf ℜ=+==→ )7(Dominio xyDom

l)

++=

9

72cos)(

2

3

x

xxf ℜ=

++==→

9

72Dominio

2

3

x

xyDom

realsolución tieneno 909 22 ⇒−=⇔=+ xx

m)

−=

2

2cos)(

2xxf }2{

2

2Dominio

2±−ℜ=

−==→

xyDom

2202 22 ±=⇔=⇔=− xxx

n) senx

xxf

52)(

−= } ;{}0/{)( Ζ∈−ℜ==−ℜ=→ kksenxxfDom π

o)

−=

xx

xxf

3cos)( }1,0,1{}0/{Dominio 3

3−−ℜ==−−ℜ=

−==→ xxx

xx

xyDom

1 ò 0 0)1(0 23 ±==⇒=−⇔=− xxxxxx

p) xx

xsenxf

−=

3)(

≥

−ℜ∈=

−==→ 0/Dominio

33 xx

xx

xx

xyDom

Ceros Polos

0=x 1 o 0 0)1(0 23 ±==⇒=−⇔=− xxxxxx

Por tanto, ),1()1,()( +∞∪−−∞=fDom


20


a)

≥−<<−

≤=

−

5 1

41 3

1 2

)(

xsi

xsix

xsi

xf

x

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

� )(]1,( Dominio2 fDomy x ∈−∞⇒ℜ=→= −

� )()4,1( Dominio3 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=

� )(),5[ Dominio 1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

),5[)4,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom

b)

≤<−≤<

<+=

73 2

30 2

0 2

)(

xsix

xsi

xsix

xf


� )()0,( Dominio2 fDomxy ∈−∞⇒ℜ=→+=

� )(]3,0( Dominio2 fDomy ∈⇒ℜ=→=

� )(]7,3( Dominio 2 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=

]7,0()0,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo ∪−∞=fDom

c)

≥−<<+−

−<

=3 2

30 32

3 2

)( 2

xsix

xsixx

xsi

xf


� )()3,( Dominio2 fDomy ∈−−∞⇒ℜ=→=

� )()3,0( Dominio322 fDomxxy ∈⇒ℜ=→+−=

� )(),3[ Dominio 2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=


21

),0()3,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo +∞∪−−∞=fDom

d)

≥+

<<−

≤+

=

6 1

51 2

1

1 13

)(

2

xsix

xsix

xsix

xf


� )(]1,( Dominio13

2

fDomx

y ∈−∞⇒ℜ=→+=

� )()5,2()2,1( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈∪⇒−ℜ=→

−=

� )(),6[ Dominio 1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→+=

),6[)5,2()2,()( Por tanto, +∞∪∪−∞=fDom

e)

>−

≤=

0 2

1

0 1)(

3xsi

xx

xsixf


� )(]0,( Dominio1 fDomy ∈−∞⇒ℜ=→=

� )(),2()2,0( }2,2,0{Dominio2

13

fDomxx

y ∈+∞∪⇒−−ℜ=→−

=

}2{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −ℜ=fDom


22

f)

≤<−

≤<−

−<−

=

71 2

1

14 2

4 32

)(

xsix

xsi

xsix

xf x


� )()4,( Dominio32 fDomxy ∈−−∞⇒ℜ=→−=

� )(]1,4( Dominio2 fDomy x ∈−⇒ℜ=→=

� )(]7,2()2,1( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈∪⇒−−ℜ=→

+=

]7,2()2,4()4,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo ∪−∪−−∞=fDom

g)

≤−

>−=

0 2

1

0 1)(

xsix

xsixxf


� )(),0( Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

� )(]0,( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈−∞⇒−ℜ=→

−=


h)

−≤−

−>−=

1 9

1

1 1)(

2xsi

x

xsixxf


� )(),1( Dominio1 fDomxy ∈+∞−⇒ℜ=→−=


23

� )(]1,3()3,( }3,3{Dominio9

12

fDomx

y ∈−−∪−−∞⇒−−ℜ=→−

=

}3{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −−ℜ=fDom

i)

≤−

>−=

0 2

1

0 1)(

xsix

xsixxf


� )(),0( ),0[Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒+∞=→−=

� )(]0,( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈−∞⇒−ℜ=→

−=


j)

≤<−<<

≤≤−+

=71 2

10 ln

03 2

1

)(

xsix

xsix

xsix

xf


� )(]0,2()2,3[ }2{Dominio2

1fDom

xy ∈−∪−−⇒−−ℜ=→

+=

� ),0(Dominio)ln( +∞=→= xy )()1,0( fDom∈⇒

� )()7,1( Dominio 2 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=

]7,1()1,2()2,3[)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo ∪−∪−−=fDom


24

k)

<−

<<−

≤−

=

xsix

xsix

xsixx

xf

6 2

61 )1ln(

1

1 2

1

)(

2


� )(]1,0()0,( }2,0{}02/{Dominio2

1 22

fDomxxxxx

y ∈∪−∞⇒−ℜ==−ℜ∈−ℜ=→−

=

2 ò 00)2(022 ==⇔=−⋅⇔=− xxxxxx

� ⇒+∞∪=−+∞==−−>−ℜ∈=→−

= ),2()2,1(}2{),1(}0)1ln(/{}01/{Dominio)1ln(

1xxxx

xy

)()6,2()2,1( fDom∈∪⇒

� )(),6( Dominio 2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

}6,2,0{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −ℜ=fDom


25

6. Dadas las siguientes funciones efectúa las operaciones que se indican, calculando en cada caso el dominio de la función resultante:

4

1)(

2 −=

xxf }2,2{)( −−ℜ=→ fDom

6)( 2 −= xxg ℜ=→ )( fDom

4

6)(

2 −=

x

xxh }2,2{)( −−ℜ=→ fDom

1)( += xxp ),1[}01/{)( +∞−=≥+ℜ∈=→ xxfDom

1

1)(

+−=

x

xxj }1{)( −−ℜ=→ fDom

1

2)(

2 −+=

x

xxk }1,1{)( −−ℜ=→ fDom

34)( 2 +−= xxxl ),3[]1,(}034/{)( 2 +∞∪−∞=≥+−ℜ∈=→ xxxfDom


Ceros

3 ò 10342 ==⇔=+− xxxx

4)( −= xxm ℜ=→ )( fDom

1

3)(

−−=

x

xxs }1{)( −ℜ=→ fDom

3

12)(

+−=

x

xxr }3{)( −−ℜ=→ fDom

a) =−

+−−+=−

−−+=−+−

=+=+4

24461

4

)6)(4(1)6(

4

1)()())((

2

224

2

222

2 x

xxx

x

xxx

xxgxfxgf

4

25102

24

−+−=

x

xx

• Por tanto, 4

2510))((

2

24

−+−=+

x

xxxgf

• }2,2{})2,2{()()()( −−ℜ=ℜ∩−−ℜ=∩=+ gDomfDomgfDom

b) =−

+++−=+=+

12

11

)()())((2x

x

x

xxkxjxkj =

−+++−=

+−++−=

+−++

+−

1212

)1)(1(2)1(

)1)(1(2

11

2

22

x

xxx

xx

xx

xx

x

x

x

13

2

2

−+−=

x

xx

• Por tanto, 1

3))(( 2

2

−+−=+

x

xxxkj


26

• }1,1{})1,1{(})1{()()()( −−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=+ kDomjDomkjDom

c) =++

−+−−−−+=++

−+−+−=+−−

+−=−=−

)3)(1(

)122(33

)3)(1(

)12)(1()3)(1(

3

12

1

1)()())((

22

xx

xxxxxx

xx

xxxx

x

x

x

xxrxjxrj

34

2

)3)(1(

22

22

++−+−=

++−+−=

xx

xx

xx

xx

• Por tanto, 342

))(( 2

2

++−+−=−

xx

xxxrj

• }1,3{})3{(})1{()()()( −−−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=− rDomjDomrjDom

d) =−

+−+−+−=−+

−+−−=−−−

+−=−=−

13312

)1)(1()3)(1()1(

13

11

)()())((2

222

x

xxxxx

xx

xxx

x

x

x

xxsxjxsj

1242

2

2

−−−=

x

xx

• Por tanto, 1

242))(( 2

2

−−−=−

x

xxxsj

• }1,1{})1{(})1{()()()( −−ℜ=−ℜ∩−−ℜ=∩=− sDomjDomsjDom

e) 22

6

)1)(2(

6

)1()2()2(

)2(6

1

2

4

6)()())((

232222 +−−=

−−=

−⋅−⋅++⋅=

−+⋅

−=⋅=⋅

xxx

x

xx

x

xxx

xx

x

x

x

xxkxhxkh

• Por tanto, 22

6))((

23 +−−=⋅

xxx

xxkh

• }2,1,1,2{)1,1{(})2,2{()()()( −−−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=⋅ kDomhDomkhDom

f) 1

31

311

)()())((+−=

−−⋅

+−=⋅=⋅

x

x

x

x

x

xxsxjxsj

• Por tanto, 1

3))((

+−=⋅

x

xxsj

• }1,1{})1{(})1{()()()( −−ℜ=−ℜ∩−−ℜ=∩=⋅ sDomjDomsjDom

g) 32

233

2)3)(1(

2)3)(1)(1(

)1)(2(1

3:

12

)()(

))((222 ++−

+=−+−

+=−+

+=−+−

−+=−−

−+==

xx

x

xxx

x

xx

x

xxx

xx

x

x

x

x

xs

xkxsk

• Por tanto, 32

2))(/(

2 ++−+=

xx

xxsk

• }3,1,1{}3{}]1{}1,1{[}0)(/{)]()([)/( −−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ==−∩= xsxsDomkDomskDom

}1,1{)( −−ℜ=kDom

}1{)( −ℜ=sDom

301

30)( =⇔=

−−⇔= x

x

xxs


27

h) 1

6

)(

)())((

2

−−==

x

x

xp

xgxpg

• Por tanto, 1

6))(/(

2

−−=

x

xxpg

• ),1(}1{)],1[[}0)(/{)]()([)/( +∞=−+∞∩ℜ==−∩= xpxpDomgDompgDom

ℜ=)(gDom

),1[)( +∞=pDom

1010)( =⇔=−⇔= xxxp

i) 1086)4(]4[)]([))(( 22 +−=−−=−== xxxxgxmgxmg o

ℜ=ℜ∈−ℜ∈=∈∈= }4/{)}()(/)({)( xxgDomxmmDomxmgDom o

j) 104)6(]6[)]([))(( 222 −=−−=−== xxxmxgmxgm o

ℜ=ℜ∈−ℜ∈=∈∈= })6/({)}()(/)({)( 2xxmDomxggDomxgmDom o

k) 128

1

4)4(

1]4[)]([))((

22 +−=

−−=−==

xxxxfxmfxmf o

}6,2{}}2,2{4/{)}()(/)({)( −ℜ=−−ℜ∈−ℜ∈=∈∈= xxfDomxmmDomxmfDom o

224 ≠⇔−≠− xx 624 ≠⇔≠− xx

l) 153

1441

411

11

)]([))((+−−=

+−−−=−

+−=

+−==

x

x

x

xx

x

x

x

xmxjmxjmo

}1{}11

/}1{{)}()(/)({)( −−ℜ=ℜ∈+−−−ℜ∈=∈∈=

x

xxmDomxjjDomxjmDom o

m) 3

23

3

3121

3

12

3

12)]([))((

++=

+++−=+

+−=

+−==

x

x

x

xx

x

x

x

xpxrpxrp o

+∞−∪−−∞=+∞−∈+−−−ℜ∈=∈∈= ,

32

)3,()},1[312

/}3{{)}()(/)({)(x

xxpDomxrrDomxrpDom o

0323

01312

1312 ≥

++⇔≥+

+−⇔−≥

+−

x

x

x

x

x

x

Ceros Polos

32

023 −=⇔=+ xx 303 −=⇔=+ xx


28

n) 1

2

1

111

1

1

1

1)]([))((

+=

+++−=+

+−=

+−==

x

x

x

xx

x

x

x

xpxjpxjp o

),0[)1,()},1[11

/}1{{)}()(/)({)( +∞∪−−∞=+∞−∈+−−−ℜ∈=∈∈=

x

xxpDomxjjDomxjpDom o

01

201

11

111 ≥

+⇔≥+

+−⇔−≥

+−

x

x

x

x

x

x

Ceros Polos

002 =⇒= xx 101 −=⇔=+ xx

o) 11

13]1[)]([))((

−++−=+==

x

xxsxpsxps o

),0()0,1[}}1{1/),1[{)}()(/)({)( +∞∪−=−ℜ∈++∞−∈=∈∈= xxsDomxppDomxpsDom o

01111 ≠⇔≠+⇔≠+ xxx

p) x

x

x

xx

xx

x

xxx

x

x

xx

x

x

xrxsrxsr

273

12

1126

1333

1126

31

3

11

32

13

)]([))((+−=

−

−+−−

=

−−+−

−−

−

=+

−−

−

−−

=

−−==o

}0,1{}}3{1

3/}1{{)}()(/)({)( −−ℜ=−−ℜ∈

−−−ℜ∈=∈∈=

x

xxrDomxssDomxsrDom o

002333)1(3331

3 ≠⇔≠⇔+−≠−⇔−⋅−≠−⇔−≠−−

xxxxxxx

x

q) 1−m

� Primero comprobaremos si 4)( −= xxm es inyectiva, es decir, ])()( si[ babmam =⇒=

bababmam =⇒−=−⇒= 44)()(

Por tanto, )(xm es inyectiva y existe )(1 xm−

� Ahora calculamos )(1 xm−

1) 44)( −=⇒−= xyxxm

2) 4−= yx

3) 4+= xy

4) 4)(1 +=− xxm


29

� COMPROBACIÓN

xxxmmxmm =−+== −− 4)4()]([))(( 11o

xxxmmxmm =+−== −− 4)4()]([))(( 11o

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y

tercer cuadrantes)

ℜ=)(mDom ℜ=)(Re mc

ℜ=− )( 1mDom ℜ=− )(Re 1mc

r) 1−j

� Primero comprobaremos si 1

1)(

+−=

x

xxj es inyectiva, es decir, ])()( si[ babjaj =⇒=

⇒−+−⋅=−−+⋅⇒−⋅+=+⋅−⇒+−=

+−

⇒= 11)1()1()1()1(11

11

)()( babababababab

b

a

abjaj

baba =⇒=⇒ 22

Por tanto, )(xj es inyectiva y existe )(1 xj−

� Ahora calculamos )(1 xj−

1) 1

1

1

1)(

+−=⇒

+−=

x

xy

x

xxj

2) 1

1

+−=

y

yx

3) x

xyxyxxyyxyxxyyyx

−+=⇒−⋅=+⇒−=+⇒−=+⇒−=+⋅

1

1)1(1111)1(

4) x

xxj

−+=−

1

1)(1


30

� COMPROBACIÓN

xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

xjxjjxjj ==

−−++

−+−+

=+

−+

−−+

=

−+== −−

22

111

1

11

11

1

11

1

11

)]([))(( 11o

xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

xjxjjxjj ==

++−+

+++−

=

+−−

++−

=

+−== −−−

22

111

111

11

1

111

11

)]([))(( 111o


tercer cuadrantes)

}1{)( −−ℜ=jDom }1{)(Re −ℜ=jc

}1{)( 1 −ℜ=−jDom }1{)(Re 1 −−ℜ=−jc

s) 1−r


)(+−=

x

xxr es inyectiva, es decir, ])()( si[ babrar =⇒=

⇒−+−=−−+⇒−⋅+=+⋅−⇒+−=

+−

⇒= 362362)12()3()3()12(312

312

)()( baabbaabbabab

b

a

abrar

baba =⇒=⇒ 77

Por tanto, )(xr es inyectiva y existe )(1 xr−


31

� Ahora calculamos )(1 xr−

1) 312

312

)(+−=⇒

+−=

x

xy

x

xxr

2) 3

12

+−=

y

yx

3) x

xyxyxxyyxyxxyyyx

−+=⇒−⋅=+⇒−=+⇒−=+⇒−=+⋅

213

)2(1321312312)3(

4) x

xxr

−+=−

213

)(1

� COMPROBACIÓN

xxxx

x

xxx

x

x

xx

x

x

xrxrrxrr ==+−+=

−−++

−−+

=+

−+

−

−+⋅

=

−+== −−

77

7226

23613

12

26

32

13

12

132

213

)]([))(( 11o

xxxx

x

xxx

x

x

xx

x

x

xrxrrxrr ==++−=

++−+

++−

=

+−−

+

+−⋅

=

+−== −−−

77

7336

11262

1336

312

2

1312

3

312

)]([))(( 111o


tercer cuadrantes)

}3{)( −−ℜ=rDom }2{)(Re −ℜ=rc

}2{)( 1 −ℜ=−rDom }3{)(Re 1 −−ℜ=−rc


32

t) 1−s


3)(

−−=

x

xxs es inyectiva, es decir, ])()( si[ babsas =⇒=

⇒+−−=+−−⇒−⋅−=−⋅−⇒−−=

−−

⇒= babaaabbbabab

b

a

absas 3333)3()1()1()3(

13

13

)()(

baba =⇒−=−⇒ 22

Por tanto, )(xs es inyectiva y existe )(1 xs−

� Ahora calculamos )(1 xr−

1) 1

3

1

3)(

−−=⇒

−−=

x

xy

x

xxs

2) 1

3

−−=

y

yx

3) 1

33)1(333)1(

++=⇒+=+⋅⇒+=+⇒−=−⇒−=−⋅

x

xyxxyxyxyyxxyyyx

4) 1

3)(1

++=−

x

xxs

� COMPROBACIÓN

xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

xsxssxss ==

+−−+

+−−+

=−

++

++−

=

++== −−

2

2

1

131

333

11

31

33

1

3)]([))(( 11

o

xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

xsxssxss ===

−−+−

−−+−

=+

−−

−−+

=

−−== −−−

2

2

1

131

333

11

31

33

1

3)]([))(( 111

o


tercer cuadrantes)


33

}1{)( −ℜ=sDom }1{)(Re −−ℜ=sc

}1{)( 1 −−ℜ=−sDom }1{)(Re 1 −ℜ=−sc

u) 1−p

� Primero comprobaremos que 1)( += xxp es inyectiva, es decir, ])()( si[ babpap =⇒=

babababpap =⇒+=+⇒+=+⇒= 1111)()(

Por tanto, )(xp es inyectiva y existe )(1 xp−

� Ahora calculamos )(1 xp−

1) 11)( +=⇒+= xyxxp

2) 11 2 +=⇒+= yxyx

3) 12 += xy

4) 1)( 21 −=− xxp con ),0[ +∞∈x

� COMPROBACIÓN

xxxppxpp =+−== −− 11)]([))(( 211o

xxxppxpp =−+== −− 1)1()]([))(( 211o


tercer cuadrantes)


34

),1[)( +∞−=pDom ),0[)(Re +∞=pc

),0[)( 1 +∞=−pDom ),1[)(Re 1 +∞−=−pc

v) 1−g

� Primero comprobaremos si 6)( 2 −= xxg es inyectiva, es decir, ])()( si[ babgag =⇒=

babababgag ±=⇒=⇒−=−⇒= 2222 66)()(

Por tanto, )(xg NO es inyectiva

En consecuencia no existe la función )(1 xg − (aunque existe la correspondencia inversa )(1 xg − no es una función).

� Lo que haremos será restringuir el dominio de )(xg a un conjunto en el que sí sea una función inyectiva

y, por tanto, sí exista la función )(1 xg − .

6)( 2 −= xxg 1) ∪⇒>= 01a 2) Vértice )6,0( − 3) Tabla de valores

x 3− 2− 1− 0 1 2 3 y 3 2− 5− 6− 5− 2− 3


35

Restringuimos 6)( 2 −= xxg al conjunto ),0[ +∞

� Ahora calculamos )(1 xg −

1) 66)( 22 −=⇒−= xyxxg

2) 66 22 +=⇒−= xyyx

3) 6+= xy

4) 6)(1 +=− xxg con ),6[ +∞−∈x

� COMPROBACIÓN

xxxggxgg =−+== −− 6)6()]([))(( 211o

xxxggxgg =+−== −− 66)]([))(( 211o

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y tercer

cuadrantes)

),0[)( +∞=gDom ),6[)(Re +∞−=gc

),6[)( 1 +∞−=−gDom ),0[)(Re 1 +∞=−gc


36

7. Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes, el signo y la simetría de las siguientes funciones:

a) 22)( 23 +−−= xxxxf

� Función polinómica ℜ=→ )( fDom

� Puntos de corte con el eje OX

=+−−=

0

22 23

y

xxxy (Utilizamos el método de igualación) 022 23 =+−−⇒ xxx

2 1 2 1 +−−

2 1 1 −−+

0 2 1 1 −−

=−=⇒=−−

=⇒=−⇔=−−⋅−⇔=+−−

2 o 102

101

0)2()1(0222

223

xxxx

xx

xxxxxx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− )0,1( y )0,2(

� Puntos de corte con el eje OY

=+−−=

0

22 23

x

xxxy(Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 220020 23 =+−⋅−=y ⇒ 2=y

Luego, el punto de corte con el eje OY es )2,0(

� Signo de la función

• ℜ=)( fDom

• 2 ò 1 10220)( 23 ==−=⇔=+−−⇔= xxxxxxxf

)2)(1)(1(22 23 −−+=+−− xxxxxx

Por tanto,

)2,1()1,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf

),2()1,1( si 0)( +∞∪−∈> xxf

SIGNO DE f(x) − + − +

1


37

� Simetría de la función

conocidas simetríashay No

)(

)(

222)()(2)()( 2323 ⇒

−≠++−−=+−−−−−=−

xf

xf

xxxxxxxf

b) 44)( 24 ++= xxxf

� Función polinómica ℜ=→ )( fDom


=++=

0

44 24

y

xxy (Utilizamos el método de igualación) 044 24 =++⇒ xx

044 variablede cambio el Hacemos

044 bicuadradaEcuación 22

24

=++⇒=•=++•

tttx

xx

realsolución existe no2 variablede cambio el Deshacemos

2

2

2

04

2

16164 grado 2º deecuación la Resolvemos

2 ⇒−=⇒•

−=−=

=±−=−±−=•

x

t

tt

Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.


=++=

0

44 24

x

xxy (Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 44040 24 =+⋅+=y ⇒ 4=y

Luego, el punto de corte con el eje OY es )4,0( .


38


• ℜ=)( fDom

• realsolución tieneno 0440)( 24 ⇔=++⇔= xxxf

Por tanto,

ℜ∈∀> xxf 0)(


⇒=+=+−+−=− )(444)(4)()( 2424 xfxxxxxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)

c) 23

)(2

2

+−=

xx

xxf

� Función racional }2,1{}023/{)( 2 −ℜ==+−−ℜ=→ xxxfDom


=+−

=

0232

2

yxx

xy

(Utilizamos el método de igualación) 00023

22

2

=⇒=⇒=+−

⇒ xxxx

x

Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,0(

SIGNO DE f(x) +


39

2 1 0


=+−

=

0232

2

xxx

xy

(Utilizamos el método de sustitución) 002030

02

2

=⇒=+⋅−

=⇒ yy



• }2,1{)( −ℜ=fDom

• 0023

0)(2

2

=⇔=+−

⇔= xxx

xxf

Por tanto,

),2()1,0()0,( si 0)( +∞∪∪−∞∈> xxf



)(

)(

232)(3)(

)()(

2

2

2

2

⇒

−≠

++=

+−−−−=−

xf

xf

xx

x

xx

xxf

SIGNO DE f(x) + + − +

)2,1( si 0)( ∈< xxf


40

1 -1

d) 1

1)(

2

4

−+=

x

xxf

� Función racional }1,1{}01/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom


=−+=

01

12

4

yx

xy

(Utilizamos el método de igualación) realsolución existe no0101

1 42

4

⇒=+⇒=−+

⇒ xx

x



=−+=

01

12

4

xx

xy


102

4

−=⇒−=−+=⇒ yy

Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0( −


• }1,1{)( −−ℜ=fDom

• realsolución hay no0 101

10)( 4

2

4

⇒=+⇔=−+⇔= x

x

xxf

Por tanto,

)1,1( si 0)( −∈< xxf ),1()1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf


⇒=−+=

−−−=− )(

1

1

1)(

)()(

2

4

2

4

xfx

x

x

xxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)

SIGNO DE f(x) + − +


41

1 0

e) x

xxf

−=

1)(

3

� Función racional }1(}01/{)( −ℜ==−−ℜ=→ xxfDom


=−

=

01

3

yx

xy

(Utilizamos el método de igualación) 0001

33

=⇒=⇒=−

⇒ xxx

x



=−

=

01

3

xx

xy


03

=⇒=−

=⇒ yx

y



• }1{)( −ℜ=fDom

• 00 01

0)( 33

=⇒=⇔=−

⇔= xxx

xxf

Por tanto,

),1()0,( si 0)( +∞∪−∞∈< xxf

)1,0( si 0)( ∈> xxf



)(

)(

1)(1)(

)(33

⇒

−≠

+−=

−−−=−

xf

xf

x

x

x

xxf

SIGNO DE f(x) − + −


42

f) 13)( +−= xxf

� Función radical ),3[}03/{)( +∞=≥−−ℜ=→ xxfDom


=+−=

0

13

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒−=−⇒=+−⇒ 13013 xx

negativo) númeroun ser puede no 3 de resultado (el realsolución tieneNo −⇒ x



=+−=

0

13

x

xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom


)( 0)()( 013),3[ 03 fDomxxffDomxxxx ∈∀>⇒∈∀>+−⇒+∞∈∀≥−



)(

)(

13)( ⇒

−≠+−−=−

xf

xf

xxf


43

3 -1

Observa que ),3[)( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni

respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.

Observa también que 13)( +−= xxf es la función xy = trasladada verticalmente 1 unidad hacia

arriba y 3 unidades a la derecha.

g) 12)( +−= xxf

� Función radical ),1[}01/{)( +∞−=≥+−ℜ=→ xxfDom


=+−=

0

12

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx

3412)1( 22 =⇒=+⇒=+⇒ xxx



=+−=

0

12

x

xy(Utilizamos el método de sustitución) 11102 =⇒=+−=⇒ yy



)0,1[)( −=fDom

0)( =xf ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx 3412)1( 22 =⇒=+⇒=+ xxx

Por tanto,

),3( si 0)( +∞∈< xxf )3,1[ si 0)( −∈> xxf

SIGNO DE f(x) + −


44



)(

)(

12)( ⇒

−≠+−−=−

xf

xf

xxf

Observa que ),1[)( +∞−=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni

respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.

Observa también que 12)( +−= xxf es la función xy −= trasladada verticalmente 2 unidades

hacia arriba y 1 unidades a la izquierda.

h) x

xxf

3 2 5)(

−=

� Dominio

⇒=)(

)()(

xh

xgxf

(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se

anula)

ℜ=−==→−= )5(Dominio5 23 2 xyDomxy

}0{−ℜ→= xy Eliminamos el 0 porque el denominador no puede anularse

}0{)( Por tanto, −ℜ=fDom


=

−=

0

53 2

yx

xy (Utilizamos el método de igualación) 05050

5 23 23 2

=−⇒=−⇒=−⇒ xx

x

x


45

5 0 5− 0

552 ±=⇒=⇒ xx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(


=

−=

0

53 2

xx

xy OY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom


• }0{)( −ℜ=fDom

• 50)( ±=⇔= xxf

Por tanto,

)5,0()5,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf ),5()0,5( si 0)( +∞∪−∈> xxf


⇒−=

−−=−

−−=− )(

55)()(

3 23 2

xfx

x

x

xxf La función es IMPAR (su gráfica es simétrica respecto

al origen de coordenadas)

SIGNO DE f(x) − + − +


46

0 ∞− 1 1− ∞+

i) 1

)(2

24

+−=

x

xxxf

� Dominio

Función radical con índice par

≥+

−ℜ∈=→ 01

/)( 2

24

x

xxxfDom

01

)1)(1(0


2

2

2

24

≥+

+−⇔≥+−

x

xxx

x

xx

Ceros

1 o 00)1(0 2224 −±==⇔=−⇔=− xxxxxx

Polos

realsolución tieneno 101 22 ⇒−=⇔=+ xx

),1[}0{]1,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom


=+

−=

012

24

yx

xxy

01

01 2

24

2

24

=+

−⇒=

+−

⇒x

xx

x

xx1 o 00)1(0 2224 −±==⇒=−⇒=−⇒ xxxxxx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,0( )0,1(− y )0,1(


=+

−=

012

24

xx

xxy

001000

2

22

=⇒=+

−=⇒ yy



• ),1[}0{]1,()( +∞∪∪−−∞=fDom

• 1 o 00)( −±==⇔= xxxf

)( 0)( Por tanto, fDomxxf ∈∀≥

SIGNO DE f(x) + +


47

∞− 1 -1


⇒=+

−=+−−−−=− )(

11)(

)()()(

2

24

2

24

xfx

xx

x

xxxf La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al

eje OY)

j) 1)( 12

−= −xexf

� ℜ=)( fDom


=−= −

0

112

y

ey x

(Utilizamos el método de igualación) 101 11 22

=⇒=− −− xx ee 1012 ±=⇒=−⇒ xx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,1( )0,1(−


=−= −

0

112

x

ey x


11

11 1102

−=⇒−=−=−= −−

ey

eeey

Luego, el punto de corte con el eje OY es

−11

,0e


ℜ=)( fDom

0)( =xf 1±=⇔ x

Por tanto,

)1,1( si 0)( −∈< xxf

),1()1,( si 0)( +∞∪−−∞∈> xxf

SIGNO DE f(x) + − +


48


⇒=−=−=− −−− )(11)( 11)( 22

xfeexf xx La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al eje OY)

k) xxxf −=3

5)(

� ℜ=−== )()( 3 xxyDomfDom


== −

0

53

y

y xx

053

=⇒ −xx xa x 0 puessolución tieneNo ∀>⇒



== −

0

53

x

y xx

1150 =⇒==⇒ yy



ℜ∈∀>⇒ℜ∈∀> xxfba b 0)( 0



)(

)(

55)(33 )()( ⇒

−≠==− +−−−−

xf

xf

xf xxxx


49

5 0 5− -2 2

l) )4log()( 2 −= xxf

� ),2()2,(}04/{)( 2 +∞∪−−∞=>−−ℜ= xxfDom


=−=

0

)4log( 2

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx

552 ±=⇒=⇒ xx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(


=−=

0

)4log( 2

x



• ),2()2,()( +∞∪−−∞=fDom

• 0)( =xf ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx 552 ±=⇒= xx

Por tanto,

)5,2()2,5( si 0)( ∪−−∈< xxf

),5()5,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf

SIGNO DE f(x) + − − +


50


OY) eje al respecto simétrica es gráfica(su PAR es )( )()4log()4)log(()( 22 xfxfxxxf ⇒=−=−−=−

m) 6log)( 2 −= xxf

� ),6(}06/{)( +∞=>−−ℜ= xxfDom


=−=

0

6log2

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 1606log2 xx 7=x



=−=

0

6log2

x



• ),6()( +∞=fDom

• 0)( =xf 7=⇒ x


51

7 6

•

Por tanto,

)7,6( si 0)( ∈< xxf

),7( si 0)( +∞∈> xxf


),6()( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni respecto al

origen de coordenas. Es decir, no puede ser par ni impar.

8. Obtener toda la información posible de las siguientes funciones:

1) }2,2{)( −−ℜ=fDom

2) ),1[)0,()(Re +∞∪−∞=fc

3) }2,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=

2−=x discontinuidad asintótica o de salto infinito

2=x discontinuidad asintótica o de salto infinito

SIGNO DE f(x) − +


52

4) Puntos de corte con el eje OX: No hay

Puntos de corte con el eje OY: )1,0(

5) Signo de )(xf

),2()2,( si 0)( +∞∪−−∞∈< xxf

)2,2( si 0)( −∈> xxf

6) Es Par (simétrica respecto al eje OY)

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: 2y 2 =−= xx

Asíntota horizontal: 0=y

9) )0,2()2,( si decrece )( −∪−−∞∈xxf

),2()2,0( si crece )( +∞∪∈xxf

10) Mínimos relativos: )1,0(

Máximos relativos: No hay

No tiene extremos absolutos

11) No está acotada.

1) ),2()2,5[)( +∞∪−=fDom

2) ℜ=)(Re fc

3) }2,0,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=

2−=x discontinuidad de salto finito

0=x discontinuidad eviatable



53

4) Puntos de corte con el eje OX: )0,4(−


5) Signo de )(xf

),2()4,,5[ si 0)( +∞∪−−∈< xxf

)2,4( si 0)( −∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntota vertical: 2=x

Asíntota horizontal por la derecha: 0=y

9) )0,2( si decrece )( −∈xxf

),2()2,0()2,5( si crece )( +∞∪∪−−∈xxf

10) Mínimos relativos: No hay




1) }0{)( −ℜ=fDom

2) ),2()2,()(Re +∞∪−−∞=fc


54

3) }0{dcontinuida de Dominio −ℜ=


4) Puntos de corte con el eje OX: No hay

Puntos de corte con el eje OY: No hay

5) Signo de )(xf

)0,( si 0)( −∞∈< xxf

),0( si 0)( +∞∈> xxf

6) Es impar (simétrica respecto al origen de coordenadas)

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: 0=x

Asíntota horizontal: No hay

Asíntota oblicua: xy =

9) )1,0()0,1( si decrece )( ∪−∈xxf

),1()1,( si crece )( +∞∪−−∞∈xxf

10) Mínimos relativos: )2,1(

Máximos relativos: )2,1( −−




55

1) }1{)( −ℜ=fDom

2) ℜ=)(Re fc

3) }1{dcontinuida de Dominio −ℜ=


4) Puntos de corte con el eje OX: )0,0(


5) Signo de )(xf

)0,( si 0)( −∞∈< xxf

),1()1,0( si 0)( +∞∪∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: 1=x

Asíntota horizontal: No tiene

Asíntota oblicua: 2+= xy

9) )3,1( si decrece )( ∈xxf

),3()1,0(),( si crece )( +∞∪∪−∞∈xxf


56

Mínimos relativos:

4

27,3




1) ℜ=)( fDom

2) ]2,0[)(Re =fc

3) ℜ=dcontinuida de Dominio

4) Puntos de corte con el eje OX: )0,1(


5) Signo de )(xf

xxf 0)( ∀≥

1 si 0)( == xxf

),1()1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: No tiene

Asíntota horizontal: 1=y

Asíntota oblicua: No tiene

9) )1,1( si decrece )( −∈xxf

),1()1,( si crece )( +∞∪−−∞∈xxf

Mínimo relativo y absoluto: )0,1(

Máximo relativo y absoluto: )2,1(−


57

10)

• Acotada superiormente

Conjunto de cotas superiores: ),2[ +∞

Supremo = 2 Máximo absoluto = 2 y lo alcanza en 0=x

• Acotada inferiormente

Conjunto de cotas superiores: ]0,(−∞

Ínfimo = 0 Máximo absoluto = 0 y lo alcanza en 1=x

9. Representa gráficamente las siguientes parábolas:

a) 32)( 2 ++= xxxf

1) ∪⇒>= cóncava01a

2) Eje de simetría: 12

2

2−=⇒

−=⇒−= xx

a

bx

3) Vértice )2,1( 23213)1(2)1()1(

12

−⇒

=+−=+−⋅+−=−=

−=V

fy

x

v

v

4) Puntos de corte con los ejes

Eje OX:

=++=

0

322

y

xxy


12420322 ⇒

−±−=⇒=++ xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX

Eje OY: 30

322

=⇒

=++=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )3,0(

5) Tabla de valores

x 4− 3− 2− 1− 0 1 2

y 11 6 3 2 3 6 11


58

b) 34)( 2 +−= xxxf



4

2=⇒=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(

22

−⇒

−=+−=+⋅−==

=V

fy

x

v

v


Eje OX:

=+−=

0

342

y

xxy

==

=−±=⇒=+−1

3

2

121640342

x

xxxx ⇒PC con eje OX: )0,3( y )0,1(

Eje OY: 30

342

=⇒

=+−=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2 3 4 5

y 8 3 0 1− 0 3 8


59

c) xxxf 5)( 2 −−=

1) ∩⇒<−= convexa01a

2) Eje de simetría 2

5

2

5

2−=⇒

−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice

−⇒

==+−=

−⋅−

−−=

−=

−=−=

4

25,

2

5

25,64

25

2

25

4

25

2

55

2

5

2

5

5,22

5

2 V

fy

x

v

v


Eje OX:

=−−=

0

52

y

xxy

−==

⇔=−−⋅⇔=−−5

00)5(052

x

xxxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,0( y )0,5(−

Eje OY: 00

52

=⇒

=−−=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 6− 5− 4− 3− 2

5− 2− 1− 0 1

y 6− 0 4 6 4

25 6 4 0 6−


60

d) 5)( 2 += xxf

� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba.

2xy =



0

2=⇒==⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4 1 0 1 4


61

e) 6)( 2 +−= xxf

� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.

2xy −=



0

2=⇒=

−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4− 1− 0 1− 4−


62

f) 2)1(3)( −= xxf

� )(xf es la función 23xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.

23xy =



0

2=⇒==⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 12 3 0 3 12


63

g) 96)( 2 −+−= xxxf



6

2=⇒

−−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,3( 091899)3(6)3()3(

32

Vfy

x

v

v⇒

=−+−=−⋅+−==

=


Eje OX:

=−+−=

0

962

y

xxy

3

3

2

06

2

363660962

=

==

−±−=

−−±−=⇒=−+−

x

x

xxx ⇒ El punto de corte con el eje OX es )0,3(

Eje OY: 90

962

−=⇒

=−+−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )9,0(−


64

5) Tabla de valores

x 0 1 2 3 4 5 6

y 9− 4 1 0 1− 4− 9−

h) 2)3()( 2 +−= xxf

� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba y horizontalmente 3

unidades a la derecha

2xy =



0

2=⇒==⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4 1 0 1 4


65

i) 2)1()( 2 −+−= xxf

� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.

2xy −=



0

2=⇒=

−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4− 1− 0 1− 4−


66

10. Representa gráficamente las siguientes funciones racionales:

a) x

xf3

)( =

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0

• 0=y asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0


67

b) x

xf3

)( −=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



−∞=−

+∞=−

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0


=−

=−

−

+∞→

+

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0 1 5,1 3 6 6− 3− 5,1− 1− 5,0−


68

c) 23

)( −=x

xf )(xf→ es la función x

y3= trasladada verticalmente 2 unidad abajo.

� x

y3=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0


=

=

+

+∞→

−

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x


69

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

d) 1

3)(

−=

xxf )(xf→ es la función

xy

3= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.

� x

y3=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0


=

=

+

+∞→

−

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x


70

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

e) 42

3)( +

−=


xy

3= trasladada horizontalmente 2 unidades a la derecha y 4

unidades hacia arriba

� x

y3=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0


=

=

+

+∞→

−

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x


71

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

f) 5

3)(

+=


xy

3= trasladada horizontalmente 5 unidades a la izquierda.

El estudio de la función x

y3= lo hemos hecho en el apartado a)


72

2 −x

2

1+x

1

g) ⇒++

−=⇒+−= 2

1

3)(

1

12)(

xxf

x

xxf )(xf es la función

xy

3 −=

izquierda la a unidad 1 T.H.

arriba unidades 2 T.V.

3

22

12

−−−−

x

x

La función x

y3

−= la hemos representado en el apartado b)

h) ⇒+−

=⇒−+= 1

2

6)(

2

4)(

xxf

x

xxf )(xf es la función

xy

6 =

derecha la a unidades 2 T.H.

arriba unidad 1 T.V.

6

2

4

+−+

x

x

� x

y6=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



73

• 0=x es asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

6lim

6lim

0

0 0=y es asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−

−∞→

06

lim

06

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 1− 2− 3− 6− 12− 12 6 3 2 1

11. Representa gráficamente las siguientes funciones radicales:

a) 21)(12)( −−=⇒−+−= xxfxxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1

unidad a la derecha y verticalmente 2 unidades hacia abajo

� xy =

• ),0[)( +∞=fDom

• Tabla de valores x 0 1 4 9

y 0 1 2 3


74

b) 42)( ++−= xxf )(xf→ es la función xy −= trasladada horizontalmente 2 unidades a la izquierda

y verticalmente 4 unidades hacia arriba

� xy −=

• ),0[)( +∞=fDom


y 0 1− 2− 3−


75

c) 71)( +−= xxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y

verticalmente 7 unidades hacia arriba

� xy =

• ),0[)( +∞=fDom


y 0 1 2 3

12. Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales:

a) x

xf

=3

1)(

• ℜ=)(xDomf

• ),0()((Re +∞== xfyc

• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +

+∞→= 0)(lim xf

x)

• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1


76

b) x

xf−

=3

1)( )(xf→ es la simétrica de

x

y

=3

1 respecto al eje OY

� x

y

=3

1

• ℜ=

= )31

(x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc


+∞→= 0)(lim xf

x)


x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1


77

c) 1

3

1)(

+

=x


y

=3

1 trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda.

� x

y

=3

1

• ℜ=

= )3

1(

x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc


+∞→= 0)(lim xf

x)


x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1


78

d) 23

1)( −

=x


y

=3

1 trasladada verticalmente 2 unidades hacia abajo.

� x

y

=3

1

• ℜ=

= )3

1(

x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc


+∞→= 0)(lim xf

x)


x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1


79

e) xxf 2)( −= )(xf→ es la simétrica de xy 2= respecto al eje OX

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc


• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +

−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8


80

f) 12)( −= xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc



−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8


81

g) 32)( 1 −= +xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda y

verticalmente 3 unidades abajo.

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc



−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8


82

h) 22)( 1 += −xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y

verticalmente 2 unidades arriba.

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc



−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8


83

13. Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas: a) )3(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 3 unidad a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1(

• No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

b) xxf 2log)( −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OX

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom





)(lim0

xfx


84

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

c) )(log)( 2 xxf −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OY

� xy 2log=

),0()log( 2 +∞== xyDom

ℜ== )log(Re 2 xyc

Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3


85

d) 1)2(log)( 2 −−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada verticalmente 1 unidades hacia abajo

y horizontalmente 2 unidades a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom





)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3


86

e) 1log)(3

1 −= xxf )(xf→ es la función xy3

1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo

� xy3

1log=

• ),0()log(3

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re3

1 xyc


No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→

)(lim0

xfx

x 9

1

3

1 1 3 9

y 2 1 0 1− 2−

f) )1(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom





)(lim0

xfx


87

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

g) 1)1(log)(3

1 −+= xxf )(xf→ es la función xy3

1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo y

horizontalmente 1 unidad a la izquierda

� xy3

1log=

• ),0()log(3

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re3

1 xyc




)(lim0

xfx

x 9

1

3

1 1 3 9

y 2 1 0 1− 2−


88

h) 2)3(log)(2

1 −+= xxf )(xf→ es la función xy2

1log= trasladada verticalmente 2 unidad hacia abajo y

3 unidades a la izquierda

� xy2

1log=

• ),0()log(2

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re2

1 xyc




)(lim0

xfx

• Tabla de valores

x 8 4 2 1 2

1

4

1

8

1

y 3− 2− 1− 0 1 2 3


89

i) 3)1(log)( 2 +−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

y verticalmente 3 unidades hacia arriba

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1( No corta el eje OY


)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3


90

14. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:

a) ]2,0()0,()(

20 1

02 1

2 13

)(2

∪−∞=⇒

≤≤+<<−−

−≤−= fDom

xsix

xsix

xsix

xf

• linealfunción 13 →−= xy

x •− 2 3− 4− y 7− 10− 11−


x Ο− 2 1− Ο0 y 3 2 1

• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy

cóncava01 →>=a (0,0)Vértice→

x •0 1 •2 y 0 1 4

b) ),3()0,()(

3 1

04 32

4 5

)( 2 +∞∪−∞=⇒

><≤−+−−

−<−

= fDom

xsi

xsixx

xsi

xf

• constantefunción 4 si 5 →−<−= xy

• (parábola) cuadráticafunción 322 →+−−= xxy

convexa01 →<−=a


91

)4,1(

43213)1(2)1(

12

2

2Vértice2

−⇒

=++−=+−⋅−−−=

−=−

=−=→ V

y

a

bx

x •− 4 3− 2− 1− Ο0 y 5− 0 3 4 3

• constantefunción 3 si 1 →>= xy

c) )(

4 1

42

20 1

0

)(2

ℜ=⇒

≥<≤−<≤−

<

= fDom

xsi

xsix

xsix

xsix

xf

• linealfunción →= xy

x Ο0 1− 2− y 0 1− 2−

• (parábola) cuadráticafunción 12 →−= xy

cóncava01 →>=a

)1,0( 1

02

0

2Vértice −⇒

−=

==−=→

ya

bx

• linealfunción →−= xy

x •2 3 Ο4 y 2− 3− 4−

• constantefunción 4 si 1 →≥= xy

x •0 1 Ο2 y 1− 0 3


92

d) ℜ=⇒

>

≤= )(

0 1

0 1)( fDom

xsix

xsixf

• constantefunción 0 si 1 →≤= xy

• hipérbola 1 →=x

y

}0{)( −ℜ=fDom

No corta a los ejes coordenados

0=x asíntota vertical

0=y asíntota horizontal

x 5,0 1 2 4

y 2 1 5,0 25,0


93

e) }2{)(

1 42

12

2 2

)( 2 −−ℜ=⇒

≥+−<<−

−<

= fDom

xsix

xsix

xsi

xf

• constantefunción 2 si 2 →−<= xy

• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy

cóncava01 →>=a

)0,0( 1

02

0

2Vértice ⇒

−=

==−=→

ya

bx

• linealfunción 42 →+−= xy

x •1 2 3

y 2 0 2−

f) }0{)( 0

1

0 1)( −ℜ=⇒

<

>−= fDom

xsix

xsixxf

• linealfunción 1→−= xy

x Ο0 1 2

y 1− 0 1

• hipérbola 1 →=x

y

}0{)( −ℜ=fDom

x Ο− 2 0 Ο1 y 4− 0 1


94


+∞==

−∞==

+→

−→

+

−

0

1)(lim

0

1)(lim

0

0

xf

xf

x

x 0=y asíntota horizontal

=∞+

=

=∞−

=

+

+∞→

−

−∞→

01

)(lim

01

)(lim

xf

xf

x

x

g) }2{)(

5 1

51 2

1

1 1

)(

2

−ℜ=⇒

≥+

<<−

≤+−

= fDom

xsix

xsix

xsix

xf

• (parábola) cuadráticafunción 12 →+−= xy

convexa01 →<−=a

)1,0( 1

02

0

2Vértice ⇒

=

=−

=−=→

ya

bx

x

5,0−

1− 2− 4−

y 2− 1−

5,0−

25,0−


95

x •1 0 1− 2−

y 0 1 0 3−

• hipérbola 2

1 →−

=x

y

}2{)( −ℜ=fDom


+∞==

−∞==

+→

−→

+

−

0

1)(lim

0

1)(lim

2

2

xf

xf

x

x


=∞+

=

=∞−

=

+

+∞→

−

−∞→

01

)(lim

01

)(lim

xf

xf

x

x

• linealfunción 1→+= xy

x •5 6 7

y 6 7 8

x Ο1 5,1 5,2 3 4 Ο5

y 1− 2− 2 1 5,0 3

1


96

h) }2{)( 0

2

1

0 1)( −−ℜ=⇒

<+

>−= fDom

xsix

xsixxf

• linealfunción 1→−= xy

x Ο0 1 2 y 1− 0 1

• hipérbola 2

1 →+

=x

y

}2{)( −−ℜ=fDom

2−=x asíntota vertical

+∞==

−∞==

+−→

−−→

+

−

01

)(lim

01

)(lim

2

2

xf

xf

x

x


=∞+

=

=∞−

=

+

+∞→

−

−∞→

01

)(lim

01

)(lim

xf

xf

x

x

x Ο0 1− 5,1− 5,2− 3− 4−

y 5,0 1 2 2− 1− 5,0


97

i) ),5(]4,()(

5 o 4 2

40 3

0 2

)( +∞∪−∞=

>=−<<−

≤=

−

fDom

xxsix

xsix

xsi

xf

x

• lexponenciafunción 2 →= − xy

x •0 1− 2− 3−

y 1 2 4 8


x Ο0 1 Ο4 y 3 2 1−


x 4 Ο5 6 7

y 2 3 4 5

j) 34)( 2 −+−= xxxf

1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy


2) Eje de simetría 222

4

2=⇒=

−−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(

22

Vfy

x

v

v⇒

=−+−=−⋅+−==

=


Eje OX:

=−+−=

0

342

y

xxy

==

⇔−

±−=−

−±−=⇔=−+−3

1

2

24

2

121640342

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son

)0,1( y )0,3(


98

Eje OY: 30

342

−=⇒

=−+−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )3,0( −

5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2 3 4 5

y 8− 3− 0 1 0 3− 8−

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


99

k)

≥−−

<−+=−−=

0 si 2

0 si 22)(

2

22

xxx

xxxxxxf

• 22 −+= xxy

1) ∪⇒>= cóncva01a

2) Eje de simetría 5,05,02

1

2−=⇒−=−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice

−−⇒

−=−=−

−+

−=

−=

−=

4

9,

2

1

25,24

92

2

1

2

1

2

1

2

1

2 V

fy

x

v

v


Eje OX:

=−+=

0

22

y

xxy

−==

⇔±−=+±−=⇔=−+2

1

2

31

2

811022

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1( y

)0,2(−

Eje OY: 20

22

−=⇒

=−+=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 3− 2− 1− 2

1− 0 1 2

y 4 0 2− 4

9− 2− 0 4

• 22 −−= xxy

1) ∪⇒>= cóncva01a

2) Eje de simetría 5,02

1

2==⇒

−= xa

bx

3) Vértice

−⇒

−=−=−

−

=

=

=

4

9,

2

1

25,24

92

2

1

2

1

2

1

2

1

2 V

fy

x

v

v


100


Eje OX:

=−−=

0

22

y

xxy

−==

⇔±=+±=⇔=−−1

2

2

31

2

811022

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− y

)0,2(

Eje OY: 20

22

−=⇒

=−−=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 2− 1− 0 2

1 1 2 3

y 4 0 2− 4

9− 2− 0 4

l) 45)( 2 −−= xxxf

1º) Representamos la parábola: 452 −−= xxy


2) Eje de simetría 5,22

5

2==⇒

−= xa

bx

3) Vértice

−⇒

−=−=−

⋅−

=

=

=

4

41,

2

5

25,104

414

2

55

2

5

2

5

5,22 V

fy

x

v

v


101


Eje OX:

=−−=

0

452

y

xxy

−≅−=

≅+=⇔±=

−+±=⇔=−−

7,02

415

7,52

415

2

415

2

162550452

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje

OX son

+0,

2

415 y

−0,

2

415

Eje OY: 40

452

−=⇒

=−−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )4,0( −

5) Tabla de valores

x 0 1 2 2

5 3 4 5

y 4− 8− 10− 4

41− 10− 8− 4−


102


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

m) xxf ln)( =

1º) Representamos la función logarítmica: xy ln=

• ),0()ln( +∞== xyDom

• Corta al eje OX en el punto )0,1(

• No corta al eje OY

• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0

−∞=+→

xfx


x +0 1 e 2e

y ∞− 0 1 2


103


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

n) 42)( −= xxf

1º) Representamos la función exponencial: 42 −= xy (que, a su vez, es la función xy 2= trasladada

verticalmente 4 unidades hacia abajo)

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc

• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(


−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8


104


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

o) )2ln()( −= xxf

1º) Representamos la función logarítmica: )2ln( −= xy (que, a su vez, es la función xy ln= trasladada

horizontalmente 2 unidades a la derecha)


105

� xy ln=

• ),0()ln( +∞== xyDom

• Corta al eje OX en el punto )0,1(

• No corta al eje OY

• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0

−∞=+→

xfx


x +0 1 e 2e

y ∞− 0 1 2


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


106

p) 1

2)(

−=

xxf

1º) Representamos la función 1

2

−=

xy , que a su vez, es la función

xy

2= trasladada horizontalmente 1

unidad a la derecha

� x

y2=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

2lim

2lim

0

0


=

=

+

+∞→

−

−∞→

02

lim

02

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0


107

1 −

1+x


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

q) 1

1)(

+−=

x

xxf


1

1

1

++−=

−−=

x

x

x

xy

⇒−+

=⇒++−= 1

1

2

1

1

xy

x

xy Es la función

xy

2 =

izquierda la a unidad 1 T.H.

abajo unidad 1 T.V.

2

1

1

+++−

x

x

� x

y2=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

2lim

2lim

0

0


108


=

=

+

+∞→

−

−∞→

02

lim

02

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


109

r) x

xf−

=3

2)(


2

3

2

−−=

−=

xxy , que es la función

xy

2−= trasladada horizontalmente 3

unidades a la derecha

� x

y2−=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



−∞=−

+∞=−

+

−

→

→

x

x

x

x

2lim

2lim

0

0


=−

=−

−

+∞→

+

−∞→

02

lim

02

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0 1 2 4− 4− 2− 1− 5,0−


110


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


111

15. Representa gráficamente las siguientes funciones:

Todas las funciones de este ejercicio se obtienen efectuando transformaciones a las funciones senxy = ,

xy cos= ò tgxy = .

� senxy =

• ℜ== )( senxyDom

• ]1,1[)(Re −== senxyc

• Periódica de periodo π2=T

x 0 2

π π

2

3π π2

y 0 1 0 1− 0

� xy cos=

• ℜ== )cos( xyDom

• ]1,1[)cos(Re −== xyc

• Periódica de periodo π2=T

x 0 2

π π

2

3π π2

y 1 0 1− 0 1


112

� tgxy =

•

Ζ∈+−ℜ== kktgxyDom ;

2)12()(π

• ℜ== )(Re tgxyc

• Periódica de periodo π=T

• 2

π−=x es asíntota vertical

−∞=

+∞=

+

−

−→

−→

tgx

tgx

x

x

2

2

lim

lim

π

π

2

π=x es asíntota vertical

−∞=

+∞=

+

−

→

→

tgx

tgx

x

x

2

2

lim

lim

π

π

x +

−2

π

4

π− 0 4

π

−

2

π

y ∞− 1− 0 1 ∞+

a) )()( π+= xsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda.

c) 4)()( −+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda y verticalmente

4 unidades hacia abajo.


113

g) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OX

b)

−−=2

)(π

xsenxf senxy −=→ trasladada horizontalmente 2

π a la derecha.

senxy −= es la simétrica de senxy = respecto al eje OX

h) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OY. Pero, recuerda que αα sensen −=− )( ,

por tanto, en este caso también es la simétrica de senxy = respecto al eje OX.


114

k) 1)( −= senxxf senxy =→ trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo.

t) 12

)( −

+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente

2

π unidades a la izquierda y 1 unidad hacia

abajo.

d)

+=2

cos)(π

xxf xy cos=→ trasladada horizontalmente 2

π unidades a la izquierda


115

e)

+−=2

cos)(π

xxf es la simétrica de la función del apartado d) respecto al eje OX

f) →+

+−=

+−= 32

cos2

cos3)(ππ

xxxf es la función del apartado e) trasladada verticalmente 3

unidades hacia arriba.

l) 2cos)( += xxf xy cos=→ trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba


116

u)

−−=2

cos)(π

xxf es la simétrica de la función

−=2

cosπ

xy respecto al eje OX.

−=2

cosπ

xy xy cos=→ trasladada horizontalmente 2

π unidades a derecha.

i) →

−=2

)(π

xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 2

π a la derecha


117

j) →

+=4

)(π

xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 4

π a la izquierda

m) →⋅= xsenxf 2)( Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica su

recorrido ]2,2[)(Re −=fc )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==

→⋅=]2,2[ Recorrido

2 2)(

πTxsenxf


118

o) →= )2( )( xsenxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una contracción horizontal (se

modifica su periodo ππ ==2

2T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==


2)(πT

xsenxf

r) →

⋅=2

3)(x

senxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica

su recorrido ]3,3[)(Re −=fc ) y una dilatación horizontal (se modifica su periodo ππ4

21

2 ==T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==


4 2)(

πTxsenxf


119

s) 1 2)( −⋅= xsenxf

� xseny 2⋅= se obtiene a partir de xseny = por una dilatación vertical (se modifica su recorrido

( ]2,2[)2(Re −== senxyc )

� 1 2)( −⋅= xsenxf se obtiene a partir de xseny 2⋅= por una traslación vertical de 1 unidad hacia abajo

( ]1,3[)(Re −=fc )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==

→−⋅=]1,3[ Recorrido

21 2)(

πTxsenxf

n) →⋅= xxf cos2

1)( se obtiene a partir de la función xy cos= por una contracción vertical (se modifica

su )2

1,

2

1)(Re

−=fc

−==

→=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅=

2

1,

2

1 Recorrido

2

cos2

1)(

πT

xxf


120

p) →⋅= )3( cos2)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos= por una dilatación vertical (se modifica

su recorrido ]2,2[)(Re −=fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo 3

2 π=T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅=

]2,2[ Recorrido3

2) 3cos(2)(

πT

xxf


121

q) →⋅−= )2( cos2

1)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos−= por una contracción vertical (se

modifica su recorrido

−=2

1,

2

1)(Re fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo

ππ ==2

2 T )

−==

→−=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅−=

2

1,

2

1 Recorrido

) 2cos(2

1)(

πT

xxf

A su vez, xy cos−= es la simétrica de xy cos= respecto al eje OX.

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