Upload
others
View
40
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
www.MathSchool.cjb.net
If
Դպրոցում
О_IС5ւ_IС
i §
աԱ3 5 #
5 1 15 ° В
■§= 3 3_ճ d - յ
° ч 3
3 с
p i! | IJ S . 5
eоооCM
■ՀքСО
©
-У ժ ՜
ԿՐԹԱԿԱՆ ՀԻՄՆԱՀԱՐՑԵՐՄ . Մ կ ր տ չ յ ա նՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԹԵԱՏԵՐԻ ՄԱՄԻՆ .................................... 3
ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐՍոնա Սարգսյան, Մարինե Մանուկյան, Վարսենիկ Հովսեփ յա նII-IV ԴԱԱԱՐԱՆՆԵՐՈՒՄ «ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ» ԱՌԱՐԿԱՅԻՑ ՍՈՎՈՐՈՂՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԱՐԴՅՈՒՆՔՆԵՐԻ ՄԻԱՎՈՐԱՅԻՆ (ԱՄՓՈՓԻՉ) ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ (Նախագիծ) ..................................... 9
ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆԱ. Մ . Մ իք ա յե լ յա նՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՕԼԻՄՊԻԱԴԱՅԻ ՏԱՐԱԾՔԱՅԻՆ ՓՈՒԼԻ ԽՆԴԻՐՆԵՐԸ (2009թ.) .......................................................... 28
ՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆՄ շո տ Մ ե լի ք -Փ ա ր ս ա դ ա ն յա ն«ՊՅՈՒԹԱԳՈՐԱՍԻ ԹԵՈՐԵՄՆԵՐԸ» ԿԱՄ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ՏԱԱՆՉՈՐԱ ԹԵՈՐԵՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱՐԺԵՈՒԹՅՈՒՆԸ............... 45
գ ի տ ա մ ե թ ո դ ա կ ա ն ա մ ս ա գ ի ր № 1,2009թ.
Լրատվական գործունեություն իրականացնող' « Կ ր թ ո ւ թ յ ա ն ա զ գ ա յ ի ն ի ն ս տ ի տ ո ւ տ » ՓԲԸ
Հասցեն' Երևան, Տիգրան Մեծի 67, վկայական' N 01 Ա 044424,տրված 16.02.1999թ.
Ամսագրի թողարկման պատասխանատու' գ լխ ա վ որ խ մբա գիր Հա մլետ Մ իքա յելյա ն
Հանձնված է տպագրության 05.03.2009թ: Տպաքանակը' 2010, ծավալը' 4 մամուլ: Թուղթ' օֆսեթ: Չափսը' 70x100 1/i6:
Գինը' 700 դրամ, միացյալ զույգ համարինը'1400 դրամ: Ուսումնական հաստատություններին հատկացվում է ա ն վ ճ ա ր
Խ մ բ ա գ ր ա կ ա ն խ ո ր հ ո ւ ր դ
Հւսմլետ Միքայելյանգլխավոր խմբագիր
Սարիբեկ Հակոբյանգլխավոր խմբագրի տեղակալ, պատասխանատու քարտուղար
Խ ո ր հ ր դ ի ա ն դ ա մ ն ե ր Աբրահամյան Արսւմ Այվազյան էդվարդ Առաքելյան Կորյուն Բաղդասարյան Գևորգ Զաքարյան Վանիկ Հարությունյան Հայկունի Ղուկասյան Նորայր Ղուշչյան Ալեքսանդր Միքայելյան Օնիկ Մովսիսյան Յուրա Նավասարդյան Հւսյկազ Աաֆարյան Գրիգոր Աեդրակյան Նաիրի Տոնոյան Գառնիկ
Ն կա րիչՎ. Հ. Միքայելյան
Հ ա մ ա կ ա ր գ չա յի ն ձ և ա վ ո ր ո ւմ ը Գոհար Խաչատրյանի
Տիգրան Մեծի 67, սենյակ 401 375005 Երևան 5 Tigran Metsi 67, Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia
Phone: (3742) 613437 Fax: (3743) 906957 E-mail: [email protected] Internet: http://www.MathSchool.cjb.net
«Մաթեմատիկան դպրոցում» ամսագրի խմբագրության 2008թ. հաշվետվությունը
2008թ. ընթացքում թողարկվել է ամսագրի 6 համար՜ յուրաքանչյուր համարը 2010-ական տպաքանակով:
Ամսագրի բոլոր օրինակները անվճար հատկացվել են ուսումնական հաստատություններին:
Այցելե՜ք մեր էջը Ինտերնեթումhttp://www.MathSchool.cjb.net հասցեով: էջը պարունակում է մանրամասն տեղեկություններ ամսագրի մասին և օգտակար կլինի մեր ընթերցողների, հեղինակների և պարզապես Հայաստանում դպրոցական մաթեմատիկայի և Ինտերնեթի զարգացման հարցերով հետաքրքրվողների համար: էջը ամենաժամանւսկակից տեխնիկական միջոցներով կառուցված է MWdesigns կազմակերպության (ԱՄՆ) կողմից, հեղինակներ' Վահագն Միքայելյան և Պիտեր Ուայգոլդ:
Կ Ր Թ Ա Կ 1 Ո յ
Հ Ի Մ Ն Ա Հ Ա Ր Ց Ե Ր
Մ. Մկրւոչյւսն
Գնահատման ևթեստավորմւսն կենտրոնի տնօրեն
Հանրակրթությւսն գնահատման նոր համակարգի ստեղծման կարևորագույն ուղղություններից մեկը միասնական քննական գործընթացների կազմակերպումն է: Այս տարի առաջին անգամ նոր ընթացակարգով իրականացվեցին նաև մաթեմատիկայի միասնական քննությունները: Այս նոր մոտեցման առանցքային պահը թեստերի կառուցվածքի ու բովանդակության խնդիրն է: Չնայած միջազգային հարուստ փորձի առկայությանը, խնդիրը մեզ համար նոր է և, ակըն- հայտորեն, ենթադրում է ուսումնասիրությունների, ինչպես նաև տեսական ու գործնական հետազոտությունների երկարատև աշխատանքների կազմակերպում: Այնուամենայնիվ, առաջին քայլերը արդեն արված են, նշմարելի են արդեն առաջին նվաճումները և, բնականաբար, ձևավորվել են մեր իրողությանը վերաբերող որոշակի բանավիճային հարցեր: Փորձենք անդրադառնալ դրանցից մի քանիսին' քննարկումների նոր ալիք հրահրելու ակնկալիքներով...
Մաթեմատիկայի պետական ավարտական և միասնական քննության հայեցակարգը հաստատված է ՀՀ ԿԳ նախարարության կողմից և նեկայացված է գնահատման և թեստավորման կենտրոնի թողարկած ուղեցույցներով (տես [1]; [2]). Ըստ այդմ, քննական թեստը բաղկացած է երկու' Ա և Բ մասերից (մակարդակներից), որոնք ընդգրկում են ընդհանուր առմամբ 19 առաջադրանքներ: Առաջադրանքները ըստ բնույթի երեք տեսակի են. առաջինը' բազմակի ընտրությամբ, երկրորդը' կարճ պատասխաններով և երրորդը' այսպես կոչված «ասույթների փնջով»1: Այս երրորդ տեսակը հայ մաթեմատիկոս ՀՀ ԳԱԱ թղթակից անդամ Գեղամ Գևորգյանի փոքրիկ, բայց կարևոր հայտնագործությունն է, որը իր
■\Այս անվանումը մեզ առաջարկեց Լեհաստանի Կրակովի նահանգի գնահատման և թեստավորման կենտրոնի նախկին տնօրեն, թեստաբան Հենրիխը, ինչի համար հարկ ենք համարում նրան հայտնելու մեր երախտագիտությունը:
բնույթով հանդիսանում է թեստաբանական նորույթ, և որը ռուս գիտնական ՌԴ մանկավարժական ԳԱ փոխնախագահ Վիկտոր Բոլոտովի թեթև ձեռքով կոչվեց «Հայկական տարբերակ»: Այս տեսակի առաջադրանքի էությունը հետևյալն է. տրվում է մաթեմատիկական օբյեկ, կամ իրադրություն և դրան վերաբերող ասույթների (մաթեմատիկական պնդումների) փոխկապակցված համախումբ: Թես- տային փորձություն անցնող սուբյեկտը ներկայացնում է իր գիտելիքը համախմբի յուրաքանչյուր ասույթի (պնդումի) վերաբերյալ' ճշմարիտ է ասույթը (ճիշտ է պնդումը), կեղծ է ասույթը (սխալ է պնդումը), չի կարողանում կողմնորոշվել (չգիտի): Ըստ այդմ բացահայտվում է տվյալ մաթեմատիկական օբյեկտի, կամ իրադրության վերաբերյալ սուբյեկտի գիտելիքների ու պատկերացումների որակը: Ընդ որում, այդ որակը կարող է, ըստ անհրաժեշտության, փաստագրվել բալային ձևով: Այդ դեպքում առաջադրանքի /-րդ ասույթի վերաբերյալ ճիշտ կողմ-
նորոշվելիս սուբյեկտին տրվում է որոշակի ոէ բալ, սխալ կողմնորոշվելիս' т г բալ,
տարակուսանքի դեպքում kt բալ: Արդյունքում որոշակի/ բանաձևով փորձություն
անցնող սուբյեկտին տվյալ առաջադրանքի համար տրվում է N բալ: Կոնկրետ տարբերակները կարող են լինել բազմաթիվ ու բազմազան:
Գ. Գևորգյանի ղեկավարած աշխատանքային խումբը առաջարկել է հետևյալ պարզ տարբերակը (տես [1], էջ 6): Առաջադրանքը իրենից ներկայացնում է 6 ասույթների համախումբ; ճիշտ կողմնորոշման դեպքում տրվում է (+1) բալ, սխալի դեպքում (-1) բալ, «չգիտեմ» պատասխանի դեպքում 0 բալ: Եթե ընդհանուր գումարը բացասական է, ապա առաջադրանքի ընդհանուր գնահատականը 0 բալ է, մնացած դեպքերում առաջադրանքին տրվում է ընդհանուր գումարին հավասար բալ: Այսինքն գնահատվողը մեկ այդպիսի առաջադրանքի համար կարող է ստանալ ամենաքիչը 0 և ամենաշատը 6 բալ:
Օրինակի համար, նշենք մեկ այլ հնարավոր տարբերակ, ճիշտ պատասխանի դեպքում տրվում է 2 բալ, «չգիտեմ» պատասխանի դեպքում 1 բալ, սխալ պատասխանի դեպքում 0 բալ: Այս դեպքում առավելագույնը 12 բալ է, նվազագույնը' 0 բալ2:
Աուր բանավեճերի առիթ է տալիս «ասույթների փունջ» տեսակի առաջադրանքներում սխալ պատասխանի դեպքում (-1) բալ տալը (փաստորեն բալ հանելը): Աա առաջին հայացքից ընկալվում ու մեկնաբանվում է որպես պատ- ժատեսակ:
Սակայն ուշադրություն դարձնենք մի շարք հանգամանքների վրա: Նախ
(-1) տալը զուտ հոգեբանորեն է ընկալվում որպես բալ հանել և դիտվում է որպես պատիժ: Օրինակ նախորդ կետում բերված օրինակում այդ հոգեբանական պա
շԻնչպես իրավացիորեն նշում է IEA ֊ի հետազոտությունների հայաստանյան համակարգող Ա. Բաղդասարյանը, այս տեսակի առաջադրանքների գնահատման տարբերակի հարցը չպետք է լինի կամայական, անհրաժեշտություն կա կազմակերպելու հատուկ փորձարկումներ և քննարկումներ:
հը բացակայում է: Սակայն ըստ էության երկու դեպքն էլ ներկայացնում են նույն սկզբունքի իրականացումը:
«Ասույթների փնջով» առաջադրանքները նախատեսված են բացահայ- տելու ստուգվողի տեսական գիտելիքների որակը, ընդ որում ոչ թե առանձին կցկտուր գիտելիքների, այլ մաթեմատիկական օբյեկտի վերաբերյալ ամբողջական պատկերացումների որակը: Սրանով է պայմանավորված այն, որ առաջադրանքի ասույթները փոխկապակցված են, փոխլրացնող և միասին պետք է ներկայացնեն ներդաշնակ ամբողջություն: Այս տեսանկյունից շատ հետաքրքիր հարց ձևակերպեց Լիտվացի հայտնի թեստաբան Ալգիրդաս Զաբուլդոնիսը: Այս նոր տեսակը բացահայտում է մաթեմատիկական գիտելիքների որա՞կը, թե՞ անձի խառնվածքը:
Բազմաբնույթ քննարկումները (սեմինարներ, անհատական զրույցներ, գրավոր դիտողություններ, պաշտոնական գրություններ ու կարծիքներ և այլն) դրսևորեցին մի հետաքրքիր երևույթ, շատերը չեն ընկալում, կամ լավագույն դեպքում հաշվի չեն նստում այն հանգամնքի հետ, որ ամբողջական թեստը ընդգրկում է բոլոր երեք տեսակի առաջադրանքները: Նկատենք, որ յուրաքանչյուր բնույթի առաջադրանք ունի որոշակի մաթեմատիկական ու ընդհանուր զարգացման որակի բացահայտման նպատակ: Հենց դրանով է պայմանավորված այն, որ յուրաքանչյուր առաջադրանքի ամբողջական գնահատականը ոչ բացասական է: Մասնավորաբար վերոնշյալ ուղեցույցով սահմանվող թեստերում «ասույթների փնջով» տեսակը ներկայացված է երեք առաջադրանքներով (2007 թ. ուղեցույցում 17, 18 և 19 առաջադրանքները, 2008 թ. ուղեցույցում' XII, XVIII և XIX առաջադրանքները): Ընդ որում ամբողջ թեստի առավելագույն 80 բալերի քանակից, այդ երեքի բաժինը միասին վերցրած 18 է: Հիշեցնենք, որ, օրինակ ըստ2008 թ. ուղեցույցի թեստի Ա մասի 9 առաջադրանքները (ընդհանուր առավելագույն բալերի քանակը 36) կազմված են բազմակի ընտրությամբ ենթահարցերից, սրանք նախատեսված են մի բնույթի որակ (կոմպետենցիաներ) ստուգելու: Հաջորդ երեք առաջադրանքները (ընդհանուր առավելագույն բալերի քանակը 12) բաղկացած են կարճ պատասխաներով ենթահարցերից և նախատեսված են բոլորովին այլ բնույթի որակ (կոմպետենցիաներ) ստուգելու, իսկ Ա մասի վերջին առաջադրանքը «ասույթների փնջով» տեսակն է: Այսինքն, եթե որևէ մեկը վերջին' XII առաջադրանքի բոլոր հարցերին սխալ պատասխանած լինի, միևնույն է նախորդ առաջադրանքներից նրա հավաքած միավորների քանակը չի պակասեցվում:
Բանավեճերի առիթ է տալիս նաև այն կարծիքը, թե իբր այն, ինչ բացահայտում է «ասույթների փնջով» առաջադրանքի տեսակը, հնարավոր է ստուգել «բազմակի ընտրությամբ» և «կարճ պատասխաններով» առաջադրանքների տեսակների շնորհիվ: Աա, իհարկե, ինքնաակնհայտ չէ և հարցադրումը պահանջում է կատարել լուրջ ուսումնասիրություններ ու վերլուծություններ: Սակայն առայժմ բավարարվենք միայն նշելով, որ «բազմակի ընտրությամբ» առաջադրանքներում պատահական ընտրությունը ստուգվողին հնարավորություն է տալիս մեկ
քառորդ հավանականությամբ գուշակել ճիշտ պատասխանը և ստանալ դրական բալ, իսկ սխալվելու դեպքում ոչինչ չկորցնել: «Ասույթների փնջով» առաջադրանքներում պատահական ընտրությամբ դրական բալ ստանալու հավանականությունը զգալիորեն փոքր է:
Ինչպես արդեն նշեցինք, «ասույթների փնջով» առաջադրանքները նախատեսված են բացահայտելու ստուգվողի տեսական գիտելիքների որակը, ընդ որում ոչ թե առանձին կցկտուր գիտելիքների, այլ մաթեմատիկական օբյեկտի վերաբերյալ ամբողջական պատկերացումների որակը: Որոշակի հնարավորություններ կան այդ խնդիրը իրագործել օգտագործելով այլ բնույթի
առաջադրանքներ:
Դիտարկենք 2007 թ. ուղեցույցի 18 ֊րդ առաջադրանքը.
18. Տրված է /(х) = х + — ֆունկցիան:X
Առաջին պնդումը ըստ ուղեցույցի հետևյալն է'
18.1. / ֊ը կենտ ֆունկցիա է:
«Բազմակի ընտրությամբ» առաջադրանքի դեպքում այս հարցինհամարժեքը կլինի.
18.1. Տրված / ֆունկցիան'
1) կենտ է; 2) զույգ է;3) ոչ կենտ է, ոչ զույգ; 4) հաստատուն է;
Իսկ «կարճ տարբերակով» առաջադրանքի դեպքում'
18.1 QinObL_/(x)//(-x) + 1 արտահայտության արժեքը:
Երկրորդ պնդումը ըստ ուղեցույցի հետևյալն է'
18.2. Ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է O X առանցքը:
«Բազմակի ընտրությամբ» առաջադրանքի դեպքում այս հարցինհամարժեքը կլինի.18.2. Ֆունկցիայի գրաֆիկը'
1) հատում է O X առանցքը; 2) չի հատում O X
առանցքը;
3) զուգահեռ է O X առանցքին; 4) ուղղահայաց է O X
առանցքին;
Իսկ «կարճ տարբերակով» առաջադրանքի դեպքում'
18.2 Գտնել տրված ֆունկցիայի գրաֆիկի և O X առանցքի հատման կետերի
քանակը:
Անդրադառնանք երրորդ պնդմանը, որը ըստ ուղեցույցի հետևյալն է'
18.3. Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը (-°°;-4]y[4;+°°)-0 է:
«Բազմակի ընտրությամբ» առաջադրանքի դեպքում այս հարցին համարժեքը կլինի.18.3. Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը '
Իսկ «կարճ տարբերակով» առաջադրանքի դեպքում'18.3 Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթին չպատկանոդքանի ամբողջ թիվ կա:
Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ:Ըստ 2007 թ. ուղեցույցի 17-րդ առաջադրանքի օբյեկտը այսպիսին է'
Տրված է A B C D A ^ C ^ ուղղանկյունանիստը A D = 8, C D = 6,
CCj =10 կողերով: ճ ճ յ , Cj-Sj- C Q կողերի վրա նշված են
համապատասխանաբար N , M , К կետերն այնպես, որ A N = 4 , B XM = 2 ,
С ХК = 3:
Իսկ համապատասխան պնդումներից մեկը հետևյալն է'
17.4. A B XN D -Կ ուղղանկյուն եռանկյուն է:
«Բազմակի ընտրությամբ» առաջադրանքի դեպքում այս հարցին համարժեքը կլինի.
17.4. Д Д М Э -ն'
1) հավասարասրուն եռանկյուն է; 2) հավասարակողմեռանկյուն է;
3) ուղղանկյուն եռանկյուն է; 4) ուղղանկյուն եռանկյուն չէ;Իսկ «կարճ տարբերակով» առաջադրանքի դեպքում'
17.4 Գտնել ( Д / ) ) 2 - ( Д # ) 2 - ( N D )2 արտահայտության արժեքը:
Հանրակրթությւսն գնահատման համակարգի հիմնական նպատակն է պարզել աշակերտների, մասնավորաբար հանրակրթական ծրագրեր իրականացնող հաստատությունների շրջանավարտների հանրակրթական մակարդակը, ինչը արտահայտվում է պետական չափորոշիչներով սահմանված համապատասխան կրթական որակների առկայությամբ: Վաղուց արդեն պետականորեն հաստատված կրթակարգով առանձնացված են հանրակրթության բովանդակության բաղադրիչները, որոնք ներառում են ոչ միայն ուսումնական առարկայական գիտելիքները, այլ նաև այնպիսի որակական հատկանիշներ, ինչպիսիք
1) [֊4 ,4 ];
3) ( ՜ °°>0) Ս (О, °օ);
2) (—°<=;—4]y [4;+°<=);
4) (~ 4 ) ս (4, °օ);
են մտծողության մեթոդները, մտահաղորդակցության ընդհանուր կարողությունները, արժեքային համակարգը (տես [3], էջ 25): Այս հանգամանքը առաջացնում է անհրաժեշտություն մշակելու գնահատման գործընթացների կազմակերպման այնպիսի ձևեր, մեթոդներ ու միջոցներ, որոնք հնարավորություն կտան բացա- հայտելու ու գնահատելու ոչ միայն առարկայական գիտելիքներն ու կարողությունները, այլ նաև այլ որակական հատկանիշներ: Մասնավորաբար դժվարություններ են առաջանում մաթեմատիկական մտածելակերպի, տեսական գիտելիքների ու ընդհանուր մաթեմատիկական կուլտուրայի որակավորման ու գնահատման խնդիրներում: Հարցը հատկապես դժվարանում է այն պատճառով, որ, ի տարբերություն շատ այլ երկրների, Հայաստանում ընտրված է միայն համակարգչային ստուգման տարբերակը3:
Փաստորեն, «ասույթների փնջով» առաջադանքները որոշակի իմաստով հավակնում են հաղթահարելու վերոնշյալ դժվարությունները, և այդ տեսակետից կարևորվում են հատուկ ուսումնասիրությունների ևքննարկումների ծավալումը:
1. Գևորգյան Գ,. Խաչատրյան Գ., Առաքելյան Ա., Ռավոևա Ն. Մաթեմատիկայի ավարտական և միասնական քննության ուղեցույց // Եր., «Մուսալեռ տպագրատուն» ԱՊԸ, 2007 թ. - 44 էջ:
2. Գևորգյան Գ,. Խաչատրյան Գ., Առաքելյան Ա., Ռավոևա Ն. Մաթեմատիկա, պետական ավարտական և միասնական քննության ուղեցույց // Եր., «Լի- մուշ» հրատարակչություն, 2008 թ. - 48 էջ:
3. Հանրակրթությւսն պետական կրթակարգ // Եր., «Անտարես», 2004 թ. - 72 էջ:
4. Ковалева, Г. Единый госэкзамен: май-июнь 2005 г. [Текст] / Г. Ковалева //
Народное образование. - 2006. - № 1. - С. 57-67.
3 Օրինակ, ՌԴ մաթեմատիկայի միասնական քննական թեստի վերջին երեք ա ռա ջա
դրանքների լուծման ընթացքն ու պատասխանների ճշտությունը ստուգում ու գնահատում է մասնագիտական հանձնախումբը (ՌԴ-ում միասնական քննությունների վերաբերյալ տես, օրինակ, [4 ] )
ԿՐԹԱԿէՈյ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ
l i -IV ԴԱՍԱՐԱՆՆԵՐՈՒՄ «ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ» ԱՌԱՐԿԱՅԻՑ Ս Ո Վ Ո Ր Ո Ղ Ն Ե Ր Ի ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ
ԱՐԴՅՈՒՆՔՆԵՐԻ ՍԻԱՎՈՐԱՅԻՆ (ԱՄՓՈՓԻՉ) ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ (Նախագիծ)*
Սոնա Սարգսյան, Մարինե Մանուկյան, Վարսիկ ՀովսեփյանԿրթության ազգային ինստիտուտ
Ուսումնառության ընթացքում իրականացվող գնահատումը գործընթաց է, որով բացահսսյտվում և վերլուծությունների միջոցով վերահսկվում են ուսուցման արդյունքների որակը և դրանց համապատասխանությունը պետական կրթական չափորոշչի պահանջներին:
Հանրակրթական դպրոցների համար մշակվել է «Սովորողների ընթացիկ գնահատման մեթոդաբանություն»: Գնահատման նոր համակարգի ներդրման անհրաժեշտությունը պայմանավորված է կրթության որակն արմատապես բարելավելու, յուրաքանչյուր սովորողի ուսումնական գործընթւսցը խթանելու և շարունակական զարգացում ապահովելու պահանջով:
«Սովորողների ընթացիկ գնահատման մեթոդաբանության» համաձայն' ընթացիկ գնահատումը բաղկացած է երկու իրար փոխլրացնող ձևերից'
Չուսուցանող (որակական) գնահատում,2.միավորային (ամփոփիչ) գնահատում:Միավորային (ամփոփիչ) գնահատման արդյունքները արտահայտվում են
միավորներով, ուսուցանող (որակական) գնահատման ժամանակ սովորողների առաջադիմության մասին տրվում են բառային նկարագրություններ և արժևո- րումներ:
2009 - 2010 ուս. տարում հանրակրթական դպրոցներում կներդրվի սովորողների ընթացիկ գնահատման երկու բաղադրիչներից միայն մեկը' միավորային (ամփոփիչ) գնահատումը, իսկ 2010 - 2011 ուս. տարում' ուսուցանող (որակական) գնահատումը:
* Հոդվածում ընդգրկված նյութը ներկայացվում է որպես նախագիծ, և ակնկալվում է ուսուցիչների և այլ մասնագետների դիտողություններն ու առաջարկությունները:
Տարրական դպրոցի II - IV դասարաններում մաթեմատիկայից ուսումնառության արդյունքները միավորային (ամփոփիչ) գնահատմամբ պարզելու համար առաջարկվում է ստուգումներ հետևյալ տեսակներից.
1 .բանավոր հարցում,2 .թեմատիկ գրավոր աշխատանք,3.գործնական աշխատանք,4 .կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանք:Ստուգման յուրաքանչյուր տեսակն իր ընդհանուր ծավալով պետք է ընդ-
գրկի «Մաթեմատիկա» առարկայի կիսամյակային ամբողջ ծրագրային ուսումնական նյութը:
Նշված այդ չորս տեսակների կիրառման նպատակները և հաճախականությունը տարբեր են:
Գնահատումը կատարվում է 10 միավորային սանդղակով:Ներկայացնենք այդ տեսակներից յուրաքանչյուրը:
1. Բանավոր հարցում
Բանավոր հարցումը գնահատման մի տեսակ է, որի ժամանակ աշակերտն իր յուրացրած գիտելիքները, կարողություններն ու հմտությունները ներկայացնում է բանավոր:
Համակարգված հարցերով կազմակերպված հարցումը ստուգում է աշակերտի ոչ այնքան տեղեկույթի մտապահման և վերարտադրման ընդունակությունները, որքան տվյալ նյութի գիտակցված ընկալումը:
Ուսումնական գործընթացում կիրառվում է բանավոր հարցման երկու ձև'
համառոտ և ծավալուն : Տարրական դպրոցի մաթեմատիկայի դասապրոցեսում ավելի հաճախ կիրառվում է համառոտ բանավոր հարցումը' 1-2 րոպե տևողությամբ, կիրառվում է նաև ծավալուն բանավոր հարցումը' 2-3 րոպե տևողությամբ:
Բանավոր հարցման միջոցով պարզաբանվում են սովորողների ձեռքբերումները'
• մաթեմատիկական գիտելիքների յուրացումը,
• մաթեմատիկական խոսքը,
• լեզվամտածողությունը,
• վերարտադրման կարողությունները,
• տրամաբանական կարողությունները,
• կռահունակությունը,
• ստեղծագործական կարողությունները:Տարրական դպրոցում մաթեմատիկայից մի կիսամյակի ընթացքում միավո
րային կարճ բանավոր հարցում առաջարկվում է նվազագույնը կատարել 4 -5 անգամ, իսկ ծավալուն' 2- 3 անգամ:
Բանավոր հարցումը կարելի է իրականացնել հետևյալ ձևերով'
• առանձին աշակերտների բանավոր հարցումով,
• բանավոր հաշվի ժամանակ աշակերտներին ուղղված հարցերով,
• տնային աշխատանքների ստուգումով,
• խմբային և համագործակցային աշխատանքների միջոցով,
• խաղային տեխնոլոգիաների կիրառումով:
2. Թեմատիկ գրավոր աշխատանքԹեմատիկ գրավոր աշխատանքը գնահատման բաղադրիչի մի տեսակ է,
որի ժամանակ աշակերտն իր յուրացրած նյութը ներկայացնում է գրավոր ձևով: Մաթեմատիկայի ծրագրային նյութի յուրաքանչյուր թեմայից կամ թեմանե
րից հետո (եթե թեմաները փոքր են) տրվում է ծավալուն թեմատիկ գրավոր աշխատանք: Այն պետք է կազմված լինի տվյալ թեմայից (թեմաներից) սովորողներին ներկայացվող չափորոշչային պահանջների յուրացման աստիճանը ստուգող առաջադրանքներից:
Ծավալուն գրավոր աշխատանքի տևողությունը պետք է լինի 40 - 45 րոպե, իսկ քանակը կիսամյակի ընթացքում 3 - 4 անգամ (նվազագույնը' շաբաթական ժամաքանակին հավասար):
Առաջադրանքները կարող են լինել.
• մաթեմատիկական թելադրություն,
• վարժություններ.
• խնդիրներ,
• գործնական աշխատանքներ,
• ստեղծագործական բնույթի առաջադրանքներ:Թեմատիկ գրավոր աշխատանքները կարող են տրվել.
I. հարցարաններով (որը կարող է կազմված լինել մաթեմատիկական թելադրությունից, խնդիրներից, վարժություններից և գործնական առաջադրանքնե
րից),II. թեստերով:
Թեստերում առաջադրանքները կարող են լինել.
• մեկ ճիշտ պատասխանի ընտրությամբ հարցով (տրված է 3 - 4 պատասխան),
• համապատասխանեցման հարցերով,
• բաց թողնվածը լրացնելու հարցերով,
• կարճ պատասխաններ պահանջող հարցերով (այո, ոչ),
• առաջադրանքների նկատմամբ ստեղծագործական մոտեցում ցուցաբերող հարցերով:
Թեմատիկ գրավոր աշխատանքներում պետք է ընդգրկվեն 1-ին, 2-րդ, 3-րդ կարգի բարդության առաջադրանքեր, ինչպես նաև դժվարավուն առաջադրանքներ, որոնք պահանջում են այդ թեմայի խորը, հիմնավոր իմացություն, բարդ և անծանոթ իրադրություններում դրանք կիրառելու կարողություններ, վերլուծություններ, ստեղծագործական մոտեցումներ:
Տարրական դպրոցի 2 - 4-րդ դասարանների մաթեմատիկայի ուսումնական գործընթացում օգտագործվում են նաև կարճ ժամանակի համար նախատեսված թեմատիկ գրավոր աշխատանքներ, որոնց տևողությունը պետք է լինի II - III դասարաններում 10 -15 րոպե, իսկ IV դասարանում' 15-20 րոպե: Աշխատանքը տրվում է ամբողջ դասարանին: Նպատակը պետք է լինի ստուգել ուսումնասիրված ենթաթեմայից սովորողների ստացած գիտելիքների, կարողությունների և հմտությունների մակարդակը և ստուգման արդյունքը արտահայտել միավորա- յին գնահատմամբ: Կարճատև ժամանակի համար տրվող աշխատանքներն օգնում են ուսուցչին ճիշտ պլանավորելու իր հետագա աշխատանքները:
3. Գործնական աշխատանք
Ըստ տարրական դպրոցի «Մաթեմատիկա» առարկայից սովորողներին
ներկայացվող չափորոշչային պահանջների' նախատեսվում են տարբեր բնույթի
գործնական աշխատանքներ:
Դրանք են'
1. երկրաչափական պատկերների կւսռուցում(ուղիղ, հատված, ճա
ռագայթ, անկյուն, ուղղանկյուն, քառակուսի, շրջան և այլն).
2. մեծությունների չափում (երկարություն, զանգված, տարողություն,
ժամանակ, արժողություն).
3. պատկերի բաժանում մասերի, տրված պատկերներից նոր պատ
կերների ստացում (ծալում, կտչում).
4. տվյալների հավաքում և գրանցում աղյուսակների և դիագրամների
միջոցով (դիտարկումներ, փորձեր և այլն).
5. չափման արդյունքում ստացած տվյալների միջոցով սենյակի կամ
բնակարանի մոտավոր հատակագծի պատկերում.
6. տարրական դասարանների (III-IV) մաթեմատիկայի ծրագրային
նյութին համապատասխան անհրաժեշտ մոդելների ստեղծում
(ժամացույցի թվատախտակ, անկյան մոդել և այլն).
7. «Մաթեմատիկա» առարկայից արտադասարանական աշխատանք
ների համար անհրաժեշտ նյութերի ստեղծում:
II — IV դասարաններում սովորողները կատարած գործնական աշխատան
քի համար պարբերաբար գնահատվում են միավորներով: Գործնական աշխա
տանքը կարող է հանձնարարվել ինչպես տանը, այնպես էլ' դպրոցում:
• Տևողությունը 2ր - 5 ր:
• Միավորային գնահատման պարբերականությունը կիսամյակի ընթաց
քում 2-րդ, 3-րդ դասարաններում 2 - 3 անգամ, իսկ 4-րդ դասարանում'
3 - 4 անգամ:
4. Կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանքԿիսամյակային ամփոփիչ գրավոր աշխատանքը տրվում է կիսամյակի վեր
ջում' ամբողջ ծարագրային նյութը ուսումնասիրելուց հետո:
Նպատակն է' կիսամյակի ընթացքում բացահայտել արդեն ուսումնասիրած
թեմաների յուրացումը, սովորողների փաստացի գիտելիքները, դրանք կիրա
ռելու կարողություններն ու հմտությունները և գործնական կարողությունները:
Այն պետք է ընդգրկի անցած թեմաների կարևոր, հանգուցային հարցերը:
Այդ առաջադրանքների կատարումը պատկերացում կտա սովորողների յուրաց
րած մաթեմատիկական գիտելիքների խորության և ձեռք բերած կարողություն
ների և հմտություների մասին:
• Կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանքի տևողությունը I I -I I I դասա
րաններում 40 - 45 րոպե է, իսկ IV դասարանում' 80 - 90 րոպե (կարելի է այն
կազմակերպել 5 -10 րոպե ընդմիջումով):
• Հաճախականությունը մեկ կիսամյակի ընթացքում' 1 անգամ:
Կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանքը կարող է տրվել թեստով (հարցա-
շարով):
Աղյուսակներում ամփոփ տրված է 2-րդ, 3-րդ ինչպես նաև 4-րդ դասա
րաններում «Մաթեմատիկա» առարկայից սովորողների ուսումնառության ընթա
ցիկ արդյուքների միավորային գնահատման բաղադրիչները' իրենց տևողու
թյամբ, կիսամյակի ընթացքում նվազագույն քանակով և կշռային գործակից
ներով:
Բաղադրիչներ ՏևողությունըՔանակըկիսամյակիընթացքում
Կշռայինգործակիցը
1.Բանավոր հարցումկարճծավալուն
1 - 2 րոպե 2 - 3 րոպե
4 - 52 - 3
0,3
2.Թեմատիկ գրավոր աշխ. կարճ ծավալուն
1 0 -1 5 րոպե 40 - 4 5 րոպե
4 - 53 - 4
0,3
3. Գործ, աշխատ, (տանը և դպրոցում)
2 - 5 րոպե 2 - 3 0,1
4. Կիսամյակային ամփոփիչ աշխատ.
2-3-րդ դաս. 40 - 4 5 րոպե
4-րդ դաս 80-90 րոպե
1 0,3
Կիսամյակային գնահատականների ձևավորումը
«Մաթեմատիկա» առարկայից սովորողի ընթացիկ առաջադիմության կի
սամյակային գնահատականը ձևավորվում է ստուգման չորս տեսակներից նրա
վաստակած գնահատականների հիման վրա: Ուսուցիչը ստուգման յուրաքան
չյուր տեսակից սովորողի կիսամյակային գնահատականը որոշելիս հաշվի է
առնում կիսամյակի ընթացքում նրա առաջընթացը:
Գործածության է երաշխավորվում կիսամյակային գնահատականի ձևա
վորման կշռային գործակիցներով հաշվարկման մեթոդը:
Աովորողի կիսամյակային վերջնական գնահատականը ստանալու համար
սահմանված է ստուգման յուրաքանչյուր տեսակի կիրառման նվազագույն քա
նակը և առաջացած կիսամյակային ցուցանիշների ազդեցության աստիճանը:
Ատուգման յուրաքանչյուր տեսակից սովորողի վաստակած կիսամյակային
միավորը կունենա ազդեցության իր չափը (կշիռը) տվյալ առարկայից նրա կի
սամյակային վերջնական գնահատկանի ձևավորման վրա:
Աովորողի ընթացիկ առաջադիմության կիսամյակային վերջնական գնա
հատականը 10 միավորային սանդղակով հաշվարկելու համար առաջարկվում է
գործածել հետևյալ բանաձևը'
ԿԳ = կ1 • Բ + կշ • Թ + Կյ • Գ + կ4 • կ
Բանաձևում Բ, Գ, Թ և Կ մեծատառերով նշանակված են ստուգման տեսակ
ներից սովորողների վաստակած կիսամյակային միավորները, կ̂ կ2, կ3, և կ4- ով'
դրանց համապատասխան կշռային գործակիցները, իսկ ԿԳ ֊ով' կիսամյակային
գնահատականը:
Բ - բանավոր հա րցում (կ1 - գործակցով),
Թ - թեմատիկ գրավոր աշխատանք (կ3 - գործակցով),
Գ - գործնական աշխատանք (կշ - գործակցով),
Կ - կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանք (կ4 - գործակցով):Կշռային գործակիցները ոչ բացասական թվեր են, որոնց գումարը
հավասար է 1-ի: Դրանք ստորակետից հետո մեկ թվանշան պարունակող տաս
նորդական կոտորակներ են:
Ընթացիկ առաջադիմության կիսամյակային վերջնական գնահատականը
այս բանաձևով հաշվելու համար ստուգման յուրաքանչյուր տեսակի կիսամյա
կային միավորի կշիռը վերջնական գնահատականի մեջ: Այն որոշվում է համա
պատասխան կարգով.
Եթե ստուգման բոլոր տեսակներից կշռային գործակիցներով հաշվարկված
կիսամյակային գնահատականը ձևավորող միավորների գումարը ԿԳ ֊ն, ամբողջ
թիվ չի կազմում, ապա կիրառվում է թվերի մոտարկման կանոնը:
3 ֊ր դ դասարանում «Մաթեմատիկա» առարկայից
կիսամյակային գնահատականի ձևավորման նմուշ օրինակ
Հակոբյան Աշոտը 3-րդ դասարանում «Մաթեմատիկա» առարկայից մեկ
կիսամյակի ընթացքում ըստ առաջարկվող ստուգման տեսակների ստացել է
հետևյալ գնահատկանները:
Ատորև ներկայացվում է աղյուսակ, որում տրված են ամեն մի բաղադրիչից
ստացված գնահատականները, մոտարկված միավորները և կշռային գործակից
ները:
N ՏեսակներԳնահատա
կաններ
Կիսամ.
գնահատ.
Կշռային
գործ.
1. Բանավոր հարցում (Բ) 6, 7, 8, 7, 8, 8 8 0,3
2. Թեմատիկ գրավոր աշխ. (Թ) 6, 6, 8, 7 7 0,3
3. Գործնական աշխատանք (Գ) 6, 7, 5 6 0,1
4. Կիսամյակ, ամփոփիչ աշխ. (Կ) 8 8 0,3
Ատուգման յուրաքանչյուր տեսակից կիսամյակային գնահատկանը ստա
ցած գնահատականների թվաբանական միջինն է: Եթե սովորողի մոտ առկա է
առաջընթաց, ապա թվաբանական միջինը մոտարկելիս (կլորացնելիս), կիսամ
յակային միավորը կարող է լինել միջինից բարձր:
Այսպիսով' «Մաթեմատիկա» առարկայից տվյալ աշակերտի կիսամյակա
յին գնահատական (կգ) որոշող թիվը ըստ բանաձևի կստացվի.
ԿԳ = 0,3-8+ 0,3 ֊7 + 0,1 -6 + 0,3 ֊8 = 2,4+ 2,1+0,6+ 2, 4 = 7,5
Մոտարկումից (կլորացումից) հետո ԿԳ= 8 միավոր
Աշակերտի կիսամյակային գնահատականը կլինի 8 միավոր:
Գործնական աշխատանքների
գնահատման չափանիշները(II - IV դասարաններ)
1 և 2 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'
• չի կարողանում կատարել որևէ գործնական առաջադրանք.
• դժվար է ընդգրկվում խմբային աշխատանքում:
3 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'• մասնակցում է խմբային աշխատանքին, սակայն չի նպաստում ընդհա
նուրի աշխատանքին.• ճանաչում և անվանում է չափողական և գծագրական գործիքները,
սակայն չի կարողանում ճիշտ օգտվել դրանցից:
• 4 և 5 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'• գործնական աշխատանքը կատարելու համար ցուցաբերում է մասնակի
պատրաստվածություն.
• գործնական աշխատանքում թույլ է տալիս կա՛մ էական սխալ, կա՛մ անճշտություններ, բացթողումներ, վրիպումներ.
• մասնակցում է խմբային աշխատանքին, սակայն չի ցուցաբերում անհրաժեշտ պատրաստվածություն.
• օգնությամբ կարողանում է ճիշտ օգտվել գծագրական գործիքներից և կատարել գործնական առաջադրանքը:
6 և 7 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'
• գործնական աշխատանքը կատարելու համար ցուցաբերում է անհրաժեշտ պատրաստվածություն, սակայն թույլ է տալիս անճշտություններ, բացթողումներ, որոնք ուշադրություն հրավիրելու դեպքում կարող է ուղղել.
• կարողանում է ճիշտ օգտվել չափողական և գծագրական գործիքներից.
• կարող է փորձեր, դիտարկումներ, չափագրումներ կատարել, ներկայացնել արդյունքները աղյուսակներով կամ դիագրամներով, սակայն աշխատանքում կարող է թույլ տալ վրիպումներ, անճշտություններ:
• կարող է հավաքել լրացուցիչ նյութեր' արտադասարանական աշխատանքների համար.
• խմբային աշխատանքներում ցուցաբերում է նպատակասլացություն:
8 և 9 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'
• գործնական աշխատանքը կատարելու համար ցուցաբերում է չափողական և կառուցողական անհրաժեշտ հմտություններ.
• զարգացած են կիրառական կարողությունները.
• կարողանում է ճիշտ օգտվել չափողական և գծագրական գործիքներից.• կարող է փորձեր, դիտարկումներ, չափագրումներ կատարել և գրանցել
փորձի արդյունքները, ներկայացնել աղյուսակներով, դիագրամներով.
• կարող է անհրաժեշտ նյութեր, փաստեր հավաքել, դրանք նպատակային օգտագործել արտադասարանային աշխատանքներում (պատի թերթի ստեղծում, մաթեմատիկական ցերեկույթի կազմակերպում, վիկտորինաների անցկացում և այլն).
• գործնական աշխատանքում կարող է թույլ տալ չափողական ոչ էական անճշտություններ, որոնք կարող է գտնել և ինքնուրույն ուղղել.
• խմբային աշխատանքում նպատակասլաց է, նախաձեռնող.
10 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'• դժվարավուն գործնական առաջադրանքներ կատարելիս ցուցաբերում է
չափողական և կառուցողական կարողություններ և անհրաժեշտ հմտություններ.
• գործնական աշխատանքներ կատարելիս հանդես է բերում ոչ ստանդարտ և ստեղծագործական մոտեցումներ.
• գործնական աշխատանքի ժամանակ ցուցաբերում է չափողական և գծագրական գործիքները ճիշտ և հնարամիտ օգտագործելու կարողություն.
• գործնական բնույթի առաջադրանքները կատարում է ճշգրիտ և մաքուր.• կարող է ինքնուրույն փորձեր և չափագրական աշխատանքներ կատա
րել.• կարող է փորձերի, դիտարկումների արդյունքում հավաքած տվյալները
գրանցել և ներկայացնել աղյուսակներով, դիագրամներով.• կարող է անհրաժեշտ նյութեր, փաստեր հավաքել' օգտվելով լրացուցիչ
աղբյուրներից (օժանդակ գրականություն, համացանց, ամսագրեր և այլն), դրանք նպատակային օգտագործել արտադասարանային աշխատանքներում:
• խմբային աշխատանքում նպատակասլաց է, նախաձեռնող, ունի կազմակերպչական մեծ ջիղ:
Ուսուցման արդյունքների ստուգման և
գնահատման կարգը
1. Ուսուցման արդյունքների գնահատում կատարելու համար ստուգվում է սովորողների պատրաստվածությունը (գիտելիքներ, կարողություններ, հմտություններ) և որոշվում, թե այն ինչքանով է համապատասխանում' կրթական աստիճանի ավարտին' առարկայական չափորոշչով սովորողներին ներկայացվող պահանջներին, իսկ ուսումնառության ընթացքում' առարկայական ծրագրում ամփոփված չափորոշչային պահանջներին:
2. Ուսուցման արդյունքների ստուգման և գնահատման համար սովորողներին տրվում են առաջադրանքներ' հարցեր, խնդիրներ, վարժություններ, գործնական աշխատանքներ, հանձնարարություններ, որոնց միջոցով բացա- հայտվում են.
ա/ սովորողների յուրացրած գիտելիքների լրիվությունը, կայունությունը, հիմնավորությունը, խորությունը,
բ/ գիտելիքները պարզ, ոչ պարզ, բարդ, ծանոթ և անծանոթ իրադրություններում կիրառելու կարողություններն ու հմտությունները,
գ/կատարած մտավոր գործունեությունը արտահայտելու, ներկայացնելու, շարադրելու մակարդակը, որի բացահայտման համար հաշվի են առնվում նաև թույլ տրված սխալները, անճշտությունները, թերությունները և բացթողումները:
3. Սովորողների պատրաստվածությունը բացահայտվում է հիմնականում բանավոր հարցումների և գրավոր աշխատանքների միջոցով, որոնց համար նախապես կազմվում են առաջադրանքներ և դրանց գնահատման չափանիշներ:
Առաջադրանքներն ըստ բարդության բնութագրվում են հետևյալ հայտանիշ- ներով.
ա/ 1-ին կարգի բարդության առաջադրանքները պահանջում են արդեն ուսումնասիրված ծրագրային նյութի բովանդակությանը վերաբերող չափորոշ- չային գիտելիքների իմացություն, պարզ և ծանոթ իրադրություններում դրանք կիրառելու կարողություն, կողմնորոշման և կատարման համար չեն պահանջում ինքնատիպ (ոչ ստանդարտ) մոտեցումներ, միջնորդավորված քայլեր ու հիմնավորումներ:
բ) 2-րդ կարգի բարդության առաջադրանքները պահանջում են արդեն ուսումնասիրված ծրագրային նյութի բովանդակությանը վերաբերող չափորոշ- չային գիտելիքների հիմնավոր իմացություն, ոչ բարդ և ծանոթ իրադրություններում դրանք կիրառելու կարողություն, կողմնորոշման և կատարման համար ենթադրում են որոշակի հայտնի մեթոդներ, միջնորդավորված քայլեր, ոչ բարդ հիմնավորումներ և չեն պահանջում ինքնատիպ մոտեցումներ,
գ) 3-րդ կարգի բարդության առաջադրանքները պահանջում են արդեն ուսումնասիրված ծրագրային նյութի բովանդակությանը վերաբերող չափորոշ- չային գիտելիքների կայուն իմացություն, բարդ, կամ ոչ լրիվ ծանոթ իրադրություններում դրանք կիրառելու կարողություն, կողմնորոշման և կատարման համար ենթադրում են ինքնատիպ մոտեցումներ, հատուկ մեթոդներ, միջնորդավորված քայլեր, կառուցումներ, արտածումներ, հիմնավորումներ,
դ) դժվարավուն առաջադրանքները պահանջում են արդեն ուսումնասիրված ծրագրային նյութին վերաբերող չափորոշչային գիտելիքների հիմնավոր և խորը իմացություն, բարդ կամ անծանոթ իրադրություններում դրանք կիրառելու կարողություն, կողմնորոշման և կատարման համար ենթադրում են բազմակողմանի վերլուծություն, ստեղծագործական մոտեցում, հատուկ մեթոդներ, օժանդակ կառուցումներ, արտածումներ, հիմնավորումներ, կռահումներ:
4. Բանավոր հարցումների գնահատման չափանիշներ կազմելու համար հաշվի են առնվում գնահատման նպատակը, առաջադրանքի տեսակը, բովանդակությունը, դրա կատարման համար գնահատվողից ակնկալվող պատ- րաստվածությունը և հետևյալ սանդղակը (ենթադրվում է, որ սանդղակի յուրաքանչյուր միավորը արտահայտում է տվյալ գնահատվողի ցուցաբերած պատրաստվածության առավելագույն մակարդակը, այսինքն' գնահատվողը սանդղակի ավելի բարձր միավորին համապատասխանող պահանջներին չի բավարարում).
Բանավոր հարցումների
գնահատման սանդղակ
Միավորներ Գնահատման չափանիշներ
1 միավոր «շատ վատ»
Ցուցաբերում է ծրագրային նյութի կատարյալ չիմացություն
2 միավոր «վատ»
• 1-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է մասնակի պատրաստվածություն և թույլ է տալիս էական սխալներ.
• տրված հարցերի մեծ մասին տալիս է ոչ ճիշտ պատասխան.
• բանավոր հաշվարկները կատարում է էական սխալներով.
• անգամ ուսուցչի օգնությամբ չի կարողանում լուծել խնդիրներ.
• դժվարանում է ձևակերպել մտքերը:
3 միավոր «անբավարար»
• 1-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է պատրաստ- վածություն, սակայն թույլ է տալիս անճշտություններ, թերություններ, բացթողումներ.
• չի պատասխանում տրված հարցերի մեծ մասին.
• չի կարողամում կատարել բանավոր հաշվարկների մեծ մասը.
• անգամ ուսուցչի օգնությամբ դժվարանում է լուծել 1-ին կարգի բարդության խնդիրները և այլ առաջադրանքներ.
• երկրաչափական նախագիտելիքների վերաբերյալ չունի բավարար իմացություն.
• մաթեմատիկական խոսքը զարգացած չէ:
4 միավոր «բավարար»
• 1-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է անհրաժեշտ պատրաստվածություն (չի բացառվում, որ առաջադրանքը կատարելիս կարող է թույլ տալ ոչ էական թերություն կամ վրիպում,որը ուշադրության հրավիրելու դեպքում կարող է ուղղել).
• կարողանում է պատասխանել տրված հարցերի մի մասին, բայց կարող է թույլ տալ էական սխալներ, վրիպումներ, որոնք ուշադրության հրավիրելու դեպքում կարող է ինքնուրույն ուղղել.
• կարողանում է կատարել ոչ բարդ բանավոր հաշվարկներ, սակայն կարող է թույլ տալ էական սխալներ, վրիպումներ (օգնության դեպքում ուղղում է սխալը).
• կարողանում է ինքնուրույն լուծել 1-ին կարգի բարդության խնդիրներ, սակայն լուծման ընթացքում կարող է թույլ տալ վրիպումներ և ոչ էական սխալներ.
• ցուցաբերում է երկրաչափական նյութի մասնակի իմացություն.
• դժվարանում է մտքերը արտահայտել մաթեմատիկական լեզվով:
5 միավոր «միջին»
• 1-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է անհրաժեշտ պատրաստվածություն կամ 2-րդ կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է պատրաստվածություն, սակայն թույլ է տալիս անճշտություններ, թերություններ, բացթողումներ.
• վերարտադրողական բնույթի հարցերին տալիս է ճիշտ պատասխաններ.
• ոչ բարդ հաշվարկները կատարում է անսխալ, սակայն բարդ հաշվարկներում թույլ է տալիս էական սխալներ, անճշտություններ.
• 1-ին կարգի բարդության խնդիրները կարողանում է լուծել ինքնուրույն, սակայն լուծման ընթացքում կարող է թույլ տալ ոչ էական թերություններ.
• 2-րդ կարգի բարդության խնդիրները կարող է լուծել օգնությամբ, բայց դժվարանում է տալ անհրաժեշտ բացատրություններ և մեկնաբա- նություններ.
• տեսական նյութը կարողանում է հիմնականում վերարտադրել, բայց չի կարողանում տալ անհրաժեշտ բացատրություններ.
• մասնակիորեն տիրապետում է երկրաչափական նախագիտելիքներին, սակայն երբեմն կարող է թույլ տալ անճշտություններ, սխալներ.
• մաթեմատիկական խոսքը բավարար չափով զարգացած չէ:
6 միավոր «միջինից բարձր»
• 2-րդ կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է անհրաժեշտ պատրաստվածություն, սակայն չի բացառվում, որ կարող է թույլ տալ ոչ էական սխալներ կամ վրիպումներ, որոնք ուշադրության հրավիրելու դեպքում ի վիճակի է ինքնուրույն ուղղել.
• առաջադրված հարցերի մեծ մասին տալիս է ճիշտ պատասխան.
• տեսական նյութը հիմնականում կարողանում է վերարտադրել.
• մասամբ կարողանում է ինքնուրույն եզրահանգումներ կատարել.
• կարողանում է կատարել ոչ բարդ հաշվարկներ, սակայն հաշվարկման մեջ կարող է թույլ տալ թերություններ, որոնք միջամտության դեպքում կարող է ինքնուրույն ուղղել.
• կարողանում է լուծել 2-րդ կարգի բարդության խնդիրները, սակայն կարող է թույլ տալ ոչ էական սխալներ.
• կարողանում է խնդիրը համառոտագրել և ուսուցչի օգնությամբ կազմել խնդիր' տրված համառոտագրությամբ.
• ցուցաբերում է երկրաչափական նյութի բավարար իմացություն.
• հիմնականում կարողանում է մաթեմատիկական լեզվով ձևակերպել մտքերը:
7 միավոր «լավ» • 2-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է անհրաժեշտ պատրաստվածություն կամ 3-րդ կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է պատրաստվածություն, սակայն թույլ է տալիս անճշտություններ, թերություններ, բացթողումներ.
• 1-ին , 2-րդ կարգի բարդության հարցերին տալիս է լիարժեք պատասխաններ, իսկ 3-րդ կարգի բարդության հարցերին չի կարողանում տալ հիմնավոր պատասխաններ.
• կարողանում է կատարել հաշվողական բնույթի առաջադրանքներ, սակայն կարող է թույլ տալ որոշ անճշտություններ.
• կարողանում է ճիշտ լուծել 2-րդ կարգի բարդության խնդիրներ, բայց 3-րդ կարգի բարդության խնդիրները լուծում է որոշակի միջամտությամբ.
• կարողանում է համառոտագրել խնդիրը և լուծել, ինչպես նաև ինքնուրույն կազմել խնդիրներ.
• չի կարող ինքնուրույն կռահել ոչ ստանդարտ և տրամաբանական բնույթի խնդիրների լուծումները.
• ցուցաբերում է երկրաչափական նյութի կայուն իմացություն և կարողանում է կիրառել ոչ լրիվ ծանոթ իրադրությունում.
• մաթեմատիկական խոսքը հստակ է, կարողանում է ճիշտ օգտագործել մաթեմատիկական հասկացությունները:
8 միավոր «շատ լավ» • 3-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է անհրաժեշտ պատրաստվածություն (չի բացառվում, որ կարող է թույլ տալ թերություն կամ վրիպում, որն ի վիճակի է ինքնուրույն վերացնել).
• առաջադրված 1-ին և 2-րդ կարգի բարդության հարցերին տալիս է հստակ և ճիշտ պատասխաններ, սակայն 3-րդ կարգի բարդության հարցերին պատասխանելիս կարող է թույլ տալ առանձին անճշտություններ.
• կարողանում է կատարել բանավոր բարդ հաշվարկներ, սակայն կարող է թույլ տալ առանձին ոչ էական սխալներ, որոնք ուշադրության հրա- վիրելու դեպքում կարող է ինքնուրույն վերացնել.
• կարողանում է համառոտագրել և լուծել 3-րդ կարգի բարդության խնդիրներ, կազմել տրված
խնդրի հակադարձները, սակայն լուծման ճիշտ ընթացքի դեպքում կարող տալ ոչ լրիվ ճիշտ բացատրություններ.
• ցուցաբերում է անցած երկրաչափական նյութի կայուն իմացություն.
• կարողանում է տեսական գիտելիքները գործնականում կիրառել.
• կարողանում է մաթեմատիկական լեզվով մտքերը շարադրել ճիշտ և սեղմ:
9 միավոր «գերազանց» • 3-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է անհրաժեշտ պատրաստվածություն կամ դժվարավուն առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է պատրաստվածություն, սակայն թույլ է տալիս անճշտություն, բացթողում.
• առաջադրված բոլոր հարցերին (անգամ ոչ ստանդարտ)տալիս է լիարժեք պատասխաններ).
• հաշվարկները կատարում է արագ, անսխալ' օգտագործելով հաշվարկման արդյունավետ եղանակներ.
• կարողանում է 3-րդ կարգի բարդության խնդիրները համառոտագրել, ինքնուրույն կազմել խնդրի լուծման քայլաշարը և լուծել' բացատրելով կատարված գործողությունները.
• կարողանում է տրված խնդիրը լուծել նաև այլ եղանակներով (եթե դա հնարավոր է) և կազմել խնդրի հակադարձները.
• կռահունակություն պահանջող և տրամաբանական բնույթի առաջադրանքները կատարելիս ցուցաբերում է պատ- րաստվածություն.
• ցուցաբերում է երկրաչափական նյութի հիմնավոր իմացություն և այն կարողանում է հմտորեն կիրառել.
• մաթեմատիկական խոսքը զարգացած է և տրամաբանված:
10 միավոր «բացառիկ» • դժվարավուն առաջադրանքներ կատարելու համար ցուցաբերում է անհրաժեշտ պատ- րաստվածություն (չի բացառվում, որ կարող է
թույլ տալ ոչ էական սխալ կամ վրիպում, որը ուշադրության հրավիրելու դեպքում ի վիճակի է ինքնուրույն վերացնել).
• դժվարավուն առաջադրանքները կատարելիս ցուցաբերում է հիմնավոր և խորը իմացություն.
• առաջադրված հարցերին տալիս ' հստակ, հիմնավորված և ճշգրիտ պատասխաններ.
• կարողանում է առաջադրանքներ, խնդիրներ, - վարժություններ կատարելիս ցուցաբերել ստեղծագործական մոտեցում.
• կարողանում է լուծել կռահունակություն պահանջող խնդիրներ, գտնել օրինաչափություններ, կատարել հիմնավորումներ, սակայն նշված առաջադրանքերում կարող է թույլ տալ ոչ էական սխալ կամ թերություն, որը անմիջապես, ինքնուրույն կարող է ուղղել.
• կարողանում է կազմել խնդիրների լուծման քայլաշարը.
• կարողանում է ունեցած տեղեկատվությունները մշակել, համեմատել և ներկայացնել տարբեր ձևերով.
• կարողանում է ձեռքբերած գիտելիքների, հմտությունների և կարողությունների հիման վրա ինքնուրույն ձևավորել նոր հմտություններ և կարողություններ.
• կարողանում է ճիշտ և հիմնավոր կատարել երկրաչափական բնույթի առաջադրանքներ.
• ցուցաբերում է ծրագրային նյութի բովանդակությանը վերաբերող չափորոշչային 3-րդ կարգի գիտելիքների հիմնավոր և խորը իմացություն, բարդ և ոչ լրիվ ծանոթ իրավիճակներում դրանք կիրառելու կարողություն.
• ազատորեն մեկնաբանում է դասանյութը, ինքնուրույն դատողություններ և եզրահանգումներ անում, համադրում է տարբեր առարկաներից ունեցած գիտելիքները, դասակարգում.
• մաթեմատիկական խոսքը զարգացած է, ճշգրիտ և տրամաբանված:
Թեմատիկ գրավոր և կիսամյակային
ամփոփիչ աշխատանքների ստուգման և գնահատման
չափանիշները
Գրավոր աշխատանքների ստուգման և գնահատման չափանիշները կազ
մելու համար հաշվի են առնվում աշխատանքի տեսակը, բովանդակությունը, կա
տարման նպատակը, գնահատվողից ակնկալվող պատրաստվածությունը:
> Գրավոր աշխատանքը պետք է պարունակի տարբեր բարդության առաջա
դրանքներ (1-ին, 2-րդ, 3-րդ կարգի բարդության և դժվարավուն առաջա
դրանքներ):
> Յուրաքանչյուր առաջադրանք ստուգվում և գնահատվում է մնացածներից
անկախ:
> Որևէ առաջադրանքի համար առավելագույն գնահատականը (1 միավոր
բարդության առաջադրանքի համար' 1 միավոր, 2 միավոր բարդության
առաջադրանքի համար' 2 միավոր, 3 միավոր բարդության առաջադրանքի
համար 3 միավոր) է նշանակվում, երբ առաջադրանքը լուծված է ճիշտ,
լուծման քայլերը հիմնավոր և ավարտուն են, շարադրված է գրագետ:
> 1 միավոր բարդության առաջադրանքի համար 0,5 միավոր է գնահատվում,
երբ լուծման համար ընտրված է ճիշտ ուղին, կատարված են հիմնական
քայլերը, սակայն դրանք ավարտուն չեն, կամ շարադրանքում թույլ է տրված
սխալ, որը վերաբերում է առաջադրանքի հիմնական բովանդակությանը:
Աշակերտը հիմնականում տիրապետում է տվյալ տիպի առաջադրանք
ների լուծմանը:
> 2 միավոր բարդության առաջադրանքի համար 1 միավոր է գնահատվում,
երբ առաջադրանքի լուծման համար ընտրված է ճիշտ ուղի, սակայն աշխա
տանքն ավարտուն չէ, կամ հաշվարկներում, գրառումներում թույլ է տրված
սխալ կամ որոշակի թերություններ:
Աշակերտը հիմնականում տիրապետում է տվյալ առաջադրանքի
լուծմանը:
> 3 միավոր բարդության առաջադրանքի համար 1 միավոր է գնահատվում, երբ
առաջադրանքի կատարման համար ընտված է ճիշտ ուղի, սակայն դրանք
ավարտուն չեն, կամ առաջադրանքում թույլ են տրված բացթողումներ և
սխալներ, կամ կան թերություններ հաշվարկներում, գրառումներում:
> 3 միավոր բարդության առաջադրանքի համար 2 միավոր է գնահատվում,
երբ առաջադրանքը հիմնականում լուծված է, սակայն թույլ է տրված սխալ
կամ կան թերություններ հաշվարկներում, գրառումներում: Առաջադրանքում
կատարված են հիմնական քայլեր, սակայն դրանք ավարտուն չեն:
Առաջադրանքի կատարումը ցույց է տալիս, որ աշակերտը հիմնականում
տիրապետում է տվյալ առաջադրանքի կատարմանը:
Եթե հարցաշարը կազմված է 10 միավորային սանդղակով, ապա գրավոր աշխատանքի վերջնական գնահատականը բոլոր առաջադրանքների համար առանձին-առանձին նշանակված գնահատականների գումարն է: Ամբողջ թիվ չլինելու դեպքում այն մոտարկվում (կլորացվում) է:
Եթե հարցաշարի բոլոր առաջադրանքների միավորային արժեքը մեծ է 10 միավորից և կա փոխարկման խնդիր, ապա առաջարկում ենք հետևյալ մոտեցումը: Սկզբում պետք է հաշվել բոլոր առաջադրանքներից աշակերտի ստացած միավորների գումարը, ապա ստացված թիվը բաժանել հարցաշարի առավելագույն միավորի վրա, իսկ հետո' ստացված արդյունքը բազմապատկել 10-ով: Եթե ստացված թիվն ամբողջ թիվ չէ, ապա մոտարկվում է:
Օրինակ' եթե հարցաշարի առավելագույն միավորը 32 է, իսկ աշակերտը
25հավաքել է 25 միավոր, ապա նրա գնահատականը կ լինի-----10 = 7,8 ~ 8 :
32
Աշակերտի գնահատականը կլինի 8 միավոր:
Գրավոր աշխատանքի հարցաշարի նմուշ 2 - ր դ դասարան Հատկորոշիչներ
Ուսումնական առարկան - մաթեմատիկա Հարցաշարի համարը - 3 Հարցաշւսչի տարատեսակը - ծավալուն օրագրային թեման - բազմապատկում և բաժանում Առաջադրանքների քանակը - 6 Հարցաշարի առավելագույն միավորը - 14 Կատարման համար նախատեսված ժամանակը - 40-45ր Գնահատման չափանիշների միավորային սանդղակ
Առաջադրանքիհամարը
Առաջադրանքիառավելագույն
միավորը
Գնահատմանքայլի
միավորը
1 1 0,5
2 4 1
3 2 1
4 3 1
5 2 1
6 2 1
Դպրոց__________
Անուն, ազգանուն
դասարան
ՏԱՐԲԵՐԱԿ 1
1. Բազմապատկումը փոխարինիր գումարով և հաշվիր արդյունքը.
7 5
8 3
2. Կատարի ր գործողությունները.
8 4 - 2 0 4 6 8 - 6 4
5 7 + 8 1 9 6 4 - (1 2 + 6) 6
3. Համեմատիր տեղադրելով « > », « < », « = » նշանները.6դմ 2սմ ... 65սմ 4մ 6դմ ... 50դմ
4. Տղան մի ծառից քաղեց 36 խնձոր, իսկ մյուս ծառից 6 անգամ քիչ: Քանի՞ խնձոր քաղեց տղան երկու ծառից:
5. Քառակուսու կողմի երկարությունը 7սմ է: Հաշվիր քառակուսու կողմերի երկարությունների գումարը:
6*. Ուղղի վրա հավասար հեռավորությամբ 9 կետ է նշված: Հարևան կետերի միջև եղած հեռավորությունը 6 սմ է: Որքա՞ն է ծայրակետերի միջև եղած հեռավորությունը:
Օ գ ն ո ւ թ յ ո ւ ն ո ւ ս ո ւ ց չ ի ն
Մ Ա Թ Ե Մ Ա Տ Ի Կ Ա Յ Ի Օ Լ Ի Մ Պ Ի Ա Դ Ա Յ Ի
Տ Ա Ր Ա Ծ Ք Ա Յ Ի Ն ՓՈ ՒԼԻ Խ Ն Դ Ի Ր Ն Ե Ր Ը (2009թ .)
Ա.Ս.Միքայելյան
Եր՛անի թիվ 6 միջն. դպրոց
2009թ-ի փետրվարի 4-ին Երևան քաղաքի 12 համայնքներում տեղի ունեցավ դպրոցականների մաթեմատիկայի օլիմպիադայի տարածքային (II) փուլը, որին մասնակցում էին հանրակրթական դպրոցների 8-րդ, 9-րդ. 10-րդ և 11-րդ դասարանների աշակերտները: Առաջադված խնդիրների գերակշիռ մասը ընտրված էին ներկայիս գործող հանրահաշիվ և երկրաչափություն առարկաների դասագրքերից:
Ստորև ներկայացնում ենք առաջարկված խնդիրները:
8-րդ դասարան
ШЮ 1994 թվականին Վահագնը դարձավ այնքան տարեկան, որքան նրա ծննդյան տարեթվի թվանշանների գումարն է: Ո՞ր թվին է ծնվել Վահագնը: (4 միավոր)
B D Բազմանիշ թիվը բազմապատկելով իր թվանշանների գումարով' ստացան 2008: Արդյոք կա՞ այդպիսի թիվ:
(4 միավոր)
□ □ Հարթության մեջ ընկած 4 ուղիղները առավելագույնը քանի՞ տիրույթների կբաժանեն այդ հարթությունը:
(4 միավոր)
□ □ A B C D քառակուսու ներսում վերցված է М կետն
այնպես, որ Z M A B = 60° , Z M C D =15° : Գտեք Z M B C ֊ն:(4 միավոր)
Q □ Տրված է A B C հավասարասրուն եռանկյունը
АН = НС : Բացի այդ B P = Р О = OR = RS = S M = M N = NA =
= A C : Գտնել Z B ֊ն (տես գծագիրը): (4 միավոր)
Ց-րդ դասարան
ВВП Սենյակում կան մարդիկ, շներ և ճանճեր' ընդամենը 10-ը: Մարդն ունի 2 ոտք, շունը' 4, ճանճը' 6, բոլորը միասին ունեն 46 ոտք: Քանի՞ մարդ, քանի՞ շուն ևքանի՞ ճանճ կա սենյակում:
(3 միավոր)
В О Բերված տեսքի քառակուսի հավասարման գործակիցները ամբողջ թվեր են: Հնարավո՞ր է նրա տարբերիչը (դիսկրիմինանտը) հավասար լինի 63-ի: (4 միավոր)
S D Դասարանի 32 աշակերտներից 20-ը ցանկություն հայտնեց սովորել անգլերեն, 15-ը' գերմաներեն, 12-ը' ֆրանսերեն, 7-ը' և անգլերեն, և գերմաներեն, 6-ը' և անգլերեն, և ֆրանսերեն, 3-ը' և գերմաներեն, և ֆրանսերեն: Քանի՞ աշակերտ է ցանկացել սովորել նշված երեք լեզուները միասին: (4 միավոր)
□ □ Տե ս 8-րդ դաս. Խնդիր N5.
□ □ В С հիմքով A B C հավասարասրուն եռանկյան ներսում M կետը
վերցված է այնպես, որ Z M B C = 30°, Z M C B = 10°: Գտեք A M C
անկյունը, եթե Z B A C = 80°: (5 միավոր)
10-րդ դասարան
ШО (թեստ) Պարզել հետևյալ հավասարումներից ո՞րն է առավել հեշտ լուծելի:
ա) s in3 X - c o s 3 x = 1 բ) s in6 x - c o s 6 x = 1 Պատասխան.
1. ա) հավասարումը2. բ) հավասարումը3. Նրանք համարժեք հավասարումներ են և ունեն լուծման նույն դժվարու
թյունը:
(Առավել դժվար հավասարումը(ները) լուծողին կտրվի լրացուցիչ 1 միավոր)(3 միավոր)
B D Հեծանվորդը հաստատուն արագությամբ պետք է անցներ 75կմ: ճա նապարհի 20%-ը նախատեսված արագությամբ անցնելով' մնացած մասի առաջին կեսում արագությունը նախատեսվածից 5կմ/ժ-ով ավելացրեց, իսկ երկրորդ կեսում' նախատեսվածից 5կմ/ժ-ով պակասեցրեց: Արդյունքում' տեղ հասավ կես ժամ ուշ: Որոշեք հեծանվորդի նախնական արագությունը: (4 միավոր)
□ □ Ապացուցել, որ եթե A -ն, 5-ն , С ֊ն սուրանկյուն եռանկյան ան
կյուններ են, ապա տեղի ունեն
ա) tgA + tgB + tgC = tgA ■ tgB ■ tgC
բ) tgA + tgB + tgC > Зл/з պայմանները:
(4 միավոր)
□ □ Տրված է A B C D սեղանը: А В սրունքի М միջնակետով տարված է
C D սրունքն ընղգրկող ուղղին' C H ուղղահայացը H e ( C D ) :
Ապացուցել, որ S ABCD =|M H \-\CD\
(4 միավոր)
□ □ Ապացուցել, որ շրջանագծին ներգծած քառանկյան մակերեսը
կարելի է հաշվել Տ = ^ J ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ( p - d ) բանաձևով: Ի՞նչ
կարելի է ասել այդ քառանկյան մասին, եթե Տ = 4 a - b - c - d , որտեղ
p -Կ քառանկյան կիսապարագիծն է, իսկ a,b ,c ,d ֊ն նրա կողմերի
երկարությունները: (5 միավոր)
11-րդ դասարան
SID (թեստ) Պարզել հետևյալ հավասարումներից ո՞րն է համեմատաբար հեշտ լուծելի.
ա) I х = X 2 բ) 2W = X 2
Պատասխան.1. ա) հավասարումը2. բ) հավասարումը3. երկուսն էլ ունեն լուծման նույն դժվարությունը:
(Ընտրված հավասարումը(ները) լուծելիս տրվում է լրացուցիչ 1 միավոր)(3 միավոր)
B D Ապացուցել, որ եթե y = f ( x ) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը համա-
չափ է О (կոորդինատների սկզբնակետն է) կետի նկատմամբ, ապա
այն հնարավոր է, ընդ որում միակ ձևով, ներկայացնել զույգ և կենտ ֆունկցիաների գումարի տեսքով:
(5 միավոր)
S D Ցույց տալ, որ եթե р , р - 10, р + 10 թվերը պարզ թվեր են, ապա
պարզ թիվ է նաև р - 2 թիվը: (4 միավոր)
□ □ А В և C D հատվածները ընկած չեն մի հարթության մեջ, իսկ M -ը
և N ֊ը այդ հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցել, որ
M N < — (A C + B D ) : (4 միավոր)
Q О Ապացուցեք, որ a,b ,с ,d (հաջորդական) կողմերով կամայական քա
ռանկյան Տ մակերեսի համար տեղի ունի Տ < • (ac + bd) անհա
վասարությունը: (4 միավոր)
տա
ИШП Տե՜ս Հ.Ա.Միքայելյան «Հանրահաշիվ - 7» N 325:
Պարզ է, որ Վահագնը ծնվել է 19xy թվում: Եթե ծնված լիներ lS x j -ին,
ապա 1 + 8 + x + j = 9 + x + j < 9 + 9 + 9 = 27< 1994 - 1 8 x j :
Ըստ պայմանի'
1 + 9 + х + у = 1994֊19ху о 10 + х + у = 1994 ֊ 1900 ֊ 10x ֊ յ о
l l x + 2y = 84 (*): (*)-ից հետևում է, որ х -ը զույգ թվանշան է, ուստի այն կարող է
լինել X = 6 : Տեղադրելով կստանանք' y = (8 4 -6 6 ): 2 = 9
Պատասխան. Վահագնը ծնվել է 1969 թվին:
B S D Տե՜ս նմանակը «Հանրահաշիվ - 9» (նորը) N 661 :
Որոնելի բազմանիշ թիվը նշանակենք и -ով, իսկ թվանշանների գումա
րը' Տ (ո ) ֊ով: Ունենք'
Ո ■ Տ(ո) = 2008 = 1 • 2008 = 2 • 1004 = 4 • 502 = 8 • 251: 0251Ю ■
■■Քանի որ 2 + 5 +1 = 8, ապա ո = 2 5 1 ; Տ (ո ) = 8 :
Պատասխան, ո = 251:
DGO Տե՜ս Հ . Ա. Միքայելյան «Հանրահաշիվ - 8» N 727:Մեկ ուղիղը հարթությունը կբաժանի 2 մասերի:
n a a
o o i
Երկու ուղիղները հարթությունը առավելագույնը կբաժանեն չորս մասերի (տիրույթների): Ուղիղները պետք է հատվեն.
Որպեզի երեք ուղիղները հարթությունը հնարավորին շատ մասերի բաժանեն, պետք է երրորդ ուղիղը նախորդ երկու ուղիղները հատի երկու իրարից
տարբեր կետերում, В և С : Այդ դեպքում նախորդ չորս մասերին կավելացվի ևս
3-ը' 4 —> 4 + 3 = 7 :
Չորս ուղիղները հարթությունը առավելագույն մասերի կբաժանեն, եթե
չորրորդ ուղիղը հատի նախորդ երեքը ևս նոր երեք կետերում D ; М ; N :
Հարթությունը կտրոհվի 7 —> 7 + 4 = 11 մասերի:
Պատասխան. 4 ուղիղները հարթությունը առավելագույնը կբաժանեն 11
մասերի:
□□□ Տե 'ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 8» (նորը) N 455:
В С К В (К ) с
Տանենք А կենտրոնով և A M = R շառավիղով շրջանագիծ: Գծագիր
ւս)-ում այն հատում է A B կողմը К կետում, գծագիր բ)-ում А В կողմի շարու
նակությունը հատում է К կետում, գծ. գ)-ում անցնում է В կետով:
АА М К -Ը կլինի հավասարակողմ' Z K A M = 60° ֊ի պատճառով: Քանի որ
Z M C D = 15°, ապա K Q || В С (գծ. ւս)-ում) կստանանք'
A M KQ = 90° ֊6 0 ° =30° , Z K P M = 90° ֊15° =75°, ուստի' A K P M ֊ը կլինի
հավասարասրուն' Z K M P = 180° ֊ (30° + 75°) = 75°֊ի պատճառով:
Նշ. A B = B C = C D = D A = a
B K = CQ = А В - А К = а - A M = K Q -К Р = a - A M = P Q : Այսինքն
P Q = C Q = a ֊A M , որը հնարավոր չէ Z P C Q = 15° ֊ի պատճառով: Գծ. բ)-ում
A M = A K = A B + B K = a + B K , M P = C P =>
A M = K M = P M + K P = P C + K P = { В С - P B ) + K P , a + B K = a ֊ P B + K P
B K + P B = K P , որը տեղի ունենալ չի կարող B K + B P > K P (եռանկյան
անհավասարությունը) պատճառով: Ուրեմն գծ. բ)-ն ևս տեղի չունի: Մնում է տեղի
ունենա գծ. գ)-ն A M = A B = M B = а = В С => А М В С եռանկյունը հավասա
րասրուն է:
Այսինքն Z M B C = 90° ֊6 0 ° =30°:
Պատասխան. Z M B C = 30°:
DEO Տե՜ս նմանակը. Աթանասյան «Երկրաչափություն - 6» N ...:
Նշանակեք Z B = x° (տես գծագիրը)
Z R P Q = 2x° = Z B R Q => Z R Q S = Z B R Q + Z R B Q = 2x° + X° = Зх°
(արտաքին անկյունը հավասար է իրեն ոչ կից երկու ներքին անկյունների գումարին):
Z R S Q = Z R Q S = 3 x ° :
Շարունակելով կստանանք'
Z M R S = 4x° => Z M S N = 5x° => Z A M N = 6x° => A N C = 7x° = Z A C N = Z B A C ֊ը:
Այսպիսով' Z B = x ° ; Z A = Z C = 7x° Z A + Z B + Z C = m ° =5>
x° + 7x° = 180° 15x° = 180° <^ x°= 12°:
Պատասխան. Z B = 12°:
9-րդ դասարան
OBD Տե՜ս Հ. U. Միքայելյան «Հանրահաշիվ - 9» N 690:Մարդկանց թիվը նշանակենք (Օով, շների թիվը' ֊ով, ճանճերի թիվը' -
ով: Այդ դեպքում'
|Մ + Շ + Ճ = 10 քՄ + Շ + ճ = 10
լ2Մ + 4Շ + 66 = 46 ° |մ + 2շ + 3ճ=23:
Բացի այդ' Մ > 2 , Շ > 2 , ճ > 2 , քանի որ խնդրում ասված է «կան
մարդիկ, շներ, ճանճեր»: Ունենք' (Մ + 2Շ + ՅՃ) — (Մ + Շ + ճ ) = 23 —10 = 13<=>3
Շ + 2 ճ = 13 (**):
(**)-ից հետևում է, որ Շ-ն չի կարող զույգ թիվ լինել և քանի որ Շ > 2,
ապա Շ > 3 : Եթե Շ = 3 , ապա ճ = 5, Մ = 2: Իսկ եթե Շ =5, ապա ճ = 4 և
Մ = 10—(5 + 4) = 1-ը տեղի ունենալ չի կարող:
Շ = 7, Շ = 9 նույնպես տեղի չունեն:
Պատասխան. Մարդիկ' 2, Շներ' 3, ճանճեր' 5:
ВВП Տե՜ս Հ. Մ. Միքայելյան «Հանրահաշիվ - 8» N 1228:
Դիցուք տված է x 2 + px + q = 0 բերված տեսքի քառակուսի հավասա
րումը, որի համար p , q s Z : Ենթադրենք D = p 2 — 4q = 63 О
( р 2 + 1 )-4 9 = 64 => ( р 2 + 1)М : Սակայն, եթե p -ն կենտ թիվ է (զույգ լինել չի
կարող), ապա р 2 +1 = (2К + 1)2 +1 = 4K ( K +1) + 2, որը չի բաժանվում 4-ի:
Պատասխան. Տարբերիչը չի կարող հավասար լինել 63-ի:
□GO Տե՜ս Հ. Ս. Միքայելյան «Հանրահաշիվ - 7» N 683*:
Եթե x -ով նշանակենք այն աշակերտների թիվը, որոնք ցանկացել են
սովորել և անգլերեն, և գերմաներեն, և ֆրանսերեն, ապա (7 - х) ֊ը կլինի միայն
անգլերեն և գերմաներեն, բայց ոչ ֆրանսերեն, 6 - ւ - ը միայն անգլերեն և ֆրան
սերեն, բայց ոչ գերմաներեն, իսկ З - х -ի միայն ֆրանսերեն և գերմաներեն,
բայց ո չ անգլերեն: Մնացած նշանակումները նույնպես հասկանալի են: Ունենք'
(7 + х) + (6 ֊ х) + X + (7 ֊ х) + (3 ֊ х) + (5 + х) + (3 + х) = 20 +11 + х = 31 + х :
Այսպիսով' (31 + х) քանակի աշակերտներ զբաղված են անգլերեն,
գերմաներեն, ֆրանսերեն լեզուներից գոնե մեկը սովորելով: Հետևաբար
31 + х < 32 <̂=> X < 1: Այսպիսով, եթե х = 1 (3 լեզուները սովորում է միայն 1
աշակերտ), ապա 32 աշակերտից 32-ն էլ զբաղված են գոնե 1 լեզու սովորելով,
իսկ եթե x = 0, ապա չկա աշակերտ, որը սովորում է նշված երեք լեզուներն էլ,
այնպես որ այս դեպքում դասարանի 32 աշակերտներից 1-ը չի սովորում նշված երեք լեզուներից և ոչ մեկը (ասենք սովորում է միայն իր մայրենի լեզուն' օրինակ հայերենը): Խնդրի վերը նշված ձևակերպումը (տես Հ-7, N683*) իր մեջ պարունակում է : Եթե դասարանում կան 32 և ավելի աշակերտներ,բայց 32 աշակերտներից 20-ը սովորում է գերմաներեն և այլն, ապա ասել կուզի, որ այդ 32 աշակերտներից յուրաքանչյուրը սովորում է նշված երեք լեզուներից գոնե մեկը, բայց եթե հասկանանք, որ դասարանում կան 32 աշակերտներ, և նրանցից 20-ը սովորում է գերմաներեն (և այսուհետ ինչպես տեքստում), ապա հնարավոր է դրանցից մեկը և ոչ մի լեզու նշված երեքից էլ չսովորի:
Այսպիսով' ճիշտ 32 աշակերտի առկայության դեպքում հնարավոր է և
x = \, և x = 0 պատասխանները, իսկ եթե 32 և ավելի աշակերտներ կան
դասարանում, ապա այս դեպքում նրանցից 32-ը զբաղված լինելով վերը նշված
երեք լեզուներից գոնե մեկը սովորելով, կստանանք միակ պատասխանը' x = 1:
В 0D Տե՜ս 8-րդ դասարանի Խնդիր N 5-ը:
D OD Տե՜ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 7» (նորը), N380
A
Տված է Z B A C = 80°, A B = A C , Z M B C = 30°, Z M C B = 10°: Գտնել
Z A M C -ն:
Տանենք A D միջնուղղահայւսցը (կիսորդը) և B M ֊ը շարունակենք
մինչև A D ֊ի հետ D կետում հատվելը: Այդ դեպքում Z D M C = 30° +10° =40°
(արտաքին անկյունը հավասար է իրեն ոչ կից երկու ներքին անկյունների գումարին), մյուս կողմից
Z B A D = Z D A C = — = — = 40°:2 2
Բացի այդ D B = D C , որովհետև A D ֊ն միջնուղղահայաց է, հետևաբար
Z D C B = Z D B C = 30° :
Ուստի Z D C M = 30° ֊10° =20°:
Z D C A = Z C — Z D C B = 50° —30° = 20° : Հետևաբար AM D C = A A D C որպես
հավասար անկյուններ և մեկ հավասար ընդհանուր կողմ D C -ն, որը ընկած է
4 0 ° ֊ի հավասար անկյունների դիմաց:
Այսպիսով' A D = D M , Z M D C = Z A D C = 180° — (40° + 20°) = 120° ,
հետևաբար Z A D M = 360° ֊(120° +120°) =360° ֊2 40° =120°:
Այսինքն' Z A M D = Z M A D = (180° - Z A D M ) : 2 = (180° ֊120°): 2 = 30° :
Այսպիսով' Z A M C = 40°+30° =70°:
Պատասխան. 70°
10-րդ դասարան
□ 6ВО Տե՜ս Գ.Գևորգյան և Ա.Սահակյան «Հանրահաշիվ և մաթ. անալիզի տարրեր - 9»: N 354:
Պատասխան' 2) Առավել հեշտ լուծելի է բ) հավասարումը:
Իրոք' s in6 X = 1 + cos6 X > 1, քանի որ cos6 x > 0 և sin6x < l , ապա ստանում ենք
ա) sin3 x - c o s 3 X = 1 հավասարումը համարժեք չէ բ)-ին և լուծման առումով փոքր ինչ դժվար է նրանից:
s in2 x ( s in x - l) = cos2 x ( l + c o sx ) : Եվ քանի որ l + cosx> 0 , իսկ sin х -1 < 0 ,
ապա 0 > s in2 x ( s in x - l) = cos2 x ( l + cosx) > 0, s in2 x > 0 , cos2 x > 0 պատ
ճառով կստանանք'
Իրոք' s in3 x ֊ c o s 3 x = 1 = s in2 x + cos2 x
x = 7г{ 1 + 2k)
<=> х = - + 2лк n ’ k ^ z <=>2
x e Z .x = — Ւ 2лк. 2
71x = — v m . 2
□ BID Տե՜ս Հ.Ա.Միքայելյւսն «Հանրահաշիվ - 9» (նորը) N 260:
A C = 7 5 ------= 15 (կմ), СВ = А В - A C = 75 -1 5 = 60(կմ),
, 30Ունենք էըը — — , է ը ց
х + 5 х - 5 ’
30— г; է,
60
X
Ըստ պայմանի
30 30 60 1 60х _ 120 + X
X 2 — 25 ՜ 2хО х — 25х = 3000+ -------= — + - О
х + 5 х - 5 х 2
(х> 0 ;х^ 5 ) о ( х -5 ) • х • (х + 5) = 10-15 • 20 :
Վերջինը հավասարման լուծման հիմնական պահն է:
Ունենք' ( х - 5 ) X - (х + 5) = (15-5)15 (15 + 5) => х = 15^ այդ հավա
սարման արմատներից մեկն է:Մյուս կողմից'
х - 1 5X 3 - 2 5 Х -3 0 0 0
X 3 — 15х2 X 2 + 15х + 200
15х - 25х
15х2 - 225х
200х -3000
200х ֊3000
о
Ուստի'х 3 -2 5 х -3 0 0 0 = (х -1 5 ) (х 2 +15х + 200), սակայն х 2 +15х + 200 = О,
հավասարման համար D = 2 2 5 -30 0 < 0 , հետևաբար х = 15^ միակ իրական
արմատն է:Պատասխան. Հեծանվորդի նախնական արագությունը 15(կմ/ժ) է:
В QD «Հանրահաշիվ և մաթ. անալիզի տարրեր - 9»: N 161 գ:
Դիցուք' А + В + С = 90° և А ,В , С е (0°;90°):
Ունենք' tgA + tgB + tgC = tg(A + 5)(1 - tgA ■ tgB) + tg C :
Օգտվեցինք' tg(A + B) = + բանաձևից:tgA tgB
tgA + tgB + tgC = tg{\80° - C)( 1 - tgA ■ tgB) + tgC =
= - t g C (1 - tgA -tgB ) + tgC = - tg C + t g C ■ tgA■ tgB + tgC = tgA■ tg B ■ tgC :
Նշանակենք tgA + tgB + tgC = tgA ■ tgB ■ tgC = a > 0 :
Այդ դեպքում ըստ Կոշու անհավասարության
^ = lgA ,g B - ,g C = lg A + lg B + lg C )gC = վ 7 &
О f - j j >(л/я) О — > a > 0 О a 2 > 27 a > З-հ/յ :
Հավասարությունը տեղի ունի tgA = tgB = tg = С = у/3 о
A = В = C = 60° դեպքում:
В □□ Տե՜ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 9» (նորը), N473:
Տված է A B C D սեղանը B C \ \ A D , A M = M B , M H _L {CD) (ուղիղին):
Ունենք, որ S ABCD = S AACD + S MBC. Բայց S MBC = <$,дВС0 = —В С ■ h , որտեղ հ-ը
սեղանի բարձրությունն է: Մյուս կողմից՝ Sm c d = ^ \ C D \ - \ A A 1 \, AA x -L (CD) ,
իսկ S mBC = -j| B B X I • I C D I, որտեղ B B X _L(CD) ուղիղին:
S abca = s &BCD = ^ \ B B , \ - \C D \ , ուստի'
S a b c d = ± \C D \ ֊ \A A , \+ ± \B B , \ ֊ \C D \=
=\CD\{^ A A i ^ B B i ]̂ = \C D \ - \M H \ \ B B xA xA-b ուղղանկյուն սեղան է,
որի միջին գիծը \ M H l=~(l AA\ I +BBl ):
D □□ Տե՜ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 9», N 558
Նշանակենք A B = a , B C = b , C D = c, D A = d , Z A = a° ^ Z C = ( 180°- a ° ) \
S ABcd = ~ (Qd + be) • sin a 0 : Մյուս կողմից' B D 2 = a 2 + d 2 - 2 a d c o s a ° (AA B D -
ից), B D 2 = b 2 + c 2 -2/>ccos(180°- a 0) = b2 + c 2 + 26ccosctr° ( A B C D -ից):
Ուստի'
a 2 + d 2 - 2 a d c o s a ° = b 2 + c 2 +2bccosa° <=>
cosctr0 = ----------------(a 2 + d 2 - b 2 - c 2) :2 {ad + be)
Մյուս կողմից' 0<sina° = V l- c o s 2 a 0 <=>
_ I (a2 + d 2 - b 2 - c 2)2 _ -J{2ad + 2bc)2 ֊ { a 2 + d 2 ֊ b2 - c 2)2
\ 4 {ad + bc)2 2 {ad + bc)
$abcd = S&abd + S&bcd = -^ adsina() +-̂ />csin(180° -a0) = ^ adsm a° +^6csinctr0:
sin or
ABCDS = —{ad + b c ) -------- --------д/(2ad + 2be)2 - {a2 + d 2 - b 2 - c 2)2 =2 2 {ad + be)
= —-yJ{2ad + 2b c - a 2 - d 2 + b2 + c 2){2ad + 2bc + a 2 + d 2 - b 2 - c 2) =
= -^{{b + c)2 - { a - d ) 2)-{{a + d ) 2 - { b - c ) 2) =4
= -̂ -д/ {b + с - a + d){b + c + a ֊ d ) { a + d - b + c){a + d + b - c) =
b + c + a + d — 2a \( b + с + a + d - 2 d ) f a + d + c + b —2b \ f a + d + b + c - 2 c
2 Л 2 A 2 A 2
= J { p - a ) { p - d){p - b ) { p ֊ c ):
Այն դեպքում, երբ քառանկյանը հնարավոր է ներգծել շրջանագիծ, ապա
a+ c = b + d => b + c + a ֊ d = b + b + d ֊ d = 2 b ,
b + c + d ֊ a = a + c + c ֊ a = 2c, a + d + c ֊ b = b + d + d ֊ b = 2 d ,
a + d + b - c = a + a + c - c = 2a => S = —^j2a-2b-2c-2d =yjabcd :4
Այսպիսով, եթե քառանկյունը և ներգծելի է, և արտագծելի է շրջանա
գծին, ապա Տ = л!abed : Ընթերցողին ենք թողնում պարգել, ճիշտ է արդյո՞ք
հակադարձը:
11-րդ դասարան
0 HD Պատասխան. 2) հավասարումը համեմատաբար հեշտ լուծելի է:
Բանն այն է, որ ա) 2х = X 2 հավասարման այն լուծումները, որոնց դեպ
քում х > 0 , հնարավորություն է տալիս սպառելու բ) 2|x| = (x )2 հավասարման
բոլոր լուծումները: Մնում է տեսնել, որ այս հավասարումն ունի լուծում նաև
X < 0 դեպքում, ինչը կարելի է տեսնել նաև նույնիսկ գծագրից'
Մյուս կողմից' f ( x ) = 2x - x 2 =0 հավասարումը կարող է ունենալ
3 իրարից տարբեր արմատներ: Իրոք, եթե ենթադրենք, որ
x j< x 2 < x3 < x4 թվերը այդ հավասարման արմատներն են, ապա [xj;x2];
[x2;x3]; [x3;x4] հատվածներից յուրաքանչյուրում' f { x ) = 2x - x 2 ածանցելի
ֆունկցիան ընդունելով իր և մեծագույն, և փոքրագույն արժեքները միջակայքերի ներքին կետում Ֆերմայի թեորեմի համաձայն
f \ c ւ) = 0; C j e t x j ^ ) , f { c 2) = 0; c2 e ( x 2;x3), f ' ( c 3) = 0; c3 e ( x 3;x4)
Այսպիսով'
/ ՛ (x) = (2х ֊ x 2 )'= 2х • In 2 ֊ 2x = 0 հավասարումը ունի cl < c 2 < c3
արմատները:
/ '( c j) = / ' ( c 2) = / '( c 3) = 0 պայմաններից կստանանք, որ / " ( х ) = О
հավասարումը (cl5c2) և (c 2,c3) միջակայքերից յուրաքանչյուրում կունենա
/ " (ծ յ) = 0; / " ( ծ 2) = 0, ծյ <b2 արմատները: Աակայն,
դ շ/ " ( x ) = (2x ln 2 - 2 x ) '= 2 x(ln2) - 2 = 0 2х = ------- - , որը կարող է ունենալ
(եւ2)
ճիշտ 1 արմատ, ինչը կհակասի վերը ստացած bx <b2 արմատներին:
Հետևաբար 2х = х 2 հավասարումը 3-ից ավելի լուծումներ չի կարող ունենալ:
Դժվար չէ նկատել, որ Xj = 2; х2 =4 և -1 < х3 < 0 թվերը ա)-ի լուծումներն են,
որոնցից хг > 0 , х 2 > 0 : Հետևաբար
х = ±2
х = +42W =1 X I2 О
I X |= 2О
к 1=4
թվերը սպառում են բ)-ի բոլոր լուծումները:
Պատասխան. բ)-ն ունի չորս լուծում' х = ±2; х = ±4:
Об). Տե՜ս Գ.Գևորգյան և Ա.Սահակյան «Հանրահաշիվ և մաթ. անալիզի
տարրեր-9» N234:Նշանակենք
= + < G(x) = ^ (x )~ ^ (~x ) , ապա f ( x ) = F (x ) + G(x) :
Ընդորում' V x e D ( f ) => ( -x )e D ( f ) , քանի որ D ( f ) ֊ը համաչափ էր 0 կետի
նկատմամբ: Մյուս կողմից' F ( ֊ x ) = ^ .ը զույգ է, իսկ
Г-Г \ f i ~ X) ~ f i X) f ( X) - f ( ~ X) Г-Г \ 11-Г 1-G (֊x ) = — — շ = ~ — 1 = - G ( x ) ֊ը կենտ է:
Այժմ ցույց տանք, որ / ( x ) = F (x ) + G (x) (***) ներկայացումը միակն է:
Դրա համար նախ ապացուցենք, որ եթե g(x) ֆունկցիան միաժամանակ
և զույգ է և կենտ է, ապա g(x) = 0, որտեղ D(g)-Q համաչափ է 0 կետի
նկատմամբ:Իրոք'
g(~x ) = g (x ) V x e D i g ) ֊ի զույգությունից:
g ( ֊x ) = -g (x ) V x e D {g ) ֊ի կենտությունից:
Ուստի g(x) = -g (x ) <=> 2 g(x) = 0 О g(x) = 0; V x e D (g) :
Այժմ ենթադրենք, որ f ( x ) = F (x ) + G(x) = F l (x) + G l (x), որտեղ ^ (x )^
և F x (x) ֊ը զույգ ֆունկցիաներ են, իսկ G(x) և G x (x) ֊ը կենտ ֆունկցիաներ են:
F (x ) + G(x) = F x (x) + Gj (x) <=> F{x) - F x (x) = Gj (x) ֊ G (x ) ;
V x e Z ) ( / ) : Բայց H (x ) = F (x ) - Р^(х) ՜Ը զույգ է և H (x ) = G (x) - G 1(x)-ը կենտ
է: Հետևաբար Н (х ) = 0 О F ( x ) - F j ( x ) = 0 = G j( x ) -G ( x ) <̂=> ,F(x) = JF1(x) և
а д ^ , ( х ) ; V x e D { f ) :
О О. Տե՜ս Հ.Ս.Սիքւսյելյան «Հանրահաշիվ - 9» (նորը) N692:
Դիցուք' jVj {Зк} ս {3к - 1} ս {3к + 1}; к е N :
Եթե p e N յ => p = 3k կամ p = 3 k ֊ \ \ p = 3k + \\ k e N : Քանի որ,
p -ն պետք է լինի թիվ, ապա р = 3к = 3-1 = 3: Սակայն, այդ դեպքում
^ — 10 = 3 —10 = —7*2 TVj => р ф Ъ к \ к е N \
Եթե р = 3 к ֊ \ \ к е N , ապա p +10 = Зк - 1 +10 = Зк + 9 = 3(к + 3), որը
պարզ թիվ լինել չի կարող: Ուստի' р фЗк - I ] k e N :
Սնաց' p = 3k + \ => p — 10 = З к + 1 — 10 = З к — 9 = 3 • ( к — 3 ) , որը
պարզ թիվ կլինի к — 3 = 1 О к = 4 դեպքում: Սնում է ստուգել
р = Ък + 1 = 3 • 4 + 1 = 13 - □ /> — 1 0 = 1 3 —10 = 3 պարզ թիվ է,
р + 10 = 1 3 + 1 0 = 23 պարզ թիվ է, և բացի այդ պարզ թիվ է լինում նաև
р - 2 = 13 — 2 = 11-ը:
Պատասխան, р = 13 խնդրի պայմանին բավարարող միակ պարզ թիվն է:
В □. Տե՜ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 9» տարաչւսփու- թյան բաժին N374:
Խնդրի պայմանից հետևում է, որ A ,B ,C ,D կետերը կարող գտնվել
հարթության մեջ: Ուստի A B C D ֊ն տարածական քառանկյուն է և A M = M B \
C N = N D : Դիտարկենք M N վեկտորը: Ունենք'
M N =M A + AC + CN | |___ ̂ ̂ ̂ |+|M N = M B + BD + DN
2M N = (M A + M B ) + (A C + B D ) + (C N + ZW ) = 0 + A C + B D + 0 = ~AC + Ж ) :
Մյուս կողմից' | 2M N =| A C + B D |<| A C \ + 1 B D \: Բայց A C \ \ B D \ Հե
տևաբար'
A C + B D2-\M N\< \AC\ + \BD\ <=> M N < ■
2
О Q. Տե՜ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 9» (նորը) N551:
Դիցուք' հարթության մեջ ունենք a;b;c;d (հաջորդական) կողմերով
քառանկյունը: Քանի որ, կամայական ոչ ուռուցիկ քառանկյունը միշտ կարող ենք
դիտարկել նույն կողմերով ուռուցիկ քառանկյան մեջ (տե ս գծ. բ) A B = A B X = a ,
C B = C B x =b), ապա բավարար է սահմանափակվել ուռուցիկ քառանկյան
ապացույցով:
Ունենք S ABCD = S MBC + S MCD.
Դիտենք' ААВС-\\ О : А С կողմը թողնենք անշարժ, իսկ С կետից
տանենք C B X = A B = а և В ХА = В С = b կողմերը: Քանի որ AA B C = ACB^A ըստ
հավասարության երրորդ հայտանիշի, ապա S abc = S ABlC : Մյուս կողմից'
^ A B fiD = $ A B 1D + ^B jC D ^ Р Ш Э Ь SA B C D = ^ A B f D և
S AB1D = ^ bd ■ sin{ZBXAD ) < - b d ,
SBicd = ~ a ՛ c ՛ sin(Z5jCZ)) - ~ a c :
Հետևաբար՝ SABCD = S ABiCD < ^ ac + ֊ b d =-^(ac + bd ) , քանի որ
sm{ZBxAD ) < s in 90° = 1, s in (ZB jCD ) < s in 90° = 1:
Հ ե տ ա զո տ ա կ ա ն
«ՊՅՈՒԹԱԳՈՐԱՍԻ Թ Ե Ո Ր Ե Մ Ն Ե Ր Ը » ԿԱՄ
Ե Ր Կ Ր Ա Չ Ա Փ Ա Կ Ա Ն Տ Ա Ս Ն Չ Ո Ր Ս Թ Ե Ո Ր Ե Մ Ն Ե Ր Ի
ՀԱՄԱՐԺԵՔՈՒԹՅՈՒՆԸԱշոտ Մելիք-Փարսադանյան
ՀՀ ԿԳ նախարարության Կապանի վարժարան
Մաթեմատիկայի դասավանդման գործընթացում աշակերտներին պետք է
ուսուցանել ոչ միայն հայտնի փաստեր, այլ նաև նրանց պետք է մղել թեորեմների
ապացուցման և խնդիրների լուծման նոր եղանականեր գտնելու որոնողական
աշխատանքի: Ներկայացվող հոդվածի նյութը ևս կարող է ծառայել այդ նպա
տակին: Կարծում ենք, որ այն կնպաստի սովորողների գիտական երևակայու
թյան զարգացմանը, քանզի այն որոշակի գիտամեթոդական հետաքրքրություն է
ներկայացնում:
Թեորեմները հետաքրքիր են ոչ միայն առանձին վերցրած, այլ նաև մի
մյանց հետ ունեցած առընչությունների առումով, եթե այդպիսիք կան: Աշխա
տանքում ընտրվել են տասնչորս մետրիկական թեորեմ, այդ թվում նաև Պյութա
գորասի թեորեմը, և ապացուցվել, որ դրանք համարժեք են: Պարզվել է, որ դի
տարկված տասներեք թեորեմները Պյութագորասի թեորեմի հարմարեցված
տարբերակներն են, եթե կուզեք' դրսևորումները, երկրաչափական այս կամ այն
պատկերի համար, այսինքն' դրանք «Պյութագորասի թեորեմներ» են: Հետևա
բար, եթե որևէ մետրիկական խնդիր հնարավոր է լուծել
ստորև բերված տասնչորս թեորեմներից մեկի միջոցով,
ապա այն հնարավոր է լուծել նաև աշխատանքում դի
տարկված տասներեք թեորեմներից յուրաքանչյուրի միջո
ցով: ձ
Այսպիսով, հետևյալ թեորեմները համարժեք են.
Թեորեմ 1 (Պյութագորասի թեորեմը). Ու՜ղղանկյուն
եռանկյան նեքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քա- а
ռակուսիների գումարին (նկ. 1). с՛ = ս ՚ + հ : Նկ. 1
Թեորեմ 2. ա) Եռանկյան բարձրությունը կողմերի միջոցով արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով (նկ. 2).
hc = — J 4 a 2b 2 - ( a 2 + b 2 - с 2) 2 : 2c
բ) Եռանկյան մակերեսը կողմերի միջոցով արտահայտվում է հետևյալ բանաձևերով'
ch.— J 4 a 2b 2 - {a2 + b 2 - с 2) 24 2
S :
ch„> (Հերոնի „ш О ш а д j p ( p ֊ « x f ֊ % - t ) = ֊ = s , որտեղ
a + ծ -Ւ с
2Թեորեմ 3. ա) Եռանկյան կողմը բարձրությունների միջոցով արտա-
2հայտվում է հետևյալ բանաձևով, с
հ.4 ( յ _ յ ____ լ
՜հ ̂+ ՜հ} ՜հ2V ‘ *a '*b ՚ с J
բ) Եռանկյան մակերեսը բարձրությունների միջոցով արտահայտվում է
1 ch.հետևյալ բանաձևով.
4
K K
( \ 1 P ’-----1------------Ք * К վ յ
շ= Տ\
Թեորեմ 4 (Ապոլլոնի թեորեմը). Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է կողմերի քառակուսիների գումարին
(նկ. 3). I 2 + т 2 = 2 ( a 2 + b 2) \
Թեորեմ 5. Եռանկյան միջնագիծը կողմերի միջոցով արտահայտվում է
հետևյալ բանաձևով (նկ. 4). mc =-—^ 2(a 2 + b 2)-<
Նկ. 3 Նկ. 4
с
А
Նկ. 5
Նկ. 6
Նկ. 7
Նկ. 8
Թեորեմ 6. Եռանկյան կողմը միջնա
գծերի միջոցով արտահայտվում է հետևյալ
բանաձևով.
с = | л / 2 (да* + Հ ) - Հ :
Թեորեմ 7 (Ստյուարտի թեորեմը).
Դիցուք D -Կ A B C եռանկյան A B կողմին
պատկանող որևէ կետ է (նկ. 5): Նշանակենք
A C = b , A B = с , В С = а , C D = р , A D = п ,
D B - M ; Այդ դեպքում տեղի ունի հետևյալ
հավասարությունը,
с(р2 + пт) = а2п + Ъ2т :
Թեորեմ 8 (Պտղոմեոսի թեորեմը հա
վասարասրուն սեղանի համար). Հավասա
րասրուն սեղանի անկյունւսգծի քառակուսին
հավասար է սրունքի քառակուսու և հիմքերի
արտադրյալի գումարին (նկ. 6).
Ր = c 2 + ab :
Թեորեմ 9. Սեղանի անկյունագծերի
քառակուսիների գումարը հավասար է նրա
սրունքների քառակուսիների գումարին'
ավելացրած հիմքերի կրկնապատիկ արտա
դրյալը (նկ. 7).
1՜ + ա = с + d + la b ՛.
Թեորեմ 10 (էյլերի թեորեմը). Դիցուք
A B C D -Կ որևէ քառանկյուն է (նկ. 8) E -ն
A C ֊ի, իսկ F ֊ը' BD -\\ միջնակետն է: Նշա
նակենք
A B = c , B C = a, C D = d , A D = b,
B D = /77, A C = l և E F = է : Այդ դեպքում
տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը.
Ր + W " + 4 1՜ = a 2 + b 2 + c 2 + d 2:
Թեորեմ 11. Դիցուք A B C D -ն որևէ
քառանկյուն է (նկ, 9):i?-0 A C -ի, իսկ F -ը
BD-\\ վրա վերցված կետեր են: Նշանակենք
A B = с, B C = a , C D = d , A D = b, B D = m,
A E = k, A C = I , B F = z և E F = է : Այդ դեպ
քում տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը.
h v (/2 + z(m - z ) + k ( l - к )) =
= a 2k(m - z )+ с 1 (/ - к ) { т - z ) + d 2kz + b 2(l - к).
Թեորեմ 12. Դիցուք A B C D ֊ն որևէ
քառանկյուն է (նկ. 10): M -ը A B ֊ի, իսկ J f -ը'
C D -ի միջնակետն է: Նշանակենք A B = c,
В С = а , C D = d , A D = b B D = m A C = l և
M N = p : Այդ դեպքում տեղի ունի հետևյալ
հավասարությունը.
4 թ 2 = Ր + т 2 + а 2 + Ь 2 - с 2 - d 2 :
Թեորեմ 13. Դիցուք A B C D -ն որևէ
քառանկյուն է (նկ. 11): M -ը A B ֊ի, իսկ N ֊ը
C D -ի վրա վերցված կետեր են: Նշանակենք
A B = C , 5 C = a, C D = d , A D = b, A C = Լ
B D = m, M N = : Այդ դեպքում տեղի ունի
հետևյալ հավասարությունը.
Նկ. 9
DՆկ. 10
В
‘d ( p 2 + z(c - z )+ k (d - к))-
a kz + b 2(d ֊ k )(c - z )+ l 2k (c - z )+ m 2{d - k ) z : Նկ. 11
Թեորեմ 14. Դիցուք A B C D ֊ն որևէ
քառանկյուն է, իսկ Օ -ն A C անկյունագծի
վրա վերցրված որևէ կետ է (նկ.12): Նշա
նակենք A B = c, B C = a , C D = d , A D = b ,
В О + O D = т , A C = /, В О = х և A O = v :
Այդ դեպքում տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը.
° 2 Ս ~ У) ■ ( т - х) + а 2у ( т - х) + d 2xy + b 2x(l -
= lm{x(m ֊ x) + v(l ֊ y ) ) :
Դիտողություն: Չենք կարծում, որ թեորեմների վերոհիշյալ ցանկը ամբող
ջական է: Հավանաբար կլինեն այնպիսիները, որոնք մեր տեսադաշտից դուրս են
մնացել: 2-ի ա)-ի, բ)-ի և գ)-ի, ինչպես նաև 3-ի ա)-ի և բ)-ի համարժեքությունը
ակնհայտ է, և այդ պատճառով դրանք առանձնացված չեն: Թեորեմ 11-ը, 13-ը և
14-ը մաթեմատիկական գրականության մեջ չենք հանդիպել:
Քանի որ մեկ հոդվածի շրջանակներում հնարավոր չէ ներկայացնել բոլոր
ուղղակի (չմիջնորդավորված) ապացուցումները, դրանց մի մասը թողնում ենք
ընթերցողին: Այստեղ աշակերտների հետ աշխատանքի հսկայական նյութ կա:
Որևէ թեորեմի ապացուցումը, տրված մեկ այլ կոնկրետ թեորեմի միջոցով, կզար-
գացնի օժանդակ կառուցումներ և հանրահաշվական ձևափոխություններ կա
տարելու նրանց կարողությունները, ինչպես նաև ստեղծագործական երևա
կայությունը:
Հոդվածում ներկայացվում է հիմնական պնդման հիմնավորումն ապահո
վելու համար անհրաժեշտ, ինչպես նաև մեր կարծիքով առավել հետաքրքիր ա-
պացուցումները:
Հետևյալ ուրվագծում ուղղությունները ցույց են տալիս, թե որերորդ թեո
րեմից որն է ապացուցվել:
Ա Պ Ա Ց Ո Ւ Ց Ո Ւ Մ1 ֊^2(ա)
Սահմանափակվենք միայն Հ ճ < 9 0 " ,
Z B < 90" դեպքով (նկ.13): Նշանակենք
BD = X, որտեղից' DA = c - x \ C D B և CDA
եռանկյունների համար կիրառենք թեորեմ 1-ը, կստանանք.
2 2 2 г = a - X
:= b2 ֊ ( c ֊ x y
2 2 2 Ն = а - х
[a2 - x 2 = b 2 —(с —x )2
J ւ 2 2/?„ =ci - x2 , 2 7. 2a +c - b
x = -2c
= a2 ■Г£ + С ^ Л2
2c■ h = — J 4 a 2c2 - ( a 2 + c2- b 2)2
c Ш 4
= — J 4 a 2b2 ֊ ( a 2+b2֊ c 2)2 : 2c
aՆկ. 14
2 (ա) —> 1Կիրառենք թեորեմ 2(ա)-ն' հաշվի առնելով, որ
=*(նկ.14):
Կստանանք.
b = — J 4 a 2h2 - ( a 2 + Ъ2 - с 2)2 =>2 a
^>4a 2b 2 = 4 a 2b 2 - ( a 2 + b * - c 2) 2 = > a2 + b 9 = c g
2(ui) —> 3(ш)
t = ֊ ( - ( „= + » ’֊ ֊ , ’֊ Л
k t = - L ( 4 a V 4 r + b ՝ - - c ՝ - f )
h ֊ = — (4 c r l f - i c r + t r - c r 4c V v
a % = b % = շ ձհլ
hl = J _ { ^ b 2 - { a 2 + b2 - c 24c2 V v
=տ> к = -4с-
c-h: c-h:
=> с" = -
К Ч
հ; Վ
4հ;
( հ2 /?շ+
1Л ; К
( ԺՀ_
v Հ
ժ հ ;-—с
■ с = -
=> к = —
2
к к
քհ; Հ ՜
А; йс
-1I к а
1 1 _ 1\շ
14 +
4
4
(7° =-
ь 2 =-
Հ հ 1
1 1 1
հ ք +՜հք՜՜հք\ <3
4
№
с2 = -
Л“/%а
( 1 1 Ո
U ; ' Հ
к՝» о 1 ^
4
Г ւ 1
1
Ո
Ա ;
2 ’'t
a 2h ;= b 2h l= c 2h;
с 2 = -
h ;h l
1 1 1
Վ + Վ ՜ Հ
=> с՜ =-4сгЬ
c 4h 4 . . . .с \ с
1 л
c 2h 2 c 2h 2 h 2 .՞ с с J
•с2 = -
4Ա4'сc 4h
4а2Ь2 ֊ ( а 2 +Ъ2 - с 2
h 2 = -^ { 4 а 2Ь2 - {а2 + Ь2 - с 2) )=> h = — J 4 c rb 2 ֊ ( а 2 + b2 - с 2) : с 4с- \ \ / ! ֊ 2 с v v /
4
4я
4
44я
4я
4 4
й/7
1 —>4
Տանենք A B C D զուգահեռագծի
В К - C S - И բարձրությունը (նկ.15):
Նշանակենք A K = D N = x , որտեղից'
K D = a - x, A N = a + x: A K B , B K D և
A N C եռանկյունների համար կիրառենք
թեորեմ 1-ը, կստանանք.
հ ՜ + X 2 = b -
< m 2 = /?2 + (a - x )՜ => <
/ 2 = հ 2 + (a + X )2
հ 2 + X 2 = b 2
m 2 = h 2 + x 2 + a 2 - 2 ax =>
/ ՜ = /? ՜ + X ՜ + а ՜ + 2 ах
А
т ՜ =Ъ՜ + а ՜ - 2 ах
11՜ = Ъ ՜է՜ ci + 2 cix
a D
Ր + т 2 = 2 (а2 + Ь 2):
4 —> 1
Լրացնենք ABC. ուղղանկյուն եռանկյունը մինչև A B C D
ուղղանկյուն (նկ.16): Քանի որ ուղղանկյունը նաև զուգահեռագիծ է, կիրառենք թեորեմ 4-ը, կստանանք.
= շ[բ2 + ծ 2 ) = > с 2 = C I 2 +b2 :շ . 2с +с
Նկ. 16
Նկ. 17
4 —>5
Շարունակենք C M = m c միջնագիծը և
նշենք К կետը այնպես, որ М К — Ոկ (նկ.17): К ֊ն
միացնենք ^4-ին և2?-ին, կստանանք А С В К
զուգահեռագիծը: Կիրառենք թեորեմ 4-ը,կստանանք.
(2<т с)՜ + с2 =շ{օ''՜ +b2)^>mc = — ̂ շ[օ2 +b2) - c 2 :
5 —>4
A B C եռանկյան համար B O -ն միջնագիծ է
(նկ.18): Կիրառենք թեորեմ 5-ը.
ВО = ^ 2(АВ2 + В С 2) ֊ A C 2 : Հաշվի առնելով,
որ ВО = — , A B = ծ, В С = а 2
կստանանք.
т 1
A C = l
- = ֊ y 2(a2 + b2) ֊ ! 2 ^ Ր + m 2 = 2 (a2 + b 2}.
5 —>6
և
ֆ Կ ” 1 + Հ ) ֊ Հ = | J 2( j ( 2(*5 t r ) ֊ r ) t ֊ № « = ) ֊ i J ) j ֊ I ( 2 ( r ( r ) ֊ r ) =
- • ֊ յ շ [ 2 Ե 2 + 2с2 - С Г + 2а2 + 2с2 - Ь 2) - 2а2 - 2Ь2 + с2 = с :2 3 ՛ ' ’
6 —>5
iV 2 (« 2+*! ) - c 2 = - յ շ ( ^ ( շ ( Հ +< ) - » ; ) 4 ( շ ( Հ + » ; ) -Հ ) ] -^ ( շ ( ;ml + m l) -n r ) =
= — —J l i lm r + 2/7/՜ - /?/“ + 2»r + 2nr - m l)- 2nr - 2ml + n r = m :2 3
2(ա) —> 7
Տանենք C K = h c բարձրությունը (նկ.19) և
կիրառենք թեորեմ 2-ի (ա)-ն և А Е Сեռանկյունների համար, կստանանք.
= — -у/4/72/?2 ֊ ( и 2 + р 2 - b 2)2ո ՚
'քՏ = —!— д / 4 / 772 2 - (w ՜ + p 2 - a 2
2я
=> -̂ — >l4m2p 2 - im 2 + p 2 - a 2 )2 =
4/T72/?2 -(»72 + / r - a 2)՛ j =
= m2^4«2/?2 ֊ (га2 + p ՜ - b
л 2 2 շ շ( 2 , 2 24n m p - n [m + p - a )~=4n 2m 2p 2 - m 2[n2 + p 2 u2(in 2 + p 2 — b 2) >
ո՜{թ2 + p 2 — a2) = Ո1՜(բ՜ + p՜ — £2)=> w|»T + p 2 — я 2| = #?|и2 + p 2 — 52|
Քանի որ A B D C ֊ում Z B D C > 90" => a 2 > »Г + JT => m2 + p 2 - a 2 < 0 =>
=> |m 2 + p 2 - a 2 = a 2 - m 2 - p 2 (b), իսկ /SADC ֊ում
Ճ A D C < 90՛ ^>b2 < n 2 + p 2 =>:
=> n 2 + p 2 - b 2 >0=>|/72 +/?2 - ծ 2| = /?2 + /ւ2 - ծ 2 (с): Հաշվի առնելով
(a),(ծ) և (c)-0, կստանանք.( 2 2 2 ̂ I 2 , 2 լ2 \^ 2 2 2 2 , 2 * 2 .ո\բ — m — p )= туп + p ֊ օ j=> па - п т ֊ пр = т п + т р -m b =>
=> па՜ + m b2 = р~ ( т + п)+ п т ( т + п) ̂ п а2 +m b2 = с(р 2 + тп):
(а):
п
А
Նկ. 20
В
7 —>1
Լրացնենք A B C ուղղանկյուն եռանկյունը մինչև
A B D հավասարասրուն եռանկյուն (նկ .20):Կիրառենք թեորեմ 7-ը այդ եռանկյան համար, կստանանք.
2a- (b2 + а - а )= с 2 ■ a + с 2 ■ a => a 2 + b 2 = c 2 :
7 —>5
Կիրառենք թեորեմ 7-ը, հաշվի առնելով, որ p = ma, m = ո = — ,
կստանանք, d m2 + — ■— ] = a 2 ■ — + b2 ■— => mr = —J2 [a 2 + b2) ֊ c 2 :' 2 2 2 2 2 Г v ’
7 —>8
Տանենք C.E IIA В (նկ.21): Կիրառենք
թեորեմ 7-ը A C D եռանկյան համար' հաշվի
առնելով, որ A C = I. C D = c, A E = a,
E D = b - a և С Е = с, կստանանք.
b(c2 + a (b ~ a ))= l2(b -a } + c 2a => be2 + b 2 a - a 2 b =
= I2 b - 12 a + c 2 a c 1 (b - ct)+ab(b - a) = I 2 (b - a) =>
. :>/՛ =с.՛ 2 +ab :
8
Դեպք 1 (p<b). С կետով տանենք
E F 11A B , A F = C D = p, A F / C D և
B E W D F (նկ.22): Քանի որ D C F A սեղանը
հավասարասրուն է, աւղա D F = A C = b, և
B E F D ֊ն զուգահեռագիծ է, ապա
B E = D F = b և E F = B D = m :
Նշանակենք C F = х , որտեղից' E C = m - x : Կիրառենք թեորեմ 8-ը
В ЕС А և D C F A հավասարասրուն սեղանների համար, կստանանք.
ja 2 = b2 + (m + n)(m - x)
I b2 = p 2 +nx
9 , n I / b - p 2a = b՜ + {m + n l m -----------
n
X
շb - p
crn = b2n + {m + n)mn - (m + n)b2 + {m + n )p2 => crn + b2m = c[p 2 + m n):
Դեպք 2 (p>b). Տանենք E C II A B , B E = D F =
= A C = b, B E U D F X A C (նկ.23): Քանի որ
B E F D -Կ զուգահեռագիծ է, ապա
E F = B D = m : Նշանակենք F C = x ,
որտեղից' E C = m + x: Կիրառենք թեորեմ
A 8-ը ստացված В Е С А և D F C A հավասա
րասրուն սեղանների համար, կստանանք.
■2 = Ь 2 + (m + n)-{m + x )
p 2 = b 2 + nx
= b 2 + (m + n ) •( p 2 ֊ b 2 ̂m н-----------
x =2 i. 2 p —b
■ a 2n = b2n + (m + n)-mn + {p2 ֊ ծ 2)(»? + «)=>
crn = b2n + (m + n)mn + (m + n )p2 - mb2 ֊ nb2 c2(p2 +mn) = a 2n + b2m :
n
an
n
Նկ.24
Դեպք 3. (p=b): Տանենք E C II AB , B E II CD
(նկ.24): Քանի որ B E C D ֊ն զուգահեռագիծ է,
կստանանք. B E = D C = p = b և
E C = B D = m : Կիրառենք թեորեմ 8-ը,
ստացված ВЕСА հավասարասրուն սեղանի2 2համար, կստանանք. а = р + т с , որը
թեորեմ 7-ն է, երբ b = р :
8 —>9
В а СՏանենք C F = А В = с ,С Р )У А В և
B E = C D = d, B E X C D (նկ .25):
Նշանակենք E A = F D = x , որտեղից'
Ah' = b —x. E D = b + x \ Կիրառենք
թեորեմ 8-ը, ստացված A B C F և
Е В C D հավասարասրուն սեղանների
համար կստանանք.
|/2 = c 1 + a ( b - x )/ + ա՜ — с ՜Ւ d ՜ + 2cib
լm 2 = d 2 + a(b + x)
9 ^ 8
Տեղագրելով թեորեմ 9-ի մեջ m = / և d = с, կստանանք թեորեմ 8-ը:
7 —>9
Շարունակենք A D ֊ն և նշենք Е և F կետերն այնպես, որ А Е = D F = а
(նկ.26): Միացնենք В ֊ն i s -ին, իսկ С ֊ն' F -ին, կստանանք ЕВ С А և B C FD
զուգահեռագծերը, որտեղից և B E = Լ C F = m :
E B D և A C F եռանկյունների համար կիրառենք թեորեմ 7-ը,
կստանանք,
\(a+b)[c2 + a b ) = m 2a + l 2b , Հ/ , , \ ճ ճ< } Դ \ Դ Դ =>(յթ+հըբ՜ + d +2ab) = m~(a + b )+ l“ (a+k)=>| (a + b)[d2 +ab) = m 2b + l 2a
=̂> I 2 + m 2 = c 2 + d 2 +2cib :
Նկ. 26
5 —>9
Միացնենք В С և A D հիմքերի M և N միջնակետերը և նշանակենք
M N = է (նկ.27): Տանենք C K \ \ M N , C E \ \ A B և C F WBD, որտեղից' C K = t,
ՈC E = c , C F = m և N K = - :
2
Նկատենք, որ
K D = N D - N K = t - e . = t ^ L , E K = E D - K D = b - a - ^ - = b- ^ - ,2 2 2 2 2
лтг а \ т b a a + b Ъ - а Ъ + аА К = A N + N K = - + — = ---------------------, K F = K D + D F = ----------+ а = --:
2 2 2 2 2
Ատացանք, որ С К ֊ն E C D և A C F եռանկյունների համար միջնագիծ
է: Կիրառենք թեորեմ 5-ը այդ եռանկյունների համար, կստանանք.
= ֊ \ №է — — У 2 Լ/2 + /772j— (^/+ծ)
֊ ֆ ( շ 2 + d 2) ֊ { b ֊ a f = ֊ ֆ կ 2 + m2)֊{a + b f
I + ա — с ~\՜ ժ + Ղոհ ՛.
9 -> 5
Տանենք A B C եռանկյան միջին գծերը
D F = —,E D = — և E F = — (նկ.28): Կիրառենք2 2 2
թեորեմ 9-ը B E F A ,D E C A և F D B C սեղանների
համար, կստանանք.
Նկ, 28
(d)
n r + m l2 7 2а о
— + — + 2 - c “ - 4 4 2
2 ч Ъ2 с 2 _ ат : + т ~ = ----- 1------- Ւ 2 — а ՝
ъ с 4 4 2
9 п с 2 а 2 Ь .т ՜ + т ՛ = — ----- + 2 ֊ Ь
4 4 2
ձ
4т 2а + т:„ + т 2 = — (а2 +Ь2 + с2)
2 , 2 т а + т ; ֊ ( с т + Ь 2)+ с՜
т ; = 1 (2 (а՝֊ + У - ) - с ՝ ֊ ) = . т г = 1 , / փ յ + » > )- , ,2 .
9 ^ 6
Եթե (d) համակարգը լուծենք а,Ъ,с-\\ նկատմամբ, կստանանք թեորեմ 6-ը:
Նկ. 29
9 —>4
Սեղանի հասկացությունը կարելի է ընդհանրացնել այնպես, որ զուգահեռագիծը դիտարկվի որպես սեղանի մասնավոր դեպք (նկ.29): Կիրառելով թեորեմ 9-ը' կստանանք.
I2 + m 2 = b 2 + b 2 + 2a- ci =>/՜ + m 2 = 2 (a2 + b 2):
8 ^ 4
В а - х Е Տանենք D E = A B = Ъ,D E W/AB և
C FW D E հատվածները, մինչև AD-\\
շարունակության հետ F կետում հատվելը
(նկ.30): Նշանակենք E C = D F = x ,
որտեղից' B E = a — x: Ստացված A B ED
և A В С F հավասարասրուն սեղանների
համար կիրառենք թեորեմ 8-ը, կստանանք.■շI ու
Ր = l r + a (a + x)
= Ъ2 + a (a -x ). Ր + цг = շ(բ2 + b2 ):
5 —> 10
Տանենք A B C եռանկյան B E = x և A D C
եռանկյան D E = у միջնագծերը (նկ.31):
Կիրառենք թեորեմ 5-ը A B C ,A D C L
B E D եռանկյունների համար, կստանանք.
Ն կ. 31
.V = ֊ y ] 2 { u : + c : ) - i 2
у — — д/ 2 (ծ2 + d 2) ֊ l
t = ~-^2(x2 + y 2) - m 2 ք֊ = ձ ( շ (X * + у ' ֊ ) - m '֊)
x 2 + у 2 = ~{a2 + с 2 + b 2 + ժ 2 - Г՜)
г = ^ փ (* 2 + . ՝ ՝ ' ) - » / ')
Ր + т 2 + 4է2 = a 2 + с 2 + b2 + d 2 :
ьՆկ. 32
Կիրառենք թեորեմ 10-ը’ հաշվի առնելով, որ
Ъ — а
10 —» 9
է = ■ (նկ.32): Կստանանք.
D ք2 + տ շ + 4 - — — 1 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2
I՜ + т - с + d " + 2ab :
1 0 ^ 4
Կիրառենք թեորեմ 10-ը' հաշվի առնելով, որ ! = 0. հ = a և d = c,
կստանանք թեորեմ 4-ը:
7 —>11
Միացնենք В -Կ և D -Կ £ -ին և նշանակենք
B E = X , D E = у (նկ.33): Նկատենք նաև,
որ Е С = / — к և D F = m - z : A B C ,
A D C և B E D եռանկյունների համար
կիրառենք թեորեմ 7-ը, կստանանք.
Նկ. 33
՜l { x 2 + k{l - к)) = а 2к + с2 ( l - к)
l( v 2 + k(l - к)) = d 2k + b2(l - к)
m {t2 + z {m - z )) = x 2{m - z ) + v 2.
m -z
Z :
lx 2{m - z)+ lk(l - k)(m - z) = a 2k{m - z)+ c2(l - k \m - z)
ly 2z + lk(l — k)z = d 2kz + b2(l — k)z =>
Im if՜ + z{m ֊ z)) = lx 2(m - z )+ ly 2z
lx 1 (m - z ) + Iv 'z + lk ( l - k){m - z) + lk ( l - k )z = a 2k{m - z ) + c2( l - k)(in - z) + d 2kz + b2(l - k)z
Խ it1 + z(m - z)) = lx 2 (in - z ) + ly 1 z
■ Im(t2 + z(m - z))+ lk (l - k jm = a2k(m - z) + l 2(i' -k )(m - z )+ d 2kz + b2(l - k)z
■ lm{t՜ + z(m ֊ z)+ k(l' — k))= ci2k{m - z )+ c2(l — k \m ֊ z )+ d 2kz + b2(l — k)z :
I
11 ^ 1 0
Կիրառենք թեորեմ 11-ը' հաշվի առնելով, որ
к — 1 — к = — , z — m —z = —2 2
կստանանք.
, f ֊, m m I [A n I m Ղ I m ,, / m , ̂ / mlm\ Г + -------+ ------ = o r --------- + < r--------+ d r --------+ / r --------Լ 2 2 2 2) 2 2 2 2 2 2 2 2
=> Ր + m 2 + 4 Г = a 2 + 6 2 + c 2 + d 2 :
5 ^ 1 2
Տանենք CAD եռանկյան A N = x և
CR D եռանկյան B N = у միջնագծերը
(նկ.34): Կիրառենք թեորեմ 5-ը D A C ,C B D և
AN B եռանկյունների համար, կստանանք.
Նկ. 34
* = p ! i b 2+ f - ) - d 2
у = —^շ[օ2 + m2) - d 2
Բ = ± Ք p T T R
^ = ձ (շ (ծ4 / 2) ֊ յ 2)
ք = 1 ( շ ( 0 2+/«2) - / ) :
р ֊ = Ш х 2 + г ) ֊ с ֊ )
2 . 2 х + у i ( a 2 + ծ2 +/2 + т 2 - d 2)2
г = 1(2(х2 + / ) - с 2)
■ р 2 = - -̂(а2 + 6 2 + /2 +от2 - я ,2 - с 2 )=>4/>2 = а 2 +Ъ2 +1 - d 2 - с ՜
12—>9
Կիրառենք թեորեմ 12-ը' հաշվի առնելով,
a + bոր p
2(նկ.35): Կստանանք.
J a + b-\ = I2 + m2 + a2 + b2 _ c2 յ շ
D
I 2
1՜ + m: = c 2 + d 2 + 2cib :
12 —>4
Կիրառենք թեորեմ 12-ը' հաշվի առնելով, որ p = a , b = a և d = с, կստանանք
թեորեմ 4-ը:
Նկ. 36
7 —> 13
Միացնենք А ֊ն և В ֊ն N ֊ին և
նշանակենք BN = X, AN = у (նկ.36):
Նկատենք նաև, որ MB = c - z , և
NC = d -к : DBG, DAC. և
ANB եռանկյունների համար կիրառենք
թեորեմ 7-ը, կստանանք.
d(x2 + k{d -£ )) = ci2k + m2{d - к)
d(y2 + k(d - к)) = Be + b2(d -к )
c(p2 + z(c - z)) = x2z + y2(c - z)
z
c - z
dx2z + dk(d - k)z = a2kz + m1 (d - k)z
dy2(c-z)+dk(d -k )-(c -z ) = i2k{c - z)+b2(d -k)-(c ֊ z)=>
cd\p2 + z(c - z ) )= dx2z + dv2(c - z)
chCz + dv1{c — z)+ dk(d-k)z + dk(d-k)- (c — z) = a2kz + b~(d-к ) - (с — z) + l2k(c• — z)+ m ՜(d- k)z ̂
cd(p2 + z(c — շ)) = dx2z + d\>2(c — z)
՝d{p2 + z(c - zj)+dk(d - k)z + dk{d - к) ■ (с - z) = crkz + b2(d - k )- (c - z ) + I2k (c-z ) +m 2{d - k)z =i
cd[p2 + z(c - z) + k(d -k ))= ct2kz + b2 (d - k)(c - z )+ l2k(c - z)+ m2(d -k)z :
с , , , dԿիրառենք թեորեմ 13-ը' հաշվի առնելով, որ z = c - z = — և к = d - к = — .■ . ֊ - ֊ շ շ .
կստանանք.
( 3 с с d 4 Л _ 2 d с 2 d с 2 d с 2 d с _cd\ բ Ч----------1----- — — д -----------Ւ ծ ----------Ւ / -----— V т ---------=>Լ 2 2 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
=> 4 р 2 = / 2 + п г + а 2 + Ь 2 - с 2 - d 2 :
1 3 ^ 1 2
7 ^ 1 4
A B C և A D C եռանկյունների համար կիրառենք թեորեմ 7-ը (նկ.12), կստա
նանք.
c2(l -у)-+ а2у : т — х
х
4 2 +>’(/ ՜ ֊
b2(/-^) + c/2j = /((w ֊ x )2
՜ (/ - >')(/« - x) + a 2y(m — x )= l(m - x)(x2 + y ( l — _y))
| b 2 x(/ — y) + d 2 x v = /.v((/h — x ) ' + .»՛(/ — >'))
c 2 (/ -y)(m - jc )+ a 2 у (m -x) + d 2 x y + b 2 x(l -y) =
= /{(in - x)x2 + y(m - x )(l — y) + х(да - x)2 + xy(l - yjj=>
=> c 2 (/ - y)(m - x) + a 2 y(m - x) + d 2xy + b2x(l - y ) = 1щ х\т — x) + y ( l — y)) :
1 4 ^ 4
Կիրառենք թեորեմ 14-ը՝ հաշվի առնելով, որ
m , I , ,x = m - x = — , y = / - y = — , d = c և b = a
2 2
(նկ.37):
Նկ. 37
Կառուցենք О К Е եռանկյունը այնպես, որ
А О К Е = А О К С (նկՅՑ): Կիրառենք թեորեմ 14-ը
ստացված O C K E քառանկյան համար' հաշվի
առնելով, որ c = b = k , a = d = q ,
x = m - x = р, у = t, l = t + n և I — у = ո .
Կստանանք.
к 2 ■ ո ■ р + q 2 t p + q 2 ■ p - t + к 2 ■ p ■ n =Նկ. 3 8 i i i t
= 2 ■ p ■ (t + n)- ( p ■ p + t -n) => 2 • k 2 ■ n ■ p + 2 • q 2 ■ 1 ■ p =
= 2p ■ (t + n ) ■ [ p 2 + t. ■ «)=> k 2n + q 2t = c ( p 2 + tn )
14—>7
ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ
1. Г.С.М. Коксетер, Ц.Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М, Наука, 1978,2. П.С. Моленов. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М, Высшая школа. 1960,3. В.Ф. Бутузов и др. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. М, Ф изматлит. 2005,4. Ж . Адамар. Элементарная Геометрия. Ч а сть I. Планиметрия, М, Учпетгиз, 1948.5. A. Engel Problem-Solving Strategies, Springer-Verlage, New York. 1998.