Embed Size (px)
Citation preview
Equilibrio
Ignacio [email protected]
Escuela Tecnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad Politecnica de Madrid
Resistencia de Materiales, Curso 2017/18
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Outline
1 Modelos
2 Equilibrio
3 Calculo de reacciones y esfuerzos
4 Diagramas
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 2
1. Modelos
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Objetivos
1. El comportamiento (mecanico) de los cuerpos reales es muy complejo.
2. Desde siempre, el hombre ha formulado modelos que permiten predecirla respuesta de los cuerpos ante estımulos externos (con menor o mayorexito)
3. Los modelos mas precisos son mas complejos.
Modelos intuitivos
La partícula
El sólido rígido
El sólido deformable
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 4
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
El solido deformable
• Un modelo muy exacto para predecir ladeformacion de los cuerpos
• Basado en ecuaciones en derivadasparciales
∇ · σ + ρb = 0
σ = Cε
ε =1
2
(∇u+∇Tu
) Ω
Γu
Γt
fv
fs
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 5
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
El modelo del solido prismatico
• El modelo de solido prismatico es muy complejo
• Cuando la geometrıa del solido es sencilla, se pueden obtener solucionesbastante exactas con un esfuerzo mucho menor ← objeto de laResistencia de Materiales
• Un solido prismatico es el generado por una seccion plana cuando sucentro de masa recorre una curva llamada directriz y la seccion esortogonal a la curva.
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 6
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Ejemplos
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 7
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
El triedro principal de la seccion
En cada seccion trasversal de un solido prismatico se puede definir untriedro:
• El origen en el centro de masa
• El eje x normal, saliente
• Los ejes y, z en las direcciones principales de la seccion, formando untriedo directo
x y
z
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 8
2. Equilibrio
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Equilibrio estatico
Un solido se encuentra en equilibrio estatico cuando la resultante detodas las fuerzas que actuan sobre el y el momento de estas respecto de
cualquier punto son cero, es decir,∑i
Fi = 0 ,∑j
Mj +∑i
ri × F i = 0.
Observaciones:
• El momento es respecto de cualquier punto.
• Cuando un solido esta en equilibrio estatico, tambien lo esta cualquierregion del mismo.
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 10
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Fuerza interna y momento interno
Al considerar solo una parte de un solido en equilibrio:
• Esta ha de estar en equilibrio estatico
• Si solo tenemos en cuenta las acciones exteriores sobre esta region,puede que no esten equilibradas ¿?
• Hay que considerar las fuerzas y momentos que la parte eliminadaefectua
• La fuerza y el momento resultante de esta interaccion tienen el valornecesario para que se cumplan las ecuaciones del equilibrio estatico enla parte considerada y son la fuerza y el momento internos.
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 11
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Esfuerzos
Los esfuerzos son las componentes de la fuerza y el momento interno enel triedo de la seccion
N
Mz
Mt
Ty
Tz
My
• N : esfuerzo normal
• Ty, Tz: esfuerzos cortantes
• Mt : Momento torsor
• My,Mz : Momentosflectores
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 12
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Reacciones
Para impedir a un cuerpo/estructura que se desplace, se puede sujetar,restringiendo su movimiento.
Las reacciones son las fuerzas/momentos que una restriccion ejerce sobreun cuerpo para evitar que este se desplace
Observaciones:
• Las reacciones nunca son conocidas a priori. Hay que calcularlas.
• Las reacciones tendran el valor necesario para cumplir las restricciones,pero siempre garantizando que el cuerpo este en equilibrio estatico.
• En los cuerpos prismaticos, se consideran solo los movimientos de lassecciones: el vector desplazamiento y el vector giro. En 2D: dosdesplazamientos y un giro.
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 13
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Restricciones en 2D
Apoyo
• Restriccion: uX = uY = 0
• Posibles reacciones: RX , RY
Y
X
RY
RX
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 14
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Restricciones en 2D-2
Apoyo movil
• Restriccion: uN = 0
• Posibles reacciones: R
Y
X
R
Y
X
R
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 15
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Restricciones en 2D-3
Empotramiento
• Restriccion: uX = uY = θ = 0
• Posibles reacciones: RX , RY ,MR
Y
X
RY
RXMR
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 16
3. Calculo de reacciones y
esfuerzos
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Libertades
Una libertad mecanica es un tipo de enlace entre solidos que anulaalguno(s) de las fuerzas y momentos que entre ellos se transmiten
En 2D:
1. Deslizadera: anula N .
2. Ranura: anula fuerza en una direccion
3. Rotula o articulacion: anula Mz o My
4. (Libertad a cortante): anula Ty o Tz
En 3D hay un tipo mas: libertad torsional.
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 18
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Grado de indeterminacion estatica
El grado de indeterminacion estatica o hiperestaticidad es el numero deincognitas en una estructura (reacciones y/o esfuerzos) cuyo valor nopodemos conocer unicamente a partir de las ecuaciones del equilibrio
estatico
NH = NR− 3 + 3×NC −NL
• Si NH = 0 decimos que la estructura es isostatica.
• Si NH > 0, la estructura es hiperestatica.
• Esta es una condicion necesaria, pero no suficiente.
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 19
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Ejemplos
!
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 20
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Calculo de reacciones y esfuerzos
• En estructuras isostaticas, las reacciones se calculan imponiendo elequilibrio estatico global de la estructura (El equilibrio de momentossolo se puede imponer en un punto).
• Si la estructura tiene libertades, es imprescindible usar las ecuacionesadicionales que estas proporcionan.
• Los esfuerzos en una seccion cualquiera de una estructura se obtienencortando esta, separando ambas caras del corte, e imponiendo elequilibrio estatico de las partes separadas, incluyendo los esfuerzos queaparecen en las nuevas superficies creadas.
• Los esfuerzos en las caras separadas son iguales y de sentido contrario.
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 21
4. Diagramas
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Leyes y diagramas
Las leyes de esfuerzos son expresiones matematicas que indican de formaunıvoca el valor (y sentido) de los esfuerzos en un solido a lo largo de sudirectriz.
Los diagramas de esfuerzos son representaciones graficas de las leyes, ydeben de estar acotados de forma que el valor numerico y sentido de losesfuerzos este unıvocamente determinado.
Hay varias notaciones validas, pero siempre se debe de indicar el sentido!.
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 23
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Sentidos
En problemas 2D los esfuerzos tienen los siguientes sentidos:
N T M
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 24
Modelos Equilibrio Calculo de reacciones y esfuerzos Diagramas
Notacion compacta
Corchete de Macaulay: 〈x〉 =
x si x ≥ 0
0 si x < 0
x a1
M1
a2
M2
F1
b1
F2
b2c1 d1
q1
c2 d2
q2
T (x) =
Np∑i=1
Pi〈x− bi〉0 +Nq∑i=1
qi(〈x− ci〉 − 〈x− di〉)
M(x) =
Nm∑i=1
Mi〈x− ai〉0 +Np∑i=1
Pi〈x− bi〉1 +Nq∑i=1
qi2(〈x− ci〉2 − 〈x− di〉2),
Resistencia de Materiales, curso 2017/18 I. Romero 25
