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5/17/2018 II Espacios Vectoriales - slidepdf.com
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Espacio vectorial 1
Espacio vectorial
Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de
un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una
operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo,
cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los
elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los
elementos del cuerpo se les llamará escalares.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios
vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica,
matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación
moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo
XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales
provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de
funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolverproblemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios
vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta
cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach
y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en
métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o
proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales
proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como
tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un
conjunto no vacío, dotado de dos operaciones:
Los elementos: se llaman vectores.
Los elementos: se llaman escalares.
Con la operación interna tal que:1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
2) tenga la propiedad asociativa, es decir
3) tenga elemento neutro 0, es decir
4) tenga elemento opuesto, es decir
y la operación producto por un escalar:
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Espacio vectorial 2
operación externa tal que:
5) tenga la propiedad:
6) tenga elemento neutro 1:
Que tenga la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:
8) distributiva por la derecha:
Véase también: Espacio euclídeo
Véase también: Vector (espacio euclídeo)
Observación
Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:
• Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados
1, 2, 3 y 4.
• Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los apartados 5 y 6.
• Si no se dice lo contrario, .
Notaciones• Un -espacio vectorial es un espacio vectorial sobre un cuerpo .
• también .
• se distingue del escalar cero por el contexto.
Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:
Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces,
como el neutro es único:
Unicidad del elemento en el cuerpo
supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:
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Espacio vectorial 3
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo
supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces,
como el neutro es único:
Producto de un escalar por el vector neutro:
Producto del escalar 0 por un vector:
•
Si
• Si a=0 es cierto. Si
.
Signos equivalentes:• .
Notación
• .
Primer ejemplo con demostración al detalle
Queremos ver que es un espacio vectorial sobre
Veamos pues que juega el papel de y el de :
Los elementos son, de forma genérica, u=(x,y), es decir, pares de números reales.En defino la operación u+v = (x
1,y
1) + (x
2,y
2) := (x
1+x
2,y
1+y
2) = (x
3,y
3) que pertenece a , esto implica
que la suma de vectores es interna y bien definida.
1)u+v = (x1,y
1) + (x
2,y
2) = (x
1+x
2,y
1+y
2) = (x
2+x
1,y
2+y
1) = (x
2,y
2) + (x
1,y
1) = v+u, es decir u+v=v+u.
2)u+(v+w) = u + ((x2,y
2) + (x
3,y
3)) = u + (x
2+x
3,y
2+y
3) = (x
1,y
1) + ( (x
2+x
3) , (y
2+y
3) ) =
(x1+(x
2+x
3),y
1+(y
2+y
3)) = (x
1+x
2+x
3,y
1+y
2+y
3), ahora véase que (u+v)+w es lo mismo, es decir
u+(v+w)=(u+v)+w.
3)u+(0,0) = (x,y)+(0,0) = (x+0,y+0) = (x,y) = u, es decir (0,0)=0 cero de V.
4)u = (x,y), u+(-x,-y) = (x,y)+(-x,-y) = (x-x,y-y) = (0,0) = 0, es decir -u:=(-x,-y) en general.
defino la operación au = a(x,y) := (ax,ay) = (x2,y2) que pertenece a , esto implica que la multiplicación de
vector por escalar es externa y aún así está bien definida.
a) a(bu) = a(b(x,y)) = a(bx,by) = (a(bx),a(by)) = ((ab)x,(ab)y) = (ab)(x,y) = (ab)u, es decir a(bu)=(ab)u.
b) 1u = 1(x,y) = (1x,1y) = (x,y) = u, es decir 1u=u.
c) a(u+v) = a((x1,y
1)+(x
2,y
2)) = a(x
1+x
2,y
1+y
2) = (a(x
1+x
2),a(y
1+y
2)) = (ax
1+ax
2,ay
1+ay
2) =
(ax1,ay
1)+(ax
2,ay
2) = au+av, es decir a(u+v)=au+av.
d) (a+b)u = (a+b)(x,y) = ((a+b)x,(a+b)y) = (ax+bx,ay+by) = (ax,ay)+(bx,by) = au+bu, es decir
(a+b)u=au+bu.
Queda demostrado que es espacio vectorial.
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Espacio vectorial 4
Representación de espacios vectoriales
Aunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin
investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello
veamos las notas:
• Llamaremos vector a la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en un
extremos).
• La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos
permanecen en el mismo lugar y orden.
• El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.
• Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un
triángulo(final) del primer vector con el extremo que no lo tiene(origen) del segundo vector manteniendo la
dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue
visualmente de otros vectores.
Examinemos cada uno de los casos que aparecen en la definición:
La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente,
un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma
de vectores u y v.
1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. Véase
que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas ejercidas por el vector negro en
su origen, y se representa con un paralelogramo.
2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan ser
optativas en cualquier cadena de sumas.
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Espacio vectorial 5
3) Decir que existe un vector 0 tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un vector incapaz de efectuar,
mediante la suma, modificación alguna a todos los vectores.
4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento, -u, que sumado a u simplifique en un
vector cero.
La definición producto por escalar produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u,
siempre visualmente.
• Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que no siempre
pertenecen al espacio de vectores.
Por un lado la representación del producto en el caso modifica, visualmente, la longitud de la imagen del
vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso además de
modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas en el origen
del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:
a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden simplificarse como
uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.
b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz de efectuar,
mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.
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Espacio vectorial 6
c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma vectorial.
d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.
Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.
Historia
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el
espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la
geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación
de una curva plana.[1] Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en
1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.[2] Este trabajo hizo uso
del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.[3] El origen de la definición de los
vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el
origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argandy Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de
vector).[4] Son elementos de R2 y R
4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en
1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.
En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de los aplicaciones
lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de
objetos abstractos dotados de operaciones.[5] En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así
como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los
espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman
álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones
lineales en 1888.[6]
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Espacio vectorial 7
Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri
Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920[7] y por Hilbert. En este momento,
el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales
como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros
estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.
Ejemplos de espacios vectoriales
Los cuerpos
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
• es un espacio vectorial sobre .
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
• es un espacio vectorial sobre .
• es un espacio vectorial sobre .
Sucesiones sobre un cuerpo
El espacio vectorial más conocido notado como , donde n>0 es un entero, tiene como elementos n-tuplas, es
decir, sucesiones finitas de de longitud n con las operaciones:
(u1, u
2, ..., u
n)+(v
1, v
2, ..., v
n)=(u
1+v
1, u
2+v
2, ..., u
n+v
n).
a(u1, u
2, ..., u
n)=(au
1, au
2, ..., au
n).
Las sucesiones infinitas de son espacios vectoriales con las operaciones:
(u1, u
2, ..., u
n, ...)+(v
1, v
2, ..., v
n, ...)=(u
1+v
1, u
2+v
2, ..., u
n+v
n, ...).
a(u
1
, u
2
, ..., un, ...)=(au
1
, au
2
, ..., aun, ...).
El espacio de las matrices , , sobre , con las operaciones:
También son espacios vectoriales cualquier agrupación de elementos de en las cuales se defina las operaciones
suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices , así por ejemplotenemos las cajas sobre que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una función
genérica.
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Espacio vectorial 8
Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo
El conjunto de las aplicaciones , un cuerpo y un conjunto, también forman espacios
vectoriales mediante la suma y la multiplicación habitual:
,
.
Los polinomios
Suma de f(x)=x+x2 y g(x)=-x2.
El espacio vectorial K [x] formado por funciones polinómicas,
veámoslo:
Expresión general: ,donde los coeficientes
, considérese .
donde y ,
Las series de potencias son similares, salvo que se permiten infinitos términos distintos de cero.
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas forman espacios vectoriales, con las siguientes operaciones:
Expresión general:
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Espacio vectorial 9
Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas
Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables
o equivalentemente
simplificado comoUn sistema de ecuaciones lineales homogéneas( ecuaciones lineales en las que es siempre una solución, es
decir, ) posee soluciones que forman un espacio vectorial, veamos sus dos
operaciones:
Si
Si .
Veamos que las ecuaciones en sí, filas de la matriz notadas como una matriz , es decir,
, son también un espacio vectorial, veamos sus dos operaciones:
Si
Si .
Definición de subespacio vectorial
Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:
i)ii)
Consecuencias
hereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de , y como
consecuencia tenemos que es un espacio vectorial sobre .
Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vacío, se pueden
generar subespacios vectoriales, para ello seria útil introducir nuevos conceptos que facilitarán el trabajo sobre estos
nuevos espacios vectoriales.
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Espacio vectorial 10
Resultados internos
Para detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer una
serie de herramientas cronológicamente vinculadas entre ellas, con las cuales es posible construir resultados válidos
en cualquier estructura que sea espacio vectorial.
Combinación lineal
Veremos que cada vector u es combinación lineal de forma única
Dado un espacio vectorial , diremos que un vector u es combinación lineal de los vectores de
si existen escalares tales que
Notaremos como el conjunto resultante de todas las combinaciones lineales de los vectores de .
Proposición
Dado un espacio vectorial y , el conjunto es el subespacio vectorial más pequeño
contenido en y que contiene a .
Demostración
Supongamos lo contrario, que existe uno más pequeño contradicción, ya
que u está generado por elementos de a causa de la buena definición de las dos
operaciones, por tanto .Nota
En este caso diremos que es un sistema de generadores que genera a .
Independencia lineal
Diremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente si el vector 0 no se
puede expresar como combinación lineal no nula de los vectores de , es decir:
Si .
Diremos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente.
Proposición
son linealmente dependientes
Demostración
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Espacio vectorial 11
Linealmente dependientes
tomando .
Si donde y por tanto linealmente
dependientes.
Base de un espacio vectorial
Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto
(finito o infinito) B = {vi}
i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede
ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base
a1v
i1 + a
2v
i2 + ... + a
nv
in,
donde los ak
son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal
por el concepto de independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente sininguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una
ecuación
a1v
i1 + a
i2v
2+ ... + a
nv
in = 0
sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., a
nson iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser
expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo de
representación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.
Base formalmente
v1
y v2
son base de un plano, si hubiese dependencia
lineal(alineados) la cuadrícula no podría generarse
Dado un sistema de generadores, diremos que es una base si sonlinealmente independientes.
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Espacio vectorial 12
Proposición
Dado un espacio vectorial es una base
.
Proposición
Dado un espacio vectorial linealmente independientes y
es linealmente independiente.
Teorema
Todo sistema de generadores tiene una base.
Teorema Steinitz
Toda base de un espacio vectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente independientes.
CorolarioSi un espacio vectorial tiene una base de vectores cualquier otra base posee vectores.
Observación
Todo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulación equivalente del
axioma de elección. Habida cuenta de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la existencia
de bases es equivalente al axioma de elección. El ultrafilter lemma, que es más débil que el axioma de elección,
implica que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamaño", es decir, cardinalidad. Si el espacio es
generado por un número finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a la teoría de
conjuntos.
Dimensión
Dado un espacio vectorial sobre :
• Si tiene base finita, diremos dimensión al número de elementos de dicha base.
• Si tiene base no finita, diremos que es de dimensión infinita.
Notación
Dado un espacio vectorial y un subespacio , tenemos que:
• Si tiene dimensión lo indicaremos como .
• Si tiene dimensión como subespacio de lo indicaremos como .
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Espacio vectorial 13
Intersección de subespacios vectoriales
Dado dos subespacios vectoriales , la intersección es subespacio vectorial contenido en estos y lo
notaremos como:
.
Observaciones
Para la intersección sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.
La unión de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.
Suma de subespacios vectoriales
Dado dos subespacios vectoriales , la suma es un subespacio vectorial que contiene a estos y la
notaremos como:
.
Observación
Para la suma sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.
Teorema Fórmula de Grassmann
Dado dos subespacios vectoriales de dimensión finita, tenemos el resultado siguiente:
.
Suma directa de subespacios vectoriales
Dado dos subespacios vectoriales , diremos que es una suma directa si y lo
notaremos como:
.
Cociente de espacios vectoriales
Dado un subespacio vectorial , diremos espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencias tales
que están relacionados módulo si y lo notaremos como:
.
Es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:
Expresión general: .
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Espacio vectorial 14
Construcciones básicas
Además de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos proporcionan espacios
vectoriales a partir de otros. Además de las definiciones concretas que figuran a continuación, también se
caracterizan por propiedades universales, que determina un objeto X especificando las aplicaciones lineales de X a
cualquier otro espacio vectorial.
Suma directa de espacios vectoriales
Dado dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo , llamaremos suma directa al espacio vectorial
, veamos que están bien definidas las dos operaciones:
,
.
Espacios vectoriales con estructura adicional
Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida en
que cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por su dimensión. Sin embargo, los espacios
vectoriales ad hoc no ofrecen un marco para hacer frente a la cuestión fundamental para el análisis de si una sucesión
de funciones converge a otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada per se para hacer frente a series
infinitas, ya que la suma solo permite un número finito de términos para sumar. Las necesidades del análisis
funcional requieren considerar nuevas estructuras.
Espacios normados
Un espacio vectorial es normado si está dotado de una norma.
Espacio métricoUn espacio métrico es un espacio vectorial dotado de una aplicación distancia.
Proposición
Un espacio normado es un espacio métrico, donde la distancia viene dada por:
Toda distancia inducida por la norma es una distancia.
Espacios vectoriales topológicos
Dada una topología sobre un espacio vectorial donde los puntos sean cerrados y las dos operaciones delespacio vectorial sean continuas respecto dichas topología, diremos que:
• es una topología vectorial sobre ,
• es un espacio vectorial topológico.
Proposición
Todo espacio vectorial topológico dotado de una métrica es espacio normado.
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Espacio vectorial 15
Proposición
Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.
Espacios de Banach
Un espacio de Banach es un espacio normado y completo.
Espacios prehilbertianos
Un espacio prehilbertiano es un par , donde es un espacio vectorial y es un producto a
escalar.
Espacios de Hilbert
Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo por la norma definida por el producto escalar.
Morfismos entre espacios vectoriales
Son aplicaciones entre espacios vectoriales que mantienen la estructura de los espacios vectoriales, es decir,conservan las dos operaciones y las propiedades de éstas de uno a otro de dichos espacios.
Aplicaciones lineales
Dado dos espacios vectoriales y , sobre un mismo cuerpo, diremos que una aplicación es
lineal si:
,
.
Véase también
• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
Wikilibros
• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Espacio vectorial.
• Subespacio vectorial
• K-módulos
• Span lineal
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Producto tensorial
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Espacio vectorial 16
Referencias
[1] Bourbaki, 1969, ch. "Álgabre linéaire et álgebre multilinéaire", pp. 78 – 91.
[2] Bolzano, 1804.
[3] Möbius, 1827.
[4] Hamilton, 1853.
[5] Grassmann, 1844.
[6] Peano, 1888, ch. IX.[7] Banach, 1922.
Notas
Referencias históricas
• Banach, Stefan (1922) (en francés). Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux
équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations). 3. Fundamenta
Mathematicae. ISSN 0016-2736 (http:/ / worldcat. org/ issn/ 0016-2736).
• Bolzano, Bernard (1804) (en alemán). Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie
(Considerations of some aspects of elementary geometry) (http:/
/
dml.
cz/
handle/
10338.
dmlcz/
400338).• Bourbaki, Nicolas (1969) (en francés). Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of
mathematics). Paris: Hermann.
• Grassmann, Hermann (1844) (en alemán). Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik
(http:/ / books. google. com/ books?id=bKgAAAAAMAAJ& pg=PA1& dq=Die+ Lineale+ Ausdehnungslehre+
ein+ neuer+ Zweig+ der+ Mathematik).
• Hamilton, William Rowan (1853) (en inglés). Lectures on Quaternions (http:/ / historical. library. cornell. edu/
cgi-bin/ cul. math/ docviewer?did=05230001& seq=9). Royal Irish Academy.
• Möbius, August Ferdinand (1827) (en alemán). Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur
analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of
geometry) (http:/ / mathdoc. emath. fr/ cgi-bin/ oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0).• Moore, Gregory H. (1995), «The axiomatization of linear algebra: 1875 – 1940», Historia Mathematica 22 (3):
262 – 303, ISSN 0315-0860 (http:/ / worldcat. org/ issn/ 0315-0860)
• Peano, Giuseppe (1888) (en italiano). Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann
preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva. Turin.
Bibliografía
• Castellet, M., Llerena, I., "Àlgebra lineal i geometría",Publ UAB. 1988.
• Definición y detalles en el tema "IV espais vectorials".
• Lang, S., "Álgebra Lineal", Fondo Educativo Interamericano. 1976.• Queysanne, M., "Álgebra Básica", Vicens-Vives. 1973.
• Rudin, w., "Análisis Funcional", Reverté.
• Definición axiomática de espacios vectoriales topológicos introductivamente.
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Espacio vectorial 17
Enlaces externos
• Juega con vectores (http:/ / www. frontiernet. net/ ~imaging/ vector_calculator. html)
• Weisstein, Eric W., « Espacio vectorial (http:/ / mathworld. wolfram. com/ VectorSpace. html)» (en inglés),
MathWorld , Wolfram Research.
• A lecture (http:/ / ocw. mit. edu/ courses/ mathematics/ 18-06-linear-algebra-spring-2010/ video-lectures/
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• A graphical simulator (http:/ / code. google. com/ p/ esla/ ) for the concepts of span, linear dependency, base and
dimension
5/17/2018 II Espacios Vectoriales - slidepdf.com
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Fuentes y contribuyentes del artículo 18
Fuentes y contribuyentes del artículoEspacio vectorial Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45938153 Contribuyentes: .José, 80.224.97.xxx, A ntiyanki, Adverick, Amo de las supercuerdas, Amoceann, Banfield,Bostador, Camilo, Cinabrium, Comae, Danielba894, DefLog, Diegusjaimes, Dnu72, Eduardosalg, Er Komandante, Eric, Felipealvarez, FrancoGG, Fsd141, GTubio, GermanX, Götz, HUB,Helene Schopenhauer, Hflores, Hprmedina, Ingenioso Hidalgo, Ivn, Javierito92, Jkbw, Jorge c2010, Jorgechp, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Juanfquim, Julie, Kadellar, Kiroh,Kved, LP, Linkedark, Lualalsa, Malguzt, ManuelMore, Marianov, Martinwilke1980, Matdrodes, Maveric149, Moriel, Morthylla, Numbo3, Orgullomoore, Orly01, Paintman, Perky Pat, Pirenne,Poco a poco, Raulshc, Ricardos, Robertg, Rojasyesid, Romanm, Rαge, SMP, Sauron, Savh, Silvae, Taichi, Tano4595, Troodon, Tuncket, Txuspe, Vitamine, Vivero, Wesisnay, Wewe, Wrcdriver,Youandme, conversion script, 158 ediciones anónimas
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