TALLER DE VERANO EN

GEOMETRÍA DIFERENCIALFacultad de Ciencias, Universidad de Colima

modalidad virtual

13-16 de julio, 2021

Índice general

Presentación 4

Programa 5

Cursos 7

Charlas 9Martes, 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Miércoles, 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Jueves, 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Viernes, 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Lista de Participantes 16

Patrocinadores 17

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Presentación

El Taller de verano en geometría diferencial TGD 2021 tiene como propósito acercar a los estudiantesde matemáticas a la investigación en el ámbito de la geometría diferencial y áreas afines. Mediantecursos y charlas se pretende dar una visión general del trabajo de investigadores consolidados yjóvenes investigadores de dentro y fuera de México. El TGD 2021 es organizado por la Facultad deCiencias de la Universidad de Colima.

Debido a la contingencia sanitaria consecuencia de la COVID-19 este taller se realiza en modalidadvirtual.

Comité organizador

Ixchel Gutiérrez Isaac Hasse Andrés Pedroza

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Programa

C: Curso, CH: Charla

Martes, 13 de julio

8:50–9:00 Bienvenida9:00–10:00 C Ixchel Gutiérrez Curvatura y métricas invariantes en grupos de Lie10:00–10:40 CH José L. Cisneros Un recorrido por el concepto de curvatura10:40–11:20 CH María Ferreiro “Vengan a ver la Tierra girar”11:20–11:40 Café11:40–12:40 C Isaac Hasse Generalidades sobre estructuras de Poisson12:40–13:20 CH Gregor Weingart Espinores13:20–15:00 Comida15:00–16:00 C Andrés Pedroza Subvariedades Lagrangianas

16:00–16:40 CH Diego Corro Mini Introducción a la geometría métrica concotas de curvatura

Miércoles, 14 de julio

9:00–10:00 C Andrés Pedroza Subvariedades Lagrangianas

10:00–10:40 CH Dennise García Álgebras de Poisson y Algebroides de Lie, unamirada algebraica

10:40–11:20 CH Alejandra Córdova Cuaterniones y octoniones: breve historia y usosen la geometría

11:20–11:40 Café11:40–12:40 C Isaac Hasse Generalidades sobre estructuras de Poisson12:40–13:20 CH Misael Avendaño Geometría y Dinámica del oscilador armónico13:20–15:00 Comida15:00–16:00 C Ixchel Gutiérrez Curvatura y métricas invariantes en grupos de Lie16:00–16:40 CH Gerardo Arizmendi Espacio de Twistor de Variedades Riemannianas

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C: Curso, CH: Charla

Jueves, 15 de julio

9:00–10:00 C Andrés Pedroza Subvariedades Lagrangianas10:00–10:40 CH Vanessa Alderete Un panorama de los grupos kleinianos complejos10:40–11:20 CH Xabier García Bases de Gröbner11:20–11:40 Café11:40–12:40 C Isaac Hasse Generalidades sobre estructuras de Poisson12:40–13:20 CH Cesar Lozano Geometría de hojas de papel13:20–15:00 Comida15:00–16:00 C Ixchel Gutiérrez Curvatura y métricas invariantes en grupos de Lie

Viernes, 16 de julio

9:00–10:00 C Ixchel Gutiérrez Curvatura y métricas invariantes en grupos de Lie10:00–10:40 CH M. Elena Vázquez De Gauss a Einstein pasando por Levi-Civita

10:40–11:20 CH Efrain Basurto Haces fibrados principales: ¿qué tienen deespecial?

11:20–11:40 Café11:40–12:40 C Isaac Hasse Generalidades sobre estructuras de Poisson12:40–13:20 CH Raquel Perales Pequeño tour de distancias13:20–15:00 Comida15:00–16:00 C Andrés Pedroza Subvariedades Lagrangianas

16:00 Clausura

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Cursos

Curvatura y métricas invariantes en grupos de Lie

Ixchel Gutiérrez Rodríguez C

Universidad de Colima, México

Diversos resultados muestran que existe una relación entre la geometría y topología de unavariedad y la curvatura de una métrica Riemanniana de dicha variedad. Cuando la variedad esun grupo de Lie y la métrica es invariente por la izquierda, la curvatura del grupo de Lie estáfuertemente relacionada con la estructura de su álgebra de Lie. En 1976, Milnor describe condetalle la curvatura de los grupos de Lie con una métrica invariante por la izquierda utilizando laestructura de su álgebra de Lie. En este curso, se estudiará la geometría Riemanniana de un grupode Lie con una métrica invariante por la izquierda calculando su curvatura. El propósito de estecurso es introducir conceptos y herramientas de geometría Riemanniana de una manera natural eintuitiva, posteriormente se estudiarán los conceptos de grupo de Lie y álgebra de Lie. Finalmente,se calculará la curvatura de algunos grupos de Lie en dimensiones bajas.

Generalidades sobre estructuras de Poisson

Isaac Hasse C

Universidad de Colima, México

Comúnmente en mecánica Hamiltoniana, los espacios fase son modelados por variedades simpléc-ticas (esto es una variedad suave equipada con una 2-forma cerrada y no degenerada), sin embargo,existen sistemas clásicos, como el cuerpo rígido, que admiten una formulación en variedades queno son simplécticas. En este caso, se puede recurrir al uso de una estructura geométrica llamadacorchete de Poisson o estructura de Poisson. La noción de estructuras de Poisson fue estudiada enprimera instancia por Poisson en 1809 en su trabajo “Sur la variation des constantes arbitraires dansles questions de mécanique”, sin embargo, el estudio de ésta no se le atribuye a un solo autor, puesfue reintroducida por muchos autores en diferentes años; esto ocurre en los trabajos de Lie (1890),Dirac (1930, 1964), Pauli (1953), Martin (1959), Jost (1964), Arens (1970), Hermann (1973), Sudarshany Mukunda (1974), Vinogradov y Krasilshchik (1975) y Lichnerowicz (1977), siendo este último quienintroduce la terminología que actualmente se maneja. En este taller, introduciremos el conceptode estructura de Poisson en variedades suaves en el sentido clásico (estudiado por Poisson en1809), y usando un lenguaje moderno (campos vectoriales). Mostraremos que las estructuras dePoisson pueden ser vistas como una generalización de las estructuras simplécticas, haciendo notarque estas tienen asociadas ciertas subvariedades (llamadas hojas) las cuales vienen equipadascon una estructura simpléctica. Finalmente, veremos algunos ejemplos clásicos de variedades3-dimensionales equipadas con una estructura de Poisson y sus respectivas hojas simplécticas.

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Subvariedades Lagrangianas

Andrés Pedroza C

Universidad de Colima, México

Uno de los problemas centrales de geometría simpléctica consiste en determinar si dada unasubvariedad Lagrangiana existe un difeomorfismo Hamiltoniano tal que la imagen de la subvariedadLagrangian bajo el Hamiltoniano es ajena a ella misma. Este problema emerge de la Conjetura deArnold sobre el mínimo número de puntos fijos de un Hamiltoniano en una variedad simplécticacerrada. El objetivo del curso será definir la homología quántica de una subvariedad Lagrangianapara poder responder a la pregunta inicial.

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Charlas

Martes, 13

Un recorrido por el concepto de curvatura

José Luis Cisneros CH

Instituto de Matemáticas-UNAM, Cuernavaca, México

El concepto de curvatura es una de los conceptos centrales en geometría diferencial. Se podríadecir que es el concepto central. En esta plática daremos un recorrido por las ideas detrás deeste concepto. Veremos diferentes maneras de definir la curvatura de curvas y diferentes tipos decurvaturas para superficies y variedades de dimensiones superiores.

“Vengan a ver la Tierra girar”

María Ferreiro Subrido CH

Universidade de Santiago de Compostela, España

Así invitó Jean Bernard León Foucault al pueblo francés a presenciar su famosa demostración de larotación de la Tierra en el a no 1851. El experimento del que se sirvió para probar tal fenómenono fue más que la observación del comportamiento del plano de oscilación de un péndulo enmovimiento. La idea de esta charla es dar una primera aproximación a lamodelización en geometríadiferencial haciendo uso de las herramientas básicas del cálculo sobre superficies para seguir lospasos de los autores en [1, 2] y probar la rotación de nuestro planeta.

[1] Oprea, J.: Geometry and the Foucault pendulum, Amer. Math. Monthly, 102 (1995), no. 6,515-522.

[2] Von Bergmann, J., Von Bergmann, H.: Foucault pendulum through basic geometry, Amer. J.Phys., 75 (2007), 888-892.

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Espinores

Gregor Weingart CH

Instituto de Matemáticas-UNAM, Cuernavaca, México

En 1840 Benjamin Olinde Rodrigues identificó el grupo SO(3) de isometrías orientadas del espacioeuclideano R3 con el espacio real proyectivo de lineas en R4. El aspecto lo más sorprendientede su trabajo, que anticipa el descubrimiento de los cuaterniones por Hamilton en 1848, es quecada vector no cero en R3 tiene una raíz cuadrada en R4. Decadas más tarde la construcción deRodrigues fue generalizada a todas dimensiones por Élie Cartan, quien construyó los espinores, lasraíces cuadradas de vectores.

En la geometría diferencial el papel lo más importante de los espinores es de completar la jerarquíade vectores, formas y tensores, que es esencialmente una interpretación del conjunto de endo-funtores de la categoría de espacios vectoriales en si. En la geometría Riemanniana caracterizadapor la presencia de una métrica seudo-Riemanniana se puede considerar el conjunto modificadode funtores de espacios euclideanos a espacios vectoriales. Sin embargo el trabajo de HermannWeyl en los 1920 demostró que ambos conjuntos de funtores tienen un problema esencial: ¡Existeuna categoría cubriente dos por uno de la categoría de espacios euclideanos que tiene muchosfuntores más a la categoría de espacios vectoriales!

Mini Introducción a la geometría métrica con cotas de curvatura

Diego Corro CH

Instituto de Matemáticas-UNAM, Oaxaca, México

En esta plática revisaremos de manera informal las bases para definir espacios métricos concurvatura acotada en algún sentido. Esto generaliza la noción de curvatura de superficies, y veremosque estos espacios son límites de deformaciones de variedades Riemannianas. Al final veremos unpar de aplicaciones del estudio de la geometría de estos espacios con curvatura acotada en física yen análisis de datos.

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Miércoles, 14

Álgebras de Poisson y Algebroides de Lie, una mirada algebraica

Dennise García Beltrán CH

Universidad de Sonora, México

Las estructuras de Poisson, que surgieron como una herramienta para la mecánica clásica, actual-mente son estudiadas en varios campos, tanto de las propias matemáticas como de la física, queincluyen áreas como la mecánica Hamiltoniana, sistemas integrables, teoria de representaciones,entre otras. Una categoría íntimamente relacionada es la de los algebroides de Lie, que se puedenpensar como una generalización de los fibrados tangentes o como una familia de álgebras de Lieparametrizadas por puntos de una variedad satisfaciendo algunas condiciones geométricas. Dehecho, dada una variedad de Poisson, su fibrado cotangente está dotado de una estructura dealgebroide de Lie. En esta charla describiremos estos dos objetos importantes en la geometríadiferencial desde el punto de vista puramente algebraico, daremos una relación entre ellos y losutilizaremos para generalizar las álgebras Poisson (infinitesimales) que surgen en el problema deconstruir aproximaciones de primer orden de las estructuras de Poisson alrededor de subvariedadesde Poisson.

Cuaterniones y octoniones: breve historia y usos en la geometría

Alejandra Córdova-Martínez CH

Universidad de Zaragoza, España

Hamilton estudió los números complejos y trabajó con ellos tratándolos como pares de númerosreales. Se interesó en ellos, en particular, por su relación con la geometría en dimensión 2 e intentópor varios años crear un álgebra de dimensión 3 que se “comportara” como los complejos, sinconseguirlo. Un día de 1843 se dio cuenta de que esto no era posible. Sin embargo, entendió quepodía extender los complejos a dimensión 4 y así descubrió lo que llamó “Teoría de cuaterniones”.En esta plática hablaremos sobre el descubrimiento de los cuaternionesH, de sus propiedades,sus similitudes con los complejos y sus relaciones con los grupos de Lie de rotaciones en R3 y R4

(SO(3) y SO(4)). Por último, siguiendo un proceso análogo al de la construcción de los cuaternio-nes, construiremos los octoniones O (álgebra de dimensión 8 con propiedades parecidas a lasde H), mostraremos sus similitudes con H, así como algunas de sus propiedades algebraicas ygeométricas.

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Geometría y Dinámica del oscilador armónico

Misael Avendaño CH

Universidad de Sonora, México

El oscilador armónico es unmodelo bien conocido y elemental tanto en física como enmatemáticas.Este modelo aparece a menudo en cursos elementales de cálculo y ecuaciones diferenciales pueses uno de los ejemplos básicos que aparecen en el estudio de ecuaciones diferenciales lineales desegundo orden. A pesar de esto, muchos de los aspectos geométricos que pueden ser realmenteinteresantes y/o más omenos simples de explicar suelen pasar inadvertidos ó rara vez discutidos enestos cursos. El propósito de esta charla es profundizar en el estudio de esos aspectos dinámicos ygeométricos del oscilador armónico 2-dimensional que no suelen tratarse en clases. Después de unabreve introducción del oscilador armónico con dos grados de libertad, describiremos explícitamentelos conjuntos invariantes del oscilador armónico los cuales en su mayoría resultan ser toros 2-dimensionales. Luego, se analiza la dinámica que siguen las trayectorias del oscilador armónicosobre los toros invariantes en los que se resaltará la gran dependencia que tiene el comportamientodinámico de las trayectorias de una relación aritmética de las frecuencias del oscilador; teniendosituaciones en las que podemos encontrar que los toros invariantes están foliados por órbitasperíodicas y otras en las que las órbitas del oscilador armónico no son periódicas pero son densassobre éstos.

Espacio de Twistor de Variedades Riemannianas

Gerardo Arizmendi Echegaray CH

Universidad de las Américas Puebla, México

Introduciremos la noción de espacio de twistor de una variedad riemanniana. Explicaremos comose relaciona la geometría diferencial de una variedad riemanniana con la geometría compleja(desde el punto de vista riemanniano) del espacio de twistor. Hablaremos de algunos resultadosconocidos y recientes de variedades riemannianas con estructuras especiales y su espacio detwistor.

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Jueves, 15

Un panorama de los grupos kleinianos complejos

Vanessa Alderete Acosta CH

Universidad Tecnológica de Ciudad Juárez/Universidad Autónoma de Ciudad Juárez, México

Estudiar del comportamiento dimámico de subgrupos discretos, por ejemplo, las transformacionesde Möbius actuando en la esfera de Riemann, tiene sus origenes en los trabajos de H. Poincaréa principios del sigloXIX , y desde entonces estudiar acciones de grupos discretos en distintosespacios ha sido un área muy interesante dentro de las matemáticas. En esta charla hablaremossobre cómo algunas dinámicas de grupos actuando en dimensiones bajas se han extendido adimensiones altas, que propiedades se han preservado y cuales diferencias existen, así como lascomplicaciones que se presentan al subir de dimensión. Abordaremos este tema considerando alos grupos de Schottky complejos y a los subgrupos discretos del grupo de Heisenberg complejo,veremos qué son, de dónde vienen, en dónde actúan y algunas de sus propiedades.

Bases de Gröbner

Xabier García Martínez CH

Vrije Universiteit Brussel, Bélgica

Todos sabemos resolver perfectamente sistemas de ecuaciones polinómicas lineales, ya sea usandoeliminación de Gauss o la regla de Cramer. Cuando nuestras ecuaciones son polinómicas pero degrado distinto a 1, las cosas pueden complicarse mucho. Un método muy interesante y efectivo sonlas bases de Gröbner.

En esta charla daremos una pequeña introducción a las bases de Gröbner, viendo algunas aplica-ciones a diferentes áreas de las matemáticas.

Geometría de hojas de papel

César Lozano Huerta CH

CONACYT – UNAM, México

Cuidando que una hoja de papel no se arrugue ni desgarre, y dado que el papel no se contrae ni seexpande, ¿qué superficies podemos crear con hojas de papel? Ejemplos básicos que respondena esta pregunta son el plano, el cilindro y los conos. Además de estos tres ejemplos, existe unafamilia (infinita) de superficies algebraicas que podemos crear con hojas de papel. En esta charladescribiremos estas superficies y la geometría que las caracteriza. Terminaremos describiendocómo éstas aparecen en geometría algebraica al estudiar raíces de polinomios de una variable.

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Viernes, 16

De Gauss a Einstein pasando por Levi-Civita

María Elena Vázquez Abal

Universidad de Santiago de Compostela, Galicia, España

Haremos un pequeño viaje desde el concepto de curvatura de Gauss al de curvatura de Ricci.Buscando como generalizar la idea de superficie de curvatura constante nos encontraremos conlas variedades Einstein. En este viaje, trataremos de mostrar como buscar caminos abiertos a lainvestigación.

Referencias

Arthur L. Besse, Einstein manifolds. Ergebnisse der Mathematik, 10 Springer-Verlag, Berlin, Heidel-berg, New York, London, Paris, Tokyo, 1987, ISBN 3-540-15279-2.

Haces fibrados principales: ¿qué tienen de especial?

Efrain Basurto

Technical University Dortmund, Alemania

Dentro de la clase de haces fibrados que pueden ser definidos sobre una variedad diferencial suave,un tipo en particular resulta especialmente relevante, a saber, los llamados fibrados principales.El objetivo de la plática es dar una introducción al estudio de estos y establecer algunas de suspropiedades más elementales, que al mismo tiempo nos permiten establecer una especie dediccionario entre objetos definidos a partir de la estructura particular de la que gozan los fibradosprincipales y diversos objetos de la teoría clásica de haces vectoriales, siendo la derivada covariantey el tensor de curvatura asociado a esta dos entradas prominentes de dicho diccionario ficticio.

Referencias

[1] Baum, H. (2014). Eichfeldtheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg.

[2] Joyce, D. D. (2007). Riemannian Holonomy Groups and Calibrated Geometry. Oxford GraduateTexts in Mathematics, Oxford University Press Inc., New York.

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Pequeño tour de distancias

Raquel Perales

Instituto de Matemáticas-UNAM, Oaxaca, México

Un espacio métrico consta de un conjunto y una función llamada distancia que nos dice si dospuntos del conjunto son iguales o cuán cercanos están. En esta plática hablaremos de variasfunciones distancia definidas en diferentes espacios. En particular, nos dirán cuándo dos superficiesson la misma o qué tan cercanas están, y con algunos ejemplos veremos que dichas funciones sondistintas

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Lista de Participantes

Vanessa Alderete (UTCJ/UACJ, México)Gerardo Arizmendi Echegaray (UDLAP, México)Misael Avendaño Camacho (UNISON, México)Efrain Basurto (TU. Dortmund, Alemania)José Luis Cisneros (IMATE-Cuernavaca, México)Alejandra Córdova-Martínez (UNIZAR, España)Diego Corro (IMATE-Oaxaca, México)María Ferreiro Subrido (USC, España)Dennise García Beltrán (UNISON, México)Xabier García-Martínez (VUB, Bélgica)César Lozano Huerta (CONACYT – UNAM, México)Raquel Perales (IMATE-Oaxaca, México)María Elena Vázquez Abal (USC, España)Gregor Weingart (IMATE-Cuernavaca, México)

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Patrocinadores

Este taller es parte del proyecto A1-S-8803, financiado por el Fondo Sectorial de Investigación parala Educación SEP-CONACYT y la Universidad de Colima.

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