II.2.1 Desarrollo del binomioa de Probabilidad y Estadística II Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 16 II.2.1 Desarrollo del binomio Una de las aplicaciones de las

Antología de Probabilidad y Estadística II

Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 16

II.2.1 Desarrollo del binomio

Una de las aplicaciones de las combinaciones más utilizadas es el desarrollo del Binomio de Newton.

Los números combinatorios 𝑛𝑟 son llamados también coeficientes binomiales por el papel que juegan

en el desarrollo del binomio:

𝑎 + 𝑏 𝑛 , 𝑛 = 0, 1,2,3……. Sabemos que:

𝑎 + 𝑏 0 = 1

𝑎 + 𝑏 1 = 𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

𝑎 + 𝑏 4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4

𝑎 + 𝑏 5 = 𝑎5 + 5𝑎4𝑏 + 10𝑎3𝑏2 + 10𝑎2𝑏3 + 5𝑎𝑏4 + 𝑏5

𝑎 + 𝑏 6 = 𝑎6 + 6𝑎5𝑏 + 15𝑎4𝑏2 + 20𝑎3𝑏3 + 15𝑎2𝑏4 + 6𝑎𝑏5 + 𝑏6

Hagamos algunas observaciones acerca de estos desarrollos:

1. En el desarrollo de (a + b)n hay (n+1) términos.

2. Los exponentes de a disminuyen de 1 en 1 desde n hasta 0. 3. Los exponentes de b aumentan de 1 en 1 desde 0 hasta n.

4. Las suma de los exponentes de a y b en cada uno de los términos es igual a n. 5. Los coeficientes del primer y último términos son ambos iguales a 1 6. Los coeficientes del segundo y penúltimo término son ambos iguales a n.

7. Los coeficientes de los términos son simétricos respecto del término central (si n es par) o

respecto de los dos términos centrales (si n es impar).

En consecuencia podemos escribir el término general como:

𝑇𝑟+1 = 𝑛

𝑟 𝑎𝑛−𝑟𝑏𝑟

Ejemplos:

1. Sin desarrollar hallar el octavo término del desarrollo (2x - y)11

Solución:

𝑇𝑟+1 = 𝑛

𝑟 𝑎𝑛−𝑟𝑏𝑟 , 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 11, 𝑟 = 7,𝑎 = 2𝑥 𝑦 𝑏 = −𝑦

𝑇8 = 11

7 (2𝑥)4(−𝑦)7 = 330(2)4𝑥4 · (−1)7(𝑦)7 = −5280𝑥4𝑦7











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