ILM271 UT3 1 Elementos Estadistica Descriptiva

ILM 271: Fundamentos ILM 271: Fundamentos ILM 271: Fundamentos ILM 271: Fundamentos de la Calidadde la Calidad

UNIDAD TEMATICA 3: Elementos de Estadística DescriptivaCapacidad de procesos I

Dr.-Ing. J. Núñez S. ILM 271: Fundamentos de la Calidad 1

Estadística Descriptiva

Medidas

Tendencia central

Dispersión

Forma

Localización

Histograma y tablas de frecuencia

ContenidosContenidosDr.-Ing. J. Núñez S. ILM 271: Fundamentos de la Calidad 2

Distribución

frecuencia

Parámetros

Límites reales

Diagrama de caja

� Las variables de salida o de respuesta de un proceso deben cumplir ciertas metas o especificaciones.

Procesof(X)

MétodosMateriales

Medio ambienteMano obraMáquina

Mediciones

Entradas

X

Salidas

YVN

Capacidad de un procesoCapacidad de un proceso

especificaciones.

� Una tarea primordial del control de la calidad es conocer la capacidad o habilidad del procesopara cumplir con esa especificación, es decir:◦ Determinar la amplitud de la variación natural del proceso

para una característica de calidad dada.


� Para realizar un estudio de capacidad se toman datos del proceso durante un período considerable, para que se refleje bien el desempeño del proceso para una característica dada.

� Esto permitirá saber en qué medida tal característica de calidad es satisfactoria.

Capacidad de un procesoCapacidad de un proceso

característica de calidad es satisfactoria.

� Las técnicas de la estadística descriptiva son de gran utilidad para entender mejor el desempeño del proceso.


� El primer aspecto a investigar para determinar la capacidad del proceso consiste en conocer la tendencia central de los datos, es decir, identificar el valor en torno al cual los datos tienden a aglomerarse o concentrarse.

Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central

� Esto permitirá saber si el proceso está centrado; es decir, si la tendencia central de la variable de salida es igual o está muy próxima a un valor nominal deseado.


� Media muestral◦ Para las observaciones numéricas de una muestra, la medida más usual de su tendencia central es proporcionada por la media (o promedio) muestral, que es igual a la media aritmética de todos los datos:

xxxxxn

∑++++

Media muestral y poblacionalMedia muestral y poblacionalDr.-Ing. J. Núñez S. ILM 271: Fundamentos de la Calidad 6

n

x

n

xxxxX

n

i in ∑ ==++++

= 1321 K

� Media poblacional o del proceso, µ

◦ Si para calcular la media se utilizan todos los elementos de la población (todos los posibles individuos, especímenes o medidas de interés sobre los que se hace el estudio), entonces el promedio calculado es la media poblacional (o

Media muestral y poblacionalMedia muestral y poblacional

calculado es la media poblacional (o media del proceso).


�

x�

i i∑ == 1µ

� Importante destacar:

◦ La media del proceso µ es igual a cierto valor, aunque no siempre se conoce;

◦ mientras que el valor de se obtiene para cada muestra y es diferente (variable) de una muestra a otra, ya que su valor depende de las piezas que se


su valor depende de las piezas que se seleccionan ( es una variable aleatoria).


� Importante destacar:

◦ Es preciso tener cuidado con las afirmaciones que se hacen sobre la media del proceso o población basadas en .

◦ Lo que se observa en los estadísticos muestrales acerca del comportamiento de los datos, es válido para la muestra,


los datos, es válido para la muestra, � en la medida que ésta sea representativa y grande, también tendrá cierto grado de aproximación para todo el proceso.(es necesario utilizar técnicas estadísticas para evaluar lo que significan en todo el proceso).


� La mediana , es otra medida de tendencia central que es igual al valor que divide a la mitad a los datos cuando son ordenados de menor a mayor.

� Para calcular la mediana:◦ Cuando el número de datos es impar, estos se ordenan de manera creciente y el que quede en medio de dicho ordenamiento, será la mediana.

Mediana o percentil 50Mediana o percentil 50

medio de dicho ordenamiento, será la mediana.

◦ Cuando el número de datos es par, estos se ordenan de manera creciente y la mediana se calcula dividiendo entre dos la suma de los datos que están en el centro del ordenamiento.


� La moda es otra forma de medir la tendencia central de un conjunto de datos, es igual al dato que se repite más veces.

� Si varios datos tienen la frecuencia más grande, entonces cada uno de ellos es una

ModaModa

grande, entonces cada uno de ellos es una moda y se dice que el conjunto de datos es multimodal.


� Debido a que la media es la medida de tendencia central más usual, en ocasiones se cometen los siguientes errores:◦ Confundir el concepto de media con el de mediana y moda respectivamente.

◦ No tener en cuenta el efecto de los datos atípicos sobre las medidas.

� La media es afectada por los datos

Consideraciones sobre las medidas Consideraciones sobre las medidas de tendencia centralde tendencia central

� La media es afectada por los datos extremos o atípicos, la mediana no se ve afectada (ni cuando la muestra es sesgada).


� Las medidas de tendencia central no son suficientes como criterios de calidad de un proceso.

� La media, mediana y moda, no toman en cuenta qué tan dispersos están los datos, un hecho vital para evaluar la calidad del proceso.

Consideraciones sobre las medidas Consideraciones sobre las medidas de tendencia centralde tendencia central

proceso.◦ La variabilidad es importante para evaluar la estabilidad del proceso, por lo tanto, se requieren medidas adecuadas para conocer este comportamiento.


� Otro elemento vital en el estudio de capacidad de un proceso es determinar su variabilidad o dispersión, es decir, qué tan diferentes son los datos entre si.

� Las medidas más comunes para determinar variabilidad son las siguientes:

Medidas de dispersión o variabilidadMedidas de dispersión o variabilidad

variabilidad son las siguientes:◦ Desviación estándar (muestral y poblacional)

◦ Rango o recorrido

◦ Coeficiente de variación

◦ Límites reales o naturales


� La Desviación estándar muestral es la medida más usual de variabilidad e indica qué tan esparcidos están los datos con respecto a la media.

( )

1

2

−

−=∑n

xxSSe denota por la

letra S y se

Desviación estándar muestralDesviación estándar muestralDr.-Ing. J. Núñez S. ILM 271: Fundamentos de la Calidad 15

( ) ( )( )1

1

22

−

−=

−=

∑ ∑nn

xxnS

nS

letra S y se calcula mediante la siguiente expresión:

� La Desviación estándar muestral Smide la distancia que en promedio hay entre los datos y la media;◦ Entre más grande el valor de S, habrá mayor variabilidad en los datos;

◦ Es expresada en las mismas unidades que los datos;

◦ No muestra la magnitud de los datos, sólo

Consideraciones sobre la Consideraciones sobre la Desviación estándar muestralDesviación estándar muestral

◦ No muestra la magnitud de los datos, sólo refleja lo retirados que están de la media;

◦ Al igual que la media, es afectada por los datos atípicos.


� Si para calcular la desviación estándar se emplean todos los individuas de la población o proceso, entonces se obtiene la desviación estándar poblacional y se

denota por la letra griega sigma (σ)

( )∑Se calcula

Desviación estándar poblacional o Desviación estándar poblacional o del proceso, del proceso, σσ


( )

�

x∑ −=

2µ

σ

Se calcula mediante la siguiente expresión:

� El significado de la desviación estándar como medida de dispersión con respecto a la media, se puede entender a través de:

◦ Desigualdad de Chebyshev

◦ Regla empírica

Interpretación de la desviación Interpretación de la desviación estándarestándar

� En general, la desigualdad de Chebyshev afirma que, al menos


( )( ) ( )kSX-kSX

k

+

×−

y entreestán

datos los de10011 2

� Es decir, la desigualdad de Chebyshev afirma que,

� Por su parte, la regla empírica, se afirma que en muchos de los datos que surgen en la práctica se ha observado por la experiencia que:

( )SX 2 entre ± están por lo menos el 75% de los datos de la muestra y

( )SX 3 entre ± están por lo menos el 89% de éstos.

Interpretación de la desviación Interpretación de la desviación estándarestándar

ha observado por la experiencia que:


( )( )( )SX

SX

SX

3

2

1

±

±

± está el 68% de los datos de la muestra yentre

entre

entre

está el 95% de los datos de la muestra y

está el 99,7% de éstos.

� Otra medida de dispersión es el rango o recorrido, R, que es igual a la diferencia entre el dato mayor y el menor de un conjunto de datos.

� El rango mide la amplitud de la variación del grupo de datos y es independiente de la magnitud de los

Rango o recorrido, RRango o recorrido, R

independiente de la magnitud de los datos.


� El coeficiente de variación, CV, es una medida de variación que es relativa a la magnitud de los datos.

� CV es igual a la magnitud relativa de la desviación estándar en relación a la media de los datos.

( ) ( )σs

Coeficiente de variación, Coeficiente de variación, CVCVDr.-Ing. J. Núñez S. ILM 271: Fundamentos de la Calidad 21

( ) ( )100;100 ⋅=⋅=µ

σCV

x

sCV

CV es útil para comparar la variación de dos o más variables que están medidas en diferentes escalas o unidades de medición.

� CV es útil para comparar la variación de dos o más variables que están medidas en diferentes escalas o unidades de medición.

� Suele interpretarse como una medición en términos porcentuales de la variación de una variable.

Consideraciones sobre el Consideraciones sobre el Coeficiente de variación, Coeficiente de variación, CVCV

una variable.


� Los límites reales o naturales de un proceso, indican las magnitudes entre las cuales varía la salida de un proceso.

� Se obtienen de la siguiente manera:

( )

( ) σµ

σµ

3

3

+=

−=

LRS

LRILímite real Inferior

Límite real Superior

Límites reales o naturalesLímites reales o naturales

� El cálculo de estos límites está inspirado en la regla empírica, que a su vez coincide con la propiedad de la distribución normal.


( ) σµ 3+=LRSLímite real Superior

� El histograma y la tabla de frecuencia permiten visualizar, en forma conjunta, la tendencia central y la dispersión de un conjunto de datos.

� Además, muestran la forma en que los datos se distribuyen dentro del rango de variación.

Histograma y tabla de frecuenciaHistograma y tabla de frecuencia

variación.


� La tabla de frecuencia es una lista de valores de datos (ya sea de manera individual o por grupos de intervalos o clases), junto con sus frecuencia (absoluta o conteos) correspondientes.

Clase [gr] Frecuencia

0 - 99 11

Histograma y tabla de frecuenciaHistograma y tabla de frecuenciaDr.-Ing. J. Núñez S. ILM 271: Fundamentos de la Calidad 25

0 - 99 11

100 – 199 12

200 – 299 14

300 – 399 1

400 – 499 2

� El histograma es una representación gráfica, en forma de barras, de la distribución de frecuencias de una variable,

donde los datos se clasifican

por su magnitud en cierto

número de clases, 8

10

12

14

16

Fre

cu

en

cia

Histograma y tabla de frecuenciaHistograma y tabla de frecuenciaDr.-Ing. J. Núñez S. ILM 271: Fundamentos de la Calidad 26

representadas por una barra,

cuya longitud es proporcional

a la frecuencia de los valores

representados.

0

2

4

6

8

0 - 99 100 - 199 200 - 299 300 - 399 400 - 499F

rec

ue

nc

ia

Pesos [gr]

� Clases: son los grupos de intervalos que se usan para organizar o resumir los datos.

� Numero de clases: es la cantidad de intervalos en que se divide el rango de variación. Se recomienda de 5 a 15. (app. igual a la raíz cuadrada del número de datos).

� Los límites de clase inferiores: son las cifras más pequeñas que pueden pertenecer a las

Elementos importantes en una Elementos importantes en una distribución de frecuenciadistribución de frecuencia

más pequeñas que pueden pertenecer a las diferentes clases.

� Los límites de clase superiores: son las cifras más grandes que pueden pertenecer a las diferentes clases.


� Las fronteras de clase: son las cifras utilizadas para separar las clases, aunque sin los espacios creados por los límites de clase.

� Se obtienen de la siguiente manera: ◦ Se determina el tamaño del espacio entre el límite de clase

superior de una clase y el límite de clase inferior de la siguiente.

◦ Se suma la mitad de esa cantidad a cada límite de clase


◦ Se suma la mitad de esa cantidad a cada límite de clase superior, para obtener las fronteras de clase superiores; se resta la mitad de esa cantidad de cada límite de clase inferior, para obtener las fronteras de clase inferiores.


� Las marcas de clase: son los puntos medios de las clases. Cada marca de clase se calcula sumando el límite de clase inferior con el límite de clase superior y dividiendo la suma entre dos.

� La anchura de clase: es la diferencia entre dos límites de clase inferiores consecutivos


dos límites de clase inferiores consecutivos o dos fronteras de clase inferiores consecutivas.


� Las definiciones de anchura de clase y frontera de clase son engañosas. ◦ Hay que tener cuidado para evitar el error común de considerar la anchura de clase como la diferencia entre el límite de clase inferior y el límite de clase superior.

� El proceso para determinar las fronteras de clase se simplifica si se comprende que


clase se simplifica si se comprende que éstas básicamente llenan los espacios entre clases al dividir en dos la diferencia entre el final de una clase y el inicio de la siguiente.


� Debemos tener claro que el énfasis está en la interpretación de las herramientas que proporciona la estadística descriptiva.◦ Estadísticos

◦ Histograma

◦ Diagrama de caja

� No perder de vista que el propósito es

Estudio de Capacidad del procesoEstudio de Capacidad del procesomediante estadística descriptivamediante estadística descriptiva

� No perder de vista que el propósito es la evaluación de la calidad del proceso, (su capacidad para cumplir la especificación de la variable de calidad)


� Si un histograma está construido de manera correcta, es decir:◦ Si, es resultado de un número suficiente de datos (de preferencia más de 100),

◦ Si, los datos son representativos del estado del proceso durante el período de interés;

Interpretación del HistogramaInterpretación del Histograma

Entonces, se recomienda considerar los siguientes puntos en la

interpretación del histograma:


� Observar la tendencia central de los datos◦ Localizar en el eje horizontal o escala de medición, las barras con mayores frecuencias (cuando tiene forma de campana) o la mitad de los datos (si tiene forma sesgada).


� Estudiar el centrado del proceso ◦ Es necesario apoyarse en el punto anterior y observar la posición central del cuerpo del histograma con respecto a la calidad óptima y a las especificaciones.


Condiciones de centrado del proceso:

Interpretación del HistogramaInterpretación del HistogramaDr.-Ing. J. Núñez S. ILM 271: Fundamentos de la Calidad 34

Aun cuando se cumplan las especificaciones, si el proceso no está centrado, la calidad que se produce

no es adecuada, ya que entre más se aleje del óptimo, más mala calidad se tendrá.

� Examinar la variabilidad del proceso◦ Consiste en comparar la amplitud de las especificaciones con el ancho del histograma.

◦ Para considerar que la dispersión no es demasiada, el ancho del histograma debe caber de forma holgada en las especificaciones.


� Analizar la forma del histograma ◦ Al observar un histograma, considerar que la forma de distribución de campana, es la que más se da en salidas de proceso y tiene características similares a la distribución normal.

◦ Es frecuente que cuando la distribución no es de este tipo, sea la señal de un hecho importante que está ocurriendo en el proceso y que tiene un


que está ocurriendo en el proceso y que tiene un efecto negativo en la calidad.

◦ Por ello, es necesario revisar si la forma del histograma es muy diferente a la de campana.


� Analizar la forma del histograma ◦ Algunas de las formas típicas que no coinciden, con una distribución de campana, son las siguientes:

◦ Distribución sesgada

Sesgo en una variable de salida puede

reflejar el desplazamiento paulatino de un


reflejar el desplazamiento paulatino de un

proceso debido a desgastes o desajustes.

Puede indicar procedimientos viciados en la forma de obtener

las mediciones, o un desempeño especial del proceso, en el

sentido que aparecen algunos valores inusualmente altos de

un solo lado de la distribución

� Analizar la forma del histograma ◦ Distribución sesgada

Cabe aclarar que existen características de calidad, que

por su naturaleza, tienen sesgo, como son tiempos de vida

y resistencias a la fatiga, entre otros.

Una forma de decidir si una distribución sesgada indica

una situación especial a corregir, consiste en comparar

ésta con la distribución de la misma característica o de


ésta con la distribución de la misma característica o de

variables similares, para datos obtenidos en otro período

de tiempo.La recomendación general es que, ante la sospecha de

que hay algo especial atrás de una distribución con sesgo,

se debe investigar si efectivamente es así.

� Analizar la forma del histograma ◦ Distribución multimodal

Este tipo de distribuciones, con dos o más

modas, reflejan la presencia de dos o más

realidades o condiciones diferentes.

Algunas situaciones que originan una distribución

multimodal son:


a) Diferencias importantes de lote a lote en la materia prima que utiliza el proceso, debido a que proceden de diferentes proveedores o al exceso de variación de un mismo proveedor.

b) Cuando en el proceso intervienen varios operadores, con criterios o métodos de trabajo diferentes.


Algunas situaciones que originan una distribución

multimodal son: (continuación)

c) Las mediciones de la variable de salida que están representadas en el histograma, fueron realizadas por personas o instrumentos diferentes; por lo tanto, se utilizaron distintos criterios o instrumentos mal calibrados


d) El proceso, cuando generó los resultados de la distribución multimodal, fue operando en condiciones diferentes (una condición para cada moda).


En general, una distribución multimodal se debe a la presencia de fuentes de variación bien definidas, que deben ser identificadas y corregidas, a fin de mejorar la capacidad del proceso correspondiente.

Una forma de identificarlas es analizar por separado


Una forma de identificarlas es analizar por separado los datos en función de diferentes lotes de materia prima, operadores, instrumentos de medición, turnos o días de producción, etc., para así comparar los resultados y ver si hay diferencias significativas.(estratificación de los datos)

� Analizar la forma del histograma ◦ Distribución muy plana

Las situaciones que pueden causar

esto, son las mismas que las de la

distribución multimodal, pero con la

particularidad de que las diferencias

son menos fuertes.


son menos fuertes.

Sin embargo, son situaciones que

afectan de manera seria la

capacidad de un proceso.

� Analizar la forma del histograma ◦ Distribución con acantilados

Algunas de las posibles causas que

motivan la presencia de un acantilado son:

Un lote de artículos previamente inspeccionados al 100% donde se excluyó a los artículos que no cumplen con alguna medida mínima o que exceden


una medida máxima.

Problemas con el equipo de medición, errores en la medición o inspección (cuando el inspector está predispuesto a no rechazar un artículo y observa que éste “casi cumplía” con los requisitos, registra la medida mínima aceptable).

� Datos raros o atípicos◦ Una pequeña cantidad de mediciones muy extremas o atípicas son identificadas con facilidad mediante un histograma, debido a que aparecen una o más barras pequeñas bastante separadas o aisladas del resto.

◦ Un dato raro refleja una situación especial que se debe investigar, y entre las posibles causas


se debe investigar, y entre las posibles causas están las siguientes:� El dato es incorrecto, ya sea por error de medición, de registro o de “dedo” cuando fue introducido a la computadora.


� Datos raros o atípicos◦ (continuación):� La medición fue realizada sobre un artículo o individuo que no forma parte del proceso o población.

◦ Si han sido descartadas las dos situaciones anteriores, entonces la medición se debe a un evento raro o especial. Es decir, cuando se hizo


evento raro o especial. Es decir, cuando se hizo la medición, en el proceso estaba ocurriendo una situación especial o fuera de lo común.


� Necesidad de Estratificar◦ En ocasiones, en el histograma no se observa ninguna forma particular, pero existe mucha variación, y en consecuencia, la capacidad del proceso es baja.

◦ Cuando los datos proceden de distintas máquinas, proveedores, lotes, turnos u operadores, puede encontrarse información


operadores, puede encontrarse información valiosa si se hace un histograma por cada fuente (estrato), con lo que se podrá determinar cuál es la maquina o el proveedor, etc., más problemático.


� Para analizar el desempeño de un proceso, el histograma tiene algunas limitaciones:◦ No considera el tiempo en el que se obtuvieron los datos; (con el histograma es imposible detectar tendencias que ocurren a través del tiempo; no ayuda a estudiar la estabilidad del proceso en el tiempo).

Limitaciones del Histograma Limitaciones del Histograma

proceso en el tiempo).

◦ No es la técnica más apropiada para comparar de manera práctica varios procesos o grupos de datos; (el diagrama de caja o la gráfica de medias son más apropiados).


� Para analizar el desempeño de un proceso, el histograma tiene algunas limitaciones:◦ La cantidad de clases o barras, influye en la forma del histograma, por lo que una buena práctica es que, a partir de la cantidad de clases que se usó de manera inicial, se analice el histograma con un número de clases ligeramente

Limitaciones del Histograma Limitaciones del Histograma

histograma con un número de clases ligeramente menor y un poco más de clases, a fin de verificar si se observa algo diferente.


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