Ilustración de tapa: Nicolás Ernesto CALVINO

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Capítulo

INTRODUCCIÓN

La aplicación del factor gnomónico para latitudes próximas al ecuador y dentro de los trópicos es exacta, mientras que para las muy cercanas a los polos, se hace un tanto confuso, por lo que hay que reconocer que este factor resultante de la diferencia de sombras relativas en términos de la vara gnomónica, se optimiza en tanto se lo utilice para latitudes menores a los 60º, dentro de las que curiosamente supieron florecer las civilizaciones humanas. La Correlación entre luz y sombra, en su relación con el ser humano y la historia, evidencia ser mucho más que algo aislado y auxiliar del cual pudimos valernos. La sombra gnomónica y la luz solar, son como cuerpo universal previsiblemente modificable, reflejo y componente mismo de la autoconstrucción del sujeto social humano en el interactuar histórico y esencial. Los correlatos que la sombra como cuerpo cambiante guarda con el tiempo y el espacio, adquieren formas propias en tiempos históricos y culturas distintas, permitiéndonos que a partir del factor gnomónico, su relación con la Latitud y o sus calendarios, transitemos desde una estela Maya o un reloj solar, hasta el sitio mismo donde pudieron quizás originarse y florecer. Así lo hace el Dr PEREZ ENRIQUEZ con el calendario de 260 días de la cultura Olmeca-Maya y de modo semejante intentaremos hacerlo nosotros con la yupana inka.La clave que nos permite desandar el camino inverso que va desde el hallazgo arqueológico al calendario y la gnomónica que pudo darle origen, se circunscribe a la cantidad de días que en términos de sombra, se dan a uno y otro lado de la vara gnomónica.Es importante destacar que el calendario de 260 días y su factor gnomónico unitario, guarda una relación clave cifrada en los días arrojados como sombras anuales máximas a uno y otro lado de la vara gnomónica y que si supuestamente debiéramos referirnos a un hallazgo cualquiera que teóricamente se ubicara en la línea del ecuador, la clave sería que las sombras gnomónicas anuales máximas en términos de días, se reparten por igual a uno y otro lado de la vara, instrumento central para nuestros análisis. Teniendo en cuenta estos conceptos y considerando que la yupana nos sugiere tres módulos de 120 días cada uno, inferimos que pudo originarse en un sitio en el que mínimamente, la sombra gnomónica a un lado de la vara sea de 120 días.

En este trabajo además tratamos de poner en evidencia que:

1.- Es probable que la motivación social que pudieron sentir quienes inventaron la yupana para concretar la cuantitatividad y naturalmente contar, haya sido el paso de los días como sucesión de luces y sombras que en términos de dedos y manos, lleva al calendario y luego a la contabilidad de los bienes.

2.- Hay una correlación directa entre la optimización del factor gnomónico y el surgimiento de los primeros procesos civilizatorios, como así también entre estos con la cuantificación calendárica de los días y la consiguiente operatoria aritmética basada en el uso de los dedos y las manos(*).Las civilizaciones parecen haber surgido entre valores de un factor gnomónico inferior a 4, tanto hacia el hemisferio Norte como Sur .

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3.- Hay una correlación entre la diferencia de sombras máximas anuales en términos de días a cada hemisferio polar con la Latitud geográfica, el factor gnomónico y el origen de algunos calendarios que trataremos en primer lugar y le daremos expresión analítica exacta.

Los capítulos de este trabajo, están expresados en números Mayas porque considero que estos, son más elocuentes que los romanos, permiten el uso del cero maya para la introducción y además, entiendo que se adecuan mejor al cometido cultural que lo motiva y a

mi estilo.

(*)- En cuanto a la ascensión categorial de lo abstracto a lo concreto en el proceso de la cuantificación calendárica de los días, lo trato con un poco mas de detalles en mi trabajo

<ACERCA DE LA YUPANA CALENDÁRICA>. Publicado en monografías.com

Rubén CALVINO

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Capítulo

FACTOR GNOMÓNICO

01.-Concepto de Factor gnomónico

El factor gnomónico propuesto y utilizado por el Dr Raúl PÉREZ ENRIQUEZ de la Universidad de Sonora, MEXICO, para el estudio de la Herradura de Trilitos de Stonehenge y el calendario de 260 días de la cultura Olmeca-Maya, surge de la diferencia algebraica de sombras gnomónicas extremas, tratadas trigonométricamente como diferencia algebraica de tangentes de los ángulos de incidencia solar entre las estaciones anuales extremas, durante la máxima altitud meridional del Sol. También y en lugar de las tangentes de los ángulos de incidencia, pueden considerarse las cotangentes de los ángulos de las altitudes solares extremas entre los dos solsticios.

En uno u otro caso, por tratarse de diferencias entre funciones trigonométricas, estamos hablando de radio unitario, de modo que el factor gnomónico es la diferencia de sombras extremas en términos del propio gnomón tomado como unidad, que nos habla de la cantidad de días que separan a los solsticios en términos de sombra por unidad gnomónica.En cuanto a las sombras, debemos decir que la de los solsticios de invierno y verano, son compuestas, esto significa que tanto la del solsticio de invierno como la de verano, se componen por otras dos sombras entre las que la sombra del equinoccio es la componente fundamental.A la sombra equinoccial se le suma o resta la sombra producida durante la declinación solar para dar lugar a la del solsticio de invierno o verano respectivamente.La sombra de los equinoccios es la que se produce cuando la declinación solar es cero y el ángulo de incidencia coincide exactamente con el de la Latitud del lugar. Entonces por ello, el factor gnomónico representa la diferencia algebraica entre sombras extremas compuestas, expresada en valores relativos y en términos por unidad de la medida de la vara gnómica tomada como unidad y por ser un resultado de sombras compuestas lo es también de ángulos compuestos por la suma y o resta de ángulos, entre los que se encuentra de modo determinante la sombra del ángulo coincidente con el ángulo de la Latitud del lugar. Por ello es que el factor gnomónico es sensiblemente dependiente de la Latitud.Hay que tener en cuenta que solo en los días de los equinoccios, ocurre que el eje de La Tierra, se enfrenta equidistante a la incidencia de los rayos solares como así también al plano de la eclíptica del Sol y al ser la tierra de la forma de un esferoide girando en torno a su eje , el ángulo solar en el cenít equinoccial es nulo solo en zonas tropicales en tanto que cobra valores diferentes a cero conforme a la esfericidad y proximidad con los polos y en cambio

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para los solsticios , el eje terrestre se encuentra en sus máximos y opuestos estados de inclinación, lo que hace que también los ángulos y sombras sean de sus máximos y opuestos valores. En el solsticio de invierno, junto a la máxima inclinación del eje terrestre, aparece la mayor sombra, en tanto que en el solsticio de verano, junto a la máxima inclinación terrestre opuesta a la anterior, aparece la menor sombra.Vemos entonces que la sombra que proyecta el gnomón al interceptar el meridiano del lugar, depende fundamentalmente de la ubicación geográfica determinada por la latitud de ese lugar sumada a la altitud del Sol originada por la inclinación del eje terrestre fuera de los equinoccios.Es importante destacar que como consecuencia del estudio y aplicación del concepto del factor gnomónico del Dr Raúl PÉREZ ENRIQUEZ, surge que los trópicos, como paralelos que en la esfera terrestre marcan los límites de la declinación Solar, a 23,5º Norte o Sur respecto a la línea del Ecuador, son también básicamente, los demarcadores mas generales de una franja global dentro de la cual se produjeron la mayoría las primeras civilizaciones humanas aunque no todas, por ello es que si en lugar de la Latitud (Lº) usamos el factor gnomónico, todas las grandes civilizaciones primitivas quedan incluídas dentro de una franja de factor gnomónico menor o igual a4 y en este sentido se verifica que STONEHEGE, una de las civilizaciones mas boreales, con Latitud de 51º, factor gnomónico 3, emerge como uno de los límites mas extremos pero suficientemente incluído.

02.-Factor gnomónico y Latitud

En la figura 2, vemos que sobre la recta tangente a la circunferencia trigonométrica, se adicionan las funciones tangentes de los ángulos de la Declinación solar Φ=23,44º y de la Latitud θ . Luego, para hallar la tangente resultante de la suma algebraica de la tangente de la Declinación solar algebraicamente adicionada a la tangente de la Latitud, es necesario partir de la expresión general de la tangente de la suma o diferencia de ángulos:

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Pero la diferencia que expresa el factor gnomónico, es la diferencia de dos tangentes, donde cada una de ellas, a su vez, es tangente de un ángulo compuesto por dos ángulos; el ángulo de la Latitud y el ángulo de la Declinación Solar.Por una lado tenemos la tangente de la suma del ángulo de la Latitud del lugar más el de la declinación de 23,44º (solsticio de invierno o de sombra larga) y por el otro, el de la tangente de la diferencia entre el mismo ángulo de la Latitud del lugar y la declinación de 23,44º (solsticio de verano o de sombra corta). Entonces:

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CÁLCULOS

Volviendo al rigor matemático, veremos como ejemplo algunos casos especiales del cálculo del factor gnomónico para una declinación de 23,44º, de la cual su tangente es 0,433567758, el doble 0,867 y el cuadrado 0,18798, lo que por otro lado también, a los efectos de formalizar la expresión puede usarse indistintamente la fracción del valor inverso 1 / 5,3197148..

Entonces:

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03.- Factor gnomónico, Latitud y ciclo Solar anual

Si suponemos que la tierra es un disco capaz de girar hacia uno y otro hemisferio polar describiendo un ángulo cercano a ls 25º, se puede graficar dicho movimiento en una curva de tiempo, de manera tal que ubicados en la superficie terrestre y siguiendo la evolución anual de la sombra meridional proyectada hacia uno y otro hemisferio polar, podríamos determinar la curva de la Declinación solar (Dº). Es fácil notar que la declinación (Dº)es nula cuando el ángulo de incidencia solar sobre el eje del Ecuador también lo es y en cambio se hace máxima, cuando ese ángulo también es máximo, de modo que si comenzamos a trazar la curva de la declinación solar (Dº) a partir del extremo Norte como ángulo y tiempo cero con declinación máxima positiva y en tanto los días se suceden, tendremos declinación nula a 90º máxima negativa a 180º, nula a 270º y finalmente máxima positiva nuevamente a 360º.En consecuencia estamos frente a una función cosinusoidal en la que el eje de abscisas representa la sucesión temporal medida en días y el de las ordenadas, los valores de la declinación solar que no es otra cosa que la incidencia solar afectada por el ángulo.

Entonces, la Declinación Solar ( Dº ) vista trigonométricamente, es una función cosinusoidal desarrollada en los 360º de la circunferencia trigonométrica a la manera de ciclos de tiempo anual de 365 d ías y cuatro cuadrantes de 23.44º equidistantes con la Latitud terrestre ( Lº ).

Luego y por las características de la función coseno, con solo analizar el primer cuadrante, podemos generalizar y extender las conclusiones a toda la circunferencia trigonométrica

En consideración a lo dicho, vemos que el total de 365 días se corresponden con el desarrollo angular de la circunferencia trigonométrica en un ángulo Aº de 360º y que en ese ciclo hay 4 ciclos de la declinación en su ir y venir en mas/menos 23.44º. Entonces:

365 días <> 360º <> 4 x 23.44º

Si nos remitimos a uno de los dos hemisferios, dividimos todo por 2 y tenemos:182.5 días <> 180º <> 2 x 23.44º

Si ahora queremos analizar todo desde uno de los cuadrantes:91.25 días <> 90º <> 23.44º

Entonces, el primer cuadrante es la cuarta parte del espacio total de los días del año, en el que dentro de un ángulo de 90º de la circunferencia trigonométrica, se despliega una declinación solar de 23º coincidentes con la Latitud terrestre (Lº).:

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En consecuencia, tendremos una fracción de los días del año, la cual puede ser h1/ Z, que se corresponde con un valor del ángulos aº y con la Declinación solar (Dº).

La diferencia entre las sombras máximas meridionales arrojadas a uno y otro lado de la vara gnomónica surge de la adición algebraica de sombras:

365 días = h1 + h2Luego

∆s= h 1 = 365 ± h2

Esta diferencia tratada en relación al total de días del cuadrante, equivale a un ángulo de la circunferencia trigonométrica descripta por el desarrollo en el tiempo de la Declinación solar (Dº), de modo tal que su coseno multiplicado por los grados de Latitud máximos a tratar, arroja el valor de Latitud buscada.

Ejemplo:

Para ver todo desde el primer cuadrante, nos vamos a valer del ejemplo 365 = (105+260), donde el término que nos interesa es el de la sombra arrojada sobre el polo contrario al que nos ubicamos, (si estamos en el Sur, nos interesa la porción menor que se proyecta sobre el Norte) y ese término componente, tenemos que dividirlo por dos, osea: 105/2= 52.5 para de ese modo obtener una cuarta parte del valor original y referirlo a la cuarta parte de la circunferencia trigonométrica. Entonces:

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Como puede apreciarse en la tabla de datos reales, Copán Ruinas se corresponde exactamente con nuestro valor de Latitud (Lº) hallado mediante el cálculo y lo mismo ocurre para otras como se muestra en las tablas..

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Cpítulo

VERSIÓN ARTÍSTICA

04.-Instrumento para la medición del factor gnomónico-el gnomovernier-

GNOMOVERNIER

Versión artística

Composición: consta de una regleta la cual permite que sobre ella se desplace una vara gnomónica a la manera de nonius o vernier. Este desplazamiento permite que se procure hacer coincidir el extremo de la sombra cúspide de la vara, con el cero de la regleta. De este modo se toma la sombra del solsticio de invierno y en ese valor se fija otra pieza móvil que permanecerá en el lugar hasta tanto se tome la otra medición de sombra extrema, la del solsticio de verano. Luego entre estas dos piezas se mide la diferencia que en términos de la vara tomada como unidad, nos dará directamente el factor gnomónico. El conjunto cuenta con una ampolla de ojo de agua como nivel y una brújula. La regleta puede tararse directamente en unidades relativas a la vara gnomónica y de ese modo la lectura se hace en forma directa. Si en lugar de ello se usa un metro común, se dividen los centímetros medidos por los de la vara y de esa manera se obtiene el valor del factor gnomónico.

Materiales reciclados Autor: Rubén CALVINO

2009

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Cpítulo

FACTOR GNOMÓNICO Y CIVILIZACIONES

05.-Situación gnomónica de algunas culturas

Si observamos la Latitud geográfica del florecimiento de importantes culturas, es fácil notar que las mismas se han desarrollado dentro de Latitudes claramente definidas.La civilización mas extrema, parece ser la de los BRITANICOS de STONEHEGE, a una Latitud de 51º- factor gnomónico 3, en tanto que el resto y la casi totalidad del surgimiento de las civilizaciones primitivas, se ubica dentro y o muy próximo a los trópicos.Por esta razón y porque hay una comprobada equivalencia entre factor gnomónico y Latitud, resulta provechoso y elocuente decir que:

EL SURGIMIENTO DE LAS PRIMERAS CIVILIZACIONES HUMANAS, SE DIO ENTRE LOS LÍMITES DE UN FACTOR GNOMÓNICO MENOR A 4, NORTE O SUR

CULTURA CHINALatitud en grados 39,9º 39´54´´Latitud decimal 39,9ºFactor gnomónico calculado 1.696

CULTURA INDIA - Civilización. HARAPPALatitud en grados 30º 06´Latitud decimal 30,38ºFactor gnomónico calculado 1,245

CULTURA EGIPCIALatitud en grados 29º 58´Latitud decimal 29,966ºFactor gnomónico calculado 1,232

BRITANICOS –STONEHEGE-Latitud en grados 51ºLatitud decimal 51ºFactor gnomónico calculado 3

SUMERIOSLatitud en grados 33º 02´Latitud decimal 33,033ºFactor gnomónico calculado 1,340

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BABILONIOSLatitud en grados 32º 32´Latitud decimal 32,5233ºFactor gnomónico calculado 1,320

OLMECASLatitud en grados 14º 49´Latitud decimal 14,816ºFactor gnomónico calculado 0,914

TEOTIHUACANLatitud en grados 19º 54´Latitud decimal 19,9ºFactor gnomónico calculado 1,003COPÁN RUINAS - Estela D -Latitud en grados 14º 49´Latitud decimal 14,816ºFactor gnomónico calculado 0,914

TIAWANAKULatitud en grados 16º 32´Latitud decimal 16,53ºFactor gnomónico calculado 0,959´WANKARANILatitud en grados 18º 32´Latitud decimal 18,53ºFactor gnomónico calculado 0,985

CHIRIPASLatitud en grados 16º 27´Latitud decimal 16,45ºFactor gnomónico calculado 0,958

LAGO TITICACA - Zona habitada <Mar dulce Mediterráneo sudamericano>Latitud en grados 15º 49´ 52´´Latitud decimal 15, 83111…ºFactor gnomónico calculado 0,951

Es posible que los calendarios originarios entre estas civilizaciones se correspondan con estos datos gnomónicos, desde dos perspectivas, la de que como es el caso de STONEHEGE y la del calendario Olmeca-Maya se haya dado en términos enteros de la vara gnomónica y con valores calendáricas en relación a solsticios y equinoccios y o como sospechamos en el caso de la yupana, que también se organizaran conforme al reparto de sombras gnomónicas a uno y otro lado de la vara.

No obstante, habría una posibilidad intermedia, muy difícil de probar, en el sentido de que algunos valores del factor gnomónico, pudiendo si no ser enteros ni unitarios, si en cambio podrían estar muy cerca de lo que sería la relación entre las ternas de valores de números

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enteros que hacen a los triángulos rectángulos y en consecuencia algunas civilizaciones pudieran haberse valido de estas relaciones para convertir en mesurables las inconmensurables longitudes de sombras, lo que exigiría conocer previamente esta propiedad y epistemológicamente también, aquellos factores que le dan sustento, como ser la geometría y sus factores concomitantes.Entonces podemos afirmar y sostener que en general, las civilizaciones surgieron entre factores gnomónicos menores a 4, Norte o Sur.

06.-Del paso del SOL por el cenit y el posible origen de la yupana

Algunos narradores de la cultura PUKARA, señalan que los primeros habitantes del altiplano peruano asentáronse en el departamento de Puno entre los años 10,000 y 12,000 a.C. y que de aquellos originarios surgieron las tres las culturas nativas que poblaron el altiplano: Los puquinas (tiahuanacos), Los aymaras y Los quechuas - PukarA-AymarA-QuichuA-En esta región de Sudamérica ubicada entre el trópico de Capricornio y el Ecuador, el paso del Sol por el Zenit y el Anti-Zenit sucede dos veces al año; en Octubre y en Febrero, fenómeno que puede ser verificado valiéndonos de una vara gnomónica y comprobando que hay un tiempo en que la vara no proyecta sombra alguna hacia ninguno de los hemisferios polares, dando lugar a los llamados dias sin sombra. Estos días en que no se proyecta sombra porque el Sol pasa por el punto que en relación a la tangente de la esfera terrestre forma un ángulo de 90º y que llamamos paso por el cenit, se produce solo en latitudes entre y hasta los trópicos ubicados a 23,44º Norte y Sur respectivamente y ocasiona en la línea del Ecuador, además de los días sin sombra, que el paso por el cenit coincida justamente con los equinoccios y que las sombras y cantidad de días proyectadas a uno y otro lado de la vara sean equidistantes. Fuera del Ecuador, el número de días a uno y otro hemisferio de la vara se van diferenciando en relación directa con la latitud geográfica y es esta justamente la clave desde la cual intentaremos determinar el sitio donde pudo originarse el hipotético calendario de la yupana con 120 días a uno de los lados de la vara gnomónica.

Cuanto más nos alejamos del ecuador, sea hacia el Norte o hacia el Sur, las sombras y las fechas del día sin sombra se modifican y hay un punto determinado por el ángulo de incidencia solar de 19,54º, en que la relación entre la longitud total de la sombra sumada algebraicamente a uno y otro lado de la vara gnomónica respecto de la longitud de la propia vara, es igual a la unidad. En esa Latitud, la cantidad de días a uno y otro lado de la vara gnomónica es de unos 68 + 297 = 365

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Esto dicho en otros términos, significa que para una Latitud de 19,54º, el factor gnomónico del lugar es igual a la unidad y la cantidad de días clave es de 68-297. En consecuencia, para determinar el origen del supuesto calendario de la yupana basándonos en la relación de los días 245-120, debemos situarnos entre un factor gnomónico unitario por un lado y el de Latitud cero en el Ecuador por el otro. Dentro de esta vasta región se encontraría el sitio. Entonces como primera aproximación decimos que el sitio exacto en que pudo originarse un calendario de la yupana en clave de 120 - 245 se encontraría entre el punto de Latitud 19,54º y factor gnomónico unitario por un lado y el de Latitud nula del ecuador por el otro. A continuación vemos en la figura la vasta zona del probable origen de la yupana.

Además de lo expuesto es importante advertir la importancia de los correlatos para determinar el posible origen de la yupana calendárica y en ese sentido, a fines de octubre hay un festejo de la cultura Tiawanaku que se refiere al júbilo y podría ser coincidente con el cenit solar, luego, en la última semana de febrero y primera de marzo, fecha en que se produce el otro cenit solar, se celebra la Fiesta de los compadres y comadres en Ayabaca, Juliaca. En algún lugar, esas fechas de octubre y febrero pueden distar 120 días entre sí como el número de acumulación de cada fila de la yupana.

El cálculo que nos orienta hacia el sitio del posible origen de la yupana, sintetiza y refuerza la óptica respecto a que la mayoría de las civilizaciones se desarrollaron entre un factor gnomónico Norte o Sur, menor a 4, reafirma que la yupana pudo ser un calendario y que es en base a establecer el correlato del paso de los días con la sucesión de dedos como se comenzó a contar, por eso la yupana pudo ser primero calendario y luego instrumento de cálculo.

Por todo lo expuesto y resumiéndolo en ella, es que presentamos esta….

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7.- TESIS

1.-Habría un período anual de 120 días proyectando sombras hacia el hemisferio norte.

2.- La yupana es capáz de representar la cantidad de 120 por cada una de sus filas.

3.- Hay dos festividades entre las culturas andinas, que coinciden con los dos pasos del Sol por el cenit del lugar .

Estos datos, inevitablemente sugiere la hipótesis en el sentido de que si se podría verificar que en algún sitio arqueológico, cada 120 días exacto el Sol pasa por el cenit, ese podría ser el lugar de origen de la yupana calendárica y en el calendario por este instrumento representado, los días 240 o 245, junto al 120 podrían tener correlatos significativos.

Si la yupana puede representar la cantidad de 120 por cada fila y se verifica que en algún sitio arqueológico el paso del SOL por el cenit se cumple exactamente dentro de los 120 días, ese podría ser el sitio originario de la yupana y necesariamente su objeto fue calendárico.

Curiosamente la yupana tiene, incluyendo cada torre, un total de 6 casilleros por fila. Luego, las torrecillas cuentan con 2 espacios respectivamente, de modo que cada fila puede ser vista como dividida en tercios, un tercio del total para las torres y otros dos para los restantes casilleros, de forma equivalente a los 120 por un lado y los 240 por otro del año de 72 manos, esto es, sin incluír los 5 días sin tiempo.

El factor gnomónico unitario se da en la latitud 19,54º y la sombra se reparte con 68 días a uno y 297 días al otro lado de la vara gnomónica, días que es importante destacar, son desiguales entre sí lo mismo que las longitudes de sombra. Las sombras del invierno son mas largas cuanto mayor sea la Latitud y el factor gnomónico.En consecuencia, atentos a lo expresado, decimos que donde se compruebe que la sombra se reparte con 120 y 245 días a uno y otro lado de la vara gnomónica, estaríamos ante un posible correlato directo de la yupana con el paso del Sol por el cenit y consiguientemente en el sitio donde presumiblemente se originó la yupana-calendárica.Las sombras y cantidades de días que las respectivas sombras duran, guardarían un exacto correlato con la tripartición de la yupana-calendárica- Aplicando nuestras ecuacionesDecimos que en el eje de Latitud 12º (Sur), es donde aproximadamente se pudo originar la yupana con fines calendáricos y esto nos remite a la zona de PERÚ, posiblemente al Valle de CHANCAY , donde existió una cultura muy antigua de 2.650 antes de nuestra era.

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