3 IMPEDANCIA EN SERIE DE LAS LINEAS DE TRANSMISION

3.1 Tipos de conductores3.2 Resistencia3.3 Influencia del efecto piel sobre la resistencia3.4 Valores tabulados de resistencia.3.5 Definicin de inductancia3.6 Inductancia de un conductor debido a flujo interno3.7 Enlaces de flujo entre dos puntos externos a un conductor aislado 3.8 Inductancia de una lnea bifilar monofsica3.9 Enlaces de flujo de un conductor en un grupo3.10 Inductancia de lneas de conductores compuestos3.11 Ejemplo de las tablas3.12 Inductancia de lneas trifsicas con disposicin equiltera3.13 Inductancia de las lneas trifsicas con disposicin asimtrica3.14 Conductores mltiples3.15Lneas trifsicas de circuitos paralelos

IMPEDANCIA SERIE DE LAS LINEAS DE TRANSMISIONUna lnea de transmisin tiene cuatro parmetros que influyen en su aptitud para llenar su funcin como componente de una red elctrica. Estos parmetros son resistencia, inductancia, capacidad y conductancia.

La conductancia entre conductores o entre conductores y tierra cuenta para la corriente de fuga en los aisladores de lneas principales y a travs del aislamiento de los cables. Puesto que la fuga en los aisladores de lneas principales se puede no tomar en cuenta, la conductancia entre conductores de una lnea principal se asume igual a cero.

Cuando una corriente circula por un circuito elctrico, los campos magntico y elctrico que se forman nos explican algo sobre las caractersticas del circuito. En la fig. 3.1 se representa una lnea bifilar abierta y los campos magnticos y elctricos asociados a ella. Las lneas de flujo magntico forman anillos cerrados que rodean a cada conductor; las lneas del campo elctrico nacen en las cargas positivas, sobre un conductor, y van a pasar a las cargas negativas, sobre el otro. Toda variacin de la corriente que pasa por los conductores produce una variacin en el nmero de las lneas de flujo magntico que atraviesan el circuito. Por otra parte, cualquier variacin de ste induce una f.e.m. en el circuito, siendo esta f.e.m. inducida, proporcional a la velocidad de variacin del flujo. La inductancia es la propiedad de un circuito que relaciona la f.e.m. inducida, por la variacin del flujo, con la velocidad de variacin de la corriente.

La resistencia y la conductancia uniformemente distribuidas a la carga de la lnea forman la impedancia serie. La conductancia y la capacitancia que existe entre conductores de una lnea monofsica o desde un conductor a neutro de una lnea trifsica forman la admitancia en paralelo.

3.1 TIPOS DE CONDUCTORESCon un mayor dimetro las lneas de flujo elctrico originadas sobre el conductor estarn ms apartadas en la superficie de ste para una misma tensin. Esto significa un menor gradiente de tensin en la superficie del conductor y menor tendencia a ionizar el aire a su alrededor. La ionizacin produce un efecto indeseable llamado corona.

Los smbolos que identifican diferentes tipos de conductores de aluminio son los siguientes:

ACCconductor de aluminio

AAACconductor de aluminio con aleacin.

ACSRconductor de aluminio con refuerzo de acero

ACARconductor de aluminio con refuerzo de aleacin

Los AAAC tienen mayor resistencia a la tensin que los conductores elctricos de aluminio de tipo ordinario. ACSR consiste de un ncleo central de alambres de acero rodeado por capas de alambre de aluminio. ACAR tiene un ncleo central de aluminio de alta resistencia rodeado por capas de conductores elctricos de aluminio tipo especial.

Las capas de alambre de un conductor trenzado son enrolladas en direcciones opuestas a fin de prevenir desenrollados y hacer que el radio externo de una capa coincida con el radio interno de la siguiente.

El trenzado proporciona flexibilidad con grandes secciones transversales. El nmero de alambres depende del de capas y de que aquellos sean del mismo dimetro.Una frmula general para el nmero total de alambres de los cables de este tipo es,

Donde x es el nmero de capas, incluyendo el alambre del centro.La fig. 3.2, representa un tpico cable de aluminio con refuerzo de acero (ACSR). El conductor mostrado tiene 7 alambres de acero formando el ncleo central y alrededor de l hay dos capas de alambre de aluminio. Hay 24 alambres de aluminio en las dos capas exteriores. Los conductores trenzados se especifican como 24 Al/7 St, o simplemente 24/7. Diferentes resistencias, capacidades de corriente y tamaos de conductor se obtienen usando diferentes combinaciones de acero y aluminio.Un tipo de conductor, el llamado ACSR dilatado, tiene un material intermedio, papel, por ejemplo, separando los cables interiores de acero de los exteriores de aluminio. El objeto de este relleno, es lograr un dimetro mayor (y, por ello, un menor efecto corona), para una conductividad y resistencia dadas. Los ACSR dilatados son usados para algunas lneas de muy alto voltaje (EHV).

3.2RESISTENCIALa resistencia de los conductores es la causa principal de la prdida de la energa en las lneas de transporte. A menos que se especifique otra cosa, al hablar de resistencia nos referimos a la resistencia efectiva. La resistencia efectiva de un conductor es:

Donde la potencia est en vatios e I es la corriente eficaz del conductor, en amperios. La resistencia efectiva es igual a la resistencia del conductor a la corriente continua solo en a aquellos casos en que la distribucin de la corriente en el conductor sea uniforme. La falta de uniformidad en la distribucin de la corriente y la relacin entre la resistencia efectiva.La resistencia a la corriente continua viene dada por la frmula

Donde p = resistividad del conductor,L= longitud,A = rea de la seccin transversal.Puede emplearse cualquier sistema coherente de unidades. En unidades inglesas / est en pies, A en circular mils (cmil), y en ohmio-circular mils por pie, algunas veces llamado ohmio por circular mil-pie. En unidades SI / est en metros, A en metros cuadrados y p en ohmio metro.Un circular mil es el rea de un crculo que tiene el dimetro de un mil. Un mil es igual a 10 pulg. El rea de la seccin transversal de un conductor cilndrico slido es igual al cuadrado del dimetro del conductor expresado en mils. El nmero de circular mils multiplicado por x/4 es igual al nmero de mils cuadrados.La resistencia a la corriente continua de los conductores de hilos trenzados es mayor que el valor obtenido de la Ec. (3.2) debido a que los hilos trenzados helicoidalmente tienen mayor longitud que el conductor. Por cada milla de conductor, la corriente tiene que recorrer, en todos los hilos, excepto el central, ms de una milla de hilo. El incremento de resistencia debido a la espiral que forman los hilos se estima en 1% para conductores de tres hilos y un 2% para los de hilos concntricos.

La variacin de la resistencia de los conductores metlicos con la temperatura es prcticamente lineal en el margen normal de utilizacin. Si se llevan las temperaturas al eje de ordenadas y las resistencias al de abscisas, como se ha hecho en la fig. 3.3, prolongando el segmento de recta determinado hasta su interseccin con el eje de ordenadas, obtenrnosla ordenada en el origen que nos permite corregir la resistencia por los cambios de temperatura. La ordenada en el origen, esto es, la temperatura correspondiente a R = 0, es una constante

Del material. De la fig. 3.3 tenemos donde R y R son las resistencias del conductor a las temperaturas t y t , respectivamente, en grados centgrados, y T la constante determinada a partir del grfico. Los valores de T son los siguientes:

234.5 para cobre recocido de 100% de conductividad,241 para cobre estirado en fro de 97,3% de conductividad,228 para aluminio estirado en fro de 61% de conductividad.

3.3 INFLUENCIA DEL EFECTO PIEL SOBRE LA RESISTENCIALa distribucin uniforme de la corriente en la seccin del conductor solamente se presenta en la corriente continua. A medida que aumenta la frecuencia de la corriente alterna, se hace ms pronunciada la diferencia entre las densidades de corriente de las distintas zonas de una seccin transversal. Este fenmeno se llama efecto piel. En un conductor de seccin circular, generalmente, aumenta la densidad de corriente del interior al exterior. Sin embargo, en los conductores de radio suficientemente grande, se puede presentar una densidad de corriente oscilante a lo largo del radio.Los filamentos sobre la superficie del conductor no estn enlazados por el flujo interno, y los enlaces de flujo de un filamento cercano a la superficie son menores que los enlaces de flujo del filamento en el interior. La variacin de flujo induce altos voltajes actuando en los filamentos interiores que son inducidos a los filamentos interiores que son inducidos a los filamentos cercanos a la superficie del conductor. Por la ley Lenz el voltaje inducido se opone al cambio de corriente producido, y el alto voltaje inducido actuando sobre los filamentos internos causa la mayor densidad de corriente en los filamentos cercanos a la superficie. Aun a frecuencias a las cuales se transmite potencia el efecto piel es un factor significativo en conductores largos.

3.4 VALORES TABULADOS DE RESISTENCIALa resistencia a la corriente continua de varios tipos de conductores se puede encontrar fcilmente con la ec. (3.2), y puede estimarse el incremento en la resistencia debido a la espiral. Las correcciones debido a la temperatura se determinan en la ec. (3.3). El incremento en la resistencia causado por el efecto piel se puede calcular para alambres circulares y tubos de material slido con las curvas de R/Ro disponibles para ese tipo de conductores simples. Sin embargo, esta informacin no es necesaria, pues los fabricantes suministran tablas con las caractersticas elctricas de sus conductores.

3.5 DEFINICION DE INDUCTANCIADos ecuaciones fundamentales sirven para explicar y definir la inductancia. La primera relaciona la f.e.m. inducida con la velocidad de variacin del flujo que rodea el circuito. La f.e.m. inducida es:

Donde e es la f.e.m. inducida, en voltios, y es el nmero de enlaces de flujo nmero de lneas de induccin del circuito en Weber-vueltas. El nmero de Weber-vueltas es el producto de los Weber por el nmero de vueltas del circuito enlazado. En el circuito de dos conductores de la fig. 3.1 cada lnea de flujo lo rodea una sola vez y se inducir 1 voltio cuando la velocidad de variacin de flujo sea de 1 Wb/seg. Si consideramos un solenoide, en lugar del circuito de la fig. 3.1, la mayor parte de las lneas de flujo producidas atraviesan ms de una vuelta del solenoide. Si el flujo que atraviesa 100 vueltas de un solenoide vara a la velocidad de 1 Wb/seg, la f.e.m. inducida en cada espira ser 1 voltio, pero la inducida en el solenoide sern 100 voltios, ya que las espiras estn en serie. Por consiguiente, la f.e.m. inducida es proporcional a la velocidad de variacin del flujo de induccin. Si algunos de los enlaces de flujo enlazan menos vueltas que el total del solenoide, se reducen los enlaces totales de flujo. En trminos de lnea de flujo, cada lnea se multiplica por el nmero de vueltas que enlaza, y esos productos son sumados para obtener los enlaces totales de flujo.Suponiendo constante la permeabilidad del medio, en el que acta el campo magntico, el nmero de enlaces de flujo es directamente proporcional a la corriente y, por consiguiente, la f.e.m. inducida lo es a la velocidad de variacin de la corriente. De esta forma, la segunda ecuacin:

de donde se deduce la definicin de la autoinduccin de un circuito elctrico como el nmero de enlaces de flujo del circuito por unidad de corriente. (La inductancia de un conductor de un circuito es igual al nmero de enlaces de flujo del conductor por unidad de corriente en el mismo) En una lnea de dos conductores el nmero de enlaces de flujo del circuito es la suma de los enlaces de flujo de cada conductor. En el sistema de unidades SI L, en henrios, es igual a Weber-vueltas por amperio. En funcin de la inductancia los enlaces de flujo son

= Li Weber-vueltas (3.8)

En la ec. (3.8) si i es la corriente instantnea, representa los enlaces de flujo instantneos. Para corriente alterna sinusoidal los enlaces de flujo son tambin sinusoidales. La expresin vectorial TT de los enlaces de flujo es

= LI Weber-vueltas (3.9)

Como e estn en fase, L es real, siendo compatible con las ecs. (3.7) y (3.8). El vector cada de tensin por la accin de los enlaces de flujo es

La inductancia mutua o coeficiente de autoinduccin mutua entre dos circuitos, s_e define como los enlaces del flujo de uno de los circuitos, debido a la corriente del otro por amperio de la corriente de ste. Si la corriente h produce enlaces de flujo con el circuito 1, la inductancia mutua es

3.6 INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR DEBIDO A FLUJO INTERNA

Dentro de stos tambin existe campo magntico, como se mencion cuando consideramos el efecto piel. La variacin de las lneas de flujo dentro de los conductores contribuye tambin a la f.e.m. del circuito, y, por tanto, a la inductancia. El valor correcto de la inductancia debida al flujo interno, puede calcularse como la relacin entre los enlaces de flujo y la corriente, teniendo en cuenta que cada lnea de flujo interna enlaza tan solo una fraccin de la corriente total.Para obtener un valor preciso de la inductancia de una lnea de transporte es necesario considerar tanto el flujo interior de un conductor, como el exterior. La fuerza magnetromotriz (fmm), en amperio-vueltas, alrededor de cualquier lnea cerrada es igual a la corriente, en amperios, abarcada por la lnea. La fmm es igual, tambin a la integral de la componente tangencial de la intensidad de campo magntico a lo largo del filete. As,

Donde H = Intensidad de campo magntico, At/m s = Distancia a travs del paso, mI= Corriente encerrada, AEl punto entre H y ds indica que el valor de H es la componente de la intensidad de campo tangente a ds.Designemos por Hx la intensidad de campo a x metros del centro del conductor. Como el campo es simtrico, Hx es constante en todos los puntos equidistantes del centro del conductor. Si la integracin indicada en la ec. (3.12) se hace a lo largo de una lnea circular, concntrica al conductor y a x metros del centro, Hx es constante a lo largo de toda la lnea y tangente a ella. La ec. (3.12) ser

Y

Donde Ix es la comente encerrada. Suponiendo una densidad de corriente uniforme,

Donde I es la corriente total del conductor. Sustituyendo la ec. (3.15) en la (3.14) y resolviendo para Hx, tenemos

La densidad de flujo a x metros del centro del conductor es

Donde es la permeabilidad del conductor.

En el elemento tubular de espesor dx, el flujo d es Bx veces el rea transversal del elemento normal a las lneas de flujo, siendo el rea dx veces la longitud axial. El flujo por metro de longitud es

Los enlaces de flujo d por metro de longitud, producidos por el flujo del elemento tubular son el producto del flujo por metro de longitud por la fraccin de corriente enlazada. De esta forma

Integrando desde el centro del conductor hasta el borde exterior para encontrar int, enlaces de flujo totales en el interior del conductor, obtenemos

Para una permeabilidad relativa de 1, = 4ir X 10-7 henrios/metro, y

Hemos calculado la inductancia por unidad de longitud (henrios/metro) de un conductor cilndrico debido nicamente al flujo de su interior. En lo sucesivo, por conveniencia, al tratar de la inductancia por unidad de longitud la llamaremos sencillamente inductancia, pero empleando las unidades correctas.La validez del clculo de la inductancia interna de un hilo macizo de seccin circular por el mtodo de los enlaces de flujo parciales, puede demostrarse deduciendo la inductancia por un mtodo totalmente diferente. Siendo la energa almacenada en el interior del conductor, debido al campo magntico, igual a , al despejar Lint obtenemos la ec. (3.22).

3.7 ENLACES DE FLUJO ENTRE DOS PUNTOS EXTERNOS A UN CONDUCTOR AISLADOComo primer paso para calcular la inductancia debida al flujo exterior a un conductor, deduciremos los enlaces de flujo de un conductor aislado debidos a la porcin de flujo exterior comprendida entre D1 y D2 metros del centro del conductor. En la fig. 3.6, P1 y P2 son dos puntos a distancias D1 y D2 del centro de un conductor por el que circula una corriente de I amperios. Como las lneas de flujo son crculos concntricos al conductor, todo el flujo comprendido entre P1 y P2 est dentro de las superficies cilndricas concntricas (representadas por circunferencias de trazo continuo) que pasan por P1 y P2. En el elemento tubular, que est a x metros del centro del conductor, la intensidad de campo es Hx. La fmm a lo largo del elemento es:2xHx = I

El flujo d en el elemento tubular de espesor dx es

Los enlaces de flujo d por metro son iguales, numricamente, al flujo d, puesto que el flujo exterior al conductor enlaza toda la corriente del conductor tan solo una vez. Los enlaces de flujo totales entre P1 y P2 se obtienen integrando d desde x = D1 a x = D2. De esta forma obtenemos

o, para una permeabilidad relativa de 1,

La inductancia debida solamente al flujo comprendido entre D1 y D2 es

Ntese que ln, de las Ecs. (3.26) a (3.28), es el logaritmo neperiano (base e). Transformando los henrios por metro a milihenrios por milla y empleando logaritmos decimales, tenemos

3.8 INDUCTANCIA DE UNA LINEA BIFILAR MONOFASICA

Antes de tratar el caso ms general de lneas de varios conductores y trifsicos, consideraremos el caso de una sencilla lnea bifilar de conductores cilndricos macizos. La fig. 3.7 representa un circuito que tiene dos conductores de radios r1 y r2. Uno de los conductores constituye el hilo de retorno] En principio, consideraremos solamente los enlaces de flujo del circuito producidos por la corriente del conductor 1. Una lnea de flujo, debida a la corriente del conductor 1, situada a una distancia igual o mayor a D + r2 del centro del conductor 1 no enlaza el circuito y, por tanto, no induce ninguna f.e.m. en l. Dicho de otra manera, una lnea de flujo de estas caractersticas enlaza una corriente cero, ya que la corriente del conductor 2 es igual en magnitud y de opuesto sentido a la corriente del conductor 1. La fraccin de la corriente total enlazada por una lnea de flujo exterior al conductor

1 y a distancia igual o menor a D r2, es 1. Entre las distancias D r2D + r2 (es decir, en la superficie del conductor 2) la fraccin de la corriente total enlazada por la lnea de flujo, producida por la corriente del conductor 1, a 0. Por tanto, es lgico simplificar el problema, cuando D es mucho mayor que r1 y r2 y la densidad de flujo a travs del conductor es aproximadamente constante, suponiendo que todo el flujo exterior producido por la corriente del conductor 1 y que va hasta el centro del conductor 2, enlaza toda la corriente I y que el flujo que se extiende ms all de ese punto no enlaza ninguna corriente. En efecto, se comprueba que los clculos hechos con esta hiptesis son correctos, incluso cuando D es pequeo.La inductancia del circuito debida a la corriente del conductor 1 se determina por la ec. (3.28), sustituyendo D2 por la distancia D entre los conductores 1 y 2, y D1 por el radio r1 del conductor 1.Para el flujo exterior nicamente

Para el flujo interior nicamente

La inductancia total del circuito, debida a la corriente del conductor 1 tan solo, es

La expresin que da la inductancia puede simplificarse sacando factores comunes de la ec. (3.32) y teniendo en cuenta que ln e1/4 = 1/4, de donde

Haciendo operaciones llegamos a

Si sustituimos r1 por r1-1/4,

El radio r1 es el de un conductor ficticio del que se supone que no tiene flujo interior, pero, sin embargo, la misma inductancia que el conductor real de radio r1. El factor -1/4 es igual a 0,7788. La ec (3.36) da para la inductancia el mismo valor que la ec. (2.31). La diferencia estriba en que la ec. (3.36) carece del trmino que toma en cuenta el flujo interior, compensndolo por medio de un valor ajustado para el radio del conductor. Recordemos que la ec. (3.32) se dedujo para un conductor cilndrico macizo y que se lleg a la ec. (3.36) mediante transformaciones matemticas de la ec. (3.32).Por otra parte, el factor 0,7788, para ajustar el radio con objeto de tener en cuenta el flujo interno, se aplica nicamente a conductores cilndricos macizos. Ms adelante consideraremos otro tipo de conductores.Como la corriente en el conductor 2 va en direccin contraria a la que circula por el conductor 1 (o su fase est a 180 con la de sta), los enlaces de flujo producidos por la corriente en el conductor 2, considerado aislado, tienen la misma direccin que los producidos por la corriente del conductor 1. El flujo resultante de los dos conductores est determinado por la suma de las fmm de ambos conductores. Sin embargo, para permeabilidad constante pueden sumarse los enlaces de flujo (e igualmente las inductancias) de los dos conductores considerados aisladamente.Por comparacin con la ec (3.36), la inductancia debida a la corriente en el conductor 2 es

y para todo el circuito

Si r1 = r'2 = r', la inductancia total se reduce a

o

La ec. (3.41) es la inductancia de la lnea bifilar teniendo en cuenta los enlaces de flujo producidos por la corriente en ambos conductores, uno de los cuales es el camino de vuelta de la corriente en el otro. Este valor de la inductancia se llama, a veces, inductancia por metro de lnea o por milla de lnea, para distinguirla de la inductancia del circuito debida a la corriente en uno solo de los conductores. Esta ltima, dada por la ec. (3.37), es la mitad de la inductancia total de una lnea monofsica y se llama inductancia por conductor.

3.9 ENLACES DE FLUJO DE UN CONDUCTOR EN UN GRUPO

Un caso ms general que el de la lnea bifiliar es el de un conductor en un grupo de ellos, en el que la suma de las corrientes de todos los conductores es igual a cero. El grupo de conductores se representa en la fig. 3.8. Los conductores 1, 2, 3,..., n son recorridos por los vectores corrientes I1, I2, I3,..., InLas distancias de estos conductores a un punto lejano P estn indicadas en la figura por D1p, D2p, D3P,..., DnP. Determinemos 1p1, enlaces de flujo del conductor 1 debidos a I1 comprendiendo los enlaces de flujo interno, pero excluyendo todo el flujo ms all del punto P. Por las ecs. (3.21) y (3,27).

Los enlaces de flujo con el conductor 1 debido a l2, pero excluyendo el flujo ms all de P es igual al flujo producido por I2 entre el punto P y el conductor 1 (esto es, entre las distancias lmites D2p y D12 del conductor 2). As

Los enlaces de flujo 1P con el conductor 1, debido a todos los conductores del grupo, pero excluyendo el flujo ms all del punto P es

Que, desarrollando los trminos logartmicos y reagrupando, se convierte en

Como la suma de todas las corrientes del grupo es nula,

y despejando In, tenemos

Sustituyendo en la ec. (2.45), /n por su valor dado por la ec. (2.46) y agrupando los trminos logartmicos, tenemos Suponiendo que el punto P se aleja hasta el infinito, de forma que los trminos logartmicos de las relaciones de distancia desde P se hagan infinitesimales, puesto que dichas relaciones tienden a la unidad, obtenemos

Al permitir que el punto P se mueva hacia el infinito incluimos en nuestra derivacin todos los enlaces de flujo del conductor 1. De esta forma la ec. (3.49) nos da todos los enlaces de flujo del conductor 1, en el grupo de conductores, cuando la suma de todas las corrientes es cero. Si las comentes son alternas, stas tienen que ser corrientes instantneas, o bien valores eficaces complejos, con lo que se obtienen los valores eficaces de los enlaces de flujo en forma de nmeros complejos. 3.10 INDUCTANCIA DE LINEAS DE CONDUCTORES COMPUESTOSLos conductores trenzados estn comprendidos en la denominacin general de conductores compuestos que estn formados por dos o ms elementos o hilos en paralelo. Ahora estamos en condiciones de estudiar las lneas de transporte formadas por conductores compuestos, aunque nos limitaremos al caso en que todos los hilos son iguales y la corriente est igualmente repartida. El mtodo puede extenderse a todos los tipos de conductores que contienen hilos de diferentes dimensiones y conductividades, pero no abordaremos aqu este problema ya que los valores de la inductancia interna de cada conductor especfico se obtienen de los distintos fabricantes y pueden encontrarse en manuales. El mtodo a seguir, supone una aproximacin al problema ms complicado de conductores no homogneos y con desigual distribucin de corriente entre hilos. El mtodo es aplicable a la determinacin de la inductancia de lneas formadas por circuitos en paralelo pueden considerarse como hilos de un solo conductor compuesto.La fig. 3.9, representa una lnea monofsica formada por dos conductores. Para hacer el caso ms general, cada conductor que constituye una parte de la lnea, se representa como un indefinido nmero de conductores agrupados arbitrariamente. Las nicas restricciones son, que los hilos paralelos han de ser cilndricos y con la corriente igualmente distribuida entre ellos. El conductor X est compuesto por n hilos paralelos, exactamente iguales, cada uno de los cuales lleva la corriente I/n. El conductor Y, que constituye el retomo de la corriente de X, est formado por m hilos paralelos, exactamente iguales, cada uno de los cuales lleva la corriente I/m. Las distancias entre los elementos se designarn por la letra D con los subndices correspondientes. Aplicando la ec. (3.49), al hilo a del conductor X, obtenemos los enlaces de flujo del hilo a

De la cual, obtenemos

Dividiendo la ec. (3.51) por la corriente I/n, encontramos que la inductancia del hilo a, es

Anlogamente, la inductancia del hilo b, es

La inductancia media de todos los hilos del conductor X, es

El conductor X est formado por n hilos en paralelo. Si todos tienen la misma inductancia, la del conductor ser 1 /n la de un hilo. En nuestro caso, todos los hilos tienen inductancias diferentes, pero la de todos los hilos, en paralelo, es 1 n de la inductancia media. As, la inductancia del conductor X, es

Sustituyendo la expresin logartmica para la inductancia de cada hilo en la ec. (3.55) y agrupando trminos, obtenemos

Donde ra, rb y rn se han sustituido por Daa ,Dbb y Dnn, respectivamente, para dar a la frmula mayor simetra.Ntese que el numerador de la expresin logartmica en la ec. (3.56) es la raz mn-sima mn trminos, los cuales son los productos de las distancias de todos los n hilos del conductor X a todos los m hilos del conductor Y. Para cada hilo del conductor X hay m distancias a los hilos del conductor Y, y, en total, existen n hilos en el conductor X. El producto de m distancias por cada n hilos resulta en mn trminos. La raz mn-sima del producto de las mn distancias se llama distancia media geomtrica entre el conductor X y el Y. Se representa por Dm o DMG y se llama tambin DMG mutua entre los dos conductores.El denominador de la expresin logartmica de la ec. (3.56) es la razn2-sima de n2 trminos. Hay n hilos por cada hilo hay un producto de n trminos, el r de dicho hilo por las distancias del mismo a cada uno de los restantes hilos del conductor X, lo que hace el total de n2 trminos. A veces ra' se llama la distancia del hilo a a s mismo, especialmente cuando se representa por Daa. Teniendo en cuenta esto. La expresin subradical del denominado puede decirse que es el producto de las distancias de cada uno de los hilos a s mismo y a los restantes hilos. La raz n2 -sima de esta expresin se llama DMG propia del conductor X y el r' de un hilo separado, la DMG propia del hilo. La DMG propia tambin se llama el radio medio geomtrico, RMG. La expresin matemtica correcta es DMG propia, pero comnmente se usa RMG. Nosotros usaremos RMG y la identificaremos por DsEn funcin de Dm y Ds la ec. (3.56) se convierte en

Si comparamos las ecs. (3.58) y (3.37) la semejanza entre ellas es aparente. La ecuacin que da la inductancia de un conductor de una lnea de conductores compuestos se obtiene poniendo, en la ec. (3.37), la DMG entre conductores, de la lnea de conductores compuestos, en lugar de la distancia entre dos conductores macizos de la lnea de conductores sencillos y substituyendo la RMG del conductor compuesto por la RMG (r) del conductor sencillo. La ec. (2.57) da la inductancia de un conductor de una lnea monofsica. El conductor se compone de todos los hilos que estn en paralelo La inductancia es el nmero total de enlaces de flujo del conductor compuesto por unidad de corriente de lnea. La ec. (3.37) da la inductancia de un conductor de una lnea monofsica para el caso especial en que aqul es un alambre cilindrico y macizo.La inductancia del conductor Y se determina de forma anloga, siendo la de la lnea.L = Lx + LyLa distancia media geomtrica puede estudiarse desde un punto de vista matemtico en trminos ms generales. Por definicin, la DMG desde un punto a un grupo de otros puntos es la media geomtrica de las distancias desde un punto a cada uno de los otros puntos.El concepto de la DMG de un punto a una superficie es importante y puede determinarse dividiendo la superficie en un nmero grande de elementos iguales y hallando la media geomtrica de las distancias del punto a los elementos de superficie. Si hay n elementos, la media geomtrica de las distancias es la raz n-sima del producto de las n distancias. La DMG del punto a la superficie es el lmite de la DMG del punto a los elementos de superficie, cuando el nmero de stos tienden a infinito.Para encontrar la DMG entre dos superficies, se divide cada una de stas en un nmero de elementos iguales, m, por ejemplo, para una de ellas y n para la otra. La DMG entre las superficies es el lmite de la raz mn-sima de los mn productos de las distancias entre los m elementos de una superficie y los n de la otra cuando m y n crecen indefinidamente. La fig. 3.10 representa las seis distancias entre dos de los m elementos iguales en que se ha dividido una superficie y tres de los n elementos iguales en que se ha dividido la otra. Para determinar la DMG entre superficies es preciso considerar todas las distancias entre elementos, y el nmero de ellos, en cada superficie, ha de ser infinito. La DMG entre dos superficies circulares puede demostrarse que es igual a la distancia entre centros.La RMG de una superficie es el lmite de la media geomtrica de las distancias entre todos los pares de elementos de la superficie considerada cuando su nmero crece indefinidamente. La RMG de una superficie circular puede demostrarse que es igual al radio del crculo multiplicado por -1/4. Como el r' de nuestras frmulas que dan la inductancia de un alambre de seccin circular es el radio del alambre multiplicado por -1/4, tenemos la razn de por qu llamamos r' a la RMG propia del alambre.

3.11 EMPLEO DE LAS TABLASLa RMG propia de los conductores de cualquier nmero de hilos puede calcularse como en el ej. 3.3. Sin embargo, el ingeniero rara vez tiene que hacer estos clculos, ya que hay tablas que dan valores de la RMG para los conductores normales. El empleo de tablas es el mtodo prctico para determinar los valores deseados, especialmente para los conductores no homogneos como los ACSR. Para utilizar las tablas convenientemente, el ingeniero tiene que comprender perfectamente los datos tabulados.Corrientemente se emplea la reactancia inductiva en lugar de la inductancia. La reactancia inductiva de un conductor de una lnea monofsica bifilar es

Donde Dm es la distancia entre conductores. La RMG que se encuentra en las tablas es equivalente a Ds, la cual tiene en cuenta el efecto piel donde es bastante apreciable y afecta la inductancia. Es claro que el efecto piel es ms pronunciadoa altas frecuencias para un conductor de un dimetro dado. Los clculos para Ds en el ej. 3.3 no tuvieron en cuenta el efecto piel. Puesto que el valor especificado en las tablas concuerda con el calculado, el efecto piel se puede dejar de lado en este conductor. Los valores de Ds proporcionados en la tabla A.1 son para 60Hz.Algunas tablas dan valores de la reactancia inductiva adems de la RMG. Un mtodo es desarrollar el trmino logartmico en la ec. (3.59) como sigue:

Si tanto Ds como Dm estn en pies, el primer trmino de la ec. (3.60) es la reactancia inductiva de un conductor perteneciente a una lnea bifilar con 1 pie de distancia entre conductores, como puede verse comparando la ec. (3.60) con la ec. (3.59). Por esto, el primer trmino de la ec. (3.60) se llama reactancia inductiva a 1 pie de separacin Xa. Depende de la RMG propia del conductor y de la frecuencia. El segundo trmino de la ec. (3.60) se llama factor de separacin de la reactancia inductiva Xd. Este trmino es independiente del tipo conductor y solo depende de la frecuencia y de la separacin. El factor de separacin es igual a cero cuando Dm es 1 pie. Si Dm es menor que 1 pie, el factor de separacin es negativo. El procedimiento para calcular la reactancia inductiva es hallar la reactancia inductiva a 1 pie de separacin para el conductor considerado y sumarla al factor de separacin de la reactancia inductiva, ambas para la frecuencia de la lnea. La tabla A.1 incluye los valores de la reactancia inductiva, a 1 pie de separacin y la Tabla A.2 da los valores del factor de separacin de la reactancia inductiva.3.12 INDUCTANCIA DE LINEAS TRIFASICAS CON DISPOSICION EQUILATERA

Hasta ahora solamente hemos considerado lneas monofsicas. Sin embargo, las ecuaciones encontradas pueden adaptarse fcilmente para calcular la inductancia de las lneas trifsicas. La fig. 3.13 representa los conductores de una lnea trifsica colocados en los vrtices de un tringulo equiltero. Si suponemos que no existe hilo neutro, o que los corriente de las tres fases estn equilibrados, Ia + Ib + Ic = 0. La ec. (3.49) da los enlaces de flujo del conductor a:

Puesto que Ia =(Ib + Ic) la ec. (3.61) se convierte en

Y

O

La ec. (3.64) es de la misma forma que la (3.37) para una lnea monofsica. En los conductores trenzados, Ds sustituye a r en la ecuacin. Debido a la simetra, las inductancias de los conductores b y c son iguales a la del conductor a. Como cada fase tiene solamente un conductor, las ecs. (3.63) y (3.64) dan la inductancia por fase de la lnea trifsica.

3.13 INDUCTANCIA DE LAS LINEAS TRIFASICAS CON DISPOSICION ASIMETRICACuando los conductores de una lnea trifsica no estn en disposicin equiltera, el problema de encontrar la inductancia es ms difcil. En ese caso, los enlaces de flujo y la inductancia de todas las fases no son iguales. Existen inductancias diferentes en cada fase en un circuito desbalanceado. El balance de las tres fases puede lograrse intercambiando la posicin de los conductores a intervalos regulares a lo largo de la lnea, de tal forma que cada conductor ocupe la posicin de cada uno de los otros conductores sobre una distancia igual. Este cambio de las posiciones de los conductores se llama transposicin. La fig. 3.14 representa un ciclo completo de transposicin. Los conductores de cada fase se designan por a, b, y c, mientras que las posiciones ocupadas estn representadas por los nmeros 1, 2 y 3. El resultado de la transposicin es que todos los conductores tienen la misma inductancia media a lo largo del ciclo completo.Las modernas lneas elctricas no se transponen corrientemente, aunque pueden cambiarse las posiciones de los conductores, en las subestaciones, para equilibrar las inductancias de las fases ms exactamente. Afortunadamente, la asimetra entre las fases de una lnea sin transposicin es pequea, pudindose despreciar en muchos casos. Si se desprecia la asimetra, la inductancia de una lnea sin transposicin se calcula como igual al valor medio de la reactancia inductiva de una fase de la misma lnea en la que se hubiera realizado correctamente la transposicin. La deduccin que viene a continuacin es para lneas con transposicin.Para encontrar la inductancia media de un conductor, primeramente se calculan los enlaces de flujo de un conductor en cada posicin del ciclo de transposicin, hallando, a continuacin, la media de los enlaces de flujo. Aplicando la ec. (3.49) al conductor a de la fig. 3.14 para encontrar la expresin vectorial de los enlaces de flujo de a en la posicin 1 ,b en la 2 y c en la 3, tenemos:

Con a en la posicin 2, b en la 3 y c en la 1,

Y con a en la posicin 3, b en la 1 y c en la 2,

El valor medio de los enlaces de flujo de a es

Teniendo en cuenta Ia=- (Ib + Ic),

y la inductancia media por fase es

Donde

La ec. (3.70) puede escribirse

Donde Ds es la RMG del conductor. Deq, media geomtrica de las tres distancias de la lnea asimtrica, es la separacin equiltera equivalente, como puede verse comparando las ecs. (3.70) y (3.74). Ntese la analoga de todas las ecuaciones que dan la inductancia de un conductor. Si la inductancia est en milihenrios por milla, en todas las ecuaciones aparece el factor 0.7411 y el denominador del trmino logartmico es siempre la RMG del conductor. El numerador es la distancia entre hilos de una lnea bifilar, la DMG mutua entre lados de una lnea monofsica de conductores compuestos; la distancia entre conductores de una lnea con disposicin equiltera o bien la separacin equiltera equivalente de una lnea asimtrica.3.14 CONDUCTORES MULTIPLESA tensiones muy altas (EHV), es decir, tensiones superiores a 230 kV se presentan prdidas por corona y particularmente gran interferencia en las comunicaciones si los circuitos tienen solamente un conductor por fase. El alto gradiente de voltaje en el conductor en el intervalo de EHV se reduce considerablemente teniendo dos o ms conductores por fase a una distancia que sea pequea comparada con el espaciamiento entre fases. Se dice que una lnea como sta se compone de conductores agrupados. El agrupamiento se compone de dos, tres o cuatro conductores. Un grupo de tres conductores por lo comn tiene los conductores en los vrtices de un tringulo equiltero, y un grupo de cuatro tiene los conductores en las esquinas de un cuadrado. La fig. 3.16 muestra esos arreglos. La corriente no se dividir exactamente igual entre los conductores del grupo a menos que se haga una transposicin entre los conductores del grupo. Sin embargo, la diferencia no tiene importancia prctica y los mtodos de DMG son exactos para los clculos.La reactancia reducida es otra ventaja de este tipo de lnea. Incrementando el nmero de conductores en un grupo se reduce el efecto de corona y la reactancia. La reduccin en la reactancia resulta del incremento de RMG del grupo. Los clculos de RMG son, por supuesto, los mismos que para un conductor trenzado. Cada conductor de un grupo de dos conductores, por ejemplo, se considera como un hilo de un conductor de dos hilos. Si tomamos/^ para indicar el RMG de un conductor agrupado y Ds el RMG de los conductores individuales que conforman el grupo, encontramos refirindonos a la fig. 3.16.Para un grupo de dos conductores trenzados

Para un grupo de tres conductores trenzados

Para un grupo de cuatro conductores trenzados

Para el clculo de la inductancia con la ec. (3.72), del grupo reemplaza Ds de un conductor simple. Para clculos Deq, la distancia desde el centro de un grupo al centro de un grupo al centro de otro grupo es suficientemente exacta para Dab, Dbc y Dca. La obtencin de la DMG entre los conductores de un grupo y los de otro debe ser indistinguible de las distancias entre centros para el espacio corriente.

3.15 LINEAS TRIFASICAS DE CIRCUITOS PARALELOSDos circuitos trifsicos que estn igualmente constituidos y estn en paralelo tienen la misma reactancia inductiva. La reactancia inductiva del circuito equivalente simple es, sin embargo, solamente la mitad de la de uno de los circuitos considerado cuando estn tan separados que la inductancia mutua sea despreciable. Si los dos circuitos estn sobre el mismo apoyo, puede emplearse el mtodo de la DMG para encontrar la inductancia por fase, considerando que todos los conductores de una fase son hilos de un mismo conductor compuesto.

La fig. 3.18 muestra un arreglo tpico de un circuito trifsico paralelo. Aunque la lnea probablemente no sea transpuesta, suponemos que lo est a fin de simplificar los clculos para obtener un valor prctico de la inductancia. Los conductores a y a' estn en paralelo para formar la fase a. Las fases b y c son similares. Suponemos que a y a' toman las posiciones de b y b' y luego de c y c' como aquellos conductores que se rotan en un ciclo de transposicin.Para calcular Deq el mtodo de la DMG requiere que usemos Dabp , DbCp y Dcap donde el superndice indica aquellas cantidades que son valores DMG propios y donde Dabp significa la DMG entre los conductores de la fase a y aquellos de la fase b.La Ds de la ec. (3.72) se remplaza por Dsp, que es la media geomtrica de los valores RMG de los dos conductores que ocupan primero las posiciones de a ya', luego las posiciones de b y b' y finalmente las posiciones de c y c'. Siguiendo cada paso del ejemplo3.7 tenemos el mejor medio de entender el procedimiento.Conclusiones Al transmitir la energa se tiene alta tensin o voltaje y menos corriente para que existan menores perdidas en el conductor, ya que la resistencia varia con respecto a la longitud, y como estas lneas son demasiado largas las prdidas de electricidad por calentamiento seran muy grandes, debido a que estamos usando V c.a. es obligatorio hablar de la impedancia y de los parmetro que ofrece el fabricante tal y como se menciona anteriormente adems de los efectos que se producen en el conductor.Y debido a que siempre se cumple la ley de Lenz debido a que son conductores y crean campos magnticos afectan a los dems conductores que estn cerca entre s.