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Implementacion de Transmitancias
Complejas con un Modulador de
Amplitud Electro-Optico
por
Marıa Guadalupe Mendez Vazquez
Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado
de Maestro en Ciencias en la especialidad de Optica en
el Instituto Nacional de Astrofısica, Optica y Electronica
Febrero, 2007
Tonantzintla, Puebla
Supervisada por:
Dr. Vıctor Manuel Arrizon Pena, INAOE
Dr. Julian David Sanchez de la Llave, INAOE
c© INAOE, 2007
Todos los derechos reservados
El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuir copias
impresas o electronicas de esta tesis en su totalidad o en partes
Implementacion de Transmitancias
Complejas con un Modulador de
Amplitud Electro-Optico
Marıa Guadalupe Mendez Vazquez
c© INAOE
MMVII
A mi adorada hija Frida
Resumen
En esta tesis se presentan hologramas de amplitud generados por computadora que
codifican funciones complejas arbitrarias y que son implementados experimental-
mente con un modulador de cristal lıquido que provee modulacion de amplitud. Los
hologramas propuestos permiten la sıntesis de campos complejos con gran exactitud.
Primero, se proponen hologramas de amplitud modificados con funcion de trans-
mitancia obtenida a traves de una adecuada funcion de fondo que acompana al coseno
del holograma de la senal codificada. La primera funcion de fondo propuesta es la en-
volvente suave del modulo de la senal codificada, la cual es apropiada para hologramas
implementados en un modulador de amplitud sin fase acoplada. La segunda funcion
de fondo propuesta, adecuada para la modulacion de amplitud con fase acoplada, es
una funcion constante.
Por otra parte, el efecto no deseado producido por la pixelizacion del modulador
se compensa usando un prefiltraje digital de la senal compleja codificada.
Para ilustrar el desempeno de los hologramas disenados, se sintetizan numerica-
mente diferentes campos opticos tales como los haces de Bessel y de Laguerre-Gauss.
Ademas, se realiza un analisis de la eficiencia y de la razon senal a ruido.
Finalmente, se implementan experimentalmente hologramas que codifican haces
Bessel de diferentes ordenes empleando una pantalla de cristal lıquido que provee
modulacion de amplitud con fase acoplada mınima.
vi Resumen
Agradecimientos
Quiero dar un agradecimiento especial a mis asesores de tesis, Dr. Vıctor Manuel
Arrizon Pena y Dr. Julian David Sanchez de la Llave, por su atencion, paciencia ilimi-
tada e invaluable asesorıa para la realizacion de esta tesis. Tambien, quiero agradecer
a los revisores, Dr. Carlos Robledo Sanchez, Dra. Marıa Albertina Castro Ibarra y
Dr. Gonzalo Urcid Serrano, por sus valiosos comentarios para la mejora de esta tesis.
Muchas gracias al Instituto Nacional de Astrofısica, Optica y Electonica (INAOE),
al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa (CONACyT) por la beca otorgada con
numero 181807 y al proyecto CONACyT P 42822 F por el soporte economico.
Un merecido agradecimiento a Alfonso y a mi hijita Frida por su apoyo, paciencia
y amor incondicional que me motivan a seguir adelante. A mi madre por su ejemplo
de lucha constante y a mis hermanos por lo que representan en mi vida.
Finalmente, aprecio y agradezco a todas aquellas personas que me brindaron su
apoyo para alcanzar esta meta.
viii Agradecimientos
Contenido
Resumen v
Agradecimientos vii
CAPITULO 1 Introduccion 1
1.1 Motivacion del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Objetivos y estructura del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
CAPITULO 2 Holografıa 5
2.1 Holografıa optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Holografıa generada por computadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Metodos de codificacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Dispositivos de grabado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
CAPITULO 3 La LCD como modulador espacial de luz 13
3.1 Los cristales lıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 La pantalla de cristal lıquido como modulador espacial de luz . . . . . 14
3.3 Pantalla de cristal lıquido nematico torcido . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Analisis de propagacion de luz en la pantalla de cristal lıquido
nematico torcido (TN-LCD), configurada en modo de amplitud . . . . 17
3.4.1 Cristales uniaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
x Contenido
3.4.2 Modelo de la celda de cristal lıquido nematico torcido . . . . . 18
3.4.3 Operacion la TN-LCD en modo de amplitud . . . . . . . . . . . 20
3.5 Metodo para la caracterizacion de la transmitancia de la TN-LCD . . . 22
3.5.1 Metodo para la caracterizacion de la modulacion de amplitud . 24
3.5.2 Metodo propuesto para la caracterizacion de la fase . . . . . . . 25
CAPITULO 4 Optimizacion de CGHs de amplitud para moduladores
de cristal lıquido pixelizados 29
4.1 Influencia de la estructura pixelizada del modulador espacial de luz . . 29
4.2 Metodo de compensacion para evitar la distorsion de la senal debida
la envolvente del espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Funcion de fondo para hologramas de amplitud sin modulacion de
fase acoplada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Funcion de fondo para hologramas de amplitud con modulacion de
fase acoplada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 Razon senal a ruido y eficiencia de los hologramas . . . . . . . . . . . . 39
CAPITULO 5 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de
amplitud disenados 43
5.1 CGHs de amplitud que codifican funciones Bessel de orden superior
implementados en un SLM sin modulacion de fase acoplada . . . . . . 44
5.1.1 Evaluacion de la funcion de fondo empleada . . . . . . . . . . . 44
5.1.2 Evaluacion del metodo de compensacion debida la
envolvente del espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 CGHs de amplitud que codifican funciones Bessel de orden superior
implementados en un SLM con modulacion de fase acoplada . . . . . . 52
5.3 Evaluacion numerica de la eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 CGHs de amplitud que codifican funciones Laguerre-Gauss
implementados en un SLM sin modulacion de fase acoplada . . . . . . 57
5.5 CGHs de amplitud que codifican funciones Laguerre-Gauss
implementados en un SLM con modulacion de fase acoplada . . . . . . 61
Contenido xi
CAPITULO 6 Implementacion experimental de los CGHs de amplitud
disenados 65
6.1 Caracterizacion de la transmitancia del TN-LC-SLM configurado en
modo de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Implementacion de los CGHs disenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
CAPITULO 7 Conclusiones 73
APENDICE A Factor de fase cuando la fase acoplada es lineal 77
A.1 Factor de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
APENDICE B Programas de MATLAB 79
B.1 Curvas de modulacion de amplitud y fase de la celda TNLCD y
elipse de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B.2 Programa que genera y sintetiza hologramas que codifican haces
Bessel de alto orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B.3 Programa que genera y sintetiza hologramas que codifican haces de
Laguerre-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Lista de Figuras 93
Bibliografıa 99
xii Contenido
CAPITULO 1Introduccion
A principios del siglo pasado la Optica comenzo a establecer una estrecha conexion
con los campos de la comunicacion e informacion en cuanto al estudio del proce-
samiento de senales. Mientras que en la Ingenierıa Electronica se utilizan princi-
palmente senales electricas, que varıan en el tiempo, en el Procesamiento Optico de
Informacion se utiliza la luz como portadora de informacion. La naturaleza de la luz
hace que para describir completamente un frente de onda sea necesario utilizar la
amplitud, la fase y la polarizacion.
Hasta la introduccion de la holografıa por Dennis Gabor en 1948 [1], la mayorıa
de aplicaciones estaban limitadas a utilizar solo la amplitud o intensidad de la luz.
La holografıa permite codificar la amplitud y fase de un frente de onda [2]. Para esta
codificacion optica se requiere de la interferencia de dos ondas, una onda objeto y
una onda de referencia. Tradicionalmente, el registro de este patron de interferencia
emplea una pelıcula fotografica, que tras el proceso de revelado necesario permite
recuperar la informacion almacenada al iluminarse de nuevo con una onda similar a
la de referencia.
Con la invencion del laser en los anos sesenta, la holografıa optica se desarrollo
ampliamente, en especial con los trabajos de E.N. Leith and J. Upatnieks [3], que
introdujeron la holografıa fuera de eje, y de Y. N. Denisyuk [4, 5], que invento la
holografıa por reflexion, permitiendo un gran avance en el campo del procesamiento
optico de informacion.
La aparicion de las computadoras dio paso a la invencion de los hologramas
generados por computadora (CGH, computer generated holograms) por B. R. Brown,
2 Introduccion
A. W. Lohmann y D. P. Paris [6, 7]. El empleo de CGHs dio un nuevo impulso
al procesamiento optico de informacion, permitiendo la creacion de hologramas sin
necesidad de registro interferometrico previo.
Otro factor que ha representado una revolucion en el procesamiento optico de
informacion ha sido la aparicion de los moduladores espaciales de luz de cristal
lıquido (LC-SLMs, liquid cristal spatial light modulators), que han sustituido a los
soportes fotograficos y holograficos clasicos. La modulacion que introducen estos
dispositivos esta generalmente limitada a solo amplitud, solo fase o modulaciones de
amplitud y fase acopladas.
Actualmente no existen LC-SLMs que puedan controlar la amplitud y la fase
de manera independiente. Por lo tanto, no es posible desplegar una modulacion
compleja arbitraria de modo directo empleando un LC-SLM. Una forma de solventar
este problema ha sido la utilizacion de tecnicas de codificacion holografica sintetica
(o ”generada por computadora”), que permiten representar una funcion con valores
complejos arbitrarios mediante otra funcion que sea desplegada empleando el rango
de modulacion limitado del LC-SLM que se utilice. Estas tecnicas representan la
informacion compleja mediante valores reales positivos o alternativamente valores de
pura fase [8].
Hoy en dıa, la posibilidad de emplear LC-SLMs en el despliegue de CGHs resulta
una opcion muy atractiva, sobre todo por las innumerables ventajas que esta ofrece en
contraparte con los metodos holograficos tradicionales. Un ejemplo de estas ventajas
es la reconstruccion exacta del campo codificado.
1.1 Motivacion del proyecto
Como una tendencia reciente, Arrizon ha dado preferencia al desarrollo de CGHs en
LC-SLMs de pura fase [9,10], dejando de forma marginal la codificacion de campos
complejos con moduladores de cristal lıquido de pura amplitud [11], cuya principal
desventaja es su baja eficiencia. Recientes publicaciones han reportado la sıntesis de
campos complejos (por ejemplo, vortices, haces Bessel de alto orden, etc.) basados
en CGHs de fase, donde la reconstruccion de la senal es deficiente. En muchos de
los casos este pobre desempeno es causado por errores significativos de uniformidad
en el LC-SLM de fase empleado [12]. La alta sensibilidad de los CGHs de fase a
estos errores de uniformidad, hacen que la deficiencia sea aun mayor, debido a que la
1.1 Motivacion del proyecto 3
fase de la senal es codificada en esos hologramas por el SLM de fase. Un problema
adicional en algunos CGHs de fase fuera de eje [13], es la multiplicidad de ordenes
de difraccion altos en la modulacion del CGH, adicionales al termino de senal, lo
cual dificulta la recuperacion de la senal con poco ruido.
Una de las principales motivaciones para la realizacion del presente trabajo radica
en el hecho de que los CGHs de amplitud, en contraste con los CGHs de fase son
menos sensibles a la no uniformidad del LC-SLM, ya que este error no afecta a la
fase de la senal, la cual es codificada por la posicion de las franjas (en el CGH de
amplitud). Ademas, el espectro de Fourier de los CGHs de amplitud solo presenta tres
terminos, dados por el termino senal y su conjugado (ambos fuera de eje) y un termino
de fondo (en eje). Esto facilita una recuperacion de la senal codificada con bajo
ruido, mediante filtraje espacial. Un aspecto importante de los CGHs cuando estos
son implementados en una LC-SLM es que su funcion de transmitancia puede ser
modificada de tal forma que se obtenga la reconstruccion de la senal con error mınimo.
En el presente trabajo, se proponen modificaciones de la funcion de transmitancia
de los CGHs de amplitud, apropiadas para las caracterısticas (limitaciones) de los
moduladores de amplitud empleados para su despliegue.
Otra motivacion es el hecho de que los CGHs de amplitud a pesar de su baja
eficiencia presentan alta razon senal a ruido (SNR, signal to noise ration) y pueden ser
facilmente implementados ya que existen moduladores de cristal lıquido comerciales
que permiten modulacion de amplitud satisfactoria para cualquier longitud de onda
en el espectro visible, tales como las pantallas de cristal lıquido nematico torcido
(TN-LCD, twisted nematic liquid cristal display), en conjunto con dos polarizadores
lineales. Estas razones representan una justificacion de la aplicacion de CGHs de
amplitud en casos donde la eficiencia no es de gran importancia.
Por otra parte es importante considerar que a pesar de que la implementacion de
los CGHs de amplitud en la TN-LCD es sencilla, en general estos dispositivos pre-
sentan una modulacion que no es puramente de amplitud, sino que aparece acoplada
a cierta modulacion de fase. Una de las tareas en este trabajo es optimizar el ar-
reglo optico en el que se emplea el TN-LCD (especıficamente la orientacion de dos
polarizadores que acompanan a este dispositivo) con el fin de minimizar el grado
de la fase acoplada. Ademas, se realiza un analisis del efecto de la modulacion de
fase acoplada a la modulacion de amplitud, para los diferentes CGHs de amplitud
disenados. Como resultado de este analisis, se propone una forma adecuada de la
4 Introduccion
transmitancia del CGH, que resulta esencialmente inmune a los efectos de la modu-
lacion de fase acoplada.
1.2 Objetivos y estructura del proyecto
El objetivo principal de este trabajo es explorar el desempeno de diversos CGHs basa-
dos en moduladores espaciales de luz de cristal lıquido de pura amplitud y establecer
las condiciones que optimicen su desempeno.
El resto del trabajo esta dividido en 6 capıtulos. En el capıtulo 2, se realiza una
breve explicacion de los conceptos basicos de la holografıa generada por computadora,
describiendo algunos metodos de codificacion y dispositivos de grabado.
En el capıtulo 3, se describen el principio y funcionamiento de la pantalla de cristal
lıquido tipo TN cuando es empleada como modulador de amplitud y se presenta el
analisis de la propagacion de la luz en este sistema. En este mismo capıtulo se
presenta el metodo de caracterizacion de la funcion de transmitancia de la pantalla
de cristal lıquido.
En el capıtulo 4, se analizan las caracterısticas de los CGHs de amplitud para su
optima aplicacion en LC-SLM, donde se proponen CGHs con diferentes funciones de
transmitancia y se presenta la justificacion de su uso en caso donde el LC-SLM provee
modulacion de amplitud perfecta o en el caso donde el LC-SLM provee modulacion
de amplitud con una modulacion de fase acoplada. Ademas se presenta el metodo
de compensacion de la modulacion en el espectro de la senal codificada, producida
por el tamano finito del pıxel del modulador.
En el capıtulo 5, se presenta el analisis numerico del desempeno de los CGHs
disenados cuando estos son implementados en el LC-SLM empleado a nivel ex-
perimental. Se presenta el analisis para CGHs que codifican haces de Bessel y de
Laguerre.
En el capıtulo 6, se implementan experimentalmente los CGHs de amplitud disenados.
Se presenta en primera instancia la caracterizacion de la transmitancia de la LCD y
posteriormente los resultados obtenidos de la implementacion experimental de los
CGHs disenados.
Finalmente, en el capıtulo 7 se presentan las conclusiones de este trabajo y se
comentan las posibles lıneas de investigacion a desarrollar en un futuro.
CAPITULO 2Holografıa
2.1 Holografıa optica
La holografıa optica tuvo su origen en el trabajo de Dennis Gabor para mejorar el
microscopio electronico en 1948 [1]. Sus hologramas tuvieron poca aceptacion dado
que la imagen reconstruida ası como la imagen conjugada, aparecıan en la misma
direccion del orden cero, teniendo como resultado una imagen de muy baja calidad.
Fue hasta 1963, con el advenimiento del laser, cuando Leith y Upatnieks idearon la
holografıa fuera de eje que permitio separar el termino imagen del termino conjugado
y del orden cero.
La holografıa optica, consiste fundamentalmente en la captacion y reconstruccion,
tanto del modulo como de la fase, de frentes de onda procedentes de un objeto ilu-
minado con luz coherente tal como la luz laser. La captacion de informacion com-
pleja se lleva a cabo a traves de tecnicas interferometricas donde la coherencia es
indispensable. Para conservar la informacion de la fase, se utiliza una onda de ref-
erencia que se hace interferir con la que procede del objeto dando como resultado
un patron de interferencia, el cual consiste de un conjunto de franjas claras y ob-
scuras ubicadas espacialmente de forma alterna. Matematicamente si consideramos
que s0(x, y) = a(x, y) exp(
iφ(x, y))
es el frente de onda del objeto a reconstruir, y
R(x, y) = A exp(
iψ(x, y))
la onda de referencia, siendo A un escalar, tenemos que
6 Holografıa
la intensidad del patron de interferencia es [14]:
I(x, y) = |s0(x, y) +R(x, y)|2
= |s0(x, y)|2 + 2|s0(x, y)||R(x, y)| cos
(
φ(x, y) − ψ(x, y))
+ |R(x, y)|2
= a2(x, y) + A2 + 2Aa(x, y) cos(
φ(x, y) − ψ(x, y))
.
(2.1)
Si la onda de referencia corresponde a una onda plana con cierta inclinacion,
entonces ψ(x, y) = 2π(u0x + v0y), donde u0 y v0 corresponden a las frecuencias
espaciales de la onda de referencia, mejor conocida como la portadora. Los dos
primeros terminos de la intensidad en (2.1), solo proporcionan informacion sobre la
amplitud de las dos funciones pero el tercero, ademas, presenta informacion sobre la
fase.
La intensidad del patron de interferencia es grabado en un medio de registro
(placa fotografica) conocido como “holograma”. La palabra holograma tiene sus
orıgenes en la lengua griega cuyo significado es “grabado completo” de una escena
iluminada. En este contexto es posible diferenciar a la holografıa de la fotografıa
ya que una fotografıa registra solo la irradiancia o la intensidad de la luz incidente
que lleva la informacion de la escena, mientras que el holograma no solo guarda
la intensidad de la onda, sino tambien preserva la informacion de fase que le da a
la escena una apariencia tri-dimensional. Si la fotografıa es comparada con el arte
de pintar, la holografıa puede ser comparada con el arte de esculpir. El proceso de
reconstruccion consiste unicamente en iluminar el holograma con la misma onda de
referencia empleada para el proceso de registro.
Existen diferentes tipos de hologramas dependiendo de las tecnicas de registro o
representacion empleadas. Una primera clasificacion se basa en las condiciones de
difraccion entre el objeto y la placa holografica, ası podemos tener hologramas de
Fresnel, de Fraunhofer o de Fourier. Si se tiene en cuenta el soporte en el que se
encuentra el holograma podemos tener hologramas de transmision o de reflexion. Por
ultimo la combinacion de diversas tecnicas holograficas ha dado lugar a distintos tipos
de hologramas con diversas finalidades visuales como por ejemplo estereogramas,
multiplexados, de color, de falso color, etc.
2.2 Holografıa generada por computadora 7
2.2 Holografıa generada por computadora
La creacion de un holograma mediante tecnicas opticas implica la disposicion de una
amplia variedad de elementos opticos tales como: lentes, monturas mecanicas, mate-
riales fotosensibles para su registro, laseres y mesas holograficas. Ademas, cada tipo
de holograma requiere un arreglo diferente en el grabado, ası como condiciones ambi-
entales adecuadas. Por ello, obtener hologramas de buena calidad implica la inversion
de tiempo y recursos financieros. Ante estas condiciones, una opcion interesante es
la generacion de hologramas por computadora.
Holograma generado por computadora (CGH) y holograma sintetico son terminos
usados para referir a una clase de hologramas que son producidos por un codigo com-
putacional. El CGH que nos interesa en este trabajo se define como la representacion
numerica de un patron de interferencia, producido por la superposicion de una onda
objeto y un haz de referencia. La generacion de CGHs se bosqueja en general por
dos pasos:
1. Se modela matematicamente el patron de interferencia producido por la super-
posicion de la onda objeto y la de referencia.
2. Se despliega el patron de interferencia en alguna pelıcula o pantalla tal que la
onda objeto original pueda ser reconstruida.
La ventaja principal de los CGHs es que se pueden crear imagenes u objetos
que no existen fısicamente en el mundo real, es decir, que no es posible obtenerlos
a traves de la iluminacion optica, sino que solo se pueden tener como una entidad
matematica.
La principal diferencia entre CGH y un holograma convencional es la forma en
que el frente de onda complejo es grabado.
En hologramas con onda de referencia fuera de eje, como el desarrollado por
Leith y Upatnieks , la amplitud de la transmitancia t(x, y) del holograma grabado bajo
condiciones ideales es proporcional a (2.1), la cual es una funcion real no negativa. En
los hologramas generados por computadora la funcion de transmitancia que codifica
al objeto no esta limitada a la relacion (2.1). Burch [15], por ejemplo, propone una
expresion para la funcion de transmitancia de la forma siguiente:
t(x, y) = K + 2Aa(x, y) cos(
φ(x, y) − ψ(x, y))
, (2.2)
8 Holografıa
donde K es una constante positiva lo suficientemente grande, tal que t(x, y) toma
valores positivos para todo (x, y). Otra forma de representar a la ecuacion (2.2),
sugerida por Huang y Prasada [8], es la siguiente:
t(x, y) = 2Aa(x, y)(
1 + cos(
φ(x, y) − ψ(x, y)))
, (2.3)
cuya desventaja es la gran sensibilidad a la no linealidad del medio de registro, debido
a la fluctuacion de a(x, y).
El metodo empleado para codificar la funcion de transmitancia puede variar de
acuerdo a las necesidades del disenador. En la siguiente seccion se describen breve-
mente algunos de los metodos de codificacion.
2.2.1 Metodos de codificacion
Grabar un patron de franjas holograficas no presenta gran dificultad. Sin embargo,
el calculo numerico de un patron de franjas holograficas puede realizarse de diversas
formas segun el metodo de codificacion empleado. A continuacion se presenta un
resumen de las principales tecnicas de codificacion que se han propuesto.
Metodo de Lohmann Este metodo de codificacion se basa en el grabado de holo-
gramas sin el uso de un haz de referencia explıcitamente, esto es, el haz de referencia
es considerado por un parametro de control [6, 7].
Para representar un holograma de este tipo, se considera la transformada de Fourier
de la funcion compleja a codificar previamente muestreada para desplegar el holo-
grama en alguna pantalla, esta es dividida en N×M celdas equidistantes y dentro de
ellas se codifica una abertura, la cual deja pasar la luz. Cada apertura esta determi-
nada por tres parametros: su altura hnm, su ancho Wnm, y su posicion con respecto
al centro de la celda Cnm. Los subındices m y n determinan la celda respectiva. La
figura 2.1 representa una celda con los parametros involucrados.
Los parametros de cada abertura son: hnm = anmdy, Wnm = w, y Cnm = ϕnmdx
2πR.
En las expresiones de Cnm y hnm, respectivamente, anm y ϕnm son la amplitud y
la fase de la funcion compleja a grabar en los puntos x = ndx y y = ndy. Siendo
dx y dy los periodos de muestreo en cada coordenada. El maximo valor de anm es
normalizado a 1. El parametro R se asocia al haz de referencia.
2.2 Holografıa generada por computadora 9
Wnm
Cnm
hnm
x = ma
y = ma
Figura 2.1: Apertura de ancho Wnm y altura hnm dentro de una celda Lohmann.
Metodo de Lee El metodo de Lee [16] es un metodo alternativo de codificar la
amplitud y la fase. Ahora cada celda es dividida en cuatro porciones verticales, cada
una de estas porciones representa una contribucion de fase de 0◦, 90◦, 180◦ y 270◦
como una consecuencia de la posicion relativa dentro de la celda (ver figura 2.2).
Esto significa que si la fase en la correspondiente celda esta dentro de alguno de
estos rangos la porcion esta iluminada y los restantes son opacos. La amplitud se
determina por la opacidad de la subcelda. Trabajos complementarios a este metodo,
son dados por Burckhardt [17], donde sugiere que es posible implementar este metodo
empleando solo tres subceldas.
0◦
90◦
180◦
270◦
Figura 2.2: Metodo de Lee, subceldas que contribuyen a una diferencia de fase de 0◦, 90◦,
180◦, y 270◦.
10 Holografıa
Metodo de Huang El metodo que Huang emplea para desplegar la funcion de
transmitancia (2.3) utiliza aperturas rectangulares centradas en su respectiva celda [8].
Puesto que la funcion de transmitancia proporciona valores reales y positivos, la
informacion de fase no es manipulada, como en los metodos de Lohmann y Lee.
La altura del rectangulo es proporcional a la funcion de transmitancia y el ancho es
considerado con valor constante.
Metodo ROACH Una etapa importante en la holografıa digital es el grabado sobre
materiales en los cuales se puede controlar la amplitud y fase de la onda incidente. El
metodo ROACH (referenceless on-axis complex hologram), descrito en [18], usa una
tecnica para grabar hologramas en transparencias a color, aprovechando que estas
pelıculas fotograficas estan formadas por tres capas de emulsiones, las cuales son
sensibles a diferentes rangos del espectro visible (rojo, verde y azul). Esta tecnica se
enfoca a modular la amplitud y la fase del haz de reconstruccion, donde una de las
capas de emulsion actua sobre la amplitud y las otras dos capas restantes modulan
la fase. Para llevar a cabo el grabado, mediante esta tecnica, se procede como sigue:
1. Se fotografıa la magnitud del holograma digital desplegado en el monitor reg-
istrandose en la emulsion roja de la transparencia con un filtro rojo.
2. Se fotografıa la fase del holograma digital usando filtros azul y verde.
El revelado de esta transparencia se realiza de manera convencional. La recon-
struccion se lleva a cabo con luz roja, donde la capa sensible al rojo se encarga de
modular la amplitud y las dos capas restantes modifican su fase debido al espesor.
Hologramas de amplitud En este metodo, la funcion de transmitancia t(x, y) del
holograma corresponde a la del holograma optico el cual esta descrito por [19]:
t(x, y) = a2(x, y) + A2 + 2Aa(x, y) cos(
φ(x, y) − ψ(x, y))
. (2.4)
Aquı, t(x, y) corresponde a una funcion positiva definida, es decir, la funcion
t(x, y) correspondera a la funcion de transmitancia de un holograma de pura amplitud,
que codifica tanto la amplitud como la fase del objeto.
La obtencion de t(x, y) mediante la holografıa optica es inconveniente cuando se
requiere la codificacion de campos como haces Bessel o haces de Laguerre-Gauss
ya que no es posible obtener dichos campos a traves de la iluminacion optica de un
2.2 Holografıa generada por computadora 11
objeto (excepto en casos muy especiales), ya que estos campos solo pueden tenerse
como una entidad matematica por lo que se tiene que recurrir a los CGHs.
Un CGH de amplitud emplea niveles de gris para codificar al conjunto de valores
de amplitud de la funcion t(x, y), dicha equivalencia entre los niveles de gris y los
valores de amplitud depende de la modulacion que provee el sistema de despliegue.
Una vez obtenida la codificacion de la funcion de transmitancia del holograma
digital, se requiere de dispositivos de grabado que permitan la reconstruccion de la
informacion compleja codificada.
2.2.2 Dispositivos de grabado
Exhibicion en un CRT El empleo de tubo de rayos catodicos (CRT, cathode-ray
tube), se vio inmediatamente y en 1967, Meyer y Hickling [20], presentaron un trabajo
en el cual, los valores de intensidad (ver ecuacion (2.1)) del holograma digital son
escalados a 12 niveles de gris.
Mediante una fotorreduccion directa del monitor se obtiene el holograma digi-
tal. Para evitar la saturacion en la pelıcula al momento de grabar el holograma, la
intensidad del monitor puede ser ajustada mediante los botones de brillo y contraste.
Microdensitometro Un microdensitometro es un sistema de lectura y escritura
sobre pelıculas, o placas translucidas [21], con un haz de luz controlado por com-
putadora. Este sistema de grabado escribe directamente sobre pelıculas fotograficas
de alta resolucion mediante un barrido que hace sobre ellas. Con un haz de luz
enfocado forma puntos sobre la pelıcula, pudiendo estos ser modulados en densidad.
Desplegado de hologramas en tiempo real La aparicion de los moduladores
espaciales de luz en tiempo real revoluciono al campo de la holografıa, ya que a
traves de estos es posible implementar sistemas opticos que funcionen en tiempo
real. Los primeros moduladores en tiempo real que fueron empleados en la holografıa
generada por computadora fueron los moduladores acusto-opticos mediante los cuales
los hologramas son convertidos en una senal electrica que controla al modulador. Los
moduladores acusto-opticos consisten basicamente en un cristal transparente y un
transductor ultrasonico, el cual convierte la senal del holograma digital en una onda
acustica que se propaga a traves del cristal provocando una modulacion de ındice de
refraccion, grabando el codigo holografico de interes.
12 Holografıa
Otro dispositivo que actualmente tiene gran importancia en el campo de la holo-
grafıa generada por computadora es la LCD (liquid crystal display), el cual es un
dispositivo electronicamente direccionable y reconfigurable en tiempo real. La LCD
es un elemento clave en la realizacion de este trabajo, ya que este dispositivo es
empleado en la implementacion de los CGHs disenados por lo que en el siguiente
capıtulo se incluye una descripcion amplia de su funcionamiento y caracterizacion.
CAPITULO 3La LCD como modulador espacial de luz
Por sus propiedades opticas la LCD se ha convertido en un elemento clave en el
procesamiento optico de informacion, sobre todo en el campo de la holografıa gener-
ada por computadora. En este capıtulo se describe el funcionamiento de la TN-LCD
configurada en modo de amplitud cuando es empleada como modulador espacial de
luz. Se describe el modelo teorico de la celda de cristal lıquido nematico torcido y
se analiza la propagacion de luz en la TN-LCD configurada en modo de amplitud.
Ademas se presenta el metodo propuesto para la caracterizacion de la transmitancia.
3.1 Los cristales lıquidos
Un cristal lıquido es un estado de la materia que se halla entre un solido cristalino
y un lıquido amorfo. Un material que presenta este estado tiene ciertas propiedades,
como la ordenacion de las moleculas, propias de lo solidos, pero simultaneamente
presenta cierta fluidez, caracterıstica de los lıquidos. La mayorıa de los materiales
en este estado estan compuestos por moleculas organicas alargadas que se pueden
clasificar en tres fases diferentes, dependiendo del tipo de ordenacion molecular que
presenten [22]:
Nematicos La fase nematica es la mas desordenada de las fases de los cristales
lıquidos, pues aunque sus moleculas tienden a estar paralelas, sus centros de
masa se mantienen distribuidos desordenadamente (ver figura 3.1(a)). De esa
manera, sus propiedades fısicas van a depender del espacio, situacion carac-
14 La LCD como modulador espacial de luz
terıstica de los materiales anisotropicos. Este tipo de cristal es el mas utilizado
comercialmente.
Entre las celdas de cristal lıquido de fase nematica se encuentran las del tipo
nematico torcido en las cuales se tiene una torsion o inclinacion de las moleculas
impuesta por fuerzas externas, por ejemplo, por la direccion de pulido de los
vidrios en los que se encuentre contenido una pelıcula delgada de cristal lıquido.
Colestericos Presentan una ordenacion molecular en una direccion como los nematicos,
pero las moleculas son opticamente activas, lo que hace que presenten una
estructura helicoidal espontanea con un gran poder rotatorio de la luz. Las
moleculas se orientan en direcciones diferentes en cada capa y, por tanto, el
vector director gira a lo largo de las distintas capas (ver figura 3.1(a)).
Esmecticos Presentan una ordenacion tanto en orientacion como en posicion, las
moleculas se agrupan en capas ordenadas entre ellas, pero en cada capa los
centros se distribuyen aleatoriamente (ver figura 3.1(a)). Mientras que las fases
nematica y colesterica son unicas, se conocen hasta diez tipos diferentes de fases
esmecticas. El cristal puede cambiar de fase esmectica con la temperatura. De-
bido a su viscosidad las aplicaciones propuestas han sido escasas excepto en
el caso de los cristales ferroelectricos (FLC, ferroelectric liquid crystal). Los
FLC son cristales esmecticos de tipo C, tienen un centro opticamente activo que
hace que presenten una estructura helicoidal parecida a la de los colestericos.
Su principal caracterıstica es la ferroelectricidad que hace que tengan una po-
larizacion espontanea dentro de los diferentes dominios.
La fase nematica es mas proxima a los lıquidos mientras que la fase esmectica
es mas proxima a los solidos. El dispositivo de despliegue empleado en la
presente tesis se basa en cristal lıquido nematico torcido.
3.2 La pantalla de cristal lıquido como modulador
espacial de luz
En la LCD, la modulacion se produce gracias a que la disposicion de las moleculas
del cristal lıquido, en su interior varıa en funcion de un voltaje aplicado. La luz, al
atravesar las moleculas del cristal lıquido, cambia su estado de polarizacion. El estado
3.2 La pantalla de cristal lıquido como modulador espacial de luz 15
(a) (b) (c)
Figura 3.1: Esquema de la orientacion de las moleculas en los diferentes tipos de cristal
lıquido, (a) nematico, (b) colesterico y (c) esmectico.
de polarizacion de la luz a la salida del dispositivo depende del estado de polarizacion
de la luz a la entrada y del voltaje aplicado al mismo. Si la pantalla, formada por
una matriz bidimensional de celdas o pıxeles, se coloca entre dos polarizadores,
entonces para diferentes niveles de voltaje aplicado corresponderan diferentes valores
de transmitancia (modulacion) tanto en amplitud como en fase. La determinacion de
dichas curvas de transmitancia es una tarea fundamental para la correcta aplicacion
de estos dispositivos, particularmente en el area de procesamiento optico.
Existen diferentes tipos de moduladores basados en la tecnologıa del cristal lıquido.
Entre ellos los mas utilizados son los del tipo ferroelectrico y los de tipo nematico
torcido [23]. En terminos de sus propiedades de operacion, las pantallas de cristal
lıquido ferroelectrico son deseables cuando se requieren ciclos de escritura-borrado
muy rapidos. Las pantallas de cristal lıquido nematico torcido en general presentan
un ciclo de escritura borrado de 60 Hz. Ademas tienen la versatilidad de poder de-
splegar multiples niveles de modulacion y tiene un bajo costo comparado con el de
las pantallas de cristal lıquido ferroelectrico.
Estas caracterısticas han permitido su uso en una amplia gama de tareas dentro del
procesamiento optico de imagenes. A continuacion se presenta una breve descripcion
de dicho dispositivos.
16 La LCD como modulador espacial de luz
3.3 Pantalla de cristal lıquido nematico torcido
Una celda de cristal lıquido nematico torcido es una capa delgada de cristal lıquido
en su fase nematica depositada entre dos placas de vidrio pulidas en direcciones
perpendiculares. La orientacion de las moleculas rota helicoidalmente alrededor de
un eje que es perpendicular a las placas (eje de torsion). Las propiedades opticas
del material se pueden asemejar localmente a las de un cristal uniaxial. Cuando se
aplica un campo electrico en la direccion del eje de torsion, las moleculas se alinean
en la direccion del campo. Cuando la inclinacion es de 90◦ pierden su torsion de tal
forma que el poder de rotacion de la polarizacion es nulo. Si se remueve el campo
electrico, las moleculas del cristal regresan a su estado torcido original.
Si se coloca una celda de cristal lıquido con una torsion de 90◦ entre dos polar-
izadores perpendiculares entre si, el sistema transmite luz en ausencia de un campo
electrico y la bloquea parcialmente si se aplica un campo (ver figura 3.2).
Polarizadores
Brillante
(a)
Polarizadores
Obscuro
(b)
Figura 3.2: Celda de cristal tipo nematico torcido configurada en modo de amplitud. (a)
cuando no hay campo electrico aplicado la celda de cristal lıquido rota la polarizacion, es
decir, la luz es transmitida. (b) aplicacion de campo electrico maximo, la luz es bloqueada.
Al aplicar voltajes entre cero y el valor de saturacion (3.3V), la celda se com-
porta como un modulador de amplitud analogico (es decir que provee valores de
3.4 Analisis de propagacion de luz en la pantalla de cristal lıquido . . . 17
brillo intermedios). En el despliegue de una imagen, estos voltajes se traducen en
niveles de gris. Este modo de modulacion conocido como “de amplitud” aparece
acoplado con una modulacion de fase en un rango que varia segun la orientacion de
los polarizadores.
3.4 Analisis de propagacion de luz en la pantalla de
cristal lıquido nematico torcido (TN-LCD), con-
figurada en modo de amplitud
El analisis de la propagacion de luz en la TN-LCD se encuentra fundamentado en el
analisis matricial y vectorial de Jones [23], modelando a la celda de cristal lıquido
nematico torcido como un cristal uniaxial, con eje optico paralelo a la direccion de
sus moleculas. La propagacion de la luz en este tipo de cristales se modela dividiendo
al material en capas delgadas perpendiculares al eje de torsion. Cada una de estas
capas actua como un cristal uniaxial con el eje optico rotando gradualmente en forma
helicoidal. Finalmente, el efecto acumulado de esas capas delgadas sobre una onda
transmitida es calculado.
3.4.1 Cristales uniaxiales
Un cristal uniaxial esta caracterizado por el eje ordinario y el eje extraordinario,
tambien llamados eje rapido y eje lento del cristal [23].
Este cristal produce un corrimiento de fase entre las componentes del campo
electrico a lo largo de sus ejes y tiene la capacidad de transformar un estado de
polarizacion de un haz de luz con una longitud de onda λ. La matriz de Jones que
representa al comportamiento de estos cristales es la matriz de Jones de un retardador
de onda de grosor l (ver figura 3.3(a)) con una birrefringencia dada por la diferencia
de los ındices ordinario y extraordinario no y ne, respectivamente, con eje rapido
paralelo al eje x en el plano x-y. Dicha matriz esta dada [23] por:
Mr = e−iφ
(
e−iΓ/2 0
0 e iΓ/2
)
, (3.1)
donde Γ = 2πλ
(ne − no)l, corresponde al retraso relativo de fase y φ = πλ(ne − no)l
es el cambio absoluto de fase.
18 La LCD como modulador espacial de luz
ηe
ηo
Cristal uniaxial
z
y
x
(a)
ηeηo
θ
Cristal uniaxial
z
y
x
(b)
Figura 3.3: (a) Cristal uniaxial con eje rapido paralelo al eje x, (b) cristal uniaxial con eje
rapido a un angulo θ del eje x.
Los vectores y matrices de Jones dependen del sistema de referencia, si estos
elementos son conocidos en un sistema de coordenadas, podemos determinarlos en
otro sistema de coordenadas usando metodos matriciales.
Para el caso del cristal uniaxial con eje lento formando un angulo θ con respecto
al eje x (ver figura 3.3(b)), la matriz de Jones (en el mismo sistema de coordenadas)
esta dado [23] por:
M′r = R(θ)MrR(−θ), (3.2)
donde Mr es la matriz de un cristal uniaxial dada en la ecuacion (3.1) y R(θ) es la
matriz de rotacion dada por:
R(θ) =
(
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
)
. (3.3)
3.4.2 Modelo de la celda de cristal lıquido nematico torcido
Para establecer el modelo de la celda, se considera propagacion de la luz a lo largo
del eje de torsion (eje z), asumiendo que el angulo de torsion varıa linealmente con
z, esto es, ψ(z) = αz, donde z es la distancia en la direccion de propagacion, y α es
el coeficiente de torsion el cual permanece constante. Ademas sea Γ = 2πλ
(ne − no)l
el retraso de fase inducido por una celda de cristal lıquido nematico sin torsion de
grosor l y φ = ψ(l) = αl el angulo total de torsion desde la capa inicial hasta la
final.
3.4 Analisis de propagacion de luz en la pantalla de cristal lıquido . . . 19
Si la celda de cristal lıquido nematico torcido se divide en N pelıculas de igual
espesor (ver figura 3.4), cada pelıcula tendra un retraso de fase Γ/N , y las pelıculas
estaran orientadas a angulos azimutales ρ, 2ρ, 3ρ, . . . , (N − 1)ρ,Nρ con ρ = φ/N .
Nρ(N
−1)ρ
3ρ2ρρ
Figura 3.4: Celda de cristal lıquido nematico.
La matriz de Jones total para esas N pelıculas esta dada por [24]:
M =N∏
m=1
R(−mρ)W0R(mρ). (3.4)
Tomando en cuenta que
R(mρ)R(−mρ) = R(mρ−mρ), (3.5)
se obtiene
N∏
m=1
R(mρ)R(−mρ) = R(φ)N∏
m=1
R(
(m− 1)ρ−mρ)
= R(φ)
N∏
m=1
R(−ρ).
(3.6)
Entonces la ecuacion (3.4) puede ser escrita como:
M = R(φ)
(
W0R
(
−φ
N
))N
, (3.7)
donde W0 es la matriz de Jones para un cristal uniaxial dada por:
W0 =
(
e−iΓ/2N 0
0 e iΓ/2N
)
, (3.8)
20 La LCD como modulador espacial de luz
y R(·) la matriz de rotacion dada en la ecuacion (3.3). Con base a lo anterior se
obtiene que la matriz de Jones de la celda se expresa:
M = R(φ)
(
e−iΓ/2N cos φN
−e−iΓ/2N sen φN
e iΓ/2N sen φN
e iΓ/2N cos φN
)
. (3.9)
La ecuacion (3.9) puede simplificarse utilizando la identidad de Chebyshev1 y
haciendo N tender a infinito, obteniendose:
M = R(φ)
(
cosX − iβ sen XX
−φ sen XX
φ sen XX
cosX + iβ sen XX
)
, (3.10)
donde X =√
φ2 + β2 y β = Γ2
= πλ(ne − no)l. La ecuacion (3.10) es la expresion
exacta de la matriz de Jones de una celda de cristal lıquido nematico torcido en el
caso en que la torsion de las moleculas de cristal lıquido es perpendicular al eje
de torsion. Sin embargo, al aplicar un campo electrico las moleculas ademas de la
torsion azimutal presentan una inclinacion (tilt) hacia al eje de torsion que es referida
como τ . En este caso, la matriz de Jones de la celda tambien se obtiene mediante
(3.10), reemplazando el ındice extraordinario ne por el ındice efectivo ne(τ), el cual
esta dado por la siguiente relacion [23]:
1
n2e(τ)
=sen2 τ
n2o
+cos2 τ
n2e
. (3.11)
Gracias a la relacion de la ecuacion (3.11), es posible hallar la respuesta de la
celda de cristal lıquido en presencia de un campo electrico aplicado, mismo que
produce la inclinacion de las moleculas. Si el campo optico incidente a la celda se
encuentra descrito por el vector de Jones J1, entonces el campo optico a la salida de
la celda de cristal lıquido es descrito por J2 = MJ1.
3.4.3 Operacion la TN-LCD en modo de amplitud
En la configuracion de amplitud de la TN-LCD (ver figura 3.5), la celda de cristal
lıquido tipo nematico torcido se coloca entre dos polarizadores lineales, los cuales
1La identidad de Chebyshev se define como
(
A B
C D
)m
=
(
A sen mΛ−sen(m−1)ΛsenΛ B sen mΛ
sen Λ
B sen mΛsen Λ
D sen mΛ−sen(m−1)Λsen Λ
)
,
donde Λ = cos−1((A + D)/2).
3.4 Analisis de propagacion de luz en la pantalla de cristal lıquido . . . 21
son descritos en el analisis de Jones mediante la matrız:
Mp =
(
cos2 θ sen θ cos θ
sen θ cos θ sen2 θ
)
, (3.12)
donde θ es el angulo que forma el eje de transmision del polarizador con respecto del
eje x. Para realizar el analisis de propagacion de luz en este arreglo, se requiere la
consideracion de cada una de las matrices de Jones de los dispositivos que intervienen
(el polarizador de entrada, la placa de cristal lıquido nematico torcido y el polarizador
de salida o analizador). La salida del sistema sera el resultado de la accion de cada
uno de estos elementos en cascada, representado por la multiplicacion convencional
de matrices.
y
x
θ1
y
x
θ2
l
J1 J2 J3
Celda de cristal lıquido AnalizadorPolarizador
de entrada
Polarizacion
aleatoria
Figura 3.5: Configuracion de una celda de cristal lıquido como modulador de luz en su
modo de amplitud, la salida corresponde al vector de Jones J3.
Ahora, supongamos que una onda plana, monocromatica y con estado de polar-
izacion aleatoria, incide en el modulador. Supongamos tambien que los polarizadores
de entrada y de salida tienen sus ejes de transmision a angulos θ1 y θ2 respecto del
eje x (ver figura 3.1). La onda, al atravesar el polarizador lineal de entrada, adquiere
un estado de polarizacion bien definido dado por el vector de Jones
J1 =
[
cos θ1
sen θ1
]
. (3.13)
Si la onda con polarizacion J1 atraviesa una placa de cristal lıquido nematico
torcido, entonces se tiene a la salida un nuevo vector dado por:
J2 = MJ1, (3.14)
22 La LCD como modulador espacial de luz
donde M es la matriz de Jones de la celda de cristal lıquido nematico torcido dada
por la ecuacion (3.10). El estado de polarizacion total de una onda que atraviesa el
sistema modulador sera:
J3 = MpJ2 = MpMJ1, (3.15)
aquı J3 es el vector de Jones a la salida del modulador y Mp es la matriz de Jones
correspondiente al polarizador lineal de salida (analizador), que hace un angulo θ2
con el eje x (ver ecuacion (3.12)). A partir de la ecuacion (3.15) es posible obtener
la amplitud y fase correspondiente a la salida del arreglo. Es importante mencionar
que el eje x corresponde al eje director de las moleculas del cristal lıquido en el
plano de entrada.
3.5 Metodo para la caracterizacion de la transmitan-
cia de la TN-LCD
Si un estado de polarizacion lineal incide sobre la celda de cristal lıquido, el estado
de polarizacion a la salida ademas de ser rotado es transformado a un estado elıptico
de polarizacion, que en su forma mas general se puede representar por el vector de
Jones:
J3 =
[
E0x exp(iφx)
E0y exp(iφy)
]
. (3.16)
Las amplitudes E0x, E0y y las fases φx, φy del vector de Jones son funciones del
parametro β, dado que la matriz de Jones de la celda es funcion de este parametro.
Ademas, la inclinacion del semieje mayor de este estado elıptico de polarizacion [25]
esta dado por:
α =1
2tan−1
(
2E0xE0y cosϕ
E20x + E2
0y
)
, (3.17)
donde ϕ corresponde a la diferencia de fase entre φx y φy.
El poder de rotacion de la celda de cristal lıquido corresponde a la diferencia
entre el angulo que forma el estado de polarizacion incidente y el angulo del semieje
mayor del estado elıptico de polarizacion a la salida de la celda. Ambos angulos
medidos con respecto al eje director de las moleculas del cristal lıquido en el plano
de entrada. Por tanto si consideramos que las moleculas de cristal en el plano de
entrada forman un angulo θ1 = 0◦ y variamos a β, hallamos diferentes valores de α
3.5 Metodo para la caracterizacion de la transmitancia de la TN-LCD 23
de acuerdo a la ecuacion (3.17). En la figura 3.6 se presenta la curva numerica de α
para diferentes valores de β.
α vs β para θ1 = 0
β/π
α/π
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Figura 3.6: Relacion entre la inclinacion del semieje mayor de la elipse de polarizacion α
y el parametro β.
Si aplicamos un voltaje a la celda de cristal, el ındice efectivo se modifica de
acuerdo a la ecuacion (3.11) afectando directamente el valor de β, y como conse-
cuencia el poder de rotacion. Ademas, para diferentes niveles de voltaje aplicado,
obtendremos diferentes amplitudes y fases asociadas al vector de Jones de salida, lo
cual esta relacionado con la transmitancia de la celda de cristal lıquido. Si cada uno
de estos valores es escalado a una grafica de amplitud o fase vs β, obtendremos las
curvas caracterısticas de la transmitancia (curvas de modulacion) tanto en amplitud
como en fase para la configuracion de la celda de cristal lıquido tipo nematico torcido.
Las curvas de modulacion son obtenidas numericamente (ver Apendice B.1), con-
siderando la descripcion numerica de sistema modulador dado en la ecuacion (3.15).
En las curvas de modulacion, el parametro β toma valores intermedios entre cero y el
valor de β correspondiente para el para maximo poder de rotacion. Este valor maximo
es obtenido mediante un procedimiento teorico-experimental. El procedimiento con-
siste en la observacion experimental del maximo poder de rotacion de la celda de
cristal lıquido para luz incidente con una determinada longitud de onda y la busqueda
del valor de β correspondiente a ese valor en la curva de la figura 3.6. Experimental-
mente, para la LCD “HoloEye LC2000” de la companıa HOLOEYE Photonics AG,
cuando longitud de onda de la luz incidente del haz laser es λ = 633 nm, el poder de
rotacion maximo es α/π = 0.42. Consultando la grafica mostrada en la figura 3.6,
el valor del parametro β corresponde a β/π = 0.75.
24 La LCD como modulador espacial de luz
En el empleo de la LCD en la implementacion de los CGHs de amplitud nos
interesa una configuracion que proporcione modulacion de pura amplitud, sin em-
bargo, esto no es posible ya que estos moduladores tiene un acoplamiento inherente
entre la amplitud y la fase. Sin embargo este acoplamiento puede ser reducido si se
encuentra una configuracion adecuada entre el angulo del polarizador de entrada y el
angulo del analizador (ver arreglo de la figura 3.5). La busqueda de tal configuracion
se realizo numericamente partiendo del modelo teorico de la celda de cristal lıquido
y simulando el arreglo de la figura 3.5. La configuracion obtenida con mınima fase
acoplada corresponde a los angulos de los polarizadores θ1 = 0◦ y θ2 = 90◦.
Las curvas de modulacion de amplitud con su respectiva modulacion de fase
mınima se muestran en la figura 3.7, donde el rango de fase corresponde a φ = π/3.
Curva de modulacion de amplitud
β/π
Am
plit
ud
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
Curva de modulacion de fase
β/π
φ/π
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
0.1
0.2
0.3
13
0.4
(b)
Figura 3.7: Curvas de a) amplitud y b) fase para la TN-LCD configurada en su modo de
amplitud para el caso θ1 = 90◦ y θ2 = 0◦ (simulacion numerica).
3.5.1 Metodo para la caracterizacion de la modulacion de am-
plitud
La transmitancia de la TN-LCD depende del voltaje aplicado. Este voltaje se encuen-
tra relacionado con los niveles de gris en el despliegue de una imagen. Dicha relacion
es posible gracias a una interfaz (digital-analogica) que asigna un nivel de voltaje a
cada pıxel del modulador para cada nivel de gris. Para caracterizar la amplitud de la
transmitancia se despliegan patrones uniformes correspondientes a diferentes niveles
de gris (o niveles de modulacion) de 0 a 255 en la pantalla, se ilumina a la TN-LCD
con un haz expandido y finalmente se mide la potencia relativa transmitida.
3.5 Metodo para la caracterizacion de la transmitancia de la TN-LCD 25
Considerando que la transmitancia en intensidad es proporcional a la potencia
transmitida y que la transmitancia en amplitud corresponde a la raız cuadrada de la
intensidad, entonces cada valor de potencia medido nos arrojara un valor caracterıstico
de la amplitud de la transmitancia para cada nivel de gris. Obteniendo de esta forma
la curva de modulacion de amplitud. La intensidad transmitida es medida en el orden
cero del patron de difraccion de Fraunhofer, el cual esta formado por un conjunto de
ordenes de difraccion producidos por la pixelizacion de la LCD. En cada orden se
tiene la transformada de Fourier del patron desplegado debido a que la transformada
de Fourier del patron es convolucionada con los ordenes de difraccion producidos
por la pixelizacion [14].
3.5.2 Metodo propuesto para la caracterizacion de la fase
Cuando un frente de onda plano es modulado por una rejilla periodica que tiene en
la mitad de su perıodo una fase y en la otra mitad de su perıodo un valor de fase
distinto (ver figura 3.8), se produce una modulacion de fase discreta.
2
1
2
1
f fIluminacion
Modulador
Frente de onda
dislocado
Plano focal anterior Plano focal posterior
Figura 3.8: Modulacion de fase.
Ahora supongamos que esta rejilla periodica con periodo d tiene valores de trans-
mitancia determinados por dos niveles de gris uno constante (255) y otro variable
(de 0 a 255). Estos niveles de gris tienen asociadas amplitudes denotadas por A255 y
Ageiϕ1 . Por convencion la fase asociada al nivel de gris constante sera cero y la fase
asociada al nivel de gris variable sera ϕg. La transmitancia de la celda basica para
26 La LCD como modulador espacial de luz
esta rejilla esta dada por:
t1(x) =
A255 −d2≤ x ≤ 0,
Ageiϕ1 0 ≤ x ≤ d
2.
(3.18)
Conviene expresar la transmitancia de la rejilla periodica mediante su serie de
Fourier [14]:
t(x) =
∞∑
n=−∞
fne inω0x, (3.19)
donde ω0 = 2π/d es la frecuencia fundamental y fn son los coeficientes de la serie
de Fourier dados por:
fn =F (ω)
d
∣
∣
∣
∣
ω=nω0
, (3.20)
y F (ω) corresponde a la transformada de Fourier de la celda basica, esto es:
F (ω) = F
{
A255rect
(
x+ d/4
d/2
)
+ Ageiϕ1rect
(
x− d/4
d/2
)}
. (3.21)
Por lo que realizando la transformada de Fourier en la ecuacion (3.21) y susti-
tuyendo el resultado en (3.19), se tiene:
fn =1
2sinc
(
ndω0
4π
)
[
A255einω0d/4 + Age
i(ϕg−nω0d)/4]
. (3.22)
El patron de difraccion presenta varios ordenes de difraccion. Las potencias de
estos ordenes son proporcionales a |fn|2. En particular, de (3.22) se obtiene el coe-
ficiente del orden cero del patron de difraccion, dado por:
f0 =1
2
(
A255 + Ageiϕg)
. (3.23)
Por lo tanto, la potencia del orden cero de difraccion de la rejilla esta dada por:
P255−g =K
4
[
A2255 + A2
g + 2A255Ag cosϕg
]
, (3.24)
para cierta constante de proporcionalidad K. Si la rejilla desplegada es un patron
uniforme con nivel maximo de gris, entonces la potencia del orden cero esta dada
por:
P255−255 = KA2255. (3.25)
Para eliminar la constante indeterminada K, podemos considerar la siguiente nor-
malizacion:
r =P255−g
P255−255=
1
4
(
A2255 + A2
g + 2A255Ag cosϕg
A2255
)
, (3.26)
3.5 Metodo para la caracterizacion de la transmitancia de la TN-LCD 27
aquı A255 y Ag tiene valores conocidos gracias a la caracterizacion de la amplitud
de la transmitancia ademas de que P255−255 y P255−g son potencias medidas experi-
mentalmente. La primera de ellas corresponde a la potencia medida en el orden cero
cuando se despliega en la LCD un patron uniforme con maximo nivel de gris (255)
y la segunda corresponde a la potencia medida en el orden cero cuando se despliega
una rejilla periodica de periodo d que tiene en la mitad de su perıodo un nivel de
gris 255 y en la otra mitad tiene un nivel de gris distinto de 255 (variable).
Por lo tanto despejando la fase de la ecuacion (3.26), se tiene que la fase relativa
entre los dos niveles de gris, la cual esta dada por:
ϕg = − cos−1
(
(4r − 1)A2255 − A2
g
2A255Ag
)
. (3.27)
La ecuacion (3.27) nos permite obtener la fase correspondiente a cada nivel de gris
a nivel experimental. Los resultados experimentales se presentan en la seccion 6.1.
28 La LCD como modulador espacial de luz
CAPITULO 4Optimizacion de CGHs de amplitud para
moduladores de cristal lıquido pixelizados
Los hologramas generados por computadora son de gran utilidad cuando se trata de
sintetizar un campo optico, el desempeno de estos depende directamente de su calidad
y optima aplicacion. En este capıtulo se presentan las contribuciones principales de
esta tesis en la optimizacion de los CGHs de amplitud.
4.1 Influencia de la estructura pixelizada del modu-
lador espacial de luz
Uno de los inconvenientes que representa el hecho de utilizar moduladores espaciales
de cristal lıquido es su estructura pixelizada, ya que al ser utilizados para implementar
alguna funcion de modulacion, la influencia del ancho finito del pıxel produce error en
la reconstruccion de tal funcion de modulacion, tal como se muestra a continuacion.
Sea s(x, y) el campo complejo a codificar en el CGH dado por:
s(x, y) = a(x, y) exp(iφ(x, y)), (4.1)
donde la fase φ(x, y) se encuentra en el dominio [−π, π] y la amplitud a(x, y) es
una funcion positiva normalizada. Ademas sea la onda de referencia una onda plana
unitaria monocromatica descrita por:
R(x, y) = exp(i2π(u0x+ v0y)), (4.2)
donde u0 y v0 son las frecuencias espaciales de la onda de referencia o portadora.
30 Optimizacion de CGHs de amplitud para moduladores de cristal lıquido . . .
La funcion de transmitancia normalizada del holograma interferometrico pro-
ducido por la intensidad de la superposicion de estas dos ondas es expresada como:
h(x, y) = c0(
b(x, y) + a(x, y) cos (φ(x, y) − 2π(u0x+ v0y)))
= c0
(
b(x, y) +1
2s(x, y) exp(−i2πφ(u0x+ v0y))
+1
2s∗(x, y) exp( i2πφ(u0x+ v0y))
)
,
(4.3)
donde c0 ≈ 1/2 es una constante de normalizacion y b(x, y) es la funcion de fondo
convencional dada por:
b(x, y) =1 + a2(x, y)
2. (4.4)
En el dominio de Fourier, la funcion de transmitancia del CGH esta dado por:
H(u, v) = c0
(
B(u, v) +1
2S(u+ u0, v + v0) +
1
2S∗(−u+ u0,−v + v0)
)
, (4.5)
donde B(u, v) corresponde al espectro de la funcion de fondo centrado en la frecuen-
cia espacial con coordenadas (0, 0), S y S∗ denotan la transformada de Fourier de
la senal codificada y su complejo conjugado centradas en las frecuencias espaciales
con coordenadas (−u0,−v0) y (u0, v0), respectivamente.
Por otra parte asumamos que el SLM para la implementacion de los CGHs tiene
una estructura pixelizada como se muestra en la figura 4.1 cuyo soporte p(x, y) tiene
dimensiones Lx y Ly (en el eje horizontal y vertical), ademas, la estructura interna
del pıxel es rectangular con dimensiones a en el eje horizontal y b en el eje vertical,
y la separacion entre pıxeles es δx.
Al implementar el CGH en el SLM, la funcion de transmitancia del holograma
h(x, y) es muestreada uniformemente con perıodo de muestreo δx y es transformada
en:
hSLM(x, y) =(
(
h(x, y)comb(x∆u, y∆v))
⊗ w(x, y))
p(x, y), (4.6)
donde ∆u = 1/δx es el ancho de banda del SLM, w(x, y) = rect(
xa
)
rect(
yb
)
y
p(x, y) = rect(
xLx
)
rect(
yLy
)
corresponden a las funciones de transmitancia del
pıxel y del soporte, respectivamente. La funcion comb(x∆u, y∆v) esta definida por:
comb(x∆u, y∆v) =∞∑
q=−∞
∞∑
l=−∞
δ
(
x−q
∆u, y −
l
∆v
)
, (4.7)
4.1 Influencia de la estructura pixelizada del modulador espacial de luz 31
Ly
Lx
pıxelδx
a
b
soporte
Figura 4.1: Estructura pixelizada del SLM.
y su espectro de Fourier esta dado por:
Comb( u
∆u,v
∆v
)
= ∆u2∞∑
q=−∞
∞∑
l=−∞
δ (u− q∆u, v − l∆v) . (4.8)
Entonces, el espectro de Fourier de la funcion de transmitancia hSLM(x, y) del
CGH se convierte en:
HSLM(u, v) = ∆u2
(
∞∑
q=−∞
∞∑
l=−∞
H(u− q∆u, v − l∆v)W (u, v)
)
⊗ P (u, v), (4.9)
donde W (u, v) y P (u, v) son la transformada de Fourier del pıxel y el soporte dados
por:
W (u, v) = ab sinc(au) sinc(bv), (4.10)
P (u, v) = LxLy sinc(Lxu) sinc(Lyv), (4.11)
con sinc(ω) = sen(πω)/πω. En la ecuacion (4.9) es posible observar que el espectro
de la funcion de transmitancia pixelizada del holograma esta formado por replicas del
espectro de la funcion de transmitancia continua H(u, v) lateralmente desplazadas,
que estan siendo afectadas por la influencia de W (u, v) y P (u, v).
Debido a la naturaleza evanescente de W (u, v) la mejor de esas replicas a partir
de la cual es posible recobrar a la senal corresponde a la localizada en el orden cero,
32 Optimizacion de CGHs de amplitud para moduladores de cristal lıquido . . .
es decir, el termino que corresponde a este orden es:
HSLM(00)(u,v) = ∆u2(
H(u, v)W (u, v))
⊗ P (u, v). (4.12)
Sustituyendo la ecuacion (4.5) en (4.12) se tiene que:
HSLM(00)(u,v) = Bm(u, v) + Sm(u) + Scm(u, v), (4.13)
donde
Bm(u, v) = c0∆u2(
W (u, v)B(u, v))
⊗ P (u, v), (4.14)
Sm(u, v) =c02
∆u2(
W (u, v)S(u+ u0, v + v0))
⊗ P (u, v), (4.15)
Scm(u, v) =
c02
∆u2(
W (u, v)S∗(−u+ u0,−v + v0))
⊗ P (u, v). (4.16)
A partir del espectro del CGH es posible reconstruir a la senal si se aplica un filtro
pasabanda para seleccionar unicamente el espectro de la senal Sm(u, v) y se aplica la
transformada inversa de Fourier del termino seleccionado. Sin embargo, debido a que
la senal al igual que los demas terminos de la funcion de transmitancia esta siendo
afectada por la espectro envolvente producido por el tamano finito del pıxel W (u, v),
la senal reconstruida es distorsionada y lo es en un grado mayor si las frecuencias
espaciales de la portadora (u0, v0) no resultan despreciables comparadas con el ancho
de banda ∆u. El espectro envolvente afecta la calidad de la senal reconstruida del
CGH discretizado. Si la influencia de la envolvente W (u, v) es compensada, la senal
reconstruida sera s(x, y)p(x, y) exp(−i2π(u0x+ v0y)), donde solo se tiene a la senal
compleja s(x, y) codificada dentro del soporte finito p(x, y) acompanada de un factor
lineal de fase, que corresponde a la portadora la cual determina su distribucion en el
espectro.
4.2 Metodo de compensacion para evitar la distor-
sion de la senal debida la envolvente del espec-
tro
En el siguiente apartado se propone un metodo para compensar la distorsion de la
senal debida al factor W (u, v), de tal forma que sea posible reducir la distorsion en
la senal reconstruida.
4.2 Metodo de compensacion para evitar la distorsion de la senal . . . 33
El metodo propuesto esta basado en la sustitucion de la senal compleja deseada
s(x, y) por una nueva senal compleja modificada s′(x, y) que sea apropiada para
compensar el efecto de la envolvente W (u, v), es decir, aplicamos un prefiltraje a la
senal s(x, y). Para la senal modificada s′(x, y), el termino senal en el espectro (ver
ecuacion (4.15)) se convierte en:
S ′m(u, v) =
c02
∆u2(
W (u, v)S ′(u+ u0, v + v0))
⊗ P (u, v). (4.17)
Para asegurar que la senal deseada sea recobrada a partir de S ′m, la senal prefiltrada
esta definida por la siguiente relacion:
T (u, v) = S ′(u+ u0, v + v0) = S(u+ u0, v + v0)W−1(u, v). (4.18)
Esta relacion depende de W−1(u, v), que corresponde al inverso de espectro en-
volvente del pıxel definido en la ecuacion (4.10) y del espectro de la senal deseada.
T (u, v) puede ser implementada dentro de la banda espectral de la senal fuera de eje
siempre que la envolvente W (u, v) no presente ceros dentro de tal banda. Esto se
puede asegurar considerando que tanto las frecuencias portadoras como el ancho de
banda de la senal son menores que el ancho de banda del modulador.
Una vez calculada T (u, v) dada en la ecuacion (4.18), la expresion para la senal
modificada es obtenida digitalmente hallando la transformada inversa de Fourier de
T (u, v), es decir,
t(x, y) = s′(x, y) exp(−i2π(u0x+ v0y)). (4.19)
Entonces
s′(x, y) = t(x, y) exp( i2π(u0x+ v0y)). (4.20)
Finalmente, la funcion s′(x, y) es renormalizada para cumplir con la condicion
s′(x, y) ≤ 1.
Para tener una sıntesis apropiada de la senal deseada s(x, y), el CGH codifica a
la senal modificada en lugar de la senal deseada, es decir, s(x, y) es reemplazada
por s′(x, y) en la implementacion del CGH teniendo como resultado un CGH mod-
ificado. El holograma modificado es referido en esta tesis como CGH compensado,
mientras que los hologramas que codifican a s(x, y) tal cual, son referidos como no
compensados.
34 Optimizacion de CGHs de amplitud para moduladores de cristal lıquido . . .
4.3 Funcion de fondo para hologramas de amplitud
sin modulacion de fase acoplada
Consideremos primeramente que la funcion de transmitancia del holograma inter-
ferometrico es implementado en un SLM que provee modulacion de pura amplitud; es
decir, el sistema modulador proporciona transmitancia positiva libre de fase acoplada.
Para empezar recordemos la transmitancia del CGH interferometrico convencional,
dada por la ecuacion:
h(x, y) = c0(
b(x, y) + a(x, y) cos (φ(x, y) − 2π(u0x+ v0y)))
, (4.21)
donde la funcion de fondo b(x, y) tiene la forma
b(x, y) =1 + a2(x, y)
2. (4.22)
Lo ideal en el proceso de reconstruccion es recuperar a la senal codificada sin
distorsion alguna, sin embargo, la distorsion en la senal debida al espectro de la
funcion de fondo b(x, y) se hace presente, sobre todo si b(x, y) tiene un ancho de
banda amplio y alta energıa. Cuando un CGH es implementado en un SLM no existe
nada que impida reemplazar a la funcion de fondo b(x, y) por cualquier otra funcion
que nos permita mejorar la calidad en el desempeno de los hologramas y por tanto
mejorar la SNR del holograma. Si bien b(x, y) puede ser cualquier funcion, debe
cumplir ciertas condiciones para poder sustituir a la funcion de fondo convencional
tales como:
1. La funcion de fondo debe pertenecer a un conjunto de funciones que aseguran
la naturaleza positiva de la transmitancia h(x, y); para lo cual se hace necesario
cumplir la condicion b(x, y) ≥ a(x, y).
2. La funcion de fondo debe presentar un ancho de banda reducido de tal forma
que su espectro sea compacto tal que no contamine al espectro de la senal.
3. La funcion de fondo debe ser baja en potencia (en lo posible).
Supongamos una senal cuyo modulo presenta un corte transversal como el mostrado
en la figura 4.2. Una funcion de fondo b(x, y) apropiada que cumple razonablemente
bien con las condiciones anteriores, corresponde a la envolvente suave del modulo de
4.3 Funcion de fondo para hologramas de amplitud sin modulacion de . . . 35
la senal (representada en la figura 4.2 por la lınea azul). Por tratarse de una envol-
vente se cumple la condicion 1 (previamente especificada). Ademas, la eliminacion
de las oscilaciones en la funcion envolvente, corresponde a una reduccion de su an-
cho de banda (condicion 2)). La condicion 3) (baja potencia), se cumple al menos
relativamente al seleccionar la envolvente que justamente cubre el modulo a(x, y) de
la senal.
Envolvente
a(x, y)
−100 −50 0 50 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Figura 4.2: Corte transversal de una senal arbitraria.
El metodo para obtener la envolvente del modulo a(x, y) consiste en realizar
filtraje espacial a la funcion a(x, y), empleando un filtro Gaussiano pasa-bajas de tal
forma que el espectro de la funcion de fondo b(x, y) en este caso es expresada como:
B(u, v) = A0A(u, v) exp(
−ρ2/α2)
, (4.23)
donde A(u, v) es la transformada de Fourier del modulo de la senal a(x, y), ρ es la
coordenada radial de la senal en el domino de Fourier, ρ2 = u2 + v2 es el ancho del
filtro Gaussiano que corresponde aproximadamente al ancho de banda de la senal, y
A0 es la constante mınima que asegura el cumplimiento de la condicion b(x, y) ≥
a(x, y). Finalmente, la funcion de fondo es obtenida aplicando la transformada inversa
de Fourier a B(u, v). En la presente tesis la funcion de fondo convencional (ver
ecuacion (4.22)), y la funcion envolvente de a(x, y), son denominadas como funcion
de fondo tipo 1 y funcion de fondo tipo 2, respectivamente. Los CGHs que emplean
esas funciones de fondo son llamados hologramas tipo 1 y 2.
36 Optimizacion de CGHs de amplitud para moduladores de cristal lıquido . . .
4.4 Funcion de fondo para hologramas de amplitud
con modulacion de fase acoplada
Para una optima aplicacion de los hologramas de amplitud se requiere de un SLM
que proporcione modulacion de pura amplitud. Sin embargo, el uso de pantallas
de cristal lıquido tipo TN como moduladores de amplitud, produce una modulacion
de fase acoplada, que deteriora el desempeno de los hologramas de amplitud ya
que la funcion de transmitancia del CGH es modificada al ser desplegada en el
modulador. Para analizar la influencia de la fase acoplada en los CGHs desplegados
en un modulador de cristal lıquido (LC-SLM) tipo TN rescribamos la funcion de
transmitancia del holograma deseado dado en la ecuacion (4.3) como:
h(x, y) = c0(
b(x, y) + ts(x, y) + t∗s(x, y))
, (4.24)
donde ts(x, y) = (1/2)s(x, y) exp(
− i2π(u0x + v0y))
corresponde al termino senal
en la funcion de transmitancia del CGH.
Si el CGH es desplegado en el SLM con fase acoplada, la transmitancia deseada
es modificada, tal que es expresada como:
hm(x, y) = h(x, y) exp(
iφa(x, y))
, (4.25)
donde φa(x, y) corresponde a la fase acoplada la cual es funcion de la amplitud de
h(x, y). La exponencial en la ecuacion (4.25), puede ser expresada a traves de una
serie de potencias como:
exp(
iφa(x, y))
=
∞∑
n=0
in
n!φn
a(x, y). (4.26)
En la mayorıa de los casos, la funcion de fase acoplada no posee una forma
analıtica, en estos casos, φa(x, y) puede expresarse mediante una expansion polino-
mial dada por:
φa(h(x, y)) ≈ P (h(x, y))
≈ a0 + a1h(x, y) + a2h2(x, y) + · · · + aNh
N (x, y)
≈
N∑
k=0
akhk(x, y),
(4.27)
donde a0, a1, a2, . . . , aN son los coeficientes del polinomio y N es el orden del poli-
nomio que aproxima a la funcion de fase. Cuanto mas alto sea el orden del polinomio,
mas exacta sera la aproximacion.
4.4 Funcion de fondo para hologramas de amplitud con modulacion de . . . 37
Considerando la expresion analıtica de la fase acoplada φa(x, y) dada en la ecuacion
(4.27)), la serie de potencias de la ecuacion (4.26) para M terminos se convierte en:
exp(
iφa(x, y))
≈ 1 + i
N∑
n=0
akhk(x, y) +
(
iN∑
n=0
akhk(x, y)
)2
2!+ · · ·
+
(
iN∑
n=0
akhk(x, y)
)M−1
(M − 1)!.
(4.28)
Por lo que la funcion de transmitancia modificada esta dada por:
hm(x, y) ≈h(x, y)
1 + i
N∑
n=0
akhk(x, y) +
(
iN∑
n=0
akhk(x, y)
)2
2!+ · · ·
+
(
i
N∑
n=0
akhk(x, y)
)M−1
(M − 1)!
.
(4.29)
Si h(x, y) que ha sido descrita en la ecuacion (4.24) es reemplazada en la ecuacion
(4.29), el analisis de la influencia de la fase acoplada en el termino senal se complica
debido a la cantidad de terminos que se derivan de esta sustitucion.
Para simplificar el problema, truncamos la serie de potencias haciendo M = 4 y
utilizando el paquete computacional MAPLE que nos auxilie en los calculos [26]. La
expresion obtenida en este caso es un conjunto de terminos que contienen potencias
mezcladas de b(x, y), ts(x, y) y t∗s(x, y). Sin embargo, la contribucion principal de
esas potencias mezcladas en la senal esta dada por el termino:
sm(x, y) ≈c02
1 + iN∑
n=0
akbk +
1
2
(
iN∑
n=0
akbk
)2
+1
6
(
iN∑
n=0
akbk
)3
+
+ ibN∑
n=0
kakbk−1
1 + iN∑
n=0
akbk +
1
2
(
iN∑
n=0
akbk
)2
ts(x, y),
(4.30)
38 Optimizacion de CGHs de amplitud para moduladores de cristal lıquido . . .
donde sm(x, y) representa a la senal modificada obtenida a partir de la reconstruccion
de la funcion de transmitancia hm(x, y) dada en la ecuacion (4.25) y b = b(x, y).
De manera general, cuando M = N en la serie de potencias (ver ecuacion (4.30))
sm(x, y) es representada por:
sm(x, y) =c02
(
M−1∑
n=0
(
iP (b(x, y)))n
n!+ ibP ′(b(x, y))
M−2∑
n=0
(
iP (b(x, y)))n
n!
)
ts(x, y),
(4.31a)
donde
P (b(x, y)) =
N∑
k=0
akbk(x, y), (4.31b)
P ′(b(x, y)) =
N∑
k=0
kakbk−1(x, y). (4.31c)
La ecuacion (4.31a) representa un resultado importante ya que nos muestra que la
senal modificada sm(x, y) es exactamente igual a la senal deseada ts(x, y), excepto
por un factor complejo, una mejor aproximacion de dicho factor complejo es obtenida
si el numero de terminos N en el polinomio P (b(x, y)) tiende a ser muy grande, ya
que el polinomio se aproxima a la fase acoplada φa(x, y), es decir,
limN→∞
P (b(x, y)) = φa(b(x, y)). (4.32)
Entonces la ecuacion (4.31c) se convierte en:
limN→∞
P ′(b(x, y)) = φ′a(b(x, y)). (4.33)
Por lo tanto sm(x, y) (ver ecuacion (4.31a)) se retransforma en:
sm(x, y) =c02
(
M−1∑
n=0
(
iφa(b(x, y)))n
n!+ ib(x, y)φ′
a(b(x, y))
×
M−2∑
n=0
(
iφa(b(x, y)))n
n!
)
ts(x, y).
(4.34)
De forma similar, cuando el numero de terminos M de la expansion de Taylor
de la ecuacion (4.31a) tiende a ser muy grande, la ecuacion (4.34) se convierte en:
sm(x, y) =c02
exp(
iφa(b(x, y)))(
1 + ib(x, y)φ′a(b(x, y))
)
ts(x, y). (4.35)
Si la funcion de fondo b(x, y) no es constante en la ecuacion (4.35)), el factor
complejo que afecta a la senal no es constante ya que la fase acoplada varia para
4.5 Razon senal a ruido y eficiencia de los hologramas 39
cada punto de b(x, y). Sin embargo, si adoptamos una funcion de fondo constante
b(x, y) = 1, el factor complejo que afecta a la senal modificada sm(x, y) corresponde a
una constante, y como consecuencia, la fase de sm(x, y) es escalada por una constante
a causa de la presencia de la fase acoplada a la transmitancia.
Un hecho importante es que, cuando se tienen moduladores con fase acoplada, la
funcion de fondo mas apropiada corresponde a b(x, y) = 1 para cualquier funcion de
fase acoplada que tenga un rango de fase moderado. La funcion de fondo constante
es referida como funcion de fondo tipo 3, y a los CGHs que emplean este tipo de
funcion de fondo son llamados CGHs tipo 3.
Un caso particular de la funcion de fase acoplada es una funcion lineal con
pendiente γ, definida por φa(x, y) = γh(x, y), en este caso la funcion de fase sigue a
la forma de la modulacion h(x, y). Es decir, la fase acoplada es una copia transparente
del holograma.
En el Apendice A, se muestra una forma alternativa de obtener la expresion
del factor complejo mediante la expansion binomial de Newton, procedimiento que
resulta muy complicado para el caso en el que la funcion de fase acoplada no es
lineal, razon por la cual el analisis de esta seccion se realiza usando aproximacion
polinomial.
4.5 Razon senal a ruido y eficiencia de los hologra-
mas
El calculo de la razon senal a ruido (SNR) en los CGHs es de vital importancia ya
que esta nos proporciona informacion de una forma cuantitativa sobre el desempeno
de los hologramas a partir de la comparacion de la senal codificada deseada, o de
referencia, y la senal reconstruida.
Para hallar una expresion que nos permita calcular de manera cuantitativa la SNR
partamos del calculo de la energıa de la senal de referencia s(x, y) dada por:
Es(x,y) =
∫∫
Ds
|s(x, y)|2 dxdy, (4.36)
donde Ds es el dominio de la senal s(x, y). El calculo de la SNR resulta de la razon
de la energıa de la senal de referencia y la energıa del error, es decir,
SNR =
∫∫
Ds|s(x, y)|2 dxdy
∫∫
Ds|s(x, y) − βst(x, y)|2 dxdy
, (4.37)
40 Optimizacion de CGHs de amplitud para moduladores de cristal lıquido . . .
donde st(x, y) corresponde a la senal reconstruida, la cual es sometida a evaluacion.
Una constante β es introducida en el calculo de la energıa del error con el fin de
minimizar el error, de tal forma que si la senal reconstruida es diferente por un factor
constante, este sera ajustado por β maximizando a la SNR. La constante β se supone
real positiva y es hallada partiendo de la aseveracion de minimizacion del error, por
lo que:
∂
∂β
{∫∫
Ds
|s(x, y)− βst(x, y)|2 dxdy
}
= 0. (4.38)
Derivando y despejando a la constante β, se tiene que:
β =
∫∫
DsRe {s(x, y)s∗t (x, y)} dxdy∫∫
Ds|st(x, y)|2 dxdy
, (4.39)
donde Re {·} es la parte real de la funcion dentro de los corchetes.
Por otra parte, analicemos la eficiencia de los CGHs de amplitud considerando que
la constante de normalizacion c0 tiene un valor de 1/2 en la funcion de transmitancia
normalizada para el caso continuo dada en la ecuacion (4.3), y ademas, el termino
senal en este caso esta dado por si(x, y) = (1/4)s(x, y) exp(
− i2π(uox+ v0y))
.
La eficiencia de un CGH continuo esta definida como la potencia de la funcion
si(x, y) normalizada por la potencia de la senal s(x, y), en un dominio determinado,
entonces la eficiencia del CGH continuo es ηi = 1/16.
Para un holograma pixelizado y compensado cuya senal reconstruida esta definida
como s′m(x, y), la cual es obtenida de la transformada inversa del espectro de S ′m(x, y)
dada en la ecuacion (4.17), la eficiencia se encuentra normalizada por la eficiencia
del ηi CGH continuo, por lo que la eficiencia de un CGH pixelizado y compensado
sera:
ηnorm = η−1i
∫∫
Ds|s′m(x, y)|2 dxdy
∫∫
Ds|s(x, y)|2 dxdy
. (4.40)
La eficiencia normalizada para un CGH pıxelizado (ver ecuacion (4.40)) muestra
la reduccion de potencia en la senal reconstruida, debida a la estructura pixelizada
de el SLM y representa la potencia de la senal reconstruida del CGH pıxelizado nor-
malizada por la potencia del termino senal del CGH si(x, y) = (1/4)s(x, y) exp(
−
i2π(uox+v0y))
. El valor maximo de la eficiencia normalizada para un CGH pıxelizado
ηmax se da cuando el ancho de banda de la senal y la frecuencia de la portadora del
CGH tienden a cero. Es decir, ηmax = a2b2/δ4x donde a, b y δx son los parametros
del pıxel del SLM.
4.5 Razon senal a ruido y eficiencia de los hologramas 41
Las expresiones para SNR y eficiencia descritas en esta seccion son empleadas
para evaluar la calidad de los CGHs de amplitud propuestos en la presente tesis.
42 Optimizacion de CGHs de amplitud para moduladores de cristal lıquido . . .
CAPITULO 5Analisis numerico del desempeno de los
CGHs de amplitud disenados
En este capıtulo se realiza un analisis numerico para mostrar y evaluar el desempeno
de los CGHs de amplitud cuando son implementados en un TN-LC-SLM pixelizado
con y sin fase acoplada. Se construyen hologramas que codifican funciones de Bessel
de orden superior y funciones de Laguerre-Gauss. Se evalua numericamente el de-
sempeno de tres diferentes tipos de CGHs que han sido llamados hologramas de tipo
1, tipo 2 y tipo 3. Se realiza una comparacion entre los CGHs compensados y no
compensados.
En la evaluacion se considera la pixelizacion del SLM empleando una version
uniformemente muestreada de la senal compleja a codificar s(x, y). El muestreo de
la funcion debe ser compatible con los parametros del SLM utilizado. En la imple-
mentacion experimental de esta tesis se emplea un TN-LC-SLM “HoloEye LC2000”,
de la companıa HOLOEYE Photonics AG, cuyos parametros estructurales basicos
son la separacion entre pıxeles δx, que constituye el periodo de muestreo y el ancho
de banda ∆u = 1/δx, ademas, los pıxeles activos forman una matriz de 600 filas
por 800 columnas y el SLM provee una modulacion de 256 niveles de gris. En la
simulacion numerica se consideran los parametros del pıxel del modulador empleado
δx = 33µm, a = 24µm, y b = 28µm.
44 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de amplitud disenados
5.1 CGHs de amplitud que codifican funciones Bes-
sel de orden superior implementados en un SLM
sin modulacion de fase acoplada
5.1.1 Evaluacion de la funcion de fondo empleada
Sea un haz Bessel de orden superior la senal compleja a codificar, expresada en
coordenadas polares (r, θ) como:
s(r, θ) = c0Jw(2πρ0r) exp(iwθ)circ( r
R
)
, (5.1)
donde Jw(x) es la funcion Bessel de orden w, c0 es la constante de normalizacion,
ρ0 es la frecuencia espacial radial del haz y circ(r/R) representa un soporte circular
de radio R, que acota a la funcion Bessel cuya extension es infinita y exp(iwθ) es
el orden del vortice.
Considerando la version muestreada de s(r, θ), se tiene que la frecuencia espacial
radial del haz esta dada como ρ0 = ∆u/2np, donde np es el numero de pıxeles que
abarcan un anillo del haz, y el radio del soporte esta dado por R = Nδx, donde N
corresponde la mitad del numero de pıxeles activos.
Primero evaluaremos numericamente el desempeno de los CGHs tipo 1, 2 y 3,
empleando su respectiva funcion de fondo. Los CGHs a evaluar son hologramas no
compensados, es decir, la envolvente producida por el espectro del pıxel aun no ha
sido compensada. En la evaluacion se emplean CGHs que codifican haces Bessel de
orden uno y orden dos con vortices de orden uno y de orden dos, respectivamente,
ambos con frecuencia espacial ρ0 = ∆u/20. El radio del soporte para estas senales
complejas es tomado como R = 100δx, es decir, el diametro del soporte cubre los 200
pıxeles. El modulo normalizado y la fase de estas funciones complejas muestreadas
se presentan en las figuras 5.1 y 5.2.
En ambos casos la funcion de fondo convencional se encuentra definida por
b(r, θ) = (1 + |s(r, θ)|2)/2. La funcion de fondo tipo 2 corresponde a la envol-
vente suave del modulo de la senal codificada s(r, θ) y la funcion de fondo tipo 3
corresponde a b(r, θ) = 1. El filtro Gaussiano empleado para obtener la envolvente
suave del modulo de s(r, θ) tiene un ancho α = ρ0, el cual es sustituido en la ecuacion
(4.23). Las funciones de fondo calculadas para cada caso son graficadas junto con el
modulo de la senal en las figuras 5.3(a) y 5.3(b).
5.1 CGHs de amplitud que codifican funciones Bessel de orden . . . 45
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(b)
Figura 5.1: (a) Modulo y (b) Fase del haz Bessel de primer orden con ρ0 = ∆u/20.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(b)
Figura 5.2: (a) Modulo y (b) Fase del haz Bessel de segundo orden con ρ0 = ∆u/20.
Posicion lateral (pixeles)
Modulo
de
lasenaly
funcio
nes
de
fondo
Modulo de s(r, θ)
Fun. 1
Fun. 2
Fun. 3
−100 −50 0 50 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
(a)
Posicion lateral (pixeles)
Modulo
de
lasenaly
funcio
nes
de
fondo
Modulo de s(r, θ)
Fun. 1
Fun. 2
Fun. 3
−100 −50 0 50 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
(b)
Figura 5.3: Corte transversal de las funciones de fondo propuestas para un haz Bessel de
orden a) uno b) dos.
46 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de amplitud disenados
Dado que evaluaremos CGHs de amplitud sin modulacion de fase acoplada,
asumiremos que la funcion de transmitancia que codifica a la senal esta definida
en la ecuacion (4.3). Para ilustrar la influencia de la funcion de fondo empleada
codificaremos primeramente un haz Bessel de orden uno y despues un haz Bessel de
orden dos en CGHs tipo 1, tipo 2, y tipo 3.
Las funciones de transmitancia normalizada utilizando una portadora con frecuen-
cias u0 = v0 = ∆u/9 se presentan en las figuras 5.4 y 5.5 para cada caso.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
Figura 5.4: Transmitancia del CGH de amplitud (a) tipo 1, (b) tipo 2, y (c) tipo 3, que
codifican un haz Bessel de orden uno con ρ0 = ∆u/20.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
Figura 5.5: Transmitancia del CGH de amplitud (a) tipo 1, (b) tipo 2, y (c) tipo 3, que
codifican un haz Bessel de orden dos con ρ0 = ∆u/20.
Notese que la funcion de transmitancia para el CGH tipo 2 es pequena en com-
paracion con la de tipo 1 y 3. Debido a la energıa reducida de la funcion de fondo
tipo 2. El caso contrario ocurre para la transmitancia del CGH tipo 3, ya que la
funcion de fondo tipo 3 es de mayor energıa. La implementacion experimental de
estas funciones de transmitancia en el LC-SLM requiere del mapa en niveles de gris
5.1 CGHs de amplitud que codifican funciones Bessel de orden . . . 47
de cada funcion. La asignacion en niveles de gris se realiza mediante la relacion entre
niveles de gris y los valores de modulacion de amplitud que provee el modulador.
El espectro de la funcion de transmitancia del CGH de amplitud sin fase acoplada
(ver (4.5)) posee tres terminos, uno de los cuales corresponde al espectro de la senal.
El espectro es obtenido numericamente aplicando la transformada de Fourier bidi-
mensional del CGH y seleccionando solo el dominio del termino senal a traves de
un filtro pasabanda. El modulo del espectro de la senal normalizado para los CGHs
tipo 1, tipo 2 y tipo 3, se presentan para el caso del haz Bessel de orden uno en la
figura 5.6 y para el caso del haz Bessel de orden dos en la figura 5.7.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
Figura 5.6: Espectro de la senal para los CGHs de amplitud tipo (a) 1, (b) 2, y (c) 3, que
codifican a un haz Bessel de orden uno.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
Figura 5.7: Espectro de la senal para los CGHs de amplitud tipo (a) 1, (b) 2, y (c) 3, que
codifican a un haz Bessel de orden dos.
Es importante notar que el espectro de la senal del CGH tipo 2 en ambos casos
es menos ruidoso que el espectro de la senal de los CGHs tipo 1 y 3. Esto se debe
a que el espectro de la funcion de fondo tipo 2 es reducido en ancho de banda y en
energıa lo cual minimiza el ruido en el espectro de la senal.
48 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de amplitud disenados
Ahora, para completar la sıntesis numerica de los dos campos complejos que
han sido tomados como ejemplo en este apartado, centremos el filtro pasabanda en
las frecuencias espaciales (−u0,−v0). Este filtro es una funcion circulo con centro
en (−u0,−v0) y radio ρs = nsρ0. Para el caso de una senal arbitraria s(r, θ), la
frecuencia espacial radial ρ0 es remplazada por el ancho de banda de la senal en la
definicion de ρs. La senal reconstruida es obtenida a partir de la transformada inversa
de Fourier del campo transmitido por el filtro. El filtro empleado en la simulacion
numerica es un filtro de radio ρs = 2ρ0. El modulo de la senal reconstruida de los
CGHs tipo 1, 2 y 3, para el haz Bessel de orden uno se presentan en la figura 5.8,
y para el haz Bessel de orden dos se muestran en la figura 5.9.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
Figura 5.8: Modulo de la senal reconstruida de los CGHs tipo (a) 1, (b) 2, y (c) 3, para un
haz Bessel de orden uno.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
Figura 5.9: Modulo de la senal reconstruida de los CGHs tipo (a) 1, (b) 2, y (c) 3, para un
haz Bessel de orden dos.
La evaluacion de la fidelidad de la senal reconstruida es obtenida a partir del
calculo de la SNR mediante la ecuacion (4.35), donde se compara tanto el modulo
como la fase de la senal reconstruida. Las graficas de la SNR versus la frecuencia
5.1 CGHs de amplitud que codifican funciones Bessel de orden . . . 49
de la portadora u0 = v0 para CGHs no compensados se muestran en la figura 5.10,
donde se presenta la SNR para CGHs tipo 1, 2 y 3 que codifican un haz Bessel de
orden uno (ver figura 5.10(a)), y un haz Bessel de orden dos (ver figura 5.10(b))
con frecuencia espacial radial ρ0 = ∆u/20. En el dominio de evaluacion de la SNR
excluimos el ultimo anillo de los haces generados.
SN
R
u0/∆u
CGH Tipo 1
CGH Tipo 2
CGH Tipo 3
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
500
1000
1500
2000
(a)
SN
Ru0/∆u
CGH Tipo 1
CGH Tipo 2
CGH Tipo 3
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
500
1000
1500
2000
(b)
Figura 5.10: Graficas de la SNR para los diferentes tipos de CGHs que codifican (a) un
haz Bessel de orden uno y (b) un haz Bessel de orden dos, ambos con ρ0 = ∆u/20.
De acuerdo a las graficas mostradas en la figura 5.10, los CGHs de tipo 2 pre-
sentan mayor SNR que los CGHs tipo 1 y 3, por lo tanto, los CGHs de tipo 2
tienen un mejor desempeno cuando estos son implementados en un LC-SLM sin fase
acoplada. Ademas, la SNR tiene un incremento significativo cuando la frecuencia de
la portadora es mayor que ∆u/10, llegando un nivel maximo de SNR. Este maximo
ocurre alrededor de la frecuencia u0 = 0.2∆u para el CGH tipo 1, para el CGH tipo
2 ocurre a la frecuencia u0 = 0.15∆u y para el CGH tipo 3 ocurre a la frecuencia
u0 = 0.25∆u. Mas alla de este valor critico de u0, la SNR decrece debido a que
el espectro de la senal (ver ecuacion (4.15)) se ve mas afectado por la envolvente
W (u, v) producida por el espectro del pıxel
5.1.2 Evaluacion del metodo de compensacion debida la envol-
vente del espectro
La envolvente del espectro W (u, v) producida por el tamano finito del pıxel distor-
siona de manera significativa el espectro de la senal. Para ilustrar la influencia de
W (u, v) en el espectro de la senal, en las figuras 5.11 y 5.12 se muestra el espectro
50 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de amplitud disenados
del CGH tipo 2 no compensado que codifican a un haz Bessel de orden uno y orden
dos respectivamente, cuando se usan portadoras con frecuencias u0 = v0 = ∆u/7,
u0 = v0 = ∆u/5, y u0 = v0 = ∆u/3. Se observa que a medida que la frecuen-
cia de la portadora crece, el ruido producido por el espectro de la funcion de fondo
b(x, y) disminuye. Sin embargo, la influencia del espectro de la envolvente producida
por la pixelizacion W (u, v) se hace mas notoria afectando de manera significativa
la uniformidad del espectro de la senal, produciendo error en la reconstruccion y
consecuentemente disminuye la SNR.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
Figura 5.11: Modulo del espectro de la senal para un CGH no compensado que codifica un
haz Bessel de orden uno con ρ0 = ∆u/20 y frecuencias de la portadora (a) u0 = v0 = ∆u/7,
(b) u0 = v0 = ∆u/5, y (c) u0 = v0 = ∆u/3.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
Figura 5.12: Modulo del espectro de la senal para un CGH no compensado que codifica un
haz Bessel de orden dos con ρ0 = ∆u/20 y frecuencias de la portadora (a) u0 = v0 = ∆u/7,
(b) u0 = v0 = ∆u/5, y (c) u0 = v0 = ∆u/3.
Para compensar la envolvente W (u, v) aplicamos el metodo descrito en la seccion
4.2, implementando en el modulador sin fase acoplada al CGH que codifica a la senal
modificada (ver ecuacion (4.20)). Dicho procedimiento es implementado numericamente.
5.1 CGHs de amplitud que codifican funciones Bessel de orden . . . 51
El resultado de esta compensacion se presenta el las figuras 5.13 y 5.14, donde el
espectro de los haces Bessel de orden uno y dos a las frecuencias u0 = v0 = ∆u/7,
u0 = v0 = ∆u/5, y u0 = v0 = ∆u/3 recuperaron la uniformidad en su distribucion
de energıa mejorando de manera considerable la SNR.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
Figura 5.13: Modulo del espectro de la senal para un CGH compensado que codifica un haz
Bessel de orden uno con ρ0 = ∆u/20 y frecuencias de la portadora (a) u0 = v0 = ∆u/7,
(b) u0 = v0 = ∆u/5, y (c) u0 = v0 = ∆u/3.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c)
Figura 5.14: Modulo del espectro de la senal para un CGH compensado que codifica un haz
Bessel de orden dos con ρ0 = ∆u/20 y frecuencias de la portadora (a) u0 = v0 = ∆u/7,
(b) u0 = v0 = ∆u/5, y (c) u0 = v0 = ∆u/3.
Para evidenciar la mejora del desempeno de los hologramas tipo 2 compensados,
en la figura 5.15 se muestran las curvas de SNR versus la frecuencia de la portadora
u0 = v0, para CGHs no compensados (ver figura 5.15(a)) y compensados (ver figura
5.15(b)) que codifican haces de Bessel, usando distintos ordenes, todos con frecuencia
espacial radial ρ0 = ∆u/20. Todos los haces Bessel codificados y los CGHs estan
muestreados en un cırculo cuyo radio abarca 100 pıxeles del SLM. La SNR para el
caso de los CGHs compensados es de orden mayor. La disminucion de la SNR para
52 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de amplitud disenados
estos CGHs mas alla del valor critico de la frecuencia de la portadora no se hace
presente debido a que el espectro de la envolvente W (u, v) ha sido compensado.
u0/∆u
SN
R
Bessel orden 1
Bessel orden 2
Bessel orden 3
Bessel orden 4
Bessel orden 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
(a)
u0/∆u
SN
R
Bessel orden 1
Bessel orden 2
Bessel orden 3
Bessel orden 4
Bessel orden 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
(b)
Figura 5.15: SNR versus u0 para CGHs tipo 2, (a) no compensados y (b) compensados que
codifican haces Bessel de orden superior.
5.2 CGHs de amplitud que codifican funciones Bessel
de orden superior implementados en un SLM con
modulacion de fase acoplada
Cuando un CGH es implementado en un SLM con modulacion de fase acoplada la
funcion de fondo mas apropiada (ver ecuacion (4.35)) corresponde a b(x, y) = 1. La
funcion de transmitancia para este tipo de hologramas esta dada en la ecuacion (4.25).
Considerando que la funcion de fase acoplada al SLM es una fase lineal, entonces
φα(x, y) = γh(x, y), donde γ corresponde a la pendiente de la lınea y h(x, y) es
la funcion de transmitancia del CGH de amplitud dada en la ecuacion (4.3). En la
simulacion asumamos la pendiente de la fase acoplada es γ = π/3 que corresponde
al rango de fase mınimo de la configuracion empleada en el experimento, ademas
asumamos que el CGH disenado es de tipo compensado. En la reconstruccion de la
senal las condiciones son las mismas que las empleadas en la seccion 5.1.
Para mostrar el desempeno de los CGHs tipo 3 compensados, con y sin fase
acoplada, se disenan CGHs que codifican haces Bessel de orden uno y de orden dos
con ρ0 = ∆u/20, utilizando una portadora con frecuencias u0 = v0 = ∆u/4. Cuando
la senal codificada es un haz Bessel de orden uno, el modulo y la fase del campo
5.2 CGHs de amplitud que codifican funciones Bessel de orden . . . 53
reconstruido del CGH, con y sin modulacion de fase acoplada, corresponden a los
resultados presentados en las figuras 5.16 y 5.17. En cambio, si la senal codificada
es un haz Bessel de orden dos, el modulo y la fase reconstruidos del CGH con y sin
modulacion de fase acoplada se presentan en las figuras 5.18 y 5.19.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
Figura 5.16: Modulo de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin fase
acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Bessel de orden uno con ρ0 = ∆u/20.
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(a)
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(b)
Figura 5.17: Fase de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin fase acoplada,
(b) con fase acoplada, codificando un haz Bessel de orden uno con ρ0 = ∆u/20.
El modulo de la senal reconstruida del CGH con fase acoplada, mostrado en las
figuras 5.16(b) y 5.18(b), es equivalente al modulo de la senal del CGH sin fase
acoplada (figura 5.16(a) y figura 5.16(a)), y este a su vez es equivalente al modulo de
la senal codificada, (ver Figuras 5.1(a) y 5.2(a)). La fase de la senal reconstruida del
CGH sin fase acoplada, presentada en las figuras 5.17(a) y 5.19(a), es esencialmente
igual a la de la senal codificada. En cambio, la fase de la senal reconstruida del
54 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de amplitud disenadosPSfrag
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
Figura 5.18: Modulo de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin fase
acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Bessel de orden dos con ρ0 = ∆u/20.
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(a)
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(b)
Figura 5.19: Fase de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin fase acoplada,
(b) con fase acoplada, codificando un haz Bessel de orden dos con ρ0 = ∆u/20.
CGH con fase acoplada (figuras 5.17(b) y 5.19(b)) es equivalente a la fase de la senal
codificada (ver figuras 5.1(b) y 5.2(b)), excepto por un corrimiento de fase ∆φ. De
acuerdo al analisis realizado en la seccion 4.4, este corrimiento de fase corresponde
al factor de fase que acompana a ts(x, y) en la ecuacion (4.35). Substituyendo los
valores c0 = 1/2 y γ = π/3 en la ecuacion (4.35), el corrimiento de fase entre la
senal codificada y la senal reconstruida corresponde a ∆φ ≈ 0.32π .
En el calculo de la SNR para CGHs implementados en un SLM con fase acoplada
se aplica una corrimiento en la fase de la senal reconstruida que corresponde al
negativo de ∆φ, es decir, la senal reconstruida es multiplicada por el corrimiento de
fase exp(−i∆φ), tal que sea posible la comparacion entre la senal codificada y la
senal afectada por la modulacion de fase acoplada.
5.2 CGHs de amplitud que codifican funciones Bessel de orden . . . 55
El calculo de la SNR versus la frecuencia de la portadora (u0 = v0) para CGHs
tipo 3 compensados que codifican haces Bessel de orden superior, con y sin modu-
lacion de fase acoplada, se muestra en la figura 5.20.
u0/∆u
SN
R
Bessel orden 1
Bessel orden 2
Bessel orden 3
Bessel orden 4
Bessel orden 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
500
1000
1500
2000
2500
3000
(a)
u0/∆u
SN
R
Bessel orden 1
Bessel orden 2
Bessel orden 3
Bessel orden 4
Bessel orden 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
500
1000
1500
2000
2500
3000
(b)
Figura 5.20: SNR versus u0 para CGHs tipo 3, compensados (a) sin y (b) con modulacion
de fase acoplada que codifican haces Bessel de orden superior con ρ0 = ∆u/20.
A partir de este resultado se observa que los CGHs tipo 3 presentan menor SNR
que los CGHs tipo 2, cuando estos son implementados en un SLM sin fase acoplada
(ver figuras 5.15(b) y 5.20(a)). Este resultado se explica considerando que la funcion
de fondo tipo 3 tiene un ancho de banda y energıa mayor que el de tipo 2, produciendo
mayor cantidad de ruido en el termino senal.
Por otra parte, la modulacion de fase acoplada en los CGHs de tipo 3 produce
una disminucion significativa en la SNR, tal como se observa en la figura 5.20(b),
presentando un maximo en la frecuencia portadora u0 = v0 = ∆u/4. Tal dismin-
ucion se debe al ruido inducido por la presencia de potencias mezcladas de ts y su
conjugado, tal como se establece en la seccion 4.4.
En la figura 5.21 se muestra la SNR calculada para los CGHs tipo 1 y tipo 2
compensados, con fase acoplada, cuando se codifican haces Bessel de distinto orden.
Comparando estas curvas con las mostradas en la figura 5.20(b), se prueba que los
CGHs tipo 3 con fase acoplada tienen una SNR mucho mayor que los CGHs tipo 1
y 2. Este resultado justifica la necesidad de emplear CGHs tipo 3 cuando la amplitud
del SLM se encuentra acompanada por una modulacion de fase acoplada.
56 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de amplitud disenados
u0/∆u
SN
R
Bessel orden 1
Bessel orden 2
Bessel orden 3
Bessel orden 4
Bessel orden 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
20
40
60
80
100
(a)
u0/∆u
SN
R
Bessel orden 1
Bessel orden 2
Bessel orden 3
Bessel orden 4
Bessel orden 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
5
10
15
20
25
30
(b)
Figura 5.21: SNR versus u0 para CGHs con modulacion de fase acoplada, compensados,
tipo (a) uno y (b) dos, que codifican haces Bessel de orden superior con ρ0 = ∆u/20.
5.3 Evaluacion numerica de la eficiencia
Se ha mostrado que es posible disenar CGHs con alta SNR, sin embargo, la principal
desventaja que presentan estos CGHs es su baja eficiencia. Si se asume que los
parametros del pıxel del SLM son a = 24µm, b = 28µm, y δx = 33µm la eficiencia
normalizada [Eq. 4.38] maxima para un CGH pıxelizado es ηmax ≈ 0.38. El analisis
de la eficiencia normalizada (ver ecuacion (4.40)) versus la frecuencia de la portadora
(u0 = v0) para CGHs tipo 2, sin fase acoplada, que codifican haces Bessel de varios
ordenes se presenta en la figura 5.22, donde se observa que la eficiencia para CGHs
no compensados (ver figura 5.22(a)) es ligeramente mayor que la calculada para los
CGHs compensados (ver figura 5.22(b)).
El analisis de la eficiencia para los CGHs compensados se realiza remplazando a
la senal s′m(x, y) en la ecuacion 5.22 por s(x, y), la cual corresponde a la transformada
inversa de Fourier del espectro de la senal no compensada Sm(u, v) expresada en la
ecuacion (4.15).
Para los CGHs tipo 3, con fase acoplada, compensados y no compensados, la
eficiencia normalizada obtenida se muestra en la figura 5.23.
5.4 CGHs de amplitud que codifican funciones Laguerre-Gauss . . . 57
u0/∆u
Eficie
ncia
(η)
Bessel orden 1
Bessel orden 2
Bessel orden 3
Bessel orden 4
Bessel orden 5
0.15 0.2 0.25 0.3
0.18
0.22
0.26
0.3
0.34
(a)
u0/∆u
Eficie
ncia
(η)
Bessel orden 1
Bessel orden 2
Bessel orden 3
Bessel orden 4
Bessel orden 5
0.15 0.2 0.25 0.3
0.18
0.22
0.26
0.3
0.34
(b)
Figura 5.22: Eficiencia normalizada versus u0 para CGHs tipo 2, (a) no compensados y (b)
compensados, que codifican haces Bessel de varios ordenes con ρ0 = ∆u/20.
u0/∆u
Eficie
ncia
(η)
Bessel orden 1
Bessel orden 2
Bessel orden 3
Bessel orden 4
Bessel orden 5
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
0.3
0.35
0.4
0.45
(a)
u0/∆u
Eficie
ncia
(η)
Bessel orden 1
Bessel orden 2
Bessel orden 3
Bessel orden 4
Bessel orden 5
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
0.3
0.35
0.4
0.45
(b)
Figura 5.23: Eficiencia normalizada versus u0 para CGHs tipo 3 con fase acoplada, (a) no
compensados y (b) compensados, que codifican haces Bessel de varios ordenes con ρ0 =
∆u/20.
5.4 CGHs de amplitud que codifican funciones La-
guerre-Gauss implementados en un SLM sin mo-
dulacion de fase acoplada
Otros haces que han despertado nuestro interes por su amplia aplicacion en el campo
de la optica son los haces Laguerre-Gauss de orden (p, l), cuyo campo en la cintura
58 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de amplitud disenados
es expresado en coordenadas polares (r, θ) como:
s(r, θ) = A
(
2r2
w20
)|l|/2
L|l|p
(
2r2
w20
)
exp
(
−r2
w20
)
exp (ilθ) , (5.2)
donde A corresponde a una constante de normalizacion, w0 es el radio de la cintura
del haz, L|l|p (·) es un polinomio de Laguerre asociado [27], donde l y p son los ındices
azimutal y radial respectivamente.
Para ilustrar la sıntesis de esta clase de senales complejas consideremos dos difer-
entes haces, el primero de orden p = 0 y l = 5, y el segundo de orden p = 2 y l = 2.
El modulo y la fase de estas senales complejas muestreadas se presentan en las figuras
5.24 y 5.25, respectivamente.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(b)
Figura 5.24: (a) Modulo y, (b) Fase del haz Laguerre-Gauss de orden (0,5).
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(b)
Figura 5.25: (a) Modulo y, (b) Fase del haz Laguerre-Gauss de orden (2,2).
La funcion de transmitancia del los CGHs que codifican a cada uno de los campos
s(r, θ), para el caso en que no existe fase acoplada en el SLM, tiene la forma de la
ecuacion (4.3).
5.4 CGHs de amplitud que codifican funciones Laguerre-Gauss . . . 59
En la seccion 5.1.1 se demostro que los CGHs tipo 2 presentan mejor desempeno
que los CGHs tipo 1 y 3 cuando estos son implementados en un SLM sin modulacion
de fase acoplada. Por esta razon la sıntesis de los haces Laguerre-Gauss solo se
presenta para CGHs tipo 2 compensados. En el analisis consideremos una portadora
con frecuencias u0 = v0 = ∆u/4. El modulo del espectro normalizado de la senal de
estos CGHs en el dominio de Fourier se presentan en la figura 5.26, donde se observa
que el espectro de una funcion Laguerre-Gauss es otra funcion Laguerre-Gauss, es
decir, estas funciones son auto transformables. El espectro del termino senal centrado
en (−u0,−v0) no es afectado en gran manera por la funcion de fondo, debido a la
distribucion compacta de energıa de estas funciones.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
Figura 5.26: Modulo del espectro de la senal para los CGHs de amplitud tipo 2 compensados
que codifican un haz Laguerre-Gauss de ordenes (a) (0,5) y (b) (2,2) con u0 = v0 = ∆u/4.
La reconstruccion de la senal a partir del espectro del CGH tipo dos compensado
se realiza del mismo modo que se hizo para los haces Bessel. Esto es, seleccionando
el espectro de la senal mediante un filtro pasabanda de radio ρs = ns∆s, donde
∆s es el ancho de banda de la senal, el cual corresponde en el analisis numerico a
∆s = ∆u/100. Aplicando la transformada inversa de Fourier al termino seleccionado
se tiene a la senal reconstruida. El modulo y fase de la senal reconstruida de los
CGHs tipo 2 compensados, sin fase acoplada, que codifican a los haces de Laguerre
de ordenes (0,5) y (2,2) se muestra en las figuras 5.27 y 5.28, respectivamente.
Por otra parte, la evaluacion de la SNR y de la eficiencia versus la frecuencia de
la portadora u0, v0, para CGHs tipo 2 compensados, sin fase acoplada, que codifican
diferentes haces Laguerre-Gauss muestreados en un cırculo cuyo radio abarca 100
pıxeles del SLM, se presentan en la figura 5.29.
60 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de amplitud disenadosPSfrag
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(b)
Figura 5.27: (a) Modulo y (b) fase de la senal reconstruida del CGH tipo 2 compensado,
que codifica un haz Laguerre de orden (0,5).
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(b)
Figura 5.28: (a) Modulo y (b) fase de la senal reconstruida del CGH tipo 2 compensado,
que codifica un haz Laguerre-Gauss de orden (2,2).
De acuerdo a lo presentado en la figura 5.29, los CGHs que codifican haces de
Laguerre-Gauss presentan mas alta SNR que los CGHs tipo 2 que codifican haces
Bessel. La explicacion a este hecho es que los haces de Laguerre-Gauss tienen una
distribucion de energıa mas compacta y uniforme evitando que el ruido influya de
manera considerable. Por otro lado, estos CGHs presentan una baja eficiencia con
un rango maximo de ηmax = 0.38.
5.5 CGHs de amplitud que codifican funciones Laguerre-Gauss . . . 61
u0/∆u
SN
R
×109
p = 0, l = 1
p = 0, l = 5
p = 1, l = 1
p = 1, l = 5
p = 2, l = 2
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350
0.5
1
1.5
2
(a)
u0/∆u
Eficie
ncia
(η)
p = 0, l = 1
p = 0, l = 5
p = 1, l = 1
p = 1, l = 5
p = 2, l = 2
0.15 0.2 0.25 0.30.2
0.25
0.3
0.35
0.4
(b)
Figura 5.29: Analisis de (a) la SNR y (b) la eficiencia para los CGHs tipo 2 compensados,
que codifica diferentes haces Laguerre-Gauss con modo p y l.
5.5 CGHs de amplitud que codifican funciones La-
guerre-Gauss implementados en un SLM con mo-
dulacion de fase acoplada
Los CGH tipo 3 compensados son considerados como los de mejor desempeno cuando
empleamos SLM con modulacion de fase acoplada (ver seccion 5.2). El analisis de
este tipo de hologramas cuando codificamos haces de Laguerre-Gauss considera, al
igual que en la seccion 5.2, una fase lineal con pendiente γ = π/3 y una portadora
con frecuencias u0 = v0 = ∆u/4. Ademas, las condiciones de reconstruccion son las
mismas que las de la seccion 5.4.
El modulo y la fase de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, con
y sin fase acoplada, que codifica un haz Laguerre-Gauss de orden (0,5) se muestran
en las figuras 5.30 y 5.31. Para el caso en el que la senal codificada es un haz
Laguerre-Gauss de orden (2,2), el modulo y la fase reconstruidos del CGH tipo 3
con y sin fase acoplada se presentan en las figuras 5.32 y 5.33.
De manera cualitativa, el modulo de las senales reconstruidas del CGH tipo 3, con
y sin fase acoplada (ver figuras 5.30 y 5.32), son equivalentes al modulo de la senal
codificada (ver figuras 5.24(a) y 5.25(a)), en cambio, la fase de las senales sufrieron
un escalamiento en su fase ∆φ ≈ 0.32π (ver figuras 5.31(b) y 5.33(b)) a causa de la
presencia de la fase acoplada al SLM. La evaluacion de la SNR para los CGHs tipo
3 que codifican distintos haces Laguerre-Gauss se muestra en la figura 5.34, donde se
62 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de amplitud disenados
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
Figura 5.30: Modulo de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin fase
acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Laguerre-Gauss de orden (0,5).
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(a)
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(b)
Figura 5.31: Fase de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin fase acoplada,
(b) con fase acoplada, codificando un haz Laguerre-Gauss de orden (0,5).
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b)
Figura 5.32: Modulo de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin fase
acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Laguerre-Gauss de orden (2,2).
5.5 CGHs de amplitud que codifican funciones Laguerre-Gauss . . . 63
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(a)
−π
− 2π3
−π3
0
π3
2π3
π
(b)
Figura 5.33: Fase de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin fase acoplada,
(b) con fase acoplada, codificando un haz Laguerre-Gauss de orden (2,2).
grafica a la SNR obtenida para los CGHs con y sin fase acoplada versus la frecuencia
de la portadora (u0, v0). Todos los haces de Laguerre-Gauss codificados y los CGHs
estan muestreados en un cırculo cuyo radio abarca 100 pıxeles del SLM.
u0/∆u
SN
R
×105
p = 0, l = 1
p = 0, l = 5
p = 1, l = 1
p = 1, l = 5
p = 2, l = 2
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 .350
0.5
1
1.5
2
(a)
u0/∆u
SN
R
×104
p = 0, l = 1
p = 0, l = 5
p = 1, l = 1
p = 1, l = 5
p = 2, l = 2
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350
0.5
1
1.5
2
(b)
Figura 5.34: SNR versus u0 para CGHs tipo 3, compensados (a) sin y (b) con modulacion
de fase acoplada que codifican diferentes haces de Laguerre-Gauss de orden l y p.
En la figura 5.34(b) es visible la disminucion de la SNR a causa de la modulacion
de fase acoplada al SLM. Ademas se observa que la frecuencia portadora para maxima
SNR, cuando implementamos CGHs tipo 3 que codifican haces de Laguerre-Gauss,
es u0 = v0 = ∆u/5. La frecuencia portadora para maxima SNR es referida a lo largo
de esta tesis como frecuencia de diseno.
64 Analisis numerico del desempeno de los CGHs de amplitud disenados
CAPITULO 6Implementacion experimental de los CGHs
de amplitud disenados
En este capıtulo se presenta la implementacion experimental de los CGHs de am-
plitud que han sido disenados. En la implementacion codificamos varios campos
complejos tales como haces Bessel de alto orden y haces de Laguerre Gauss. Para
la implementacion de estos campos opticos emplearemos un TN-LC-SLM ”HoloEye
LC2000”, de la companıa HOLOEYE Photonics AG. Dicho dispositivo es empleado
en su configuracion de amplitud, es decir, emplea dos polarizadores lineales exter-
nos (polarizador y analizador), cuyos ejes de transmision tiene una orientacion que
permite una modulacion de amplitud adecuada (provee valores de modulacion de am-
plitud entre 0 y 1) y presenta un rango de modulacion de fase acoplada mınima. A
partir del modelo de propagacion de luz en TN-LC-SLM configurado en modo de am-
plitud (ver seccion 3.4.3), hemos predicho una configuracion de amplitud que cumple
con estos requisitos y corresponde a θ1 = 90◦ (polarizador) y θ2 = 0◦ (analizador),
ambos angulos medidos con respecto al eje director del TN-LC-SLM empleado. Las
curvas de modulacion de amplitud y modulacion de fase acoplada obtenidas experi-
mentalmente son requeridas en la implementacion de los CGHs, razon por la cual se
realiza la caracterizacion de la funcion de transmitancia del TN-LC-SLM en modo
de amplitud.
66 Implementacion experimental de los CGHs de amplitud disenados
6.1 Caracterizacion de la transmitancia del TN-LC-
SLM configurado en modo de amplitud
La transmitancia del TN-LC-SLM depende del voltaje aplicado. Este voltaje es equiv-
alente a los niveles de gris en el despliegue de una imagen. Al desplegar una im-
agen en el TN-LC-SLM e iluminarlo con luz proveniente de un laser, el patron de
difraccion de Fraunhofer corresponde a la convolucion de la transformada de Fourier
de la imagen con los ordenes de difraccion debidos a la pixelizacion del TN-LC-
SLM. Entonces, a partir de la medicion de la intensidad del orden cero del patron de
difraccion obtenemos informacion para poder caracterizar la transmitancia tanto en
amplitud como en fase.
El sistema experimental para la caracterizacion de la transmitancia se presenta
en la figura 6.1, donde un laser de He-Ne estabilizado en intensidad y con longitud
de onda de 633 nm es utilizado para iluminar el TN-LC-SLM. El haz proveniente
del laser es filtrado y colimado. Una lente es introducida en el sistema con el fin
de observar el patron de difraccion de Fraunhofer que equivale a la transformada
optica de Fourier. Si el TN-LC-SLM es colocado a la distancia focal anterior de la
lente, el patron de difraccion se localizara exactamente en la distancia focal posterior
de la misma. En cuanto a la deteccion, se coloca un filtro pasa bajas exactamente
a la distancia focal de la lente en el plano focal posterior (plano de Fourier) para
seleccionar unicamente al orden cero y realizar las mediciones correspondientes a
traves de un detector de potencia.
Computadora
Laser Colimador Polarizador Analizador
Pantalla decristallıquido Lente Microagujero
f f
56.89Medidor de
potencia
90◦
Figura 6.1: Montaje experimental para la caracterizacion de la transmitancia del TN-LC-
SLM.
6.1 Caracterizacion de la transmitancia del TN-LC-SLM configurado en . . . 67
Para obtener la modulacion de amplitud de la transmitancia se despliegan en
el TN-LC-SLM patrones uniformes correspondientes a diferentes niveles de gris (o
niveles de modulacion) de 0 a 255. Los diferentes niveles de modulacion seran
enviados a traves del puerto paralelo de una computadora.
Dado que la amplitud de la transmitancia es proporcional a la raız cuadrada
de la intensidad, entonces cada valor de intensidad medido nos arrojara un valor
caracterıstico de la amplitud de la transmitancia para cada nivel de gris. La curva de
amplitud normalizada versus niveles de gris se muestra en la figura 6.2.
Curva de modulacion de amplitud
Niveles de gris (g)
Am
plit
ud
0 50 100 150 200 2500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 6.2: Curva de modulacion de amplitud normalizada versus g, obtenida experimental-
mente para configuracion de polarizadores: θ1 = 90◦, θ2 = 0.
Por otra parte, para obtener la fase acoplada a la modulacion de amplitud, se
despliega en el TN-LC-SLM una rejilla periodica cuya funcion de transmitancia se
encuentra descrita en la ecuacion (3.16), la cual en la mitad del perıodo posee un
nivel de gris constante (g = 255) y en la otra mitad de su perıodo otro nivel de
gris (en este caso variable 0 ≤ g ≤ 255). La fase relativa entre estos dos niveles de
modulacion se obtiene a partir de la medicion en intensidad del orden cero del patron
de difraccion en el regimen de Fraunhofer.
La fase relativa corresponde a la fase acoplada a la modulacion de amplitud,
cuya expresion esta dada en la ecuacion (3.27). Esta requiere de los valores en
amplitud para cada nivel de gris y de la intensidad medida en el orden cero cuando
desplegamos la rejilla periodica (I255−g). Los valores de amplitud para cada nivel de
gris son conocidos gracias a la caracterizacion de la amplitud realizada previamente.
Los valores de I255−g se obtiene midiendo la intensidad del orden cero cuando se
despliega la rejilla periodica.
68 Implementacion experimental de los CGHs de amplitud disenados
La curva de fase acoplada versus niveles de gris se muestra en la figura 6.3,
donde se observa una fase acoplada con rango maximo de π/3. La modulacion de
fase versus la modulacion de amplitud se presenta en la figura 6.4, la cual presenta
una cuasilinealidad.
Niveles de gris (g)
φ/π
0 50 100 150 200 2500
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Figura 6.3: Curva de modulacion de fase acoplada versus g, obtenida experimentalmente
para configuracion en los polarizadores: θ1 = 90◦, θ2 = 0.
Amplitud normalizada
φ/π
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Figura 6.4: Curva de modulacion de fase acoplada versus amplitud, obtenida experimental-
mente para configuracion en los polarizadores: θ1 = 90◦, θ2 = 0.
6.2 Implementacion de los CGHs disenados
Dado que el modulador que emplearemos posee una fase acoplada, implementare-
mos CGHs tipo 3 compensados en la sıntesis de diferentes campos opticos. Para la
6.2 Implementacion de los CGHs disenados 69
implementacion de la funcion de transmitancia (ver ecuacion (4.3)) de estos CGHs
en el TN-LC-SLM se requiere de la curva de modulacion de amplitud mostrada en
la figura 6.2, ya que esta nos permite transformar adecuadamente a la funcion de
transmitancia en una imagen con diferentes niveles de gris que puede ser desplegada
en el TN-LC-SLM.
Notese que el mınimo valor de amplitud en la curva de la figura6.2 es B0 ≈ 0.02.
Por lo tanto, debemos considerar que la funcion de transmitancia del CGH a desplegar
en el TN-LC-SLM sera modificada tal que h′(x, y) = B0 +C0h(x, y), donde h(x, y)
es la funcion de transmitancia normalizada original definida en la ecuacion (4.3) y
C0 = 0.98.
Para la sıntesis experimental de los campos complejos codificados en los CGHs
de amplitud empleamos el montaje experimental mostrado en la figura 6.5, donde
se tiene a la pantalla de cristal lıquido configurada en modo de amplitud (entre dos
polarizadores lineales) en la cual se despliega el CGH disenado. Un haz laser col-
imado con longitud de onda λ = 633 nm ilumina al sistema modulador. Ademas,
un sistema 4f es empleado para la sıntesis del campo codificado tal que el filtraje
espacial es posible a traves de una pupila circular colocada en el plano de Fourier,
esta pupila funciona como un filtro pasabanda que transmite unicamente la luz del
espectro del termino senal, la transformada inversa de este termino corresponde a
la senal reconstruida que es observada a traves de una camara CCD y almacenada
computacionalmente.
Computadora
Laser Colimador Polarizador Analizador
Pantalla decristallıquido Lente Lente
Filtro espacial
(plano de Fourier)
f f f f
90◦
CCD
Computadora
Figura 6.5: Montaje experimental para la sıntesis de los campos complejos codificados en
CGHs de amplitud.
Experimentalmente CGHs tipo 3 compensados que son implementados usan un
radio en el soporte de R = 100δx y una portadora con frecuencias u0 = v0 = ∆u/4.
70 Implementacion experimental de los CGHs de amplitud disenados
Para mostrar experimentalmente el desempeno de estos CGHs de amplitud, se disenan
CGHs que codifican haces Bessel de ordenes w = 1, . . . , 4, con frecuencia radial
ρ0 = ∆u/20. Las imagenes obtenidas por la CCD de los campos de salida se
presentan en la figura 6.6.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 6.6: Haces Bessel de ordenes (a) w = 1, (b) w = 2, (c) w = 3, (d) w = 4, obtenidos
experimentalmente de los CGHs de amplitud tipo 3 compensados, empleando una portadora
con frecuencias u0 = v0 = ∆u/4. La frecuencia espacial del haz en cada caso es de
ρ0 = ∆u/20.
Para visualizar la fase de los haces Bessel experimentalmente implementados,
hacemos interferir a la onda senal previamente filtrada con una onda plana en eje. La
onda plana en eje es introducida en el montaje experimental mediante la colocacion de
un microagujero en la frecuencia cero del filtro espacial, transmitiendo una cantidad
6.2 Implementacion de los CGHs disenados 71
de luz del orden cero del CGH. El patron de interferencia resultante prueba que la fase
azimutal de los haces sintetizados han sido apropiadamente codificada por los CGHs.
La figura 6.7 muestra los patrones de interferencia obtenidos para los haces Bessel
de orden 1, 2, 3, y 4, con frecuencia espacial ρ0 = ∆u/20. El conjunto de franjas
debido al factor lineal de fase asociado a la reconstruccion fuera de eje muestran
los dislocamientos de π radianes entre anillos adyacentes. Ademas, se observa en el
centro del patron la forma de un tenedor caracterıstico para cada orden de los haces
Bessel codificados.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 6.7: Interferogramas obtenidos experimentalmente al interferir la onda plana en eje
proveniente del microagujero y cada haz Bessel de orden (a) w = 1, (b) w = 2, (c) w = 3,
(d) w = 4, con frecuencia espacial ρ0 = ∆u/20.
Por otra parte, en la figura 6.8, se presentan los resultados experimentales de
72 Implementacion experimental de los CGHs de amplitud disenados
la implementacion de CGHs tipo 3, que codifican un haz Bessel de orden uno con
frecuencia espacial ρ0 = ∆u/Q, con Q = 12, 16 y 24.
(a) (b) (c)
Figura 6.8: Haz Bessel de orden w = 1, con frecuencias espaciales (a) ρ0 = ∆u/12, (b)
ρ0 = ∆u/16, y (c) ρ0 = ∆u/24.
CAPITULO 7Conclusiones
En la presente tesis se han obtenido las condiciones necesarias para un optimo
desempeno de CGHs de amplitud desplegados en un modulador de cristal lıquido
que proporciona modulacion de amplitud. Para ilustrar el desempeno de los CGHs
disenados, se sintetizan numericamente diferentes campos opticos tales como los
haces de Bessel y de Laguerre-Gauss. Ademas se muestra la implementacion ex-
perimental de los CGHs que codifican haces Bessel de diferentes ordenes. En la
realizacion de estas actividades se obtuvieron las siguientes conclusiones.
Gracias a que el CGH es implementado en un modulador de cristal lıquido, es
posible sustituir a la funcion de fondo en la transmitancia del holograma por una
funcion de fondo que resulte adecuada para un optimo desempeno del CGH. Para el
caso en el que el CGH disenado es implementado en un modulador de cristal lıquido
que proporciona modulacion de amplitud sin modulacion de fase acoplada, la funcion
de fondo adecuada corresponde a la envolvente suave del modulo de la senal. En
este caso, los CGHs fueron definidos de tipo 2. De manera cualitativa, el espectro de
la senal reconstruida del CGH tipo 2 es menos ruidoso que los espectros de la senal
reconstruida de los CGHs tipo 1 y 3 debido a que el espectro de la funcion de fondo
tipo 2 es reducido en ancho de banda y energıa minimizando la contaminacion en la
senal. Cuantitativamente la SNR para los CGHs tipo 2 es superior que la SNR para
los CGHs tipo 1 y 3.
Si el CGH disenado es implementado en un modulador de cristal lıquido que
provee modulacion de amplitud con modulacion de fase acoplada moderada, la funcion
de fondo mas apropiada es una funcion constante. En este caso los CGHs fueron
74 Conclusiones
definidos de tipo 3.
Cuando la funcion de fondo corresponde a una constante, el termino senal en la
reconstruccion solo es afectada por un factor complejo constante. Para el caso de
los CGHs que codifican haces de Bessel y de Laguerre-Gauss, este factor de fase
se traduce en una rotacion de fase debido a la naturaleza azimutal de la fase de las
senales codificadas. En las simulaciones numericas es observable esta rotacion que
corresponde a un angulo ∆φ ≈ 0.32π. Ademas, una comparacion entre el modulo
de la senal reconstruida del CGH tipo 3 sin fase acoplada y el modulo de la senal
reconstruida del CGH tipo 3 con fase acoplada no muestra diferencia significativa,
ambas son esencialmente iguales a la senal codificada.
El analisis de la SNR para los CGHs tipo 1, 2 y 3 que codifican haces Bessel
de distinto orden considerando modulacion de fase acoplada prueba la superioridad
de los CGHs tipo 3, justificando la necesidad de emplear CGHs tipo 3 cuando la
amplitud del SLM se encuentra acompanada por una modulacion de fase acoplada.
Por otra parte, el prefiltraje de las senales complejas codificadas, permite un
incremento considerable de la SNR en los CGHs de amplitud disenados gracias a
la compensacion del efecto envolvente del espectro producido por la estructura del
pıxel. Las simulaciones numericas muestran la uniformidad del espectro de la senal
posterior al prefiltraje y como consecuencia el aumento de la SNR.
Las simulaciones numericas prueban que los CGHs de amplitud presentan alta
SNR. En general la alta SNR es posible gracias a que la funcion de transmitancia del
CGH de amplitud tiene la forma de un interferograma cuya banda espectral presenta
tres terminos que corresponden al termino senal fuera de eje, el conjugado de la senal
fuera de eje y un orden central. Esta estructura permite el filtraje del termino senal
a traves de un filtro pasabanda y por tanto eliminar los terminos indeseables.
Los CGHs disenados para la implementacion experimental son CGHs tipo 3, estos
emplean una onda plana unitaria monocromatica exp( i2π(u0x+v0y)) como portadora
con frecuencias espaciales u0 = v0 = ∆u/4. Dichas frecuencias permiten una SNR
considerable.
Para obtener una reconstruccion apropiada de la senal codificada debemos tomar
en cuenta que el ancho de banda de la senal codificada siempre debe ser menor o
igual al ancho de banda del modulador de cristal lıquido empleado.
Para la implementacion de los CGHs es necesario realizar en primera instancia la
caracterizacion experimental de la transmitancia del modulador de cristal lıquido. La
75
caracterizacion implica tanto la obtencion de la curva de amplitud como la de la fase
acoplada para 256 niveles de gris. La configuracion empleada en el modulador corre-
sponde a la de mınima fase acoplada donde el polarizador de entrada y el analizador
forman angulos de 90◦ y 0◦ con respecto al eje director de las moleculas de cristal
lıquido. La curva de amplitud obtenida va de 0 a 1 proporcionando 256 niveles de
gris para luz roja y la curva de fase tiene un rango maximo de π/3 que corresponde
a el rango maximo predicho numericamente para esta configuracion.
Experimentalmente se realizo la sıntesis de varios haces Bessel de alto orden
mediante un arreglo de filtraje espacial. Los haces Bessel reconstruidos muestran
alta calidad.
La fase de los haces Bessel sintetizados fue evaluada cualitativamente a traves de
la interferencia de los haces y una onda plana en eje, donde se prueba que la fase
azimutal de los haces sintetizados han sido apropiadamente codificada por los CGHs.
La principal desventaja de los CGHs de amplitud es su baja eficiencia. Sin em-
bargo, la alta SNR y la sencillez de su implementacion, justifican su aplicacion en
casos donde la eficiencia no resulta muy importante como por ejemplo en el empleo
de holografıa para el almacenamiento de datos [14].
76 Conclusiones
APENDICE AFactor de fase cuando la fase acoplada es
lineal
En este apendice se realiza el analisis de la fase acoplada a la transmitancia. La fase
acoplada se considera lineal [19].
A.1 Factor de fase
Sea la transmitancia del holograma deseado h(x, y) dada por:
h(x, y) = c0(
b(x, y) + ts(x, y) + t∗s(x, y))
, (A.1)
donde ts(x, y) = (1/2)s(x, y) exp(
− i2π(uox+ v0y))
es el termino senal del CGH.
La transmitancia del CGH modificado a causa de la fase acoplada al SLM, puede ser
expresada como:
hm(x, y) = h(x, y) exp(
iφa(x, y))
, (A.2)
donde φa(x, y) corresponde a la funcion de fase acoplada, expresando en serie de
potencias a la exponencial de la ecuacion (A.2) como:
exp(
iφa(x, y))
=∞∑
n=0
in
n!φn
a(x, y). (A.3)
Para el caso en el que la funcion de fase es lineal con pendiente γ, entonces
φa(x, y) = γh(x, y). En este caso la funcion de transmitancia modificada del CGH
esta dada por:
hm(x, y) =∞∑
n=0
inγn
n!hn+1(x, y). (A.4)
78 Factor de fase cuando la fase acoplada es lineal
Realizando la expansion binomial de Newton del termino hn+1(x, y) de la ecuacion
(A.4) tenemos:
hn+1(x, y) = cn+10
n+1∑
q=0
(
n + 1
q
)
(
b(x, y) + ts(x, y))n+1−q
(t∗s(x, y))q, (A.5)
donde el coeficiente binomial esta dado por(
M
m
)
=M !
(M −m)!m!. (A.6)
El lado derecho de la ecuacion (A.5) contiene potencias mezcladas de b(x, y),
ts(x, y), y t∗s(x, y). La contribucion principal a la senal de esas potencias mezcladas
esta dada cuando q = 0, dado por:
hn+1(x, y) = cn+10
(
b(x, y) + ts(x, y))n+1
. (A.7)
Ahora expandiendo nuevamente la expresion(
b(x, y) + ts(x, y))n+1
, se tiene:
(
b(x, y) + ts(x, y))n+1
=n+1∑
q=0
(
n+ 1
q
)
bn+1−q(x, y)tqs(x, y). (A.8)
En la ecuacion (A.8) el termino que puede contener a la senal es, cuando q = 1,
dado por:(
b(x, y) + ts(x, y))n+1
= (n+ 1)bn(x, y)ts(x, y). (A.9)
Por lo que hn+1(x, y) es finalmente expresada como:
hn+1(x, y) = cn+10 (n+ 1)bn(x, y)ts(x, y). (A.10)
Sustituyendo la ecuacion (A.10) en (A.4) se tiene que la transmitancia modificada
hm(x, y) corresponde a:
hm(x, y) =
∞∑
n=0
inγn
n!cn+10 (n + 1)bn(x, y)ts(x, y). (A.11)
Por lo tanto, la senal modificada despues de la reconstruccion de hm(x, y) esta
dada por:
sm(x, y) = ts(x, y)
∞∑
n=0
inγncn+10 (n+ 1)bn(x, y)
n!. (A.12)
La senal modificada sm(x, y) es identica a la senal ideal codificada solo que se
encuentra acompanada por un factor complejo mostrado en la ecuacion (A.12). Si
adoptamos la funcion de fondo:
b(x, y) = 1. (A.13)
La senal solo esta siendo afectada por un factor complejo constante.
APENDICE BProgramas de MATLAB
En este apendice se presentan los programas realizados para la generacion e imple-
mentacion de los CGHs disenados. Los programas fueron realizados en lenguaje de
programacion de MATLAB (version 6.2).
B.1 Curvas de modulacion de amplitud y fase de la
celda TNLCD y elipse de polarizacion
1 clear
2 close all
3 fi = 90; %angulo total de twist en grados (puede cambiarse)
4 disp(’fi1 y fi2 son los angulos de polarizador y analizador’);
5 disp(’respecto al eje director de entrada’);
6 fi1 = input(’da fi1 (grados): ’);
7 fi2 = input(’da fi2 (grados): ’);
8 %parametros de la polarizacion incidente
9 Eox = cos(fi1*pi/180);
10 Eoy = sin(fi1*pi/180);
11 delta = 0;
12
13 fi2 = fi2*pi/180; %Angulo de analizador
14 fi = fi*pi/180; %Angulo de tiwst
15
16 %Matriz de rotacion
17 R = [cos(fi), sin(fi); -sin(fi), cos(fi)];
80 Programas de MATLAB
18 %Vector de Jones inicial
19 Jo = [Eox; Eoy*exp(i*delta)];
20 %rango angular para graficas polares de elipses
21 t = 0.0:pi/1235:2*pi;
22 %rango de beta con poder rotacion aprox 75.6 grad
23 Db = 0.429*sqrt(3)*pi;
24 disp(’Dar opcion: 1(solo grafica de fase e intensidad)’)
25 disp(’ 2(estados elipticos).’);
26 op = input(’Opcion - ’);
27 N = 319;
28 flag = 0;
29 if op == 2
30 N = 11;
31 flag = 1;
32 end
33 db = Db/(N-1); %resolucion en beta
34 %matriz que contendra vectores de Jones antes de analizador
35 MJ1 = zeros(2,N);
36
37 for n = 1:N;
38 b = 0.00013+(n-1)*db;
39 beta(n) = b;
40 g = sqrt(fi*fi+b.*b); %vector gama
41 a11 = cos(g)-i*b*sinc(g/pi);
42 a12 = -fi*sinc(g/pi);
43 a21 = fi*sinc(g/pi);
44 a22 = cos(g)+i*b*sinc(g/pi);
45 M = exp(-i*b)*R*[a11,a12;a21,a22];
46 J1 = M*Jo;
47
48 %Elipses de polarizacion generados por una celda de TNLCD
49 if flag == 1
50 figure
51 Eox = abs(J1(1)); Eoy = abs(J1(2));
52 delta = angle(J1(2))-angle(J1(1));
53 num = Eox*Eox*Eoy*Eoy*sin(delta)*sin(delta);
54 den = Eoy*Eoy*cos(t).*cos(t)+Eox*Eox*sin(t).*sin(t)-...
55 Eox*Eoy*sin(2*t)*cos(delta);
56 r = sqrt(num./den);
57 polar(t,r)
58 end
59 MJ1(:,n) = J1;
B.2 Programa que genera y sintetiza hologramas que codifican haces . . . 81
60 end
61 %matriz de polarizador lineal con eje a un angulo fi2
62 Ma = [cos(fi2)*cos(fi2),sin(fi2)*cos(fi2);sin(fi2)*cos(fi2),...
63 sin(fi2)*sin(fi2)];
64 MJ2 = Ma*MJ1; %Salida total del modulador
65 phase = unwrap(-angle(MJ2(1,:)));
66 MJ22 = MJ2.*conj(MJ2);
67 %Intensidad del vector saliente de sistema mod.
68 I = MJ22(1,:)+MJ22(2,:);
69
70 %edicion de graficas
71 figure
72 subplot(211),
73 plot(beta/pi,I), grid on
74 Title(’Curva de modulacion de amplitud’)
75 xlabel(’\beta/\pi’,’VerticalAlignment’,’middle’);
76 ylabel(’Intensidad’);
77 set(gca,’fontsize’, 8);
78 axis([0,max((beta/pi)+.02),0,1])
79 subplot(212),
80 plot(beta/pi,(phase-min(phase))/pi) , grid on
81 Title(’Curva de modulacion de fase’)
82 xlabel(’\beta/\pi’);
83 ylabel(’\phi/\pi’,’rotation’,0,’HorizontalAlignment’,’right’)
84 set(gca,’fontsize’, 8);
85 axis([0,max((beta/pi)+.02),0,.4]);
B.2 Programa que genera y sintetiza hologramas que
codifican haces Bessel de alto orden
1 %Este programa genera y sintetiza hologramas que codifican
2 %funciones Bessel. Considera la fase acoplada y ademas hace
3 %la correcion de la influencia de la fase acoplada sobre
4 %la fase de la senal ademas hace la correcion del minimo de
5 %amplitud en la asignacion de la curva de modulacion.
6 clear
7 disp(’N es tamano de matriz’)
8 disp(’np n de pix por anillo’)
9 disp(’nj orden de funcion Bessel’)
10 disp(’nv orden de vortice’)
82 Programas de MATLAB
11 disp(’fDu = fraccion uo/Du’);
12 disp(’uo frec de portadora, Du = 1/pix: SLM bandwidth’)
13 disp(’filt: DDu/ro: DDu anch de banda de filtro parabolico para’)
14 disp(’...generacion de Bias (envolvente), ro frec. esp. de senial’)
15 disp(’filt recommended <1/2, 1/3, 1/4,..’)
16 disp(’Opciones de rango: 200, 456’)
17 disp(’Opciones de CGH: 1:CGH1, 2:CGH2’)
18 disp(’nsup: radius of spectral support/ro (for simulation)’)
19 articulo3faselineal; %(curva de fase sigue lineal )
20 T = a;
21 fase = faseHR;
22 pix = 33;
23 pixa = 24; pixb = 28; %alto y ancho del pixel
24 Du = 1/pix; %Ancho de banda del SLM
25
26 while 1 == 1
27 datos = input(’dar [N np nj nv fDu filt nsup]: ’);
28 N = datos(1); np = datos(2); nj = datos(3); nv = datos(4);
29 M = N+56;
30 fDu = datos(5); filt = datos(6); nsup = datos(7);
31 ro = 1/(2*np*pix); %Frecuencia espacial radial
32 rsup = nsup*ro;
33 du = Du/M; %resolucion en el espcetro
34 no = floor(ro/du); %num. de puntos muestra para ro
35 uo = fDu*Du; vo = uo; %SIEMPRE DEJARLA
36 nc = round(uo/du); %centro de la banda de la senal
37 while nc+nsup*no> = (M/2-1)
38 disp(’aumenta np or reduce fDu or reduce nsup’)
39 datos = input(’dar [N np nj nv fDu filt nsup]: ’);
40 N = datos(1); np = datos(2); nj = datos(3); nv = datos(4);
41 fDu = datos(5); filt = datos(6); nsup = datos(7);
42 ro = 1/(2*np*pix);
43 rsup = nsup*ro;
44 du = Du/M;
45 no = floor(ro/du);
46 uo = fDu*Du; vo = uo;
47 nc = round(uo/du);
48 end
49
50 rM = (M/2-1)*pix; %Radio del soporte
51 n = -M/2:M/2-1; %Indices del pixel para el filtro complejo
52 x = (n’+.5)*pix; y = (n+.5)*pix;
B.2 Programa que genera y sintetiza hologramas que codifican haces . . . 83
53 xe = repmat(x,1,M);
54 r = sqrt(xe.*xe+xe’.*xe’);
55 supp = r<(rM-28*pix);%Soporte de la senal
56 suppex = r<rM; %Para calcular la envolvente de am
57 suppred = r<(rM-28*pix-np*pix);
58
59 %Filtro pasa-bajas para la envolvente de la senal(para CGH2)
60 non = floor(1.8*no);
61 q = -non:non;
62 ue = q’*du;
63 ue = repmat(ue,1,2*non+1);
64 re = sqrt(ue.*ue+ue’.*ue’);
65 low = (re<non*du).*exp(-(re.*re)/(filt*filt*ro*ro));
66
67 %Localizacion del filtro alrededor de frecuencia cero
68 filte = zeros(M);
69 mc = M/2+1;
70 filte(mc-non:mc+non,mc-non:mc+non) = low;
71
72 %Soporte para filtro espacial circular centrado en (uo,vo))
73 m = -M/2:M/2-1;
74 ue = m’*du;
75 ue = repmat(ue,1,M);
76 %Para uo,vo
77 supps = ((ue-uo).*(ue-uo)+(ue’+vo).*(ue’+vo))<(rsup*rsup);
78
79 %Envolvente de espectro (centrado en (0,0))
80 Envs = pixa*pixb*Du*Du*(sinc(pixa*ue)).*sinc(pixb*ue’);
81
82 c = genbessel(r,supp,ro,nj,nv,xe);
83 cex = genbessel(r,suppex,ro,nj,nv,xe);
84
85 %Precompensacion de c(x,y), para envolvente de espectro
86 comp = input(’da 1 para compensar envolvente (0 si no)’);
87 if comp == 1
88 cmex = cex.*exp(i*2*pi*(uo*xe+vo*xe’));
89 scm = (fftshift(fft2(cmex)))./Envs;
90 cmex = (ifft2(fftshift(scm))).*exp(-i*2*pi*(uo*xe+vo*xe’));
91 cmex = cmex.*suppex;
92 cmex = cmex/max(max(abs(cmex)));
93 cm = cmex.*supp;
94 else
84 Programas de MATLAB
95 cm = c;
96 cmex = cex;
97 end
98 opt = input(’opcion: 1 (CGH1), 2 (CGH2), 3(CGH3): ’);
99 if opt == 1
100 %opcion1
101 [CGH Env] = cghinterf(cm,supp,xe,uo,vo);
102 else
103 if opt == 2
104 %opcion2
105 [CGH Env] = cghinterfNN(cm,cmex,suppex,supp,...
106 xe,uo,vo,filte);
107 else
108 %opcion3
109 [CGH Env] = cghinterfNNN(cm,cmex,suppex,supp,...
110 xe,uo,vo,filte);
111 end
112 end
113
114 %asignacion de niveles de gris
115 Bo = min(a); Co = 1-Bo;
116 CGH = Bo+Co*CGH;
117 for n = 1:size(CGH,1)
118 n;
119 for m = 1:size(CGH,2)
120 ah = CGH(n,m);
121 dif = abs(a-ah);
122 ind = find(dif == min(dif));
123 ind = ind(1);
124 gh(n,m) = ind-1;
125 end
126 end
127
128 CGHPhase = fase(gh+1);
129
130 %Clculo de la envolvente de la fase
131 [EnvPhase,EnvPPhase] = PhaseAsig(Env/2,T(1:18),fase(1:18),g(1:18));
132
133 %Asignacion de fase a cada nivel de gris de la funcion CGH
134 Pasig = CGHPhase;
135 Pnew = exp(i*CGHPhase);
136 senaldeg = CGH.*Pnew;
B.2 Programa que genera y sintetiza hologramas que codifican haces . . . 85
137
138 fla = input(’da 1 si quieres generar BMP, 0 si no’);
139
140 %Genera cgh para SLM (entrada a = modulacion de amplitud)
141 if fla == 1
142 fondo = zeros(600,800);
143 if M == 256
144 fondo(214:469,249:504) = gh;
145 else
146 fondo(86:597,121:632) = gh; %512 x 512
147 end
148 name = input(’nombre de cgh BMP (ext bmp): ’);%Guarda bmp
149 imwrite(fondo,gray(256),name,’bmp’)
150 end
151
152 fla = input(’da 1 si quieres simulacion 0 si no’);
153 if fla == 1
154 disp(’da: 1 si quieres sin fase acoplada’)
155 disp(’ 2 con fase acoplada’)
156 flan = input(’Opcion - ’);
157
158 %Reconstruction of slm cgh
159 if flan == 1
160 sp = supps.*Envs.*fftshift(fft2(CGH));
161 sp = fftshift(sp);
162 sps = supp.*ifft2(sp).*exp(-i*2*pi*(uo*xe+vo*xe’));
163 else
164 sp = supps.*Envs.*fftshift(fft2(senaldeg));
165 sp = fftshift(sp);
166 %para calcular SNR
167 sps = supp.*ifft2(sp).*exp(-i*2*pi*(uo*xe+vo*xe’));
168
169 %rotacion del factor de fase a causa de la
170 %fase acoplada(compensacion). Caso en que la curva
171 %de fase es un polinomio y en aprox. infinita
172
173 su2 = exp(j*EnvPhase).*(1 + j*Env.*EnvPPhase/2)/4;
174 omegaN = abs(c);
175 thetaN = angle(su2);
176 thetaP = sum(sum(omegaN.*thetaN))/sum(sum(omegaN));
177 sps1 = sps.*exp(-j*thetaP);
178 sps = sps1;
86 Programas de MATLAB
179 end
180
181 Efi = 16*max(max(sps.*conj(sps)))
182 Ir = sum(sum(suppred.*c.*conj(c)));
183 Is = sum(sum(suppred.*sps.*conj(sps)));
184 alf = sqrt(Ir/Is);
185 dife = suppred.*(c-alf*sps); dife = dife.*conj(dife);
186 SNR = Ir/sum(sum(dife))
187
188 flan = input(’da 1 si quieres desplegar senal 0 si no’);
189 if flan == 1
190 %Para que funcione alta resolucion con vo = 0
191 sp = fftshift(sp);
192 sp(2048,2048) = 0;
193 sp = ifft2(sp);
194 imagesc(abs(64*sp)) %Corrige efecto de zero padding
195 colorbar
196 end
197
198 flan = input(’da 1 si quieres espectro de senal 0 si no’);
199
200 if flan == 1
201 %Envolvente de alta resolucion
202 dup = 1/(2048*pix);
203 q = -1024:1023;
204 uep = q’*dup;
205 Envp = repmat(uep,1,2048);
206 Envp = pixa*pixb*(sinc(pixa*Envp)).*sinc(pixb*Envp’);
207 CGH(2048,2048) = 0;
208 sp = Envp.*fftshift(fft2(CGH));
209 figure
210 imagesc(abs(sp(1100:2048,1100:2048)))
211 colorbar
212 end
213 end
214 end
B.3 Programa que genera y sintetiza hologramas que codifican haces . . . 87
B.3 Programa que genera y sintetiza hologramas que
codifican haces de Laguerre-Gauss
1 %Este programa genera y analiza hologrmas que codifican funciones
2 %Laguerre-gauss considera la fase acoplada y ademas hace la
3 %correcion de la influencia de la fase acoplada sobre
4 %la fase de la senal. La fase acoplada es experimental
5 clear
6 close all
7 disp(’N es tamano de matriz’)
8 disp(’np n de pix que cubren a la funcion’)
9 disp(’l,p es el modo del haz Laguerre-gaussiano’)
10 disp(’fDu = fraccion uo/Du’);
11 disp(’uo frec de portadora, Du = 1/pix: SLM bandwidth’)
12 disp(’filt: DDu/ro: DDu anch de banda de filtro parabolico para’)
13 disp(’...generacion de Bias (envolvente), ro frec. esp. de senial’)
14 disp(’filt recommended <1/2, 1/3, 1/4,..’)
15 disp(’Opciones de rango de N: 200, 456’)
16 disp(’Opciones de CGH:’)
17 disp(’ 1:CGH1,’)
18 disp(’ 2:CGH2(Env = abs(senal)),’)
19 disp(’ 3:CGH3(Env = 1)’)
20 disp(’nsup: radius of spectral support/ro (for simulation)’)
21
22 %informacion de fase y amplitud de la LCD experimentales
23 articulo3faselineal; %(curva de fase sigue lineal )
24 T = a;
25 g = 0:255;
26 P = faseHR;
27 pix = 33; pixa = 24; pixb = 28; %alto y ancho del pixel
28 Du = 1/pix; %Ancho de banda del SLM
29 while 1 == 1
30 datos = input(’dar [N np l p fDu filt nsup]: ’);
31 N = datos(1); np = datos(2); l = datos(3); p = datos(4);
32 M = N+56;
33 fDu = datos(5); filt = datos(6); nsup = datos(7);
34 ro = 1/(2*np*pix); %Frecuencia espacial radial
35 rsup = nsup*ro;
36 du = Du/M; %resolucion en el espcetro
37 no = floor(ro/du); %num. de puntos muestra para ro
38 uo = fDu*Du; vo = uo; %SIEMPRE DEJARLA
88 Programas de MATLAB
39 nc = round(uo/du); %centro de la banda de la senal
40 while nc+nsup*no> = (M/2-1)
41 dis(’aumenta np or reduce fDu or reduce nsup’)
42 datos = input(’dar [N np l p fDu filt nsup]: ’);
43 N = datos(1); np = datos(2); nj = datos(3); nv = datos(4);
44 fDu = datos(5); filt = datos(6); nsup = datos(7);
45 du = Du/M;
46 no = floor(ro/du);
47 uo = fDu*Du; vo = uo;
48 nc = round(uo/du);
49 end
50
51 rM = (M/2-1)*pix; %Radio del soporte
52 n = -M/2:M/2-1; %Indices del pixel para el filtro complejo
53 x = (n’+.5)*pix; y = (n+.5)*pix;
54 xe = repmat(x,1,M);
55 r = sqrt(xe.*xe+xe’.*xe’);
56 supp = r<(rM-28*pix); %Soporte de la senal
57 suppex = r<rM; %Para calcular la envolvente de am
58 suppred = r<(rM-28*pix-np*pix);
59
60 %Filtro pasa-bajas para la envolvente de la senal(para CGH2)
61 non = floor(1.8*no);
62 q = -non:non;
63 ue = q’*du;
64 ue = repmat(ue,1,2*non+1);
65 re = sqrt(ue.*ue+ue’.*ue’);
66 low = (re<non*du).*exp(-(re.*re)/(filt*filt*ro*ro));
67
68 %Localizacion del filtro alrededor de frecuencia cero
69 filte = zeros(M);
70 mc = M/2+1;
71
72 filte(mc-non:mc+non,mc-non:mc+non) = low;
73
74 %soporte para filtro espacial circular centrado en (uo,vo))
75 m = -M/2:M/2-1;
76 ue = m’*du;
77 ue = repmat(ue,1,M);
78 supps = ((ue-uo).*(ue-uo)+(ue’-vo).*(ue’-vo))<(rsup*rsup);
79 suppex = r<rM;
80 suppred = r<(rM-28*pix-np*pix);
B.3 Programa que genera y sintetiza hologramas que codifican haces . . . 89
81
82 %Envolvente de espectro (centrado en (0,0))
83 Envs = pixa*pixb*Du*Du*(sinc(pixa*ue)).*sinc(pixb*ue’);
84
85 c = GenLaguerre(ro,l,p,supp,xe);
86 cex = GenLaguerre(ro,l,p,suppex,xe);
87
88 %precompensacion de c(x,y), para envolvente de espectro
89 comp = input(’da 1 para compensar envolvente (0 si no)’);
90 if comp == 1
91 cm = c.*exp(i*2*pi*(uo*xe+vo*xe’));
92 scm = (fftshift(fft2(cm)))./Envs;
93 cm = (ifft2(fftshift(scm))).*exp(-i*2*pi*(uo*xe+vo*xe’));
94 cm = cm.*supp;
95 cm = cm/max(max(abs(cm)));
96
97 cmex = cex.*exp(i*2*pi*(uo*xe+vo*xe’));
98 scm = (fftshift(fft2(cmex)))./Envs;
99 cmex = (ifft2(fftshift(scm))).*exp(-i*2*pi*(uo*xe+vo*xe’));
100 cmex = cmex.*suppex;
101 cmex = cmex/max(max(abs(cmex)));
102
103 cm = cmex.*supp;
104 else
105 cm = c;
106 cmex = cex;
107 end
108
109 opt = input(’opcion: 1 (CGH1), 2 (CGH2), 3(CGH3): ’);
110 if opt == 1
111 %opcion1
112 [CGH Env] = cghinterf(cm,supp,xe,uo,vo);
113 else
114 if opt == 2
115 %opcion2
116 [CGH Env] = cghinterfNN(cm,cmex,suppex,supp,...
117 xe,uo,vo,filte);
118 else
119 %opcion3
120 [CGH Env] = cghinterfNNN(cm,cmex,suppex,supp,...
121 xe,uo,vo,filte);
122 end
90 Programas de MATLAB
123 end
124
125 %Asignacion de niveles de gris
126 Bo = min(a); Co = 1-Bo;
127 CGH = Bo+Co*CGH;
128 for n = 1:size(CGH,1)
129 n;
130 for m = 1:size(CGH,2)
131 ah = CGH(n,m);
132 dif = abs(a-ah);
133 ind = find(dif == min(dif));
134 ind = ind(1);
135 gh(n,m) = ind-1;
136 end
137 end
138
139 CGHPhase = fase(gh+1);
140
141 %Saca la fase y la derivada de la fase acoplada a Env
142 [EnvPhase,EnvPPhase] = PhaseAsig(Env/2,T(1:18),fase(1:18),g(1:18));
143
144 %Asignacion de fase a cada nivel de gris de la funcion CGH
145 Pasig = CGHPhase;
146 Pnew = exp(i*CGHPhase);
147 senaldeg = CGH.*Pnew;
148 H = fft2(Pasig,2048,2048);
149 He = fftshift(H);
150
151 fla = input(’da 1 si quieres generar BMP, 0 si no’);
152 %Genera cgh para SLM (entrada a = modulacion de amplitud)
153 if fla == 1
154 fondo = zeros(600,800);
155 if M == 256
156 fondo(214:469,249:504) = gh;
157 else
158 fondo(86:597,121:632) = gh; %512 x 512
159 end
160 name = input(’nombre de cgh BMP (ext bmp): ’); %Guarda bmp
161 imwrite(fondo,gray(256),name,’bmp’)
162 end
163
164 fla = input(’da 1 si quieres simulacion 0 si no’);
B.3 Programa que genera y sintetiza hologramas que codifican haces . . . 91
165 if fla == 1
166
167 disp(’da: 1 si quieres sin fase acoplada’)
168 disp(’ 2 con fase acoplada’)
169 flan = input(’Opcion - ’);
170
171 %Reconstruction of slm cgh
172 if flan == 1
173 sp = supps.*Envs.*fftshift(fft2(CGH));
174 sp = fftshift(sp);
175 sps = supp.*ifft2(sp).*exp(-i*2*pi*(uo*xe+vo*xe’));
176 else
177 sp = supps.*Envs.*fftshift(fft2(senaldeg));
178 sp = fftshift(sp);
179 %para calcular SNR
180 sps = supp.*ifft2(sp).*exp(-i*2*pi*(uo*xe+vo*xe’));
181
182 %rotacion del factor de fase a causa de
183 %la fase acoplada(compensacion). Caso en que
184 %la curva de fase es un polinomio y en aprox. infinita
185
186 su2 = exp(j*EnvPhase).*(1 + j*Env.*EnvPPhase/2)/4;
187 omegaN = abs(c);
188 thetaN = angle(su2);
189 thetaP = sum(sum(omegaN.*thetaN))/sum(sum(omegaN));
190 sps1 = sps.*exp(-j*thetaP);
191 sps = sps1;
192 end
193
194 Efi = 16*max(max(sps.*conj(sps)))
195 Ir = sum(sum(suppred.*c.*conj(c)));
196 Is = sum(sum(suppred.*sps.*conj(sps)));
197 alf = sqrt(Ir/Is);
198 dife = suppred.*(c-alf*sps); dife = dife.*conj(dife);
199 SNR = Ir/sum(sum(dife))
200
201 flan = input(’da 1 si quieres desplegar senal 0 si no’);
202 if flan == 1
203 %Para que funcione alta resolucion con vo = 0
204 sp = fftshift(sp);
205 sp(2048,2048) = 0;
206 sp = ifft2(sp);
92 Programas de MATLAB
207 figure
208 imagesc(abs(64*sp)) %Corrige efecto de zero padding
209 colorbar
210 end
211
212 flan = input(’da 1 si quieres espectro de senal 0 si no’);
213
214 if flan == 1
215 %Envolvente de alta resolucion
216 dup = 1/(2048*pix);
217 q = -1024:1023;
218 uep = q’*dup;
219 Envp = repmat(uep,1,2048);
220 Envp = pixa*pixb*(sinc(pixa*Envp)).*sinc(pixb*Envp’);
221 CGH(2048,2048) = 0;
222 sp = Envp.*fftshift(fft2(CGH));
223 figure
224 imagesc(abs(sp(1100:2048,1100:2048)))
225 colorbar
226 end
227 end
228 end
Lista de Figuras
2.1 Apertura de ancho Wnm y altura hnm dentro de una celda Lohmann. . 9
2.2 Metodo de Lee, subceldas que contribuyen a una diferencia de fase
de 0◦, 90◦, 180◦, y 270◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Esquema de la orientacion de las moleculas en los diferentes tipos de
cristal lıquido, (a) nematico, (b) colesterico y (c) esmectico. . . . . . 15
3.2 Celda de cristal tipo nematico torcido configurada en modo de am-
plitud. (a) cuando no hay campo electrico aplicado la celda de cristal
lıquido rota la polarizacion, es decir, la luz es transmitida. (b) apli-
cacion de campo electrico maximo, la luz es bloqueada. . . . . . . . . 16
3.3 (a) Cristal uniaxial con eje rapido paralelo al eje x, (b) cristal uniaxial
con eje rapido a un angulo θ del eje x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Celda de cristal lıquido nematico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Configuracion de una celda de cristal lıquido como modulador de luz
en su modo de amplitud, la salida corresponde al vector de Jones J3. 21
3.6 Relacion entre la inclinacion del semieje mayor de la elipse de polar-
izacion α y el parametro β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7 Curvas de a) amplitud y b) fase para la TN-LCD configurada en su
modo de amplitud para el caso θ1 = 90◦ y θ2 = 0◦ (simulacion
numerica). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.8 Modulacion de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
94 Lista de Figuras
4.1 Estructura pixelizada del SLM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Corte transversal de una senal arbitraria. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1 (a) Modulo y (b) Fase del haz Bessel de primer orden con ρ0 = ∆u/20. 45
5.2 (a) Modulo y (b) Fase del haz Bessel de segundo orden con ρ0 = ∆u/20. 45
5.3 Corte transversal de las funciones de fondo propuestas para un haz
Bessel de orden a) uno b) dos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 Transmitancia del CGH de amplitud (a) tipo 1, (b) tipo 2, y (c) tipo
3, que codifican un haz Bessel de orden uno con ρ0 = ∆u/20. . . . . 46
5.5 Transmitancia del CGH de amplitud (a) tipo 1, (b) tipo 2, y (c) tipo
3, que codifican un haz Bessel de orden dos con ρ0 = ∆u/20. . . . . 46
5.6 Espectro de la senal para los CGHs de amplitud tipo (a) 1, (b) 2, y
(c) 3, que codifican a un haz Bessel de orden uno. . . . . . . . . . . . 47
5.7 Espectro de la senal para los CGHs de amplitud tipo (a) 1, (b) 2, y
(c) 3, que codifican a un haz Bessel de orden dos. . . . . . . . . . . . 47
5.8 Modulo de la senal reconstruida de los CGHs tipo (a) 1, (b) 2, y (c)
3, para un haz Bessel de orden uno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.9 Modulo de la senal reconstruida de los CGHs tipo (a) 1, (b) 2, y (c)
3, para un haz Bessel de orden dos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.10 Graficas de la SNR para los diferentes tipos de CGHs que codifican
(a) un haz Bessel de orden uno y (b) un haz Bessel de orden dos,
ambos con ρ0 = ∆u/20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.11 Modulo del espectro de la senal para un CGH no compensado que
codifica un haz Bessel de orden uno con ρ0 = ∆u/20 y frecuencias
de la portadora (a) u0 = v0 = ∆u/7, (b) u0 = v0 = ∆u/5, y (c)
u0 = v0 = ∆u/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.12 Modulo del espectro de la senal para un CGH no compensado que
codifica un haz Bessel de orden dos con ρ0 = ∆u/20 y frecuencias
de la portadora (a) u0 = v0 = ∆u/7, (b) u0 = v0 = ∆u/5, y (c)
u0 = v0 = ∆u/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.13 Modulo del espectro de la senal para un CGH compensado que cod-
ifica un haz Bessel de orden uno con ρ0 = ∆u/20 y frecuencias
de la portadora (a) u0 = v0 = ∆u/7, (b) u0 = v0 = ∆u/5, y (c)
u0 = v0 = ∆u/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Lista de Figuras 95
5.14 Modulo del espectro de la senal para un CGH compensado que cod-
ifica un haz Bessel de orden dos con ρ0 = ∆u/20 y frecuencias
de la portadora (a) u0 = v0 = ∆u/7, (b) u0 = v0 = ∆u/5, y (c)
u0 = v0 = ∆u/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.15 SNR versus u0 para CGHs tipo 2, (a) no compensados y (b) compen-
sados que codifican haces Bessel de orden superior. . . . . . . . . . . 52
5.16 Modulo de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin
fase acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Bessel de
orden uno con ρ0 = ∆u/20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.17 Fase de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin
fase acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Bessel de
orden uno con ρ0 = ∆u/20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.18 Modulo de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin
fase acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Bessel de
orden dos con ρ0 = ∆u/20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.19 Fase de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin
fase acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Bessel de
orden dos con ρ0 = ∆u/20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.20 SNR versus u0 para CGHs tipo 3, compensados (a) sin y (b) con
modulacion de fase acoplada que codifican haces Bessel de orden
superior con ρ0 = ∆u/20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.21 SNR versus u0 para CGHs con modulacion de fase acoplada, com-
pensados, tipo (a) uno y (b) dos, que codifican haces Bessel de orden
superior con ρ0 = ∆u/20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.22 Eficiencia normalizada versus u0 para CGHs tipo 2, (a) no compensa-
dos y (b) compensados, que codifican haces Bessel de varios ordenes
con ρ0 = ∆u/20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.23 Eficiencia normalizada versus u0 para CGHs tipo 3 con fase acoplada,
(a) no compensados y (b) compensados, que codifican haces Bessel
de varios ordenes con ρ0 = ∆u/20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.24 (a) Modulo y, (b) Fase del haz Laguerre-Gauss de orden (0,5). . . . . 58
5.25 (a) Modulo y, (b) Fase del haz Laguerre-Gauss de orden (2,2). . . . . 58
96 Lista de Figuras
5.26 Modulo del espectro de la senal para los CGHs de amplitud tipo 2
compensados que codifican un haz Laguerre-Gauss de ordenes (a)
(0,5) y (b) (2,2) con u0 = v0 = ∆u/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.27 (a) Modulo y (b) fase de la senal reconstruida del CGH tipo 2 com-
pensado, que codifica un haz Laguerre de orden (0,5). . . . . . . . . . 60
5.28 (a) Modulo y (b) fase de la senal reconstruida del CGH tipo 2 com-
pensado, que codifica un haz Laguerre-Gauss de orden (2,2). . . . . . 60
5.29 Analisis de (a) la SNR y (b) la eficiencia para los CGHs tipo 2 com-
pensados, que codifica diferentes haces Laguerre-Gauss con modo p
y l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.30 Modulo de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin
fase acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Laguerre-
Gauss de orden (0,5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.31 Fase de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin fase
acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Laguerre-Gauss
de orden (0,5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.32 Modulo de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin
fase acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Laguerre-
Gauss de orden (2,2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.33 Fase de la senal reconstruida del CGH tipo 3 compensado, (a) sin fase
acoplada, (b) con fase acoplada, codificando un haz Laguerre-Gauss
de orden (2,2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.34 SNR versus u0 para CGHs tipo 3, compensados (a) sin y (b) con mod-
ulacion de fase acoplada que codifican diferentes haces de Laguerre-
Gauss de orden l y p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1 Montaje experimental para la caracterizacion de la transmitancia del
TN-LC-SLM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Curva de modulacion de amplitud normalizada versus g, obtenida
experimentalmente para configuracion de polarizadores: θ1 = 90◦,
θ2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Curva de modulacion de fase acoplada versus g, obtenida experimen-
talmente para configuracion en los polarizadores: θ1 = 90◦, θ2 = 0. . . 68
Lista de Figuras 97
6.4 Curva de modulacion de fase acoplada versus amplitud, obtenida ex-
perimentalmente para configuracion en los polarizadores: θ1 = 90◦,
θ2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.5 Montaje experimental para la sıntesis de los campos complejos codi-
ficados en CGHs de amplitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.6 Haces Bessel de ordenes (a) w = 1, (b) w = 2, (c) w = 3, (d)
w = 4, obtenidos experimentalmente de los CGHs de amplitud tipo
3 compensados, empleando una portadora con frecuencias u0 = v0 =
∆u/4. La frecuencia espacial del haz en cada caso es de ρ0 = ∆u/20. 70
6.7 Interferogramas obtenidos experimentalmente al interferir la onda plana
en eje proveniente del microagujero y cada haz Bessel de orden (a)
w = 1, (b) w = 2, (c) w = 3, (d) w = 4, con frecuencia espacial
ρ0 = ∆u/20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.8 Haz Bessel de orden w = 1, con frecuencias espaciales (a) ρ0 =
∆u/12, (b) ρ0 = ∆u/16, y (c) ρ0 = ∆u/24. . . . . . . . . . . . . . . 72
98 Lista de Figuras
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