Impulso y Momentum

7/23/2019 Impulso y Momentum

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XIV. IMPULSO Y MOMNTUM

En este captulo abordaremos una nueva forma de resolver algunos

problemas cinticos de la partcula. En especial, aquellos en que las fuerzasque se aplican sobre ella son funcin del tiempo. Pero la importancia deeste estudio se encuentra sobre todo en los problemas de conservacin delmomntum.

Tendremos que introducir varios nuevos conceptos, como el de impul-so lineal, impulso angular, momntum lineal (o cantidad de movimientolineal) y momntum angular (o cantidad de movimiento angular).

Impulso y cantidad de movimiento lineales

Como primera aproximacin a este mtodo, pensemos en el caso de uncarro de ferrocarril que se abandona sin frenos sobre una va recta, ligera-mente inclinada. El carro comenzar a deslizarse cuesta abajo, e ir aumen-tando poco a poco su rapidez conforme el tiempo pase. El carro recibe unimpulso, que resulta de multiplicar el peso por el tiempo en que acte, ysufre un aumento de su cantidad de movimiento, que es el producto de sumasa por la velocidad que adquiera. Tanto el impulso como la cantidad demovimiento son cantidades vectoriales.


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Podemos escribir la segunda ley de Newton de la siguiente manera: = = = =

=

El primer miembro la ltima expresin es el impulso, mientras que elsegundo es el incremento de la cantidad de movimiento.

Podemos definir el impulso como el producto de todas las fuerzas queactan sobre un cuerpo por el tiempo durante el cual lo mueven . Importanotar que si una fuerza no mueve al cuerpo, no produce ningn impulso.

Ya dijimos, cuando enunciamos la segunda ley de Newton, que porcantidad de movimiento se entiende el producto de la masa del cuerpo porsu velocidad: .

Ejemplo. Un carro de ferrocarril de400 ton de peso se abandona en reposo

sobre una va recta que tiene una pen-diente del medio por ciento. Despre-ciando toda resistencia al movimientodel carro, diga cul ser su rapidez cincosegundos despus.

= Como

es constante:

=


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Proyectando sobre el eje de las equis = 0400 0.5100 5 = 4009.81 = 9.810.55100 =0.245 m/sEjemplo.Un cuerpo de 20 kg coloca-

do sobre una superficie horizontalrugosa se somete a la accin de una

fuerza horizontal que vara conforme lagrfica de la figura. Los coeficientes defriccin esttica y cintica entre elcuerpo y la superficie son 0.4 y 0.3,respectivamente. Determine: a)En qutiempo comienza el cuerpo a moverse.b)Cul ser su velocidad cuando t = 5 s.c)La mxima velocidad que alcanzarel cuerpo.

La pendiente de la recta de la primera parte de la grfica es 20/5, de

modo que la fuerzaF se puede expresar comoF= 4t.Para investigar en qu tiempo comienza el movimiento, dibujaremosun diagrama de cuerpo libre del cuerpo cuando est a punto de moverse; esdecir, que la fuerza de friccin sea la esttica mxima.

= 04 8 = 0 = 2 s

= 0.4= 0.3


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Ahora el diagrama de cuerpo libre representa un instante cualquieraentre 2 y 5 s. La fuerza de friccin es ahora la cintica. Y emplearemos lafrmula del impulso y el incremento de la cantidad de movimiento.

= Como el movimiento tienedireccin del eje de las equis:

= 0

4 6 = 209.81 2 6 = 209.81 2 0 + 4 = 209.81 = 249.8120

= 11.77 m/s

A partir de t = 5 s la fuerza puede expresarse como F = 20 5t(volviendo a darle a tvalor de 0, para facilitar las operaciones), e investiga-mos en qu instante alcanza la velocidad mxima, sabiendo que la veloci-dad seguir aumentando hasta que el sistema de fuerzas est en equilibrio:

= 02 0 5 6 = 05 = 1 4 = 2 . 8y la velocidad en ese instante ser

. = 11.77


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142.5 = 209.81 11.7719.6= 209.81 11.7719.69.8120 = 11.77 = 21.4 m/sEjemplo. Una fuerza, cuya magnitud

vara conforme se muestra en la grficade la figura, jala hacia arriba un cuerpode 64.4 lb de peso, que reposa en unasuperficie rugosa inclinada 15. Sabien-do que el coeficiente de friccin cinticaentre el cuerpo y la superficie es 0.2, de-termine la velocidad de cuerpo cuando t= 8 s.

Dibujamos un diagrama de cuerpo libre para cualquier instante delmovimiento del cuerpo, teniendo en cuenta que el movimiento comienzadesde que t = 0 y que salvo F, las dems fuerzas son constantes. Investiga-mos la magnitud de todas las fuerzas en la direccin del movimiento.

= 064.4cos 1 5 = 0=75.74 =0.264.415 = 3 1 . 8Puesto que la integral de la suma de fuerzas en direccin del

movimiento, que es el impulso que recibe el cuerpo, se puede representarcomo el rea contenida bajo la funcin, dibujamos una grfica de la sumade fuerzas en direccin del eje de las equis.

= 0.2


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= = 28.22 +68.22+42.22 31.82 = 228.2 + 68.2 + 42.2 31.8 = 216Como el impulso es igual al incremento de la cantidad de movimiento,

escribimos

216= 216= 64.432.2 2 1 6 = 2 = 108.3 ft/s 15

Conservacin del momntum lineal

En el problema anterior, el movimiento del cuerpo estaba causado poruna fuerza, que representamos mediante un vector. Sin embargo, no hemosde perder de vista que las fuerzas son producidas por cuerpos. Y si uno reci-be cierta accin de otro, este ltimo sufre la misma accin, pero en sentidocontrario. As, cuando solamente dos cuerpo interactan entre s, el impulsoocasionado por uno, es igual al producido por el otro, pero con signo con-trario.

Pensemos en un sistema aislado de dos cuerpos; por ejemplo una naveespacial que arroja uno de sus mdulos: el impulso que el cohete causa almdulo es igual al que el mdulo produce sobre el cohete. Podemos es-cribir, por tanto


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= = + = + = + Lo que significa que la cantidad de movimiento antes de una accin

mutua, se conserva despus de ella. A tal expresin la podemos llamar

frmula de la conservacin de la cantidad de movimiento lineal.

Ejemplo. Un carro de ferrocarrilAde240 ton se nueve a 5 km/h sobre una vahorizontal recta, y alcanza, para aco-plarse con l, a otro carro,B, de 180 ton,que avanza a 2 km/h. Diga cul ser lavelocidad comn de los carros despusdel acoplamiento.

+ = +

Esta expresin, que es de ndole vectorial, podemos emplearla en estecaso escalarmente, ya que las velocidades tienen la misma direccin hori-zontal. Como todos los trminos tienen las mismas unidades, no es nece-sario realizar ninguna conversin.

+ = + = = 2405 + 2180 =240 +1801560=420 = 1560420 =3.71 km/s


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Ejemplo.Una bola de billarA, que semueve con una rapidez de 18 ft/s, golpeaotra, B, de igual masa, que se halla enreposo. Despus del golpe, la bola Aseha desviado 25 y su rapidez se hareducido a 12 ft/s. Diga con quvelocidad se mueve la bolaB.

Elegimos un sistema de referencia y la ecuacin vectorial

+ = +

la convertimos en dos ecuaciones escalares. Comenzaremos por las compo-nentes horizontales, pero como las masas son iguales, queda + = + 1 8 + 0 = 1 2 c o s25 + =1812cos25 =7.124

Para las componentes verticales tenemos

+ = +

0=1225+ =5.071Componiendo la velocidad resulta = 7.124 +5.071= 5.0717.124 = 8.75 ft/s 35


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Ejemplo. Un pescador de 40 kg re-posa sobre su lancha de 120 kg. Si elpescador camina hacia la derecha hastaalcanzar una rapidez de 4 m/s, relativa ala lancha, qu velocidad tendr la lan-cha?

La expresin escalar de la conservacin del momntum, considerandopositivas las velocidades hacia la derecha, son suficientes para resolver elproblema. SeaAel pescador,B, la lancha

+ = +

0 = 4 0 +120Sabemos que = 4 + Por lo tanto 0 = 4 0 4 + +1200 = 1 6 0 + 4 0 +120160 =160 = 1El signo negativo significa que la lancha se mover hacia la izquierda

= 1 m /s Ejemplo. Un carro de mina A se

mueve a 16 ft/s cuando golpea a otro,B,que reposa sobre la misma va hori-zontal recta. Los dos carros tienen igualmasa. Si se sabe que, a causa del im-pacto, se pierde el 37.5 % de la energacintica, cul ser la rapidez de cadacarro despus del choque?

Plantearemos la ecuacin de la conservacin de la cantidad de movi-miento dividiendo entra la masa


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+ = + 1 6 + 0 = + = 1 6 1Ahora emplearemos el dato de la perdida de energa cintica12 + 12 10.375= 12 + 12 + 0.625= + 2

de (1) y (2)

2 5 6 + 00.625=25632 + 2

160=25632 + 2 16 + 4 8 = 0Factorizando 12 4 = 0Por lo tanto = 4 = 12Al tratar de elegir la velocidad final del carro B, observamos que las

dos races obtenidas son, una del carroA, otra delB, pues sumadas dan 16.

Necesariamente la velocidad menor corresponde al carro A, la mayoralB. =4 ft/s =16 ft/s Impacto

En lo problemas de conservacin del momntum que preceden al delos carros de mina, se ha supuesto que la energa cintica del sistema seconserva, lo cual difcilmente sucede, pues los golpes suelen disipar ener-ga mecnica, transformndola en deformaciones permanente, ruido, etc.Sin embargo, tampoco es prctica la determinacin de la prdida de ener-ga. Es ms usual resolver este tipo de problemas mediante una medida de


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la elasticidad de los materiales involucrados que se llama coeficiente derestitucin. Dicho coeficiente se establece de acuerdo con las velocidadesrelativas de los cuerpos entre s antes y despus del impacto.

Retomaremos el problema de los carros de mina, suponiendo que no sepierde nada de la energa cintica original.

Ejemplo. Un carro de mina A semueve a 16 ft/s cuando golpea a otro,B,que reposa sobre la misma va hori-zontal recta. Los dos carros tienen igualmasa. Si se sabe que, a pesar del impac-

to, se conserva toda la energa cinticaoriginal, cul ser la rapidez de cadacarro despus del choque?

La ecuacin de la conservacin del momentum queda igual que en elcaso anterior: = 1 6 1

Y la ecuacin de la conservacin de la energa cintica queda comosigue:

12 + 12 = 12 + 12

= + 2 5 6 = + 1de (1) y (2) 256=25632 + 2 2 32 = 0 16 = 0 = 0 1 6 = 0 = 16

= 0 =16 ft/s


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Como en el caso anterior, una de las races es la velocidad final de A,la otra, la deB. El carroAse quedar quieto, mientras que el Badquiriruna rapidez de 16ft/s. Esto ocurre cuando el impacto es perfectamenteelstico.

Hemos de observar que en el caso del choque perfectamente elstico lavelocidad relativa de A respecto a B antes del impacto es igual a la ve-locidad relativa deBrespecto aAdespus del impacto. Simblicamente:/ = / =

En cambio, en el caso en que hubo prdida de energa cintica, lavelocidad relativa de los cuerpos despus de impacto es menor que antes;

o sea que se necesita multiplicar la velocidad relativa inicial por un factor:dicho factor es el coeficiente de restitucin:1 6 0 = 1 2 4 = 816 =0.5Generalizando:

= = Cuando, despus de un impacto, los dos cuerpos adquieren la misma

velocidad su velocidad relativa es nula el coeficiente es cero, y elchoque es perfectamente plstico.

El coeficiente de restitucines, pues, un nmero adimensional entrecero y uno.

Ejemplo. Un automvilAviaja haciael Este a 80 km/h mientras un automvilBse dirige hacia el Noreste a 100 km/h.Las masas de los vehculos son, respec-tivamente, 1.2 y 2.5 ton y sufren unacolisin. Si el coeficiente de restitucin

entre los materiales es 0.75, cul ser lavelocidad de cada uno de los vehculosdespus del impacto?


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Despus de elegir un sistema de referencia, plantearemos las cuatroecuaciones que se generan: dos de la conservacin de la cantidad de mo-vimiento, y dos empleando el coeficiente de restitucin. Comenzaremospor las correspondientes a las componentes horizontales. + = +

1.280+2.510022 =1.2 +2.5272.8=1.2 +2.5 1 =

8010022 0.75=

6.967= 2Multiplicando esta ecuacin por 1.2 y sumndola a (1)281.2=3.7 = 76De (2) =69.03Repetimos el procedimiento con las componentes verticales

+ = +

0+2.5100 22 =1.2 +2.5176.72=1.2 +2.5 3( ) = 10022 0.75= 53.03= 4

Multiplicando esta ecuacin por 1.2 y sumndola a (3)

240.4=3.7 =64.97


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De (4) =11.94Componiendo la velocidad resulta = 69.03 +11.94= 11.9469.03 = 70.1 km/h 9.8

= 76 +64.97

= 64.9776 = 100 km/h 40.5

Ejemplo.Un nio deja caer una pe-lota desde una altura de 30 ft y la pelotarebota slo 28 ft. Cul es el coeficientede restitucin entre la pelota y el suelo?

Comenzaremos calculando la rapidez con la que la pelota llega alsuelo: = 2 = 232.230=43.95

Ahora determinamos la velocidad con que se despega del suelo,sabiendo que alcanza una altura de 28 ft:

= 232.228=42.46


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Puesto que el cuerpo con el que choca la pelota es la Tierra, cuyavelocidad es nula tanto antes del impacto como despus, la ecuacin delcoeficiente de restitucin queda como sigue: = = 42.4600 43.95=0.966

Hemos asignado un signo negativo a una de las velocidades porquetiene sentidos contrarios.

Impulso y cantidad de movimiento angulares

El tema de impulso y momntum angulares es ms propio del estudiode movimiento del cuerpo rgido. Sin embargo, la conservacin de lacantidad de movimiento lineal es muy til en el estudio de la partcula.Comenzaremos definiendo momntum o cantidad de movimiento angular.

Nos conviene comenzar estableciendo lasiguiente proporcin: una fuerza es almomntum lineal, lo que el momento de

una fuerza es al momentum angular.Llamaremos momntum angular de unapartcula respecto a un punto O alproducto del momntum lineal de unapartcula por la distancia de una rectaparalela al momntum, que pase por lapartcula, al punto O. Simblicamente: =


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Se puede decir, pues, que el momntumangular es el momento del momntumlineal. Y expresado en lenguaje vectorial,sera =

Por otro lado, el momento de la resultante de las fuerzas que actan

sobre la partcula respecto al mismo punto O, se puede calcular medianteel producto vectorial = = = e integrando obtenemos = = =

El primer miembro corresponde al impulso angular, y la frmulaobtenida significa que el impulso angular es igual al incremento de lacantidad de movimiento angular.

Conservacin del momntum angular

En sistemas cerrados, en los que os cuerpos solamente se ejercenconserva tambin a cantidad de movimiento angular, Y podemos escribir + = +

Cuando se trata del movimiento de una sola partcula, entonces =


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Ejemplo. Un aerolito se mueve alre-dedor de la Tierra describiendo una tra-yectoria elptica, cuyos ejes mayor y me-nor son de 20 000 y 18 000 km. El perigeoA se halla a 400 km de la superficie de laTierra, como se muestra en la figura, y lavelocidad del aerolito al pasar por l es de48 000 km/h. Calcule la rapidez del aerolitoal pasar por el apogeoBy por el punto C.Considere de 6370 km el radio de la Tierra.

En cualquier instante, el aerolito est sujeto exclusivamente a la fuerzade atraccin que la Tierra ejerce sobre l (se trata de un movimiento defuerza central), de modo que la cantidad de movimiento angular respectoal centro de la Tierra tiene que permanecer inalterado.

Podemos escribir, por tanto = = = = Las distancias del centro de la Tierra a las rectas paralelas a los

vectores velocidad en cada uno de los puntos de inters resultan muy

sencillas de calcular: 48000670013230 = 24600 km/h 4800067009000 = 36100 km/h

Los conceptos de impulso angular y cantidad de movimiento angularson ms tiles en el estudio del cuerpo rgido. Se puede esta-blecer unparalelismo entre fuerza e impulso lineal, y entre par de fuerzas e impulsoangular, como se ver en el ltimo captulo.


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Serie de ejercicios de DinmicaIMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

1. Qu cantidad de movimiento lineal posee un carro de ferrocarrilde 75 ton, que viaja a 54 km/h?

(Sol. 1125 tonm/s = 114 700 Ns)

2. Determine la rapidez lineal quealcanzar un cuerpo de 50 lb si, partiendo

del reposo, sobre l acta durante 10 s unafuerza de 40 lb que forma con la hori-zontal un ngulo de 30. El coeficiente defriccin entre el cuerpo y la superficiehorizontal es 0.2.

(Sol. 132.9 ft/s)

3. Una bola de billar, al ser golpeada por el taco, adquiere una rapidezde 16 m/s. Sabiendo que la bola es de 150 g y suponiendo que el golpetuvo una duracin de 1/400 s, calcule el impulso que recibi la bola y lamagnitud de la fuerza promedio que actu sobre ella.

(Sol. 0.245 kgs = 2.4 Ns;F = 97.9 kg = 960 N)4. Un camin y su remolque,

partiendo del reposo, tardan 50 s en al-canzar los 60 km/h. Despreciando la re-sistencia de las ruedas al rodamiento,determine la tensin en el acoplamiento yla fuerza de traccin ejercida por elpavimento sobre el camin. ste pesa 10ton; el remolque, 7.5.

(Sol. T= 255 kg = 2500 N;F = 595 kg = 5830 N)


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5. Un cuerpo de 20 lb se mueve sobreuna superficie lisa con una velocidad v1= 3 ft/s hacia la derecha. Si se le aplicauna fuerzaFde 4 lb cuya direccin formaun ngulo = t/10 (con en rad y tens), cul ser su rapidez cuando t= 15 s?Si antes de ese tiempo el cuerpo sedetuvo, diga cundo.

(Sol. v= 17.50 ft/s ; t= 10.47 s)

6. Un cuerpo de 100 lb que est

originalmente en reposo, se somete a laaccin de la fuerza Qcuya magnitud varasegn se muestra en la grfica. Consi-derando iguales y de 0.4 los coeficientesde friccin esttica y cintica entre elcuerpo y la superficie, determine la m-xima rapidez que alcanza el cuerpo y eltiempo durante el cual se mueve.

(Sol. vmx= 12.88 ft/s; t= 6 s)

7. El martillo de 500 kg de una

piloteadora se suelta desde el reposo, 1.5m arriba de un pilote de 300 kg par-cialmente hincado. Se observa que elmartillo no rebota al golpear el pilote.Determine la rapidez conjunta de loscuerpos inmediatamente despus del im-pacto.

(Sol. 3.39 m/s)

8. Dos mdulos de un cohete espacialviajan a diez mil millas por hora cuando

una explosin interna los separa. Despusde la explosin, el mdulo Bincrementasu velocidad a 10 500 mi/h; cul es la ra-


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pidez del mdulo A? Las masas de A yBen el instante de la separacinson 900 y 150 slugs respectivamente.(Sol. 9920 mi/h)

9. Una bola de billarA se mueve con una rapidez lineal de 70 cm/s ygolpea una bola igual,B, en reposo. Si, despus del impacto, Atiene unavelocidad de 40 cm/s en una direccin de 30 respecto a su trayectoriaoriginal, calcule la rapidez de la bolaB.

(Sol. 40.6 cm/s)

10. Cinco nios de 80 lb cada uno, corren juntos desde un extremo de

un carro plataforma que inicialmente est en reposo y sin frenos, hastaalcanzar una rapidez, relativa al carro, de 25 ft/s. Determine la rapidez queadquiere el carro, sabiendo que su peso es de 60 kips.

(Sol. 0.1656 ft/s)

11. Dos carros de mina, de igualmasa, se desplazan sobre una va rectahorizontal. El carroAtiene una rapidez de20 y elB, de 10 ft/s. Si el coeficiente derestitucin entre ellos es 0.6, diga culser la velocidad de cada uno despus del

impacto.(Sol. vA= 12 ft/s ; vB= 18 ft/s )

12. Al caer en el piso, la velocidad deuna pelota forma un ngulo de 30respecto a la vertical, pero rebota for-mando un ngulo de 45 respecto a esamisma lnea. Cul es el coeficiente derestitucin entre la pelota y el piso?

(Sol. e = 0.577)

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