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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE CS. FISICAS Y MATEMATICAS
LNB/MWC/ESF/JSA/esf.
INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIAEvaluación 1 - 520145 Pauta de Corrección
Problema 1: Determine el valor de verdad de cada proposición, justi�cando susa�rmaciones.p : 8x 2 R : x < 3! x2 <
1
9q : 9x 2 R : 2x2 � 3x+ 5 < 0r : t7 es el término independiente de x en el desarrollo del binomio
�x+
2
x2
�18.
Sol.- p es falsa porque 9 x = 2 tal que 2 < 3; pero x2 = 4 > 1
95 puntos
q es falsa porque el discriminante de la expresión cuadrática es 9 � 40 = �31 < 0por lo que 2x2 � 3x+ 5 > 0; 8x 2 R:O también: 2x2 � 3x + 5 = 2
�x2 � 3
2x+ 9
16+ 31
16
�= 2
��x� 3
4
�2+ 31
16
�> 0; 8x 2
R: 5 puntos
r es verdadera porque t7 =�186
�x18�6
�2
x2
�6=�186
�26 es término independiente de
x: 5 puntos(15 puntos)
Problema 2: Resuelva las siguientes inecuaciones en R:
a)x(x� 2)3� x < 2
Sol.-x(x� 2)3� x < 2() x(x� 2)
3� x � 2 < 0() x2 � 2x� 6 + 2x3� x < 0()
x2 � 63� x < 0()
�x�
p6� �x+
p6�
3� x < 0 6 puntos
S =��p6;p6�[ ]3;+1[ 4 puntos
b)
�����jx+ 2j � 1����� >jxj
Sol.- Si x � �2 :
�����jx+ 2j � 1����� >jxj () j�x� 2� 1j>jxj ()
jx+ 3j > jxj () (x+ 3)2 > x2 () (x+ 3)2 > x2 ()(x+ 3)2 � x2 > 0() 3 (2x+ 3) > 0() x > �3
2
S1 = ;Si x > �2 :�����jx+ 2j � 1
����� >jxj ()jx+ 2� 1j >jxj () jx+ 1j > jxj
() (x+ 1)2 > x2 () (x+ 1)2 � x2 > 0() 2x+ 1 > 0() x > �12
S2 =��12;+1
�Solución: S = S1 [ S2 =
��12;+1
�Por calcular jx+ 2j 3 puntosPor resolver las inecuaciones en ambos casos: 3 + 3 puntos.Solución �nal: 1 punto.
c)px+ 3�
p2� x � 1
Sol.- Restricciones: x > �3 ^ x 6 2; es decir, x 2 [�3; 2]3 puntosp
x+ 3�p2� x � 1()
px+ 3 6
p2� x+1() x+3 6 2�x+2
p2� x+1()
x 6p2� x 2 puntos
Si x 2 [�3; 0] la inecuación se cumple trivialmente. S1 = [�3; 0]2 puntos
Si x > 0; elevando al cuadrado: x2 6 2�x() x2+x�2 6 0() (x+ 2) (x� 1) 60() �2 6 x 6 1S2 = [0; 1] 2 puntosSolución: S = S1 [ S2 = [�3; 1] 1 punto
(30 puntos)
Problema 3: Usando Inducción Matemática, pruebe que la igualdad es válida paratodo n 2 N.
1 � 1! + 2 � 2! + 3 � 3! + ::::+ n � n! = (n+ 1)!� 1Con el resultado anterior, determine:
100Xk=55
(k � k!)
(15 puntos)Dem.- Veri�cación para 1: 1 punto.Plantear la Hip. de Inducción y la Tesis: 3 puntosDemostrar la Tesis: 5 puntosConclusión: 1 punto.
2
Por calcular la suma:P100k=55(k � k!) =
P100k=1(k � k!)�
P54k=1(k � k!) = 101!� 55!
5 puntos
3