¿Porqué necesitamos conocer el valor de la “incertidumbre”?

Al inicio de este seminario dimos la definición de “incertidumbre” del Vocabulario Internacional de Metrología como “parámetro asociado al resultado de una medición, que caracteriza a la dispersión de los valores que razonablemente pueden ser atribuidos a un mensurando”. En aras de la exactitud, emitir el valor de un mensurando sin indicar su incertidumbre es una declaración incompleta. Por ejemplo, podemos medir el diámetro de una moneda de un boliviano con un flexómetro y también con un “pie de rey”. Es posible que de ambas mediciones obtengamos el mismo valor de mensurando, sin embargo el segundo instrumento de medición ofrece menor incertidumbre, pero por pequeña que sea, no es nula.

Cuando deseamos mantener un proceso dentro de ciertos límites (de temperatura, de presión, o de otra magnitud) o un producto dentro de ciertas especificaciones, necesitamos conocer la incertidumbre de medición. Por ejemplo, supongamos que la especificación del diámetro de la moneda de un boliviano debe cumplir la siguiente especificación:

Diámetro de la moneda = 27,0 mm ± 0,1 mm

Ahora necesitamos un “diametrómetro” que nos permita conocer si estamos cumpliendo con la especificación. ¿Cuál de los siguientes sería el instrumento requerido”:

a) Un flexómetro b) Un “pie de rey” c) Un micrómetro Palmer

¿Por qué? Si la respuesta es porque el micrómetro ofrece menor incertidumbre, reconozcamos que hay otros sistemas de medición que ofrecen menor incertidumbre que la del micrómetro, por ejemplo aquella que utiliza interferometría óptica y que se usa para materializar a la unidad de longitud: el metro.

Al elegir debemos buscar un punto óptimo entre el compromiso “costo-beneficio”.

Nuestro interés en este seminario es introducirnos al cálculo de incertidumbres. El estudiar las diferentes opciones que se pueden tener para reducirlas, o sus costos, este contexto.

Introducción al cálculo de incertidumbres En la “Guía de Expresión de la Incertidumbre de la Medición”, publicada por el “Buró Internacional de Pesas y Medidas”, se reconocen sólo dos tipos de incertidumbres:

Tipo A, a aquellas que provienen de un análisis estadístico

Tipo B, a las otras. Incertidumbres tipo A: Regresemos al ejemplo de la medición del diámetro de una moneda de un boliviano. Supongamos que disponemos de un pie de rey para realizar la medición. Supongamos también que es una moneda nueva, tal que las irregularidades de su circunferencia no se pueden apreciar con el pie de rey.

Cuando utilizamos ese tipo de instrumentos existe una “variable de influencia”, que no es el mensurando pero que afecta al resultado, que es la presión que con el instrumento ejerce sobre la moneda, la persona que hace la medición.

Para reducir el efecto de la “variable de influencia” podemos pedir a 10 personas distintas que realicen la medición, con objeto de tener una muestra de mediciones, en lugar de una medición que seguramente está influenciada.

¿Cuál de todos los resultados estará más cercano al valor verdadero?

La incertidumbre de toda medición no nos permite conocer el valor verdadero.

E n t o n c e s d e b e m o s c a l c u l a r u n v a l o r p r o m e d i o d e n u e s t r a s m e d i c i o n e s , y d e c l a r a r l o c o m o e l r e s u l t a d o d e n u e s t r a m e d i c i ó n :

D o n d e n e s e l n ú m e r o d e m e d i c i o n e s r e a l i z a d a s ( 1 0 , u n a v e z p o r c a d a p e r s o n a ) .

A h o r a , p r e g u n t é m o n o s ¿ c u á l e s e l p a r á m e t r o q u e n o s p u e d e d a r u n a i n d i c a c i ó n d e l a d i s p e r s i ó n d e c a d a u n o d e l o s v a l o r e s c o n t e n i d o s e n l a m u e s t r a ? .

L a r e s p u e s t a e s l a d e s v i a c i ó n e s t á n d a r d e l a m u e s t r a , y a é s t a l a p o d e m o s c o n s i d e r a r c o m o p a r t e d e u n a n á l i s i s e s t a d í s t i c o :

ni

iix

nx

1

1

n

ii xx

ns

1

1

2)(1

1

Pero ¿es la desviación estándar la incertidumbre de la medición?. No, tan sólo es uno de los parámetros que contribuyen a la incertidumbre de la medición y su contribución se calcula de la desviación estándar del promedio:

n

suMED

A esta incertidumbre se le llama “incertidumbre por repetibilidad” porque proviene de un conjuntos de repeticiones de resultados. Si obtuviéramos un resultado diferente por realizar la medición con un grupo distinto de personas, como por ejemplo estudiantes de secundaria con experiencia mínima en el uso del pie de rey, tendríamos entonces “incertidumbre por reproducibilidad”.

Incertidumbres tipo B: Las incertidumbres tipo B, provienen de otras fuentes que no son análisis estadísticos, como por ejemplo la incertidumbre reportada en un certificado de calibración, o de la resolución de un instrumento, o de la experiencia que tenga una persona para realizar mediciones y de otras muchas fuentes más. De hecho, no es posible dar recetas de cocina para calcular incertidumbres, porque las condiciones de llevar a cabo las mediciones varía de un lugar a otro. Se pueden dar guías, o incluso recomendaciones, pero el cálculo de incertidumbres es como un análisis de conciencia, donde también se requiere mucha honestidad.

En nuestro ejemplo de la medición del diámetro de una moneda, podemos preguntarnos que incertidumbres tipo B, pudieran estar involucradas. Preguntémonos si estamos usando un instrumento calibrado. Si la respuesta es NO, no tenemos información de su incertidumbre, podemos recurrir a las especificaciones del fabricante del instrumento, pero cabe preguntar si el instrumento aún está dentro de especificaciones. Si el instrumento está calibrado, tenemos una fuente confiable para conocer el valor de su incertidumbre. Supongamos que el informe de la calibración indica que el instrumento presenta un error de 0,06 mm con una incertidumbre de ±0,04 mm, con un factor de cobertura igual a 2.

Ya comentamos que el error del instrumento debe restarse al resultado de cada una de nuestras mediciones. Nuestro interés se centra ahora en determinar la incertidumbre de la medición. El factor de cobertura igual a 2, fue requerido por el laboratorio de calibración para ofrecer un nivel de confianza de un 95% a los valores reportados de la calibración. Para combinar esta incertidumbre con las demás, primero debemos reducirla a un factor de cobertura igual a 1:

uCAL = 0,04 mm / k = 0,02 mm Otra componente de incertidumbre en nuestra medición es la resolución del instrumento. Supongamos que estamos usando un moderno pie de rey con indicador digital con resolución de 0,01 mm.

Si una de las mediciones del instrumento, espués de realizar la corrección del error de medición, fuera por ejemplo: 20,97 mm ¿es esta una medición exacta?. Quiero decir con incertidumbre nula. Recordemos que el instrumento realiza un redondeo para desplegar un valor en la pantalla:

Si el valor medido fuera 20,971 mm, en el indicador se desplegaría el valor de 29,97 mm;

Si fuera 20,965 mm, también se desplegaría el valor de 29,97 mm;

Y también si el valor medido fuera 29,974. Entonces existe toda una gama de posibilidades que pueden ser indicados como “20,97 mm”. Por ello existe una incertidumbre por la resolución del instrumento.

C o m o c a d a u n a d e l a s p o s i b i l i d a d e s t i e n e l a m i s m a p r o b a b i l i d a d d e s e r d e s p l e g a d a c o n e s e v a l o r , a l a i n c e r t i d u m b r e p o r r e s o l u c i ó n s e l e a s o c i a u n a d i s t r i b u c i ó n r e c t a n g u l a r , q u e p u e d e r e d u c i r s e a l v a l o r d e u n a i n c e r t i d u m b r e n o r m a l , c o n l a e c u a c i ó n s i g u i e n t e :

D o n d e a + y a – s o n l o s l í m i t e s d e l o s v a l o r e s q u e d e f i n e n a l v a l o r d e s p l e g a d o , e n e s t e c a s o : 2 0 , 9 6 5 m m y 2 0 , 9 7 4 9 9 9 9 9 9 9 . . . . m m . C o m o l a r e s o l u c i ó n d e l i n s t r u m e n t o e s 0 , 0 1 m m , s u i n c e r t i d u m b r e v a l e :

12

aa

u RES

mmmm

u RES 003,012

01,0

S i c o n s i d e r a m o s q u e o t r o s c o m p o n e n t e s d e i n c e r t i d u m b r e t i e n e n u n a c o n t r i b u c i ó n c a s i n u l a , c o m o p o r e j e m p l o l a d e b i d a a l a e x p a n s i ó n t é r m i c a q u e p u e d a a f e c t a r a l p i e d e r e y , e n t o n c e s p o d e m o s o b t e n e r l a i n c e r t i d u m b r e c o m b i n a d a , c o n l a e c u a c i ó n s i g u i e n t e :

222 )()()( RESCALMEDC uuuu L a i n c e r t i d u m b r e c o m b i n a d a t i e n e u n f a c t o r d e c o b e r t u r a i g u a l a 1 , p a r a u n n i v e l d e c o n f i a n z a d e u n 6 8 % . P a r a e x p a n d i r l a a u n n i v e l d e c o n f i a n z a d e u n 9 5 % , h a y q u e m u l t i p l i c a r l a p o r u n f a c t o r d e c o b e r t u r a q u e l l e v e a e s e n i v e l d e c o n f i a n z a :

U E = k · u C S i e l c á l c u l o d e l a i n c e r t i d u m b r e p o s e e u n n ú m e r o e l e v a d o d e g r a d o s e f e c t i v o s d e l i b e r t a d , s e p u e d e u s a r u n v a l o r d e k i g u a l a 2 .

Coeficientes de sensibilidad Muchas veces el valor de una incertidumbre está dado en unidades distintas a las de los otros componentes que se van a combinar. Por ejemplo, cuando medimos con un termómetro de radiación la temperatura de una superficie cuya emisividad tiene un valor de incertidumbre, necesitamos saber como afecta la incertidumbre de la temperatura medida. Para ello necesitamos un coeficiente de sensibilidad, que nos indique como varía la magnitud que medimos en función de otra:

t = S·x

Entonces el coeficiente de sensibilidad puede obtenerse de la derivada de una magnitud con respecto a la otra:

x

tS

Formalicemos el ejemplo de la medición con un termómetro de radiación. Para determinar el valor del coeficiente de sensibilidad vamos a requerir de la Ley de Radiación Total (Stefan-Boltzman) y usar las unidad de temperatura termodinámica: el kelvin. Supongamos que la temperatura medida es 400 K (126,85 °C) y que la emisividad de la superficie vale 0,5 con una incertidumbre de 0,05. Entonces:

T = 400 K = 0,5 ± 0,05

R e q u e r im o s d e l c o e f ic ie n t e d e s e n s ib i l id a d d a d o p o r la e c u a c ió n s ig u ie n t e :

T

S EMIS

P a r a d e t e r m in a r lo , p r im e r o r e c o r d e m o s q u e la r a d ia n c ia d e u n c u e r p o c u y a e m is iv id a d n o e s 1 , s e d e t e r m in a c o n :

4T

L

L u e g o , p a r a d e t e r m in a r e l c o e f ic ie n t e d e s e n s ib i l id a d p o d e m o s u t i l iz a r la r e g la d e la c a d e n a , d e r iv a n d o c o n r e s p e c t o a la r a d ia n c ia :

L

L

TS

R e s o l v i e n d o :

4

34

TL

T

T

L

E n t o n c e s :

4/

/3

4 T

T

TS EMIS

S u s t i t u y e n d o v a l o r e s , p o d e m o s a h o r a u s a r e l c o e f i c i e n t e d e s e n s i b i l i d a d d e t e r m i n a d o p a r a c o n o c e r l a i n c e r t i d u m b r e d e l a t e m p e r a t u r a m e d i d a p o r i n c e r t i d u m b r e e n l a e m i s i v i d a d :

KK

u EMIS 10)05,0(5,04

400