GEOMETRIA AFÍN

Incidencia y paralelismo

Los axiomas básicos de la geometría afín son los axiomas de incidencia

juntamente con el axioma de las paralelas. Al incluir este último axioma, los

primeros pueden simplificarse ligeramente. Partimos, pues, de un conjunto de

puntos en el que hemos destacado dos familias de subconjuntos a los que

llamaremos rectas y planos. Los conceptos de colinealidad, etc. se definen como

es usual, pero conviene que modifiquemos la noción de paralelismo para

aceptar que dos rectas o planos coincidentes se consideren paralelos. De este

modo, dos rectas serán paralelas si están contenidas en un mismo plano y son

coincidentes o disjuntas, dos planos serán paralelos si son coincidentes o

disjuntos y una recta y un plano serán paralelos si son disjuntos o bien la recta

está contenida en el plano.

Definición 1 Un espacio afín (tridimensional) es un conjunto E, a cuyos

elementos llamaremos puntos, junto con dos familias de subconjuntos no vacíos

de E a cuyos elementos llamaremos rectas y planos, de modo que se satisfagan

los axiomas siguientes:

Axioma A1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una única recta, que

representaremos por PQ.

Axioma A2 Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.

Axioma A3 Por cada tres puntos no colineales P, Q, R pasa un único plano, que

representaremos por PQR.

Axioma A4 Si una recta r tiene dos puntos en común con un plano π, entonces r

está contenida en π.

Axioma A5 Existen cuatro puntos distintos no coplanares.

Axioma A6 Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen dos puntos

en común.

Tenemos, pues, dos axiomas que describen las rectas, dos axiomas que

describen los planos, un axioma de existencia de puntos y un axioma de

clausura, que impone la tridimensionalidad del espacio.

Del axioma A1 se sigue inmediatamente que si dos rectas se cortan, lo hacen en

un único punto.

Teorema 1: Todo plano contiene tres puntos no colineales.

Demostración: Dado un plano π, por definición es un conjunto de puntos no

vacío. Sea, pues, P є π. Por el axioma A5 existen puntos Q y R no colineales con

P. Si ambos están en π ya hemos terminado, en caso contrario el plano PQR

corta a π en P y por A6 en otro punto más. No perdemos generalidad si

suponemos que es Q, con lo que R no pertenece a π. De nuevo por A6 existe un

punto S no coplanar con P, Q, R. El plano PRS corta a π en P y en otro punto

que no puede estar en PQ, pues PQ está contenida en PQR (por A4) y en tal caso

los planos PRS y PQR tendrían en común los puntos P, R y , luego serían

iguales (por A3) y P, Q, R, S serían coplanares. Por lo tanto, los puntos P, Q,

son tres puntos no colineales en π.

Por equilibrar la simplicidad con la generalidad hemos dado los axiomas para la

geometría tridimensional, aunque sería posible trabajar axiomáticamente con

espacios de cualquier dimensión. Es importante destacar el caso bidimensional.

Los axiomas para la geometría plana se obtienen de sustituir el axioma A5 por

la existencia de tres puntos no colineales y postular que todos los puntos están

contenidos en un mismo plano. Alternativamente podemos suprimir todos los

axiomas que nombren planos, con lo que el sistema se reduce a tan sólo tres

axiomas:

Axioma A1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una única recta, que

representaremos por PQ.

Axioma A2 Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.

Axioma A3 Existen tres puntos distintos no colineales.

El teorema anterior prueba que todo plano de un espacio afín tridimensional

(con las rectas que contiene) es un espacio afín bidimensional (o simplemente

un plano afín). Todos los resultados que vamos a probar sobre objetos

contenidos en un mismo plano se pueden probar directamente a partir de estos

axiomas y son válidos en cualquier plano afín.

Teorema 2: Toda recta contiene al menos dos puntos.

Demostración: Dada una recta r, por definición es un conjunto no vacío, luego

contiene un punto P. Sean Q y R dos puntos no colineales con P. Sea s la paralela

a PQ por R. Si r no contuviera más punto que P, entonces estaría contenida en el

plano PQR, al igual que s, y de hecho serían paralelas, pues P no está en s. Pero

entonces r y PQ serían dos paralelas a s por el punto P, lo cual es imposible.

Con esto tenemos demostrados todos los axiomas de incidencia de que

partimos

en el cap´ıtulo I, luego tenemos a nuestra disposici´on todos los teoremas

que a partir de ellos probamos all´ı. Tambi´en es v´alida la prueba del teorema

3.5, que enunciamos aqu´ı en una forma equivalente:

Teorema 3: El paralelismo es una relación de equivalencia en el conjunto de

todas las rectas del espacio.

La existencia de planos paralelos la demostramos usando el concepto de

perpendicularidad. Veamos que es innecesario:

Teorema 4: Por un punto exterior a un plano pasa un único plano paralelo.

Demostración: Sea un plano π = PQR y sea un punto exterior. Sea

la paralela a PQ por y sea la paralela a PR por .Las rectas y

son paralelas a π, pues, por ejemplo, el plano que contiene a PQ y corta a π

en PQ, y no tiene puntos en común con PQ, luego tampoco con π.

Los puntos , y no son colineales, pues en tal caso = , con lo

que PQ y PR deberían ser paralelas entre sí, lo cual es absurdo. Sea = .

Veamos que es paralelo a π. En caso contrario la intersección es una recta t que

no puede ser paralela a y a simultáneamente, pero es imposible

que corte a t, o de lo contrario cortaría a π, cuando hemos visto

que son paralelos. Lo mismo le ocurre a .

Supongamos ahora que es otro plano paralelo a π que pasa por . El plano

PQ corta a y a en dos rectas paralelas a PQ que pasan por P, luego ambas

son y así є . Del mismo modo tenemos que є luego

= = .

Ahora es inmediato que el paralelismo de planos es una relación de

equivalencia. En la prueba del teorema anterior está implícito que si una recta r

está contenida en un plano π, entonces la paralela a r por un punto P está

contenida en el plano paralelo a π por P.

Definición 2 Un haz de rectas paralelas es una clase de equivalencia de rectas

paralelas, bien de todo el espacio bien en un plano prefijado. Un haz de rectas

concurrentes es el conjunto de todas las rectas (del espacio o de un plano) que

pasan por un mismo punto.

Teorema 5: Todas las rectas tienen el mismo número de puntos.

Demostración: Sean r y s dos rectas. Podemos suponer que tienen un punto en

común P, pues dadas dos rectas arbitrarias, podemos tomar una tercera que

pase un punto de cada una.

Digamos que r = PQ y s = PR. Si X є r, la recta paralela a QR que pasa por X está

contenida en el plano de r y s y no puede ser paralela a s, luego la corta en un

único punto f(X). Esto define claramente una biyección entre los puntos de r y

los de s.

Ejercicio: Probar que si las rectas de un espacio afín tienen un número finito p

de puntos, entonces todos los planos tienen p2 puntos y el espacio tiene p3

puntos.