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PROYECTO

INCORPORACIÓN DE NUEVAS TECNOLOGÍASAL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS

DE LA EDUCACIÓN MEDIA DE COLOMBIA

FASE PILOTO

Memorias del Seminario Nacional

Formación de Docentessobre el Uso de Nuevas Tecnologías

en el Aula de Matemáticas

R epública de Colombia

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL

DIRECCIÓN DE CALIDAD DE LA EDUCACIÓNPREESCOLAR, BÁSICA Y MEDIA

FRANCISCO JOSÉ LLOREDA MERAMinistro de Educación Nacional

MARGARITA MARÍA PEÑA BORREROViceministra de Educación

BERNARDO RECAMÁN SANTOSDirector de Calidad de la Educación

Preescolar, Básica y Media

PROYECTO

INCORPORACIÓN DE NUEVAS TECNOLOGÍAS AL CURRÍCULO DE MATEMÁTICASDE LA EDUCACIÓN MEDIA DE COLOMBIA

EDITOR

Ministerio de Educación NacionalDirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media

Grupo responsable

Ana Celia Castiblanco PaibaLuis Enrique Moreno Armella

Fabiola Rodríguez GarcíaMartín Eduardo Acosta Gempeler

Leonor Camargo UribeErnesto Acosta Gempeler

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA

Coordinadora General del Proyecto

LUIS MORENO ARMELLA

Asesor Internacional

CINVESTAV – IPN, México

Diseño, Diagramación, Preprensa digital, Impresión y Terminados:

ENLACE EDITORES LTDA.

Primera Edición: 5.000 ejemplares

ISBN: 958-97013

Prohibida su Reproducción total o parcial sin autorización escrita del

Ministerio de Educación Nacional – MEN

Derechos Reservados

DISTRIBUCIÓN GRATUITA. PROHIBIDA SU VENTA.

Impreso en Colombia

Bogotá, D.C., Colombia

Diciembre 2001 – Enero 2002

Instituciones participantes

Departamentos, Universidades, Municipios y Colegios participantes en la Fase Piloto

Departamento/Unidad coordinadora Institución educativa. Municipio

Antioquia

Universidad de Antioquia

Escuela Normal Superior. EnvigadoNormal Superior María Auxiliadora. CopacabanaColegio Santa Teresa. MedellínLiceo Comercial Pacho Luis Álvarez Correa. Caldas

AtlánticoUniversidad del Norte

Secretaría de EducaciónDepartamental

Escuela Normal Superior de Santa Ana. BaranoaNormal Superior La Hacienda. BarranquillaEscuela Normal Superior Mixta. ManatíNormal Superior de Nuestra Señora de Fátima. SabanagrandeInstituto Pestalozzi. Barranquilla

BogotáUniversidad Distrital Francisco José deCaldas

Universidad Pedagógica Nacional

Ministerio de Educación Nacional

Unidad Básica Rafael Uribe Uribe, J.M.Externado Nacional Camilo Torres, J.M.Colegio Distrital Heladia Mejía, J.M.Colegio Distrital Rodrigo Lara, J.T.Colegio Distrital República de Costa Rica, J.M.Colegio Distrital Benjamín Herrera, J.M.Instituto Pedagógico NacionalColegio Distrital General Santander, J.T.

Boyacá

Universidad Pedagógica y Tecnológicade Colombia. Tunja

Escuela Normal Superior Santiago de Tunja. TunjaInstituto Integrado Nacionalizado Silvino Rodríguez. TunjaInstituto Técnico Rafael Reyes. DuitamaColegio Nacional Sugamuxi. Sogamoso

CaquetáUniversidad de la Amazonia

Colegio Nacional La Salle. FlorenciaColegio Departamental Juan Bautista de la Salle. Florencia

CesarUniversidad Popular del CesarSecretaría de Educación Departamental

Escuela Normal Superior María Inmaculada. ManaureColegio Manuel Germán Cuello Gutiérrez. ValleduparColegio Nacional Loperena. Valledupar

CórdobaUniversidad de Córdoba

Escuela Normal Superior. MonteríaNormal Superior Lácides Iriarte. SahagúnColegio Marcelino Polo. Cereté

VII

Departamento/Unidad coordinadora Institución educativa. Municipio

CundinamarcaMinisterio de Educación Nacional

Instituto Técnico Industrial. Tocancipá

GuajiraSecretaría de Educación Departamental

Colegio Nacionalizado Helión Pinedo Ríos. RiohachaColegio Departamental Livio Reginaldo Fishioni. RiohachaEscuela Normal Superior. San Juan del Cesar

MagdalenaUniversidad del Magdalena

Normal Nacional Mixta. Santa MartaNormal de Señoritas. Santa MartaLiceo Antonio Nariño. Santa MartaColegio de Bachillerato de Bonda. Santa Marta

NariñoUniversidad de Nariño

INEM Mariano Ospina Rodríguez. PastoColegio Ciudad de Pasto. PastoLiceo Central Femenino. Pasto

PutumayoSecretaría de Educación Departamental

Colegio Alvernia. Puerto AsísColegio Pio XII. Mocoa

QuindíoUniversidad del Quindío

Instituto Técnico Industrial. ArmeniaInstituto Circasia. CircasiaColegio Los Fundadores. MontenegroLiceo Universitario. Armenia

RisaraldaUniversidad Tecnológica de Pereira

Instituto Técnico Superior. PereiraNormal Superior de Risaralda. Pereira

SantanderUniversidad Industrial de Santander

INEM Custodio García Rovira. BucaramangaCentro Educativo Las Américas. Bucaramanga

SucreUniversidad de Sucre

Colegio Departamental de Bachillerato Antonio Lenis. SincelejoLiceo Carmelo Percy Vergara. Corozal

TolimaUniversidad del Tolima

Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán Ayala. LíbanoColegio Nuestra Señora de las Mercedes. IcononzoColegio Nacional San Simón. IbaguéEscuela Normal Integrada. Ibagué

ValleUniversidad del Valle

Colegio Joaquín de Caicedo y Cuero. CaliNormal Superior Farallones. CaliColegio Mayor de Yumbo. YumboColegio Manuel María Mallarino. Cali

VIII

Instituciones participantes

Agradecimientos

La Dirección de la Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media del Ministerio deEducación expresa sinceros agradecimientos a:

• Las Universidades, Instituciones Educativas y Docentes participantes en la Fase Piloto delProyecto, por:

♦ el compromiso con el que han asumido sus responsabilidades en los distintosdepartamentos

♦ el apoyo académico y acompañamiento permanente

♦ las acciones que han emprendido a favor de la diseminación de la cultura informáticaen el ámbito educativo

♦ la apropiación del proyecto, liderando acciones regionales que amplían la coberturadel mismo

♦ la adecuación de la infraestructura física, administrativa y académica para ponerlo enmarcha

♦ el tiempo, la dedicación, el trabajo y la experiencia dedicados, rebasando lasexpectativas del mismo

• Los estudiantes de las instituciones piloto por su entusiasmo e interés y por reflejar con susactuaciones la pertinencia e importancia del Proyecto

• Los doctores Luis Moreno Armella y Luz Manuel Santos Trigo, investigadores del CINVESTAV

– IPN, México, por sus aportes y colaboración para hacer realidad estas memorias.

• El doctor Alejandro Otálora Galvis, asesor del Ministro de Educación en el Programa Ley21, por su gestión y apoyo al proyecto.

Contenido

Instituciones participantes · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · VII

Agradecimientos · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · IX

Introducción· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · XIX

Presentación· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · XXIV

Capítulo 1Primer Seminario Nacional de Formación de Docentes

en el Uso de la Tecnología

Manual introductorio de la calculadora TI-92Martín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3

Introducción al programa de geometría Cabri GéomètreMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6

Lugares geométricosMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10

Macro construcciones y cajas negras en el programa de geometríaMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13

Construcciones dinámicas en el programa Cabri GéomètreMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17

Modelación en geometríaMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19

¿Qué es el número e?Martín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23

Solución de un sistema de ecuaciones en el programa de álgebra y cálculoMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 26

Regresión linealMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 29

Actividades en sistemas numéricosHugo Martín Cuéllar García · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 32

Datos agrupados. Trabajo con el paquete de estadísticaEdwin Alfredo Carranza Vargas · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 35

XI

Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticasLuis Moreno Armella, Guillermina Waldegg · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 40

Evolución y tecnologíaLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 67

Instrumentos matemáticos computacionalesLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 81

Cognición y computación: el caso de la geometría y la visualizaciónLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 87

Calculadoras algebraicas y aprendizaje de las matemáticasLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 93

La construcción del espacio geométrico, un ensayo histórico-críticoLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 99

Graficación de funcionesLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 110

Ideas geométricas del currículum presentadas mediante el Cabri GéomètreLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 141

Problematizar el estudio de las matemáticas: un aspecto esencial en laorganización del currículum y en el aprendizaje de los estudiantesLuz Manuel Santos Trigo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 151

Problematizar el estudio de las matemáticas: un aspecto esencialen la organización del currículum y en el aprendizaje de los estudiantesLuz Manuel Santos Trigo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 151

Cualidades y procesos matemáticos importantes en la resolución de problemas:un caso hipotético de suministro de medicamentoFernando Barrera Mora y Luz Manuel Santos Trigo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 166

Un problema de variaciónLuz Manuel Santos Trigo · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 186

Capítulo 2Artículos sobre tecnología

Educación matemática: investigación y tecnología en el nuevo sigloTeresa Rojano C. y Luis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 194

La epistemología genética: una interpretaciónLuis E. Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 203

Weierstrass: cien años despuésLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 222

La epistemología constructivista y la didáctica de las ciencias:¿coincidencia o complementariedad?Luis E. Moreno Armella, Guillermina Waldegg · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 234

XII

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia

Tecnología y representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticasJose Luis Lupiáñez y Luis E. Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 248

La demostración en perspectivaLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 257

Proceso de transformación del uso de tecnología en herramientapara solucionar problemas de matemáticas por los estudiantesLuis Moreno Armella y Manuel Santos Trigo

Traducido por Martín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 263

La nueva matemática experimental

Luis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 269

Capítulo 3Talleres para apoyar el seguimiento

Guía para el análisis de actividades con calculadoraAna Celia Castiblanco Paiba, Fabiola Rodríguez García y Martín Eduardo Acosta Gempeler 282

Guía para una actividad con el CBLMartín Eduardo Acosta Gempeler y Fabiola Rodríguez García· · · · · · · · · · · · · · · · · 283

Exploraciones numéricasLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 288

Modelos de regresiónLuis Moreno Armella · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 297

Capítulo 4Curso de profundización en el manejo didáctico de la tecnología

y diseño de actividades

Problemas de exploración geométricaMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 312

Simulación de un problema geométrico: volumen de un prismaMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 314

Simulación de un problema geométrico: la hoja dobladaMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 317

Simulación de movimiento. El problema de los avionesMartín Eduardo Acosta Gempeler y Fabiola Rodríguez García· · · · · · · · · · · · · · · · · 319

Medición de ángulos y simulaciónMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 323

Simulación en Cabri Géomètre del tiro parabólicoMartín Eduardo Acosta Gempeler, Ernesto Acosta Gempelery Juan Pablo Acosta Arreaza · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 326

XIII

Contenido

Geometría lógica o construcciones condicionales, una idea de Yves MartinMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 330

Exploración de la composición de transformaciones isométricasMartín Eduardo Acosta Gempeler · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 333

Taller con el CBR - Caída libreFabiola Rodríguez García · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 334

Sucesiones y seriesFabiola Rodríguez García · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 336

XIV


Presentación

Las sociedades contemporáneas dependen,para su desarrollo, de sus capacidades paraproducir, aplicar y transmitir el conocimientocientífico y tecnológico. Estar en posesión detales capacidades conlleva la producción derecursos humanos con una amplia y variadaformación científica y humanística, pues es-tas capacidades no son trasladables de unasociedad a otra, como sí lo son los bienes deconsumo materiales.

En nuestro país esta meta no será posiblesino a través del diseño y la articulación deun nuevo proyecto educativo nacional. El sis-tema educativo colombiano tiene entre susgrandes desafíos modificar las estructuras cu-rriculares, organizadas hoy en día a partir decontenidos temáticos y centradas en el traba-jo de papel y lápiz, hacia la búsqueda del de-sarrollo intelectual que incorpore las tecnolo-gías informáticas con miras a fortalecer lasactividades cognitivas.

Los educadores de hoy tenemos que pro-porcionar a las futuras generaciones herra-mientas que le permitan enfrentarse a la re-solución de problemas, no sólo en el ámbitoescolar sino en sus posibles lugares de tra-bajo, en donde la creatividad y la innova-ción serán la moneda de cambio. Tenemosel reto de proporcionarles instrumentos deaprendizaje, es decir, estructuras cognitivascon alto grado de adaptación a lo nuevo.

La sociedad del conocimiento reclama delsistema educativo personas creativas, conespíritu crítico, con capacidad para pensar,

para aprender a aprender y para trabajar enequipo, conscientes de sus propias capacida-des y que además de tener unos profundosconocimientos en un área determinada ten-gan una visión general de los diferentes pro-blemas que afectan a la sociedad actual.

Para tener éxito en esta empresa es funda-mental el compromiso de los educadorescon la autoformación, pues los cambios aque nos vemos abocados requieren rompercon las formas como posiblemente fuimoseducados y comencemos a buscar alternati-vas diferentes, que hagan uso de las nuevastecnologías. Los profesionales de la educa-ción tenemos una gran responsabilidad fren-te a las expectativas de cambio social, debe-mos afrontar nuevas políticas educativas,diversas realidades curriculares y diferentesrealidades sociales y culturales para entrar enconsonancia con los retos que la sociedadnos demanda

En este sentido el Ministerio de EducaciónNacional ha venido aunando esfuerzos con lacomunidad educativa para impulsar proyec-tos de formación de docentes que apuntan ala construcción de un nuevo currículo escolar.El proyecto “Incorporación de Nuevas Tecno-logías al Currículo de Matemáticas de la Edu-cación Media de Colombia” responde a estasexpectativas al formular entre sus objetivos laconsolidación de una comunidad educativacomprometida con la diseminación de la cul-tura informática en la escuela como una estra-tegia para el mejoramiento de la calidad de laeducación matemática en el país.

XV

El presente trabajo contiene las Memoriasdel fruto del proceso de formación de docen-tes realizado en la fase piloto del proyecto yse constituye en una fuente bibliográfica va-liosa, no sólo para quienes están comprome-tidos con la formación de docentes sino paratodos aquellos interesados en la fundamen-tación conceptual y práctica del uso de latecnología en el aula de matemáticas.

Con esta propuesta estamos abriendo las po-sibilidades de innovación curricular y detransformación del ambiente de la escuelapara que se asegure a todos los estudiantesla oportunidad de poseer una cultura mate-mática que permita la formación de ciudada-nos adecuada a los nuevos tiempos.

FRANCISCO JOSÉ LLOREDA MERAMinistro de Educación Nacional

XVI

Introducción

La matemática es un campo del conocimientoen el cual el reto de dirigir el aprendizaje haciala búsqueda de estructuras cognitivas prepara-das para la indagación genuina es fundamen-tal. Para ello ha resultado de la mayor impor-tancia la mediación de las nuevas tecnologías.La tecnología informática ha empezado a revo-lucionar el conocimiento matemático abrien-do nuevos caminos a la investigación matemá-tica. Véanse, por ejemplo, los trabajos que sedesarrollan bajo el título de matemática experi-mental: Peitgen, H. et. al. (1992); Davis, P. J.(1993); Bayley, D. & Borwein, J. (2001). Su im-pacto alcanza también a la educación mate-mática. No puede dejarse de lado que ese im-pacto se refleja a nivel epistemológico. Enefecto, las posibilidades de manipulación so-bre el espacio de representación de un com-putador o de una calculadora con capacidadesde graficación, induce una reificación de losobjetos matemáticos que se estudian en lasinstituciones educativas. Hay evidencias deque esta reificación genera desarrollos cogniti-vos nada desdeñables en los procesos deaprendizaje escolar.

Consciente de la necesidad de estudiar el fe-nómeno para comprenderlo, de hacer pro-puestas en pro de la calidad de la enseñanzade las matemáticas y de generar estrategiasdidácticas para incorporar los recursos quela tecnología pone al alcance de las institu-ciones educativas, la Dirección de Calidadde la Educación Preescolar, Básica y Mediadel Ministerio de Educación Nacional, inicióen marzo de 2000, el desarrollo de la FasePiloto Proyecto Incorporación de Nuevas

Tecnologías al Currículo de Matemáticas de laEducación Media de Colombia en 60 institu-ciones educativas de 17 departamentos y 3distritos capitales de Colombia.

El proyecto está dirigido por educadores ma-temáticos del Ministerio de Educación, aseso-rado por el doctor Luis Moreno Armella in-vestigador del CINVESTAV (Centro de Investi-gaciones y Estudios Avanzados) de México ycoordinado en cada departamento o distritocapital por educadores matemáticos de Facul-tades de Educación o Facultades de Cienciasde 17 universidades públicas y una universi-dad privada y por profesionales de algunasSecretarías de Educación.

Una componente fundamental del proyectoes la formación de docentes, a través de lacual se esperan cambios en las prácticas edu-cativas usuales que permitan modificar sus-tancialmente el currículo. Desde su inicio, hahabido una preocupación permanente porconstruir un marco teórico que proporcionea los docentes elementos conceptuales úti-les en su proceso de formación y que suscitela reflexión sobre el papel de la tecnologíacomo agente fundamental para tener unanueva visión del conocimiento y de la activi-dad matemática en la escuela. Asumir el retode incorporar la tecnología en el aula, condu-ce a los docentes a profundizar en sus cono-cimientos matemáticos y a cuestionar supráctica educativa.

Para atender estos propósitos, el Ministeriode Educación inició la implementación de un

XVII

programa de desarrollo de docentes a travésde cursos intensivos y graduales de forma-ción, actividades regulares de seguimiento yacompañamiento y apoyo permanente víaInternet, que los han involucrado activamen-te en su aprendizaje. Además, la conforma-ción de grupos de estudio regionales y loca-les en los que el trabajo conjunto deprofesores universitarios y profesores de co-legio, ha contribuido a instaurar hábitos dereflexión permanente sobre el quehacer enel aula y a impulsar la fundamentación teóri-ca y la validación práctica.

Otra componente que este proyecto consi-dera vital para la implementación de la tec-nología en el aula, es la producción de ma-teriales de apoyo basados en el uso de latecnología, en este caso en la integraciónde las calculadoras gráficas y algebraicas,en los diferentes aspectos del currículo,cuya recopilación nos ha permitido la ela-boración de este documento.

Cumplida la Fase Piloto, queremos com-partir con la comunidad de educadoresmatemáticos, algunos materiales que hanmarcado el desarrollo de esta aventura deexploración e indagación en educación ma-temática. Hemos escogido un conjunto deartículos y talleres que ilustran el procesode formación llevado a cabo con los profe-sores del proyecto y que dan cuenta de lafundamentación conceptual y técnica quese trabajó.

En el primer capítulo se presentan los talle-res, documentos de trabajo y artículos rele-vantes que sirvieron de base para la realiza-ción del Primer Seminario de Formación deDocentes, con el cual se inició formalmentela Fase Piloto.

En el capítulo dos, se presenta una recopila-ción de artículos elaborados por el doctorLuis Moreno, que fueron la base para adelan-tar la discusión académica. La discusión secentró en la construcción de un marco con-ceptual elaborado y compartido por todos losparticipantes del proyecto, que enfatiza en elproceso de articulación del currículo de mate-máticas con las tecnologías informáticas.

En el tercer capítulo se encuentran algunostalleres elaborados por el equipo de educa-dores matemáticos del Ministerio de Educa-ción, para apoyar el seguimiento, orientar eldiseño de actividades de clase y propiciar ladiscusión en los diversos seminarios. Adicio-nalmente se incluyen algunos talleres que serealizan con dispositivos que se articulan a lacalculadora, como el CBR (Calculator BasedRanger) y el CBL (Calculator Based Labora-tory) que permiten el registro de datos exter-nos para estudiar la modelación de situacio-nes de variación y cambio.

Para finalizar, en el cuarto capítulo se presen-tan los documentos y talleres elaborados porel grupo del Ministerio y por docentes vincu-lados al proyecto, para orientar el curso deprofundización en el uso de la tecnología ysu impacto pedagógico.

Esperamos contribuir al desarrollo de la Edu-cación Matemática en Colombia aportandoelementos para la reflexión y la discusión so-bre el mejoramiento de la práctica educati-va en matemáticas y la incorporación de latecnología informática al currículo. Este do-cumento será muy importante para la for-mación de profesores de matemáticas quequieran introducir la tecnología informáticaen sus clases y para difundir y afianzar la ex-periencia en todas las regiones del país.


XVIII

En el Proyecto de Incorporación de NuevasTecnologías al Currículo de Matemáticas de laEducación Media de Colombia, la formaciónde docentes en el uso de la tecnología se rea-liza a través de dos modalidades: presencialy virtual. La modalidad presencial se lleva acabo en seminarios nacionales, regionales ylocales con la participación de todos los do-centes vinculados a la fase piloto. La modali-dad virtual se realiza a través de la lista de inte-rés, creada para el proyecto por la Hemerote-ca Nacional del ICFES.

En este capítulo se recopilan los materialesque sirvieron de base para la realización delprimer seminario, llevado a cabo entre el 27de marzo y el 11 de abril del año 2000 enBogotá y Santa Marta simultáneamente,con la participación de los docentes del pro-yecto.

Como uno de los aspectos fundamentalesde la formación es el dominio del recursotecnológico, el seminario comenzó con uncurso sobre el manejo técnico de la calcula-dora TI 92+, diseñado y orientado por el pro-fesor Martín Acosta Gempeler, a través detalleres que se presentan en la primera sec-ción, cuyo objeto es la adquisición de un do-minio técnico de la calculadora TI92+ y de lasdemás herramientas computacionales del

proyecto. Sin pretender agotar todo el po-tencial técnico de la calculadora algebraicaTI92+, los talleres muestran una panorámicade posibilidades frente a su uso en diversastemáticas del currículo de matemáticas desecundaria, como los sistemas numéricos,los sistemas geométricos y los sistemas dedatos, entre otros. Pretenden constituirse enuna plataforma de lanzamiento para que loseducadores se motiven a ampliar el dominiotécnico del instrumento por sí solos o en susgrupos locales de trabajo.

Los talleres están diseñados para que losprofesores de matemáticas los trabajen enforma individual o colectiva y a su vez con-tienen sugerencias e ideas para el diseño delas actividades con los estudiantes. Algunosde ellos requieren el uso de archivos pregra-bados en la calculadora, porque el interésno siempre es llegar a una construcción sinopartir de ella para hacer exploraciones e in-clusive descubrir cómo se hicieron éstas.

Otro aspecto esencial de la Formación Docen-te es la fundamentación pedagógica, episte-mológica y didáctica del uso de la tecnología,sin la cual es imposible que el proyecto cumplalos objetivos propuestos pues la incorporaciónque se pretende no es meramente instrumen-tal. En la segunda sección se presentan algu-

1

Capítulo

1Primer Seminario Nacionalde Formación de Docentesen el Uso de la Tecnología

nos documentos que sirvieron de base a lasdiscusiones orientadas por el doctor Luis Mo-reno, con las cuales se dio inicio a la funda-mentación conceptual. Cada uno de los ar-tículos publicados y los talleres recopiladospor el doctor Moreno en apuntes para los se-minarios, se constituyen en sí mismo en unafuente de reflexión acerca de ideas centralesdel marco teórico: la estrecha relación entrela evolución de la cultura, la tecnología y lacognición, el principio de mediación instru-mental, la cognición situada, la ejecutabilidadde las representaciones computacionales y ladinámica entre la exploración y la sistematiza-ción como base para la construcción de co-nocimiento matemático, entre otras.

Como el contexto metodológico que en-marca las acciones didácticas del proyecto

es la resolución de problemas con tecnolo-gía, en el primer seminario de formación seabordó también esta temática. En la últimasección del capítulo 1 se recogen los docu-mentos que sirvieron para apoyar la discu-sión acerca del aprendizaje de las matemáti-cas con énfasis en la resolución deproblemas. Este trabajo fue orientado por eldoctor Luz Manuel Santos Trigo, investiga-dor del CINVESTAV– IPN, invitado como ex-perto en el área, quien centró su actividad enmostrar el uso de la tecnología como herra-mienta poderosa para que los estudiantes leden sentido a la información, proponganconjeturas, examinen estrategias de resolu-ción de problemas y trabajen como una co-munidad en la que se valoran las contribucio-nes personales y grupales.

2


Manual introductorio de lacalculadora TI-92

Martín Eduardo Acosta GempelerGrupo Coordinador


La calculadora TI-92 es un minicomputadorde mano, con seis programas diferentes:

• Un programa de álgebra y cálculo(HOME) para realizar todas las operacio-nes de una calculadora científica, másoperaciones de álgebra (factorización,solución de ecuaciones, ...) y cálculo (in-tegración, derivación, ...).

• Un programa de geometría dinámicaplana (CABRI GÉOMÈTRE), en el que pue-den construirse figuras geométricas deacuerdo con las reglas de la geometríaeuclidiana (puntos, segmentos, circunfe-rencias...), y la geometría analítica (ejesde coordenadas, ecuaciones, ...).

• Un programa de edición y graficación defunciones (Y = , GRAPH, TABLE, WINDOW).

• Un editor de texto (Text Editor).

• Un editor de programas (Program Edi-

tor).

• Una hoja de cálculo (Data/MatrixEditor).

Cada uno de esos programas tiene sus pro-pios comandos y funciones. Esta introducción

sólo se propone explicar procedimientos ge-nerales.

Teclas especiales

La tecla ENTER sirve para validarcualquier expresión o selección.Observe que hay tres de estas te-clas en la calculadora, para mayor

comodidad.

La tecla del cursor sirve paradesplazarse por la pantalla opor los menús desplegables.Tiene movimientos en ocho di-recciones. Su función es equi-

valente a la que desempeña el ratón en elcomputador.

La tecla de aplicaciones APPS sirvepara desplegar el menú de aplicacio-nes y dar acceso a los diferentesprogramas de la calculadora.

La tecla MODE da acceso a la confi-guración de la calculadora y permi-te cambiar los formatos de las op-ciones de gráficas, cálculos, etc.

3

La tecla MANO, representada poruna mano, se utiliza en el progra-ma CABRI GÉOMÈTRE y es el equiva-

lente al botón izquierdo del ratón del com-putador. Manteniéndola oprimida se pue-den escoger objetos para arrastrarlos.

4


Teclas de funciónTecla del

cursor

Teclado QWERTYCalculadora

científica

Teclas decontrol

Teclas de modificación

Hay teclas que dan acceso a diferentes fun-ciones, escritas en tres colores diferentes:blanco, amarillo o verde.

• A las funciones de color blanco se acce-de oprimiendo directamente la tecla.

• A las funciones de color amarillo se ac-cede con la combinación 2nd+TECLA. Porejemplo, para escribir en la pantallaHOME la expresión x se debe oprimir

y luego la tecla x en el tecladoqwerty. (Nota: es importante no con-

fundir la letra x con el signo de multipli-cación).

• A las funciones de color verde se accedecon la combinación ♦ +TECLA. Por ejem-plo, para mostrar la gráfica de una fun-ción, se debe oprimir y la tecla W

del teclado qwerty.

Es importante diferenciar entre la tecla (-),para escribir el signo negativo, (por ejemploen la expresión y = -3x) y la tecla – para escri-bir la operación resta (por ejemplo en la ex-presión y = x – 5).

5

Manual introductorio de la calculadora TI-92

Combinaciones de teclas importantes

♦ +Q Entra a la pantalla HOME (aritmética, álgebra, cálculo)

♦ +W Edita ecuaciones (para definir funciones)

♦ +EDefine los rangos en la ventana de graficación.Pantalla WINDOW

♦ +YPresenta la tabla de valores de las funcionesseleccionadas

♦ +R Presenta la gráfica de las funciones seleccionadas

♦ +ENTER Presenta el resultado aproximado de una operación

♦ + “+” Aumenta el contraste

♦ + “-” Disminuye el contraste

2nd + ESC Sale del programa al que se entró por accidente

2nd + “-”Presenta el listado de archivos. Es equivalente alexplorador de windows

2nd + MANO + ON Resetea el sistema cuando se bloquea

♦ +ON Apaga la calculadora y guarda la última pantalla

2nd +ON Apaga la calculadora

Introducción al programa degeometría Cabri Géomètre



El programa de geometría incluido en la calcu-ladora TI-92, es una adaptación del programaCABRI GÉOMÈTRE de geometría dinámica.

Abrir el programa

Para iniciar el programa de geometría debeoprimir la tecla APPS+8, o APPS+1 si la calcula-dora tiene Aplicaciones Flash. Se presenta unmenú con tres opciones:

– Current sirve para abrir el último archivoque se trabajó

– Open sirve para seleccionar el archivo quese desea abrir

– New sirve para abrir un archivo nuevo.

Seleccione New. Aparece una ventana comola de figura 1, en donde debe escribir el nom-bre que quiere dar al archivo. Escríbalo y valí-delo con ENTER. Oprima nuevamente ENTER

para iniciar.

Uso de los menús

Este es un programa de geometría dinámicaque permite hacer construcciones e investi-

gar sobre las propiedades de muchas figurasgeométricas.

Al entrar al programa aparece la siguientepantalla:

6

Figura 1

Figura 2

Con las teclas F1 a F8 se despliegan los diferen-tes menús que permiten seleccionar las herra-mientas para trabajar.

Oprima F2+1 para dibujar un punto. Ahora elcursor toma forma de lápiz. Con la tecla delratón puede mover el cursor por la pantalla.Al oprimir ENTER se dibujará un punto.

Explore las diferentes herramientas de cons-trucción de los menús F2 y F3 (Line, Seg-

ment, Ray, Circle, Triangle).

Desplazamiento de objetos

Los objetos construidos en CABRI GÉOMÈTRE

no son estáticos, sino que pueden ser despla-zados a cualquier parte del plano. Para ex-plorar esta posibilidad efectúe los siguientespasos:

– borre todo lo que dibujó anteriormente(F8 + 8)

– dibuje un triángulo (F3 + 3)

– seleccione la herramienta Pointer (F1 + 1)y acerque el cursor a uno de los vérticesdel triángulo hasta que aparezca el letreroTHIS POINT

– oprima la tecla MANO (verá aparecer unamano que agarra el punto para moverlo)

– manteniendo oprimida la tecla MANO,

utilice la tecla del cursor para mover esepunto.

Observe que con una sola construcción us-ted puede obtener, por desplazamiento,cualquier clase de triángulo.

Construcciones geométricas

Las opciones presentadas en el menú F4, per-miten hacer otras construcciones. Siga las

instrucciones para construir rectas perpendi-culares y paralelas:

– borre sus construcciones

– dibuje cualquier recta y un punto

– seleccione la herramienta Perpendicu-

lar Line (F4 + 1)

– acerque el cursor al punto hasta que apa-rezca THRU THIS POINT

– oprima ENTER

– acerque el cursor a la recta hasta que apa-rezca PERPENDICULAR TO THIS LINE

– oprima ENTER

– seleccione la herramienta Pointer

– desplace el punto por el plano y observequé sucede con la recta perpendicular.

Repita el procedimiento anterior, pero selec-cionando la herramienta Parallel Line.

Etiquetas

Para dar nombre a un objeto se procedecomo en el siguiente ejemplo:

– borre sus construcciones

– dibuje un segmento

– seleccione la herramienta Label (F7 + 4)

– acerque el cursor a uno de los extremosdel segmento y oprima ENTER

– escriba A

– acerque el cursor al otro extremo y lláme-lo B

– seleccione la herramienta Midpoint (F4 + 3)

7

Introducción al programa de geometría Cabri Géomètre

– acerque el cursor al segmento hasta queaparezca MIDPOINT OF THIS SEGMENT

– oprima ENTER

– seleccione la herramienta Pointer

– desplace el punto A y observe qué sucedecon el punto medio del segmento

– seleccione la herramienta mediatriz, Per-pendicular Bisector (F4 + 4)

– acerque el cursor al segmento AB y oprimaENTER

– desplace los puntos A y B observando quésucede con la mediatriz.

Borrar un objeto

El siguiente procedimiento muestra cómoborrar un objeto y lo que sucede cuando seborra un objeto del cual dependen otros.

– Seleccione la herramienta Pointer (F1 + 1)

– acerque el cursor a la mediatriz de AB has-ta que aparezca THIS LINE

– oprima ENTER para seleccionar la media-triz (observe que la mediatriz cambia deapariencia)

– oprima la tecla DEL (flecha que está a la de-recha del “=” en el teclado qwerty)

– construya un segmento BC concatenadocon el segmento AB pero no colineal con él

– seleccione la herramienta Angle Bisec-

tor (bisectriz F4 + 5) y señale el ánguloABC. Para señalar el ángulo ABC deben se-ñalarse los puntos en ese orden. (Recuer-de, debe aparecer THIS POINT y oprimirENTER)

– desplace los puntos A, B y C observandoqué sucede con la bisectriz

– construya la mediatriz de BC

– seleccione la herramienta Intersec-

tion Point (F2 + 3)

– acerque el cursor a la bisectriz de ABC has-ta que aparezca THIS LINE

– oprima ENTER

– acerque el cursor a la mediatriz de BC has-ta que aparezca THIS LINE

– oprima ENTER

– llame P al punto de intersección creado

– señale el segmento BC y oprima DEL

– observe qué pasa con el punto P y los de-más objetos de la construcción.

Solución de ambigüedades

Algunas veces hay varios objetos en el mis-mo sitio y para seleccionar alguno de ellosel programa debe saber cuál de todos se in-tenta señalar. Por eso al acercar el cursoraparece la pregunta ¿Cuál objeto? (WHICH

OBJECT?). Al oprimir ENTER se despliega unalista con todos los objetos que están allí, ensu orden de construcción. Así puede selec-cionarse uno de ellos, como en el siguienteejemplo:

– dibuje una recta

– dibuje un segmento sobre la recta

– seleccione Pointer

– acerque el cursor al segmento hasta ver elmensaje WHICH OBJECT?


8

– oprima ENTER y verá aparecer la lista: THIS

LINE, THIS SEGMENT

– seleccione el segmento con la opción THIS

SEGMENT y bórrelo.

9

Introducción al programa de geometría Cabri Géomètre

Resumen de comandos

Entrar al programa Cabri Géomètre APPS 8

Señalar y seleccionar un objeto F1 + 1 (Pointer)

Desplazar un objeto F1 + 1, mantener oprimida la MANO y mover el cursor

Borrar un objeto F1+1, seleccionar el objeto y oprimir la tecla ¬

Borrar toda la pantalla F8 + 8

Dar nombre a un objeto F7 + 4 (Label)

Configurar (ejes, cuadrícula, ...) F7 + 9 (Format)

Lugares geométricos



Un tema muy interesante y llamativo para losalumnos, pero difícil de trabajar con regla ycompás, es el de lugares geométricos. Lageometría dinámica abre nuevas posibilida-des de exploración en este campo.

Un lugar geométrico es el conjunto de todoslos puntos que cumplen una cierta condi-ción. Comencemos el taller con la pregunta:

¿Cuál es el lugar geométrico de todos lospuntos que están a igual distancia de dospuntos dados?

En CABRI GÉOMÈTRE podemos construir dospuntos A y B de base y medir la distancia deun punto P, a cada uno de esos puntos.

Con un poco de paciencia puede mover elpunto P hasta colocarlo en una posiciónaproximadamente equidistante de A y B

Si quiere visualizar todos los puntos equidis-tantes de A y B, puede hacer que el punto P

deje una huella (Trace) y moverlo de mane-ra que cumpla la condición. Oprima F7+2

para activar la traza y señale el punto P

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Figura 1

Figura 2

Figura 3

Ahora mueva el punto P poco a poco procu-rando que las distancias de P a A y a B seaniguales:

¿Qué forma tiene la huella de P? ¿Podría des-cribir exactamente su posición? Ahora pode-mos responder a la pregunta inicial.

El lugar geométrico de los puntos equidistan-tes a dos puntos dados se llama MEDIATRIZ, yes la recta perpendicular al segmento defini-do por los dos puntos dados y que pasa porsu punto medio.

Vamos a utilizar esta definición para explorarun nuevo lugar geométrico.

¿Cuál es el lugar geométrico de todos lospuntos equidistantes de un punto dado y deuna recta dada?

Comencemos dibujando un punto F, una rec-ta d y un punto P tal que P quede a la mismadistancia de F y d. (Recuerde que la distanciade un punto a una recta es la longitud delsegmento perpendicular a la recta con extre-mos en el punto y en la recta).

Con un poco de paciencia podemos encon-trar algunas posiciones en las que P es equi-distante de F y d.

Notará que no es fácil mover el punto P demanera que se mantenga a igual distancia deF y d. Pero analizando la situación, puedeverse que P es equidistante de dos puntos:de F y de un punto sobre la recta d. Si llama-mos Q al punto de intersección de d y la rec-ta perpendicular a d que pasa por P, puedeverse que P es la intersección de la mediatrizdel segmento FQ con la recta perpendicular ad que pasa por Q.

11

Lugares geométricos

Figura 4

Figura 6

Figura 5

Ahora podemos mirar la huella del punto P

de intersección. Para ello, construya F y d enun archivo nuevo y defina Q como punto so-bre d. Luego trace la perpendicular a d quepasa por Q y la mediatriz (Perpendicular

Bisector) del segmento FQ.

CABRI GÉOMÈTRE también puede calcular ytrazar automáticamente el lugar geométrico

de un punto que deja huella con respecto aotro que se mueve. En este caso, el lugar de P

con respecto a Q. Para ello, oprima F4+A (Lo-cus).

Señale sucesivamente el punto P (que defineel lugar de puntos) y el punto Q (que determi-na las posiciones de P).

Otros ejemplos:

a) Construya una circunferencia de centro A

y radio AB. Construya el segmento AB, unpunto F sobre él y un punto M sobre la circun-ferencia. Construya la mediatriz del segmen-to FM y llámela m. Llame P la intersección dela recta m y el segmento AM. ¿Cuál es el lugardefinido por P cuando M se mueve sobre lacircunferencia?

b) Construya una circunferencia de centro O

y un punto M sobre la circunferencia. Dibujeun punto A en cualquier parte. Construya latangente t a la circunferencia en el punto M.Construya la perpendicular a t que pasa porA y llámela r. Llame Q la intersección de t y r.¿Cuál es el lugar definido por Q cuando M semueve sobre la circunferencia?

12


Figura 9

Figura 7

Figura 10

Figura 8

Macro construcciones y cajas negrasen el programa de geometría



El programa CABRI GÉOMÈTRE permite auto-matizar construcciones, de manera que noes necesario repetir todos los pasos.

Macro construcciones

Para definir una macro o construcción auto-matizada, es necesario definir los OBJETOS

INICIALES (objetos en los que se basa la cons-trucción) y los OBJETOS FINALES (el resultadofinal de la construcción). A continuación seejemplifica esta función del programa.

Macro: cuadrado

Se trata de automatizar la construcción de uncuadrado con base en un segmento dado:

– construya un segmento AB

– construya la recta r1 perpendicular a AB yque pase por A

– construya la recta r2 perpendicular a AB yque pase por B

– construya la circunferencia C1 con centroA y radio AB

– construya la intersección de C1 y r1

– llame D a uno de los puntos de esa inter-sección

– construya la recta r3 perpendicular a r1 yque pase por D

– llame C la intersección de r3 y r2

– construya el polígono ABCD

– oculte las construcciones intermedias.

Vamos ahora a ilustrar cómo se automatizaesta construcción.

Al oprimir F4+6 obtendrá la siguiente pantalla(figura 1):

13

Figura 1

Seleccione la opción 2: Initial Objects, yproceda a señalar los puntos A y B, extremosdel segmento que sirvió de base para la cons-trucción del cuadrado.

Oprima nuevamente F4+6, seleccione FinalObjects y señale el polígono ABCD.

Nuevamente oprima F4+6 y seleccione De-

fine Macro. Obtendrá una pantalla comola siguiente, donde debe especificar el nom-bre de la macro:

Para terminar, guarde la macro en un archivoal cual le debe asignar un nombre.

Para ejecutar la macro, oprima F4+6 y selec-cione Execute Macro. Luego seleccione lamacro 1: cuadrado y señale cualquier par depuntos en la pantalla ¿Qué sucede? (figura 6).

Cajas Negras

Una aplicación pedagógica interesante de lasmacros es la producción de CAJAS NEGRAS,

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Figura 4

Figura 3

Figura 5

Figura 2

macros que producen un determinado resul-tado en la pantalla, que se debe analizar paradescubrir y reconstruir el proceso de cons-trucción de la macro, e identificar relacionesinvariantes en la figura.

El ejercicio con CAJAS NEGRAS requiere unapreparación previa del profesor quien realizauna construcción y luego oculta todos losobjetos, menos los iniciales. El alumno abrela MACRO CONSTRUCCIÓN y la ejecuta.

Para cada uno de los siguientes ejemplos, elprofesor debe construir previamente la macroque va a utilizar con sus estudiantes. Las indi-caciones correspondientes a cada construc-ción se precisarán al final del taller.

Para abrir cualquier macro, debe estar ubica-do en la pantalla de CABRI GÉOMÈTRE, oprimirF8 + 1 (Open) y seleccionar la macro que de-sea abrir.

Ejercicio 1. Abra la macro Caja 1* . Para estodebe seguir las siguientes instrucciones:

• oprima F8 + 1 (Open)

• seleccione Type: Macro

Folder: main

Variable: caja1

• oprima F4 + 6 y seleccione Execute Ma-

cro.

Señale dos puntos en la pantalla. ¿Qué apa-rece?Mueva los dos puntos y descubra las relacio-nes invariantes en la figuraAbra un archivo nuevo e intente reproducirla macro.

Ejercicio 2. Construya un segmento cual-quiera y un punto sobre ese segmento. Abrala macro Caja 2** y señale el segmento y elpunto. ¿Qué aparece? Mueva los objetos yestudie las relaciones invariantes. Abra un ar-chivo nuevo e intente reproducir la macro.

Ejercicio 3. Construya un paralelogramo. Lue-go abra la macro Caja 3*** y señálelo. ¿Quéaparece? Estudie los invariantes. Abra un ar-chivo nuevo e intente reproducir la macro.

Nota para el profesor

A continuación se transcriben los archi-vos correspondientes. Al momento detrabajar el taller deben suprimirse estasinstrucciones para no dañar el sentido delos ejercicios.

*La macro Caja 1 se construye de la si-guiente manera:

• se ubican dos puntos en la pantalla

• se construye el simétrico de uno delos puntos con respecto al otro

• se construye una recta que pase porlos tres puntos

• se construye una perpendicular a larecta por el punto que resultó al rea-lizar la simetría

• se ocultan (F7+1) la recta que pasapor los tres puntos y el punto que re-sultó al efectuar la simetría

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Macro construcciones y cajas negras en el programa de geometría

Figura 6

• se automatiza la construcción to-mando como objetos iniciales losdos primeros puntos y como objetofinal la recta perpendicular.

**La macro Caja 2 se construye de la si-guiente manera:

• se construye un segmento y un pun-to sobre él

• se construye la perpendicular al seg-mento por el punto

• se construye el punto medio del seg-mento

• se construye una circunferencia concentro en el punto medio y radio lamitad del segmento

• se construye el punto de intersec-ción de la circunferencia con la per-pendicular

• se traza el segmento que une el piede la perpendicular y el punto deintersección de la circunferenciacon la perpendicular.

• se ocultan todos los objetos exceptoel segmento, el punto sobre el seg-mento y la altura

• se automatiza la construcción to-mando como objetos iniciales el seg-mento y el punto sobre él y comoobjeto final la altura del triángulo.

***La macro Caja 3 se construye de la si-guiente manera:

• se construye un paralelogramo

• se construyen las bisectrices de losángulos interiores

• se construyen los puntos de corte delas bisectrices

• se construye el cuadrilátero cuyosvértices son los puntos de corte delas bisectrices

• se ocultan las bisectrices

• se automatiza la construcción to-mando como objeto inicial el para-lelogramo y como objeto final elcuadrilátero.

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Construcciones dinámicas en elprograma Cabri Géomètre



El dinamismo de las construcciones en CABRI

GÉOMÈTRE nos introduce naturalmente en elmundo de los invariantes. Todo dibujo en lapantalla no es definitivo, sino que puede sermanipulado y transformado. Por eso es im-portante descubrir las propiedades que per-manecen constantes durante el desplaza-miento. Toda imagen en la pantalla esprovisional y sus características son sólo apa-rentes. Es necesario DUDAR de lo que se ve ymover la figura para ver si sus propiedades semantienen en TODOS los casos.

Al construir figuras dinámicas, debemos te-ner en cuenta que sólo las propiedades cons-truidas explícitamente (por una orden delprograma) resistirán el desplazamiento. Así,

la geometría se convierte en el arte de descu-brir relaciones y ponerlas a prueba.

Ejercicios

1. Explore sucesivamente los archivosDUDAR1A, DUDAR1B, DUDAR2A, DUDAR2B,

DUDAR3A, DUDAR3B. ¿Qué relaciones geo-métricas observa? ¿Resisten el desplaza-miento? (las instrucciones de los archivoscorrespondientes se encuentran al finaldel taller)

2. Construya un cuadrado que resista eldesplazamiento (con sus lados con-gruentes y sus ángulos rectos).

3. Haga las siguientes construcciones1:

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Construya el segmento AB y haga el resto de la construcción apartir de ese segmento.

Cuando termine desplace A y B. Su figura no debe deformarse.

1 Tomadas de la revista CABRIOLE www.cabri.net/cabriole

Ejercicio de desafío

Nota para el profesor

A continuación se presentan las instruc-ciones para construir los archivos. No de-ben entregarse a los alumnos para no da-ñar los ejercicios.

Archivo DUDAR1a. Construya un seg-mento y un punto A en cualquier lugar dela pantalla. Desplace A hasta que parezcaser un objeto sobre el segmento

Archivo DUDAR1b. Construya un seg-mento y un punto A sobre el segmento.

Archivo DUDAR2a. Construya dos rectasaparentemente perpendiculares.

Archivo DUDAR2b. Construya dos rectasperpendiculares (F4+1)

Archivo DUDAR3a. Construya una cir-cunferencia, un punto sobre ella y unarecta. Desplace la recta hasta que parez-ca ser la tangente a la circunferencia enel punto.

Archivo DUDAR3b. Construya una circun-ferencia, un punto sobre ella y una tan-gente a la circunferencia por el punto.

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Oculte los trazos de construcción.





Oculte los trazos de construcción.

Cuando termine, desplace A y B. Su figura no debe deformarse.

Trate de encontrar un método diferente (el más corto posible).

Modelación en geometría

Martín Eduardo Acosta GempelerGrupo de coordinación


Una importante posibilidad de la geometríadinámica es la de modelar situaciones realespara experimentar con los modelos y obte-ner información sobre el fenómeno en estu-dio. En este taller se ejemplifica esta posibili-dad con el problema de la caja, un conocidoproblema de cálculo que dice así:

Se desea construir una caja sin tapa con un

pedazo rectangular de material, recortan-

do cuadrados de igual tamaño de sus es-

quinas y doblando. ¿Para qué tamaño de

cuadrado recortado es máximo el volumen

de la caja?

La dificultad de muchos estudiantes anteeste problema, radica en la incapacidad pararepresentar mentalmente las relaciones queentran en juego (la relación entre el lado delcuadrado y el volumen de la caja). La realiza-ción de un modelo donde pueda explicitarseesta relación será de beneficio para la com-prensión del problema y la búsqueda de es-trategias de solución.

1. Estudio de la situación.

• El modelo debe basarse en un rectán-gulo de un tamaño arbitrario que re-presentará el pedazo de material.

• Para representar los cortes debemosconstruir cuadrados congruentes en las

esquinas del rectángulo (bastará conconstruir uno y hacer sus simétricos).

• El tamaño de esos cuadrados tiene quevariar, por lo que debe haber un puntomóvil sobre uno de los lados del rectán-gulo, punto que determina el tamañodel cuadrado.

• Existe un tamaño límite del cuadrado: sulado no puede sobrepasar la mitad dellado más corto del rectángulo.

2. Construcción.

Construya un rectángulo de 2 cm x 3 cm.

Construya el punto medio de uno de los la-dos más cortos.

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Figura 1

Construya un segmento desde el extremodel lado corto hasta el punto medio y dibujeun punto sobre ese segmento.

Construya un cuadrado utilizando la esquinadel rectángulo y el punto móvil sobre el seg-mento (use la opción polígono).

Construya las mediatrices de los lados delrectángulo.

20


Figura 3

Figura 2Figura 4

Figura 5

Construya la simetría axial del cuadrado usan-do las mediatrices como ejes de simetría.

Oculte las construcciones intermedias.

Ya tiene un modelo del pedazo rectangularcon cuadrados recortados de las esquinas. Elpunto móvil le da la posibilidad de explorartodos los posibles tamaños de cuadrados.Ahora construya segmentos que representenlas tres dimensiones de la caja y mídalos.

Utilizando la opción Comment (F7+5) organi-ce la información en la pantalla.

Ahora calcule el volumen de la caja con laopción Calculate (F6+6) y señale sucesiva-mente los valores de los lados de la caja.

21

Modelación en geometría

Figura 8

Figura 7

Figura 6

En este momento ya puede mover el puntoque determina el tamaño del cuadrado y ob-servar cómo varía el volumen de la caja.

Opcional. Si desea hacer una representa-ción tridimensional del modelo construyatres rectas intersecantes que simulen un sis-tema de coordenadas, transfiera la medidade los segmentos (F4 + 9) que representan las

dimensiones de la caja, en cada uno de losejes. Luego construya tres vectores del mis-mo tamaño de los segmentos y haga las tras-laciones necesarias para hacer la caja. Mue-va el punto que determina el tamaño delcuadrado y observe cómo varía la forma y elvolumen de la caja.

22


Figura 10

Figura 9 Figura 11

Figura 12

¿Qué es el número e?2



El crecimiento exponencial ocurre en mu-chos campos. Al investigar matemáticamen-te este tipo de crecimiento, se encuentra elnúmero e, base de los logaritmos naturales.Vamos a estudiar el área bajo la curva conecuación y x= 1/ (integral definida de lafunción ƒ(x) = 1/x sobre algún intervalo),para llegar a las nociones de función logarit-mo natural y de número e.

La calculadora TI-92 puede usarse para repre-sentar y calcular el área bajo la curva de unafunción. La siguiente gráfica, por ejemplo,muestra el área bajo la curva y x= 1/ desde1 hasta 4.

1. Área debajo de la curva. Entre al editor defunciones (♦ W) y borre las funciones existen-tes presionando F1+8 (Clear Functions) +

ENTER.

Escriba la función y x1 1= / .

Oprima ♦ E (WINDOW) para modificar los valo-res mostrados en la gráfica por los dados acontinuación:

xmin = 0xmax = 6xscl = 1ymin = -1ymax = 3yscl = 1xres = 2

Presione ♦ R (GRAPH) para mostrar la gráficade la función.

Para representar la región bajo la curva des-de 1 hasta 4 seleccione ƒ( )x x∫ d presionando

F5+7. La calculadora pregunta por el límite in-ferior (Lower Limit): presione 1+ENTER.Para el límite superior (Upper Limit) pre-sione 4+ENTER.

23

Figura 1

2 Adaptación de un taller de DISCOVERING MATH ON THE TI-92

2. Experimentando con el límite superior.Entre a HOME (♦ Q) y calcule la integral

1

1 xxd

b

∫

para diferentes valores de b. Para esto, presio-ne 2nd+7, escriba (1/t,t,1,1.5) y presione ENTER.La calculadora halla

1

1

1 5

tdt

.

∫

Repita el mismo cálculo cambiando 1.5 por2, 2.5, 3, 3.5, etc.

Como puede ver, al cambiar el límite supe-rior b, cambia el valor de la integral. Consig-ne los valores obtenidos de las integrales enuna tabla y grafíquelos. Esto lo puede haceroprimiendo APPS+6+3, para ingresar a una ta-bla de datos.

3. La gráfica de F. Nos hemos encontradocon la función que a cada límite superior leasigna el valor de la integral correspondien-te. Explícitamente,

Ftdt( ) .x

x

= ∫1

1

En la pantalla HOME defina la función F presio-nando F4+1+ENTER, escribiendo F(x) =, opri-miendo 2nd+7 y escribiendo (1/t, t, 1,x).

En la pantalla WINDOW especifique los siguien-tes parámetros:

xmin = 0xmax = 25xscl = 1ymin = -1ymax = 4

yscl = 1xres = 2

En el editor de funciones (♦ W), introduzca lafunción y x1 = F( ).

Ahora presione ¨R para ver la gráfica de F.¡Tenga paciencia! Las funciones definidaspor integrales se dibujan muy lentamente.Compare la gráfica obtenida con la de los da-tos del punto 2.

4. Progresiones geométricas. Una progre-sión geométrica es una sucesión de núme-ros reales que se genera multiplicando suce-sivamente por un número real fijo r.Explícitamente, si multiplicamos a por r obte-nemos ar. Si multiplicamos ar por r obtene-mos ar2. Si multiplicamos ar2 por r obtene-mos ar3 y así sucesivamente. Se obtiene deesta manera la progresión geométrica a, ar,ar2, ar3, ar4, ar5, ar6, ar7,...

Construya la progresión geométrica a partirde a = 2 y r = 3. Entre a HOME, escriba 2 y opri-ma ENTER; oprima ×, escriba 3 y oprimaENTER; oprima ×, escriba 3 y oprima ENTER;oprima ×, escriba 3 y oprima ENTER,... En lapantalla se va formando la lista de números2, 6, 18, 54, 162, ... Construya otras progre-siones geométricas a su gusto.

¿Cómo saber si una sucesión es una progre-sión geométrica? Si x1, x2, x3, x4, x5,... es unaprogresión geométrica, cualquier término xn

se debe obtener del anterior xn-1 multiplicandopor un número r. Es decir, xn = r xn-1, o, lo quees lo mismo, xn /xn-1 = r. Por ejemplo, para lasucesión x1 = 2, x2 = 6, x3 = 18, x4 = 54, ... se tie-ne que x2/x1 = x3/x2 = x4/x3 = ... = 3.

5. Una progresión geométrica muy espe-cial. Estudiemos ahora la sucesión xn defini-da por n = F(xn) donde F es la función definidaen eel punto 3. Explícitamente,


24

1 = F(x1)

2 = F(x2)

3 = F(x3)

4 = F(x4)

.

.

.

¿Será ésta una progresión geométrica?Para encontrar explícitamente los valoresde x1, x2, x3, x4, x5,... procedemos de la si-guiente manera. En el editor de funciones(♦ W), introduzca las funciones:y1= F(x), y2 = 1, y3 = 2, y4 = 3, y5 = 4,... Ahorapresione ♦ R (GRAPH) para ver la gráfica delas funciones.

¿Dónde corta la gráfica de F las líneas hori-zontales y2 = 1, y3 = 2, y4 = 3, y5 = 4? Para ha-llar la intersección de y = F(x) y de y = 1, pre-sione F5+5 y seleccione intersection. Elcursor se coloca sobre la curva y1. PresioneENTER para seleccionar y1 como primera fun-ción. El cursor se coloca sobre y2. OprimaENTER para seleccionarla como segunda fun-ción. Ahora la calculadora pide determinarun intervalo en el cual se quiere buscar la in-tersección; mueva el cursor a la izquierda delpunto de intersección y oprima ENTER, luego

mueva el cursor a la derecha del punto de in-tersección y oprima ENTER.

Almacene ese valor en la variable SYSDATA

presionando ♦ D. Debe aparecer el mensajeDATA PLACED IN VARIABLE SYSDATA. Encuen-tre y almacene los otros tres puntos de inter-sección. Para ver los valores almacenados,presione APPS+6 (Data editor) y seleccio-ne la variable SYSDATA. Luego presione ENTER

dos veces.

Note que los valores en la columna y crecen li-nealmente, mientras que los de la columna x

crecen más rápidamente. Calcule x2/x1, x3/x2, ...¿Qué valores encontró? Podrá darse cuentaque todos los cocientes coinciden con el valoraproximado e = 2.7183, y que por lo tanto lasucesión x1, x2, x3, x4, x5,.. es una progresióngeométrica. Explícitamente,

x1 = e1, x2 = e2, x3 = e3, x4 = e4, ...

Si calculamos el logaritmo en base e en cadauna de estas igualdades obtenemos

Rog e (x1) = 1, Rog e (x2) = 2, Rog e (x3) = 3,Rog e (x4) = 4, ...

Se deduce de aquí que

Rog e (xn) =1

1 tdt

n

n=∫ Rnx

x( ).

¿Qué es el número e?

25


Solución de un sistema de ecuacionesen el programa de álgebra y cálculo3



En este taller se ejemplifican los métodos deeliminación, sustitución y matricial para re-solver un sistema de ecuaciones.

1. Método de eliminación

Problema. Un entrenador de tenis compracomida para su equipo en un restaurante.Ordena ocho hamburguesas y cinco por-ciones de papas a un costo de $47.500.oo.Como algunos de los jugadores quedancon hambre, el entrenador compra seishamburguesas más y otras dos porcionesde papas por $33.000.oo. ¿Cuál es el pre-cio de una hamburguesa y de una porciónde papas?

El planteamiento del problema puede hacer-se mediante un sistema de dos ecuacionescon dos incógnitas. Cada compra se expresacomo una ecuación lineal con incógnitas x ey, donde x representa el precio de una ham-burguesa e y representa el precio de una por-ción de papas:

8 x + 5 y = 47.5006 x + 2 y = 33.000

Veamos cómo resolver el sistema.

Antes de comenzar asegúrese de que noexistan valores asignados para las variables.Si desea borrarlos, ubíquese en la pantallaHOME y seleccione en el menú F6 la opción 1

(Clear a-z).

En la pantalla HOME escriba la primera ecua-ción, oprima la tecla STO (almacenar) y escri-ba ecua1. Presione ENTER para almacenar laecuación. Repita el procedimiento para la se-gunda ecuación y llámela ecua2.

Para eliminar una variable los coeficientesde una de las variables deben ser opuestos oinversos aditivos. Vamos a eliminar x multipli-cando la primera ecuación por 3. Para ello:

• Presione F2+3 (expand = distribuir)

• Escriba 3*ecua1, oprima STO y escribaecua1 para almacenar la ecuación multi-plicada por 3.

26


• Repita el procedimiento para la segundaecuación, eligiendo el factor adecuadopor el cual multiplicar.

• Sume las ecuaciones escribiendo ecua1+ ecua2. Presione ENTER. El resultado esuna ecuación en términos de y.

Para solucionar esta ecuación presione F2+1

(solve = resolver). Presione la tecla del cur-sor hacia arriba para seleccionar la ecuacióna resolver y oprima ENTER para pegarla en lalínea de comandos. Luego escriba, y) y opri-ma ENTER.

Escriba el valor obtenido para y, y oprima STO

y para almacenarlo en la variable y.

Presione F2+1. Escriba ecua1, x) y oprimaENTER para obtener el valor de x (precio de lahamburguesa).

2. Método de sustitución

Considere el siguiente sistema de tres ecua-ciones

-3 x + 2 y + z = 275 x – y + 9 z = 454 x + 3 y – 6 z = -62.

Presione F6+1+ENTER para borrar los valoresalmacenados en las variables. Introduzca lasecuaciones y almacénelas con STO en ecua1,ecua2 y ecua3. (Recuerde que en la calcula-dora hay una tecla especial para el signo -, di-ferente de la operación resta).

• Para despejar z de la primera ecuación,presione F2+1 (solve) teclee ecua1,z) yoprima ENTER.

• Al sustituir este valor en las ecuaciones 2y 3 se obtiene un sistema de dos ecua-ciones con dos incógnitas.

• Para hacer la sustitución se usa el ope-rador con de la TI-92 ô(2nd K) que sustitu-ye la expresión que le sigue en laexpresión que le precede.

• Escriba ecua2 y presione 2nd K. Luegooprima el cursor hacia arriba para selec-cionar la ecuación de z y presione ENTER

para pegarla en la línea de comandos.Almacene el resultado en ecua2.

• Escriba ecua3 y presione 2nd K. Luegooprima el cursor hacia arriba para selec-cionar la ecuación de z y presione ENTER

para pegarla en la línea de comandos.Almacene el resultado en ecua3.

Solucione la ecuación 2 para x y sustitúyalaen la ecuación 3. El resultado obtenido paray almacénelo en y. Solucione ahora nueva-mente la ecuación 2 para x y almacene estevalor en x. Finalmente solucione la ecuación1 para z.

3. Método de matrices

La TI-92 tiene una función para resolver siste-mas de ecuaciones simultáneas (simult).Este método es especialmente útil para siste-mas de más de dos ecuaciones. Los coeficien-tes se escriben como una matriz y los resulta-dos en otra matriz. La calculadora devuelveuna matriz columna con las soluciones.

En el siguiente ejemplo se muestra cómo seintroducen los valores para el sistema

6 x – 2 y = 2

3 x + 4 y = -19.

Nota. Los elementos en la fila se separan concomas y las filas con punto y coma. La matrizde coeficientes se separa con coma de la ma-triz de constantes.

27

Solución de un sistema de ecuaciones en el programa de álgebra y cálculo

Utilice este método para solucionar el sistema

10 x – 3 y + 7 z = -55- x – 4 y + 2 z = -296 x + 3 y – 5 z = 55.

28


Figura 1

Regresión lineal4



Una regresión es un intento de modelar conuna ecuación datos obtenidos experimental-mente. En este taller vamos a crear unas listasde datos e intentaremos determinar la ecua-ción lineal que mejor se ajuste a dichos datos.

Problema. Encuentre la ecuación lineal quemejor se ajusta a los datos (1, 6), (2, 10), (3, 13),(4, 12), (5, 17).

Encienda la calculadora y en la pantalla prin-cipal (HOME) borre el área de registro conF1+8. Borre la línea de comandos con CLEAR.

1. Creación de las listas. Las listas se escri-ben en la línea de comandos entre llaves { }.Para crear la lista de las abscisas teclee2nd(1,2,3,4,5 2nd)STO listax ENTER. Repita elprocedimiento para la lista de las ordenadasy almacénela en listay.

2. Graficación. Para graficar los datos presio-ne ♦ W y así entrar al editor de funciones. Siya hay algún gráfico estadístico (Plot) defi-nido, presione F5+1 y seleccione All off

para des-seleccionarlos todos. Presione la te-cla del cursor hacia arriba para seleccionar elprimer gráfico (Plot) libre y presione ENTER.Aparecerá la siguiente pantalla:

Escriba listax y listay en las casillas respecti-vas. Luego oprima dos veces ENTER

Para dividir la pantalla en dos regrese a lapantalla principal oprimiendo ♦ HOME. Lue-go oprima MODE F2 y con el cursor seleccio-ne Split Screen y 3: Left- Right.Oprima ENTER para confirmar. La pantallaaparecerá dividida, con la gráfica a la dere-cha.

Oprima ♦ R (GRAPH) para mostrar la gráficade los datos. Para ajustar los datos a la panta-lla presione F2 (Zoom) y seleccione 9: Zoom-

Data. Debe obtener una pantalla como la si-guiente:

29

Figura 1


Fíjese que la parte derecha tiene un bordegrueso. Esto significa que es la parte de lapantalla activa. Para activar la otra parte dela pantalla oprima 2nd APPS.

3. Búsqueda de la ecuación que modelalos datos. Ahora se quiere definir una ecua-ción que modele los datos. Como en la grá-fica parece que la mayoría de los puntos es-tán en una recta, buscaremos una ecuaciónlineal de la forma y = m * x + k. Podría hacer-se en el editor de datos Data/Matrix Edi-

tor, si los datos se hubiesen capturado enuna tabla. En este caso vamos a hacerlo des-de la pantalla HOME. Para hacerlo:

Escriba m * x + k STO y1(x) y oprima ENTER. Ve-rifique la exactitud de su ecuación escribien-do y1(x) ENTER. Si ve expresiones numéricasen lugar de m x + k es porque tiene almacena-do algún valor para las variables. En ese casooprima F6+1 y repita este procedimiento.

Ahora necesitamos definir un criterio numé-rico para saber qué tan ajustada está la ecua-ción con relación a los datos. Si la línea estábien ajustada, la distancia de cada uno de lospuntos a la línea debe ser mínima. Esta dis-tancia se toma como la diferencia entre laordenada del punto dado y el valor de lafunción aplicada en la abscisa de ese puntoen la línea; pero, para evitar que las diferen-

cias positivas (de los puntos que están enci-ma de la línea) se anulen con las diferenciasnegativas (de los puntos que están debajode la línea), se toma el cuadrado de la dife-rencia. Por eso este es el método de los mí-nimos cuadrados.

Sumamos entonces los cuadrados de las di-ferencias, suponiendo que la línea que mejorse ajusta a los datos será aquella tal que lasuma de los cuadrados de sus distancias sea lamás pequeña. Para ello:

– presione F4+1 y seleccione Define

– escriba ss=sum((listay-y1 (listax))^2) y opri-ma ENTER

– verifique la exactitud de la fórmula te-cleando ss y oprimiendo ENTER

– debe obtener 5 k2 + k (30 m - 116) + 55 m2

- 396 m + 738

– si no obtiene este valor, revise su ecuación.

Llegó el momento de ensayar los valores dem y k para ajustar la línea a los datos. Para co-menzar tomemos m = 2, k = 2. PresioneENTER y CLEAR.

– 2 STO m ENTER

– 2 STO k ENTER

– ♦ GRAPH

Debe obtener una pantalla como la que apa-rece en la página siguiente (figura 3).

Esta no es una buena aproximación. Presio-ne 2nd APPS para activar la pantalla HOME y es-criba ss para ver el coeficiente de ajuste.

Con m = 2 y k = 2, la línea y = 2 x + 2 tiene unasuma de cuadrados de 74.

Intente encontrar una buena aproximacióncon valores diferentes para m y k. Verifique

30


Figura 2

mirando la gráfica y calculando el coefi-ciente ss.

La TI-92 utiliza el método de los mínimoscuadrados para calcular la ecuación quemejor se ajusta a los datos. Desde la panta-lla HOME presione 2nd MATH y seleccione 6:Statistics, 3: Regression y 1: Lin-Reg. Luego escriba listax, listay ENTER.Para ver los resultados escriba showstat yoprima ENTER.

31

Regresión lineal

Figura 3

Actividades en sistemas numéricos

Hugo Martín Cuéllar GarcíaGrupo Coordinador


1. Los cuatro cuatros

Una de las primeras dificultades a la que nosenfrentamos cuando trabajamos con la cal-culadora TI-92, consiste en determinar la for-ma de escribir las operaciones en ella. Al con-siderar el clásico problema de los cuatrocuatros se genera algún tipo de dificultad ini-cial al transcribir en la calculadora las expre-siones obtenidas a lápiz y papel.

• Empleando cada vez cuatro cuatrosobtenga expresiones aritméticas cuyosresultados sean los números naturalesmenores que 20.

• Compruebe los resultados obtenidoscon la calculadora.

Al escribir las expresiones para cada unode los números dados en la tabla, se tieneque la escritura lineal (en el área de regis-tro) puede alterar los resultados, si no setiene en cuenta el orden en que la calcula-dora efectúa las operaciones. Sin esta pre-caución, donde debería ser 3 puede apare-cer 9, en lugar de 12 puede aparecer 45 yel 5 se podría cambiar por 17.

En cada uno de estos casos vale la penapreguntar a los estudiantes sobre lo quepiensan acerca de las operaciones que rea-

liza la calculadora. ¿Se equivocó la calcula-dora? ¿La expresión que dimos no eracorrecta? Además, se puede generar unadiscusión en cuanto a las modificacionesnecesarias (uso de paréntesis y signos deagrupación) que se deben hacer en cadauna de las expresiones halladas, para obte-ner la respuesta correcta en cada caso.

32

1 = 11 =

2 = 12 =44 4

4

+

3 =4 4 4

4

+ +13 =

4 = 14 =

5 =4 4 4

4

× +15 =

6 = 16 =

7 = 17 =

8 = 18 =

9 = 19 =

10 = 20 =

2. Problema con los años

Evaristo Galois nació en 1811 y murió en1832, luego de una corta vida, dejando unlegado en matemáticas que ha perduradohasta nuestros días.

• Con los dígitos del año de nacimientode Galois podemos crear expresionesaritméticas cuyos resultados son los dígi-tos del 0 al 9. ¡Compruébelo con ayudade la calculadora! Determine a qué nú-mero corresponde cada dígito.

1 8 1 1× + + 1 8 1 1× × ×

18 1 1×( – ) 1 8 1 1× – – 1 8 1 1+ + +

1 8 1 1× ×– 1 8 1 1× + – 1 81 1× ×

1 8 1 1+ +–( ) 1 8 1 1+ × ÷( )

• Utilizando los dígitos del año de la muer-te de Galois, cree expresiones aritméti-cas cuyos resultados sean los númerosdígitos.

1 8 3 2 = 0 1 8 3 2 = 5

1 8 3 2 = 1 1 8 3 2 = 6

1 8 3 2 = 2 1 8 3 2 = 7

1 8 3 2 = 3 1 8 3 2 = 8

1 8 3 2 = 4 1 8 3 2 = 9

• ¡GRAN DESAFÍO!

Intercale signos de operaciones aritméti-cas entre los dígitos y, en caso de ser ne-cesario, signos de agrupación, de talmanera que el resultado de cada expre-sión sea el indicado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1811

9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 1832

Observación. Este mismo tipo de ejerciciopuede motivar más a los estudiantes si se lespide encontrar expresiones aritméticas conlos dígitos de un año significativo para ellos,como la fecha de su nacimiento.

3. Patrones (1)

Los renglones que siguen, pertenecen a unmismo patrón. Obsérvelos cuidadosamente:

a) Escriba los datos que faltan y comprue-be el patrón.

33

Actividades en sistemas numéricos

... + ... = ...

... + ... + ... = ...

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = (...)2

4 + 5 + ... + ... + ... + 9 + 10 = (...)2

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

...

...

b) Escriba dos renglones anteriores y dosposteriores de los que están.

c) Complete las expresiones siguiendo elmismo patrón.

(i) 25 + 26 + 27 + ... + 71 + 72 +73 = ( ) 2

(ii) ..................................................... = 812

4. Patrones (2)

Los renglones que siguen, pertenecen a otropatrón. Obsérvelos cuidadosamente.

a) Escriba los datos que faltan y comprue-be el patrón.

b) Escriba dos renglones anteriores y dosposteriores.

c) Complete las expresiones siguiendo elpatrón:

(i) 81 + ... ... … = ...

(ii) ... + ... ... ... = ... + 225

(iii) ... + = ... = 1150

d) Describa, en forma general, este patrón.

e) Si n representa la fila enésima, determi-ne una expresión para calcular la suma Sen función de n.

34


... + ... + ... = ... + ...

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

16 + 17 + 18 + 19 + 20 = ... + ... + ... + ...

... ... ... ... + ... + ... = 31 + 32 + 33 + 34 + 35

...

Datos agrupados. Trabajo con elpaquete de estadística

Edwin Alfredo Carranza VargasInstituto Pedagógico Nacional

Tomaremos un conjunto numeroso de datospara hacer un análisis estadístico, a partir dela técnica de datos agrupados.

1. Introducción de los datos

Oprima la tecla APPS, seleccione 6: Data/Matrix Editor y en el menú elija 3: New.Coloque nombre a la variable, oprimaENTER para aceptar el nombre de la variabley nuevamente ENTER para obtener la pantalladel Editor que se muestra a continuación:

– Introduzca los datos en la columna c1.Cada vez que introduzca un dato oprimaENTER.

2. Ordenamiento de los datos

– Es posible ordenar los datos de menor amayor. Para ello, seleccione F6+3: Sort

Column.

– ¿Cuál es el menor de los datos? ¿Cuál es elmayor de los datos? ¿Cuál es la diferenciaentre el mayor y el menor de los datos?A la diferencia entre el menor y el mayorde los datos se le conoce como el rangodel conjunto.

3. Cálculo de algunos valoresrepresentativos del conjunto

– Al oprimir F5 se obtiene una pantallacomo la siguiente, a través de la cual es

35

Figura 2

Figura 1

posible hallar diferentes medidas para elconjunto.

– En el menú Calculation Type, selec-cione 1: Onevar ya que vamos a hacercálculos con una sola variable. Indiquepara la variable x que los datos han sidointroducidos en la columna c1, oprimaENTER para aceptar. Como por ahora noharemos cálculos con frecuencias, a lapregunta Use Freq and Categories?,responda NO. Ahora oprima ENTER.

– Observe los valores de la media, la desvia-ción estándar de la muestra, los cuartilesQ1 y Q3 y la mediana. Justifique por qué lamediana es el mismo cuartil Q2. Interpretelos resultados obtenidos.

– Compare la media y la desviación están-dar de la muestra con los valores obteni-dos para otros conjuntos introducidos porlos demás compañeros.

– Oprima ENTER para regresar al Editor.

4. Histograma

– A continuación representaremos gráfica-mente los datos por medio de un histogra-ma. Para tal efecto, oprima F2, borre pormedio de F3 cada una de las gráficas

(Plot) que aparecen en el listado e iniciela definición de la gráfica Plot1 por me-dio de F1, para lo cual aparece una panta-lla como la anterior (figura 3).

– En la opción Plot Type seleccione 4:Histogram. Indique que los datos de lavariable x se introdujeron en la columnac1 y oprima ENTER.

– Decida de cuántas barras construirá el his-tograma. Esto significa que se requiere elcálculo del ancho de la barra, teniendo encuenta el rango. Escriba este valor del an-cho en Hist. Bucket Width y oprimaENTER.

– Puesto que por ahora no estamos traba-jando con frecuencias predeterminadas,a la pregunta Use Freq and Catego-

ries?, responda NO y oprima ENTER.

– Para ver la gráfica, oprima ♦ R (GRAPH). Sino observa la gráfica como la esperaba,oprima F2 y seleccione 9: ZoomData.Realice los ajustes necesarios para losejes de la gráfica por medio de ♦ E

(WINDOW), teniendo en cuenta el menorde los datos para empezar el histogramay que las barras se observen completasen la pantalla. Observe nuevamente lagráfica con ♦ R (GRAPH).

5. Distribución de frecuencias

– Por medio de F3 (Trace), determine paracada barra del histograma los límites infe-rior y superior y la frecuencia, esto es, elnúmero de datos que son mayores oiguales que el límite inferior y menoresque el límite superior. Es posible pasar deuna barra hacia otra con las flechas dere-cha - izquierda del cursor. Llene una tablacomo la siguiente:

36


Figura 3

37

Datos agrupados. Trabajo con el paquete de estadística

Intervalo Frecuencia

6. Diagrama de cajas

Al final de esta página se muestra un diagra-ma de cajas. Observe la información que sepuede obtener a partir de él.

– Para construir el diagrama de cajas de losdatos con los que está trabajando, regreseal editor de datos (APPS, 6: Data/MatrixEditor, 1: Current) ¡Elija Current y noNew!

– Nuevamente seleccione F2 y defina Plot2por medio de F1. Seleccione en Plot

Type 3: Box Plot. Indique que los datosde la variable x se introdujeron en la co-lumna c1. Oprima ENTER.

– Puesto que por ahora no estamos trabajan-do con frecuencias predeterminadas, a lapregunta Use Freq and Categories?,responda NO y oprima ENTER.

– Con ♦ R (GRAPH) observe el diagrama decajas. Oprima F3 y con las flechas del cur-sor arriba - abajo ubíquese en el diagramade cajas. Con las flechas derecha - izquier-da del cursor puede observar los valoresmin, Q1, med, Q3 y máx.

– Relacione el diagrama de cajas con el his-tograma.

7. Presentación de los datosagrupados en el editor de datos

– Regrese al editor de datos (APPS, 6:Data/Matrix Editor 1: Current) ¡ElijaCurrent y no New!

– Digite los datos en las siguientes columnas. Acada intervalo haga corresponder una fila.c2: Límite inferior de cada clase. c3: Límite

Q1 Q2 Q3| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

|

Caja menor Caja mayor

Figura 4

superior de cada clase. c4: Frecuencia decada clase. c5: Frecuencia acumulada.

La frecuencia acumulada de cada clase in-dica el número de datos que son menoresque el limite superior de la misma. Para en-contrar la frecuencia acumulada de cadaclase ubíquese sobre la celda marcada conc5 y oprima 2nd +5 (MATH), seleccione3:List y luego 7:cumSum(, y escriba c4.

7. Ojiva

– La ojiva es una representación gráfica enla cual se hace corresponder a los límitessuperiores de cada intervalo la respectivafrecuencia acumulada. Prediga la formade la gráfica.

– En el editor de datos (Data/MatrixEditor), seleccione F2, desactive el dia-grama de cajas con F4 y con F1 definaPlot 3. Seleccione en Plot Type, 2:xyline. Para la variable x, indique los lí-mites superiores (c3) y para la variable y

las frecuencias acumuladas (c5). Por aho-ra no incluimos trabajo con el uso de fre-cuencias y categorías. Oprima ENTER dosveces consecutivas.

– Observe la gráfica con ♦ R (GRAPH) y ajustelos valores con ♦ E (WINDOW); asigne comovalor xmin el mismo que utilizó para elhistograma.

– Relacione la ojiva con el histograma. Obser-ve cómo varia la ojiva cuando la barra esmás alta y cuando la barra es más baja.

– A partir de la ojiva, moviendo el cursor, sepuede interpolar para determinar cuántosdatos del conjunto son menores que al-gún valor determinado. Si desea mayorprecisión, en F2, seleccione 1: ZoomBox, e

indique el tramo de la ojiva al que le va aaumentar el tamaño.

8. Algunos ejercicios

– Marcas de clase. La marca de clase decada intervalo es el valor que se encuen-tra exactamente en la mitad entre el lími-te inferior y el superior. Ubíquese sobrela celda marcada con c6 para que en di-cha columna registre la marca de clasede cada clase. ¿Cómo puede hallar lamarca de clase a partir de los límites dela misma?

– Polígono de frecuencias. El polígono defrecuencias es una representación gráficaque hace corresponder a cada marca declase la frecuencia de la respectiva clase.Construya la gráfica y compárela con elhistograma. Determine cuál es el valor delque se puede afirmar que se repite conmayor frecuencia, esto es, la moda delconjunto.

– Frecuencia relativa. La frecuencia relativade cada clase es el porcentaje de datoscon respecto al total que corresponde acada intervalo. ¿Cómo podría calcularloen la tabla del editor? Hágalo en c7.

– Frecuencia relativa acumulada. La fre-cuencia relativa acumulada de un interva-lo es el porcentaje de datos que es menorque el respectivo límite superior. ¿Cómopodría calcular en la tabla del editor dichafrecuencia? Hágalo en c8.

– Ojiva porcentual. Construya una gráficaque haga corresponder a cada límite su-perior la frecuencia relativa acumulada dela respectiva clase.

– Percentiles. ¿Cómo podría determinar apartir de la ojiva porcentual, el porcentaje

38


de datos que supera al 70%? A esto se lellama el percentil 70, Pt,. Intente con otrospercentiles, calcúlelos e interprételos.

9. Cálculo de algunos valoresrepresentativos del conjuntocon el uso de las frecuencias

– Como ya vimos, al oprimir F5 se obtieneuna pantalla a través de la cual es posiblehallar diferentes medidas para el conjun-to.

– En el menú Calculation Type seleccio-ne 1: Onevar, ya que vamos a hacercálculos con una sola variable. Indiquepara la variable x que los datos, en estecaso las marcas de clase que son los re-presentantes de cada clase, han sido intro-ducidos en la columna c6. Oprima ENTER

para aceptar. Como ahora tendremos encuenta las frecuencias de las clases, a lapregunta Use Freq and Categories?,responda SI e indique que las frecuenciasse han ingresado en la columna c4. Ahoraoprima ENTER.

– Observe los valores de la media, la desvia-ción estándar de la muestra, los cuartiles Q1

y Q3 y la mediana. Justifique por qué la me-diana es el mismo cuartil Q2. Interprete losresultados obtenidos. Compare la media y ladesviación estándar de la muestra con los va-lores obtenidos para otros conjuntos por losdemás compañeros.

Compare los valores obtenidos de la muestracon los valores obtenidos para el mismo con-junto cuando no se utilizaron datos agrupa-dos. ¿Qué ventajas y qué desventajas tienetrabajar con datos agrupados?

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Datos agrupados. Trabajo con el paquete de estadística

Fundamentación cognitiva delcurrículo de matemáticas5

Luis Moreno Armella, Guillermina WaldeggCINVESTAV – IPN, México

1. Introducción

Las expectativas de cambio en las sociedadescontemporáneas se han visto afectadas, enmayor o menor medida, por la apertura haciaun nuevo siglo, y es la educación el campo endonde confluyen mayormente estas expectati-vas. Las sociedades han comprendido que elfuturo está íntimamente ligado a la educación.Ya escuchamos de manera reiterada las vocesque nos invitan a imaginar la sociedad de la in-formación y del conocimiento.

Si se quiere que estas expectativas se veancolmadas, los sistemas educativos tendránque entrar en resonancia con los inmensosdesarrollos científicos y tecnológicos de lasúltimas décadas y así, prepararse para darrespuesta a las necesidades educativas in-mediatas y abrirse a lo nuevo e inesperado.Por lo tanto, los sistemas educativos tienenun gran desafío: lograr la transformaciónde sus estructuras curriculares, entendien-do que éstas ya no pueden depender total-mente de los contenidos temáticos, comoha sido tradicional, sino de un desarrollocognitivo en sus individuos que incorporeel fortalecimiento de actividades como la

generalización, la sistematización y la abs-tracción. Los estudiantes, cada vez más,tienen necesidad de enfrentarse a la resolu-ción de problemas, no sólo en el ámbito es-colar sino en sus futuros lugares de trabajo,en donde la creatividad y la innovación se-rán la moneda de cambio. Los estudiantesnecesitan instrumentos de aprendizaje, esdecir, estructuras cognitivas con alto gradode adaptabilidad a lo nuevo. Esta necesi-dad refleja una dimensión central del pro-ceso de educación continua en el que cadadía estaremos inmersos.

Cuando la sociedad discute los fines de laeducación, incluye entre sus propósitos ac-ciones que conducen a modelar las con-ductas, vocaciones, conocimientos y valo-res de sus miembros, en función de lascapacidades individuales. Desde luego,esto lo hace a partir de sus propios objeti-vos: si una sociedad se propone educarsólo a sus élites, el profesor, como único re-curso, puede bastar para la consecución deestos fines. Empero, el problema se hacemás complejo cuando una sociedad se ve así misma como una sociedad en desarrollo

40

5 Capítulo 3 del libro Didáctica de las Matemáticas, Editorial Síntesis, Madrid, Luis Rico (ed).

que busca dotar a todos sus miembros deuna educación que privilegie los valores de-mocráticos y la confianza en un bienestarsalido del progreso científico y tecnológico.

Es en este último caso en el que la psicolo-gía ha tenido un papel principal en el cursodel siglo veinte. La psicología ha puesto elénfasis en la necesidad de conocer las capa-cidades intelectuales, tanto individualescomo compartidas de los estudiantes para,a partir de ese conocimiento, garantizar lascondiciones mínimas de acceso a la educa-ción a todos los miembros de la sociedad.Con ello se hace manifiesto el compromisode esta disciplina con las sociedades demo-cráticas y con los avances científicos y tec-nológicos.

La psicología hace su aparición en el cam-po de la educación por la vía de los tests.Su propósito, en aquel momento, era de-tectar a los niños que no estaban en posibi-lidades de seguir una escolaridad “nor-mal”, para proponerles una formaciónespecífica alternativa. La base teórica delos tests era restringida: se trataba de esca-las esencialmente descriptivas que permi-tían ubicar al individuo entre otros seme-jantes en función de su nivel de desarrollo.La evaluación diagnóstica se proponía, adi-cionalmente, hacer una predicción delcomportamiento y del éxito individual, va-lorando la medida en la que un niño o unadolescente podría alcanzar tal o cual nivelde ejecución. Estos tests diagnósticos toda-vía juegan un papel importante al interiorde la institución escolar, aunque su impac-to disminuye progresivamente.

Los instrumentos elaborados con fines diag-nósticos dieron un gran espacio a los conoci-mientos culturales y a la adaptación a la vidacotidiana, surgiendo de allí aplicaciones más

directamente relacionadas con el desempe-ño escolar y con el currículo.

Hacia mediados del presente siglo, surgie-ron, en el panorama internacional, los pri-meros encuentros que se proponían discutirresultados de la investigación psicológicaen el campo de la enseñanza y el aprendiza-je de las matemáticas, dando lugar con elloa un nuevo campo de investigación. Inicial-mente, esta nueva investigación se orientóhacia los llamados errores de comprensión.Siguiendo la antigua tradición normativa dela didáctica, estos resultados condujeron ala decisión de tratar de modificar, no las es-trategias de aprendizaje, sino las estrategiasde enseñanza que permitieran superar lasdeficiencias.

En este caso, el enfoque tenía como hipóte-sis de base una concepción del conocimien-to matemático según la cual, el significadode un enunciado es único y, en consecuen-cia, lo importante es saber transmitirlo paraque un estudiante lo comprenda. Sin embar-go, el hecho de que los estudiantes desarro-llen formas de conocimiento que no coinci-den con los contenidos escolares oficialesestá en abierto contraste con aquella supues-ta transparencia del conocimiento.

El reconocimiento de que el problema no esexclusivamente atribuible a la enseñanza in-clinó el interés investigativo hacia el estudiode las construcciones intelectuales del estu-diante, es decir, de las maneras en las que elestudiante recoge, procesa e interpreta la in-formación que recibe por diversas vías, enparticular, dentro de un contexto escolar. Elmovimiento constructivista en la educaciónfue ganando terreno, en buena medida, por-que encontró una base de sustentación teóri-ca en las tesis epistemológicas constructivis-tas de la escuela piagetiana.

41

Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticas

Como veremos más tarde, la psicología de laeducación se encuentra hoy en una posiciónmuy distinta a la que le dio origen, e incluso ala que floreció dentro del paradigma piage-tiano. Tanto las investigaciones como la prác-tica docente han puesto en evidencia que:

i) Los estadios del desarrollo individual,propuestos por la teoría de Piaget, con-tienen una parte muy importante de re-sultados que apelan a conocimientosculturales. Por ello, no pueden evaluarselos logros cognitivos de los alumnos almargen de las influencias del medio.

ii) Ciertas actividades escolares pueden pre-sentar dificultades específicas, por ejem-plo, el aprendizaje de la lectura, que confrecuencia da lugar a un tipo de fracaso enalumnos intelectualmente muy dotados.

iii) El nivel intelectual medido por los testsaumenta regularmente cada cincuentaaños, lo que conduce a preguntarse porlos orígenes de este crecimiento y, dehecho, por las relaciones entre las capa-cidades que se pueden definir con inde-pendencia de las influencias del medio yde sus demandas, aportes y sanciones.

Estos hechos se encuentran entre los quehan conducido a la psicología cognitiva a es-tudiar un cierto número de actividades com-plejas, como la lectura, la composición detextos, la numeración, la resolución de pro-blemas, y otras, menos conocidas en estecampo, como la música o el dibujo. Estos es-tudios han puesto en evidencia hechos queproporcionan resultados nuevos y funda-mentales para los aprendizajes escolares.Así, la investigación en psicología cognitivano sólo ha contribuido a acrecentar nuestracomprensión de las dificultades de ciertosaprendizajes escolares, sino que ha permiti-do concebir actividades e instrumentos que

pueden —de manera modesta pero real—prevenir el fracaso escolar.

Gracias a las competencias técnicas que haelaborado durante las últimas décadas, la psi-cología puede contribuir a diagnosticar difi-cultades y a proponer actividades, pero tam-bién puede ayudar a concebir situaciones yherramientas pedagógicas nuevas, adaptan-do los resultados de la investigación y po-niéndolos a disposición de los profesores.Más aún, el cuerpo de conocimientos desa-rrollado por la psicología cognitiva permiteextender el papel de los equipos pedagógi-cos, al proporcionar elementos teóricos ymetodológicos para la elaboración de planesy programas de estudio y de secuencias di-dácticas.

A continuación, proponemos una revisiónde las principales teorías que han explicadoel aprendizaje durante el último siglo. Conello no intentamos agotar el tema, sino dar allector un mapa que le permita reconocer elpanorama teórico en el que se sitúa la defini-ción y el desarrollo de los contenidos escola-res que debe enseñar.

2. Aprendizaje y conducta

Las diversas teorías de la cognición están deacuerdo en atribuir al individuo una capaci-dad esencial: la capacidad de aprender. Lospuntos de vista divergen, empero, en lo querespecta a la naturaleza del aprendizaje.

Para los conductistas, los aprendizajes estánregidos por una serie de leyes generales quepueden ser descubiertas a partir de hechosobservables. El aprendizaje está definidocomo la modificación de la conducta por laexperiencia y el estudio del aprendizaje,como la ciencia del comportamiento. Noobstante, gradualmente los psicólogos han

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reconocido la necesidad de ir más allá de losfenómenos observables y de ocuparse de losprocesos mentales que subyacen a los com-portamientos. El concepto de conducta sevio entonces cuestionado, acotando las teo-rías conductistas clásicas.

2.1 El conductismo

El conductismo se instauró, hacia los añoscincuenta del siglo veinte, como una pro-puesta metodológica y como una teoríadel aprendizaje. Inspirado en el paradigmapositivista de la física clásica, el conductis-mo propuso un modelo de aprendizaje detipo asociativo: E → R. Los Estímulos (exter-nos) llegan al individuo quien produce lasRespuestas (internas o conductuales). Lainstalación de nuevas conductas por repeti-ción de asociaciones E → R define el apren-dizaje por condicionamiento. Éste es unproceso mecánico en el que el repertoriode comportamientos del aprendiz está de-terminado por los reforzamientos que elmedio proporciona: se recompensan y re-producen las “buenas” respuestas y las“malas” se castigan y son abandonadas.Bajo esta perspectiva, el proceso constitu-ye una forma elemental de aprendizajecuyo campo de aplicación se vincula tantocon el desarrollo de hábitos y conductas re-lacionadas con las emociones, como conaprendizajes complejos.

El condicionamiento instrumental (Skinner,1904-1990) se distingue del condiciona-miento clásico pues incorpora la actividaddel individuo. El aprendiz establece, él mis-mo, la relación entre dos sucesos, entre uncomportamiento y una respuesta. Si elcomportamiento da lugar a una satisfac-ción, será reproducido. En caso contrario,será abandonado. Esta concepción del

aprendizaje proporcionó a Skinner los princi-pios de la enseñanza programada.

2.2 Aportaciones y límites delconductismo

El esquema E → R permitió hacer progresosen el conocimiento de las leyes funcionales yelementales que rigen los aprendizajes sim-ples, pero se constituyó en un reduccionis-mo de la realidad psicológica. El hecho dehaber sido puesto a prueba en el comporta-miento animal y, principalmente, en conduc-tas motrices, limita la aportación de la teoríaconductista. Al excluir del análisis los proce-sos mentales de los individuos, y al excluir desu interés los procesos mentales internosque les da sustento, el conductismo no per-mite dar cuenta de aprendizajes complejos,como la adquisición del lenguaje o del razo-namiento lógico–matemático.

El conductismo puso el acento en la dimen-sión cuantitativa de los saberes; de ahí queprivilegió la fragmentación de los contenidosy de las tareas, y la jerarquización de los co-nocimientos, que debían ser adquiridos enun orden lineal y acumulativo, a menudo ca-rente de una visión de conjunto.

El punto más débil de este enfoque radicabaen el hecho de que se desatendía de las con-diciones en las cuales se realizan las adquisi-ciones. Sin embargo, las nuevas tendenciasdel conductismo, conocidas como neocon-ductismo, aunque mantienen las tesis bási-cas que les dieron origen, conceden que sedebe otorgar un peso en las explicaciones alpapel de los factores emotivos y mentalesdel individuo; de esta manera, buscan nosólo comprender el patrón E → R, sino expli-car también los factores de mediación queintervienen entre el estímulo y la respuesta.

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3. El niño como centro del procesode aprendizaje: el enfoquePiagetiano

Los trabajos de Piaget y de sus seguidores inau-guraron una perspectiva para el estudio delaprendizaje radicalmente nueva. Desde esemomento el niño pasó a ocupar el centro delas preocupaciones de los psicólogos de laeducación y aun del sistema educativo en suconjunto. Se puso el acento en las capacida-des cognitivas del niño que le permiten com-prender las situaciones y sacar provecho de lasenseñanzas. Sin embargo, todo sucedía comosi el desarrollo del niño siguiera un curso autó-nomo, poco o nada sensible a las influenciasdel lenguaje, de la sociedad y de la cultura.Desde la perspectiva piagetiana, la determina-ción del nivel de desarrollo del niño se volviócrucial, en tanto que este nivel condicionaba laposibilidad del niño para aprovechar tal o cualaporte de conocimientos y para operacionali-zar tal o cual modo de funcionar.

3.1 Antecedentes

Para entender la presencia de la teoría piage-tiana como una nueva manera de mirar losfenómenos de la cognición (y eventualmen-te de la educación), que reacciona ante el re-duccionismo conductista, conviene ubicar-nos en una perspectiva histórica.

En su Crítica de la Razón Pura, Kant afirmaque, al entrar en contacto con su objeto deconocimiento, el sujeto recibe impresionessensibles que somete a un proceso organiza-dor. Esto lo hace, según Kant, mediante susestructuras cognitivas innatas. Así como unlíquido adopta la forma del recipiente que locontiene, así también las impresiones senso-riales adoptan las formas que les son impues-tas por las estructuras cognitivas que las pro-

cesan; el resultado de este procesamiento esel conocimiento. La capacidad cognoscitiva(lo que es capaz de aprender y comprender)del sujeto tiene como límites aquellos que leson impuestos por el dominio de su expe-riencia.

De manera muy abreviada, podemos decirque hay dos consecuencias fundamentalesdel enfoque kantiano que incumben al pro-ceso educativo. La primera es que el cono-cimiento deja de ser concebido como re-presentación, como copia de una realidadexterna y, en su lugar, el conocimiento seconcibe como resultado de la interacciónentre el sujeto (provisto de sus estructuraso instrumentos cognitivos) y sus experien-cias sensoriales. La segunda consecuenciaes que el sujeto ya no es pasivo frente al ob-jeto de su conocimiento. A esta soluciónkantiana le hacía falta contestar a la pre-gunta: ¿de dónde provienen los instrumen-tos cognitivos que sirven para transformaren conocimiento las experiencias del suje-to?

La epistemología constructivista piagetianaha sido una de las respuestas más elaboradasa este interrogante. Sin proponérselo explíci-tamente, dicha epistemología se constituyóen una base de sustentación para el cons-tructivismo desde la perspectiva de la educa-ción. Sin embargo, las tesis epistemológicasde este constructivismo fueron, con frecuen-cia, trasladadas mecánicamente al campoeducativo dando como resultado una espe-cie de “deslizamiento” desde la epistemolo-gía hacia la didáctica.

En su versión constructivista, la epistemologíaviene provista de una base experimental cons-tituida por la historia de la ciencia y ciertos ex-perimentos psicológicos, que quedan enmar-cados en la llamada psicología genética.

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Es muy importante diferenciar con precisiónesta doble naturaleza del soporte experi-mental propio de esta versión de la episte-mología, que surgió con pretensiones de sa-car a la epistemología del terreno de laespeculación filosófica y colocarla en el cam-po de la reflexión científica.

La epistemología piagetiana está construidaalrededor de categorías básicas de la ciencia:espacio, tiempo, causalidad, principio deconservación de la materia, el número, etc.Piaget realizó investigaciones decisivas so-bre estas categorías, desde la perspectiva dela historia de las ideas, que lo llevaron a unaexplicación de la racionalidad científica concaracterísticas identificables por lo menos enel pensamiento occidental.

Sin embargo, Piaget siempre consideró nece-sario dar una sustentación experimental asus aseveraciones de orden epistemológico.Entonces, su “laboratorio epistemológico”,constituido por la historia de la ciencia se vioampliado con las investigaciones psicológi-cas que le dieron un lugar en la historia de lapsicología infantil. En este campo, Piaget diola demostración empírica de que la mente in-fantil tiene su propia lógica y no es, como sepensaba, una versión a escala de la menteadulta. Por el papel evolutivo que Piagetotorga al desarrollo cognitivo del niño, suteoría psicológica fue bautizada como psico-genética.

Uno de los resultados más conocidos de esteacercamiento teórico, que tuvo mayores re-percusiones en la enseñanza de las matemá-ticas, se refiere a la evolución del conceptode número en el niño: el acceso a la llamadaconservación parecía determinante para lacomprensión de la cardinalidad y de las ope-raciones aritméticas. Se concluía entoncesque los usos anteriores de conteo y numera-

ción sólo eran manifestaciones verbales, sininterés y sin repercusión para el aprendizaje.Con ejemplos como éste, la psicología se en-contró así, durante un breve periodo, en po-sición de determinar, al menos para ciertossectores disciplinarios, los contenidos y la or-ganización curricular de aquello que se de-bía enseñar.

La psicología piagetiana surgió en oposi-ción a la concepción conductista, buscan-do construir una ciencia de la cognición apartir del estudio empírico de la estructuray funcionamiento del sistema cognitivo.Este acercamiento se presenta, ante todo,como una psicología del conocimiento. Po-demos pasar la psicología piagetiana por elcristal de la epistemología correspondien-te. Dicha psicología, como hemos visto,responde a las necesidades del programaepistemológico como parte sustancial de sumetodología. Lo que vemos, una vez pasadala psicología por ese cristal, son las compo-nentes estructuralista, constructivista e inte-raccionista de dicha teoría psicológica.

3.2 La componente estructuralista

Para Piaget, el aprendizaje consiste en el pa-saje de un estado de menor conocimiento aun estado de mayor conocimiento. Piagetpostula la existencia de una serie de organi-zaciones internas de la experiencia y de la in-formación previa del sujeto (sus estructurascognitivas), que son cada vez más poderosasy permiten integrar la información de modoscrecientemente complejos. Las estructurascognitivas evolucionan hacia un pensamien-to cada vez más estable, que es capaz de in-corporar en sus explicaciones un númerocreciente de situaciones del mundo físico ydel entorno cognitivo. Piaget intenta explicarlos mecanismos de adquisición y de utiliza-

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ción de los conocimientos a partir de la géne-sis de las operaciones lógico–matemáticassubyacentes a toda actividad intelectual.

Las etapas sucesivas del desarrollo cognitivodel niño, son el resultado –según Piaget– dela experiencia y de la acción del sujeto queactúan como motores de la construcción, eincluso de la reconstrucción, de las represen-taciones internas que el niño se hace del me-dio físico, inicialmente percibido y compren-dido de manera intuitiva.

Piaget sostiene que, en lo esencial, el desa-rrollo cognitivo parte de la puesta en marchade conocimientos concretos, sostenidos pri-mero en representaciones inmediatas y pos-teriormente en hipótesis (construcción de lainteligencia abstracta). Se trata de un largoproceso de organización del mundo marca-do por adquisiciones relacionadas con losconocimientos y con la utilización de siste-mas de relaciones entre los objetos (clasifica-ciones, seriaciones), entre los objetos y el su-jeto (el tiempo y el espacio), y finalmenteentre los objetos, el sujeto, el tiempo y el es-pacio.

3.3 La componente interaccionista

Los progresos en la adquisición del conoci-miento resultan, en realidad, de una cons-trucción en la que el sujeto es responsable di-recto de su aprendizaje. Actuando sobre elmedio, el sujeto reconstruye el mundo físicoy social que le rodea, lo representa y lo obje-tiviza. En uno de sus primeros libros (1923),Piaget logró expresar esta posición de mane-ra muy elocuente:

(...) el conocimiento del mundo exteriorcomienza por una utilización inmediatade las cosas (...) la inteligencia no co-mienza así ni por el conocimiento del

yo ni por las cosas en cuanto tales sinopor su interacción y orientándose simul-táneamente hacia los dos polos de esainteracción, la inteligencia organiza almundo organizándose a sí misma (Pia-get, 1983).

El conocimiento se define entonces como elproducto de la elaboración de la experiencia ala que se confronta el sujeto.

El ser humano está condicionado por su en-torno físico y social. Las perturbaciones queresultan de la interacción con su entorno,tanto social como material, le plantean la ne-cesidad de construir estructuras cognosciti-vas, que cada vez respondan mejor a los pro-blemas que le plantea su medio.

La adaptación del sujeto al medio (social ymaterial) pone en juego dos mecanismosfundamentales: la asimilación y la acomoda-ción. La asimilación consiste en una familiari-zación de los datos del mundo exterior conel fin de hacerlos integrables a la estructurapropia del sujeto; el entorno entonces “tien-de a conformar” la estructura del niño. A lainversa, la acomodación corresponde a unajuste del sujeto a los datos del entorno.

Los dos procesos, asimilación y acomoda-ción, son indispensables e interactuantes a lolargo de todo el desarrollo pues van contri-buyendo al logro de estructuras cognosciti-vas que progresivamente permiten al sujetouna mejor interacción con su mundo mate-rial y sociocultural.

3.4 La componente constructivista

Al señalar el lugar de la actividad como fac-tor determinante del incremento en los co-nocimientos, Piaget recuerda que la madura-ción y la influencia social no son ajenas a esteproceso. El desarrollo de los aprendizajes es

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igualmente la consecuencia de un cuarto fac-tor: la equilibración.

La equilibración de las estructuras cognitivastraduce el pasaje de un estado de menorequilibrio que resulta de respuestas del suje-to a las perturbaciones exteriores, hacia unestado de equilibrio superior que correspon-de a posibilidades nuevas derivadas de unaestructura cognitiva más poderosa. Así, en eldominio del desarrollo lógico-matemático,ilustrado por la adquisición de las conserva-ciones, Piaget muestra que, en el curso deldesarrollo, el niño pasa por tres momentosclaves: las perturbaciones (en el caso de laconservación de la sustancia, constata el alar-gamiento de una salchicha de arcilla y suadelgazamiento, pero no conecta todavía es-tos dos fenómenos); las compensaciones (elniño puede ahora asociar o coordinar los dosdatos: alargamiento y adelgazamiento), final-mente, la puesta en correspondencia mate-mática (no se quita ni se agrega nada, el alar-gamiento de la salchicha proviene de lo queha perdido de espesor). En el conjunto del de-sarrollo, los progresos en el conocimiento re-sultan de una construcción en la que el sujetoes actor de sus aprendizajes en interaccióncon el mundo. La concepción del aprendiza-je es resueltamente constructivista. Actuandosobre el medio, el sujeto reconstruye el mun-do físico y social que le rodea, lo objetiviza ylo representa.

3.5 Aportes de la teoría piagetiana ala educación

Aunque Piaget se haya interesado mucho enla educación, su trabajo no contempla explí-citamente este campo de acción. No obstan-te, el modelo de desarrollo intelectual quepropone, ofrece un cuadro de reflexión útilpara la educación. Tan es así que la puesta en

evidencia, que logra Piaget, del papel delconflicto cognitivo confiere al acercamientopiagetiano una dimensión educativa consi-derable. El conflicto cognitivo expresa la ideasegún la cual la toma de conciencia por partedel individuo de que existe una respuesta di-ferente a la suya en una situación particularprovoca una tensión interna de naturalezacognitiva.

Piaget proporciona un ejemplo de esta si-tuación con el concepto de conservación.Las conservaciones ponen al descubiertola existencia de algo invariante bajo el efec-to de alguna transformación. En la práctica,se presenta al sujeto dos entidades A y B,perceptualmente iguales (por ejemplo, dosrecipientes idénticos que contienen la mis-ma cantidad de líquido). Se obtiene elacuerdo del niño sobre esta igualdad. Des-pués se mantiene A sin cambio mientrasque B se transforma en B’ por una modifica-ción que sólo afecta la apariencia percep-tual (por ejemplo se trasvasa el líquido de B

a B’ que es un recipiente más largo y másestrecho). Se le pregunta al niño si B’ esigual a A. Las respuestas varían en funcióndel estadio de desarrollo: en un primer es-tadio (estadio pre–operatorio), el niño secentra en una sola de las dos dimensionessin coordinarlas entre sí (por ejemplo, tomaen cuenta la altura del recipiente, pero “ol-vida” constatar que lo más alto es tambiénmás estrecho). A partir de cierto momentoen su desarrollo, el niño se centra en dos di-mensiones a la vez y logra coordinarlas. Deeste modo logra vencer al conflicto cogniti-vo suscitado por la situación que se le hapresentado.

Piaget definió a la escuela como un entornoque debe estimular y favorecer el proceso deauto–construcción; el profesor, convertidoen un mediador entre los conocimientos y el

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aprendiz, debe facilitar el descubrimiento denociones y la elaboración del saber y del sa-ber–hacer, más que presentarlos bajo unaforma preestablecida. El maestro tradicio-nal pone el acento en los aspectos figurati-vos del pensamiento y considera el desa-rrollo cognitivo como una acumulaciónlineal de conocimientos o técnicas enciclo-pédicas. La concepción heredada del mo-delo piagetiano es muy diferente: se refierea aprender a pensar y a valorar los aspectosoperativos del pensamiento (procesos in-ternos, operaciones mentales), a hacer ex-perimentar al niño, a favorecer la manipula-ción con el fin de hacer surgir leyesgenerales. Según esta concepción, la sim-ple observación de la realidad es insuficien-te para la estructuración de los conoci-mientos. La actividad desplegada por elaprendiz se convierte así en una poderosafuente de motivación, necesaria para laconstrucción del conocimiento.

3.6 Los límites del modelo piagetiano

El modelo piagetiano tiene sus límites. Unode ellos, que surge cuando se trata de tras-ladar sus aportes al campo educativo, con-siste en que no es una teoría de la construc-ción escolar. La teoría piagetiana esesencialmente una teoría epistemológica,y como tal minimiza el papel de la culturaen la cognición. Muchos de sus resultadoscognitivos son presentados como indepen-dientes de la cultura a la cual pertenezcanlas personas. Se supone que el pensamien-to es algo que ocurre exclusivamente en lacabeza de los individuos, que la compren-sión del mundo depende sólo de las estruc-turas lógicas dentro de las cuales se integratoda la experiencia. Esta posición es alta-mente reminiscente de la posición kantia-na según la cual toda la experiencia se pasa

por el molde de las estructuras cognitivasque son intrínsecas a los individuos. Al sub-ordinar de este modo el aprendizaje, Pia-get desestima el papel de los sistemas derepresentación (lenguaje, memoria,...).Ahora bien, un sujeto que busca adaptarsea situaciones del entorno debe, ante todo,manipular la información simbólica. De allíla importancia del lenguaje y de los demássistemas semióticos de representación. Porotra parte, al dar un lugar predominante ala actividad del sujeto Piaget no concedetoda la importancia al papel que juegan lasdiferencias entre individuos y que son re-sultado de las influencias sociales.

Las teorías educativas actuales sostienenque las personas han de ser concebidasdentro del marco de una relación dialécticacon sus tradiciones, bajo la influencia de va-lores e ideas y, al tiempo, como modelado-ras de esas tradiciones. Quizá pueda decir-se que la cultura es resultado de lasinteracciones dialécticas entre la cognicióny las tradiciones. Una persona no alcanza sumayor grado de desarrollo cognitivo si noexiste una dinámica externa a ella que la es-timula a lograrlo. No puede explicarse el de-sarrollo cognitivo sólo desde la perspectivade una dinámica que proviene de la intimi-dad del individuo.

4. Aspectos sociocognitivos delaprendizaje: la teoría deVygotsky

Comprender el papel del entorno social enel aprendizaje del individuo es una de lasambiciones mayores de la psicología de laeducación.

Las corrientes de investigación que compar-ten la tesis de que la interacción del indivi-

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duo con el medio social es determinante desus adquisiciones cognitivas, se apartan delos acercamientos que privilegian la dimen-sión intra–individual del aprendizaje (comola teoría piagetiana). Al hacer explícita la in-fluencia de variables sociales y culturales enel funcionamiento cognitivo del individuo,las corrientes sociocognitivas renuevan la re-flexión sobre la organización de las situacio-nes escolares.

4.1 El modelo sociocultural

Las tesis desarrolladas por Vygotsky sobre laconstrucción social de las funciones cogniti-vas tienen hoy día una repercusión importan-te en la psicología del desarrollo. Igualmente,inspiran el campo de la educación por el pa-pel relevante que atribuyen a la intervencióndel adulto en la progresión de los aprendiza-jes del estudiante.

Vygotsky inscribe la pregunta sobre el de-sarrollo cognitivo en una perspectiva a lavez histórica y cultural. La tesis de la inter-nalización de las capacidades humanas in-siste en el hecho de que, en el origen deldesarrollo, los conocimientos que se van aadquirir son exteriores al individuo y estánmaterializados en las obras humanas: la li-teratura, las obras de arte, el lenguaje y de-más sistemas semióticos de representa-ción. El desarrollo cognitivo se concibeentonces como la apropiación, por partedel individuo, de las actividades humanasdepositadas en el mundo de la cultura. Elmundo social influye en el sujeto a travésde otros sujetos, de los objetos sociocultu-rales, de las prácticas que han sido creadaspor generaciones anteriores. Dos compo-nentes tienen un papel primordial en esteproceso: los sistemas semióticos de repre-sentación y la interacción social.

4.2 Los sistemas semióticos derepresentación

Para Vygotsky, el desarrollo de las funcionesmentales superiores –la memoria, el lenguaje,la conciencia– sólo es posible a través de lossistemas semióticos, por ejemplo, la escritura,los números, el habla. Verdaderos instrumen-tos de la construcción psicológica, los siste-mas de signos tienen, en el tratamiento del co-nocimiento, un papel análogo al de lasherramientas técnicas en la manipulación delmundo físico. En la perspectiva Vygotskyana,el aprendizaje de los sistemas de signos esuna apuesta capital del desarrollo individual.El papel de los signos es fundamental, en lamedida en que hacen posible la “duplicación”interna del mundo. Es necesario el recurso deun sistema semiótico de representación (ellenguaje natural es el ejemplo prototípico)para pensar en las representaciones mentalesde la persona. Las representaciones mentales,pues, no son independientes de la asistenciade un sistema de representación externa.Tampoco es posible la comunicación sin di-chos sistemas. Tomemos como ejemplo típi-co la escritura, cuya apropiación y dominiono sólo permite expresar el pensamiento sino,sobretodo, organizarlo y regularlo.

4.3 De lo inter-individual a lointra-individual

Vygotsky subraya que las actividades lleva-das a cabo bajo la tutela del adulto son lasque, en primer lugar, permiten los aprendiza-jes del niño. Los individuos progresan porapropiación de la cultura en las interaccionessociales. El descubrimiento del entorno, la ac-ción sobre los objetos, pero también y sobre-todo, la apropiación de los sistemas semióti-cos dependen de la mediación del otro.También las interacciones con los pares más

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competentes, lejos de frenar el desarrollo deun pensamiento autónomo, le son necesarias.

Para el conjunto de estas dimensiones, el de-sarrollo cognitivo resulta de una doble for-mación: primero externa y después interna,en un movimiento que va de lo social a lo in-dividual. Las capacidades del niño se mani-fiestan primero en una relación inter-indivi-dual donde el entorno social asegura latutela sobre el niño descrita por Bruner(1983) como “un proceso de asistencia o decolaboración entre el niño y el adulto”. Ladetonación y el control individual (autorre-gulación) de las actividades sólo aparecenen un segundo tiempo, como resultado deun proceso de internalización favorecido porla repetición de las interacciones sociales.Así, “cada función aparece dos veces en el de-sarrollo cultural del niño […]: primero entre in-dividuos (inter–psicológico) y, después, den-tro del niño (intra–psicológico)” (Vygotsky,1986).

El lenguaje es el instrumento psicológico deprimer orden que ocupa un lugar de privile-gio en este esquema de desarrollo. Las pri-meras conductas y formas lingüísticas surgeny se desarrollan en el marco de situacionesiniciales de comunicación del niño con suentorno. Por medio de la interacción con losotros, el lenguaje cumple una función exter-na, que será progresivamente perfecciona-da. Por ejemplo, en el desarrollo de los niños,el lenguaje exterior es internalizado transfor-mándose entonces en lenguaje llamado ego-céntrico. De este modo, se convierte para elniño en un modo de organizar sus propiasacciones sobre el mundo. A medida que evo-luciona el lenguaje internalizado, se va tor-nando una herramienta intelectual, un instru-mento de planificación y de regulación de lasactividades mentales.

La naturaleza del lenguaje egocéntrico en eldesarrollo es un punto de divergencia entrePiaget y Vygotsky: para Piaget, es un signode inmadurez destinado a evolucionar; paraVygotsky, es el instrumento de pensamientodestinado a progresar. Deben mencionarse,empero, los comentarios de Piaget en res-puesta a las críticas de Vygotsky (véase lanota a pie de página, pp. 214-215, enVygotsky, 1986), en los cuales modifica susposiciones originales de la década de losveinte, expuestas en su obra El Lenguaje y elPensamiento en el Niño, de 1923.

4.4 Desarrollo cognitivo y educación

El acercamiento Vygotskyano invierte el or-den de las relaciones entre desarrollo, apren-dizaje y educación, propuesto por Piaget. Enla concepción piagetiana, las capacidades deaprendizaje dependen del nivel de desarro-llo del individuo. En otras palabras, el desa-rrollo cognitivo condiciona las capacidadesde aprendizaje. Vygotsky sostiene, por suparte, la causalidad inversa: “La característicapredominante de nuestra hipótesis es la no-ción de que los procesos de desarrollo nocoinciden con los de aprendizaje sino que si-guen a estos últimos” (Vygotsky, 1986).

En la edad escolar, los aprendizajes de ordensuperior, forman la substancia del desarrollocognitivo. Este último es una consecuenciatributaria de los aportes de la enseñanza: eldesarrollo en la edad escolar sólo es posiblegracias a la enseñanza, las funciones psíqui-cas sólo pueden desarrollarse gracias a ella.A partir de aquí, la atención a las necesida-des del niño debe identificarse con la satis-facción de sus necesidades cognitivas. Enesta lógica, Schneuwly (1995) traza tres lí-neas directrices para la enseñanza escolar: laruptura con la experiencia común del sujeto;

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la descontextualización de los contenidos yla diferenciación de las disciplinas. Por unaparte, sólo las situaciones de ruptura con laexperiencia cotidiana pueden dar las condi-ciones de acceso a las formas superiores delsaber y del saber–hacer; por otra parte, la ge-neralización de las nociones y su descontex-tualización sólo pueden ser verdaderamenteaprendidas dentro del marco de las discipli-nas formales que organizan los conocimien-tos en sistemas lógicos.

Son los procesos de ruptura con la experienciacotidiana y los procesos de descontextualiza-ción los que aseguran el acceso a los concep-tos científicos. En la manipulación cotidiana delos objetos, el niño construye nociones sobreel mundo, los conceptos llamados espontá-neos reflejan un conocimiento concreto, unapráctica ateórica, con validez sólo local. La ac-tividad escolar, en el marco de las disciplinas,permite al alumno la construcción de los con-ceptos científicos y su manipulación teórica.

4.5 La zona de desarrollo próximo

Considerar que el aprendizaje es la condi-ción del desarrollo no significa que cualquieraprendizaje es posible en cualquier momen-to. La tesis de Vygotsky significa sobre todoque las capacidades de aprendizaje de unniño no deben ser confundidas con el nivelcognitivo que tiene en un momento dado. Enun dominio cualquiera, existe un espacio po-tencial de progreso en el que las capacida-des individuales pueden ser sobrepasadas sise reúnen ciertas condiciones. La asistenciadel otro es una de estas condiciones. Este po-tencial de aprendizaje que se actualiza en lainteracción social, define uno de los concep-tos centrales de la teoría de Vygotsky: la zonade desarrollo próximo. La zona de desarrollopróximo es una componente crucial del pro-

ceso de desarrollo porque “presagia” y pre-para lo que el niño más tarde realizará por sísolo: “lo que un niño puede hacer hoy en co-laboración con otro, lo podrá hacer solo ma-ñana” (Vygotsky, 1986). El aprendizaje ante-cede al desarrollo: la zona de desarrollopróximo asegura la vinculación entre ambos.

Favorecer las adquisiciones en el niño signifi-ca para el adulto llevar a cabo una transiciónde la actividad tutelar (o de conducción ex-terna) a la actividad autónoma (de auto–con-ducción). Para hacer esto, debe ajustar loscontenidos y las condiciones de instrucción,no a las capacidades actuales del niño, sino asu potencial de progreso. Así, para el conjun-to de las adquisiciones, el adulto (en particu-lar, el maestro) tiene la tarea compleja de tra-bajar sobre la base de la experiencia y de lasposibilidades del niño. Relacionadas con laenseñanza escolar, estas orientaciones de-signan las interacciones maestro–alumnocomo el eje esencial de la organización pe-dagógica del aula.

4.6 Preguntas para la Educación

La tesis Vygotskyana tiene el interés princi-pal de considerar la intervención socialcomo el factor predominante del progresocognitivo. Es necesario medir las implica-ciones de tal posición para la educación es-colar. La organización sociocognitiva delas situaciones escolares es una de las preo-cupaciones centrales de los autores que seinspiran hoy en Vygotsky e intentan prolon-gar sus tesis. Por ejemplo, para autorescomo Wertsch (1993) y Cole (1999), la psi-cología cultural tiene entre sus ejes articu-ladores el que las personas son agentes ac-tivos pero actúan en contextos que no sonsiempre de su elección –como la escuela,por ejemplo.

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Los investigadores tienen la tarea de com-prender cómo se articulan las dinámicas so-ciales e individuales en el desarrollo cogni-tivo. Particularmente, en relación a la proble-mática de la enseñanza y el aprendizaje en elaula, hay dos temas que merecen particularatención. El primero es la interacción tutelarmaestro–alumno(s), situación de enseñanzay aprendizaje muy difícil de operacionalizar.Los ejemplos suministrados por la orienta-ción de los aprendizajes iniciales del niño pe-queño en el ambiente familiar se puedentransponer sólo parcialmente al aula; las mo-dalidades de organización de la tutela esco-lar requieren de investigaciones específicasen profundidad. El segundo tema que es ne-cesario estudiar en detalle es el de la zona dedesarrollo próximo como “espacio de inter-vención didáctica”. La evaluación del poten-cial de aprendizaje del alumno, es decir, laestimación del progreso del que es capaz enuna situación tutorial, es una de las dimensio-nes críticas de la puesta en funcionamientoescolar de esta noción.

La influencia del contexto escolar sobre losdesempeños cognitivos del alumno ha sidoanalizada, en el pasado reciente, sólo enfunción de las condiciones de trabajo delalumno. Hoy en día, la atención se dirigehacia las características sociales de las si-tuaciones escolares y hacia los significadosque tienen estas situaciones para el alum-no. Los trabajos de la psicología social de lacognición proponen un análisis relevantede esta problemática.

La actividad cognitiva no depende sólo delas propiedades intrínsecas del objeto de co-nocimiento, sino también de las condicionessociales en las que tiene lugar. Pero la dimen-sión epistémica y la dimensión social no es-tán desvinculadas: los objetos de nuestrosaprendizajes siempre están social y cultural-

mente definidos. Se aprende en contextos so-ciales en donde no hay “objetos intrínsecos”,sino objetos que tienen funciones y significa-ciones atribuidas por la sociedad. Además, lacognición necesita un fuerte soporte de losinstrumentos de representación y mediación,como lo son el lenguaje natural y los sistemassemióticos de representación. Desde estaperspectiva, hay que ampliar la noción decognición y no verla tan sólo como “algo queocurre en la cabeza del individuo” sino comoalgo que tiene una indudable connotación so-ciocultural. La cognición de un individuo searticula dialécticamente con la cognición delos demás, dando lugar a aquello que pode-mos llamar la mentalidad de una sociedad.

5. Las interacciones cognitivasen el aprendizaje escolar

Las teorías seminales de Piaget y Vygotskyhan dado lugar a una serie de variantes teóri-cas, ya clásicas, que buscan resolver las insu-ficiencias de los acercamientos iniciales paraexplicar, sobre todo, los procesos escolares.

La influencia benéfica de las interaccionessociales para las adquisiciones cognitivas hasido demostrada experimentalmente por lascorrientes de la psicología social del desarro-llo cognitivo. El aporte principal de este pun-to de vista, es haber puesto en primer planoel papel que tiene el conflicto cognitivo parala construcción del conocimiento. En el pla-no de la educación escolar, la demostraciónde la efectividad de las confrontaciones en-tre los alumnos abre perspectivas de gran in-terés didáctico.

5.1 El conflicto sociocognitivo

El acercamiento social del desarrollo cogniti-vo considera las interacciones sociales como

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centrales para las adquisiciones cognitivas.En ciertos momentos claves para el desarro-llo, se sostiene, las adquisiciones encuentransu origen principalmente en la confrontaciónde las acciones o de las ideas entre personas.Las adquisiciones engendradas socialmente enlas interacciones, serán interiorizadas para suposterior movilización individual (de lo inter alo intra–individual).

Los estudios experimentales realizados en estemarco teórico (por ejemplo, los trabajos de Pe-rret-Clermont, 1996) han mostrado que, paraalcanzar el progreso cognitivo, las interaccio-nes sociales deben dar lugar al conflicto socio-cognitivo. Ante una situación problema por re-solver, los participantes en una interaccióndeben, por una parte, presentar diferentes cen-traciones cognitivas (puntos de vista, métodos,respuestas,…) y, por otra parte, buscar una res-puesta común al problema. La oposición socialde puntos de vista caracteriza al conflicto so-ciocognitivo y es el pivote de la interacción.

El conflicto sociocognitivo integra dos con-flictos:

a) Por una parte, un conflicto inter–indivi-dual (y por lo tanto social) generado porla oposición de respuestas al problemaplanteado, y por otra parte,

b) Un conflicto intra–individual, de natura-leza cognitiva, resultante de la toma deconciencia por el individuo de una res-puesta contradictoria, que le incita a du-dar de la suya.

La dimensión social del conflicto es funda-mental. La expresión y la confrontación direc-ta de los argumentos en la interacción socialvuelven más tangible y más dinámico al con-flicto cognitivo intra–individual. Adicional-mente, la superación del desequilibrio cogniti-vo intra–individual, probablemente se facilita

por la búsqueda de una respuesta común queresuelva el conflicto interindividual. En suma,el conflicto sociocognitivo favorece la activi-dad cognitiva.

Las condiciones del conflictosociocognitivo

Para que el conflicto sociocognitivo sea efi-caz y dé lugar a progresos individuales, sufuncionamiento debe cumplir otras condi-ciones además de la heterogeneidad inicialde respuestas y la coordinación final de losparticipantes. Las investigaciones han puestoen evidencia la importancia de dos gruposde restricciones, uno relacionado con las ca-pacidades individuales de los protagonistas,y el otro con el desarrollo de la interacción.

En cuanto a las capacidades individuales, elconflicto sociocognitivo sólo puede ser fuen-te de progreso a partir del momento en elcual se dispone de capacidades mínimas,unas de orden cognitivo, necesarias para to-mar conciencia de las diferentes respuestas ypara establecer la naturaleza de la contradic-ción; y otras de orden sociocognitivo que lepermitan insertarse en una interacción socio-cognitiva.

El conflicto sociocognitivo no implica, comosolución, la adopción mimética o compla-ciente de un punto de vista diferente. La in-teracción debe dar lugar a un compromisoactivo de cada uno de los participantes enla confrontación de argumentos y su coor-dinación en una respuesta única. La nego-ciación debe desarrollarse bajo la forma deintercambios que permita una co–elabora-ción real de la respuesta final. Ciertas mo-dalidades relacionales pueden obstaculizarla expresión del conflicto sociocognitivo ysu efectividad: trabas en la comunicación,acuerdos por complacencia o por sumi-

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sión, etc. Estas formas de regulación del in-tercambio reducen la confrontación inte-rindividual y resultan ineficaces. De ahí laimportancia de organizar las interaccionesde acuerdo a una relación de simetría entrelos participantes, es decir, sobre la base deuna igualdad de roles en los intercambios,una disposición que puede ser difícil de ob-tener cuando hay algún participante muyaventajado. En este último caso, se produ-ce una colonización del universo mentaldel estudiante menos aventajado a manosdel más aventajado.

En suma, si la heterogeneidad de respues-tas de los participantes es una condiciónineludible para la instalación de un conflic-to sociocognitivo, ésta no garantiza suefectividad. En el marco experimental, al-gunas veces el adulto se ve obligado a in-tervenir para suscitar una dinámica de con-flicto, hacer explícitas las oposiciones,impulsar los intercambios, etc. Es decir, laexistencia de un conflicto no genera auto-máticamente la dinámica que conduce a susuperación.

Los progresos cognitivos

Cuando se satisfacen las condiciones de de-sarrollo de un conflicto sociocognitivo, las in-teracciones entre los alumnos permiten acada uno de los participantes progresar másallá que los sujetos del mismo nivel inicialque actúan solos. Los efectos de la interac-ción se ponen de manifiesto en el progresoindividual y no en la mejoría en la actuacióncolectiva, que podría buscarse en ciertas si-tuaciones de trabajo en grupo. La solidez delos progresos se aprecia en función de trescriterios:

a) la generalización de la adquisición denociones similares

b) la estabilidad de la adquisición en eltiempo

c) el perfeccionamiento de los argumentosy de las justificaciones (la producción deargumentos nuevos representa un pro-greso cognitivo auténtico).

5.2 Interacciones sociocognitivassimétricas

La utilización del término “interacciones si-métricas” corresponde esencialmente a lassituaciones cognitivas en donde los roles yestatus de los participantes se conciben demanera equitativa. La igualdad de los roles,sin embargo, no implica necesariamenteque los individuos pongan en acción fun-cionamientos cognitivos similares.

La cooperación

Esta interacción es parecida al conflicto socio-cognitivo por la semejanza de objetivos entrelos participantes, pero se diferencia por la au-sencia de conflicto en la interacción. La situa-ción de cooperación se manifiesta como unfactor de progreso si equivale a una combina-ción real de esfuerzos y no una simple yuxta-posición de acciones individuales. Si una inte-racción colaborativa parece a priori más fácilde lograr que una interacción con conflicto,alcanzar una colaboración auténtica, es deciruna coacción coordinada, concertada y noconflictiva, plantea a menudo serios proble-mas, tanto a niños como a adultos. La colabo-ración no se impone desde el exterior; es po-sible reducir las divergencias cognitivas osociales, y hacer necesarias las estrategias co-laborativas entre los participantes, en funciónde lo que está en juego y de la naturaleza dela tarea. En el marco escolar, la edad de los su-jetos puede representar el obstáculo princi-pal. Los estudios del desarrollo social del niño

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indican, en efecto, que habría que esperar elprincipio de la adolescencia para observaruna predominancia de conductas colaborati-vas sobre las conductas egocéntricas.

El aprendizaje en grupo

De manera general, los resultados de las in-vestigaciones favorecen la conclusión segúnla cual el trabajo colectivo es un factor deprogreso cognitivo. Sin embargo, en ciertassituaciones de co–acción, los aportes decada uno de los miembros del grupo son me-nores que las de los sujetos cuando trabajansolos. Esto ocurre cuando en situaciones decooperación, la acción colectiva correspon-de a la adición de las contribuciones aisladasde los participantes. Con cierta frecuenciaaparecen condiciones de orden social queson difíciles de trasladar a los contextos esco-larizados tradicionales. En el plano cognitivo,por ejemplo, son raras las nociones que pue-den provocar una oposición de puntos devista. Esto se debe, en parte, a los estrictoscontroles que se ejercen durante el desarro-llo de las actividades consideradas como“educativas”. Enfaticemos que esto, más queuna limitación del enfoque articulado alrede-dor de la presencia de un conflicto cognitivo,es resultado de la inercia del sistema educati-vo más tradicional, que no favorece la discre-pancia (véanse por ejemplo los estudios rea-lizados por Cobb y Yackel, PME Brasil, 19,sobre las normas “sociomatemáticas” del sa-lón de clase).

En suma, si bien numerosos resultados reve-lan el interés del trabajo colectivo para mejo-rar las competencias cognitivas individuales,no hay que idealizar su papel y sus efectos enel contexto escolar cotidiano, por lo menosmientras estos contextos no sufran modifica-ciones de fondo. Sería ilusorio, en las actua-les condiciones, considerar que el simple he-

cho de “poner a trabajar” juntos a los alum-nos garantiza automáticamente un progreso,si no se modifican sustancialmente las rela-ciones y los acuerdos de trabajo en el salónde clases.

Los límites de la eficacia del trabajo en grupono deben alejar al maestro del interés queofrece el tratamiento social de los conoci-mientos y de las tareas escolares. La organi-zación de situaciones tutoriales puede per-mitir a los alumnos poco aventajados,beneficiarse del trabajo con los alumnos másavanzados. Dado el interés de los maestrospor el trabajo en grupo, es deseable tenermayor investigación sobre el tema, que reto-me los estudios psicológicos, para trazar losmarcos de adecuación de las interaccionessociocognitivas en el aula. Estas investigacio-nes son tanto más necesarias cuanto que unaorientación sociocognitiva de la enseñanzaimplica una evolución bastante radical delmodo de aproximarse al alumno y de la con-cepción de la clase.

5.3 Las interacciones sociocognitivasasimétricas

A diferencia de las anteriores, las interaccio-nes asimétricas corresponden a circunstan-cias cognitivas en donde se pone el énfasisen la imitación o la tutela que reproduce unasituación experto-novicio o maestro-apren-diz. Este tipo de situaciones están ancladasen el concepto vygotskyano de zona de de-sarrollo próximo.

La interacción tutorial

Este tipo de interacción se caracteriza poruna asimetría del estatus y de los roles entrelos participantes: un tutor (el experto) se en-cuentra en interacción sociocognitiva con unaprendiz (el novicio) para ayudarle a realizar

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una tarea o a adquirir una noción. Las dife-rencias en el saber y en el poder entre losparticipantes puede ser de una importanciavariable. Así por ejemplo, en una interacciónentre alumnos, los participantes pueden pro-venir de niveles escolares sucesivos o muyalejados.

Las situaciones tutoriales reúnen procesos detransmisión y de adquisición de saber y de sa-ber–hacer. Si bien el objetivo prioritario deesta interacción es el “efecto novicio”, es de-cir el progreso del aprendiz, un beneficio se-cundario que se alcanza es el “efecto tutor”,es decir un mejoramiento de las capacidadescognitivas del tutor. Los progresos del tutor seexplican por la movilización de procesos cog-nitivos subyacentes a actividades sociocogni-tivas (de interacción con el aprendiz) y meta-cognitivas (explicaciones, reformulaciones)requeridas por una situación tutorial.

5.4 La teoría de las situacionesdidácticas

Con una clara influencia piagetiana, G. Brous-seau (1986) desarrolló una teoría del aprendi-zaje matemático fuertemente anclada en loscontenidos y la estructura lógica de la mate-mática, pero que recoge algunas de las ca-racterísticas de los acercamientos interaccio-nistas mencionados arriba.

Para Brousseau, desde la concepción másgeneral de la enseñanza, el saber es una aso-ciación entre buenas preguntas y buenas res-puestas. Sobre esta base, el énfasis del acer-camiento radica en la identificación y eldiseño de las “buenas preguntas” que gene-ren los conflictos cognitivos y sociocogniti-vos detonadores del aprendizaje; estas “bue-nas preguntas” constituyen las situacionesdidácticas.

La teoría de las situaciones didácticas pone alprofesor en una interacción asimétrica conrespecto a los estudiantes puesto que es élquien conoce los propósitos y efectos didác-ticos de la situación presentada. Sin embar-go, en el desarrollo de la actividad cognitiva,los participantes desarrollan una interacciónsimétrica en la búsqueda de soluciones a lasituación planteada.

La teoría se completa con un estudio minu-cioso de los distintos factores que determi-nan el sistema educativo en su conjunto: elobstáculo didáctico, la situación-problema,el contrato didáctico, las paradojas de la in-teracción didáctica, la situación adidáctica,etc.

La situación problema

La situación-problema constituye el punto departida de las situaciones didácticas. Definidacomo una situación didáctica fundamental,pone en juego, como instrumento implícito,los conocimientos que el alumno debe apren-der. La situación-problema es el detonador dela actividad cognitiva; para que esto sucedadebe tener las siguientes características:

a) Debe involucrar implícitamente los con-ceptos que se van a aprender.

b) Debe representar un verdadero proble-ma para el estudiante, pero a la vez,debe ser accesible a él.

c) Debe permitir al alumno utilizar conoci-mientos anteriores

d) Debe ofrecer una resistencia suficientepara llevar al alumno a poner en dudasus conocimientos y a proponer nuevassoluciones

e) Debe contener su propia validación.

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La resolución de la situación-problema supo-ne una serie de interacciones simétricas en-tre estudiantes y de interacciones asimétri-cas entre los estudiantes y el profesor, perotambién supone la superación de un conflic-to cognitivo interno del sujeto entre sus co-nocimientos anteriores y los que resuelven lasituación planteada.

6. Cognición y educaciónmatemática

Es difícil analizar, por su profusión, todas lascorrientes teóricas sobre el aprendizaje quehan tomado cuerpo en la educación mate-mática; describiremos someramente algunasde las más significativas.

6.1 La Mediación Instrumental

La especie humana elabora herramientas conpropósitos deliberados. Mediante la produc-ción de herramientas hemos alterado nuestraestructura cognitiva y adquirido, por así decir-lo, nuevos órganos para la adaptación al mun-do exterior. Existen evidencias sólidas quemuestran cómo, el desarrollo del cerebro ennuestra especie constituye una adquisicióntardía, posterior al bipedalismo y en conso-nancia con el empleo de herramientas. A par-tir de la fabricación y empleo de herramien-tas, el tamaño del cerebro se triplicó (Brunner1995, p. 46). Puede decirse que el cambiomás importante ocurrido al hombre duranteel último medio millón de años ha sido alo-plástico, es decir, ha sido un cambio produci-do por sus relaciones con sistemas externosde ejecución, herramientas materiales prime-ro, y posteriormente signos y sistemas de re-presentación orales y de registro escrito.

En la actualidad, las teorías de la cogniciónde mayor impacto en los contextos educati-

vos, han reconocido la pertinencia del princi-pio de mediación instrumental que podemosexpresar de la siguiente manera: todo actocognitivo está mediado por un instrumentoque puede ser material o simbólico.

En este principio (Wertsch, 1993) convergentanto la naturaleza mediada de la actividadcognitiva, como la inevitabilidad de los recur-sos representacionales para el desarrollo dela cognición. No hay actividad cognitiva almargen de la actividad representacional.

La fuerza de este principio puede ilustrarsede diversos modos. Por ejemplo, en términosfilogenéticos (desarrollo de la especie) sepuede describir ampliamente toda la historiade construcción de instrumentos y utensiliosen las culturas que solemos llamar primitivas;puede ilustrarse fehacientemente la insepa-rabilidad de la actividad cognitiva y el desa-rrollo de una forma de tecnología.

En términos más cercanos a nosotros, el desa-rrollo de las ciencias naturales y de las matemá-ticas constituye un escenario rico en ilustracio-nes del principio. Pensemos, por ejemplo, en eldesarrollo de la biología. ¿Sería concebible eneste momento imaginar el estado actual de es-tas disciplinas sin los recursos tecnológicos quese han desarrollado simultáneamente con suscuerpos conceptuales? El microscopio no sola-mente es un instrumento que “ayuda” al pató-logo experimental, digamos, sino que le da ac-ceso a un nivel de estructuración de la realidadimposible de alcanzar sin dicho instrumento.Entonces, su acción cognitiva (la del patólogo,en nuestro ejemplo) está mediada por el mi-croscopio y el conocimiento producido estáafectado de modo sustancial por el menciona-do instrumento.

Conviene recalcar que el instrumento a quese refiere este principio puede ser un instru-mento material o simbólico.

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En el caso de las matemáticas, la mediaciónse ha dado esencialmente a través de los sis-temas semióticos de representación. La his-toria de dichos sistemas va exhibiendo lastransformaciones conceptuales a que handado lugar en el desarrollo de las matemáti-cas (Duval, 1998). El proceso de articulaciónentre el concepto matemático (el “objeto”matemático) y sus representaciones es unproceso de mutua constitución. Podría decir-se que la evolución de los sistemas semióti-cos de representación, en el caso de las ma-temáticas, han pasado por diversas etapasentre las cuales vale la pena señalar la si-guiente: la separación entre las representa-ciones mentales y las representaciones se-mióticas. Hay entonces una predominan-cia de las representaciones semióticas encuanto a las relaciones con el objeto. Porejemplo, enfrentados al estudio de las rec-tas tangentes, los matemáticos del sigloXVII tuvieron que abandonar la idea de larecta tangente como ese objeto ideal que“sólo toca en un punto a la curva” ante losejemplos de puntos de inflexión en los cua-les la tangente atraviesa a la curva. Huboque tomar una decisión entre el objetomental (ideal) y lo que las representacionesalgebraicas imponían como necesario.Otro momento significativo en el desarro-llo de los sistemas de representación mate-máticos, se da cuando se logra trabajar conlas representaciones como si fueran el obje-to. La manera de trabajar con los númerosreales mediante su sistema de representa-ción decimal, es un ejemplo paradigmáticode esta etapa.

Los sistemas de representación no cumplentan solo una función de comunicación sinoque también ofrecen un medio para el trata-miento de la información y son fuente de ge-neración de significados.

6.2 La cognición situada

En los años recientes, la investigación eneducación matemática ha tenido como unode sus intereses principales demostrar que elaprendizaje y la práctica de las matemáticasno son actividades individuales, aisladas delos contextos socioculturales en los que tie-nen lugar. Que la enseñanza y el aprendizajesiempre han tenido lugar dentro de contex-tos sociales que no sólo tienen una influenciasino que determinan la naturaleza del cono-cimiento construido. Los estudios que se hanorganizado alrededor de estas ideas sobre lacontextualidad del conocimiento y su impor-tancia para los estudios del acto cognitivo sehan denominado, genéricamente, estudiossobre la cognición situada.

Las investigaciones realizadas desde la pers-pectiva situada sostienen que los factores so-ciales y lingüísticos son básicos para el estudiode los procesos de aprendizaje. En particulardel aprendizaje de las matemáticas.

Añadiremos que tales investigaciones hanpermitido llevar los estudios sobre la cogni-ción a un ámbito más rico que el tradicional—que ha visto la cognición como un fenóme-no que sólo involucra los procesos internosdel sujeto.

Hemos pasado pues de concebir la cogni-ción como un fenómeno íntimo del sujeto averla como un producto eminentemente so-ciocultural.

6.3 Nuevos sistemas derepresentación

En la actualidad, los instrumentos computacio-nales (calculadoras algebraicas como la TI-92,las computadoras) encarnan sistemas de repre-sentación que presentan características nove-

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dosas: son sistemas ejecutables de representa-ción, que virtualmente ejecutan funcionescognitivas que anteriormente eran privativasde los seres humanos. Por ejemplo, graficaruna función. Es un proceso que el estudianteve desplegándose en la pantalla de su calcula-dora, sin su intervención directa. Desde luegoesto no convierte al estudiante en un “desem-pleado” pues ahora, su trabajo consiste más eninterpretar matemáticamente los fenómenosnuevos que aparecen en la pantalla.

Estos nuevos sistemas de representación(ejecutables) permiten al estudiante trabajarun problema desde diferentes enfoques cog-nitivos, por ejemplo, tomar un punto de vistaconcreto al analizar una función (digamos elcomportamiento de una función continuasin derivada) o un punto de vista general: enlugar de analizar el comportamiento de unpolinomio puede analizarse el comporta-miento de una familia de polinomios.

Esto quizá nos esté indicando que un cambiocentral dentro de la educación consistirá enabandonar el objetivo tradicional de fluidez al-gorítmica y sustituírlo por el objetivo de fluidezrepresentacional. Esto es, que el estudiantepueda representar un problema en diversossistemas de representación y sea capaz de in-terpretar los resultados del tratamiento que sedé a tales sistemas mediante el instrumentoejecutor del que disponga.

Los nuevos sistemas de representación ha-cen posible también un campo de experien-cia que no estaba antes a disposición del es-tudiante.

Pensemos por ejemplo en los sensores (CBL,

CBR) que pueden articularse a las calculado-ras. El estudiante puede representar gráfica-mente fenómenos naturales como las varia-ciones de temperatura, de intensidad sonoraetc. Es decir, todo un mundo de variación y

cambio queda a su disposición como partede su campo de experiencias. Estas nocionesde variación y cambio no tienen que ser estu-diadas de modo abstracto (en el sentido enque son extrañas a las experiencias del estu-diante) sino que puede tejerse alrededor deellas y con ellas, una red entre ideas y con-ceptos que dé como resultado una mayor fa-miliaridad con este complejo conceptual.

Las matemáticas, como toda otra actividadintelectual, sufren la profunda influencia delas tecnologías existentes. Con el correr deltiempo, las tecnologías se tornan “invisibles”y las actividades que se generan a partir deellas se conciben como actividades matemá-ticas independientes de aquella tecnología.Surge así, por ejemplo, la noción de una acti-vidad matemática “pura”, al margen de suentorno sociocultural. En la escuela las des-trezas con los cálculos logarítmicos se conci-ben como independientes de la herramientay son “confundidos” con capacidades mate-máticas puras. Como si el funcionamientodel sistema cognitivo fuera inmune a las he-rramientas mediante las cuales se despliegala actividad intelectual.

Los sistemas de representación clásicos (ál-gebra, cálculo, ecuaciones diferenciales,etc.) tienen una característica central: son sis-temas de representación diseñados para po-der actuar sobre ellos mediante reglas detransformación bien definidas. Un caso ele-mental lo constituye la aritmética. Allí estánclaras las reglas mediante las cuales realiza-mos operaciones sobre los números. Son sis-temas de representación construidos paraoperar con ellos.

En cambio, las representaciones ejecutablesnecesitan la mediación de un procesador sin-táctico, como es un lenguaje de programa-ción. Allí se transforma el trabajo cognitivo

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del estudiante: la actividad de construcciónde significados se torna central.

6.4 El significado de las situacionesescolares

Centradas en el funcionamiento interno delalumno o en el papel de las variables exterioresa la escuela, las investigaciones de psicologíaeducativa han evitado, por mucho tiempo, lainfluencia de las variables intra– escolares.

Sin embargo, hoy día, bajo la influencia de lateoría de la cognición situada, se han realiza-do muchas investigaciones relativas a los sig-nificados que los alumnos dan a las situacio-nes escolares. Algunas investigaciones sehan interesado en la influencia del prestigiosocial de la disciplina sobre los desempeñosde los alumnos. Se pidió a los alumnos quereprodujeran una misma figura geométricaen un contexto de dibujo y en otro de geo-metría. Los resultados mostraron que los de-sempeños varían de acuerdo al soporte disci-plinario. Mientras que en el contexto de uncurso de dibujo alumnos buenos y malos ob-tienen resultados idénticos, en el marco me-jor valorado de un curso de geometría, losbuenos alumnos tienen mejores resultados.Los buenos alumnos prestan mayor atención ala tarea cuando se ubica en un contexto máselevado. El significado atribuido por los alum-nos a la situación escolar interviene como re-gulador de su funcionamiento cognitivo.

La cognición situada defiende la idea segúnla cual las conductas cognitivas de un indivi-duo no podrían comprenderse sin tomar encuenta el entorno en el cual interviene. Losejemplos anteriores pueden conducir a re-considerar la interpretación de las dificulta-des que se encuentran en ciertos alumnos.Un alumno en dificultades no es necesaria-

mente un individuo cuyas capacidades soninsuficientes; por el contrario, es quizás unalumno que no percibe el sentido del trabajoescolar o que atribuye a la escuela, a la tarea,o a las expectativas del profesor, otros signifi-cados diferentes a los valorados por la institu-ción. El concepto de claridad cognitiva, porejemplo, se ha propuesto en el dominio de lalectura para señalar qué tan importante parael logro del aprendizaje es que los alumnoscomprendan la finalidad de las situaciones yde las tareas que les son propuestas. La diso-nancia entre las expectativas de la escuela ylas del alumno puede ser una de las expresio-nes de la distancia cultural entre el alumno yla escuela, noción lanzada por los sociólogospara dar cuenta de las dificultades que tienenalumnos normales provenientes de mediossociales desfavorecidos. Si se sigue esta tesis,se debería dar la mayor atención a la clarifi-cación de los contextos escolares y, particu-larmente, a la naturaleza de los acuerdos im-plícitos y explícitos entre maestro y alumnos.

6.5 A modo de síntesis:el aprendizaje como unfenómeno individual y social

A grandes rasgos, los enfoques sobre elaprendizaje se pueden ubicar entre los acer-camientos cognitivos que parten del cons-tructivismo piagetiano y los acercamientossocioculturales desarrollados a partir de laobra de Vygotsky. Si bien ambos aceptan, almenos implícitamente, la existencia de pro-cesos intra–individuales y de influencias so-ciales, difieren considerablemente en la im-portancia que cada uno atribuye a estasdimensiones en el desarrollo de los conoci-mientos y del aprendizaje.

Los acercamientos socioconstructivistas atri-buyen a las intervenciones sociales un papel

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preponderante en el desarrollo cognitivo delniño y cuestionan las explicaciones intra–in-dividuales del desarrollo. Un nivel de análisisestrictamente intra–individual se muestrainsuficiente para dar cuenta de adquisicio-nes y de desempeños cognitivos. Ciertamen-te, todo aprendiz es un sujeto confrontadoindividualmente a un cierto número de ta-reas pero, la mayoría de ellas comprende co-nocimientos que son fruto de una interven-ción social. Centrados en el análisis delfuncionamiento cognitivo en un contexto so-cial, los acercamientos sociocognitivos pue-den parecer más apropiados para la com-prensión de los fenómenos educativos.

Por otro lado, el aprendizaje es también unarelación entre un sujeto y un objeto o una ta-rea. De ahí que para comprender el aprendi-zaje, hace falta también estudiar los mecanis-mos que el individuo pone en marcha y conello, ocuparse de los componentes y restric-ciones del sistema cognitivo. En este nivel in-terviene la psicología cognitiva para situar lasbases del aprendizaje en el tratamiento cogni-tivo de la información, los procedimientos, lasestrategias y los conocimientos del individuo.

En definitiva, el campo de la psicología delaprendizaje está dividido en acercamientoscomplementarios, no incompatibles. El apren-dizaje puede entenderse, al mismo tiempo,como un fenómeno individual y social. El de-safío para la psicología es explicar la articula-ción de los procesos de adquisición indivi-duales y socioculturales. En el plano de laeducación, es razonable pensar que la com-binación de situaciones individuales y de in-teracción social puede ofrece las condicio-nes de aprendizaje más favorables si toma encuenta tanto los estilos cognitivos de los es-tudiantes como la naturaleza de las relacio-nes que se establezcan entre ellos.

7. Matemáticas y cognición:una visión clásica e informática

La enseñanza tradicional induce en los estu-diantes la idea de que las matemáticas estánreferidas a un conjunto de expresiones sim-bólicas desprovistas de conexión con cual-quier fragmento de su conocimiento. La con-secuencia natural de esta idea es que elconocimiento matemático se reduce a unconjunto de destrezas para manipular símbo-los que, a su vez, permiten la transformaciónde una expresión simbólica en otra. Y eso estodo. Desde luego, esta es una concepciónmuy pobre de las matemáticas, que hay quemodificar a través de los procesos educati-vos. Nos proponemos mostrar cómo un en-torno computacional puede servir comoprincipio orientador para lograr las modifica-ciones deseadas en relación a las concepcio-nes matemáticas de los estudiantes.

7.1 Generalización y Contextualidad

Los procesos psicológicos básicos caracte-rísticos de las matemáticas (por ejemplo, laabstracción, la generalización y la inferen-cia) son universales, comunes a toda la hu-manidad. Pero, su organización funcionalpuede variar sustancialmente dependiendodel entorno sociocultural, de las herramien-tas que suministra este entorno como me-diadores de la acción cognitiva. No olvide-mos que la acción cognitiva necesita delsoporte instrumental.

La enseñanza de las matemáticas nos plan-tea un problema delicado: ¿cómo tratar conla naturaleza descontextualizada de las pro-posiciones matemáticas que forman parte deuna cultura matemática universal y, al mismotiempo, con la necesidad de admitir que elconocimiento que un estudiante construye,

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produce, asimila, se da siempre mediado porun contexto?

La tradición científica ha mostrado que alavanzar en la organización de una ciencia, lasproposiciones del cuerpo teórico que se vaproduciendo tienen como rasgo característi-co el de ser enunciados generales, descontex-tualizados. Basta recordar algunos ejemplos:la ley universal de la gravitación, en la física; elteorema de Pitágoras; la fórmula general pararesolver cualquier ecuación de segundo gra-do; etc. Esto se vincula de modo íntimo (Du-val, 1998) con la evolución de los sistemas se-mióticos de representación que se esténempleando.

En la introducción de sus Fundamentos de laGeometría (1899) Hilbert fue muy claro aldecir que el significado de los puntos, de laslíneas y de los planos es algo que está deter-minado por las relaciones que podemos esta-blecer entre ellos. De esta manera, los postu-lados de la geometría pueden interpretarsecomo definiciones implícitas de los objetosgeométricos. Este punto de vista ha tenido, ysigue teniendo, un éxito enorme en el desa-rrollo de las matemáticas.

Desde el punto de vista educativo, las dificul-tades surgen cuando identificamos ese pro-pósito de la matemática, con un principio di-dáctico. Es decir, cuando confundimos lamatemática del matemático con las matemá-ticas escolares.

La demanda cognitiva que estaríamos ha-ciendo a un estudiante, si de entrada lo en-frentamos al aprendizaje de la geometría, in-troduciendo la materia con un nivel deformalización elevado, es enorme. Estaría-mos suponiendo (aunque de esto no fuése-mos conscientes) que la cognición del estu-diante se adapta de modo natural, al caminoya organizado de una disciplina. Esto ha sido

una tentación permanente pues, de ser facti-ble, representaría un ahorro considerable deesfuerzo: los problemas curriculares, porejemplo, estarían resueltos a través de la for-malización de la matemática.

Pensemos en las circunstancias del aprendi-zaje en un salón de clases. Para los estudian-tes es un obstáculo poder pasar de los dibu-jos de triángulos particulares a el triángulocomo objeto geométrico al cual se refierenlos teoremas de la geometría. Si la enseñan-za de las matemática pretende partir de losenunciados generales, entonces ¿cómo in-

yectar significado en estos enunciados gene-rales, para beneficio de los estudiantes?

La experiencia ha mostrado que el caminode lo general a lo particular está plagado dedificultades. Pero tampoco es posible acce-der a los enunciados generales, a los concep-tos de una ciencia siguiendo un camino es-trictamente inductivo. La construcción delconocimiento participa de ambos enfoques.A veces, se favorece un enfoque inductivo,heurístico, sobre todo cuando se inicia la ex-ploración de un campo de investigación. His-tóricamente, el trabajo de Euler ha sido pues-to como un ejemplo del papel que puedejugar un enfoque heurístico en el desarrollodel conocimiento matemático. Más reciente-mente, Lakatos (1976) en su célebre libro,Conjetures and Refutations (Conjeturas y Re-futaciones), ha profundizado sobre la impor-tancia esencial que juega este enfoque. En ladidáctica de las matemáticas, estas conside-raciones han dado lugar a un amplio campode investigaciones sobre la resolución deproblemas (Santos, L.M., 1997). Desde lue-go, la sistematización del conocimiento, enúltima instancia, queda puesta de manifiestoen las re-elaboraciones formales del campo.La didáctica tiene que respetar la epistemolo-gía de las matemáticas, es decir, tiene que to-

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mar en cuenta los mecanismos de produc-ción del conocimiento que siempre van aoscilar entre lo heurístico y lo formal, lo rigu-roso.

En resumen: porque la cognición tiene unanaturaleza situada, la didáctica no puede ele-gir el camino de lo general a lo particular, ensentido estricto, como estrategia didáctica, yporque la ciencia no es resultado de un estric-to proceso inductivo, tampoco puede adop-tarse el camino de lo particular a lo generalcomo estrategia didáctica. Entonces, ¿qué ca-mino elegir? La construcción de una respues-ta a este interrogante pasa por un análisis delo particular y lo general, de lo concreto y loabstracto. Iniciaremos la construcción de larespuesta en la siguiente sección.

7.2 Reflexión sobre la abstracción

La breve referencia al ideal formalista de Hil-bert puede reformularse así: el significado delos enunciados y de los conceptos del cuer-po teórico, surge de las relaciones entre ellosy no ya de las relaciones entre un concepto,digamos, y la realidad que refleja. Sólo im-porta la lógica interna del sistema al margende los significados “intuitivos” que podamosasociar a los términos.

La manera usual como entendemos la natura-leza abstracta de la matemática proviene deeste enfoque. La didáctica tiene que hacer po-sible que los estudiantes puedan acceder a es-tos niveles de complejidad sin descuidar la na-turaleza situada del conocimiento. La claveparece estar en imaginar una forma de abstrac-ción que esté más cerca de lo que ocurre real-mente en términos cognitivos y que no contra-diga, sino que complemente, la noción clásicade abstracción. La noción clásica incorpora laidea de extracción pero también la idea de

re-organización a un nivel superior de aque-llo que ya se había aprendido.

Los significados extra-matemáticos de una si-tuación se derivan de un escenario que inclu-ye la experiencia previa de quien aprende.Entonces, los recursos que el medio pone adisposición de un estudiante estimulan laconstrucción de significados. El medio fun-ciona como un soporte para el estableci-miento de conexiones entre fragmentos deconocimiento. Desde esta perspectiva, setrata entonces de conectar el conocimientoinformal del estudiante con sus fragmentosde conocimiento matemático. En un sentidoque puede hacerse más preciso, el mediofunciona como una especie de dominio deabstracción.

El trabajo de Carraher et al (1991), sobre lasestrategias aritméticas de los oficios, muestracómo lo general puede existir dentro de loparticular. Cómo las prácticas de las matemá-ticas de los oficios pueden servir para expre-sar relaciones matemáticas más generales.Esas relaciones matemáticas más generalesque todavía dependen del medio de expre-sión empleado, son ejemplos de abstraccio-nes situadas (Noss y Hoyles, 1996).

Utilizando los recursos estructurantes delmedio, se abre la posibilidad de que puedanestablecerse conexiones entre distintos frag-mentos de conocimiento y así producir ver-siones más generales, objetos abstractos enel sentido clásico del término. Objetos queson síntesis de múltiples determinaciones.Para un topólogo, un espacio de Hausdorff,que evidentemente es abstracto, puede seral mismo tiempo, tan concreto como unaguayaba.

Lo abstracto y lo concreto no son, en conse-cuencia, propiedades del objeto de conoci-

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miento sino de la relación que uno logra es-tablecer con el objeto de conocimiento.

7.3 Los recursos computacionalesen la educación

Cuando se usa la tecnología en la escuela,hay que reconocer que no es esa tecnologíaen sí misma el objeto central de nuestro inte-rés sino el pensamiento matemático quepueden desarrollar los estudiantes bajo lamediación de dicha tecnología.

La importancia de las herramientas computa-cionales para la educación matemática estáasociada a su capacidad para ofrecernos me-dios alternativos de expresión matemática. Asu capacidad para ofrecer formas innovadorasde manipulación de los objetos matemáticos.

Tomemos como ejemplo el universo virtualde la geometría dinámica (Cabri). Allí pode-mos transformar un triángulo en otro, me-diante el desplazamiento (dragging) de la fi-gura geométrica. Este acto, que puedeparecer trivial, conlleva una gran potenciali-dad. Nos permite desplazarnos dentro deuna familia de triángulos (virtuales) a la quepertenece el triángulo original, cerrando conello la brecha entre un dibujo (representa-ción estática de un triángulo) y el objeto geo-métrico triángulo compuesto por la familiade triángulos a los que se puede llegar me-diante las deformaciones que permite el Ca-bri. Desde este punto de vista conviene pen-sar en un teorema como una propiedad queno puede destruirse mediante los desplaza-mientos del entorno. Esta manera de conce-bir un teorema tiene una ventaja: favorece suconceptualización como la expresión de unapropiedad invariante bajo deformacionesdentro del entorno. Se abre un camino paralas formas de argumentación, dentro del uni-

verso virtual del Cabri, y ello permitedistinguir estas formas de argumentación deaquellas a las que estamos más o menosacostumbrados dentro de los entornos depapel y lápiz.

En el fondo, el problema educativo reside encómo se construye el significado matemáti-co. Los medios computacionales estimulanla dialéctica entre el proceso de dar sentido alas prácticas cotidianas mediante la organiza-ción y la matematización, por una parte y lacomprensión de situaciones matemáticasmediante el recurso de darles sentido impor-tándolas de una práctica extra–matemática.Podríamos decir que parte importante de laesencia del pensamiento matemático consis-te en establecer conexiones entre distintosfragmentos de conocimiento.

Un medio computacional permite generaruna especie de realidad (virtual) matemática.Trabajar en un medio computacional permi-te comprender cómo los recursos de ese me-dio estructuran la exploración y cómo los re-cursos expresivos del medio favorecen lasistematización (Noss y Hoyles, op. cit.).

Un medio computacional es un dominio deabstracción: allí el estudiante puede expresarla generalidad matemática pero en depen-dencia del medio aunque sus expresionesapuntan más allá, hacia las descripcionesabstractas de las estructuras matemáticas.Se hace posible explorar ideas dentro deámbitos particulares, concretos y manipu-lables pero que contienen la semilla de logeneral, lo abstracto y lo virtual.

Los medios computacionales funcionancomo recursos estructurantes de la explora-ción matemática de los estudiantes. Pue-den generar ideas que se expresan a travésdel medio, que están íntimamente vincula-das al medio y articuladas a él. Es en ese

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sentido que el medio constituye un domi-nio de abstracción. Dentro de un dominiode abstracción es posible desencadenaruna exploración sistemática y construir ar-gumentos a favor de una proposición quesi bien no constituyen una demostraciónformal, sí constituyen, en el interior del do-minio de abstracción correspondiente, unaargumentación para resultados locales, esdecir, expresados en el lenguaje del medioy cuyo sentido proviene de él, aunque pue-dan tener un nivel de generalidad mayor.Estas argumentaciones las llamaremos de-mostraciones situadas. En cierta manerason argumentaciones que respetan la eco-logía del entorno que les da soporte expre-sivo.

Los estudiantes son capaces de articular losresultados de sus exploraciones de maneratal que éstos puedan ser llevados más alládel medio computacional o puedan dar lu-gar a nuevas versiones de un resultado quehacen clara la visibilidad del medio compu-tacional.

Daremos ahora un ejemplo de ello: el casode las funciones continuas sin derivadas. Laserie de potencias,

F(x) =2

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∑

n

ncos ( )x

define una función continua sin derivadas.Este es un resultado clásico de Weierstrass.Graficando los polinomios correspondientes(haciendo variar n entre 0 y 5, después entre0 y 7 etc.) el estudiante empieza a descubrirel grado de complejidad de la función, aun-que sea sólo desde un punto de vista visual alapreciar cómo se va graficando sobre la pan-talla de su instrumento computacional. Ha-ciendo uso del zoom que viene incorporado,

por ejemplo a la calculadora TI-92, puede des-cubrirse más sobre la complejidad de lafunción y la imposibilidad de un plano de re-presentación (la pantalla) cuya resolución esfinita, para exhibir la gráfica como es en reali-dad. De nuevo, aquí surge la posibilidad deenunciar una versión virtual del teorema. Esdecir, un enunciado situado, que tome enconsideración la naturaleza del medio expre-sivo que estamos empleando. Los recursosestructurantes que suministra el medio con-tribuyen al proceso de construcción de signi-ficado para este resultado fundamental de lateoría del cálculo.

Es innecesario decir que para obtener los ma-yores beneficios de estos ejemplos, es funda-mental tener a mano una calculadora comola TI-92 con el propósito de ir comprobandolas afirmaciones hechas sobre la fenomeno-logía del entorno informático dentro del cualse trabaja.

A modo de conclusión

Para terminar, nos parece pertinente intentaruna síntesis de las ideas centrales y de sus in-tenciones, que hemos discutido en el cuerpoprincipal del texto precedente. Todo el traba-jo desarrollado en el campo de la educaciónmatemática, durante las últimas décadas, haconducido a la consolidación de una discipli-na en la cual pueden distinguirse con nitidezun cuerpo teórico y una práctica orientadapor los resultados de la investigación. Estapráctica es lo que muchos investigadores de-nominan una ingeniería.

El cuerpo teórico de este campo de investi-gación, inició su articulación observando alfenómeno educativo desde la perspectiva dela cognición. La didáctica ha ido poniendo aprueba las diversas teorías de la cognición,con el propósito, desde luego, de generar ex-

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plicaciones a los resultados que produce eltrabajo de campo. Esto se ha hecho partien-do desde las teorías más simples del conduc-tismo, pasando luego por la psicología gené-tica de Piaget y su escuela de Ginebra, hastalas teorías socioculturales que ya no ven lacognición como “algo que ocurre en el crá-neo” de las personas y que, de allí, se proyec-ta hacia su entorno social sino, más bien,como algo distribuido socialmente. Esto últi-mo puede ilustrarse mediante la observa-ción: uno aprende más de un tema cuandolo estudia en medio de una comunidad deexpertos en ese tema.

La presencia de los instrumentos de com-putación, computadoras (ordenadores) ycalculadoras de todo tipo, en los sistemaseducativos, ha traído al primer plano, parala investigación en didáctica de las mate-máticas, la noción de mediación instrumen-tal. El estudiante establece una sociedadcognitiva con la máquina, como antes la haestablecido con la escritura y con el siste-ma decimal. Esta es una idea de la mayorimportancia.

De esta mirada sobre el fenómeno educati-vo, esperamos extraer, mediante la investiga-ción, suficiente información que permita latransformación de los sistemas educativosde cara a los nuevos tiempos que ya estánentre nosotros.

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Evolución y tecnología

Luis Moreno ArmellaCINVESTAV – IPN, México

1. Introducción

El ser humano ha construido un mundo arti-ficial para vivir. Desde el martillo más simplehasta la computadora más compleja, sonejemplos de instrumentos con los que hapoblado al mundo y que le han permitidorealizar la tarea que se ha propuesto: dise-ñar un mundo a la medida de sus necesida-des y aspiraciones. En esto ha consistido suadaptación al mundo natural, desde los mis-mos inicios del proceso evolutivo de la es-pecie Homo.

Construir herramientas con propósitos deli-berados constituye pues, un rasgo distintivode nuestra especie a tal grado que la historiade su evolución puede identificarse con ladel desarrollo de sus órganos artificiales: lasherramientas.

La toma de conciencia sobre la importanciade la relación entre el cerebro y las herra-mientas mediadoras de la actividad humana,nos compromete a analizar esta situacióndesde una perspectiva más amplia. Tan am-plia que abarca desde los orígenes de nues-tra especie hasta el mundo de la comunica-ción por Internet.

Al Homo erectus6 (que vivió en el periodoque va desde hace un millón y medio deaños hasta hace 300 mil años aproximada-mente) se le reconoce como la primera espe-cie genuinamente humana. Su cerebro al-canzó un tamaño de aproximadamente 80%de un cerebro actual. Esto fue suficiente paraque el erectus desarrollara capacidades inte-lectuales considerables. Por ejemplo, memo-ria voluntaria (Donald, 1992). La memoria vo-luntaria permite la reproducción de un gestoo de una secuencia de gestos articuladosque conducen a la fabricación de una herra-mienta (un hacha, por ejemplo). Durante lareproducción del proceso pueden ocurrirdos cosas: una, que quien realice la repro-ducción del proceso lo haga para revisarlo yeventualmente mejorarlo. Dos, que quienrealice la reproducción lo haga para enseñara otros el proceso de construcción de unaherramienta. En ambos casos, la intencióncomunicativa es clara. Podemos concluir en-tonces que estar en posesión de una memo-ria voluntaria genera un nivel de comunica-ción comunitario. El registro fósil nos enseñael alto grado de uniformidad en las herra-mientas de esta etapa en la evolución, con locual cobra fuerza la tesis sobre la existencia

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6 Por razones de espacio no podremos hacer una presentación exhaustiva de cada uno de los argumentos que apoyan nuestras afirma-ciones. Referimos al lector interesado en profundizar temas específicos, a la bibliografía.

de un modo de comunicación, seguramentegestual, en ausencia todavía, de un lenguajearticulado.

La investigación ha revelado que las partes delcerebro que más han evolucionado son lasque están en relación con funciones cogniti-vas. Por ejemplo, el hipocampo, relacionadocon la memoria y la espacialidad; el cerebelo,relacionado con la coordinación y finura de losmovimientos (Rubia, 2000). La coordinaciónrefinada entre el ojo y la mano, sin duda fuecentral para la cultura de los homínidos. Dichacoordinación jugó un papel muy importanteen la construcción de herramientas.

De lo anterior puede inferirse que las herra-mientas no resultaron ser meros apéndicespara aumentar una capacidad física deficien-te. En realidad, la cantidad de manipulacio-nes que una y otra vez tuvo que realizar elHomo Erectus cuando construía una herra-mienta, se fueron sistematizando y fueronmodificando sus patrones mentales.

2. Transición cognitiva

Los registros fósiles disponibles, muestranque hace aproximadamente 400 mil años seprodujo un crecimiento encefálico mayor,dando lugar a un nuevo miembro de la espe-cie Homo. Las ventajas adaptativas que po-seía el nuevo miembro de la especie debíanser muy superiores a las del Erectus, pueséste último desapareció de los registros fósi-les desde hace 300 mil años.

El periodo de transición comprendido entre300 mil y 50 mil años, sirvió para que el Sa-piens Arcaico se asentara en el planeta.

El periodo siguiente, es decir los últimos 50mil años, resulta particularmente interesante

para analizar las relaciones entre evolución,tecnología y desarrollo del lenguaje.

El sapiens-sapiens llegó a Europa, provenien-te de África, hace unos 40 mil años (Strin-ger&McKie, 1997). Del periodo comprendi-do entre su llegada y hasta hace unos 10 milaños se tienen en el registro fósil, herramien-tas que sugieren que la especie había accedi-do a una etapa cognitiva y comunicativa másavanzada. En cierto momento, la producciónde herramientas pudo ir más allá del nivel uti-litario asociado a ellas (por ejemplo, de haceunos 27 mil años se tienen esculturas realiza-das sobre hueso).

El lenguaje oral es característico del Homosapiens–sapiens, especie a la cual pertenece-mos los humanos modernos. Poseemos ha-bla y otras destrezas semióticas que puedendefinirse como la capacidad para inventar yusar signos para comunicar el pensamiento.

Debe decirse que no está totalmente esclare-cido cómo el habla y otros recursos semió-ticos aparecieron en escena. Pero su usointenso durante los últimos 40 mil años esincontestable. El habla añade la posibilidad decompartir información especializada y comu-nicarla a alta velocidad. Con el habla, añadidaa la comunicación gestual, muchos aspectosde esta cultura pueden ser reelaborados, des-de las organizaciones sociales hasta las manu-facturas. El habla toma el lugar central dentrode los instrumentos de mediación.

¿Cuál es el camino que otorga centralidad alhabla como organizador social? El empleo máselaborado del habla en las sociedades tribalesse encuentra en la invención de modelos con-ceptuales del universo humano. Todas las so-ciedades primitivas tienen mitos que se refie-ren a la creación del mundo y que sirven paraencapsular ideas compartidas.

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El lenguaje es, sobretodo, un dispositivo so-cial. Su función está vinculada, desde sus co-mienzos, al desarrollo del pensamiento inte-grador. Es un recurso de modelación de larealidad y de las experiencias vividas por unacolectividad.

Es probable que las primeras manifestacio-nes del lenguaje oral se hayan presentadobajo la forma de sistemas de sonidos articula-dos y sólo después se hayan tornado lenguashabladas. Sea como haya sido, vale la penaresaltar una característica privativa de los len-guajes humanos: la referencia simbólica. Lasespecies que poseen sistemas de códigos deseñales que sirven para alertar sobre la pre-sencia cercana de un depredador, por ejem-plo, sólo usan estos sistemas en presenciadel depredador. Jamás en ausencia de él.Esto significa que la referencia se hace siem-pre a un sujeto presente. En cambio, en loslenguajes humanos, puede uno referirse aalgo presente pero también a algo ausente,abriéndose así, la posibilidad de duplicar,simbólicamente, el mundo.

3. Cultura y Oralidad

La fase de la oralidad abrió la puerta a la con-solidación y profundización de la vida colec-tiva. Es fácil imaginar el redimensionamientode los procesos sociales de producción,aprendizaje y enseñanza, en una colectivi-dad que posee ya un instrumento de comu-nicación como es la lengua hablada.

El trabajo con los instrumentos de piedra enesta etapa, va haciéndose cada vez más so-fisticado y se prolonga hasta el llamado pe-riodo neolítico. Por fortuna, no es el trabajocon la piedra lo único que puede mostrarsede este periodo. Por ejemplo, las estructurasde ladrillos y las embarcaciones para la nave-

gación acuática, son una muestra dedesarrollos realizados a partir de habilidadesmás finas desarrolladas en un entorno de ma-yor comunicación, gracias al lenguaje oral.

Quizá los dos logros principales de la fase de laoralidad sean la agricultura y el desarrollo de lavida urbana. Desde sus comienzos, la urbani-zación permitió una alta concentración de re-cursos tecnológicos. La competencia econó-mica entre ciudades, produjo un desarrolloexplosivo en el comercio. Unas ciudades pro-veían alimentos y hospedaje a los viajeros quie-nes intercambiaban estos servicios por herra-mientas, que solían traer de sus destinosanteriores. Se fue generando un comerciocada vez más desarrollado que puso en red aciudades alejadas entre si más de 20 mil kiló-metros (Bloom, 2000). Es inevitable suponerque tales intercambios no fueron culturalmen-te neutros. Se hizo presente un fuego cruzadode ideas, métodos y estilos que enriquecieronlas tecnologías propias de cada ciudad. Las di-ferencias y conformidades en los modos de ha-cer, presentes en las redes de intercambio,abrieron paso a una modernidad, hace 6 milaños, que puede verse como una célula de for-mas futuras de interactividad.

Las funciones del lenguaje están vinculadasal desarrollo de un pensamiento integrador,es decir, a una síntesis de información que sehalla dispersa en determinado momento y lu-gar. Queremos insistir en que, sin duda, unade las principales razones de la importanciade la oralidad es haber suministrado un me-dio para la elaboración de modelos simbóli-cos del universo humano.

4. Sistemas artificiales de memoria

Las organizaciones sociales, al alcanzar nive-les de complejidad cada vez más elevados,

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Incorporación de nuevas tecnologías al currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia

dependen de la producción de registros ex-ternos, es decir, de sistemas artificiales de me-moria. Esto se debe, sin duda, al aumento delos conocimientos, a la necesidad de com-partirlos y a las exigencias correspondientesque todo ello impone sobre la memoria bio-lógica. Este razonamiento es aplicable a losconglomerados sociales existentes durantelos últimos 30 mil años. En efecto, es muy lar-ga la lista de creaciones tecnológicas queprecedieron a la escritura. Por ejemplo, la ce-rámica aparece en lo que hoy es territoriocheco, hace unos 27 mil años; el boomerangapareció hace unos 17 mil años, junto con laaguja de coser, con el arco y la flecha y losprimeros usos de la cuerda. En Mesopota-mia, hace 12 mil años, se dio la domestica-ción del perro y casi al mismo tiempo la do-mesticación del carnero y la oveja en Persia.Podríamos continuar alargando esta lista. Enlugar de ello, observemos que se estabandando cada vez más, las condiciones para elsurgimiento de los recursos de memoria ex-terna necesarios para registrar todo el cono-cimiento producido.

El ser humano alcanzó un alto grado de espe-cialización cognitiva no sólo mediante el em-pleo de recursos tecnológicos materiales,sino también, mediante los recursos semióti-cos, que hacen parte de una tecnología sim-bólica. Así, por ejemplo, un pescador inter-preta ciertos movimientos en el agua, comouna señal de la presencia de peces; una nubede polvo se concibe como indicación de laaproximación de ciertos animales. Estosejemplos no se refieren a una habilidad sen-sorial sino a la organización funcional de lapercepción a partir de la utilización de siste-mas de signos (los movimientos en el agua, lanube de polvo...).

Los recursos gráficos, desarrollados todavíaen medio de un fuerte entorno oral, tuvieron

un desenvolvimiento lento. No había en-tonces una función específica para lasrepresentaciones gráficas. Los pinturas,realmente sofisticadas, datan de hace unos15 mil años. Por ejemplo, las halladas en lascuevas de Altamira, en España, y Lascaux enFrancia. Con estos medios, la expresión sim-bólica ya no se limita a una transmisión oral,sino que ahora, se deja una pintura que otropuede ver e interpretar aún en ausencia delautor. Se elabora con ello un soporte de lamemoria y un medio de expresión que reba-san los límites impuestos por la biología. Co-mienza entonces lo que se conoce como latransformación tecnológica de la memoria.

Pero aún estos recursos de memoria artificia-les tienen antecedentes notables. Se han ha-llado huesos (tibias de lobo), por ejemplo enMoravia, con series de 25 y hasta 30 incisio-nes. Es clara, en estos ejemplos, la intenciona-lidad del autor: usar las marcas como una for-ma de registro externo, posiblemente de laspiezas cazadas. Desde el punto de vista de laaritmética, la fase de desarrollo correspon-diente podemos denominarla como pre-ope-ratoria. Hay una asignación de símbolos a losobjetos pero aún se carece de una estructura,de una organización de la cantidad.

Este método de poner en correspondenciauno-a-uno, también se utilizó para socializarlos intercambios comerciales. Se tienen evi-dencias del uso de varas, sobre las que se tra-zaban marcas simultáneamente en dos deellas, con el fin de registrar digamos una deu-da por la adquisición de una mercancía.Cada uno de los participantes en la transac-ción conservaba una de las varas con la in-formación correspondiente al intercambio(Guedj, 1996). Esta socialización del empleode la cantidad, se dio hace aproximadamen-te 15 mil años. Habría que esperar todavíaunos 5 mil años para presenciar la aparición

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de otros métodos de conteo. En las comuni-dades sedentarias, todavía ágrafas, de hace10 mil años, se usaron piedras de diferentestamaños y formas para representar las canti-dades. Aquí apreciamos ya un progreso con-siderable en la simbolización: un símbolo, esdecir, una piedra de cierta forma ya no repre-senta una unidad. Ahora, su forma indica suvalor numérico. Desde luego lo central aquíes que el valor está dado mediante una con-vención. Esto nos remite a las anteriores con-sideraciones que hemos hecho sobre la refe-rencia simbólica, propia de los lenguajeshumanos. Más adelante, hablaremos de lamatemática babilónica, en donde ya apareceun sistema numérico.

Puede decirse que la aparición de los so-portes de representación externa permitiósustituir ciertas funciones naturales de lamemoria por el empleo de un sistema artifi-cial de conservación de la información. Losprimeros sistemas de escritura eran siste-mas de registros de datos: formas externaspara conservar lo que anteriormente habíaque lograr mediante el recurso biológicode la memoria natural. Ese paso es funda-mental: transforma la memoria biológicaen una memoria tecnológica, como ya he-mos mencionado.

Un ejemplo importante de lo anterior, se re-fleja en la construcción de los primeros ca-lendarios. Es claro que esta construcción im-plicaba una actitud teórica con respecto alos eventos astronómicos. Todas las socie-dades agrícolas tempranas, debido a sus ne-cesidades, tenían calendarios basados ensus observaciones. De modo que las basesde la observación sistemática y la predic-ción, ya existían hace aproximadamentediez mil años. La construcción de estos regis-tros astronómicos permitió mejorar sustancial-mente los modelos mentales espacio-tempora-

les, y simultáneamente, permitió el desarro-llo de las sociedades agrícolas. A continua-ción presentaremos un ejemplo de la mayorimportancia.

5. Desarrollo de la escritura

5.1 La escritura sumeria:una reflexión sobre el número

La primera escritura conocida data del perio-do comprendido entre los años 3500 y 2800a.C., es la llamada escritura cuneiforme y seoriginó en Uruk, epicentro del mundo sume-rio, al sur de lo que hoy es Irak. Es probableque la innovación desarrollada por los sume-rios haya pasado a Egipto y al valle del Indomediante las redes comerciales que existíanen aquella época.

La escritura cuneiforme fue un sistema muyexitoso cuyo empleo se desplegó a lo largode tres milenios. Los soportes externos de laescritura cuneiforme son tablillas de barro.Las más antiguas datan de hace 5 mil años.En las tablillas hay tres tipos de inscripciones:sellos personales de identidad, dibujos quecorresponden a mercancías comercializadasy números que corresponden a las cantida-des de las mercancías. ¿Cómo se llegó hastaaquí?

El sistema de escritura pasó por un prolongadoproceso evolutivo: los símbolos sumerios másantiguos pertenecen a un sistema de conteodesarrollado aproximadamente hace 8500a.C. Retrocedamos a esta época remota.

Las sociedades neolíticas eran altamente je-rarquizadas. Para administrar los comesti-bles, por ejemplo, existían élites locales. Losjefes reunían y posteriormente re-distribuíanlos bienes económicos de la sociedad. Me-

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diante ciertas piezas (fichas) realizaban loscálculos aritméticos correspondientes a sueconomía re-distributiva. Podría decirse quela función de estas primeras fichas era esen-cialmente establecer una correspondencia1-1 con las mercancías recibidas y posterior-mente redistribuidas. Fue un sistema que fun-cionó durante cuatro milenios. Luego, comoresultado del aumento de complejidad de lassociedades, durante el cuarto milenio a.C. seprodujo una expansión considerable del sis-tema de fichas. Esto se correspondió con lamodificación del sistema re-distributivo queentonces introdujo los impuestos. Al comien-zo de esta nueva fase, las fichas se perfora-ban y se formaban especies de collares depiedras. Posteriormente, entre los años 3700y 3500 a.C. se modificó el procedimiento dereunir las fichas en colecciones. Ahora, las fi-chas que representaban diversas cantidadesde mercancías varias, se introducían en unasbolas huecas de arcilla que posteriormentese sellaban.

La forma de cada ficha correspondía a un nú-mero. Pues bien, como una especie de medi-da de seguridad, las formas de las fichas seimprimían sobre la superficie de la bola de ar-cilla. Esto podía ocurrir si, por ejemplo, unproductor rural de textiles enviaba a un mer-cader de la ciudad un cargamento de telas.Con la mercancía le enviaba también una deestas bolas huecas rellena de las fichas quedescribían la mercancía enviada. Al recibir lamercancía, el mercader de la ciudad podíaverificar la integridad del cargamento. Para eltransportador era obligado entregar al mer-cader la bola intacta, con lo cual se veía obli-gado a preservar la integridad de la mercan-cía puesta bajo su responsabilidad. Como haexpresado Rudgley en su obra ya citada, estapráctica resultó crucial para el desarrollo dela escritura. Veamos por qué.

Una ficha introducida en la bola de arcilla re-presenta un número. Por ejemplo el númerode vacas que aparece en una transacción co-mercial. En la parte externa de la bola se im-prime (mientras está blanda la arcilla) la for-ma de esa ficha. Quien está a cargo de laoperación comercial sabe, observando la for-ma impresa, que adentro hay una ficha querepresenta una cantidad determinada, diga-mos, de vacas. Sabe que se trata de vacas ysabe además, cuántas son. Esa informaciónla recibe de la impresión de la ficha sobre lasuperficie de la bola. Tuvo que ser evidente,en algún momento, que se estaba usando unsistema redundante. ya no eran necesarias lasfichas: bastaba con su impresión sobre la ar-cilla. Entonces, esas impresiones pasaron aser símbolos en sí mismos. Esos nuevos sím-bolos impresos tomaron entonces el papelprotagónico: de ahora en adelante, para lle-var las cuentas, era suficiente trabajar con lossímbolos impresos sobre una superficie dearcilla plana. Es decir, sobre una tablilla.

El sistema de conteo había alcanzado así, unnuevo nivel de abstracción. Todo ello como re-sultado del problema que la presión socialplanteaba al sistema anterior de conteo. La res-puesta permitió el acceso a un nuevo nivel decomplejidad.

El sistema numérico en Babilonia, era sexage-simal, es decir, de base 60. Sin embargo,para escribir los dígitos entre el 1 y el 59 sólose tenían dos signos, uno para representar el1 y otro para representar el 10. No hace faltapensar mucho para comprender que esto in-troduce un nivel considerable de compleji-dad en la escritura numérica. Por ejemplo siusamos una T para indicar el 1 y un signo <para indicar el 10 (desde luego estos signosaparecen aquí con propósito explicativo ypara mayor facilidad tipográfica) entonces elnúmero 73 se escribiría: T < TTT. Esto recuer-

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da la siguiente notación: 73 minutos los po-demos representar así: 1 13 donde el primer1 indica una hora (60 minutos) y luego escri-bimos los restantes 13 minutos. Hoy en díaseguimos usando un sistema sexagesimal ennuestras mediciones del tiempo diario.

Más adelante, el sistema posicional con elcero —proveniente de la India— socializadopor los árabes, introdujo una simplificacióntal en la escritura de los números, que pue-de hablarse de una democratización del sis-tema numérico. El sistema indo-arábigo,como ha llegado a ser conocido, tiene unaventaja sobre otros sistemas que consisteen tener símbolos diferentes para cada unode los dígitos del 1 hasta el 9. Entonces, lanotación compuesta empieza a partir delnúmero que representa la base, (en estecaso el 10). La escritura posicional (es de-cir, cada dígito toma un valor según la posi-ción en que se encuentra en la escritura delnúmero) añade otro elemento de simplici-dad a la notación. Todas estas característi-cas del sistema indo-arábigo, nos hacenpensar en el alto grado de abstracción queya está presente en este sistema. Por unlado, los números, a diferencia de los pri-meros sistemas sumerios, están descontex-tualizados, es decir, son signos desprovis-tos de significados extra–sistémicos. Losúnicos significados que se les puede atri-buir provienen de las relaciones entre ellosen el interior del sistema. Por otra parte, lossignos son convencionales —lo cual no sig-nifica que estén desprovistos de historia.

Al inicio de esta sección mencionamos quelas tablillas contenían los símbolos corres-pondientes a las cantidades y dibujos que serefieren a las mercancías registradas en la ta-blilla. Esos dibujos son signos que carecían depropósito fonético. Son ideogramas, es decir,caracteres convencionales que representan

una determinada categoría (en este caso unacierta mercancía). Por ejemplo, un dibujo deuna cabeza de vaca estilizada, es el símboloconvenido para referirse a las vacas.

Donald (op. cit.) hace una observación finasobre las tablillas a las que nos estamos refi-riendo: permiten organizar listas por escrito.Esto representa una ganancia considerablecon respecto a las listas orales. Pensemospor ejemplo, que vamos al mercado y lleva-mos en la memoria la lista de lo que pensa-mos comprar. Seguramente el esfuerzoque tenemos que hacer para conservar laintegridad de la lista ya no nos permite pro-cesar la lista. En cambio si la lista está escri-ta, fácilmente podemos borrar de ella al-gún producto que pensábamos adquirir;podemos añadir otro, re-ordenar la lista, et-cétera.

En estas primeras listas cuneiformes no hay to-davía una escritura con estructura gramatical–lo cual aparecerá posteriormente. Pero yaesa estructura de lista es un avance considera-ble dentro del desarrollo de los sistemas exter-nos de memoria. Hace viable un modo deprocesamiento característico de estos sopor-tes artificiales de la memoria.

Todo esto fue preparando el terreno paraun cambio fundamental: la mente humanacomenzó a reflexionar sobre los contenidosde sus propias representaciones, a manipu-larlas directamente como si ellas fueran co-sas por sí mismas. Como veremos posterior-mente, este proceso de reificación de lasrepresentaciones es de la mayor importan-cia desde un punto de vista epistemológico.Esta realidad virtual del número, le otorgauna flexibilidad en su manejo, que no ten-dría si permanentemente nos tuviésemosque referir a un significado del número porfuera del sistema numérico mismo.

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5.2 Soportes de la memoria externa:la escritura y su complejidad

Como parte de su desarrollo, las escriturasideográficas alcanzaron un nivel de compleji-dad considerable. Tómese como ejemplo laescritura china que en cierto momento al-canzó la cifra monumental de 40 mil ideo-gramas. Sin duda, esta proliferación deideogramas tuvo que introducir un nivel decomplejidad muy alto para el aprendizaje deesta forma de escritura. La respuesta a talcomplejidad en las grafías, consistió —lo cuales bastante natural— en buscar un mecanis-mo que la simplificara.

Las escrituras árabe, hebrea y la fenicia surgenhace unos 3500 años. En los siglos siguientes,los griegos adoptaron y adaptaron el alfabetofenicio y dieron forma con ello, a las bases delos alfabetos de las lenguas indoeuropeas. Elalfabeto fenicio de 22 consonantes fue trans-mitido a los griegos a través del contacto co-mercial. Los griegos le añadieron vocales y lo-graron diseñar el primer alfabeto fonéticogenuino. Vale la pena observar en este lugar,que las escrituras originales nacen completa-mente separadas de la oralidad. Ver la escritu-ra como una representación de la oralidad esresultado del alfabeto fonético.

5.3 La escritura en Grecia

¿Qué añadieron los griegos al empleo de laescritura? La pregunta es pertinente pues,hasta ese momento, la escritura había sidovista como una tecnología de registro de da-tos. Desde luego, como ya hemos dicho pre-viamente, el registro escrito contiene la semi-lla de la sistematicidad en cuanto al manejode la información.

La innovación crucial introducida por losgriegos, fue el hábito de registrar sus ideas y

sus especulaciones. Introdujeron algo másque un recurso simbólico: crearon el procesode registro externo, de registro público, de losintercambios cognitivos. Ponían sus ideas, in-cluso incompletas, a la consideración de losdemás, para, de esta manera, ser mejoradas,refinadas aún en ausencia del autor original(Donald, 1992; Ong 1982).

No cabe duda que esta forma de transmisiónes mucho más estable y permanente que latransmisión oral. Conviene recordar que lastradiciones orales hallaron en el mito la for-ma de transmisión que daba mayor grado deestabilidad a sus narraciones.

El pensamiento analítico inducido por la es-critura, tiene entre sus características: el ra-zonamiento formal, la inducción, la deduc-ción, la verificación, la cuantificación y laidealización. El producto más elevado de estamanera de pensar es la teoría. Un recurso in-tegrador que es mucho más que una inven-ción simbólica: es un sistema de pensamien-to y argumento que predice y explica.

6. La cultura informática

6.1 De redes y personas:una analogía

Podemos establecer una analogía entre unapersona alfabetizada y una computadorapuesta en una red. Por ejemplo, una que ten-ga acceso a Internet. Esa computadora ten-drá entonces acceso a mucha informaciónque no reside en su disco duro. La persona,por su parte, podrá tomar cualquier libro desu interés y tener entonces acceso a la infor-mación que se halla contenida en el libro. Siadquiere una copia del libro para su uso perso-nal, esa información estará disponible para ella,aunque no resida en su memoria biológica.

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Mejoremos un poco el ejemplo: imaginemosa esa persona en red con la biblioteca de suuniversidad. Entonces, saber leer le abre laoportunidad de acceder a un sistema de me-moria externa representado por la bibliote-ca. Esto tiene un impacto considerable: la bi-blioteca, como base de datos, es accesible aquien posea el código para entrar (es decir,para quien sepa leer); aquellos que puedenentrar comparten una fuente de conocimien-to codificado. En otras palabras, tienen acce-so a un soporte común de memoria externa.La cognición distribuida (la cognición vistacomo una red que se activa mediante la co-municación entre las personas) entre ese gru-po de personas rebasa a la de cualquiera delos miembros del grupo.

En el pasado, los conocimientos, las intuicio-nes, las visiones, fueron guardados en diver-sos soportes externos de la memoria, porejemplo, en religiones, mitos, y tradicionesorales. La existencia de estos soportes exter-nos, permitió posteriormente el acceso demuchas personas a las ideas contenidas entales sistemas artificiales de la memoria.

Consideremos el ejemplo de una computado-ra con conexión a Internet. Las limitacionespropias de la computadora pasan a un segun-do plano pues ahora la información que se ha-lla en la red queda a disposición de los usua-rios. Entonces, para describir las capacidadesde la computadora resulta mejor referirnos alas capacidades de la red y no limitarnos a loque la computadora puede hacer por sí mis-ma, si la desconectamos de esa red.

Los efectos estructurantes de la cultura y latecnología sobre el individuo, terminan sien-do los más importantes, ya que el individuosiempre está en red con los demás.

La escritura implicó un cambio que llevó delo meramente auditivo a lo visual (proyectó

el sonido sobre el espacio textual) y propicióun redireccionamiento hacia medios no-bio-lógicos para que sirvieran de soporte a losprocesos mentales de razonamiento. Resultapertinente concebir el desarrollo de la escri-tura desde la perspectiva de las capacidadessemióticas de los seres humanos.

Las ideas, las opiniones, las teorías científi-cas, las novelas, etcétera, forman parte delmundo tanto como las cosas materiales.Usando una expresión contemporánea, dire-mos que el lenguaje nos permite la elabora-ción de un universo virtual. Desde luego, me-diante la escritura se reafirma este procesode creación de mundos que van más allá delmundo puramente físico. Esto es cierto tantoen las artes como en las ciencias. Es ciertotanto de las novelas como de las teorías cien-tíficas.

Los soportes externos de la memoria tie-nen efectos profundos sobre el nivel fun-cional de la memoria biológica que se vetransformada por la presencia de dichos so-portes. Por ejemplo, la memoria de unapersona está conectada a fotografías, dia-rios, anuarios escolares y muchos otros ar-tefactos simbólicos coleccionados a lo lar-go de su vida.

6.2 Representaciones ejecutables

Desde una perspectiva cognitiva, el mayor de-sarrollo de la cultura teórica consiste en la apa-rición de un soporte externo de la memoria.

La memoria de corto plazo es como un reci-piente de almacenamiento transitorio paralos procesos mentales. No es, sin embargo,la parte del intelecto en donde se desarrollala transformación de la información en cono-cimiento. Es la memoria externa la que, conmayor frecuencia, genera ese espacio de re-

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flexión necesario para la transformación dela información.

Cuando una persona escribe un texto conpapel y lápiz, ese producto sirve como obje-to de reflexión para el escritor. Pero ¿ocurrencosas distintas cuando se escribe un textoutilizando un procesador de palabras? Unopuede, por ejemplo, usar el corrector de or-tografía para revisar el texto; esta es una fun-ción que anteriormente estaba reservada alos seres humanos. La máquina no solo regis-tra el pensamiento del escritor sino que pro-cesa la información que queda registrada enese medio de representación externa. Esomismo ocurre cuando uno efectúa una ope-ración aritmética con una calculadora, ocuando usa su agenda electrónica para recu-perar un número telefónico.

Veamos otro ejemplo: cuando un científicousa un programa estadístico, introduce unaserie de datos y el software los organiza enuna representación gráfica. El científico pue-de interpretar esa gráfica y extraer conclusio-nes de ella. Pero no tiene que saber cuál fueel proceso que utilizó el software para gene-rar la gráfica. Lo que importa entonces es sucapacidad de decodificación frente al pro-ducto de la representación ejecutada.

En todas estas situaciones, la máquina estáhaciendo algo más que registrar informa-ción: está pasando de un sistema de repre-sentación a otro (de los datos numéricos queha recogido el científico a la representacióngráfica de los mismos) mediante la ejecucióndel primer registro de representación.

De modo que al usar una computadora, unapersona no sólo tiene a su disposición un so-porte de representación externa (como es uncuaderno) sino la posibilidad de someter yprocesar esa información de cierta maneradebido a la ejecutabilidad del sistema de re-

presentación que le suministra la máquina.La máquina está externalizando un procesocognitivo.

Resulta interesante hacer notar que la mani-pulación a que podemos someter los objetosmatemáticos en sus versiones electrónicas,ha ido generando un nuevo realismo mate-mático del que se puede sacar mucho prove-cho didáctico (Balacheff&Kaput, 1996). Lasversiones electrónicas de los objetos mate-máticos son como objetos virtuales. Peroesto no ocurre sólo con los objetos matemá-ticos. También podemos sentir la materiali-dad del texto escrito sobre la pantalla de unacomputadora de la siguiente manera: ilumi-namos unas líneas del texto, usando nuestrodedo virtual, es decir, el ratón. Luego de cor-tar esas líneas, las pegamos en otro lugar. Estasencilla acción, ilustra cómo podemos tratarel texto como si fuera un objeto físico, au-mentando con ello el realismo del texto escri-to: se le puede intervenir como si fuera unobjeto material.

Pero desde hace tiempo hay elementos quepodemos designar como virtuales en la mate-mática clásica: ya indicamos anteriormenteque cuando trabajamos con los números, esdecir, con la notación decimal de los núme-ros, lo hacemos como si esas notaciones fue-ran los números mismos.

Eso es un desarrollo clave en las matemáti-cas: trabajar con las representaciones como siellas fueran el objeto que se está explorando.Lo que ahora enfatizamos no es tan sólo lapresencia de un elemento virtual sino la eje-cutabilidad de los sistemas de representa-ción y con ello, la nueva dimensión que al-canza la virtualidad de los objetos bajo lasnuevas formas de manipulación.

Las consideraciones anteriores permiten ex-traer la siguiente conclusión: los medios com-

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putacionales están contribuyendo a la genera-ción de una nueva cultura basada en laejecutabilidad de procesos algorítmicos muygenerales. Para ello, ha sido central la capaci-dad de trasladar a los lenguajes de programa-ción los algoritmos que controlan las transfor-maciones de sistemas formales, como laaritmética y como nuestro sistema de escritura.

La tecnología informática permite generarsistemas de representación ejecutables me-diante los cuales se logra instalar aspectos denuestro pensamiento en soportes semióticosfácilmente reproducibles. Dichos soportes,gradualmente, se tornan parte de nuestropensamiento —como cuando resolvemos unproblema aritmético mediante el uso de larepresentación decimal de los números. Estaforma de representar los números se ha tor-nado tan familiar para nosotros, que ya nosomos concientes de que cuando realizamosuna suma, por ejemplo, ese sencillo actocognitivo depende del sistema de represen-tación y no es tan puro, en términos cogniti-vos, como suele pensarse. De manera que lasuma no la hacemos nosotros, sino nosotrosayudados por el sistema decimal de represen-tación de los números. Podemos incluso, ha-cer una referencia histórica de mucha impor-tancia sobre nuestro ejemplo del sistemadecimal: los cálculos astronómicos llevadosa cabo durante el renacimiento, se pudieronrealizar gracias a las tablas de logaritmos,que dependen sustancialmente del sistemadecimal.

Es central observar que los sistemas de repre-sentación no sólo sirven para registrar datossino para ampliar la capacidad de procesa-miento de la mente humana. Al instalarlos ensoportes ejecutables potenciamos la capaci-dad de procesamiento a nuestra disposición:no somos ya nosotros auxiliados por un siste-

ma de representación sino nosotros y nues-tro nuevo socio cognitivo: la computadora.

6.3 La cultura virtual

Vivimos inmersos en un mundo socioculturalque es resultado de la consolidación de los sis-temas de representación asociados a la visuali-zación y la escritura. De allí han surgido el pen-samiento científico, las artes plásticas ymuchos otros valores culturales de nuestras so-ciedades. El cine, la música (grabada), las cari-caturas; los sistemas de representación de lasciencias, que solemos llamar lenguajes especia-lizados, son todos ellos ejemplos de la capaci-dad puesta a nuestra disposición por los siste-mas de representación externa. Actualmente,la capacidad de los sistemas de representaciónse ha visto incrementada por la capacidad deprocesamiento que se controla desde los ins-trumentos computacionales.

Vale la pena traer a la discusión sobre la reali-dad virtual muchas de las formas que ésta hatomado en el pasado. Esto es pertinente paradesalojar a la expresión de la carga negativaque sugiere: realidad virtual como realidadartificial, alejada de nosotros. Y entonces sur-ge la pregunta: ¿para qué dedicar esfuerzos auna realidad virtual, cuando tenemos antenosotros LA realidad real? Sin embargo, estamanera de interpretar la realidad virtual esequivocada. Veamos por qué.

La historia que hemos narrado en las prime-ras secciones de este escrito, muestra de ma-nera fehaciente, que la intervención de loshumanos en el mundo ha tenido como con-secuencia la humanización de ese mundo.Para nosotros el mundo es esencialmente elmundo cultural, humanizado mediante el cú-mulo de transformaciones que hemos efec-tuado sobre él, mediante nuestras herra-mientas. Nos referimos a herramientas tanto

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materiales como simbólicas. Vale la pena re-saltar que, desde sus comienzos, la construc-ción de herramientas comportó un cambioen la visión del mundo: el mundo se visualizócomo objeto de las transformaciones realiza-das mediante dichas herramientas. De allíque esos esfuerzos de transformación lo ha-yan humanizado. Frente al mundo natural,hemos construido un mundo virtual, justa-mente nuestro mundo sociocultural.

No tiene sentido hablar de humanizar las tec-nologías: éstas son profundamente humanas.De lo que se trata es de socializarlas.

Cuando, como resultado de la evolución, loshumanos pudieron referirse a sus sueños dela noche anterior se estaban refiriendo a su-cesos virtuales. En efecto, ¿dónde habían te-nido lugar esos sueños? De la misma formacuando uno se refiere a los recuerdos, acce-de a un mundo virtual, que para nosotros tie-ne un grado de realidad comparable a aque-llo que ocurre ante nuestros ojos.

La novela es un mundo virtual hecho posiblepor la escritura. De manera que la virtuali-dad, como parte de nuestro mundo, no esalgo de nuevo cuño. Ha estado con nosotrosdesde hace ya bastante tiempo. Sólo que es-tas realidades nos son tan naturales que difí-cilmente aceptaremos, sin pensarlo, calificar-las de virtuales. Y ¿qué decir de la realidadcreada por el teléfono? ¿O la creada por la ra-dio, por la televisión? Todas son resultado detecnologías que ya se han tornado invisiblesen el seno de nuestras sociedades. Invisibili-dad: rasgo de las tecnologías, que no es otroque el reconocimiento, casi siempre tácito,de que algo extraño a nosotros mismos, seha tornado natural.

En su obra, De la Ceca a la Meca, el escritorJuan Goytisolo nos dice: Hubo un tiempo enel que lo real y lo imaginario se confundían,

los nombres suplantaban a las cosas y las pala-bras inventadas se asumían al pie de la letra y

se concebían como seres de carne y hueso(citado en Carbonell & Sala, 2000). ¿Cuál esese mundo actualmente? Es un mundo qui-zás en extinción, pero no a causa de la digita-lización sino de la escritura. Es el mundo delos juglares, que cede su espacio al mundode la escritura, más universal y más eficazpara comunicar las ideas a través del tiempoy del espacio.

A fuerza de interiorizar las acciones y tentati-vas físicas, vamos generando modelos simbó-licos a los cuales la escritura suministra sopor-tes físicos de representación que permitenalgo extraordinario: la capacidad de previ-sión. Esto forma parte, indudablemente, de labase del éxito evolutivo de nuestra especie.

6.4 Consideraciones finalessobre la tecnología

La forma de emplear la tecnología pasa, ini-cialmente, por un proceso de amplificacióny, posteriormente, por un proceso más com-plejo, de reorganización. La amplificaciónpuede traducirse así: hacer lo de antes, peromejor. La re-organización como: hacer nue-vas cosas y reorganizar las anteriores en fun-ción de las nuevas posibilidades.

Por ejemplo, al automóvil se le llamó, en suscomienzos, coche sin caballos. Fue un nom-bre efímero pero suficiente para reflejar la ac-titud de ese tiempo hacia la tecnología deltransporte. Una actitud que procuraba asimi-lar el nuevo medio de transporte a otro pro-ducido por una tecnología anterior. El auto-móvil era concebido como un tipo diferentede coche, pero en el fondo seguía siendo uncoche. Las expectativas sobre el automóvilequivalían a las expectativas sobre un proce-

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so de amplificación (es decir, a una mejoradel medio de transporte). Más adelante, seprodujo un cambio de actitud: los automóvi-les empezaron a ser vistos como algo nuevopara algo distinto. Esto implica la existenciade nuevas categorías de referencia, nuevospatrones estéticos, etc.

Una idea muy difundida sobre la tecnologíaconsiste en verla como un medio para la su-peración de las limitaciones que la naturale-za impone a las personas. Es decir, la tecno-logía se ve como una prótesis para reforzar eldominio sobre la naturaleza. Esto es parcial-mente correcto, pero hay un efecto más sutil,más profundo, que las tecnologías producensobre una sociedad: La tecnología es un prin-cipio estructurador. En los centros urbanos, lavida cotidiana gira en torno a los productostecnológicos: el transporte, la comunicacióntelefónica, los medios impresos, la televisióny un sinfín de instrumentos que, de manerasexplícitas e implícitas, moldean nuestra per-cepción de ese entorno urbano hasta el pun-to de hacerse inseparable de él.

La invención de la imprenta (a mediados delsiglo XV) puso en marcha una revolución so-cial cuya onda expansiva llega hasta nuestrosdías. Pero mucho antes, las pinturas en las ro-cas habían cedido el paso a las tablillas de ba-rro húmedo sobre las cuales se imprimían apresión los caracteres cuneiformes; luego dela cerámica vinieron las pieles de animalesmarcadas con textos y más tarde los rollos depapiro. Para el año 100 de la era cristiana yahabía aparecido el códice, pero no fue sinohasta el siglo IX cuando se produjo el primerlibro verdadero de papel.

Podemos ver la imprenta como la continua-ción de un desarrollo tecnológico que ya nose especializa en generar instrumentos auxi-liares para la actividad del cuerpo (herra-

mientas para aumentar la potencia física), oque se proponen el control del entorno físicoinmediato (por ejemplo, sacar ventaja delviento en la navegación). En una primera ins-tancia, la tecnología asociada a la imprenta,se propone amplificar la capacidad de difu-sión de un texto, pero termina impactandolos estilos cognitivos mismos. De manera im-portante, genera un campo de memoria ex-terna cada vez mejor estructurado.

El microscopio y el telescopio, ya desde el si-glo XVII, marcan un momento histórico declara convergencia entre la ciencia y la tec-nología. Resulta imposible pensar en la astro-nomía contemporánea, por ejemplo, al mar-gen de sus instrumentos de observación —apartir del telescopio de Galileo.

Entre el astrónomo y el planeta, ¿cuál es elinstrumento de mediación? Hasta TychoBrahe, el instrumento es el ojo del astróno-mo sin más. Luego, la mediación la encarnael telescopio. La historia de la disciplina estáregistrada en la historia de la evolución deese instrumento. Es claro que el objeto de laobservación cambia cuando cambia el instru-mento mediador y, en consecuencia, cambiael conocimiento producido. Del microsco-pio, puede decirse algo análogo.

Los efectos de la tecnología no los halla-mos solamente en la naturaleza sino tam-bién en las organizaciones sociales. Sin irmás lejos, podemos ilustrar esta situaciónmediante los efectos del reloj en las socie-dades. Dicho instrumento transforma lasrelaciones de los ciudadanos con el tiempode su cotidianidad. Para esos ciudadanos,el tiempo no está hecho solamente de ins-tantes sino también de minutos, de horas,de años, de ciclos escolares, etc. Los instru-mentos mediadores han dejado allí su hue-lla indeleble.

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El siglo XIX fue pródigo en tecnologías infor-máticas. Entre 1850 y 1900 se sentaron lasbases para el desarrollo del telégrafo, del te-léfono, del fonógrafo, de la radio y de otrastecnologías, que constituyen antecedentesfundamentales de las modernas tecnologíasaudiovisuales (desarrolladas durante el sigloXX) y de la Internet.

En las discusiones sobre las tecnologías dehoy, tendemos a ver como productos tecno-lógicos solo aquellos que han sido desarrolla-dos durante nuestro tiempo. Se cree que lascomputadoras son tecnología pero el lápiz,el papel, el bolígrafo, los libros, el signo =, elpizarrón, el alfabeto, no lo son... Pero en rea-lidad sí lo son: son tecnologías inventadaspor el ser humano para servir de amplificado-res y re-organizadores a su cognición. Siadoptamos este punto de vista entonces lacomputadora pierde ese aire de instrumentoextraño con el cual la vemos y pasa a formarparte de un proceso natural de desarrollo so-ciocultural.

Referencias

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Kozulin, A. (1994). La Psicología de Vygotsky.Alianza Editorial, Madrid.

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Stringer, C., McKie, R. (1997). African Exodus:The Origins of Modern Humanity. HenryHolt & Company, Inc.

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Instrumentos matemáticoscomputacionales


Introducción

Cuando examinamos los textos clásicos delas matemáticas griegas, nos resultan tan fa-miliares que por ello no nos sorprende la ex-presión de Littlewood quien se refería a losmatemáticos griegos como fellows de otrauniversidad, estableciendo así una compara-ción con los matemáticos de Cambridge.

El rasgo metodológico principal de esos tex-tos es la demostración. La coronación de esaconcepción matemática está constituida porLos Elementos de Euclides. Ha sido tal el éxitode esta manera de concebir la disciplina, quesolemos olvidar las tensiones que surgieronen el interior de la comunidad matemáticaen diferentes momentos históricos. Porejemplo, Arquímedes, considerado como elmayor de los matemáticos griegos, formulósu punto de vista en los siguientes términos:

Mediante el método mecánico logré en-tender ciertos resultados, aunque poste-riormente tuviesen que ser demostradosgeométricamente ya que la investigaciónmediante el método mecánico no pro-veía las demostraciones. Pero es muchomás fácil poder dar una demostración deuna situación, después de haberla com-prendido mediante el mencionado mé-

todo que intentar demostrarla sin ningúnconocimiento previo. Es debido a estasrazones por las que, sobre los teoremassobre volumen de un cono y una pirá-mide... demostrados originalmente porEudoxio, hay que dar un crédito conside-rable a Demócrito, quien los enunció porprimera vez aunque sin demostración al-guna de ellos. (Subrayado nuestro)

En este texto Arquímedes reconoce las bon-dades de un equilibrio entre la demostracióny los experimentos matemáticos que nos per-miten reconocer hechos matemáticos.

Refiriéndose al método mecánico, en su Vidade Marcelo, Plutarco comenta que Platónreaccionó con indignación al conocer el deEudoxio (precursor del método mecánico deArquímedes) porque representaba una corrup-ción de la geometría (Peitgen et al. 1992). Enefecto, en lugar de razonar a partir de los obje-tos inmateriales, productos del intelecto puro,(i.e. de los objetos conceptuales de las mate-máticas) se apoyaba en objetos materiales y enla percepción sensorial de los mismos.

Me he querido referir a este pluralismo epis-temológico de la matemática griega, quepuede apreciarse en las posiciones tan diver-gentes de Arquímedes y de Platón, para esta-

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blecer una analogía con un tema de actuali-dad y de la mayor importancia para laeducación matemática: el papel de las herra-mientas informáticas en el aprendizaje y en laenseñanza de las matemáticas.

Las posiciones tan divergentes que puedenobservarse, responden, sin duda, a concep-ciones más o menos explícitas sobre la cog-nición y sobre las matemáticas mismas. Hayuna tendencia que supone que las matemáti-cas son resultado de un intelecto puro, sin re-lación con alguna forma de tecnología.

Nuestro propósito en este escrito consisteen analizar este problema desde perspecti-vas que han resultado fructíferas en la in-vestigación actual. La primera de éstas tra-ta aspectos centrales de la mediacióninstrumental idea tematizada originalmen-te, desde un punto de vista psicológico,por Vygotsky (Kozulin, 1994). La segundase refiere a la ejecutabilidad de las repre-sentaciones computacionales. Finalmente,trataremos un aspecto importante del tra-bajo con las herramientas computaciona-les, a saber, su transformación en instru-mentos matemáticos (Rabardel, 1995).

Con relación a estas herramientas, Balacheff& Kaput (1996), han señalado que su mayorimpacto es de carácter epistemológico, refi-riéndose con ello al hecho que las herramien-tas computacionales han generado un nuevorealismo matemático. En efecto, los objetosvirtuales que aparecen sobre la pantalla sepueden manipular de tal forma que se gene-ra una sensación de existencia casi material.Por ejemplo, podemos trazar una parábola(dibujada por el punto Q) al desplazar el pun-to P sobre la recta d (ver figura 1).

Una vez construida la cónica, para quien haoperado el medio ambiente geométrico, laexistencia ha dejado de ser virtual: el desa-

rrollo constructivo no ha ocurrido en la ima-ginación del operador sino sobre la pantalla,aunque siempre, bajo el control de las reglasde la geometría, implícitas en el medio am-biente.

Las herramientas computacionales han modi-ficado profundamente la naturaleza de las ex-ploraciones y la relación de dichas exploracio-nes con la sistematicidad del pensamientomatemático.

Debido a que los objetos sobre la pantallason producidos y controlados desde el uni-verso interno de la herramienta computacio-nal —en términos informales podemos decirque el universo interno equivale a la mate-mática instalada en el procesador central dela calculadora—, podremos afirmar que estosobjetos sobre la pantalla son modelos mani-pulables de objetos matemáticos.

Estos modelos contribuyen a una mayor inte-rrelación entre la exploración y la sistematici-dad ya que ofrecen mayor capacidad decálculo, mayor poder expresivo y flexibilidaden la transferencia entre sistemas de repre-sentación. Además, la exploración respetaexplícitamente las reglas sintácticas del me-dio ambiente. Los sistemas de representa-ción permiten instalar aspectos de nuestro


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Figura 1

pensamiento en un medio estable y ejecuta-ble — en el caso de las computadoras. Estosmedios llegan a ser parte integral de nuestrosrecursos intelectuales y expresivos. Permi-ten, además, generar una forma de realidadvirtual asociada a los objetos conceptualesde las matemáticas y traerlos, virtualizadosya, a la pantalla en donde podemos manipu-larlos con amplitud.

La mediación instrumental

En la introducción a su libro Oralidad y Escri-tura, W. Ong (1999, p.11) afirma:

Muchas de las características que hemosdado por sentadas en el pensamientodentro de la ciencia... se originaron debi-do a los recursos que la tecnología de laescritura pone a disposición de la con-ciencia humana.

La afirmación de Ong es de la mayor impor-tancia. Toca un punto muy sensible con rela-ción a las estructuras cognitivas, a saber, lainfluencia que tienen los instrumentos demediación en la arquitectura de la mente hu-mana. Por ejemplo, la escritura ha sido res-ponsable de cambios profundos en la organi-zación funcional de la memoria. Contar conun campo externo, como son los registros es-critos, cambia eventualmente las funcionesde la memoria biológica. Los registros exter-nos se tornan elementos de reflexión por par-te de quien los produce, pero también sonsujeto de crítica por parte de otros. De estamanera, la escritura funciona como un meca-nismo de socialización del conocimiento.Estos rasgos que en un comienzo son explíci-tos, con el paso del tiempo ganan en naturali-dad y terminan volviéndose invisibles paralas generaciones posteriores para las queaquellos medios son parte de su entorno.Esto explica el rasgo de invisibilidad compar-

tido por todas las tecnologías. De maneraque, en determinado momento histórico,una tecnología puede tener un impacto deci-sivo sobre la naturaleza de una disciplina ysobre los mecanismos cognitivos de la socie-dad, sin que tales efectos sean posteriormen-te reconocidos como producto de esa tecno-logía. Por ejemplo, se puede llegar a creerque existe una actividad matemática pura, almargen de los sistemas matemáticos de re-presentación. Es decir, al margen de la tecno-logía de la escritura.

De cara a los fenómenos de la invisibilidad,digamos que no hay actividad cognitiva almargen de la mediación instrumental. Ejem-plos que sustancien tal afirmación puedentraerse de diversos campos disciplinarios.Pensemos en un instrumento musical un pia-no, digamos. El pianista ha necesitado de unesfuerzo intenso y prolongado para apren-der a tocar ese instrumento. Su conocimien-to no es independiente del instrumento. Unono va a escuchar cantar al pianista: va a escu-charlo tocar el piano y a valorar en términosestéticos la naturaleza simbiótica de la rela-ción pianista-piano.

En el desarrollo de las ciencias, digamos la as-tronomía, por ejemplo, no podemos separarla construcción de los cuerpos conceptualesy las diferentes versiones de telescopio quehan estado a disposición de los astrónomos.La simbiosis entre el conocimiento generadoy los instrumentos es total.

Las herramientas, como instrumentos de me-diación, han sido desarrolladas en distintosmedios culturales y en diversos periodos his-tóricos. Son parte integral de las actividadeshumanas.

Este enfoque sobre la actividad cognitiva harecibido una atención creciente en los últi-mos años debido, en parte, a la presencia de

Instrumentos matemáticos computacionales

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las herramientas computacionales en la edu-cación. Allí es necesario entenderlos comoherramientas de mediación de las activida-des cognitivas orientadas al aprendizaje.

Representaciones ejecutables

Podemos imaginar los sistemas de represen-tación como herramientas de mediación. Ensus versiones informáticas, la forma generalde representación tiene una característicacentral: es ejecutable. Esto significa, dicho demanera simplificada, que una vez instaladosen el lenguaje del medio ambiente computa-cional, las nuevas representaciones son pro-cesables, manipulables. Ese es el caso de lasconstrucciones que se realizan en un entor-no de geometría dinámica. La posibilidad dedesplazar las figuras (dragging) conservandorelaciones estructurales de las mismas, esuna forma de manipulación, de ejecución derepresentaciones informáticas, que contribu-ye al realismo de estos objetos geométricos.

Veamos otro ejemplo para sustanciar las ob-servaciones sobre ejecutabilidad de las re-presentaciones que hemos desarrollado lí-neas arriba. Consideremos la suma (parcial)de la serie armónica:

1

1

100

nn=∑

que de acuerdo a la sintaxis de la TI-92, se es-cribe así:

(1/ , 1, 100)n, n∑Una vez introducida la expresión a la calcula-dora, queda bajo el control del universo in-terno de la misma. Al pulsar ENTER, la calcula-dora efectúa la suma (el resultado aparece ala derecha en la pantalla de la calculadora).

Esta acción (realizar la suma) es un acto cog-nitivo exteriorizado: ya no se realiza en lamente del estudiante o del profesor sino quelo realiza la calculadora (figura 2).

Un ejemplo más: usar el corrector de ortogra-fía para revisar un texto. Esta es una funciónque anteriormente estaba reservada a los se-res humanos. La máquina no sólo registra elpensamiento del escritor sino que procesa lainformación que queda registrada en ese me-dio de representación externa. Eso mismoocurre cuando uno efectúa una operaciónaritmética con una calculadora, como acaba-mos de ver, o cuando se usa la agenda elec-trónica para recuperar un número telefónico.

De modo que al usar una computadora, unapersona no sólo tiene a su disposición un es-pacio de representación externa (como uncuaderno) sino la posibilidad de procesar esainformación de cierta manera debido a la eje-cutabilidad del sistema de representaciónque le suministra la máquina.

La mediación instrumental comienza desde elmomento en que podemos re-definir los obje-tos matemáticos en términos de las construc-ciones ejecutables. No sólo hay representacio-nes ejecutables sino también construccionesejecutables—las que se hacen con Cabri, porejemplo.


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Figura 2

De la amplificación a lareorganización conceptual

Debe enfatizarse que nuestro interés resideen la construcción del conocimiento mate-mático en la escuela. Esto es importante por-que implica considerar las características par-ticulares de esta forma de (re)construcción.

Frente a la calculadora, estamos ante dos po-sibilidades:

i. Entenderla como herramienta de ampli-ficación

ii. Entenderla como herramienta de re-or-ganización cognitiva.

En realidad, como veremos más adelante, es-tas posibilidades constituyen las dos etapasde un mismo proceso: Es inevitable que al in-troducir las calculadoras en la actividad de losestudiantes, se termine produciendo una nue-va actividad matemática que, a su vez, genereuna re-organización del conocimiento de losestudiantes. Debemos apresurarnos a decirque, sin embargo, el paso de (i) a (ii) no es au-tomático y es más bien lento y complejo. Poresto, tiene sentido desde una perspectiva cu-rricular, examinar a fondo el papel de la calcu-ladora como instrumento de amplificacióndentro de un currículo establecido.

La metáfora de las herramientas de amplifica-ción sugiere pensar en una lupa. La lupa dejaver, amplificado, aquello que podía ser vistoa simple vista. No cambia, por esto mismo, laestructura del objeto de nuestra visión. Lametáfora de las herramientas de re-organiza-ción, sugiere pensar en un microscopio. Conel microscopio podemos ver lo que no eraposible sin dicha herramienta. Accedemosentonces a otro nivel de la realidad, cualitati-vamente distinto. Se abre entonces, la posibi-lidad de acceder a un conocimiento nuevo.

La reorganización no puede separarse de laamplificación. Son las dos caras de una mone-da. A este respecto Dörfler (1993, p. 165) haseñalado que:

“Si la cognición se ve como una pro-piedad del individuo entonces la me-táfora de la amplificación es altamentesugestiva... pues son nuestras capaci-dades cognitivas las que se amplíansin sufrir cambios cualitativos.

Pero si vemos la cognición como unsistema funcional que comprendeal individuo y todo su entorno físicoy social... se abre la posibilidad dereconocer que las nuevas herra-mientas tienen un impacto transfor-mador profundo en la cognición…”.

La reflexión en torno a los procesos de ampli-ficación y reorganización también puededarse desde la perspectiva de la transición deherramienta a instrumento matemático quesufren las computadoras y calculadoras (Ra-bardel, 1995).

De las herramientas a losinstrumentos matemáticos

Cuando un estudiante se auxilia de una calcu-ladora para realizar ciertos cálculos dentro deun problema cuya solución ya ha encontrado,esa calculadora puede interpretarse como unauxiliar de su cognición. En ese caso diremosque la calculadora es una herramienta pues suauxilio es complementario al tren de pensa-miento del estudiante. La herramienta no mo-difica, sino que complementa el pensamientodel estudiante. Podría decirse que la calcula-dora es una herramienta cuando genera tansólo efectos de amplificación.

Por otra parte, es posible que el uso sosteni-do de la herramienta desemboque en cam-

Instrumentos matemáticos computacionales

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bios a nivel de las estrategias de solución deproblemas, en cambios a nivel de la maneramisma como se plantea el problema. En otraspalabras, puede ocurrir que el pensamientomatemático del estudiante quede afectado ra-dicalmente por la presencia de la herramien-ta. Como cuando ya no podemos distinguirentre el pianista y el piano a la hora de la eje-cución. El piano forma parte del pianista. Laherramienta se ha tornado un instrumento.Cuando hablamos de las calculadoras, dire-mos que la calculadora se ha tornado un ins-trumento matemático. Es decir, cuando tieneefectos de reorganización conceptual. Cuan-do la herramienta se torne instrumento, esta-remos ante los efectos estructurantes de laherramienta sobre la acción.

Algunos autores se han preocupado por ca-racterizar el origen de esa transformación. Esdecir, se han interesado por la génesis instru-mental de las herramientas computaciona-les (Rabardel, 1995).

En dicha génesis se combinan dos procesos:

i) El sujeto se adapta a la herramienta.

ii) El sujeto adapta la herramienta a sí mismo.

Estos procesos ocurren mediante la pro-ducción de esquemas de uso, orientados alas acciones directamente vinculadas a laherramienta. Estas acciones del estudianteestán condicionadas por la naturaleza de laherramienta misma.

El uso sostenido de la herramienta estabilizalos esquemas de uso. Dichos esquemas per-

miten atribuir un significado a los objetos(matemáticos) en función de la orientaciónde la actividad y de las tareas a desarrollar. Apartir de allí, el empleo de las herramientas(ahora instrumentos) queda controlado porlos esquemas.

Referencias

Dorfler, W. (1993). Computer Use and Views ofthe Mind. En Learning from Computers:Mathematics Education and Technology,Keitel, C. & Ruthven, K. (eds), Springer-Ver-lag, Nato Asi Series, 121.

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Kozulin, A. (1994). La Psicología de Vygotsky.Alianza Editorial, Madrid.

Moreno, L. (2001). Cognición, Mediación y Tec-nología. Avance y Perspectiva, vol. 20, pp.65-68.

Ong, W. (1999). Oralidad y Escritura, Tecnologíasde la Palabra. Fondo de Cultura Económica,México.

Peitgen et al. (1992). Fractals for the Classroom,vol. 1 (Introducción de B. Mandelbrot).Springer-Verlag & NCTM.

Rabardel, P. (1995). Les Hommes et les Techno-logies. Armand Colin, París.


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Cognición y computación: el caso de lageometría y la visualización


La didáctica de la matemáticacomo disciplina emergente:de lo adquirido a lo construido

A grandes rasgos puede decirse que los ini-cios de la investigación en esta disciplina estu-vieron centrados en indagar cómo entendíanlos estudiantes los conceptos matemáticos.De allí se desprendió una larga serie de pu-blicaciones sobre los supuestos errores decomprensión de aquellos estudiantes. Comoconsecuencia de este enfoque, se consideróprioritario el diseño de estrategias de apren-dizaje que permitieran superar las dificulta-des atribuibles al método de enseñanza.

A este acercamiento subyacen varias con-cepciones sobre el conocimiento y, en parti-cular, sobre el conocimiento matemático.Por ejemplo, que el significado de un enun-ciado es fijo, que para que el estudiante locapte, bastaría con saberlo transmitir. Estatransparencia del conocimiento correspon-de, a lo que llamamos una concepción rea-lista del mismo. Una muestra de la fragilidadde esta posición frente a los problemas de ladidáctica de las matemáticas, viene dadapor la comprobación que los profesores ha-cen cotidianamente: las formas de conoci-miento que desarrollan los estudiantes no

coincide necesariamente con el conocimien-to enseñado. Por ejemplo: los estudiantesinventan resultados que luego aplican pararesolver los problemas planteados en unexamen. ¿De dónde vienen esas formas ex-trañas de interpretar lo que el profesor se haesforzado en explicar con toda la claridad asu alcance?

La toma de conciencia sobre estos proble-mas fue haciendo evidente que había unarealidad del conocimiento que no quedabadevelada mediante los tests escritos. Las res-puestas, aparentemente sin sentido, que seproducían con frecuencia, no sólo eran in-terpretables como errores de los estudiantes,como falta de comprensión de cara a las ex-plicaciones del profesor, sino que tambiénpodían ser vistas como manifestaciones desu manera de comprender. Es decir, las res-puestas erróneas insinuaban la existencia deunas formas de comprensión movilizadaspor las preguntas, que no coincidían con lasoficiales.

De esta forma se fue estableciendo la certe-za de que había una realidad del conoci-miento que no quedaba develada mediantelos tests escritos. Entonces, fue ganando te-rreno el movimiento constructivista que en-

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contró una base de sustentación formidableen las tesis de la escuela piagetiana. Porejemplo, en la tesis:

el conocimiento no es resultado ni de lasola actividad del sujeto, ni tampoco dela sola presencia del objeto de conoci-miento. El conocimiento surge de la in-teracción del sujeto cognoscente y elobjeto de su conocimiento. Ellos consti-tuyen una pareja dialéctica indisociable.

A partir de este reconocimiento, la disciplinafue delineando más finamente su objeto deestudio y, con ello, las metodologías de in-vestigación.

Para ilustrar algunos aspectos de los nue-vos acercamientos que podemos tener alos problemas de la didáctica, vamos a es-tudiar diversas situaciones de la constitu-ción de la geometría y, posteriormente,describiremos una estrategia posible de re-construcción de este conocimiento usandola computadora como un instrumento paralograr una experiencia cognitiva necesariapara acceder a la comprensión de esta for-ma de geometría.

La geometría: un problema delconocimiento

Los pensadores griegos ejercitaron una pro-funda voluntad de racionalización frente a ladiversidad de los fenómenos naturales. Eri-gieron modelos y teorías (pensemos en losvastos edificios teóricos de la astronomía ylas matemáticas) como los mediadores entrela realidad externa y su intelecto. Todas estasideas nos hablan de una preocupación pormodelar de maneras estructurales y matemáti-cas las observaciones. No podemos dejar demencionar a este respecto una concepciónexpresada muchos siglos después, por Gali-

leo, que pone de manifiesto esta suerte dealma numérica del mundo:

La naturaleza está escrita en ese gran li-bro que tenemos abierto siempre antenuestros ojos, pero no podemos en-tenderla si primero no aprendemos ellenguaje en que está escrita. El libroestá escrito en lenguaje matemático ysus símbolos son los triángulos, loscírculos y otras figuras sin cuya ayudaes imposible entender una sola pala-bra; sin la cual caminamos a ciegas porun oscuro laberinto (Galileo, El Ensa-yador, 1610).

La realidad profunda es matemática. ParaGalileo, el experimento era la vía para ac-ceder a ese conocimiento. Digamos de in-mediato que la experimentación es una ca-racterística de la ciencia que estuvoausente del método de indagación de losgriegos, que era esencialmente especulati-vo. Atribuyeron a la geometría la propie-dad de ser una representación fiel del espa-cio físico.

Por ello, cuando sus herederos (desde en-tonces hasta el siglo XIX) vieron cuestionadala geometría euclidiana en términos de suadecuación al espacio físico, no entendie-ron de inmediato que se hallaban a las puer-tas de un nuevo modo de pensar en mate-máticas: pensar en términos de estructurasque proporcionan modelos de situacionesfísicas sin que por ello pueda hablarse deuna correspondencia estructural (un iso-morfismo) entre el modelo y la realidad mo-delada. Es, más bien, el modelo el que sumi-nistra la estructura matemática a la realidadobservada.

Los resultados para el desarrollo y status epis-temológico, de las matemáticas fueron pro-fundos: la geometría no era ya concebidacomo un retrato del espacio físico. A lo más


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que podía aspirar era a ser concebida comoorganización de la experiencia que el geó-metra desarrollaba en sus tratos con el es-pacio. Hay aquí una lección de importan-cia nada desdeñable desde el punto de vis-ta del conocimiento: la experiencia noprovenía de la sola confrontación del mun-do exterior sino, de manera central, de la ac-tividad reflexiva que tomaba como baseaquella confrontación.

Históricamente, este es uno de los momen-tos estelares en que los científicos lleganpor sus propios rumbos al entendimientode la naturaleza constructiva del conoci-miento.

Las ideas de Poincaré

Para Poincaré, quien comprendió la fuerzade este modo de pensar, era comprensibleque los modelos no podían desarrollarse almargen de aquellas experiencias, pero las re-basaban ampliamente debido a que, las ac-ciones en el plano de la representación, su-peran a las acciones realizadas en el espaciointuitivo. Imaginó entonces un mundo hipo-tético cuyas leyes físicas produjeran como lí-neas rectas a los arcos de circunferencia orto-gonales a una frontera circular fija. Loshabitantes de este mundo verían entoncescomo rectas aquellas circunferencias, puestoque les servían para medir la distancia máscorta entre dos puntos. Su experiencia seríaasí, una experiencia no-euclidiana.

Es difícil exagerar la importancia de las ideasde Poincaré: hicieron evidente que la mate-mática no estudia el mundo como es (lo quepertenece al dominio de la metafísica) sinocomo es posible, para nosotros, concebirlo apartir de la interacción de nuestra cognicióny de nuestra experiencia.

Geometría y modeloscomputacionales

Si bien el impacto de las calculadoras ycomputadoras sobre las prácticas cotidia-nas no ha sido tan fuerte como se esperabadesde hace ya más de dos décadas, el im-pacto epistemológico ha sido mayor que loprevisible en ese entonces (Balacheff & Ka-put, 1996). Esto se debe fundamentalmen-te al proceso de reificación de los objetosmatemáticos y a las relaciones entre ellosque el estudiante puede activar en los en-tornos interactivos computacionales. Loanterior permite una forma de actividadmucho más directa que la que era posibleanteriormente. Este nuevo realismo mate-mático hace indispensable la extensión dela transposición didáctica a los contextoscomputacionales dando lugar a una trans-posición informática (Balacheff, 1994).

Los nuevos entornos promueven una trans-formación a nivel epistemológico de la expe-riencia matemática del estudiante.

Las situaciones de orden cognitivo y episte-mológico a que nos hemos referido, encuen-tran como vehículos de expresión a los llama-dos micromundos computacionales (Balacheff& Kaput, 1996). En términos más precisos, po-demos decir que un micromundo está com-puesto de:

i) Un conjunto de objetos primitivos y ope-raciones que se realizan sobre estos obje-tos que permite la operación formal delmicromundo.

ii) Un dominio fenomenológico, que rela-ciona los objetos y las operaciones conlos fenómenos que podemos apreciar anivel de la pantalla. Este dominio deter-mina el tipo de retroalimentación que se

Cognición y computación: el caso de la geometría y la visualización

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produce como consecuencia de las ac-ciones y decisiones que toma el estu-diante durante la exploración.

Puesto que no están predeterminadas las ac-ciones del estudiante, él podrá explorar la es-tructura de los objetos, relaciones y registrosrepresentacionales que le suministra el mi-cromundo. Podrá incluso, generar nuevosobjetos complejos a partir de los objetos pri-mitivos originales. Desde esta perspectiva,podemos decir que el micromundo evolucio-na a medida que crece el conocimiento delestudiante.

Cabri: un mundo geométrico nuevo

Señalaremos mediante un ejemplo, algu-nos de los problemas cognitivos que losnuevos recursos tecnológicos hacen explí-citos: CABRI- GÉOMÈTRE. En dicho entorno

computacional, uno puede manipular di-rectamente las figuras construidas en lapantalla mediante el arrastre (drag) de cier-tas partes de ellas. De hecho, una vez ela-borada una figura geométrica, ella recono-ce cuáles son las partes (de dicha figura)que pueden ser arrastradas. Es fundamentalseñalar que esto ocurre, sin alterar las rela-ciones estructurales entre las partes consti-tutivas de la figura. Por ejemplo, en la figura1, se puede arrastrar el punto A hasta hacer-lo coincidir con B. Durante el proceso, lasrelaciones estructurales (el que la recta testé determinada por los puntos A y B, porejemplo) no se alteran. Podemos exhibirentonces que la aproximación hacia B

transformará a dicha recta en una recta tan-gente. El lector haría bien en procesar estosejemplos en su computadora o calculadora(TI-92) pues nada sustituye a la dinámicaque podemos apreciar en la pantalla.

La visualización en los entornoscomputacionales

La visualización ha sido un tema estudiadointensamente por la didáctica, desde el arri-bo de las máquinas con capacidades de grafi-cación a los sistemas educativos.

Cuando se explora un procedimiento escritoen un lenguaje computacional, por ejemploen Logo, el estudiante experimenta las rela-ciones entre el código simbólico propio dellenguaje computacional y los fenómenos vi-suales que aparecen en la pantalla de la com-putadora. Por esta vía se puede lograr la ex-


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Figura 1

tensión de la relación que la geometríaanalítica establece entre una ecuación y unacurva del plano. Allí se va de la ecuación a lacurva determinada por dicha ecuación; aho-ra, podemos invertir la correspondencia e irde la figura al código. Es interesante observarque las soluciones simbólicas que puedencorresponder a una figura dada, son diver-sas. Ello abre una oportunidad para el apren-dizaje ya que los alumnos pueden compararlas distintas soluciones a un mismo problema(encontrar un código que corresponda a unafigura dada) y llegan al entendimiento quelos problemas de matemáticas no tienen so-lución única y que la decisión sobre la elec-ción de la mejor solución deberá hacerse so-bre criterios que pueden discutirse en elsalón de clases. La manipulación del entornogeométrico permite la ampliación de la expe-

riencia posible del estudiante. Dado elcontrol formal del entorno, las experienciasdesarrolladas dentro del micromundo pue-den considerarse como genuinas experien-cias geométricas.

La visualización y las representaciones exter-nas permiten atender otro problema medu-lar del aprendizaje y de la enseñanza de lasmatemáticas. Nos referimos al problema dela validación de los enunciados matemáti-cos. Por ejemplo, consideremos la situación:se tiene un triángulo equilátero y se toma unpunto cualquiera de su interior y desde allí setrazan las alturas a los lados del triángulo (verfigura 2).

Se pide a los estudiantes que traten de deter-minar el valor numérico de la suma de las

Cognición y computación: el caso de la geometría y la visualización

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Figura 2

tres alturas sabiendo que dicha suma es inde-pendiente de la elección del punto interior.

En CABRI GÉOMÈTRE, los estudiantes tienen laposibilidad de mover (drag) el punto en el in-terior del triángulo preservando, como ya he-mos dicho, las relaciones estructurales de laconstrucción original. El código interno delCABRI GÉOMÈTRE mantiene dichas relaciones.Entonces, bajo esta hipótesis, podemos mani-pular las construcciones geométricas segurosde que nuestras manipulaciones no cambia-rán el dato numérico que estamos buscando.Las exploraciones de los estudiantes los lle-van finalmente a la siguiente conclusión: si lasuma de distancias no cambia, entonces po-demos desplazar el punto interior a un vérti-ce del triángulo y hacer evidente que la sumade las distancias coincide con la altura deltriángulo.

Lo anterior es un ejemplo de que la mani-pulación directa de los objetos geométri-cos hace posible la experimentación en do-minios que anteriormente eran inaccesiblespara el estudiante. Además, su conocimien-to queda marcado por la relación dialécti-ca entre percepción y conceptualizacióndurante la interacción con la interfase delsistema.

Mediación y contextualidad

Una característica del funcionamiento men-tal, tanto a nivel del individuo como a nivelinterindividual, es que ese funcionamientoestá mediado por instrumentos materiales ypor instrumentos simbólicos. Estos últimosincluyen, por ejemplo, las diversas formas delenguajes sociales, diagramas, y sistemas ma-temáticos.

Una tesis central sobre la cognición desde laperspectiva social (Wertsch, 1993) es que lapresencia de los instrumentos de mediacióntransforma de raíz la actividad cognitiva delestudiante determinando así la estructura deuna nueva acción instrumental. La situaciónes análoga a la que se tiene ante la presenciade una herramienta material vinculada a unproceso técnico.

Los medios computacionales conducen a unaredefinición de las fronteras entre la acción in-dividual y la acción social. El estudiante, auxi-liado de sus instrumentos computacionales,construye una versión del conocimiento. Elconocimiento y el aprendizaje son, por sunaturaleza, situados. Es decir, dependen ensu construcción y en su interpretación, de laespecificidad del contexto en el que surgen.Por lo tanto, para que el estudiante puedautilizar el conocimiento construido, en otroscontextos, hace falta la intervención perma-nente del profesor quien a través de sus pro-puestas conduce al estudiante a una nuevaconstrucción (que se da a un nuevo nivel deabstracción) del esquema cognitivo que sub-yace a su construcción situada.

Referencias

Balacheff, N. (1994), Didactique et IntelligenceArtificielle, Recherches en Didactique desMathematiques, 14, vol. 1-2, pp. 9-42.

Balacheff, N., Kaput, J. (1996), Computer-BasedEnvironments in Mathematics, pp. 469-501.En International Handbook of MathematicalEducation, Bishop, A. et al (eds.), KluwerAcademic Publishers.

Wertsch, J. (1993), Voces de la Mente, Visor Dis-tribuciones, Madrid


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Calculadoras algebraicas y aprendizajede las matemáticas


Introducción

Las calculadoras algebraicas actuales (TI-92 yTI-89) incorporan, además de los sistemas derepresentación numérico y gráfico, un siste-ma de manipulación algebraica. Dicho bre-vemente, esto significa que además de ma-nipular números y graficar funciones, la cal-culadora puede manipular expresiones al-gebraicas: factorizar polinomios, derivarsimbólicamente una función, hallar su anti-derivada, hallar la expresión en fraccionesparciales de una función racional, etc.

Una situación matemática puede ser estudia-da desde cualquiera de estos puntos de vistay, lo que resulta aún más importante desdeuna perspectiva cognitiva, dicha situaciónpuede estudiarse integradamente, desde lostres puntos de vista abriendo así la posibilidada un establecimiento de nuevas relacionesentre las representaciones y, por ende, a unamayor elaboración conceptual de los obje-tos matemáticos involucrados en la situaciónbajo estudio. No es extraño pues, que dichascalculadoras hayan resultado de interés parala comunidad de investigadores y educado-

res preocupados por entender el proceso dearticulación:

currículo tecnologías informáticas,

y también el proceso de producción de losobjetos matemáticos —ya no sólo en el senti-do clásico que puede darse a este término—.

Son numerosos los trabajos que conside-ran las implicaciones posibles de las tecno-logías informáticas, en particular de las cal-culadoras graficadoras, para el currículo.En términos generales, el punto de vistaadoptado por los distintos autores consisteen estimar el impacto sobre la práctica es-colar de dichos instrumentos. Es decir, supunto de vista consiste en imaginar (y eva-luar) el desarrollo del trabajo escolar cuan-do las calculadoras se introducen en un cu-rrículum ya establecido7.

En ese sentido el papel de los instrumentosva más allá que el de servir de prótesis para laacción. La presencia de tales instrumentospuede re-organizar todo el funcionamientocognitivo (Wertsch, op.cit. p. 46). Por ejem-plo, puede contribuir al re-diseño de las es-

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7 Es un punto de vista coherente con un proyecto de desarrollo: La calculadora como una herramienta de enseñanza.

trategias de resolución de problemas y a lare-conceptualización mediante la sustituciónde un sistema de representación. No olvide-mos (Wertsch, 1991, p.29) que:

Todo aprendizaje está mediado por ins-trumentos.

En otros términos, toda acción orientada aun aprendizaje, es una acción instrumental.Este principio de mediación instrumentalpuede ser reconocido a lo largo de las distin-tas dimensiones del desarrollo cognitivo. Porejemplo a nivel filogenético: en la historia delos instrumentos de caza; en la historia de losinstrumentos propios de las ciencias natura-les (microscopios, telescopios, etc.); en la his-toria de los sistemas de escritura. En todosesos casos, el desarrollo del conocimiento hasido inseparable de los instrumentos de me-diación empleados. Considérense, por ejem-plo, las profundas transformaciones en las so-ciedades como consecuencia del paso de lastradiciones orales a las escritas (Donald,1991).

A nivel psicogenético mencionemos, a títu-lo de ejemplo, que la escritura en las socie-dades modernas no puede disociarse delos instrumentos (tecnológicos) como pa-pel, lápiz, etc. Estos son consustanciales alaprendizaje de la escritura. Con relación ala lectura, ¿cómo disociar su aprendizajede los textos?

La calculadora como amplificador yreorganizador del aprendizaje

Frente a la calculadora, estamos entoncesante dos posibilidades:

i. entenderla como herramienta de ampli-ficación

ii. entenderla como herramienta de re-or-ganización cognitiva.

En realidad, como veremos más adelante,estas posibilidades constituyen las dos eta-pas de un mismo proceso: Es inevitable queal introducir las calculadoras en la actividadde los estudiantes, se termine produciendouna nueva actividad matemática que, a suvez, genere una reorganización del conoci-miento de los estudiantes. Debemos apre-surarnos a decir que, sin embargo, el pasode (i) a (ii) no es automático y es más bienlento y complejo. Por esto, tiene sentidodesde una perspectiva curricular, examinara fondo el papel de la calculadora como ins-trumento de amplificación dentro de un cu-rrículum establecido8.

Uno de los objetivos de la investigación eneste terreno es tratar de entender cómo hayque realizar la implementación de la tecnolo-gía. Bien sabemos que la primera etapa puedeimplicar que tengamos que trabajar dentrodel marco de un currículum establecido pre-viamente. Pero las innovaciones exitosas ten-drán la capacidad de erosionar los currículostradicionales. Aquí es donde la comprensiónque alcancemos sobre el conocimiento pro-ducido con la mediación de las herramientasinformáticas, se torna necesaria.

La metáfora de las herramientas de amplifica-ción sugiere pensar en una lupa. La lupa dejaver, amplificado, aquello que podía ser vistoa simple vista. No cambia, por esto mismo, laestructura del objeto de nuestra visión. Lametáfora de las herramientas de reorganiza-ción, sugiere pensar en un microscopio. Con


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8 Esto ocurre dentro de un proyecto de desarrollo. El paso de (i) a (ii) conviene investigarlo dentro de un proyecto de investigación.

el microscopio podemos ver lo que no eraposible sin dicha herramienta. Accedemosentonces a un nivel de realidad novedoso.Se abre la posibilidad de estudiar algo nue-vo y con ello, de acceder a un conocimien-to nuevo.

La diferencia entre el impacto amplificador yel impacto reorganizador de las tecnologíaspuede apreciarse si distinguimos entre losefectos mientras se trabaja con la tecnologíay los efectos que resultan de haber trabajadocon la tecnología.

La reorganización no puede separarse de laamplificación. Son las dos caras de una mo-neda. A este respecto Dörfler (1993, p. 165)ha señalado que:

...enfatizar el efecto amplificador o el reor-ganizador, depende de nuestras concep-ciones sobre la cognición misma. Si lacognición se ve como una propiedad delindividuo entonces la metáfora de la am-plificación es altamente sugestiva... puesson nuestras capacidades cognitivas lasque se amplían sin sufrir cambios cualitati-vos. Por otra parte, si vemos la cognicióncomo un sistema funcional que compren-de al individuo y todo su entorno físico ysocial... se abre la posibilidad de recono-cer que las nuevas herramientas tienen unimpacto transformador profundo en lacognición….

Un nuevo sistema de representación

Los instrumentos informáticos (calculadoras,computadoras...) tienen una característicaque distingue a sus sistemas de representa-ción de los sistemas escritos, a saber: la posi-bilidad de procesar las representaciones.

En cierto sentido, esta capacidad de procesa-miento del sistema de representación equi-

vale a una externalización de una funcióncognitiva. Conviene por tanto pensar en es-tas herramientas como parte de una tecnolo-gía cognitiva, pues ayudan a trascender las li-mitaciones de memoria y de cómputo, porejemplo, características de la mente huma-na—aún cuando la veamos como el sistemafuncional descrito por Dörfler.

En los textos de las décadas pasadas, era fre-cuente hallar ejemplos que involucrabancálculos con logaritmos (el logaritmo de123456) y funciones trigonométricas (el co-seno de 47°). Los libros traían al final una re-producción de las tablas de logaritmos y delas tabulaciones de las funciones trigonomé-tricas (véase Granville, Smith y Mikesh,1980). Dichas tablas funcionaban como am-plificadores. La llegada de las calculadorascientíficas las hizo obsoletas: prácticamenteno volvieron a aparecer en los libros. Cuan-do se usan las tablas de logaritmos, debemosaprender términos tales como característica,mantisa de un número. Estos términos sonimportantes para aprender el uso de esa tec-nología. Estos cálculos eran frecuentes en loscursos de trigonometría. En consecuencia, sededicaba gran cantidad de tiempo a la adqui-sición de una destreza con la tabla de logarit-mos. Pero, en el contexto de la época, estasdestrezas eran valoradas en la escuela comogenuinas capacidades matemáticas.

Invisibilidad de las tecnologías

Las matemáticas, como toda otra actividadintelectual, están formateadas por las tecno-logías existentes. Con el correr del tiempo,las tecnologías se tornan invisibles y las activi-dades que se generan a partir de ellas se con-ciben como actividades matemáticas per se,independientes de aquella tecnología. Enton-ces surge la noción de una actividad matemá-

Calculadoras algebraicas y aprendizaje de las matemáticas

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tica pura al margen de su entorno sociocul-tural. En nuestro ejemplo elemental, las des-trezas con los cálculos logarítmicos se vencomo independientes de la herramienta yson confundidas con capacidades matemáti-cas puras. Como si el sistema cognitivo estu-viera blindado, como si fuera inmune a lasherramientas mediante las cuales se desplie-ga la actividad intelectual.

Cuando una nueva tecnología (Jones, 1996,p. 89) hace su aparición (y en consecuencia,no se ha hecho “invisible” todavía) es naturalque su primer empleo sea como instrumentode refuerzo para realizar ciertos cálculos.Gradualmente vamos comprendiendo queel primer papel de esa tecnología es amplifi-car nuestro radio de acción. Pensemos, porejemplo, la diferencia entre caminar y trans-portarse en bicicleta.

Ejemplo: Evaluar la integral de la funciónf(x)=sen3(x) entre 0 y p.

Utilizando la TI-92 obtenemos que el valor dedicha integral es:

ò (f(x), x, 0,p)=.000129

hasta seis decimales. Con papel y lápiz la so-lución exige una destreza técnica considera-ble (intente el lector resolver el problema).Pero el problema en cuestión puede tener adicha integral como un subproblema (nece-sario para dar la respuesta a una preguntaprincipal). La calculadora sirve entoncescomo parte de la infraestructura que está adisposición del estudiante. Su meta princi-pal no es calcular dicha integral: esta ampli-ficación de sus capacidades de cálculo lepermite al estudiante lograr la solución delproblema principal, digamos, un problemade modelación.

Una vez que la tecnología se ha hecho invisi-ble para nosotros, resulta (casi) imposibleaceptar que esas destrezas técnicas no cons-tituyan matemáticas genuinas. Aclaremos:hacerse invisibles para las tecnologías del pa-pel y el lápiz, por ejemplo, significa que laspersonas involucradas en cálculos con papely lápiz conciben su actividad matemáticacomo auxiliada por el sistema de escriturapero independiente de tal sistema.

Las calculadoras con las cuatro operacionesaritméticas han servido para que no tengamosque realizar tediosas operaciones numéricas.Análogamente, las calculadoras científicas másavanzadas (las algebraicas, las que poseen ca-pacidades de procesamiento simbólico) nossirven para evitar los cálculos engorrosos de in-tegrales, como en el ejemplo anterior. Pero novemos el cálculo de estas integrales como par-te esencial del pensamiento matemático.

Una nueva relaciónalumno-tecnología

Si bien las tecnologías de papel y lápiz nossirven para liberar la memoria, las tecnolo-gías computacionales nos permiten ir más le-jos: no sólo sirven para liberar la memoria (alfuncionar como dispositivos de almacena-miento de la información) sino que ademáspueden realizar ciertas funciones cognitivas(que anteriormente eran privativas de las per-sonas) como por ejemplo, factorizar un poli-nomio. Esto es muy importante: la capacidadde procesar matemáticamente informaciónabre nuevas posibilidades para una nueva re-lación entre el estudiante y su calculadora.Tomemos como ejemplo el caso de la facto-rización. Supongamos que se quiere graficaruna función polinómica como

y = 2x3+5x2-13x-30


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Al tener la gráfica debemos poder extraer deallí información sustancial acerca de la fun-ción. Por ejemplo, conocer dónde intersectala gráfica al eje de las abscisas. La calculado-ra suministra varias herramientas para obte-ner esta información de manera aproximada(pues algunas veces esto es todo a lo que po-demos aspirar!) pero también es posible, enmuchos casos, factorizar el polinomio. Ennuestro ejemplo, utilizando la TI-92 y aplican-do la herramienta factor obtenemos:

factor (2x3+5x2-13x-30) = (x+2)(x+3)(2x-5)

La expresión factorizada (a la derecha en la lí-nea anterior) arroja de inmediato la informa-ción que se necesita para conocer las raícesde la ecuación respectiva.

Esto es un pequeño ejemplo de asociacióninteligente entre el estudiante y la tecnologíaa su disposición.

Culturabasada enla escritura

Culturavirtual

Almacenamiento deinformación

Si Si

Procesamiento de lasrepresentaciones

No Si

Modelación,interpretación, etc.

No No

Todavía no entramos de lleno en la edad dela cultura virtual. Por ello, aunque son las ca-pacidades cognitivas superiores (modelar, in-terpretar... que todavía son privativas del serhumano) las que más valoramos, en las insti-tuciones escolares, seguimos enfatizando lasdestrezas computacionales sin reconocerque esas destrezas son propias de una tecno-

logía invisible y no características de un pen-samiento matemático profundo. De allí quelas nuevas tecnologías, que todavía NO sehan hecho invisibles y que permiten que cier-tos cálculos se realicen pulsando una tecla(por ejemplo: extraer una raíz cuadrada) de-safían nuestras concepciones tradicionalessobre lo que constituye la verdadera capaci-dad matemática.

Las tradiciones occidentales han tendido aconcebir la inteligencia como algo que resideenteramente en el individuo (Kant es unode los principales forjadores de esta tradi-ción en el mundo moderno). Frente a unanueva etapa tecnológica que nos ha dadosistemas de representación ejecutables, esaconcepción de inteligencia representa unobstáculo para imaginar nuevas formas deempleo de las nuevas tecnologías en nues-tros sistemas educativos.

Por ejemplo, un estudiante dotado de unacalculadora graficadora tiene el potencial dedesarrollar nuevos métodos, nuevas estrate-gias de graficación, sacando partido de lascapacidades de procesamiento de grafica-ción de su calculadora.

La sinergia que puede entonces ponerse enmarcha, capacitaría al estudiante para trabajara un nivel de complejidad matemática quepuede ser totalmente inalcanzable sin dichatecnología. Puesto en lenguaje de Vygotsky:una asociación inteligente del estudiante y sucalculadora, potencia la ampliación de suzona de desarrollo próximo. (Wertsch). La me-táfora de la amplificación describe la existen-cia de herramientas intelectuales que apoyan(asisten) el aprendizaje de nuevos materiales.Por ejemplo, la calculadora gráfica es una he-rramienta que amplifica la ZPD (zona de desa-rrollo próximo), pues desaloja de esa zona ta-reas tediosas de cálculos y deja espacio para

Calculadoras algebraicas y aprendizaje de las matemáticas

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funciones superiores de mayor demandacognitiva.

Imaginando al estudiante con su calculadoracomo un sistema y aceptando que la actividadde este sistema es una forma legítima de acti-vidad matemática, entonces la evaluación delo que constituye inteligencia matemáticadebe incluir la evaluación de tal sistema.

Es crucial que los profesores comprendan es-tas ideas y contribuyan al florecimiento de esasinergia entre el estudiante y la tecnología.

Referencias

Dorfler, W. (1993), Computer Use and Views ofthe Mind, en Learning from Computers:mathematics Education and Technology,Keitel, C. & Ruthven, K. (eds), Nato Asi Se-ries, 121. Berlin: Springer-Verlag,

Donald, M. (1992), Origins of the Modern Mind,Cambridge: Harvard University Press.

Wertsch, J, (1993), Voces de la Mente, España: Vi-sor.


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La construcción del espaciogeométrico, un ensayo

histórico-crítico


Introducción

Vamos a hablar del conocimiento matemáti-co, con la intención de establecer bases parauna reflexión sobre nuestra disciplina. La ma-temática educativa guarda una relación muyestrecha con la matemática, desde luego,pero también con la psicología, la epistemo-logía, la historia, la semiótica y con otras dis-ciplinas. Podría decirse que su propósitoconsiste en investigar y desarrollar la ense-ñanza y el aprendizaje de las matemáticas,dentro de los sistemas educativos. Se imponeentonces, un enfoque interdisciplinario so-bre los contenidos matemáticos de la ense-ñanza, sobre la matematización, el análisisde las estrategias de resolución de proble-mas, la estructura de la demostración en cla-se, sobre los sistemas de representación tan-to los clásicos como los suministrados porla intervención de las tecnologías computa-cionales, etc. Hay una observación que nopuede dejarse de mencionar: se refiere a loscontenidos matemáticos. La geometría eucli-diana, como campo de investigación para losmatemáticos, no parece tener mayor impor-tancia hoy en día. Sin embargo, hay un po-

tencial formativo en sus contenidos, en losmétodos de demostración, por ejemplo, quele dan un lugar de importancia para la mate-mática educativa. Dirigiremos nuestra aten-ción a su desarrollo y a los obstáculos que sepresentan a lo largo de ese desarrollo. Ape-nas digo esto, debo aclarar que la tentaciónpor la historia de las matemáticas no se tra-duce en un mecanismo cuyo propósito seaforzar una identificación de la historia con losprocesos constructivos inherentes al apren-dizaje de las matemáticas. Se trata más bien,de buscar aquellos lugares en donde la ense-ñanza encuentre cuestiones de orden episte-mológico, como el ideal de simplicidad y elproblema de la demostración. Imaginamos lahistoria como algo que puede ser interroga-do a propósito de las condiciones de cons-trucción del conocimiento, del cambio con-ceptual, de la relación entre conocimientoformal y realidad educativa.

Nuestros esfuerzos de fundamentación de laenseñanza de las matemáticas, no puedendesconocer la necesidad de la reflexión epis-temológica. Por ejemplo, al tratar de transmi-tir el saber matemático, quedan planteados

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diversos problemas de relaciones entre laconstitución y la adquisición del conocimien-to; el estudiante debe intentar entoncesapropiarse de un conocimiento que le es aje-no. No se puede dar la espalda a la necesariadistinción entre el acto de conocer y el cono-cimiento en sí mismo. Y a su necesaria articu-lación.

La historia no ha de usarse para buscar unorigen, casi siempre ilusorio, con la esperan-za de hallar las claves para develar la esenciade las nociones. Más bien, ella nos acerca ala comprensión de cierto desarrollo (de unconocimiento), que no es el desarrollo de talconocimiento en el estudiante, pero quehace viable una cierta problematización dela enseñanza.

La epistemología en Grecia

La reflexión sistemática sobre la naturaleza, talcomo se desarrolló en Grecia, se orientó ateorizar sobre el mundo material. Ya los filó-sofos presocráticos dejaron constancia deello. Sus estudios sobre lo uno y lo múltiple,sobre la permanencia y el cambio, ejercieronuna marcada influencia sobre el desarrolloposterior de la filosofía. Ante la diversidad,Heráclito escribió que lo sustantivo era la es-tructura del mundo, su organización.

En la escuela pitagórica, se arribó a una con-cepción aritmética: todas las cosas son nú-mero. Entonces, para comprender el mundomaterial, había que hallar el número que por-taba la esencia de cada cosa. Todas estasideas nos hablan de una preocupación pormodelar de maneras estructurales y matemáti-cas las observaciones.

A partir de allí, el desarrollo filosófico griegoserá conducido por Platón y Aristóteles. Sucontribución al pensamiento filosófico es, de

acuerdo a Russell, el mayor que se ha desple-gado en toda la historia de la filosofía. Ellosrepresentan las escuelas que serán conoci-das como idealismo (Platón) y empirismo(Aristóteles).

Platón distinguía claramente entre el mundomaterial y el mundo (superior) de las ideas.Sostenía que las cosas materiales son comolas sombras de las ideas que se arrojan al ta-blero de la experiencia. Como Pitágoras,creía que la inteligibilidad del mundo mate-rial sólo era posible mediante la matemática.Pero, ¿cómo era posible acceder a ese cono-cimiento? Reconocer un triángulo, una esfe-ra o cualquier otra figura geométrica es reco-nocer una copia del “molde” perfecto queexiste como idea.

Para Aristóteles las cosas eran de otra mane-ra: el molde existía, pero era resultado deuna abstracción después de haber tenidomúltiples experiencias con figuras concretas.En su sistema de ideas, el conocimiento pro-venía del mundo material. Se generaba me-diado por la intuición y la abstracción. La ma-temática era un instrumento que ayudaba enla investigación del mundo; suministraba ellenguaje para tratar con propiedades forma-les como eran las propiedades aritméticas ygeométricas de los cuerpos. De acuerdo asus planes, tal esfuerzo debía tener como re-compensa la conquista de verdades sobre lanaturaleza.

Esa forma que tienen los objetos de la mate-mática de imponerse al pensamiento, quizásea la razón por la cual tanto Platón comoAristóteles buscaron en una realidad ya cons-tituida la explicación de la objetividad mate-mática.

Se explicaba el éxito de las aplicaciones delas matemáticas a la óptica y la astronomía,por ejemplo, puesto que aquella disciplina

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era resultado de la abstracción a partir de losobjetos materiales. La geometría versaba so-bre figuras que representaban abstraccionesde cuerpos continuos; la aritmética versabasobre el número, abstracción de lo discreto.

La organización euclidiana

La teoría del conocimiento propuesta porAristóteles definió a los objetos matemáticoscomo resultado de la abstracción de los ob-jetos naturales. La tesis: todo cuerpo de co-nocimiento a lo largo de su desarrollo seorienta a la búsqueda de sus principios, se tra-dujo, después de considerables esfuerzos,en el sistema euclidiano clásico. Sin embar-go, esta geometría discurre no sobre objetosmatemáticos, sino sobre objetos matematiza-dos. La intuición geométrica se desarrolla apartir de un conjunto de acciones interioriza-das. Se realiza allí una captura del objeto físi-co mediante el lenguaje. Los objetos mate-matizados pueden tener una cierta autono-mía lógica pero, ontológicamente, permane-cen dependientes de los objetos físicos y, enconsecuencia, aquellos objetos están obliga-dos a respetar los límites impuestos a los ob-jetos físicos. Desde esta perspectiva, el objetomagnitud matemática permanece subordina-do al objeto magnitud física. Por ejemplo, lamagnitud matemática sólo puede ser infinitaen potencia (Moreno-Waldegg, 1995). Hayun control permanente, de orden ontológi-co, sobre los objetos de esa matemática eu-clidiana. Los postulados deben ser evidentespor sí mismos, carácter que heredaban de lascondiciones materiales de las que provenían.Estas consideraciones ayudan a entender porqué Euclides hizo un esfuerzo considerablepara mantener al Postulado de las Paralelasal margen de su desarrollo geométrico. Enefecto, decir que: por un punto exterior a unarecta pasa una única paralela, equivale a ha-

cer una afirmación que elude el control delobjeto físico correspondiente. Como esta-mos ante un postulado, tenemos que mante-ner ante nuestros ojos el problema ontológi-co y, en consecuencia, los límites impuestosa los objetos matematizados. Como bien sesabe, lo primero que hizo Euclides fue susti-tuir la versión anterior del postulado de lasparalelas por una versión que no menciona-ba explícitamente al infinito. El costo fue muyalto: la nueva versión era muy larga, compli-cada y tenía todas las trazas de ser una pro-posición deducible de los restantes postula-dos. Dice así (véase Euclides, Los Elementos):

Dadas dos rectas y una transversal aellas, si los ángulos internos de un mis-mo lado suman menos que dos rectosentonces, al prolongar estas rectas ellasdeberán intersectarse del lado de estosángulos.

De allí que haya suscitado una voluntad desimplificación en quienes la estudiaban, porlo que se dedicaron a tratar de demostraresta nueva proposición, en lugar de aceptar-la como evidente por sí misma.

La riqueza de las acciones simbólicas es ma-yor que la producida por objetos matematiza-dos que están controlados ontológicamente,como es el caso de la geometría euclidiana.Sin embargo, en su momento, no hubo unatoma de conciencia sobre este hecho, comolo muestra la continuada búsqueda de unademostración, que aunque realizada a niveldigamos formal, pretendía dejar constanciasobre la naturaleza euclidiana del espacio. Noestaba pues tematizada la estructura formalcomo objeto de indagación.

La historia de estos trabajos es larga, muy larga:se despliega a lo largo de mas de veinte siglos.Garantía inequívoca, de que no estamos anteun problema menor del conocimiento. El de-

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La construcción del espacio geométrico, un ensayo histórico-crítico

senlace de este proceso ha sido el desarrollode las geometrías no-euclidianas.

De Euclides hasta el siglo XVII

Después de intentar la demostración de launicidad de la paralela, tratando de utilizaruna propiedad de las mismas que no se des-prende de su definición dentro del sistemaeuclidiano, se pasa a una etapa en donde laestrategia consiste en introducir una nuevaproposición que sustituya al quinto postula-do y, a partir del nuevo sistema axiomático,demostrar este último. Un ejemplo notable(Bonola, 1955) lo proporciona el trabajo deWallis (1616-1703) durante el siglo XVII,quien supone que

así como existen circunferencias de ta-maño arbitrario, también deben existirtriángulos semejantes de tamaño arbi-trario.

Basado en este aserto de mucho sentido co-mún, Wallis logra dar una demostración delpostulado. Todos estos son intentos fallidos.La atribución de la equidistancia entre para-lelas, la existencia de triángulos semejantesque no sean congruentes, son afirmacionesque respetan la ontología aunque lógicamen-te equivalen a lo que se desea demostrar.

La vía del absurdo

Durante este periodo se cambia el acerca-miento al problema. Se trata ahora de consi-derar como un postulado la siguiente formade negación del postulado de las paralelas. Asaber, que por un punto exterior a una rectapasa más de una paralela. El objetivo es desa-rrollar las consecuencias del nuevo sistemaaxiomático hasta que aparezca una contra-dicción. Esta será atribuida a la presencia de

una hipótesis absurda (i.e., la negación delquinto postulado). Como conclusión quedaestablecida la validez del quinto postulado,puesto que su negación es absurda. Los geó-metras, después de una larga experiencia fa-llida, están dispuestos a aceptar como pos-tulado uno que ¡ya no es evidente por sí mis-mo!

Lo que presenciamos aquí es un abandono in-consciente del control ontológico del objetomatemático a favor de la estructura lógica delsistema geométrico en su conjunto. Decimosinconsciente porque el propósito mismo de laestrategia de solución está determinado porla convicción en la naturaleza euclidiana delespacio. Sin embargo, se ha dado un giro co-pernicano al problema: se trabaja bajo la hipó-tesis que la esperada contradicción que sequiere ver aparecer en el horizonte, establez-ca la veracidad de la geometría, lo cual supo-ne (y es aquí donde se presiente la gestaciónde un nuevo punto de vista) que ahora la es-tructura matemática-lógica de la geometríapuede imponer sus dictados a la ontología.Aunque sea para estar de acuerdo con ésta.De todas formas, se inicia lo que podríamosllamar la tematización de la estructura comoobjeto de estudio. A este periodo correspon-den los trabajos de Saccheri (1667-1733),(véase Bonola, 1955) principalmente y deotros geómetras.

Una reconsideración epistemológica

Los desarrollos que hemos analizado hastaahora, son solidarios de una concepción rea-lista de la matemática. Ahora, debemos anali-zar la concepción epistemológica de Kant(1724-1804) que se erigió en un formidableobstáculo a los desarrollos geométricos pos-teriores, pero que, una vez superado, hizoposible a las matemáticas acceder a un nivel

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de equilibrio conceptual del que no habíadisfrutado antes.

Para Kant, había llegado la hora de investigarsi no se iba más lejos subordinando el objetoa la cognición, contrario al enfoque empiris-ta. Hasta aquí, la nueva alternativa heredabaal racionalismo cartesiano, pero Kant sostu-vo que la cognición, aunque subordine al ob-jeto, comienza por él.

En la introducción de su Crítica de la RazónPura Kant expresa:

“No hay duda alguna de que todonuestro conocimiento comienza conla experiencia. Pues ¿por dónde iba adespertarse la facultad de conocercomo no fuera por medio de objetosque hieren los sentidos... y elaboranasí, con la materia bruta de las impre-siones sensibles, un conocimiento delos objetos que llamamos experien-cia?... Mas si todo nuestro conocimientocomienza con la experiencia no porello se origina todo él en la experien-cia. Bien podría ser que nuestro cono-cimiento empírico fuera compuestode lo que recibimos por medio de im-presiones y de lo que nuestra facultadde conocer (...) proporciona por símisma sin que distingamos este añadi-do de aquella materia fundamental...”

De modo que nuestro conocimiento delmundo, no es una representación (en el sen-tido de una copia) de esa realidad externa ennuestro intelecto, sino una interpretación,una reconstrucción que hacemos tomandonuestros registros perceptuales como mate-ria prima y sometiéndolos al influjo de esamáquina de interpretar y organizar constitui-da por nuestro intelecto.

Para Kant nuestras experiencias sensorialesson posibles como fenómenos que se desa-rrollan en el espacio y en el tiempo. Pero, espa-

cio y tiempo son las formas de sensibilidadmediante las cuales el intelecto capta las expe-riencias. Las formas de sensibilidad son innatas.Sin ellas las experiencias son imposibles.

Las experiencias son moldeadas por las for-mas de sensibilidad, así como el agua al en-trar al recipiente, adopta la forma de éste.

No tenemos acceso a las cosas en sí mismas.La objetividad del conocimiento no reside enla realidad externa como querían los empiris-tas, sino en la interacción de aquella con elsujeto. Con un sujeto trascendental.

El conocimiento se torna un problema teóri-co y no sólo una actividad volcada sobre elmundo desde el que se revela como algomás que una simple reproducción de la reali-dad. El conocimiento se impone entoncescomo el producto de elaboraciones en elmundo de las experiencias del sujeto.

Para Kant:

sólo es posible dar cuenta de la certezade la ciencia natural y de sus posibilida-des de matematización, si suponemosque la estructura de nuestra experienciaproviene de nuestras facultades cogniti-vas, que sirven de fundamento a priori anuestras experiencias.

Como lo ha señalado Popper (Popper-Lo-renz, 1995), Kant debió renunciar al ideal deuna ciencia que no hace suposiciones; dejóclaro que no puede partirse con las manosvacías y que debemos acercarnos a nuestrabúsqueda con un sistema de hipótesis queestán al margen de los métodos empíricos delas ciencias. Tal sistema de hipótesis es loque denominó aparato categórico.

Mediante la tematización de la organizaciónaxiomática, la geometría empezó a emergerde la esfera puramente empirista hacia unafase de mayor organización lógica. Se dio un

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giro copernicano y la estructura formal pasóa ser vista como necesaria, como inevitable.No se podía, en consecuencia, contradecireste sistema geométrico sin esperar conse-cuencias considerables.

Gauss y Lobachevski

Gauss (1777-1855) llegó a la universidad deGotinga en 1795. Kant falleció en 1804. Seha conservado la correspondencia de Gaussy allí se ve cómo fue evolucionando su pen-samiento y cómo éste permaneció siemprearticulado con sus concepciones epistemo-lógicas. En él hay ya señales claras de que elproblema estaba siendo conceptualizado demanera distinta.

Hacia finales del siglo XVIII los puntos de vis-ta dominantes sobre el espacio eran los deKant y los de Newton. En su obra Principia,Newton nos dice que no va a definir ni espa-cio, ni tiempo puesto que son de todos co-nocidos. Para él, el espacio verdadero coin-cide con el euclidiano. Dada su autoridad, lanaturaleza euclidiana del espacio quedabafuera de toda duda. Esto debió representarpara Gauss y posteriormente, para Loba-chevski, un formidable obstáculo. Fue enesta atmósfera en la que debieron desarro-llar su trabajo.

Si bien en sus inicios Gauss intentó demos-trar el quinto postulado, pronto su pensa-miento dio un giro y empezó a considerarcuidadosamente la imposibilidad de una de-mostración dentro del marco del sistema axio-mático (Bonola, 1995). Razonó así: la demos-tración del quinto postulado implicaba paralos geómetras de generaciones anteriores,que un sistema lógicamente coherente ga-rantizaba la naturaleza euclidiana del espa-cio. Pero esto no era posible en el marco es-

trictamente euclidiano pues, de acuerdo a lanaturaleza de los objetos geométricos, talcomo estos se construían en la epistemologíaaristotélica, había un control del objeto físicosobre el objeto matemático, no al revés. Si losgeómetras, Saccheri incluido, habían supues-to que la prueba de consistencia implicaba laeuclidianidad del espacio, era porque incons-cientemente ¡habían cambiado las reglas deljuego! de hecho, se habían inclinado por untotal control simbólico de los objetos.

Gauss hizo explícito este cambio de reglas.Separó el problema de la consistencia del sis-tema axiomático del problema de la naturale-za del espacio físico. Sabiendo que el postula-do de las paralelas era equivalente al aserto: lasuma de los ángulos interiores de un triánguloes 180 grados y, siendo consciente de la dife-rencia entre las propiedades locales y globa-les del espacio, calculó la suma de los ángulosdel triángulo formado por las cimas de lasmontañas Brocken, Hohenhagen e Inselberg.Desafortunadamente, el error cometido en lamedición estuvo dentro del rango del errorexperimental permitido por el problema; suexperimento geométrico no fue concluyente.Gauss, a diferencia de Kant, pensaba que ladecisión sobre la naturaleza del espacio físicono podía ser un a priori.

Sobre este punto, de la suma de los ángulosde un triángulo, escribió a su amigo Taurinusen 1824 (Bonola, 1955):

La hipótesis: “la suma de los ángulos deun triángulo es menor que 180 grados”da lugar a una geometría curiosa, muydiferente a la nuestra (la euclidiana) quehe desarrollado a mi entera satisfacción,tanto que puedo, en ella, resolver cual-quier problema excepto la determina-ción de una constante que no puede serdeterminada a priori... los teoremas deesta geometría parecen paradójicos y

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hasta absurdos... pero calma, una refle-xión sostenida revela que no contienennada imposible. Por ejemplo, los tresángulos de un triángulo se hacen arbi-trariamente pequeños si tomamos los la-dos suficientemente grandes, a pesar delo cual el área permanece siempre aco-tada... No encuentro contradiccionesen esta geometría no-euclidiana a pesarde todos mis esfuerzos... varias veces heexpresado mi deseo de que la geome-tría euclidiana no fuera verdadera por-que entonces tendríamos una unidadabsoluta de longitud...

Uno de los resultados aparentemente absur-dos se refiere a la fórmula mediante la cualcalculamos el área de un triángulo. Suponerque por un punto externo a una recta pasamás de una paralela implica que, dado untriángulo cuyos ángulos miden (en grados) a,b, y c, su área es:

área = k (180 — (a+b+c))

donde k es una constante positiva que no sepuede determinar a priori. Es claro de estafórmula, que a diferencia de lo que ocurrecon la geometría euclidiana, el área de lostriángulos depende de la longitud de los la-dos así: a medida que aumenta la longitud delos lados, disminuyen los ángulos, y por lotanto aumenta el área, pero permanece siem-pre acotada. Gauss tenía razón en pedirnoscalma. El resultado es asombroso. Desde lue-go, esta situación no puede presentarse en lageometría euclidiana. Recordando a Wallis,él intentó demostrar el quinto postulado to-mando como hipótesis adicional que en lageometría podían existir triángulos de áreaarbitrariamente grande. La fórmula del áreahiperbólica hallada por Gauss muestra conmucha claridad en dónde estaba la peticiónde principio, como dicen los lógicos, cometi-

da por Wallis. Explica la ilegitimidad de su hi-pótesis.

Es importante leer la pregunta ¿cuál es lageometría “verdadera”? de cara al resulta-do: área = k(180 – (a+b+c)), que se originaen el dominio matemático y, a los esfuer-zos de Gauss por darle un sustento experi-mental. Nos parece que esta es una aporta-ción central de sus meditaciones sobre lafundamentación de la geometría. Su bús-queda estuvo orientada a la consecuciónde un modelo geométrico que sirviera deorganizador de nuestra experiencia geomé-trica, que Gauss no veía desvinculada delas capacidades cognoscitivas del ser hu-mano. Solía invitar a sus amigos a imaginaruna especie que sólo estuviera conscientede dos dimensiones. Es decir, no construi-mos nuestra noción de espacio como unamera abstracción de lo empírico, como hu-biera querido Aristóteles, sino que en talconstrucción está involucrado cómo cono-ce el ser humano.

En 1902, en su obra, La Ciencia y la Hipótesis,Poincaré escribió:

Los axiomas de la geometría no son jui-cios a priori, ni hechos experimentales.Los axiomas son hipótesis; nuestra elec-ción, entre todas las posibles, está guia-da por los hechos experimentales; perosigue siendo libre y sólo limitada por lanecesidad de coherencia. Es así que lospostulados pueden ser rigurosamenteverdaderos (aquí Poincaré se refiere a lacoherencia del sistema axiomático) aúncuando las leyes experimentales quehan determinado su adopción sólo seanaproximadas.

Es decir, hay una diferencia de fondo entre lamatemática y la física. Hay una verdad for-mal, en el terreno de la matemática, que co-rresponde a las posibilidades deductivas y

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una verdad física que corresponde a la cons-trucción de la objetividad.

Como se habla de la búsqueda de una teoríaverdadera, casi por un reflejo especular, esinevitable pensar en términos popperianos y,más bien, pensar en la falsación o refutaciónde una teoría científica. Suscribimos la tesisde que no puede demostrarse que una teoríaes verdadera. ¿Qué sentido tendría decir quela geometría euclidiana es verdadera? ParaAristóteles, el sentido estriba en que el siste-ma euclidiano representa fielmente al espa-cio físico. Para el falsacionismo popperiano,no tiene sentido tal aserto. Lo que tiene senti-do es buscar una refutación de la teoría encuestión, en este caso la geometría euclidia-na, pero no con el propósito de descartarlasino para demarcarla, es decir, para definir sudominio de validez instrumental -como uninstrumento para explorar. Ese fue el caso dela mecánica newtoniana frente a un cuerpoteórico más organizado como la teoría de larelatividad.

La refutación kantiana a manos de las geo-metrías no-euclidianas consistió, más bien,en la demarcación del dominio de aplicabili-dad de la geometría euclidiana. Volveremosa este asunto un poco más adelante.

El trabajo de Gauss no fue conocido sinohasta después que otros pioneros como Lo-bachevski, hicieron público el suyo. Sólo en-tonces, Gauss brindó su apoyo a la nuevageometría.

En 1835 Lobachevski escribió (Nuovi Principidella Geometria, Boringhieri, 1974):

Es bien conocido que hasta la fecha, lateoría de las paralelas ha permanecidoincompleta. Los esfuerzos infructuososrealizados desde los tiempos de Eucli-des hasta la fecha, a lo largo de más dedos mil años, me han llevado a la con-

vicción de que los conceptos involucra-dos en esta investigación no contienenla verdad de lo que se deseaba demos-trar... convencido de mi conjetura escri-bí mis argumentos en 1826.

Un punto de vista semejante al de Gauss.Como nos dice Lombardo Radice, Loba-chevski no es sólo un lógico, también es unfísico, un experimentador. El hecho de quela medición real nos lleve a concluir la vera-cidad del teorema de Pitágoras y que lasuma de los ángulos del triángulo es 180grados, tan solo es una prueba de la con-cordancia de la geometría ordinaria con laexperiencia ordinaria, dentro de los límitesde la observación ordinaria, y no más alláde éstas. Por ejemplo, la suma de los ángu-los de un triángulo puede diferir de 180grados por una cantidad muy pequeña, in-sensible a las mediciones prácticas por pre-cisas que estas sean. Pero las diferenciaspueden hacerse ostensibles a medida queabandonamos la esfera de nuestra expe-riencia ordinaria. Esta reflexión llevó a Lo-bachevski a intentar la exploración empíri-ca de la naturaleza del espacio físicomediante el cálculo de la suma de los ángu-los del triángulo formado por la tierra, el soly la estrella sirio. Desafortunadamente parasus propósitos, todavía a esta escala, las di-ferencias con respecto a los clásicos 180grados resultaba despreciable.

Para Lobachevski, los principios geométricosno se derivan exclusivamente de la razón,con independencia de los objetos materia-les. Un punto de vista que se opone al kantia-no. Para él, los principios de una ciencia sonel resultado último de la investigación, sonresultado de un delicado proceso de abstrac-ción. El elemento dialéctico de su obra semanifiesta en la toma de conciencia de laexistencia de diferentes esferas de validez de

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las leyes geométricas. La geometría euclidianaera, en este enfoque, la geometría práctica.

Lobachevski utilizó las fórmulas de la trigo-nometría hiperbólica como soporte de lacoherencia lógica de su sistema geométrico.Bajo la hipótesis del ángulo agudo (es decir,que la suma de los ángulos de un triángulo esinferior a 180 grados), pudo demostrar queen la figura siguiente:

si las rectas m y n son las paralelas a derechae izquierda (en la geometría euclidiana el án-gulo de paralelismo es recto y por lo tanto lasrectas coinciden) entonces se cumple la si-guiente relación fundamental:

tan ( a/2 ) = exp (- d )

que muestra, analíticamente, la relación en-tre la unidad de medida angular y la unidadde medida de longitud. (En la geometría eu-clidiana, por otra parte, sólo hay unidad an-gular natural, a saber, la vuelta completa. Nohay unidad natural de longitud). Ahora, a me-dida que d tiende a cero, el ángulo de parale-lismo tiende a 90 grados, con lo cual quedaestablecido que la geometría euclidiana esun caso límite de la geometría no-euclidiana,y no algo desvinculado radicalmente de ella.Esta fórmula nos sirve para explicar y com-prender, por qué se tiene la impresión (queresulta muy práctica) que el espacio es eucli-diano. Así es, porque nuestra experiencia eslocal, porque depende de nuestra estructuracognoscitiva y de su interacción con el espa-

cio de nuestra experiencia. La explicación yla comprensión del fenómeno, sólo puedenprovenir del modelo. El error de Kant es natu-ral y proviene de atribuir al espacio en su to-talidad un comportamiento que es derivadode nuestra experiencia local de ese espacio—allí estaba la clave de su aparente euclidia-nidad.

Intentaremos ahora un somero resumen dela historia anterior:

1. La geometría griega está controlada por laontología.

2. Hay una toma de conciencia que discurrelentamente, sobre la necesidad de pasar delcontrol ontológico al estudio de la estructuraaxiomática.

3. Se distinguen los problemas de la ade-cuación de un sistema geométrico al espa-cio físico (es decir el sistema axiomáticocomo una hipótesis sobre el espacio) y elproblema de la validez matemática del sis-tema.

4. Pueden existir sistemas geométricos lógi-camente incompatibles pero adecuadospara la matematización del espacio.

Todo esto requirió un largo proceso evoluti-vo. A partir de la toma de conciencia sobre ladiferencia entre el tipo de conocimiento quese produce en el interior de una organiza-ción matemática y el que se produce cuandotal organización funciona como modelo enlas ciencias naturales (aunque en algunas,como la física, la matemática es mucho másque un auxiliar), el desarrollo de la matemáti-ca fue profundizando la ruptura con las posi-ciones sustancialistas. La situación queda des-crita en la introducción del libro clásico deCourant-Robbins ¿Qué es la matemática? enestos términos:

107


mn

ad

A través de los tiempos los matemáticosconsideraron sus objetos —números,puntos etc.— como cosas sustancialesen sí. Pero en vista de que aquellos de-safiaban una descripción adecuada, losmatemáticos del siglo pasado llegaron ala convicción de que el problema de lasignificación de dichos objetos comocosas sustanciales no tenía sentido den-tro de la matemática. Las únicas propo-siciones relativas a ellos que importanson las que expresan las relaciones mu-tuas entre objetos indefinidos: su estruc-tura y relaciones... la percepción de lanecesidad de la desustanciación de losobjetos matemáticos ha sido uno de losresultados más fecundos del desarrolloaxiomático moderno.

Consideraciones finales

La idea de que las cosas son resultado de unproceso evolutivo incesante, que lo que ob-servamos en cada momento es un estadotransitorio de una forma en equilibracióncontinua, ha seducido a más de un pensadoren diferentes épocas.

A lo largo del presente siglo, son muchos losque se han preocupado por la construcciónde una epistemología evolutiva. La cienciamoderna ha hecho suyas muchas de las posi-ciones que estas epistemologías han defendi-do. Por ejemplo, Heisenberg, en su obra Lapartie et le tout escribe:

En la física atómica, hemos aprendidoque nuestras percepciones no puedenapoyarse en un modelo de la “cosa ensí”; [por ejemplo]: no hay “átomo en sí”.

En la mecánica cuántica los resultadosde nuestras percepciones no puedenser objetivados de la misma manera quelo son en la física clásica.

Una de las enseñanzas epistemológicas quese extraen de la lectura de este notable libro,consiste en que los conceptos que nos sirvenpara describir nuestra experiencia cotidianatienen un dominio de aplicación limitado.Frente a términos como objeto de la percep-ción, simultáneo, temperatura, etc. siemprees posible imaginar situaciones, nos dice Hei-senberg, en las cuales estos términos pierdansu significado habitual. Por ejemplo, nosdice, ¿qué sería la temperatura de un átomo?

Esta forma de ver el proceso de produccióndel conocimiento compromete de inmedia-to la manera tradicional de concebir la objeti-vidad. Ahora, la objetividad del conocimien-to se ve como resultado de la crecienteactividad del sujeto cognoscente. Pero estees sólo el primer nivel en la constitución de laobjetividad del conocimiento. Un nivel másalto resulta de la coordinación de puntos devista, de la construcción de dominios con-sensuales a partir de la comunicación con losdemás. La epistemología constructivista hareconocido que la causa más frecuente deldesequilibrio cognitivo surge en el marco dela interacción social, cuando las personas to-man conciencia de las limitaciones de susconceptualizaciones al enfrentarlas a las delos demás.

Estas son, a grandes rasgos, algunas de lasideas de una epistemología abierta que, ellamisma, está en construcción permanente yque trata de responder a las exigencias de laciencia de hoy.

Referencias

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Courant, R. , Robbins, H. ¿Qué es la Matemáti-ca?, ed. Aguilar, Madrid, 1962.

108


Euclides, The Thirteen Books of the Elements, SirThomas Heath (ed y trad). Dover Publica-tions Inc., New York, 1956.

Heisenberg, W. La partie et le tout , Flammarion,Paris, 1972.

Lobachevski, N. Nuovi Principi della Geometria,Boringhieri, 1974.

Moreno, L. Waldegg, G. Variación y representa-ción: del número al continuo, EducaciónMatemática, vol. VII, No 1, 1995.

Poincaré, H. La Science et l´hypothese, Flamma-rion, París, 1902.

Popper, K, y Lorenz, K. El Porvenir está Abierto, Tus-quets, colección Metatemas, vol. 28, 1995.

109


Graficación de funciones


En el contexto de la graficación de funcionesilustraremos el principio fundamental de quetoda acción cognitiva es una acción mediadapor instrumentos (materiales o simbólicos). Eneste contexto se puede vislumbrar claramen-te cómo el uso de la tecnología (la calculado-ra TI-92), transforma el tipo de conocimientoque logran construir los estudiantes.

Vamos a abordar el estudio de la graficaciónde funciones considerando a la calculadoracomo una ventana a través de la cual estudia-mos una fenomenología visual: las gráficasde las funciones. Esto deberá darnos un co-nocimiento sustancial de cómo funciona elplano cartesiano, cuando lo vemos a travésde las ventanas de la calculadora.

Desarrollaremos una serie de estrategias degraficación propias del contexto que habráque combinar con las estrategias analíticasque permitan confirmar los resultados que

sugieren las representaciones visuales. Sinembargo, a medida que vayamos desarro-llando mejores estrategias de graficación, elestudiante sentirá que esa intuición educaday respaldada por la tecnología, le da un crite-rio suficientemente sólido para saber si nece-sita o no, de la confirmación analítica

Cuando se utiliza la tecnología para graficarfunciones, la elección de la ventana de grafi-cación es el tema central. Por ejemplo, consi-deremos la función y(x) = x3 – 2x2 + x – 30 ygeneremos gráficas en las ventanas que seproponen en la figura 1.

En cada ventana se nos ofrece un paisaje di-ferente de la función, como cuando conoce-mos distintas partes de una ciudad. Tenemosentonces el problema de cómo integrar losdiferentes paisajes para obtener una visión deconjunto.

110

[-10, 10] x [-10, 10] [-10, 10] x [-30, 30] [-10, 10] x [-50, 50]

Figura 1

111


(2) Máximo(1) Creciente

El problema cognitivo al que se enfrenta aquíel estudiante es una manifestación de unpro-blema más general: ¿Cómo ir de un co-nocimiento fragmentado a un conocimientoholístico?

En el caso de la graficación de funciones, elconocimiento holístico se producirá cuando

tengamos una gráfica (de antemano una ven-tana de graficación especial) en la cualqueden en evidencia todas las característicasesenciales de la función. Y, ¿cuáles son estascaracterísticas esenciales? Observemos las si-guientes ventanas (figura 2):

(3) Inflexión (4) Asíntota

(6) Mínimo(5) Cero

Figura 2

Podemos imaginar que estas seis situacionesconstituyen las letras de un abecedario. Unagráfica holística de una función es una pala-bra de este lenguaje. Una función puede en-tenderse como un momento en la evoluciónde una familia de funciones, o también comouna palabra de la frase que nos habla de suevolución.

En el contexto de las funciones polinómicas,la gráfica de una de segundo orden puede ar-marse (visualmente) si conocemos un (único)máximo o mínimo y las intersecciones con eleje x (las raíces del polinomio).

Una función polinómica de tercer grado pue-de tener máximo, mínimo ó puntos de infle-xión y tres raíces. El resto es monotonía.

Problema 1: Determinar la ventana comple-ta9 de la función y = x4 - 8x2 + 1.

Empecemos por introducir la función que sequiere analizar. Esto se hace en el editor defunciones como se muestra en la figura 5.

Ahora demos valores para el dominio y con-tradominio de la función, es decir determine-mos una ventana de graficación. Considere-mos inicialmente lo que llamamos ventanaestándar10 siendo esta [-10, 10]2. En las figu-ras 6 y 7 se observa la elección de la venta-na y la gráfica de la función para ésta.

112


Figura 4

Figura 5

Figura 6

Figura 3

9 Con ventana completa nos referimos a hallar aquella ventana que contenga una parte de la gráfica que muestra todas las característicasde la función. Las características a las que se hace referencia son: monotonía, raíces, valores extremos, puntos de inflexión y asíntotas.

10 Si x varía de a a b y y varía de c a d, denotamos la ventana de la siguiente forma: [a, b]× [c, d], para el caso en que x y y tengan la mismavariación se denota como [a, b]2.

Con la representación de la gráfica en ésta ven-tana se observa que las dimensiones no son lasadecuadas, ya que hay valores de x en dondeno se ve el valor para y y no se puede apreciartotalmente la gráfica; es necesario aumentar elrango. Bien, hagamos esto considerando aho-ra la ventana [-4, 4] × [-20, 10] (El valor de x

queda determinado por lo obtenido en la gráfi-ca anterior y con y se sigue probando). El resul-tado de esta nueva ventana se presenta en la fi-gura 8.

Ahora ya es posible ver el comportamientode la función en la parte inferior pero no sesabe qué ocurre con la superior, así que au-mentemos el valor de la y, considerando lasiguiente ventana [-4, 4] × [-20, 20] (figura9).

En este caso observamos que el comporta-miento de la representación anterior se man-tiene. Así que al parecer ya se tiene una ven-tana que contiene las características de lafunción. Pero falta determinar si ésta es o nola ventana completa.

Monotonía

¿Cómo se sabe que la función ya no baja, esdecir, que el comportamiento observado semantiene?

Para contestar esta pregunta recurramos a latabla para ver si efectivamente este compor-tamiento (el valor de y aumenta) se mantie-ne. En las figuras siguientes (figura 10 y figura11) se muestra cómo se hace la elección deun valor inicial para la tabla y un incremento,en este caso de 1, así como la tabla de la fun-ción.

113


Figura 9Figura 7

Figura 10

Figura 8

Observamos que los valores de y siempre au-mentan por lo que el comportamiento mos-trado se mantiene y el valor de la función alparecer ya no disminuye. Por lo cual, de la ta-bla, se puede conjeturar que la función esmonótona. Otra forma para determinar la mo-notonía de la función es usando el comandoderivada que se encuentra en F3, en la pan-talla HOME (figura 13).

Haciendo uso del comando factor de F2, fac-toricemos la derivada de la función (figura 14).

Tenemos que la derivada es:

4x(x - 2)(x + 2)

lo cual nos sugiere analizar los intervalos(- ∞,-2), (-2,0), (0,2) y (2,∞) para determinarsu comportamiento. Consideremos valores

114


Figura 11

Figura 12

Figura 13

De la tabla se observa que los valores de y

para las x mayores que 4 y menores de -4 vaaumentando, por lo que al parecer el com-

portamiento se conserva. Tomemos un in-cremento mayor, digamos de 10 y veamosque ocurre (figura 12)

dentro de estos intervalos y evaluémoslosen la derivada para determinar lo pedido(figura 15).

De lo anterior, se puede apreciar que la fun-ción se comporta de la siguiente forma:

En (-∞,-2) y en (0,2) es decreciente y en (-2,0)y en (2, ∞) es creciente, por lo cual se tieneque la función es monótona y el valor de y yano disminuye.

Esto nos confirma que la ventana escogidaes una ventana adecuada para representarla gráfica. Veamos las demás característi-cas de la función.

Ceros

Primero, sin hacer uso de la calculadora,notemos que la función dada es polinómi-ca de cuarto grado y en la gráfica se obser-va que se corta 4 veces el eje x, con lo cualse tendrían todos los ceros en esta ventana.

Usemos la tabla para ver esto (figura 16).

En este caso se observa que hay cuatro cam-bios de signo lo que nos señala 4 ceros;como la función es monótona no es posibleque haya más ceros, por lo cual todos estáncomprendidos en esta ventana.

Para determinar cuáles son éstos, observa-mos las marcas de los ejes; en la gráfica setiene que son aproximadamente:

-2.8, -0.4, 0.4 y 2.8.

115


Figura 14

Figura 15

Figura 16

Tratemos de verificar esto usando el coman-do ZoomBox de F2 en forma iterada; esto es,aplicando el comando a cada resultado. Encada caso se hace uso de F3 Trace para de-terminar el valor sobre el eje x.

Para aproximar el primer cero (empezandopor la izquierda) se tiene la siguiente secuen-cia de imágenes. La primera nos muestracómo se hace uso del comando (figura 17).

Realizando un procedimiento semejante, al-rededor de los otros ceros, se tiene lo si-guiente:

Segundo cero (figura 18)

Tercer cero (figura 19)

116


Figura 17

Figura 19

Figura 18

Cuarto cero (figura 20)

Con este desarrollo se tienen los siguientesceros (considerando sólo dos decimales y re-dondeando):

-2.81, -0.36, 0.36, 2.81

Finalmente hagamos uso del comando Zero

de F5; éste nos determina con precisión cadacero, indicándole un intervalo de la gráfica.(figura 21).

En la figura 21 se aprecia la secuencia de imá-genes en la forma en que se encuentra uncero. La figura 22 muestra los ceros.

117


2o. cero

3er. cero

Figura 20

Figura 21

1er. cero

Lo que nos dice que los ceros son:

-2.81, -0.36, 0.36 y 2.81.

Resulta interesante observar que los resulta-dos dados usando Zero son prácticamentelos mismos que los obtenidos con el Zoom.

Valores extremos

Empecemos analizando la tabla de la funcióny veamos dónde se presentan los valores mí-nimos y máximos (si los hay) de la función. (fi-gura 23)

Se observa que el valor más pequeño quetoma la función es -15, tomando este valoren x = -2 y x = 2, así como también que no se

puede determinar un valor mayor, es deciruno que exceda a los demás, por lo cual sepuede concluir que hay dos valores para x enque se tiene un valor mínimo absoluto y nohay valor máximo absoluto.

Introduzcamos la derivada (la cual se presen-ta en y2 ) en el editor de funciones y vayámo-nos a la tabla (figura 24)

118


Figura 23

4o. cero

Figura 22

En esta vemos que la derivada es cero enx = -2, x = 0 y x = 2 lo que nos sugiere que enéstos puntos se presentan valores extremos.Junto con el análisis de la tabla para la fun-ción observamos que en x = 2 y x = -2 se tie-nen mínimos, pero en cero no se nota nin-gún comportamiento especial por lo queprobablemente en este valor se tenga un va-lor extremo local.

También es posible determinar los valoresextremos usando los comandos Minimum y

Maximum de F5. Con éstos, encontramos losvalores extremos considerando intervalos.(figura 25).

Se observa que efectivamente en x = –2 yx = 2 se tiene un mínimo mientras que enx = 0 se presenta un máximo local.

Del análisis realizado a la gráfica, observa-mos que la ventana sugerida como la apro-piada cumple con las características quedebe tener una ventana completa (en ella es-tán las raíces, los valores extremos y se tieneque, por fuera de ella, la función es monóto-na) por lo que podemos decir que la ventana[-4, 4] x [-20, 20] es la ventana completa11 dela función y = x4 – 8x2 +1.

Problema 2: un ejemplo más degraficación

Trabajaremos con la función:y = x10 - 100x9 + 30x8 - 7x4 + x - 100 para discu-tir otras herramientas útiles en la graficaciónde funciones. Intentaremos encontrar la ven-

119


Figura 25

Figura 24

11 En este caso se necesitaron muy pocos intentos para hallar la ventana completa. No siempre resulta tan fácil de encontrar, incluso enocasiones no es posible determinarla. Esto queda de manifiesto en el siguiente problema.

tana completa de graficación, es decir, laventana que muestre los elementos más im-portantes de la función y.

Daremos la primera imagen de la función enla ventana estándar de graficación cuyas di-mensiones son: [-10, 10] × [-10, 10] con unaescala12 en x igual que en y, esto es, de 1.

La función y dada, es polinómica, por lo cualsabemos que está definida para todo valorreal de x y es continua en dicho dominio.Realmente esperábamos una imagen distintaque la recta vertical que muestra la ventanaestándar (figura 26).

Un elemento importante por rescatar, enesta ventana de graficación, es la presenciade un cero. La escala en el eje x nos permiteaproximar el valor de la x donde se encuen-tra el cero de la función. En este caso pode-mos acotarla en el intervalo [-2, 0].

Ampliaremos la ventana de graficación paratener otra visión de la función; el dominio dela función nos permite realizar tal acción.Usaremos la ventana [-25, 25] × [-50, 50] conescala en x = 5 y y =10 (figura 27).

La ventana nos muestra nuevamente una lí-nea recta que se encuentra muy cercana aleje y. Quizás estemos trabajando con unaventana pequeña, la cual no llega a contenertodas las características de la función. Inten-temos entonces con una ventana más gran-de como lo es [-50, 50] ´ [-150, 150] con es-cala en x = 25 y en y = 50 (figura 28).

Elegimos el intervalo del dominio más pe-queño que el del rango por el hecho de teneren la ventana anterior, que el rango era insu-ficiente para los valores dados.

120


Figura 27

Figura 28

Figura 26

12 Los comandos xscl y yscl que aparecen en la ventana WINDOWS, los denotaremos como escala en x y escala en y, tratándose en reali-dad de marcas o señalamientos en dichos ejes, de acuerdo con el número asignado en tal comando.

En esta ocasión apreciamos un cambio en lagráfica de la función. Podemos ver que de-crece y en algún momento cambia de “direc-ción”; de los valores negativos del dominio alos valores positivos.

Puesto que hemos visto un comportamientosimilar en las tres ventanas anteriores pode-mos conjeturar que la función se comportade manera decreciente.

Investiguemos qué está pasando cerca deleje y; para ello, tenemos que proporcionaruna nueva ventana de graficación buscandoacotar el valor de x donde se encuentra laraíz de la función.

La ventana [-5, 5] × [-150, 150] con escalax =1; y = 50, puede servirnos para tal fin (fi-gura 29).

Esta ventana presenta un escalón en la función.Intentemos verlo más de cerca. La informa-ción que obtenemos de la ventana actual esque la intersección se da aproximadamenteen x =1. El escalón se forma en y = -100 y vadesde -1 a 1.

Optemos por una ventana más reducida:[-1.5, 1.5] × [-300, 100] con escala:x = 0.5 y = 10 (figura 30).

Apreciamos el escalón en la función pero, novemos qué es lo que realmente está suce-diendo en este intervalo para que la gráficase muestre de tal forma.

Importancia de la tabla en lagraficación de funciones

Recurrimos a la tabla para identificar los valo-res que está tomando la función en el interva-lo [-1, 1] que es donde se presenta el escalón.Podríamos efectuar esta observación de valo-res a partir de la misma gráfica, haciendo usode F3 Trace, pero nos veríamos limitados alos valores de la gráfica únicamente, mientrasque en la tabla podemos manipular los valo-res de la función para analizar el comporta-miento de los mismos de manera global.

En este caso mostraremos los resultados deuna tabla que inicia en x = -1.5 y presentaun incremento de 0.1 (figura 31). La fun-ción y = x10 - 100x9 + 30x8 - 7x4 + x - 100, estádesignada en la tabla como y1.

Observemos que la función está decrecien-do en este intervalo tomando valores positi-vos, hasta que llega a x = -0.9, donde se gene-ra un cambio de signo, lo cual es señalinequívoca de la presencia de un cero de la

121


Figura 29

Figura 30

función entre los valores de -1 y -0.9. Por otrolado, avanzando en la tabla de -1 a -0.3, po-demos distinguir un comportamiento impor-tante entre los valores presentes en la tabla(figura 31).

El valor más pequeño identificado en esta tablaes el de y = -100.6 que se da cuando x = -0.5.Puesto que los valores adyacentes a y =100.6son mayores, concluimos que este valor es elde un mínimo de la función, que considerare-mos local, por el momento.

Continuando con esta tabla de incrementosde 0.1, nos enfocamos en la tabla que iniciaen x = 0.0 (figura 32).

En esta tabla el valor más grande es el dey = -99.76, el cual se genera al evaluar la

función en x = 0.3. Ya que los valores adya-centes a y = -99.76 son más pequeños,concluimos que tal valor es un máximo dela función.

Las observaciones extraídas de la tabla sondignas de apreciar gráficamente. Tenemoselementos suficientes para proponer unaventana de graficación que encierre estascaracterísticas de la función. Veamos lagráfica de la función en la ventana[-1.5,1.5] × [-103,-97] manejando una esca-la de x = 0.5 y y = 5 (figura 33).

Aquí tenemos el escalón que nos aparecíacon anterioridad; realmente escondía un mí-nimo y un máximo. Recurriremos a la herra-mienta algebraica presente en la pantallaHOME para verificar cada uno de los elemen-tos o características de la función encontra-dos hasta ahora, a través de las gráficas de lafunción, así como la tabla de valores de lamisma.

Monotonía

Tratemos de confirmar la monotonía latenteen las gráficas, de naturaleza decreciente an-tes de x = -1.5 y después de x = 1.5.

Visualizaremos esta característica haciendouso de la tabla de valores de la función.

122


Figura 32

Figura 31

Figura 33

Barriendo hacia atrás la tabla, vemos que losvalores están decreciendo (figura 34). Por otrolado observando la tabla de la figura 35, seaprecian dos comportamientos de la función:primero, la función decrece y luego crece.

Cuando decrece llega a tener un valor muygrande, esto negativamente hablando ya queen x = 81.5 se tiene y = -3 x 1018 y cuandocrece, a partir de x =101.5, toma valores posi-tivos muy grandes (y = 2.1 × 1018) es decir, lafunción en algún momento intersecta al ejex, lo cual significa que tenemos otra raíz de lafunción.

Contamos con la estrategia de depurar la ta-bla en el intervalo [81.5, 101.5]. Pero, paraaproximarnos al lugar donde se encuentra la

raíz de la función, lo que haremos en cambioserá remitirnos a la gráfica en una ventanaque contenga a dicho intervalo, para integrarla información obtenida de la segunda tabla(figura 35) e ilustrar el comportamiento de lafunción.

La ventana [50, 102.5] × [-4×10I8, 4×1018]con escala: x = 5; y = 1 × 10l0, nos servirá paradistinguir los cambios presentes en la fun-ción. Veamos la función en este recuadro delplano cartesiano (figura 36).

Ahora intentaremos integrar el máximo y mí-nimo, así como el cero encontrado en el in-tervalo de [-1.5, 1.5].

Presentaremos la gráfica de la función en[-5, 102.5] × [-4 × 1018, 4 × 1018] como venta-na de graficación con escala en x = 10,y = 1 × 1010 (figura 37).

123


Figura 34

Figura 35

Figura 36

Figura 37

La ventana ha podido capturar un mínimo dela función, pero no vemos nada cerca del eje y,que es donde se encuentran los elementos res-tantes de la función, máximo, mínimo locales,y el cero de la función. La falta de apreciaciónen la gráfica de los elementos anteriores, sedebe a la diferencia tan grande que existe en-tre los valores a comparar: mínimo local y míni-mo absoluto, además de las limitaciones quetenemos por las dimensiones de la pantalla degraficación. Posteriormente se presentarán ydiscutirán algunos problemas propios de la cal-culadora en el ámbito de graficación.

La situación anterior nos plantea la dificultadde encontrar una ventana completa de grafica-ción que muestre los elementos o característi-cas principales de una función. Fue necesariohacer uso de la tabla de valores de la funciónpara rescatar información de la misma.

Ahora bien, no podemos afirmar que los ele-mentos que hemos logrado capturar en lasventanas de graficación, así como en la tablade valores, sean los únicos importantes de lafunción. Estamos comprometidos a confir-mar algebraicamente los elementos encon-trados en nuestro análisis gráfico y aritméticode la función y de la misma manera, tenemosque verificar si son los únicos comportamien-tos importantes de la función. Esto lo lograre-mos haciendo uso de la herramienta alge-braica de Cálculo Diferencial.

Procedemos a realizar este análisis en la ven-tana de HOME.

Ceros

Para encontrar los valores del dominio quehacen posible anular la función o bien en-contrar los ceros de la misma, tenemos variasopciones:

– Por el hecho de tratarse de una funciónpolinómica, podemos factorizar la fun-ción dada y con los factores lineales, de-terminar los ceros.

En la ventana HOME, tenemos dentro de F2

Algebra, el comando factor el cual nosproporciona la factorización del polinomio(figura 38).

Por supuesto la factorización comprendefactores lineales que determinan los ceros dela función, pero he preferido presentarlas enotra de las opciones que tenemos para en-contrar raíces de una función. La factoriza-ción también puede presentar factores cua-dráticos que pueden generar dificultades enla identificación de las raíces.

– En F2 Algebra, contamos también con elcomando solve, el cual resuelve ecua-ciones dadas (figura 39). Los ceros de una

124


Figura 39

Figura 38

función se encuentran resolviendo laecuación que se obtiene al igualar a ceroel polinomio.

Esta instrucción dentro de la calculadora, nosfacilita la lectura de los ceros de la funciónpolinomial.

– Una tercera forma de encontrar los cerosde la función es con el comando zeros,que aparece en F2 también.

Máximos y mínimos

El Cálculo Diferencial nos brinda la forma deencontrar los valores en los cuales se presen-tan los máximos o mínimos de una función,esto a través de la primer derivada de la fun-ción. La ventana HOME cuenta con un menúde cálculo, en el cual encontramos en coman-do d(differentiate), que nos proporcio-na la derivada de una función. Para nuestroejemplo, necesitamos determinar la derivadade la función para encontrar los puntos críti-cos de la misma, en los cuales se tienen losmáximos o mínimos de la función; estos losobtenemos igualando a cero la derivada ante-rior, o usando el comando zeros.

Utilizaremos en esta ocasión, el comandozeros, que se había mencionado con ante-rioridad.

Deseamos conocer los valores de la funciónen estos valores críticos que hemos encon-trado. Procederemos entonces a evaluar lafunción en dichos valores. En este caso hare-mos uso de la instrucción “tal que”, compara-remos los valores de la función y los clasifica-remos como mínimos y máximos locales oabsolutos (figura 41).

Si bien, la foto de la pantalla HOME no nosmuestra la instrucción completa para evaluar lafunción en los puntos críticos, podemos dedu-cir que el primer valor de x es -0.48307 y nosproporciona un mínimo local comparándolocon el último valor de la pantalla, que se tratade un mínimo absoluto. El valor intermedio enla pantalla x = 0.3269 es un máximo local.

El comportamiento de la derivada nos ilus-tra sobre el comportamiento de la función.Podemos realizar una comparación de di-chas funciones para visualizar la monoto-nía. Esto lo podemos efectuar desde la ta-bla de valores (figuras 42 y 43).

Estas dos tablas no ilustran todo el comporta-miento, pero ejemplifican la situación en lacual podemos comparar la derivada con lafunción. Si la derivada es negativa, la funciónes decreciente, si la derivada es positiva lafunción es creciente.

125


Figura 40

Figura 41

Las herramientas con las que cuenta la calcu-ladora TI-92, facilitan el manejo del cálculopara distinguir las componentes esenciales eimportantes de la gráfica de una función, asícomo las diferentes formas en las que se pue-de representar.

Algunos problemas que surgen algraficar funciones en la TI-92

Cuando se empieza a graficar en la calcula-dora TI-92 es inevitable encontrarse con algu-nos problemas. A continuación analizamosalgunos de ellos.

1) Graficar la función y = x en la ventana[-10,10]2 (figura 44).

Visualmente la gráfica es una recta que noestá a 45° con respecto al eje x.

Si graficamos con una ventana de tamaño[ -10, 10 ] x [-5, 5] (figura 45).

Parece que la recta ahora si está a 45°. En F2

apliquemos ZoomSqr (figura 46).

Visualmente puede uno aceptar que la gráfi-ca si está a 45°. Si nos vamos a WINDOW nosencontramos con las siguientes dimensionesde la ventana de graficación:

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Figura 44Figura 42

Figura 43

Figura 45

Figura 46

[-11.6666666667, 11.6666666667] ´ [-5, 5]¿Qué está pasando?

2) Graficar la función y x= 25 2– en la ven-

tana [-10,10]2 (figura 47).

Visualmente la gráfica no parece una semi-circunferencia. Grafiquemos en la ventana[-10,10] ´ [-5,5] (figura 48).

Visualmente la gráfica parece una semicir-cunferencia. Sin embargo, al aplicar la fun-ción ZoomSqr obtenemos la siguiente gráfi-ca con dimensiones[-11.6666666667, 11.6666666667] ´ [-5, 5].

Además, observamos que la gráfica no sepega al eje x. ¿Qué está pasando?

3) Graficar la función yx

x=

2 4

2

–

–en la venta-

na [-10,10]2 (figura 49).

La gráfica es una recta. Apliquemos la fun-ción ZoomSqr (figura 50).

Observamos una recta. La función yx

x=

2 4

2

–

–presenta un problema en x = 2.

Si nos vamos a la tabla, encontramos quecuando x = 2 la función está indefinida (figura51).

¿Por qué el problema que muestra la expre-sión algebraica y que también muestra la ta-bla no lo muestra la gráfica?

Sabemos que la ventana de graficación de laTI-92 tiene 239 pixeles horizontales y 103 ver-

127


Figura 49

Figura 47

Figura 48

Figura 50

ticales. Estas dimensiones nos sugieren venta-nas de graficación convenientes a nuestrastres funciones.

La ventana de graficación con dimensiones[-119, 119] × [-51, 51] nos dice que cada pun-to de los ejes que representan números ente-ros cae sobre un pixel. Si consideramos lasdimensiones [-11.9, 11.9] × [-5.1, 5.1] nueva-mente cada punto de los ejes que represen-tan números enteros cae sobre un pixel y ade-más, del cero al 1 hay 10 pixeles.

Sugerimos entonces la ventana de graficacióncon dimensiones [-11.9, 11.9] × [-5.1, 5.1]para las tres funciones consideradas anterior-mente. Las gráficas de dichas funciones que-dan como lo muestra la figura 52:

Existen muchas funciones con sus problemasparticulares. Para dar una explicación de porqué se presentan dichos problemas, creemos

que es importante no olvidar que la pantallade graficación está compuesta por 239 pixe-les horizontales y 103 verticales.

Las asíntotas

Algunas funciones tienen comportamientosasintóticos. Es claro que la asíntota no es par-te de la gráfica de la función; sin embargo, enocasiones la usamos para tener una mejorcomprensión de las características de la fun-ción ¿Cómo abordar esta situación cuandograficamos este tipo de función en la TI-92, detal manera que no se forme en la mente delalumno una imagen errónea de la gráfica dela función?

Veamos, en una primera situación, la gráfica

de yx

= 1

2–. La primera imagen de esta fun-

128


Figura 52

Figura 51

ción, puede ser algo parecido a lo que obser-vamos en la figura 53, cuya ventana de grafi-cación es [-10,10]2 con xres = 1.

En esta primera imagen, observamos:

a) antes de x = -9, la función está sobre eleje x

b) cuando x es aproximadamente igual a 2,aparece una recta vertical

c) después de x = 5, la función se “pega” aleje x.

Apoyándonos en el comando Trace, po-demos decir, del inciso a), que a pesar deque se confunden la función y el eje x, losvalores de y no son cero. Del inciso b) po-demos decir que la recta pasa por los pun-tos (1.93, -14.87) y (2.01, 59.5), lo quemuestra que la recta no es vertical, a pesarde verse así. Con respecto al inciso c), lo quese observa, es que la gráfica de la función seacerca al eje x. En relación con el inciso b) esposible comentar que este segmento es unaaproximación de la asíntota, aclarando queno es ésta, ya que toca a ambas ramas de lagráfica. Esto se observa si se cambia a la ven-tana [-10, 10] ´ [-15, 60], tal y como se mues-tra en la figura 54:

Para evidenciar la existencia de la asíntota,podemos recurrir a la tabla (TABLE) y obser-var qué pasa con los valores de la funcióncuando x se acerca a 2 por ambos lados (fi-gura 55).

Al cambiar los valores del incremento, to-mando como inicio el valor de 2, es notorioque cuando x se acerca a 2 por valores me-nores que éste, los valores de la función de-crecen cada vez más. Cuando x se acercapor valores mayores a 2, la función crece. Latabla también aclara el hecho de que si x = 2,la función está indefinida.

Si el alumno ha trabajado con límites, es posi-ble ir a HOME y calcular los límites lateralespara confirmar el comportamiento asintótico(figura 56).

129


Figura 54

Figura 53

Figura 55

La pregunta que surge de forma natural es,¿cómo hacer la gráfica en la TI-92, sin que apa-rezca ese segmento (la asíntota)? Lo únicoque se necesita es obligar a la TI-92 a tomarcomo valor de x para la graficación el valorde 2 (figura 57):

En este caso, la forma de obligar a la TI-92

para que tome el valor de x = 2 y construirla función, consiste en tomar un intervalodonde el 2 sea punto medio. Precisamentela mitad, ya que 238 tiene como divisor a 2.Así pues, en el caso mostrado, partimos dex = -3 y al asignar valores de x a los pixeles,los primeros 119 pixeles se utilizan paraconstruir la gráfica antes de x = 2, y losotros 119 para el resto de la gráfica. Esta esuna forma sencilla de eliminar el problemade la asíntota.

Veamos, como segundo ejemplo, la gráfica de

yx

x=

3

2 9–. Tomemos como ventana de inicio,

la ventana estándar, [-10,10]2 (figura 58).

En este caso, aparecen dos asíntotas. Paraver más de la gráfica, podemos incrementarel intervalo en y. Este incremento en reali-dad no afecta a las asíntotas. El cambio quees necesario hacer para eliminarlas, es enlos valores de x. ¿En qué intervalo se podráneliminar las asíntotas? Si seguimos el proce-dimiento usado en el ejemplo anterior, sólopodremos eliminar una de las asíntotas (fi-gura 59):

Lo que queremos es que la TI-92 evalúe la fun-ción en x = -3 y x =3. Veamos una forma dehacerlo, siguiendo el procedimiento mostra-do al inicio de esta sección.

130


Figura 57

Figura 56

Figura 58

Figura 59

Primero determinamos el valor de x en elcual deseamos que inicie el intervalo, porejemplo x = -6. Queremos que el intervaloen x termine en un valor lo más aproxima-do posible a 6, para que el eje y quedeaproximadamente a la mitad. El intervalode graficación consta entonces de 12 uni-dades. Si dividimos 238 pixeles entre 12unidades, tenemos 19.8333 pixeles porunidad. Tomando el entero más próximo aeste valor, podemos decir que por cada 20pixeles tendremos una unidad en el eje x,es decir 20 pixeles por unidad. Para cono-cer el otro extremo del intervalo, dividimoslos 238 pixeles entre los 20 pixeles por unidad,para obtener 11.9 unidades. Como nuestrovalor de inicio es -6, sólo nos falta sumarlelas 11.9 unidades de toda la ventana y ob-tenemos el extremo del intervalo, x = 5.9.Veamos la gráfica en el intervalo encontra-do: [-6, 5.9] ´ [-25, 25] (figura 60).

Creemos que esta información debe cono-cerla el profesor que utiliza la TI-92 en la ense-ñanza de la graficación de funciones y hacernotar a sus alumnos que la asíntota no es par-te de la gráfica de una función; si la calcula-dora muestra las asíntotas es por situacionesde diseño y de ajuste de un continuo en algodiscreto.

Ejercicios

1. Estudiar y(x) = – 3x2 + 12x + 5 en:

i. [0, 5] × [0, 5]ii. [-10, 10] × [-10, 10]iii. [-5, 10] × [-10, 20]

2. Estudiar la función y xx

x1

2 1

2( )

–= +

en la ven-

tana [-10, 10] × [-20, 20].

Observando quex

x xx

2 1

2

5

22

+ = + +– –

( ) graficar

en la ventana anterior y2(x) = x + 2 y analizarlas diferencias entre las gráficas de y1 y y2.

3. Graficar la función g( ) –xx x

= +7 81

4 2en

[-5, 5] × [-5, 10] y estudiar su comportamiento.

4. Graficar la función ƒ(x) = x2 + 3 en cadauna de las siguientes ventanas y discutir so-bre sus observaciones:

a) [-2, 2] × [-2,2]b) [-4, 4] × [-4, 4]c) [-10, 10] × [-5, 30]d) [-50, 50] × [-100, 1000]

.

5. Graficar la función y = x3 – 49x en las ven-tanas:

a) [-10, 10] × [-10, 10]b) [-10, 10] × [-100, 100]c) [-10, 10] × [-200, 200]

Pérdida de información entrepixeles

Consideremos la gráfica de la función y = cos x

en la ventana [-6, 6] × [-1.5, 1.5], con unaxres = 1 (figura 61).

131


Figura 60

Si hacemos un ZoomBox (ancho de un pixel aotro) como se muestra en la figura 62, obser-vamos una recta casi horizontal:

Haciendo este zoom en cualquier parte dela gráfica, siempre encontraremos un com-

portamiento muy parecido al anterior:aproximadamente una recta, con una pen-diente muy pequeña (horizontal en algu-nos casos).

Ahora consideremos la gráfica de la funcióny = cos 2x en la misma ventana de y = cosx (fi-gura 63).

Haciendo el ZoomBox que aplicamos ante-riormente, observamos algo muy parecido alo anterior (figura 64):

A continuación se muestran una serie de fi-guras que muestran las gráficas de y = cos kxen la misma ventana, para distintos valoresde k así como también un ZoomBox (comolos anteriores) representante para cada grá-

132


Figura 62

Figura 61

Figura 63

Figura 64

fica; en algunos casos hemos añadido unarecta con el comando Line. Esta rectapasa por el punto que está más a la izquier-

da en la pantalla y el punto que está más ala derecha (figuras 65 a 72):

133


Figura 65: y = cos (10x)



134





No esperábamos que fuese a aparecer unagráfica como la última. Los zoom añadidosnos dan información del por qué ocurre esto.Recordemos que el zoom es entre dos pixe-les consecutivos en dirección x, y que al grafi-car en la TI-92, lo que se hace es tomar puntosde la función y después unirlos con una líneao segmento. Al principio, la línea que une losdos pixeles consecutivos, sustituía a la líneaque se observa en el zoom. Al incrementar elvalor de k, la línea empezó a sustituir com-portamientos más complejos.

Pero, ¿por qué aparece una función parecidaal coseno en el último caso? Obsérvese que

en este caso la pendiente de la recta es muypequeña, y lo mismo ocurre para cualquierzoom que se haga a la gráfica. Esto quiere de-cir que dos pixeles sucesivos en x determi-nan valores sucesivos de y que están cerca-nos y además entre pixel y pixel se escondesiempre una misma longitud de la curva delcoseno de x.

Para confirmar lo expresado en el párrafo an-terior, vayamos a la tabla de valores de estafunción. Hagamos que la tabla muestre losvalores utilizados para la gráfica de la fun-ción (figura 73):

135




Tomemos dos valores consecutivos cuales-quiera de x, por ejemplo: 0.201681 y0.151261. Estos son dos valores asignadosa pixeles consecutivos. Como la funcióngraficada es y = cos(500x), calculemos losvalores del argumento para estas cantidades:[500 (0.20168) = 100.841; 500 (0.15126) = 75.6305].La función coseno es evaluada para estosdos valores consecutivos, pero ¿qué distan-cia hay entre estos dos valores? La distanciaes 100.841-75.6305 = 25.2105 = 8.02475π= 4(2π) + 0.02475π.

Esto quiere decir que, sabiendo que el perio-do del coseno es de 2π, entre dos pixeles hay4 veces el periodo y un cachito. Es este cachi-to el que hace la diferencia en y para dos va-lores consecutivos de x, y es el responsablede un comportamiento que aparente sercomo el de la función coseno.

De este análisis resulta algo muy interesan-te. ¡Es posible construir una recta con la fun-ción coseno! Para hacerlo sólo basta asegu-rarnos que la distancia entre dos pixelesconsecutivos sea igual a 2π o un múltiplopar de π. Un intervalo donde esto se cumplees [-238π, 238π]. Entonces hagamos la gráfi-ca de y = cos x en [-238π, 238π] × [-1.5, 1.5](figura 74):

Si hacemos un ZoomBox como los que hemoshecho anteriormente, ¿que va a aparecer?

Ejercicios

1. Graficar y = sen(50x) en las ventanas:

a) [-15, 15] × [-1.5, 1.5]b) [-14, 14] × [-1.5, 1.5]c) [-10, 10] × [-1.5, 1.5]d) [-8, 8] × [-1.5, 1.5]e) [-5, 5] × [-1.5, 1.5]

El comportamiento tan sorprendente de lafunción y = sen(50x) puede explicarse me-diante el periodo de la función:

Como senx tiene periodo 2p entonces

sen50x tendría periodo2

500126

π= . . Es decir

que, en un intervalo de longitud 0.126 ve-mos, de la función sen50x, lo mismo que ve-mos de la función senx en un intervalo delongitud 2π.

Ahora podemos entender lo que ocurre enlas ventanas de graficación elegidas. Si eldominio de la función es grande, habrá mu-cho espacio para las rápidas oscilacionesde sen50x. Sin ser aleatorio el comporta-miento es bastante accidental. Hagamosun ZOOM alrededor del primer cero positivode y = sen(50x) graficada sobre [-10, 10].

136


Figura 74

Figura 73

2. Graficar la función y xx= +sen

cos100

100en

las ventanas:

a) [-7, 7] × [-1.5, 1.5]b) [-0.1, 0.1] × [-0.1,0.1]c) Hacer un ZOOM alrededor de un máximo

de la función

3. Graficar yx=sen( )40

¿Cuál será una venta-

na adecuada para estudiar la gráfica de estafunción?

4. Estudiar la función y x=32cos en las ventanas:

a) [-4, 4] × [-3, 3]b) [-4, 4] × [-1, 3]c) [-4, 4] × [-0.5, 3.5]

Dificultades en la graficacióninherentes a la función dada

Hemos visto cómo en la TI-92 podemos obte-ner la representación gráfica de algunas fun-ciones por complicadas que éstas sean. Pero,hay ciertas funciones de las que no es posibleobtener su representación gráfica, ni siquieracon la calculadora, debido a que éstas tienenun comportamiento muy variable en algún in-tervalo o en todo su dominio. La calculadoranos permite ver este comportamiento, lo cualno es posible con papel y lápiz.

Analizaremos la función13 f(x) = x sen1

x

. Co-

menzando con la ventana [-10,10]2 obtene-mos la pantalla que se presenta en la figura 75.

La gráfica que nos presenta la pantalla noparece corresponder a la función, pues se

esperaría ver oscilaciones, por el sen(1/x)que está en juego; entonces es necesarioexplorar qué está pasando en las cercaníasde cero. Elijamos ahora la ventana[-1, 1]×[-1•2,1.2] para acercarnos más acero. En la figura 76 podemos ver algunasoscilaciones.

Pero aún no es claro el comportamiento dela función alrededor de cero. Haciendo un

137


Figura 75

13 Esta función no está definida en cero, sin embargo la calculadora le asigna el valor cero.

ZoomBox para acercarnos más y ver con másdetalle qué pasa alrededor de cero, vemos losiguiente en la figura 77.

Ahora nos damos cuenta que por problemasde espacio en la pantalla las oscilaciones nose veían.

Hacemos un ZoomIn con centro en cero y lapantalla nos muestra algo como en la figura 78.

Aquí se empieza a presentar el problema delos pixeles que ya se explicó anteriormente ylas oscilaciones están deformadas; pero po-demos ver que entre más se acerca a cero,más oscila la función. Si usamos el comandoTrace podemos darnos una idea de los pun-tos que la máquina ha ido conectando consegmentos de recta.

Aplicamos ZoomIn una vez más y lo que ve-mos en la pantalla es lo que aparece en la fi-gura 79:

El comportamiento sigue siendo el mismo.¿Cuál es la información que podemos obte-ner de la exploración que hemos estado ha-

138


Figura 77

Figura 76

Figura 78

Figura 79

ciendo a través de los acercamientos con elZoom?

Cuando una función tiene un comporta-miento no tan variable, si hacemos acerca-mientos a un intervalo muy pequeño con elZoom, terminamos viendo en la pantalla unarecta. Pero en el caso de esta función vemosque la gráfica está cada vez más complicada.Entonces podemos interpretar lo que nosmuestra la pantalla como una prueba visualde que la función no es derivable en cero. Yefectivamente esto se verifica calculando laderivada en cero, usando el menú F5.

A continuación analizamos lo que pasa con

la función: ƒ( ) ( )x x=

=

∞

∑ 2

39

1

n

n

n

cos π conocida

como función de WEIERSTRASS. Para que lacalculadora pueda darnos una representa-ción en la pantalla gráfica, tomemos la suma-toria de 1 a 8, es decir:

ƒ8( ) ( )x x=

=∑ 2

39

1

8n

n

n

cos π

Usando la ventana de [-5, 5]2 obtenemos unaimagen como la de la figura 80:

Vemos una representación muy complicada;entonces, hacemos un ZoomBox para obser-var en detalle una parte muy pequeña de la

gráfica. La figura 81 nos muestra la parte quetomamos para el ZoomBox y el resultado:

Vemos el mismo comportamiento en unaparte muy pequeña de la gráfica. Hacemos

139


Figura 80

Figura 81

un nuevo ZoomBox como se muestra en lafigura 82:

El comportamiento sigue siendo igual. Hace-mos un ZoomBox nuevamente tomandouna parte todavía más pequeña (figura 83):

Observamos que el comportamiento siguesiendo complejo; donde parecía que sola-mente había un par de ondas, resultó habermuchas. Haremos ahora un ZoomBox enuna parte que parece ser un segmento derecta; observemos el resultado en la figura84.

Con lo anterior es suficiente para convencer-se de que la función ƒ es imposible derectificar; pero hemos observado su compor-tamiento y lo que pasa es que esta funciónno es derivable en ningún punto.

140


Figura 84

Figura 83

Figura 82

Ideas geométricas delcurrículum presentadas

mediante el Cabri Géomètre


1. Introducción

Actualmente, ante las propuestas que se ha-cen al profesor y al sistema educativo en suconjunto para que se adopten las nuevas tec-nologías, los didactas deben tener respues-tas claras. Respuestas a preguntas como ¿porqué introducir la calculadora para la enseñan-za de la geometría?

Sabemos que una parte sustancial de la geo-metría se refiere a temas que se tratan con re-gla y compás. Por ejemplo, dado un segmen-to dividirlo en tres partes iguales, usandosólo compás y regla (¡sin marcas!); construirun triángulo equilátero cuyos lados sean con-gruentes a un segmento dado; dados unarecta l, un punto P sobre l y un punto Q exte-rior a l, construir un círculo que pase por Q ysea tangente a l.

Todos estos problemas, y muchos más desdeluego, pueden ser resueltos con regla y com-pás. Por ejemplo, veamos cómo construir untriángulo equilátero conociendo su lado.

El segmento AB es el lado propuesto. Conuna abertura del compás de A hasta B, traza-

mos dos circunferencias, una con centro enA y la segunda con centro en B. Elijamos C,uno de los puntos de intersección de estasdos circunferencias.

Ahora bien, ¿qué añade a esta construcciónel realizarla en un medio de geometría diná-mica como CABRI GÉOMÈTRE? Este es el tipode preguntas que tendremos que responder.

Una lista preliminar de las características delmedio geométrico dinámico que vamos a es-tudiar en las páginas siguientes es:

141

Figura 1

– La capacidad de arrastre (dragging) de lasfiguras construidas favorece la búsquedade rasgos que permanecen vivos durantela deformación a que las sometemos.Estas propiedades invariantes, constitu-yen las genuinas propiedades geométricas.El objeto geométrico queda definido porestas propiedades.

– El uso extensivo de locus y trace (hue-lla que deja una figura geométrica cuandose le arrastra) para visualizar y descubrirhechos geométricos.

– La animación de figuras para presenciar elproceso constructivo de un hecho geo-métrico.

Es claro que estas características (entre mu-chas otras) incorporadas al medio dinámicoCABRI GÉOMÈTRE, nos van a permitir una ex-ploración geométrica mucho más a fondoque la posible con regla y compás clásicos.Bajo las deformaciones convenientes que sehagan, usando el movimiento en nuestro pla-no geométrico, podremos apreciar propie-dades invariantes difíciles de apreciar conotros medios.

2. El currículumy la geometría dinámica

Uno de los ejes curriculares lo constituye elPensamiento Geométrico. Debemos abor-dar este eje temático con la voluntad deabandonar un estilo de enseñanza que favo-rece la memorización de hechos aislados yadoptar un estilo que estimule y cree lascondiciones para una comprensión másconceptual. Esto puede lograrse medianteun ambiente de aprendizaje (el suministra-do por CABRI GÉOMÈTRE) que dé al estudian-te herramientas para construir un medio ex-presivo de sus ideas. Por ejemplo, si un

estudiante tiene la creencia de que ciertoángulo de una figura siempre mide 90 gra-dos, puede arrastrar uno de los lados de lafigura, moverla, etc., para ver qué pasa conel ángulo bajo estudio.

Esas incipientes exploraciones, que el em-pleo del instrumento informático le permitiráir profundizando, ya denotan un aumento enla capacidad expresiva del estudiante. En unmedio clásico de papel y lápiz, el estudiantecontempla la figura y si no logra dar una de-mostración convincente de la validez de suconjetura, no sabremos cuál ha sido su trende pensamiento.

Esto ocurre pues no resulta natural para el es-tudiante tratar de volcar sobre la hoja susideas. Entonces, estando en posesión de estemedio, podemos considerar como desea-bles los siguientes temas:

– la exploración dinámica de conjeturas

– el uso de la actividad exploratoria comomedio para el desarrollo de conceptos

– la organización (deductiva) de coleccio-nes pequeñas de resultados (en otros tra-bajos hemos hablado de organizacioneslocales).

Debemos proponernos un empleo innovati-vo de la tecnología. Esta innovación incluyeun primer nivel de comprensión de un pro-blema que es el visual, pero acompañado deinstrumentos de control que suministran elmedio dinámico como son la medición y ve-rificación de propiedades. Esto es muy impor-tante pues inicia el camino hacia la sistemati-zación y verificación sistemática de loshechos geométricos. Todo esto desemboca,en una segunda etapa, en la construcción dedemostraciones cada vez con un mayor nivelde formalización.

142


3. Del dibujo al objeto geométrico

La confusión entre un dibujo y el objeto geo-métrico que dicho dibujo representa, ha sidoexplorada como una de las fuentes de inhibi-ción del desarrollo del pensamiento geomé-trico.

Por ejemplo, al tratar de explicar que un ángu-lo exterior de un triángulo es mayor que cual-quiera de los ángulos interiores no adyacen-tes, el profesor —con inusitada frecuencia— seapoya en un dibujo como el de la figura 2

Se trata de probar que a < b. Después de que-dar perplejo al escuchar a su profesor, el estu-diante se pregunta: ¿no es obvio que a < b,dado que a es la medida de un ángulo agudoy b la de uno obtuso?

El estudiante no capta la generalidad del ar-gumento del profesor y el profesor no siem-pre es consciente del ruido que ese dibujo in-troduce a su argumento.

Pues bien, CABRI GÉOMÈTRE permite compro-bar que en cualquier triángulo que represen-temos en la pantalla de la computadora (¡laTI-92 lo es!) siempre se cumple que a < b. Deeste modo el estudiante va captando, gra-dualmente, que los hechos geométricos a losque se hace mención en los teoremas, sonpropiedades generales, válidas por ejemplo,para todos los triángulos y NO para ese parti-cular que está dibujado sobre su cuaderno.En términos generales, entonces, un mediodinámico como CABRI GÉOMÈTRE nos permiteavanzar por la ruta sugerida en la figura 3.

143

Ideas geométricas del currículum presentadas mediante el Cabri Géomètre

Figura 3

enunciado de una propiedad generalobjeto geométrico definido como el hábitat

de las propiedades generales

captación de una propiedadmás general

conocimiento geométricoorganizado

dibujo modificado por arrastredibujo

Figura 2

Ilustremos lo anterior con el siguiente ejem-plo. Entramos al salón de clase y vemos en lapantalla de la computadora de un estudiantela figura 4.

Si nos limitamos a consideraciones visualesexclusivamente, diremos que la recta t es tan-gente a la circunferencia (parece que sólo latoca en un punto). Pero, ¿ese hecho visual esun hecho geométrico? Para ver si la respuestaes sí debemos comprobar que lo que vemosen la pantalla es una relación entre la circunfe-rencia y la recta t que NO se destruye al modi-ficar mediante arrastre a la circunferencia o ala recta.

Podemos modificar la posición de la circun-ferencia, por ejemplo, arrastrándola por sucentro. Al hacerlo, observamos que se des-pega de la recta, con lo cual comprobamosque la situación ilustrada en el dibujo ante-rior era solo aparente: no se había llegado aella como resultado de una construccióngeométrica sino tan solo acercando entre sílos dos objetos geométricos considerados.

Pero podemos decir más aún. Si pedimos aCABRI GÉOMÈTRE que genere el punto de in-tersección NO lo hace. Esto prueba queCABRI GÉOMÈTRE sabe que ese dibujo (elec-

trónico) no representa un hecho geométrico.Cuando realmente la recta sea tangente, esarelación de tangencia definida por la recta yla circunferencia no se puede destruir modifi-cando la figura.

Resumiendo, un hecho es geométrico, cuan-do es capaz de pasar el test del arrastre.

Esto, que podemos implementar en el mediogeométrico propio de CABRI GÉOMÈTRE, con-tiene el criterio fundamental para distinguirentre dibujo y objeto geométrico.

4. Algunos ejemplos

Para que el lector se compenetre más con lasideas que hemos expuesto en los párrafosanteriores le sugerimos estudiar con la ópticadinámica de CABRI GÉOMÈTRE algunos con-ceptos, objetos y relaciones geométricas.Proponemos los siguientes temas como pun-to de partida.

a) Propiedades de rectas paralelas cortadaspor una transversal. El hecho básico en esta si-tuación es que el ángulo a es congruente conel ángulo b. Experimente con el programa mo-viendo los puntos sobre las rectas paralelas ycambiando la dirección de las mismas.

Herramientas: Line, Parallel Line,Angle, Pointer y Rotate.

144


Figura 4

Figura 5

b) Ángulos de un triángulo. La suma de losángulos internos de un triángulo es 180° y unángulo externo de un triángulo es mayor quelos internos no adyacentes.

Herramientas: Triangle, Parallel Line,Angle, Pointer y Rotate.

c) Triángulos equiláteros, isósceles y rectán-gulos. Exploración del Teorema de Pitágoras.

Herramientas: Triangle, Parallel

Line, Angle, Perpendicular Line,Circle, Pointer y Rotate.

d) Bisectrices e incentro de un triángulo. Lasbisectrices de los ángulos internos de untriángulo son concurrentes. El punto de con-currencia se llama incentro del triángulo y esel centro de la circunferencia inscrita en di-cho triángulo.

Herramientas: Triangle, PerpendicularLine, Circle, Angle Bisector, Poin-ter y Rotate.

e) Medianas y centroide de un triángulo.Las medianas de un triángulo son concurren-tes. El punto de concurrencia es el centroidedel triángulo (también llamado baricentro).

Herramientas: Triangle, Circle, Mid-

point, Pointer y Rotate.

f) Alturas y ortocentro de un triángulo. Las al-turas de un triángulo concurren en un puntollamado ortocentro.

Herramientas: Triangle, Parallel Line,Perpendicular Line, Circle, Pointer

y Rotate.

g) Mediatrices y circuncentro de un trián-gulo. Las mediatrices de los lados de untriángulo concurren en el circuncentro, quees el centro del círculo circunscrito al trián-gulo.

Herramientas: Triangle, Parallel Line,Perpendicular Line, Perpendicular

Bisector, Circle, Pointer y Rotate.

h) Arcos de circunferencias y ángulos sub-tendidos por arcos. Todos los ángulos sub-tendidos por un mismo arco de circunferen-cia son iguales (cuadriláteros cíclicos)

Herramientas: Circle, Segment, Angle,Arc, Pointer y Rotate.

i) Tangentes a una circunferencia trazadasdesde un punto exterior elegido. Veamoscómo se trazan las dos tangentes a una cir-cunferencia desde un punto exterior a ella.

Para trazar una tangente desde P a la circun-ferencia, determine el punto medio del seg-mento CP. Trace la circunferencia de centroM y radio MP. Los puntos de intersección R, T

son los puntos de tangencia de las rectas l ym. Observemos que la recta CP es la bisectrizdel ángulo ∠ RPT, entonces, dadas dos rectasconcurrentes PR y PT, ya tenemos la clavepara construir una circunferencia tangente aestas dos rectas.

Herramientas: Line, Circle, Segment,Midpoint, Intersection Point, Angle,Arc, Pointer y Rotate.


145

Figura 6

j) Construcción de circunferencias tangen-tes a dos rectas concurrentes. Trace la bisec-triz del ángulo ∠ RPT. Desde cualquier puntoC sobre esa mediatriz, trace perpendicularesa las rectas PR y PT. Los puntos S y K son detangencia de la circunferencia con centro enC y radio CS.

Observe que podemos trazar la bisectrizcomo la mediatriz del segmento que unepuntos equidistantes de P, cada uno en los la-dos PT y PR.

Herramientas: Line, Circle, Perpendi-

cular Line, Segment, Angle Bisector,

Midpoint, Intersection Point, Poin-ter y Rotate.

k) Potencia de un punto con respecto a unacircunferencia. Dadas las cuerdas AB y CD

en una circunferencia, que concurren en elpunto S, AS * SB = CS * SD. AS * SB es la potenciadel punto S (proposición 35 del libro III de Eu-clides).

Herramientas: Circle, Segment, Angle,Intersection Point, Pointer y Rota-

te.

l) Teorema de Steiner. La longitud de PT alcuadrado, es la potencia de P respecto a lacircunferencia.

146


Figura 8

Figura 7

Figura 10

PT = PQ PR∗

Figura 9

m) Construcción de una circunferencia quepasa por un punto predeterminado y que estangente a una recta en un punto predeter-minado. Se trata de construir una circunfe-rencia que pasa por P y es tangente a l en R.Para esto

– levante la perpendicular a l por R

– construya la mediatriz de PR .

El punto C en donde la mediatriz corta a laperpendicular, es el centro de la circunferen-cia requerida.

Observe qué pasa al mover P sobre la circun-ferencia y al desplazar R sobre l. ¡C traza unaparábola!

Herramientas: Line, Circle, Point on

Object, Perpendicular Bisector,Pointer y Rotate.

n) Construcción de una circunferencia deradio dado, tangente a otras dos circunfe-rencias ya dadas. Desde C, trace un arcode radio r1 + R; desde C2 uno de radio r2 +R. El punto de intersección de estos arcoses el centro de la circunferencia de radio R

tangente a ambas circunferencias origina-les.

Herramientas: Line, Circle, Segment,Pointer y Rotate.

o) Construcción de una tangente común ados circunferencias dadas. Para esto

– trace PH (arbitrario) y la paralela a PH porel centro Q de la segunda circunferencia

– trace la recta HA y considere el punto J deintersección de HA con PQ (recta que pasapor los centros de las circunferencias)

– desplace H (sobre la circunferencia) hastahallar una posición en que HA es tangentea ambas.

Observe que cuando HA es tangente a am-bas circunferencias, la posición de J será el


147

Figura 11

Figura 12

Figura 13

centro de dilatación que lleva un círculo enel otro. Cualquier recta tangente (a una delas circunferencias) que pase por J automáti-camente será tangente a la otra.

Herramientas: Line, Circle, Parallel

Line, Itersection Point, Pointer yRotate.

p) Construcción de una elipse a partir deuna circunferencia. Trace una circunferen-cia con centro C. Vamos a construir una elip-se con focos C y F

– elija F arbitrario

– trace FR (R arbitrario, sobre la circunferen-cia) y luego trace su mediatriz

– el punto N de intersección de la mediatrizcon CR describe la elipse buscada, cuandoR gira alrededor de la circunferencia.

Herramientas: Point, Line, Circle,Segment, Perpendicular Bisector,Itersection Point, Locus, Pointer yRotate.

q) Construcción del Caracol de Pascal.Dado un punto fijo P y una circunferenciafija, construya una tangente y una perpendi-cular a la tangente, que contenga a P. Tan-gente y perpendicular se encuentran en F.

Cuando desplace el punto de tangencia T, al-rededor de la circunferencia, el punto F des-cribe una curva conocida como Caracol dePascal (figura 16).

Herramientas: Point, Line, Circle,Perpendicular Line, Itersection

Point, Locus, Pointer y Rotate.

r) El Teorema de Napoleón. Dado un trián-gulo ABC, arbitrario, construya triángulosequiláteros sobre cada uno de sus lados. Eltriángulo PQR que se obtiene conectando loscentroides de los triángulos equiláteros, essiempre un triángulo equilátero. Se llama eltriángulo de Napoleón.

148


Figura 14

Figura 15

Figura 16

Herramientas: Triangle, Regular Poly-

gon, Midpoint, Itersection Point,Pointer y Rotate.

s) Tres rectas famosas: de Pappaus, de Eulery de Simson. Construya dos rectas AC y A’C’

intersecantes y los puntos A, B, C, A’, B’, C’, talcomo se muestra en la figura 18. Una lospuntos como aparece indicado.

P, Q y R resultan ser colineales. La recta quecontiene a los puntos P, Q, R es la recta dePappus.

Herramientas: Line, Itersection Point,Pointer y Rotate.

La recta de Euler es la que pasa por el orto-centro, el circuncentro y el centroide de untriángulo.

Sea P un punto sobre el círculo circunscritode un triángulo. Desde P bajamos perpendi-culares a los lados (o sus prolongaciones)del triángulo. Los pies de estas perpendicu-lares (sobre los lados) son colineales. La rec-ta que los contiene es la recta de Simson.

t) Dos problemas de optimización: el delos tres puntos de Steiner y el del triángu-lo órtico de Schwarz. Dados A, B, C hallar P

tal que AP + BP + CP sea mínimo. Solución: P

debe colocarse de modo que cada uno delos ángulos mida 120°;m(∠ APB) = m(∠ BPC) = m(∠ CPA) = 120°.

Herramientas: Point, Segment, Angle,Pointer y Rotate.

Observe que si hemos resuelto el problema,entonces m(AP) + m(PB) es mínima. Por lo tanto(Snell) m(∠ APC) = m(∠ BPC) y en consecuenciam(∠ APB) = m(∠ APC) y todos son de 120°. La si-guiente figura sugiere cómo encontrar P.

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Figura 19

Figura 18

Figura 17

5. Una reflexión sobrerepresentaciones

El comportamiento de un objeto geométricoque vive en el Cabri–espacio (la pantalla con-trolada por el sistema lógico constitutivo deCABRI GÉOMÈTRE) depende de cómo se le haconstruido.

Esta observación es esencial pues marca unadiferencia de fondo entre los sistemas de re-presentación clásicos de la geometría y lossistemas ejecutables de CABRI GÉOMÈTRE. Porejemplo, en la geometría apoyada en papel ylápiz, el siguiente objeto, o representación,no tiene historia. ¿Qué significa esto? Que elproceso de producción de la representación,una vez producida, representa a un únicoobjeto posible. A partir de ese momento, yano hay una fenomenología propia de la re-

presentación. En cambio veamos lo que ocu-rre con un Cabri–triángulo.

Si esta representación ha sido producida deacuerdo a las reglas (activando la opciónTriángulo en F3), podemos calcular el áreamediante la opción Área (F6). Pero si hemosconstruido el triángulo, por ejemplo, conec-tando tres segmentos, entonces CABRI no re-conoce a la figura como un triángulo oficialy no le asigna un área. Esto significa queCABRI sólo ve los tres segmentos. En cambio,en el primer caso, ve los tres lados y el inte-rior. Por ello le asigna un área.

Así pues, aunque veamos la misma figura so-bre la pantalla, la historia del proceso pro-ductivo de dicha figura se incorpora a la na-turaleza que ella tiene como una Cabri–figura.

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Figura 21

Figura 20

Problematizar estudio de matemáticas:aspecto esencial en organización del

currículum y el aprendizaje

Luz Manuel Santos TrigoCINVESTAN – IPN, México

En lugar de presentarnos la información y esperar que la entendamosinstantáneamente, pídannos que formulemos nuestras propias preguntas,que cambiemos condiciones y que diseñemos nuestros propiosproblemas

(estudiante en un curso de resolución de problemas).

Resumen

La propuesta de aprender matemáticas con énfasis enla resolución de problemas ha producido diversas ten-siones entre los maestros al tratar de implantarla en elsalón de clases ¿Qué tipo de problemas? y ¿qué activi-dades instruccionales son consistentes con el enfoque?son preguntas que han propiciado diversas interpreta-ciones en su aplicación. En la fase de implantación esimportante considerar aspectos que incluyen el cono-cimiento previo de los estudiantes, los fundamentos dela disciplina y su relación con el quehacer matemático,y los aspectos pedagógicos que le dan sustento a lasactividades de aprendizaje. Un principio que puedeayudar a plantear metas particulares durante el estudiode las matemáticas es que el estudiante problematicesu propio aprendizaje. En este trabajo se revisan aspec-tos importantes que relacionan la investigación en elárea y su influencia en la instrucción; se propone queel estudiante explícitamente se plantee preguntas y di-

lemas que generen una discusión abierta de argumen-tos y explicaciones en donde pongan en perspectivasus conocimientos.

Summary

What type of knowledge is important for mathema-tics instructors to know in order to implement pro-blem solving activities successfully in their classroom?This is a fundamental question to analyse what instruc-tors do during their mathematical problem solvingcourses. In this paper, the idea that students need toproblematize their study of the discipline is taken as akey ingredient for their learning. That is, they need toquestion, critique, and transform the content studiedin their classes via an active participation. In this con-text, the tasks and activities that instructors choose toimplement should take in to account information rela-ted to previous knowledge of their students, the esen-

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Problematizar el estudio de lasmatemáticas: un aspecto esencial en la

organización del currículum y en elaprendizaje de los estudiantes14

14 Publicado en el libro Investigaciones en Matemática Educativa II, CINVESTAV, México.14 Publicado en el libro Investigaciones en Matemática Educativa II, CINVESTAV, México.

tial of the discipline, and pedagogical knowledge(examples, and learning activities) used to make theirdecisions.

Introducción

¿Cuáles son los componentes críticos en laformación de los maestros de matemáticasque contribuyen directamente en el desarro-llo de un aprendizaje sólido en sus estudian-tes? ¿Qué tipo de conocimiento ayuda a losmaestros a tomar decisiones respecto al pro-grama de la materia, al uso de materiales di-dácticos y a favorecer el potencial de sus es-tudiantes? Son preguntas que15 han sidoparte del desarrollo de la educación matemá-tica en los últimos años. Así, por ejemplo,Shulman y Grossman (1988) proponen unmarco para analizar el papel de los maestrosen la enseñanza de las matemáticas. En supropuesta distinguen siete dominios de co-nocimiento que inciden directamente en lapráctica de la enseñanza: (a) el conocimien-to sobre la materia; (b) el conocimiento pe-dagógico del contenido; (c) el conocimientode otros contenidos; (d) el conocimiento delcurrículum; (e) el conocimiento de los alum-nos; (f) el conocimiento de las metas educa-cionales; y (g) el conocimiento pedagógicogeneral. En esta perspectiva, es evidente queel proceso de promover actividades deaprendizaje que permitan a los estudiantesaprender la disciplina es un problema que in-volucra varios aspectos y que, en particular,el solo dominio de la disciplina no garantizaque el maestro logre un aprendizaje significa-tivo en sus estudiantes. En este trabajo se in-tenta revisar algunos resultados de la investi-gación en aspectos relacionados con elpapel de la matemática y la resolución de

problemas. En particular, se identifican algu-nos principios generales que pueden ayudara vincular los diversos tipos de conocimientodel maestro, propuestos por Shulman yGrossman, con la práctica de la enseñanzade las matemáticas.

La Naturaleza de las Matemáticas yel Aprendizaje

Aun cuando nadie cuestiona la idea de queel maestro debe conocer ampliamente la dis-ciplina que enseña para poder proponer acti-vidades interesantes de aprendizaje a sus es-tudiantes, no existe consenso en cuanto aqué parte de ella es fundamental en la forma-ción de los maestros. La experiencia sugiereque muchos de los maestros que se formanen las escuelas de ciencias e ingeniería nonecesariamente desarrollan una práctica exi-tosa en el salón de clases. El problema funda-mental radica en identificar los aspectos dela actividad matemática que ayuden a losmaestros a proponer actividades de aprendi-zaje consistentes con la práctica de la disci-plina (Santos, 1996). Algunos aspectos nece-sariamente involucran una discusión sobrelos contenidos y su organización, mientrasque otros apuntan al tipo de interacción yparticipación que los estudiantes deben rea-lizar durante el aprendizaje de la disciplina.¿Qué tipo de problemas o tareas ayudan alos estudiantes a aprender el contenido ma-temático? ¿Qué significa y cómo se docu-menta el aprendizaje de determinado con-cepto o idea matemática? ¿Qué actividadesinstruccionales son importantes dentro y fue-ra del salón de clases? ¿Cuál es el papel delmaestro y los estudiantes en el salón de cla-ses? Son algunas preguntas que pueden ayu-

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15 La realización de este trabajo fue apoyada por CONACYT a través del proyecto con referencia 3720-PS

dar a organizar la discusión de los aspectosque inciden directamente en la enseñanzade las matemáticas. En particular, un aspectocentral que ayuda a organizar las preguntasanteriores es la concepción de aprendizajeque se busque promover en los estudiantes.

La noción de que el aprender un determina-do concepto es un proceso que se robusteceen función del tiempo y a través de una dis-cusión directa de aspectos que examinen susconexiones y representaciones ayuda a ubi-car la importancia de explicitar dónde sedebe poner atención durante el aprendizaje.Greeno (1997) sugiere que para que los estu-diantes aprendan es importante ponerleatención a los aspectos fundamentales o in-variantes vinculados con el contenido en es-tudio. Además, es importante reconocer queel aprendizaje se logra bajo la perspectiva deuna práctica social.

El aprendizaje puede interpretarse en funciónde la participación de los estudiantes al interac-tuar con los obstáculos e identificar argumen-tos y explicaciones que les ayuden a avanzaren su entendimiento. En este sentido, si elaprendizaje se logra al ponerse a tono con la si-tuación en estudio y atender las diversas re-presentaciones de los invariantes, entonceses posible que fácilmente se favorezca unatransferencia del aprendizaje a otras situacio-nes. La transferencia es importante y puededarse dentro del estudio de un determinadoconcepto o al intentar aplicarlo a problemas encontextos diferentes. Conviene hacer notarque el aprender a través de las actividades debúsqueda necesariamente incluye la formula-ción y evaluación de preguntas o problemas,así como también el proponer soluciones yconclusiones, criticar explicaciones, argumen-tos y ejemplos es crítico para una participaciónsignificativa en la sociedad.

Para examinar la generalidad en el aprendi-zaje del conocimiento, Greeno plantea re-flexionar sobre lo siguiente: ¿La actividadque tiene lugar en un tipo de situación tieneaspectos que fueron aprendidos como prác-ticas e interacciones con los recursos dispo-nibles en ese tipo de situación, o tiene as-pectos que fueron aprendidos comoprácticas e interacciones con recursos en al-gún tipo de situación totalmente diferente?(Greeno 1997; p.6) Se observa que la pre-gunta se plantea en términos de la actividady las situaciones en que ocurre. Es decir, seenfoca en función de las prácticas en quelos individuos han aprendido a participar.

Thurston (1995) afirma que la gente tiene di-ferentes formas de entender contenidos par-ticulares de las matemáticas. Por ejemplo, elconcepto de derivada puede ser pensadocomo:

(i) Un modelo infinitesimal: la razón entreel cambio infinitesimal en el valor de unafunción y el cambio infinitesimal en lavariable.

(ii) Una manipulación simbólica: la deriva-da de xn es nxn-1, la derivada de senx escosx, la derivada de f·g es f´· g+ g’· f, etc.

(iii) Una definición formal: f’(x) = d(x) si y so-lamente si para todo ε>0 existe un δ>0tal que cuando 0 < |∆x|<δ se tieneƒ( ∆ ƒ( )

∆εx x x

xx

+ <)–– ( )d

(iv) Una interpretación geométrica: la deri-vada es la pendiente de la recta tangen-te a la gráfica de la función, si la gráficatiene una tangente.

(v) Una razón: la velocidad instantánea def(t), donde t es la variable tiempo.

153

Incorporación de nuevas tecnologías al currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia

(vi) Una aproximación: la derivada de unafunción es la mejor aproximación linealde una función cerca de un punto.

La lista anterior no agota todas las posibilida-des acerca de cómo pensar el concepto dederivada. Es claro que cada forma de enfocarel concepto ofrece la opción de reflexionaracerca de los alcances y límites de las diver-sas representaciones que la acompañan. Enesta dirección, el transitar de una representa-ción a otra juega un papel importante en suaprendizaje.

Lo que Thruston plantea respecto a la variedadde formas de acercamiento al estudio de unconcepto ilustra la importancia de atender tan-to a los recursos matemáticos asociados concada representación y la necesidad de ir inte-grando diversos acercamientos. Es claro quepensar el concepto de derivada bajo la pers-pectiva de una manipulación simbólica planteainicialmente una problemática diferente a laque plantea un acercamiento geométrico. Elconocimiento de la disciplina ayuda aquí a queel maestro distinga y ponga en perspectiva lasconexiones entre distintas interpretaciones deun mismo objeto matemático.

Además de la complejidad que involucra larepresentación del propio concepto, existentambién limitaciones para documentar loque los estudiantes procesan en su interac-ción con el concepto. Por ejemplo, Irwin(1996) afirma que

el proceso de construir el entendi-miento [de un concepto] nunca pue-de ser completamente entendido, yaque ocurre dentro de las mentes decada estudiante. Los estudiantes nonecesariamente exhiben todo lo queocurre durante el proceso de encon-trarle sentido a las cosas. Lo que ofre-ce son ventanas para observar parte

del proceso de la formación de losconceptos a partir del proceso y lasdiscusiones de lo que hacen (p. 137).

Al reconocer la dificultad de acceder com-pletamente a toda la información que décuenta de cuándo un estudiante ha aprendi-do determinado concepto, se hace necesa-rio considerar diversas formas o caminosque ayuden a documentar las ideas de losestudiantes. En esta dirección, las preguntasque se formule el estudiante al interactuarcon las tareas que se le propongan, asícomo las respuestas o explicaciones queofrezca, son fundamentales para compren-der lo que entiende alrededor de un con-cepto. Por ejemplo, cuando se le proporcio-nan dos fracciones 3/a y 7/2a y se le solicitaencontrar dos fracciones uniformemente es-paciadas entre las dos dadas, el estudiantepuede preguntarse acerca del significadode la expresión uniformemente espaciadas,presentar algunos ejemplos con númerosenteros (entender la situación), y utilizar larecta numérica para representar su trabajo.Al emplear recursos que le ayuden a aplicaralgunas propiedades de las fracciones, porejemplo, utilizar que 3/a y 7/2a pueden es-cribirse como 18/6a y 21/6a, respectiva-mente, el estudiante está mostrando ciertamadurez en la construcción de fraccionesequivalentes. Esta última representación lopuede llevar a la solución del problema, esdecir, a las fracciones buscadas que serían19/6a y 20/6a respectivamente.

Existen diversas formas para promover en elsalón de clases un ambiente donde el estu-diante valore la presentación de sus ideas yel planteamiento de preguntas. Por ejemplo,el National Council of Teachers of Mathema-tics (1990) identifica cuatro actividades im-portantes del maestro de matemáticas en laenseñanza:

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1. Crear un ambiente en el salón de clasesen donde se valore el aprendizaje de ladisciplina.

2. Identificar metas y seleccionar o formu-lar problemas que ayuden a los estu-diantes a lograr tales metas.

3. Estimular y fomentar un discurso en elsalón de clases en donde los estudiantesy maestros tengan claridad en lo que seaprende.

4. Analizar el aprendizaje de los estudian-tes, los problemas o tareas matemáticasy el ambiente de la clase para tomar de-cisiones instruccionales (p.4).

Estas actividades, al implantarse consistente-mente dentro de la clase, proporcionan infor-mación valiosa de cómo los estudiantes estánconceptualizando a las matemáticas y cuáldebe ser su papel durante el aprendizaje y laresolución de problemas. La idea es aceptarque el aprender matemáticas no es un procesode absorber pasivamente cierta información yalmacenarla en fragmentos a partir de una ins-trucción que le dé énfasis a la repetición y re-forzamiento; sino que los estudiantes interac-túan con la nueva información, a partir de unconocimiento previo y participan activamenteen la construcción de sus propios significados.

El aprendizaje de las matemáticas yla resolución de problemas

Las propuestas recientes sobre el contenidoa incluir en el currículo y el cómo aprenderlo,identifican a la resolución de problemascomo una parte fundamental para que los es-tudiantes desarrollen habilidades y estrate-gias propias del quehacer matemático. Sinembargo, la idea de relacionar el aprendizajede las matemáticas con la resolución de pro-blemas ha producido diversas tensiones, tan-

to en la gente que participa en el diseño delcurrículo como en los maestros encargadosde implantar las ideas en el aula. De hecho,han aparecido diversas interpretaciones delsignificado de esta propuesta en el salón declases. En esta dirección, se torna importantediscutir los principios fundamentales que ledan sustento y pertinencia a la propuesta.Esta discusión puede ayudar a identificarrelaciones entre lo que se considera funda-mental en los contenidos, la práctica de de-sarrollar las ideas matemáticas y el aprendi-zaje de los estudiantes.

Se parte de que el trabajo publicado en losúltimos 25 años en educación matemáticaha aportado información valiosa que ha per-mitido identificar y contrastar varios de loscomponentes fundamentales de la propues-ta. Es decir, que sus principios se han ido ro-busteciendo con los resultados de la investi-gación. En esta parte se intenta presentar unbosquejo general de los aspectos importan-tes de la resolución de problemas que contri-buya a entender los avances y limitacionesde la propuesta y ubicar así las ideas que ledan racionalidad a su implantación en el sa-lón de clases.

Un principio integrador en la resolución deproblemas es que el estudiante debe tener laoportunidad de problematizar su aprendiza-je de la disciplina. Es decir, debe enfocar susactividades alrededor de preguntas en don-de se cuestione por qué las cosas se presen-tan de tal forma, investigar y analizar solucio-nes, y resolver incongruencias o rediseñar oformular nuevos problemas. Esto significaque tanto el currículo como la instruccióndeben presentarse en forma de problemas,dilemas, o preguntas donde el estudiantetenga la oportunidad de reflexionar, atacar yresolver una serie de interrogantes relaciona-

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Problematizar estudio de matemáticas: aspecto esencial en organización del currículum y el aprendizaje

das directamente con el tema en estudio.Lampert (1995) establece que:

[últimamente] los investigadores yreformadores [en educación mate-mática] apoyan la idea de que elambiente de aprendizaje debe serestructurado de tal manera que losestudiantes deban plantearse pre-guntas de su interés, mostrar sus co-nocimientos y habilidades de razo-namiento y usarlos al extender susentendimientos a nuevos dominios(p.213).

Una pregunta importante relacionada con lascondiciones de aprendizaje en el salón de cla-ses es ¿qué actividades de aprendizaje ayu-dan a los estudiantes a que participen en prác-ticas sociales en donde se valore el desarrollode su identidad como aprendices? Los méto-dos de instrucción no son solamente instru-mentos para adquirir información, sino queson prácticas en donde los estudiantes apren-den a participar. Es aquí donde los estudiantesdesarrollan patrones de participación quecontribuyen directamente en la forma en quelos estudiantes mismos toman la iniciativa y suresponsabilidad en el aprendizaje.

Que los estudiantes aprendan a través deuna participación activa implica que la ins-trucción debe basarse en actividades dondeel conocimiento pueda ser desarrollado. Sinembargo, el proponer solamente una colec-ción interesante de actividades no es sufi-ciente para lograr el objetivo. Es importantedocumentar si la nueva información lleva alestudiante a restructurar su conocimiento.Además, en el análisis del trabajo de los estu-diantes es necesario considerar aspectos re-lacionados directamente con el medio enque se desarrollan las actividades. ComoRomberg (1993) lo señala

la pertinencia y efectividad de las ac-tividades de aprendizaje selecciona-das son un problema empírico. Suevaluación depende del conoci-miento previo del estudiante, de susexpectativas, y de las expectativas dela sociedad (pp. 107-108).

Una instrucción donde el estudiante proble-matice el contenido es una forma de tratarlode acuerdo a las preguntas y respuestas delos estudiantes y sus formas de pensar acercadel tema. El maestro puede definir o delimi-tar el estudio de un tema por medio de la for-mulación de algún problema para la clase;pero los estudiantes deben tomar un papelactivo al cuestionar el problema, buscar for-mas de solución y plantear otros problemas.En este proceso aparecen definiciones detérminos, procedimientos y recursos mate-máticos necesarios para la comunicación.Además, la idea de problematizar el conteni-do es consistente con las reformas actualessobre el estudio de las matemáticas y cien-cias, que se fundamentan en la idea de quelos estudiantes desarrollan un aprendizajemás profundo si se estudian menos tópicoscon mayor detalle y profundidad.

Momentos notables en la resoluciónde problemas

La forma en que se caracteriza a las matemá-ticas influye directamente en la concepciónque se tenga acerca de la resolución de pro-blemas y el aprendizaje de la disciplina. Porejemplo, a principios del siglo XX se intentabarelacionar el contenido del currículo mate-mático con la fuerza de trabajo existente fue-ra de la escuela. Los debates acerca de la or-ganización del currículo se planteaban apartir de las aplicaciones de la disciplina.En esta dirección el papel de los problemas

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era servir como vehículos para que los es-tudiantes practicaran las aplicaciones. Ladiscusión se centraba en identificar las va-riables que hacían que un problema fuesedifícil para los estudiantes (contenido, con-texto, términos).

Otra etapa importante se caracteriza por elestudio detallado del comportamiento de ex-pertos y estudiantes al enfrentar diversos pro-blemas. La idea fundamental era documentarcómo los expertos utilizaban estrategias paraacceder a los recursos matemáticos y cómolos empleaban en sus métodos de solución.Un aspecto fundamental que emerge en estalínea de investigación es la importancia de lasestrategias metacognitivas durante la toma dedecisiones y el proceso de solución.

Un aspecto importante que ha influido tan-to en la forma de investigar como en la ins-trucción dentro del salón de clases es eltipo de métodos empleados para recoger yanalizar la información. Lester (1994) resu-me algunos temas más sobresalientes quehan sido parte de la investigación en la re-solución de problemas en los últimos 25años. Se observa que el componente meto-dológico le da un matiz al grado de análisisy presentación de los resultados.

La presencia de los métodos cualitativos a par-tir de los 80s ha aportado valiosa informaciónacerca de lo que un individuo muestra al traba-jar problemas matemáticos. Santos (1996) pre-senta ejemplos de los instrumentos y el tipo deanálisis que se utiliza en la investigación en laresolución de problemas.

Hacia el desarrollo de una culturamatemática en el salón de clases

Entre los principios fundamentales que sevinculan con la actividad de problematizar

el aprendizaje de las matemáticas se en-cuentra el promover un microcosmos en elsalón de clases que refleje actividades pro-pias del quehacer matemático. Schoenfeld(1992) sugiere que el aprendizaje de las ma-temáticas es más que la adquisición de he-rramientas primarias: hechos, definiciones,algoritmos, y procedimientos, con el fin deutilizarlas en la solución de algunos proble-mas. Afirma que durante el aprendizaje delas matemáticas los estudiantes deben teneroportunidad de proponer conjeturas, perci-bir conexiones de los resultados y desarro-llar conocimiento que puede ser nuevo parauno mismo o para la comunidad. Es impor-tante además, darle peso al proceso de ana-lizar (razonar) sobre los resultados obteni-dos. En algunos casos es tan importantediscutir distintas formas de abordar un pro-blema como el obtener algún resultado. Así,los resultados que los estudiantes no pue-dan explicar, aún cuando sean correctos, notienen valor y las explicaciones de cómo lasideas se generaron deben ser valoradas, sinimportar que éstas no produzcan necesaria-mente soluciones.

Es necesario reconocer que las actividadesmatemáticas de los estudiantes tienen lugaren un medio donde se valora la participaciónen pequeños grupos, la participación indivi-dual y como participantes de las actividadesde todo el salón de clases. El ambiente declases debe motivar y dar el soporte para quelos estudiantes desarrollen una comunica-ción matemática oral y escrita. Así, una activi-dad natural es que los estudiantes evalúen,cuestionen y critiquen las sugerencias oideas que se presenten tanto por el instructorcomo por los mismos estudiantes.

Un alumno, al estudiar sólo con un libro ouna computadora, puede no tener a otro in-dividuo cerca de él; sin embargo, la actividad

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del alumno está influenciada por el tipo depreguntas que éste se plantee y la búsquedade explicaciones y respuestas que proporcio-ne el libro o la computadora acerca del mate-rial en estudio.

El papel del maestro y losestudiantes en la problematizaciónde las matemáticas

La responsabilidad del maestro consiste endesarrollar en el salón de clases una comuni-dad donde se problematice el estudio de lasmatemáticas. En esta comunidad, la activi-dad central es la discusión de los métodosque puedan ayudar a resolver los problemasidentificados. El analizar la pertinencia de losmétodos y evaluar el potencial particular o

general de éstos son actividades que ayudana construir y mantener una comunidad socialen el salón de clases. El papel del maestro esproveer información y preparar las tareasque ayuden a problematizar la disciplina porparte de los estudiantes. Es decir, el maestrotendrá un papel activo en la selección y pre-sentación de las tareas. En este camino, esimportante que tenga en consideración losconocimientos y habilidades de los estudian-tes al diseñar las tareas. De acuerdo conSchoenfeld, el estudio de las matemáticas in-cluye la participación directa, por parte delestudiante, en una variedad de situacionesproblemáticas que lo lleven a analizar o pro-poner otras variantes y situaciones novedo-sas. La búsqueda y discusión de solucionesde problemas no es el único foco de la activi-dad; los problemas deben servir como pun-

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Período Énfasis de la investigación Metodología Énfasis en la instrucción

1970-1982

Identificación de elementosque hacen un problema difícil,características de los buenosresolutores de problemas, lasheurísticas.

Análisis de regresiónestadística:Tratamiento A vstratamiento B.

Entrenamiento en el usode las heurísticas.

Actividades centradas enel profesor.

1978-1985

Expertos vs. Novicios.

Entrenamiento en el uso deestrategias.

Estudio de casospensar en voz alta,análisis de protocolos.

Modelación de algunasestrategias de losexpertos.

1982-1990

Metacognición, relación entreafecto, creencias y resoluciónde problemas, entrenamientometacognitivo.

Estudio de casos,pensar en voz alta,análisis de protocolos.

La instrucción centradaen el estudiante.Actividades para eldesarrollo de lametacognición.

1990

Influencia Social:la resolución de problemas encontexto (la resolución deproblemas situada).

Métodosetnográficos.

El salón de clases comouna entidad social. Laproblematización delconocimiento.

Temas, aspectos metodológicos y la instrucción en la resolución de problemas.

tos de referencia para proponer generaliza-ciones o establecer conexiones con otrosdominios, revelar la estructura matemática yformular nuevos problemas.

Aprender a resolver problemas y pensar ma-temáticamente requiere una reflexión conti-nua acerca del quehacer o actividad mate-mática. Algunas preguntas que llegan a serrutina en un curso de resolución de proble-mas y juegan un papel central en el desarro-llo de tal reflexión matemática en los estu-diantes son, por ejemplo: ¿he usado oidentificado la información importante en elproblema?, ¿estoy convencido de la formade solución del problema?, ¿puedo conven-cer a un amigo o a un enemigo?, ¿he resueltototalmente el problema?, ¿puedo utilizarotra(s) estrategia(s) de solución?, ¿puede esteresultado ser generalizado? Entre otras, éstasson preguntas que los estudiantes debencontestar al interactuar con los problemas(Santos, 1997).

Por otro lado, los estudiantes adquieren elcompromiso y responsabilidad de desarro-llar una comunidad donde participen activa-mente en el desarrollo y monitoreo delaprendizaje. Así, deben compartir los resulta-dos de sus exploraciones y presentar justifi-caciones y explicaciones de los métodos queempleen en sus conclusiones. En este senti-do, el aprender incluye el aprender de losotros, tomar ventaja de sus ideas y de los re-sultados de sus investigaciones; esto requie-re que los estudiantes aprendan a escuchar asus compañeros y respondan adecuadamen-te a sus puntos de vistas e inquietudes.

Dos tipos de estrategias aparecen como im-portantes al presentar el aprendizaje a partirdel enfoque de resolver problemas. Por unlado, se encuentran las estrategias directa-mente relacionadas con la solución de un

problema particular. Por ejemplo, la bús-queda de patrones para analizar el compor-tamiento de una expresión o el uso de dia-gramas son estrategias que pueden funcio-nar en la solución de algún problema. Porotro lado, aparecen las estrategias generalesque ayudan a seleccionar y construir los pro-cedimientos adecuados para plantear y re-solver problemas. Es decir, al trabajar las si-tuaciones problemáticas los estudiantesaprenden a construir estrategias y lo más im-portante, cómo responder ante situacionesque presenten otras clases de problemas.Los estudiantes que son motivados a tratar lassituaciones o contenidos de forma problemá-tica tienden a desarrollar sus propias estrate-gias y a inventar otras nuevas al enfrentarse anuevos problemas (Santos, 1996; Fennema,Franke, Carpenter, & Carey, 1993).

La forma como se organiza el conocimientoen el currículo y cómo lo presenta el profesoren la clase, incluyendo aquí el tipo de proble-mas que se discutan, influyen directamenteen las actitudes y creencias que los estudian-tes desarrollen hacia las matemáticas y suaprendizaje. En esta dirección, el problemati-zar el estudio de las matemáticas le da a losestudiantes oportunidades de reconocer elpotencial de su propia práctica y ver a las ma-temáticas como una actividad intelectual endonde ellos mismos pueden participar. Existeevidencia de que los estudiantes que partici-pan en una búsqueda reflexiva y se les permi-te enfocar el estudio de las matemáticas enuna forma problemática, desarrollan una dis-posición consistente con el quehacer mate-mático (Santos, 1996a).

Por mucho tiempo ha habido interés por vin-cular el estudio de las matemáticas con lasactividades que se realizan fuera del contex-to escolar. Por ejemplo, el introducir proble-mas del mundo real ha sido una línea impor-

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tante del currículum en los últimos años. Laracionalidad en este intento se centra encompartir la idea de que las matemáticas sonútiles sólo si ayudan a resolver problemasque aparecen en las tareas cotidianas. El prin-cipio didáctico aquí es que los estudiantesverán aplicaciones apropiadas de las mate-máticas si le dedican un tiempo considerablea trabajar situaciones de aplicación y apren-derán conocimientos específicos del domi-nio durante el proceso de solución. En estecontexto, los problemas se tornan importan-tes en función de que el contenido matemá-tico aparece directamente relacionado concontextos extra escolares. Una crítica a estaperspectiva se relaciona con ver a la mate-mática en una línea demasiada utilitaria.Como consecuencia, la atención de los es-tudiantes puede centrarse en los procedi-mientos y no en las ideas que encierran loscontenidos matemáticos en estudio (Pra-wat, 1991).

En la perspectiva de problematizar el estu-dio de las matemáticas se enfatiza en quelos estudiantes participen en una actividadreflexiva al resolver los problemas y, por lotanto, desaparece el temor de que los estu-diantes le den prioridad a los aspectos pro-cedimentales. El problema: Pedro y Maríavisitaron una granja el fin de semana queproduce gallinas y cerdos. Pedro observóque en total había 19 cabezas, mientras queMaría dijo que tenían 60 patas. ¿Cuántas ga-llinas y cuántos cerdos había en esa granjaque visitaron? ha resultado ser una situa-ción propicia para que los estudiantes pro-pongan diversas formas de solución (ensa-yo y error, pictórica, algebraica, etc.) y asímuestren sus recursos matemáticos. Sinembargo, este problema no representa nin-gún aspecto o fenómeno de la realidad ode la vida cotidiana.

En este sentido, la crítica de considerar losproblemas de la vida real se centra en queson sólo un contexto para que el estudianterealice esa búsqueda reflexiva. En el estudiode las matemáticas existen otros contextosdonde los estudiantes deben necesariamen-te construir y desarrollar sus experienciasmatemáticas (la construcción de cuadradosmágicos, por ejemplo, es una situación queofrece un gran potencial para que los estu-diantes evalúen una serie de estrategias im-portantes de la actividad matemática).

La motivación en los estudiantes

Un aspecto que mucha gente relaciona conla motivación de los estudiantes es que losbuenos problemas son condición necesariapara la motivación. Por ejemplo, se cree quelos problemas de la vida real pueden ser unaspecto importante en la motivación de losestudiantes porque directamente los llevan aintentar resolver un problema de interés paraellos. Esto llevaría a suponer que la fuente deinterés y motivación para el aprendizaje radi-ca fundamentalmente en la propia tarea oproblema.

Un punto de vista más amplio es que lo querealmente influye en la motivación e interéspor problematizar y trabajar una situaciónson las experiencias y conocimientos pre-vios que los estudiantes traen al salón declases. Es decir, es importante plantear ta-reas y problemas donde los estudiantes pue-dan emplear sus recursos e iniciar una discu-sión reflexiva. El progreso hacia la solucióndependerá del conocimiento al que ellos re-curran al interactuar con la tarea, de las opor-tunidades que se les presenten para resolverel problema y de los valores y expectativasque se establezcan dentro del salón de cla-ses (Santos, 1997). El principio de la motiva-

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ción en la problematización del estudio delas matemáticas le apuesta más a la formacomo se espera que los estudiantes interac-túen con la situación o tarea propuesta y noa la tarea misma.

En un ambiente donde se promueva la partici-pación de los estudiantes a partir de la formula-ción de preguntas y la búsqueda de explicacio-nes que incluyan argumentos matemáticos esimportante aceptar responsabilidades tantodel maestro como de los alumnos. Las conjetu-ras o preguntas iniciales planteadas por los es-tudiantes pueden incluir diversas direcciones yes aquí donde el maestro debe orientar la dis-cusión en función con lo que los estudiantesdeben aprender en ese tema específico. Losestudiantes pueden desarrollar sistemas parti-culares para estructurar sus conocimientos,pero deben también aprender a comunicarlosa una comunidad más amplia en donde sus ex-plicaciones puedan ser puestas a prueba.

El conocimiento de las concepciones matemá-ticas que los estudiantes traen al salón de cla-ses, aporta información valiosa acerca del pa-pel del maestro en la instrucción. En algunoscasos se tiene que pensar en implantar estrate-gias que ayuden a los estudiantes a retar ocuestionar tales concepciones. En esta direc-ción, para que se pueda construir un ambienteen donde se le dé importancia a los procesosde búsqueda y construcción del conocimien-to, el maestro debe convencer a los estudian-tes de que el cuestionamiento y la búsquedade explicaciones es un proceso legítimo e im-portante del quehacer matemático.

La visión del trabajo del experto y laresolución de problemas

Una visión del aprendizaje de las matemáti-cas que ha influenciado las actividades del

salón de clases es la idea de promover un mi-crocosmos en el salón de clases que reflejelas actividades del experto. Aquí, el aprendi-zaje se ve como una aculturación en una co-munidad donde el estudiante aprende a tra-vés de realizar las actividades propias delquehacer matemático. Es decir, el estudiantees considerado como un aprendiz que tieneque practicar las actividades que un matemá-tico realiza en su práctica diaria (Schoen-feld,1994; Brown, Collins, & Duguid,1989).Esta visión es completamente consistentecon la propuesta de problematizar la discipli-na durante el aprendizaje. Particularmentepueden existir diferencias en cuanto al énfa-sis o enfoque de las actividades. Por ejemplo,mientras que modelar, dirigir, apoyar y desa-parecer son actividades importantes en elmodelo de los expertos, la perspectiva deproblematizar la disciplina le da más aten-ción al desarrollo de procesos de búsquedaen los estudiantes, cuando problematizan elcontenido y buscan soluciones. La diferenciaradica en que la resolución de problemas noes el tema central en el modelo clásico deaprendiz.

Los estudiantes aprenden por medio de laobservación directa e imitando las activida-des del experto. Esto requiere que los re-cursos para avanzar en la solución de la ta-rea sean visibles y mostrados al estudiante.El experto modela, dirige y coordina, mien-tras que el estudiante evalúa sus avances alcontrastar su trabajo con el del experto. Lameta es generalmente un producto visible.La búsqueda reflexiva, por otro lado, lepone énfasis al proceso de resolver proble-mas y a la búsqueda de soluciones y no so-lamente al producto o solución terminaday pulida (Hiebert, Carptenter, Fennema, Fu-son, Human, Murray, Olivier, & Weame,1996).

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Las tareas se ven como problemas o dificulta-des a ser resueltas y no como una habilidad amecanizar. El uso apropiado de los métodosde solución depende de la lógica del estu-diante y no solamente del maestro o experto.Por otro lado, el enfocar en el proceso debúsqueda por parte de los estudiantes tam-bién ayuda a matizar la metáfora de que losestudiantes se comporten como pequeñosmatemáticos.

Se acepta que los estudiantes son diferentesde los matemáticos en sus experiencias, am-biciones inmediatas, poder cognitivo, uso deherramientas, etc. Es decir, los estudiantes nonecesitan verse como pequeños matemáti-cos sino que necesitan pensar como estu-diantes acerca de los problemas e ideas queson fértiles matemáticamente. La principal si-militud entre los matemáticos y los estudian-tes es que ambos trabajan situaciones quenecesitan problematizar, con el objetivo deentender las situaciones y desarrollar méto-dos de solución que tengan sentido paraellos.

La meta de la instrucción en laproblematización de lasmatemáticas

Como se ha mencionado anteriormente, unapremisa fundamental en el aprendizaje de lasmatemáticas es que el estudiante problema-tice el estudio de la disciplina. Es importantepermitir que los estudiantes traten a las ta-reas como problemas genuinos, es decir,que los hagan suyos. En este sentido, tantolos problemas de la escuela, como los de lavida real juegan un papel importante en elaprendizaje de los estudiantes.

La cuestión esencial es a qué nivel el estu-diante ha conceptualizado el problema por

sí mismo y muestra una disposición matemá-tica por resolverlo. Durante el proceso deinteracción con los problemas, el instructorpuede proponer una situación que permita alos estudiantes participar en una discusiónmatemática. Como ya se ha mencionado an-tes, empezar a plantear preguntas juega unpapel importante en la interacción con losproblemas. Por ejemplo, al tratar el tema delas ecuaciones cuadráticas con alumnos delnivel medio superior, se puede plantear unproblema en donde se puedan discutir para-lelamente algunas propiedades de los expo-nentes y formas de solución de la cuadrática.Si el problema consiste en encontrar todoslos valores reales de x que satisfagan la ex-presión:

( – ) –x x x x2 9 205 5 12

+ =+

¿Qué significa que una expresión elevada aun exponente dé como resultado la unidad?(base distinta de cero y el exponente cero).¿Existen valores particulares para la base endonde, al elevarla a cierta potencia, dé comoresultado la unidad? ¿Qué pasa cuando labase (en la expresión) toma el valor de 1 ó-1? (el exponente puede tomar cualquier va-lor real o el exponente debe ser par). ¿Quéquiere decir encontrar todos los valores de x?¿Qué métodos pueden ayudar a resolver unaecuación cuadrática? Son preguntas quepueden ayudar al estudiante a usar recursosmatemáticos previamente estudiados y pro-poner formas de solución del problema. Elplanteamiento de preguntas puede ofrecerun medio para discutir la pertinencia y la cali-dad de las respuestas entre los estudiantes.

Un ejemplo donde se cuestiona un ejerciciode productos notables podría plantearse entérmino de estimación: si m y n son enterospositivos tales que m2 - n2 = 29, entonces esti-

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me cómo debe ser el producto mn (por ejem-plo, menos que 100, entre 100 y 150, etc..).En esta situación el estudiante tiene la opor-tunidad de acceder a recursos que le ayudena analizar el comportamiento de la expre-sión. Por ejemplo, se puede plantear:

¿Cómo escribir la expresión de tal maneraque podamos distinguir información acercade m y n? ¿Puede ayudar al desarrollo (en fac-tores) de la diferencia de cuadrados? ¿Cómodescomponer el 29 en dos factores? ¿Quésignifica igualar dos productos con dos facto-res?, etc.

En esa misma dirección, los estudiantes pue-den trabajar situaciones donde la comunica-ción de las ideas sea un factor necesario en labúsqueda de soluciones. Una situación queayuda a los estudiantes a poner atención alos aspectos fundamentales es aquella don-de tiene que proponer direcciones precisaspara efectuar cierta actividad. Por ejemplo:

Tu compañero, que hoy no pudoasistir a la escuela, te llama por telé-fono para preguntarte la tarea. Enuna parte de ella se tiene que dibu-jar la figura 1. Escribe las instruccio-nes que le darás para que dibujeexactamente las figuras en su cua-derno.

Finalmente, una actividad que puede ayudara los estudiantes a poner atención a los ele-mentos importantes de un problema es la re-formulación o el planteamiento de proble-mas. Santos (en revisión) analiza resultadosde una instrucción en donde los estudiantesconsistentemente participaron en activida-des que incluían:

(i) Proporcionar cierta información, datos,o algún contexto específico y se reque-ría que los estudiantes formularan un

problema, tomando en cuenta lainformación dada. Por ejemplo, el creci-miento de la población en Inglaterra enla primera mitad del siglo XX fue lineal,aproximadamente, aumentando de 38millones en 1900 a 48 millones en 1950”.Con esta información plantea tres pre-guntas y contéstalas.

(ii) Dar alguna información incompleta y sesolicitaba al estudiante completar la infor-mación y formular el problema y resol-verlo. Por ejemplo: Dados dos círculos, elradio de uno de ellos es 3 cm y la distanciaentre sus centros es de 10 cm. ¿Se inter-ceptan estos círculos? (aquí claramente senecesita saber el radio del otro círculopara contestar la pregunta).


163

Figura 1

(iii) Proporcionar datos o información inne-cesaria y se pedía a los estudiantes queseleccionaran la información mínimaque se necesitaba para resolver el pro-blema y explicar el por qué la informa-ción que desechaban no era necesaria.

(iv) Trabajar una lista de problemas de algúnlibro de texto y posteriormente se solici-taba a los estudiantes que cambiaran losenunciados del problema de tal maneraque fueran más abiertos o que hubieseuna extensión del planteamiento origi-nal. Por ejemplo, uno de los problemasen donde se pedía que el estudiante gra-ficara la expresión y = x – 8x + 2 se trans-formó en ¿cuál es el valor de c si el vérticede la parábola y = x2 – 8x + c es un puntosobre el eje de las x?

(v) Presentar un problema con su solución.El proceso de solución contenía un errorconceptual o de procedimiento y se lesolicitaba al estudiante revisar crítica-mente la solución.

En las actividades anteriores, la meta funda-mental para los estudiantes es formular pre-guntas o problemas y proponer diversasformas de explicación o solución. En la fasede entendimiento de la información, el es-tudiante debe contestar preguntas relacio-nada con la pertinencia, consistencia y sufi-ciencia de los datos. Es decir, tienen queproblematizar la situación que les permitaencontrar o establecer relaciones entre losdatos para así proponer diversas formas desolución.

Conclusiones

En el desarrollo del trabajo se propone quelos estudiantes se planteen preguntas y pro-pongan argumentos y explicaciones durante

el estudio de las matemáticas. Esta actividadde problematizar el aprendizaje es una as-pecto esencial para que los estudiantes pon-gan en juego sus recursos matemáticos ypuedan valorar las cualidades de las diversasestrategias o formas de resolver un proble-ma. En esta dirección no sólo interesa que sellegue a obtener un resultado o respuesta fi-nal, sino que el estudiante aporte un sustentoo argumento que le de soporte a las respues-tas. En este contexto, es importante que du-rante el diseño de actividades de aprendiza-je, el profesor considere información acercadel conocimiento previo de los estudiantes,las diversas conexiones y aplicaciones delpropio contenido en estudio, y el medio don-de se promueva la participación activa de losestudiantes. Los ejemplos, que se presentanen el desarrollo del trabajo ilustran el tipo desituaciones y preguntas que pueden ayudara promover una discusión abierta de los con-tenidos en estudio.

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166


Cualidades y procesos matemáticosimportantes en la resolución de

problemas: un caso hipotético desuministro de medicamento

Fernando Barrera Mora y Luz Manuel Santos TrigoCINVESTAV – IPN, México

Los autores agradecen a la Sociedad Matemática Mexicana y al Consejo Nacionalde Ciencia y Tecnología por el apoyo brindado durante el desarrollo de este tra-bajo, a través del Proyecto “Propósitos y Contenidos de la Enseñanza de la Mate-mática en el nivel medio superior”

Introducción

Las reformas recientes del currículo matemá-tico a nivel preuniversitario reconocen la im-portancia de promover en los estudiantes eluso de varias estrategias para analizar diver-sas situaciones o problemas. Se afirma que

en el estudio de las matemáticas es necesa-rio atender tanto a las líneas de contenidoscomo a los procesos donde los estudiantestengan oportunidades de examinar casosparticulares, formular conjeturas, presentarargumentos y comunicar resultados. Duran-te estas actividades se destaca el uso de di-

166

Noviembre de 2000.

versas representaciones y recursos matemá-ticos que les permitan identificar el compor-tamiento de parámetros relevantes de la si-tuación. En particular, se enfatiza la necesi-dad de que el maestro diseñe actividadesinstruccionales donde los estudiantes tenganoportunidad de valorar la importancia deplantear preguntas, utilizar distintos recursosy estrategias que les permitan examinar cuali-dades matemáticas asociadas al proceso desolución. Así, las actividades en una situa-ción se transforman en un vehículo para pro-mover en los estudiantes la disposición haciael estudio de la disciplina. Aquí el papel delmaestro es fundamental tanto en el monito-reo del trabajo de los estudiantes como en laguía constante sobre los caminos y conexio-nes a explorar. ¿Qué cualidades o caracterís-ticas son propias de una situación para quese transformen en un vehículo de aprendiza-je de procesos y contenidos de las matemáti-cas? Un aspecto importante es que la situa-ción o problema debe poseer una estructuraque permita a los estudiantes formular pre-guntas, usar diversas representaciones, plan-tear conjeturas, utilizar argumentos y comuni-car resultados. Además, una situación puedeestar inmersa en múltiples contextos y ofre-cer al estudiante la oportunidad de estable-cer conexiones entre el quehacer de la disci-plina y los contextos en que se presenta. Eneste sentido se pueden distinguir tres tiposde escenarios con características propias desituaciones que pueden servir de marco paraincentivar la participación de los estudiantesen actividades esenciales que aparecen en elquehacer de la disciplina:

Contexto puramente matemático. El referen-te en donde se desarrolla la situación, involu-cra solamente aspectos matemáticos. Un ob-jetivo puede ser la formulación de unproblema o la búsqueda de una solución a

una pregunta planteada. Aquí, el principal in-terés, desde el punto de vista instruccional, esque los estudiantes, haciendo uso de una se-rie de recursos matemáticos, puedan enten-der la situación para poder plantear un méto-do o camino de solución. Por ejemplo,¿cuáles son los números primos que se pue-den representar como la suma de los cuadra-dos de dos enteros? Un paso fundamental esidentificar la información relevante y accedera un conjunto de conceptos que permitan ex-plorar casos particulares y eventualmente pre-sentar un plan de solución. ¿Qué es un núme-ro primo (sus propiedades)? ¿Cómo expresarel cuadrado de un número entero?, etc. Estaspodrían ser algunas preguntas iniciales queayuden al estudiante a transformar el proble-ma en una ecuación o tratar de construir unatabla de los primeros números primos parapoder hacer un análisis de cuáles son aquellosque son suma de los cuadrados de dos ente-ros. Nótese que el análisis y discusión de lapregunta planteada se circunscribe al ámbitopuramente matemático.

Contexto del mundo real. En esta situación,el entendimiento del problema se relacionacon la identificación de variables de la situa-ción real que puedan ser examinadas a partirde recursos matemáticos. Por ejemplo, elcomportamiento del tráfico en la ciudad deMéxico es una situación en la cual hay queidentificar varios parámetros relevantes (nú-mero de vehículos, horas de mayor afluen-cia, etc). Posteriormente, se recolecta infor-mación acerca de la interrelación de esosparámetros y eventualmente se plantea unmodelo matemático que pasa a representartal situación. El tratamiento matemático delmodelo permite o ayuda a entender el com-portamiento de los parámetros y en ciertamedida el de la situación original. Puedenexistir distintos modelos para analizar la mis-

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Cualidades y procesos matemáticos importantes en la resolución de problemas: un caso hipotético de suministro de medicamento

ma situación y cada uno ofrecer ventajas odesventajas en el entendimiento o tratamien-to de la situación. La modelación o matema-tización de problemas que derivan de situa-ciones del mundo real, ha sido un retoconstante de la comunidad matemática queha contribuido al desarrollo de la disciplina.

Contexto hipotético. La situación se cons-truye a partir de una serie de suposicionesacerca del comportamiento de las varia-bles o parámetros que explican el desarro-llo de la situación. Dicho comportamientode los parámetros no se basa en datos o in-formación real o de laboratorio. Sin embar-go, en el tratamiento matemático de la si-tuación se puede resaltar el uso de diversasrepresentaciones y estrategias que mues-tran no sólo el potencial de diversos conte-nidos matemáticos, sino también contras-tar diversas cualidades asociadas a lasdiversas formas de solución. Por ejemplo,la información puede ser representada yanalizada en una tabla, una lista ordenada,a partir de una gráfica o en forma algebrai-ca. Desde el punto de vista instruccional,estas situaciones son muy adecuadas y sir-ven para que el estudiante pueda compa-rar las ventajas o desventajas que ofrecenlos diferentes métodos que se utilizan al re-presentar y resolver un problema. Un as-pecto notable en el tratamiento de situa-ciones hipotéticas es que se puedenregular los recursos matemáticos que losestudiantes usarán para entender y partici-par en un proceso de solución. El NCTM

(2000)15 propone un conjunto de situacio-nes hipotéticas en donde el objetivo cen-tral es que los estudiantes, en el proceso desolución, empleen no solamente una serie

de recursos matemáticos sino también exhi-ban distintas representaciones y formas desolución.

Una característica común en el tratamientode las situaciones asociadas a distintos con-textos, se manifiesta en la forma de entenderla situación, plantear formas de solución ycomunicar los resultados. Es decir, no impor-ta si el contexto es puramente matemático,de la vida real o hipotético, el estudiante tie-ne que acceder a una serie de recursos mate-máticos y estrategias que le permitan anali-zar sistemáticamente el comportamiento deciertos parámetros. En los tres tipos de con-textos, es importante plantear conjeturas,utilizar diferentes representaciones, plan-tear argumentos, comunicar e interpretarsoluciones.

En el marco de referencia planteado antes,presentamos un trabajo que se desarrolla enun contexto hipotético donde se establecenuna serie de condiciones iniciales que permi-ten examinar la situación a partir del uso derecursos matemáticos que se estudian en elnivel medio superior. La situación se transfor-ma en un vehículo para discutir el potencialde tres formas diferentes de presentarla: eluso de una tabla o lista sistemática, la repre-sentación gráfica o visual, y la representaciónalgebraica. Cada una de estas representacio-nes ofrece distintos ángulos para analizar elcomportamiento de los parámetros. Porejemplo, la representación gráfica ayuda vi-sualmente a detectar ciertas regularidades;mientras que la algebraica puede permitiranalizar el caso general y extrapolar el com-portamiento que se observa en la informa-ción de la tabla y la gráfica. Las representa-ciones numérica y gráfica pueden ser un

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15 National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)(2000). Pinciples and Standars for School Mathematics: the Council. Reston, VA.

factor importante para alcanzar una repre-sentación algebraica que permita abordarcasos generales.

El trabajo que se presenta inicia mostrandouna situación en la cual un médico recetamedicamento (sustancia activa) a un pa-ciente. Se desea determinar la cantidad desustancia activa en el cuerpo del pacienteen diferentes momentos después de haberiniciado el tratamiento; después se formu-lan y discuten algunas preguntas con la fi-nalidad de orientar la discusión en la situa-ción planteada. Durante la discusión sedescriben algunas fases importantes que sedeben seguir en el proceso de solución deun problema, entre las cuales se destacan:

• entendimiento de la situación o problema

• análisis de la información o datos

• solución de casos particulares

• planteamiento y solución de casos gene-rales

• análisis retrospectivo del proceso de so-lución.

En la última parte se presenta una guía deaplicación que auxilia al maestro en la puestaen práctica con los alumnos, de las activida-des que se han desarrollado a lo largo de ladiscusión del trabajo.

1. Planeación de la actividad

Descripción. Los estudiantes reciben infor-mación sobre las características particularesde un tratamiento médico bajo el suministrode medicamento. A partir de esto, debenobtener información que les permita deter-minar la cantidad de medicamento en dife-rentes momentos. En este proceso los estu-

diantes necesitan examinar la informacióndesde diferentes perspectivas.

Antecedentes. Los estudiantes deben dis-poner de diferentes representaciones delos números racionales (decimal, cocientede enteros); funciones (lineales); pendien-tes de rectas; representación de datos (grá-fica, tabular y algebraica).

Contenidos matemáticos importantes enel proceso de solución. Los contenidosmatemáticos requeridos en el proceso desolución, incluyen funciones, relaciones re-cursivas, pendientes de rectas, números ra-cionales (operaciones) y su representacióndecimal, proporcionalidad, razón de cam-bio, procesos de aproximación (límites),progresiones geométricas, escalas y medi-das.

Procesos matemáticos. Se debe tener encuenta el uso de tablas (tratamiento numéri-co de la información), la representación gráfi-ca o visual de la información, la representa-ción algebraica, el análisis de casos particula-res, la búsqueda de patrones y generalizacio-nes, la visión retrospectiva del proceso de so-lución, la comunicación oral y escrita deresultados.

Condiciones de aplicación. La actividad sepuede realizar individualmente o por equipo(3 a 5 estudiantes) que podrán usar calcula-doras o algún programa computacional. Eltiempo estimado de la actividad es de treshoras en total, dividido en dos sesiones dehora y media.

2. El problema

Cuando un paciente recibe un trata-miento médico bajo el suministro demedicamento, se observa que si la

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dosis es pequeña, es posible queéste no produzca ningún efecto po-sitivo en el paciente. Por otro lado, sial paciente se le suministra una dosismuy grande, los efectos colateralesdel medicamento pueden ser peli-grosos. Además, para que el medica-mento logre el efecto deseado, esimportante que cierta cantidad desustancia activa permanezca en elorganismo del paciente durante de-terminado tiempo.

A continuación se describe la forma en queel organismo de un paciente recibe y asimilamedicamento durante un tratamiento médi-co hipotético.

Descripción del suministro. Un médico exa-mina a un paciente y le receta un tipo de me-dicamento que le ayude a combatir cierta en-fermedad. Por cada suministro, la dosis desustancia activa del medicamento que le re-ceta es de 16 unidades. El médico le da la si-guiente descripción del suministro a su ayu-dante de laboratorio, con la finalidad dehacer un estudio posterior.

i. Dosis por cada suministro: 16 unidades.

ii. Cuando el paciente recibe un suministrode medicamento, su organismo inicia inme-diatamente un proceso para asimilar las 16unidades, y este proceso termina a los 10 mi-nutos de iniciado. Así, diez minutos despuésdel primer suministro, el cuerpo del pacientehabrá asimilado la cantidad total de sustan-cia activa que le fue suministrada.

iii. En el momento en que el organismo del pa-ciente asimila el total de la sustancia activa quele fue suministrada, se inicia un proceso de eli-minación del medicamento.

iv. Cuando la cantidad máxima de medica-mento previa a un suministro se ha reducido

a la mitad, tiene lugar el siguiente, iniciándo-se un aumento en la cantidad de sustanciaactiva en el organismo del paciente. Para elmedicamento que se está suministrando, elmédico indica que esa reducción se logracada 4 horas a partir del suministro. Por ejem-plo, el segundo suministro se realizará cuan-do la cantidad de sustancia activa sea de 8unidades, lo cual ocurrirá cuando hayantranscurrido cuatro horas después del primersuministro.

v. El paciente recibirá varios suministros du-rante el tratamiento.

¿Cómo analizar la evolución de la cantidadde medicamento en el cuerpo del paciente apartir del uso de ideas o recursos matemáti-cos? ¿Qué datos o información pueden serimportantes en el análisis? El ayudante de la-boratorio se plantea la tarea de cuantificar lacantidad de sustancia activa que permanece-rá en el cuerpo del paciente en diferentes mo-mentos.

Una posible forma de abordar la tarea plan-teada, es formulando algunas preguntas quese relacionen directamente con la tarea arealizar.

• ¿Qué cantidad de medicamento acumu-la el organismo en cada suministro?

• ¿Qué cantidad de medicamento se acu-mula en el organismo 10 minutos des-pués de cada suministro?

Antes de intentar dar respuesta a las pre-guntas planteadas, es conveniente hacer al-gunos señalamientos sobre la importanciade documentar y describir el proceso desolución de un problema que involucra eluso de diversos recursos y procesos mate-máticos.

170


3. Análisis y discusión de fasesimportantes durante el procesode solución

En el proceso de resolver un problema, siem-pre es posible distinguir fases o etapas queexplican las acciones que el sujeto realiza du-rante la búsqueda e implantación de posiblescaminos de solución. Por ejemplo, una pri-mera etapa se vincula con la importancia deentender la situación o problema; específica-mente interesa identificar la información rele-vante que ayude a proponer caminos o for-mas de solución. Otro aspecto, es el diseño eimplantación de una o varias formas de solu-ción. En particular, en esta fase se destaca eluso de diferentes estrategias como: el uso detablas, el análisis de casos particulares, la bús-queda de patrones, o el análisis sistemático dela información a partir de diversas represen-taciones (gráficas o algebraicas). Otra etapaesencial, es la revisión y análisis global delproceso de solución y la búsqueda de otrasconexiones con la situación original.

Las dos preguntas planteadas inicialmentesirven de referencia para señalar y discutir lasfases importantes del proceso de solución.En particular, se identifica el potencial de unconjunto de estrategias que aparecen vincu-ladas a las distintas fases del proceso. Ade-más se sugiere un conjunto de actividadesque los estudiantes pueden realizar durantesu interacción con la situación.

Entendimiento de la situación o problema.Conviene explicar en forma verbal y escrita,usando sus propias palabras, la informaciónque aparece en el enunciado de la descrip-ción del suministro, en términos de lo que leocurre a la cantidad de sustancia activa du-rante un periodo determinado. En esta fasese destaca la identificación de datos y mo-mentos importantes durante el tratamiento.

Algunos datos que parecen ser relevantes enel entendimiento de la situación que se estáanalizando, se enumeran a continuación:

– la dosificación es de 16 unidades en cadasuministro

– el tiempo de asimilación de la dosis es de10 minutos

– el periodo de suministros es de 4 horas

– la cantidad de sustancia activa que se eli-mina entre un valor máximo y un mínimoes la mitad del valor máximo.

Análisis sistemático de la información me-diante diversas representaciones. Existen di-ferentes maneras de analizar los datos o in-formación relevantes que se incluyen en unasituación o problema. Por ejemplo, el uso deuna tabla puede ayudar a determinar el com-portamiento de ciertas relaciones entre losdatos a partir de un análisis cuantitativo. Unarepresentación gráfica puede ayudar a efec-tuar un análisis visual del comportamiento delos parámetros importantes de la situación oproblema. De la misma manera, una repre-sentación algebraica puede ser de utilidadpara expresar en forma general y concisa larelación existente entre datos e incógnitas.

En la situación que se está abordando, se ilus-tra el uso de estos tipos de representacionesy sus conexiones para contestar y extenderlas dos preguntas planteadas inicialmente.

(i) Uso de una tabla. Cuando se analizan da-tos numéricos, un recurso de utilidad es eluso de tablas en donde se muestren aspec-tos relevantes de la información.

¿Qué datos deben aparecer en una tablapara hacer un análisis eficiente de la informa-ción? La respuesta a esta pregunta depende-rá de las condiciones del problema o situa-

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ción. En nuestro caso, dado que hay variosmomentos importantes y la información encada uno de ellos está relacionada estrecha-mente, se ha elegido la siguiente tabla; sin em-bargo, existen otras posibilidades para pre-sentar tal información. ¿Cuáles propondría?

Para determinar las entradas de la tabla usa-remos las reglas de asignación que determi-nan la cantidad de sustancia en diferentesmomentos. Por ejemplo, la cantidad de sus-tancia en el organismo al momento del sumi-nistro es la mitad de la cantidad máxima antesde éste. ¿Cuál es la regla que determina lacantidad de sustancia en el organismo 10 mi-nutos después del suministro?

De la tabla 1 se observa la dependencia quehay entre el número de suministros y el nú-mero de horas transcurridas, más aún, unodetermina al otro y recíprocamente. ¿Cuál esla relación de dependencia?

¿Cuántas horas han transcurrido en el mo-mento del n-ésimo suministro?

Describa cómo cambia la cantidad de sus-tancia activa en el organismo del paciente apartir del análisis de la información incluidaen la tabla anterior. ¿Qué se observa respec-to a la cantidad de sustancia activa en elcuerpo del paciente conforme recibe sumi-nistros de medicamento?

172


Tabla 1

SuministroNo. (cada 4

horas)

Horastranscurridas almomento del

suministro

Cantidad desustancia activa enel organismo en elmomento de cada

suministro

Cantidad desustancia activa enel organismo, 10min. después decada suministro

1 0 0 16

2 4 8 24

3 8 12 28

4 12 14 30

5 16 15 31

6 20 15.5 31.5

7 24 15.75 31.75

8 28 15.875 31.875

9 32 15.9375 31.9375

10 36 15.96875 31.96875

La información contenida en la tabla ilustraalgunos aspectos de cómo varía la cantidadde sustancia activa en el organismo despuésde que el paciente ha recibido cierto númerode suministros. De hecho, nos permite obser-var una tendencia de la cantidad de medica-mento en el paciente. Esta tendencia puedeser más reveladora, si representamos los da-tos de la tabla mediante el uso de una gráficaen donde se muestre la cantidad de sustan-cia al incrementar el número de horas, y porlo tanto, el número de suministros.

Entre otras cosas, el uso de una tabla nos per-mite construir, a partir de la información con-tenida en ésta, una gráfica que ilustre de ma-nera visual el comportamiento de lascantidades bajo estudio.

(ii) Representación gráfica. Con los datos dela tabla, construya una representación gráfi-ca donde se exhiba el número de horas trans-curridas y la correspondiente cantidad desustancia activa acumulada en el cuerpo delpaciente (figura 1).

Describa lo que se observa en la gráfica, entérminos del seguimiento del tratamiento.¿Qué diferencias de la información resaltanentre las representaciones tabular y gráfica?

(iii) Análisis algebraico de la información. Enalgunos casos, la información que se obtie-ne de una tabla o gráfica, puede ser sufi-ciente para responder y analizar preguntasimportantes de la situación o problema. Sinembargo, es común que los datos de unatabla o la información gráfica, sean elvehículo para introducir en el análisis otrosmétodos, como el algebraico. Por ejemplo,en la tabla y gráfica construidas anterior-mente, se han observado ciertas regularida-des en la forma en que cambia la cantidadde sustancia activa en el organismo del pa-ciente. ¿Cómo describir las regularidadesen forma algebraica? Regresemos a la tabla1 y procedamos a efectuar un análisis decómo se calculó la cantidad de sustanciaen forma racional, es decir, como cocientede enteros. Esto se ilustra en la tabla 2, lacual se construye con la regla: en el sumi-

173


Figura 1

nistro número n ≥ 2, la cantidad de sustan-cia es la que había en el suministro númeron – 1, más 16, todo dividido entre dos.

Hagamos algunas observaciones sobre lasregularidades de los datos de la tabla. Prime-ramente, en la tabla 1 notamos que la canti-dad de sustancia en el organismo, muestra unpatrón de comportamiento al aumentar elnúmero de suministros. Este patrón lo identifi-camos como sigue. Notemos que el numera-dor de la expresión que indica la cantidad desustancia activa, contiene sumas de la forma

16 + 2 . 16 + 22 . 16 + ... + 2k . 16,

en donde k es un entero positivo. Más precisa-mente, si Cn denota la cantidad de sustancia ac-

tiva en el organismo del paciente en el mo-mento del n-ésimo suministro, de la tabla 1 seobtienen las siguientes regularidades:

– aparece 16 como factor en Cn

– cada sumando en el numerador contienepotencias de 2, cuyos exponentes crecende cero a n – 2

– el denominador es 2n–1.

Traduciendo lo anterior a lenguaje algebrai-co se concluye que:

Cn

n

n= + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅+ ⋅16 216 2 16 2 16

2

2 2

1

–

–

= + + + ⋅⋅⋅+

161 2 2 2

2

2 2

1

n

n

–

–

174


22

16216

2

162

16

⋅+=+

3

22

2

16216216

2

162

16216

⋅+⋅+=+⋅+

4

323

2

2

16216216216

2

162

16216216

⋅+⋅+⋅+=+⋅+⋅+

5

4324

32

2

16216216216216

2

162

16216216216

⋅+⋅+⋅+⋅+=+⋅+⋅+⋅+

Tabla 2

SuministroNúmero

Cantidad de sustancia activa en el organismo al momento de cada suministro

1 0

20 16

2

16

2

+ =

3

4

5

6

Note que el referente fundamental para des-cribir el patrón, es el número de suministros:1, 2,..., n.

La expresión que se tiene para Cn sugiere lapregunta: ¿cómo representar la suma 1 + 2+ 22 + ... + 2n–2 en forma “cerrada” (fórmu-la)? Las condiciones del problema imponenla condición 2 ≤ n, (n es el número de sumi-nistros), pues para n = 1, la cantidad de sus-tancia se obtiene directamente de los da-tos. Denotemos por Sn–2 a la suma anteriory observemos las siguientes característicasinteresantes que relacionan a Sn–2 y Sn–1:

Sn–1 = 1 + 2 + 22 + ... + 2n–2 + 2n–1

= Sn–2 + 2n–1

Por otro lado,

Sn–1 = 1 + 2 (1 + 2 + 22 + ... + 2n–2)= 1 + 2Sn–2.

De las ecuaciones anteriores obtenemos:

Sn–2 = 2n–1 –1,

Lo que a la vez nos permite escribir a Cn en lasiguiente forma

C n

n

n

n

n

= + + + ⋅⋅⋅+

=

=

161 2 2 2

2

16

22 1

16

2 2

1

1

1

–

–

–

–( – )

11

2 1– .

–n

Cambiando 2 por r en la discusión previa,encuentre una expresión para la suma , conn un entero positivo. El caso r = 1 debe tra-tarse aparte.

Se observa que diez minutos después deln-ésimo suministro, el cuerpo del pacientehabrá acumulado la cantidad que tenía enese momento, más la que acaba de ser asimi-lada (16 unidades). Si esta cantidad la deno-tamos por An se tendrá:

A Cn n n n= + =

+ =

16 16 1

1

216 16 2

1

21 1– – .

– –

En una parte el proceso de determinaciónde las fórmulas para An y Cn, el estudiante sepuede ayudar con una calculadora simbóli-ca, como la TI92. Con este tipo de calcula-dora se puede proceder de la siguiente ma-nera. Tomando como referencia a laecuación

Cn

n

n= + + + ⋅⋅⋅+

161 2 2 2

2

2 2

1

–

–,

la tarea inicial sería: ¿cómo introducir esta in-formación en la calculadora de tal maneraque se pueda generar la fórmula correspon-diente? Una posible forma es la siguiente.Escriba la ecuación anterior en forma de su-matoria haciendo uso de las facilidades queproporciona la calculadora, es decir, usandolos comandos correspondientes, escriba la

expresión ( )16

22

1 0

2

n

k

k

n

–

–

=∑ . Una vez hecho

esto, se puede invocar el comando factor

con lo que se obtiene:

16

22 16 2 2 2

10

2

n

k

k

nn n

–

––( ) ,

= −

=∑

lo que se puede escribir como 16 11

2 1( – )

–n,

que corresponde exactamente a la fórmulaobtenida antes.

175


Un procedimiento análogo se puede seguirpara obtener An, esto se ilustra en seguida.Proceda como antes, es decir, utilice el co-mando factor a la expresión:

( )( / )– –16 2 2 161

0

2n k

k

n

=∑ + , lo que producirá

32(2n – 1)2–n (figura 3). Como antes, este re-sultado se puede escribir en la forma

16 21

2 1–

–n

, que corresponde al resultado que

se obtuvo para An.

El uso de la calculadora simbólica se puedeextender para abordar problemas más ge-nerales. Arriba se solicita que al cambiar 2

por r se obtenga una expresión que repre-sente a la suma 1 + r + r2 + ... + rn, n enteropositivo y r¹1. Para obtener el resultadoaplique el comando factor a la expresión:

rk

k

n

=∑ 0y obtendrá como resultado:

(rn+1 – 1)/(r – 1) (figura 4).

En los casos tratados antes, la calculadora sepuede emplear como un medio que verifi-que las fórmulas obtenidas por procedimien-tos algebraicos.

Se observa que el empleo de esta herramien-ta puede ser de utilidad para que el estudian-te conjeture fórmulas o expresiones genera-les en forma directa.

A partir de las expresiones anteriores paraAn y Cn, se pueden verificar los valores en lastablas anteriores como un medio para com-probar que los cálculos efectuados paraobtener An y Cn son correctos. En la tabla 3aparecen los valores con expresiones deci-males. Verifique estos resultados usandolas fórmulas anteriores (use su calculado-ra). La prueba formal que garantiza la vali-dez de las fórmulas anteriores se puede darpor inducción matemática16 sobre n.

176


Figura 2

Uso de la calculadora para determinar Cn

Figura 3

Uso de la calculadora para determinar An

Figura 4

Determinación de 1 + r + r2 + ... + rn

16 Para una revisión del enunciado y uso del principio de inducción matemática, se recomienda consultar el fascículo: “El Método de laInducción Matemática”, I.S. Sominskii, Editorial LIMUSA-WILLEY, S.A. (1972).

Los resultados anteriores se han obtenido su-poniendo que los suministros son dadoscada 4 horas. ¿En qué forma cambian éstos,si los suministros se dan cada 8 horas? ¿Enqué forma, si los suministros son dados cada12 horas?

(iv) Variación continua de cantidades. Cuan-do se abordan problemas que involucran adiferentes tipos de números, por ejemplo:enteros, racionales y reales, una primeraaproximación en la búsqueda de solucioneses considerar números enteros, y a partir delos resultados obtenidos para este caso, con-tinuar con un análisis que incluya a los núme-ros reales para tener una visión más comple-ta del problema. Por ejemplo, en la discusiónque se ha hecho antes respecto a la cantidadde sustancia activa en el cuerpo del paciente,se ha tomado como referente el número de su-ministros, el cual es un entero. Sin embargo, el

número de suministros está determinado porel tiempo transcurrido a partir del momento enque se inicia el tratamiento. Por esto, bajo hi-pótesis adicionales sobre el suministro, se pue-de hacer una análisis de la cantidad de sustan-cia en el organismo para cada tiempo t. Parailustrar estas ideas, haremos la siguiente suposi-ción. Una posibilidad, la cual simplifica el análi-sis significativamente, es que la rapidez de asi-milación sea constante. De la misma manera,supongamos que el organismo elimina a unarapidez constante. Con estas suposiciones sepueden plantear las siguientes preguntas.

¿Cuál es la razón de cambio entre valoresmáximos y mínimos al considerar dos sumi-nistros consecutivos?

¿Cómo determinar la cantidad de sustanciaactiva en cada instante después de iniciadoel tratamiento?

177


Tabla 3

SuministroNo.

(cada 4 horas)

Horas transcurridas almomento del

suministroCn An

1 0 0 16

2 4 8 24

3 8 12 28

4 12 14 30

5 16 15 31

6 20 15.5 31.5

7 24 15.75 31.75

8 28 15.875 31.875

9 32 15.9375 31.9375

10 36 15.96875 31.96875

Con las condiciones que se han establecido,se puede obtener una expresión que deter-mine la cantidad de sustancia activa en cadainstante. Para esto procederemos de la si-guiente forma.

La hipótesis sobre la forma en que asimila lasustancia el organismo, equivale a decir quela cantidad de sustancia entre un valor máxi-mo y un mínimo varía linealmente respecto altiempo, entonces, para determinar la canti-dad de sustancia en cada momento, es sufi-ciente (¿por qué?) encontrar las pendientesde los segmentos que unen los puntos (n, Cn)y (n + 1/24, Cn+ 16); (n + 1/24, Cn + 16) y (n + 1,Cn+1) (figura 5).

Aquí se ha tomado como unidad de medidael tiempo que transcurre entre dos suminis-tros consecutivos, entonces 10 minutos es1/24 de esta unidad (¿por qué?).

Notemos que la rapidez de eliminación es pre-cisamente la pendiente del segmento definido

por los puntos (n + 1/24, Cn + 16) y (n + 1, Cn+1).Si ésta es denotada por En, entonces se tiene:

En

C n C n

n n nn

= +

+=

1 16

1 124

24

2316 1

1

216 1

1

2

– –

– –– – –

––

–– –

116

384

23

1

21

1

21

=n n

=

384

23

1

21

n– . (¿por qué?)

Para analizar el proceso de asimilación, bajo lahipótesis de su rapidez constante, debemos to-mar un valor mínimo, (Cn) y el inmediato valormáximo, (An = Cn + 16). Si la rapidez de asimila-ción es denotada por Dn, se tiene:

DC C

n nnn n=

++

= =16

1 24

16

1 24384

–

/ – /.

¿Cuál es el significado del valor Dn = 384 entérminos de la cantidad de sustancia asimi-

178


Figura 5

lada por unidad de tiempo? ¿Está de acuer-do este resultado con los datos iniciales?

La figura 6 ilustra la cantidad de sustancia encada instante partiendo de los supuestos ante-riores, (rapidez de asimilación y eliminaciónconstante). Esta gráfica puede ser útil para res-ponder las preguntas que se plantean. ¿Puedeobtener una función que describa la cantidadde sustancia en el organismo del paciente encada instante? ¿Cuáles son los significados delas expresiones para En y Dn en términos de lavariación de sustancia activa en el organismodel paciente? Explique.

En el suministro de algún medicamento, seespera que el organismo mantenga una can-tidad mínima, para que surta efecto, y unamáxima para evitar sobredosis. Identifiqueen la gráfica anterior, a partir de qué suminis-tro se consideran estabilizadas tanto la canti-

dad máxima como mínima. ¿Cuáles son esosvalores? Explique.

El proceso de absorción y eliminación de sus-tancias médicas depende del organismo decada persona. En la situación que se ha esta-do discutiendo, diremos que el paciente tie-ne un factor de eliminación de 1/2, lo cualsignifica que al momento de un suministro, elorganismo ha eliminado la mitad de la canti-dad máxima que alcanzó 10 minutos des-pués del suministro previo. ¿Cuál es el com-portamiento de las cantidades en un procesosimilar al anterior para un paciente que tieneun factor de eliminación de 1/3? ¿Cuál espara un paciente que tiene un factor de elimi-nación 1/4?

Llamemos período de absorción al tiempoque tarda el cuerpo del paciente en asimi-lar la totalidad del medicamento despuésde haberlo recibido. Por ejemplo, en el

179


Figura 6

caso discutido antes, el período de absor-ción es 10 minutos. Si t ≠ 10 minutos es untiempo fijo mayor que cero y menor que 4horas, ¿Cambian todos los resultados ante-riores?

Tratamiento del caso general. En general, alponer en práctica un tratamiento bajo el su-ministro de medicamento, se deben conside-rar ciertas características físicas del paciente(edad, peso, etc.), las cuales ayudarán a de-terminar la dosis correspondiente.

Supongamos que se desea hacer un estudioen el cual se tratarán pacientes suministrán-doles un medicamento que exhibe un patrónsimilar al discutido antes. Lo que se debe te-ner como datos son:

– la cantidad d de sustancia a ser suministra-da cada vez

– el factor r de eliminación

– el período t de absorción

– el tiempo s entre cada suministro.

En el tratamiento discutido antes, d = 16 uni-dades, r = 1/2, t = 10 minutos y s = 4 hrs. Si encada suministro el paciente recibe d unida-des, el factor de eliminación es r, el tiempode absorción es t, y el cuadro de comporta-miento es como el que ha sido discutido an-tes, entonces al término de t unidades detiempo, por ejemplo minutos, después delprimer suministro, el paciente registra en suorganismo d unidades, de las cuales, al mo-mento del segundo suministro, tendrá d – rd,cantidad igual a la que tenía, menos la queeliminó. Al término de t minutos después delsegundo suministro, tendrá d – rd + d = d(2 – r)unidades. El análisis para suministros sucesivoslo podemos ilustrar de la siguiente forma. SiCn denota la cantidad de sustancia activa enel cuerpo del paciente al momento del n-ési-

mo suministro (n ³ 2), t minutos después, lacantidad se habrá incrementado a Cn + d. De-notemos esta nueva cantidad por An. Enton-ces la relación entre Cn y An-1, de acuerdo a lascondiciones del suministro, es: Cn es igual aAn-1, menos la cantidad que fue eliminada, lacual es rAn-1, en forma algebraica,

C A rA A rn n n n= =– – –– ( – )1 1 1 1

También se tiene que An-1 es la cantidad quehabía al momento del (n – 1)-ésimo suminis-tro más d, es decir, sustituyendo la últimaecuación en la penúltima, agrupando y facto-rizando se tiene:

C C d rn n= +( )( – ),–1 1

es decir, podemos obtener Cn conociendo Cn–1.

¿Cuál es la relación que hay entre An y An-1? Conlas expresiones anteriores para Cn, podemosobtener algunas de las entradas de la siguientetabla, ¿Cómo llenar las restantes? En lo que si-gue, n denota el número de suministro.

En la tabla 4 se observa un patrón de compor-tamiento en la expresión que determina a Cn.Al momento del suministro n-ésimo, Cn estáexpresada como suma de potencias de 1– r,corriendo los exponentes desde 1 hasta n – 1y d aparece como factor común. Esto se pue-de representar en forma algebraica como seindica abajo.

Cn = d[(1 – r) + (1 – r)2 + (1 – r)3 + ... + (1 – r)n – 1]

Podemos utilizar la ecuación anterior paraobtener una expresión para An, recordandoque An = Cn + d, de lo que se tiene:

An = Cn + d

= d[(1 – r) + (1 – r)2 + (1 – r)3

+ ... + (1 – r)n – 1] + d

180


= d[1 + (1 – r) + (1 – r)2 + (1 – r)3

+ ... + (1 – r)n – 1]

Se observa que la expresión que representa aCn contiene sumas de la forma B + B2 + ... + Bk,la cual al sumarle uno, es similar a las conside-radas antes, para el caso B = 2. Denotemospor Sk a la suma 1 + B + B2 + ... + Bk. La relaciónentre Sk y Sk–1 es similar al caso B = 2, tratadoantes, es decir,

Sk = 1 + B + B2 + ...+ Bk

= 1 + BSk – 1

= Sk–1 + Bk

De esto obtenemos: (B – 1)Sk – 1 = Bk – 1. Si B = 1,la suma que define a Sk–1 contiene k suman-dos todos iguales a 1, por lo que Sk–1 = k. Encualquier otro caso se tiene,

SB

Bk

k

–

–

–.1

1

1=

Con este resultado obtenga una fórmulapara la suma B + B2 + ... + Bk y verifique que lasexpresiones que determinan a Cn y An estándadas por:

C dr r

r

A dr

r

n

n

n

n

=

=

1 1

1 1

– –( – ),

–( – ),

cuando r ≠ 0.

Es interesante notar que el uso de una calcu-ladora simbólica puede ser de gran utilidad,aún en el caso en que se aborden problemascompletamente algebraicos. Por ejemplo,usando la calculadora TI-92, podemos obte-ner las fórmulas anteriores; para ésto proce-demos como sigue:

Para obtener An aplique el comando fac-

tor a la expresión: ( )d r kk

n ( – )– 10

1

=∑ , lo cual

produce dr

r

r

n1 1–

(–( – ))

, que es una expre-

sión equivalente a la que aparece arriba (fi-gura 7).

Un procedimiento similar se aplica para ob-tener Cn , salvo que ahora la sumatoria que

181


Tabla 4

N Cn An

1 0 d

2 d(1 – r) ?

3[d(1 – r) + d][1 – r]

= d[(1 – r)2 + (1 – r)]?

4{d[(1 – r)2 + (1 – r)] + d}{1 – r}= d[(1 – r)3 + (1 – r)2 + (1 – r)]

?

5{d[(1 – r)3 + (1 – r)2 + (1 – r)] + d}{1 – r}= d[(1 – r)4 + (1 – r)3 + (1 – r)2 + (1 – r)]

?

define a Cn inicia en uno. ¿Cómo procederápara obtenerlo?

Con el uso de la calculadora se puede abor-dar parte de la siguiente pregunta ¿Qué ocu-rre cuando r toma los valores 0, 1/2, 1? Inter-prete estos resultados.

En la discusión anterior se tomó como datoimportante el factor de eliminación del or-ganismo. ¿Qué formulación se tiene paraun tratamiento en el que se conoce el fac-tor de retención? Es decir, si conocemosque la cantidad de medicamento que tieneel cuerpo del paciente al momento de unsuministro, es r veces la cantidad máximaalcanzada t minutos después del suminis-tro previo?, ¿qué formulación se tiene paraeste caso?

Visión retrospectiva del proceso de solu-ción. El proceso de solución del problemaofrece oportunidades para que los estu-diantes:

a) obtengan información numérica y la orga-nicen de manera sistemática

b) se percaten de la utilidad que tiene el usardiferentes representaciones de la informa-ción disponible, en particular resalta la im-portancia de sistematizar la información me-diante el uso de una lista ordenada de los

datos, es decir, por medio de una tabla, loque a la vez permite la construcción de unagráfica a partir de los datos

c) comparen la consistencia entre los resulta-dos obtenidos directamente de las condicio-nes del problema con los que se obtienen defórmulas obtenidas en la discusión

d) valoren la importancia de abordar casosparticulares en el proceso de solución de unproblema

e) generalicen a partir del estudio de casosparticulares. Esto les muestra la necesidad deusar símbolos y términos para abordar situa-ciones generales.

4. Guía de aplicación para elestudiante

Nombre del estudiante:Nivel:Escuela:DependenciaFecha:

Instrucciones. Lea cuidadosamente la des-cripción y explicación que un médico le pro-porciona a su ayudante de laboratorio cuan-do se prescribe medicamento. Conteste laspreguntas que se indican mostrando todaslas ideas y recursos matemáticos que empleeen el proceso de solución.

Descripción del suministro. Un médico exa-mina a un paciente y le receta un tipo de me-dicamento que le ayude a combatir cierta en-fermedad. Por cada suministro, la dosis desustancia activa del medicamento que le re-ceta es de 16 unidades. El médico le da la si-guiente descripción del suministro a su ayu-dante de laboratorio con la finalidad de hacerun estudio posterior.

182


Figura 7

Uso de la calculadora para determinar An

a) Dosis por cada suministro son de 16 uni-dades.

b) Cuando el paciente recibe un suministrode medicamento, su organismo inicia inme-diatamente un proceso para asimilar las 16unidades, y este proceso termina a los 10 mi-nutos de iniciado. Así, diez minutos despuésdel primer suministro, el cuerpo del pacientehabrá asimilado la cantidad total de sustan-cia activa que le fue suministrada.

c) Al momento que el organismo del pacien-te asimila el total de la sustancia activa que lefue suministrada, se inicia un proceso de eli-minación del medicamento.

d) Cuando la cantidad máxima de medica-mento previa a un suministro se ha reducidoa la mitad, tiene lugar el siguiente, iniciándo-se un aumento en la cantidad de sustanciaactiva en el organismo del paciente. Para elmedicamento que se está suministrando, elmédico indica que esa reducción se logracada 4 horas a partir de suministro. Por ejem-plo, el segundo suministro se realizará cuan-do la cantidad de sustancia activa sea de 8unidades, lo cual ocurrirá cuando hayantranscurrido cuatro horas después del primersuministro.

e) El paciente recibirá varios suministros du-rante el tratamiento.

A partir de esta descripción del suministro,responda las siguientes preguntas relaciona-das con la cantidad de sustancia activa quepermanecerá en el cuerpo del paciente endiferentes momentos:

Comprensión de la situación o problema.Explique en forma verbal y con sus propiaspalabras la descripción del suministro.

– ¿Qué cantidad de sustancia recibe el pa-ciente en cada suministro?

– ¿Cuánto tiempo transcurre en asimilar laprimera dosis?

– ¿En cuánto se ha reducido la cantidad desustancia al momento del segundo sumi-nistro?

Diseño y puesta en prácticade un plan

a) ¿Qué cantidad de medicamento ha reteni-do el organismo del paciente al momento decada suministro? En una tabla, describa lacantidad de sustancia activa que permaneceen el cuerpo del paciente en el momentoque se realiza el suministro, durante las pri-meras treinta y seis horas.

b) ¿Qué cantidad de medicamento se acu-mula en el organismo 10 minutos despuésde cada suministro? En una tabla describala cantidad de medicamento que acumulael organismo del paciente 10 minutos des-pués de cada suministro durante las prime-ras treinta y seis horas.

c) A partir de la información incluida en lastablas anteriores, represente en una gráfica lacantidad de sustancia activa que retiene elpaciente en el momento de cada suministro(cada 4 horas) y diez minutos después deéste.

d) Describa lo que se observa en la gráfica,en términos del seguimiento del tratamien-to. ¿Qué diferencias resaltan entre las re-presentaciones tabular y gráfica de la infor-mación referente al tratamiento?

e) En una tabla, describa la cantidad de sus-tancia activa en el organismo del pacientepara los primeros 7 suministros. El resultadoexpréselo como se indica en los siguientesejemplos. La cantidad de sustancia activa enel tercer y cuarto suministro se puede repre-

183


sentar como(8 + 16)/2 y [(8 + 16)/2 + 16]/2 = (8 + 16 + 2 . 16)/2,

respectivamente (explique). ¿Existe algunaregularidad o patrón en la cantidad de sus-tancia activa para cada suministro? ¿Cómose puede expresar la cantidad de sustanciaactiva para cada suministro? ¿Cómo se pue-de expresar la cantidad de sustancia activaalmacenada por el organismo del pacienteen el n-ésimo suministro?

f) Determine la expresión que ayude a calcu-lar la cantidad de sustancia activa 10 minutosdespués del n-ésimo suministro.

g) Se observa (figura 8) que en dos suministrosconsecutivos, n y (n + 1) existe un momento(10 minutos después del primer suministro)donde la cantidad del primer suministro Cn seincrementa en 16 unidades. Si se unen conrectas los puntos (n,Cn), (n + 1/24, Cn + 16) y(n + 1, Cn + 1) calcule las pendiente de estas dosrectas. ¿Qué significa el valor de las pendientesen relación al tratamiento?

h) En las condiciones del tratamiento se ob-serva que el paciente tiene un factor de elimi-nación de 1/2, lo cual significa que al mo-mento de un suministro, el organismo haeliminado la mitad de la cantidad máximaque alcanzó 10 minutos después del suminis-tro previo. ¿Cuál es el comportamiento en unproceso similar al anterior para un pacienteque tiene un factor de eliminación de 1/3?¿Cuál es el comportamiento en un procesosimilar al anterior para un paciente con factorde eliminación de 1/4?

I) Caso General. Si ahora en cada suminis-tro el paciente recibe d unidades de sustan-cia activa, el factor de eliminación es r y semantiene el cuadro de comportamientoanterior, entonces la siguiente tabla descri-be los primeros tres suministros y lo queocurre en cuanto a la cantidad de sustanciaactiva en el cuerpo del paciente al momen-to del suministro y diez minutos despuésde éste.

184


Figura 8

Complete la tabla 5 para los suministros Nos.4, 5 y 6. Encuentre una expresión general

que describa lo que ocurre en el n-ésimo su-ministro.

185


Tabla 5

Suministro No.Cantidad de sustancia activa en elcuerpo al momento del suministro

Cantidad de sustancia activa en elcuerpo 10 minutos después del

suministro

1 0 d

2 d + rd = d(1 – r) d (1 – r) + d = d [(1 – r) + 1]

3d[(1 – r) + 1] – rd [(1 – r) + 1]= d [(1 – r) + 1] [1 – r]= d [(1 – r)2 + (1 – r)]

d [(1 – r)2 + (1 – r)] + d= d [(1 – r)2 + (1 – r) + 1]

4

5

6

Un problema de variación

Luz Manuel Santos TrigoCINVESTAV – IPN, México

En el sistema cartesiano graficar la función

y = - 2x + 8. Dibujar un rectángulo en el pri-

mer cuadrante de tal manera que uno de

sus vértices sea el origen del sistema coor-

denado, otro vértice se encuentre sobre la

gráfica de y = - 2x + 8 y el segmento que une

este vértice con el origen sea una diagonal

del rectángulo. ¿Dónde se ubicarán los

otros dos vértices?

Indagación

1. ¿Qué parámetros hay que atender para gra-ficar la función y = - 2x + 8? Dos caminos pue-den plantearse en esta dirección:

– enfocar la atención sobre algunos puntoscuyas coordenadas satisfagan la expresión

– identificar los parámetros fundamentales,pendiente y ordenada al origen, para grafi-car la ecuación. ¿Cómo se obtiene la pen-diente de una recta? ¿Qué información dela recta proporciona el valor de la pendien-te? ¿Qué relación existe entre el valor de lapendiente y el ángulo de inclinación de larecta?

Entre los aspectos importantes que se gene-ran en el tratamiento de la situación inicial sedestacan:

• El conocimiento del plano cartesiano enrelación a cómo graficar puntos y lo quesignifica que las coordenadas de un con-junto de puntos satisfagan la ecuación dela recta. Es decir, un punto P(x,y) pertene-ce a la gráfica de y = f(x) si y solamente si elpar (x,y) satisface la ecuación y = f(x). Estainformación es importante para ubicaruno de los vértices del rectángulo (el queestá sobre la recta).

• El conocimiento geométrico de la línearecta. Aquí es importante entender con-ceptos como punto, ángulo, línea paralelay hechos como el que dos puntos deter-minan una recta.

• El conocimiento de que un punto sobre larecta y la dirección de ésta,4 son condi-ciones suficientes para determinarla.

• El conocimiento del significado geométri-co de los parámetros m y b en la ecuaciónde la recta y = mx + b. Por ejemplo, b en laecuación significa que la gráfica de y = mx

+ b corta al eje y en el punto (0,b).

• El pensar simultáneamente la gráfica de laecuación y = mx + b como una colecciónde puntos y como una entidad. Aquí con-viene reflexionar sobre los efectos que seproducen en la representación gráfica al

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efectuar cambios en los valores de m y b.Por ejemplo, ¿qué le ocurre a la recta si elvalor de b aumenta?, ¿qué le pasa a la rec-ta cuando b es negativo?

Las siguientes actividades y preguntas se re-lacionan con los aspectos mencionados.

a) Proponga distintos valores para m y b en laexpresión y = mx + b, construya la gráficapara cada caso y reporte lo que observa apartir de los efectos que estos valores produ-cen en las gráficas correspondientes.

b) ¿Qué puntos se deben seleccionar paradar una indicación precisa del comporta-miento de la gráfica?, ¿qué ocurre si se man-tiene un valor fijo de un parámetro (pendien-te u ordenada al origen) y el otro varía?

c) ¿Se puede encontrar un punto sobre la rec-ta si se sabe el valor de su primera coordena-da? Por ejemplo, ¿cuál sería el valor de la se-gunda coordenada de los puntos P1( 3, ?) yP2(5, ?) para que se encuentren sobre la rec-ta? ¿Están estos puntos en el primer cuadran-te? ¡Explique!

d) ¿Qué valores puede tomar la primeracoordenada si se quiere que el punto P(x, y)sobre la recta aparezca en el primer cuadran-te?

e) ¿Cómo se determinan las coordenadas deun punto sobre la recta? ¿Qué informaciónproveen las coordenadas de un punto P(x, y)?

2. Después de haber representado la línearecta de ecuación y = - 2x + 8, el siguientepaso es dibujar un rectángulo que satisfaga lascondiciones que se indican. Una preguntaaquí es: ¿existe suficiente información para di-bujarlo? Para responder, es importante ubicarel rectángulo en términos de sus propiedades(dos pares de lados paralelos, cuatro ángulosrectos, dos pares de lados congruentes) y veri-ficar que éstas se cumplen en la figura.

a. ¿Cuál es la información importante quese debe considerar en la construccióndel rectángulo?

Este debe ubicarse en el primer cuadran-te, uno de sus vértices debe ser el origen,el vértice opuesto al origen sobre la diago-nal debe ubicarse sobre la línea recta.

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Figura 1 Figura 2

b. ¿Por qué el rectángulo de la figura 2 nocumple con todas las condiciones que se pi-den?

Se observa que la condición que no cumplees que el vértice superior derecho no se en-cuentra sobre la gráfica de y = – 2x + 8

La figura 3 muestra un rectángulo que cum-ple todas las condiciones requeridas (el estu-diante debe verificar que la figura satisfacetodas las condiciones)

c) ¿Se puede dibujar otro rectángulo quecumpla las condiciones iniciales? ¿Cuántosrectángulos más se pueden dibujar con lascondiciones establecidas?

Una idea matemática importante que puedecomenzar a explotarse es la idea de varia-ción. Por ejemplo, se ha observado que esposible construir varios rectángulos quecumplan las condiciones iniciales. Atributoscomo el perímetro y el área pueden utilizarsecomo referencia para comparar las cualida-des de algunos rectángulos dibujados.

En la figura 4 se observa que los rectángulosOASH, OBRG, OCQF y ODPE cumplen las condi-ciones requeridas (explicar).

3. Dibuje cuatro rectángulos que satisfaganlas condiciones iniciales y calcule las áreas yperímetros correspondientes. Explique cómodeterminar la información necesaria para rea-lizar los cálculos. Haga una tabla en dondemuestre la longitud de los lados de cada rec-tángulo, sus áreas y perímetros correspon-dientes. Incluya en la tabla el caso donde elvalor del lado que está sobre el eje x tengalongitud x.

Al llenar la tabla se utiliza la relación que exis-te entre los puntos que están sobre el seg-mento de la recta y las dimensiones del rec-tángulo (¿cómo se obtiene la altura en cadarectángulo? )

4. Dibuje las gráficas asociadas al perímetroP(x) = -2x + 16 y al área Q(x) = 2x2 + 8x.

5. Describa el comportamiento de las gráfi-cas en términos de los lados del rectángulo y

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Figura 4

Figura 3

O

su correspondiente perímetro y área. Porejemplo, si el lado que va del origen O, alpunto A es 2, entonces el otro lado corres-pondiente del rectángulo OAPB será 4. Paraeste rectángulo el área será 8 cm2 y su corres-pondiente perímetro 12 cm. En las gráficas,estos puntos son (2,4) y (2,12).

A partir de la figura 6, conteste las siguientespreguntas:

a) ¿Existe un rectángulo que tenga un área de9 cm2 ? Explique.

b) ¿Existe un rectángulo que tenga un perí-metro de 9 cm? Explique.

c) Al observar la gráfica del área, se nota quepara algunos valores del área se pueden en-contrar dos rectángulos que tengan ese va-lor. Proporcione tres ejemplos de pares derectángulos que tengan una misma área.¿Ocurrirá lo mismo para el caso del períme-tro? Es decir, ¿habrá dos rectángulos que ten-gan un mismo perímetro?

En la figura 7, el rectángulo OABC con lados 1cm y 6 cm, y el rectángulo ODEF con lados 3

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Base Altura Perímetro Área

1 cm 6 cm 14 cm 6 cm2

2 cm 4 cm 12 cm 8 cm2

3 cm 2 cm 10 cm 6 cm2

3.5 cm 1 cm 9 cm 3.5 cm2

x cm -2x + 82(x - 2x + 8) cm= -2x + 16 cm

x (-2x + 8) =

-2x2+8x cm2

Figura 5 Figura 6

cm y 2 cm, tienen la misma área igual a 6cm2.

d) ¿En cuántos puntos una línea paralela aleje de las abscisas, que pase por algún valordel área corta a la gráfica del área? Explicar.

e) Haga una tabla donde se muestre el va-lor del área de varios rectángulos y sus di-mensiones. Describa lo que observa res-pecto al comportamiento del área.

f) ¿Existe un valor del área en donde solamen-te exista un rectángulo con ese valor? ¿Puedecalcular el valor del área y las dimensiones deese rectángulo?

7. Compare el comportamiento de la gráficadel área (parábola) con los valores de la tablaen la figura 8.

a) ¿Qué conexión tiene el vértice de la pará-bola con los valores de la tabla?

b) Escriba lo que observa en términos de lasdimensiones del rectángulo con el valor delárea.

Conclusiones

La tarea planteada inicialmente fue la de re-presentar en el plano cartesiano una línearecta y un rectángulo con ciertas condicio-nes. Después hubo oportunidad de analizarel comportamiento de atributos como el pe-rímetro y el área de rectángulos a partir delenfoque y la cuantificación de algunos as-pectos de variación. Se destaca la relaciónentre la situación inicial, la representaciónanalítica de los atributos y sus respectivasgráficas. Para esta situación inicial se observóque tanto el perímetro como el área depen-dían de las dimensiones que se le asignabana los lados del rectángulo; en particular, parael área, había casos en que para un valor de-

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Figura 8Figura 7

C B

F E

OD

A

terminado se podían encontrar dos rectán-gulos con ese mismo valor.

Los ingredientes importantes de la situacióninicial incluían una línea recta, un rectánguloen el primer cuadrante, etc. Una preguntaimportante aquí es:

¿Qué le pasaría al perímetro y al área del rec-tángulo si ahora en lugar de tener uno de susvértices sobre la recta con ecuación y = - 2x + 8,lo tiene sobre la gráfica de y = 2/x ?

Antes de abordar formalmente el problemasería importante que los estudiantes plantea-ran y explicaran sus conjeturas.

Una forma de investigar el comportamientodel perímetro y el área de los rectángulosque se formen, es a partir de la representa-ción analítica de estos atributos. Es decir, si x

representa la longitud del lado del rectángu-lo que descansa sobre el eje x, entonces setiene que:

P(x) = 2(x + 2/x) = 2x + 4/x = (2x2 + 4)/x

representa el perímetro del rectángulo delado x.

A(x) = x(2/x) = 2

representa el área del rectángulo de lado x.

¿Qué se observa en estas dos representacio-nes?

En la figura 10 aparecen los elementos im-portantes del problema:

• La gráfica del perímetro y una tabla dondeaparecen las dimensiones de un lado delrectángulo y su correspondiente períme-tro. ¿Cómo se obtiene el otro lado? Verifi-que que el valor del perímetro queaparece en la tabla corresponde al rectán-gulo respectivo.

• Un rectángulo con dimensiones 1.39 cm× 1.44 cm, cuya área y perímetro son 2cm2 y 5.66 cm respectivamente.

• La gráfica de la expresión y = 2/x

• La gráfica del perímetro P(x) = ( 2x2 + 4) / x

8. Describa el comportamiento de los atribu-tos del rectángulo a partir del análisis de lasrepresentaciones anteriores.

¿Cuáles son las diferencias y semejanzasentre el comportamiento del rectángulo enla situación inicial donde uno de sus vérti-ces estaba en una recta y ahora ese vérticeestá sobre la curva y = 2/x?

9. En la primera parte de la situación se abor-daron algunos aspectos que aparecen en larepresentación de la línea recta. Cuando setrabajó la representación del área del rec-tángulo, apareció una expresión de la formaA (x) = -2x2 + 8x, que es un caso particular dela expresión y = ax2 + bx + c. Con la ayuda dela calculadora, o de algún programa compu-tacional, verifique lo siguiente:

a) Cambios en a cambian la “anchura” de laparábola y posiblemente su concavidad ymueven el vértice.

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Figura 9

b) Cambios en b dejan la forma de la parábo-la idéntica pero trasladan el vértice.

c) Cambios en c trasladan la parábola verti-calmente.

10. Si ahora se escribe la expresión, toma laforma y = a(x-b)2 + c. Verifique con unosejemplos que:

a) Cambios en a afectan solamente la anchu-ra y la concavidad de la parábola.

b) Cambios en b y c se traducen en traslacio-nes horizontal o vertical de la parábola res-pectivamente.

c) En esta expresión el vértice de la parábolase identifica como (b,c). Así por ejemplo, laexpresión –2x2 + 8x, se puede escribir como-2(x + 2)2 + 8, de donde el vértice viene dadopor (2,8).

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Figura 10

En este capítulo se recopilan documentosque sirvieron de base al seminario de forma-ción de docentes llevado a cabo en la moda-lidad virtual, desde septiembre de 1999 y alo largo de los años 2000 y 2001.

Bajo la asesoría del doctor Luis Moreno ycon el apoyo de la Hemeroteca Nacional delICFES, entidad que puso a disposición del pro-yecto una lista de discusión electrónica, sepropició un permanente intercambio deideas y el debate académico entre los partici-pantes, además del envío de información (ar-tículos, informes, comunicaciones) y la socia-

lización de actividades1. Los puntos centralesde la discusión teórica, que sirvieron de basepara la reflexión de los grupos de estudio ypara consolidar la fundamentación concep-tual, giraron en torno a la contribución de laepistemología constructivista a la didácticade las matemáticas, el papel de la representa-ción en el desarrollo del conocimiento y lacognición, la evolución del conocimientomatemático como un proceso afectado portensiones entre lo concreto y lo abstracto yreflexiones en torno al sentido de la demos-tración en matemáticas, entre otros.

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Capítulo

2 Artículos sobre tecnología

1 Próximamente saldrá publicado un documento que contiene la discusión sostenida en la LISTA DE INTERÉS desde septiembre de 1999hasta agosto de 2001.

Educación matemática: investigacióny tecnología en el nuevo siglo2

Teresa Rojano C. y Luis Moreno ArmellaCINVESTAV – IPN, México

Introducción

A mediados del presente siglo surgen, en elpanorama internacional, los primeros en-cuentros que se proponen discutir resultadosde la investigación educativa en el campo delas matemáticas. Inicialmente la investiga-ción se orientó hacia los llamados errores decomprensión, interés que llevó a la decisiónde diseñar estrategias que permitieran supe-rar las deficiencias atribuibles a los métodosde enseñanza. En este caso, el enfoque tienecomo hipótesis de base una concepción delconocimiento (matemático) según la cual elsignificado de un enunciado es único, y enconsecuencia la comprensión está en fun-ción de la transmisión. Sin embargo, sabe-mos que los estudiantes desarrollan formasde conocimiento que no coinciden con elconocimiento escolar oficial, lo cual está enabierto contraste con aquella supuesta trans-parencia del conocimiento.

Las concepciones iniciales sobre el conoci-miento basadas en el modelo de transmi-sión/ recepción mecánicas, se vieron fuerte-

mente cuestionadas por el constructivismoepistemológico y sus versiones educativas.Para entender la presencia de esta nueva ma-nera de mirar los fenómenos de la cognicióny de la educación, conviene ubicarnos enuna perspectiva histórica.

En su Crítica de la Razón Pura, Kant afirmaque al entrar en contacto con su objeto deconocimiento, el sujeto recibe impresionessensibles que somete a un proceso organiza-dor. Esto lo hace, según Kant, mediante susestructuras cognitivas innatas. Así como un lí-quido adopta la forma del recipiente que locontiene, así también las impresiones senso-riales adoptan las formas que les son impues-tas por las estructuras cognitivas que las pro-cesan; el resultado de este procesamiento esel conocimiento. La capacidad cognoscitivadel sujeto tiene como límites aquellos que leson impuestos por el dominio de su expe-riencia posible.

En síntesis, hay dos consecuencias funda-mentales del enfoque kantiano. La primeraes que el conocimiento deja de ser concebi-

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2 Publicado en la revista Avance y Perspectiva, Vol. 18, 1999, 325 - 333.

do como representación de una realidad ex-terna y, en su lugar, el conocimiento se con-cibe como resultado de la interacción entreel sujeto (provisto de sus estructuras cognos-citivas) y sus “experiencias sensoriales”. Lasegunda es que el sujeto ya no es pasivo fren-te al objeto de su conocimiento. A esta solu-ción brillante le faltaba contestar: ¿de dóndeprovienen los instrumentos cognoscitivosque sirven para transformar las experienciasdel sujeto?

La epistemología constructivista piagetianaha sido una de las respuestas más elaboradasa estos interrogantes de orden epistemológi-co y, sin proponérselo explícitamente, seconstituyó en una base de sustentación for-midable para el constructivismo desde laperspectiva de la educación. Sin embargo,las tesis epistemológicas de este constructi-vismo fueron, con frecuencia, trasladadasmecánicamente al campo educativo dandocomo resultado una especie de “desliza-miento” desde la epistemología hacia la di-dáctica.

La Mediación Instrumental

Cuando un niño explora su entorno llega,eventualmente, al convencimiento de quehay mucho más en su entorno material inme-diato y muchos más fenómenos que no leson accesibles mediante sus excursiones lo-cales. Esta certeza puede llegarle de innume-rables formas: a través de lo que observa porla ventanilla del autobús que le lleva a la es-cuela, o cualquier otro medio de observa-ción del mundo material y social que le ro-dea. De esta manera comprende que tieneque preguntar. No tiene respuesta para to-dos sus interrogantes. La pregunta es su nue-vo método de exploración. El lenguaje setorna un instrumento fundamental de la so-

cialización de sus conocimientos. Desde lue-go, en la escuela, esta mediación lingüísticaalcanza un mayor grado de sistematización:los dominios de exploración ya no son sola-mente los propios sino, también, aquellospropuestos institucionalmente.

La presencia de los instrumentos computa-cionales en la educación matemática, ha he-cho evidente un principio de mediación ge-neral, sistematizado en el trabajo de Wertsch(1993):

Toda acción cognitiva es una acción mediadapor instrumentos materiales o simbólicos.

Puede tratarse de un lápiz, de una caña depescar, de un texto o de una computadora.En todos los casos, el conocimiento produci-do depende de los instrumentos de media-ción que pongamos en juego para su cons-trucción, y del lugar que tales instrumentostengan en el entorno sociocultural.

Como lo ha expresado Wertsch (1993) “elfuncionamiento mental se concibe como in-trínsecamente vinculado a los entornos cultu-rales, históricos e institucionales”. Este nuevoenfoque sobre el funcionamiento cognitivoviene a completar un cuadro al que le falta-ba, digamos, perspectiva. Las relaciones en-tre el funcionamiento cognitivo y los entor-nos socioculturales han recibido una aten-ción creciente en los últimos años debido enparte a una insatisfacción con los modelos in-terpretativos previos y en parte también, porla presencia de los sistemas computaciona-les en la educación matemática. Enfaticemosesta posición con un ejemplo (Wertsch,1998). Se trata de resaltar la relación indiso-luble entre el instrumento de mediación y elagente (es decir, la persona involucrada en laacción). Al realizar una multiplicación si unopregunta a la persona: ¿quién realizó las ope-raciones? seguramente contestará: “yo”. Des-

195

Educación matemática: investigación y tecnología en el nuevo siglo

de la perspectiva de la acción mediada, larespuesta debe ser: “yo y la herramienta cul-tural que usé”. En efecto, la multiplicaciónexige el empleo del sistema de notación nu-mérica de manera esencial.

Signos y representaciones

La producción de signos y representacioneses crucial para el estudio del conocimiento yde la cognición. Los sistemas de representa-ción son instrumentos de mediación. Los sis-temas de representación que usamos en lasmatemáticas tienen un origen cultural y porlo tanto hay una dimensión cultural en el co-nocimiento que se produce con el auxilio desu mediación. Esto, sin embargo, no compro-mete la objetividad del conocimiento, pero sínos obliga a reformular el problema de la ob-jetividad en términos diferentes a aquellosheredados del realismo epistemológico.

En una situación de aprendizaje, los signosforman parte de los elementos estructuran-tes de la relación entre el estudiante y el con-cepto que gradualmente se va produciendo.Cambiar el sistema de representación con-duce a subrayar diferentes características delconcepto emergente.

Las matemáticas, como toda otra actividadintelectual, sufren la profunda influencia delas tecnologías existentes. Con el correr deltiempo, las tecnologías se tornan “invisi-bles” y las actividades que se generan apartir de ellas se conciben como activida-des matemáticas per se, independientes deaquella tecnología. Entonces surge, porejemplo, la noción de una actividad mate-mática “pura”, al margen de su entorno so-ciocultural. En la escuela, por ejemplo, lasdestrezas con los cálculos logarítmicos seven como independientes de la herramien-

ta y son “confundidas” con capacidadesmatemáticas puras. Como si el funciona-miento del sistema cognitivo fuera inmunea las herramientas mediante las cuales sedespliega la actividad intelectual.

Las afirmaciones anteriores pueden corrobo-rarse de manera clara en la investigación apli-cada dentro de los sistemas educativos, endonde se puede apreciar la presencia de lasideas centrales que han conducido la evolu-ción de la disciplina, condensada en las pági-nas anteriores.

Fin de Siglo: una era deinvestigación aplicada

La ineludible perspectiva de la entrada alnuevo milenio, impone una reformulaciónde lo que se enseña, del cómo y del para quéy, de acuerdo a varios autores, apareceránen escena nuevas necesidades de prepara-ción matemática que tendrán que ser atendi-das desde la educación básica. Es decir, pue-den anticiparse movimientos importantes enel campo del diseño y desarrollo curriculares,así como en la aplicación de nuevos méto-dos de enseñanza y uso de herramientas deaprendizaje; sin embargo, ya desde la pre-sente década se advierte una gran influenciade los resultados de las investigaciones desa-rrolladas en los 80’s, tanto en las reformaseducativas, como en los proyectos de inno-vación. Así, durante los 90’s se aprecia unuso intensivo, en los sistemas educativos, delsaber acumulado por la comunidad de inves-tigadores en educación matemática.

Entre los asuntos estudiados con profundi-dad en la época señalada, se encuentran losprocesos de transición que tienen lugar en elpensamiento matemático de los alumnoscuando entran a la adolescencia, en relación

196


a los cuales se han reportado resultados rele-vantes, por ejemplo, en cuanto a:

– el paso de la aritmética al álgebra

– la transición de los métodos informales alos métodos formales en la resolución deproblemas

– el cambio de un pensamiento con lo espe-cífico a un pensamiento con lo general

– el paso a niveles más abstractos de pensa-miento

– el tránsito del trabajo con el dibujo (nivelperceptual) al trabajo con el objeto geo-métrico.

Algunos de estos resultados han contribui-do a la formulación de cambios en la ense-ñanza del álgebra en diferentes países,como por ejemplo en Inglaterra, en dondese ha pasado de poner énfasis en el papelde la manipulación simbólica a enfatizar elpapel que juegan los métodos informalesque utilizan los alumnos cuando resuelvenproblemas en matemáticas (Sutherland,1999). De manera similar, la reforma edu-cativa de 1993 en México le da mayor im-portancia al desarrollo de habilidades enlos estudiantes para la resolución de pro-blemas y elimina una buena parte del con-tenido relacionado con las destrezas sin-tácticas del álgebra (SEP, 1993).

En general, y nuevamente en relación al álge-bra, puede decirse que las investigaciones delas dos últimas décadas han contribuido—junto con otros factores— a concebir nue-vos acercamientos a la enseñanza y al apren-dizaje de esta materia (véase, por ejemplo,Bednarz, Kieran & Lee, 1996). Dichos acer-camientos pueden agruparse en cuatro gran-des categorías:

a) Funcional: se toman como nociones bási-cas la variación y el cambio para introduciral alumno en el mundo del álgebra, con elfin de darle a ésta un carácter dinámico.

b) A partir de la resolución de problemas: seplantean problemas cuya resolución con-duzca al alumno a la construcción de lasnociones fundamentales del álgebra.

c) A partir de la modelación: se rescata elpapel del álgebra como medio de mode-lación del mundo real.

d) A partir de la generalización: se parte detareas de percepción y expresión de re-gularidades o patrones, para dar significa-do y sentido a las expresiones simbólicoalgebraicas.

La incorporación de nuevas tecnologías, talescomo los ambientes computacionales y lascalculadoras gráficas y algebraicas como he-rramientas de aprendizaje, ha resultado cru-cial para poner en obra, en el salón de clases,algunos de los nuevos acercamientos al álge-bra. Así, el trabajo de J. Kaput con la herra-mienta del SimCalc–Math Worlds (Balacheff &Kaput, 1996) y el de C. Kieran con Carapace(Kieran, et al 1996) son buenos ejemplos deun acercamiento funcional, prácticamente in-concebible sin apoyo cibernético. Los estu-dios experimentales de Heid y Fey (the Com-puting Intensive Algebra Project), realizadoscon el apoyo de graficadores y manipulado-res simbólicos, ilustran el acercamiento pormedio de la modelación (Heid, 1996). La hojaelectrónica de cálculo, por su parte, es una delas piezas de tecnología que ha mostrado unagran potencialidad para enfatizar el papel delálgebra como medio de modelación de situa-ciones del mundo físico (Sutherland, Rojanoet al, 1996), así como para experimentar sucarácter dinámico y realizar tareas de genera-lización tanto en versiones numéricas como

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“simbólicas” (con la sintaxis del propio me-dio computacional).

Al mismo tiempo que la presencia de las nue-vas tecnologías iba incorporando una gran ri-queza a los fenómenos que tradicionalmentehan sido estudiados por la educación matemá-tica, también iba haciendo presentes, juntocon otro tipo de indagaciones, las limitacionesde los paradigmas de investigación puestos enpráctica hasta hace poco. A este respecto,cabe mencionar que las expectativas de quemediante el uso de las nuevas herramientas, lagran mayoría de los sujetos pudiera acceder anociones complejas y poderosas de la mate-mática, estaban muy basadas en la idea de queel uso de tales herramientas pudiera generali-zarse a poblaciones de estudiantes de diferen-tes edades y de países con diferentes culturas.La hipótesis implícita de universalidad del co-nocimiento matemático escolar y del impactocognitivo de las nuevas herramientas fue cues-tionada, en cuanto se empezaron a realizar in-vestigaciones interculturales con el uso de tec-nología. Tal es el caso de los resultadosarrojados por los trabajos anglo-mexicanosSpreadsheets Algebra Project y The Role ofSpreadsheets within the School-MathematicalPractices realizadas de manera conjunta por elDepartamento de Matemática Educativa delCinvestav, el Instituto de Educación de la Uni-versidad de Londres y la Escuela de Educaciónde la Universidad de Bristol, en el periodo1990-1997. En el siguiente apartado se descri-ben someramente algunos de los resultadosde estas investigaciones.

Modelación matemática:la interacción de la culturay la práctica

Con un acercamiento sociocultural, en elproyecto The Role of Spreadsheets within the

School-Mathematical Practices se estudian lasmaneras en que son utilizadas las matemáti-cas en las prácticas escolares en las materiasde ciencias y el papel que juegan las hojaselectrónicas de cálculo como una herramien-ta de modelación matemática (Molyneux,Rojano et al 1999). En una primera etapa, seanalizaron las diferencias culturales escola-res en los dos grupos estudiados de alumnosde 16 a 18 años de edad (uno en Inglaterra yuno en México) y se analizó cómo estas dife-rencias influían en su práctica matemática yen su trabajo con las actividades de modela-ción con la hoja de cálculo. Los resultadosobtenidos reportan claras diferencias entreestos dos grupos en cuanto a sus preferen-cias por ciertas representaciones como lagráfica, la tabular numérica y la analítica, encuanto a la comprensión del tipo de respues-tas que se esperaba que produjeran, y encuanto a su manera de concebir el papel dela matemática en las materias de ciencias. Demanera simplificada, puede decirse que losestudiantes ingleses tendían a utilizar prefe-rentemente la gráfica como un medio deanalizar el comportamiento de un fenóme-no, y que los estudiantes mexicanos tendíana utilizar la expresión algebraica. El énfasisque se pone en las escuelas inglesas en eluso de gráficas y en el acercamiento cualitati-vo al estudio de las ciencias puede ser unaexplicación plausible de que estos estudian-tes se muestren más confiados y prefieranutilizar las gráficas, mientras que la valora-ción que se le da al conocimiento formal y alas respuestas exactas en el aula mexicana dematemáticas puede explicar el que los estu-diantes mexicanos privilegien el uso de la ex-presión analítica de la variación. Aunque laspreferencias de los estudiantes por un tipoparticular de representación no se modifica-ron significativamente mediante el uso de lahoja electrónica como recurso de modela-

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ción, al final del trabajo experimental, lamayoría reconocía lo valioso que era poderutilizar diversas representaciones. Además,mostraron haber desarrollado la habilidadnecesaria para interpretar el comportamien-to de fenómenos del mundo físico a travésde dichas representaciones. Una de las impli-caciones de estos resultados es que los pro-cesos cognitivos que se desencadenan du-rante el aprendizaje no tienen lugar almargen de la cultura y los valores relativos ala matemática escolar, por más que el diseñoexperimental contemple condiciones equi-valentes en cuanto a las actividades de mo-delación y a las herramientas informáticasdisponibles en ambos grupos.

Las Calculadoras Algebraicas

Las calculadoras algebraicas actuales incor-poran, además de los sistemas de representa-ción numérico y gráfico, un sistema de mani-pulación algebraica. En otras palabras, estosignifica que, además de manipular númerosy graficar funciones, la calculadora puedemanipular expresiones algebraicas (factori-zar polinomios, derivar simbólicamente unafunción, hallar su antiderivada, hallar la ex-presión en fracciones parciales de una fun-ción racional, etc.). Nos referimos en particu-lar a estos instrumentos pues su presencia enlos sistemas educativos es más factible y, por-que representan una generación de instru-mentos informáticos compatibles con lascomputadoras tradicionales. Gran parte dela investigación ha tomado en cuenta latransformación de estas herramientas en ins-trumentos matemáticos escolares (Ruthven,1996; Guin, D. y Trouche, L. 1999)

Una situación matemática puede ser estudia-da desde cualquiera de estos puntos de vista(numérico, gráfico o simbólico) y, lo que re-

sulta aún más importante desde unaperspectiva cognitiva, dicha situación puedeestudiarse integradamente, desde los trespuntos de vista abriendo así la posibilidad aun establecimiento de nuevas relaciones en-tre las representaciones y, por ende, a unamayor elaboración conceptual de los obje-tos matemáticos involucrados en la situaciónbajo estudio. No es extraño pues, que las cal-culadoras algebraicas hayan resultado de in-terés para la comunidad de investigadores yeducadores preocupados por entender elproceso de articulación:

currículum tecnologías informáticas,

y también el proceso de producción de losobjetos matemáticos. Es importante señalar aeste respecto, que las investigaciones recien-tes (Balacheff y Kaput, 1996) han mostradoque el mayor impacto de las tecnologías enlos sistemas educativos ha sido de ordenepistemológico y cognitivo, pues han contri-buido a generar una nueva forma de realis-mo a partir de las opciones de manipulaciónabiertas por las representaciones computa-cionales. En esta dirección las investigacio-nes son amplias y numerosas (véase la biblio-grafía de este artículo). Un tema recurrenteha sido el estudio del impacto sobre las prác-ticas escolares. Es un punto de vista que secristaliza en los proyectos de investigaciónaplicada (Moreno, Rojano, Bonilla y Perrus-quía, 1999).

El papel de los instrumentos va más allá queel de servir de prótesis para la acción. La pre-sencia de tales instrumentos puede reorgani-zar todo el funcionamiento cognitivo. Porejemplo, puede contribuir al rediseño de lasestrategias de resolución de problemas y a lareconceptualización mediante la sustituciónde un sistema de representación. No olvide-

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mos que toda acción orientada a un aprendi-zaje, es una acción instrumental — basta re-cordar las profundas transformaciones en lassociedades como consecuencia del paso delas tradiciones orales a las escritas (Donald,1993); la escritura en las sociedades moder-nas no puede disociarse de los instrumentostecnológicos como papel, lápiz (sin que elloimplique su reducción a una forma de tecno-logía).

De cara a las calculadoras algebraicas esta-mos entonces ante dos posibilidades:

i) entenderlas como herramientas de am-plificación

ii) entenderlas como herramientas de reor-ganización cognitiva.

En realidad, como veremos más adelante, es-tas posibilidades constituyen las dos etapasde un mismo proceso: al introducir las calcu-ladoras en la actividad de los estudiantes, setermina produciendo una nueva actividadmatemática que, a su vez, genera una reorga-nización del conocimiento de los estudian-tes. Debemos apresurarnos a decir que elpaso de (i) a (ii) no es automático y es masbien lento y complejo (Moreno, 1999). Poresto, tiene sentido desde una perspectiva cu-rricular, examinar a fondo el papel de la cal-culadora como instrumento de amplificacióndentro de un currículum establecido. Estoocurre dentro de un proyecto de desarrollo.El paso de (i) a (ii) conviene investigarlo den-tro de un proyecto de investigación.

Uno de los objetivos de la investigación eneste terreno es tratar de entender cómo hayque realizar la implementación de la tecnolo-gía. Bien sabemos que la primera etapa puedeimplicar que tengamos que trabajar dentrodel marco de un currículum establecido pre-viamente. Pero las innovaciones exitosas ten-

drán la capacidad de erosionar los currículostradicionales. Aquí es donde la comprensiónque alcancemos sobre el conocimiento pro-ducido con la mediación de las herramientasinformáticas, se torna necesaria.

Estos procesos de amplificación y re-organi-zación pueden ilustrarse de la siguiente ma-nera. La función de amplificación sugierepensar en una lupa. La lupa deja ver, amplifi-cado, aquello que podía ser visto a simplevista. No cambia, por esto mismo, la estruc-tura del objeto de nuestra visión. La funciónde reorganización sugiere pensar en un mi-croscopio. Con el microscopio podemos verlo que no era posible sin él. Accedemos en-tonces a un nuevo estrato de la realidad. Seabre la posibilidad de estudiar algo nuevo yde acceder a un conocimiento nuevo.

Todavía no entramos de lleno en la edad de lacultura virtual. Por ello, aunque son las capaci-dades cognitivas superiores (modelar, inter-pretar, etc.) las que más valoramos en las insti-tuciones escolares, se siguen enfatizando lasdestrezas computacionales sin reconocer queesas destrezas son propias de una tecnologíainvisible (papel y lápiz) y no características deun pensamiento matemático profundo. Deallí que las nuevas tecnologías, que todavía nose han hecho invisibles y que permiten queciertos cálculos se realicen pulsando una tecla(por ejemplo: extraer una raíz cuadrada) desa-fían nuestras concepciones tradicionales so-bre lo que constituye la verdadera capacidadmatemática.

La tradición ha tendido a concebir la inteli-gencia como algo que reside enteramenteen el individuo (Kant es uno de los principa-les forjadores de esta tradición en el mundomoderno). En una nueva etapa tecnológicaque nos ha dado sistemas de representaciónejecutables (que externalizan ciertas funcio-

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nes cognitivas, por ejemplo graficar una fun-ción), esa concepción de inteligencia repre-senta un obstáculo para imaginar nuevasformas de empleo de las nuevas tecnologíasen nuestros sistemas educativos.

Por ejemplo, un estudiante dotado de una cal-culadora graficadora tiene el potencial de de-sarrollar nuevos métodos, nuevas estrategiasde graficación, sacando partido de las capaci-dades de procesamiento de graficación de sucalculadora. Esto se ha puesto en evidenciaen diversas oportunidades durante sesionesde graficación de funciones. Los estudiantesdesarrollan estrategias de graficación incorpo-rando la tabla de valores que suministra la cal-culadora, como parte estructural de la función.

La sinergia que puede entonces ponerse enmarcha, capacitaría al estudiante para traba-jar a un nivel de complejidad matemáticaque puede ser totalmente inalcanzable sin di-cha tecnología. Una asociación inteligentedel estudiante y su calculadora amplía suzona de desarrollo próximo (Wertsch, 1993)pues le permite descargar en el instrumentola realización de cálculos, cuya elaboración,por parte del estudiante, se convierte en unameta en la instrucción tradicional. Imaginan-do al estudiante con su calculadora, como unsistema, y entendiendo que la actividad deeste sistema es una forma legítima de activi-dad matemática, la evaluación debe incluir,entonces, la evaluación de tal sistema.

Los anteriores son ejemplos del impacto queestá teniendo la investigación y el uso de lasnuevas tecnologías en los programas y pro-yectos de transformación de las prácticasmatemáticas en la escuela. Eso, que es unamuestra de que nos encontramos en una erade las aplicaciones, en la que se intenta apro-vechar los frutos de la investigación para ha-cer accesibles a los alumnos de todas las eda-

des las ideas poderosas en matemáticas y enla que se dan replanteamientos de fondo de laeducación matemática en todos los países,también nos plantea la necesidad de recupe-rar el interés por la laboriosa tarea de la inves-tigación básica, a fin de profundizar en la na-turaleza del conocimiento matemático que segenera a través de los nuevos contenidos deenseñanza planteados y de las habilidadesque se desarrollan con el uso de los nuevosmedios y herramientas de aprendizaje.

Reconocimientos

Agradecemos al Conacyt el apoyo otorga-do para el desarrollo del proyecto Incorpo-ración de nuevas tecnologías a la cultura es-colar: la enseñanza de las matemáticas y laciencia en la escuela secundaria (ref. No.G26338), y a la Fundación Spencer, por el fi-nanciamiento al proyecto anglo/mexicanoThe Role of Spreadsheets within the school-based mathematical practices (grant. No.B-1493).

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La epistemología genética: unainterpretación3

Luis E. Moreno ArmellaCINVESTAV – IPN, México

Resumen

En este artículo nos proponemos introducir la episte-mología genética (constructivista) desarrollada por laescuela piagetiana. Esta epistemología constituye unaruptura profunda con las epistemologías tradicionales,tanto empiristas como racionalistas, pues en ella se re-definen conceptos centrales como conocimiento y rea-lidad a partir de un nuevo enfoque sobre lasinteracciones del sujeto cognoscente y su objeto deconocimiento. Los métodos psicogenético e históri-co-crítico están articulados de manera tal que consti-tuyen la base empírica de la epistemologíaconstructivista, otorgándole entonces, un nivel decientificidad del que carecen las demás teorías episte-mológicas. De allí que sea pertinente tomarla comofundamento para construir las bases epistemológicasde la educación científica.

Abstract

We will introduce the genetic Epistemology developedby the Piagetian School, which embodies a radical de-parture from traditional epistemologies (empiricismand rationalism). A novel viewpoint is established regar-ding the interaction between a cognizing subject andits object of knowledge. Historico-critical analysis andpsychogenesis constitute the empirical scaffolding forthis constructivist epistemology, wherewith it obtains a

scientificity status foreign to other theories. It followsthat Genetic Epistemology is appropriate as an episte-mological basis for Science Education.

Introducción

La epistemología genética se propone, comouno de sus objetivos, el análisis de la forma-ción y el desarrollo del conocimiento, en par-ticular, del conocimiento científico. Pero laformación y el desarrollo del conocimientosólo son posibles porque hay interacción en-tre un sujeto cognoscente y un objeto de co-nocimiento.

La historia de las epistemologías, empiristas yaprioristas, muestra que se las puede caracte-rizar mediante el “peso” que otorgan o bienal sujeto o bien al objeto de conocimiento, ala hora de la interacción. Sin entrar en mayo-res detalles, vale la pena detenernos un mo-mento en la consideración de estas episte-mologías. El empirismo supone que el sujetoes esencialmente pasivo en la relación suje-to-objeto y afirma en consecuencia, que elconocimiento tiene su origen en el dato per-

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3 Artículo publicado en la Revista Educación Matemática, Vol. III (3), pp. 5-23, 1996.

ceptual, suministrado por el objeto. El cono-cimiento es un modelo-copia del objeto. Estaposición se hizo célebre desde Aristóteles,para quien nada había en el intelecto que nohubiese estado antes en los sentidos.

El apriorismo, por su parte, supone que todoel peso en la interacción lo lleva el sujeto.Mediante sus estructuras cognitivas consti-tuidas de antemano, el sujeto captura al obje-to para producir el conocimiento.

Pues bien, la historia de las epistemologíastradicionales consiste, en esencia, en una es-pecie de competencia entre estas posicio-nes, empirista y apriorista, que desde luegono se mantuvieron intactas sino que fuerondesarrollándose como respuesta a las críticasy objeciones que les planteaban sus adversa-rios. Nuestro siglo ha presenciado el desen-volvimiento del empirismo lógico, sin duda elproducto más desarrollado del pensamientoempirista. Del lado del apriorismo, quizá laposición más sólida provino del sistema kan-tiano. Habremos de regresar a ella.

En todos estos casos, el sujeto que conoce esun sujeto adulto, en pleno dominio de sus fa-cultades intelectuales. Y el objeto de conoci-miento es (casi siempre) un objeto inmodifi-cable. De modo que la relación sujeto-objetoestá concebida, en estas epistemologías,como una relación de un único nivel.

Piaget y la Epistemología

La obra epistemológica de Piaget (1896-1980) vino a cambiar este estado de cosas.Naturalmente, no es un trabajo de genera-ción espontánea que rompe con el pasadosimplemente porque lo ignore. En la obrapiagetiana volveremos a encontrar la preo-cupación por la estructura de la relación suje-to-objeto. Como ocurre con frecuencia en el

trabajo renovador, no es el problema centralel que cambia sino la forma de indagar sobreél, la forma de concebir preguntas nuevas so-bre ese problema que ha estado ante noso-tros. Para Piaget, el conocimiento no es resul-tado ni de la sola actividad del sujeto, nitampoco de la sola presencia del objeto. Elconocimiento (y en esto ya se aparta de lasepistemologías tradicionales) surge de la in-teracción del sujeto y el objeto, en la cualcada uno influye sobre el otro. Ya no será po-sible concebirlos separados: sujeto-objeto esuna unidad dialéctica indisociable.

Conviene hacer notar que la forma de conce-bir la estructura sujeto-objeto en la epistemo-logía piagetiana, guarda una cierta relacióncon la forma correspondiente en la episte-mología kantiana. Presentemos primero al-gunas ideas centrales de la epistemologíakantiana para después apreciar mejor las di-ferencias.

El sujeto cognoscente kantiano viene dotado(de fábrica) de una estructura intelectual quele permite interpretar sus registros perceptua-les. En la introducción de su Crítica de la Ra-zón Pura (Kant, 1972, p. 27), Kant nos dice:

“No hay duda alguna de que todo nues-tro conocimiento comienza con la ex-periencia. Pues ¿por dónde iba a desper-tarse la facultad de conocer...como nofuera por medio de objetos que hierenlos sentidos...y elaboran así con la materiabruta de las impresiones sensibles, un co-nocimiento de los objetos llamado expe-riencia?... mas si todo nuestro conoci-miento comienza con la experiencia nopor ello se origina todo él en la experien-cia. Bien podría ser que nuestro conoci-miento fuera compuesto de lo querecibimos por medio de impresiones yde lo que nuestra facultad de conocer(...) proporciona por sí misma sin quedistingamos este añadido de aquella

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materia fundamental...” (subrayadonuestro)

Tenemos entonces, de acuerdo a Kant, una fa-cultad de conocer antes de la experiencia sen-sorial, que combinada con la percepción sen-sorial produce una forma de conocimiento enla que no es fácil ya distinguir, por separado, niel aporte del sujeto ni el aporte del objeto.Toda la experiencia sensorial es pasada a tra-vés del tamiz constituido por las estructurascognitivas (inherentes) del sujeto. De modoque nuestro conocimiento del mundo, no esuna representación (en el sentido de un mode-lo-copia) de esa realidad externa en nuestro in-telecto (a pesar de la seducción del término re-presentación sobre el que tendremos quevolver), sino una interpretación, una reconstruc-ción que hacemos tomando nuestros registrosperceptuales como materia prima y sometién-dolos al influjo de esa máquina de interpretar yorganizar constituida por nuestro intelecto.Hasta aquí las semejanzas. Semejanzas, nocoincidencias, como tendremos oportunidadde mostrar a continuación. Vayamos pues a lasdiferencias.

Para Piaget, el conocimiento tampoco esuna copia de la realidad exterior al sujeto.Pero, en la interacción entre el sujeto y el ob-jeto, aquél se acerca al objeto con determi-nadas estructuras intelectuales que le permi-ten asimilarlo y, al mismo tiempo, el objetoejerce su influencia sobre el sujeto obligán-dolo a modificar sus estructuras cognitivas.Por una parte pues, el conocimiento es resul-tado de la interacción y además (aquí hay yauna diferencia de fondo) tanto el sujeto comoel objeto se transforman como resultado de lainteracción. Así que, la próxima vez que el su-jeto se acerque al objeto, ya será otro sujetoepistémico el que participa en la interaccióny será otro objeto de conocimiento el asimi-lado a sus (nuevas) estructuras cognitivas.

Los niveles de interacción van cambiandocomo consecuencia de la actividad cognitivadel sujeto. El conocimiento producido no esni una copia de la realidad externa al sujeto,ni tampoco es un estado: el conocimiento sehalla en un permanente estado de re-elabo-ración. Es decir, las conquistas cognitivas delsujeto se van transformando continuamentedentro de aquella interacción. Piaget lo haexpresado así, (véase Piaget 1995, p. 324):

La actividad intelectual comienza por laconfusión entre la experiencia y la con-ciencia de sí, por la indiferenciación en-tre la asimilación y la acomodación...elconocimiento del mundo exterior co-mienza por una utilización inmediatade las cosas... la inteligencia no comien-za así ni por el conocimiento del yo nipor las cosas en cuanto tales sino por suinteracción y orientándose simultánea-mente hacia los dos polos de esa inte-racción, la inteligencia organiza almundo organizándose a sí misma (sub-rayado nuestro).

Otra diferencia de fondo se halla en el ori-gen de las estructuras cognitivas. ParaKant, ellas son inherentes al sujeto. ParaPiaget, las estructuras cognitivas se cons-truyen. Tal construcción empieza desde lamás tierna edad; es un proceso complejo,cuya explicación ha requerido más de me-dio siglo de investigación psicológica y aúnno termina. Fue necesario elaborar una dis-ciplina, la psicología genética, para dar unarespuesta a este interrogante fundamental.En la próxima sección daremos algunas in-dicaciones a este respecto.

Asimilación y niveles de desarrollo

La naturaleza de los contenidos producidosen la relación sujeto-objeto, depende del gra-

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La epistemología genética: una interpretación

do de desarrollo cognitivo de este sujeto. Laconstrucción de las estructuras cognitivascomienza, de acuerdo a la teoría piagetiana,desde el nacimiento mismo del sujeto. Ha-blamos de sujeto, no del niño, por razonesde énfasis. Nos interesa resaltar las caracte-rísticas del niño, del adolescente, del adultoen tanto sujetos epistémicos.

En el desarrollo cognitivo, la primera etapa esde acción externa pura. La adquisición clavede este periodo es el esquema sensoriomo-tor. Un esquema es aquello que es repetibley generalizable en una acción. Por ejemplo,succionar (el biberón primero, luego se trans-fiere al dedo u otro objeto material), jalar,agarrar, etc. Los esquemas de acción sonalgo así como conceptos prácticos que sirvenpara incorporar objetos a las acciones. Conrespecto a la inteligencia sensoriomotriz, Pia-get nos dice (véase Piaget 1995, p. 7):

El estudio de la inteligencia sensoriomo-triz o práctica durante los dos primerosaños del desarrollo nos ha enseñadocómo el niño que asimila directamenteel medio externo a su propia actividaddesde un principio, construye después,para prolongar esa asimilación un nú-mero creciente de esquemas a la vezmás móviles y aptos para coordinarseentre sí.

Una de las fuentes de confusión y dificultadcuando tratamos con una disciplina altamen-te organizada es que las palabras adquierenun significado más preciso, un matiz distintoal que tienen cuando se las emplea en el len-guaje cotidiano donde la libertad de interpre-tación deja márgenes amplios y al mismotiempo difusos, al campo semántico de laspalabras. Por ello, términos como asimilación,equilibración, conocimiento, objetividad, etc.tendrán que ser gradualmente redefinidos deacuerdo a la epistemología genética. Lo em-

pezaremos a hacer como si se tratara de te-jer una red con los significados de términosconsiderados como centrales dentro de lateoría.

Insistamos un poco más en la noción de es-quema. Podemos describir un esquema comoun núcleo de acción transferible. El esquematiene tres componentes:

i) un mecanismo de reconocimiento de si-tuaciones

ii) una actividad vinculada a esos reconoci-mientos

iii) una expectativa sobre el resultado de laactividad (Glasersfeld, 1991, p. 121).

La asimilación de un objeto a un esquema deacción, consiste en identificarlo como admi-sible para desempeñar cierta función. Talidentificación es un acto de abstracción. Porejemplo, si necesitamos un martillo, pode-mos sustituirlo por un objeto duro, más omenos pesado. Incorporamos así ese objetoal esquema. Eso significa que lo identifica-mos como viable para la acción de martillar.Si la expectativa sobre el resultado no es sa-tisfecha, entonces debemos modificar el es-quema: no se puede incluir cualquier objetoduro y pesado si además, por ejemplo, es frá-gil. Esta modificación del esquema, debido ala presión del objeto que se trata de asimilar,se conoce como acomodación. La pareja in-disociable asimilación-acomodación tieneun lugar central dentro de la teoría, por loque estaremos volviendo sobre ella. Por aho-ra añadiremos que la asimilación es un actode interpretación, de cómo el sujeto incorpo-ra al objeto, mientras que la acomodación esuna respuesta del esquema al objeto. Resultadel mecanismo de equilibración del esquema.

El periodo sensoriomotor es de acción pura.Los esquemas están orientados hacia el exte-

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rior: un esquema de acción es como el equi-valente práctico de un concepto. Mediantela actividad sensoriomotriz el sujeto logra laconstrucción de la permanencia del objeto.Esta adquisición es de suma importancia. Tra-temos de imaginar la concepción que ten-dríamos del espacio si todos los cuerpos fue-ran gaseosos, fugaces... Cuando los objetospercibidos siguen existiendo fuera de nues-tro campo visual, se ha dado entonces ungran paso en la construcción del espacio.

Piaget mismo nos dice (Piaget 1995, p. 11) aeste respecto:

Un mundo sin objetos no podría presen-tar el carácter de homogeneidad espacialy de coherencia en los desplazamientosque define nuestro universo. Por otrolado, la ausencia de “grupos” en los cam-bios de posición... equivaldría a transfor-maciones sin retorno, es decir, acontinuos cambios de estado, a la ausen-cia de objetos permanentes.

En esta cita, grupos se refiere a que para cadadesplazamiento haya la posibilidad de efec-tuar el desplazamiento inverso. Como avan-zar y retroceder por el mismo camino.

Para el sujeto adulto resulta inconcebible eldarse cuenta que hubo un tiempo en que élno había construido la permanencia de losobjetos. No somos conscientes de muchasde estas construcciones. Quizá esto expli-que, al menos parcialmente, por qué en elpasado, las epistemologías siempre supusie-ron un sujeto adulto, activo o pasivo, en la re-lación con el objeto de conocimiento. Nofueron conscientes de que esa relación eracambiante y que dependía del desarrollocognitivo del sujeto. En un plano más fami-liar: el experto no puede esperar que su discí-pulo tenga un conocimiento con el mismogrado de organización que el suyo. Eso exige

un proceso largo y complejo que no se redu-ce a la lectura de textos, pues, entre otrascosas, no es cuestión de acercarse a un cono-cimiento que le está esperando allí afuera,sino de comprometerse en un proceso cons-tructivo. Cuando Kant habla de las estructu-ras a priori del sujeto (es decir, de las estruc-turas instaladas ya de nacimiento), con lascuales organiza al mundo, es como si empe-zara a contarnos una historia que, desde laperspectiva genética, hace rato ya comenzó.

Después de la permanencia del objeto, otraadquisición central del sujeto la constituye lacapacidad de representación. Aquí están in-cluídos el juego y la imitación, por ejemplo.De esta manera, el mundo de la acción que-da enriquecido con la posibilidad de repre-sentar las acciones. A pesar de este progresoque mostrará todo su potencial un poco másadelante, en esta etapa el pensamiento delsujeto sigue anclado a la esfera del compor-tamiento motor. El sujeto confía en su expe-riencia perceptual; el progreso se empieza amanifestar en la posibilidad de representa-ción de situaciones pasadas.

Posteriormente, las acciones interiorizadasse organizan de manera tal que adquierenla reversibilidad. Por ejemplo, ante la pre-gunta de si hay más plastilina en una bola oen la salchicha que se hace con la mismabola, el sujeto contesta que igual porquebasta deshacer la salchicha y convertirla denuevo en la bola original. Este argumentotiene ya en él la necesidad lógica, que ma-nifiesta la aparición del pensamiento lógico.Aunque ya se tiene la capacidad de repre-sentar operaciones (acciones simbolizadasmentalmente que son reversibles, como enel ejemplo anterior) y de razonar lógicamen-te, el pensamiento sigue anclado a lo concre-to: las operaciones sólo se pueden aplicar aobjetos materiales. La capacidad de cons-

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truir seriaciones, clasificaciones (de objetospor su tamaño, por ejemplo), corresponden-cias entre colecciones, son característicasdel periodo.

Más adelante el sujeto arriba al periodo delas operaciones formales. En él, aparece la re-versibilidad en el plano lógico; el pensamien-to abstracto y sobre todo, el pensamiento hi-potético-deductivo. Debe decirse, que latransformación de las estructuras cognitivasdel sujeto no es un proceso de maduración,en el que aquél se sienta a esperar la llegadade las estructuras cognitivas. La construccióncognitiva implica un proceso activo. Eso nosignifica, por otra parte, como ya hemos teni-do oportunidad de señalar, que las construc-ciones sean siempre conscientes.

Un error que no debe cometerse es supo-ner que estas etapas del desarrollo cogniti-vo están claramente separadas. No es así. Esmás adecuado pensar las etapas como refe-rencias generales, como registros de carac-terísticas centrales del desarrollo cognitivo.Cada una de las cuales quedará subsumidaen la etapa siguiente. Es decir, (Piaget-Gar-cía, 1983, p. 9):

...no sólo los estadios sucesivos de laconstrucción de las diferentes formasdel saber son secuenciales —es decir,que cada uno es a la vez resultado de lasposibilidades abiertas por el preceden-te y condición necesaria de la forma-ción del siguiente— sino, además, cadanuevo estadio comienza por una reor-ganización a otro nivel, de las principa-les adquisiciones logradas en losprecedentes.

Asimilación y acomodación

La capacidad de simbolización y la interioriza-ción de las acciones conducen eventualmente

a la formación de operaciones y de esquemasconceptuales. Un objeto se le conoce cuandose le asimila a un esquema. La asimilación esun acto de interpretación mediante el cual unobjeto es reconocido como admisible (recor-demos el ejemplo del esquema martillar).Entonces, al ser asimilado a un esquema, unobjeto queda inserto en una red de relaciones,mediante las cuales adquiere significado. Es de-cir, el objeto es conceptualizado. De esta for-ma, el sujeto va organizando sus experienciasy, mediante la coordinación de esquemas, vaconstruyendo estructuras cognitivas cada vezcon mayor nivel de organización. Considere-mos los ejemplos siguientes: percibir algocomo una montaña, es asimilar ese algo me-diante cierta estructura cognitiva, estructuraconstituida por un sistema de esquemas queinvolucran espacio, sustancia y volumen. Otroejemplo: cuando percibimos algo como unallave, ese reconocimiento del objeto no tieneque ver con el hecho de que sea metálico sinocon su forma, que sugiere su función. Es decir,llave es un concepto operativo. El objeto denuestra cognición no llega directo a nuestrosistema cognitivo. Lo que se produce es una in-terpretación del objeto material (o conceptual,ya veremos ejemplos) en términos de estructu-ras cognitivas anteriores. Si la interpretaciónpermite la acción del sujeto sin mayores con-flictos, diremos que se ha producido una asimi-lación conservadora. Este tipo de asimilacionesfija el esquema en cuestión dentro de la estruc-tura cognitiva. Puede ocurrir, empero, que laasimilación al esquema no genere el resultadoesperado. En ese caso, ocurre una desequili-bración del esquema cognitivo. El esquema (ola estructura cognitiva) responde entonces a laperturbación, acomodándose a su contenido.

Un objeto, tal como lo entendemos en deter-minado momento, es una conceptualiza-ción. La construcción del objeto, que conti-

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núa indefinidamente es, desde la perspectivadel sujeto, parte del proceso de interioriza-ción de su entorno.

Esa interiorización es un proceso de concep-tualización del entorno y en ese sentido, po-demos afirmar que el entorno adquiere así,su dimensión histórica. Queda humanizado.La objetivación del conocimiento dependeentonces del aumento de actividad cognitivapor parte del sujeto, dando como resultadoestructuras más equilibradas.

En sus comienzos, la asimilación es esen-cialmente la utilización del medio exter-no por el sujeto con el fin de alimentarsus esquemas hereditarios o adquiridos.Es evidente que tales esquemas, visión,succión, prensión, tienen necesidad deacomodarse continuamente a las cosas.

A medida que los esquemas se multipli-can...la asimilación deja pues de incor-porar simplemente las cosas a la propiaactividad para establecer una red de re-laciones cada vez más estrecha de coor-dinaciones entre los esquemas quedefinen a ésta y en consecuencia entrelas cosas a las que dichos esquemas seaplican.(Véase Piaget 1995, p. 321).

Un poco más adelante (p.325) añade:

La asimilación y la acomodación consti-tuyen así, desde el plano sensoriomo-tor, un proceso formador análogo alque representan en el plano de la inteli-gencia verbal y reflexiva, las relacionesdel pensamiento individual y la sociali-zación: del mismo modo que la acomo-dación al punto de vista de los otrospermite al pensamiento individual si-tuarse en un conjunto de perspectivasque asegura su objetividad y reduce suegocentrismo, igualmente, la coordina-ción de la asimilación y la acomodaciónsensoriomotrices, conduce al sujeto a

salirse de sí mismo para (...) objetivar suuniverso.

En estas citas se encuentra ya la clave paraexplicar la objetividad desde un enfoqueepistemológico construtivista. Es decir, des-de un enfoque que no toma la objetividadcomo algo que pueda existir al margen delsujeto, al margen del observador.

Epistemología y Psicología

Es frecuente que una epistemología haga re-ferencia a hechos psicológicos. Por ejemplo,el empirismo nos dice que el sujeto es pasivoy se limita a registrar los datos que le suminis-tra la experiencia. Sin embargo, el empirismono ha dado, en ningún momento de su desa-rrollo, pruebas de que el sujeto se comporte,en efecto, como allí se dice. Si no hay una ex-perimentación, como la que ha desarrolladola epistemología genética a través de la psi-cología genética, carecen de fundamento taltipo de afirmaciones. Por su parte, Piaget lo-gró sacar a la epistemología del terreno espe-culativo y convertirla en una investigación endonde las afirmaciones sobre el conocimien-to, sobre el sujeto epistémico, estuvieran fun-damentadas en un trabajo experimental y sis-temático. Es decir, llevó a la epistemología alstatus de ciencia experimental.

La epistemología genética es el estudio de laconstitución del conocimiento válido. Es decir,el estudio de las condiciones mediante las cua-les se produce el conocimiento y además el delos métodos que validan ese conocimiento. Laprimera condición es de carácter fáctico y lasegunda de carácter normativo. La epistemo-logía genética trata de cuestiones que involu-cran cuándo una afirmación puede ser justifi-cada y bajo qué criterios. Los criteriospsicogenéticos han alcanzado tal notoriedad

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que a veces se confunde todo el edificio pia-getiano con la psicología genética.

Hay otro terreno que también es fuente defundamentación empírica para la epistemo-logía: la historia de la ciencia.

Esto es particularmente importante a la horadel estudio epistemológico de las matemáti-cas. En relación a esta disciplina, podemosargumentar que los problemas de orden nor-mativo son más o menos claros. Tienen quever con los procesos deductivos, con la es-tructura de las demostraciones. Las cuestio-nes de orden fáctico se abordan (principal-mente cuando vemos las matemáticas comoun cuerpo de conocimientos constituido)desde la historia. Es pertinente responder lapregunta: ¿cómo se concibe a la historia eneste programa de investigación? de inmedia-to podemos responder que no se concibecomo un relato lineal, en el que cada cosatiene un antecedente claramente diferencia-do. Más bien, la historia será concebida deacuerdo a la ya celebre expresión del histo-riador holandés Dijkterhuis, (véase Piaget-García,1982, p.60) como un laboratorio epis-temológico. ¿Qué significa esta expresión?Quiere decir que la historia, desde el puntode vista epistemológico, debe investigarsebuscando en ella las condiciones que han he-cho posible el conocimiento y los mecanis-mos de su validación. Será necesario enton-ces recuperar la dinámica del desarrollohistórico pues es en la dinámica donde apa-recen los mecanismos de paso de una etapaa la siguiente. Como ya hemos hablado dedos procesos de transición de un nivel de co-nocimiento a otro mejor (en la historia y en lapsicogénesis) resulta natural que parte de laexperimentación en el dominio de la episte-mología genética incluya una comparaciónentre estos estratos de desarrollo.

Podría pensarse que los estudios psicogené-ticos y los estudios históricos son dos formastotalmente diferentes de abordar los proble-mas de construcción de los conocimientos.Sin embargo, la epistemología genética seencarga de argumentar con fuerza que losmecanismos de desarrollo del conocimientoa nivel histórico son los mismos que los co-rrespondientes a nivel psicogenético. Esta esuna tesis que no quisiéramos dejar de seña-lar, aunque requiere de un análisis más cuida-doso que el que podremos hacer en este mo-mento (véase Piaget-García, 1982).

Regresemos al problema de los hechos y lasnormas. Tanto en la historia como en la psi-cogénesis, puede observarse que los hechosy las normas no permanecen desvinculadosunos de las otras. La razón es que el sujeto yel objeto de conocimiento están indisoluble-mente vinculados. Entonces aunque se tratede la validación dentro de un sistema lógico,de una cierta proposición, no podemos olvi-dar que hay un problema de hecho (en estecaso psicogenético) involucrado, como lo esla construcción de la lógica por el sujeto. Deallí que la significación epistémica de esteinstrumento de conocimiento —es decir, suempleo para la construcción de un conoci-miento válido—, no es independiente de sumodo de construcción (véase la Introduc-ción en Piaget-García, 1982).

Aspectos figurativos y operativosdel pensamiento

La representación nos remite a los aspectosoperativos del pensamiento, mientras que lapercepción nos remite a los figurativos. Vea-mos un ejemplo. Tenemos dos recipientes,uno delgado y alto y uno ancho y bajo. Va-mos a trasvasar un líquido del recipiente del-gado al ancho. Si le preguntamos a un niño

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pequeño (alrededor de los 7 años o menos)antes de hacerlo, si la cantidad de líquido per-manecerá igual después de trasvasar el líqui-do, no sabe qué contestar.

Cuando se efectúa el trasvasamiento, en supresencia, y él verifica que el nivel del líquidoen el recipiente ancho es inferior al que teníaen el recipiente delgado, entonces concluyeque la cantidad de líquido ha cambiado: aho-ra hay menos, es su respuesta. Es una res-puesta típica de esta etapa el que los sujetosprivilegien una de las dimensiones (la altura)del vaso a la hora de la interpretación deldato perceptual. Este aspecto figurativo delpensamiento, será sustituido más adelante,cuando el sujeto ya esté en posesión de la re-versibilidad aún cuando sea al nivel de lasoperaciones concretas. Es decir, realizadassobre objetos materiales. Entonces, el sujetopodrá comprender que hay una compensa-ción: el líquido sube menos porque ahora susuperficie es mayor. Inclusive puede demos-trar que la cantidad de líquido no ha variado,para lo cual recurre a la posibilidad de rever-tir la acción del trasvasamiento. Bastaría quese restituyera el líquido al recipiente originalpara constatar que la cantidad es la misma.Esta forma de razonamiento es claramenteoperativa. El razonamiento se ha desligadode la percepción.

Dos formas de conocimiento

Distingamos dos formas de conocimiento:

i) conocimientos construidos mediante laexperiencia física en todas sus formas

ii) conocimientos lógico-matemáticos.

Hay que recalcar que los conocimientosconstruidos mediante la experiencia física noson copias de objetos materiales o de even-

tos externos al sujeto. Siempre son (re)cons-trucciones que el sujeto hace a partir de laasimilación del objeto o del evento, a sus es-quemas conceptuales. Cuando el sujeto per-cibe un objeto, éste adquiere la categoría deobservable una vez que el sujeto lo interpre-ta desde su sistema conceptual. Un actorprofesional puede darse cuenta, mientrasasiste a una puesta en escena, que la actua-ción del protagonista es mala, aunque estono sea claro para los espectadores debido alos trucos del protagonista, que disimula sufalta de calidad histriónica. Es decir, paraellos, la mala actuación no es un observable,aunque estén presenciando la puesta en es-cena. Una persona sin la preparación profe-sional necesaria, no distingue entre el virusdel sida y la bacteria del cólera. Estos ejem-plos y los diversos que el lector es capaz deimaginar, señalan algo importante: toda ob-servación que hacemos pasa por el filtro deuna interpretación. Como ha dicho Hanson(Hanson, N.R, 1977, p.13):

toda observación está cargada de teoría

Los observables pues, son observaciones in-terpretadas. Por ello, en ausencia de un mar-co asimilador (piénsese en la situación delobservador y el microscopio), el sujeto noatribuye una significación al dato perceptualque permanece entonces al nivel de registrosensorial sin mayores consecuencias cogniti-vas. Son pues los observables que se produ-cen mediante la experiencia física del sujeto,lo primero que resulta de interés para la ela-boración del conocimiento físico. Una vezque estos observables son susceptibles de in-corporación a una teoría, entonces se trans-forman en hechos de esa teoría.

Un dato físico aislado, sin interpretación, esun buen ejemplo de situación caótica. Sólo

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la actividad cognitiva del sujeto lo torna inte-ligible, al transformarlo en un observable. Poraquí empieza la construcción de la realidad,entendida como resultado de la actividadcognitiva del sujeto, que progresivamentecoordina sus puntos de vista, vinculadossiempre, eso sí, al mundo de sus experien-cias. A este respecto:

...En términos de inteligencia reflexiva,la deducción se organiza y aplica a unaexperiencia concebida como exterior.De ahí que el universo se constituya enun conjunto de objetos permanentesvinculados por relaciones causales...si-tuados en un espacio y tiempo...la pers-pectiva del sujeto sobre el universo setransforma radicalmente: del egocen-trismo integral a la objetividad, tal es laley de su evolución. (Piaget, 1995, pp.327)

Cuando hablamos de actividad lógico-mate-mática, no nos estamos refiriendo exclusiva-mente a la actividad dentro de las disciplinasaltamente organizadas como el álgebra o lalógica proposicional. Nos estamos refirien-do, de manera amplia, al razonamiento delsujeto cuando, por ejemplo, dice que la can-tidad de líquido permanece igual —a pesarde las apariencias contrarias— al trasvasarlode un recipiente de determinada forma aotro de una forma totalmente distinta. Loque el sujeto pone en juego en tal situaciónes una estructura lógica, al margen del gradode formalización que podamos atribuirle.Análogamente, cuando el sujeto de ciertaedad (cognitiva) dice que no hay el númeromás grande porque dado ese número él po-dría construir otro más grande sumándole ununo, está razonando matemáticamente. Lasestructuras lógico-matemáticas son puesaquellas que el sujeto posee como resultadode la interiorización de sus acciones y de lacoordinación de las mismas.

Se pasa de la lógica de la acción (dar un ro-deo para evitar un obstáculo, a la edad detres años, por ejemplo, es poner en marchala lógica de la acción) a la lógica de las ope-raciones pues, las operaciones son, al finalde cuentas, resultado de la interiorizaciónde las acciones. De allí que resulte delicadodesvincular los problemas de hecho, de losde validación formal. Sin embargo el nivelde las operaciones es solidario del nivel delas acciones, en el sentido que el de las ac-ciones queda subsumido en el de las opera-ciones. Aquí aparece una de las característi-cas básicas de los procesos de estructura-ción: cada nivel queda subsumido en elsiguiente donde se produce una re-semanti-zación del nivel anterior. Nos quedaremosaquí, a las orillas de un tema fascinante: lasrelaciones entre los niveles biológico y cog-nitivo. En cuanto al acuerdo entre las es-tructuras lógico-matemáticas y la experien-cia, aparte de la actividad estructurante delsujeto que (re)define el mundo a partir desus experiencias, habrá que tomar en cuen-ta que su pensamiento depende en ciertogrado de los recursos del organismo —porejemplo, de la estructura de sus sentidosque le suministran cierta “materia prima” yno otra. Un pregunta que se impone (véasela siguiente sección) es:

¿Qué significa la objetividad cuando he-mos redefinido al objeto?

En la medida en que el sujeto actúe sobre undeterminado objeto, aumentará el grado deobjetividad de sus conocimientos sobre di-cho objeto pues ese grado no puede medirsesino de acuerdo a la forma endógena de co-nocimiento producido. La objetividad es ladel conocimiento endógeno. Pensemos quees la actividad del sujeto la que organiza, es-tructura el conocimiento.

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El universo lógico-matemático no sustituye aluniverso físico, sino que éste queda sumergi-do en aquél, y así puede ser mejor explicado.

Sobre el realismo y la realidad

Las epistemologías clásicas fundadas sobreel apriorismo o sobre el empirismo, son rea-listas. Es decir, suponen la existencia de unarealidad exterior al sujeto cognoscente que,de alguna manera, atesora el conocimiento alque el sujeto puede acceder a través de su in-teracción con ella. La epistemología genéticanunca ha negado la existencia de un mundoexterior al sujeto epistémico; sólo que conci-be al conocimiento como resultado de losprocesos fundamentales de asimilación yacomodación. El resultado es, en cada caso,una estructura cognitiva. El mundo al que seenfrenta el sujeto es el mundo de sus expe-riencias. De allí que no se pueda decir que elincremento de organización interna de lasestructuras cognitivas acerque al sujeto a laverdadera estructura del mundo exteriorsino que lo dota de un conocimiento cadavez mas viable (es decir, más adecuado) queresulta de organizar el mundo de sus expe-riencias. Cuando un sujeto está involucradoen una actividad cognitiva, puede o no teneréxito en sus objetivos. Es entonces allí, en elterreno de la reflexión sobre sus acciones, endonde tiene sentido hablar de verdadero ofalso. Nunca a partir de una supuesta corres-pondencia del conocimiento con el mundoexterior al sujeto epistémico. Así surge la no-ción de realidad y objetividad: son nocionesque se van generando mediante la actividaddel sujeto epistémico. En efecto (Ferreiro, E.y García, R. 1978, p.17):

La objetividad no está garantizada en elpunto de partida, no coincide con elregistro perceptivo directo puesto que

no hay registro pasivo de los hechos, ymal podría coincidir con un aparta-miento del sujeto. En la concepciónepistemológica sustentada por Piaget,un incremento de objetividad será de-pendiente de un incremento de activi-dad por parte del sujeto...en ningúnnivel del conocimiento empírico hayuna frontera delimitable entre las pro-piedades del objeto asimilado y las es-tructuras del sujeto asimilador. Paraconocer, el sujeto debe poseer ciertasestructuras asimiladoras que funcionancomo órganos del conocimiento...pero esas estructuras asimiladoras nopreexisten a la acción sino que se cons-tituyen en virtud de los requerimientosde la acción.

En el lenguaje cotidiano se presenta unafuerte tendencia a la sustantivación. Porejemplo, si una bailarina se mueve caden-ciosamente, decimos que sus movimientosson cadenciosos. Es decir posee movimien-tos acompasados. Si a una persona le duelela cabeza, diremos que tiene un dolor decabeza. En lugar de mover usamos movi-mientos; en lugar de doler usamos dolor.Esta tendencia a sustantivar, a crear cosas,seguramente es causa del realismo de lasepistemologías clásicas. Quizá de aquípueda surgir una estrategia para entenderla epistemología genética. Se trataría de re-cuperar los verbos: en lugar de conoci-miento objetivo, mejor hablemos de objeti-var; en lugar de conocimiento, mejorhablemos de conocer; en lugar de realidad,mejor hablar de realizar; en lugar de ver-dad, mejor hablemos de verificar, etc. to-dos estos verbos son acciones (cognitivas)que realiza el sujeto cognoscente. Por esodecíamos que un incremento de actividaddel sujeto comporta un incremento de ob-jetividad: en este caso, la actividad del suje-to se confunde con objetivar.

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Nota sobre la equilibración de lasestructuras cognitivas

El desarrollo cognitivo consiste en una organi-zación progresiva de las estructuras cognitivas.Un mayor grado de organización de una es-tructura cognitiva implica un mayor equilibriode la misma. El equilibrio se refiere al estado enel cual las estructuras cognitivas de un sujetohan dado y continúan dando los resultados es-perados, sin que salgan a la superficie ningúntipo de conflictos conceptuales. Por ejemplo,ante una perturbación causada por un objetoo un evento que trata de ser asimilado por unesquema, éste se acomoda generando unamejor discriminación de los objetos o eventosadmisibles para el esquema o bien modifican-do drásticamente el esquema hasta el puntode producir un nuevo esquema. Diremos quela conquista de este nuevo nivel de equilibrioes un cambio cognitivo que identificamos conel aprendizaje. A nivel sensoriomotor (todos te-nemos un nivel de funcionamiento sensorio-motor!) los esquemas de acción son crucialespara alcanzar nuestras metas dentro del mun-do de nuestras experiencias. A nivel reflexivo,los esquemas operatorios son centrales para ellogro de una red conceptual coherente. Los es-quemas tanto de acción como operatorios,que resultan viables (es decir que producen re-sultados adecuados de acuerdo a los propósi-tos del sujeto) se retienen a título de orientado-res de la acción. Refraseando una de las citasya presentadas, el sujeto se adapta al mundode sus experiencias mediante la adaptación desus esquemas cognitivos.

En el estudio del desarrollo cognitivo, es decir,en el incremento de organización interna, lanoción de esquema es central. Si decidiéra-mos adoptar una metáfora computacional, di-ríamos que un esquema es como una sub-ruti-na o como un programa.

Sobre la abstracción

La abstracción se entiende comúnmentecomo un acto de extracción (o de separación)de una característica de un objeto. Por ejem-plo, podemos abstraer de los cuerpos la no-ción de peso. La idea de color, de hecho, es re-sultado de una abstracción. La idea de formade los cuerpos también es una abstracción.Así, la circunferencia, el triángulo, el cuadrado,son resultado de abstracciones. A esta formade abstracción, en donde la noción abstraídase extrae directamente de los objetos (quesiempre son objetos conceptuales), Piaget ladenomina abstracción empírica.

El proceso mental de abstracción puede serconsciente o inconsciente. De hecho la ma-yoría de las veces es inconsciente. Por ejem-plo, al ver un mango, de inmediato lo reco-nocemos. No importa si es de manila, ataúlfoo de cualquier otro tipo, sabemos que es unmango. ¿Qué es lo que reconocemos, másallá de las diferencias obvias en forma, colory tamaño? cuando se hace esta pregunta auna persona, normalmente se queda perple-ja, pues sabe que lo que ve es un mango,pero no sabe por qué lo reconoce (y sin em-bargo, le parece obvio que lo que ve es unmango). No es consciente del proceso deabstracción necesario para haber llegado a lanoción de mango. Desde luego, esto mismose puede decir de casi cualquier otra catego-ría; algunas incluso, las hemos formado aedad muy temprana.

Sobre la re–presentación

Hemos insistido en las páginas anteriores, queel conocimiento no es una representación delobjeto (de conocimiento). Es decir, no es unacopia de un supuesto modelo, como la que

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haría un pintor cuando tiene delante de sí unpaisaje que trata de llevar al lienzo. Entonces,la representación, como copia, no tiene cabi-da en la epistemología genética. Veamos aho-ra el término re–presentación. Cuando vamosal teatro, por ejemplo, vemos una re–presen-tación de una obra. Lo que hace una actriz oun actor es re–presentar un papel. Es funda-mental entender que en una re–presentaciónhay un elemento de construcción del sujeto.Tal construcción está presente tanto en elagente de la re–presentación (la actriz, el ac-tor) como en aquello que es re–presentado(que es algo construido por otro sujeto). Enepistemología genética al término representa-ción siempre debe dársele el significado dere-presentación.

La capacidad de representación tiene su fun-damento en la existencia de la función se-miótica o simbólica. En determinado mo-mento del desarrollo cognitivo, el sujetopuede re–presentar sus acciones hechas so-bre objetos materiales, mediante esquemasmentales. Estos esquemas mentales actúan omejor, operan, sobre las representacionesmentales de los objetos materiales. Es decir,tanto los objetos como las acciones sobreellos son susceptibles de ser representadosmentalmente. Como sabemos, esto es funda-mental para la construcción de los esquemasy estructuras cognitivos. Pero la capacidadsemiótica del sujeto le permite otras formasde representación. Por ejemplo, cuando re-cuerdo un rostro, lo estoy representando (re-cuerde: en el sentido de re–presentar). Escomo si recordar fuera equivalente a ejecu-tar un programa que tenemos almacenado.Pero también puedo dibujarlo. El dibujo esotra forma de representación. Es un registrográfico.

Este es un tema muy importante; en particu-lar en matemáticas. Puedo representar una

circunferencia mediante un registro gráfico,un dibujo sobre el pizarrón, sobre una hoja.Puedo también representarlo mediante unaecuación (de la geometría analítica). Esta esuna forma de representación simbólica.

Abstracción reflexiva

En contraste con la abstracción empírica, laabstracción reflexiva, es el mecanismo quenos sirve para formar abstracciones a partir,no de los objetos, sino de las acciones querealizamos sobre tales objetos. Por ejemplo,si tenemos una colección de veinte objetos,sabemos que no importa la disposición geo-métrica que demos a esa colección, sobreuna mesa, siempre habrá veinte objetos. Esesaber (i.e.: que no varía el número de obje-tos) es distinto a saber que un determinadoobjeto tiene forma rectangular. Es un saberextraído de la coordinación de nuestras ac-ciones sobre esos veinte objetos. No es unconocimiento sobre los objetos mismos. Deallí el nombre reflexiva que se da a esta formade abstracción pues resulta de reflexionar so-bre nuestras acciones. Atención: el términoreflexiva de esta forma de abstracción, tieneuna connotación adicional. En nuestro ejem-plo, se trata de que primero reflejamos (pro-yectamos) nuestra acción (contar) sobre elplano de las operaciones. Es allí, en el planode la representación de las acciones, dondedescubrimos que el número de objetos es in-dependiente de la ubicación sobre la mesa.En promedio, un niño de ocho años ya sabeesto. Cuando le preguntamos a un adoles-cente si el número de objetos cambia al mo-dificar su disposición geométrica, hasta sesorprende de que le hagamos la pregunta.Para él ya resulta obvio, necesario, que seaasí. No es consciente de que ha realizado,tiempo atrás, una abstracción reflexiva.

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Es necesario detenernos un poco en el térmi-no reflexión. Por una parte se refiere a unacto mental. Como meditar, considerar. Porotra, se refiere a la reflexión, por ejemplo dela luz, sobre una superficie. Ambas acepcio-nes entran en la definición de abstracción re-flexiva. Cuando decimos que una acción serefleja sobre el plano de las operaciones(como en el ejemplo sobre la invariancia delnúmero de objetos), también podríamos de-cir, que la acción se proyecta sobre el planode las operaciones.

Los individuos construyen conceptos y conellos estructuras conceptuales; luego re-es-tructuran éstas para formar esquemas máspotentes. Tal es el proceso de organizacióncreciente del sistema cognitivo. En él, la abs-tracción reflexiva juega un papel central.

Observaciones sobre la educaciónmatemática

Las ideas que se van a presentar se han idoelaborando a partir del trabajo con profeso-res y estudiantes de niveles superiores, y delestudio de artículos que tienen propósitos si-milares al nuestro. La epistemología genéticatiene como uno de sus pilares una teoríaconstructivista del conocimiento. De lo argu-mentado en la primera parte de este trabajo,podemos extraer las siguientes afirmaciones:

a) el sujeto construye su conocimiento

b) conocer es una función adaptativa.

La adaptación se refiere tanto a las accionessensoriomotoras como a las operacionesconceptuales que han probado ser viables(adecuadas, que producen los resultados de-seados) dentro del mundo de experienciasdel sujeto cognoscente. Las construccionesconceptuales se llevan a cabo para ampliar el

mapa de los caminos viables en el mundo delas experiencias del sujeto. Nunca para obte-ner un conocimiento-copia del mundo ónti-co. La obra de la escuela piagetiana puedeentenderse como un pronunciado esfuerzopara diseñar un modelo de construcción deconocimiento viable. (Glasersfeld, 1991).

Frente al desequilibrio, producido por una si-tuación nueva que el sujeto no puede asimi-lar a sus estructuras cognitivas, él se ve forza-do a modificar tales estructuras, paraacomodar el nuevo contenido. El doble pro-ceso de asimilación-acomodación de las es-tructuras cognitivas, está en el centro de laexplicación de cómo el sujeto construye sumundo. La exploración del mundo que lo ro-dea es una fuente permanente de desequili-bración de las estructuras cognitivas del suje-to. El constructivismo no estudia la realidadsino la construcción de la realidad. Desde lue-go, el sujeto cognoscente no es un RobinsonCrusoe, aislado, organizándolo y clasificán-dolo todo. No, el sujeto cognoscente es unser social y la fuente primordial de sus dese-quilibrios cognitivos (sobre todo, después dela infancia) es justamente su entorno social,cuando los medios y las estrategias del sujetose tornan insuficientes al compararlos conlos de los demás. De allí que la abstracciónreflexiva puesta en marcha a partir de sus ac-ciones, debe complementarse con la inter-pretación de la actividad de los demás. En sulibro Psicogénesis e Historia de la Ciencia,(p.228) Piaget y García (1983) lo expresande modo por demás elocuente:

...la acción, excepto al comienzo mismodel período sensorio-motriz, no tiene lu-gar solamente en función de impulsosinternos...bien pronto en la experienciadel niño, las situaciones con las cualesse enfrenta son generadas por su entor-no social...no se asimilan objetos “pu-

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ros”. Se asimilan situaciones en lascuales los objetos desempeñan ciertospapeles y no otros. Cuando el sistemade comunicación del niño con su entor-no social se hace más complejo y másrico, y particularmente cuando el len-guaje se convierte en el medio domi-nante, lo que podríamos llamar laexperiencia directa de los objetos co-mienza a quedar subordinada, al siste-ma de significaciones que le otorga elmedio social. El problema que aquí sur-ge para la epistemología genética es ex-plicar cómo queda la asimilación, endichos casos, condicionada por el siste-ma social de significaciones, y en quémedida la interpretación de cada expe-riencia depende de ellas.

Desconstrucción y Reconstrucción

La institución escolar recoge como objetos deenseñanza, las transposiciones de objetos con-ceptuales creados en el dominio de la investi-gación matemática (Kang-Kilpatrick, 1992). Losobjetos transpuestos ya no tienen la misma es-tructura ni la misma significación que los ob-jetos originales: han sido sometidos a unareorganización para que puedan ser coloca-dos dentro del discurso escolar. Esto nos en-frenta a lo que parecen dos formas diferentesde conocimiento: el que se construye dentrode la práctica de la investigación en el inte-rior de la matemática, y el que se transformaen conocimiento enseñable como resultadode una transposición. Parece entonces, queel proceso de (re)-construcción del conoci-miento por parte del estudiante, es decir, suproceso de aprendizaje, tiene como uno desus propósitos des-construir el conocimientotranspuesto (el enseñable) para re-construirun significado más profundo del conocimien-to que se pierde a causa de la transposición.Esta situación es de importancia decisiva

puesto que el profesor debe analizar lasconstrucciones que hacen sus estudiantes dela realidad matemática a partir de sus expe-riencias. La lectura de un texto matemático tí-pico puede servir para ilustrar esta situación:por ejemplo, al leer la definición formal delconcepto de función, los textos de cierto ni-vel (libros de cálculo, por ejemplo) suelen en-frentarnos a algo análogo a esto:

una función es una colección de paresordenados de suerte que si dos parestienen el mismo primer elemento, en-tonces tienen también el mismo segun-do elemento.

¿Qué puede hacer un estudiante con esta de-finición? algo que siempre debe hacerse alleer un texto de enseñanza escrito en un len-guaje más o menos formal: buscar ejemplos,tratar de asociarla a una tabla de valores, auna gráfica y a otras formas de representa-ción, que son las que se usan cuando se tra-baja con este concepto; relacionarla conotras ideas. El fin es construirle un significado.En otros términos, uno busca hacer suyo loque fue presentado formalmente, mediantela reelaboración de un contexto en donde eltema bajo estudio sea familiar. La realidadconstruida por el estudiante debe ser viable,es decir, suficientemente adecuada para per-mitirle actuar de manera efectiva. La acción,desde luego, se refiere a acción en el mundode sus experiencias conceptuales. Es impor-tante aquí volver a llamar la atención sobre elhecho que todo este proceso de construc-ción de una realidad matemática, no se reali-za aisladamente sino que el estudiante des-pliega una actividad interactiva que consisteen coordinar sus puntos de vista con los delos demás estudiantes y profesores. La entra-da a un dominio consensual, le da a su cono-cimiento una mayor y mejor objetividad. Rei-teremos: la interacción social es una de las

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principales fuentes de desequilibrio cogniti-vo y por ende, de aprendizaje. Pues el apren-dizaje aparecerá allí donde haya re-equilibra-ción de las estructuras cognitivas.

Hay razones profundas que conducen a laformalización de las estructuras conceptua-les de la matemática, pero no podemos olvi-dar la transposición que está involucrada. Laeducación, al reconocer estos dos niveles deconocimiento con los que tiene que tratar,estará en condiciones de enunciar que laconstrucción del significado es parte esencialdel aprendizaje de la matemática. Aquí es im-portante evitar la tentación dualista de pen-sar que todo lo produce el sujeto o que todolo produce el medio: el resultado lo es de lainteracción dialéctica entre las estructurasdel sujeto y su medio, que aquél tratará siem-pre de organizar, de estructurar (medianteuno de sus instrumentos básicos: la abstrac-ción reflexiva) para poderlo comprender: labúsqueda de razones funciona como motorde la cognición.

Historia y Cognición

El análisis histórico—crítico de las ideas mate-máticas nos permite identificar en el procesode elaboración de las ideas, ciertas formas deconcebir que, eventualmente, se convierten enobstáculos para el desarrollo de tales ideas.Como la epistemología trata de las circunstan-cias que hacen posible el conocimiento, a ta-les obstáculos se les llama obstáculos episte-mológicos. Un obstáculo epistemológico espues una forma de conocimiento que se tor-na inadecuada (ie: ya no es viable) para unacierta tarea cognitiva. Los obstáculos no de-saparecen cuando trasladamos las ideas ma-temáticas al discurso escolarizado. Allí, to-man otras formas, por ejemplo, aparecencomo errores que el estudiante comete reite-

radamente. Aquellos errores que aparecencuando el estudiante no puede resolver unproblema, cuando no entiende un enuncia-do (siempre este no poder, no entender, esdesde la perspectiva del profesor) son mani-festación de que una determinada estructuracognitiva no puede ya asimilar una nueva si-tuación que se le presenta. Es necesario en-tonces que el profesor cuente con un mode-lo de cómo funciona cognitivamente elestudiante, para que encuentre, en conse-cuencia, las situaciones propicias a las que, através de su mediación, se enfrente el estu-diante en busca de una asimilación y acomo-dación posibles. Una vez más: estas situacio-nes incluyen la coordinación de puntos devista con sus pares, con el profesor, sobreuna temática que se define como pertinente,a partir de normas sociales: las de la institu-ción escolar.

Consideremos ahora un ejemplo, tomadode un trabajo que se propone explorar lasideas que los estudiantes tienen sobre lími-tes. A estudiantes (que ya habían tomadoun curso de cálculo) se les pidió que con-testasen esta pregunta:

¿Es 0.9999... igual a o menor que 1?

Con notable frecuencia, se obtuvieron res-puestas de los siguientes tipos:

igual a uno porque la diferencia es infi-nitamente pequeña;

igual, porque en el infinito, están tancerca que pueden considerarse comoiguales;

menor que uno, aunque la diferenciaentre ellos es infinitamente pequeña;

menor que uno, pero es lo más cercanoque puede estarse de uno, sin que seauno.

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Podemos concluir que en las respuestas delos estudiantes subyacen elementos infinitesi-males, que son activados por la pregunta. To-mando en cuenta las tesis de la epistemolo-gía piagetiana en cuanto a la pertinencia delas comparaciones entre los desarrollos con-ceptuales del individuo y los desarrollos con-ceptuales histórico-colectivos, traigamos aescena el texto de 1696 sobre el cálculo dife-rencial, del Marqués de L’Hôpital. El texto tie-ne, como uno de sus principios organizado-res el siguiente:

Una cantidad que crece o decrece poruna cantidad infinitamente pequeñapuede seguir siendo considerada comoigual. Es decir, si a una cantidad (finita)le añadimos o le restamos una cantidadinfinitesimal, la nueva cantidad puedeser sustituida por la cantidad original.

Estamos obligados a modificar nuestra pri-mera evaluación de las respuestas incorrec-tas de los estudiantes. En efecto, ellas reflejanla forma como operamos con una determi-nada noción de infinitamente pequeño y deinfinitamente grande, en un contexto que po-demos llamar práctico: desde tal perspectiva,no hay diferencia entre estos números.Como esta forma de concebir las cantidadesinfinitesimales funciona, entonces la adopta-mos como la forma correcta. Cuando pasa-mos a otros contextos, incluso prácticos, yano nos ofrece respuestas adecuadas. Apare-cen disfuncionamientos en la estructura con-ceptual que hemos elaborado con aquella in-terpretación, la cual aparece ahora como unobstáculo para asimilar una nueva situación.Resulta plausible afirmar que los obstáculosen el proceso de aprendizaje son consustan-ciales a dicho proceso, ya que el aprendizajees siempre contextual. Creemos que estopuede verse en la historia y también en el de-sarrollo individual.

La epistemología genética puede ofreceruna interpretación a estas cuestiones de losobstáculos a partir de la teoría de la equilibra-ción de las estructuras cognitivas. Nos con-duce además a reflexionar sobre un proble-ma de mucha importancia: que las reglas devalidación de una disciplina dependen delproceso de su formación histórica.

Lo anterior cobra mayor relevancia cuandolo ubicamos en el marco de las transposicio-nes, pues es allí donde es factible analizar lainteracción de las formas consideradas obs-táculos. El problema de la validación tieneimportancia no sólo como problema episte-mológico sino, además, como problema di-dáctico, pues no es posible seguir sostenien-do que la evaluación del alumno se hagacontra el discurso del profesor, sino que hade tener en cuenta las estructuras concep-tuales que el estudiante vaya desarrollando.

Dominios de inteligibilidad locales

La historia de la matemática nos enseña quedurante la evolución de una disciplina, se vanformando núcleos conceptuales alrededorde los cuales se adelanta la actividad mate-mática. A tales núcleos les llamaremos domi-nios de inteligibilidad locales (agradezco alProfesor Gil Henriques esta denominación yuna discusión esclarecedora sobre el conte-nido de esta sección). Veamos un ejemplotomado del cálculo diferencial. Durante el si-glo XVII, los problemas de máximos y míni-mos se identificaron con problemas de traza-do de tangentes en puntos especiales de unacurva que venía dada mediante una expre-sión analítica. Este tipo de representaciónanalítica permitió el ensanchamiento del uni-verso de curvas a las que podía trazarse unatangente. Así, surge una organización localcuyos componentes son:

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1. una curva representada mediante unaecuación

2. un campo operatorio que consiste esen-cialmente en derivar la ecuación y hacerigual a cero esta derivada.

La lectura de un texto de historia del Cálcu-lo, por ejemplo, Edwards (1979) muestraque este es el tipo de herramienta matemá-tica que utilizaba P. de Fermat. Este domi-nio local de inteligibilidad está anclado alcontexto que proporciona la geometríaanalítica; generaliza el problema del traza-do de tangentes mediante una nueva repre-sentación del objeto geométrico que va aser manipulado: la curva. La exploración dela derivada en este dominio local, no re-quiere, en principio, que se tenga una defi-nición formal del concepto que se está ex-plorando. Mas bien, es a partir del dominiolocal como se va gestando el concepto. Enel caso que estamos considerando, cuandose trata de trazar tangentes a curvas conve-xas el campo operatorio es suficiente; perosurge un problema cuando se trata de tra-zar una tangente en un punto de inflexión.Allí, el campo operatorio indica que la tan-gente es una recta que atraviesa a la curva;pero la concepción de recta tangente —porgeneralización de tangente a curvas conve-xas— se opone a aceptarla como tal.

Esta tensión entre el campo operatorio y laconcepción de tangente se ve reforzadapor la eventual independencia que el cam-po operatorio adquiere de la concepciónde tangente que le acompaña en un princi-pio. Entonces estamos obligados a modifi-car la concepción para que acomode situa-ciones nuevas. De esta manera la concep-ción original va adquiriendo un más alto ni-vel de organización, se va haciendo másabstracta, se va independizando del con-

texto del que surge y aparece un mayorgrado de compatibilidad con el campooperatorio. Eventualmente, surge de estaactividad, lo que denominamos el conceptode derivada.

Es importante observar, que si bien las con-cepciones son estructuras cognitivas, el con-cepto producido desde ellas es un objeto for-mal, que pertenece mas bien al lenguajematemático. Es una organización lógica, quecaptura mediante un proceso de interioriza-ción las acciones que se realizan sobre lasconcepciones.

Cuando se parte del concepto formal, el es-tudiante, como ya lo hemos dicho, se en-frenta a la tarea de desconstruir la estructuralógica, para recuperar los significados con-textuales y situaciones que dieron lugar a laconstrucción del concepto y a su intenciona-lidad. En esta tarea pone en juego su capaci-dad de análisis y de asimilación. Sería ilusopensar que los estudiantes, hablando en ge-neral, puedan realizar todas estas actividadespor sí solos. Los procesos de aprendizaje yde enseñanza son distintos pero de ningunamanera podemos pretender que estén des-vinculados. Es importante y necesaria la in-tervención del profesor. Un comentario finalsobre estas cosas: las ideas que los estudian-tes pusieron en juego para contestar sobre lacomparación entre 0.99999... y 1 formanparte de sus concepciones sobre lo infinitesi-mal. Sus respuestas fueron dadas desde unaestructura cognitiva de allí que no deberíanser evaluadas con criterios que sólo se ade-cúan a la estructura lógica, es decir, al con-cepto.

En esta discusión sobre dominios de inteligi-bilidad locales, concepciones y conceptos,hemos cruzado un puente que va de la histo-ria a la enseñanza. La vinculación entre ellas

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es muy fuerte; ello queda reflejado en losmecanismos que permiten pasar de las con-cepciones a los conceptos tanto a nivel his-tórico como individual. De ninguna maneradeberá esto interpretarse como una asevera-ción sobre la equivalencia entre el desarrollodel conocimiento del individuo y el desarro-llo histórico del conocimiento en una comu-nidad. Lo que se dice, es que los mecanismospara pasar de un nivel de estructuración al si-guiente, son análogos.

Por ejemplo, tanto a nivel individual comocolectivo, los mecanismos de generalizacióny abstracción están presentes para pasar delas concepciones al concepto. La epistemo-logía genética sostiene que esto es así en to-dos los casos. Para un análisis detenido sobreestas cuestiones véase el texto “Psicogénesise Historia de la Ciencia” (Piaget y García,1983).

Afirmamos que, para la didáctica de la mate-mática, la historia sirve como un fundamentosobre el que podemos basar nuestros juiciosacerca de la naturaleza de nuestro conoci-miento.

Para terminar, una conclusión cuya pertinen-cia creemos haber construido a lo largo delescrito: no es posible aspirar a una epistemo-logía con un alto grado de cientificidad, almargen de la lógica y de la psicología.

Referencias

Edwards, C. H. (1979) The Historical Develop-ment of the Calculus, Springer-Verlag, NewYork.

Ferreiro, E, & García, R. (1978) Presentación a laedición castellana de Piaget, J: Introducción ala Epistemología Genética, Tomo I, Paidós,2a. edición, Buenos Aires.

Glasersfeld, V. E. (1991). Cognition, Constructionof Knowledge, and Teaching, History, Philo-sophy and Science Teaching, Mathews, M.(ed.), Ontario Institute Studies in Education,Canada.

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Kant, M. (1972). Crítica de la Razón Pura, Edito-rial Porrúa, México.

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Piaget, J. (1995). La Construcción de lo real en elniño, editorial Grijalbo, México (originalfrancés publicado en 1937).

221


Weierstrass: cien años después4

Luis Moreno ArmellaCINVESTAV-IPN, México

Introducción

Cuando volvemos los ojos a la historia, es fácilconcluir que el siglo XIX fue el siglo del rigor enel cálculo. Y desde esta perspectiva, las figurasde Cauchy (durante la primera mitad del siglo)y Weierstrass (segunda mitad) tienen ganadoun lugar especial. Cauchy organizó todo elmaterial producido por sus antecesores (entrequienes destaca la inmensa figura de Euler) eintrodujo de manera general, una forma rigu-rosa y clara de recuperar muchos de los resul-tados (ahora teoremas) del cálculo. Por ejem-plo, dio una definición clara de sucesiónconvergente, de función continua, de integralde una función continua, etc. (para mayoresdetalles véase Edwards, pp. 301-334). Quizápueda compararse - teniendo cuidado que es-tamos hablando de épocas y concepcionesmatemáticas distintas - la figura de Cauchy a lafigura de Euclides, este último como sistemati-zador del conocimiento geométrico y quienintrodujo la demostración como el instru-mento de validación por excelencia dentro delas matemáticas.

Después de Euclides, la geometría no volvióa ser la misma. Después de Cauchy, el cálcu-

lo tampoco. Gradualmente, toda esa intensainvestigación sobre los procesos de deriva-ción e integración fue abriendo paso a las in-vestigaciones, no sobre una familia particularde funciones (por ejemplo, las series de po-tencias), sino sobre el concepto general defunción. De allí que se diera nacimiento a re-sultados como el teorema del valor interme-dio (Cauchy-Bolzano) para funciones conti-nuas definidas en un intervalo. No puededejar de mencionarse, en relación a este teo-rema, la contribución de Bolzano quien com-prendió la dependencia del mismo, de unaconstrucción rigurosa de los números reales(véase Bottazzini, pp.96-101). Sin embargo,por un accidente histórico que no podemosanalizar en este escrito, su trabajo permane-ció al margen de los desarrollos centrales desu tiempo.

Weierstrass murió en 1897 a la edad de 82años. Dejó tras de sí un análisis matemáticoconsolidado, que había vivido su época deoro conocida como la aritmetización delanálisis. Aunque fue una figura protagónica,no vivió ni actuó solo. Gran parte de su obray de su influencia, tomó cuerpo a través desus discípulos y seguidores. Basta citar los

222

4 Artículo publicado en la revista Miscelánea Matemática (Sociedad Matemática Mexicana), Vol. 25, 1997, p.p. 11-27.

nombres de Heine, Cantor, Hölder, Mit-tag-Leffler y, desde luego, Sonia Kovalesky.

Los comienzos

Después de un brillante inicio como estudian-te de secundaria, Weierstrass ingresó a la ca-rrera de leyes, en la Universidad de Bonn.Ingresar no es quizá el término más apropia-do, pues el joven Karl se dedicó a cualquiercosa excepto a las leyes. Hacia 1840 (habíanacido en 1815) sin título universitario, co-menzó su carrera como docente de secunda-ria. Dedicó a esta actividad su tiempo diurno,durante los próximos quince años. Decimosdiurno porque las noches fueron casi siempreun encuentro secreto con Abel.

El año 1854, fue de asombro doble para elmundo matemático. Riemann (1826-1866)dio a conocer su trabajo sobre las series deFourier. Allí, para beneficio de todos, está sutrabajo sobre la integral (de Riemann, desdeluego), en donde se despliegan condicionesnecesarias y suficientes para su existencia.Cabe mencionar que el problema sobre losconjuntos de unicidad de series de Fourier,partieron de este trabajo, así como el interésde Cantor en ellos, que por un camino com-plejo y lleno de dramatismos, lo conduciría alos conjuntos infinitos. En ese año, 1854, de-cimos, el otro motivo de asombro provino deWeierstrass. Consistió en su primera publica-ción en el famoso Journal de Crelle sobre lasfunciones abelianas. Una obra maestra quelo llevó hasta la Universidad de Berlín endonde permanecería el resto de sus días.Este trabajo le llevó a la reconstrucción delanálisis complejo.

Nosotros aquí vamos a dedicar unas páginasa su trabajo sobre la fundamentación delanálisis real.

Sobre el rigor

El rigor matemático es profundamente históri-co. Ha evolucionado con las matemáticas; ental proceso no es difícil ver que las exigenciascorresponden siempre a una concepción delos objetos matemáticos involucrados. En untiempo (para Gauss mismo, incluso) los mate-máticos estuvieron satisfechos con el enun-ciado, a secas, del teorema del valor interme-dio: Una función continua que cambia designo en un intervalo, deberá tener una raíz endicho intervalo.

Seguramente más de un lector se sentirá in-cómodo con el enunciado anterior. Habránotado que le falta precisión. Esta reacciónno es extraña. Forma parte del medio am-biente de rigor que adquirimos durante nues-tra educación.

Comparemos las siguientes definiciones defunción continua:

1. ¦(x) se dirá continua si los valores numéri-cos de las diferencias ¦(x + α) – ¦(x) de-crecen indefinidamente cuando decreceindefinidamente el incremento α

2. Diremos que una cantidad y es una fun-ción continua en x0 si, una vez que haya-mos elegido ε > 0, podemos demostrarque existe δ > 0 tal que, para cualquiervalor entre x0 – δ y, x0 + δ el valor corres-pondiente de y está entre y0 – ε y y0 + ε.

La primera la podemos hallar en el Curso deAnálisis de Cauchy de 1821. La segunda esde Weierstrass (1874). Podemos apreciarque hay diferencias entre ellas y también conla forma en que hoy en día, enunciamos ladefinición de función continua.

La sistematización debida a Cauchy suponedado el continuo numérico. De allí que, una

223

Weierstrass: cien años después

vez introducida la noción de sucesión, nopueda distinguirse entre sucesión conver-gente y lo que hoy conocemos como suce-sión de Cauchy. Esto es algo evidente en sudemostración del teorema del valor interme-dio. (véase Edwards, p. 308). Weierstrass fuecapaz de comprender (como Bolzano, antesque él) que el esclarecimiento conceptual deeste teorema (y de muchos otros), sólo seríaposible mediante una construcción rigurosade los números reales. Dió una demostra-ción basada en lo que hoy en día conocemoscomo el teorema de Bolzano-Weierstrass(1874): Toda sucesión acotada tiene un pun-to de acumulación.

Además del teorema del valor intermedio,Weierstrass demostró, mediante argumentospuramente analíticos (ie: sin tomar en cuentala evidencia geométrica) que una funcióncontinua definida en un intervalo cerrado, tie-ne un máximo y un mínimo absolutos.

Este resultado aparece en las conferenciasde Weierstrass de 1861 bajo el nombreHauptlehrsatz, esto es, Teorema Principal.De él dijo Hilbert en 1897, que era una herra-mienta indispensable para investigacionesanalíticas más refinadas (véase Hairer-Wan-ner, p. 205).

Todo el programa de inyección de rigor en laestructura del análisis matemático, es lo quese conoce como Aritmetización del Análi-sis. Sin duda, su propósito central fue confi-nar el razonamiento matemático al ámbitonumérico, señalando de paso, los peligros deuna dependencia acrítica de la intuición geo-métrica.

De lo puntual a lo uniforme

En sus lecciones de análisis (1821) Cauchyenunció y demostró el siguiente resultado:

Si fn: E → R es una sucesión de funciones conti-nuas tal que para cada x de E, la sucesión fn (x)es convergente, entonces la función f:E → R

definida como f(x) = lim fn (x) para cada x ∈ E,es continua.

Hoy en día sabemos que, con nuestras in-terpretaciones, el resultado es falso. Porejemplo, basta tomar la sucesión de funcio-nes fn(x) = xn , E = [0, 1]. La función límite, f,es: f(x) = 0 si x ≠ 1 y f(1) = 1, que no es conti-nua en x = 1, aún cuando cada fn lo es.

¿Cómo pudo Cauchy cometer un error deese tamaño?

La única respuesta posible, nos parece, esque a su imagen conceptual de funcióncontinua le atribuía propiedades que noaparecían explícitamente en su definición.Algo similar ocurre en los Elementos de Eu-clides. Allí, Euclides toma como evidenteque existen los puntos de intersección dedos circunferencias. En tratados modernos,muchas veces podemos leer que hay allí,en Euclides, una falta de rigor, como si el ri-gor fuese siempre el mismo. No es el caso.Desde luego, el análisis conceptual va ge-nerando un progreso en el sentido que lared de significaciones, la articulación con-ceptual, las dependencias causales de unosresultados con relación a otros, se van ha-ciendo más claras. Weierstrass lo entendióasí. En lugar de afirmar, como lo hizo Abel,que el teorema admite excepciones (Abel,1826, Oeuvres 1, págs. 224-225), introdujoen 1841 el concepto de convergencia uni-forme:

La sucesión de funciones fn definidassobre A converge uniformemente a lafunción f, (definida sobre A) si paracada ∈ > 0 existe un número natural N

224


tal que para cada n ≥ N, y para cada x

en A, | fn (x) – f(x)| < ∈ .

Como bien se sabe, lo importante en esta de-finición es que el número N sólo depende de∈ y no de x. De allí, el apelativo uniformepara este concepto de convergencia.

En sus conferencias de 1861 (véase Hai-rer-Wanner, pág. 213) puede leerse el resul-tado de Weierstrass:

Si (fn) converge uniformemente a f, ycada fn es continua, entonces f es conti-nua.

Desde el punto de vista clásico, esto salda ladeuda de Cauchy.

Cuando se introduce un concepto como laconvergencia uniforme (o cualquier otrodestinado a jugar un papel central en la teo-ría) resulta conveniente tener otros crite-rios equivalentes (teoremas de caracteriza-ción, decimos hoy en día) a través de loscuales podamos establecer que nos encon-tramos en condiciones de usar el conceptoen cuestión. Weierstrass, desde luego,comprendía esto perfectamente, así quedió lugar al siguiente criterio, con miras asu utilización en el terreno de las series depotencias.

Si para cada x en A, fn está acotada (glo-balmente) por la constante Cn y si ∑Cn esuna serie convergente, entonces, la se-rie de funciones ∑ fn converge uniforme-mente sobre A.

En particular, si cada fn es continua sobre A, lafunción límite que define la serie ∑ fn es con-tinua sobre A. Este resultado se conoce comoel C-criterio de Weierstrass para la convergen-cia uniforme. Un poco más adelante hare-mos uso de este resultado.

Derivabilidad y su ausencia

Cuando la imagen dominante de una fun-ción es su gráfica, una conclusión natural esque tal función es derivable excepto quizá,en algunos puntos especiales donde la gráfi-ca tiene picos (como el que presenta la fun-ción valor absoluto en el origen). Esta imagende función se fue sedimentando debajo delenunciado más algebraico que definía unafunción como una expresión analítica. De allíque los matemáticos, desde mucho antes deWeierstrass, intentaran demostrar que unafunción continua (es decir, aquella cuya gráfi-ca tiene una sola pieza) debía ser derivablesalvo quizá en algunos puntos. Este propósi-to puede hallarse ya en la reformulación delos fundamentos del cálculo propuesto porLagrange (1736-1813) en su obra Teoría deFunciones Analíticas. (véase Hawkins, págs.43-54).

Más adelante, Ampère (1806) intentó otra de-mostración pero sin recurrir a los argumentosde analiticidad de Lagrange. La lista de intentoses larga; ya para tiempos de Weierstrass, su dis-cípulo Hankel (1870) había demostrado que sig es continua sobre [–1,1] pero g′(0) (la deri-vada de g en 0) no existe, entonces la fun-ción:

f( ) g n n kk

n

x px= >=

∞

∑ ( ) / ( )sen1

2

es continua pero NO derivable en los racio-nales.

Este ejemplo y otros similares entre los quese cuentan los de H. Schwarz, también discí-pulo de Weierstrass, y otro tardío de Dar-boux (1879), contribuyeron a la toma deconciencia sobre el grado de generalidadque había alcanzado el concepto de función.

225


Francamente, era insuficiente seguir pensan-do en una función a través de su representa-ción geométrica.

No podemos dejar de mencionar el ejemplode Riemann (1861):

fsen n

nn

( )( )

xx=

=

∞

∑2

21

Debido a la convergencia uniforme de la serie,la función f es continua sobre los reales. Rie-mann pensó que esta función en ningún puntoera derivable. Pero estaba ligeramente equivo-cado como demostró Gerver en 1970 (véaseHairer-Wanner pág. 262) ya que en x = π yotros valores excepcionales (múltiplos irra-cionales de π) la función es derivable.

Hacia 1872 Weierstrass escribía:

Hasta hace muy poco se creía que unafunción continua siempre tenía una pri-mera derivada cuyo valor podía ser infi-nito o indefinido sólo en algunospuntos aislados. Aún en el trabajo deGauss, Cauchy, Dirichlet, matemáticosacostumbrados a la crítica severa, nopuede hallarse, de acuerdo a lo que sé,una opinión distinta. (loc. cit. pág. 261).

Ese mismo año, Weierstrass dio a conocer,en su seminario, el siguiente resultado:

Si b < 1 y ab > 1 +3

2π, entonces, la función

g b an n

n

( ) cos( )x x==

∞

∑1

es continua para todo x

y en ninguno de su valores es derivable.

El resultado fue publicado en 1875 como par-te de un artículo de du Bois-Reymond, con eldebido crédito al maestro.

Los efectos causados por la existencia deesta clase especial de funciones (continuas

sin derivada en punto alguno) fueron consi-derables. En primer lugar, la continuidad deuna función no siempre representaba unapropiedad de su gráfica pues estos ejemplosno son graficables ya que continuidad-sinderivabilidad quería decir que la gráfica de lafunción ¡tiene un pico en cada punto!

La continuidad se transformaba, entonces,en una propiedad descrita y verificada, cuan-do fuese necesario, en términos numéricos.Un análisis aritmetizado era el nuevo espaciode trabajo. Nos parece que esta es una con-secuencia muy profunda del trabajo de la es-cuela weierstrassiana. Y este es, justamente,el segundo efecto de su trabajo: haber esta-blecido en una nueva disciplina, una meto-dología de la cual, los nuevos parámetros derigor, hacían parte medular.

Todo el último tercio del siglo XIX estuvo bajoel influjo de esta visión. El nuevo siglo se ini-ció con trabajos que sólo hacían creer en unfuturo lleno de optimismo. Basta citar la tesisLongitud, área y volumen de H. Lebesgue, de-dicado a la teoría de la medida y de la inte-gración, una de las más bellas creacionesmatemáticas de este siglo. Aunque el rigor in-troducido a las matemáticas ha seguido evo-lucionando con muy buena salud, y no pare-ce haber razones para que la situación a esterespecto cambie, ya a comienzos del siglo seescuchaban voces críticas que veían concierta inquietud la desaparición del análisisgeométrico.

En efecto, aunque la aritmetización dio unafundamentación sólida al análisis matemáti-co, la comprensión intuitiva suministrada porla geometría seguía haciendo falta. Al menospsicológicamente (y esto no es un problemamenor) para los estudiantes recién llegadosal campo. No eran fáciles de aceptar objetoscomo las funciones continuas sin derivada.

226


Es muy probable que la situación se haya tor-nado aún más ardua, para los estudiosos delanálisis, cuando fueron testigos de la irrup-ción de otro resultado inesperado: la existen-cia de una función continua de la recta sobreel plano; es decir, de una curva continua quellena un cuadrado. Este resultado se debe aPeano (1890).

A continuación estudiaremos un ejemplode función continua sin derivada, debidoesencialmente a Van der Waerden (véaseBillingsley 1982). Por varias razones prefe-rimos el estudio de este ejemplo al originalde Weierstrass (para su estudio remitimosal lector al artículo del Prof. Gravinsky eneste mismo número). Nos parece que elejemplo del maestro alemán es deliberada-mente analítico para enfatizar el carácteraritmético que tanto le interesaba; era par-te sustancial de su programa de restructu-ración del análisis. En cambio, el ejemploque presentaremos, aunque necesariamen-te es muy analítico, abre (de nuevo) laspuertas a consideraciones geométricasque van a quedar plenamente justificadasmás adelante en el trabajo de von Koch.

Ejemplo Fundamental

Consideremos la función ϕ(x) = distancia dex al entero más cercano. Su gráfica en el in-tervalo [0,1] se presenta en la figura 1:

En dicho intervalo, podemos representar lafunción así:

ϕ( )x =≤ ≤

≤ ≤

x x

x x

si

1– si 12

0

1

12

Es importante observar que la gráfica de lafunción tiene esta misma forma entre doscualesquiera enteros consecutivos.

Ahora definimos una sucesión de funcionesfn así:

fn

n

n( )

( )x

x= ⋅ϕ 2

2

De esta manera, cada función fn está formadapor copias a escala de la función ϕ. La idea esir produciendo una sucesión de funciones endonde cada una de las funciones tenga mu-chos picos. Al sumar todas estas funcionesvamos a obtener una función continua sinderivada.

1. Definamos la función g:[0,1] → R así:

g fn

( ) ( )x x==

∞

∑ n0

Como fn (x) ≤ 1

2 1n+y la serie

1

21

10

nn

+=

∞

=∑ enton-

ces, el C-criterio de Weierstrass garantiza quela función g es continua.

2. Al considerar la función fn tendremos mí-nimos absolutos en los valores u = i2–n don-de i = 0,1,2,...,2n (figura 2).

Si k ≥ n entonces fk (u) = 0, u = i2–n, pues 2k ues un número natural. Recordemos que

φ(2k u) = 0

De manera que si u = i . 2–n, entonces,

227


pendiente = 1 pendiente = -1

0 1/2 1

Figura 1

pendiente = 1 pendiente = 1

g(u) = ƒ0(u) + ƒ1 (u) + ƒ2 (u) + ... + ƒn–1 (u).

3. Veamos que la función g no es derivable. Esfácil ver que cualquier x en [0,1] se encuentraen un intervalo cuyos extremos son de la for-ma: un = i2–n y vn = (i + 1)2–n para algún i , por lotanto puede verse, tal x, como límite de las su-cesiones un y vn cuando n → ∞. Para estudiar laposible derivabilidad de g en x, vamos a consi-derar los cocientes:

g v g u

v un n

n n

( )– ( )

–

Por la observación hecha en (2), tendremosque:

g v g u

v u

f v f u

v un n

n n

k n k n

n nk

n( )– ( )

–

( )– ( )

–

–

==∑

0

1

Ahora, cada cociente

f v f u

v uk n k n

n n

( )– ( )

–

es 1 ó -1. Por lo tanto,

g v g u

v unvecesn n

n n

( )– ( )

–( )= ± ± ± ⋅⋅⋅1 1 1

de modo que no existe el límite cuando n → ∞.En conclusión g no es derivable en ningúnpunto.

Conviene recordar, para dar una mejor pers-pectiva a estos trabajos, el resultado de Le-besgue (op. cit.):

Si f es una función monótona, entonces f esderivable excepto sobre un conjunto de me-dida nula.

Quizá esto sea lo más próximo que se puedaestar del resultado tan buscado sobre la deri-vabilidad de una función continua.

Retorno a la Geometría

Suele ocurrir que, bajo la influencia de unmodo de pensar poderoso, los científicos deuna disciplina exageren las bondades o la in-terpretación de los nuevos enfoques. En cier-to momento —comienzos del siglo XX— seempezó a escuchar la voz de una corrienteque proponía equilibrar la excesiva aritmeti-zación, con un enfoque más geométrico.

228


0 1

2n

2

2n

3

2n . . .

1

2

1

n+1

Figura 2

Una de estas voces fue la del matemáticosueco Helge von Koch. Conviene citar en ex-tenso su punto de vista:

Hasta antes de Weierstrass, era una creen-cia bastante común entre los miembrosde la comunidad científica, que toda cur-va continua tiene una tangente bien de-terminada —excepto en algunos puntossingulares. Se sabe que ocasionalmente,los geómetras han tratado de establecereste resultado, sin duda apoyándose en larepresentación gráfica de las curvas. Aúncuando el ejemplo de Weierstrass ha co-rregido esta falsa concepción de una vezy para siempre, me parece que su ejem-plo no es satisfactorio desde un punto devista geométrico...la expresión analíticaoculta la naturaleza geométrica de la cur-va correspondiente...y no se ve por quécarece de tangente.

Luego continúa von Koch:

Por esta razón me he preguntado —ycreo que esta cuestión es importantedesde un punto de vista didáctico tantopara la geometría como para el análi-sis— si uno podría hallar una curva sintangentes para la que los aspectos geo-métricos estén de acuerdo con todo elcontexto. La curva que he encontrado yque es el objeto de este artículo, estádefinida mediante una construcciónmuy simple y creo, que cualquiera po-drá ver intuitivamente la imposibilidadde la existencia de la tangente.

Estas citas se pueden hallar en la introduc-ción del artículo Sobre curvas continuas sintangentes, constructibles mediante la geome-tría elemental que apareció en 1904. Se re-produce en el libro Classics on Fractals, de G.Edgar, 1993.

Para finalizar, vamos a estudiar el ejemplo devon Koch. Se parte de un segmento de longi-

tud L y se divide en tres partes iguales. Seextrae la parte (segmento) central y se reem-plaza por dos segmentos iguales al extraído,tal como queda ilustrado en la figura básica(figura 3).

La segunda etapa de la construcción de lacurva de von Koch consiste en colocar unacopia de la figura básica (la del dibujo ante-rior) sobre cada uno de los segmentos de losque está compuesta esta figura básica.Como la figura original está compuesta decuatro segmentos (de igual longitud) las cua-tro copias que vamos a colocar serán mode-los a escala (¿cuál es la escala?) de la figuraoriginal. El resultado está en la figura 4.

El procedimiento de ir colocando copias aescalas de la figura original se continúa inde-

229


Figura 3

Figura 4

finidamente. La figura que resulta como lími-te de este procedimiento, es la curva de VonKoch. Para tener una mejor idea de los resul-tados de las etapas de la construcción, mos-tremos la tercera etapa (figura 5):

El lenguaje de programación Logo, nos permi-te construir de una manera relativamente sen-cilla, un programa para graficar cualquiera delas etapas. Las instrucciones básicas del lengua-je que serán empleadas son: Forward (abrevia-da Fd) que dada en la forma Fd : N, le indica a“la tortuga” (que es la forma usual del indica-dor del movimiento) que avance, en la direc-ción en la que está mirando, N pasos. La otrainstrucción es Right (abreviada Rt) que dada enla forma Rt α le indica a la tortuga que gire a suderecha un ángulo de α grados. Para girar a laizquierda de la tortuga, se usa Left (abreviadaLt). Entonces, para dibujar la figura básica po-demos usar el programa siguiente:

To Koch1 :LFd :L/3Lt 60Fd :L/3Rt 120Fd :L/3Lt 60Fd :L/3End

La primera línea del programa To Koch1 :L senecesita para poner un nombre al mismo(que siempre empieza con To) y el paráme-tro :L (precedido de los dos puntos) indica queal momento de la ejecución deberá dársele unvalor numérico. Por ejemplo, Koch 100 quieredecir que se dibujará la figura básica a partirde un segmento cuya longitud es 100 unida-des. ¿Qué ocurre si, siguiendo nuestra des-cripción por etapas, quisiéramos dibujar lasegunda etapa? Cada uno de los segmentosde longitud L/3 de la figura básica, debe serreemplazado por una copia a escala de esamisma figura básica (a la que nos referiremoscomo Koch1). Cada una de las copias a esca-la que necesitamos, resulta de la ejecucióndel programa Koch1 :L/3. Entonces, el pro-grama para graficar la segunda etapa, que lla-maremos Koch2, es el siguiente:

To Koch2 :LKoch1 :L/3Lt 60Koch1 :L/3Rt 120Koch1 :L/3Lt 60Koch1 :L/3End

Para graficar la tercera etapa, que denota-mos mediante Koch3, necesitamos haberconstruido el programa para graficar Koch2.Si partimos de un segmento inicial de longi-tud L, los cuatro segmentos que componen ala figura básica tienen, cada uno, longitudL/3. Ahora, sobre la figura correspondiente aKoch2, necesitamos colocar copias de la fi-gura básica (llamada también generador dela curva de von Koch) en cada segmento delongitud L/9; por lo tanto serán copias del ge-nerador donde cada lado tiene longitudL/27. Este proceso puede continuarse hasta

230


Figura 5

la etapa que se desee. De acuerdo a la des-cripción que acabamos de hacer, el progra-ma correspondiente a Koch3 queda:

To Koch3 :LKoch2 :L/3Lt 60Koch2 :L/3Rt 120Koch2 :L/3Lt 60Koch2 :L/3End

Observando con cuidado los programaspara graficar Koch1, Koch2 y Koch3, unopuede abstraer la forma general que tiene elprograma para graficar KochN, para cual-quier N, una vez que uno tiene el programacorrespondiente a Koch (N-1). Este progra-ma es:

To KochN :LKoch (N-1) :(L-1)/3Lt 60Koch (N-1) :(L-1)/3Rt 120Koch (N-1) :(L-1)/3Lt 60Koch (N-1) :(L-1)/3End

Obsérvese que para graficar Koch1, debemostener, a su vez, lo que podríamos llamarKoch0, que se reduce a [Fd:L.]

Logo permite la construcción mediante la re-cursividad (que no es privativa de este len-guaje) de un programa que nos permite deun golpe graficar la etapa que se desee, puesen ese mismo programa estarán las instruc-ciones para graficar todas las etapas anterio-

res necesarias. Un procedimiento de esta na-turaleza dependerá de dos parámetros: lalongitud del segmento inicializador, L y el nú-mero natural correspondiente a la etapa (onivel) que se quiera graficar. Tal programa(que ya debe resultar natural para el lector)es el siguiente:

TO KOCH :N :LIF :N=0 [FD :L STOP]KOCH :N-1 :L/3LT 60KOCH :N-1 :L/3RT 120KOCH :N-1 :L/3LT 60KOCH :N-1 :L/3END

Comparando este programa con el corres-pondiente a KochN :L vemos dos diferencias.La primera es que en KOCH :N :L, aparecendos parámetros y no uno como en KochN :L.El parámetro :L, indica siempre la longituddel segmento inicializador, a partir del cualharemos las construcciones de las etapas. Elparámetro :N corresponde a la etapa que sequiere graficar. La otra diferencia entre am-bos programas, KOCH :N :L y KochN :L, apare-ce en la primera línea de KOCH :N :L, que esIF :N=0 [FD :L STOP]. Esta línea permite resol-ver el caso N=0, que se reduce a trazar unsegmento. El efecto es el mismo que tiene laejecución de Koch0 :L. Vale la pena que ellector haga la descripción completa para elcaso N=2 en el programa KOCH :N :L . Es unaactividad que recomendamos, ya que le per-mitirá comprender mejor cómo funciona larecursividad.

En la pantalla de una computadora sólo po-dremos representar un número, más bien pe-

231


queño, de etapas del proceso debido a las li-mitaciones de la resolución de la pantalla5.

En su momento, las funciones continuas sinderivada, las curvas continuas que llenan uncuadrado y muchos otros ejemplos, fueronconsiderados como patológicos. Todos he-mos sabido de la expresión del gran matemá-tico Hermite, quien decía que daba la espal-da a esa plaga de funciones que no tienenderivadas. Este tipo de expresiones son refle-jo de la ideología explícita e implícita quesiempre está presente en el trabajo científi-co. Si el lector tuviese dudas sobre esta últi-ma afirmación, bastaría remitirlo a la historiade los conflictos padecidos por Cantor du-rante la elaboración de su teoría de los con-juntos infinitos.

Por su elocuencia y pertinencia, considera-mos interesante en este momento traer unacita en extenso de Dyson (1978):

Una gran revolución en ideas separa lamatemática clásica del siglo XIX, de lamatemática del siglo XX. La matemáti-ca clásica tuvo sus raíces en las estruc-turas regulares de Euclides y en ladinámica continua de Newton. La ma-temática moderna comienza con lateoría de conjuntos de Cantor y con lacurva de Peano, que llena un cuadra-do (añadimos nosotros: y con la curvade Weierstrass, la de Von Koch, con laconstrucción geométrica, en manosde Hilbert de la curva analítica de Pea-no)... estas estructuras fueron vistas alcomienzo como “patológicas”... máscercanas a la música atonal y a la pin-tura cubista...estos ejemplos fueronimportantes para mostrar que el mun-do de la matemática poseía una rique-

za de posibilidades que iba más alláde las simples estructuras que podíanverse en la naturaleza. La matemáticadel siglo XX se desarrolló en la creenciade que había trascendido los límitesimpuestos por sus orígenes naturales.Ahora como Mandelbrot nos muestraejemplo tras ejemplo, la naturaleza hahecho una broma a los matemáticos...las mismas estructuras patológicas in-ventadas para romper los nexos con lanaturaleza, resulta ahora que son inhe-rentes a la descripción de los objetosnaturales que nos rodean.

La situación descrita aquí es característica delas matemáticas: una permanente tensiónentre lo concreto y lo abstracto. Lo que esabstracto en un nivel de desarrollo es concre-to en un nivel posterior. Allí encuentra unaexplicación más profunda. Así, las curvas pa-tológicas son actualmente los ejemplos pri-meros en la teoría de los objetos fractales.Weierstrass seguirá con nosotros.

Referencias

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Edgar, G. (1993). Classics on Fractals. Addi-son-Wesley.

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5 Los siguientes niveles de la curva se construyen en forma recursiva, siguiendo el proceso explicado.

Edwards, C. (1979). The Historical Developmentof Calculus. Springer-Verlag, New York.

Hairer, E. y Wanner, G. (1996). Analysis by its His-tory. Springer-Verlag, New York.

Hawkins, T. (1970). Lebesgue Theory of Integra-tion, its Origin and Developments. ChelseaPublishings Editions, second edition.

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La epistemología constructivista y ladidáctica de las ciencias:

¿coincidencia o complementariedad?6

Luis E. Moreno ArmellaDepartamento de Matemática Educativa, CINVESTAV – IPN

Guillermina WaldeggSección de Metodología y Teoría de la Ciencia, CINVESTAV – IPN

Resumen

Una gran parte de las críticas a las epistemologíasconstructivistas, en particular a la teoría de Piaget, sehan hecho desde dominios diferentes a la epistemolo-gía, principalmente desde la didáctica y la psicología.El propósito del presente trabajo es mostrar que lafuerza de la teoría piagetiana se debe buscar en suscontenidos epistemológicos y no, como se ha hechotradicionalmente, en aplicaciones inválidas a la educa-ción. Sin negar la filiación que la epistemología tienecon las aproximaciones didácticas, nuestra intenciónes tratar de delimitar sus respectivos dominios de apli-cabilidad.

Abstract

To a large extent, criticisms to constructivists episte-mologies in particular to Piaget´s theory, have comefrom fields like psychology and didactics, not fromepistemology itself. Our goal is to show that the po-wer of piagetian theory comes from its epistemologi-cal contents. One must not look for this power ineducation for its own sake. This does not mean that

epistemology and educational theories are unrelatedbut that each one has to define its domain of applica-bility.

Introducción

Las investigaciones en didáctica que indagansobre los procesos de enseñanza y aprendi-zaje de las ciencias han alcanzado en las últi-mas décadas niveles de consolidación consi-derables, lo que hace necesario caracterizarlos marcos conceptuales que determinannuestras explicaciones acerca de los fenóme-nos vinculados a la educación científica.

Los métodos de enseñanza, el diseño de es-tructuras curriculares, los textos y materialesdidácticos y la práctica dentro del aula hanestado —porque no puede ser de otra mane-ra— inspirados en las concepciones científi-cas de los educadores. Si consideramos eldominio del paradigma empirista de la cien-

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6 Artículo publicado en Enseñanza de las Ciencias, 1998, vol. 16(3), p.p. 421-429 Barcelona.

cia en buena parte de nuestro siglo, no es ex-traño ver que las ciencias hayan sido tratadasen la escuela como un cuerpo inalterable deconocimientos preexistentes. Bajo este para-digma epistemológico, el papel del profesory de quienes producen los planes de estudio,los textos y los materiales didácticos ha con-sistido en diseñar estrategias curriculares ydidácticas, que faciliten a los estudiantes laasimilación del conocimiento transmitido. Laconcepción que subyace a esta actividad su-pone que existe una relación mecánica entretransmisión y asimilación.

Durante muchos años hemos aceptado unaconcepción educativa que no distingue entreentrenamiento y enseñanza. Hemos supuestoque el conocimiento es un bien que debe serentregado al estudiante por medio de unapráctica didáctica preestablecida; para ello sehan sobrestimado actividades como la memo-rización, la repetición y la realización de tareasrutinarias. Sin embargo, ahora nos damoscuenta que resolver problemas en el sentidoamplio, como lo establecen la mayoría de lospropósitos explícitos de la educación científicaen todos los países, exige del estudiante unacomprensión que va más allá de este primer ni-vel. Para lograrlo, sabemos que el estudiantedebe llevar a cabo otras actividades, distintas ymás complejas, que incluyen no sólo una refle-xión sobre sus operaciones, sino una reflexiónsobre su reflexión. La forma de comprensiónque resulta de esta actividad metacognitiva sa-bemos —o dicen los estudios realizados a esterespecto— que no puede ser transmitida, en elsentido tradicional, al estudiante. Es algo que éltiene que construir con sus propios medios yque el profesor debe reconocer y propiciar.

La concepción mecanicista, que suponeque al generarse un proceso de emisión deinformación por parte del profesor se activaautomáticamente un proceso de asimila-

ción de dicha información por parte delestudiante, tiene una vieja historia. Que lascosas no son así, es algo que se puede cons-tatar mediante la presencia, en el campo deconocimientos del estudiante —a la hora delexamen, por ejemplo—, de elementos queno estaban presentes en el discurso de en-señanza del profesor.

¿Cuáles son las alternativas a este estado decosas? Responder a este interrogante es unode los propósitos principales de los estudiossobre la enseñanza de las ciencias. Uno delos puntos de partida de estas indagacionesestá en las ciencias mismas. Empero, el cono-cimiento científico, si bien es necesario, noes suficiente para la caracterización de unadisciplina cuyo objeto de estudio es la ense-ñanza y el aprendizaje de la ciencia y no laciencia misma. Una condición indispensablepara tal caracterización la constituye la inte-racción continua con el sistema educativo ycon los actores —alumnos y maestros— delproceso.

La alternativa constructivista enepistemología

Hemos insistido anteriormente, en que lasconcepciones sobre la ciencia que tiene eleducador modelan y modulan sus prácticaspedagógicas. Estas concepciones son, confrecuencia implícitas y, por tanto, caen fuerade la esfera de los esfuerzos conscientes delprofesor por identificar las posibles causasde los fracasos de sus alumnos. De allí queresulte importante la toma de conciencia,por parte del educador, de sus conviccionessobre la naturaleza del conocimiento científi-co, sobre cómo éste se genera, sobre las rela-ciones entre el conocimiento y la realidad yentre las distintas manifestaciones del sabercientífico, de modo que el educador pueda

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La epistemología constructivista y la didáctica de las ciencias: ¿coincidencia o complementariedad?

emplear, de manera explícita, estas ideas enel diseño de su acción pedagógica.

La epistemología, en su versión contempo-ránea, se propone el estudio de la naturale-za del conocimiento científico y de las cir-cunstancias de su producción. Ya desde lostiempos de la antigüedad clásica griega eradominante el pensamiento epistemológicorealista que concibe el conocimiento comouna copia de la realidad: el conocimiento seconsidera el reflejo —como la imagen en unespejo- de ese mundo externo que existecon independencia del observador. El enfo-que tradicional de la enseñanza tiene raícesprofundas en esta epistemología realista[véase Moreno-Waldegg, 1992] que se com-plementa armónicamente con el paradigmaempirista; bajo este punto de vista, la activi-dad del sujeto que trata de conocer (el sujetocognoscente) queda subordinada al objetode su conocimiento y su actividad –primor-dialmente perceptual– sólo puede producirun conocimiento que es reflejo fiel de unarealidad externa estructurada.

Si bien esta concepción realista—empiristadel conocimiento resulta ser una especiede respuesta espontánea del hombre co-mún ante las preguntas sobre la naturalezadel conocimiento, no ha estado, desde susprimeras manifestaciones en la Grecia anti-gua, libre de cuestionamientos. En el siglo V

a.C., los escépticos hicieron evidente la im-posibilidad lógica de establecer la verdadde un conocimiento, ya que la necesariacomparación de ese conocimiento con laparte de la realidad que supuestamente re-presenta, implica un nuevo acto de conoci-miento, que tendría también que ponerse aprueba para demostrar su verdad. Esta sóloes la primera de una larga cadena de obje-ciones a las que se tuvieron que enfrentar

quienes defendían el realismo y el empirismoepistemológico.

Reaccionando al punto de vista realista— em-pirista, Kant (1724-1804) postula en su Críti-ca de la Razón Pura que, cuando el sujetoentra en contacto con su objeto de conoci-miento, recibe impresiones sensibles que so-mete a un proceso organizador, medianteestructuras cognitivas innatas. Lo que resultaes el conocimiento. Así como el líquidoadopta la forma del recipiente que lo contie-ne, así también las impresiones sensorialesadoptan las formas que les son impuestaspor las estructuras cognitivas que las proce-san; el resultado de este procesamiento es elconocimiento. De esta manera, Kant nos ad-vierte sobre las condiciones de posibilidaddel conocimiento objetivo: para alcanzarlose requiere de ciertas formas innatas de sen-sibilidad, estas son el espacio, el tiempo, lacausalidad, la permanencia del objeto. Enotros términos, aunque la realidad existe conindependencia del sujeto, el conocimientoque éste puede tener de aquélla, está media-do por la capacidad cognoscitiva intrínsecadel sujeto.

Hay dos consecuencias fundamentales delenfoque kantiano: la primera, el conocimien-to deja de ser concebido como representa-ción de la realidad externa y, en su lugar, esvisto como resultado inseparable de las ex-periencias del sujeto y de su actividad cog-noscitiva. La segunda, el sujeto deja de sercognitivamente pasivo frente al objeto de suconocimiento. El sujeto da estructura a susexperiencias. Esto ya lo habían adelantadolas corrientes racionalistas, pero al costo deirse al extremo de poner todo el peso de laconstrucción del conocimiento en el sujetocognoscente, marginando al objeto. La posi-ción kantiana inauguró un nuevo modo de

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conceptualizar la actividad cognoscitiva. So-bre ella trabajaría Piaget dos siglos más tarde.

Para Piaget el sujeto se acerca al objeto deconocimiento dotado de ciertas estructurascognitivas previamente construidas (no inna-tas), mediante las cuales asimila al objeto deconocimiento. Esta asimilación activa unatransformación (acomodación) de su aparatocognitivo, de modo que, en el siguiente acer-camiento su lectura del objeto será otra,pues como resultado de la primera, las es-tructuras cognitivas del sujeto se han modifi-cado. Con ello se establece una diferenciacentral con la posición de Kant: las estructu-ras cognitivas piagetianas son estructurasque se generan y evolucionan en el tiempo.

Las estructuras cognitivas del sujeto se vantransformando. Con el paso del tiempo, elsujeto se va encontrando en posesión de unaparato cognitivo cada vez más adaptado asu entorno. Por ejemplo, la lógica de un niñopequeño es cualitativamente distinta a la ló-gica de un adulto; como consecuencia, laimagen del mundo del niño es distinta a laimagen del adulto; sin embargo, en ningunode los dos casos, la imagen del mundo es unacopia de una realidad que esté allí, estructu-rada, lista para ser asimilada. La dimensiónconstructivista de la epistemología piagetia-na se refiere a que el sujeto va construyendosus sucesivas versiones del mundo al mismotiempo que construye sus propias estructurascognitivas. Su conocimiento no es copia deuna realidad externa a él, sino resultado de laestructuración de sus propias experiencias.

Una idea primordial que subyace a la obrade Piaget es la de evolución. A ella corres-ponde un punto de vista filosófico y científi-co que consiste en fijar nuestra atención enla naturaleza dinámica y cambiante de las co-sas y estudiar entonces sus transformaciones

a lo largo del tiempo. En esencia, este puntode vista, dominante ya a fines del siglo pasa-do, fue una consecuencia duradera de laobra de Darwin.

Una epistemología experimental

Piaget quiso que la epistemología estuviesedotada de mecanismos de control sobre susafirmaciones. La historia de la ciencia (conce-bida como laboratorio epistemológico) y lapsicología, le darían los elementos para dise-ñar el dominio experimental de su versión deesta disciplina.

El objetivo de la epistemología genética esla explicación del conocimiento científico;su base experimental la constituye la histo-ria de la ciencia y ciertos experimentos psi-cológicos, que quedan enmarcados en lallamada psicología genética, desarrolladapara tales fines por Piaget y su escuela gine-brina. Describiremos ahora las relacionesentre las tesis epistemológicas centrales dela teoría piagetiana y los experimentos psi-cológicos diseñados como parte del domi-nio empírico correspondiente, al tiempoque haremos algunas anotaciones desde laperspectiva educativa.

Piaget siempre estuvo bajo la fuerte in-fluencia de la ciencia de su tiempo (esto yaes evidente en su artículo Las Dos Direccio-nes del Pensamiento Científico de 1929). Suepistemología está pensada alrededor delas categorías básicas de la ciencia: el espa-cio, el tiempo, la causalidad, el principio deconservación de la materia, el número, etc.Piaget realizó investigaciones decisivas so-bre estas categorías, desde la perspectivade la historia de las ideas, que lo llevaron auna explicación de la razón profunda de laexistencia de un pensamiento racional.

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Pero consideró necesario dar una mayorsustentación empírica a sus aseveracionesde orden epistemológico. Entonces, su la-boratorio epistemológico, constituido porla historia de la ciencia, se vio ampliadocon sus investigaciones psicogenéticas7.De allí extrae una información fundamen-tal: existe una lógica del niño, cualitativa-mente distinta a la lógica del adulto. Este re-sultado está en el corazón de su teoría,pues le permitió explicar el origen operato-rio de las estructuras lógicas (punto débildel empirismo) además de verificar una vie-ja hipótesis sobre la existencia de una lógi-ca de la acción (la del niño pequeño) quesirve como punto de partida para la cons-trucción de la lógica del pensamiento adul-to. Para Piaget, el pensamiento es una ac-ción que se lleva a cabo internamente; parasu descripción requiere de un análogo inte-riorizado del movimiento y de la percep-ción. La función simbólica hace posibleesta nueva forma de acción: se comienzacon las representaciones simples del mun-do sensoriomotor y de allí se llega a lasoperaciones concretas que se apoyan so-bre aquellas primeras representaciones. Elperiodo de las operaciones concretas tienecomo núcleo la posibilidad de aplicar, porparte del sujeto, algún principio de conser-vación. Debe entenderse que esto ocurresiempre dentro de un contexto y que el éxi-to en la aplicación de un principio de con-servación en dicho contexto no significaque el sujeto ya pueda aplicar tal principioen cualquier otra situación. Lo que le inte-resa a la epistemología genética, como tal,es que la posibilidad de aplicar un principio

de conservación revela un cambio cualitati-vo. En la etapa final del proceso (que esmuy largo, complejo y altamente no-homo-géneo) aparecen las formas complejas deorganización del pensamiento científico. Elnúcleo de la etapa de las operaciones for-males lo constituye la posibilidad del pen-samiento hipotético-deductivo, es decir, laposibilidad de razonar a partir de hipótesis.Volvamos a insistir, la posibilidad significaque, en una situación determinada, el suje-to es capaz de esta forma compleja de ra-zonamiento. Es allí, en esa posibilidad, don-de se encuentra el valor epistemológicoque interesa a la epistemología genética8.

El análisis de la génesis histórica de las cate-gorías básicas del pensamiento científicopermitió a Piaget la tematización (es decir, elestudio sistematizado) de la objetivación ydel aumento de claridad conceptual (que po-demos asociar a un aumento de rigor) en eldesarrollo de las ciencias. La actividad de lacomunidad científica va llevando al conoci-miento, en una época determinada, a un ma-yor nivel de objetividad. La objetividad no espues una característica del conocimientoque cae ya preformado ante los ojos de la co-munidad.

Pero hablar de la actividad de los científicoses hablar de un nivel de desarrollo avanzado.Si de lo que se trata es de investigar el proce-so de construcción del conocimiento científi-co, la perspectiva evolutiva indica que hayque ir hacia atrás, hacia las etapas anteriores,ya que la realidad de un proceso evolutivono la descubre ninguna de sus etapas en par-ticular, sino el proceso en su totalidad. Al ha-

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7 Son procesos prácticamente simultáneos; es nuestra descripción la que genera la ilusión de linealidad en las etapas del trabajo de Pia-get.

8 Desde el punto de vista escolar, lo que interesa es que el estudiante pueda ampliar su campo de aplicación de los principios de conser-vación. En ese sentido, la instrucción tiene un impacto central sobre el desarrollo intelectual del estudiante.

cerse difuso el seguimiento de las ideas enlas épocas más tempranas, se desemboca enla psicogénesis, como parte de una estrate-gia que permite la construcción de un mode-lo del sistema cognitivo. Se trata entonces deindagar los orígenes del funcionamiento cog-nitivo de un sujeto frente a problemas dise-ñados a partir de las categorías como espa-cio, tiempo, conservación de la materia,conservación de la cantidad, etc.

Sin embargo, el largo y arduo trabajo requeri-do por la investigación psicogenética absor-bió casi la mayoría del tiempo y las energíasde Piaget (durante más de 50 años); no fuefácil descubrir, por ejemplo, las raíces de lalógica allí en el dominio de la inteligenciasensoriomotriz. Las consecuencias no se hi-cieron esperar: dio la impresión de que sutrabajo estaba orientado completamente a lapsicología, lo que fue en perjuicio de las in-terpretaciones epistemológicas de su trabajoexperimental.

Es pertinente señalar en este momento, quela epistemología genética no es una teoría in-ductiva, extraída de las evidencias suministra-das por las indagaciones psicogenéticas nipor las histórico-críticas. Más bien, de lo quese trataba era de explorar la posibilidad decomprobación, desde estas dos dimensionesexperimentales, de los hechos determinadospor la teoría. Este punto de vista tiene una im-portancia particular con respecto a la teoríapsicogenética que ha sido el blanco preferi-do de quienes confunden esta teoría con unapsicología del aprendizaje, en el sentido mástradicional del término. Así pues, lo que Pia-get observa, cuando observa el funciona-miento cognitivo de los niños, son hechosdeterminados por su teoría.

Un ejemplo importante del uso epistemoló-gico que Piaget da a sus investigaciones psi-

cogenéticas lo constituye la forma en que re-futa al empirismo. Sus investigaciones mues-tran que la conservación del número de ele-mentos de una colección de cuentas, porejemplo, no es extraído directamente de lasagrupaciones de cuentas, no depende de ladisposición espacial de los elementos de di-cha colección. Es resultado de una construc-ción que el sujeto hace a partir de una refle-xión sobre sus propias acciones.

Aunque la teoría piagetiana señala que losavances cognitivos del individuo suponenadaptaciones a su entorno, físico y social, susesfuerzos van encaminados básicamente aexplicar cómo el sujeto puede dar sentido aun mundo genérico que se describe desdelas categorías básicas del pensamiento cientí-fico. El sujeto, que explora en ese mundo ar-mado fundamentalmente con su lógica de laacción, nos ofrece la oportunidad de obser-var cómo se articulan los conceptos a lo lar-go del desarrollo de su visión del mundo.

Piaget postula que este tipo de observaciónpsicogenética permite construir un modelode desarrollo del desarrollo científico (elmodelo original no lo podemos reconstruirdado lo fragmentario de la información his-tórica o prehistórica que tenemos a nuestradisposición).

Hay dos observaciones que deben reiterar-se: la primera, que el sujeto psicológico dePiaget no es el sujeto de las teorías psicológi-cas tradicionales. Es un sujeto que respondea preguntas sobre las categorías de la cien-cia: espacio, tiempo, conservación de la ma-teria, etc. Un sustrato cognitivo común, unmodelo genérico de desarrollo, por lo menosdentro de las culturas occidentales [Bringuier1985, 100].

La segunda observación viene en forma depregunta: ¿cómo evaluar esta hipótesis? Pia-

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get espera que esto se haga de igual forma acomo se hace en las ciencias naturales: esti-mando la capacidad explicativa de su teoría.Esto es indispensable, reiteramos, porque suteoría no tiene pretensiones inductivistas9.

El sujeto que le interesa a Piaget es aquel queconstruye la conservación del objeto, quedescubre a partir de una reflexión sobre susacciones que la cantidad de arcilla no cam-bia aunque cambiemos la forma del material,mostrando con ello que ha accedido a unaforma de pensar nueva: antes no podía resol-ver el problema que se le planteaba con la ar-cilla; ahora ya puede. Después, mostrará queaccede a otra forma de razonamiento, cuan-do sea capaz de prescindir de cualquier sus-trato material como sustento de su pensa-miento (no se discute en ese momentocómo llega a ser capaz, sólo que llega a ser-lo). Ese sujeto (el sujeto epistémico) es unaabstracción, como lo es el principio de iner-cia de la dinámica de Galileo y la ley de gravi-tación universal de Newton, su existencia su-pone condiciones ideales y, por tanto,imposibles de encontrar en las situacionesde la vida cotidiana.

Lógica y cultura

La teoría del sujeto escolar no puede extraer-se mecánicamente, por todo lo que esto im-plica (o deja de implicar) de la teoría psicoge-nética de Piaget. El que muchos de susseguidores lo hayan intentado le ha costado aPiaget un número considerable de críticasdesde la psicología. Piaget, como Newton an-tes que él, hace hipótesis, pero estas hipótesisson orientadas a su teoría epistemológica.

Para Piaget, el conocimiento es un fenóme-no social que sufre procesos de cambio tan-to al nivel individual como al nivel de la histo-ria de la ciencia. Hay que comprenderprimero cómo se dan esos procesos de cam-bio, para después poder identificar cuálesson los mecanismos que los conducen.

Para apreciar la dimensión social del conoci-miento, comencemos con un ejemplo: el nú-mero. Tenemos hoy a nuestra disposiciónuna obra monumental que documenta conprecisión y profundidad conceptual la histo-ria de este concepto. Nos referimos a la His-toire Universelle des Chiffres [Ifrah, 1994].¿qué podemos aprender de esta historia?Que ya desde épocas muy tempranas el serhumano ha construido diversas representa-ciones para enfrentar el problema de la nu-merosidad, que todas ellas lo han conducidoa una noción de número:

Hubo un tiempo cuando los hombresno sabían contar... el concepto de nú-mero debía estar revestido, en sus espíri-tus, del aspecto de una realidadconcreta, indisociable de la naturalezade los objetos, que se reducía a unasuerte de percepción directa de la plu-ralidad material... Nuestros lejanos an-cestros, muy probablemente, estabanincapacitados mentalmente para conce-bir los números [en abstracto], proba-blemente no tenían conciencia del queel día y la noche, las alas de un pájaro,los ojos, las orejas, los brazos, las piernasde un humano, presentan una caracte-rística común, que es precisamenteaquella de “ser dos”... Los estudios reali-zados con niños pequeños así como losanálisis etnográficos llevados a cabocon pueblos “primitivos” contemporá-

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9 Para la escuela, de nuevo, lo importante debe ser que el estudiante pueda reconocer, cada vez de manera más sólida, las situaciones endonde tal forma de razonamiento es aplicable.

neos dan mayor fuerza a estas [interpre-taciones]... [Ifrah, op. cit. 21]

Los seres humanos poseen pocos instintos.El proceso evolutivo casi destruyó la estructu-ra instintiva humana. Pero, a cambio de eso,tenemos la capacidad potencial de asimilar,de reconstruir los logros intelectuales quenos han precedido. Desde luego, para esocontamos con el medio social al que perte-necemos. Contamos con la educación.

La infancia corresponde a una etapa en la quese realiza un inmenso trabajo de elaboración yrecreación. Es necesaria la infancia para la reali-zación de una lógica de la acción, que se usapara actuar sobre los dominios inmediatos denuestra percepción. La lógica corresponde a lacoordinación general de las acciones. Másadelante, con el progreso evidente de la capa-cidad semiótica, se crean las posibilidades parala internalización plena de esta lógica, transfor-mándose entonces en una lógica que actúa so-bre formas simbólicas. Es la lógica formal deladulto, cualitativamente distinta a la lógica delniño, como ha sido demostrado fehaciente-mente [Cf. Piaget 1987].

La posibilidad de la traducción del cero de an-tes (el cero Maya por ejemplo) al cero de aho-ra, como cualquier problema de traducción ycomunicación, es posible debido a que las di-versas culturas comparten estructuras lógicasde base. Esta es una respuesta piagetiana quese ha abierto espacio debido a su fuerza expli-cativa y también a la tarea, estrechamente vin-culada, de comprobación experimental en di-versas culturas10.

Durante años se han realizado en diversaspartes del mundo, un número considerable

de investigaciones cuyo propósito ha sidoverificar o refutar la teoría de Piaget sobre eldesarrollo cognitivo en los más diversos en-tornos culturales. La secuencia del desarrollocognitivo [véase Moreno 1996, para unadescripción sucinta] se encuentra en todaspartes. Cambia, eso sí, el ritmo de desarrollode las diferentes nociones (aquellas que le in-teresan a la epistemología) de acuerdo al en-torno cultural. Así por ejemplo, en socieda-des nómadas que viven de la caza, hay unmayor desarrollo de las habilidades espacia-les, que claramente son más valoradas en es-tas organizaciones sociales. Allí mismo, sevaloran menos las nociones relativas a la can-tidad, aunque no están ausentes. En las socie-dades sedentarias ocurre justamente loopuesto. Los factores ecoculturales no afec-tan, empero, el orden de aparición de las eta-pas. Afectan, eso sí, los niveles de competen-cia y desempeño [Cf. Dasen 1988, 266]. Eltrabajo de campo ha permitido mostrar quehay una serie de procesos cognitivos de baseque sufren afectaciones culturales. El desa-rrollo cognitivo, de acuerdo a los datos queha arrojado hasta ahora la investigación endiferentes culturas, no es ni totalmente uni-versal ni totalmente cultural. Para la educa-ción hay aquí una sugerencia poderosa: hayque tomar en cuenta ambas dimensiones dela cognición: lo universal y lo cultural.

El conocimiento cotidiano [Dasen 1988,267] está vinculado a los contextos particula-res y presenta características más orientadasa la eficiencia de las tareas que a la concep-tualización. En este dominio entonces, en lu-gar de hablar de conocimiento universal oespecífico, se habla de conocimiento gene-ralizable o particular. Recordemos que el

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10 Entendemos cultura como el complejo de características distintivas de orden espiritual, material, intelectual y emocional que ca-racteriza a una sociedad o grupo.

contexto, en el que está enraizada toda acti-vidad humana, no es tanto una serie de estí-mulos que afectan a las personas sino, masbien, una red de relaciones que dan significa-do a la acción.

Bishop [1988, 60] da cuenta de un interesan-te trabajo que D. Lancy realizó en NuevaGuinea y que lo llevó a desarrollar una teoríadel desarrollo cognitivo para explicar sus re-sultados. Lancy llegó a la conclusión que eldesarrollo cognitivo de las sociedades pasaesencialmente por tres etapas.

La primera, corresponde a las etapas senso-riomotora y pre-operacional de Piaget, conalgunas características de la etapa de lasoperaciones concretas. Lancy argumentaque los logros de esta etapa son comparti-dos por todos los seres humanos" [Ibíd.].Llega incluso a sugerir que es la etapa endonde la programación genética surte losmayores efectos.

De la segunda etapa, nos dice Lancy: Lo queocurre con la cognición tiene mucho más quever con la cultura y menos con la genética[Ibid.]. Es la etapa en la cual, las distintas cul-turas se interesan en distintos tipos de fenó-menos.

Aunque diferentes entornos culturales impul-sen el desarrollo cognitivo en diferentes di-recciones, no ocurre que se produzcan mo-dos de pensar totalmente divergentes. En lasdiferentes culturas se cuenta, se mide, se de-sarrollan conceptos geométricos, se juega(de acuerdo a reglas) y se desarrollan formasde explicar.

Lancy sostiene que es necesaria la considera-ción de una tercera etapa, donde se conside-ra el nivel metacognitivo. Dice:

En esta etapa, además de desarrollar es-trategias lingüísticas y cognitivas, los in-

dividuos adquieren teorías sobre el len-guaje y la cognición. Aprenden adistinguir sus conocimientos de acuerdoa sus propósitos....[Bishop, Op. Cit., 61]

Según este enfoque, la etapa de las operacio-nes formales de Piaget, representa la teoríaparticular del conocimiento que es enfatiza-da por la cultura occidental y que alcanza sumanifestación más acabada en la ciencia ac-tual. Esto explicaría, al menos parcialmente,las dificultades que tienen las culturas y tradi-ciones no occidentales por desarrollar autó-nomamente una ciencia que encarna los va-lores occidentales. Este desarrollo requierede un trabajo previo de traducción que, aun-que posibilitado por la existencia de una lógi-ca subyacente común, requiere de esfuerzosconsiderables por parte de las culturas no oc-cidentales. Este es un foco de alerta para lossistemas educativos de los llamados paísesdel Tercer Mundo.

Resultados análogos arroja el trabajo de Saxe[Hameline-Voneche (eds.), 1996] sobre el nú-mero y la medición. Allí también, las caracte-rísticas esenciales de la teoría piagetiana se re-velan como universales. Podría decirse que elmensaje que se desprende de estas experien-cias (las citadas aquí y muchas otras análogas)es que más allá de la diversidad cultural está launidad de la especie humana. Somos los mis-mos y somos diferentes. Las diferencias cultu-rales quedan registradas al nivel de las diver-sas formas de representación [Bourges,1998]. Los valores culturales encuentran sucamino a través de tales representaciones.

En su libro Psicogénesis e Historia de la Cien-cia, Piaget y García expresan su punto de vis-ta con relación al papel que desempeña elentorno social:

...la acción, excepto al comienzo mismodel período sensoriomotriz, no tiene lu-

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gar solamente en función de impulsosinternos... bien pronto en la experienciadel niño, las situaciones con las cualesse enfrenta son generadas por su entor-no social... no se asimilan objetos “pu-ros”. Se asimilan situaciones en lascuales los objetos desempeñan ciertospapeles y no otros. Cuando el sistemade comunicación del niño con su entor-no social se hace más complejo y másrico, y particularmente cuando el len-guaje se convierte en el medio domi-nante, lo que podríamos llamar laexperiencia directa de los objetos co-mienza a quedar subordinada, al siste-ma de significaciones que le otorga elmedio social. El problema que aquí sur-ge para la epistemología genética es ex-plicar cómo queda la asimilación, endichos casos, condicionada por el siste-ma social de significaciones, y en quémedida la interpretación de cada expe-riencia depende de ellas. [p. 228, subra-yado nuestro].

A partir de revisión de la obra piagetiana, seve entonces la necesidad de establecer unaclara distinción entre los problemas de ordenepistemológico y de aquellos que correspon-den al dominio de la educación. Es importan-te que podamos dilucidar cómo, aquello queaparece como un proceso privado de cons-trucción epistémica es, en realidad, permea-do por la cultura. En los ámbitos educativos,esto implica el estudio de la interacción entreestudiantes, profesor, textos y demás ele-mentos portadores de información que pue-dan ser empleados en el proceso. Lo que po-demos llamar conocimiento objetivo resultaallí de dos actividades centrales: la coopera-ción y la coordinación de los distintos puntosde vista. Ya en 1925, Piaget [p. 46] afirmabaque, con la necesidad de comunicar y discu-tir aparece la necesidad de demostrar y verifi-car; con la discusión aparece la capacidad de

deducir y de razonar verbalmente. En suma,la socialización del pensamiento entraña unprogreso lógico innegable. Pero es importan-te añadir de inmediato que este efecto de so-cialización no es mecánico ni automático: elniño se socializa en la medida en que coordi-na sus puntos de vista (lo que lo conduce aldescentramiento cognitivo) y alcanza un ni-vel de cooperación con los demás. Piagetnos dice:

...Todo pensamiento lógico está socia-lizado, porque implica la posibilidadde comunicación entre individuos.Este intercambio interpersonal se reali-za mediante correspondencias, fusio-nes, intersecciones y reciprocidades,es decir, mediante operaciones. Asípues, las operaciones realizadas den-tro de los individuos se identifican conlas operaciones realizadas entre los in-dividuos que constituyen [así] la coo-peración en el sentido propio yetimológico de la palabra. [Respuestaa Vygotsky (1995), p. 194].

La idea de que el sujeto nace con su bancocognitivo completo no goza hoy día de mu-cho apoyo. Tampoco es muy acogida la ideacontraria, es decir, que todo el conocimientodel sujeto es adquirido. Un término medio seimpone: el sujeto nace con la potencialidadde interactuar con su entorno, de ser sensi-ble a él de diversas formas y, a partir de allí,desarrollar sus estructuras cognitivas a travésde la interacción con el medio físico y, sobre-todo, con el medio social. Hay dos elemen-tos en esta expresión que son claves: el suje-to construye su conocimiento y desarrolla losinstrumentos cognitivos necesarios, para elloel sujeto necesita la interacción. El tipo de in-teracción que necesita va cambiando en unarelación dialéctica con su propio desarrollo.Estos dos términos son necesarios para el di-seño de una perspectiva cognoscitiva de la

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educación. Tenerlos presentes, favorece unatoma de conciencia sobre el papel activo delsujeto en la elaboración del conocimiento yla necesidad de considerar, en dicho diseño,la dimensión social del aprendizaje.

Los procesos de enseñanza y de aprendiza-je de las ciencias no pueden evitar las con-sideraciones, a fondo, sobre la naturalezadel conocimiento que se quiere enseñar.Esto implica estudios complementarios denaturaleza sociogenética y psicogenéticaque nos permitan apreciar las componen-tes individual y cultural del desarrollo delconocimiento. Podríamos citar, a modo deejemplo, el desarrollo de las geometríasno-euclidianas. Durante muchos siglos, losmatemáticos estuvieron convencidos deque, con un cierta dosis de ingenio, seríaposible demostrar la veracidad del postula-do de las paralelas. Esa creencia no forma-ba parte de la geometría como tal; estabaenraizada en una concepción del mundoque aquellos matemáticos compartían, apesar de provenir de culturas muy distintas.De allí podemos concluir que las relacio-nes entre los procesos cognitivos como taly las culturas en que toman cuerpo, soncomplejas, la historia de la ciencia está lle-na de ejemplos que ilustran la complejidadde estas relaciones.

Otro ejemplo: la concepción geocéntrica delSistema Solar. Distintas culturas han compar-tido una visión del mundo que pone a la Tie-rra en el centro del Universo. La han usadopara predecir eclipses. Aunque la interpreta-ción del eclipse en sí mismo haya variado, lalógica subyacente a los cálculos ha sido lamisma. En otros casos, consideraciones cul-turales o ideológicas han determinado el

campo de interés de los científicos. Pero losmétodos, aunque distintos, están construi-dos con una lógica que hace posible com-prenderlos, aún desde otras concepcionesdel mundo que pudieran ser divergentes11.

El conocimiento estratificado

La tesis epistemológica piagetiana que afir-ma que el conocimiento es una construcciónsucesiva, individual y social, de la realidad ex-periencial de los sujetos, tiene una conse-cuencia decisiva para la enseñanza de lasciencias: los niños y jóvenes inician su forma-ción científica escolar con un acervo propiode explicaciones de los fenómenos natura-les, elaborado con base en las experienciascon su mundo físico, social y cultural. Estasexplicaciones son, a menudo, incompatiblescon las explicaciones de la ciencia estableci-da y constituyen el factor aislado más impor-tante que dificulta la enseñanza y el aprendi-zaje de los conceptos científicos.

Si adoptásemos una perspectiva lineal de laapropiación de una ciencia, en la cual el co-nocimiento viejo va siendo sustituido por unconocimiento nuevo, podríamos perder devista que el sujeto puede tener (y de hecholos tiene) diversos enfoques conceptualessobre un mismo tema. Esos enfoques depen-den de las circunstancias en las cuales se ma-nifiesta el conocimiento, es decir, de su con-texto. Por ejemplo, un físico profesionalpuede pedirle a una persona, en un contextocoloquial, que cierre la ventana de una habi-tación para que no se meta el frío, aunquesepa, en estricto sentido, que está invirtiendoel proceso físico al emplear esa estructura lin-güística. El aprendizaje ocurre mediante

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11 Sugerimos al lector el estudio del capítulo IX (Ciencia, Psicogénesis e Ideología) de Piaget y García (1982).

construcciones paralelas, relativas a contex-tos específicos [Cf. Driver et al, 1994]. Los in-dividuos no piensan de una única manera so-bre un tema: van adoptando perfiles concep-tuales de acuerdo a los dominios específicosque son objeto de sus indagaciones.

Durante el aprendizaje de una ciencia, losestudiantes son introducidos a un mundoconceptual y simbólico. Este mundo no loconstruye el estudiante solo: necesita la inte-racción con los compañeros y maestros.Entonces, al poner en juego sus concepcio-nes previas y las que se van construyendo, al-canza a vislumbrar las limitaciones de suspropias ideas. El proceso de asimilación yacomodación de las distintas estructurasconceptuales de la ciencia, incluye los proce-sos dialógicos. Esto es fundamental tantodesde el punto de vista cognitivo como des-de el punto de vista escolar.

Las investigaciones sobre la estratificacióndel conocimiento y la contextualización, handado lugar a una literatura considerable so-bre el tema. Los estudios interculturales so-bre concepciones alternativas, preconcepcio-nes y conceptos científicos se han incremen-tado durante la última década [véase Thijs yVan Der Berg, 1995, y las referencias citadasen este artículo central].

El aprendizaje de una ciencia implica un pro-ceso de iniciación a las ideas y prácticas deuna comunidad científica. El aprendizajecientífico se puede ver como la iniciación auna nueva cultura o, como el proceso deaprendizaje de una segunda lengua. En losestudios interculturales ya mencionados, setematizan las relaciones entre concepcionesalternativas, preconcepciones y conceptoscientíficos.

Han sido detectadas ciertas formas de inter-pretar fenómenos físicos, comunes a diver-

sas culturas. Un ejemplo: la concepción máscomún que se presenta sobre el movimientoes que para que un cuerpo se mantenga enmovimiento uniforme (velocidad constante)hay que aplicarle una fuerza constante demanera continua, lo cual está en abierta con-tradicción con la explicación que nos sumi-nistra la física newtoniana.

Una buena parte de las concepciones alterna-tivas y las preconcepciones (ideas intuitivas)de los estudiantes, que se ponen en juego du-rante el aprendizaje de las ciencias, se basanen interpretaciones sustancialistas de los fenó-menos naturales, que adquieren así un senti-do ontológico [Cf. Thijs et al, op. cit. 337]. Losresultados de las investigaciones sobre lasideas intuitivas ponen de manifiesto que nohay un principio organizador que dé lugar aestas ideas, ellas son construidas a partir de unconjunto de experiencias primitivas fenome-nológicas que se movilizan en respuesta a si-tuaciones específicas. Por el contrario, las in-terpretaciones sustancialistas permanecen enun plano más básico, más elemental y, enconsecuencia, es más difícil hacerlas cons-cientes. Si bien las explicaciones particularesson locales y ad hoc, las convicciones ontoló-gicas están en la base de estas explicaciones ylas reactivan, porque apelan a categorías queel estudiante pone en juego para analizar elmundo y reaccionar ante él. Las conviccionesontológicas están, en su mayoría, implícitasen el razonamiento. Uno no está conscientede ellas y normalmente no las articula. Comopermanecen inexploradas, pueden ser muyresistentes ante nuevas evidencias: cuandouna información contradice alguna creenciasuperficial, ésta puede ser modificada, sinque, no obstante, cambien las conviccionesontológicas subyacentes.

Los análisis históricos y epistemológicos so-bre el desarrollo de la ciencia moderna, nos

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muestran que, en el núcleo de su fundamen-tación, se encuentra justamente la sustitu-ción del pensamiento sobre la sustancia porun pensamiento sobre las relaciones. Esto úl-timo es responsable, en gran medida, de lamatematización (funcional) de los modelosde la nueva ciencia. Entonces, al pretenderenseñar la ciencia como hoy la conocemoses inevitable que surjan conflictos cognitivos,pues los estudiantes tratarán de hallar el sen-tido de las preguntas científicas, referidas alcómo funcional, a través de sus preconcep-ciones y concepciones alternativas, que serefieren al por qué sustancialista. La fuerte re-sistencia al abandono de su conocimientoprevio, quizás explique la permanencia deestratos conceptuales que el sujeto seguiráadaptando a los contextos de sus diversas ex-periencias escolares.

Las preconcepciones que se refieren a laexperiencia física, por ejemplo, los cuerposmás pesados caen más rápido que los más li-vianos, parecen universales. Las referidasen cambio a la vida, la muerte, la salud o laenfermedad, están claramente marcadaspor las culturas [Thijs et al, op. cit. 339]. Sibien el aprendizaje de la ciencia equivale ala incorporación a una nueva cultura, lo co-mún de las preconcepciones y concepcio-nes alternativas ha permitido afirmar:

No hay evidencia, hasta la fecha, quelos diversos grupos culturales varíen encuanto al repertorio de sus procesoscognitivos. Mas bien, se ha visto que lasdiferencias culturales residen en contex-tos, en donde ciertos procesos particu-lares se tornan en sistemas funcionales.Todas aquellas preguntas sobre si distin-tos grupos culturales “tienen” ciertas for-mas de pensar y razonar, han sidogradualmente sustituidas por preguntasacerca de los contextos en los que se

aplican esas formas de razonamiento[Valerie Curran, 1980, 328].

El lenguaje, desde luego gravita en los pro-cesos de aprendizaje, entre otras cosas,porque en el empleo de muchas expresio-nes coloquiales residen las que a veces sonpreconcepciones muy tenaces. Pero aúnen este dominio, donde se tienen interpre-taciones diametralmente opuestas como lahipótesis de Sapir-Whorf (el lenguaje mol-dea el pensamiento: individuos que hablanlenguas distintas piensan distinto) y la tesisde Chomsky, sobre la existencia de unagramática universal innata, hay espaciopara pensar que la manera como los huma-nos usamos metafóricamente el lenguaje,es universal.

Este análisis que hemos esbozado sobre losestratos conceptuales y preconceptualesparece brindar un apoyo a las interpreta-ciones que ofrecimos anteriormente de lasinvestigaciones realizadas por la escuelapiagetiana.

La oposición entre “sentido común” y “senti-do científico” nos muestra que la enseñanzade la ciencia no puede proceder, simplemen-te, mediante intentos de amplificación delsentido común de los estudiantes.

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Tecnología y representacionessemióticas en el aprendizaje

de las matemáticas12

Jose Luis Lupiáñez y Luis E. Moreno ArmellaCINVESTAV — IPN, México

Resumen

Las nuevas tecnologías modifican substancialmentelos entornos socioculturales. El ámbito educativo noes ajeno a este hecho, pero aún es necesario perseve-rar en las discusiones acerca de cómo ha de llevarse acabo una adecuada implementación de estas herra-mientas en el aula, para transformarlas en instrumen-tos cognitivos.

En este capítulo se elaboran una serie de reflexionesen torno al papel que puede desempeñar la tecnolo-gía en esos procesos, y su relación con los sistemas derepresentación y las representaciones semióticas, queconstituyen la clave para entender la construcción delconocimiento matemático de los estudiantes.

1. Introducción: mediacióny representación

Una de las tesis centrales de los enfoques psi-cológicos de corte sociocultural, consiste ensostener que la acción cognitiva humana essiempre una acción mediada por alguna for-

ma de herramienta. La herramienta puedeser simbólica (el lenguaje natural por ejem-plo) o material (un telescopio, por ejemplo).Para el aprendizaje se desprende entoncesuna consecuencia nodal: la naturaleza delconocimiento producido depende de la he-rramienta. Sólo un largo proceso de descon-textualización instrumental podrá, posterior-mente, hacer factible el traslado de esefragmento de conocimiento a otros contex-tos (Moreno, 1999).

Hablaremos de la calculadora (TI-92), comoun herramienta de mediación en la construc-ción y estructuración del conocimiento ma-temático de los estudiantes. La tesis que sos-tiene que las diferentes representaciones delos conceptos matemáticos son fundamenta-les para su comprensión, ha llevado a incre-mentar su estudio durante los últimos tiem-pos. Muchos investigadores han dedicadosus esfuerzos a precisar el concepto de re-presentación y a analizar el papel que de-

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12 El presente artículo aparecerá en el libro “Estudios de Doctorado:Iniciación a la investigación en Didáctica de la Matemática”, libro home-naje al Profesor Mauricio Castro, Universidad de Granada, 2001

sempeñan en el razonamiento de los estu-diantes (Duval, 1999).

Por representaciones entenderemos, en elámbito de las matemáticas, notaciones sim-bólicas o gráficas, o bien manifestacionesverbales, mediante las que se expresan losconceptos y procedimientos en esta discipli-na así como sus características y propieda-des más relevantes. Estas representacionesse clasifican en registros de representación(Duval, 1999), según sus características. Porejemplo, si consideramos el concepto defunción, asociado a él existen registros gráfi-cos, algebraicos y tabulares. Desde luegohay otros pero hasta hoy, estos han sido losmás usados en la enseñanza. En el interior decada registro se pueden llevar a cabo proce-samientos, es decir, transformaciones de lasrepresentaciones en el mismo registro don-de fueron creadas. Más importante aún, en-tre diferentes registros de representación sepueden realizar conversiones, que son trans-formaciones de una representación hechadentro de un registro, en otra representacióndentro de otro registro. En el ejemplo de lasfunciones, una operación de conversiónpuede ser la de traducir información tabularsobre una función en una gráfica.

2. Educación Matemáticay Tecnología

Uno de los principales usos de las computa-doras y calculadoras algebraicas (como laTI-89 y la TI-92) tiene que ver con el empleode los Sistemas de Cálculo Simbólico (SCS). Esuna tecnología diseñada para gestión com-putarizada de fórmulas, vectores, matrices, …con elementos numéricos y simbólicos (Gar-cía et al., 1995). Actualmente existe un cre-ciente interés en estudiar cómo puedenaprovecharse las posibilidades que brindan

esta herramientas para la enseñanza y elaprendizaje de las matemáticas.

En 1972, Hewlett-Packard introdujo en elmercado la primera calculadora científica dela historia, la cual realizaba operaciones conlas funciones trascendentes (por ejemplo,evaluar funciones trigonométricas o logarít-micas hasta con 12 cifras exactas. Véase De-mana y Waits, 1997).

En 1986, Casio desarrolló en Japón la pri-mera calculadora graficadora, lo cual fueuna auténtica revolución en los entornoseducativos. Años después, se produce unanueva ruptura con lo establecido dentro delos sistemas educativos, cuando aparece laTI-92. Como se sabe, esta calculadora (estees un nombre inadecuado para dicha herra-mienta) posee un sistema de procesamien-to simbólico cuyas principales áreas de fun-cionalidad son:

• aritmética exacta con racionales, reales ycomplejos

• trabajo con álgebra simbólica

• obtención de soluciones numéricas

• graficación de funciones y superficies.

Veamos algunos ejemplos del trabajo condicha herramienta, en un contexto educa-tivo.

249

Tecnología y representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticas

Este tipo de posibilidades de las calculado-ras, ha hecho crecer el número de proyec-tos educativos que incluyen una compo-nente tecnológica, además de alentar aprofesores e investigadores a incluirlasdentro de sus actividades. En diversos paí-ses se han establecido proyectos y progra-mas para la formación de docentes y estu-diantes de matemáticas, con la mediaciónde estas herramientas computacionales(Rojano & Moreno, 1999).

Un argumento que se esgrime habitual-mente en contra del empleo de tecnologíaen la enseñanza de las matemáticas es quese abandona y olvida lo que se hace conpapel y lápiz, y eso va en perjuicio de la ca-lidad en la formación. Creemos que hayque entender la instrumentación de las tec-nologías informáticas en la enseñanza delas matemáticas, como un proceso de enri-quecimiento, no como substitución, tratan-do de mejorar capacidades cognitivas, node substituirlas. Una reflexión más deteni-da nos enseña que detrás de estas críticashay una comprensión precaria de la tecno-logía. Lo primero que se pone de manifies-to cuando se escucha hablar de tecnologíaes que como tal, sólo se reconoce la últimatecnología. Ya casi no se menciona que laescritura (¡sobre todo la escritura!) es unaforma de tecnología. En la introducción desu libro Orality and Literacy, The technologi-zing of the Word, Ong (1982), nos señalaque la investigación ha podido establecerdiferencias fundamentales entre las cultu-ras orales y aquellas afectadas por el uso dela escritura. Que muchas de las característi-cas que damos por sentadas en el pensa-miento científico, por ejemplo, en realidadse originaron debido a los recursos que latecnología de la escritura pone a disposi-ción de la conciencia humana . Aquí se esta-blece algo muy profundo, que ya habíamosmencionado anteriormente: que la media-ción de las herramientas afecta sustancial-mente los productos de la cognición. Eneste caso la afectación proviene de la escri-tura. Entonces, cuando un niño realiza unaoperación aritmética con papel y lápiz, eltrabajo intelectual que realiza depende yadel sistema de escritura y de notación deci-mal que está mediando sus acciones. Latecnología está presente en este caso aun-que casi no la vemos: se ha tornado invisi-

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Figura 1

ble. (La invisibilidad de las tecnologías unavez que se sumergen en la matriz sociocul-tural, es uno de sus rasgos mas interesan-tes.) Si consideramos ejemplos mas recien-tes, por ejemplo una calculadora simpleque sólo tiene capacidad para ejecutar lascuatro operaciones aritméticas, entoncesvemos surgir las críticas a su empleo en laescuela primaria. Los niños ya no aprende-rán a sumar…debido a la presencia de lacalculadora. ¿Es así acaso? Diríamos que esuna afirmación “entre dos aguas”, que esuna verdad a medias. Un uso indiscrimina-do de la herramienta sin duda introducedistorsiones en el proceso de enseñanza.Pero así como la escritura numérica no esun obstáculo para que el niño pueda realizarcálculos mentales, la calculadora tampocotiene por qué jugar ese papel. La calculadorano viene a desmovilizar la actividad cogni-tiva del estudiante, sino a darle la posibili-dad de actuar, cognitivamente, en terrenosnuevos. Por ejemplo, el uso de calculado-ras que posean sistemas de procesamientosimbólico, permite que el estudiante secentre en la interpretación de lo que estárealizando y que no se quede estancado enla realización exclusivamente sintáctica decálculos repetitivos y tediosos.

3. Educación Matemática ySistemas de Representación

El papel que juegan las representacionesdentro del marco de la educación tiene unaimportancia muy relevante. El NCTM, porejemplo, dentro del borrador de sus Princi-pios y Estándares para las Matemáticas Escola-res del 2000 (NCTM, 1998), sugiere el estudiode las representaciones como uno de losprincipales. Otra muestra del interés crecien-te en este tema, es que congresos de conoci-

da relevancia a nivel internacional se centranen él. Así por ejemplo, la XXI reunión delPME-NA, celebrado en México en octubre de1999, giró en torno a la visualización y repre-sentación en Educación Matemática.

Asociadas a la idea de sistema semiótico derepresentación surgen interrogantes que po-demos calificar de complejos. Por ejemplo,sabemos que del objeto matemático sólo sepuede hablar mediante sus representacio-nes, entonces ¿cómo entender las relacionesentre las representaciones y un objeto queno existe antes de representarlo?, ¿cómopuedo saber que el conjunto de todas las re-presentaciones conocidas de un objeto ma-temático no lo agotan, y lo que es más, sinusarlas?

La respuestas a estas cuestiones pasan poradmitir que la construcción de un conceptomatemático es un proceso en permanentedesarrollo, por lo que el nivel de objetividadcon el que lo entendemos es sólo transito-rio. Nunca se posee plenamente el concep-to, y por eso no hay lugar a concepcionesplatónicas de los objetos matemáticos.

En este trabajo, reflexionaremos en torno alas representaciones que suministra la calcu-ladora. Estas representaciones poseen cier-tas cualidades que las hacen especialmenteproductivas para el aprendizaje de las mate-máticas. Son representaciones ejecutables, esdecir, portadoras de la potencialidad de si-mular acciones cognitivas con independen-cia del usuario de la calculadora. Tal aconte-ce por ejemplo, cuando la calculadoragrafica una función.

Quizás una estrategia adecuada, desde laperspectiva del profesor, sea concebir la cal-culadora como un sistema cognitivo artificial.La calculadora manipula las representacio-nes tanto internamente como a nivel de la

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pantalla. Se comunica con el usuario y tienecapacidad para resolver ciertos problemas.Aunque todo esto es posible porque ha sidoprogramada por humanos, la complejidaddel instrumento es tal, que alcanza una ciertaautonomía (al menos a ojos del usuario). Po-dríamos ver la calculadora como un sistemacognitivo con el que tenemos oportunidadde comunicarnos y de colaborar en la solu-ción de ciertos problemas. La calculadoraofrece la oportunidad de que el estudianteinteractúe con un nuevo socio cognitivo ypueda construir nuevos significados. Desdela perspectiva del profesor, la calculadora esun nuevo agente de enseñanza. El conoci-miento que vive en la calculadora es un refe-rente para el estudiante, en el proceso de so-cializar su conocimiento.

Es crucial entender que los objetos que apa-recen en la pantalla y que manipula la calcu-ladora, no son objetos concretos ni objetosdel mundo matemático formal: son objetosvirtuales que están en la interface que separael mundo conceptual de las matemáticas delmundo de los objetos concretos. Son puesinstrumentos de conocimiento, no conoci-miento en sí mismos.

4. Representaciones Ejecutables

Las calculadoras graficadoras en general (es-pecialmente la TI-89 y la TI-92) suministran unamplio abanico de representaciones de obje-tos y relaciones matemáticas en diferentesregistros. Y lo que es más importante, permi-ten pasar de unos a otros registros, es decir,permiten la conversión de registros, lo cualsupone una inapreciable herramienta de tra-bajo en educación matemática.

En el medio de expresión que suministran lascalculadoras, pueden obtenerse propieda-

des y relaciones matemáticas de esos obje-tos, distintas a las que se observan mediantepapel y lápiz. Un ejemplo: representar fun-ciones en la máquina que resultan práctica-mente imposibles de dibujar en el papel,permitiendo así conjeturar propiedades ycomprobar visualmente (actividad que pue-de tener un importante uso didáctico) he-chos que escapaban al análisis algebraico.Para ilustrar lo anterior, tomemos una fun-ción que fue importante en la búsqueda defunciones continuas pero no derivables enningún punto.

Antes de la sorprendente presentación quedio Karl Weierstrass en la Academia de Ber-lín en 1872 de la serie trigonométrica

f b Cos an n

n

( ) ( )–

x x=∞

∑ π1

(en donde a es un ente-

ro impar, b es un real entre 0 y 1, y se ha deverificar que ab sea mayor que 1 + 3p/2)como ejemplo de función continua no deri-vable, en 1861 Riemann introdujo, en unode sus trabajos la siguiente función, afirman-do que era continua para cualquier valor de x

pero que existían infinitos valores de la varia-ble en donde no era diferenciable (Bressoud,1994):

fSin n

nn

( )( )

–

xx=

∞

∑2

21

La no diferenciabilidad de esta serie es difícilde probar, y no fue sino hasta 1916, cuandoG.H. Hardy mostró que, dado cualquier inter-valo acotado, existen en él infinitos valoresde x en los que la función no es diferencia-ble, pero en 1970 se demostró que tambiénexisten infinitos valores de la variable en losque sí lo es. Si representamos algunas sumasparciales de esta función en la calculadorapodemos observar lo complicado de su gráfi-ca, si bien puede encontrarse cierto carácter

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simétrico asociable a la acción de la funciónseno. En la figura 2 se muestra la suma de los15 primeros términos de la serie, y el recua-dro indicado en ésta se ve ampliado en la fi-gura 3.

Dentro del ambiente de trabajo de la calcu-ladora, una función es derivable en un pun-to si al realizar sucesivamente varios ZOOM

sobre su gráfica, un entorno de la imagende ese punto se ve como un trozo de recta.Si hacemos esto sucesivas veces en elejemplo arriba citado, nos acercamos auna forma de argumentación de la existen-cia de infinitos puntos en los que la funciónno es derivable.

El poder de la tecnología es epistemológico.Su impacto está basado en una reificación deobjetos y relaciones matemáticas, (Balacheff

y Kaput, 1996), que los estudiantes usan paraactuar más directamente sobre dichos obje-tos y relaciones de lo que se hacía antes, conuna enseñanza auxiliada con tecnologíasmás tradicionales. La calculadora permite verlos objetos matemáticos como manipulables,y permite actuar sobre ellos y por eso, la fuer-za de la tecnología está basada, en gran me-dida, en esa reificación de objetos y relacio-nes matemáticas.

Las representaciones analíticas tradiciona-les, se han visto ampliamente complemen-tadas y enriquecidas con estas recientestecnologías. El carácter estático que po-seen los sistemas de representación tradi-cionales desaparece con las representacio-nes ejecutables, que son manipulables, quepermiten actuar directamente sobre ellas.Esto se ilustra muy bien en los entornos degeometría dinámica como el Cabri, delcual la TI-92 incorpora una versión. Si eneste ambiente representamos un triángulo,y trazamos las bisectrices de sus ángulosexternos, puede observarse que éstas secortan en un punto, y que si variamos la po-sición, forma, o medidas con la posibilidadque brinda el dragging (deformación de lafigura sin alterar sus relaciones geométri-cas) del entorno, esta propiedad se sigueverificando (figura 4):

253


Figura 2

Figura 3

Figura 4

Con esta actividad puede plantearse la cons-trucción de las circunferencias exteriores aun triángulo, que es un ejercicio de especialbelleza geométrica (figura 5):

Esto viene a destacar esa idea de representa-ciones ejecutables que brindan estas herra-mientas, en contraposición a las representa-ciones estáticas tradicionales, con las cualesresulta menos que imposible, visualizar cier-tas propiedades de los objetos matemáticos.Las ideas y conceptos abstractos de las mate-máticas se convierten en reales con el uso dela calculadora, en el sentido de que se pue-den manipular, transformar. En otras pala-bras, se hace posible intervenirlos matemáti-camente.

Las representaciones ejecutables tienenconsecuencias diversas para el proceso de

construcción del conocimiento: el hecho deusarlas permite reflexionar sobre un nuevoobjeto, que es el resultado de la ejecución;hay dos objetos de reflexión: ese resultado yel texto que se ejecuta, por ejemplo cuandose trata de una serie de instrucciones organi-zadas a través de un programa. Un ejemplode esto lo constituyen los Scripts que puedenrealizarse con la calculadora. Un Script es undocumento del Editor de Textos formado poruna serie de comandos que permiten alusuario hacer más sencillo el manejo de lamáquina al poder repetir importantes proce-sos con sólo alterar las funciones o variablesque intervienen. Tomemos la siguiente activi-dad como ejemplo:

Dada la función racional

f ( )–

–x

x x x

x x= + +

+

4 3 2

2

6 6

6, analizar su gráfica y

compararla con la de la parábola .

Construir la gráfica de esta función no es ta-rea fácil, ya que es complejo hallar los valo-res necesarios debido sobre todo a las dosasíntotas que presenta (figura 6).

No obstante, y a pesar de esta complejidad,puede reconocerse cierto comportamientoparabólico en la gráfica; más concretamente,parece un parábola salvo en un entorno delos puntos malos en los que hay asíntotas.

254


Figura 6

Figura 5

Otra operación que por lo general no esnada sencilla, consiste en expresar un co-ciente de polinomios como fracciones sim-ples. Esta operación puede realizarse con lacalculadora mediante la orden PropFrac (fi-gura 7).

Lo que hacemos con un Script es escribir enel lenguaje ordinario de la máquina, las órde-nes necesarias para que grafique una funciónracional y calcule su expresión como fraccio-nes continuas. Además, distinguimos la partehiperbólica y la parabólica, y representamosésta última junto con la función original; po-demos entonces observar cómo la parábolaaproxima muy bien al cociente, y nos puedeservir para evaluar dicho cociente para valo-res grandes de x (figura 8).

Cada una de las líneas del Script constituyeun comando que se ejecuta de manera se-

cuencial, permitiendo que el estudiante pue-da observar qué va ocurriendo. Además, sepueden insertar líneas explicativas que acla-ren o guíen este proceso. Por otro lado, nonecesitamos cambiar esos comandos paratrabajar la actividad con otro ejemplo, pueses suficiente alterar la definición de la fun-ción original y redefinir la parábola (figura 9).

Actividades como ésta, y las ya mencionadasen el resto del trabajo, dan idea de la capaci-dad que tienen estos instrumentos para inci-dir en la formación matemática de los estu-diantes, pues ofrecen representaciones yrelaciones entre objetos matemáticos con lasque ellos pueden interactuar, dando unanueva dimensión a la construcción del cono-cimiento matemático.

Queremos destacar el hecho que para llevar alaula un trabajo de este tipo, se requieren dife-rentes consideraciones en torno a los proyec-tos curriculares y, en particular, a la formaciónde los docentes. No se trata de hacer con estasherramientas sólo lo que se hacía sin ellas, sinoque es necesaria un re-organización de los ob-jetivos, las actividades y la manera de evalua-ción en matemáticas, y eso pasa por una ins-trucción precisa del profesorado.

255


Figura 9

Figura 8

Figura 7

Referencias

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256


La demostración en perspectiva13

Luis E. Moreno Armella

CINVESTAV — IPN, México

Introducción de Euclides a Hilbert

La Matemática no es sólo un cuerpo de co-nocimientos sino una actividad. En la versióncontemporánea de la disciplina, parte del nú-cleo de la actividad lo constituye la demostra-ción. En realidad ha sido así desde la refunda-ción de la disciplina en manos de los griegos.

La matemática griega introdujo un elementonovedoso en la matemática: el método de-ductivo, en el marco de las organizaciones lo-cales. Por ejemplo la geometría del triángulo,la geometría de la circunferencia fueron de-sarrollándose como pequeños universos deconocimiento geométrico. De esta manerafue posible aplicar los resultados que ibansiendo establecidos dentro de estos univer-sos a problemas del espacio físico. Desdeluego, la geometría se desarrolla como unarepresentación y organización del conoci-miento sobre el espacio físico. Un ejemplosobresaliente lo constituye el método ideadopor Eratóstenes para estimar el radio de la tie-rra. Este tipo de ejemplos, en donde no esposible la verificación directa del resultado,fue importante para establecer el método de-ductivo como un criterio de validación, en

cierta forma para sustituir una comprobaciónque estaba ausente.

En la incorporación del método deductivo a lamatemática también resultó central la inten-ción filosófica de construir una ciencia teóricacuya meta era el conocimiento de la verdad(Véase Metaphysics, p. 512). El objetivo delmétodo deductivo era explicar: explicar era de-mostrar. Para explicar, hay que partir, en unaciencia, de primeros principios. Esta organiza-ción, ya de carácter global, en la geometría,quedó plasmada en los Elementos de Euclides.Allí hay una organización que rebasa amplia-mente las organizaciones locales a las que yahemos hecho referencia al comienzo de estetrabajo. La intención filosófica de construir unaciencia desde sus primeros principios, la pode-mos hallar en Aristóteles quien se propuso ana-lizar lo que era una ciencia demostrativa. Eltema central de su libro Tópicos es la demos-tración y la facultad que la realiza (véase Tópi-cos 1.1, p. 39). Allí se encuentran los elemen-tos que componen una ciencia demostrativa:

(i) las definiciones

(ii) los primeros principios, que los hay dedos clases: los específicos de cada cien-

257

13 Artículo publicado en la Revista Mexicana de Investigación Educativa, Vol. 1, 1996.

cia, llamados postulados y los comunesa todas, los axiomas

(iii) finalmente, está el cuerpo deductivo,compuesto por las proposiciones de-mostradas a través de la inferencia.

A grandes rasgos, estos son los antecedentesde la organización axiomática de la geome-tría griega. Lo que siguió, es decir la explora-ción de las proposiciones como miembrosconstitutivos de un sistema axiomático de lageometría, fue cambiando gradualmente elsignificado de estas mismas proposiciones.Dejaron de ser vistas como representacionesde alguna propiedad del espacio (físico). Esdecir, fueron perdiendo su valor ontológico,y fue enfatizado su aspecto lógico. Empero,esto no fue un proceso breve. Duró varios si-glos y hubo profundas razones para ello.

La principal fue, quizás, el desarrollo impulsa-do por los intentos de demostrar el V Postula-do, pues ya desde tiempos de Euclides fuevisto como una proposición muy complicadapara adjudicársele la categoría de postulado:carecía de la evidencia en sí que debía carac-terizar las proposiciones dignas de tal nom-bre. La historia de los intentos de demostra-ción del postulado de las paralelas cubre unaparte sustancial de la historia de la geometríahasta el siglo XIX. Cubre, en particular, parteimportante de la evolución de la idea de de-mostración. Desde el comienzo fue claropara quienes buscaron tal prueba que habríaque hacerlo dentro del contexto euclidiano yello comportaba una hipótesis de profundovalor epistemológico: el espacio era euclidia-no. La demostración del postulado simple-mente haría más ligero el sistema postulacio-nal. No hubo, en general, duda alguna delisomorfismo entre el sistema euclideo y el es-pacio físico. Hasta comienzos del siglo pasa-do pues, la idea de lo que constituía una de-

mostración en geometría fue esencialmentela misma que la establecida oficialmente enlos Elementos de Euclides.

La exploración rigurosa de los fundamentosde la matemática durante el siglo XIX, condu-jo a la desvalorización de la figura como ob-jeto cognitivo dentro de la matemática. Esteabandono de lo visual trajo como conse-cuencia, el predominio del lenguaje analíticopara comunicar las matemáticas.

Hasta el siglo XIX la obra de Euclides fue con-siderada como uno de los modelos de lamatemática por la metodología mediante lacual valida sus resultados. Cuando Newtonpublica su obra, los Principia, toma comomodelo a los Elementos de Euclides. Empe-ro, en su trabajo sobre el cálculo, que se de-sarrolla mediante el lenguaje del álgebra,sus criterios de legitimación son diferentes.Todo esto nos enseña que hasta el siglo XVIII

la geometría y el álgebra se regían por dife-rentes criterios validatorios (véase el trabajode Newton sobre Series Infinitas, edición deWhiteside).

La situación que acabamos de describir cam-bió radicalmente durante el siglo XIX. Enton-ces, la metodología de la geometría fueadoptada por el álgebra y el análisis. La geo-metría misma sufrió cambios radicales a tra-vés de la obra Fundamentos de Geometríade D. Hilbert. En los Elementos, los axiomasson verdades evidentes por lo cual no necesi-tan de una demostración que los justifiquecomo tales. En consecuencia, lo que poda-mos deducir de ellos, tendrá también el ca-rácter de verdad que tienen los axiomas. Encambio, en el trabajo de Hilbert, no se tieneen cuenta el carácter de verdad de los axio-mas; lo fundamental es que el conjunto deaxiomas sea consistente. Es decir, que losaxiomas no se contradigan entre sí. Por ejem-

258


plo, no debe haber, además del axioma deunicidad de la paralela por un punto exteriora una recta, otro axioma que afirme o delcual pudiera deducirse la existencia de másde una paralela por un punto exterior a unarecta. Los resultados que se deduzcan de losaxiomas tendrán el carácter de deduccionespero no un valor asociado de verdad.

La verdad La consistencia

Este esquema sugiere la transformación quesufrió la axiomatización de Euclides en ma-nos de Hilbert: una extracción del significadode los términos y proposiciones de la geome-tría y su correspondiente sustitución por elcriterio lógico de la consistencia. Este proce-so de desustanciación de la geometría, en elque ya no importa la naturaleza de los obje-tos de los que se habla sino la coherencia deldiscurso, corresponde a un movimiento ge-neral en la matemática del siglo XIX.

Geometría y desustanciación

La obra de Hilbert sobre los fundamentos dela geometría apareció como consecuenciade un movimiento general de la matemática:la búsqueda de fundamentos de naturalezaanalítica para esta disciplina. Se partió de unaidea expresada por Hilbert sobre los axiomasde una teoría: lo realmente importante noson los significados (interpretaciones) quepodamos asociar a tales axiomas sino lacoherencia que ellos mantengan entre sí. Losaxiomas juegan el papel de definiciones im-plícitas de los términos de la teoría que vie-nen mencionados en estos axiomas. Enton-ces, según Hilbert, no importa lo que son lospuntos, las líneas y los planos; lo que importason las relaciones entre ellos que vienen da-das por los axiomas. El libro de Courant—Rob-

bins ¿Qué es la Matemática?, expresa estepunto de vista de manera espléndida:

“A través de los tiempos los matemáticosconsideraron sus objetos —números,puntos, etc.—como cosas sustanciales ensí. Pero en vista de que aquellos desafia-ban una descripción adecuada, los mate-máticos del siglo pasado llegaron a laconvicción de que el problema de la sig-nificación de dichos objetos como cosassustanciales no tenía sentido dentro de lamatemática. Las únicas proposiciones re-lativas a ellos que importan son las queexpresan las relaciones mutuas entre ob-jetos indefinidos: su estructura y relacio-nes... la percepción de la necesidad de ladesustanciación de los objetos matemá-ticos ha sido uno de los resultados másfecundos del desarrollo axiomático mo-derno”.

Dos procesos pueden ser identificados comocruciales para desencadenar el programa dedesustanciación impulsado por Hilbert. Uno,la fundación de las geometrías no-euclidianas.Con el advenimiento de la geometría de Lo-bachevsky, quedó inaugurado un nuevo ca-mino para la geometría: la geometría comorepresentación de un espacio posible. Enotros términos, el paso de Euclides a Loba-chevsky es el paso de la geometría de los obje-tos a la geometría de las estructuras.

El problema de decidir si el espacio es eucli-deo ya no es más un problema de la geome-tría sino de la física. La geometría suministramodelos, no representaciones icónicas delespacio. Hay otro punto de vista desde elcual puede generarse una novedosa inter-pretación del formalismo hilbertiano. Es ladebida a Thom:

La gran lección de Hilbert consiste enmostrarnos que la formalización absolu-ta sólo es posible al costo de la extrac-

259

La demostración en perspectiva

ción total del significado (del sistemaaxiomático del que estemos dandocuenta).

Podemos decir entonces que el formalismo esla condición mediante la cual la acción quedaseparada del significado.

La demostración del V postulado

Hemos visto los extremos de una historia. Di-gámoslo así: todo comenzó con Euclides yterminó con Hilbert. Este camino es el quelleva de la verdad a la consistencia.

La ciencia griega representa el resultado deuna actividad cognitiva sobre lo empírico.Está vinculada prioritariamente a la abstrac-ción empírica. La ciencia de Hilbert es resulta-do de una reflexión sobre una ciencia ya cons-tituida, cada concepto es resultado de unareflexión sobre el contexto total del concepto.Es resultado de una abstracción reflexiva.

Entonces, la geometría griega trata de descu-brir verdades ocultas mediante un razona-miento deductivo íntimamente vinculado ala ontología. Esta característica subsiste du-rante siglos y puede verse cómo influye en laestructura de los razonamientos que buscandemostrar el V postulado. Consideremos unejemplo: Wallis (1616-1703). Su estrategia seapoya en la existencia de triángulos semejan-tes. Uno de los postulados de Euclides nosdice que con cualquier centro y cualquier ra-dio puede trazarse una circunferencia. Enparticular pueden trazarse diferentes circun-ferencias concéntricas. Dado que los triángu-los son figuras aún mas simples, esta observa-ción hace plausible suponer la existencia detriángulos semejantes. Esto es parte de la on-tología subyacente a la geometría.

La demostración de Wallis es como sigue:dado el punto P exterior a la recta l constrúya-

se la paralela m a l por P. PQ es perpendiculartanto a l como a m (Q en l). Sea n otra rectadistinta a m y a la recta determinada por PQ,que pase por P. Tómese R sobre n, entre m y l

y sobre m tómese S el pie de la perpendicularRS a m. Considerando el triángulo PSR y ellado PQ debe existir un punto T de modo queel triángulo PQT sea semejante al triánguloPSR. Se concluye que el rayo PR coincide conel rayo PT. Es decir T está sobre el rayo PR. Porotro lado, el ángulo PQT es recto. Entonces T

está en la intersección de l y n. Es decir la úni-ca paralela a l por P es m.

Llevando el análisis más lejos podemos de-mostrar a su vez, que la existencia de triángu-los semejantes se sigue del V postulado.Como son lógicamente equivalentes, laprueba de Wallis sufre del mal de petición deprincipio. El mal del que sufren todas las de-mostraciones del V postulado cuando se tra-tan de realizar desde los otros cuatro postu-lados de Euclides. Esto es lo que llevó aLobachevsky a declarar en sus Nuevos Prin-cipios de la Geometría (1835):

Es bien conocido que hasta la fecha laTeoría de las Paralelas ha permanecidoincompleta. Los esfuerzos infructuososhechos desde tiempos de Euclides y a lolargo de un periodo de más de dos milaños, me han convencido de que losconceptos involucrados en esta investi-gación no contienen la verdad de loque se desea demostrar; que para esta-blecerla se necesita el apoyo del experi-mento, por ejemplo de observacionesastronómicas, como es el caso con otrasleyes de la naturaleza.

Este párrafo muestra de modo convincenteque hacia 1835 estaba clara la independen-cia lógica del V postulado de los restantes dela geometría euclidiana, y que se había pro-ducido una ruptura en la interpretación que

260


la tradición había impuesto entre la geome-tría y el espacio físico.

Consecuencias: hacia la estructura

Hasta el siglo XIX la matemática podía apo-yarse tanto en la geometría como en el álge-bra para buscar sustentación a sus afirmacio-nes. La toma de conciencia de que elcontenido de verdad quedaba sustituido porla consistencia del modelo, volcó los esfuer-zos hacia la aritmética. ¿Habría allí la fuentede verdad que parecía necesaria para con-tinuar el trabajo matemático? Veamos la si-tuación que prevalecía en el cálculo. DesdeGalileo y Newton, una de las tradiciones ge-neradoras del cálculo extrajo, del contextogeométrico del estudio dinámico del movi-miento, las reglas de operación del nuevocálculo. El libro de Polya, Matemáticas y Ra-zonamiento Plausible reproduce de modopor demás brillante, varios ejemplos de esto.Aquí, sin embargo, no puede hablarse deuna actitud totalmente anclada en el pensa-miento empirista pues en el estudio del movi-miento aparece un concepto que no pudoser extraído de allí: el concepto de velocidadinstantánea.

El desarrollo del cálculo, del cálculo infinite-simal, siguió las líneas que le eran posiblescon este sustento conceptual. Desde luegohubo momentos de crisis como el que se dioalrededor del problema de la cuerda vibran-te y que en el fondo reflejó una incapacidaddel cálculo, hasta ese momento, para mode-lar el movimiento de un continuo. Pero elmomento de crisis que nos interesa registrarse dio durante el siglo XIX.

Es cuando Weierstrass publica (1872), gra-cias a los buenos oficios de su discípulo PaulDu Bois Reymond, su teorema sobre la exis-

tencia de funciones continuas que en ningúnpunto tienen derivada. Las consecuencias deeste resultado son profundas. Hasta enton-ces, para hablar de una función continua sedecía que era aquella cuya gráfica puede tra-zarse sin levantar el lápiz del papel. Aún hoyen día usamos esta expresión cuando quere-mos dar una idea informal sobre la continui-dad de una función. Pero el resultado deWeierstrass mostró que se podía hablar de lacontinuidad en un lenguaje totalmente analí-tico. Es decir, no era necesario recurrir a lasimágenes geométricas, a lo que los dibujossugerían para poder hablar con precisión so-bre la continuidad. La existencia de funcio-nes continuas sin derivadas así lo mostraban,pues tales funciones no se pueden graficar.

Aparecieron desde entonces advertenciassobre lo peligroso que resultaba confiar de-masiado en las conclusiones extraídas de undibujo. Se dieron demostraciones falsas basa-das en dibujos de triángulos, que llevaban ala conclusión de que todos los triángulos sonequiláteros, por ejemplo. El ojo era digno dedesconfianza, como ha dicho P. Davis.

La crisis no era sólo de carácter metodológi-co. Las estructuras conceptuales, la continui-dad por ejemplo, debieron entonces ser revi-sadas. Esto nos habla de un cambio en lanaturaleza misma del conocimiento. Unavez más el problema de la desustanciación.La toma de conciencia sobre la estructura.

Desde luego, en esta perspectiva se quedanmuchas cosas por fuera: unas por la presióndel tiempo, otras por mi desconocimiento.Pero creo que lo que sí puede verse, desdelos ojos de nuestra teoría —parafraseando aHanson— es que la idea de demostraciónestá vinculada orgánicamente a la concep-ción de los objetos de la matemática y queambos son resultado de una historia.

261

La demostración en perspectiva

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262


Proceso de transformación del uso detecnología en herramienta para

solucionar problemas de matemáticaspor los estudiantes

Luis Moreno Armella y Manuel Santos TrigoCINVESTAV — IPN, México

Traducido por Martín Eduardo Acosta GempelerGrupo Coordinador


El uso de la tecnología por parte de los estudiantes juegaun rol importante en su aprendizaje de las matemáticas.Aquí reportamos el trabajo de alumnos de secundariaque participaron en actividades de resolución de proble-mas utilizando software de geometría dinámica (Cabri).Un problema planteado por los estudiantes fue utilizadocomo medio para ilustrar tres estrategias diferentes queaparecieron en el trabajo de los estudiantes. Cada estrate-gia muestra diferentes procesos y herramientas matemáti-cos que les ayudaron a explorar y resolver el problema.

Algunas de las propuestas curriculares recien-tes identifican el uso de la tecnología comouna herramienta poderosa para el aprendizajede las matemáticas (NCTM, 2000). Los estu-diantes pueden usar la tecnología de diversasmaneras; en particular, la idea de que con ayu-da de algún software o calculadora puedanrealizar fácilmente representaciones, explorardiferentes casos, encontrar lugares geométri-cos o trayectorias de puntos (segmentos o figu-ras), parece atractiva al diseñar actividades deaprendizaje. ¿Qué tipo de herramientas mate-máticas necesitan los estudiantes para poder

mostrar un uso eficiente o significativo de latecnología durante sus experiencias de apren-dizaje? ¿En qué momento el uso de la tecnolo-gía se convierte en una herramienta poderosapara los estudiantes? Estas son preguntas quedan información para explicar lo que puedenlograr los estudiantes en una clase que pro-mueve el uso de la tecnología. En este artículodocumentamos aspectos del aprendizaje delos estudiantes que muestran un proceso deadaptación de los mismos en el uso de la tec-nología. En esta etapa los estudiantes no sólobuscan diferentes estrategias para representary resolver problemas, sino que rediseñan o for-mulan de manera explícita sus propias pregun-tas o problemas.

Marco conceptual

En una sociedad cambiante y exigente el es-tudio de las matemáticas es una necesidad

263

importante de todos los estudiantes; sin em-bargo, como lo mencionan Romberg y Ka-put:

“los cambios hacen imperativo quecualquier respuesta a la pregunta ”¿quématemáticas vale la pena enseñar?" searevisada periódicamente... independien-temente del contenido específico, elpropósito de enseñar matemáticas pue-de describirse en términos de enseñar alos estudiantes a usar matemáticas paraconstruir y comunicar ideas, usarlascomo una herramienta poderosa paraanalizar y resolver problemas, y quedarfascinados con los patrones que ellasabarcan y exponen" (pp. 15-16).

El uso de la tecnología puede jugar un rol im-portante pues ayuda a los estudiantes a repre-sentar, identificar y explorar comportamien-tos de relaciones matemáticas diferentes.Una meta importante durante el proceso deaprendizaje en matemáticas es que el estu-diante desarrolle aprecio y disposición haciauna indagación matemática genuina, duran-te sus experiencias de aprendizaje en la es-cuela. En las propuestas curriculares actuales(NCTM 200), se ha vuelto importante la ideade que los estudiantes deben plantear pre-guntas, buscar diferentes tipos de represen-tación y presentar diferentes argumentos du-rante su interacción con tareas matemáticas.De esta manera, el rol de los estudiantes vamás allá de ver las matemáticas como uncuerpo de conocimientos fijo y estático; porel contrario conceptualizan el estudio de lasmatemáticas como una actividad en la quedeben participar para identificar, explorar ycomunicar ideas implícitas en situacionesmatemáticas.

...Los estudiantes mismos desarrollan elhábito de reflexionar sobre las actividadesque realizan cuando están aprendiendo aresolver problemas. Desarrollan relacio-

nes que pueden dar significado a nuevasideas, y examinan críticamente su conoci-miento buscando relaciones nuevas ymas productivas. Llegan a ver el apren-dizaje como resolución de un problemaen el que la meta es ampliar sus conoci-mientos (Carpenter & Lehrer, 1999,p.23).

También es sabido que los profesores de-berían crear un ambiente de clase que pro-moviera experiencias para reflexionar, con-jeturar y persistir. En este contexto, eldiseño e implementación de problemasque favorezcan el uso de esas experien-cias, sigue siendo un gran desafío en la edu-cación en resolución de problemas (San-tos, 1998). Nosotros ilustramos cómo eluso de la tecnología con el tiempo se con-vierte en una herramienta poderosa paraque los estudiantes le den sentido a la infor-mación, propongan conjeturas, y exami-nen diferentes estrategias de resolución deproblemas. Animamos a los estudiantes atrabajar como una comunidad en la que sevalora no sólo las contribuciones persona-les, sino también la participación como gru-po. El compromiso de los estudiantes en elproceso de indagación y explicación seconvierte en el ingrediente clave para eltrabajo con los problemas.

Métodos y procedimientos

16 estudiantes de grado 12 participaron enun seminario de cuatro semanas con dossesiones por semana (2,5 horas cada se-sión). La idea general del seminario era uti-lizar software de geometría dinámica pararesolver problemas, inicialmente plantea-dos por el profesor. Luego, se pidió a losalumnos que ellos mismos propusieranejercicios y problemas. Durante las dos pri-

264


meras sesiones el profesor dio una intro-ducción general sobre le uso del software eilustró el uso de ciertos comandos paratoda la clase. En general, cada alumno tra-bajó primero de manera individual, luegoen pequeños subgrupos de cuatro miem-bros, y al final de cada sesión se hizo unadiscusión general con todo el grupo. Losestudiantes podían intercambiar archivos yrecibir retroalimentación de otros partici-pantes. Para el análisis del trabajo de los es-tudiantes, escogimos un problema pro-puesto por un subgrupo. Este problema fueresuelto durante las últimas dos sesionesdel seminario. Durante todo el análisis in-cluimos comentarios u observaciones paradescribir determinados comportamientosde los estudiantes que aparecieron duranteesta implementación; sin embargo no trata-mos de mostrar un análisis detallado de latranscripción de su trabajo. En lugar de eso,identificamos un conjunto de observacio-nes que ilustran las relaciones matemáticasque surgieron de la interacción de los estu-diantes con el problema. En algunos casos, laparticipación del profesor jugó un rol impor-tante al orientar la discusión de los estudian-tes llevándolos finalmente a proponer y exa-minar esas relaciones.

Origen del problema

Una actividad importante que surgió durantelas sesiones fue pedirle a los estudiantes queformularan sus propias preguntas o proble-mas. Así que durante la interacción de los es-tudiantes con los problemas o situaciones,podían explorar libremente las conexiones ocambiar los enunciados originales para exa-minar e ilustrar el comportamiento de otrasrelaciones. Un miembro de un subgrupomencionó que para formular preguntas eraimportante identificar las propiedades bási-

cas inherentes a las diferentes figuras. Porejemplo:

– ¿Qué sabemos de los rectángulos? Que tie-nen cuatro lados (dos pares de lados parale-los), lados perpendiculares, cuatro ángulosrectos, dos diagonales, un centro (intersec-ción de las diagonales), atributos como áreay perímetro y comprenden un par de trián-gulos rectángulos congruentes (Teoremade Pitágoras). Por supuesto, los estudiantesaceptaron que para poder representar elproblema utilizando el software, era impor-tante pensar en todas las figuras en térmi-nos de sus propiedades y luego seleccionarlos comandos adecuados para lograr unarepresentación particular.

– ¿Podemos construir un rectángulo si conoce-mos solamente su perímetro y una diagonal?Esta fue una pregunta planteada por un es-tudiante a toda la clase. Del trabajo en esteproblema surgieron tres estrategias diferen-tes. Aunque en todas ellas el uso de la tec-nología fue fundamental, nos centramos enidentificar dos estrategias en las que el soft-ware funcionó como una herramienta po-derosa no sólo para alcanzar la solución,sino también para explorar otras propieda-des geométricas de las figuras.

Proceso de solución de tressubgrupos

¿Cómo representar el perímetro de manera

geométrica? ¿Que información nos da el

perímetro acerca de los lados del rectángu-

lo? ¿Cómo se relaciona la información del

perímetro con la diagonal? Estas son algu-nas de las preguntas iniciales discutidas enun subgrupo que llevaron a los estudiantes arepresentar la información básica y a utilizarel software de geometría dinámica para co-

265

Proceso de transformación del uso de tecnología en herramienta para solucionar problemas de matemáticas por los estudiantes

nectar esa información. Enseguida describi-mos las principales etapas:

1) Los estudiantes representaron el semi-perí-metro como el segmento AB y escogieron unpunto Q del mismo. Es decir, a + b es la longi-tud del segmento AB donde a y b son las medi-das de los lados del rectángulo. Con esta in-formación construyeron el rectángulo EHGF

(figura 1). En esta figura a = mAQ = mEH y b =mQB = mHG.

2) Se dieron cuenta de que moviendo elpunto Q sobre el segmento AB, se generabauna familia de rectángulos de perímetrofijo. Decidieron encontrar el lugar geomé-trico del punto G cuando Q se mueve sobreAB (figura 2).

3. Encontraron que el lugar de puntos era elsegmento ST y explicaron que cuando Q sedesplaza hasta B, ET se convierte en el seg-mento AB. Igualmente, cuando Q coincidecon A, el segmento ES se convierte en AB. Esdecir, notaron que el rectángulo que queríanencontrar era uno de los rectángulos inscri-tos en el triángulo rectángulo EST. Finalmentese dieron cuenta de que el rectángulo podíadibujarse en dos posiciones diferentes ex-cepto cuando se convertía en cuadrado (fi-gura 3).

Otra estrategia escogida por dos subgruposfue concentrarse en la representación alge-braica de la situación. Es decir, usaron x e y

para los lados de los posibles rectángulos yescribieron las siguientes ecuaciones:

y x

x y

= +

+ =

–p

D

22 2 2

p: perímetro D: diagonal

En ese momento, un estudiante sugirió grafi-car las dos ecuaciones, y dijo que ya que p yD eran números dados, entonces la primera

266


6.16 cm

6.16 cm

16.27 cm

16.27 cm

Y

4.07 cm

4.07 cm

A BQ

E H

FG

S

T

NM

O

Z

W

Figura 3

A BQ

E H

FG

S

T

Figura 2

A BQ

E H

FG

Figura 1

ecuación representa una recta y la segundauna circunferencia. Utilizaron los siguientesprocedimientos y representaciones:

Aquí es importante mencionar que los estu-diantes dedicaron un tiempo considerable aanalizar los casos en los que no era posibleconstruir el rectángulo. Finalmente la gráficase convirtió en un referente para explicar laexistencia de ese rectángulo (la intersecciónde la circunferencia y la recta puede ser unpunto; en el caso del cuadrado, dos puntos,para una figura como la anterior; o ningúnpunto en cuyo caso no hay solución, como enla figura 5). El otro subgrupo que siguió estaestrategia dio una explicación algebraica so-bre la solución del sistema de ecuaciones.

Otra estrategia fue construir una familia detriángulos con perímetro igual a la suma delos dos lados del rectángulo más la longitudde la diagonal. Escogieron la diagonal dadacomo un lado fijo del triángulo y los otrosdos lados del triángulo como el semi-períme-tro del rectángulo. El software se convirtió enuna herramienta para encontrar la familia detriángulos con perímetro fijo (figura 6).

El segmento AB representa la diagonal dada yel segmento PR es el semi-perímetro. Los estu-diantes dibujaron dos circunferencias, una decentro A y radio PQ y otra de centro B y radioQR. Estas dos circunferencias se cortan en C. Ellugar geométrico del punto C cuando Q semueve sobre PR es una elipse (de focos A y B yconstante m(PR)). Luego los estudiantes seconcentraron en encontrar el triángulo conángulo ACB recto. Para encontrarlo, dibujaronuna circunferencia de centro el punto mediode la diagonal AB y radio la mitad de la diago-nal. La intersección de la elipse y la circunfe-rencia determina el vértice del triángulo rec-tángulo. En ese momento notaron que habíacasos en los que el ángulo ACB nunca seríarecto. En este caso, se observa que no hay in-tersección entre la circunferencia y la elipse.

Cuando se discutieron estas soluciones contoda la clase, fue evidente que los estudian-

267

Proceso de transformación del uso de tecnología en herramienta para solucionar problemas de matemáticas por los estudiantes

89.9 °

P RQ

A B

C

Figura 6

1x

1

y

y = -x + P/2

x2 + y2 = D2

Figura 5

y

x

D

Figura 4

tes se dieron cuenta de que el uso del softwa-re era un medio para explorar el problemadesde distintos ángulos y perspectivas. Enparticular, quedaron sorprendidos con la va-riedad de herramientas matemáticas y deideas que se presentaron en cada estrategia.Al final de la sesión, un estudiante preguntó:¿Podemos construir un rectángulo si tene-mos la diagonal y el área (en lugar del perí-metro)? Y los estudiantes estaban dispuestosa explorar la pregunta utilizando el software.

Observaciones

El trabajo mostrado por los estudiantes du-rante su interacción con el problema ilustradiferentes cualidades matemáticas de la ta-rea que les permitieron explorar las fortale-zas y debilidades de sus estrategias de solu-ción. Por ejemplo, la estrategia dinámica queutilizaron para encontrar el lugar geométricodel cuarto vértice les dio suficiente informa-ción para identificar todos los rectángulos deperímetro dado. En ese momento introduje-ron la información de la diagonal para en-contrar el rectángulo. La estrategia algebrai-ca se basó en una representación estática deun caso particular con base en el que discu-tían otras posibilidades de comportamientode las dos gráficas en términos de la intersec-ción de las gráficas. La tercera estrategia enla que los estudiantes decidieron construiruna familia de triángulos de perímetro fijocombina a la vez una representación parcialdel rectángulo (el triángulo rectángulo) y el

poder de la tecnología para encontrar todoslos que tienen una base fija (la diagonal).Cuando los estudiantes movieron los puntos,encontraron distintos lugares geométricos,asignaron medidas y formularon y sustenta-ron conjeturas; quedó claro que el softwarese convirtió en una herramienta matemáticapoderosa para los estudiantes.

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Luis Moreno ArmellaCINVESTAV –IPN, México

Introducción

Para nadie es un secreto que la demostra-ción, al estilo euclidiano, constituye el méto-do de validación por excelencia de las pro-posiciones matemáticas. Esto es compatiblecon la tendencia hacia la abstracción quebusca cristalizar, en un momento dado, lasrelaciones lógicas inherentes a los temasbajo estudio. Dichos temas suelen presentar-se como un laberinto que requiere orden ysistematicidad. Quienes han tenido una ex-periencia matemática más o menos prolon-gada, aceptan estas afirmaciones con natura-lidad, debido al contacto cotidiano con lametodología euclidiana. Sin embargo, estaactitud normativa tradicional ha empezado acambiar ante el interés por el estudio de lasprácticas matemáticas. Tales prácticas sugie-ren que la demostración se ubique para suadecuada interpretación en un escenariomás amplio, a saber, el de las pruebas y refu-taciones.

Tampoco es un secreto la tendencia hacia ellogro de una comprensión intuitiva de los te-mas matemáticos, que procura un contactoinmediato con los objetos bajo estudio, unarelación viva con ellos, por decirlo de algunamanera, que enfatice el significado concretode sus relaciones.

La historia de las matemáticas, por lo menosen su vertiente occidental, atestigua la ten-sión entre dos puntos de vista: uno, que favo-rece los enfoques abstractos y otro, que fa-vorece los enfoques intuitivos. Lo que haresultado fértil para el desarrollo de las mate-máticas, no es el predominio de una u otrade estas tendencias, sino su articulación.Gauss afirmaba en una ocasión, ya tengo elresultado, pero aún me falta la demostración.Viniendo de un matemático que hizo del ri-gor la marca de la casa, no puede dudarseque tenía claro que la práctica misma de lainvestigación matemática guardaba coinci-dencias notables con lo que ocurría en lasciencias experimentales: una exploraciónguiada por fuertes dosis de intuición, someti-das posteriormente a procesos de validacióny comprobación. En el caso de las matemáti-cas, ese proceso de validación, históricamen-te constituido, es lo que llamamos metodolo-gía euclidiana.

Sobre la demostración y el rigor se ha escritomucho a lo largo de la historia de la discipli-na, prueba de que se trata de un centro ner-vioso de gran sensibilidad. La imagen socialde la matemática refleja casi exclusivamente,la vertiente deductiva y de rigor. Esto es desa-fortunado desde el punto de vista educativopues repercute en la forma como los docen-

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tes diseñan su trabajo pedagógico. Todo do-cente pone en juego su concepción de lasmatemáticas, explícita o implícitamente,cuando enseña y cuando evalúa a sus estu-diantes. Y esta concepción, se modela, enprincipio, a partir de la imagen social de ladisciplina.

Las matemáticas no son terreno exclusivo delos matemáticos como tales; los modelos deuso se manejan de acuerdo a los contextos deaplicación y a los significados derivados deellos y no necesariamente según la sintaxis yreglas de los modelos teóricos. Como ejem-plo, podemos recordar la manera como los in-finitesimales han formado parte de los mode-los de uso del cálculo de ingenieros y físicos,en épocas incluso en que dichos objetos nohan tenido carta de ciudadanía en el mundomatemático oficial. Esto es, antes de la décadade los sesenta, que fue cuando A. Robinsonpublicó su teoría del análisis infinitesimal.

En resumen, en las aplicaciones de las mate-máticas a las ciencias, los modelos de uso si-guen reglas de validación de acuerdo al con-texto de significaciones que les son propios.

La didáctica de las matemáticas

Dado que nos interesa llevar las considera-ciones anteriores al contexto educativo, con-viene detenernos un momento en algunas

componentes de una didáctica de las mate-máticas.

La primera de estas componentes se refiereal papel que juega la epistemología en laconstitución del cuerpo teórico de la didácti-ca. La otra consideración a la que vamos a re-ferirnos, tiene que ver con la cognición.

Las reflexiones epistemológicas en el campode la educación se pueden traducir, entreotros, en los siguientes puntos:

1) Análisis de los conceptos que funcionanen una disciplina.

2) Estudio de las redes conceptuales que vin-culan esos conceptos.

3) Análisis de la evolución del significado delos conceptos que se van produciendo a lolargo de su desarrollo histórico.

La componente cognitiva, por su parte, se re-fiere a los mecanismos de apropiación delconocimiento.

El estudio de los mecanismos de apropiacióndel conocimiento está estrechamente vincula-do con el análisis epistemológico. A partir desu articulación podremos hablar de actos pe-dagógicos. La didáctica es una teoría cuya prác-tica está constituida por actos pedagógicos.

Hablar de la evolución histórica del significa-do de los conceptos matemáticos implica

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Actos pedagógicosDidáctica

Cognición

Epistemología

que las matemáticas se conciban como unaactividad humana. Como resultado de estamanera de concebir la disciplina, debe acep-tarse que el rigor es una noción histórica, esdecir, que va cambiando con las condicionessocioculturales de las sociedades en dondese produce el conocimiento que llamamos ri-guroso en determinado momento. Además,y esto es muy importante, los objetos mate-máticos dejan de ser vistos como objetosideales (ser platónicos es muy frecuente en-tre los matemáticos) y pasan a ser concebi-dos como ideas compartidas.

Un poco más sobre rigor yexploración

En la introducción hemos recordado cómo enel desarrollo de las matemáticas se han identifi-cado con claridad dos tendencias: una, quepromueve la formalización y el rigor, teniendocomo piedra angular los procesos deductivosy las demostraciones euclidianas –es decir,aquellas que parten de hipótesis y resultadosclaros y se proponen, mediante la deducción,arribar a resultados nuevos. Los matemáticosprofesionales comprenden muy bien que estaactividad formalizante del conocimiento sóloes posible una vez que se haya adelantado untrabajo exploratorio, guiado por la intuición yla imaginación de quien va delineando los re-sultados de acuerdo a una red personal de sig-nificados. El trabajo de exploración es un traba-jo situado en un contexto. La formalizaciónintenta descontextualizar los resultados trans-formándolos en esas proposiciones que deno-minamos teoremas.

No hace falta pensar mucho para convencer-se que una acción pedagógica que pretendapartir del nivel de formalización –ignorandoel examen epistemológico y su articulacióncon la cognición– no llegará muy lejos.

Hay que partir pues, del nivel de la explora-ción. Ahora bien, hasta hace poco tiempo,los recursos con los que contaban los siste-mas educativos para generar actividades deexploración se reducían prácticamente al lá-piz y papel. Esto no es nada desdeñable, porcierto. Libros como los de Polya, por ejem-plo, se han tornado clásicos y han impulsadoun acercamiento a las matemáticas a travésde lo que él ha llamado razonamiento plausi-ble. Hoy en día, para nuestra fortuna conta-mos con un instrumento de la mayor impor-tancia para la exploración matemática: lacomputadora. Con este nombre designare-mos, genéricamente las computadoras per-sonales y las calculadoras como la TI-92 queviene equipada con un CAS (un Sistema Alge-braico Computacional) y una versión deCABRI GÉOMÈTRE que permite exploracionesgeométricas de amplio alcance. Para el estu-diante de matemáticas (sin excluir a los pro-fesores, bien entendido) una computadorabien puede entenderse como un laboratoriode matemáticas. Por ejemplo, la TI-92 permi-te el estudio de las sumas parciales de una se-rie. Consideremos la serie armónica:

1/ n∑Sabemos muy bien que dicha serie es diver-gente. Resulta anecdótico recordar las pala-bras de Abel, el genio noruego, al respectode ella: “La serie es divergente...es una ver-güenza demostrar algo a partir de ella”. Por suparte Heaviside, matemático aplicado se ex-presa así: “La serie es divergente. Por lo tantodebe poder hacerse algo con ella” (R. Young,1992, p. 355). La anécdota nos hace pensar:henos aquí ante dos modos diametralmenteopuestos de concebir un resultado matemáti-co. Y esto es así porque Abel y Heaviside sondueños de visiones divergentes de las mate-máticas. Bien sabemos que Abel está sumer-

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gido en el mundo del rigor deductivo (en elparadigma euclidiano) mientras que Heavisi-de, como matemático aplicado, orienta susbúsquedas a partir de los modelos de uso, delas interpretaciones contextuales de los he-chos matemáticos. Ahora bien, ¿será ciertoque no podamos decir nada interesante so-bre la serie armónica? Empecemos hacién-donos la pregunta:

¿Cuántos términos de la serie deben sumarsepara que la suma rebase por primera vez alcinco?

Para abordar este problema usaremos la cal-culadora algebraica TI-92. En la notación deeste instrumento, la suma parcial desde n=1hasta k, se escribe así: ∑(1/n,n,1,k). Entonces:

∑(1/n,n,1,82) = 4.99002007991, y por otraparte:

∑(1/n,n,1,83) = 5.00206827268.

La respuesta es pues 83. Este es el númeromínimo de términos que deben sumarse enla serie armónica para que el valor de lasuma parcial rebase al 5. Si denotamos conNp el mínimo número de términos necesariospara que la suma parcial de la serie armónicarebase al número natural p, tenemos:

N2 = 4 (2.083333...)N3 = 11 (3.019877...)N4 = 31 (4.0272451...)N5 = 83 (5.002068...)N6 = 227 (6.004366...)N7 = 616 (7.001274...)N8 =1674 (8.000485...)N9 = 4550 (9.000208...)

Entre paréntesis hemos colocado el corres-pondiente valor de la suma parcial. Ahorabien, trabajando con papel y lápiz, es posibleaproximar, razonablemente, estos números.Pero la capacidad de amplificación algorítmi-

ca que se tiene cuando está a nuestra dispo-sición una calculadora programable (comola TI-92) es considerable. Es posible tratar ma-temáticamente esta problema de una mane-ra novedosa. Por ejemplo, es un problemanuevo pedir a los estudiantes la escritura deun programa que produzca los datos que he-mos exhibido arriba. Pero lo interesante notermina allí. Si hacemos la división Np+1/ Np

encontramos que:

(N3/ N2)= 2.75(N4/ N3)= 2.818181...(N5/ N4)= 2.6774193...(N6/ N5)= 2.734939...(N7/ N6)= 2.7136563...(N8/ N7)= 2.7175324...(N9/ N8)= 2.71804062...

Estos números (sobretodo si previamente seha producido una lista más larga de los valo-res de Np) permiten plantear una conjetura:

(Np+1/ Np ) e (p ¥)

lo cual es información valiosa sobre la seriearmónica. De modo que sí puede decirsealgo interesante sobre la serie armónica.

Este ejemplo, que aquí sólo presentamos demanera muy simplificada, da lugar a una ex-ploración muy interesante por parte de losestudiantes. Desde luego, todo esto depen-de de la sensibilidad del profesor, de la formacomo plantee el problema a los estudiantes,en un ambiente de exploración matemáticaenriquecido mediante la presencia de estosnuevos instrumentos computacionales. Losexperimentos numéricos pueden llegar a su-gerir el teorema y la manera como se lograacceder a una demostración formal del resul-tado. Resulta psicológicamente más atracti-vo para el estudiante trabajar en la búsquedade una justificación de la corrección de un

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resultado, que hacerlo en un ambiente don-de se plantee el resultado de antemano y sutrabajo consista en hallar una demostración.Este último enfoque, en un salón de clases,carece de creatividad.

Las preguntas pertinentes, en un ambienterico en tecnología, son distintas a las que sue-len formularse en un ambiente asistido sólopor papel y lápiz. Declaremos: esto no es unjuicio de valor sobre las virtudes de un en-foque sobre otro. Se trata, mas bien, de en-tender que la mediación de una forma detecnología impacta los contenidos del co-nocimiento que se va construyendo. Ennuestro caso, en el salón de clases.

Matemática experimental

En un artículo reciente (Bailey & Borwein,2001) hallamos la siguiente descripción:

La matemática experimental, es decir,la utilización de la tecnología computa-cional...con el propósito de explorar lasestructuras matemáticas, de examinarconjeturas y sugerir generalizaciones...

Un poco más adelante, en ese mismo artícu-lo (p. 52), encontramos una interesante citade Milnor, doblemente interesante debido alpersonaje:

Si puedo dar una demostración en abs-tracto de algo, me siento razonablemen-te satisfecho. Pero si puedo obtener unademostración concreta, computacionalque me permita realmente generar unarespuesta numérica, entonces quedomucho más satisfecho. Soy una especiede adicto en lo referente al trabajo conla computadora porque nos proporcio-na criterios explícitos sobre lo que estáocurriendo. Mi pensamiento es visual yme satisface mucho si puedo ver un di-

bujo de aquello con lo que estoytrabajando.

Quizás una de las consecuencias del trabajoexperimental, tal como lo estamos tratandode describir aquí, se refiera al énfasis sobreuna distinción esencial que se encuentra rei-teradamente en las matemáticas: la distin-ción entre los hechos matemáticos y las de-mostraciones matemáticas. Mandelbrot haescrito líneas realmente esclarecedoras so-bre este tema. Por ejemplo, en el ensayo es-crito para servir como introducción a la obrade Peitgen et al. (1992), añade:

Muchos distinguidos matemáticos insis-ten en que su campo... empieza con lademostración... esto puede ser debidoa que se han ido acostumbrando a verlos nuevos hechos matemáticos casi ex-clusivamente a través de lo que sugierenlas demostraciones de hechos matemá-ticos previos... pero, el desarrollo de lasmatemáticas descansa sobre muchasotras fuentes, como la observación y laexperimentación.

El enfoque experimental, como estrategiapedagógica, ha vuelto a ganar terreno. La dis-ponibilidad de los instrumentos electrónicosde cálculo ha contribuido notablemente aello. Además, la presencia de dichos instru-mentos ha dado nueva vida a la visualizaciónmatemática. Esto corresponde al principiode mediación instrumental: las característicascentrales de una forma de conocimiento es-tán en íntima relación con los instrumentosque sirven como mediadores en el procesode construcción de ese conocimiento.

Ciertas ramas de las matemáticas se han de-sarrollado como respuesta a la imposibilidadde hallar, en determinado momento, res-puestas explícitas a determinados problemas(Davis & Hersch, 1995). Por ejemplo, en elestudio de las series numéricas aceptamos

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como respuesta satisfactoria los criterios deconvergencia en lugar del cálculo explícitodel valor numérico de las sumas. A partir deresultados de esta naturaleza, se fueron modi-ficando los propósitos iniciales, dando origena ramas más cualitativas de las matemáticas.La transposición al campo de la enseñanzadio como resultado un enfoque pedagógicocuyo eje articulador resultó ser exagerada-mente formalista. La simplicidad cognitiva seequiparó a la simplicidad de la lógica formal.

Actualmente, a la luz de la potencia de losnuevos instrumentos computacionales, sepuede reevaluar esta posición. No se trata,volvemos a insistir en ello, de abandonarlos progresos incontestables de las mate-máticas en su versión actual, sino de dise-ñar estrategias didácticas que respeten laepistemología de las matemáticas. Porejemplo, no se puede cortar el hilo conduc-tor que va de los procesos matemáticos a losobjetos matemáticos.

La visualización perdió mucha credibilidaddurante el siglo XIX; la geometría dejó deser fuente de verdades matemáticas y su lu-gar lo ocupó la aritmética. Desde luego, lasgeometrías no-euclidianas no fueron aje-nas a este proceso. El hecho es que la ima-gen fue desapareciendo de la escena y lasmatemáticas quedaron, cada vez más,identificadas con su versión analítica. Hayrazones profundas para que las cosas ha-yan tomado estos rumbos. Pero la enseñan-za de las matemáticas, una vez más, no re-conoció las consecuencias negativas queuna transposición mecánica podía tenersobre la educación matemática.

La visualización tiene mucho que ofrecer, denuevo, a través de la computadora. No olvi-demos, que teorema significa “aquello que esobjeto de una visión” (Davis, 1993).

Una aventura matemática

Recientemente, el Profesor Yu Takeuchi hanarrado una interesante aventura matemáti-ca en la revista Matemáticas: Enseñanza Uni-versitaria, vol. VIII (1-2), pp. 211-218, 2000.Allí narra sus encuentros con el problema decalcular la integral:

xx

x

3

0 1ed

–

∞

∫

A la luz del contenido del presente ensayo, re-comendamos enfáticamente la lectura del tra-bajo del Profesor Takeuchi, en particular susreflexiones sobre el papel de las computado-ras en la educación. A continuación vamos apresentar un acercamiento al cálculo de la in-tegral anterior. Partimos de la idea: la cons-trucción del sentido, por parte del estudiante,es el objetivo principal de la enseñanza. Estono significa que ese sentido lo construya el es-tudiante al margen de su entorno social ni conindependencia de sus textos. Tampoco conindependencia de la influencia del profesor.Es, más bien, una labor de reconstrucción yapropiación del conocimiento.

El sistema simbólico de la calculadora TI-92

(una versión de Derive) no puede dar la res-puesta que el Profesor Takeuchi obtuvo conla ayuda del Profesor Rincón:

xx

x

34

0 115

ed

–/ .=

∞

∫ π

Tal como nos cuenta, el recurso computacio-nal para obtener este resultado fue Mathe-matica. ¿Qué podemos hacer entonces connuestra calculadora? Lo primero que se leocurre a un profesor cuando observa la inte-gral en cuestión es: ¿qué significa esa inte-

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gral?, ¿cómo hacer que el cálculo de esa inte-gral sea una actividad significativa para unestudiante?

Calcularla no puede reducirse a un ejerciciosintáctico, por complejo que este pueda ser.El virtuosismo sintáctico hizo de muchos demis colegas estudiantes buenos para las ma-temáticas, entendiendo con esta expresión elque eran muy hábiles en el manejo de la ta-bla de logaritmos —sin necesidad de enten-der, en muchos casos, las funciones de la ca-racterística y la mantisa, que hoy parecenhaber desaparecido del mapa escolar.

Las imágenes que aparecerán de aquí enadelante, están tomadas de la pantalla de laTI-92. Primero, realicemos algunos cálculosrelacionados con la integral en cuestión. Porejemplo, la integral entre 0 y 100 (figura 1):

Como puede apreciar el lector, en la línea in-ferior es donde se introduce la informaciónque debe ser procesada por la calculadora. Enla parte superior de la pantalla, aparece, a laizquierda, la notación usual de la integral y a laderecha el valor numérico de dicha integral.Parece que no hay mucha diferencia entrerealizar la integración hasta 100 o hasta 225...¿dónde podremos hallar una explicación deeste hecho? Proponemos que en la gráfica dela función. Un objeto matemático es suscepti-ble de ser representado de muchas formas.

Cada una de ellas tiene un mensaje particularpara quien estudia dicho objeto. Vamos a in-troducir a la calculadora la función, como laprimera de la lista (figura 2).

Para graficar la función debemos fijar unaventana de graficación: esto es clave cuandose pretende introducir el tema de graficacióncon el auxilio de la calculadora. La función espositiva en el intervalo de 0 a 100 y su máxi-mo valor allí lo toma en x = 2.82143936278(figura 3).

El valor máximo de la función es: 1.4214... demanera que podemos darnos una buenaidea de la gráfica si empleamos la ventanadeterminada por los valores:

xmin=0, xmax=10, ymin=-.2, ymax=1.5.

La gráfica que se obtiene corresponde a la fi-gura 4.

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Figura 1

Figura 2

Figura 3

Se ve pues, que la parte sustancial de la inte-gral (donde la integral está concentrada) estácontenida en un intervalo de la forma [0,M]en donde M es razonablemente pequeño.De modo que podemos preguntarnos: cómotomar M para que el valor de la integral de 0hasta M coincida con las doce primeras cifrasdecimales de π4/15?

La pantalla de la figura 5 muestra que integrarhasta 10 no produce una buena aproximaciónal valor de π4/15. Es decir, M = 10 no es “razo-nablemente” pequeño aún: más bien, es muypequeño. Debemos tomar valores de M mayo-res que 10. Tomemos M=50. En ese caso, ya te-nemos una aproximación hasta las primerasonce cifras decimales, tal como muestra la figu-ra 6.

Pero ahora, con la contextualización del pro-blema, gracias a los recursos de visualización

que ha prestado la calculadora, sabemos in-terpretar el resultado. Basta tomar un valorde M un poco mayor que 50, digamos M=80para obtener 6.49393940227 (figura 7).

Resultado que ya coincide con π4/15 hasta laúltima cifra decimal que apreciamos en lapantalla. Recurriendo a la imagen geométri-ca, esto significa que la integral desde 80 has-ta ∞ debe contribuir con muy poco al valorde la integral desde cero hasta infinito. Nopuede dejarse pasar por alto la analogía conlo que ocurre con la cola de las series. Estasson las oportunidades que el profesor debeaprovechar para dinamizar la red conceptualdel estudiante. Para despertar esos teoremasen acto que luego serán objeto de una mayorformalización. Para terminar, calculemos laintegral entre 80 y 200 (figura 8).

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Figura 6Figura 4

Figura 5

Figura 7

El valor numérico, como puede apreciarse,es casi insignificante (del orden de 10 a la po-tencia –30). Nos parece que una actividadplaneada de esta manera (aquí sólo hemosquerido sugerir una manera de llevarla acabo, seguramente hay formas más inteligen-tes de realizarla) permite al estudiante cons-truir un sentido para el problema propuestoy con una conducción prudente del profesorpodrá arribar al problema tal como el Profe-sor Takeuchi lo presentó a sus lectores.

Introductio in Analysin Infinitorum

Bajo este título, Euler publicó en 1748 un li-bro que marcaría una época. Un libro que hasido llamado el libro fundacional del análisis.Vale la pena citar lo que de él ha dicho Boyeren su artículo, The Foremost Textbook of Mo-dern Times reproducido en la obra Selectedpapers on calculus, editada por T. Apostol en(1969).

Dice Boyer:

...pero sobre todos estos bien conoci-dos libros de texto, se alza otro, un libroque aparece justo en la mitad de estaépoca pródiga en grandes textos y conel que prácticamente todos los autoresposteriores admiten tener una deuda.Se trata de la Introductio de Euler... Con

él, Euler llevó a cabo lo que Euclides yAl-Khowarizmi habían hecho con lageometría sintética de los griegos y el ál-gebra elemental, respectivamente. Elconcepto de función y los procesos infi-nitos habían surgido durante el sigloXVII, pero fue la Introductio la que loselevó al grado de tercer miembro deltriunvirato matemático compuesto porgeometría, álgebra y análisis”.

Ya desde 1734, Euler había resuelto un pro-blema propuesto por Johann Bernoulli, conrelación a la serie de los recíprocos de loscuadrados de los naturales. Bernoulli habíalogrado saber que la serie era convergente yque su suma era menor que 2. Pero él queríasaber, con exactitud, el valor de la suma. Eu-ler resolvió este problema y su método seconstituyó en el alma de su obra Introductio,de la que hemos dicho unas palabras ante-riormente. El resultado de Euler viene inscritoen la calculadora (figura 9):

La pregunta es: ¿Cómo lo encontró? La res-puesta de Euler no fue inmediata. Primero,hizo lo que había aprendido a realizar comoun maestro: experimentar, buscar analogías,inducir el resultado. Y después de todo ello,intentar alcanzar un nivel de justificación su-perior. A continuación describiremos a gran-des rasgos su método. En las referenciasBressoud (1994); Dunham (1990); y Young

277


Figura 9

Figura 8

(1992), el lector podrá encontrar más infor-mación sobre los cálculos de Euler.

Se parte de la funciónsen( )x

xcuyo desarrollo

en serie de potencias era conocido por Euler.Este desarrollo lo interpreta como un polino-mio de grado infinito:

13 5 7

2 4 6

–! !

–!

x x x+ + ⋅⋅⋅

cuyas raíces son todas de la forma mp dondem es un entero distinto de cero.

Cuando un polinomio tiene todas sus raícesa1, a2, ...an, distintas entre sí y ninguna es cero,entonces se puede expresar en la forma:

Aa a an

01 2

1 1 1( – )( – ) ( – )x x x⋅⋅⋅

donde A0 es el término constante del poli-nomio. Continuando con su analogía, Eulerfactoriza el polinomio de grado infinito yobtiene:

( – )( – )( – )1 14

19

2

2

2

2

2

2

x x x

π π π⋅⋅⋅

ya que las raíces vienen en pares que difierenen su signo. Posteriormente, Euler efectúa lasmultiplicaciones indicadas en este productoinfinito e iguala el coeficiente correspondien-te a x2 con el coeficiente correspondiente en

la serie de potencias desen( )x

x

obteniendo en consecuencia:

1

6

1 1

4

1

92 2 2= + + + ⋅⋅⋅

π π π

de donde obtiene su resultado.

Euler comprendía muy bien la audacia delmétodo que lo había conducido a su solu-ción. Unos diez años más tarde, escribió: “Elmétodo empleado era nuevo y nunca habíasido usado con esos propósitos” (Polya,1954). A pesar de las objeciones, empero,Euler tenía razones para confiar en la certezade su resultado. Para empezar, los valoresnuméricos de las sumas parciales de la serieasí lo indicaban (figura 10).

Además de la evidencia numérica, Euler bus-có un refuerzo en las consecuencias que te-nía su método: si en la fórmula del productoinfinito,

( – )( – )( – )1 14

19

2

2

2

2

2

2

x x x

π π π⋅⋅⋅

sustituímos x por π/2, obtenemos:

( )( )( )1

2

3

2

3

4

5

4

5

6

7

6

que es el conocido producto infinito de Wa-llis, publicado en su Arithmetica infinitorumde 1655. Euler no se detuvo allí. Comparólos siguientes coeficientes del polinomio degrado infinito con los correspondientes deldesarrollo explícito del producto infinito yobtuvo de allí la identidad:

278


Figura 10

π4

4 4901

1

4

1

3= + + + ⋅⋅⋅

De nuevo, la evidencia numérica venía al res-cate del resultado (figura 11).

Conclusiones

Los resultados presentados en las dos seccio-nes precedentes aparecen tratados tanto enel escrito ya citado del Profesor Takeuchi,como en la solución presentada en la mismarevista por el Profesor Augusto Silva. Sin em-bargo, el acceso a teoremas como el teore-ma de la convergencia dominada, la funcióngamma de Euler, la función zeta de Riemann,imponen al lector ciertas condiciones queeventualmente harían muy escasos a los lec-tores de un tema tan interesante como elque ellos han tratado en sus escritos respecti-vos. Desde luego, no intento con ello criticarsu trabajo. Me he propuesto, más bien, com-plementarlo. La historia de las matemáticas(no las vidas de los matemáticos) debe seruno de los temas del conocimiento de losprofesores de matemáticas. Allí se encuen-tran ejemplos interesantes de procesos deexploración, de pruebas y refutaciones etc.que indican claramente cómo eso que llama-mos rigor matemático es resultado de la evo-lución histórica de la disciplina. Contribuye adisipar la niebla metafísica que alimenta lacreencia de que las matemáticas son uni-

versales a priori. En lugar de ello, muestracon claridad meridiana que las matemáti-cas son una actividad humana. Que los ob-jetos de las matemáticas son objetos con-ceptuales que deben su existencia al hechoque son ideas compartidas por personas yque sin ellas, no existirían.

En la actualidad, el profesor está en posibili-dades de incorporar a la enseñanza de lasmatemáticas un instrumento que se llevamuy bien con la historia de la disciplina.Nos referimos, desde luego, a los instru-mentos computacionales en sus diversasmodalidades. Pueden iluminar la historia,convirtiéndose en amplificadores y puedenpreparar el terreno en el salón de clases dehoy, para alcanzar una reorganización con-ceptual de las matemáticas escolares. Estohe tratado de sustentarlo en las primerassecciones del presente trabajo.

Referencias

Apostol, T. (Ed.) (1969). Selected papers on calcu-lus. Washington D.C.: MAA.

Bailey, D. & Borwein, J. (2001). ExperimentalMathematics: Recent development and futu-re outlook. En B. Engquist y W. Schmid (eds),Mathematics unlimited-2001 and beyond.Springer-Verlag.

Bressoud, D. (1994). A Radical Approach to RealAnalysis. Washington: MAA.

Davis, P. J. y Hersch, R. (1995). The MathematicalExperience. Study Edition. Boston: Birkhäu-ser.

Davis, P. J. (1993). Visual Theorems. EducationalStudies in Mathematics, 24, pp. 333-344.

Dunham, W. (1990). Journey Through Genius:The Great Theorems of Mathematics. NewYork: Wiley Science Editions.

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Figura 11

Peitgen, H. et al. (1992). Fractals for the Class-room, Part One. New York: Springer-Verlag.

Polya, G. (1954). Induction and Analogy in Mat-hematics. Princeton: Princeton UniversityPress.

Young, R. (1992). Excursions in Calculus: an inter-play of the continuous and the discrete. Dol-ciani Mathematical Expositions Number 13.Washington: MAA.

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Como se mencionó en la introducción ge-neral de estas memorias, otro elemento fun-damental de la componente de Formaciónde Docentes del proyecto, es el apoyo cons-tante y el seguimiento al trabajo realizado,por parte de la coordinación del Ministerio.En ese sentido se programaron talleres pre-senciales de capacitación, seguimiento yevaluación a lo largo de la fase piloto en losque, entre otros temas, se abordaron los si-guientes:

(i) explicitación del marco teórico aclarandoaspectos conceptuales acerca de la media-ción instrumental, las representaciones eje-

cutables, la cognición situada y la fluidez al-gorítmica y conceptual;

(ii) diseño de situaciones problema con tec-nología; y

(iii) evaluación del desempeño de los estu-diantes. En esta sección se recogen tallereselaborados por el equipo de educadores delMinisterio de Educación y por el doctor More-no para apoyar el seguimiento y orientar eltrabajo de las regiones hacia el diseño de acti-vidades con tecnologías, en diferentes tópi-cos del currículo de matemáticas para la edu-cación básica secundaria y media.

281

Capítulo

3Talleres para apoyar el

seguimiento

Guía para el análisis de actividadescon calculadora1

Ana Celia Castiblanco Paiba,

Fabiola Rodríguez García y Martín Eduardo Acosta GempelerGrupo coordinador


Una vez se ha diseñado una actividad, convie-ne hacer un análisis cuidadoso, antes de apli-carla con un grupo. Para ello se recomienda se-guir los pasos que se listan a continuación.

1. Realice la actividad poniéndose en el lugarde sus alumnos.

Analice las instrucciones y las preguntasplanteadas y haga las aclaraciones o modifi-caciones que considere necesarias para quehaya una mejor comprensión de la tarea adesarrollar.

2. Revise los objetivos que espera alcanzarcon la actividad.

3. Estudie cómo se ve reflejado en la activi-dad el marco teórico del proyecto. Formúle-se preguntas como:

¿Cómo se aprovecha el papel mediador y elpapel expresivo de la tecnología?

¿Cómo se potencia el pensamiento matemáti-co?

¿Cómo se evidencia la interacción entre la ex-ploración y la sistematización?

4. Describa en detalle lo que usted esperaque el alumno haga y concluya, cuando rea-liza la actividad.

5. Discuta cuáles son las dificultades que po-drían enfrentar los alumnos. Piense en los posi-bles errores que podrían cometer y de qué ma-nera debería intervenir el profesor ante estasdificultades y errores.

6. Haga un listado de los aspectos que pue-den ser evaluados con esta actividad y paracada uno precise dos o tres indicadores de loque espera observar.

7. Haga una propuesta para mejorar, enri-quecer o ampliar la actividad.

8. Si usted tuviera que entregar un informe so-bre el desarrollo de la actividad con los alum-nos, identifique qué aspectos tendría en cuen-ta respecto a la observación del trabajo y a losproductos entregados.

282

1 Con base en esta guía, en uno de los seminarios presenciales se estudiaron algunas de las actividades realizadas por los maestros partici-pantes y se retroalimentó el trabajo para una mejor elaboración de las mismas.

Guía para una actividad con el CBL

Martín Eduardo Acosta Gempeler y Fabiola Rodríguez GarcíaGrupo Coordinador


El propósito de esta actividad es brindarles laoportunidad de aprender a preparar y llevar acabo un experimento utilizando el CBL. Es posi-ble que muchos de ustedes no hayan tenidotiempo de explorar los manuales y el materialcontenido en el CD de Texas Instruments; otroshan intentado hacerlo, pero han encontradodificultades en algunos aspectos del proceso.

Vamos a intentar presentar de manera deta-llada todo el proceso de preparación de losequipos, el desarrollo del experimento y elanálisis de datos, de manera que las dificulta-des sean mínimas y puedan repetir despuésel proceso en sus instituciones.

Introducción

1) ¿Qué es el CBL?

El CBL (Calculator Based Laboratory) es unmultímetro que recibe impulsos eléctricosy los convierte en señales digitales. Poseecinco canales en los cuales pueden conec-tarse sensores que transforman las señalesfísicas (temperatura, movimiento, presión,intensidad de luz, sonido, etc) en impulsoseléctricos.

Dentro de la dotación que entregó el Minis-terio de Educación en la fase piloto, se en-

cuentran 4 CBL, cada uno con un sensor detemperatura, un sensor de electricidad y unsensor de intensidad de luz. Estos no son losúnicos sensores que pueden conseguirse. Sisus instituciones están interesadas, puedenadquirir más sensores para realizar una granvariedad de experimentos de física, químicay biología.

El CBL puede almacenar los datos de las me-diciones en listas que puede enviar luego ala calculadora, o puede enviarlos al mismotiempo que los registra. Generalmente pro-duce dos listas, una con los datos del tiem-po (instantes en que recibe los datos) y otracon los datos de la medición. Pero puede re-cibir datos simultáneos de hasta tres senso-res diferentes.

Para la realización de los experimentos, esnecesario programar el CBL para definir cuán-tos datos tomar, de qué canales, y cada cuán-to tiempo. Por eso es necesario tener un pro-grama en la calculadora o en el computadorque controlen el funcionamiento del CBL.

2) ¿Cómo programar el CBL?

Pueden escribirse programas directamenteen la calculadora o el computador para con-trolar el CBL. Texas Instruments ofrece progra-

283

mas ya listos para diversos experimentos, quepueden ser transmitidos a la calculadora.

3) ¿Qué hacer con los datos recogidos por elCBL?

Las listas de datos se almacenan en la calcu-ladora donde pueden realizarse análisis fun-cionales o estadísticos y representarse pormedio de gráficos o tablas. Este es el mayorinterés desde el punto de vista matemático,pues una de sus tareas es la modelación desituaciones reales con el fin de explicar y pre-decir fenómenos.

El experimento

El experimento que vamos a realizar estáadaptado de uno propuesto en el Libro deexperimentos del sistema CBL que viene conla dotación del Ministerio de Educación: ex-perimento M5, pag 19. Consiste en recogerdatos de temperatura del agua en un reci-piente, para analizarlos.

1. Material necesario:

– recipiente resistente al calor

– agua hirviente

– CBL + sensor de temperatura

– programa HEAT

– calculadora.

2. Instalación del programa quecontrolará el experimento

El CD entregado con la dotación del Minis-terio contiene todos los programas necesa-rios para los experimentos descritos del Li-bro de Experimentos. Al seleccionar elbotón CBL de la página de presentación delCD pueden instalarse todos los programasen el computador. Los programas queda-rán instalados en el siguiente directorio:

C:\Archivos de Programa\ TI Education\TI-Graph Link-92plus español\CBL-CBR

En este directorio quedarán instalados los si-guientes grupos de programas generales delCBL:

– Chem-bio para experimentos de química

– Physci para experimentos de biología

284


1. Redacción o consecucióndel programa que controlará

el experimento

2. Transmisión del programa ala calculadora

3. Conexión del sensor alCBL y del CBL a la

calculadora

4. Ejecución del programa:Toma de datos

5. Transmisión de los datos a lacalculadora

6. Análisis de los datos pormedio de gráficas, tablas y

ecuaciones.

Secuencia de una actividad con el CBL:

Figura 1

– Physics para experimentos de física.

Además, se crearán los subdirectorios wb1 ywb3. En el directorio wb1 se encuentra el ar-chivo wb192p-1.9xg que es un archivo com-primido con el grupo de programas del Librode Experimentos. Al transmitir este archivo ala calculadora, se registrarán los diferentesprogramas.

3. Transmisión del programaa la calculadora

a) Conecte el cable Graph-Link a un puertoCom libre en su computador y a la calculado-ra. (Nota: algunos computadores sólo tienenun puerto Com que está ocupado con el ra-tón. En este caso deberá desconectar el ra-tón, conectar el cable Graph-Link y reiniciar sucomputador. Como no tendrá ratón, deberácontrolar el Windows con el teclado)

b) Abra el programa TI-Graph Link 92 Plus en sucomputador: aparecerá la siguiente ventana:

c) Seleccione la opción Enviar del menúEnlazar. Aparecerá la siguiente ventana

d) Asegúrese de estar ubicado en el subdirec-torio wb1 y seleccione el archivo wb192p-

1.9xg. Luego oprima el botón Añadir y porúltimo el botón Aceptar. Deberá iniciarse latransmisión de los programas a la calculado-ra. (Si obtiene algún mensaje de error deberevisar la conexión del cable a la calculadora,y el puerto Com seleccionado para la trans-misión de datos).

e) Una vez finalizada la transmisión de losprogramas haga clic en Aceptar.

Nota: los programas escritos en ingles, comolos que acabamos de transferir a la calcula-dora, no funcionarán en las calculadoras queestán en español. Además, es posible que sepresenten errores de memoria al ejecutar elprograma. Si tiene problemas de memoria,intente liberar memoria borrando programaso archivos innecesarios.

4. Conexión del sensor al CBL

y del CBL a la calculadora

Conecte el sensor de temperatura en el canal1 del CBL y conecte el CBL a la calculadora.Recuerde oprimir fuertemente el cable deconexión.

285


Figura 2

Figura 3

5. Preparar el materialdel experimento

Asegúrese de tener agua hirviendo y prepareel recipiente para verterla.

6. Ejecutar el programa

En la pantalla HOME escriba heat() y oprimaENTER. Aparecerá la pantalla de presenta-ción. Al oprimir ENTER nuevamente, comen-zará la ejecución del programa. Se le pediráque defina el intervalo de tiempo entre da-tos: escriba 60 (segundos). El programa to-mará 36 muestras de temperatura cada 60segundos.

Vierta el agua hirviendo en el recipiente e intro-duzca el sensor dentro del agua. Luego oprimaENTER para comenzar la toma de datos.

Usted verá aparecer la pantalla de grafica-ción y los puntos correspondientes a las pa-rejas ordenadas (tiempo, temperatura).Espere hasta terminar la toma de datospara realizar el análisis de los mismos.

7. Preguntas orientadoras conrespecto a la gráfica de puntos

a) ¿Qué forma aproximada tiene la gráfica depuntos? ¿ Podría ser una recta? ¿Una parábo-la? Explique su razonamiento.

b) Describa el comportamiento de las varia-bles.

c) Prediga la tendencia de la gráfica de puntospara valores de tiempo mayores a 36 minutos.

d) ¿Alcanzarán los puntos de datos el valory = 0?

e) ¿Cuál será la temperatura más baja que seregistre?

f) ¿En qué instante aproximadamente el aguapresenta una temperatura aproximada de 45°?

g) ¿En qué instante aproximadamente el aguatendrá una temperatura aproximada de 20°C?

h) ¿Podría calcular la temperatura que teníael agua 15 minutos antes de comenzar laexperiencia? Explique su respuesta.

8. Modelación matemáticade los datos

a) ¿Qué tipo de función se ajustará mejor alos datos?

b) Calcule la regresión correspondiente y al-macene la ecuación en y1 (o en una variableque tenga disponible)

Ubíquese en cualquier otra ventana y opimala tecla APPS. Seleccione 6: Data/MatrixEditor (Current)

Obtendrá la tabla con los datos tomados.

Seleccione F5 + Calc. Obtendrá una venta-na como la de la figura 6.

Seleccione el tipo de regresión que considerase ajusta mejor a los datos y asigne a la varia-ble x los valores de la columna c1 y a la varia-ble y los valores de la columna c2 (figura 7).

Almacene el resultado en y1 (o en una varia-ble que tenga disponible) (figura 8).

286


Figura 4

Oprima ENTER ¿Qué función obtiene?

a) Realice la gráfica y compruebe que se tra-ta de un ajuste razonable.

b) De acuerdo con la expresión algebraicaobtenida, explique qué significa cada varia-ble y cada constante, con respecto al experi-mento.

c) ¿El modelo matemático se ajusta a la reali-dad? Si no, ¿en qué difiere? ¿Qué cambiosdebe hacer para ajustar el modelo a la reali-dad?

d) De acuerdo con la función obtenida:

• ¿En qué momento el agua alcanzará unatemperatura de 36°C?

• ¿En qué momento el agua alcanzará latemperatura ambiente? Explique su res-puesta a la luz del modelo y a la luz de laexperiencia.

• ¿En qué momento, teóricamente, la tem-peratura del agua se situará 1°C por enci-ma de la temperatura ambiente?

• ¿En qué momento el agua estaba a 75°C?

• ¿Qué temperatura tenía una hora antes dela medición?

• ¿A qué velocidad (°C/segundos) perdía elagua su calor?

287


Figura 8

Figura 5

Figura 6

Figura 7

Exploraciones numéricas

Luis Moreno ArmellaCINVESTAV–IPN, México

1. Introducción

La reflexión central que propone este ensayoestá articulada alrededor de la idea de media-ción instrumental. Cualquier proceso deconstrucción de conocimiento es un procesomediado por un instrumento material o sim-bólico. Es fácil dar ejemplos: el microscopiopara el biólogo, el telescopio para el astróno-mo o sencillamente el lápiz (para cualquierpersona que escriba con tal instrumento),para casi todos.

Los instrumentos de mediación son un buenindicio de la naturaleza de las actividades ma-teriales e intelectuales de las distintas épocas.Debe mencionarse también que, debido a lanaturaleza mediada del aprendizaje, cualquie-ra sea la tecnología que empleemos, ella siem-pre modifica la naturaleza del conocimientoque construimos. Hay pues una relación indi-sociable entre la tecnología y la epistemología,disciplina ésta que se ocupa de la naturalezadel conocimiento.

Un tema que siempre ha sido fascinante es laexploración de las sumas infinitas. El términosiempre hay que precisarlo porque los mate-máticos griegos no veían con buenos ojos lapresencia explícita del infinito. El método deexhaución perfeccionado por Arquímedes es

una muestra muy clara de cómo eludir el tra-to directo con el infinito. El moderno métodoε − δ de los cursos introductorios del análi-sis y el cálculo es una decantación extraor-dinaria de esta metodología de evasión delinfinito.

Sin embargo, limitándonos al periodo de de-sarrollo de la matemática del cálculo (siglosXVII y XVIII) encontramos una fuente casi ina-gotable de sumas y productos “infinitos” tra-tadas como si fueran sumas finitas.

2. La serie armónica

Un ejemplo notable, para empezar, lo consti-tuye la suma armónica

11

2

1

3

1

4+ + + + ⋅⋅⋅

Hay muchas demostraciones de que talsuma es infinita. Sabemos que esto significaque no importa qué tan grande elijamos unaconstante M, siempre será posible sumar unnúmero conveniente de términos para queocurra lo siguiente:

11

2

1

3

1+ + + ⋅⋅⋅+ ≥n

M.

288

La exploración numérica de las sumas( / )1

1k

k

n

=∑ puede hacerse con la TI-92. En el

menú de inicio (HOME) pulsamos F3 y abri-mos los ofertas de cálculo que nos hace lacalculadora. Allí, en el lugar 4 encontramos∑ (sum) que es la opción que nos permitecalcular sumas usando la siguiente sintaxis

11 100

kk, , , ,

∑

en caso de que deseemos calcular la sumade los primeros 100 términos. Si lo hacemos,obtenemos el resultado

15187378

1

100

kk

≅=∑ . .

En el texto, es más cómodo representar estasuma mediante la notación

S k100 1( / ).

Otro cálculo nos permite obtener

S k200 1 5878031( / ) . ,≅

y otro más

S k300 1 6 282664( / ) . .≅

Estos resultados nos van convenciendo,poco a poco, de que las sumas SN(1/k) vanaumentando lentamente aún cuando au-mentemos considerablemente el valor de N.Si hacemos una tabla nos convencemos másde esto (tabla 1).

Sin embargo, la serie es divergente. Deci-mos serie para indicar que nos interesa elvalor límite de las sumas, que escribimosmediante

1

1 n.

n=

∞

∑

Tabla 1

N SN(1/k)

20 3.59774

50 4.499205

100 5.187378

150 5.591181

200 5.878031

300 6.282664

Quizá la forma más clara de mostrar la diver-gencia de la serie armónica, sea la compara-ción de los valores de las sumas parciales

con áreas respectivas bajo la curva yx

= 1.

La suma de las áreas de los rectángulos es

11

2

1

3

1

4

1+ + + + ⋅⋅⋅+n

y es mayor que el área bajo la curva entre 1 yn +1. Dicha área, por definición, es el logarit-mo neperiano de n +1

du

un n

n

= ++

∫ R ( 1)1

1

289


Figura 1

Si n aumenta, entonces el valor de Rn(n) au-menta. La función logaritmo no está acotada.En efecto, si la función logaritmo estuvieseacotada por la constante M tendríamos que,para todo n natural, Rn(n) ≤ M. Por lo tanto, altomar exponencial a ambos lados de esta de-sigualdad, obtenemos n ≤ eM. Y entonces laconstante eM sería mayor que cualquier nú-mero natural, lo que es imposible.

Como

11

2

1

3

11+ + + ⋅⋅⋅+ > +

nn nR ( )

entonces las sumas SN(1/k) no están acota-das.

A pesar de que SN(1/k) se escapa al infinito amedida que n crece, la tabla anterior indicaque la velocidad de escape de las sumasSN(1/k) es pequeña. Podemos estimar conbastante precisión y claridad lo que esto sig-nifica. Para ello introduzcamos la notación si-guiente: Np es el menor natural tal queSNp(1/k) ³ p.

Se puede entonces construir una tabla como lanúmero 2:

Tabla 2

p NP SNp(1/k)

2 4 2.083

3 11 3.02

4 31 4.027

5 83 5.002

6 227 6.004

7 616 7.001

8 1674 8.000486

9 4550 9.000208

Se necesitan 12 367 sumandos para supe-rar p =10 y la suma vale (aproximadamen-te) 10.00004. Al hacer los cocientesNp/Np–1 se observa que se van aproximan-do al número e = 2.71828. En efecto, vea-mos la tabla 3:

Tabla 3

p Np/Np–1

2 2.75

3 2.818182

4 2.677419

5 2.73494

6 2.713656

7 2.717532

8 2.718041

9 2.718022

Para N = 9 se observa que hay 4 cifras coinci-dentes con e = 2.71828. De manera que,para que la suma SN(1/k) vaya de un númeronatural al siguiente, casi hay que ir triplican-do el número de sumandos.

Para darnos una idea numérica un pocomejor de lo que esto significa, notemosque N10 = 12 367. Por lo tanto, para llegar al11 necesitamos del orden de 36 000 térmi-nos (un poco menos) y para llegar al 12 delorden de 100 000 términos.

¿Cómo hemos realizado estos cálculos? LaTI-92 trae un lenguaje de programación (ver-sión del QBASIC) que nos permite resolvereste problema (figura 2).

Por el momento no vamos a explicar la es-tructura de este programa.

290


3. La serie armónica alternante

Vamos a estudiar a continuación la serie ar-mónica alternante

11

2

1

3

1

4

1

5

1

6– – –+ + + ⋅⋅⋅

Daremos argumentos para mostrar que estasuma infinita vale Rn(2). Es decir, que

(– )1 1

1

n

n nn

+

=

∞

∑ = ≅ ⋅⋅⋅R (2) 0.6931472

En la pantalla HOME pulsamos F3 y de allí ele-gimos la opción 4 (Σ suma). Escribimos

((– )1 1∑ ∧ ( + ) / , ,1, 20),n n n

lo cual equivale a

(– ). .

106687714

1

1

20 n

n n

+

=≅∑

Conviene hacer una tabla para observar sis-temáticamente los valores que van tomandolas sumas. S kn

k

k

n= +=∑ (– ) /1 1

1. (tabla 4).

Tabla 4

n Sn

20 0.6687714

50 0.6832472

100 0.6881722

200 0.6906534

Pero si sumamos un número impar de su-mandos cada vez obtenemos una tablacomo la número 5.

Tabla 5

n Sn

21 0.7163905

51 0.702855

101 0.6980732

201 0.6956286

291


Figura 2

( ) 693147.02ln ≅

S20 S50 S100 S200 S201 S101 S51 S21

Rn(2)@ 0.693147

Figura 3

Las sumas con una cantidad par de sumandosvan creciendo y aproximándose a Rn(2). Las su-mas con una cantidad impar de sumandos vandecreciendo y aproximándose a Rn(2).

Demos otros valores de las sumas parciales(tabla 6).

Tabla 6

n Sn

400 0.69189

600 0.69231

800 0.69252

1000 0.69264

2000 0.69289

3000 0.69298

Se ve que la convergencia es lenta, pues con3000 sumandos todavía no alcanzamos lasmilésimas ya que Rn(2) ≅ 0.69314.

4. Una serie para e

Quizá la serie más conocida para aproxi-mar el número e = 2.718281828... sea la se-rie factorial

1

0 ke

k !,=

=

∞

∑

Donde k! = 1 × 2 × 3 × ... × k y 0! =1.

De nuevo, usando ∑ y la definición de n!que viene en el menú Probability de2nd+MATH, si Sn = 1

0/ ( !)k

k

n

=∑ , obtenemos

valores como los registrados en la tabla 7)

Tabla 7

n Sn

5 2.71666

6 2.71805

7 2.718254

8 2.718279

9 2.718282

10 2.7182818

con lo cual se comprueba que la aproxima-ción al valor numérico de e es muy rápida. Sidecidimos usar 12 cifras decimales, y el he-cho de que e ≅ 2.71828182846, obtenemosvalores como los de los tabla 8.

Tabla 8

n Sn

10 2.71828180115

11 2.71828182629 cifras deprecisión

12 2.7182818282910 cifras deprecisión

De modo que,

e S– . . ,–12

100000000000173 1728 10≅ ≅ ×

¡lo cual es una diferencia muy pequeña!

La serie ∑1/k! es pues un buen instrumentopara aproximar el valor numérico de e.

5. Una serie para p

Estudiemos ahora la serie de Leibniz


292

Skn

k

k

n

=+

=∑ (– )

–.

1

2 1

1

1

Algunos de los valores de sus sumas parcia-les aparecen en la tabla 9.

Tabla 9

n Sn

20 0.772905

50 0.780398

100 0.782898

200 0.784148

Las sumas van aproximando π/4 = 0,785398....Si n = 500 obtenemos S500 = 0.784899, dedonde π/4 – S500 = 0.000499. Podemos me-jorar esta aproximación a π/4. Tomandon = 7000 obtenemos S7000 = 0.785362...que ya coincide con π/4 hasta las diezmilé-simas.

6. La serie de Euler

Usaremos este nombre para la serie ∑1/n2

que sirve para calcular π2/6. Hagamos una ta-bla de algunas de las aproximacionesS kn k

n= =∑ 1 2

1/ (tabla 10).

Tabla 10

n Sn

20 1.596163

40 1.620243

100 1.634983

200 1.639946

500 1.642936

Ahora bien, el valor numérico que nos da laTI-92 de π2/6 es

π2

61644934≅ . ... ,

de modo que 500 sumandos de la serie sólonos permiten aproximar hasta las centésimas.Los 1000 términos nos dan S1000 = 1.643934...que no alcanza el tercer decimal. Paran = 2000 tenemos S2000 = 1.644434... conlo que se alcanza el tercer decimal, perotodavía no el cuarto. Con n = 3000 tene-mos S3000 = 1.64460078.

7. El producto de Wallis

En su Arithmetica Infinitorum (1655) Wallispublicó el siguiente resultado:

π2

2 2

1 3

4 4

3 5

6 6

5 7= ×

×⋅ ×

×⋅ ×

×⋅⋅⋅,

el cual es una expresión conocida como elproducto infinito de Wallis. Vamos a usar laopción 5 del menú F3 en la pantalla HOME,para realizar una estimación numérica de losproductos parciales de Wallis.

Primero debemos expresar el producto deuna forma compacta

P nn n

n n( )

( – ) ( ).= ×

×⋅ ×

×⋅⋅⋅ ×

× +2 2

1 3

4 4

3 5

2 2

2 1 2 1

Como siempre, vamos a hacer una tabla paraevaluar los productos (tabla 11).

P(n) = ∏(2k * 2k/((2k – 1) * (2k + 1)), k,1,n),

que se pueden ingresar a la calculadora enHOME presionando F3+5.

293


Estos productos son aproximaciones aπ/2 = 1.5707963

El cálculo de P(12000) demora 300 segundosaproximadamente. El producto infinito ante-rior resulta de lenta ejecución en su versióncomputacional, es decir, es un algoritmo dealto nivel de complejidad computacional.

Para Wallis, su producto debía ser una formateórica de representar al número π; no podíaser visto como un algoritmo para calcular.Con la calculadora se tiene

P(2000) ≅ 60 segundos de tiempo computa-cional,P(4000) ≅ 110 segundos,P(8000) ≅ 220 segundos.

¡Imaginemos lo que sería con papel y lápiz!

8. Producto de Vieta (1540 – 1603)

El producto infinito de Vieta

05 05 05 05 05 05 05 05 05. . . . . . . . . . . . .× + × × + × + × ×

converge a 2/π. Como en el caso del productode Wallis, este resultado es una representaciónteórica del número π, mas no es un algoritmopara calcular (aproximar) el número π. Lo po-demos convertir en un algoritmo con el recur-so del poder computacional de la TI-92.

Si escribimos a1 05= . entonces

a a a a2 1 3 205 05 05 05= + = +. . , . . , etc. El n-ési-

mo factor es a an n= +05 05 1. . ,–

con el que construiremos el n-ésimo productoparcial de Vieta. Podemos entonces definir lafunción recursiva f(n) así:

f

f n f n

( ) .

( ) . . ( – )

1 05

05 05 1

=

= +

En la TI-92 podemos introducir esta funciónde la siguiente forma. En HOME oprima

294


Tabla 11

n P(n)

20 1.5517585

40 1.5611302

100 1.5668937

200 1.568839

600 1.5701425

1000 1.5704039

2000 1.57060003

4000 1.570698

6000 1.5707305

8000 1.577472

12000 1.5707636

parte entera + 3 cifras decimales

4 cifras

{

F4+1+ENTER y escriba:f(n) = when (n=1, 05 05 05 1. , . . ( – )+ f n ). Los

productos aproximados serán entonces de laforma f f f f n( ) ( ) ( ) ...... ( ).1 2 3× × × ×

Por ejemplo, el 20-avo producto parcial se es-cribe en la TI-92 como ∏(ƒ(n),n,1,20), usando laopción F3+5. Estos productos aproximan al nú-mero 2/π. Si definimos p(n)= ∏ (f (k), k, 1, n),usando F4+1 en HOME, podremos calcular valo-res aproximados de 2/π mediante la evalua-ción de p(n) para algunos valores de n. Nueva-mente, mediante F4+1 en HOME, podemosdefinir ν(n) = 2/p(n). Esta nueva función generaaproximaciones a π, algunas de las cuales con-signamos en la tabla 12.

Tabla 12

n n (n)

3 3.12145

4 3.13655

5 3.14033

6 3.14128

7 3.14151

8 3.14157

9 3.14158772

10 3.1415914215

Para n = 20 se tiene que ν (n) = 3.14159265358da una aproximación a π(≅ 3.14159265359)con 10 cifras decimales exactas.

9. Orden de infinitud del factorial

Una de las primeras cosas que se aprendende n!, es que crece muy rápido. Por ejemplo,

10!=3 628 800 y 20! ≅ 2.44 x 1018.

Para aproximar n! para valores grandes de n,conviene considerar Rn(n!). Usando las pro-piedades del logaritmo se tiene que

Rn(n!) = Rn kk

n

( )=∑

0

.

Un buen intento de aproximación de n! es nn,lo cual puede observarse al tabular la función(tabla 13).

Rnn

n!

n

,

Tabla 13

n Rn(!)

n

n

n

5 3.2597

10 7.9215

15 12.7215

20 17.58

25 22.47

35 32.3

45 42.18

55 52.07

65 61.99

75 71.92

De acuerdo a estos resultados, resulta razo-nable escribir

Rnn

n!n

n

≅ .

Tomando exponencial a ambos lados tendre-mos

295


n

n!e ,

nn≅

y por lo tanto,

n! ≅ e–n. nn

Nota: el mayor factorial que calcula la TI-92 es449! = 3.85 × 10997 .

10. Una nota sobre logaritmos

Anteriormente hemos afirmado que

(*) Rndu

u( ) 1.

1x x

x

= >∫

Podemos graficar, usando la TI-92, tanto la

función y = Rn(x) como g(k)du

u

k= ∫1 y ver

que coinciden. De este modo tenemos unargumento (experimental, en el mundo yfenómenos de la TI-92 ) para afirmar la vali-dez de (*).

296


Modelos de regresión

Luis Moreno Armella2

CINVESTAV – IPN, México

Los siguientes son ejemplos de situacionesen las que se manifiestan relaciones entre losconjuntos de datos recogidos en la observa-ción de algún fenómeno natural o en el pro-ceso de una actividad humana. Con estosejemplos mostramos cómo, usando modelosde regresión, se puede estudiar más a fondoel fenómeno o proceso y predecir, con algúnfundamento, su evolución futura.

1. Datos de dos variables

Cuando se toman datos de un fenómeno ode un experimento se encuentran relacio-nes entre listas de los diferentes datos ob-servados. En el siguiente ejemplo tenemosuna relación entre el mes (numerado de 1 a12) y la precipitación pluvial (medida encentímetros) en el estado de Tabasco (su-reste mexicano) en un año determinado(Tabla 1).

El término scatterplot se le asigna a una gráfi-ca discreta en el plano (una gráfica de datosque relacionan dos variables dadas en formade listas discretas). Al conectar los puntos delplano de un scatterplot da una mejor idea del

comportamiento dinámico entre los datosrelacionados y aparece la idea de variación.

Tabla 1

Precipitación Mes

6.2 1

3.9 2

3.6 3

2.3 4

2 5

1.5 6

0.5 7

1.1 8

1.6 9

3.1 10

5.2 11

6.4 12

Y X

297

2 Estos ejemplos permiten introducir o reforzar la idea de que las variables X, Y están relacionadas. Poco a poco vamos nutriendo de senti-do a la idea de función.

Ejemplo. Para ilustrar la idea, construiremosel scatterplot correspondiente a los datos dela precipitación pluvial de Tabasco y la cone-xión de los puntos del mismo (figura 1).

La conexión de los puntos enfatiza de mane-ra visual los cambios (aumento, disminucióny oscilación del valor de una variable) queocurren en los datos de precipitación a medi-da que varían los meses.

La figura 2 (scatterplot) muestra el número deestudiantes egresados, contados por miles,de la secundaria en cierto país en intervalosde 10 años desde 1900 hasta 1990. ¿Se po-dría predecir lo que pasará con el número debachilleres en las próximas décadas?

2. Visualización mediantela calculadora

La ventana de graficación de la calculadoraes como la ventana de una cámara de foto-grafía. Una cámara no puede fotografiar unaescena completa. Debe centrarse en un ob-jeto (y con ello, la foto será del objeto de in-terés y de sus alrededores). Mediante elZoom-In y el Zoom-Out, la cámara puedeacercarse o alejarse del objeto de interés almomento de tomar una foto.

Análogamente, la pantalla de la calculadorasólo puede capturar una parte del plano xy

que es infinito. Mediante Zoom-Out pode-mos tener una visión mejorada de una gráfi-ca desde un punto de vista global. MedianteZoom-In podemos acercarnos a un puntode una gráfica y tener una mejor visión, másdetallada pero local, de la gráfica.

Ejemplo. La tabla 2 enlista el número de dis-cos compactos (CD’s) en millones, vendidosentre 1987 y 1993.

Tabla 2

AñoCD

(millones)

1987 102

1988 149

1999 206

1990 287

1991 333

1992 407

1993 495

298


0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000

Figura 2

Figura 1

Produzca un scatterplot tomando como baseel rectángulo (ventana de visualización)[1986, 1997] ´ [0,600] (figura 3)

La gráfica en la TI92 puede producirse de la si-guiente manera:

1) pulsar la tecla de APPS

2) seleccionar 6 (Data/matrix editor)

3) llenar la columna c1 con los datos que secolocan en el eje x

4) llenar la columna c2 con los datos que secolocan en el eje y

5) pulsar F2 y luego F1 para definir el tipo degráfica que ha de vincular los datos de c1con los de c2 (podemos elegir xy line

como tipo de gráfica)

6) pulsar ♦ R para ingresar a la pantalla dedefinición de funciones, pulsar F2+9 (ZoomData) y ver la gráfica que relaciona funcio-nalmente los datos de la columna c1(x) conlos datos de la columna c2 (y).

¡Esta sencilla técnica permite una explora-ción visual de relaciones funcionales (sin de-cir que son funciones) sin fórmulas! (figura 4).

3. Modelos

Mediante un modelo se intenta explicar unfenómeno físico o natural. Un modelo:

• se basa en datos recogidos

• puede ser un diagrama, una ecuación,una descripción verbal o cualquier otraforma de comunicación

• es una abstracción que posee las caracterís-ticas de ser capaz de explicar un fenómenosin contradecir datos e información que seconoce como correcta y de predecir fenó-menos futuros para generar nueva informa-ción.

Los modelos matemáticos se usan para dise-ñar aviones, estimar tendencias ecológicas,controlar el tráfico urbano, analizar la difu-sión de epidemias, predecir el tiempo atmos-férico, entre muchas más aplicaciones.

En general, los modelos son aproximados.Por ejemplo, ciertos datos pueden estar enuna relación aproximadamente lineal. En estecaso, una función lineal puede usarse comoun modelo aproximado de los datos.

Ejemplo. En un país europeo, el ingresoanual per-cápita entre los años 1990 y 1994ha sido como lo muestra la tabla 3.

299


Figura 4

Figura 3

Tabla 3

c1(Año)

c2Ingreso

1990 18 635

1991 19 091

1992 20 105

1993 20 800

1994 21 809

El scatterplot correspondiente se observa enla figura 5.

Estos datos pueden modelarse mediante lafunción f(x)= 805.7 x – 1 584 866 (figura 6)

Como se ve, el modelo es aproximado yaque la gráfica de la función no pasa exacta-mente por todos los puntos del scatterplot.

Ejemplo de un modelo no-lineal. La tabla 4muestra la población (en millones) de USA

entre 1800 y 1980 en intervalos de 20 años.

Tabla 4

c1(año)

c2(población)

1800 5

1820 10

1840 17

1860 31

1880 50

1900 76

1920 106

1940 132

1960 179

1980 226

2000 ¿?

Si los incrementos hubiesen sido iguales, en-tonces el comportamiento de la población hu-biese podido modelarse mediante una funciónlineal. Los datos están en una relación no linealcomo lo muestra el scatterplot de la figura 7.

300


Figura 6

Figura 5

Por la forma de la gráfica podríamos mo-delarlos con una función cuadrática. Puedetomarsef (x) = 0.006629 x2 – 23.845303 x + 21 450.254545

(figura 8).

Ejemplo. La tabla 5 muestra datos que se hantomado de los casos detectados de indivi-duos infectados de tétanos en un país sura-mericano desde el año 1950 hasta el año1990 en períodos de diez años.

Tabla 5

c1(Año)

c2Casos de Tétanos

1950 486

1960 368

1970 148

1980 95

1990 64

El scatterplot correspondiente a estos datos serepresenta en la figura 9 y la función que mo-dela la variación se observa en la figura 10.

Un modelo aproximado está dado por la fun-ción

f(x) = 3.291205 × 1048× (0.947348)x

301


Figura 7

Figura 8

Figura 9

Ejemplo. La tabla 6 presenta los datos sobreel peso en millones de toneladas del desper-dicio de aluminio desde el año 1660 hasta elaño 2000 en periodos de 10 años.

Tabla 6

c1Año

c2Peso

1960 0.4

1970 0.8

1980 1.8179

1990 2.7152

2000 2.8

Al representar los datos de la tabla obtene-mos el scatterplot de la figura 11.

Podemos modelar estos datos mediante lafunción cúbica,

f(x) = -0.0001192 x3 + 0.707512 x2 –1399.7031 x + 922962.719334 (figura 12)


302

Figura 11

Figura 10

Figura 12

Ejemplo. La temperatura promedio del maren Fo medida mes a mes en la costa de Carta-gena en un año determinado viene dada me-diante la tabla 7.

Tabla 7

Mes Temp. (F°)

1 64.7

2 61.4

3 63.7

4 68.7

5 74.4

6 79

7 81.5

8 81.7

9 79.4

10 75.11

11 69.8

12 65.6

La gráfica correspondiente se observa en lafigura 13:

Estos datos pueden modelarse mediante lafunción

f(x) = 0.02253x4 – 0.0.67118x3 + 6.1827x2 –17.3931x + 76.5284 (figura 14)

Ejemplo. El año planetario de cada planetaen el sistema solar depende de su distancia alsol. Medidos en años terrestres los datos co-rrespondientes se presentan en la tabla 8.

Tabla 8

Planeta Distancia Año

Mercurio 0.387 0.241

Venus 0.723 0.615

Tierra 1 1

Marte 1.52 1.88

Júpiter 5.2 11.9

Saturno 9.54 29.5

303


Figura 14

Figura 13

La función f(x) = 1.001286807 x 1.50052948 esun buen modelo de estos datos.

Ejemplo. Entre 1984 y 1995 la proporciónanual entre número de estudiantes y núme-ro de computadores estuvo dada por la ta-bla 9.

Tabla 9

Año Razón

1984 306

1986 229

1988 167

1990 118.48

1992 81.82

1994 55.39

La gráfica correspondiente se muestra en lafigura 15:

La función:f(x) = – 0.0332x3 – 199.8597x2 – 400690.4326x + 2.6777

es un buen modelo de los datos suministra-dos (figura 16).

4. Función exponencial

Supongamos que una cantidad A0 = 1000 sedeposita en un banco que paga 10% de inte-rés anual.

Después del primer año, tendremos

A A A A1 0 0 001 11

10= + = +

.

Después del segundo año, tendremos:

A A A

A

A

2 1 1

1

0

2

01

11

10

11

10

= +

= +

= +

.

304


Figura 16

0

50

100

150

200

250

300

350

1984 1986 1988 1990 1992 1994

Figura 15

Después de N años tendremos:

A AN

N

= +

0 1

1

10

En general, si el interés pagado es r enton-ces, después de N años tendremos

AN = Ao (1 + r)N

que representa la fórmula de interés simple.Supongamos ahora que los intereses se pa-gan más de una vez al año. Por ejemplo, su-pongamos que después de cada 3 meses sepaga 2.5%, esto es, un interés anual del 10%compuesto cada cuarto de año.

Después de los tres primeros meses tendre-mos:

A1 = A0(1 + 0.025)

Después de los siguientes tres meses:

A2 = A0(1 + 0.025)2

En general, si una cantidad A0 se deposita enel banco a un interés anual de r % y este inte-rés se compone m veces en el año, despuésde N años tendremos:

A Ar

mN

mN

= +

0 1 ,

que representa la fórmula del interés com-puesto.

Imaginemos ahora la siguiente situación. Sise deposita 1 peso a un interés de 100%anual, después de 1 año tendremos 2 pesos.Si el interés de 100% es compuesto mensual,entonces, después de 1 año tendremos:

11

122 613035

12

+

≅ . pesos

Si el interés de 100% anual se compone dia-riamente, entonces, después de un año ten-dremos

11

3652 714567

365

+

≅ . pesos

Si el interés se compone cada hora (un añotiene 365 días = 365 x 24 horas = 8760 ho-ras) entonces al final del año tendremos

11

87602 718127

8760

+

≅ .

Si el interés se compone cada segundo, al fi-nal del año tendremos

11

315360002 718282

31536000

+

≅ .

Todos los cálculos anteriores se han hecho deacuerdo con la fórmula de interés compuesto

A Ar

mN

mN

= +

0 1 ,

donde A0 = 1 (1 peso es el capital inicial), r= 1 (100% de interés anual), N = 1 (1 año).

Después de N años, ese peso depositado ainterés de 100% anual compuesto, continua-mente nos habrá producido.

Ar

meN

m N

N= +

≅1 ,

Podemos entonces interpretar la fórmulaAN = eN como el capital producido por 1peso después de N años de permanecer de-

305


positado al 100% anual y compuesto conti-nuamente.

Si A0 pesos se depositan a un interés anualdel r % compuesto continuamente, despuésde N años tendremos:

A Ar

mA

r

mAN

mNrNm

r

= +

= +

≅0 01 1 0erN

Así, se usa la fórmula AN = A0 erN para calcu-lar el interés compuesto (r) continuo despuésde N años.

Ejemplo. La bacteria E. Colis que habita enlos intestinos, es muy peligrosa para los ni-ños. Los estudios sobre su proliferación hanmostrado que una población de E. Colis du-plica su tamaño cada 49.5 minutos. Enton-ces, una población inicial de N0 de estas bac-terias, después de x minutos tendrá untamaño de

N(x) = N0 e0.014x

En efecto, teniendo en cuenta que el modelode crecimiento de poblaciones es

N(x) = N0 erx

y usando la información sobre la duplicacióndel tamaño cada 49.5 minutos, tenemos

N(49.5) = N0 e49.5r = 2N0

Luego 2= e49.5r, de donde Rn(2) = 49.5r, es

decir, rn= ≅R ( )

..

2

4950014

Por lo tanto, la función que modela el creci-miento de la E. Colis, viene dada por

N(x) = N0e0.014x.

(N(x) es el número de bacterias por milímetrocúbico)

¿Cuánto tiempo habrá transcurrido cuandouna población inicial N0 = 500 000 haya au-mentado hasta 25 millones?

N(x) = 500 000 e0.014x = 25 000 000

e0.014x =50,

aplicando logaritmos,

0.014x = Rn (50) o sea que

x = ≅Rn( )

..

50

0014279 43 minutos

5. Ecuación logística

Una población de bacterias, de insectos, etc,no sigue creciendo indefinidamente. Des-pués que una región ha sido saturada poruna población, el tamaño de dicha pobla-ción empieza a decrecer debido a las limita-ciones de los recursos naturales.

Esto ocurre también con la altura de un ár-bol. Un comportamiento de esta clase semodela mediante la función logística repre-sentada por

fc

ba( )

( )x

x=

+1a, b, c son constantes.

Uno de los primeros estudios sobre crecimien-to de una población se hizo en 1913. Se tratódel estudio del crecimiento de la población deplantas de levadura. Una pequeña cantidadfue colocada en un contenedor que incluíauna cantidad fija de alimentos. Cada dos horas

306


se revisaba la cantidad de levadura. Los datosproducidos aparecen en la tabla 10.

Tabla 10

Tiempo(hrs)

Levadura(unidades)

0 9.6

2 29

4 71.1

6 174.6

8 350.7

10 513.3

12 594.8

14 640.8

16 655.9

18 661.8

La función que modela el fenómeno es:

fe

( ).

. .– .x

x=

+ +65995

1 7686 151840 555

La población crece lentamente al principio,luego se acelera su crecimiento y eventual-mente se estabiliza. Esto último se debe a lacantidad limitada de alimento. Este mismotipo de crecimiento es el que corresponde alcrecimiento de un árbol (figura 19).

6. Ecuación logística (ii)

Hemos visto que la forma general de la fun-ción logística f es como se muestra en la figu-ra 20).

Esta curva representa el crecimiento de unapoblación que crece lentamente al comienzoy luego experimenta un periodo de crecimien-to rápido para después detener ese crecimien-to. Este modelo viene a sustituir al modelo ex-

307


Figura 18

Figura 19

ponencial que supone que una poblacióncrece sin límites, lo cual es realista sólo duran-te un periodo de tiempo muy corto.

El modelo logístico implica que el crecimien-to tiende a estabilizarse, que hay una pobla-ción crítica M que el medio es capaz de sos-tener a la larga.

Si P(t) es la población en el momento t yP0 = P(0), entonces

dP

dtkp

P t

M=

1–

( )

De donde,

P tM

Ae kt( )

–=

+1

Ejemplo. Vamos a estudiar la forma en queun rumor se difunde en una comunidad.

Usualmente lo inicia una persona o un núme-ro pequeño de personas. Para que el rumorse difunda, debe haber interacción entre al-guien que conoce el rumor y alguien que no.

El número de personas que oyen el rumor,en cierto momento (intervalo de tiempo) esproporcional al producto del número de per-sonas que conocen el rumor y del númerode personas que no lo conocen.

Denotemos por n al número de intervalosde tiempo transcurridos. Denotemos porun al número de personas que conocen elrumor en el tiempo n. Si P0 es la poblacióntotal, P0 – un es el número de personas queno conocen el rumor en el intervalo detiempo n.

Sea b el número de personas que inicialmen-te conocen el rumor. Sea a la constante deproporcionalidad que gobierna la transmi-sión del rumor.

Entonces,

un = un–1 + a un–1 (P0 – un–1)u1 = b

0 < a < 10 < b < P0

Graficando la función u(n) = un en la venta-na

n min = 1, n max = 200plotstrt = 1, plotstep = 1x min = 0, x max = 200y min = 0, y max = 1.1

Con la condición inicial ui1=0.01, 0.04, 0.07... obtenemos una gráfica como la figura 21.

es decir, la función logística!

308


Figura 20

Figura 21

Nota: El valor de a, 0 < a <1 indica el interésque despierta el rumor: cerca de 0, quieredecir que la “ información“ es de poco inte-rés; cerca de 1, indica que resulta muy intere-sante.

Ejemplo. La levadura es crucial para la elabo-ración de pan, vino y cerveza por ejemplo.En consecuencia, su producción ha recibidomucha atención. ¿Cómo producir levadurasbajo condiciones controladas?

La tabla 11, que corresponde al experimentoclásico de R. Carlson, muestra el peso de unacolonia de levadura en función del tiempo:

Tabla 11

T (c1) Peso (c2)

10 9.6

20 29

30 71.1

40 175

50 351

60 513

70 594

La regresión logística correspondiente pro-duce la figura 22.

La gráfica que obtenemos nos indica que elmecanismo que gobierna el crecimiento dela levadura debe ser muy similar al modeloque usamos para describir la difusión de unrumor.

Hay al menos un factor que gobierna el cre-cimiento de la levadura: las nuevas célulasprovienen de las ya existentes. Si intentamos

modelar el crecimiento de levadura con unaecuación en diferencias, bien podemos em-pezar con una ecuación de la forma:

un = un–1 + run–1

donde un es el peso de la levadura en el tiem-po n, lo que conduce a un modelo exponen-cial

un = u1 (1 + r)n–1

Este no es un modelo adecuado ya que losdatos que tenemos indican que hay un límiteal crecimiento de la levadura. Un modeloadecuado debe predecir que la existenciade este límite L = lim un.

Hay dos factores que detienen el crecimien-to de la levadura, aún bajo condiciones favo-rables: primero, la cantidad de azúcar siem-pre es finita. Una vez que se acabe ya no esposible que siga aumentando la levadura, se-gundo, cada célula de levadura excreta al-cohol que envenena a otros organismos, in-cluidas las propias células de levadura quecompiten por el azúcar.

Es pues la competencia dentro de la colonialo que genera el efecto inhibitorio. La com-petencia es una forma de interacción entre

309


Figura 22

individuos. Debemos ser capaces, por lo me-nos, de estimar el número de interacciones

Como en el modelo de difusión del rumor, lainteracción requiere de al menos dos indivi-duos. Uno de ellos lo podemos visualizarcomo el agresor. El efecto de la agresión esproporcional al número de agresores poten-ciales (un-1), que es la levadura que produceel alcohol, y al número de posibilidades vícti-mas (un-1) ya que el alcohol producido tam-bién afecta al organismo que lo produce.

Tomando p como constante de proporciona-lidad del efecto inhibitorio tendremos enton-ces que el modelo sería

u u ru pu

u B

n n n n= +

=

– – ––1 1 1

2

1

Ahora, grafiquemos la función u(n) = un,usando MODE para establecer Graph = Se-

cuence. En el editor de funciones escribi-mos

u u n u n u n

ui

1 1 1 01 1 1 01 690 1 1

1 96

= +=

( – ) . ( – )–( . / ) ( – )

.

2

(tomado de la tabla)

Finalmente definimos los valores de la venta-na de graficación:

n min = 1, n max = 100x min = 1, x max = 100y min = 0, y max = 700

Obtenemos la gráfica de la figura 23.

Ejemplo. La función logística predice el com-portamiento de una especie que se reprodu-ce anualmente y que tiene una cría conside-rable. Los conejos, salamandras, son ejem-plos de este tipo de especie. Estas especiestienen en promedio 3.5 hijos que sobreviveny llegan a su edad adulta un año después.

Para ese entonces ya no hay sobrevivientesde la generación anterior. Es decir, cada adul-to produce un adulto que lo sustituye y 2.5adultos adicionales: r = 2.5.

También está presente un nivel modestode competencia, con lo cual p se mantienepequeño, ( – )– – –u u ru pun n n n= +1 1 1

2 digamosp = 0.005

Con una generación inicial de 100, la ecua-

ción se torna:u u u

un n n==

35 0005

1001 1

2

1

. – .– –

Tomando los valores

n min = 1, n max = 25x min = 0, x max = 25y min = 0, y max =700

en la pantalla, se obtiene la gráfica de la figura24

¿Qué pasó?

310


Figura 23

Figura 24

De acuerdo con el proceso de formaciónpropuesto para la Fase Piloto, se llevó acabo un programa de apoyo y seguimiento alas regiones, con el propósito de generar lascondiciones de sostenibilidad y continuidaddel proyecto, cuando termine esta etapa. Esbien sabido que las acciones puntuales decapacitación tienen un bajo impacto en lapráctica profesional y, sin una estrategia deseguimiento, los pocos logros alcanzados sepierden en el mediano plazo. Para esto seprogramaron, además de los seminarios pre-senciales y virtuales de fundamentación, visi-tas periódicas de asesoría y seguimiento a loscolegios por parte de los coordinadores re-gionales y de profesionales del MEN.

A raíz de las dificultades manifiestas por losdocentes vinculados al proyecto respecto aldominio técnico de la calculadora TI92+, almanejo didáctico de la misma y al diseño deactividades, se programó un seminario deprofundización que ahondara en dichas te-máticas y a su vez permitiera a los docentesampliar el panorama de posibilidades quebrinda la calculadora y que enriquece el tra-bajo.

En este capítulo se presentan los talleres ela-borados por docentes vinculados al proyec-to y por el grupo del Ministerio para orientareste seminario.

311

Capítulo

4Curso de profundización en el

manejo didáctico de la tecnologíay diseño de actividades

Problemas de exploracióngeométrica1



Seleccione uno de los siguientes problemasy realice el trabajo como se indica a conti-nuación.

Explore libremente su construcción buscan-do encontrar relaciones o invariantes impor-tantes para la solución (no olvide flexibilizarlas condiciones del problema cuando lo con-sidere necesario).

Cuando crea haber encontrado los invarian-tes pertinentes para la solución, realice laconstrucción y verifique su exactitud despla-zando los puntos.

Escriba un programa de construcción.

Intente explicar por qué su construcción darespuesta al problema, y estudie las posiblesrestricciones que debe tener en cuenta (ca-sos extremos en los que la construcción dejade ser válida).

Prepare una exposición corta en la quecuente su proceso de trabajo, resaltando

las dificultades y los puntos claves para la so-lución.

1. Dadas dos rectas secantes a y b y un puntolibre P, construya un triángulo equilátero convértices en P, a y b.

2. Dados un triángulo ABC y un triángulo UVW

interior, con sus vértices en los lados de ABC,¿para qué posición de U,V y W el triángulo in-terior tiene perímetro mínimo?

3. Dados una circunferencia c, una recta r y unpunto P, dibuje un segmento que tenga comopunto medio a P y sus extremos en c y r.

4. Dados una circunferencia y dos de sus ra-dios, encuentre la cuerda que es trisecadapor los dos radios.

5. Dados un punto P, una recta r y una circun-ferencia c, construya un triángulo equiláterocon vértices en P, r y c.

6. Identifique cuáles son los datos mínimospara construir un triángulo determinado

312

1 Los ejercicios propuestos son adaptaciones de algunos, consultados en SHUMAN; GREEN (1994), Discovering Geometry with the compu-ter, Ed. Chartwel – Yorke y en MARTIN YVES (1994), Experimenter en Mathematiques avec Cabri, Utilisation en Lycée, tome 2, Complé-ment pour le professeur, Editions Archimide.

(pensar en la longitud de las alturas y media-nas, puntos notables, etc.).

7. Dado un cuadrilátero ABCD y un segmentoPQ con extremos sobre dos lados adyacentes,construya un paralelogramo inscrito en el cua-drilátero, donde PQ sea uno de sus lados.

8. Dado un triángulo ABC y un punto D sobreuno de sus lados, construya un triánguloequilátero con vértices en D y los otros doslados.

9. Construya tres circunferencias tangentesentre sí y tangentes a una recta.

10. Dados un segmento AB y dos rectas se-cantes AD y BE, construya el punto C tal quelas rectas AD y BE sean bisectrices del triángu-lo ABC (cuando termine, manipule la cons-trucción de manera que AD y BE sean perpen-diculares).

11. Construya tres circunferencias tangentesentre sí de manera que sus centros sean losvértices de un triángulo.

12. Construya un segmento AB y un punto li-bre M. Construya un punto C tal que el puntoM sea ortocentro del triángulo ABC.

313

Problemas de exploración geométrica

Simulación de un problemageométrico: volumen de un

prisma



Enunciado

Si se toma una pirámide recta con un trián-gulo rectángulo isósceles de base, puedeinscribirse en ella un prisma triangular rec-to que cambia de volumen dependiendo desu altura. Estudie la relación entre el volu-men del prisma y su altura.

Construcción de la simulación

Para representar este problema tridimensio-nal, en dos dimensiones, vamos a utilizar unaperspectiva isométrica, pues es aquella en laque los segmentos paralelos a los ejes con-servan una misma unidad de medida.

Para visualizar fácilmente la perspectiva iso-métrica piense en un cubo del cual se tomantres de sus aristas concurrentes para repre-sentar los tres ejes coordenados en el espa-cio. Si usted imagina cómo se verán estastres aristas, al colocar el vértice opuesto fren-te a sí, tendrá una imagen de la perspectivaisométrica.

1. Utilizando la herramienta Polígono Regu-lar construya un triángulo equilátero. Luegotrace semirrectas desde el centro hacia losvértices. Así tenemos la representación delespacio (figura 1).

2. Oculte el polígono regular y los tres vérti-ces. Ahora escriba los números correspon-dientes a las longitudes de la base y la alturade la pirámide (1,5cm y 2cm). Luego transfie-ra esas medidas a los ejes horizontales y ver-tical. Finalmente una los puntos con segmen-tos y oculte las semirrectas para tener unaimagen de la pirámide (figura 2).

314

Figura 1

3. Coloque un punto H sobre el segmento ver-tical para representar la altura del prisma. Aho-ra trace paralelas a los ejes horizontales por H.Los puntos de intersección de esas paralelascon las aristas de la pirámide serán los vérticesde la cara superior del prisma (figura 3).

4. Para encontrar los vértices de la cara infe-rior bastará con proyectar esos puntos sobrela base de la pirámide (con rectas paralelas aleje vertical) (figura 4).

5. Trace los segmentos correspondientes alas aristas del prisma, y coloque los del fondopunteados. Oculte los objetos intermedios.Ya tiene la representación del problema.Mueva el punto H para ver qué sucede conel prisma (figura 5).

6. Mida las aristas de la base y la altura paracalcular el volumen del prisma y estudie elproblema propuesto.

Preguntas

De acuerdo con la simulación, responda:

1) ¿Cómo varía el volumen del prisma a me-dida que varía su altura?

2) ¿Cuál es el tipo de gráfica que se esperaobtener, si se relacionan estas magnitudes?

Registre en una tabla los datos arrojados porla simulación relacionando la altura del pris-ma y su volumen. De acuerdo con la infor-mación presentada, responda:

3) ¿Para qué valor de la altura del prisma seobtiene el máximo valor del volumen?

4) ¿Cómo varía el volumen a medida que losvalores de la altura se acercan a cero?

5) ¿Cuál es el tipo de gráfica que se produciráal relacionar la altura con el volumen del pris-ma?

315

Simulación de un problema geométrico: volumen de un prisma

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

6) ¿Cuál es la expresión algebraica que mejorrelaciona el volumen del prisma y su altura?

Haga la gráfica producida por estos datos yde acuerdo con ella responda:

7) ¿Qué coincidencias encuentra con las grá-ficas que esbozó anteriormente? ¿En qué di-fieren?

8) ¿Existen valores para la altura del prismaque generen volúmenes iguales?

9) ¿Cuál es la función que mejor relaciona losdatos?

10) ¿Cuál es el volumen máximo?

11) ¿Coincide este valor con el hallado en latabla? Explique.

316


Simulación de un problemageométrico: la hoja doblada



Enunciado

Si se toma una hoja de papel y se dobla demanera que una de sus esquinas quede so-bre el borde opuesto, se forma un polígonoen la parte frontal de la hoja. Estudie la va-riación del área de ese polígono a medidaque varía la posición de la esquina sobre ellado opuesto.

Construcción de la simulación

1. Tome una hoja de papel y dóblela comose indica en el enunciado del problema. Rea-lice distintos dobleces para ver la forma delpolígono que se forma en la parte frontal dela hoja.

2. Tome la hoja doblada de manera que elpolígono formado sea un triángulo. Dibujeese triángulo sobre el fondo de la hoja y des-dóblela. Ahora debe ver dos triángulos en lahoja desdoblada. ¿qué relaciones hay entreesos dos triángulos?, ¿qué relaciones hay en-tre los vértices de esos dos triángulos?

3. Construya en CABRI GÉOMÉTRE un rectángu-lo que represente la hoja de papel. Coloqueun punto P sobre uno de los lados para repre-sentar la esquina que se ha llevado al bordeopuesto. Intente dibujar la recta que repre-senta el doblez (utilice sus respuestas a laspreguntas del punto anterior. Piense en la re-lación que hay entre el punto P, la esquinadoblada y el vértice que corresponde a la es-quina sin doblar).

4. Una vez construida la recta que represen-ta el doblez, construya el polígono doblado.Ahora mueva el punto P. ¿El polígono se man-tiene? Intente explicar por qué.

5. Utilice las explicaciones del punto anteriorpara construir un nuevo polígono. Muevanuevamente el punto P y observe si este polí-gono se mantiene.

6. Para terminar, cambie el grosor de los polí-gonos construidos, oculte las construccionesintermedias y calcule las áreas.

Ya está listo para comenzar el estudio delproblema

317

Preguntas

1. De acuerdo con la simulación:

a) ¿Dónde se ubica(n) el(los) punto(s) para el(los) cual (es) el área del polígono es máxi-ma? ¿Qué clase de polígono se forma?

b) ¿Dónde se ubica(n) el(los) punto(s) para el(los) cual (es) el área del polígono es mínima?Qué clase de polígono se forma?

c) ¿Cómo varía el área a medida que el puntose va alejando de uno de los vértices?

d) ¿Cómo varía el área a medida que el puntose acerca a cada uno de los vértices?

e) ¿Qué clase de función se describe al rela-cionar la distancia a la que está el punto deuno de sus vértices con el área del polígono?

2. Construya la tabla que relaciona la distan-cia del punto a uno de sus vértices con elárea del polígono. De acuerdo con los datosregistrados en la tabla responda las pregun-tas anteriores.

3. Construya la gráfica representada por es-tos datos ¿Corresponde la gráfica al tipo defunción prevista en los puntos anteriores?¿qué clase de función es?

Empleando la opción Trace, ¿cuáles son lascoordenadas del (los) punto (s) donde elárea es máxima? ¿y las del punto donde elárea es mínima?

4. Construya la función que mejor modelalos datos anteriores. Una vez obtenida la fun-ción, responda las preguntas planteadas enla primera parte.

318


Simulación de movimiento.El problema de los aviones

Martín Eduardo Acosta Gempeler y Fabiola Rodríguez GarcíaGrupo Coordinador


Para realizar este taller, debe haberse graba-do previamente el archivo avpar* hecho enCABRI GÉOMÈTRE, en el cual se simula el movi-miento de tres aviones. Al final del taller seadjuntan algunos procedimientos y la cons-trucción del archivo avpar.

El archivo avpar contiene la simulación del mo-vimiento de tres aviones que se mueven para-lelamente y con el mismo sentido. Al abrir el ar-chivo usted verá tres puntos que representan acada uno de los aviones y un número que re-presenta el tiempo que transcurre.

Para dar comienzo a la simulación, apliqueAnimación2 al número y observe qué suce-de con los aviones a medida que el tiempotranscurre. (En ningún caso borre el número,pues la simulación dejará de funcionar).

Siga los pasos que se indican a continuaciónpara hacer la observación y el análisis de la si-mulación.

1. Descripción de la simulación

a. Observe (sin tomar medidas) el movimien-to de cada uno de los aviones por separado ydescríbalo en la siguiente tabla.

Tabla 1

Avión 1

Avión 2

Avión 3

319

2 Es importante dominar el procedimiento de animación de un número, por lo cual lo explicamos en detalle.a. El número puede editarse de dos maneras: haciendo doble clic sobre él, o seleccionando Edición Numérica y luego clic sobre el nú-mero. Al editar el número usted puede cambiarlo, añadirle o eliminarle cifras decimales.b. El número animado variará a una velocidad constante en las unidades, decenas, décimas, centésimas, etc. dependiendo de dóndeesté el cursor de edición. Si el número está variando en unidades y desea que varíe en centésimas, edítelo y luego oprima ♦ y mueva elcursor hasta las centésimas.c. Para animar el número seleccione Animación (menú F7) y luego haga clic sobre el número. Luego desplace el cursor hacia abajo siquiere que el número aumente, o hacia arriba si quiere que el número disminuya.d. Para detener la animación oprima ENTER. Un segundo ENTER reanuda la animación. Si desea salir de la animación oprima ESC.e. Para recomenzar la animación edite el número colocándolo en 0.00 y luego aplíquele animación.

b. Describa el movimiento de los avionescomparándolos dos a dos (sin tomar medi-das)

Tabla 2

Aviones 1 y 2

Aviones 1 y 3

Aviones 2 y 3

c. Mida las distancias recorridas por cadaavión para los tiempos indicados y calcule lavelocidad promedio de cada uno de los avio-nes, en los siguientes intervalos de tiempoque se proponen en la tabla 3

2. Registro automático de ladistancia recorrida por cada unode los aviones (ver procedimiento 1)

Utilizando la tabla, estudie qué sucede con lavelocidad de cada uno de los aviones cuan-do el intervalo de tiempo considerado esmuy cercano a 0.

Ya que el intervalo de tiempo registrado en latabla es relativamente pequeño y es constan-

te, bastaría con calcular la diferencia entre lasdistancias. Por ejemplo, para calcular la dife-rencia de distancias entre los datos registra-dos para el avión 1, suponiendo que estosdatos se encuentran en la columna 2, se pro-cede así:

• Copie en otra columna (por ejemplo enc3) y desplace hacia arriba una celda, losdatos obtenidos en c2 (correspondientesa la distancia del avión1).

• Para esto, oprima F4 con el fin de definir lacabecera de la columna donde se va a co-piar y digite allí c3 = shift (c2,1). (Si lacalculadora está en español, debe digitardesplaz (c2,1) ).

• El procedimiento anterior se realiza con elfin de obtener la diferencia de las distan-cias del avión 1 entre un dato y el anterior.Para esto, en otra columna (por ejemploc4), calcule c3-c2.

• Para hallar la velocidad, calcule en otra co-

lumnac c

t

3 2–

∆

Escriba las conclusiones con respecto a la ve-locidad casi instantánea de cada avión.

320


Tabla 3

Intervalo detiempo

VelocidadAvión 1

VelocidadAvión 2

VelocidadAvión 3

(1, 3)

(2, 4)

(1, 4)

(3, 4.2)

3. Construcción de la gráfica querepresenta la velocidad(Ver procedimiento 2)

Escriba las conclusiones con respecto a lasgráficas.

4. Cálculo de la regresióncorrespondiente a los datos(Ver procedimiento 3)

Escriba las conclusiones.

5. Medición de la distancia entrelos aviones 1 y 2

Relacione la distancia entre los aviones conel tiempo. Consigne los datos en una tabla.Analice esta relación y concluya.

6. Repetición del proceso anteriorcon los aviones 1 y 3

Procedimientos

(1) Procedimiento para construir latabla obtenida a partir de un con-junto de datos:

– seleccionar F6 + 7 Collect data

(agrupar datos) Define Entry

(definir entrada)

– seleccionar los datos que se van arelacionar

– seleccionar F6 + 7 Collect data

(agrupar datos) Store Data (al-macenar datos)

– seleccionar F7 + 3 Animation (ani-mación)

– animar el punto correspondiente

– abrir la tabla arrojada por estos va-lores: oprimir la tecla de Aplica-

ciones y seleccionar 6: Data/

Matrix Editor + Current.

(2) Procedimiento para construir lagráfica:

– ubicados en el editor de datos, se-leccionar F2 Plot Setup

– seleccionar F1 para definir las ca-racterísticas de la gráfica

– seleccionar el tipo de gráfica(Scatter) y el tipo de marca paralos puntos (Box)

– asignar a la variable x los valorescorrespondientes a la columna 1(c1)

– asignar a la variable y los valorescorrespondientes a la columna 2(c2)

– oprimir ENTER dos veces

– graficar los puntos (♦ GRAPH)

– para visualizarlos mejor seleccio-nar ZoomData en F2 + 9.

(3) Procedimiento para hacer elcálculo de regresión:

– ubicados en el editor de datos, se-leccionar F5 Calc y escoger el tipode regresión que mejor se ajusta alos datos. Guardar esta función eny1(x).

321

Simulación de movimiento. El problema de los aviones

*ARCHIVO avpar

Situación:

Tres aviones vuelan paralelamente si-guiendo el mismo rumbo; dos de ellosviajan a velocidades constantes y el últi-mo con movimiento uniformemente ace-lerado.

Construcción:

La construcción propuesta utiliza una ca-racterística de CABRI GÉOMÈTRE que per-mite definir el tiempo como variable in-dependiente. Este hecho permite la posi-bilidad de dar animación a un número.En efecto, si se escribe un número cual-quiera utilizando Edición Numérica

(Numerical Edit) y luego se le ani-ma, el número comenzará a aumentar odisminuir su valor. Teniendo en cuentaque además podemos efectuar cálculosutilizando este número y transferir esasmedidas a objetos geométricos de la pan-talla, podemos hacer la simulación de lospuntos que representan el movimientode los aviones.

La simulación consiste entonces en defi-nir un número t que representará el tiem-po en horas, y con base en él calcular las

distancias recorridas por cada avión:t*0.6, t*0.8 y (t*0.1 + t*t).

1. Con la herramienta Edición Numé-

rica, escriba el número 0,0 (la cifra deci-mal determina la rapidez de variación delnúmero).

2. Con la herramienta Calcular, obten-ga el número que representa la distanciarecorrida por el primer avión, es decirt*0,8.

3. Use el mismo procedimiento para lasdistancias recorridas por el segundoavión (t*0,6) y por el tercero (t*(0.1 + t)).

4. Construya la ruta de los aviones: dibujetres semirrectas paralelas (de manera queocupen la pantalla a lo ancho)

5. Transfiera la distancia calculada para elavión 1 sobre la semirrecta 1, la del avión2 sobre la semirrecta 2 y la del avión 3 so-bre la semirrecta 3. Así, queda preparadala simulación y sólo queda ponerla a fun-cionar.

6. Anime el número t.

Nota: para regresar la simulación al puntode partida basta con editar el número t ycolocarlo de nuevo en 0,0.

322


Medición de ángulos y simulación



En el trabajo con el CABRI GÉOMÈTRE frecuen-temente se recurre a la medición de ángulospara verificar propiedades de las construc-ciones, o para satisfacer condiciones espe-ciales. Esta utilización de la medida en CABRI

GÉOMÈTRE no es simple, y se requiere un usocuidadoso para no encontrarse con resulta-dos molestos o reforzar ideas erradas en losestudiantes.

Los problemas que hay que tratar de sortearson de dos clases: primero, qué se entiendepor ángulo y segundo, en qué consiste la me-dición de ese ángulo (como un procedimien-to de comparación de patrones).

En matemáticas encontramos diferentesdefiniciones de ángulo, que responden apuntos de vista diferentes, y estas definicio-nes no son compatibles entre sí. Muchasveces no somos conscientes de estas dife-rencias y pasamos inconscientemente deuna concepción de ángulo a otra, sin com-prender las dificultades que esto suponepara los alumnos.

• Una primera definición de ángulo po-dría enunciarse como la apertura de doslados adyacentes de un polígono conve-xo. En este caso, los ángulos no tienenorientación y sus medidas varían entre

0° y 180°. (Algunos libros excluyenincluso estos valores extremos como ca-sos de ángulos, ya que no produciríanpolígonos convexos). Esta primera con-cepción de ángulo se refleja en la medi-da normal de ángulos efectuada enCABRI GÉOMÈTRE (F6 + 3/ Ángulo). Enefecto, al tomar la medida de un ánguloseñalando consecutivamente tres pun-tos, puede observarse que esa medidapuede aumentar hasta 180° y luegovuelve a disminuir. El orden en que se se-ñalen los puntos en las semirectas delángulo es indiferente para la medida.

• Una segunda definición de ángulo tieneen cuenta los ángulos externos de lospolígonos y los polígonos no convexos.En este caso, la medida de un ángulopuede variar entre 0° y 360°, pero no tie-nen orientación. Esta segunda concep-ción de ángulo está en la base de lamedición de marcas de ángulo en elCABRI GÉOMÈTRE. Si primero se coloca lamarca del ángulo y luego se mide esamarca, pueden obtenerse ángulos ma-yores de 180°, pero nunca mayores de360°. El orden en que se señalen las se-mirectas para hacer la marca de ángulono incide en la medida.

323

• Una tercera definición de ángulo es laque lo considera como un giro alrede-dor de un punto. En este caso, puedenidentificarse dos sentidos de giro (quecorresponden a medidas positivas ynegativas del ángulo) y no existen lími-tes superior ni inferior para las medidas.Esta tercera concepción de ánguloopera en el CABRI GÉOMÈTRE en las rota-ciones.

Dependiendo de la aproximación del ánguloque hagamos con nuestros alumnos, debere-mos utilizar una u otra forma de medida delángulo en CABRI GÉOMÈTRE. Sin embargo estaselección no evita algunos problemas técni-cos y conceptuales que pueden presentarsey que hemos observado con frecuencia enlas experiencias de clase. En efecto, para tra-bajar con cualquiera de las dos primeras defi-niciones de ángulo, el alumno debe determi-nar el ángulo señalando tres puntos en unorden determinado (el del medio debe ser elvértice del ángulo), operación que no es evi-dente y en la que pueden cometerse doserrores: de orden (no se señalan los puntosen el orden correcto) y de precisión (no seseñala el punto preciso, sino uno muy cercade él). Ante estos errores, fácilmente identifi-cables por parte del profesor (pues las medi-das arrojadas son evidentemente incompati-bles con la apreciación visual del ángulo),sorprende la incapacidad del alumno paracontrolar la exactitud de la medida obtenida(para un ángulo agudo, el alumno aceptacon naturalidad una medida mayor de 100°).Esta situación nos plantea dos problemas pe-dagógicos: cómo está entendiendo el alum-no la medida del ángulo (¿únicamente comoun resultado mágico que arroja la calculado-ra?) y cómo desarrollar un sentido de estima-ción de la medida que le permita controlarpor lo menos los errores más groseros.

Para responder a estas dos preocupacionessobre la comprensión de la medida del ángu-lo como un proceso de comparación con unpatrón determinado y el desarrollo de unahabilidad de estimación, propongo desarro-llar las siguientes construcciones.

1. Aproximación a la medidade un ángulo

En esta construcción se supone que la mane-ra más fácil de aproximarse a la idea de unpatrón de medida de un ángulo es concibién-dolo como un giro, es decir, utilizando la ter-cera concepción expuesta anteriormente.Esta construcción busca hacer visible el giro(como movimiento alrededor de) y planteaun primer patrón de medida como númerode vueltas.

Necesitamos entonces dos semirrectas; unaque permanezca inmóvil y la otra que gire al-rededor de su extremo, y un número quevaya contando la cantidad de vueltas delgiro. Para lograr esto, utilizaremos el mismoprincipio de la simulación de los aviones: es-cribir un número editable y animable, y trans-ferir esa medida sobre una circunferencia.Sin embargo, como las medidas de CABRI

GÉOMÈTRE siempre se transfieren en centíme-tros, esa circunferencia debe tener un tama-ño adecuado para que el número 1 signifi-que una vuelta. Es decir, 1cm debe ser lamedida de un arco de longitud 2πr; por lotanto, el radio de la circunferencia debe me-dir 1/(2π).

Construya una semirrecta cualquiera deextremo O y transfiera sobre ella el resulta-do del cálculo 1/(2π), obteniendo un puntoA. Construya la circunferencia de centro O

y radio OA. Escriba cualquier número (su-giero comenzar con 0,3) y transfiera esa

324


medida sobre la circunferencia a partir deA. Se construye así un punto B sobre la cir-cunferencia. Construya la semirrecta OB yoculte los nombres y la circunferencia. Co-loque el número en 0,00 y anímelo.

Con esta construcción el alumno puede verel movimiento de una de las semirrectas y re-lacionar el número con ese giro. Con pregun-tas adecuadas, podemos hacer ver al alumnola relación entre el signo del número y el sen-tido del giro, la periodicidad del giro y su rela-ción con la medida, y la identificación deciertos ángulos especiales (1/4 de vuelta, ½vuelta, ¾ de vuelta, 1 vuelta).

Aplicando este mismo principio de construc-ción pueden obtenerse distintos patrones demedida a partir de las vueltas (puede pensar-se por ejemplo en una medida de cuartos devuelta: es decir, 4=2πr, tercios de vuelta3=2πr, etc) de manera que sea natural llegara la división de la circunferencia en 360 par-tes iguales.

2. Un transportador virtual

Llevando esta idea un poco mas lejos pode-mos construir un transportador virtual, quepodemos utilizar para medir los ángulos deun polígono, con el patrón de medida quequeramos. Para esto necesitamos automati-zar la construcción anterior, introduciendoun parámetro extra que será el patrón de me-dida especificado como fracción de una cir-cunferencia, y hacer que la semirrecta estáti-ca se dibuje sobre un segmento (lado de unpolígono).

Instrucciones para construir la macro trans-portador virtual:

a) escriba un número que represente la me-dida estimada del ángulo (lo llamaremos n)

b) escriba un número que represente el nú-mero de partes en que dividimos la circunfe-rencia para obtener el patrón de medida (4para un cuarto de vuelta, 360 para un grado,etc.) lo llamaremos u

c) construya un segmento AB que representeel lado del polígono en el que se desea medirel ángulo

d) construya una semirrecta con extremo enA y que pase por B

e) calcule u/(2π) y transfiera esa medida so-bre la semirrecta AB (obteniendo el puntoC)

f) construya una circunferencia con centroen A y radio AC

g) transfiera n sobre la circunferencia a partirde C (obteniendo el punto D)

h) construya una segunda semirrecta con ex-tremo A y que pase por D

I) oculte la circunferencia y el resultado delcálculo

j) defina como objetos iniciales los númerosn y u y el segmento AB

k) defina como objetos finales las dos semi-rrectas.

Para poner a prueba la macro, abra un ar-chivo nuevo y construya cualquier triángu-lo. Escriba dos números: uno para definir elpatrón de medida y otro para dar una medi-da estimada del ángulo escogido. Luegoejecute la macro y señale en orden: el nú-mero estimado, el número del patrón y elsegmento inicial del ángulo (no olvide quese tiene en cuenta el sentido del giro). De-berán aparecer dos semirrectas que mar-can el ángulo con la medida estimada.

325

Medición de ángulos y simulación

Simulación en CabriGéomètre del tiro parabólico

Martín Eduardo Acosta Gempeler, Ernesto Acosta Gempeler

y Juan Pablo Acosta ArreazaGrupo Coordinador y colaboradorMinisterio de Educación Nacional

En este taller sobre simulación vamos a des-cribir una construcción que ilustra el tiroparabólico, trayectoria de un proyectil lan-zado con una velocidad inicial, en la cualpueden explotarse muchas relaciones devariación de los distintos parámetros queintervienen en la situación. La idea de escri-bir este artículo surgió al leer uno sobre elmismo tema de R. C. Marion que aparecióen la revista Abracadabri No. 1. A pesar deque el resultado final es equivalente, la si-guiente representación hace uso directa-mente de la segunda ley de Newton y nodel hecho de que la trayectoria del proyec-til es una parábola.

La segunda ley de Newton establece que lafuerza que se esta ejerciendo sobre un obje-to en movimiento es proporcional a la acele-ración del mismo, siendo la constante deproporcionalidad la masa del objeto. Simbó-licamente escribimos

F = m a.

Donde F es la fuerza, a es la aceleración y mes la masa. Por ser, tanto la fuerza como la

aceleración, cantidades vectoriales hemos es-crito en negrita las letras que las representan,como lo haremos con todas las cantidadesvectoriales en el texto. Por otro lado, la ace-leración es la rapidez con que cambia la ve-locidad del objeto con respecto al tiempo.Es decir,

dv/dt = a.

A su vez, la velocidad es la rapidez con quecambia la posición del objeto con respectoal tiempo. Así,

dr/dt =v.

Supondremos que al lanzar el objeto no ejercesobre él sino la fuerza de gravedad F = -g m j,donde g es la magnitud de la aceleracióndebida a la gravedad, m es la masa del obje-to y j es un vector de longitud 1 que apuntahacia arriba (es el vector que guarda la in-formación de la dirección de la fuerza). Laaltura de lanzamiento será H y la velocidadde lanzamiento la escribiremos comoVo = Vx i + Vy j, donde i es un vector de lon-gitud 1 perpendicular a j.

326

Todos los vectores tendrán (en este contex-to) una componente horizontal y una verti-cal. Así, por ejemplo, el vector posición seexpresará en cada instante de tiempo t así:

r (t) = x(t) i + y (t) j.

Entonces, rescribiendo la segunda ley deNewton con la información de que dispone-

mos, es decir, F = – gmj y ar= d

dt

2

2obtenemos

r¢¢= –g j.

Al integrar una vez con respecto a t y tenien-do en cuenta los parámetros establecidos, te-nemos que

d

dtgt gt

rV V V V0= = + = + +– (– )j i j

x ye integran-

do de nuevo,

r = Vx t i + ((-g/2) t2 + Vy t + H)j.

V i Vx yt

gt t H+ + +((

–) )

22 j j

Es decir,

x(t) = Vx t y y(t) =(-g/2) t2 + Vy t + H.

Usando CABRI GÉOMÈTRE vamos a construiresta situación para estudiar el comporta-

miento de la posición (x(t), y(t)) del proyectilen todo instante de tiempo t.

Comencemos representando un par de ejescoordenados usando la herramienta Mos-

trar ejes. El eje x representará el piso. So-bre el eje y (encima del eje x) representamosla altura del tiro mediante el punto H.

A continuación construimos tres semirrec-tas horizontales paralelas que servirán pararepresentar los parámetros g, |Vo| y t, res-pectivamente. Construimos los segmentosAB, CD y EF sobre cada una de estas semi-rrectas usando los extremos A, C y E de lasmismas, respectivamente. La longitud deAB representará a g, la longitud de CD repre-sentará a |Vo| y la longitud de EF represen-tará a t.

Usando Compas trazamos una circunferen-cia con centro en H y radio |Vo|. Construi-mos el vector Vo desde H hasta el punto Vosobre la circunferencia. Las proyecciones deVo sobre los ejes x y y serán Vx y Vy.

Construimos el punto de abscisa x(t) = Vx tmediante una homotecia, transfiriendo pri-mero t al eje x (figura 3).

327

Simulación en Cabri Géomètre del tiro parabólico

Figura 1

Figura 2

Construimos el punto de ordenada Vy t + H

mediante otra homotecia, transfiriendo pri-mero t al eje y a partir de H (figura 4).

Nos hace falta construir (g/2)t2. Esta cons-trucción se puede hacer sobre la semirrectadel tiempo definiendo primero una homote-cia de razón t (recuerde que |EF| = t ) y luegouna de razón t2 (figuras 5 y 6).

Una vez construido (g/2)t2, lo transferimos aleje y a partir del punto con ordenada Vy t + H

en dirección negativa. Se obtiene así el pun-to de ordenada y(t) = (-g/2) t2 + Vy t + H (figu-ra 7).

328


Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Construimos el punto con coordenadas(x(t), y(t)), donde está localizado el proyec-til en tiempo t, trazando perpendiculares alos ejes x e y por los puntos de abcisa x(t) yordenada y(t), respectivamente (figura 8).

Si ocultamos todas las construcciones inter-medias y animamos el punto F veremoscómo se desplaza el proyectil. Podemos mo-dificar la fuerza de gravedad moviendo elpunto B, la magnitud de la velocidad movien-do el punto D y la dirección de la velocidadmoviendo el punto Vo.

¿Por qué se conoce este movimiento comotiro parabólico?

329

Simulación en Cabri Géomètre del tiro parabólico

Figura 7

Figura 8

Geometría lógica oconstrucciones condicionales,

una idea de Yves Martin

Martín Eduardo Acosta GempelerGrupo coordinador


El dinamismo del CABRI GÉOMÈTRE hace queen las construcciones haya puntos que apa-recen o desaparecen según como van cam-biando las relaciones entre los objetos móvi-les. Así por ejemplo, al tener una recta y unsegmento, puede suceder que la recta corteel segmento o deje de cortarlo; en este caso,si se construye el punto de intersección entrela recta y el segmento, este punto aparecerámientras la recta corte el segmento y desapa-recerá cuando deje de cortarlo (figura 1).

Esta característica puede aprovecharse pararealizar construcciones condicionales, que

dependen de la existencia de ese punto, y asu vez aparecen o desaparecen dependien-do de ciertas condiciones.

Primer ejemplo de aplicación: uncuadrilátero convexo

Sabemos que un cuadrilátero es convexo sisus diagonales se cortan, y no es convexo sisus diagonales no tienen intersección. Pode-mos aprovechar esta característica para ha-cer cambiar de apariencia el cuadrilátero,cuando es convexo o deja de serlo.

330

Figura 1

1. Construya cualquier cuadrilátero.

2. Trace las diagonales del cuadrilátero.

3. Construya la intersección de las diagona-les. (Desplace uno de los vértices del cuadri-látero y compruebe que efectivamente, esepunto de intersección desaparece cuando elcuadrilátero deja de ser convexo) (figura 2).

Necesitamos construir un segundo polígonoexactamente igual al primero, pero que sóloexista cuando existe el punto de intersecciónde las diagonales. Para esto realizamos el si-guiente procedimiento, llamado Ping Pongpor el creador de la geometría lógica.

4. Seleccione un vértice del cuadrilátero y llá-melo A.

5. Construya la imagen de A por la simetría decentro I (llame este punto B) (este punto B sólo

existe cuando existe I, por lo tanto cuando elcuadrilátero es convexo).

6. Construya la imagen de B por la simetríade centro I (Esto crea un punto sobre A quesólo existe si el cuadrilátero es convexo).

7. Construya un cuadrilátero sobre el originalcomenzando por este último punto condi-cional.

8. Modifique el grosor de este segundo cua-drilátero.

9. Mueva uno de los vértices del cuadriláteroy observe qué pasa cuando deja de ser con-vexo.

Si desea, coloque una etiqueta en el punto Icon la palabra “convexo” y observe comoaparece y desaparece.

Segundo ejemplo de aplicación:clasificación de triángulos

Nos proponemos ahora construir un trián-gulo que cambie de aspecto si es acutángu-lo u obtusángulo. Utilizaremos el ortocen-tro, ya que cuando el triángulo esacutángulo el ortocentro está en el interior,cuando es obtusángulo el ortocentro estáen el exterior.

1. Construya cualquier triángulo.

2. Construya el ortocentro del triángulo (yoculte las construcciones intermedias).

3. Trace una semirrecta con extremo en unvértice del triángulo y que pase por el orto-centro.

(Esta semirrecta cortará el lado opuesto si eltriángulo es acutángulo).

4. Construya el simétrico V’ de uno de los vér-tices del triángulo por la simetría de centro I

331

Geometría lógica o construcciones condicionales, una idea de Yves Martin

Figura 2

(punto de intersección de la semirrecta y ellado opuesto.

5. Construya el simétrico de V’ por la simetríade centro I (esto coloca un punto sobre elvértice del triangulo, que sólo existe cuandoel triángulo es acutángulo).

6. Construya un triángulo, sobre el original,con este último punto como vértice.

7. Cambie el grosor de este último triánguloy oculte la semirrecta, el ortocentro y el pun-to V’.

8. Desplace uno de los vértices del triángulode manera que sea obtusángulo.

332


Exploración de la composición detransformaciones isométricas

Martín Eduardo Acosta GempelerGrupo coordinador


1. Dibuje un polígono P cualquiera y una rec-ta d1. Construya la imagen P’ del polígonopor la simetría de eje d1. Construya una rec-ta d2 paralela a d1. Construya la imagenP”de P’ por la simetría de eje d2. Luego ocul-te las rectas y el polígono P’. Mueva los vérti-ces de P y observe qué pasa con P”.

Emita una conjetura sobre la relación entre P

y P” e intente demostrarla.

Preguntas:

¿Qué sucede si aplica primero la simetría deeje d2 y luego la de eje d1?¿Qué sucede si mueve la recta d1?

¿Qué sucede si aplica una tercera simetría deeje d3 paralela a d1?

2. Realice la exploración del punto anterior,pero tomando d1 y d2 perpendiculares. Res-ponda las preguntas formuladas en el puntoanterior.

3. Realice la misma exploración del punto 1pero tomando d1 y d2 secantes. Responda laspreguntas formuladas en el punto anterior.

4. Realice una construcción para indagar sila composición de simetrías axiales es aso-ciativa.

5. Realice una construcción para indagar si lacomposición de traslaciones es conmutativa.

333

Taller con el CBR - Caída libre

Fabiola Rodríguez GarcíaGrupo coordinador


Equipo requerido

– Calculadora TI 92

– CBR

– Cable de conexión

Programas

Balldrop y Select

Procedimiento para el experimento

– Inicie el programa Balldrop en la cal-culadora. Este programa da instruccio-nes al CBR para empezar a recolectar losdatos.

– Ubique el objeto que va a dejar caer justoencima del detector de movimiento, auna distancia mayor de un metro.

– Presione TRIGGER en el CBR e inmediata-mente escuche el vibrar del CBR, deje caerel objeto.

– Si es necesario, repita el experimento has-ta obtener los datos apropiados.

La gráfica

Para un mejor análisis de los datos que inte-resan, es conveniente seleccionarlos. Paraesto, active el programa Select y seleccio-ne los datos que representan la caída del ob-jeto. (Para activar el programa Select, debesalir de la ventana gráfica oprimiendo la teclaESC y en la pantalla HOME activar el programaSelect)

Análisis de la gráfica y de los datos

• ¿Qué tipo de gráfica describen los da-tos?

• SIN HACER CÁLCULO DE REGRESIÓN, cons-truya la función que mejor modela estemovimiento y compruebe su resultadograficando la función hallada en la mis-ma ventana de los datos. ¿Qué funciónobtiene?

• Calcule la velocidad promedio paracada intervalo de tiempo registrado (se-ría una velocidad instantánea si este va-lor del tiempo es lo suficientementepequeño) ¿Qué concluye con relación alos datos obtenidos?

334

Procedimiento:

– Una vez obtenidos en la tabla los datos detiempo (en c1) y distancia (en c2) , los da-tos obtenidos en c2 se copian en otra co-lumna (por ejemplo en c3) y se desplazanhacia arriba una celda. (Para esto, oprimaF4 con el fin de definir la cabecera de lacolumna donde se va a copiar y digite allíla siguiente expresión: c3 = shift (c2,1). Sila calculadora está en español, debe digi-tar desplaz (c2,1)

– El procedimiento anterior se realiza con elfin de obtener la diferencia de las distan-cias. Para esto, en otra columna (por ejem-plo c4), calcule c3-c2

– Para hallar la velocidad, calcule en otra co-

lumnac c

t

3 2–

∆.

• Grafique los datos de la velocidad enfunción del tiempo. ¿Qué tipo de gráficaobtiene?

• SIN HACER CÁLCULO DE REGRESIÓN, cons-truya la función que mejor modele estosdatos. ¿Cuál es el significado de cadauno de los coeficientes?

• Calcule la aceleración promedio paracada intervalo de tiempo registrado yrealice la gráfica correspondiente ¿Quétipo de gráfica obtiene? Justifique su res-puesta.

335

Taller con el CBR - Caída libre

Sucesiones y series

Fabiola Rodríguez García3

Grupo coordinadorMinisterio de Educación Nacional

Problema 1

Un bosque pequeño tiene 4000 árboles. Enun nuevo plan forestal, cada año se talan el20% de los árboles y se plantan 1000 árbo-les nuevos. Calcule el número de árbolesque hay en el bosque al final de cada año.¿Se estabilizará el tamaño del bosque? Eneste caso ¿en cuántos años y con cuántos ár-boles?

Inicio

Después de1 año

Después de2 años

Después de3 años

Después de4 años

1. Al cabo de n años ¿cuántos árboles tieneel bosque?

2. Exprese el resultado anterior en una fór-mula recursiva.

3. Escriba la fórmula anterior en la calculado-ra para encontrar cuántas árboles tiene elbosque después de 7, 10, 14 y 20 años. Paraello:

a) Presione la tecla .

b) En Graph elija SEQUENCE

c) En la pantalla Y Editor (Y=), escriba en u1=,la fórmula hallada en la parte c) del numeral1 (tenga en cuenta que no se cortan fraccio-nes de árboles sino árboles completos, por lotanto anteceda a la fórmula la expresióniPart para obtener la parte entera del resul-tado).

d) En ui1, escriba el valor inicial del primertérmino.

336

3 Adaptado del Manual de la TI 92.

Introduzca los valores para distintos perio-dos de tiempo:

Después de 7 años:




e) Seleccione la ventana más apropiada paravisualizar los datos. Sugerencia: calcule el ta-maño del bosque para un periodo de 50años.

f) Grafique los datos en la pantalla GRAPH.

4. Observe la gráfica correspondiente a la su-cesión e interprete si el tamaño del bosquese equilibra en algún periodo de tiempo¿Cuándo se estabilizará el bosque? ¿Concuántos árboles?

5. Otra forma de estudiar el problema es ha-llando un modelo funcional no recursivo.Para ello introduzca la funcióny 4000(0.8) 1000 0.8n k–1

k 1

n= + =∑ en modo

FUNCTION.

Problema 2

Un amigo le propone un negocio duranteun mes. Él le da $100 000 diarios; en cam-bio usted le da $100 el primer día, el segun-do día le da el doble del anterior, el terceroel doble del anterior y así sucesivamente. Élle pide que rápidamente le responda si leaceptaría el negocio.

1. ¿Qué le diría?¿Por qué?

2. Escriba una lista del dinero que le daríacada uno de los cinco días:

3.Escriba una fórmula que represente el dine-ro que daría el n-ésimo día:

4. Realice dos gráficas en la calculadora: unaque represente lo que le daría su amigo yotra que represente lo que usted le daríacada uno de los días. Obsérvelas y escribaqué interpreta.

5. Utilizando las opciones de la pantallaGRAPH encuentre el primer día en el cual ledaría a su amigo más dinero que el que él leda.

a) ¿Qué día es?

b) ¿Cuánto le daría?

c) ¿Cómo encontró ese valor?

d) Utilice la opción TABLE para confirmar elvalor anterior y escriba los términos 30, 35,40 y 45 de la sucesión hallada.

6) ¿Hasta qué día sería rentable el negociopara usted?

337

Sucesiones y series

Día Nº 1 2 3 4 5

Dinero

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INCORPORACIÓN DE NUEVAS TECNOLOG˝AS AL … · ♦ la apropiación del proyecto, ... Simulación de un problema geomØtrico: volumen de un prisma ... comprometida con la diseminación