ÍNDICE DE REFRACCIÓN

Informe 1

1

ÍNDICE DE REFRACCIÓN

Andrés López Facultad de Ciencias

Universidad Nacional Autónoma de México

Ciudad Universitaria

04510 México, D.F.

Resumen

El objetivo de este experimento es calcular el índice de refracción del agua y de la Lucita

haciendo uso de diferentes métodos como lo son el método de profundidad aparente, el

método de Pfund, el de Gluck y el de la ley de Snell. Para esto se utilizaron distintos

materiales específicos para cada parte del experimento. Así mismo, sólo se usaron ciertos

métodos para la Lucita, y otros para el agua. El de profundidad aparente se utilizó tanto

para el agua como para la Lucita, el método de Pfund sólo para la Lucita, el de Gluck tanto

para agua como para Lucita, y el de Snell, nuevamente sólo para la Lucita. Esta última se

usó en dos configuraciones, una cuadrada y otra semicircular, de tal forma que pudiesen

aplicarse sus propiedades geométricas para el fin del experimento. Se midieron las

cantidades pertinentes en cada caso y se calculó el índice de refracción de los objetos en

cuestión para cada método. Se encontró que el método de profundidad aparente fue el

menos exacto de los 4, con errores porcentuales de 18% y 7% para la Lucita y el agua

respectivamente. Mientras que el los más exactos fueron el de Pfund, con 0.21% y 0.5% de

error porcentual, y el de Snell, con 0.35% con respecto al valor real del índice de refracción

de la Lucita.

1. Introducción

La velocidad de la luz, de aproximadamente 300,000 km/s, siempre ha sido considerada

como una de las constantes físicas más importantes. Sin embargo, esta cuenta con dicho

valor sólo en el vacío, donde no hay ningún medio que la retarde. Cuando la luz entra en

contacto con un medio diferente al que se encuentra, su velocidad cambia, debido a la

energía que se va disipando en el camino. Este cambio en la velocidad provoca que la luz

cambie de dirección, en donde ésta entra en el medio con un ángulo de incidencia 𝜃𝑖 y sale

con cierto ángulo 𝜃𝑟, llamado, de refracción. La ley de Snell relaciona estos dos ángulos

introduciendo el concepto de índice de refracción:

𝑛1𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 = 𝑛2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟 (1)

En donde dicho índice 𝑛 es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad

de la luz en el medio en el que ahora se propaga; es decir, éste es intrínseco del medio.

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Experimentalmente, es posible obtener el índice de refracción de un medio usando

diferentes métodos, tales como el de profundidad aparente, Gluck, Pfund y la propia ley de

Snell.

1.1 Método de profundidad aparente

Este método consiste en hacer uso del principio de Fermat para la luz, el cual nos dice que el

trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en

recorrerlo es un mínimo. Entonces, sea la siguiente figura:

Figura 1

Podemos ver que, el tiempo que tarda la luz en recorrer del punto A al punto B es igual a:

𝑡 = √𝑙2 + 𝑥2𝑛1

𝑐+√(𝑎 − 𝑥)2 + 𝑑2

𝑛2

𝑐 (2)

Entonces, aplicando el principio de Fermat tenemos que:

1

2𝑐𝜕𝑡

𝜕𝑥= 𝑛1

𝑥

√𝑙2+𝑥2− 𝑛2

(𝑎−𝑥)

√(𝑎−𝑥)2+𝑑2= 0 (3)

Pero:

𝑥

√𝑙2+𝑥2= 𝑠𝑒𝑛𝜃1 y

(𝑎−𝑥)

√(𝑎−𝑥)2+𝑑2= 𝑠𝑒𝑛𝜃2 (4)

Entonces, sustituyendo la ecuación (4) en (3) y reescribiendo, obtenemos:

𝑛1𝑠𝑒𝑛𝜃1 = 𝑛2𝑠𝑒𝑛𝜃2 (5)

Lo cual no es otra cosa que la ley de Snell; en donde, conociendo 𝑛1 podemos conocer 𝑛2. Por lo que, si consideramos que el índice de refracción del aire es 𝑛1 = 1, entonces

podemos despejar 𝑛2 en términos de las distancias involucradas como:

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𝑛2 =𝑥√(𝑎−𝑥)2+𝑑2

√𝑙2+𝑥2(𝑎−𝑥) (6)

Donde 𝑥 es la distancia a la que aparentemente se encuentra B, 𝑎 es la distancia a la que

está el objeto realmente, 𝑙 es la distancia del observador A con respecto a la superficie del

medio, y 𝑑 es el grosor del medio.

1.2 Método de Pfund

Este método es utilizado para medir el índice de refracción de objetos (rectangulares)

traslucidos o líquidos (inmersos en un recipiente rectangular). Una de las caras del objeto

debe ser opaca, esta puede ser esmerilada o cubierta con un pedazo de papel mojado o

pintura, de manera que se adhiera perfectamente. El requisito de que el objeto a tratar sea

rectangular, radica en que se hace incidir luz perpendicularmente.

Los rayos de luz que viajan de un medio denso, como el vidrio, a otro de menor densidad,

como el aire, tendrán un ángulo de refracción 𝜃𝑟 mayor al de incidencia 𝜃𝑖, dada la ley de

Snell (Ec. (1)). Entonces, justo en el ángulo crítico de incidencia: 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =𝑛𝑟

𝑛𝑖, el ángulo de

refracción es de 90° y los rayos son reflejados.

Si consideramos el haz de un láser, al hacerlo incidir sobre la cara opaca del objeto

traslúcido, este viajará a través del material y será reflejado en todas direcciones. Los rayos

regresarán al lado incidente y pasarán a través de este en función de que el ángulo incidente

sea menor al ángulo crítico. Los rayos incidentes al ángulo crítico serán reflejados y

formaran un anillo de luz sobre la cara opaca del material. (Ver Figura 2)

Conociendo las medidas del diámetro del anillo formado 𝐷, y del grosor 𝑡 del objeto

utilizado se puede obtener el índice de refracción de dicho material, ya que:

𝐷

4𝑡= 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑐 (7)

Y como:

𝑛𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐 = 1 ⇒ 𝑛 = 1𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐⁄ (8)

Entonces:

𝑛 = 1

𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑡𝑎𝑛 (𝐷

4𝑡))

⁄ (9)

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Figura 2

1.3 Ley de Snell

Este método consiste en hacer uso, directamente, de los ángulos de incidencia y de

refracción para un haz de láser que incide perpendicularmente sobre un medio círculo de

material traslúcido que, en este caso, es de lucita. Entonces, al conocer los ángulos y,

sabiendo que el índice de refracción del aire es, a muy buena aproximación, la unidad,

podemos aplicar la ecuación 1 (Ley de Snell) y obtener el índice de refracción del material

como:

𝑛2 =𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟 (10)

1.4 Método de Gluck

Este método plantea la obtención del índice de refracción de un líquido, que en este caso

es agua, a partir de la diferencia de grosor registrada al sumergir un objeto cilíndrico en

dicho fluido.

Figura 3

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A partir de la figura 3 podemos obtener las relaciones de distancias necesarias para obtener

el índice de refracción del agua. Primeramente, partimos de que el grosor de la imagen de

la barra sumergida es:

𝑛𝑑 = 𝑟2 − 𝑟1 (11)

Donde también:

𝑟2 = 𝑛𝑟1 (12)

Y de la figura:

𝑟1 =𝐷

2− 𝑥 (13)

Entonces, sustituyendo las ecuaciones (12) y (13) en (11) y despejando para el índice de

refracción se obtiene:

𝑛 =𝐷

2−𝑥

𝐷

2−(𝑥+𝑑)

(14)

Así bien, con cada uno de estos métodos se llevará a cabo la medición de los índices de

refracción del agua y de la Lucita.

2. Desarrollo experimental

2.1 Profundidad aparente

Para la primera parte del experimento; es decir, para el método de profundidad aparente

se utilizó el siguiente material:

- Cuba

- Regla

- Flexómetro

- Rectángulo de Lucita

- Moneda

- Calibrador (Vernier)

Primeramente, se llenó la cuba de agua hasta una altura que después fue registrada con el

flexómetro. Se sumergió la moneda a una distancia fija de la esquina inferior izquierda de

la cuba, y se colocó la regla de 30 cm en posición vertical. Todo se montó de acuerdo a la

Figura 4.

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Figura 4

Entonces, habiendo montado el experimento se procedió hacer las mediciones de las

distancias indicadas en la Figura 4. Para la distancia x, se fijó la vista una distancia 𝑙 sobre el

nivel del agua, desde donde se observaba sobre la superficie del líquido la imagen de la

moneda. Con el dedo, se indicó dónde estaba aparentemente la moneda sobre la superficie

del agua, y con mucho cuidado, se marcó sobre la cuba dicho punto para posteriormente

medir su distancia desde el origen que en este caso es, por conveniencia, la esquina inferior

izquierda del contenedor. Esto se repitió 3 veces para cada distancia 𝑎; y, así mismo, se

realizó el mismo procedimiento para la Lucita en sustitución de la cuba de agua.


Para la segunda parte del experimento, es decir, para el método de Pfund, se utilizaron los

siguientes materiales:

- Rectángulo de Lucita

- Medio círculo de Lucita

- Láser

- Papel

- Un par de mesas elevadoras


Para el montaje, primeramente se midió con el calibrador el grosor del rectángulo y el doble

círculo de lucita; entonces se procedió a colocar el papel mojado sobre una de las caras del

material traslúcido y se montó sobre una mesa elevadora de tal forma que el haz del láser

incidiera perpendicularmente a la cara plana con el papel y se pudiera distinguir la

circunferencia esperada por el modelo teórico planteado en la introducción. Se hizo esto

para el rectángulo y para el medio círculo.

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Imagen 1

2.3 Ley de Snell

En la tercera parte, para el método de los ángulos de incidencia y de refracción, se utilizó

el siguiente material:

- Láser

- Mesa elevadora

- Carro para riel

- Goniómetro

- Medio círculo

Ya montado el goniómetro en el carro para riel y el láser en la mesa elevadora, se colocó el

medio círculo perfectamente alineado con las marcas de la mesa giratoria y con el láser

incidiendo sobre la marca del cero para comenzar a hacer las mediciones. Para esto, se giró

el goniómetro de 10° en 10° partiendo de 20°, y para cada caso se registró este dato como

ángulo de incidencia. Como ángulo de refracción, se tomó la cantidad a la que apuntaba el

haz del láser una vez fuera del medio círculo.

Imagen 2


Para la última etapa del experimento, el método de Gluck, se utilizó el siguiente material:

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- Vaso de precipitado

- Pluma

- Cartulina


- Cámara fotográfica

- Medio círculo de Lucita

Primeramente, antes de realizar el montaje de los componentes se midió el diámetro tanto

del vaso de precipitado como del medio círculo, así como de la pluma. Se procedió a montar

el experimento con el vaso de precipitado lleno hasta ¾ de agua, de acuerdo a la Imagen 3,

con la cartulina fungiendo como sujetador, para mantener fija la pluma inmersa en el fluido.

Una vez montado, se localizó el punto en el que coincidiera la línea en la que terminaba la

imagen real y comenzaba la imagen distorsionada por el agua, una vez localizado el punto,

se tomó una fotografía con el fin de ser analizada posteriormente por medio del software

Tracker©. Esto se hizo de la misma manera pero con el medio círculo, descartando ya el uso

de la cartulina (Imagen 4).

Imagen 3

Imagen 4

3. Resultados

En las tablas 1 a 11 pueden verse los datos obtenidos para cada parte del experimento. Cada

dato de las tablas tiene asociada cierta incertidumbre determinada por el instrumento con

el que se realizó la medición.

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Es importante hacer notar que, en las tablas 10 y 11, para el método de Gluck en agua y

lucita, la incertidumbre para el dato de la distancia “x” no está asociada a ningún

instrumento de medición, ya que se midió con el software Tracker© a partir de la fotografía

tomada del experimento. La incertidumbre asignada tiene ese valor pues es el intervalo

mínimo al que varía la cinta calibradora de Tracker© a una escala de 200% de aumento. Las

incertidumbres marcadas con un (± 0.016) cm son para aquellos valores medidos con un

calibrador (vernier).

En cuanto a las tablas de resultados, en donde se calcula el índice de refracción para cada

grupo de datos medido, aunque se haya indicado todas las incertidumbres asociadas a los

índices de refracción, realmente solo figura la incertidumbre para el promedio de los datos,

ya que al obtener dicha media, el valor de la incertidumbre no es más que la desviación

estándar de los datos promediados, por lo que ya no figuran las incertidumbres propias de

la medición.

3.1 Profundidad aparente

Para esta parte, se midió que la altura del agua fue de: 7.5 (± 0.1) cm, la de la lucita: 5.3 (± 0.1);

y la distancia desde la cual se observó: 31.3 (± 0.1) cm.

Profundidad aparente (agua)

Real (± 0.1) cm 33.80 25.00 20.00 15.00 10.00

Aparente (± 0.1) cm 29.00 21.00 16.50 12.20 8.00

28.60 21.10 16.70 12.70 8.10

28.70 21.50 16.90 12.50 8.40

Tabla 1: Resultados obtenidos para las distancias “a” y “x” de nuestros diagramas; es decir, las distancias real

y aparente de la moneda dentro de la cuba.

Profundidad aparente (lucita)

Real (± 0.1) cm 7.50 6.20 4.80 3.40 2.00

Aparente (± 0.1) cm 6.80 5.60 4.30 3.10 1.90

6.80 5.50 4.20 3.00 1.80

6.50 5.40 4.10 2.80 1.80

Tabla 2: Resultados obtenidos para las distancias real y aparente de la moneda para el caso del rectángulo de

Lucita.

Profundidad aparente (agua)

Real (± 0.1) cm

33.80 25.00 20.00 15.00 10.00

Índice de refracción

1.43 (± 0.21) 1.41 (± 0.21) 1.35 (± 0.18) 1.30 (± 0.15) 1.24 (± 0.09)

1.35 (± 0.17) 1.44 (± 0.22) 1.43 (± 0.22) 1.61 (± 0.31) 1.31 (± 0.13)

1.37 (± 0.17) 1.59 (± 0.27) 1.52 (± 0.24) 1.47 (± 0.25) 1.60 (± 0.23)

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Promedio parcial

1.38 (± 0.04) 1.48 (± 0.09) 1.43 (± 0.08) 1.46 (± 0.15) 1.38 (± 0.18)

Promedio total

1.42 (± 0.04)

Tabla 3: Resultados obtenidos a partir de los datos de la Tabla 1 para los índices de refracción para cada

distancia aparente.

Profundidad aparente (lucita)

Real (± 0.1) cm

7.50 6.20 4.80 3.40 2.00


1.93 (± 0.32) 1.87 (± 0.30) 1.74 (± 0.31) 2.09 (± 0.38) 3.86 (± 0.63)

1.93 (± 0.32) 1.58 (± 0.23) 1.42 (± 0.21) 1.52 (± 0.24) 1.83 (± 0.27)

1.31 (± 0.22) 1.36 (± 0.22) 1.19 (± 0.17) 0.95 (± 0.09) 1.83 (± 0.27)

Promedio parcial

1.72 (± 0.36) 1.60 (± 0.25) 1.45 (± 0.27) 1.52 (± 0.57) 2.51 (± 1.17)

Promedio total

1.76 (± 0.43)

Tabla 4: Resultados obtenidos a partir de los datos de la Tabla 2 para los índices de refracción para cada

distancia aparente.


En esta parte del experimento, se midió que el grosor de la Lucita rectangular fue de: 1.7 (±

0.1) cm, y el del medio círculo de: 1.51 (± 0.1) cm.

Método de Pfund (Rectángulo de Lucita)

Radio (± 0.1) cm

1 3.1

2 3.1

3 3.08

Tabla 5: Radios obtenidos al aplicar el método de Pfund para el rectángulo de Lucita.

Método de Pfund (Medio círculo)

Radio (± 0.1) cm

1 2.72

2 2.68

3 2.77

4 2.69

Tabla 6: Radios obtenidos al aplicar el método de Pfund para el medio círculo de Lucita.

Método de Pfund (Rectángulo de lucita)

Índice de refracción 1.48 (± 0.02)

1.48 (± 0.02)

1.49 (± 0.03)

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Promedio 1.49 (± 0.003)

Tabla 7: Índices de refracción calculados a partir de los datos de la Tabla 5.

Método de Pfund (Medio círculo)

Índice de refracción 1.51 (0.03)

1.48 (0.03)

1.50 (0.03)

Promedio 1.50 (± 0.014)

Tabla 8: Índices de refracción calculados a partir de los datos de la Tabla 6.

3.3 Ley de Snell

Ley de Snell (Medio círculo)

Medición Ángulo de incidencia (± 0.1)

Ángulo de refracción (± 0.1)


1 20 13 1.52 (± 0.21)

2 30 20 1.46 (± 0.12)

3 40 25 1.52 (± 0.10)

4 50 32 1.45 (± 0.08)

5 60 36 1.47 (± 0.07)

6 70 39 1.49 (± 0.06)

7 80 42 1.47 (± 0.06)

Promedio 1.48 (± 0.03)

Tabla 9: Ángulos de incidencia y de refracción medidos al hacer incidir un haz de láser sobre el medio círculo

de Lucita, con índice de refracción y promedio a un lado.


Método de Gluck (agua)

d x D

0.553 3.783 10.79


Tabla 10: Distancias registradas para el método de Gluck en agua, donde “d” y “D” fueron medidas con un

calibrador y “x” fue medida con Tracker© (la incertidumbre asociada se determinó como el mínimo intervalo

que maneja Tracker© a una escala de 200% de aumento).

Método de Gluck (medio círculo)

d x D

0.823 2.814 10.44

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Tabla 11: Distancias registradas para el método de Gluck en lucita, donde “d” y “D” fueron medidas con un

calibrador y “x” fue medida con Tracker©

4. Discusión

Habiendo ya calculado los diferentes índices de refracción para cada parte del experimento

tanto para el agua como para la Lucita (en rectángulo y medio círculo), podemos analizar

qué tan exactos son estos resultados con respecto al valor real, el cual se obtiene de la

literatura. Así bien, podemos construir la siguiente tabla:

Real Experimental Error porcentual

Profundidad aparente (Agua) 1.332 1.426 (± 0.04) -7.10

Profundidad aparente (Lucita) 1.489 1.762 (± 0.43) -18.33

Método de Pfund (Rectángulo de Lucita) 1.489 1.486 (± 0.003) 0.21

Método de Pfund (Medio círculo) 1.489 1.496 (± 0.014) -0.50

Ley de Snell 1.489 1.484 (± 0.03) 0.35

Método de Gluck (Agua) 1.332 1.522 (± 0.07) -14.30

Método de Gluck (Medio círculo) 1.489 1.520 (± 0.04) -2.07

Tabla 12: Índices de refracción experimentales y reales para cada fase de la práctica y cada material, con su

respectivo error porcentual asociado.

En la Tabla 12, se tienen los datos de los índices de refracción experimental y reales, junto

con el análisis de su exactitud. Se encontró que el error porcentual más pequeño, de 0.35%

ocurrió con el método de medir los ángulos de incidencia y de refracción y aplicar

directamente le ley de Snell. Mientras que el método con mayor error porcentual fue el de

profundidad aparente para el rectángulo de Lucita, con 18.33%. A este le sigue el método

de Gluck en el agua, con 14.30% y el método de profundidad aparente para el agua con

7.10%. Estos últimos son los valores de error porcentual por encima de 5%.

Se observa que el método de profundidad aparente tanto para el agua como para la Lucita

se encuentra dentro de esta categoría, por lo que se puede deducir que este método fue el

menos exacto de los 4. Después se encuentra el método de Gluck como el segundo menos

exacto, sin embargo, sólo resultó considerablemente divergente para el caso del agua, pues

para el caso del medio círculo de lucita, se registró un error de solamente 2.07%.

Con esta información, entonces, se puede apreciar que los métodos más exactos de los 4

fueron el Método de Pfund, tanto para el rectángulo como para el medio círculo de lucita,

y el ya discutido método de Snell.

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5. Conclusiones

Se calculó el índice de refracción del agua y de la Lucita (en rectángulo y medio círculo)

usando varios métodos experimentales, el método de profundidad aparente, de Pfund, de

ley de Snell y el método de Gluck. Se encontró que el método más exacto, es decir, cuyo

valor experimental obtenido se acercó más al real encontrado en la literatura, fue el método

de Pfund para el rectángulo de lucita, con un error porcentual de 0.21%. A este le sigue en

exactitud el método de Snell, con 0.35%; Pfund para el medio círculo, con un error de 0.5%

y el método de Gluck (otra vez para el medio círculo) con 2.07%. Estos son los valores cuyo

error porcentual permaneció debajo del 3%.

Con un error porcentual de 18.33% y 7.10%, el método menos exacto es el de la profundidad

aparente. Esto puede deberse a que no se tenía una distancia realmente fija desde la cual

realizar la observación, ya que al tratarse del ojo humano y no de un instrumento de

medición se tiene que considerar la incertidumbre propia de la interacción humana. Así

mismo, nuevamente debe considerarse este factor al ver que durante el proceso

experimental, la distancia aparente fue marcada con el dedo de un integrante del equipo,

por lo que es natural que se obtenga un error más grande al registrado para los demás

métodos.

El método de Gluck registró un error porcentual del 2% para la Lucita, mientras que para el

agua se disparó a 14.3%. Esto pudo haberse debido no al proceso experimental si no a la

fotografía que se tomó para después ser analizada con el software Tracker©. La cámara

pudo no haber estado perpendicular al recipiente, causando medicines ligeramente

diferentes a las que se obtendrían con un ángulo de 90°. Sin embargo, el error aún

permanece debajo del 15%, por lo que se considera un buen resultado.

6. Bibliografía

1. S. Reich, Measurement of refractive index in transparent plates with a piece of paper and laser source, Am. J. Phys. (ao)

2. P. Gluck, A simple method to measure the refractive index of liquid, Phys. Educ. (ao) 3. Eugene Hecht, Optics, Adison-Wesley Longman. 4. J. Miranda, Evaluación de la Incertidumbre en Datos Experimentales (Instituto de Física,

UNAM, México, 2000).

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