Indices de Miller

7/15/2019 Indices de Miller

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3.5 INDICES DE MILLER Estos se utilizan para identificar los planos cristalinos por donde es susceptible dedeslizar unos átomos sobre otros átomos en la celda cristalina.

Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se lesasigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller. Losíndices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l)

Los índices de Miller son números enteros, que pueden ser negativos o positivos, y sonprimos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dichonúmero.

Ejes y celdas unitarias: Se utilizan los tres ejes conocidos normalmente, el eje X positivo se usa saliendo delpapel, el eje Y positivo hacia la derecha y finalmente el eje Z positivo hacia la partesuperior; en sentidos opuestos se encuentran sus respectivas zonas y cuadrantesnegativos

Se utilizan celdas unitarias para situar tanto puntos, como planos. Dichas celdas

unitarias son cubos los cuales se encuentran situados sobre el sistema de coordenadasX, Y, Z. Generalmente se asume un origen, el cual está ubicado en la arista inferiorizquierda posterior.



Direcciones en la celda unitaria: Existen direcciones y posiciones en una celda unitaria de gran interés, dichasdirecciones son los denominados Índices De Miller y son particularmente las

posiciones o lugares por donde es más susceptible un elemento en sufrir dislocaciones y movimientos en su interior cristalino.

Para hallar los Índices De Miller de las direcciones se procede de la siguiente manera:

1. usar un sistema de ejes coordenados completamente definidos (zonas positivas yzonas negativas).

2. Restar las coordenadas de los puntos a direccionar (cabeza menos cola), generandode esta manera el vector dirección y la cantidad de parámetros de red recorridos

3. Eliminar o reducir de la resta de puntos las fracciones hasta su mínima expresión4. Encerrar los números resultantes entre corchetes , sin comas, si el resultado es

negativo en cualquier eje (X, Y, Z) debe situarse una barra o raya encima de dichonumero, o números.

Ejemplo 3.5.1

Determinar los índices de Miller delas direcciones A, B y C.

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Dirección A 1. Dos puntos son: 1,0,0 y 0,0,02. Se restan ambos puntos, situando en primer lugar el punto que se desea tener

como dirección y sentido (cabeza del vector) 1,0,0 – 0,0,0 = 1,0,0

3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir4. [ 100 ]Dirección B Dos puntos son: 1,1,1 y 0,0,0

1. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos 1,1,1 - 0,0,0 = 1,1,12. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir3. [ 111 ]Dirección C 1. Dos puntos son: 0,0,1 y ½,-1,02. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos 0,0,1 - ½,-1,0 = - ½,-1, 13. Esta vez el resultado debemos llevarlo a una conversión de enteros.4. 2(- ½,-1, 1)=-1,-2,25. Como el resultado es negativo en las direcciones de los ejes X y Y, se sitúan con

una barra en la parte superior los valores para dichos ejes.

6. Aspectos importantes en el análisis y creación de las direcciones en los Índices

De Miller: 1. las direcciones de Miller son vectores, por ende este puede ser positivo o negativo,

y con ello poseer la misma línea de acción pero diferente sentido.2. una dirección y sus múltiplos son idénticos solo que estos aun no han sido

reducidos.3. ciertos grupos de direcciones poseen equivalentes, esto en un sistema cubico es

ocasionado por el orden y el sentido de los vectores, ya que es posible redefinir elsistema coordenado para una misma combinación de coordenadas. Estos grupos

reciben el nombre de direcciones de una forma o familia, y se denota entreparéntesis especiales <>. Es importante resaltar que un material posee las mismaspropiedades en todas y cada una de las diferentes direcciones de una familia.

Tabla 3.5.a Direcciones de la familia <110> en el sistema cubico

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Importancia de las direcciones cristalográficas: Es necesario conocer las direcciones cristalográficas para así asegurar la orientaciónde un solo cristal o de un material poli cristalino. En muchas ocasiones es necesariodescribir dichas orientaciones; en los metales por ejemplo es más fácil deformarlos enla dirección a lo largo de la cual los átomos están en mayor contacto. En la industriaesto es de vital importancia para el uso, deformación y construcción de nuevos

elementos y materiales. Caso ejemplar es el de los elementos magnéticos los cualesfuncionan como medios de grabación con mejor y mayor eficiencia si se encuentranalineados en cierta dirección cristalográfica, para así almacenar de manera segura yduradera la información. En general es necesario encontrar o tener en cuenta laposición y dirección cristalográfica de los elementos ya que así podrá aprovecharse almáximo sus propiedades mecánicas.

Planos en la celda unitaria: Los planos cristalinos son con mayor precisión los lugares por donde un material

facilita su deslizamiento y transformación física; dichos lugares o planos sonen donde existe la mayor posibilidad de que el elemento sufra una dislocación. Comose mencionó anteriormente los metales se deforman con mayor facilidad a lo largo delos planos en los cuales los átomos están compactados de manera más estrecha ocercana en la celda unitaria. Es importante resaltar la orientación y forma en la quepuede crecer el cristal, para ello es necesario analizar las tensiones superficialesproducidas en los principales planos de una celda unitaria. Igualmente para una mejororientación en los planos de un material podrá existir un mejor rendimiento y

aprovechamiento en las propiedades y usos mecánicos.

Los Índices de Miller para planos se representan equivalentemente al sistemacartesiano

(X, Y, Z) = (h, k, l) respectivamente.




Para identificar los planos de importancia se procede de la siguiente manera:

1. identificar los puntos donde cruza al plano de coordenadas X,Y,Z en función de losparámetros de red (si el plano pasa por el origen se debe trasladar el origen del

sistema de coordenadas).2. los Índices de Miller para los planos cristalinos son el inverso a los puntos de un

plano cartesiano.3. se calculan los recíprocos o inversos de los puntos o intersecciones.4. si el reciproco es N/∞, donde N es cualquier numero entero real, esto significara

en el plano que para este eje el plano quedara paralelo a él sin tocarlo.5. la cantidad obtenida siempre es menor a la unidad, caso que no ocurre en el estudio

de las direcciones de los Índices de Miller.Ejemplo 3.5.8 Determine los índices de Miller de los planos A, B y C

Plano A

1. x=1 y=1 z=12. 1/x=1 , 1/y=1, 1/z=13. No existen fracciones que eliminar

4. (111)



Plano B 1. Debe aclararse el plano no cruza al eje z, esto es debido al cociente entre 1/∞ lo

cual con su respectivo limite tiende a ser cero (0)2. X=1 , y= 2, z=∞

3. 1/x=1, 1/y=1/2, 1/z= 04. Debemos eliminar las fracciones; 2(1, ½,0)5. (210)

Plano C 1. Es necesario cambiar el origen, ya que el plano pasa por el origen, ubicaremos el

nuevo origen a la derecha del inicial, moviéndolo en dirección del eje Y positivo2. Con el nuevo origen se tiene: x=∞, y=-1, z=∞ 3. 1/x=0, 1/y=-1, 1/z=0

4. No existen fracciones que eliminar

5. Aspectos importantes para los planos en los Índices de Miller: 1. los planos positivos y negativos son idénticos.2. los planos y sus múltiplos no son idénticos. Esto se demuestra por medio de la

densidad planar y el factor de empaquetamiento.












3. los planos de forma o familia de planos son equivalentes. Se representan con llaves{}

4. en los sistemas cúbicos, una dirección es perpendicular a un plano si tiene losmismos Índices de Miller que dicho plano.

Ejemplo 3.5.3 Familia de planos {110} en los sistemas cúbicos

Estos planos son inversos en muchos aspectos de estudio, análisis y construcción.

Índices de Miller para celdas hexagonales Para este tipo de estructura se ha desarrollado un especial conjunto de índices deMiller-Bravais, debido a la simetría de la estructura. En este se usan ya cuatro ejes,aunque es de tenerse en cuenta que el eje a3 es redundante.

El procedimiento para la obtención de planos y direcciones es el ya estudiado, aunque

para el cálculo de las direcciones existen los métodos para tres ejes o el de cuatroejes, siendo este último algo más tedioso.

En esta nueva estructura se tomaran los índices (h, k, i, l), para los cuales se asignaraun eje respectivo (a1=h, a2=k, a3=i, c=l), teniendo en cuenta que para el eje a3 suexistencia radicara en la relación h + k = -i; y la descomposición en cuatro vectores(creación de direcciones en cuatro ejes a partir de los índices en los tres ejes)

Relaciones:

H= 1/3(2h – k)

K=1/3(2k – h)




I=-1/3(h + k)

L=l

Ejemplo 3.5.6

Determine los índices de Miller-Bravais para los planos A y B y par las direcciones C yD.

Plano A 1. a1=a2=a3=∞, c=1 2. 1/a1=1/a2=1/a3=0, 1/c=13. No existen fracciones que simplificar4. (0001)

Plano B 1. A1=1, a2=1, a3=-1/2, c=1












2. 1/a1=1, 1/a2=1, 1/a3=-2, 1/c=13. No hay fracciones que simplificar

4. Dirección C

1. Dos puntos: 0,0,1 y 1,0,02. Realizando la resta y tomando al punto 0,0,1 como cabeza del vector, se tiene:

0,0,1 – 1,0,0 = -1,0,13. No existen fracciones que eliminar o enteros que reducir

4. Dirección D 1. Los puntos son: 0,1,0 y 1,0,02. La resta genera el vector: 0,1,0 – 1,0,0 = -1,1,0

3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir

4.

Comportamiento isotrópico y anisotrópico: A causa de los arreglos en los diferentes planos y direcciones cristalográficas losmateriales presentan comportamientos y desempeños diversos en sus propiedadesmecánicas. Se dice que un material es cristalográficamente anisotropico si suspropiedades dependen de la dirección cristalográfica en la cual se mide la propiedad.Si sus propiedades son idénticas en cualquier dirección el material se conocecristalográficamente como isotrópico. Puede suceder que un material pase de seranisotropico a isotrópico si sus arreglos son aleatorios en forma policristalina. En

genera los materiales policristalino as muestran propiedades isotrópicas. Ejemplo deello tenernos el aluminio, el cual si posee idénticas propiedades en todas lasdirecciones diremos que es un elemento cristalográficamente isotrópico, pero si sepresenta en forma policristalina se puede asumir o comportar como anisotropico.




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BIBLIOGRAFÍA Askeland, Donald R; Phule, Pracleep; Ciencia e Ingeniería de los Materiales;

International Thomson Editores, cuarta edición, México, 2004. Smith, William F (Autor); Hashemi, Javad ( Colaborador); Cruells Cadevall,

Montesrrat ( Revisor); Roca Vallmajor, Antoni ( Revisor); España, Mcgraw- HillInteramericana S.A, C2004

3.6 PLANOS CRISTALINOS

Dirección en la celda A menudo, es necesario referirnos a posiciones específicas en las redes cristalinas.Esto es especialmente importante para metales y aleaciones con propiedades quevarían con la orientación cristalográfica. Para cristales cúbicos los indices de las

direcciones cristalográficas son los componentes vectoriales de las direccionesresueltos a lo largo de cada eje coordenado y reducido a los enteros mas pequeños.Para indicar en un diagrama la dirección en una celda cúbica unitaria dibujamos unvector de dirección desde el origen (que es normalmente una esquina de la celdacúbica) hasta que sale la superficie del cubo. Las coordenadas de posición de la celdaunidad donde el vector de posición sale de la superficie del cubo después de serconvertidas a enteros son los indices de dirección. Los indices de dirección seencierran entre corchetes sin separación por comas.

Planos en una celda unitaria Las superficise cristalinas en celdillas unidad HCP pueden ser identificadascomúnmente utilizando cuatro indices en lugar de tres. Los indices para los planoscristalinos HCP ,llamados indices Miller-Bravais, son designados por las letras h, k, i, l y encerrados entre parentesis ( hkil ). estos indices hexagonales de 4indices estanbasados en un sistema coordenado de 4 ejes.

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Existen 3 ejes básicos, a1, a2, a3, que forman 1200 entre si. El cuarto eje o eje c es eleje vertical y esta localizado en el centro de la celdilla unidad. La unidad a de medida alo largo de los ejes a1 a2 a3 es la distancia entre los átomos a lo largo de estos ejes.La unidad de medida a lo largo del eje es la altura de la celdilla unidad. Los recíprocos

de las intersecciones que un plano cristalino determina con los ejes, a1, a2, a3proporciona los indices h, k e i mientras el recíproco de la intersección con el eje c dael índice l.

Notación para planos Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta celdillaunidad puesto que el plano basal de la celdilla HCP es pralelo a los ejes, a1, a2, a3 lasintersecciones de este plano con estos ejes serán todas de valor infinito. Así, a1 =”, a2=” a3 =” El eje c, sin embargo, es único puesto que el plano basal superior interseccionacon el eje c a una distancia unidad. Tomando los recíprocos de estas interseccionestenemos los indices de Miller-Bravais para el plano Basal HCP. Así, H =0 K=0 I = 0 yL=1. El plano basal es, por tanto un plano cero-cero-cero-uno o plano (0001) .

BIBLIOGRAFÍA: http://html.rincondelvago.com/principios-fundamentales-de-la-estructura-

cristalina-de-los-materiales.html http://www.esi2.us.es/IMM2/estructuras_cristalinas/planos.html

3.7 DENSIDAD PLANAR DE FAMILIAS 100, 110 Y111. PROTECCIÓNDESCRIPTIVA DE PLANOS Y CORTE DE ÁTOMOS. INTRODUCCIÓN Inicialmente podemos definir la densidad planar, coma la cantidad de átomos que hayen un determinado plano ejemplo: familia de planos (100). Pero una definición másformal la densidad planar es el número de átomos que tienen sus centros localizadosdentro de un área dada sobre un plano. El área planar seleccionada debe serrepresentativa de los grupos de átomos repetitivos dentro del plano. Cuando ocurredeslizamiento bajo esfuerzo (deformación plástica), éste ocurre en los planos sobrelos cuales los átomos están más densamente empacados.

La densidad planar en cristalografía nos muestra que tan lleno de átomos esta un planolo cual es muy importante porque podemos conocer como se van a deslizar estos planosunos con respecto a otros; con su respectiva dirección de deslizamiento ( densidad

http://html.rincondelvago.com/principios-fundamentales-de-la-estructura-cristalina-de-los-materiales.html





http://www.esi2.us.es/IMM2/estructuras_cristalinas/planos.html







lineal) ; la combinación de estos dos densidad planar y lineal me dan a conocer ladeformación del material, A la combinación de un plano de deslizamiento con unadirección, es a lo que se le denomina sistema de deslizamiento, y es a través de estossistemas por donde se produce la deformación de los materiales, de tal forma que

cuanto mayor es el número de ellos mayor será la capacidad de deformación de éstos.Para poder determinar cuáles son sistemas existentes, primero tenemos que vercuáles son los planos y direcciones preferentes. Pues bien los planos de deslizamientoson los que poseen la fracción atómica planar (FAP) más grande o lo que es lo mismo,son los planos de mayor compacidad en la estructura cristalina. Se define la fracción(1) atómica planar como:

∂= #ATOMOS INTERSECTADOS/AREA DEL PLANO

REDES CRISTALINAS BCC Y FCC: CALCULO DE LA DENSIDAD PLANAR: Para calcular la densidad planar usamos la siguiente convención. Si un átomo pertenecetotalmente a un área dada, tal como la del átomo localizado en el centro de una cara enuna estructura FCC, notamos que la huella de la intersección del átomo sobre el planoes un círculo. Entonces, dentro del área contamos un átomo en el centro y un cuartode átomo en cada una de las esquinas, ya que cada uno intercepta solamente un cuartode círculo en el área. La densidad planar o del plano es 2/a2. Debemos agregar que en

estos cálculos de la densidad, una de las reglas básicas es que un plano o una líneadebe pasar a través del centro de un átomo no se cuenta el átomo en los cálculos.Si determinamos la densidad planar de las distintas familias de planos de lasdiferentes estructuras, veremos que para el caso de la FCC, la familia de planos demayor densidad planar es la {111}, mientras que para la estructura BCC, es la{110}.Luego los planos pertenecientes a estas familias constituyen los planos dedeslizamientos de sus estructuras cristalinas correspondientes. Por lo que ya solonecesitamos conocer, Para poder determinar los sistemas, cuales son las direccionesde deslizamientos.A continuación veremos el cálculo de la densidad atómica planar de la familia de planos(100), (110), (111):





Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar para diferentesplanos de la familia (100) se llega a la conclusión que para FCC es igual a 78,5% y paraBCC es igual a 58,9%.Como ya quedó dicho en la introducción, para calcular la densidad planar, el área del

plano debe pasar por el centro del átomo, para poder tener en cuenta a éste como unátomo representativo, por eso, para calcular la densidad planar en una red cristalinaBCC debemos garantizar que el plano no intercepte el átomo central. Aquello esposible saberlo haciendo proyección del área y del plano, utilizando geometríaanalítica.Para el plano (111) BCC se ha hecho con anterioridad una proyección y se ha deducidoque el átomo central no corta lo suficiente al área del plano como para tomarse comoun átomo representativo, después de esto se pasa a hacer un cálculo de la densidadplanar, sin tenerlo en cuenta. A continuación se mostrará el desarrollo de loanteriormente mencionado:



Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar para diferentesplanos de la familia (111) se llega a la conclusión que para FCC es igual a 90,7% y paraBCC es igual a 34%.

Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar para diferentesplanos de la familia (110) se llega a la conclusión que para FCC es igual a 55,53% y paraBCC es igual a 83,3%.

BIBLIOGRAFIA: http://www.uhu.es/beatriz.aranda/apuntesciemat/TEMA%201funcmat.pdf (1) SMITH, F WILLIAM, Fundamentos de la ciencia e ingeniería de materiales http://blog.utp.edu.co/metalografia/2012/07/30/3-cristalografia/

http://www.uhu.es/beatriz.aranda/apuntesciemat/TEMA%201funcmat.pdf



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