Inecuaciones 1

Profesor: Javier Trigoso T. Matemática 1

1

INTERVALOS

Los intervalos son sub – conjuntos de

los números reales que sirven para

expresar la solución de las

inecuaciones, estos intervalos se

representan gráficamente en la

recta numérica real.

Para representar intervalos, se usan

habitualmente dos notaciones, por

ejemplo, para representar el

conjunto de los x tal que a ≤ x < b

se puede representar [a; b) o bien

[a; b[ . La primera es la vigente en el

mundo anglosajón, la segunda en

Francia. La regla del corchete

invertido resulta más intuitiva si uno

se imagina que el corchete es una

mano que tira hacia fuera o empuja

hacia dentro, respectivamente, un

extremo del intervalo. En el ejemplo

anterior, a pertenece al intervalo

mientras que b no.

Clases de intervalos

Intervalo Abierto:

a < x < b

x a, b ó

x ]a, b[

Intervalo Cerrado:

a x b

x [a, b]

Intervalo Semi – abierto o Semi – cerrado:

Por la izquierda:

a < x b

x a, b] ó

x ]a, b]

Por la derecha:

a x < b

x [a, b ó

x [a, b[

Intervalos al infinito

x < a

x ]–, a[

x a

x [a, +[

a b + –

a b + –

a b + – 1. b 2. a 3. b

4. d 5. c 6. a 7. d 8. d

9. e 10. b

a b + – 11. b

12. a 13. b 14. d 15. c

16. a 17. d 18. d 19. e 20. b

a + – 31. b 32. a 33. b 34. d

35. c 36. a 37. d 38. d 39. e

40. b

a + – 21. b 22. a

23. b 24. d 25. c 26. a

27. d 28. d 29. e 30. b


2

INECUACIONES

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los

signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un

conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese

conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.

INECUACIONES DE 1° GRADO

Para resolver una inecuación lineal o

de primer grado debemos usar las

propiedades de las desigualdades

además de tener en cuenta los

siguientes casos:

Caso 1

Resolver: 2x > 8

x > 4

x 4;

Caso 2

Resolver: –3x 15

3x –15

x –5

x ; 5

Caso 3

Resolver: –6x < –18

6x > 18

x 3;

SISTEMAS DE INECUACIONES

La solución de un sistema de

inecuaciones supone la solución de

cada una de las inecuaciones dadas,

siendo el conjunto solución, la

intersección de todas las soluciones

obtenidas.

Ejemplo:

Resolver: 2x 1 x 2

3x 4 2x 9

2x 1 x 2 x 3

3x 4 2x 9 x 5

x 3;5

4 + – 41. b 42. a 43. b

44. d 45. c 46. a 47. d 48. d

49. e 50. b

–5 + – 51. b

52. a 53. b 54. d 55. c

56. a 57. d 58. d 59. e 60. b

3 + – 61. b 62. a 63. b

64. d 65. c 66. a 67. d 68. d

69. e 70. b

3 5 + – 71. b

72. a 73. b 74. d 75. c

76. a 77. d 78. d 79. e 80. b


3

… PARA LA CLASE

01. Resolver:

2 2x 1 3 3x – 4 – 6 4 – 3x – 3

A. x –11, + B. x –, 11

C. x [–11, + D. x [–, 11

02. Resolver :

2x 6 x5

3 4

A. 36

x ,5

B. x –1, 1

C. 36

x ,5

D. 36

x 1,5

03. Resolver:

x 1 x 3 – x 8 x – 6 6 x 7 1

A. x ; 2 B. x 2;

C. x 2; D. x ;2

04. Resolver: 2x 5x 7x

- 773 6 12

A. x ;3 B. x ; 3

C. x 3; D. x 3;

05. Indica el mayor valor entero

que verifica la inecuación:

2x 1 3x 2 2x 1 2

5 6 2 3

A. -17 B. -18

C. -16 D. -15

06. Halla el menor valor entero de

x que satisface a la siguiente

desigualdad: 2x 5 x 3 3x 7

A. 5 B. 6

C. 7 D. 8

07. Resolver:

2x 6

3x 12

5x 15

4x 28

A. x ,7 B. x 7,

C. x ,7 D. x 7,

08. La suma de los enteros que

verifican simultáneamente las

inecuaciones:

4x 5x 3

73x 8

2x 54

, es:

A. -36 B. -25

C. -21 D. -18

09. Resuelve para valores enteros:

5x 3y 2

2x y 11

y 3

A. x = 3; y = 2 B. x = 4; y = 2

C. x = 4; y = 6 D. x = 3; y = 4

10. El valor entero de x que

satisface al siguiente sistema de

inecuaciones es:

x y 76

x y 10

x 2y 112

A. 35 B. 42

C. 43 D. 44


4

11. Sí J, R, T . halla R.T en:

J R T 8

J R T 4

T R 1

R 4

A. 2 B. 15

C. 16 D. 21

12. Halla un número tal que su

quíntuplo, aumentado en 8 es mayor

que 213, y su triplo disminuido en 1 es

menor que 128.

A. 40 B. 41

C. 42 D. 43

13. Si se duplica la edad de Carlos,

esta resulta menor que 84. Pero si a la

mitad de dicha edad se le resta 7

resulta mayor que 12. Hallar la suma

de las cifras de la edad de Carlos, si

dicha suma es mayor que 5.

A. 6 B. 8

C. 10 D. 12

14. Si al doble de un número entero

se le disminuye 5, no resulta más que

28 y si al triple del número se le

aumenta 7, no resulta menos que 53.

Halla el número y da como respuesta la

suma de sus cifras.

A. 9 B. 8

C. 7 D. 6

15. Javier tenía cierto número de

cigarrillos. Triplicó esta cantidad,

luego vendió 100 y le quedaron menos

de 82. Luego, le regalaron 13 y

posteriormente vendió la tercera

parte de los que tenía, quedándose con

más de 60. ¿Cuántos cigarrillos tenía

inicialmente?

A. 58 B. 59

C. 60 D. 61

… PARA LA CASA

01. Resolver:

2 1 – x +3 2 – 5x – 9

A. x ; 1 B. x ;1

C. x 1; D. x 1;

02. Resolver:

2

x – 2 x – 3 x – 5 x 7 2 x – 3

A. x ; 5 B. x 5;

C. x ;5 D. x 5;

03. Resolver :

2 2

4x – 3 3x – 2 x 7x – 13

A. x –5, + B. x –3, +

C. x [–5, + D. x [–3, +

04. Resolver: 11 x 1 4

132

A. x ;3 B. x ; 3

C. x 3; D. x 3;


5

05. Halla el menor valor entero de

"x" en :

2x 5

72

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

06. Halla el mayor valor entero de

"x" en :

2x 3 5 x

5 2

A. -20 B. -19

C. -18 D. -17

07. Resolver:

x 2 5(x 7) 7 x

3 4 2

A. x –11, + B. x –, 11

C. x [–11, + D. x [–, 11

08. Resolver:

x 3 3 2x x 82

5 10 30

A. x ;59 B. x 59;

C. x ; 59 D. x 59;

09. Indica el mayor valor entero

que verifica la inecuación:

2x 1 3x 2 2x 1 2

5 6 2 3

A. -18 B. -16

C. 16 D. 18

10. Resolver:

5 3 1

12x 18 10 20x 22 99x 76 5 11

A. x ;2 B. x 2;

C. x 2; D. x 2;

11. Halla el valor entero de « x »

que satisface el siguiente sistema:

x 2........(1) x 11.........(2)

x 5..........(3) x 15.........(4)

x 9..........(5) x 15.......(6)

x 20........(7)

A. 10 B. 9

C. 8 D. 7

12. Halla la suma de los valores

enteros de « x » que satisfacen al

siguiente sistema de inecuaciones:

5x 1 0...........(1) 3x 11 0...........(2)

7x 23 0.........(3) 24x 5 0..........(4)

2x 15 0.........(5) 8x 3 0............(6)

6x 1 0...........(7) 8x 53 0..........(8)

A. 1 B. 3

C. 6 D. 10

13. ¿Cuántos números naturales

satisfacen el sistema de inecuaciones?

12 6x 6 3x 4

A. 1 B. 2

C. 3 D. 5

14. Resolver :

2x + 1 3x + 4 < 6x + 8

A. x 1, + B. x [3, 5

C. x 3, + D. 4

x ,3

15. Resuelve:

5 7x 4 2x x1

3 5 2

y señala el mayor valor entero que

puede tomar “x”

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3


6

16. Señala el mayor valor entero

que satisface:

13x 5 1 8 5x4x

3 2 6

A. -2 B. -1

C. 0 D. 1

17. Señala el menor valor entero

que se obtiene al resolver:

2x 3 3x 1 1 2x

3 2 4

A. -2 B. -1

C. 1 D. 2

18. Resolver:

2x 2 5 2x1

5 3x 2 2x 3 3

3 4 4

A. x ;84 B. x 84;

C. x 84; D. x 84;

19. La suma de los valores enteros

de x que satisfacen el siguiente

sistema de inecuaciones:

13x 5 3x 8 2x 71

2 5 33x 1 x 1 x

15 2 7

, es:

A. 5 B. 9

C. 14 D. 20

20. ¿Cuántos números enteros

mayores o iguales a -7 satisfacen el

siguiente sistema?

7x 5 3x

3 2x 6 x 2 1 5x

2 5

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

21. ¿Cuántos números reales

satisfacen el siguiente sistema de

inecuaciones?

2x 1 x 3

2 36x 1 x 14

5 2

A. 6 B. 7

C. 8 D. 11


2x 5y 30

x 3y 22

y 8

A. x = 2; y = -7 B. x = -2; y = 7

D. x = -7; y = 2 E. x = -2; y = -7

23. Resuelve en

5x 3y 2

2x y 11

y 3

Y señala el valor de 2 2P x y

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4


2y x

4y 7z

x 4 2z

Y da como respuesta « x + y + z »

A. 5 B. 6

D. 8 E. 9


7


x y z 8

x y z 4

z y 0

z 5

Y da como respuesta « x + y + z »

A. 8 B. 9

C. 10 D. 13

26. Siendo: x, y, z los valores

enteros que satisfacen el sistema:

x y z 14

x y z 6

y z

z 7

Halla y.z

A. 5 B. 15

C. 25 D. 30

27. Siendo x, y, z los valores

enteros positivos que satisface el

siguiente sistema de inecuaciones:

2x 3y 5z 23

2x y 5z 13

y z 1

y 4

halla el valor de « x »

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

28. Una compañía arrendadora

cobra $ 15 por el alquiler de una sierra

eléctrica más $ 2 por hora. Pedro no

puede gastar más de $ 35 en cortar

algunos troncos de su jardín. ¿Cuántas

horas como máximo puede alquilar la

silla eléctrica?

A. 10 B. 11

C. 12 E. 13

29. Tengo cierto número de

cuadernos. Si regalara los 3/5 de mis

cuadernos, me quedarían más de 20,

pero si regalara solo la mitad, me

quedarían menos de 60. ¿Cuántos

valores podría tomar el número de

cuadernos que tengo?

A. 4 B. 5

C. 6 D. 7

30. Carlitos tiene cierta cantidad

de caramelos; se come 5 y le restan

más de la tercera parte, luego se

compra 10 más, con lo que tiene ahora

menos de 14 caramelos. ¿Cuántos

caramelos tenía inicialmente?

A. 7 B. 8

C. 9 D. 10

31. El dinero de Juan es el triple

del dinero del dinero de Pedro,

aumentado en 6; además, el quíntuplo

del dinero de Pedro, más el cuádruple

del dinero de Juan es mayor que 500.

¿Cuánto tiene como mínimo Pedro?

(considera una cantidad entera de

soles)

A. S/.26 B. S/.27

C. S/.28 D. S/.29

32. A una reunión asistieron 200

personas. se sabe que el doble del

número de damas no excede al

triple del número de caballeros

asistentes. Calcula el mayor número de

damas que podría haber en dicha

reunión.

A. 80 B. 120

C. 140 D. 200


8

33. Carmen tenía cierto número de

monedas de S/.1, cuadruplica este

número y le presta S/.200 a Luis,

quedándole menos de 104 monedas.

Después le presta S/.50 a Patty,

quedándole más de S/.42. ¿Cuántas

monedas tenía Carmen al inicio,

sabiendo que era un número impar?

A. 71 B. 73

C. 75 D. 77

34. Después de un partido de

futbol, un futbolista empezó comiendo

un cierto número de naranjas, después

compró 3 más, también se las comió,

resultando que había comido menos de

10 naranjas. Compró 8 naranjas más y,

al comérselas observó que había

comido en total, menos del triple de

naranjas que comió la primera vez. El

número total de naranjas que comió

fue:

A. 14 B. 16

D. 17 E. 18

35. Se tiene una fracción cuyo

denominador es menor en una unidad

que el cuadrado del numerador. Si

añadimos 2 unidades al numerador y al

denominador, el valor de la fracción

será mayor que 1/3. Si del

denominador y el numerador se restan

3 unidades, la fracción sigue siendo

positiva, pero será menor que 1/10.

calcular la suma del numerador y

denominador de la fracción original.

A. 13 B. 15

C. 17 E. 19

www.issuu.com/sapini/docs/

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