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INFERENCIA ESTADISTICA

Ejercicios resueltos

1. En una determinada marca de cigarrillos se efectúa un experimento para comprobar el contenido enalquitrán; a tal fin se prueban 30 cigarrillos elegidos al azar de lotes diferentes. Se encuentran los siguientesdatos muestrales para el contenido de alquitrán: 22x mg= , 4s mg= . Hallar un intervalo de confianza del90 % para el contenido medio de alquitrán en un cigarrillo de la citada marca.Solución:

( )41,645 22 1,2 20,8 ; 23,230

x ± = ± =

2.- La mosca adulta del gusano tornillo es de color azul metálico y su tamaño triplica al de la mosca común.El gusano tornillo pone los huevos en las heridas de animales de sangre caliente y produce una graveinfección. Se realizó un experimento con el objetivo de controlar esta población. Se expuso a las crisálidasdel gusano tornillo a una dosis de radiación de 2500 rad con la esperanza de esterilizar a la mayor parte delos machos. Dado que las hembras se aparean sólo una vez, si lo hacen con un macho estéril produciránhuevos estériles. Se encontró que tras la radiación, 415 de los 500 apareamientos observados dieron comoresultado huevos estériles. Calcular el intervalo de confianza del 95 % del porcentaje de apareamientosestérilesSolución:La estimación puntual para la proporción de apareamientos estériles producidos por esta dosis es:

415ˆ 0,83500

p = =

Un intervalo de confianza del 95 % viene dado por:

( )ˆ ˆ1 0,83 0,17ˆ 0,83 1,96500

0,83 0,03

p pp z

n− ×

± = ±

= ±

3. En un estudio de metabolismo de carbohidrato, se compara el crecimiento de la raíz en guisantescultivados en agua a 6 °C con el de las plantas cultivadas en una solución fructosa a la misma temperatura.Se sabe que ambas variables se distribuyen según una normal, con varianzas respectivas 0,25 y 0,20.Hallar un intervalo de confianza del 99 % para la diferencia entre los crecimientos medios en agua y fructosa¿Puede aceptarse que el crecimiento medio es el mismo en ambos casos?

cultivo en agua cultivo en fructosa1 16n = 2 25n =

1 9, 48 120mmx h= 2 9, 46 120

mmx h=

Tabla I.

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Solución:

( ) ( )

0,25 0,209,48 9,46 2,57516 25

0,02 0,39 0,37 , 0,41

I

I

= − ± +

= ± = −

El intervalo de confianza contiene el cero, por lo tanto, no hay diferencias estadísticamente significativas,puede admitirse que el crecimiento medio es el mismo en ambos casos

4. En un estudio sobre hábitos de alimentación en murciélagos, se marcan 25 hembras y 11 machos y seles rastrea por radio. La variable de interés es X , la distancia que recorren volando en una pasada enbusca de alimento. El experimento proporcionó la siguiente información (asumiendo normalidad):

hembras machos1 25n = 2 25n =

1 205x m= 2 135x m=

1 100s m= 2 95s m=

TablaII.

Hallar un intervalo de confianza del 90 % de 1 2µ −µ .

Solución:Como

21

22

100 1,11 295

ss

= = <

no existen diferencias entre las varianzas poblacionales. Puesto que no se pueden detectar diferencias enlas varianzas poblacionales, promediamos 2

1s y 22s para obtener:

( ) ( )2 21 1 2 22

1 2

2 2

1 12

24 100 10 9525 11 2

9713,24

p

n s n ss

n n− + −

=+ −

× + ×=

+ −=

El número de grados de libertad necesarios es 1 2 2 25 11 2 34n n+ − = + − = .

( ) ( )21 2

1 2

1 1 1 1205 135 1,697 9713,2425 22

70 60,51

px x t sn n

− ± + = − ± + = = ±

Se puede tener un 90 % de confianza en que la diferencia en las distancias medias recorridas en busca dealimento entre murciélagos hembras y machos esté entre 9,49 y 130,51 m. El intervalo no contiene alnúmero 0 y es positivo, lo cual indica que la distancia media recorrida por las hembras es mayor que larecorrida por los machos. Algunos biólogos han interpretado que esto significaría que las hembras estánsiendo expulsadas de las áreas de alimentación más cercanas por los machos más agresivos. Sin embargo,esta teoría no ha sido confirmada.

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5. En un estudio sobre hipertensión se obtuvieron dos muestras en dos ciudades diferentes con lossiguientes datos:

ciudad A 166Ax mm= 28As mm= 13An =

ciudad B 164,7Bx mm= 7Bs mm= 16Bn =

Tabla III.Calcular el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las medias.Solución:Como las varianzas son “distintas” se calcula f :

( )

22 2

2 22 2

2 2

28 713 16

2 1328 713 1613 1 16 1

28 7166 164,7 2,16 15,89 ; 18,4913 16

f

I

+

= − ≈ +

+ +

= − ± + = −

6. Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una marca determinada dio un contenido promedio de nicotinade 3 mg. Suponga que el contenido de nicotina de estos cigarrillos sigue una distribución normal con unadesviación estándar de 1 mg. Obtenga e interprete un intervalo de confianza del 95 % para el verdaderocontenido promedio de nicotina en estos cigarrillos. El fabricante garantiza que el contenido promedio denicotina es de 2,9 mg, ¿qué puede decirse de acuerdo con el intervalo hallado?Solución:

[ ]

21

13 1,96 2,67 , 3,3336

xx zn

α−

σ±

± =

Interpretación:Se tiene una certeza del 95 % de que el verdadero contenido promedio de nicotina se halla entre 2,67 y3,33 mg. Como 2,9 se encuentra en el intervalo hallado no podemos descartarlo como posible valor delparámetro.

7. Se registraron los siguientes datos, en minutos, que tardan algunos hombres y mujeres en realizar ciertaactividad en una empresa, los cuales fueron seleccionados aleatoriamente.

hombres mujeres1 14n = 2 25n =

1 17x = 2 19x =21 1,5s = 2

2 1,8s =

Tabla IV.

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Suponga que los tiempos para los dos grupos se distribuyen normalmente y que las varianzas son iguales,aunque desconocidas. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 99 % para la verdadera diferenciade medias. De acuerdo con el intervalo hallado, ¿hay evidencia de que los dos tiempos promedio soniguales.Solución:

( )

( ) ( )

( ) [ ]

2, 1

2 22

1 1

1 12

1 119 17 2,704 1,3 1,61 , 2,3925 14

pkx y

x x y yp

x y

x y t sn n

n s n ss

n n

α−− ± +

− + −=

+ −

− ± × + =

Interpretación:Se tendrá una certeza del 99 % de que la verdadera diferencia promedio de tiempo se encuentra entre 1,96y 2,39 minutos. Como el cero no está contenido en el intervalo, estos datos no evidencian una igualdadentre las medias. NOTA: para utilizar la fórmula de este problema es necesario que las varianzas de las dospoblaciones aunque desconocidas sean iguales.

8. Se está considerando cambiar el procedimiento de manufactura de partes. Se toman muestras delprocedimiento actual así como del nuevo para determinar si este último resulta mejor. Si 75 de 1000artículos del procedimiento actual presentaron defectos y lo mismo sucedió con 80 de 2500 partes delnuevo, determine un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera diferencia de proporciones de partesdefectuosas.Solución:

( ) ( ) ( )

( ) [ ]

2

1 1 2 21 2 1

1 2

1 1

0,075 0,925 0,032 0,9680,075 0,032 1,645 0,0281 , 0,05791000 2500

p p p pp p z

n nα−

− −− ± +

× ×− ± + =

Interpretación:Se tendrá una certeza del 90 % de que la diferencia de proporciones está entre 0,0281 y 0,0579.

9. Un fabricante de baterías para automóvil asegura que las baterías que produce duran en promedio 2años con una desviación típica de 0,5 años. Si cinco de estas baterías tienen duración 1,5, 2,5, 2,9, 3,2, 4años, determine un intervalo del 95 % para la varianza e indique si es cierta la afirmación del fabricante.Solución:

( ) ( )

[ ]

22

2 2

2 21 ,1 , 1

1 1,

4 0,847 4 0,847, 0,3 , 711,1413 0,484419

nn

n s n sα α−− −

− − χ χ × × =

Como el valor de varianza 0,25 está fuera del intervalo, lo afirmado por el fabricante no está garantizado porlos datos muestrales

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10. En la tabla se muestra el grado de variación de las respuestas subjetivas de dolor en el raquis entre testprevio y test posterior a una intervención en grupos experimentales de Bachillerato

test previono dolor si dolor total

no dolor 13 2 15test posterior si dolor 10 9 19total 23 11 34

Tabla V.Determinar si hay diferencias significativas entre las respuestas pre y post intervención.

Solución:

( ) ( )2 2

2

2

1 2 10 1 49 4,082 10 12

4,08 3,84 0,05

M N

M N

b cb c

p

− − − −χ = = = =

+ +

χ = > ⇒ <