Inferenciasacercade unamediade unapoblación … · 2018-09-07 · 4. La distribución t se aproxima a la Normal a medida que aumente gl. 5. t está distribuida con una varianza mayor

Inferencias acerca de una media de

una población

Técnicas inferencial t-test (Cap. 8)

INICIOINICIO

¿A cuál parámetrose refiere

la afirmación?

Use la Dist. Normal con

nx

p

npq

ppz =′−′= ;*

(Proporciones)(Proporciones)

SI

¿Media o proporción?

¿ES n=50 o n>50?

SI

¿Es la distribuciónde la población

básicamente normal?

NO

NO

Use la Dist. Normal con

−=

n

xz

σµ*

Use métodos no paramétricos que no requieran una Dist.

Normal.

MEDIAMEDIA

SI

¿Se conoce σ ? DS poblacional

NO

SI

Use la Dist.Normal con

−=

n

xz

σµ*

(RARO)Use la Dist.t-Student con

−=

ns

xt

µ*

n

(((( ))))

)."bias("extremosvaloressin

y)"corta"cola(simétricascasi,alesmodunionesdistribucideprovienen

datoslossi20o15n.sesgadasenteextremadammuestrasenexcepto

),50(grandesmásmuestrasdetamañosrequierensasímetricaonesdistribucide

provienennomuestraslassiyTLCcumpla"grande"mentesuficienteesn

====

µµµµ−−−−====

n

sx

t *Nota importante: Si σ esdesconocida y

� Ej 9.0 A. La media esperada de una población continua

es 100. Una muestra aleatoria de 16 mediciones de la

población proporciona una media de 96 y D.S. es 12. Con

un nivel de significancia de 0.01, se realiza una prueba

para decidir entre los enunciados “la media poblacional

es 100” vs “la media poblacional es diferente de 100”.

Determine o calcular los siguientes: Puntuaciones),(N~x 2σσσσµµµµ

� Ho� Ha� α y 1 − α

� μ�� Error estándar� Error estándar de las medias

� Grados de libertad (gl=n − 1), Estadístico de prueba t calculado� p−value

x

),(N~x σσσσµµµµ

� Ej 9.0 B. Sea μ la concentración de receptor de suero en todas las

mujeres embarazadas. Se conoce que el promedio de todas las

mujeres es de 5.63. Un artículo de una revista profesional,

American Journal of Clinical Nutr. Informó que el p−value es mayor

que 0.10 para una prueba de Ho: μ=5.63 vs Ha: μ ≠ 5.63 basada en

n=20 mujeres embarazadas. Use el nivel de significancia α=0.01.

Las concentraciones de receptor de suero en todas las mujeres

embarazadas se comportan normalmente.

� Ho� Ha� α y 1 − α

� μ� Grados de libertad (gl=n − 1)� Estadístico de prueba� p−value� ¿Qué se puede concluir?????

Inferencias concerniente a una media poblacional(Prueba t − Student)

Resumen (Enfoque Clásico)

1. Describir el parámetro. Establecer las hipótesis la Ha2. Comprobar los supuestos

-Distribución de medias-Nivel de medición

(((( ))))s'x

3. Identificar la estadística de prueba a utilizarCalcular la estadística de pruebaTomar las decisiones

ianzavarymediaconenormalmentComporta),(N~x 2σσσσµµµµ

Frases comunes y sus negacionesFrases comunes y sus negaciones

Ho Ha(=) es igual; no es diferente; es

(≠) no es; diferente de; no es igual a

(≥) por lo menos; no (<)menor que(≥) por lo menos; no es menor que; mayor o igual que

(<)menor que

(≤) no más de; no es mayor que, cuando mucho, menor o igual que

(>) más que; mayor que

William Gosset lived from 1876 to 1937

Gosset invented the t -test to handle small samples for quality control in brewing. He wrote under the name

"Student". Find out more at:

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Gosset.html

Propiedades de la DistribuciPropiedades de la Distribución tón t

1. t está distribuida con una media de cero;2. t está distribuida simétricamente alrededor de su

media;3. t está distribuida de modo que forma una familia de

distribuciones, distinguidas con gl o df = n-1 (gradosde libertad. Nota importante: gl ≥ 1

4. La distribución t se aproxima a la Normal a medida4. La distribución t se aproxima a la Normal a medidaque aumente gl.

5. t está distribuida con una varianza mayor que 1,pero a medida que aumenta gl, la varianza se aproxima a 1.

6. t está distribuida de forma más achatada que la Curva Normal.

Ejemplo 9.1

En una conocida prueba de autoimagen que da por resultadovalores que se distribuyen de manera normal, se espera q uela puntuación promedio de los beneficiarios de asisten cia del gobierno sea de 65. El test se aplica a una muestra ale atoriade 28 beneficiarios del gobierno, quienes logran un va lor mediode 62.1 con una D.S. de s igual a 5.83. Al nivel de si gnificanciade 0.01, ¿existe suficiente evidencia para demostrar la afirmacióndel investigador: los beneficiarios de asistencia gubernamentaltienenun puntuación(autoimagen) media menorquelo esperado? tienenun puntuación(autoimagen) media menorquelo esperado? Use α =1%=0.01.

Paso 1: El parámetro de interés es la puntación media de laprueba de autoimagen, µ, para todos los benficiarios de laasistencia del gobierno.

Paso 2: Establecer las hipótesis alternaALTERNA: ¿Qué es lo que vamos a demostrar o probar?

Ho:

Ha:

La puntación media de autoimagen de todos losbeneficiarios de asistencia del gobierno es 65.0

0.65<µALTERNA: La puntación media de autoimagen de todos losbeneficiarios de asistencia del gobierno es menor q ue 65.0

Paso 3:Paso 3:

a. Supuestos o sea:-El nivel de medición es Intervalo/Razón-Se espera que las puntuaciones de autoimagen se aproximen a la Distribución Normal- σ es desconocida y n es suficiente grande (TLC)

Paso 3:c. El nivel de significancia es α=0.01.

colaunadecríticaregiónunaEs

271281ngl

libertaddegrados

tTABLA

====−−−−====−−−−====

Studentt.Distladetablalapordado

473.2tescríticovalorEl

izquierda)(

)ldirecciona(


)01.0,27(

−−−−

−−−−====−−−−<<<<

Entonces la prueba de hipótesis que se aplicará es t.El nivel de significancia es 01.0=α

473.2t )01.0,27( −−−−====−−−−

Paso 4: Sustituir en la fórmula de la Estadística de Prueba t

========

αααα====<<<<≈≈≈≈−−−−

−−−−≈≈≈≈−−−−====−−−−====

−−−−====

µµµµ−−−−====⇒⇒⇒⇒

========

01.000693.0valuep

63.2632.21018.1

90.2

28

83.50.651.62

n

sx

t

;gobiernodelayudadeiosbeneficiar28n;1.62x

*

Paso 5: El valor de la estadística de prueba

63.2t* −−−−≈≈≈≈está en la REGIÓN CRĺTICA

Decisión: p−value es menor o igual que α.

Rechazo la Ho, es decir …

αααα====≤≤≤≤≈≈≈≈−−−− 01.000693.0valuep

Rechazo la Ho, es decir …

Los beneficiarios de la ayuda del gobierno obtienen puntuac ionessignificativamente menores, en promedio, que la puntación mediaesperada 65.0

La media observada es menor que 65.0.

� Ej 9.2. Se conoce que la densidad de la Tierra en relación con la

densidad del agua es de 5.517 g/cm3, Henry Cavendish, químico y

físico inglés (1731−1810), fue el primer científico en medir con

precisión la densidad de la Tierra. A continuación se presentan 29

mediciones tomadas en 1798 con una balanza de torsión.

5.50 5.61 4.88 5.07 5.26 5.55 5.36 5.29 5.58 5.65

5.57 5.53 5.62 5.29 5.44 5.34 5.79 5.10 5.27 5.39

5.42 5.47 5.63 5.34 5.46 5.30 5.75 5.68 5.85 −

¿existe suficiente para probar la afirmación de que la media de los

datos de Cavendish es significativamente menor que 5.517 g/cm3

(estándar conocido hoy día)? Use el nivel de significancia α=0.05.

� Establecer la Ha� Ha: La densidad media de los datos de Cavendish es

significativamente menor que 5.517 g/cm3 (estándar conocido hoy

día)

(((( ))))3cm/g517.5<<<<µµµµ

El nivel de significancia es α = 0.05.


281291ngl

libertaddegrados

tTABLA

====−−−−====−−−−====

StudenttónDistribuciladetablalapordado


izquierda)(

)ldirecciona(


)05.0,28(

−−−−

−−−−====−−−−<<<<

Entonces la prueba de hipótesis que se aplicará es t.El nivel de significancia es 05.0====αααα

701.1t )05.0,28( −−−−====−−−−


============

αααα====>>>>≈≈≈≈−−−−

−−−−≈≈≈≈−−−−====−−−−====

−−−−====

µµµµ−−−−====⇒⇒⇒⇒

============

050.00517.0valuep

68.16854.10410.00691.0

29

2209.0517.54479.5

n

sx

t

;1798entomadasmediciones29n;2209.0s,4479.5x

x

*

x


68.1t* −−−−====NO está en la REGIÓN CRĺTICA

Decisión: p−value es mayor que α.

No hay suficiente evidencia para rechazar la Ho, es decir …No hay suficiente evidencia para rechazar la Ho, es decir …

La densidad media de los datos de Cavendish no es

significativamente menor que 5.517 g/cm3 (es aproximadamente

5.517 g/cm3 o sea el estándar conocido hoy día)

(((( ))))3cm/g517.5≈≈≈≈µµµµ

Decisión:

� Ej 9.3. Las lecturas de contaminación del agua en la playa

DeMoivre parecen ser menores que las del año anterior. Una

muestra de 12 lecturas, medidas en términos coliform/100 ml, se

seleccionó aleatoriamente de los registros de las lecturas diarias de

este año.


3.5 3.9 2.8 3.1 3.1 3.4 4.8 3.2 2.5 3.5

4.4 3.1


lecturas de contaminación de este año es significativamente menor

que la media del año pasado de 3.8 coliform/100 ml? Use el nivel

de significancia α=0.01. Suponer que todas las lecturas se

comportan normalmente.

� Establecer la Ha� Ha: La media de los lecturas de contaminación de este año es

significativamente menor que la media del año pasado de 3.8

coliform/100 ml (((( ))))ml100/coliform8.3<<<<µµµµ



111121ngl

libertaddegrados

tTABLA

====−−−−====−−−−====



izquierda)(

)ldirecciona(


)01.0,11(

−−−−

−−−−====−−−−<<<<


718.2t )01.0,11( −−−−====−−−−


============

αααα====>>>>≈≈≈≈−−−−

−−−−≈≈≈≈−−−−≈≈≈≈−−−−====

−−−−====

µµµµ−−−−====⇒⇒⇒⇒

============

010.004189.0valuep

90.19012.1188476.0

3583.0

12

6529.080.34417.3

n

sx

t

;aciónmincontadelecturas12n;6529.0s,4417.3x

x

*

x


90.1t* −−−−====NO está en la REGIÓN CRĺTICA

Decisión: p−value es mayor que α.

No hay suficiente evidencia para rechazar la Ho, es decir …No hay suficiente evidencia para rechazar la Ho, es decir …

La media de los lecturas de contaminación de este año es mayor o

igual que la media del año pasado de 3.8 coliform/100 ml

(((( ))))ml100/coliform80.3≥≥≥≥µµµµ

Decisión:

� Ej 9.4. Se ha sugerido que los niños varones con anormalidades

tienden a nacer de padres más viejos que el promedio verdadero de

28.0 (edad media a la que las madres en la población general dan a

luz). Se obtuvieron historias de casos de 20 niños varones con

anormalidades y las edades de las 20 madres fueron las siguientes:

¿existe suficiente para probar la afirmación de que ? Use el nivel de

31 21 29 28 34 45 21 41 27 31

43 21 39 38 32 28 37 28 16 39

¿existe suficiente para probar la afirmación de que ? Use el nivel de

significancia α=0.05. Suponer que todas las edades se comportan

normalmente.

� Establecer la Ha� Ha: Los niños varones con anormalidades tienden a nacer de

padres más viejos que el promedio verdadero de 28.0 (edad media

a la que las madres en la población general dan a luz)

(((( ))))años0.28>>>>µµµµ



191201ngl

libertaddegrados

tTABLA

====−−−−====−−−−====



derecha)(

)ldirecciona(


)05.0,19(

−−−−

====−−−−>>>>


729.1t )05.0,19( ====


============

αααα====≤≤≤≤≈≈≈≈−−−−

≈≈≈≈≈≈≈≈====

−−−−====

µµµµ−−−−====⇒⇒⇒⇒

============

050.003521.0valuep

92.191688.17998.145.3

20

049.800.2845.31

n

sx

t

;madres20n;049.8s,45.31x

x

*

x


αααα====≤≤≤≤≈≈≈≈−−−−≈≈≈≈ 050.003521.0valuep92.1t *

está en la REGIÓN CRĺTICA

Decisión: p−value es menor o igual que α.

Rechazar la Ho, es decir …Rechazar la Ho, es decir …

Los niños varones con anormalidades tienden a nacer de padres

más viejos que el promedio verdadero de 28.0 (edad media a la que

las madres en la población general dan a luz)

Decisión:

(((( ))))años0.28>>>>µµµµ

� Ej 9.5. Una muestra de 26 trabajadores de una plataforma

petrolera marina participaron en un simulacro de escape (Oxigen

Consumption and Ventilation During Escape from an Offshore

Plataform, Ergonomics (1997)) sobre el tiempo de escape (s) con

media de 370.69 s y desviación estándar de 24.36 s Suponga que los

investigadores creyeron de antemano (establecido) que el tiempo

promedio de escape verdadero sería menor o igual que 6.0 minutos.

¿Existe suficiente para contradecir la afirmación de la creencia de

antemano? Use el nivel de significancia α=0.01.antemano? Use el nivel de significancia α=0.01.

� Establecer la Ha� Ha:

Ejercicio 9.6:

Una psicóloga del CEG desea determinar si el tiempo prome dio quetarda un conductor adulto en reaccionar a cierta situac ión de urgenciaes en realidad 80 s, como lo ha afirmado un investigado r del Departamento de Física-Matemáticas. Decide seleccion ar una muestraaleatoria de 26 conductores con los siguientes tiempos :

6060 7070 7575 5555 8080 55555050 4040 8080 7070 5050 95955050 4040 8080 7070 5050 9595120120 9090 7575 8585 8080 6060110110 6565 8080 8585 8585 45457575 6060 9090 9090 6060 9595110110 8585 4545 9090 7070 7070

¿Existe suficiente evidencia para demostrar que el tiempo promedioen reaccionar a una urgencia es diferente de 80.0 s? Useα =10%.

Ejercicio 9.7

Pepita Jimenez es una comediante de centros nocturnosque graba en video sus actuaciones y registra el total delos tiempos que ella debe esperar a que el público deje dereír. A continuación se dan los tiempos (en s) para 15actuaciones distintas en las que usó una nueva rutina.¿Existe suficiente evidencia para demostrar que el tiempoPromediodetodaslasactuacionescon la nuevarutina esdiferentePromediodetodaslasactuacionescon la nuevarutina esdiferentede 63.2 segundos (s)? ¿Cree usted que su nueva rutina es mejor?Useα=0.05.

8686 4545 4444 7878 5252 79798686 6666 6161 5757 9898 44446161 9999 8787

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