Física Experimental 1 2015

Práctica 1: Introducción al Matlab

Facultad de Ingeniería, Universidad de la República Grupo ABSemana1 Prof. Agustín Badan

Rodrigo Schuster, Maximiliano Taube

Informe Práctica 1 – Introducción al MatLab

Objetivos: Conocer y familiarizarse con el programa Matlab, el cual utilizaremos durante el curso Repasar conceptos sobre Física aprendidos en cursos anteriores

Fundamento teórico: El Matlab (“Matrix Laboratory”) es un entorno que permite realizar cálculos matemáticos, así como hacer programas que permiten, entre algunas cosas, graficar los datos recabados en las prácticas. En cuanto a los conceptos físicos : 1 Cinemática de la partícula:

Principalmente lo que estudia la cinemática es el la descripción del movimiento, y no el motivo. Para describir el movimiento se busca obtener la “ley horaria”, que es valor del vector posición en función del tiempo. Para llegar a ella hay varias maneras, como integrando la aceleración (en el caso de tener la velocidad y posición inicial) o resolviendo la ecuación de movimiento. Dinámica de la partícula : 1

La dinámica estudia el por qué de los movimientos, y se puede estudiar a través de la segunda ley de Newton, que relacion a la fuerza neta aplicada sobre la partícula con su masa y aceleración Segunda ley de Newton: , donde F y a son vectores.aF = m Fuerza Peso: Es la que que le ejerce la tierra a la partícula, y su ecuación responde a la “Ley de gravitación de Newton” entre dos cuerpos ( ).F 12 = r2

G.m .m1 2 En el caso de la tierra se tiene que , m/sR2T

G.MT ≃9 8 2 = g

Entonces la fuerza peso es: eso .gP = m Fuerza elástica: Según la ley de Hook un resorte ejerce una fuerza proporcional a su estiramiento:

1 [Res60] R. Resnick, D. Halliday, K. S. Krane ­ Física Vol. 1. Primera edición 1960, onceava reimpresión 1970. Capítulo 4, 5, 6 y 8.

1

(l )uF elástica = − k − l02 2

Donde: es la constante elástica del resorte, lo que se estira o comprime (diferencia k l ) ( − l0 entre longitud y longitud natural) y su versor director.u Ambas fuerzas son conservativas, por lo que en un sistema donde solo actúan ellas la ecuación de movimiento se podrá obtener derivando la ecuación de energía: E = K +U K = 2

m.v2 Uelástica = 2

K.Δx2

Descripción de la experiencia La práctica contó con tres problemas a resolver:

1. Proyectiles 2. Movimiento unidimensional en un plano inclinado 3. Fuerzas elásticas

Análisis de los resultados Problema 1:

Parte c: Escogiendo un parámetro β = 30 las partículas colisionan como se muestra en la figura 1 Utilizando la herramienta g input se obtiene gráficamente el punto de colisión: x = 2.5024 y = 43.1604

2 Los versores se denotan con el símbolo “­” y no “^” como usualmente

2

Figura 1 - Trayectorias (β = 30)

Escogiendo un parámetro β = 20 las partículas no colisionan como se muestra en la figura 2

Figura 2 - Trayectorias (β = 20)

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Problema 2:

Parte a: i) La aceleración del bloque es: , lo que denota que el valor de la masa m no.sen(θ)a = g influye en la aceleración del objeto ii)

Figura 3 - posición y velocidad en función del tiempo: modelo teórico 1

Parte b:

t(seg) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

x(cm) 1,4 6,2 8,4 14,5 22,7 29,7 42,0 56,0 69,6 83,1

Tabla 1

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Figura 4 - posición en función del tiempo: modelo teórico 1 y experiencia 1

Primero que nada hay que tomar en cuenta, que no se sabe nada acerca de cómo fue la experiencia, principalmente las condiciones de la misma. También hay que considerar que en nuestro problema no se consideran dos fuerzas que en la realidad son imposibles de omitir, pero si despreciar. Las mismas son: la fuerza viscosa del aire y el rozamiento entre la partícula y el piso de la rampa. De todas maneras, se observa que para esta masa, y como muestra el gráfico de la figura 4 que la curva del modelo pasa “cerca” de los puntos de la experiencia, por lo que se podría decir que el modelo es válido. Parte c:

t(seg) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

x(cm) 1,3 1,9 6,7 7,9 10,6 14,1 14,9 16,9 19,0 22,2

Tabla 2

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Figura 5 - posición en función del tiempo: modelo teórico 1 y experiencia 2

En este caso se observa que el modelo no resulta ser válido, o no es conveniente, ya que a medida que aumenta el tiempo la diferencia entre el modelo teórico y el experimental también lo hace. Con respecto a las diferencias entre las masas se entiende que el movimiento de la partícula dependerá de la masa, aunque habría que repetir la experiencia para poder afirmarlo. La diferencia se da porque cuanto menor sea la masa, las fuerzas obviadas en el modelo tendrán una mayor ponderación en la ley horaria.

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Parte d:

Figura 6 - posición en función del tiempo: modelo teórico 2 y experiencia 2

Ahora que se toma el rozamiento del aire, y que la ley horaria depende de la masa podemos ver que el modelo teórico se acerca más a la realidad y podríamos considerar al mismo como válido, a pesar de que desprecie, por ejemplo, a la fricción entre el piso y la partícula. Problema 3:

Parte c:

Figura 7 - posición y velocidad en función del tiempo

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Parte d: Dado que la fuerza elástica es conservativa, la energía se debería conservar y como se observa en la figura 8 la suma entre la energía cinética y la potencial elástica es constante, por lo que demuestra que la energía se conserva. Otro cosa que se observa es el hecho de que la velocidad es 0 en los puntos de máximo estiramiento y máxima en los de máximo estiramiento. La energía potencial elástica nunca se anula debido a que siempre hay al menos un resorte fuera de su posición de equilibrio (debido a la disposición del sistema)

Figura 8 - Energía potencial elástica, Energía cinética y Energía total en función del tiempo

Conclusiones Con respecto al Matlab, en esta experiencia demuestra ser una herramienta eficaz, facilitando los cálculos a realizar, sobre todo con las funciones y programas utilizados. El hecho de poder unir los datos experimentales con los teóricos en un mismo gráfico ayuda a determinar la validez o no de los modelos. En el caso del problema 2 pudimos estudiar cuando un modelo era válido y cuando no, agregando o quitando fuerzas que en la realidad aparecen. Es una buena primera experiencia para tomar contacto con el programa, porque son problemas de física que no presentan una gran dificultad, pero sin embargo sus resoluciones permiten repasar los conceptos básicos a utilizar en este curso.

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Anexo 1: Códigos de Matlab Parte 1b)

clear all disp('ejercicio 1 parte b') beta=input('ingresar aqui el parametro ') t=[0:5]; xa=t; ya=­4.9*t.^2+30*t; xb=5­t; yb=­4.9*t.^2+(beta)*t; plot(xa, ya,'r') hold on plot(xb, yb) title('Trayectorias') xlabel('posicion x(m)') ylabel('posicion y(m)') [x,y]=ginput(1) Parte 2a)

clear all disp('ejercicio 2 parte a') tita=(pi/18); t=[0:0.1:1]; x=4.9*sin(tita)*t.^2; v=9.8*sin(tita)*t; subplot(2,1,1); plot(t,x,'r') title(('posicion')) xlabel('t(s)') ylabel('x(m)') subplot(2,1,2); plot(t,v) title(('velocidad')) xlabel('t(s)') ylabel('v(m/s)')

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Parte 2b)

clear all disp('ejercicio 2 parte b') tita=(pi/18); t=[0:0.1:1]; xi=(4.9*sin(tita)*t.^2)*100; xii=[0 1.4 6.2 8.4 14.5 22.7 29.7 42.0 56.0 69.6 83.1]; plot(t,xi,'r') hold on plot (t, xii, '*') title(('posicion teorica / posicion experimental')) xlabel('t(s)') ylabel('x(cm)') Parte 2c)

clear all disp('ejercicio 2 parte c') tita=(pi/18); t=[0:0.1:1]; xi=(4.9*sin(tita)*t.^2)*100; xii=[0 1.3 1.9 6.7 7.9 10.6 14.1 14.9 16.9 19.0 22.2]; plot(t,xi,'r') hold on plot(t,xii,'*') title(('posicion teorica / posicion experimental')) xlabel('t(s)') ylabel('x(cm)')

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Parte 2d)

clear all disp('ejercicio 2 parte d') tita=(pi/18); b=0.5; m=0.075; t=[0:0.1:1]; g=9.8; xi=(((m*g*sin(tita))/b)*(t­(m/b)*(1­exp((­b/m)*t))))*100; xii=[0 1.3 1.9 6.7 7.9 10.6 14.1 14.9 16.9 19.0 22.2]; plot(t,xi,'r') hold on plot(t,xii,'*') title(('posicion teorica / posicion experimental')) xlabel('t(s)') ylabel('x(cm)') Parte 3c)

clear all disp('ejercicio 3 parte c') k1=300; k2=100; l1=0.30; l2=l1; D=1.00; m=1; w=sqrt((k1+k2)/m) T=(2*pi)/w p=k1*l1+k2*D­k2*l2; C=0.5­(p/(k1+k2)); t=[0:0.01:1]; x=C*cos(w*t)+p/(k1+k2); v=­w*C*sin(w*t); subplot(2,1,1); plot(t,x) title('posicion') xlabel('t(s)') ylabel('x(m)') subplot(2,1,2); plot(t,v,'r') title('velocidad') xlabel('t(s)') ylabel('v(m/s)')

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Parte 3d)

clear all disp('ejercicio 3 parte d') k1=300; k2=100; l1=0.30; l2=l1; D=1.00; m=1; w=sqrt((k1+k2)/m); T=(2*pi)/w; p=k1*l1+k2*D­k2*l2; C=0.5­(p/(k1+k2)); t=[0:0.01:ceil(3*T)]; x=C*cos(w*t)+p/(k1+k2); v=­w*C*sin(w*t); K=(m*(v.^2))/2; U=(1/2)*((k1*(x­l1).^2)+(k2*(D­x­l2).^2)); E=U+K; plot(t,K) hold on plot(t,U,'g') hold on plot(t,E,'r') title('Energia') xlabel('t(s)') ylabel('Energia(J)')

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Anexo 2: Cálculos y ecuaciones Problema 1:

Partícula A: (t) .jaA = − g (t) 1.i − .t 0).jvA = + ( g + 3 (t) t.i − t 0.t).jrA = + ( 2

g 2 + 3 Partícula B: (t) .jaB = − g (t) .i − .t ).jvB = − 1 + ( g + β (t) (− ).i − t .t).jrB = t + 5 + ( 2

g 2 + β Problema 2:

Segunda ley de Newton: ) mg.sen(θ) ai = m ) N g.cos(θ)j −m = 0 Leyes horarias: (t) .sen(θ)a = g (t) .sen(θ).tv = g (t) tx = 2

g.sen(θ) 2 Problema 3:

Ecuación de movimiento: (deducida de la segunda ley de Newton): . k )xp = m dt2d x2 + ( 1 + k2

donde l D lp = k1 1 + k2 − k2 2

ω =√ mk +k1 2

Leyes horarias: (t) .cos(ωt)x = C + p

k +k1 2

(t) − .C.sen(ωt)v = ω donde y se obtiene de las condiciones iniciales al resolver la ecuación de movimiento,C = 0 1 Energía cinética:

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.m.v .m .ω .C .sen (ωt)K = 21 2 = 2

1 2 2 2 2 Energía potencial elástica:

.k.x .k. U = 21 2 = 2

1 C .cos (ωt)+ .C.cos(ωt).( 2 2 ( pk +k1 2)2 + 2 p

k +k1 2)

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