Escuela Politécnica Nacional

Facultad de Ciencias

Laboratorio De Oscilaciones y Ondas

Luis Felipe Gualco y Galo Jaime Páez Fajardo

Informe # 6

Tema: Péndulo Físico

Descripción del problema:

Usted continúa trabajando en el péndulo que el presidente ha dejado a su cargo. Después de analizar los resultados, usted ha reconocido que aunque la varilla de metal que une la masa con el eje se fabrique de materiales livianos, tiene una masa que no es despreciable. Por esta razón se tiene que hacer consideraciones que van más de acuerdo con la realidad, y debemos averiguar como la masa de la varilla influye en el período del péndulo. Además, es necesario conocer qué partes de la varilla sufren mayor deflexión, para poder saber si el material tolerara las condiciones impuestas. Usted conoce que la deflexión es inversamente proporcional al momento de inercia. En el experimento usted utilizará una placa de metal como modelo para la barra del péndulo, y así poder analizar todo los detalles de una forma segura.

Solución: Necesitamos saber como varía el período del péndulo dado que el mismo no es

simple en función de la masa de la varilla que se refleja claramente en la inercia.

En el documento preparatorio, previo al desarrollo del experimento, a través de la

resolución de la ecuación del movimiento del sistema pendular se tenía que:

( )( ) Aproximando

Aplicando la ecuación de movimiento: ∑ y con

se tiene:

Que comparando con la ecuación del movimiento armónico simple se nota que

√

Y se determina que el período del péndulo simple se aproxima, para ángulos

pequeños, a la siguiente expresión:

√

Recordando el teorema de Steiner para la medida de la inercia

√

√

Con ( )

donde A=longitud de la varilla y B= ancho de la varilla

Que es otra manera de expresar el período en función de la inercia medida desde

cualquier punto a una distancia del centro de masa.

Consideraciones:

La componente tangencial de la fuerza gravitacional, medido desde el

sistema Normal - tangencial en el cuerpo pendular, es la que genera el

torque en el sistema.

El torque generado es opuesto al movimiento normal del péndulo.

Se considera ángulos pequeños pertenecientes al rango de [-10° , 10°],

esto genera que y ( ⁄ )

Posición angular inicial

Con √

Resolviendo por el método de Euler, se asocia a la ecuación diferencial la forma

funcional ( ) , encontrando la derivadas respectivas y remplazando se

encuentra la forma fundamental de la EDO.

( )

Como la forma funcional asociada no puede ser nula, se encuentra los valores

propios del polinomio obteniendo, y . Entonces luego de obtener

los valores propios, la forma funcional se reduce a los vectores propios asociados,

y mediante la ecuación de Euler para números imaginarios la forma funcional se

reduce a ( ) ( ) ( ). Las condiciones de frontera forjan a que de

la familia de curvas se obtenga una específica y esta llegaría a ser la solución de

la EDO.

( ) ( )

Por definición de velocidad angular, ⁄ , se puede encontrar la relación del

período con respecto a la longitud del péndulo, y a la magnitud de la aceleración

gravitatoria.

Se tiene finalmente:

( ) (√

)

Exploración del método

El experimento es montado con el objetivo de poder medir experimentalmente una

dependencia del período con la longitud y con la variación de la inercia. Por tal

motivo se medirá el período del péndulo bajo diferentes longitudes. Para reducir la

incertidumbre se medirá el tiempo de un cierto número de oscilaciones y se

encontrará el tiempo por oscilación promedio, esto es dividiendo el tiempo de las

“n” oscilaciones para el número de oscilaciones. Cada medición se la realizará

cinco veces para minimizar los errores y obtener un valor más preciso.

Toma de datos

Recopilamos en la siguiente tabla el valor de 5 períodos medidos con 5

oscilaciones para una misma distancia medida desde el centro de masa que

corresponde a una inercia diferente.

Longitud desde CM [cm]

T1 [s]

T2 [s]

T3 [s]

T4 [s]

T5 [s]

T PROM [s]

21.45 5.2 5.05 5.11 5.07 5.18 5.12 11.3 4.87 4.8 4.89 4.84 4.77 4.83 7.45 5.13 5.21 5.18 5.17 5.2 5.18

Adicionalmente tomamos el peso total de la barra y las dimensiones

de la misma

Nótese que en la primera medida se tuvo que la distancia desde el eje de giro

hasta su centro de masa es la mitad de la longitud de la varilla, que a diferencia

del péndulo ideal su centro de masa se localizaba en el extremo de la varilla es

decir en el doble de esa longitud. Comparando se tiene:

√

√

√

( )

Remplazando los valores de A, B, con d=A/2 y despejando m del valor del peso

medido con g=9.81 se tiene

Análisis de resultados

Con los datos anteriores sacamos el período medido, calculamos el período de

oscilación teórico y calculamos la inercia correspondiente.

Primeramente ( )

( )

Para el cálculo de inercia utilizamos el teorema de Steiner con la Inercia

calculada anteriormente

*

( )

( )

( )

( )

Con lo que la tabla queda de la siguiente manera:

d=longitud desde CM [cm]

T medido[s]

T teórico[s]

Error[s] Inercia[ ]

21.25 5.12/5=1.02 1.07 0.05

11.3 4.83/5=0.99 1.00 0.01

7.45 5.18/5=1.04 1.06 0.02

Figura 1: Inercia (eje y) vs Posición respecto al centro de masa (eje x)

Análisis de figura 1: Podemos notar que la inercia aumenta en función de la

distancia del centro de masa que tomamos como y que su proporcionalidad es

al cuadrado debido a la formula de Steiner así tenemos:

( ) *

Comparación entre la longitud del péndulo físico y péndulo simple:

Como sabemos la longitud en el péndulo simple se define como la distancia desde

el eje de giro hasta el centro de masa que esta justamente en el extremo del

mismo, pero la distancia en el péndulo físico se define como la distancia desde el

centro de masa al eje de giro pero no necesariamente el centro de masa esta en el

extremo de la barra.

Para saber la longitud del péndulo simple equivalente igualamos los períodos así:

√

√

√

√

Vemos que en el péndulo simple porque , pero en el péndulo físico

debemos agregarle un extra que depende de la inercia inicial, de la masa de la

barra.

Explicación de la de la variación del período por el cambio de la inercia

Hemos demostrado que el período de oscilación del péndulo físico y el

péndulo simple son: √

√

La línea en violeta representa el período ideal y la línea azul representa el período

físico. El eje x representa la distancia al centro de masa , y el eje y representa el

período de oscilación

Al aplicar la primera derivada del período físico respecto a la distancia se obtiene:

( ) (

) (

)

(

)

√

√

De donde el período alcanza un mínimo en √

medidos desde el

centro de masa de la barra.

Lo que concuerda con los datos obtenido pues antes y después de 0.12 [m] el

período aumenta como lo vimos para d=0.2145 [m] y d=0.0745 [m]

Conclusiones

Gualco Centeno Luis Felipe

Vemos que el período promedio medido concuerda bastante bien con el

período teórico. Esto se debe a el sistema no presento variación de

movimiento (como torques o movimiento de péndulo cónico)

Es claro que el período del péndulo físico si depende de la masa de la barra

porque influye en la inercia, es más se ve reflejado directamente en la

formula antes estudiada.

Claramente no se nota que el período de oscilación dependa de la amplitud

de la misma. Puesto que tomamos oscilaciones pequeñas podemos

apreciar que el período es invariante de la amplitud inicial.

La mayor deflexión se da en d=0.12[m] que es cuando su período de

oscilación es mínimo e igual a 1.01[s]

Galo Jaime Páez Fajardo

La regla oscilará siempre que exista una distancia desde el eje de oscilación hasta el centro de masas d la misma. Esto se evidencia n la relación que tiene el periodo con esa distancia. Por la forma funcional de su relación se sabe que si la distancia entre el eje de rotación y el centro de masas es cero, entonces no existirá oscilación

El centro de masas no depende del sistema de referencia, es un punto fijo que desde cualquier sistema es el mismo. Mientras que la inercia si depende del sistema se referencia. Ambos aspectos generan que el periodo de oscilación cambie considerablemente al momento de oscilar en diferentes ejes.