UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA

GRAN MARISCAL DE AYACUCHO

FACULTAD DE POSTGRADO

MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE MANTENIMIENTO

MENCIÓN GERENCIA DE SEGURIDAD Y CONFIABILIDAD

INDUSTRIAL

NÚCLEO EL TIGRE ESTADO ANZOÁTEGUI

ESTADO COGNOSCENTE II: AJUSTE DE CURVA

SITUACIÓN NRO. 3

CÁTEDRA: ESTADÍSTICA APLICADA MAESTRANTES:

LIC. ESP. MSC. CARLENA ASTUDILLO ING. RONALD CARVAJAL

ING. LORENZO LISTA

ING. SIMÓN MERCADO

EL TIGRE, DICIEMBRE DE 2014

Situación Nro. 3: Estimar la ganancia de corriente en Ampere (Z) esperada cuando eltiempo de difusión (X) es 2,2 horas y la resistencia (Y) de 90 ohm, aplicando un modelolineal de dos variables para ajuste de curva con el método de mínimos cuadrados conbase a diez datos muéstrales tal como se muestra en la tabla # 1:

Tabla # 1N X Y Z XY XZ YZ

1 1,5 66 5,3

2 2,5 87 7,8

3 0,5 69 7,4

4 1,2 141 9,8

5 2,6 93 10,8

6 0,3 105 9,1

7 2,4 111 8,1

8 2,0 78 7,2

9 0,7 66 6,5

10 1,6 123 12,6

∑

De acuerdo a los datos suministrados en la tabla # 1 y aplicando el método de losmínimos cuadrados y valiéndonos de las bondades matemáticas que posee el programade Microsoft Excel completamos los datos de la tabla # 1 tal y como se muestra en latabla # 2, la cual fue transferida desde el archivo Excel.

Los datos de la tabla # 2 en negrita vienen calculado por archivo Microsoft Excel sinembargo fueron verificados con calculadora.

Tomando en cuenta la aplicación del modelo lineal de dos variables:

Z = a0 + a1X + a2Y

Se plantea el siguiente sistema de ecuaciones para desarrollar a través del método demínimos cuadrados:

Na0 + ∑ a1 X + ∑ a2 Y = ∑ Z

∑ a0X + ∑ a1 X 2 + ∑ a2 XY= ∑ X Z

∑ a0Y + ∑ a1 XY + ∑ a2 Y2 = ∑ Y Z

Utilizando los datos de la tabla # 2 y el conjunto de ecuaciones anteriores, Se plantea elsiguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Tabla # 2

N X Y Z XY XZ YZ

1 1,5 66 5,3 99 2,25 4356 7,95 349,8

2 2,5 87 7,8 217,5 6,25 7569 19,5 678,6

3 0,5 69 7,4 34,5 0,25 4761 3,7 510,6

4 1,2 141 9,8 169,2 1,44 19881 11,76 1381,8

5 2,6 93 10,8 241,8 6,76 8649 28,08 1004,4

6 0,3 105 9,1 31,5 0,09 11025 2,73 955,5

7 2,4 111 8,1 266,4 5,76 12321 19,44 899,1

8 2 78 7,2 156 4 6084 14,4 561,6

9 0,7 66 6,5 46,2 0,49 4356 4,55 429

10 1,6 123 12,6 196,8 2,56 15129 20,16 1549,8

∑ 15,3 939 84,6 1458,9 29,85 94131 132,27 8320,2

10 a0 + 15.3 a1 + 939 a2 = 84.6 I

15.3 a0 + 29.85 a1 + 1458.9 a2 = 132.27 II

939 a0 + 1458.9 a1 + 94131 a2 = 8320. 2 III

Desarrollando el sistema y haciendo uso de combinaciones en dos ecuacioneseliminamos una incógnita y conseguimos un sistema de dos ecuaciones con dosvariables:

I Y II A

10 a0 + 15.3 a1 + 939 a2 = 84.6 I

15.3 a0 + 29.85 a1 + 1458.9 a2 = 132.27 II

Multiplicamos la ecuación I por ( - 15.3)

(-15.3*) 10 a0 + 15.3 a1 + 939 a2 = 84.6 I

15.3 a0 + 29.85 a1 + 1458.9 a2 = 132.27 II

Y nuestro sistema se transforma en:

-15.3 a0 - 23.409 a1 - 1436.67 a2 = -129.438 I

15.3 a0 + 29.85 a1 + 1458.9 a2 = 132.27 II

Simplificando nuestro sistema obtenemos la ecuación A

-15.3 a0 - 23.409 a1 - 1436.67 a2 = -129.438 I

15.3 a0 + 29.85 a1 + 1458.9 a2 = 132.27 II

6.441 a1 + 22.23 a2 = 2.832 A

Desarrollando el sistema y haciendo uso de combinaciones en dos ecuacioneseliminamos la misma incógnita para conseguir la ecuación B:

I Y III B

10 a0 + 15.3 a1 + 939 a2 = 84.6 I

939 a0 + 1458.9 a1 + 94131 a2 = 8320. 2 III

Multiplicamos la ecuación I por ( - 93.9):

(-93.9*) 10 a0 + 15.3 a1 + 939 a2 = 84.6 I

939 a0 + 1458.9 a1 + 94131 a2 = 8320. 2 III

Y nuestro sistema se transforma en:

-939 a0 - 1436.67 a1 - 88172.1 a2 = 84.6 I

939 a0 + 1458.9 a1 + 94131 a2 = 8320. 2 III

Simplificando nuestro sistema obtenemos la ecuación B

-939 a0 - 1436.67 a1 - 88172.1 a2 = 84.6 I

939 a0 + 1458.9 a1 + 94131 a2 = 8320. 2 III

22.23 a1 + 5958.9 a2 = 376.26 B

Ahora con nuestro sistema de dos ecuaciones (A y B) con dos incógnitas (a1 y a2),eliminamos una variable y obtenemos el valor de la otra:

6.441 a1 + 22.23 a2 = 2.832 A

22.23 a1 + 5958.9 a2 = 376.26 B

Ahora bien para eliminar la variable a1 multiplicamos la ecuación A, por el valor que

resulta dividir (22.23/6.441) y por menos uno (-1) ósea multiplicaremos la referidaecuación por (-3.4513)

(-3.4513*) 6.441 a1 + 22.23 a2 = 2.832 A

22.23 a1 + 5958.9 a2 = 376.26 B

Y obtenemos

-22.23 a1 + 76.72 a2 = -9.77 A

22.23 a1 + 5958.9 a2 = 376.26 B

Simplificando nuestro sistema obtenemos una ecuación con una incógnita la cualobtenemos como primer resultado:

-22.23 a1 - 76.72 a2 = -9.77 A

22.23 a1 + 5958.9 a2 = 376.26 B

5882.18 a2 = 366.49

a2 = 366.49/5882.18;

a2 = 0.0623

De la ecuación A, sustituimos a2 y obtenemos el valor de a1:

6.441 a1 + 22.23 a2 = 2.832 A

6.441 a1 + 22.23 (0.0623) = 2.832

a1 = (2.832 – 1.385)/6.441

a1 = 0.22465

De la ecuación I sustituimos a1 y a2 para calcular a0:

10 a0 + 15.3 a1 + 939 a2 = 84.6 I

10 a0 + 15.3 (0.22465) + 939 (0.0623) = 84.6

a0 = (84.60 - 3.44 - 58.50)/ 10

a0 = 2.266

Ya obtenidos los datos aproximados a través del método de mínimos cuadrados,aplicamos el modelo lineal de dos variables:

Z= a0 + a1 X + a2 Y;

Donde X= 2.2 hs, Y = 90 Ω y Z será el valor de ganancia (Amperios)

Z= 2.266 + 0.22465 (2.2 hs) + 0.0623 (90 Ω)

Z= 8.367 Amperios

Tomando en cuenta nuestro modelo lineal de dos variables:

Z = 2.226 + 0.22465X + 0.0623Y

Haciendo uso de Microsoft Excel y usando los diez datos de X y Y suministrados alinicio del ejercicio, obtenemos los valores aproximados de Z en nuestro modelo linealen la tabla # 3:

N X Y Z AMP1 1,5 66 6,7152 2,5 87 8,2483 0,5 69 6,6774 1,2 141 11,3205 2,6 93 8,6446 0,3 105 8,8757 2,4 111 9,7208 2 78 7,5759 0,7 66 6,53510 1,6 123 10,288

Y graficando nuestras variables obtenemos una respuestas de ganancia en corriente Z deacuerdo a nuestro modelo lineal de dos variables: resistencia del sistema: X (OHM) ytiempo de funcionamiento Y (HS). Ver Curva # 1

Curva # 1

RELACION TIEMPO DE FUNCIONAMIENTO (X) Y RESISTENCIA DEL SISTEMA (Y) CON LA GANANCIA DE CORRIENTE (Z)

Podemos concluir que en nuestro modelo lineal aproximado la ganancia de CorrienteZ es mas supsectible y directamente proporcial a los cambios de resistencia del sistemaque a los tiempos de funcionamiento y mantiene un linealidad a la variable X, sinembargo esto es solo de acuerdo a los datos muestrales.

si comparamos los resultados de la ganancia en corriente Z inicial con los resultadosobtenidos luego de la aplicación del modelo lineal, podemos concluir que los mismosdiscrepan de manera cuasiuniforme con la curva inicial, osea que el modelo deaproximacion mantiene como es su proposito una colinealidad con la curva inicial, tal ycomo se evidencian tanto en la tabla # 4: comparacion de Z LINEAL con Z INICIAL,como en la curva # 2: comparacion de Z LINEAL con Z INICIAL, las cuales proviendel archivo Microsof excel:

Tabla # 4

N X Y Z AMP Z INICIAL

1 1,5 666,715

5,3

2 2,5 878,248

7,8

3 0,5 696,677

7,4

4 1,2 14111,320

9,8

5 2,6 938,644

10,8

6 0,3 1058,875

9,1

7 2,4 1119,720

8,1

8 2 787,575

7,2

9 0,7 666,535

6,5

10 1,6 12310,288

12,6

COMPARACION DE Z LINEAL CON Z INICIAL

Curva # 2

COMPARACION DE Z LINEAL CON Z INICIAL