Informe Consolidado MI4040

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MI4040-2 Análsis estadístico ygeoestadístico de datosSemestre Primavera 2010Departamento de Ingeniería de MinasFacultad de Cs. Físicas y MatemáticasUniversidad de Chile

Análisis estadístico y geoestadísticopara una base de datos de un

yacimiento aurífero-argentífero

Nombre: Felipe López Solar

Profesor: Xavier Emery

1



Entregado el: 1 de abril del 2011

Índice

1.Abstract...............................................................................................................................................................32. Resumenejecutivo..............................................................................................................................................53.Introducción........................................................................................................................................................74.Antecedentes......................................................................................................................................................95.Desarrollo...........................................................................................................................................................11

5.1 Análisis estadístico dedatos.......................................................................................................................11

5.1.1 Análisis exploratorio de los datos previo a limpieza de datoserróneos.........................................11

5.1.2 Limpieza de anomalías y datosaberrantes.....................................................................................12

5.1.3 Estudio exploratorio de losdatos..................................................................................................16

5.1.4 Comprobación de distribución para leyes de plata yoro...............................................................18

5.1.5 Comparación entre leyes de oro yplata.........................................................................................19

5.1.6Precisión.........................................................................................................................................20

5.1.7 Intervalos deconfianza..................................................................................................................22

5.1.8 Independencia de lasvariables......................................................................................................22

a) Independencia entre la ley de plata y ley deoro............................................................................23

b) Independencia entre la ley de plata ypotencia.............................................................................24

5.1.9 Modelos predictivos y análisis de significancia sobreellos............................................................25

a) Modelo predictivo de la ley de plata en función de la ley de oro y lapotencia..............................25

b) Modelo predictivo de la ley de plata en función de lascoordenadas.............................................27

5.2 Análisis geoestadístico de datos (Proyecto2)............................................................................................28

2



5.2.1 Importación de datos aIsatis..........................................................................................................28

- Variables deinterés.........................................................................................................................28

-Declustering....................................................................................................................................29

- Parámetrosestadísticos..................................................................................................................29

- Nubes decorrelación.....................................................................................................................30

- Q-QPlots........................................................................................................................................30

5.2.3 Análisisvariográfico......................................................................................................................33

- Direcciónes deanisotropía.............................................................................................................33

5.2.4 Validacionescruzadas....................................................................................................................38

5.2.5 Creación de la grilla debloques.....................................................................................................42

5.2.6 Cálculo derecursos.......................................................................................................................44

6.Conclusiones....................................................................................................................................................457.Referencias......................................................................................................................................................48

1. Abstract

3



The following report is focus on a gold-silver deposit stadistical andgeostadistical analysis located in 2nd state of Antofagasta, from which it has a 714points database. Each data row has variables such as coordinates (north, depth,east), and in each data coordinate it has the gold grade [g/t], silver grade [g/t]and wide [m] like variables too.

Is predictible that the database has outliers related with measurement mostly,

that it may to hold up the right analysis in Project 1 and Project 2.After all the analysis work, since the clean up of data errors and outliers,

histograms, type of variable distribution (between normal or log normal),hyphotesis tests, it creates the confident intervals, it shows the variabledependence, and with this it formulates a predictive model of silver grade infunction of wide and gold grade. This is represented for:

Each coefficients values are shown in the next table:

Table A.1. Predictive model coefficients of silver grade in function of gold grade andwide.

What concerns to the geostadical study of the deposit, known as Project 2, it isdone ver the same database from Project 1, erasing outliers and data errors, butthis time it works over the software Isatis. After explotatory and variographicstudies, and then estimate data deposit by ordinary Kriging. After that, itcalculates the resources such as rock weight, average grades, and gold and silverquantity in ore body.

4

Y = a0

∑i=1

10

∑ j=1

2

aij⋅ Xji

X1 = Wide [m ]. X2 = Gold grade [ g / t ] .

Coefficient Value Standardr errora0 -120,37 1317,88

a1,1 695,42 7921,09a1,2 34,64 14,92a2,1 -1594,8 16760

a2,2 -2,08 1,76a3,1 2325,08 17806,3

a3,2 0,12 0,09a4,1 -1958,8 10992,12

a4,2 0 0a5,1 970,56 4226,73

a5,2 0 0a6,1 -292,46 1041,98a6,2 0 0

a7,1 54,12 164,4a7,2 0 0a8,1 -5,99 16,02

a8,2 0 0a9,1 0,36 0,88a9,2 0 0

a10,1 -0,01 0,02a10,2 0 0



The results are shown in Table A.2:

Table A.2. Calculated resources of gold and silver presents in ore body.

Sobre cuánto recurso se recupera considerando una ley de corte de 5 [g/t], éstees de 3,323 [ton] de oro equivalente.Now, over how much it recovers considerating a cut-off grade of 5 [g/t], this isfrom 3,323 [ton] in equivalent gold (AuEq).

2. Resumen Ejecutivo

5

Average grade Metal tonnage [ton] Rock tonnage [ton]Au 19,1 3368010,12 172748,57

AuEq 24,2 1217828,68 172748,57Ag 351,7 61727024,45 172748,57



El siguiente informe se enfoca en un análisis estadístico y geoestadístico a unyacimiento argentífero-aurífero ubicado en la II Región de Antofagasta, de la quese tiene una base de 714, datos. Cada fila de datos tiene como variables lascoordenadas (norte, cota, este), y en cada coordenada los valores de la ley de oro[g/t], ley de plata [g/t] y potencia [m], como variables también.

Se espera que la base de datos contenga errores asociados a medición

principalmente, que entorpezcan el correcto análisis tanto en el proyecto 1 como2.

Luego de todo un análisis, desde la limpieza de datos aberrantes,histogramas, tipo de distribución de las variables (entre normal o log normal), testde hipótesis, se generan intervalos de confianza, se ven las dependencias de lasvariables y en base a esto se formula un modelo predictivo de la ley de plata enfunción de la potencia y ley de oro. Este queda representado por:

Los valores que tomó cada coeficiente están desplegados en la siguiente tabla:

Tabla R.1. Coeficientes del modelo predictivo de la ley de plata en función de la ley deoro y potencia.

En cuanto al estudio geoestadístico de este yacimiento, denominado Proyecto2, se hace sobre la misma base datos, eliminando datos aberrantes, pero ésta veztrabajando en el software Isatis. Luego de estudios exploratorios, variográficos yen base a esto último se pide estimar datos del yacimiento por Kriging ordinario.

6

Coeficientes Valor Error estándara0 -120,37 1317,88

a1,1 695,42 7921,09a1,2 34,64 14,92a2,1 -1594,8 16760

a2,2 -2,08 1,76a3,1 2325,08 17806,3a3,2 0,12 0,09a4,1 -1958,8 10992,12

a4,2 0 0

a5,1 970,56 4226,73a5,2 0 0a6,1 -292,46 1041,98

a6,2 0 0a7,1 54,12 164,4

a7,2 0 0a8,1 -5,99 16,02

a8,2 0 0a9,1 0,36 0,88a9,2 0 0

a10,1 -0,01 0,02a10,2 0 0

Y = a0 ∑

i=1

10

∑ j=1

2

aij⋅ Xji

X1 = Potencia [m] .

X2 = Ley de oro [ g / t ] .



Posteriormente, se calculan los recursos, tales como tonelajes, leyes medias ycantidades de metal, de oro y plata en el cuerpo mineralizado.

Los resultados son desplegados en la tabla R.2:

Tabla R.2. Recursos calculados de oro y plata presentes en el yacimiento.

Sobre cuánto recurso se recupera considerando una ley de corte de 5 [g/t], éstees de 3,323 [ton] de oro equivalente.

3. Introducción

7

Ley media Tonelaje Roca [ton]

19,1 3368010,12 172748,5724,2 1217828,68 172748,57351,7 61727024,45 172748,57

Cantidad de Metal [g]

AuAuEqAg



El sentido de este informe es mostrar y englosar los proyectos trabajados en elcurso MI4040 del semestre primavera 2010 a partir de datos sobre leyes de oro yplata, que además se tiene su ubicación espacial, cota y potencia, obtenido de unyacimiento aurífero-argentífero que se encuentra en la II región de Antofagasta.Estos proyectos ocupaban los mismos datos a tratar. La diferencia radica que enel proyecto 1 se hace una análisis estadístico de los datos, con herramientas

vistas en el primer módulo del curso, y Excel facilita para el procesamiento de losdatos entregados. Ahora bien, en el proyecto se hace uso del programa Isatis,para obtener información de los datos con herramientas de geoestadística, dondetodo el análisis, limpieza y proyecciones realizadas se efectuan sobre esteprograma en particular mencionado.

Por ende, se pretende mostrar en este trabajo los principales análisis,resultados y gráficas, que muestran lo importante y potente que pueden llegar aser las herramientas vistas en el curso, y las conclusiones en base a lo obtenido,finalmente, por el análisis de datos.

Sobre el análisis estadístico de datos, se parte por un análisis cuantitativo deellos, a lo que posteriormente se procede a limpiar, quitando datos duplicados,

anómalos y erróneos en definitiva.Luego se incluye el estudio estadístico de esta nueva base de datos, se

detallan los parámetros estadísticos principales para una muestra, además de susdistribuciones e histogramas, los que permitirán estudiar con mayor detalle losdatos proporcionados. En esta parte se incluye un análisis de la precisión de laacumulación de oro y plata, la acumulación se refiere al producto de la potenciacon la ley asociada a esta.

En última instancia el análisis se enfoca en determinar los intervalos deconfianza en los cuales se trabajará, para cada grupo de datos entregados,además de investigar la independencia entre las variables, en especial entre lasleyes de oro y plata, y entre la ley de plata y la potencia, para concluir con

modelos predictivos de la ley de plata, en función de la ley de oro y de lapotencia, y entre la ley de oro y sus coordenadas, y con esto entonces, incluir unanálisis de significancia de estos modelos.

En cuanto al análisis geoestadístico de los datos, se ocupará la misma base dedatos (Datos.xls), utilizada en el proyecto 1. El objetivo para este proyecto escalcular, a partir de la información de los canales, los recursos (tonelajes, leyesmedias y cantidades de metal) de oro y de plata en la veta.

Para eso se realizarán las siguientes etapas:

– Importación de los datos en Isatis.

– Análisis exploratorio y definición de variables relevantes para el estudio.

– Análisis variográfico.

– Validación cruzada.

– Creación de una grilla de bloques que cubre la zona de interés.

– Estimación local de los bloques a partir de los datos de canales.

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– Cálculo de los recursos (tonelaje; leyes medias de oro, plata y oro

equivalente; cantidades de metal).

La evaluación económica de un yacimiento polimetálico resulta ser un granproblema ya que al haber dos o más elementos de interés, el bloque quedacaracterizado de manera heterogénea por lo que no hay una única variable para

realizar la evaluación, pudiéndose tomar distintas opciones para abordarlo.En la actualidad una de las técnicas utilizadas para resolver este tipo de

problemas es el uso de “Leyes Equivalentes” en donde se caracteriza unelemento de interés principal como una combinación aditiva que incluyesolamente a los subproductos, la cual por lo general es una combinación lineal,tal que los ponderadores de dicha combinación dependen principalmente defactores económicos y de recuperación.

En el caso que se evaluará a continuación la ley de oro equivalente quedadefinida por:

El factor 70 corresponde a la razón estimada entre el precio del oro y el precio dela plata. Para la cual se supondrá que la densidad de la roca es 2,6 [t/m3].

Posteriormente a realizar la evaluación del yacimiento se calculará cuántosrecursos son recuperables al considerar una ley de corte de 5 [g/t] en la ley deoro equivalente.

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AuEq = Au + Ag /70



4. Antecedentes

En la primera parte del curso, el objetivo del proyecto asociado es realizar unestudio estadístico de los datos entregados, para así poder procesar esos datos,inferir sobre ellos, y entregar un modelo de leyes de oro y plata, que se ajusten lo

más posible a los datos reales, y esta predicción hecha a partir de datos como lascoordenadas, o la potencia en unión con la ley de oro para obtener la ley deplata. De esto se pretende de manera más concisa en el proyecto 1:

– Aplicar los conocimientos de análisis estadístico visto en clases ylaboratorios.

– Inferir y obtener nueva información a partir de la base de datos entregada. – Identificar la correspondencia y el grado de las variables que lo posean. – Crear modelos predictivos a partir de correspondencias de los datos.

Estos datos corresponden a las leyes de oro y de plata, de un yacimientoaurífero-argentífero ubicado en la región de Antofagasta a una altura promedio de1800 [msnm]. Es importante considerar que la mineralización se ubica en una

veta aproximadamente vertical de pocos metros de potencia en la dirección este-oeste.

Los datos fueron obtenidos de muestras de producción tomadas en galerías amedida que progresa la explotación de la veta. Cada muestra posee informaciónsobre las coordenadas geográficas de su centro de gravedad, la potencia de laveta (en metros) y las leyes de oro y de plata, dados en gramos por tonelada(g/t).

Realizando un análisis exploratorio previo de los datos se identifican un totalde 714 datos de cada ley con sus respectivas ubicaciones, cotas y potencias, enotras palabras son 1428 datos de mediciones entre leyes de cobre y plata.

Todo el estudio estadístico que se le realizó a esta base de datos contempla el

uso del software Microsoft Excel 2007; además los datos proporcionados seencuentran en este formato.

En el proyecto 2, se trabaja con conocimientos de geoestadística, que es unarama de la estadística que se basa en el tratamiento de fenómenos espaciales,con el objetivo de estudiar variables regionalizadas.

Una variable regionalizada es una variable numérica que presenta unadistribución espacial definida dentro de un dominio limitado. Esta distribución secaracteriza principalmente en que varía irregularmente en dicho dominio por loque es difícil poder simplificarla pero presenta cierta tendencia a una continuidad

espacial, esto quiere decir que en zonas de altos o bajos valores, los datos máscercanos presentan la misma tendencia.

En la minería un ejemplo de variable regionalizada es la ley de una especiemineral.

Una variable regionalizada queda caracterizada por:

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– Su naturaleza: Continua, discreta o categórica.

– El dominio en donde se encuentra definida, denominado Campo.

– El área o volumen sobre donde está siendo medida, llamado Soporte.

En los estudios de este tipo es necesario poder inferir todo o parte de ladistribución espacial a partir de un conjunto de datos disponibles, para así poderestimar o simular el comportamiento de variables regionalizadas. Para realizar elestudio geoestadístico primero se debe realizar etapas de estudio exploratorio yestudio variográfico.

En el estudio exploratorio de datos se pretende conocer la distribución apriori de la variable regionalizada a estudiar, con la finalidad de delimitar elcampo, además de sopesar posibles falencias o dificultades inherentes a la basede datos, entre los cuales se encuentran los datos aberrantes y datos duplicados.Las principales herramientas que se utilizan generalmente son mapas,histogramas, herramientas de estadística que dan una idea general de ladispersión y posicionamiento de los datos., y nubes de correlación, vistas en el

curso.En el estudio variográfico se pretende conocer la continuidad o discontinuidad

espacial de la variable regionalizada, ya que de ser posible correlacionar valoresen distintas ubicaciones espaciales, se podría tratar de modelar dicha correlacióny ver cómo actúa al acercarse o alejarse hde los datos. Este estudio se puederealizar con la función variograma la cual indica cuán discrepantes son los valoresde la variable regionalizada entre dos ubicaciones.

Se pueden calcular variogramas en diferentes direcciones del espacio, sinembargo este variograma experimental es incompleto e imperfecto, ya que secalcula solamente para ciertas direcciones y distancias, es por esto que se acude

a la modelación. Para ello existen una serie de modelos simples que solos ocombinados, permiten hacer este modelamiento de manera adecuada.

Uno de los grandes objetivos de la geoestadística es estimar el valor de unavariable regionalizada en una posición “x0” del espacio en donde no se conoce el

valor real a partir de los datos disponibles. Una forma de estimar el valor de estavariable es mediante una combinación lineal, en la cual se asignan ponderadoresa las variables.

El problema de este planteamiento surge al momento de asignar valores aestos ponderadores. Sin embargo estos ponderadores pueden ser estimados através del kriging el cual considera criterios de de cercanía, redundancia,continuidad, variabilidad o alguna dirección preferencial.

El kriging es el por lo visto en clases, el mejor estimador lineal insesgado,porque se define como la combinación lineal ponderada de los datos, y comocaracterística relevantes, son que el error de estimación tiene una media nula; yminimiza la varianza del error.

11



Existen diversos tipos de kriging, los cuales dependen de las hipótesis con quefueron construidas sus funciones aleatorias. El en campo de la industria minera sedestaca la utilización de kriging simple (que hoy en día se ha dejado de usar), enque se tiene entre los datos la media de éllos, o en su defecto, se asumeconocida y su evolución el kriging ordinario, en que se desconoce la media.

5. Desarrollo

5.1. Análisis estadístico de datos (Proyecto 1)

5.1.1. Análisis exploratorio de los datos previo a limpieza de datos

erróneos

Para comenzar se obtendrán los datos típicos de una muestra, en este caso lasleyes de oro y plata (en g/t). Los parámetros incluidos fueron: media, error típico,mediana, moda, desviación estándar, varianza de la muestra, curtosis,coeficiente de asimetría, rango, mínimo, máximo, suma, tal como puedeapreciarse en la tabla 1 para las leyes de oro y en la tabla 2 para las leyes deplata, este estudio es previo a la limpieza de la base de datos.

Tabla 2. Análisis exploratorio en leyes de oro. Tabla 3. Análisis exploratorio enleyes de plata.

Todos estos parámetros son los iniciales, se obtuvieron considerando todos losdatos de la muestra, posterior a la limpieza de la base de datos se calcularán denuevo, para ver las diferencias. A continuación se presentan los histogramas decada una de las leyes:

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Ley de oro [g/t]

Media 20,75

Error típico 1,106Mediana 10,67

Moda 16,71

Desviación estándar 29,556

Varianza de la muestra 873,538

Curtosis 17,839

Coeficiente de asimetría 3,489

Rango 292,75

Mínimo 0,18

Máximo 292,93

Suma 14815,47

Cuenta 714

Nivel de confianza (95,0%) 2,172

Media 375,377

Error típico 18,165Mediana 217,96

Moda -99

Desviación estándar 485,387

235600,372

11,114

2,826

Rango 3653,22

Mínimo -99

Máximo 3554,22

Suma 268019,37

Cuenta 714


Ley de plata [g/t]

Varianza de la muestra

Curtosis

Coeficiente de asimetría



Figura 1. Histograma de leyes de oro.

Acá se puede apreciar que no sigue una distribución simétrica (Gaussiana).Ahora bien, si se grafica un histograma con el logaritmo natural de estas leyes, seapreciar una distribución normal:

Figura 2. Histograma del logaritmo natural de las leyes de oro.

Ahora lo mismo para las leyes de plata:

Figura 3. Histograma de leyes de plata.

Acá se ve que también el logaritmo natural de las leyes de plata siguen unadistribución Gaussiana:

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Clases Ley Au Frecuencia

0,18 1

0,72 41

2,88 117

11,52 20946,08 267

184,32 76

y mayor... 2

Clases Ley Ag Frecuencia

-99 240 0

200 317800 2851400 592000 172600 6

y mayor... 6

Clases ln Au Frecuencia-1,7 1

0,1 77

1,7 169

3,3 284

4,9 170

y mayor... 13



Figura 4. Histograma del logaritmo natural de las leyes de plata.

5.1.2. Limpieza de anomalías y datos aberrantes.

Para encontrar datos anómalos y outliers, se empieza por graficar las leyes deoro en función de la cota. La ley de oro es similar en todas las cotas (aprox. 1729m), mas en dos datos se presentan notorias diferencias:

– Ley 292,93 (g/t) ubicada a una cota de 1753 [m]. Este dato presenta la leymás alta.

– Ley 1,25 (g/t) medido en un cota 2685 [m]. Llama la atención este dato,debido a que la gran mayoría de los datos están ubicados en la misma cota o unvalor cercano a ése, entre 1681 a 1773 [m].

Gráfico 1. Leyes de oro v/s cota.

Esto mismo, en las leyes de plata muestra que:

14

Clases ln Ag Frecuencia2 3

4 107

6 349

8 226

y mayor... 5



Gráfico 2. Leyes de plata v/s cota.

Hay 24 datos de leyes de plata negativas: -99[g/t]. Estos datos se asumiránerrores sin mayor análisis, ya que probablemente fueron producto de errores demedición, o también son indicadores de que no existe mineral de plata en esaposición, ya que no tiene sentido físico el que existan leyes negativas . Por estomismo, los 24 datos son eliminados automáticamente de la base de datos porconsiderarse datos cualitativos de muestras no medidas.

El otro dato se considerada también como aberrante, ya que está fuera de lacota promedio donde se encuentran la mayoría de los datos obtenidos.

Esta información sobre leyes más altas que el promedio también se puedenobservar en las nubes de dispersión de ambas leyes:

Gráfico 3. Nube de dispersión de leyes de oro.

15



Gráfico 4. Nube de dispersión de leyes de plata.

Gráfico 5. Nube de dispersión de cotas.

Gráfico 6. Nube de dispersión de datos de la potencia.

16



En el gráfico 5 es claro el candidato a outlier de las cotas. Es poco probabletener una sola medición en esa cota, siendo que todas están alrededor a los 1700[m]. Algo similar se observa en el gráfico 6, donde existe un único dato que tieneuna Potencia muy por sobre el resto.

Las leyes negativas se eliminarán automáticamente ya que son imposibles en

la realidad, sólo pueden deberse a errores en la medición. También es necesarioeliminar los datos duplicados ya que pueden causar errores en el análisis. Deacuerdo a esto, se eliminaron 5 datos por grupo (cota, norte, este, potencia, leyde oro, ley de plata).

Luego de aplicar estos criterios para la eliminación de datos que no aportanen el estudio, los datos a utilizar se resumen en la siguiente tabla:

Tabla 3. Resumen de cantidad de datos a considerar.

5.1.3. Estudio exploratorio de los datos

Con los datos quitados de la base, los parámetros estadísticos actualizados ausar quedan como:

Tabla 4. Análisis estadístico de leyes de oro actualizado. Tabla 5. Análisis estadístico de

17

Número de datos Iniciales Número de datos finalesLeyes Au [g/t] 714 707

Leyes Ag [g/t] 714 683

Ley de oro [g/t]

Media 20,812

Error típico 1,114

Mediana 10,88

Moda 0,38

Desviación estándar 29,617Varianza de la muestra 877,168

Curtosis 17,835

Coeficiente de asimetría 3,491

Rango 292,75

Mínimo 0,18

Máximo 292,93

Suma 14713,85

Cuenta 707


Ley de plata [g/t]

Media 392,1876Error típico 18,6297Mediana 224,31Moda 67,29

Desviación estándar 486,8734Varianza de la muestra 237045,7135Curtosis 11,1411Coeficiente de asimetría 2,854Rango 3550,22Mínimo 4Máximo 3554,22Suma 267864,12Cuenta 683Nivel de confianza (95,0%) 36,5784



Además, se hace necesario agregar el análisis actualizado de las cotas:

Tabla 6. Análisis estadístico de cotas actualizado.

Con esto, entonces, se configuran los nuevos histogramas de las leyes de oro yplata:

18

Cota [m]Media 1727,959Error típico 1,244Mediana 1741Moda 1741Desviación estándar 33,076Varianza de la muestra 1093,997Curtosis -1,506Coeficiente de asimetría -0,186Rango 92Mínimo 1681Máximo 1773Suma 1221667Cuenta 707Nivel de confianza (95,0%) 2,442



Figura 5. Histograma actualizado de leyes de oro.

Figura 6. Histograma actualizado de leyes de plata.

5.1.4. Comprobación de distribución para leyes de plata y oro.

19



A partir de las figuras 5 y 6 se puede apreciar, a partir de la frecuenciaacumulada que al parecer los datos siguen un distribución normal. Como las leyesson el único parámetro que exhibe este comportamiento, limitaremos el estudiode posible distribución a estos dos valores. Para testear esto, se utilizará el testde Kolmogorov-Smirnov sobre el logaritmo de las leyes, a manera de estimar labondad del ajuste a una normal.

Primero se aplicó el ajuste al logaritmo de los datos de las leyes de plata. Losresultados correspondientes a las leyes de plata y oro fueron los siguientes:

Tabla 7. Parámetros estimados para ln ley Au. Tabla 8. Parámetros estimadospara ln ley Ag.

Hecho esto, se procedió a aplicar el test de Kolmogorov-Smirnov sobre losparámetros calculados, considerandos las hipótesis nulas y alternativas como

siguen:H0: La muestra sigue una distribución normal.

H1: La muestra no se ajusta a la distribución normal.

Tabla 9. Resultados del test K-S para leyes de oro. Tabla 10. Resultados del testK-S para leyes de plata.

El p-value es menor que el nivel de significancia α = 0,05 en ambos casos. Eneste se rechaza la hipótesis nula H0 y aceptar la hipótesis alternativa H1. O enotras palabras, ninguna de las dos distribuciones de leyes puede asumirse comonormal.

El riesgo de rechazar la hipótesis nula H0 siendo verdadera es menor al4,22% para el caso de la plata y para el oro es de 2,22%.

El test de Grubbs para determinar outliers sólo es aplicable si las muestrastienen una distribución de Gauss. Como el test de Kolmogorov-Smirnov dice quela muestra no sigue la distribución normal, dicho test no es posible realizarlo, porlo que con esto se termina la eliminación de datos de la base entregada para su

análisis.

20

Parámetro Valorµ 5,283σ 1,288

Parámetro Valorµ 2,193

σ 1,438

D 0,057

p-value 0,024

α 0.05

D 0,053

p-value 0,042

α 0,05



5.1.5. Comparación entre leyes de oro y plata.

Se realizó un test de Student para dos medias con varianzas distintas paradeterminar en cuánto varían las leyes de oro y plata. Es decir, esto se puede

escribir como:

Para esta hipótesis alternativa H1, se debe ocupar el test de Student bilateral,

en donde:

; donde ν son los grados de libertad.

Con esto, se obtuvieron los siguientes resultados:

Tabla 11. Resultados test de Student para dos medias con varianzas distintas.

Como t > t crit , y considerando que el test es bilateral, por lo que el signo de t nocrea confusión, entonces se rechaza la hipótesis nula, es decir las medias sondistintas. Este resultado era esperable pero para cerciorarse de esa conjetura, seoptó por hacer el test de igual modo.

21

H 0:μ

1=μ

2=μ; σ

1≠σ

2

H 1:μ

1≠μ

2; σ

1≠σ

2

T =X

1− X

2

√ ( s1

2

n1)+ ( s

2

2

n2)

ν=( s

1

2

n1

+s2

2

n2)2

( s1

2

n1)2

n1−1

+( s

2

2

n2)2

n2−1

Ley de oro [g/t] Ley de plata [g/t]Media 20,78314972 391,7074561Varianza 876,5035308 236856,3258Observaciones 708 684Diferencia hipotética de las medias 0Grados de libertad 688

-19,897380521,963417984

Valor calculadot

Valor crítico det (dos colas)



5.1.6. Precisión

La acumulación se define como la potencia multiplicada por la ley. Como sepide la precisión del cálculo de este dato, se procede entonces a calcular ladesviación estándar como propagación de errores en funciones. Del apunte setiene que:

Entonces para el caso particular de la acumulación se tiene que:

Notar que la última fórmula es la varianza relativa de la función.

Con esto cada término corresponde a:

x : Potencia [m].

y : Ley (de oro o plata) [g/t].

f(x,y) = xy : Acumulación [(m∙g)/t].

σf : Precisión [(m∙g)/t].

Además agregar que la precisión es la raíz de σf 2, es decir la desviación

estándar.

Debido a la gran dispersión presente en los datos de potencia como en lasleyes de oro y plata, provocan que la propagación de errores arroje unadesviación estándar alta, que se hace aún mayor dependiendo de lo lejano que seencuentre el dato de la media de ellos mismos.

Se ocupa el porcentaje de precisión (con respecto a cada valor calculado dela acumulación) como:

Todo lo recién explicado se hizo para cada dato posterior a limpieza de datoserróneos, donde se ocuparon las siguientes varianzas para las acumulaciones deoro y plata, en donde se recuerda que en la potencia particularmente son

22

z = f ( x , y)

σ z

2

≈(δ f

δ x )2

σ x

2

+ (δ f

δ y )2

σ y

2

Acumulación = Potencia⋅ley f ( x , y) = xy

σ f ( x, y )2

f 2( x , y )

=σ x

2

x2

+σ y

2

y2

% Precisión = (σ f

xy⋅100



distintas, ya que para el caso del oro se ocuparon 707 datos y para la plata 683.Los resultados ocupados son los siguientes:

Tabla 12. Varianza de leyes de oro; y potencia ocupada para la acumulación en este

caso.

Tabla 13. Varianza de leyes de plata; y potencia ocupada para la acumulación en estecaso.

Con esto ya se puede notar que la precisión en la acumulación de plata essustancialmente peor que en la precisión de la acumulación de oro. Ésto debido ala gran dispersión en los datos entregados de la ley de plata.

A continuación se mostrarán los valores mínimos y máximos de lasacumulaciones descritas:

Tabla 14. Precisión en la acumulación de oro.

Tabla 15. Precisión en la acumulación de plata.

En las tablas 14 y 15 se aprecian los valores máximos y mínimos de la precisión y

el porcentaje de éste con respecto a su valor correspondiente de acumulación. Se

asume que el porcentaje de precisión de acumulación es la desviación estándar

del dato dividido por el valor de la acumulación.

Se debe notar que los datos de las tablas no se corresponden entre sí

como valores máximos y mínimos, es decir, son los valores mínimos o máximos

23

Acumulación Oro Varianza

876,50

93,89

Ley de oro [(g/t)2]

Potencia [m2]

Precisión Oro Desviación Estándar [m*(g/t)] %AcumulaciónValor mínimo 12,72 185,71

Valor máximo 7697,51 16450,29

Precisión Plata Desviación Estándar [m*(g/t)] %AcumulaciónValor mínimo 205,63 178,63Valor máximo 126538,07 12169,60

Acumulación Plata Varianza

236856,33

97,16

Ley de plata [(g/t)2]

Potencia [m2]



en la columna de la desviación estándar independientemente a la de porcentaje

de la precisión con respecto a su valor de acumulación, lo que revisando en los

datos se evidencia que no pertenecen necesariamente a la misma fila de datos.

5.1.7. Intervalos de confianza.

Como se desconoce la varianza de la población de la mineralización de esteyacimiento, y si se toma en consideración la robustez de Student, no es necesarioaplicarlo a distribuciones normales, el intervalo de confianza fue calculado comosigue:

Es decir se aproximó la varianza de la población (σ 2 ) por la varianza de lamuestra (S2 ), y se estableció un intervalo de confianza de 95%, es decir con un αigual a 5%. Dado esto se obtuvo lo siguiente:

Tabla 16. Intervalos de confianza.

En la potencia se consideraron todos los datos muestreados sin considerar eldato outlier de la potencia (2685 [m]), ya que está no se considera ni en las leyesde plata ni en las de oro. Con esto los intervalos de confianza quedanconfigurados como:

• Ley Au: [18,06; 20,87] en [g/t].

• Ley Ag: [355,24; 428,18] en [g/t].

• Potencia: [2,89; 4,31] en [m].

• Acumulación Au: [59,92; 73,96] en [m*g/t].• Acumulación Ag: [1154,19; 1401,22] en [m*g/t].

24

Prob

{ X −t n−1,α

2

⋅S

√ n

< μ< t n−1,α

2

⋅S

√ n

}= 1−α

Intervalos de confianzaLeyes de oro Leyes de plata Potencia Acumulación Au Acumulación Ag

20,78 391,71 3,60 66,94 1277,71t 1,96 1,96 1,96 1,96 1,96S 29,61 486,68 9,69 93,70 1648,13n 708,00 684,00 708,00 684,00 684,00

Valor mínimo 18,60 355,24 2,89 59,92 1154,19Valor máximo 20,87 428,18 4,31 73,96 1401,22

X



Recordar que los intervalos de confianza calculados están hechos de maneratal que haya un 95% de probabilidad de que la media se encuentre en estosdatos.

5.1.8. Independencia de las variables

Para identificar la dependencia entre las distintas variables se utilizarán

métodos exploratorios vistos en el curso, y en particular la nube de correlación,coeficiente de correlación y matriz de correlación. Con estas herramientas sepodrá conocer si es que efectivamente existen alguna dependencia entre lasvariables relevantes.

a) Independencia entre la ley de plata y ley de oro:

Para el ánalisis de independencias entre las leyes de los dos minerales del

yacimiento a estudiar, se grafica la nube de dispersión, donde las leyes de oroestán en el eje X, siendo éstas función de las leyes de plata (eje Y):

Gráfico 7.a: Nube de dispersión de leyes de plata en función a las leyes de oro.

Claramente en el gráfico 7.a se puede apreciar una relación en que la ley de platacrece proporcionalmente a la de oro. Por esto se hace una regresión lineal deestos datos, y se aplica una recta, como se aprecia en el gráfico 7.b para ver siexiste una correlación de tipo lineal y de qué grado:

25



Gráfico 7.b: Nube de dispersión de leyes de plata en función a las leyes de oro conregresión lineal.

Los resultados arrojados del análisis de correlación fueron:

Tabla 17. Matriz de correlación entre ley de oro y plata.

Tabla 18. p-values de correlación entre ley de oro y plata.

Tabla 19. Coeficientes de correlación (R2) entre ley de oro y plata.

Se obtiene entonces un coeficiente de correlación de 0,754 nos indica queefectivamente se cumple la relación de linealidad entre estas dos variables.Considerándose aceptable un coeficiente de correlación mayor a 0,7, es posibleconcluir que existe dependencia entre ambas variables.

b) Independencia entre la ley de plata y potencia:

26

Variables Ley Au [g/t] Ley Ag [g/t]

Ley Au [g/t] 1 0,754Ley Ag [g/t] 0,754 1

Variables Ley Au [g/t] Ley Ag [g/t]Ley Au [g/t] 0 <0,0001Ley Ag [g/t] <0,0001 0

Variables Ley Au [g/t] Ley Ag [g/t]Ley Au [g/t] 1 0,569

Ley Ag [g/t] 0,569 1



Gráfico 8. Nube de dispersión Leyes de plata v/s Potencia.

Como no se aprecia una clara tendencia en la nube de dispersión, no se aplica

regresión lineal directamente sobre los datos.

Tabla 20. Matriz de correlación entre ley de plata y potencia.

Tabla 21. p-values de correlación entre ley de plata y potencia.

Tabla 22. Coeficientes de correlación (R2) entre ley de plata y potencia.

En este caso el análisis nos indica que no existe dependencia alguna entre lasvariables analizadas. Esta conjetura es categórica ya que el coeficiente decorrelación resultó muy bajo, ya que según la teoría, el coeficiente de correlaciónde valor nulo demuestra que no existe correlación entre las variables.

5.1.9. Modelos predictivos y análisis de significancia sobre ellos.

Cuando se quiere estimar con cierto nivel de precisión las leyes en lugares endonde no se tiene datos, es decir, no se han hecho sondajes, resulta prácticoconstruir un modelo predictivo sobre esas zonas.

27

Variables Potencia [m] Ley Ag [g/t]Potencia [m] 1 -0,034

Ley Ag [g/t] -0,034 1

Variables Potencia [m] Ley Ag [g/t]Potencia [m] 0 0,369

Ley Ag [g/t] 0,369 0

Variables Potencia [m] Ley Ag [g/t]Potencia [m] 1 0,001Ley Ag [g/t] 0,001 1



Ahora bien, para este caso se necesitan modelos multivariantes. El primerode ellos debe predecir la ley de plata en función de la ley de oro y la potencia,mientras que el segundo la ley de oro en función de la posición. Un problema quesurge a la hora de construir un modelo es qué factores incluir en la ecuación, demanera que se pueda obtener la mejor estimación posible. Un buen modelo esaquel que entrega estimaciones lo más cercanas al dato real, de modo que a

partir del mismo se puedan hacer conjeturas y predecir tendencias, que en estecaso son las leyes de oro y plata en el yacimiento estudiado.

a) Modelo predictivo de la ley de plata en función de la ley de oro y lapotencia.

De lo hecho en la sección 6.1.7 b), se pudo apreciar que no existedependencia lineal, por lo que se desprende de aquéllo que claramente unmodelo predictivo lineal no aplicaría en este caso.

Descartado esa posibilidad de modelo, se opta por una regresión de los datos detipo polinomial. Ya que no se sabe ni una aproximación siquiera de cómo la ley de

plata pudiera estar representada en función de los parámetros exigidos (ley deoro y potencia), se elige como grado de la regresión el máximo permitido porExcel, pudiendo llegar a arrojar un polinomio de décimo grado (n = 10). Ahorabien, pudiera darse el caso en que la regresión sea de menor grado, y de estamanera el coeficiente asociado a ese polinomio tomaría valor nulo.

Dicho esto, la función a determinar es de la forma:

Con esto, los coeficientes arrojados fueron los siguientes:

Tabla 23. Parámetros del modelo de regresión polinomial para ley de plata.

28

Y = a0 + ∑

i=1

10

∑ j=1

2

a ij⋅( Xj)i

X1 = Potencia [m] .

X2 = Ley de oro [ g / t ].

Coeficientes Valor Error estándara0 -120,366 1317,882

a1,1 695,42 7921,091

a1,2 34,64 14,922

a2,1 -1594,8 16760

a2,2 -2,079 1,764

a3,1 2325,08 17806,3

a3,2 0,119 0,088

a4,1 -1958,8 10992,12

a4,2 -0,003 0,002

a5,1 970,56 4226,73

a5,2 0 0

a6,1 -292,46 1041,98

a6,2 0 0

a7,1 54,115 164,4

a7,2 0 0

a8,1 -5,989 16,02

a8,2 0 0

a9,1 0,363 0,875

a9,2 0 0a10,1 -0,009 0,02

a10,2 0 0



Tabla 24. Estadísticas de bondad del ajuste del modelo de regresión polinomial para leyde plata.

La desviación estándar da 304 [g/t], lo que es algo menor a la media (392,2 [g/t]).Ahora lo importante es que Excel entrega el coeficiente de determinaciónmúltiple:

; donde:

SR: Suma de errores cuadráticos debido al modelo (o regresión).

SE: Suma de errores cuadráticos debido al residuo o error.

S: Suma total de residuos cuadráticos (SSE).

Este es de 0.622, lo que se pudiera considerar aceptable para la configuración delos datos entregados. Además se debe hacer notar que cuando aumenta elnúmero variables, el coeficiente de determinación múltiple aumenta y, por ende,

se acerca a 1. De esto se infiere se sólo permite comparar modelos que tengan elmismo número de variables explicativas.

Por ende, se considera aceptable el modelo predictivo recién descrito.

b) Modelo predictivo de la ley de plata en función de las coordenadas.

En una primera aproximación, se nota de inmediato que la coordenada estees 0 en todos los datos, por lo que no se considera. Con esto, se tienen dosvariables independientes, las cuales son el norte y la cota. Haciendo el mismoprocedimiento que en el modelo predictivo anterior, se arrojan los siguientescoeficientes:

29

R

2

=

S R

S = 1−

S E

S



Tabla 25. Parámetros del modelo de regresión polinomial para ley de oro.

Tabla 26. Estadísticas de bondad del ajuste del modelo de regresión polinomial para leyde plata.

En este caso la suma de errores cuadráticos es demasiado alta, la media dela ley de oro es cercana (25,7 v/s 20,8 [g/t]), pero lo que importa es el coeficientede determinación múltiple, que es muy por debajo a 0,7, por lo que entonces nose considera de peso el modelo predictivo. Este resultado era completamenteesperable, ya que a priori uno puede inferir que las coordenadas no tienen ningúnnivel de relación o dependencia con la concentración de ley de oro en ciertopunto del yacimiento.

Por esto, se concluye que el modelo predictivo de la ley de oro en función de lascoordenadas no es significante.

5.2 Análisis geoestadístico de datos (Proyecto 2)

30

Coeficientes Valor Error estándar

a0 -7536676,18 68789320,028a1,1 -3,001 3,725a1,2 15155,84 170191,56a2,1 0,301 0,256

a2,2 -10,377 152,99a3,1 -0,013 0,008a3,2 0,002 0,053a4,1 0 0a4,2 0 0a5,1 0 0a5,2 0 0a6,1 0 0a6,2 0 0a7,1 0 0a7,2 0 0a8,1 0 0

a8,2 0 0a9,1 0 0a9,2 0 0a10,1 0 0a10,2 0 0

Total datos 707

Datos usados 686

0,269

SSE 452851,5

MSE 660,13

RMSE 25,7

R2



5.2.1. Importación de datos a Isatis.

Acá se importaron los datos entregados (Datos.xls) al programa Isatispara el posterior análisis geoestadístico de éstos, y se retiraron tres datosdesde la misma planilla de Excel. Además se incluyeron dos columnasmás, las cuales son la acumulación de oro y plata calculados en el

proyecto 1. Ahora bien, es de relevancia tomar en cuenta que cuando seimportaron los datos, se usó la siguiente orientación con el fin de facilitarel estudio de los gráficos. Estos fueron:

– easting(x) para la coordenada norte. – northing(y) para la cota. – elevation(z) para la coordenada este. Notar que esta columna notiene datos.

Esto en definitiva produce que los datos en Isatis sean trabajados enel plano XY, en vez del YZ como vienen en la base de datos, y de esta

manera se hace más fácil trabajar en el estudio exploratorio yvariográficos, como mapas, variogramas, entre otros, ya que está en elplano de referencia XY, y por ende no es necesario el uso de la direcciónnormal (eje Z).

Luego de esto, Isatis procede a quitar los duplicados presentes en labase de datos, para poder trabajar en las etapas requeridas más adelante.

6.2.2. Análisis exploratorio de los datos

Para este efecto se aplicaron las siguientes etapas para el análisis

exploratorio:

Variables de interés

Se debe considerar que los datos entregados por los sondajes hechos en elyacimiento se determinan usando variados sistemas de soporte por cada dato.Por esto mismo se hace necesario la acumulación de las leyes de plata y oro, y lapotencia para cada dato.

Declustering

El desagrupar los datos asegura que no haya sesgo debido al método demuestreo. Un ejemplo claro es que los sondajes se concentran en lugares dondeexiste alta ley en el yacimiento. El declustering permite que los datos usadossean representativos de una área de influencia en particular, y para esto a cadadato se le asigna un ponderador que aumenta o disminuye su efecto en los

31



parámetros estadísticos como media y varianza. Para determinar estosponderadores, se utilizó el método de celdas.

Para este estudio se realizó una malla de declustering basada en el tamañode la malla de muestreo, la cual fue de 200 x 200 [m] y también en el efecto dedesagrupamiento en la ley media. Comúnmente no se recomienda sólo conconsiderar el efecto de la ley media, ya que este parámetro no necesariamente

entrega una representación de datos adecuada. No obstante, dado el enfoquepedido en este análisis, se optó por el criterio más viable.

Parámetros estadísticos

En la siguiente tabla se muestran el conteo de datos, valor del mínimo ymáximo de cada variable; media, varianza y coeficiente de correlación:

Tabla 27. Parámetros estadísticos base de datos.

De los datos se aprecia que la acumulación de plata es considerablementealta en comparación a la varianza de la acumulación de oro (esto visto más endetalle en el proyecto 1); y la correlación de la acumulación de oro y plata conrespecto a la potencia arroja un valor que a primera vista no permite

considerarlas como dependientes.

Nubes de correlación

32



Usando las nubes de correlación se verá si existe una virtual dependenciaentre las variables del estudio:

Figura 7. Nubes de correlación entregadas por Isatis.

Se observa que las nubes, no tienen una correlación notoria, que se corroborapor los datos de correlación dispuestos en Tabla 27. En el caso de la correlaciónentre las acumulaciones se observa que existe una correlación, en donde el R2

toma un valor mayor a 0,5.

Q-Q PlotsEste herramienta sirve para comparar dos distribuciones distintas en un

gráfico de formas. Calculando los cuantiles de histogramas acumulados es posiblecomparar las dos distribuciones.

33



Cuando se construyen los Q-Q plots, se considera lo siguiente para suinterpretación:

• Si los puntos del Q-Q plot están en la recta de 45°, entonces los datostienen distribuciones idénticas.

• Si la línea 45° de inclinación, pero desplazadas del origen del gráfico,ocurre que las dos distribuciones deberán tener la misma forma, pero mediasdiferentes.

• Si se presenta un carácter no lineal en el gráfico, entonces lasdistribuciones toman diferentes formas en el histograma (como por ejemplodistribuciones Gaussianas o logarítmicas).

Luego de esta explicación, se dispone a mostrar los Q-Q plots arrojados:

34



Figura 8. Q-Q plots – Distribución gaussiana.

De acá se aprecia que la potencia es muy cercana a la distribución normal. No así las distribuciones de las acumulaciones de oro y plata.

35



Figura 10. Q-Q plots – Distribución log normal.

Considerando que los histogramas (hechos en el proyecto 1) tienen una formaque se asemeja basta al log normal, se compara esta distribución en el Q-Q plotanterior. Se logra ver que la acumulación de oro tiene una distribución cercana ladistribución al log normal. Sin embargo, del Q-Q Plot – log normal de laacumulación de plata no se puede afirmar si es una distribución de este tipo.

5.2.3. Análisis variográfico.

36



Para partir este estudio, se debe partir por estudiar las direcciones deanisotropías de las variables entregadas (ley de oro, ley de plata y potencia).

Un análisis variografico consiste en varias etapas:- Determinación de anisotropías zonales, y direcciones preferenciales en losdatos.

- Cálculo de variogramas experimentales.

- Ajuste de variogramas modelados.

Este análisis es necesario para conseguir la herramienta más útil para lasestimaciones de kriging (variograma modelado).

Direcciones de Anisotropía

Para determinar direcciones de anisotropía, y anisotropías zonales se debeconsiderar la base de datos gráficamente que demuestra la continuidad espacial(mapas variográficos). Para evaluar la anisotropía de las variables de lasacumulaciones de oro y plata, y la potencia se utilizaron mapas variografico, los

cuales son una representación direccional (circular de 360o) de la continuidadespacial de la anisotropía.

Como la base de datos es considerada en 2D solamente se consideran los mapasvariograficos en orientación del plano de los datos (XY). En los mapas se puedenotar que hay direcciones preferenciales en los datos dependiendo de lasvariables:

37



Figura 10. Mapa variográfico de la acumulación de oro.

38



Figura 11. Mapa variográfico de la acumulación de plata.

39



Figura 12. Mapa variográfico de la potencia.

40



Figura 13. Variograma omnidireccional de la acumulación de oro y plata.

Figura 14. Variograma direccional en las anisotropías de las acumulaciones de oro y

plata.

Figura 15. Variograma de la potencia.

41



Luego de construir los variogramas experimentales, se procede a obtener losvariogramas modelados, para luego hacer la validación cruzada:

Figura 16. Variogramas modelados de la acumulación de oro, plata y potencia.

5.2.4. Validaciones cruzadas.

Ahora se procede a aplicar, luego de obtener los variogramas modelados, unavalidación cruzada de los modelos con el fin de asegurar la precisión y calidad delmodelo. A su vez al realizar la validación cruzada, es necesario establecer unavecindad de kriging que será utilizada más adelante para estimar los bloques.

A continuación se presentan los gráficos que entrega la validación cruzada.La primera figura a en la izquierda representa el base map. El segundo gráfico ala derecha representa la regresión lineal entre el valor real y el valor estimado delos datos. Está pendiente si un valor cercano a 1 para que la nube de puntos,

tanto de tipo real o estimado, de manera que si es lo más cercana al modelo sepuede confiar en el modelo postulado. Notar que en estas cuatro figuras, lospuntos rojos representan los datos mal estimados por el modelo.

42



Figura 17. Validación cruzada para la acumulación de oro.

43



Figura 18. Validación cruzada para la acumulación de plata.

44



Figura 19. Validación cruzada para la potencia.

45



5.2.5. Creación de la grilla de bloques

En esta etapa se genera una grilla en Isatis, sobre la zona de interés, que seencuentra entre los 0-300 metros en el eje X (norte) y 1675-1775 metros en el eje Y (cota), con el objetivo de usar esta grilla más adelante en la estimación debloques por Kriging ordinario.

Esta grilla genera 1612 bloques de 5x5x1 [m3], que se muestra acontinuación:

Figura 20. Grilla de bloques de 5 [m] x 5 [m] x 1 [m].

Con todo lo hecho anteriormente, a continuación se realiza kriging ordinario paralas acumulaciones de oro y plata y para la potencia, y, con los resultadosobtenidos de ello, se calcularon nuevamente las leyes de oro y plata.

Se agrega como nueva variable la ley de oro equivalente, fórmula que ya fuedescrita en la sección antecedentes. Se conoce como dato que la densidad de laroca es [2,6 t/m3]. Este dato servirá para los siguientes cálculos.

El kriging calculado por Isatis de las leyes de oro, plata y oro equivalentemuestran lo siguiente:

46



Figura 21.a: Kriging ordinario para ley de oro.

Figura 21.b: Kriging ordinario para ley de plata.

Figura 21.c: Kriging ordinario para ley de oro equivalente.

En cuanto a las leyes medias obtenidas, éstas fueron de:

Tabla 28. Ley media AuEq por Kriging ordinario.

47



Tabla 29. Ley media Au por Kriging ordinario.

Tabla 30. Ley media Ag por Kriging ordinario.

5.2.6. Cálculos de recursos.

Se debe hacer notar que al comienzo del análisis geoestadístico se comenzótrabajando con 691 datos de oro y también de plata. Ahora bien, gracias alKriging, con datos medidos y estimados, se tienen ahora 1612 datos delyacimiento.

Ahora se determinará cómo se calculan el tonelaje, ley media y cantidad demetal disponible:

Con el cálculo de recursos arroja los siguientes resultados en Tabla 31:

Tabla 31. Recursos calculados de oro y plata presentes en el yacimiento.

Sobre cuánto recurso se recupera considerando una ley de corte de 5 [g/t],éste es de 3,323 [ton] de oro equivalente.

48

Ley media=∑ ley de bloques

N ° de bloquesen [ g / t ]

Tonelaje = ∑ Area⋅ Potencia⋅ Densidad en[ t ]

Metal = ∑ Ley⋅ Area⋅ Potencia⋅ Densidad en[ t ]

Ley media Cantidad de Metal [g] Tonelaje Roca [ton]Au 19,1 3368010,12 172748,57

AuEq 24,2 1217828,68 172748,57

Ag 351,7 61727024,45 172748,57



6. Conclusiones

Proyecto 1:

Al partir el análisis sobre una base de datos, en primera instancia ynecesariamente se debe partir por una búsqueda de errores en los datos, tanto

de errores evidentes en la base, posibles datos aberrantes por su notoria lejaníacon respecto a otros datos, ya que de no hacerlo, se producirán notorios erroresque se arrastrarán en el transcurso de todo el análisis de esa base. Este hecho nopodrá permitir entonces que se noten claras tendencias e inferencias relevantesrespecto al tema de estudio de un análisis estadístico sobre una muestra dada,como por ejemplo rechazar una hipótesis alternativa, o viceversa, cuando enrealidad un test de hipótesis en particular si se adecue a entender un proceso ofenómeno en particular.

El descubrir qué tipo de distribución presentan las variables determinan quétipo de test son compatibles, y por ende cuáles no son aplicables y entoncespierden su validez de uso. Si se tiene presente que los métodos gráficos nomuestran la precisión suficiente como para explicar su comportamiento, este tipo

de herramientas muestra en forma más ilustrativa que muestra qué tipo detratamiento y herramientas estadísticas son necesarias elegir para sacar el mayorprovecho posible a la información entregada, y que a partir de ésto, se puedaentender con mayor detalle el proceso, y en base a esto, tomar las decisionespertinentes al enfoque del estudio y la finalidad de éste.

En cuanto a la precisión, ésta depende íntegramente del error asociado a lavariables que en definitiva se usen para poder determinarlo, y en caso de queexistan errores sistemáticos, éstos se harán notar en mayor medida en elprocesamiento de los datos, donde quedará plasmado en el arrastre de erroresque irá en aumento, y si se presentan en importante medida, pueden inclusollegar a no ser verosímiles y concluyentes los resultados obtenidos, por lo que sepuede llegar a invalidar un estudio estadístico. Acá los mayores errores se

produjeron en el cálculo de la acumulación que disminuyó al quitar un outlier muyalejado de los otros datos de esta variable, pero en este caso el porcentaje deprecisión se presenta considerable debido a la propagación de errores, puntoexplicado en la sección de precisión. Obviando ésto, el error en los datos no haceperder validez en el estudio, que entregas resultados contundentes einterpretables desde el punto de vista estadístico.

Sobre los intervalos de confianza, es importante aclarar que se puede afirmarque el método que determina los intervalos de confianza hace que en éstos seencuentre el valor real. Para obtener un intervalo que diga la probabilidad de quelos valores reales se encuentren en un cierto intervalo de confianza, se requierecalcular los intervalos de probabilidad, vistos en el curso. Además esto es claro,ya que los extremos son variables aleatorias (conocidos como límites de

confianza), y en realidad el valor real del parámetro es fijo.Si bien se puede considerar que se obtuvo un número considerable de datos

sobre el yacimiento en estudio, éste a veces no es lo suficiente como paraconocer y modelar el comportamiento de una variable. Si bien el análisis deindependencia es una herramienta poderosa que habla sobre las dependenciasentre variables medidas con la correlación que presentan, aunque se obtenga un

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nivel de dependencia aceptable, ésta no dice nada sobre qué modelo puedarepresentar las variables en función de otras y en qué ponderación. Sólo habla dela correlación que existe en ellos. Cuando se trata de una regresión lineal, esevidente ver su relación, y la pendiente principalmente determina el ponderadorentre las variables. Cuando hay relaciones de tipo no lineal, y que dependen demás variables, si no se tienen los suficientes datos, el caracterizar una muestra

por un modelo no es una tarea trivial. De esto se infiere que si incorporan másvariables con un nivel de correlación escaso, provoca que el predecir, en estecaso leyes de oro muestre no más que una leve tendencia, y mayor aún cuandolas variables nada tienen que ver con lo que se pretende determinar, como fue elcaso de predecir la ley de oro en función de las coordenadas, que se mostró queno existe dependencia alguna, como se esperaba de antemano. En cuanto almodelo de estimación de la ley de plata en función de la ley de oro y potencia, esaceptable pero se hace notorio que con la presencia de mayores datos, se podríaconfiguración un modelo más cercano, que arrojara estimaciones más precisas.

Proyecto 2:

El caracterizar el yacimiento aurífero-argentífero, ahora con el uso delsoftware Isatis, y este caso en particular, el estudio de leyes de oro y platacontenido en él, muestra lo poderoso de esta herramienta, ya que permite ilustrarcómo se distribuye y configura, y de esta forma se puedan tomar las decisionespertinentes, en evaluar si como negocio es viable, estimar las ganancias de suexplotación, como también de cómo planificar los años de vida, y explotación delyacimiento en estudio.

Se lograron estimar los recursos disponibles, leyes medias, cantidad de metalen base a las leyes de oro y plata, y todo esto a partir de los datos obtenidos porel Kriging ordinario, que en base a los datos obtenidos calcula nuevos datos deleyes de oro, plata y a partir a esto se determina la ley de oro equivalente, quefacilitó tantos cálculos como la generación de imágenes de la distribución de los

minerales.

Se debe mencionar que los resultados obtenidos pueden ser consideradoscomo estimadores fiables y además como indicadores de tendencia, ya que laestimación de bloques hecha por Kriging ordinario fueron realizadas a partir delos variogramas modelados, que presentaron una confiabilidad suficiente en lavalidación cruzada. Ahora bien, no se debe olvidar que el Kriging, gracias a supropiedad de suavizamento, tiene a subestimar sectores con valores altos y asobreestimar sectores con valores más bajos, además de disminuir la frecuenciade los valores extremos, debido a que acerca los datos a la media de los valoresestimados. Ahora, si bien hay que tener cierto cuidado al usar kriging paraestimar las concentraciones reales, no existe una diferencia sustancial, y por lo

mismo se le considera como un estimador verosímil.

Algo relevante de considerar fue que cuando se crea la grilla de bloques en laregión de interés, éste contiene una franja en donde no existen datos asociados.Esto posiblemente repercutió sustancialmente en las varianzas de los tresmodelos estimados, los cuales fueron la acumulación de oro, plata y potencia.

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Un suceso importante de mencionar, es que en la estimación de Kriging dela acumulación de oro, se obtuvieron datos con valores negativos y por lo ilógicodesde un punto de vista físico, estos datos se consideraron con valor nulo. Elestimar valores fuera del rango, al menos de los valores extremos contenidos enlos datos iniciales, provoca que existe un error en el proceso que incidedirectamente en una disminución en la confianza de los resultados.

Si se piensa en mejor la estimación en cálculos de recursos se recomiendahacer campañas de sondajes con mayor cantidad de datos, ya que se puedeapreciar una mejor distribución en los datos. Ahora este consejo es más bienideal, porque una campaña de sondaje aumenta en costos en la medida decuántos sondajes sean realizados. Como los datos usados para la estimación seencontraban en 2D, se hace más complejo el poder calcular los tonelajes, endonde datos en 3D sería lo ideal. Por esta razón en este estudio se eligió usar unlargo del bloque de 1 [m] de elevación (eje Z). Con datos en 3D será posibleestimar los recursos en un bloque 3D con mayor confianza y así obtener cálculosde recursos más fiables, pero se pagaría un tributo, ya que sería más complejocalcular los variogramas, hacer la validación cruzada y principalmente se notaríaen la construcción del Kriging ordinario para este caso.

Para finalizar, se puede apreciar que el estudio de datos ocupando a lageoestadística como herramienta, en que el análisis de la verosimilitud de losdatos, y la caracterización espacial de la variables medidas en un cuerpomineralizado (para este caso), se configuran de manera tal de complementarseentre sí, entregando relevante información para el uso de quienes hayanrequerido el estudio y todo esto con el fin de aminorar el error asociado a datospocos fidedignos y estimaciones poco confiables, punto relevante a la hora detomar la decisión de si se va a hacer el proyecto y de qué manera se ejecutará laeventual explotación de este yacimiento.

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7. Referencias

– Apunte Análisis estadístico de datos, Xavier Emery, 2010. – Apunte Geoestadística, Xavier Emery, 2010.

– Diapositivas curso MI4040-2 Análisis estadístico y geoestadístico dedatos, Semestre Primavera 2010.

– Manual de uso software Isatis, Xavier Emery, 2010. – Isatis 10.0, Begineer's Guide, Marzo 2010.

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Documents

Informe Consolidado MI4040