Control Automático II

Tarea N°3 ARMAXIdentificación de parámetros

Paz Altamirano González, Ingeniería en Automatización y Control Industria, Jesús Reyes Medina, Universidad Tecnológica de Chile INACAP, 2011

RESUMEN

Lo que se quiere lograr en este trabajo es conocer una herramienta identificador de parámetros o sistemas llamada ARMAX, la cual pretende describir mediante un modelo matemático el comportamiento de un sistema dinámico, identificando sus parámetros, usando satos experimentales.

I. INTRODUCCIÓN

Debido al desarrollo tecnológico mundial, se exige el diseño de controladores precisos, estables y de rápida respuesta, para poder desarrollarlos es necesario contar con un modelo matemático que refleje en su totalidad el comportamiento del proceso a controlar. En la actualidad ningún proceso real tiene una respuesta lineal e invariante en el tiempo por lo que presenta distintas funciones de transferencia en diferentes rangos de trabajo.

Existe una elevada complejidad para realizar un modelado matemático teórico de los procesos reales y nos enfrentamos al problema de cómo obtener uno confiable, que represente el comportamiento real de un proceso de manera sencilla. Es aquí donde entra a operar la rama de Ingeniería de Control que es la de Identificación de Sistemas, desarrollada a partir de los años 60’

y teniendo como base la estadística.

II. MARCO TEORICO

Se entiende por identificación de sistemas o parámetros a la obtención de forma experimental de un modelo que reproduzca con suficiente exactitud para los fines deseados las características dinámicas del proceso con el cual se trabajará, a partir del análisis de datos de entrada y salida obtenidos de este proceso.

La identificación de parámetros nace con la necesidad de hacer controlable y estable el control realimentado. En los primeros estudios realizados se tiene el análisis en respuesta temporal para ajuste de controladores PID, que son considerados robustos, ya que, pueden interactuar frente a perturbaciones.

Existen métodos paramétricos de identificación de sistemas y métodos no paramétricos de identificación, uno de los principales métodos no paramétricos que se utiliza en el análisis de respuesta en el tiempo, en el que se excita a los sistemas con señales tipo impulso y escalón.

Esta metodología es ideal para plantas con retardo, ganancia estática e identificación de constates de tiempos. Y cuando requiere de un modelo matemático con exactitud moderada o para obtener el primer modelo real, el cual es utilizado para aplicar en el uso de métodos paramétricos.Los Métodos paramétricos son familias de modelos con parámetros ajustables. Aquí la estimación de parámetros involucra hallar los “mejores” valores de estos parámetros. Lo cual se puede lograr mediante el uso de ecuaciones diferenciales y técnicas estadísticas, entre los más usados se tiene el modelo ARX (Modelo Auto Regresivo Controlado) y el modelo ARMAX (Modelo Auto Regresivo Media Móvil con una Señal Exógena, variable de control). Los modelos ARX se aplican cuando el tiempo de respuesta del proceso es menor que el tiempo de muestreo del sistema de adquisición de datos y del equipo identificador, en procesos cuyo algoritmo de control incluye a la identificación como una de sus partes fundamentales, y procesos con perturbaciones no significativas o despreciables, ya que, se registran datos de entrada y salida pero no se consideran valores de perturbación, solo valores actuales, en resumen es un modelo que ayuda a la detección de fallas. Los modelos ARMAX aplican cuando el tiempo de

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respuesta del proceso es menor que el tiempo de muestreo del sistema de adquisición de datos y del equipo identificador, procesos cuyo algoritmo de control incluye a la identificación como una de sus partes fundamentales y procesos expuestos a perturbaciones, en resumen muestra la parte autorregresiva que representa la componente determinística del modelo, y el ruido que lo afecta viene expresado como un ruido blanco. (“Es aquel ruido errático con múltiples frecuencias como el producido por un parlante cuando su bobina es recorrida por electrones al azar (completamente impredecible),se designa como ruido blanco por su analogía con la luz blanca, contiene todos los componentes de frecuencia con igual proporción de potencia”) bajo la acción de un filtro de promedio móvil, la estructura de este modelo es como sigue:

Figura 1 estructura del modelo ARMAX

Modelos Entrada-Salida

Para la estimación de parámetros también existen los modelos entrada-salida, en donde se pueden encontrar los modelos para diagnóstico de fallas y otros para el control predictivo.

Los modelos más utilizados en diagnóstico de fallas corresponden a los modelos ARX (Auto Regresivo con Entrada Exógena) y ARMAXLos modelos ARIX y ARIMAX se emplean preferentemente en control predictivo. Donde el polinomio:

Δ = 1− q-1

incorpora una integración que modifica las características estadísticas del ruido e(k) que es una perturbación que representa simultáneamente perturbaciones no medidas y errores de modelación. Por simplicidad generalmente se considera que e es un ruido blanco Gaussiano de varianza desconocida.

Si el modelo entrada-salida es lineal y de tiempo discreto, su estructura general es:

En esta expresión q es el operador adelanto en el tiempo, esto es:

A(q), B(q), C(q), D(q), F(q) son los polinomios:

Existen diferentes casos especiales de la ecuación general entrada-salida, los que se muestran en la siguiente tabla:

TABLA 1

Clase de modelo Representación

AR A(q)y(k)=e(k)

ARX A(q)y(k)=B(q)u(k)+e(k)

ARMA A(q)y(k)=C(q)e(k)

ARMAX A(q)y(k)=B(q)u(k)+C(q)e(k)

ARIX A(q)y(k)=B(q)u(k)+(1/Δ)e(k)

ARIMAX A(q)y(k)=B(q)u(k)+(C(q)/Δ)e(k)

ARARX A(q)y(k)=B(q)u(k)+(1/D(q))e(k)

ARARMAX A(q)y(k)=B(q)u(k)+(C(q)/D(q))e(k)

Output Error y(k)=(B(q)/F(q))u(k)+e(k)

Box-Jenkis y(k)=(B(q)/F(q))u(k)+(C(q)/D(q))e(k)

Caso General A(q)y(k)=(B(q)/F(q))u(k)+(C(q)/D(q))e(k)

ARX:es la primera elección en un procedimiento de identificación de sistemas lineales.ARMAX:describe el error en la ecuación como un promedio móvil.

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Output Error (OE): es un modelo ARMAX con relación in/out sin perturbación más ruido blanco aditivo en la salida.Box-Jenkins (BJ): es una generalización del modelo output error

También existen los modelos de entrada-salida No lineales. Un modelo NARMAX (ARMAX No Lineal) presenta la siguiente estructura:

dónde f es una función no lineal.

Método de mínimos cuadrados

Varios de los modelos incluidos en la Tabla1, en particular los modelos ARX, pueden reformularse como una relación lineal en los parámetros:

En un modelo ARX el vector de mediciones φ (k) y el vector de parámetros θ(k) quedan definidos por:

En un modelo ARMAX la relación entrada-salida:

se puede expresar como:

en donde,

En este caso Φ(k) incluye también los errores e(k-1),…,e(k-nc) que no se miden y que deben ser estimados. Para ello se utilizan las expresiones:

con j=1,….,nc

Como consecuencia de esta aproximación, generalmente la estimación de los coeficientes {ci} presenta mayor varianza que la estimación de los coeficientes {ai}, {bi}.

ARMA en Matlab

El algoritmo recursivo de identificación de parámetros ARMA también se puede utilizar en el software Matlab, en este programa se llama RARMAX

III. CONCLUSIONES

Se puede concluir que la herramienta ARMAX hace mucho más fácil y más exacta la identificación de parámetros, por lo que se está implementando con mayor fuerza actualmente, además esta herramienta también se puede implementar en Matlab lo que la hace aún más atractiva para el usuario.

IV. BIBLIOGRAFIA[1] http://issuu.com/ceditec/docs/compendio_2 010_i (I+i Investigación aplicada e innovación. Volumen 4 - Nº 1)

[2] http://wwwe.espe.edu.ec:8700/bitstream/21 000/167/1/T-ESPE-025567.pdf (Tesis)

[3] http://www2.ing.puc.cl/iee3692/apuntes/cap 3.pdf (apuntes de estimación de parámetros)

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