Introducción

En el presente trabajo se darán a conocer algunos temas que se derivan de la materia de cálculo integral que es una rama de las matemáticas que estudia el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y la ciencia. Los temas que se abordaran en este informe son la diferencial que consiste en determinar cuánto aumenta o disminuye el valor de una función, aproximaciones de ecuaciones método que se utiliza para encontrar el valor aproximado o la raíz de una ecuación y la anti derivada que es proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que al ser derivada produce la función dada.

La diferencial

La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente, es decir: dy= f (x) . Δ x donde:

- F´ (x) es la derivada de una función.- Δ x es el incremento de la variable independiente.

La diferencial se utiliza para calcular cuánto aumenta o disminuye el valor de una función cuando el valor de la variable independiente se incrementa o disminuye en una pequeña cantidad.

dy= f (x) . Δ x

Ejemplo: encontrar la diferencial de las siguientes funciones:

Regla: xa=axa−1

Ejemplo 1

Y= x6

- Remplazar: dy= f´(x )6 . Δ x- Entonces: dy= f´6 x5 . Δ x

Ejemplo 2

Y= 6 x3−x+3

- Remplazar: dy= f´(6 x3−x+3)6 .Δ x- Entonces: dy= f´18 x2−1 . Δ x

Aproximaciones

Para determinar aproximaciones existe un método sencillo que es el método de Newton-Raphson el objetivo de este método es estimar la solución de una ecuación f (x) = 0 es decir encontrar su raíz, produciendo una serie de aproximaciones que se acerquen a la solución estas son llamadas (iteraciones). Escogemos el primer número x0 de la secuencia y luego en circunstancias favorables el método hace el resto moviéndose paso a paso hacia la raíz.

Procedimiento del método:

1. Tomar o elegir una primera aproximación a las solución de la ecuación f(x)= 0.

2. Usar la primera aproximación para obtener la segunda, la segunda para obtener la tercera y así sucesivamente hasta llegar a la aproximación.

Formula:xn+1=xn−f (xn)f ´ (xn)

Ejemplo: encontrar la aproximación a una raíz de la siguiente función usando el método de newton. Tomando como punto de partida x= 1

F ( x )=x3−x−1

Derivar: F ( x )=x3−x−1 f ´ ( x )=3 x2−1

x1=1

x2=x1−

f (x1 )f ´ (x1)

=1− 13−1−13(1¿¿2 )−1=1.5

¿

x3=x2−

f (x2)f ´ (x2)

=1.5− 1.53−1.5−13 (1.5¿¿2)−1=1.34782

¿

x4= x3−

f (x3 )f ´ (x3 )

=1.34782− 1.347823−1.34782−13(1.34782¿¿ 2)−1=1.32520

¿

x5=x4−

f (x4 )f ´ (x4 )

=1.5− 1.325203−1.32520−13(1.32520¿¿2)−1=1.3247

¿

La Derivada

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto

local, es decir, la derivada representa el grado de inclinación de la línea tangente o la pendiente. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Ejemplo:

n xn−1dx

- f ( x )=4 x2dx

- f ´ ( x )=8x dx

La Anti derivada

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada da como resultado la función dada.

EJEMPLO

Ahora bien tenemos la siguiente función por resolver:

Para poder sacar la anti derivada tenemos que realizar lo que nuestra formula nos indica, n es el exponente de la X se le deberá sumar 1 todo eso quedara en el numerador y repetiremos esa suma de n+1 en el denominador.

Nos debe de quedar de la sig. Manera: 

Hacemos la suma tanto en denominador como en numerador y nos quedaría de la siguiente manera:

Se divide el número 2 que tenemos el numerador con el 2 que se obtuvo en el denominador:

y por ultimo nos quedaría así :

Conclusión

Del presente trabajo se concluyó que existen muchos métodos que podemos utilizar para facilitarnos algún trabajo o problema que se nos presente en un futuro y así poder aplicarlos cotidianamente y las personas que más uso pueden hacer de ellos son los profesionistas como los ingenieros, químicos entre otros, un ejemplo de sus aplicaciones es cuando existe una fuga de agua en un tanque se podrá determinar la cantidad de agua derramada en un determinado tiempo. Este y muchos ejemplos más se nos podrían presentar en la vida cotidiana es por ello que es importante implementar dichos métodos.

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Nayarit

Soporte 5to semestre

Calculo integral

Tema:

-Diferencial

-Aproximaciones

-Derivada

-Anti Derivada

Profesor: Bernardo Cruz Romero

Alumno: Enrique Eliseo González Sánchez

San Juan de abajo Nayarit 24 de septiembre de 2015