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informe completo de la circunferencia, ejercicios resueltos y propuestos.
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MATEMATICA BASICA
UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
Facultad de Ingeniería y ArquitecturaDepartamento de Ciencias
Tema: LA CIRCUNFERENCIA
Docente: ESTRADA CAMACHO, YESSICA
Código Clase: 10018943
Integrantes:
Cajamarca – Perú
2014
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MATEMATICA BASICA
DEDICATORIA:
Dedicamos este pequeño trabajo a nuestra profesora Yessica estrada Camacho,
impulsadora y nuestra colaboradora de conocimientos para la realización de este trabajo. Sin
embargo, hay alguien a quien le debo un enorme abrazo de agradecimiento por impulsar
mis conocimientos sobre matemática.
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AGRADECIMIENTO
Al finalizar un trabajo tan laborioso y lleno de dificultades como es la elaboración de
este , es inevitable no sentirse orgulloso de increíble Azaña y entonces empezamos a
recordar por todo los sacrificios por lo que tuvimos que pasar, por ejemplo descansar
dos o tres hora para luego levantarse para ir a clases o a trabajar, malpasarse en la
comidas, dejar de hacer otras cosas para estar trabajando en tu proyecto o cuando
tuvimos algunos inconvenientes que son muy usuales y que siempre suceden.
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RESUMEN:
El presente trabajo tiene como objetivo general desarrollar un texto de matemática básica,
con un enfoque ambiental que proporcione los medios necesarios para elegir posibles
estrategias de solución a los modelos matemáticos empleados en la ingeniería civil, así
como en los cursos de su especialidad.
El en la primera parte de este informe se habla de las secciones cónicas; historia,
aplicaciones, expresiones analíticas, etc.
El en la segunda parte se habla sobre la circunferencia, la importancia de esta, las
propiedades de la circunferencia y la circunferencia aplica a la ingeniería, etc.
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MATEMATICA BASICA
INDICE
1. RESUMEN………………………………………………………………………………… 1
2. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………….……2
3. HISTORIA DE LAS SECCIONES CONICAS…………………………………………..3
a. SE SIENTAN LAS BASES DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA………2.1
b. LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS………………….2.2
c. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LAS CÓNICAS………………………...2.3
d. EJEMPLOS DE APLICACIÓN EN LA VIDA REAL………...…………2.4
4. SECCIONES CONICAS…….…………………...……………………………….………. 4
a. ELIPSEb. HIPERBOLAc. PARABOLA
5. LA CIRCUNFERENCIA……………..…………………...……………………….………5
a. EJEMPLOS DE APLICACIÓN EN LA VIDA REAL
b. DEFINICION Y PROPIEDADES
I Introducción:
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Muchos descubrimientos importantes, tanto en la Matemática pura como en la
aplicada han tenido relación con las secciones cónicas. El estudio por Apolonio de
las cónicas. En el siglo III a.n.e. fue uno de los trabajos más notable de la
geometría griega. Unos 2000 años más tarde, Galileo descubrió que un proyectil
lanzado horizontalmente desde lo alto de una torre, cae a la tierra describiendo
una trayectoria parabólica (si se prescindiera de la resistencia del aire y se supone
que el movimiento tiene lugar sobre una parte de la superficie terrestre que se
supone plana).
Uno de los momentos cumbres de la historia de la astronomía tiene lugar
alrededor del año 1600, cuando el astrónomo Kepler sugiere que todos los
planetas se mueven en órbitas elípticas. Ochenta años más tarde, Newton
demostraba que las órbitas planetarias elípticas implican la Ley de la gravitación
Universal. En la que la fuerza de atracción es proporcional al inverso del cuadrado
de la distancia entre los cuerpos que se atraen. La teoría de la Gravitación
Universal formulada por Newton se considera algunas veces, como el mayor
descubrimiento científico que se ha realizado. Las secciones cónicas aparecen no
solo en las órbitas de los planetas y satélites, sino también como trayectorias de
partículas atómicas elementales. Estos ejemplos y muchos otros muestran la
importancia de la teoría de las secciones cónicas que difícilmente es estimada en
toda su importancia.
II Historia de las Secciones Cónicas:
Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C. y
el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la
resolución de problemas. Pero un estudio sistemático y racional no comenzó hasta
aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, en la que sobresalieron
por su contribución e importantes logros los matemáticos Euclides, Arquímedes y
Apolonio de Perga.
Una de las primeras obras de las que se tiene conocimiento es Libro de los
lugares sólidos, de Aristeo, que data de finales del siglo IV a.C. En esta obra las
secciones cónicas se obtienen por secciones de cilindros y conos por planos.
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MATEMATICA BASICA
Por algunos escritos de la época se sabe que Euclides, además de Los
Elementos, obra de gran importancia y base de la Geometría clásica, escribió un
tratado en cuatro tomos sobre las secciones cónicas de los que lamentablemente
no se conservó ejemplar alguno.
Todas estas obras quedaron en un segundo plano, pasando algunas al olvido,
después de la aparición de las Cónicas de Apolonio, magnífico compendio en ocho
volúmenes que recogían todo el saber de la época sobre las secciones cónicas.
Después de su aparición ningún otro matemático de la antigüedad realizó esfuerzo
alguno por mejorarla.
Como ha sucedido en numerosas ocasiones; importantes creaciones en
matemáticas no tuvieron un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno
de estos casos es el de las conocidísimas Cónicas, en un principio estudiadas casi
por simple diversión, pero de tan variadas aplicaciones en muchas ramas de la
ciencia.
Como es sabido, fue Apollonius de Perga, en el siglo III a.C. el primero que las
introdujo públicamente, escribiendo el más importante tratado antiguo sobre las
secciones cónicas, aunque ya en el siglo anterior Menaechmus había escrito el
primer tratado sobre cónicas. Lo que no es tan conocido es que el motivo que
origino esta creación no fue precisamente el de explicar las orbitas de los planetas
ni construir aparatos de radar, sino el de buscar soluciones solo con regla y
compas de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos irresolubles,
como son el de la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del
círculo.
La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia,
cerca del año 1000 a.C (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto». Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben
a Apolonio de Perge.
Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas
definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría
analítica, la geometría proyectiva, etc.
Las figuras cónicas, se puede obtener como intersección de una superficie cónica
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con un plano. Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie
engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un
punto fijo sobre dicho eje, mientras que denominamos simplemente cónica a la
curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano, las diferentes
posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse,
hipérbola y parábola.
Apolonio (262-190 A.C.) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas
y encontrar la propiedad plana que las definía.
Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio
el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas. Apolonio demostró que las curvas
cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Quizás las propiedades más
interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas
propiedades de reflexión.
Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa
de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos.
En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de
televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que
parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los
automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el
caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja
como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios
para conseguir una superficie mayor iluminada.
René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con
ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría
Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo
grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría
Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables
representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin
lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece
a la física.
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Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor
del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra
la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a
0.250 de Plutón. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo
gravitatorio es siempre una curva cónica.
2.1. Se sientan las bases de la Geometría Analítica
Cónica es cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie
cónica por un plano que no pasa por su vértice.
El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo a de la superficie cónica y del
ángulo b que forma el plano con el eje e.
Si b > a entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y,
por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si b " a se obtiene una curva abierta. A
continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se pueden dar
según los valores que tome b.
Si b = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.
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Si b > a y b < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más
próximo a a) sea el ángulo b.
Si b = a el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva
abierta llamada parábola.
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Si b < a entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 < b < a) como
cuando es paralelo a él (b = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas
llamada hipérbola.
La excentricidad de una cónica es un número que mide su alargamiento y que
está relacionado con los ángulos a y b.
La excentricidad de la circunferencia es cero. Es decir, las circunferencias no son
nada excéntricas. Las elipses son tanto más excéntricas cuanto más alargadas
son: si una elipse es parecida a una circunferencia su excentricidad es próxima a
cero, mientras que si es muy alargada, su excentricidad es próxima a uno.
Todas las parábolas tienen excentricidad uno. Las hipérbolas tienen una
excentricidad mayor que uno.
2.2. Las cónicas como lugares geométricos
Salvo la circunferencia, las restantes cónicas se pueden definir como lugares
geométricos a partir de un punto fijo F, llamado foco, una recta fija, “d”, llamada
directriz, y su excentricidad, e > 0, del siguiente modo:
El lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el cociente de sus
distancias a F y a d es igual a e (dist PF/dist Pd = e), es una cónica de
excentricidad e.
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2.3. Expresión analítica de las cónicas
Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva
que responde a una ecuación del tipo:
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su
posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores
cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas
degeneradas e incluso cónicas imaginarias.
ELIPSE:Es una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al
cortar una superficie cónica de eje e y ángulo a mediante un plano, que no
pasa por el vértice y que corta a e bajo un ángulo b mayor que a, pero
menor de 90º (a < b < 90º).
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Si a es próximo a cero se obtiene una elipse poco excéntrica. Si a es próximo a
uno se obtiene una elipse muy excéntrica. La elipse puede definirse como lugar
geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F', llamados focos, y
un número fijo k,
La elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma de
distancias a F y F' es igual a k:
d1 + d2 = k.Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado “método del
jardinero”: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un
hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga
tenso el hilo, se recorre la elipse.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
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Centro, O.
Eje mayor, AA´.
Eje menor, BB´.
Distancia focal, OF.
Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las
letras siguientes:
. El eje mayor mide 2a.
El eje menor mide 2b.
La distancia entre focos es 2c.
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Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación:
a2 = b2 + c2
La excentricidad de una elipse se obtiene así: e = c/a
Puesto que c < a se verifica que 0 < e < 1, es decir, la excentricidad de
una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.
Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el
Sol. Las más excéntricas son la de Plutón, e = 0,25, y la Mercurio, e =
0,21. Los restantes planetas tienen órbitas con excentricidades inferiores a
0,1, es decir, casi circulares.
PROPIEDADES DE LA ELIPSE
Si desde un punto P de la elipse se trazan los segmentos PF y PF', la
bisectriz exterior del ángulo que forman estos segmentos es tangente a la
elipse.
Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo
que pasa por uno de los focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por
el otro foco.
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE
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Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje X coincidiendo
con el eje mayor de la elipse y el eje Y coincidiendo con el eje menor, la
ecuación de la elipse adopta la forma siguiente:
que se llama ecuación reducida de la elipse.
HIPÉRBOLA.Una de las cónicas. Se trata de una curva abierta, formada por dos
ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y
ángulo a mediante un plano que no pasa por el vértice y que corta a
e con un ángulo b menor que a.
La hipérbola se puede definir como lugar geométrico del siguiente
modo: dados dos puntos fijos, F y F, llamados focos, y un número
Positivo k,
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La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos, P, tales que la
diferencia de distancias a los focos es igual a k:
|d1 - d2| = k.
La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva
tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las
hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman
hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, r y r, en la hipérbola
destacan los siguientes elementos:
• Centro, O.
• Vértices, A y A.
• Distancia entre los vértices,
• Distancia entre los focos,
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El triángulo de lados a, b, c es rectángulo. Por tanto, se cumple que
b2 = c2 - a2
La excentricidad de una hipérbola es e = c/a.
Puesto que c > a se verifica que e > 1. Es decir, la excentricidad de
cualquier hipérbola es un número mayor que 1.
Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto
de la curva se trazan los segmentos correspondientes a las
distancias de este punto a los focos, la bisectriz del ángulo formado
por ambos segmentos es tangente a la hipérbola.
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Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo
se acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria.
Después se alejarán perdiéndose en los confines del Sistema Solar.
Existe un sistema de ayuda a la navegación, llamado loran, basado
en las hipérbolas y sus propiedades, que permite a los barcos y
aviones determinar su posición, sobre una carta marina.
Expresión Analítica de la Hipérbola
Si situamos el eje X en la línea de los focos de una hipérbola y el eje
Y en la mediatriz del segmento FF, entonces la ecuación de la
hipérbola adopta la expresión siguiente, llamada ecuación reducida
de una hipérbola:
Las asíntotas tienen las ecuaciones
Si a = b, la hipérbola es equilátera. Su ecuación es:
x2 - y2 = a2
Y sus asíntotas son las rectas y = x, y = -x.
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También son hipérbolas equiláteras las curvas de ecuaciones y =
a/x. Sus asíntotas son los ejes coordenados.
.
PARABOLA.Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se
obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo a mediante
un plano que no pasa por el vértice y que corta a e bajo el mismo
ángulo a.
La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una
recta fija llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan
los siguientes elementos:
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• Eje, e.
• Vértice, V.
• Distancia de F a d, p.
La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir,
todas las parábolas tienen excentricidad 1.
Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por
su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se
aleja paralelo al eje.
Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma
parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por
tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar
emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión,
concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también
las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que
cae atraído por la tierra.
Expresión Analítica de la Parábola
Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su
vértice, entonces la ecuación de la parábola es:
y2 = 2px
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MATEMATICA BASICA
Las curvas de ecuación y = ax2 + bx + c también son parábolas. Su eje es
paralelo al eje Y, y su vértice se encuentra en el punto de abscisa -b/2a.
2.4. Ejemplos de Aplicación en la vida real.
PARÁBOLA:
Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos
paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son
muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio
concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado
en la posición del foco.
La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector
parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales
captadoras de energía solar.
Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos
paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies
parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de
una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se
desplaza de la posición focal.
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ELIPSE:
Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al
Sol. También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además se
cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.
Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando
hacen viajes circulares se vuelven elípticas.
En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.
ç
CIRCUNFERENCIA:
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MATEMATICA BASICA
La Circunferencia en la Música
Se utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas. Por ejemplo; Los CD,
piezas ordinarias en la música actual, son una placa circular con un borde que
termina siendo una circunferencia. Al centro se observa un orificio redondo que
sirve para tomar el Cd y para que la radio lo reproduzca. Estas piezas de la
electrónica requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo
tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio y el diámetro.
III Tema
3.1. Circunferencia:
3.1.1. Ejemplos de aplicación en la vida real
La Circunferencia en las Armas.
Como ya hemos dicho, el diámetro es un segmento que une dos puntos de la
circunferencia pasando por el centro, este diámetro es lo que se usa para medir el
tamaño de agujeros como lo es en las armas. Se habla normalmente de pistolas
calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto no es solo un “nombre”, sino que
esto se refiere al tamaño del agujero (cañón) por donde salen los proyectiles
(balas) del arma, usando el tamaño del diámetro y usando una medida milimétrica
para lograrlo.
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MATEMATICA BASICA
La Circunferencia en el Transporte
En el transporte también podemos apreciar la presencia de la Circunferencia, de
hecho, donde se puede notar y ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un conjunto
de tubos metálicos con dos ruedas que aplican la geometría perfectamente: Las
ruedas están hechas de un “arco” . La mejor parte de esto es que la rueda se
afirma desde el centro y desde este salen un montón de alambres delgados
llamados “rayos” y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de la
rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de la rueda es medido en Aro
24, 26, etc. Y esto se hace usando el diámetro.
La Circunferencia en los Deportes
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Quizás parezca que en la única parte en donde podría aplicarse la Circunferencia
en los deportes sería en los balones… Pero no, si solo nos detenemos a pensar
un poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se
practican deportes tienen marcas geométricas y Circunferencias que determinan
situaciones reglamentarias, etc. Los campos de Futbol, las canchas de
Basquetbol, los campos de Futbol Americano y en muchas más.
La Circunferencia, también presente en la Naturaleza
La circunferencia también está presente en la naturaleza, aunque no sea
totalmente precisa.
Los árboles, tipos de vida antiquísimos, crecen con el pasar de los años. Primero
crecen pequeñas ramificaciones desde el suelo. Luego crecen más y con esto va
aumentando el grosor de su Tronco. La circunferencia se aplica entonces debido
a que las personas relacionadas con la Naturaleza como los Ingenieros
Forestales, saben perfectamente que al cortar un árbol, se pueden apreciar
muchos “anillos” que están en el tronco. Y con el “tamaño” de cada anillo, se
puede determinar la edad que tiene cierto árbol. Lo que nuevamente se usa,
entonces, es el diámetro de cada anillo.
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3.1.2. Definiciones y Propiedades.
Definiciones:
Secante de una circunferencia: Es cualquier recta que la corta en dos puntos.
Tangente a una circunferencia: Es cualquier recta que la toque en un punto, y
sólo en uno.
Arco: Es una parte de la circunferencia de un círculo.
Punto exterior a una circunferencia: Es cuando la distancia del punto al centro
es mayor que el radio.
Punto interior de una circunferencia: Es cuando la distancia del punto al
centro es menor que el radio.
Propiedades:
Pro. 1: Toda tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.
Pro. 2: Una recta es tangente a una circunferencia si es perpendicular al
radio.
Pro. 3: Dos circunferencia son iguales si tienen el mismo centro y el mismo
radio (o diámetro).
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CIRCUNFERENCIA
Se conoce como circunferencia a la línea cerrada de formato curvo y
apariencia plana en la cual los puntos resultan equidistantes del punto central
que se localiza en el mismo plano. Esta distancia que separa al conjunto de
puntos y al área central se conoce como radio, mientras que el segmento de
recta que compone un par de radios alineados recibe el nombre de diámetro.
Aunque en el lenguaje cotidiano suelen emplearse como sinónimos, hay que
destacar que circunferencia y círculo no significan una misma cosa. El
círculo, dice la teoría, es el espacio geométrico basado en los puntos que
forman parte de una circunferencia: esto quiere decir que la circunferencia
constituye el perímetro de un círculo.
PROPIEDADES:
TEOREMA DE LAS CUERDAS.
. Si 2 cuerdas se interceptan en el
interior de la circunferencia, el producto de los segmentos determinados en
una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en otra
cuerda.
NP·PQ = RP·PS
TEOREMA DE LAS SECANTES.
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Si 2 rectas secantes interceptan a una
circunferencia, el producto entre el segmento exterior a la
circunferencia con el segmento total en una de las secantes es igual
al producto de los correspondientes segmentos en otra secante.
MP·SP = RP·QP TEOREMA DE LA SECANTE Y LA TANGENTE.
Si desde un punto exterior a una
circunferencia, se traza una tangente y una secante, el cuadrado del
segmento tangente equivale al producto entre el segmento exterior y
el segmento total de la recta secante.
TP² = RP· QP
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