MTODOS NUMRICOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA[MTODOS NUMRICOS]
INFORME DE METODOS NUMERICOSSolucin de Ecuaciones no
LinealesMtodos acotados1. Mtodo de la biseccin
Objetivo: Hallar ceros de funciones continuas; Ir acercando
sistemticamente los extremos del intervalo hasta que obtengamos un
intervalo de anchura suficiente pequea en el que se localiza un
cero.
Variables de entrada: y Variables de salida: xr Variables
auxiliares: t,q,xl,xu Uso del programa y Programa:function [ xr ] =
biseccion( y ) %la funcin recibe una funcin y que depende de x%este
programa retorna el valor de la raz de una%funcin%con un error
aproximado del 0.000001%%recibe la funcin simblica dependiente de
x%se hace un anlisis, graficando la funcin, para poder% elegir bien
el intervalo clc, clear syms x
t=linspace(-50,50,10000);q=subs(y,t);plot(t,q)grid on %se pide el
ingreso de los limitesxl=input('Ingrese el limite inferior:
');xu=input('Ingrese el limite superior: ');xr=0;error=100; if
((subs(y,xu)*subs(y,xl))>0)%sentencia de control para descartar
el intervalo disp(' ') disp('Intervalo no valido para hallar la
raiz') error=0.00001; xr=NaN;end%se inicia el metodo de biseccion,
con un ciclo en este caso while y%error=0.000001%while
(abs(error)>0.000001 %Aqui podemos modificar el error aux=xr;
xr=(xl+xu)/2; fxl=subs(y,xl); %se evalua la funcion en XL
fxr=subs(y,xr); %se evalua la funcion en Xr h=fxl*fxr; %se
multiplican los reultados para f(Xr)*f(XL) if (h0) xl=xr; else
error=0.000001; %en caso de que h=0 se terminan las iteraciones end
error=((xr-aux)/xr)*100; %se calcula el error relativo
aproximadoendend
Ejemplo:
2. Mtodo de Regula-Falsi
Objetivo:
Construir una sucesin de intervalos [an,bn] cada uno de los
cuales contiene un cero.
Variables de entrada: def, xo, x1, tol Variables de salida: x
Variables auxiliares: no hay Uso del programa y Programa:function
raiz=falsa(def,x0,x1,tol)%Metodo de la cuerda o Regla-falsa%def es
la funcion 'ingresada' %x0,x1 son los limites%tol es la
Toleranciaf=inline(def);if f(x0)*f(x1)tol
x=x1-f(x1)*((x1-x0)/(f(x1)-f(x0))); if f(x0)*f(x)=tolerancia
%condicin de terminacin cuando el error sea menor a la tolerancia
X1 = Xn - (subs(Y,Xn)/subs(Ydx,Xn));%formula de Newton-Raphson
error = abs((X1-Xn)/X1);%calculo del errorXn=X1; %asignacin del
nuevo valor de Xn para la siguiente iteracin endend Ejemplo:
2. Mtodo de la secante
Objetivo: Similar al mtodo de regula falsi, es un mtodo
paraencontrar los cerosde una funcin de forma iterativa. Es una
variacin delmtodo de Newton-Raphsondonde en vez de calcular la
derivada de la funcin en el punto de estudio, teniendo en mente la
definicin de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une
la funcin evaluada en el punto de estudio y en el punto de la
iteracin anterior.
Variables de entrada: Variables de salida: xa Variables
auxiliares: t Uso del programa y Programa:
%Implementacin del mtodo de la secante en Matlab function [Xa] =
Secante () syms xy = input('Ingrese la funcin: '); % espacio
opcional en el que hacemos una pre visualizacinsup = input('Ingrese
el lmite superior para ver la grfica: ');infe = input('Ingrese el
lmite inferior para la visualizacin: ');t =
linspace(infe,sup,700);plot(t,subs(y,t))grid onclc %continuamos con
el mtodo y pedimos dos valores iniciales, para Xo y
X1Xo=input('Ingrese un valor para Xo: ');X1=input('Ingrese un valor
para X1: '); %definimos las variables necesariaserror = 100; %valor
arbitrariotolerancia=0.00001; %valor arbitrario que puede ser
modificado o pedido al usuario while error>tolerancia %condicin
para continuar el ciclo el error debe ser minimo Xa=X1-((
subs(y,X1)*(Xo-X1) )/( subs(y,Xo)-subs(y,X1) )); %Xa representa la
varible Xn+1 error = abs((Xa-X1)/Xa); %el error siempre va en valor
absoluto %reasignamos los valores de las variables para continuar
iterando Xo = X1; X1 = Xa;end end Ejemplo:
Sistemas lineales1. Mtodo de Cramer
Objetivo:
Demostrar la regla de Cramer que permite resolver sistemas
cuadradas de ecuaciones lineales usando determinantes.
Variables de entrada: A, m Variables de salida: x Variables
auxiliares: dA,B Uso del programa y Programa:%METODO DE
CRAMERfunction x=cramer(A,m)%A es la matriz de coeficientes%m es el
vector de constantesdA=det(A);if dA==0 x='El sistema no tiene
solucion'; return;end;n=length(m);for i=1:n B=A; B(:,i)=m;
x(i)=det(B)/dA;endx=x';
Ejemplo:
2. Sustitucin Regresiva
Objetivo: El objetivo es construir un sistema triangular
superior equivalente UX = Y que podamos resolver usando el mtodo de
la seccin anterior.
Variables de entrada: A, B Variables de salida: x Variables
auxiliares: n,k Uso del programa y Programa:
function[x]=backsub(A,B)%A matriz triangular superior nxn%B
matriz de orden n*1%x la solucion del sistema lineal
Ax=Bn=length(B);x=zeros(n,1);x(n)= B(n)/A(n,n);for k=n-1:-1:1
x(k)=(B(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k);endend
Ejemplo:
3. Mtodo de gauss
Objetivo: Conseguir que los coeficientes de la diagonal
principal de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes
valgan cero.
Variables de entrada: A, B Variables de salida: X Variables
auxiliares: C,N,j,q Uso del programa y Programa:function [X] =
uptrbk(A,B)%UNTITLED4 Summary of this function goes here% Detailed
explanation goes here[N
N]=size(A);X=zeros(N,1);C=zeros(1,N+1);Aug=[A B];for q=1:N-1
[Y,j]=max(abs(Aug(q:N,q))); C=Aug(q,:); Aug(j+q-1,:)=C;if
Aug(q,q)==0 'A es singular. No hay solucion o no es unica'
breakendfor k=q+1:N m=Aug(k,q)/Aug(q,q);
Aug(k,q:N+1)=Aug(k,q:N+1);end end
X=backsub(Aug(1:N,1:N),Aug(1:N,N+1)); end
Ejemplo:
4. Factorizacin triangular
Objetivo: El objetivo de este mtodo es factorizar la matrizAcomo
el producto de un matriz triangular inferiorLy una matriz
triangular superiorU; y despus resolver el sistemaAX=ben dos etapas
como se muestra a continuacinAX=b, comoA=LUentonces (LU)X=bL(UX)=b,
si se tomaUX=Yresulta LY=b.
Variables de entrada: A, B Variables de salida: X Variables
auxiliares: C,N,C,R.j.k Uso del programa y Programa:function [ X ]
= lufact( A,B )%DATOS% -A es una matriz de orden N x N% -b es una
matriz de orden N x 1%RESULTADO% - x ES LA MATRIZ DE ORDEN N x 1 %
SOLUCION DE A
[N,N]=size(A);X=zeros(N,1);Y=zeros(N,1);C=zeros(1,N);R=1:N;for
q=1:N-1% determinacin de la fila pivote para la columna
q-sima[max1,j]=max(abs(A(q:N,q)));%Intercambio en las filas q-sima
y
j-simaC=A(q,:);A(q,:)=A(j+q-1,:);A(j+q-1,:)=C;d=R(q);R(q)=R(j+q-1);R(j+q-1)=d;if
A(q,q)==0 'A es singular no hay solucion o es unica'
breakend%calculo del multiplicador ,%que se guarda en la parte
subdiagonal de Afor k=q+1:N mult=A(k,q)/A(q,q); A(k,q)=mult;
A(k,q+1:N)=A(k,q+1:N)-mult*A(q,q+1:N);endend%resolucion para hallar
YY(1)=B(R(1));for k=2:N
Y(k)=B(R(k))-A(k,1:k-1)*Y(1:k-1);end%resolucion para hallar
xX(N)=Y(N)/A(N,N);for k=N-1:-1:1
X(k)=(Y(k)-A(k,k+1:N)*X(k+1:N))/A(k,k);end end
Ejemplo:
Mtodos Iterativos para sistemas Lineales1. Mtodo de Jacobi
Objetivo: Encontrar las aproximaciones de los valores de las
variables de un sistema de ecuaciones lineales, por medio de la
realizacin de varios clculos, los cuales se realizan por etapas,
obteniendo as aproximaciones por cada etapa.
Variables de entrada: A, B, P, delta, max1 Variables de salida:
X Variables auxiliares: j,P Uso del programa y Programa:function [
X ] = jacobi( A,B,P,delta,max1 )%DATOS% - A es una matriz
invertible de orden N x N% - B es una matriz de orden N x 1% - P es
una matriz de orden N x 1 en el punto inicial% - delta es la
tolerancia para P% - max1 es el numero maximo de iteraciones%
RESULTADOS% - X es una matriz de orden N x 1 % - la aproximacion a
la solucion de Ax = B% - generada por el metodo de iteraciones de
jacobi N = length(B);for k=1:max1 for j=1:N
X(j)=(B(j)-A(j,[1:j-1,j+1:N])*P([1:j-1,j+1:N]))/A(j,j); end
err=abs(norm(X'-P)); relerr=err/(norm(X)+eps); P=X'; if (err0)b.
TRAPECIO COMPUESTO(h0) [2] TRAPECIO COMPUESTO (h0)')disp('[2]
TRAPECIO COMPUESTO(h
