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Informe III de fisica electromagnetica 2014-2
CIRCUITOS RC
A. L. Alvarez, D. Alvarez, P. Acevedo, L. Ardila, L. R. Cogollo, C. L. Tapia Universidad del atlántico Departamento de Física
Fecha de entrega: noviembre 21 de 2014
RESUMEN
Para este laboratorio de Circuitos RC se utilizó un circuito conformado por un capacitor y una resistencia
conectados en paralelo y en serie respectivamente a una fuente de voltaje de 6 voltios. El experimento consiste
en conocer y observar los procesos de carga y descarga de un capacitor con la influencia de un resistor, para
esto fue necesario ir registrando los datos del voltaje y la corriente que varían con respecto al tiempo. Una vez
obtenido los datos se procede a graficar al Voltaje vs tiempo, y Corriente respecto al tiempo, observando que
ambas graficas no son lineales. Entonces para conocer la rapidez con la que se carga el capacitor es necesario
hallar la constante de tiempo 𝝉.
Palabras claves: circuito, voltaje, tiempo, capacitor.
1. INTRODUCCION
La realización de esta experiencia está basada en las importantes aplicaciones que presenta un capacitor cuando se estudian los circuitos RC. Se considera un circuito RC a todo aquel circuito compuesto indispensablemente por: una parte, una asociación de resistencias, y otra, un único condensador (se incluyen los casos en que él hay varios capacitores -condensadores- que se pueden reducir a uno equivalente), puede tener también fuentes tanto dependientes como independientes. El objetivo fundamental de esta práctica era estudiar la evolución temporal y el comportamiento de un circuito RC de forma práctica. 2. DISCUSION TEORICA
Se llama circuito RC a la combinación en serie de un
capacitor y un resistor.
Dicho circuito puede representar cualquier
conexión de resistores y capacitores cuyo
equivalente sea un solo resistor en serie con un solo
capacitor.
Figura 1. Circuito RC [1]
En la figura 1 se muestra un circuito RC conectado a
una fuente de voltaje continuo. El interruptor tiene
como objetivo cargar y descargar al capacitor.
Para llegar a la expresión que describe la carga y
descarga de un condensador enunciamos las
siguientes fórmulas básicas:
Informe III de fisica electromagnetica 2014-2
Por Ley de Ohm:
𝑉 = 𝐼𝑅 [1]
Por definición de capacitancia:
𝑉𝑐 =𝑄
𝐶 (2)
Por definición de intensidad de corriente:
𝐼 =𝑑𝑄
𝑑𝑡 (3)
Y la constante de tiempo Tau (Ϯ):
𝜏 = 𝑅𝐶 (4)
Descarga:
Procederemos a demostrar la expresión para la
descarga de un condensador:
𝑉(𝑡) = 𝑉0𝑒−𝑡
𝜏 (5)
Podemos considerar al circuito RC como un lazo
cerrado. Luego, la segunda ley de Kirchhoff es
aplicable, es decir:
𝑉𝑐 − 𝑉𝑅 = 0
Ya que ∆V del capacitor actúa como fuente, y la
resistencia genera una caída de potencial.
Por lo tanto:
𝑉𝑅 = 𝑉𝐶
Si reemplazamos 𝑉𝑅 Y 𝑉𝐶 en las formulas (1) y (2) se
obtiene lo siguiente:
𝐼𝑅 =𝑄
𝐶
Ahora se reemplaza utilizando la fórmula (3) sin
embargo con el signo negativo ya que la intensidad
de corriente va disminuyendo con el tiempo:
−𝑑𝑄
𝑑𝑡𝑅 =
𝑄
𝐶
Luego se procede a hacer el siguiente despeje:
𝑑𝑄
𝑄= −
𝑑𝑡
𝑅𝐶
Ahora procedemos a integrar con los respectivos
límites de integración a ambos lados:
∫1
𝑄𝑑𝑄
𝑄𝑡
𝑄0
=−1
𝑅𝐶∫ 𝑑𝑡
𝑡
0
Donde 𝑄(𝑡=𝑜) = 𝑄0
ln(𝑄(𝑡)) − 𝑙𝑛(𝑄0) = 𝑙𝑛 (𝑄(𝑡)
𝑄0) = −
𝑡
𝑅𝐶
𝑄(𝑡)
𝑄0= 𝑒−
𝑡𝑅𝐶
𝑄(𝑡) = 𝑄0𝑒−𝑡
𝑅𝐶
Dividiendo por C, obtenemos:
𝑄(𝑡)
𝐶=
𝑄0
𝐶𝑒−
𝑡𝑅𝐶
De la expresión (2):
𝑉(𝑡) = 𝑉0𝑒−𝑡
𝑅𝐶 (6)
Para la regresión lineal usaremos la expresión (6)
reescrita de la siguiente forma, y reemplazando de
(4):
𝑙𝑛(𝑉(𝑡)) = −𝑡
𝜏+ 𝑙𝑛(𝑉0) (7)
Carga:
Ahora procederemos a demostrar la siguiente
fórmula para la carga de un condensador:
𝑉(𝑡) = 𝑉0 (1 − 𝑒−𝑡𝜏)
Por la segunda ley de Kirchhoff podemos decir que:
0 = −𝑉𝑅 − 𝑉𝐶 + 𝑉0
Donde V0 es el voltaje de la fuente. Luego:
Informe III de fisica electromagnetica 2014-2
𝑉0 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶
Usando (2) y (1) tenemos:
𝑄0
𝐶= 𝐼𝑅 +
𝑄
𝐶
De (3):
𝑄0
𝐶=
𝑑𝑄
𝑑𝑡𝑅 +
𝑄
𝐶
Reordenando:
𝑑𝑡
𝑅𝐶=
𝑑𝑄
(𝑄0 − 𝑄)
Integrando con los respectivos límites:
1
𝑅𝐶∫ 𝑑𝑡
𝑡
0
= ∫𝑑𝑄
(𝑄0 − 𝑄)
𝑄(𝑡)
0
𝑡
𝑅𝐶= − (𝑙𝑛(𝑄0 − 𝑄(𝑡))) − 𝑙𝑛(𝑄(0))
−𝑡
𝑅𝐶= 𝑙𝑛 (
𝑄0 − 𝑄(𝑡)
𝑄0)
Aplicando exponencial y dividiendo por C,
obtenemos:𝑄(𝑡)
𝐶=
𝑄0
𝐶(1 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶)
De la expresión (2):
𝑉(𝑡) = 𝑉0 (1 − 𝑒−𝑡
𝑅𝐶) (8)
Para la regresión lineal usaremos la expresión (8)
reescrita de la siguiente forma, y reemplazando de
(4):
𝑙𝑛(𝑉0 − 𝑉(𝑡)) = −𝑡
𝜏+ 𝑙𝑛(𝑉0) (9)
Para las unidades del Tau (𝜏), tenemos que este es
igual a RC, puesto que la unidad de R es el ohmio (Ω)
y la unidad de C es el faradio (F), pero al mismo
tiempo tengo que un faradio es
(𝑆
𝛺), al usar la ecuación:
𝜏 = 𝑅𝐶
Y reemplazar las unidades de R y C:
𝜏 = (𝛺) (𝑆
𝛺)
Obtengo que la unidad del Tau (𝜏) es el segundo (S).
3. METODOS EXPERIMENTALES
* Carga de capacitor
* Descarga del capacitor
2. Luego se Cerró elinterruptor durante elproceso de carga.
3. Despues se midió losvalores de diferencia depotencial hasta llegar a6.00 V con sus respectivosintervalos de tiempo.
1. Primero se armó elcircuito con el interruptorabierto.
4. Seguidamente setabulo los datos
5. Por ultimo se realizó lasgraficas respectivas confuncion del tiempo.
1. Primero se abrió el interruptor.
2. Luego se desconectó la fuente y unir los puntos
abiertos con un interruptor.
3. Despues se cerró el interruptor durante el proceso de descarga.
4. Seguidamente se procedio a Medir los valores de la diferencia de potencial
hasta el limite estimado, con sus respectivos
intervalos de tiempo.
5. Finalmente se tabuló datos y hacer graficas.
Informe III de fisica electromagnetica 2014-2
4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION
Parte1. Se obtuvieron los resultados mostrados en
la tabla 1 y 2.
Tabla 1. Datos de voltaje y tiempo de la carga del
capacitor con resistencia externa de 6.8 KΩ
Figura 2. Grafica de la variación del voltaje con el
tiempo en el periodo de carga del capacitor con
resistencia externa de 6.8 KΩ
Tabla 2. Datos de voltaje y tiempo de la descarga del
capacitor con resistencia externa de 6.8 KΩ
Figura 3. Grafica de la variación del voltaje con el
tiempo en el periodo de descarga del capacitor con
resistencia externa de 6.8 KΩ
Parte 2.
Tabla 3. Datos de voltaje y tiempo de la carga del
capacitor resistencia externa de 1.0 KΩ
-2
0
2
4
6
8
0 50 100 150
Vo
ltaj
e (
v)
Tiempo (s)
Voltaje Vs tiempo
0
1
2
3
4
5
6
7
0 100 200 300
Vo
ltaj
e (
v)
tiempo(s)
Voltaje Vs tiempoTiempo (s) Voltaje del
capacitor (v)
0 0.00
1 0.0400
4 0.990
10 2.08
25 4.09
40 5.00
71 5.80
97 6.00
Tiempo (s) Voltaje del capacitor (v)
0 6.00
1 5.21
2 4.95
14 3.02
24 2.00
42 1.00
60 0.500
284 0.00
Tiempo (s) Voltaje (v)
0 0.00
2 1.67
3 2.21
4 3.75
7 5.21
10 5.66
11 5.75
15 6.00
Informe III de fisica electromagnetica 2014-2
Figura 4. Grafica de la variación del voltaje con el
tiempo en el periodo de carga del capacitor con
resistencia externa de 1.0 KΩ
Tabla 4. Datos de voltaje y tiempo de la descarga del
capacitor con resistencia externa de 1.0 KΩ
Figura 5. Grafica de la variación del voltaje con el
tiempo en el periodo de descarga del capacitor con
resistencia externa de 1.0 KΩ
Tabla 5. Datos de voltaje y tiempo de la carga del
capacitor de 2200 µF con resistencia externa de 6.8
KΩ
Figura 6. Gráfico de la variación del voltaje con el
tiempo en el periodo de carga del capacitor de
2200 µF con resistencia externa de 6.8 KΩ
0
1
2
3
4
5
6
7
0 20 40 60
Vo
ltaj
e(v
)
Tiempo(s)
Volatje Vs tiempo
0
1
2
3
4
5
6
7
0 20 40 60 80
Vo
ltaj
e(v
)
Tiempo (s)
Voltaje Vs Tiempo
Tiempo (s) Voltaje (v)
0 6.00
3 4.71
4 3.29
5 2.54
6 2.10
7 1.92
10 0.950
51 0.00
Tiempo(s) Voltaje (v)
0 0.00
3 1.00
7 2.17
11 3.06
16 4.00
26 5.02
40 5.68
63 6.00
Tiempo (s) Voltaje(v)
0 6.00
2 5.78
4 4.89
9 3.62
12 2.83
18 1.94
30 0.860
126 0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
0 5 10 15 20
Vo
ltaj
e(v
)
Tiempo(s)
Voltaje Vs tiempo
Informe III de fisica electromagnetica 2014-2
Tabla 6. Datos de voltaje y tiempo de la descarga
del capacitor de 2200 µF con resistencia externa de
6.8 KΩ
Figura 7. Gráfico de la variación del voltaje con el
tiempo en el periodo de descarga del capacitor de
2200 µF con resistencia externa de 6.8 KΩ
Para cada caso se tomaron medidas de la diferencia
de potencial hasta los (6.00V) entre las placas del
capacitor a intervalos de tiempo irregulares. Se tuvo
en cuenta que al cerrar el circuito la corriente
máxima tarda breves instantes en alcanzarse y a
partir de dicho valor máximo comienzan las
medidas. Cuando la diferencia de potencial en el
circuito fue constante se consideró por terminado el
proceso de carga.
En cada uno de los gráficos se muestra como es el comportamiento del voltaje a medida que avanza el tiempo tanto en un proceso de carga como de descarga del capacitor cuyos valores medidas contra el tiempo se muestran en la tabla 1,3 y 5. Como era de esperarse por teoría, el voltaje en un proceso de carga del capacitor crece de forma no lineal a medida del tiempo avanza (véase ecuación 8), esto es debido a que con ayuda de un resistor se transfiere carga en forma de corriente por medio de
una fuente con una fem ε, a medida que el capacitor
se carga, su voltaje aumenta y la diferencia de potencial a través del resistor disminuye, lo que
corresponde a una baja de la corriente. La suma de
estos dos voltajes vendría a ser igual a fem (ε).
Después de cargado completamente el capacitor está cargado por completo, la corriente baja a cero y la diferencia de potencial a través del resistor se vuelve cero. En ese momento aparece la totalidad de la fem de la batería a través del capacitor y su
voltaje será igual al valor de la fem ε (véase figuras
2,4 y 6). [2]. Sucede algo parecido para el proceso de descarga del capacitor (véase tablas 2,4,6) solo que esta vez disminuye en forma no lineal a medida que pasa el tiempo como se muestra en las figuras 3, 5 y 7, en que en un tiempo t=0 el voltaje corresponde al almacenado por el capacitor (6.00V), y que decae en el tiempo debido a que el capacitor se está descargando y las cargas redistribuyendo. A partir del gráfico 3, 5 y 7 junto con la ecuación 6, se podrá extrapolar que pasado cierto tiempo el potencial del sistema se hará nulo [3].
5. CONCLUSION
1. Se comprobó que en un circuito RC conectado a una fuente de voltaje, una resistencia influye en el tiempo en que se carga un capacitor, ambos conectados en serie y paralelo respectivamente. 2. En el proceso de carga del capacitor, el voltaje de este capacitor aumenta de forma no lineal a través del tiempo, tendiendo hacia un valor máximo, que correspondería a un valor cercano al voltaje entregado por la fuente de poder. 3. En el proceso de descarga del capacitor, el voltaje disminuye de forma no lineal a través del tiempo, empezando en un valor máximo y tendiendo a cero conforme el tiempo de descarga transcurre. 4. Cuando se descarga el capacitor, la corriente es negativa, porque se invierte el sentido en el cual pasa por el capacitor. Estos valores de corriente varían conforme transcurre el tiempo de descarga,
0
1
2
3
4
5
6
7
0 50 100 150
Vo
ltaj
e (
v)
Tiempo (S)
Voltaje Vs Tiempo
Informe III de fisica electromagnetica 2014-2
comenzando con un valor máximo de corriente y luego tendiendo a cero.
6. PREGUNTAS
1) ¿De qué depende el tiempo de carga y descarga
en un circuito RC?
El tiempo de carga y descarga de un capacitor va a
depender de la magnitud de la capacitancia y del
valor de la resistencia, ya que mientras más
pequeño sea más rápido se darán los eventos. El
tiempo depende de la capacitancia y de la
resistencia total del circuito [3].
2) Encuentre las ecuaciones para carga y descarga
para cada situación dada.
Véase el marco teórico
3) Grafique en una misma hoja el voltaje en la
resistencia y el capacitor
Escogiendo como ejemplo la parte 1 del informe,
por medio de un gráfico se notara el cambio en el
voltaje de la resistencia usada con respecto al
cambio en el voltaje del capacitor cuando este se
comenzó a cargar.
Figura 8. Grafica de la variación del voltaje con el
tiempo en resistor y el periodo de carga del capacitor
con resistencia externa de 6.8 KΩ. nota: Curva azul
(voltaje en el capacitor) y curva naranja (voltaje en
el resistor).
4) ¿Qué ocurre pasado un tiempo de 5𝜏?
Si t=5𝜏 entonces:
𝑉(𝑡) = 𝑉0 (1 − 𝑒−5𝜏𝜏 ) = 𝑉0(1 − 𝑒−5) = 0.993𝑉0
Es decir, transcurrido un tiempo t = 5𝜏, alcanza el
99,3% de su valor final.
5) linealice
Véase los graficos
6) ¿Qué ocurre con la corriente a medida que se
carga un capacitor?
Véase la discusión de resultados
7) ¿los tiempos de carga y descarga en un capacitor
dependerán del voltaje de la fuente?
Si, El tiempo τ, de carga, o descarga, de un capacitor
depende del valor de la capacitancia y de la
resistencia en el circuito, tal que τ = RC. Al tiempo τ
se le conoce también como constante de tiempo,
tiempo de relajación, o tiempo característico del
circuito RC
REFERENCIAS
[1] PAUL ALLEN TIPLER, GENE MOSCA, Física para la
ciencia y la tecnología, Volumen 2, quinta edición,
editorial Reverte, 2005, pag 752, figura 25.37
[2] YOUNG, HUGH D. y ROGER A. FREEDMAN, Física
universitaria, con Física moderna, volumen 2,
decimosegunda edición, PEARSON EDUCACIÓN,
México, 2009, pag 896-899
[3] Stanley Wolf, Richard F. M. Smith. Guía para mediciones electrónicas y prácticas de laboratorio, Prentice Hall, 1999.
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 20 40 60 80 100 120
Vo
ltaj
e (
v)
tiempo (s)
voltaje en el resistor y capacitor contra el tiempo