Informe de Sistemas de Control i

Sistemas de Control I Regulador de altura de parrilla Figueroa, Sergio 9605825-0

Contenido Introduccin Objetivos Seccin 1.1: Mediciones Constantes Momentos de inercia Magnitudes elctricas Constante del lazo de realimentacin Seccin 2.1: Sistema no compensado Funcin de transferencia Error en estado estacionario Lugar de races Estabilidad Respuesta en frecuencia Seccin 3.1: Compensacin Diseo del compensador Error en estado estacionario Respuesta en frecuencia Conclusin Anexo 1: Imgenes del proyecto de parrilla Anexo 2: Hojas de datos

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Introduccin En este trabajo utilizaran los conceptos de control automtico, por lo cual se espera que los resultados sean satisfactorios y acordes a lo estipulado desde un punto de vista puramente terico. Bsicamente se desea construir una parrilla, cuya altura se regulara en forma automtica en funcin de un valor previamente fijado (set point), y en funcin de los cambios de temperatura medidos por el sensor.La meta fundamental es obtener la menor brecha posible entre los resultados tericos y prcticosLa proyeccin del sistema terminado se observar en la seccion de datos tecnicos.

Objetivos En cada etapa del trabajo se espera cumplir con los siguientes objetivos: Determinar los aspectos generales del sistema. Elaborar un proyecto preliminar. Deducir el modelo matemtico de cada etapa de la parrilla. Construir el diagrama en bloques. Realizar una aproximacin por un sistema de segundo orden. Calcular los errores de rgimen permanente sin compensacin. Determinar la estabilidad absoluta y relativa. Especificar los lmites de estabilidad. Diagramar el lugar de races. Realizar el anlisis en frecuencia. Establecer los requisitos de funcionamiento. Disear un compensador acorde a los requerimientos propuestos. Proyectar un modelo fsico del sistema y construirlo. Sacar conclusiones en base a los resultados obtenidos.

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Seccin 1.1: Mediciones Relacin de transformacin n=0,1 que es la relacin de transformacin entrada-salida segn hoja de datos Constantes Antes que nada calculemos la constante de par del motor (Bonfiglioli BS 56A). En base a las hojas de datos del motor obtenemos los siguientes valores: Ktnom < KT< Ktsl 0,41 (Nm/A) < 0672 (Nm/A) < 0,82 (Nm/A) KT=Mn/In= 0,41 Nm/0,61 Amp= 0,672 Nm/A Donde: Ktnom: constante de par nominal Kt: constante de par Ktsl: constante de par sin carga Como se ve, queda fijado un intervalo de valores que puede tomar K T en funcin de las condiciones de funcionamiento, por lo que nos pareci una buena aproximacin interpolar y tomar un valor ms cercano al KTnom.

Por otro lado, se puede deducir que en el sistema de unidades MKS la constante de par es igual a la constante de fuerza contraelectromotrz del motor, por lo tanto:K T =K FEM

Por el lado de los parmetros elctricos del motor, midindolos encontramos que:Ra = 6,25

y queLa 0 Hy

Momentos de inercia y coeficientes de viscosidad El momento de inercia para un cuerpo rgido cilndrico es: 1 J i = mR 2 2 El momento de inercia del motor se obtiene de la hoja de dato del mismo4 J m = .6 10 Kg m 2 1

Por el lado del momento de inercia de la carga, se toma en cuenta que la carga es la parrilla, entonces se toma la ecuacin del momento de inercia de una palca rectangular para el clculo

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Sistemas de Control I Regulador de altura de parrilla Figueroa, Sergio 9605825-0Momento de inercia de una placa rectangular

Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa. Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotacin. El elemento es un rectngulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectngulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

entonces:6 Ic =J L = ,6 26 10 Kg m 2

En el diagrama en bloques utilizamos el momento de inercia equivalente, cuya ecuacin es: J eq = J L .n 2 + J m + P J =1,16 Kg m2 eq

Tambin se tiene en cuenta el momento de inercia trmico del sistema, el cual me introducir otro trmino en la funcin de transferencia. Donde la ecuacin del momento de inercia trmico es:P=

= densidad del material.= 0,36 gr/l c= calor especifico del carbn=3,1401 W/gr k= conductividad trmica del carbn=1,29 W/mK entonces: =1,16(w/ mK) Por el lado de los coeficientes de viscosidad, hemos despreciado aqul que pertenece al motor por ser demasiado pequeo. N m Bm 0 RPM

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Aunque no podamos hacer lo mismo con el que se presenta en la carga. Para calcularlo, consideramos que en rgimen permanente la energa elctrica se disipa en los rozamientos. As se pudo plantear (por el principio de conservacin de la energa) que:2 = e(t ).i (t ) = T (t ). m = Beq . m Beq =

e(t ).i (t ) 0,61Ax.220V = 2 m (1400 RPM ) 2

Beq = 95,85 10 3

N m RPM

Magnitudes elctricas Segn hoja de datos del motor tenemos: In = 0,61A ea = 220V Pn = 0,06kW = 60W

RPM = n = 1400rpmConstante del lazo de realimentacin Con la relacin entre la tensin nominal de operacin del motor y su velocidad de giro nominal podemos deducir la constante del lazo de retorno se obtiene por el cociente entre estos dos valores: KR = 220V 1400 RPMK R = 0,155 mV RPM

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Seccin 2.1: Sistema no compensado Funcin de transferencia El diagrama en bloques del sistema modelado es:

Donde el modelo del motor es:

Figura 5

La funcin de transferencia a lazo abierto es: K T .K fem .n.K r G ( s ).H ( s ) = K s.( sLa + Ra ).( s.J eq + Beq ) donde: J eq = J L .n 2 + J m + J ter Beq = BL .n 2 + Bm Jter== inercia trmica Reemplazando cada una de las constantes obtenemos la FT. particular de nuestro sistema:G ( s ).H ( s ) = K . 0,005 s 6,2.( s1,16 + 95,85 x10 3 )G ( s ).H ( s ) = K . 0,005 s ( s 7,22 + 0,11)

Operando obtenemos:G ( s ).H ( s ) = K . 0,005 ( s 2 7,22 + s 0,11)

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Hemos prefijado que la ganancia esttica sea:K = 150

Con el objeto de obtener un factor de amortiguamiento igual a 0,7

Luego, la funcin de transferencia a lazo cerrado ser: M ( s) = K . K M K r .rc B .R + K T .K fem + K r .K .K M s 2 + s. eq a Ra .J eq

donde se ha definido a K M =

K T .n como la constante resultante del motor. Ra .J eq Sustituyendo las constantes:M (s) = K . 0,005 s 2 + 0,134 s + 0,197

Lugar de races El lugar de races del sistema sin compensar es el siguiente, donde los puntos indican la regin de funcionamiento del sistema cuando la ganancia esttica se dispone en el valor indicado anteriormente.

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A partir de este grfico se puede obtener el valor de los diferentes parmetros caractersticos del sistema como ser de la frecuencia natural no amortiguada, cuyo valor es:n = 0,62rad seg

Analticamente tambin se demuestra que, haciendo la relacion entre las raices de la ecuacin caracterstica del sistema de segundo orden , podemos obtener el valores y calcular el respectivo de n . Como la ecuacin caracterstica es: s2+2ns+n Entonces S1,S2=-+jn1-2 = -+j Como = 0,43 rad/seg n =0,62 rad/seg La respuesta al escaln unitario de este sistema ser:

Luego los diferentes parmetros que se pueden obtener a partir de la respuesta al escaln unitario son: t rebase maximo = t rebase maximo = 1seg n . 1 2 Rebase mx = e 1 + 0,7 t demora = t n 0,8 + 2,5 t subida = t n 3 t s 4% = t n . Estabilidad del sistema-8

1 2Rebase mx =20%

demora

=2, 42 seg

subida

=4,11seg

s 4%

= 6,8seg


Para conocer los lmites de estabilidad del sistema, recurrimos a las tabulaciones de Routh-Hurwitz que nos permiten obtener el margen de valores de K para los cuales el sistema es estable. La ecuacin caracterstica del sistema es: 0,005 1 + G ( s).H ( s ) = 1 + K . = 0 s 7,22 +0,11s +0,005.K =0 s.( s 7,22 + 0,11) La tabulacin ser.2

S2 S1 S0

7,22 0,11 0,005

0,005 0 0

Como se trabaja para valores de K > 0, nunca se produce un cambio de signo y por lo tanto las races son siempre a parte real negativa, con lo cual el sistema nunca se inestabiliza. Respuesta en frecuencia El diagrama de Bode de magnitud y fase correspondiente a nuestro sistema es el que se observa en la siguiente figura:

Figura 8

Estabilidad relativa a partir de Bode. Se puede apreciar a partir del diagrama de fase que el margen de ganancia es infinito, con lo cual, el sistema nunca se har inestable coincidiendo con lo predicho a partir de Routh-Hurwitz. As:G.M . =

Por otro lado, del diagrama de amplitud se observa que el margen de fase es:-9-


P.M . = 87

el cual implica que el sistema tendr un pequeo rebase, consecuencia de un alto valor del factor de amortiguamiento (recordemos que el margen de fase y el factor de amortiguamiento son directamente proporcionales). Error en rgimen permanente Como este es un sistema tipo 1, el nico error cuantificable es aquel que se da cuando la entrada es una rampa cuya magnitud se calcula como: R ess = Kv Donde K v = lim sG ( s) H ( s )s 0

Reemplazando por las ecuaciones obtenidas del sistema fsico: 0,005 K v = lim s.150 K =6,2seg s 0 s.( s7,22 + 0,11) Luego el error a la rampa unitaria (R = 1) es: 1 e ss = e =0,16seg 6,2 seg 1vss

1

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Seccin 3.1: Compensacin Diseo del compensador Analizando los datos obtenidos hasta este punto, nos interesara mejorar la respuesta transitoria del sistema para lograr un menor tiempo de establecimiento y respuesta del sistema a las distintas variaciones. (actualmente es t s = 6 seg ). Esto es posible utilizando un compensador en adelanto. El camino elegido para su diseo ser a travs del lugar de races. Para el diseo del compensador utilizaremos el mtodo de cancelacin de polos. Luego se deber calcular la posicin del polo del compensador para que el ngulo neto obtenido desplace el lugar de races hacia el punto deseado. a. Las condiciones de diseo son: 0,8 ; t s = 3seg A partir de estos valores podemos despejar la magnitud de la frecuencia de resonancia: 3 3 3 ts = n = = n = 1,25 rad seg . n t s . 3seg.0,8 b. La posicin de los polos dominantes del sistema compensado ser: rad Re{ p c } = n = 0,8.1,25 Re{ p d } = 1 seg Im{ p c } = n . 1 2 = 1,25. 1 0,8 2 Im{ p d } = 0,75 Siendop d = (1 0,75)

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Figura 9

c. Observando la figura 6, se deduce que la posicin del cero del compensador ser:z c = ,11 0

el cual coincide con la posicin del polo del sistema. Aplicando la condicin de ngulo en el punto establecido obtenemos que (observando la figura 9): P1 = Zc = 118,59 ; P2 = 143,13 ; PC = ? (2.i + 1) = Z c P1 P2 Pc = P2 Pc = 143,13 Pc = 180 d. La posicin del polo del compensador sobre el eje real ser: 1 Pc = + 0,75 P = 2,08 tan 36,87 c

c =36,87 P

Por lo tanto la funcin de transferencia del compensador1 ser: 1 s+ 1 T Gc = s+ 1 T Con =

Gc =

1 ( s + 0,11) 0,052 ( s + 2,08)

0,11 = 0,052 y T = 3,5 2,08 Utilizando los valores de y T se ha confeccionado el circuito compensador con los siguientes valores:C1 = 2 = C 10 F

T = R1.C1 R1 = Luego como:

3,5 10.10 6 F

R1 =350 K

zc = pc . entonces:

1 = R1.C1 R2C2R 2 = ,26 K 18

R2 = .R1 = 350 K.0,052

El circuito que sirve para implementar la funcin de transferencia del compensador2 es:

1 2

El modelo del compensador utilizado se ha extrado del libro B. Kuo 7ma edicin (Pg. 194-195) Como se observa en la funcin de transferencia del compensador, sta est precedida por un signo menos. Esto nos obliga a implementar un amplificador inversor de ganancia unitaria, cuyo propsito sea entregar la tensin del compensador con signo positivo.

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Por ltimo, la funcin transferencia total del sistema compensado ser: s + 0,11 0,005 1 G ( s ).Gc ( s ).H ( s ) = K '. . s.( s 7,22 + 0,11) s + 2,08 0,052

La ganancia esttica que requiere el sistema para trabajar en el punto deseado es:K'= 400

El diagrama en bloques de este sistema es:

Error en rgimen permanente del sistema compensado

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Como dijimos anteriormente, al modificar la ganancia se modifica el error en rgimen permanente. Considerando nuevamente que es un sistema tipo 1 calculamos el error a la rampa unitaria: s + 0,11 0,005 1 K ' v = lim sG ( s).Gc ( s ).H ( s ) = lim s.400. . s.( s 7,22 + 0,11) s + 2,08 s 0 s 0 0,052 K ' v = 18,49 seg 1e ss =0,054 seg

Luego, el error ser:

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ANEXO 1

Croquis del Regulador de Altura de Parrilla

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Proyecto n 1

Proyecto n2

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ANEXO2

MOTOR: BONFIGLIOLI BS 56 A

TERMOPAR:

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HOJAS DE DATOS DEL MOTOR:

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MODELO: BS 56A

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