UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

FACULTAD DE CIENCIASESCUELA DE FÍSICA

LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL I

FS-0211

II SEMESTRE 2015

INFORME DE LABORATORIO 1

ESTUDIANTE: ANDRÉS CASTILLO ESQUIVEL

CARNÉ: B51659

ASISTENTE: DANNIER CASTRO LEÓN

GRAFICACIÓN

1. Introducción

La graficación es un método para representar, a partir de funciones comorectas, funciones logarítmicas, exponenciales, cuadráticas, entre otras, muchosfenómenos que suceden a nuestro alrededor diariamente, como es en nuestro casoel movimiento. La graficación se puede realizar en diferentes tipos de escalas yasean la normal o las que contienen escalas logarítmicas en sus ejes que general-mente tienen la característica que presentan en forma de una recta a funcionesque en la escala normal presentaban un carácter logarítmico o exponencial.

.Algunas veces es necesario realizar representaciones gráficas utilizando

uno o ambos ejes con escala logarítmica. Las escalas logarítmicas propor-

cionan mecanismos para representar datos con un amplio rango de valores.

Además, proporcionan una forma de identificar ciertas características de

los datos y posibles relaciones matemáticas adecuadas para construir mo-

delos a partir de esos datos".1

1

Muchas veces el movimiento descrito a partir de puntos en una gráfica no re-presenta una función clara, por lo que se utilizan métodos como el método demínimos cuadrados para determinar la ecuación de la recta que representa demejor manera el movimiento descrito:

.El método de mínimos cuadrados es un enfoque más sofisticado del concep-

to gráfico. Más que trazar una recta ajustada de manera visual, el método

de mínimos cuadrados traza la recta por análisis estadístico. Este método

se basa en cálculos matemáticos que encuentran su fundamentación en la

ecuación analítica de la línea recta".2

Los cálculos matemáticos están descritos por la ecuación de una recta y =mx + b, en donde y es la variable dependiente, x la variable independiente, m lapendiente de la recta y b su intersección con el eje y. Las siguientes ecuacionesdescriben el cálculos de m y b mediante el método de mínimos cuadrados, su-

mado al coeficiente de correlación: m =n

∑

xiyi−

∑

xi

∑

yi

n∑

x2

i−(

∑

xi)2, b =

∑

yi−m∑

xi

n,

r =n

∑

xiyi−

∑

xi

∑

yi

√

[n∑

x2

i−(

∑

xi)2][n∑

y2

i−(

∑

yi)2].

Además del método tradicional de graficación a mano y el de mínimos cua-drádos, para la graficación de funciones se cuentan también herramientas pararealizar gráficos a computadora con programas como EXCEL. EXCEL comodice Campos Navas:

.es una herramienta que permite la introducción de datos numéricos y

texto, que brinda herramientas para la realización de cálculos sencillos o

avanzados con los datos insertados".3

EXCEL también contiene funciones para realizar listas, análisis de datos, esta-dística e hipervínculos, así como la herramienta de graficación de funciones apartir de la inserción de puntos, y con la cual podemos obtener la gráfica denuestra función de interés en sí, así como los datos que obteníamos al realizar elmétodo de mínimos cuadrados, como por ejemplo, el coeficiente de correlaciónde la función.Los anteriores métodos de graficación son parte importante en la práctica rea-lizada en el laboratorio, la cual se estará profundizando ando en la siguientesección.

2. Sección Experimental

En la presente práctica se realizó la graficación de diferentes tablas dadasen la Guía de laboratorio. La primera de ella describe el movimiento de una

2

hormiga, con la cual inicialemente, se realizó la graficación del movimiento de lahormiga en papel milimétrico, a partir de los puntos dados en la tabla. Medianteel método de mínimos cuadrados gráfico, se trazó la recta que mejor se ajustaraal comportamiento de la función que describe al movimiento de la hormiga Lue-go mediante la utilización de las fórmulas del método de mínimos cuadrados,se determinó la ecuación de la recta de mejor ajuste trazada en la gráfica y sucoeficiente de correlación R2. Seguido a lo anterior, se utilizó la herramienta gra-ficadora de EXCEL para mostrar la gráfica del movimiento, así como también laecuación de la recta que lo describe y su coeficiente de correlación. El siguientepaso de la práctica fue realizar la graficación de la tabla 3 que describe la varia-ción del periodo de un péndulo simple. Primeramente, se realizó la graficacióncon los puntos dados en la tabla mediante la utilización de papel milimétrico.Luego para lograr mostrar la relación entre el periodo y la longitud como unarecta, se graficó la función con papel del tipo doblemente logarítmico. A partirdel último paso, se realizó el cálculo de la ecuación de la recta que describe el

movimiento, a partir de la relación teórica entre las variables T = 2π√

Lg

, al rea-

lizar propiedades de logarítmos a la ecuación. Seguidamente, se agregaron tresnuevos puntos a la gráfica y se utilizó el método de mínimos cuadrados paradeterminar la ecuación. Con los mismos datos de la variación del periodo delpéndulo, se realizó su graficación con la herramienta de graficación de EXCELen escala común y en escala logarítmica, junto con la ecuación de la curva y sucoeficiente de correlación R2.Por último, se realizó la graficación de la emisión de partículas a partir de Rn226.Al igual que en la anterior graficación, primero se utilizó papel milimétrico paragraficar la función que describe la emisión con los puntos dados en la tabla.Luego, se utilizó papel semilogarítmico con la escala logarítmica en el eje quedescribe la Actividad (eje y). Luego se determinó la ecuación de la recta descritaen el papel semilogarítmico mediante el método de mínimos cuadrados. Segui-damente, se realizó la graficación en EXCEL en escala milimétrica y en escalasemilogarítmica junto con la ecuación y el coeficiente de correlación.

3. Discusión de Resultados

3.1. Movimiento de una hormiga

Posiciónx

(m)11,45 16,49 23,42 25,31 27,09 33,50

Tiempot

(s)1,5 2,3 3,4 3,7 4,3 5,0

Cuadro 1: Movimiento de una hormiga

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Mediante la utilización de las fórmulas del método de mínimos cuadrados ya partir del método de cálculo con la calculadora:

m =n

∑

xiyi−

∑

xi

∑

yi

n∑

x2

i−(

∑

xi)2, b =

∑

yi−m∑

xi

n, r =

n∑

xiyi−

∑

xi

∑

yi

√

[n∑

x2

i−(

∑

xi)2][n∑

y2

i−(

∑

yi)2],

se obtuvieron la ecuación de la recta x = 6, 07t + 2, 43 y el coeficiente de co-rrelación R2 = 0, 99. Al momento en el que se calculó la ecuación de la recta yel coeficiente de correlación mediante la herramienta graficadora de EXCEL, seobtuvieron como ecuación x = 6, 0744t + 2, 4263 y un coeficiente de correlaciónde R2 = 0, 9906.

3.2. Variación del periodo de un péndulo simple

PeriodoT(s)

0,45 0,68 1,0 2,5 2,8 3,2 3,5 3,8 4,0 4,5 5,3 5,7 6,3 7,8 9,0

LongitudL(m)

0,05 0,12 0,25 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0 7,0 8,0 10 15 20

Cuadro 2: Variación del periodo de un péndulo simple

Al graficar en papel milimétrico, se obtiene un gráfico en forma de curva, porlo que al volver a graficar esta vez en papel doblemente logarítmico la funciónse representa como una recta. Se encontró la ecuación de la recta, sin efectuarel método de mínimos cuadrados:

ln (T ) =1

2ln (L) + [ln (2π) −

1

2ln (g)]

ln (T ) =1

2ln (L) + [1, 838 −

2, 28

2]

x1 = 0, 693, x2 = 0, 916, y1 = 1, 045, y2 = 1, 156, m = 0, 502, b = 0, 695.

T = 0, 502L + 0, 695

Al encontrar mediante el método de mínimos cuadrados con los tres puntosagregados en la calculadora y las ecuaciones para cálculo de la ecuación de larecta y el coeficiente de correlación. Respectivamente son: T = 0, 5L + 0, 698 yR2 = 0, 999999

Al calcular la ecuación de la recta y el coeficiente de correlación de la grá-fica mediante la utilización de EXCEL se obtuvo una ecuación de la curva de

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T = 2, 005L0,5016 = e0,695L0,5016 y un coeficiente de correlación de R2 = 0, 9999.

3.3. Emisión de partículas a partir del Rn226

Actividad A (Bq) Tiempo t (s)2000 01389 2964 4669 6465 8323 10224 12156

Cuadro 3: Emisión de partículas a partir del Rn226

Al realizar la construcción de la gráfica en papel milimétrico, notamos quela gráfica toma la forma de una función exponencial, y que al utilizar un papelsemilogarítmico para de nuevo volver a construir la gráfica, ésta toma la formade una recta para la relación entre la actividad y el tiempo. Calculamos laecuación de la recta sin el métodos de mínimos cuadrados. Sea:

A = A0e−αt

ln (A) = ln (A0) + ln (e−αt)

ln (A) = ln (A0) + −αt

α = 5, 48MeV

x1 = 2, x2 = 4, y1 = −3,359, y2 = −14, 32, m = −5, 4805, b = 7, 6 Al realizarel cálculo de la ecuación de la recta descrita en el papel semilogarítmico por elmétodo de mínimos cuadrados con las ecuaciones y en la calculadora se obtienenla ecuación de la recta y el coeficiente de correlación. Respectivamente:

A = 7, 599 − 5, 48t

yR2 = −0,999999

. Al graficar la emisión de partículas a partir del Rn226 en la herramientagraficadora de EXCEL se obtiene una ecuación de la curva de A = 1999e−0,182t

y R2 = 1.

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3.4. Justificación

Entre los métodos de graficación utilizados, podemos decir que entre los queutilizan escalas logarítmicas y las escalas normales que conocemos, nos son másprecisas las escalas logarítmicas para los casos en los cuales al graficar en escalasmilimétricas nos presenten funciones exponenciales, logarítmicas, entre otras, ysea difícil determinar con claridad el comportamiento de lo que se esté repre-sentando dentro del gráfico.

La representación gráfica en forma de rectas nos permite más fácilmente in-terpretar el gráfico, ya que el estudio dentro del ámbito matemático es mássencillo para ecuaciónes que representen rectas a aquellas cuales representenfunciones exponenciales y logarítmicas. Además, a lo anterior se le agrega quela representación de las funciones logarítmicas y su inversa, el crecimiento o eldecrecimiento (según cual sea el caso), se presenta de manera muy acentuada yno permiten poder hacer un análisis preciso del gráfico.También podemos decir que las escalas logarítmicas linealizan los gráficos debi-do a que las escalas logarítmicas utilizan valores proporcionales a los logarítmosde las escalas originales en uno o ambos ejes dependiendo si la función grafica-da milimétricamente es potencial o exponencial, y por lo general al efectuar ellogaritmo de la escala original, la gráfica de la función pasa a empezar a tomaruna representación lineal.

Por otra parte, la graficación, sea en cualquiera de las tres diferentes tipos dehojas especializadas de escalas, logra ser más precisa y más exacta cuando esrealizada a computadora en programas especializados en graficación y estadísti-ca, como por ejemplo EXCEL, no solo en el ámbito de la representación gráfica,si no también los cálculos de las respectivas ecuaciones. Lo anterior se justificadebido a que al realizar manualmente la graficación y el cálculo de las ecuacionespor el método de mínimos cuadrados, se pueden cometer errores de apreciacióny de cálculo, lo que conlleva a que los resultados sean menos precisos, y siemprees necesario obtener los mejores resultados.

4. Referencias

[1] Gilat A.Matlab: Una introducción con ejemplos prácticos.Editorial Rever-té, Segunda Edición, 2005

[2] s.a.Contabilidad de costos: Enfoque gerencial y de gestión. Editorial Pear-son Educación, Segunda Edición, 2001

[3] Campos Navas A. M.Iniciación a Excel XP. Editorial Vértice, TerceraEdición, s.f.

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