Informe Grupal Los Electricos

8/17/2019 Informe Grupal Los Electricos

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ÉTODOS NUMÉRICOS

NGENIERÍAMECÁNICA

YELÉCTRICA


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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

ÍNDICE

CAPITULO I SOLUCIONES DE ECUACIONES NO LINEALES......................INTRODUCCIÓN..........................................................................................

MARCO TEORICO........................................................................................

1.1. CONCEPTOS PREVIOS.......................................................................

1.1.1. Funciones...................................................................................

1.1.1.1. Definición :............................................................................

1.1.1.2. Tipos de funciones................................................................

1.1.2. Cifras Significai!as.....................................................................

1.1.". Ra#$ de una función.....................................................................1.1.%. Error ...........................................................................................

1.1.&. '(u) son *os +)odos nu+)ricos,.............................................10

1.1.-. engua/e de Progra+ación.........................................................11

1.1.0. )odo de aproi+aciones sucesi!as.........................................11

1.2. SO3CI4N DE EC35CIONES NO INE5ES .....................................12

1.2.1. ETODOS (3E 3S5N INTERV5O.............................................12

1.2.1.1. ETODO DE 6ISECCI4N.........................................................13

5. Definición :................................................................................136. TEOREMA DE BOLZANO :..........................................................13

C. CRITERIO DE P5RO...................................................................14

D. 57ORITO DE ETODO DE 6ISECCI4N.................................15

E. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE 6ISECCI4N....................16

1.2.1.2. ETODO DE 5 RE75 F5S5...............................................17

5. DEFINICI4N...............................................................................17

6. TEOREMA DE BOLZANO............................................................18

C. CRITERIO DE P5RO...................................................................18

D. 57ORITO DE ETODO DE RE75 F5S5............................20

E. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE RE75 F5S5................20

1.2.2. ETODOS 56IERTOS................................................................22

1.2.2.1. ETODO DE P3NTO FI8O.......................................................22

5. DEFINICI4N...............................................................................22

6. CONVER7ENCI5........................................................................23

C. 57ORITO DE ETODO DE P3NTO FI8O...............................25

MÉTODOS NUMÉRICOS 1


3/90


D. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE P3NTO FI8O................27

1.2.2.2. METODO DE NEWTON RAPHSON............................................28

5. DEFINICI4N...............................................................................28

6. CONVER7ENCI5.......................................................................28

C. 57ORITO DE ETODO DE NE9TONR5P;SON...................2

D. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE NE9TONR5P;SON.......30

1.2.2.3. METODO DE LA SECANTE.......................................................31

5. DEFINICI4N:..............................................................................31

6. 57ORITO DE ETODO DE 5 SEC5NTE..............................32

C. DI57R55 DE F38O DE 5 SEC5NTE.....................................33

CAPITULO II SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS ALGEBRAICASLINEALES................................................................................................. 34

INTRODUCCI!N........................................................................................35

2.2. CONCEPTOS PREVIOS.....................................................................36

2.2.1. 57E6R5 5TRICI5................................................................36

2.2.1.1. 5TRICES...........................................................................36

2.2.1.2. ORDEN DE 3N5 5TRI


4/90


CAPITULO III REGRESIÓN E INTERPOLACIÓN........................................52

INTRODUCCI!N........................................................................................53

".1. CONCEPTOS PREVIOS.....................................................................54

".1.1. EST5DISTIC5 5PIC5D5 5 5 RE7RESI4N...............................54

".1.1.1. EDI5 5RITETIC5.............................................................54

".1.1.2. DESVI5CI4N EST5ND5R.....................................................54

".1.1.". ERROR EST5ND5R DE DESVI5CI4N....................................54

".1.1.%. V5RI5N


5/90




6/90


CAPITULO I

SOLUCIONES

DE

ECUACIONESNO LINEALES



7/90


INTROD3CCI4N

En ese !n"#$%e se &$esen'n( )e %'ne$' sen*!++'( +#s *#n*e&#s ,s!*#s

%s *#%nes $e+'*!#n')#s *#n e+ e%' /e se )es'$$#++'( )e '+ "#$%' /e

e+ +e*#$ 0'' n' $e%e%,$'n' )e +#s &!*#s /e )e,e *#n#*e$ 4 en'

n' %#!5'*!n !n%e)!''. E++# "'*!+!'$ /e +'s '&+!*'*!#nes se'n %s

e6&e)!'s 4 '%en's( $/e 5e$ *#n s'!s"'**!n /e #,!ene $es+')#s

'n e6'*#s *#%# +#s /e en)$7' *#n +#s %8#)#s 'n'+7!*#s( *'n)# se'

s!,+e 0'*e$+#s )e es' "#$%'.

Re"e$ene ' +'s 8*n!*'s &'$' $es#+5e$ &$#,+e%'s( $e&$esen')#s $

e*'*!#nes '+e,$'!*'s 4 $'s*en)enes( se )es*$!,en s!ee %8#)#s en$e

+#s /e )es'*'n( $ s sen*!++e: B!se**!n( Re+' 9'+s'( Pn# 9!#(

Ne;#n-R'&0s#n 4 Se*'ne.



8/90


5RCO TEORICO1.1. CONCEPTOS PREVIOS.1.1.1.Funciones1.1.1.1. Definición :

Un' "n*!n " )e n *#nn# A en n *#nn# B es n' $e+' /e

0'*e *#$$esn)e$ ' *')' e+e%en# 6 &e$ene*!ene '+ *#nn# A(

n# 4 s#+# n e+e%en# 4 )e+ *#nn# B( ++'%')# !%'en )e 6 $ "(

/e se )en#' 4


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L#s %8#)#s n%8$!*#s en ese *'&7+# es)!'$e%#s +' $es#+*!n )e"n*!#nes NO INE5ES.

1.1.2.Cifras Significai!as



10/90


N@%e$# )e )7!#s /e se &e)en s'$ *#n *#n"!'n'. In*+4en

ene$#s 4 )e*!%'+es.

E/e+p*os:

2(2 1( =2 *!"$'s s!n!"!*'!5's>

2(2 1( < (F32 (F

1.1.".Ra#$ de una función

An'+7!*'%ene : se *#n#*e *#%# $'7 )e n +!n#%!# # )e n' "n*!n "=6>

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*%&+': P#$ ee%&+#( )')' +' "n*!n f ( x )= x2−8 x+16=0 : P+'ne'n)# 4

$es#+5!en)# +' e*'*!n: Se !ene /e 2 4 F s#n $'7*es 4' /e " < .

Ge#%8$!*'%ene : se )e"!ne /e n' $'7 es e+ 5'+#$ # 5'+#$es /e

!ne$se*' '+ ee )e +'s ',s*!s's # ee )e +'s .

1.1.%.Error

En *!e$#s +)odos nu+)ricos( se s'n es/e%'s !e$'!5#s &'$'

*'+*+'$ $es+')#s( 4 se 0'*e +' '&$#6!%'*!n en ,'se ' +'

'&$#6!%'*!n 'ne$!#$( &'$' *'+*+'$ %s 4 %e#$es '&$#6!%'*!#nes.

Ea= X i− X i−1

X i∗100

En es' @+!%'( n#$%'+%ene se $e&!e 0's' /e s 5'+#$ ',s#+# se'

%en#$ /e n' #+e$'n*!' &$e"!')' ES( )#n)e

Es=(0.5∗102−n )

e)'n)# en#n*es )e"!n!)# e+ *$!e$!# )e '*e&'*!n # )e &'$# &'$'

*'+/!e$ %8#)#:

Ea ES

E+ $es+')# se$ *#$$e*# en '+ %en#s n *!"$'s s!n!"!*'!5's

MÉTODOS NUMÉRICOS


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12/90


!ns!*!#nes )e,'n )e'$ )e !n*+!$( en +' "#$%'*!n )e +#s es)!'nes(

es' e%!*'.

1.1.-.engua/e de Progra+ación.L' %'4#$7' )e +#s +e*#$es )e ese !n"#$%e( en)$ en %ene '+n'

!)e' en &$#$'%'*!n( en n +en'e )e '+# n!5e+ &'$' *#%&')#$'(

'+ *#%# MATLAT( MAPLE en$e %*0#s %s. Es#s +en'es )e

&$#$'%'*!n &e$%!en '+ s'$!# es*$!,!$ &$#$'%'s en n' "#$%' en

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5!$'+%ene !n)e&en)!enes )e +' %/!n' en +' *'+ *#$$e$ e+&$#$'%'. Me)!'ne e+ s# )e n &$#$'%' )e *#%&')#$' ++'%')#

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"n)'%en'+ )e +' %/!n' *#n +# /e e+ &$#$'%' se$ '*'+%ene

ee*')#.L' '&'$!*!n )e *')' ne5# +en'e )e &$#$'%'*!n es ,!en $e*!,!)'

$ n ,en &$#%e)!# )e s'$!#s. Es#s +en'es !%nen ne5's

$e+'s /e !enen /e se$ '&$en)!)'s 4 s!,+e%ene *#n"n)!)'s *#n

#$#s +en'es. S!n e%,'$#( *'+/!e$ &e$)#n' $'#n',+e%ene

"+e6!,+e en*#n$'$ *'s )!"!*+')es en ')'&'$se ' n ne5# +en'e

s! es ne*es'$!#. L# %s !%$'ne es +' e*#n#%7'( +#s &$#$'%'s )e

*#%&')#$' +'$#s s#n %4 *'$#s 4 +' *#n5e$s!n )e es#s &$#$'%'s

' #$# +en'e &e)e se$ +' %e#$ '$e'( &e$# !n5#+*$'$ %*0#s

%eses )e $','#. Es' es n' )e +'s $'#nes &$!n*!&'+es $ +'s /e

MAPLE es e+ +en'e esn)'$ en '&+!*'*!#nes )e +' *!en*!' 4

@n!*'%ene )e,e )es&+''$se 0'*!' e+ "$#.1.1.0.)odo de aproi+aciones sucesi!as

Ese %8#)# *#ns!se en &$#ne$ n 5'+#$ !n!*!'+( '&$#6!%')# ' +'

s#+*!n 4( ' &'$!$ )e 8+ #,ene$ n 5'+#$ %e#$')# )e +' $'7 /e es

s#%e!)# ' n' &$e,' )e *#n5e$en*!'( es )e*!$( )e '&$#6!%'*!n 4(

s! )!*0' &$e,' es s&e$')'( en#n*es( e+ 5'+#$ #,en!)# es +'

$es&es' ,s*')' en *'s# )e /e n# se *%&+' +' *#n)!*!n )e



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*#n5e$en*!'( *#n e+ ne5# 5'+#$ se $e&!e e+ &$#*es#( 'n's 5e*es

*#%# se' ne*es'$!#.1.2. SO3CI4N DE EC35CIONES NO INE5ES .

L#s %8#)#s esn)'$ &'$' en*#n$'$ $'7*es( en ene$'+ *'en en )#s

$e's )e &$#,+e%'s &'$e*!)'s en &$!n*!&!#( &e$# "n)'%en'+%ene

)!"e$enes:

'>L' )ee$%!n'*!n )e $'7*es $e'+es )e e*'*!#nes '+e,$'!*'s 4

$'s*en)en'+es. Es's 8*n!*'s se )!se'$#n &'$' )ee$%!n'$ e+

5'+#$ )e n' $'7 s!%&+e )e '*e$)# ' n *#n#*!%!en# &$e5!# )e s

s!*!n '&$#6!%')'.,>L' )ee$%!n'*!n )e #)'s +'s $'7*es $e'+es 4 *#%&+e's )e n

+!n#%!#.Es#s %8#)#s se )!se'$#n es&e*7"!*'%ene &'$' +!n#%!#s.

Dee$%!n'n s!se%!*'%ene #)'s +'s $'7*es )e+ +!n#%!# en +'$

)e s!%&+e%ene n'( )')' n' s!*!n '&$#6!%')'.1.2.1. ETODOS (3E 3S5N INTERV5O.

En ese *'&7+# s#,$e $'7*es )e e*'*!#nes se 'n'+!'n +#s

%8#)#s /e '&$#5e*0'n e+ 0e*0# )e /e n' "n*!n( 7&!*'%ene(

*'%,!' )e s!n# en +' 5e*!n)') )e n' $'7. A es's 8*n!*'s se +es

++'%' métodos que usan intervalos $/e se ne*es!' )e )#s 5'+#$es

!n!*!'+es &'$' +' $'7. C#%# s n#%,$e +# !n)!*'( es#s 5'+#$es )e,en

en*e$$'$ # es'$ n# )e *')' +')# )e +' $'7. L#s %8#)#s &'$!*+'$es

)es*$!#s s#,$e ese &n# e%&+e'n )!"e$enes es$'e!'s &'$' $e)*!$

s!se%!*'%ene e+ '%'# )e+ !ne$5'+# 4 's7( *#n5e$e$ ' +'

$es&es' *#$$e*'.

A)e%s )e +' !+!)') )e +#s %8#)#s $"!*#s &'$' )ee$%!n'$ 5'+#$es !n!*!'+es( '%,!8n s#n @!+es &'$' 5!s'+!'$ +'s &$#&!e)')es )e

+'s "n*!#nes e+ *#%$'%!en# )e +#s %8#)#s n%8$!*#s.

1.2.1.1. ETODO DE 6ISECCI4N5. Definición :



14/90


E+ %8#)# )e B!se**!n &'$' +' $es#+*!n )e +' e*'*!n "=6> < es

n# )e +#s %8#)#s %s 'n!#s 4 e+e%en'+es )e ,@s/e)' )e $'7*es

4 se ,'s' en e+ Te#$e%' )e B#+'n# /e n#s 'se$' +' e6!sen*!' )e('+ %en#s( n' $'7 )e n' "n*!n "=6> en n *!e$# !ne$5'+# ' ,Q( ,'#

*!e$'s *#n)!*!#nes.6. TEOREMA DE BOLZANO :

Se' f : [ a ; b ] → R n' "n*!n *#n!n' en ' ,Q '+ /e "='>" =,> .

En#n*es e6!se c∈(a; b) '+ /e "=*> < .

E+ %8#)# *#ns!se en /e n' 5e !)en!"!*')#s +#s &n#s ' 4 , =*#n

s!n#s #&es#s> se *#ns$4e +' &$!%e$' '&$#6!%'*!n )e +' "#$%'

x i=a+b

2 Le# s!f (a )∗f (b)


15/90


Se )e,e )es'$$#++'$ n *$!e$!# #,e!5# &'$' )e*!)!$ *n)# )e,e

e$%!n'$ e+ %8#)#.

Un' se$en*!' !n!*!'+ se$7' "!n'+!'$ e+ *+*+# *'n)# e+ e$$#$ *#%e!)#

en +' !-8s!%' !e$'*!n se' %en#$ /e e+ e$$#$ &$e"!')#:

E p=0.5× 102−n

Dónde: n es e+ n@%e$# )e *!"$'s s!n!"!*'!5's e6'*'s

E$$#$ *#%e!)# en +' ! - 8s!%' !e$'*!n en ene$'+:

E P=| x i− x i−1 x i |∗100

Si: i es +' $'7 '*'+ 4 i1 es +' $'7 'ne$!#$.E$$#$ *#%e!)# en +' ! - 8s!%' !e$'*!n:

εi=|b−a|

2i+1

En s7nes!s:

|b−a|2

i+1 ∗100


16/90


II. En ese sen)# &'s# e5'+'%#s

A

Bf (¿¿0)

f (¿¿0) y ¿¿

III. E5'+'%#s s! =

A

Bf (¿¿ 0)

f (¿¿ 0)∗¿


17/90"IN

#

.

INICIO

, y n

NO

NO SI


. P'$' e+ &'$e )e+ &$#$'%' se e5'+'$' Ei ≤0.5∗102−n

s! se *%&+e

es' *#n)!*!n en#n*es +' $'7 ,s*')' se$ xi

( &e$# )e n# se$

's7 ( Iter=i+1 ) 4 se $e$es' '+ &'s# n%e$# V.

E. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE 6ISECCI4N


SINO

SI

SI

SI NO


18/90


1.2.1.2. ETODO DE 5 RE75 F5S5.5. DEFINICI4N

E$ %&'()( )* $+ ,R*-$+ "+$/ #*-$+ +$/+ */ +%()+9 )*$ %&'()( )* $+ :/*9 ( $+ */;*+


19/90


M()+)( *$ +$-('%( )*$ %&'()( )* $+ :/*9 * $+

)*9 )* '(%+)( *$ ('* )* $+ /*+'* + $+ +

x

y=f ¿ * $(/ *='*%(/ )* $(/ '*+$(/ ( *$ ** )*

+://+/ * *< )* (/)*+ *$ *'( )*$ '*+$(

(:'**%(/ *$ /-*'* +$-('%( #E %++)+ /(:* ()(

-/ */'? $+ %()+9 **'+)+

6. TEOREMA DE BOLZANO

Se' f : [ a;b ] → R n' "n*!n *#n!n' en ' ,Q '+ /e "='>" =,> .

En#n*es e6!se c∈(a; b) '+ /e "=*> < .

E+ %8#)# *#ns!se en /e n' 5e !)en!"!*')#s +#s &n#s ' 4 , =*#n

s!n#s #&es#s> se *#ns$4e +' &$!%e$' '&$#6!%'*!n )e +' "#$%'

x i=a+b

2 Le# s!f ( a )∗f (b)


20/90


/e +' s#+*!n se en*en$' en xi+1 $ +# 'n# a= xi .P#$ @+!%#(

s!f (a )∗f (b )=0

es +' $'7 )e +' e*'*!n.C. CRITERIO DE P5RO

Se )e,e )es'$$#++'$ n *$!e$!# #,e!5# &'$' )e*!)!$ *n)# )e,e

e$%!n'$ e+ %8#)#.

Un' se$en*!' !n!*!'+ se$7' "!n'+!'$ e+ *+*+# *'n)# e+ e$$#$ *#%e!)#

en +' !-8s!%' !e$'*!n se' %en#$ /e e+ e$$#$ &$e"!')#:

E p=0.5× 102−n

Dónde: n es e+ n@%e$# )e *!"$'s s!n!"!*'!5's e6'*'s

E$$#$ *#%e!)# en +' ! - 8s!%' !e$'*!n en ene$'+:

E P=| x i− x i−1

x i |∗100

Si: i es +' $'7 '*'+ 4 i1 es +' $'7 'ne$!#$.E$$#$ *#%e!)# en +' ! - 8s!%' !e$'*!n:

εi=|b−a|

2i+1

En s7nes!s:

|b−a|2

i+1 ∗100


21/90


I. In$es'%#s +' f ( x )=0 , A 0 G B0 4 n e+ /e se$ e+ n@%e$# )e

*!"$'s s!n!"!*'!5's.

II. En ese sen)# &'s# e5'+'%#s

A

Bf (¿¿0)

f (¿¿0) y ¿¿

III. E5'+'%#s s! =

A

Bf (¿¿ 0)

f (¿¿ 0)∗¿


22/90"IN

#

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INICIO

, y n

NO

NO SI


I. De n# *%&+!$se +# 'ne$!#$ se e5'+'$' e+ e$$#$ en +' en8s!%'

!e$'*!n: Ei=|B

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's7 ( Iter=i+1 ) 4 se $e$es' '+ &'s# n@%e$# V.

E. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE RE75F5S5


NO

SI

SI SI NO


23/90


1.2.2. ETODOS 56IERTOS.En +#s %8#)#s 'ne$!#$es /e s'n !ne$5'+#s( +' $'7 se en*en$'

)en$# )e+ %!s%#( )')# $ n +7%!e !n"e$!#$ 4 #$# s&e$!#$. L'

'&+!*'*!n $e&e!)' )e es#s %8#)#s s!e%&$e ene$' '&$#6!%'*!#nes

%s 4 %s *e$*'n's ' +' $'7. A '+es %8#)#s se +es *#n#*e *#%#

*#n5e$enes 4' /e se '*e$*'n &$#$es!5'%ene ' +' $'7 ' %e)!)'

/e *$e*e e+ n@%e$# )e !e$'*!#nes.

En *#n$'se *#n 8s#s( +#s %8#)#s ',!e$#s /e se )es*$!,en en ese

*'&7+#( se ,'s'n en "$%+'s /e $e/!e$en )e n s#+# 5'+#$ # )e n

&'$ )e e++#s &e$# /e n# ne*es'$!'%ene en*!e$$'n ' +' $'7. C#%#'+es( '+n's 5e*es )!5e$en # se '+e'n )e +' $'7 ' %e)!)' /e *$e*e

e+ n@%e$# )e !e$'*!#nes. S!n e%,'$#( *'n)# +#s %8#)#s ',!e$#s

*#n5e$enG en ene$'+ +# 0'*en %*0# %s $&!)# /e +#s %8#)#s

/e s'n !ne$5'+#s. Se e%&!e' e+ 'n+!s!s )e +#s %8#)#s ',!e$#s

*#n n' 5e$s!n s!%&+e /e es @!+ &'$' !+s$'$ s "#$%' ene$'+ 4

'%,!8n &'$' )e%#s$'$ e+ *#n*e&# )e *#n5e$en*!'.1.2.2.1. ETODO DE P3NTO FI8O.

5. DEFINICI4NEse %8#)# )e !e$'*!n )e n &n# "!# es n %8#)# !e$'!5# /e

&e$%!e $es#+5e$ s!se%'s )e e*'*!#nes n# ne*es'$!'%ene +!ne'+es. En

&'$!*+'$ se &e)e !+!'$ &'$' )ee$%!n'$ $'7*es )e n' "n*!n )e +'

"#$%' f ( x) ( s!e%&$e 4 *'n)# se *%&+'n +#s *$!e$!#s )e *#n5e$en*!'.

C#%# se %en*!#n 'ne$!#$%ene( +#s %8#)#s ',!e$#s e%&+e'n n'

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&'$' +' !e$'*!n )e &n# "!#( $e#$)en'n)# +' e*'*!n f ( x )=¿ 0 )e '+

"#$%' /e 6 /e)e )e+ +')# !/!e$)# )e +' e*'*!n:

x=( x )



24/90


Es' $'ns"#$%'*!n se &e)e ++e5'$ ' *',# %e)!'ne #&e$'*!#nes

'+e,$'!*'s # s!%&+e%ene '$e'n)# 6 ' *')' +')# )e +' e*'*!n

#$!!n'+.

P#$ ee%&+#

x2−2 x+3=0

Se &e)e $e#$)en'$ &'$' #,ene$:

x= x

2+32

M!en$'s /e sin ( x )=0 &e)e $'ns"#$%'$se en +' "#$%' )e +' e*'*!n

'ne$!#$ s%n)#+e 6 ' '%,#s +')#s &'$' #,ene$:

x=sin ( x )+ x

L' !+!)') )e +' e*'*!n 'ne$!#$ es /e &$#$*!#n' n' "$%+' &'$'

&$e)e*!$ n 5'+#$ )e x en "n*!n )e x . De es' %'ne$'( )')' n'

'&$#6!%'*!n !n!*!'+ ' +' $'7 x i , +' e*'*!n 'ne$!#$ se &e)e s'$ &'$'

#,ene$ n' ne5' '&$#6!%'*!n x i+1 ( e6&$es')' $ +' "$%+' !e$'!5':

x i+1=( x i)

C#%# *#n #$'s "$%+'s !e$'!5's )e+ +!,$# e+ e$$#$ '&$#6!%')# )e es'

e*'*!n se &e)e *'+*+'$ s'n)# e+ es!%')#$ )e e$$#$:

|ϵ a|=| xi+1− x x i+1 |100

6. CONVER7ENCI5.

Se' +' "n*!n =6> &'$' e+ !ne$5'+# *e$$')# '(,Q ?'(,Q *#n!n'(

en#n*es se !ene:

'> =6>( see '+ %en#s n &n# "!#.



25/90


,> S! ')e%s( =6> 1( H6 '(,Q( en#n*es e+ &n# "!# es @n!*#

4 s! #%'%#s 6 '(,Q( +' s*es!n 6nX1 < =6n> *#n5e$e '+ &n#

"!# )e =6>.

D!5e$en*!' Un!+'e$'+ ! ( x )>1

C#n5e$en*!' Un!+'e$'+ 0


26/90


D!5e$en*!' B!+'e$'+ ! ( x )


27/90


IV. E5'+'%#s +' ( x0)= " ( 4 *#n!n'%#s

V. E5'+'%#s +' *#n5e$en*!' *#n +' *#n)!*!n (| " |


28/90

SI

NO

.

"IN

D*+%(/

INICIO

, n

DESEJANDO =O AGREGANDO = *'

SI

NO


D. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE P3NTO FI8O.



29/90


1.2.2.2. METODO DE NEWTON RAPHSON

5. DEFINICI4N

Den$# )e #)'s +'s "$%+'s &'$' en*#n$'$ $'7*es e+ %8#)# )eNe;#n-R'&0s#n es +' %s s')'.P'$' e+ %8#)# )e NEWTON-RAPHSON s! e+ 5'+#$ !n!*!'+ )e +' $'7 es

n x0 en#n*es se &e)e $''$ n' 'nene )es)e e+ &n# x0

("= x i >Q.E+ &n# )#n)e es' 'nene !ne$se*' e+ ee 6 $e&$esen'

n' '&$#6!%'*!n %e#$')' )e +' $'7.

y−f ( x0) x− x0

=f # # ( x0)

−f ( x0)f # ( x0)

= x1− x0

x i= x0− f ( x0)f # ( x0)

P#$ +# 'n# )!$e%#s /e +' $'7 es )')' $ +' s!!ene "#$%+'

x i+1= xi− f ( x i)

f # ( x i)

6. CONVER7ENCI5



30/90


P'$' *'+*+'$ e+ e$$#$ en e+ %8#)# )e Ne;#n-R'&0s#n ene%#s /e

ene$ en *en' /e e+ %8#)# se' *#n5e$ene *')$!*'%ene. E+

e$$#$ es '&$#6!%')'%ene &$#$*!#n'+ '+ *')$')# '+ *')$')# )e+e$$#$ 'ne$!#$( )')# $:

E xi+1≅f # # ( xi)2 f # ( x i)

E x i2

C. 57ORITO DE ETODO DE NE9TONR5P;SON

I. In$es'%#s +' f ( x )=0, x0 , n e+ /e se$ e+ n@%e$# )e *!"$'s

s!n!"!*'!5's.

II. C'+*+'%#s f ( x ) , f ! ( x ) , f ! ! ( x ) se!%#s(

III. Se e5'+@' " = ( x0 )=f ( x )∗f ! ! ( x )

[ f ! ( x ) ]2

IV. S! se *%&+e +' s!!ene *#n)!*!n | " |


31/90"IN

K

INICIO

n

M#K

.

NO

SI

NO

SI


I. P'$' e+ &'$e )e+ &$#$'%' se e5'+'$' Ei ≤0.5∗102−n

s! se *%&+e

es' *#n)!*!n en#n*es +' $'7 ,s*')' se$ x i

+1

( 9IN. Pe$# )e

n# se$ 's7 ( Iter=i+1 ) 4 se $e$es' '+ &'s# n@%e$# VI.

D. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE NE9TONR5P;SON



32/90


1.2.2.3. METODO DE LA SECANTE.5. DEFINICI4N:

Un &$#,+e%' "e$e en +' !%&+e%en'*!n )e+ %8#)# )e Ne;#n-R'&0s#n

es e+ )e +' e5'+'*!n )e +' )e$!5')'. An/e es# n# es n !n*#n5en!ene

&'$' +#s +!n#%!#s 4 &'$' %*0's #$'s "n*!#nes( e6!sen '+n's )e

es's *4's )e$!5')'s &e)en se$ e6$e%')'%ene )!"7*!+es )e e5'+'$. En

es#s *'s#s( +' )e$!5')' se &e)e '&$#6!%'$ %e)!'ne n' )!"e$en*!'

)!5!)!)' *#%# se %es$' en +' "!$'.

T',+'



33/90


Es/e%' $'"!*# )e+ %8#)# )e +' se*'ne. Es' 8*n!*' es s!%!+'$ ' +' )e+

%8#)# )e Ne;#n-R'&0s#n en e+ sen!)# )e /e n' '&$#6!%'*!n ' +'

$'7 se *'+*+' e6$'+'n)# n' 'nene )e +' "n*!n 0's' e+ ee 6. S!n

e%,'$#( e+ %8#)# )e +' se*'ne s' n' )!"e$en*!' en 5e )e +' )e$!5')'

&'$' '&$#6!%'$ +' &en)!ene.

f # ( x )=f ( x i−1 )− f ( x i)

xi−1− x

i

Es' '&$#6!%'*!n se &e)e ss!!$ en +' e*'*!n #,en!en)# +'

e*'*!n !e$'!5':

x i+1= x i−

f ( xi)( x i−1− xi)

f ( x i−1 )−f ( x i)

Es' e*'*!n es +' "$%+' &'$' e+ %8#)# )e +' se*'ne. Nese /e e+

&+'ne'%!en# ne*es!' )e )#s &n#s !n!*!'+es )e 6. s!n e%,'$#( )e,!)# '

/e n# se $e/!e$e /e "=6> *'%,!e )e s!n# en$e es#s 5'+#$es( ' ese

%8#)# n# se +e *+'s!"!*' *#%# '/e++#s /e s'n !ne$5'+#s.

6. 57ORITO DE ETODO DE 5 SEC5NTEI. In$es'%#s +' f ( x )=0, x0 , n e+ /e se$ e+ n@%e$# )e *!"$'s

s!n!"!*'!5's.

II. Un' 5e *%&+!)' +' *#n)!*!n 'ne$!#$ se es*$!,!$ ( Iter=i) .

III. E5'+'%#s f ( xi ) , f ! ( xi )



34/90


IV. L' "#$%' !e$'!5' &'$' '&$#6!%'$se ' +' $'7 se )ee$%!n' )e +'

"#$%' xi+1= x0−f ( xi)

[ xi−1− x i

]f ( xi−1 )−f ( x i)

V. e+ e$$#$ en +' en8s!%' !e$'*!n: Ei=| x i− xi−1 xi |VI. P'$' e+ &'$e )e+ &$#$'%' se e5'+'$' Ei ≤0.5∗10

2−n

s! se *%&+e

es' *#n)!*!n en#n*es +' $'7 ,s*')' se$ x i+1 ( 9IN. Pe$# )e

n# se$ 's7 ( Iter=i+1 ) 4 se $e$es' '+ &'s# n@%e$# III.

C. DI57R55 DE F38O DE 5 SEC5NTE



35/90

"IN

NO

K

INICIO

.

n

SI




36/90


CAPITULO IISISTEMA DE

ECUACIONES

SIMULTÁNEAS ALGEBRAICAS

LINEALES



37/90


INTRODUCCIÓNEse ne5# *'&7+#( n#s en"#*'$e%#s( ' +' $es#+*!n )e s!se%'s

)e e*'*!#nes +!ne'+es( +' s#+*!n )e '+es s!se%'s( &e$%!en /e n'

$'n 5'$!e)') )e &$#,+e%'s se $ese+5'n !n*+4en)# +' s#+*!n n%8$!*'

)e e*'*!#nes )!"e$en*!'+es #$)!n'$!'s 4 &'$*!'+es( 'n+!s!s es$*$'+(

#&!%!'*!n.

Ese s!se%' *#ns!se ,s!*'%ene )e n $'n n@%e$# )e

e*'*!#nes s!%+ne's 4 se en)$ /e e+e!$ e+ %e#$ %8#)#. Pes#

/e +'s 8*n!*'s ,s!*'s )e+ '+e,$' %'$!*!'+ s#n $e/e$!)'s en ese

*'&7+#.

P'$' $es#+5e$ #)#s es#s %8#)#s )es*$!#s en ese !n"#$%e(

!+!'$e%#s e+ MAPLE( ECEL( GEOGEBRA( 4 +#s )!"e$enes s#";'$es

/e se 0'n )es'$$#++')# &'$' '0#$$'$ !e%( 4' /e s! se 0'*e

%'n'+%ene se $e/e$!$7' )e %!*0# !e%. Pes# /e es#s &$#$'%'s

n#s '4)'$7'n ' se$ %s &$e*!s#s.



38/90


2.2. CONCEPTOS PREVIOS.

2.2.1. 57E6R5 5TRICI5

2.2.1.1. 5TRICES

Un' %'$!( A "× $ ( es n '$$e+# $e*'n+'$ )e % × n n@%e$#s

)!s&es#s en % "!+'s =$en+#nes> 4 n *#+%n's.

As7 en)$e%#s:

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

E+ s7%,#+# % × n se +ee Y% $ n.

E+ 5e*#$ "!+' = ai 1 , ai 2 , %%%%%%%%%& , a¿¿ se +e ++'%' Y9ILA ! Y.

E+ 5e*#$ *#+%n'

(a1 'a

2 '

&

&

am') se +e ++'%' YCOLUMNA .

a I' Es e+ n@%e$# /e '&'$e*e e +' !-es!%' "!+' 4 +' -es!%' *#+%n' .

E8EPPO:

A<

[ 2

−32 ]

( B


39/90


Se )en#' +'s %'$!*es $: A mxn < [ai' ] # = ai' >(i=1,2,3, %%, m; '=1,2,3 %.. , n )#n)e ai' es +' !- es!%' en$')'(

i= fila, '=columna .

2.2.1.2. ORDEN DE 3N5 5TRI<

E+ #$)en )e n' %'$! es )')# $ e+ &$#)*# mxn ( )#n)e m

!n)!*' e+ n@%e$# )e "!+'s 4 n e+ n@%e$# )e *#+%n's.

E+ *#nn# )e %'$!*es mxn *#n e+e%en#s ai' ( ) se )en#' $

) mxn

.

Es )e*!$ ) mxn={(ai')/a i' ( ) }

S! ) ¿ R G en#n*es

a

(¿¿ i')mxn/ai' R

mxn=¿ ( R .

S! ) ¿* G en#n*es

a

(¿¿ i')mxn/ai'*

mxn=¿ ( * .

2.2.1.". 5TRICES ESPECI5ESL's %'$!*es es&e*!'+es s#n:5. 5TRI< C35DR5D5: S! %


40/90


C. 5TRI< ESC55R: Es +' %'$! )!'#n'+ *4#s e+e%en#s s#n!'+es.

A n=[a11 0 0

0 a22 0

0

⋮

0

0

⋮

0

a33

⋮

0

% 0

% 0

%0

⋮

anm] P#$ +# %en#s '+@n aii es

)!"e$ene )e *e$#.

E8EPOS:

A 4=[2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

−30

0

0

0

0] J Es )e ) 4 x 4 . B5=[

3 0 0 0 0

0 4 0 0 0

0

0

0

0

0

0

2 0 0

0 8 0

0 0 4] Es

)e ) 5 x5

.

D. 5TRI< IDENTID5D: L' %'$! *')$')' I n es +' %'$!

!)en!)') s!( 4 s#+# s! ai'=0 ; si i+ ' y aii=1 .

I n=

[

1 0 0 % 0

0 1 0 % 0

0

⋮

00

0

⋮

00

1 % 0

⋮ % ⋮

00 %%

⋮

1

]

E8EPOS:



41/90


I 2=[1 00 1] ( I 3=

[

1 0 0

0 1 0

0 0 1

]( I 4=

[

1 0 0 0

0 1 0 0

0

0

0

0

1 0

0 1

](

E. 5TRI< TRI5N735R:

a. L' %'$! *')$')' An es

TRI5N735R s&e$!#$ s!ai'=0, para tooi> ' .

A 4=[a110

0

0

a12a22

0

0

a13a23

a330

a14a24

a34a44

]

K. L' %'$! *')$')' A n es

TRI5N735R !n"e$!#$ s!ai'=0, para tooi


42/90


Se' A=

[3

21

−1

50

2

−30

4

24]3 x 4

es n' %'$! )e #$)en 36F.

L' $'ns&es' )e A es #$' %'$! )e #$)en F63( &es# /e se #,!ene!ne$*'%,!'n)# +'s "!+'s $ *#+%n's.

At =[

3

−12

4

2

5

−32

1

0

0

4]

4 x 3

;. 5TRI< SIETRIC5:

Se' +' %'$! *')$')' An= [ai' ] ( A es s!%8$!*' s!( 4 s#+# s! A= At

.

I. 5TRI< 5NTISIETRIC5:

A es 'n! s!%8$!*'( s! − A= At

. 3na +ari$ cuadrada 5 no es

singu*ar siG L so*o siG su deer+inane es diferene de cero.

2.2.1.%. DI57ON5 DE 3N5 5TRI<

D')' +' %'$! *')$')' An= [ai' ] se ++'%' DIAGONAL PRINCIPAL '+*#nn#.

D = a11 , a22 , a33 , % % % & a nn >.

E8EPO:

A4=[ 2 3 −1 5−1 4 3 2

8

4

−13

3 4

2 0 ] D =2( F( 3(> Es +' )!'#n'+ &$!n*!&'+ )e

A4 .

2.2.1.&. TR5


43/90


Se' +' %'$! *')$')' A= [ai' ]n ( se ++'%' $'' )e A( '+ n@%e$# )e.r ( A )=a11 ,+a22+a33+% .. anm =es +' s%' )e +#s e+e%en#s )e +' )!'#n'+

&$!n*!&'+>.

DE E8EPO 5NTERIORG se !ene /e +' )!'#n'+ &$!n*!&'+ es =2(F(3(>( en#n*es +' $'' se$!':

.r ( A 4 )=2+4+3+0 .r ( A 4 )=9

2.2.1.-. 3TIPIC5CI4N DE 5TRICES

E+ &$#)*# )e Amxn=[ai' ] por Bnxp=[b i'] ( se )e"!ne )e+ s!!ene%#)#:

Amxn B nxp=* mxp= [ci' ] G a* Mue c i'=∑) =1

n

ai) b)' G 1≤ i ≤ m ,1 ≤ '≤ p .

E8EPO:

D')'s +'s s!!enes %'$!*es:

A=[5 30 5 ] J B=[−8 0 71 3 2] G /allar AB , A2

So*ución:

AB=[5 3

0 5][−8 0 7

1 3 2 ][ (5,3 )& (1,8 )(0,5 ) & (−8,1 )

(5,3) & (0,3)(0,5) & (0,3 )

(5,3) & (7,2)(0,5) & (7,2)]

AB=[−40+3 0+9 35+60+5 0+15 0+10]

AB=[−37 9 415 15 10]



44/90


A2= A & A=[5 30 5][5 30 5][ (5,3 ) & (5,0 ) (5,3 ) & (3,5 )(0,5 ) & (5,0 ) (0,5 ) & (3,5 ) ][25+0 15+150+0 0+25 ]=[25 300 25 ]

2.2.1.0. DETERIN5NTE DE 3N5 5TRI<

Se' +' %'$! *')$')' A= [ai' ] )e #$)en n( ++'%'$e%#s )ee$%!n'ne

)e +' %'$! A( '+ n@%e$# $e'+ /e es $e+'*!#n')# *#n +#s e+e%en#s ai'

)e +' %'$!.

NOT5CION:

| A| ( et ( A) ( In)!*'n e+ )ee$%!n'ne )e +' %'$! *')$')' A.

L' )e"!n!*!n "#$%'+ )e )ee$%!n'ne es *#%# s!e ' *#n!n'*!n:

et : Rnxn

R

A et ( A )

E+ )ee$%!n'ne es n' "n*!n )e Rnxn

en R( '+ /e et 0'*e

*#$$esn)e$ ' *')' %'$! A n @n!*# n@%e$# $e'+ et 5G /e $

!n)**!n se )e"!ne )e+ s!!ene %#)#.

1>. P'$' n=1, A=a11 en#n*es et ( A )=a11

2>. P'$' n=2, A=[a11 a12a21 a22]entonceset ( A )=a11a22−a21a12

3>. P'$' n=3,



45/90


A=

[

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

]entonces et ( A )=a11|a22 a23a32 a33|−¿

a12|a21 a23a31 a33|+a13|a21 a22a31 a32|

En genera*:

si A=

[

a11 a12 % a1 n

a21 a22 % a2 n

⋮

an 1

⋮

an 2

⋮ ⋮

% anm

]O6SERV5CION: E+ )ee$%!n'ne )e #$)en 3( se &e)e )es'$$#++'$ '$'58s )e+ %8#)# )e sarrus:

Asi :

|

a b c

e f

1 i

|=

|

a

a

b

e

1

be

c

f

i

cf

|=(aei+1c+bf )−(bi+a1fec) . Ese

M8#)# s#+# se '&+!*' ' +#s )ee$%!n'nes )e 363.

| 3 −1 −2−2 2 −3

4 −1 −2|=

|

3

−24

3

−2

−12

−1−1

2

−2−3−2−2−3

|=(−12−4+12)−(−4+9−16)=7

S! A= [ai' ]nes trianularentoncessu eterminantesera :

| A|=a11a22a33 %%% .. ann

2.2.1.=. R5N7O DE 3N5 5TRI<



46/90


Se' +' %'$! A= [ai' ]m× n , )!$e%#s /e e+ $'n# )e +' %'$! A es Y& s!

e6!se n' s,%'$! *')$')' B )e A )e #$)en YP( '+ /e |B|+ 0 4 e+

)ee$%!n'ne )e *'+/!e$ s,%'$! *')$')' )e A )e #$)en %'4#$ /e Bes *e$#.

NOT5CION:

s! A= [ai' ]m ×n ( )en#'%#s p ( A )= P &'$' !n)!*'$ e+ $'n# )e +' %'$! A.

PROPIED5D5DES:

Si A= [ai' ]mxn ( es n' %'$! )e #$)en mxn, se *%&+e /e:

1¿ & p ( A )≤min(m,n) 2¿& A=[ai' ]nimplica p ( A ). OPER5CI4N EEENT5 SO6RE 5S FI5S DE3N5 5TRI<

Un' "#$%' &$*!*' )e 0'++'$: e+ $'n# )e n' %'$!( +' !n5e$s' )e n'

%'$!( e+ )ee$%!n'ne )e n' %'$! 4 +' s#+*!n )e n s!se%' )e

e*'*!#nes +!ne'+es es $e)*!en)# n' %'$! )')' en #$' %'$!

e/!5'+ene( &e$# %s s!%&+e( 0'*!en)# #&e$'*!#nes e+e%en'+es s#,$e +'s

"!+'s )e n' %'$! )')'.

L's #&e$'*!#nes e+e%en'+es /e se 0'*en s#,$e +'s "!+'s )e n' %'$! A= [ai' ]m ×n G s#n:

1>. Pe$%'$ )#s "!+'s.

2>. M+!&+!*'$ ' n' "!+' $ n' es*'+'$.

3>. S%'$ ' n' "!+' e+ %@+!&+# )e #$' "!+'. C#%,!n'n)# es's #&e$'*!#nese+e%en'+es se $e)*e +' %'$! A 0's' *#n5e$!$+' en #$' %'$!e/!5'+ene s!%&+e( s!%!+'$ ' +' s!!ene %'$!.



47/90


3 & * ( A )=

[ I p $ p× (n− p )

$ (m− p ) × p $ ( m− p) (n− p )

]m× n

one : I p esuna matri4 ientia e oren p $ (m− p ) × p esunamatri4nonula

2.2.1.1?. INVERS5 DE 3N5 5TRI<

EISTENCI5 DE 5 INVERS5 DE 3N5 5TRI< C35DR5D5

Un' %'$! *')$')'

A= [ai' ]ntiene inversa⇔ p ( A )=n⇔| A|+ 0

Se' An= [ai' ] ( n' %'$! *')$')' n×n . Se )!*e /e A es !n5e$!,+e #

n# s!n+'$ s! e6!se n' %'$! B )e n ×n '+ /e AB=BA= I n & L'

%'$! B se *#n#*e *#%# !n5e$s' )e A 4 se )en#' )e *#n A−1

.

TEORE5 DE EP5NSION DE 5P5CE O ETODO DE OSENORES COPEENT5RIOS:

Se' +' %'$! *')$')' An= [ai' ] ( )e"!n!%#s:

a. A (i

') es +' s,%'$!

*')$')' /e se #,!enee+!%!n'n)# +' !-es!%' "!+' 4+' -es!%' *#+%n'.

K. | A(i ')| es e+ !-es!%#

%en#$ *#%&+e%en'$!#.

c. 5 i'=(−1)i+ '| A ( i ' )| es

e+ !-es!%# cofacor.

Ee%&+#: se' A 4=[ 2−2

3

8

−35

0

3

−10

7

−2

51

0

4]'>. A ( 23 )=[

2 −3 53 0 0

8 3 4]

,>.

A ( 23 )=[2 −3 53 0 0

8 3 4]→ (−1 )2+1 (3 )|−3 53 4|=81

*>.



48/90


5 23=(−1)2+3| A ( 23 )|→−|

2 −3 53 0 0

8 3 4|=−81

C#n#*!)# +#s *#n*e&#s '>( ,> 4 *> es'%#s &$e&'$')#s &'$' 0'++'$ e+)ee$%!n'ne )e n' %'$! $ %en#$es *#%&+e%en'$!#s.

D')' +' %'$! *')$')'

An= [ai' ]( e+ )ee$%!n'ne )e

A n

es nn@%e$# $e'+:

| A|=ai 1 5 i 1+ai 2 5 i 2+ai 3 5 i3+%%%%%%a¿5 ¿ H1

| A|=a1 '5 1 '+a2 ' 5 2 '+a3 ' 5 3 '+%%%%%%an' 5 n' H2

D#n)e =1> es e+ )es'$$#++# $ *'+/!e$ "!+' )e +' %'$! 4 =2> es e+)es'$$#++# $ *'+/!e$ *#+%n'.

S37ERENCI5:

P'$' *'+*+'$ n )ee$%!n'ne( $ %en#$es *#%&+e%en'$!#s( se *#n5!ene)es'$$#++'$se $ +' "!+' # +' *#+%n' /e en' %s *e$#s.

E8EPO:

[ 2

−23

8

−35

0

3

−10

−7−2

5

1

0

4]→ (−1 )3+1 (3 )|−3 −1 55 0 13 −2 4|+(−1 )3+3 (−7 )| 2 −3 5−2 5 18 3 4|



49/90


→3

|−3 −1 5

5 0 1

3

−35

−2

−10

4

5

1

|−7

| 2 −3 5−2 5 1

8

2

−2

3

−35

4

5

1

|¿3 {[ 0−50−3 ]−[ 0+6−20 ]}−{[ 40−30−24 ]−[ 200+6+24 ] }=3 [−53−(−14 ) ]−7 [−14−230 ]=1591

2.2.1.11.5D83NT5 DE 3N5 5TRI<

Se' +' %'$! *')$')' A= [ai' ]n 4 se' 5 i'=(−1)i+ '| A ( i ' )|& L+'%'$e%#s

')n' )e A =)en#')# $ a'( A) > ' +' %'$!: [5 i' ].

( es )e*!$:

a' ( A )=[5 i' ].

( )#n)e

[5 i' ].

< *of A

A)n' )e A es !'+ '+ *#"'*#$ )e A

TEORE5:

Se' +' %'$! *')$')' A= [ai' ]n G '+ /e | A|+ 0 ( en#n*es:

A &a' ( A)=| A|& I

P$#)*# )e +' %'$! A $ s ')n' < )ee$%!n'ne )e +' %'$! A $ +'%'$! !)en!)') I.

PR3E65:



50/90


1. Se !ene A= [ai' ]n G 4 a' ( A )=[5 i' ].

)n)e:

a. [5 i' ].

es +' %'$! CO9ACTOR )e A

K. 5 i'=(−1)i+ '| A ( i ' )|

c. [5 i' ].

es +' $'ns&es' )e [5 i' ] & P#$ +# 'n#: s! 5 i' es n

e+e%en# )e [5 i' ] ( en#n*es 5 i' es n e+e%en# )e [5 i' ].

.

2. E+ &$#)*# )e A $ a' ( A ) es #$' %'$! [c i' ] ( *4#s e+e%en#s

c i' s#n )e +' "#$%':

c i'=∑) =1

n

ai) 5 ') &

es )e*!$:

A & a' ( A )=[ci' ] ( '+ /e

ci'

=

∑) =1n

ai)

5 ')

&

Dn)e:

a. s! '=i→ cii=∑) =1

n

ai) 5 ') =∑ (−1 )i+ )

ai) et Ai) =et ( A ) , paracual6uier i & K.

' +i → ci'=0

CORO5RIO:

A−1=

1

| A|a' ( A ) , 7i| A|+ 0.

PROPIED5DES:



51/90


P1¿a' ( I )= I & P2¿a' ( A. )=( a' ( A ) ). , 7i| A|+0. P3¿ a' ( A

−1 )=(a' ( A ) )−1 &

P4 ¿a' ( AB )=a' ( B ) &a' ( A ) , 7i| A|+ 0 ,|B|+ 0. P5¿ a' ( An)=(a' ( A ) )n

P6 ¿|a' ( A )|=| A|n−1

P7¿|a'(a' ( A ))|=| A|(n−1)2

S37ERENCI5:

Es's &$#&!e)')es se )e%es$'n '&+!*'n)# e+ *#$#+'$!#

a' ( A )=| A|& A−1 &

2.2.2. TEORE5 DE RO3C;@FRO6ENI3S.Ese e#$e%' n#s &e$%!e *'+*+'$ e+ n@%e$# )e s#+*!#nes )e n

s!se%' )e e*'*!#nes +!ne'+es( en "n*!n )e+ $'n# )e +' %'$! )e

*#e"!*!enes 4 e+ $'n# )e +' %'$! '%&+!')' # '%en')' 's#*!')' '+

s!se%'.¿¿

a11 x1+¿a12 x1+¿a13 x3+¿a21 x1+¿a22 x2+¿ a23 x3+¿a31 x1+¿ ⋮am1 x1+¿ a32 x2+¿ ⋮am 2 x2+¿

a33 x3+

⋮

am 3 x3+

¿

Pe)e se$ es*$!# %e)!'ne n' %'$!.

( A/B)=[ a11 a12 a13a21 a22 a23

a31

⋮

am1

a32

⋮

am2

a33

⋮

am3

% a1 nb1% a2 nb2

%

a2 nb3

⋮

amn bm] A=[ a11 ⋯ a1 n

⋮ ⋱ ⋮

am1 ⋯ amn]



52/90


B=[b1⋮

bm]

En *#n*+s!n:

E6!sen s#+*!#nes &'$' e+ s!se%' s! 4 s#+# s! e+ $'n# )e +' %'$!

*#%&+e' es !'+ '+ $'n# )e +' %'$! !n*#%&+e'.

En#n*es( s! e6!sen s#+*!#nes( ess "#$%'n n s,-es&'*!# '"7n )e 8 n

)e )!%ens!#nes n−r( A ) . A)e%s.

!. S! r( A/B)=n=r(B) en#n*es +' s#+*!n es @n!*'.

!!. S! r( A/B)=r(B)


53/90


( A/B)=

[ a11 a12 a13a21 a22 a23

a31

⋮

am1

a32

⋮

am2

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⋮

am3

% a1 nb1% a2 nb2

%

a2 n

b3

⋮

amn bm]

A=

[ a11 ⋯ a1 n

⋮ ⋱ ⋮

am1 ⋯ amn

]

B=[b1⋮

bm] X =[

x1⋮

xn] En +' "#$%' %'$!*!'+ e+ s!se%' se es*$!,e :

AX =B

2.2.".2. METODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DEECUACIONES ALGEBRECIAS LINELAES : METODODE CRAMER

S! AX =B es n s!se%' )e n-e*'*!#nes *#n n-!n*n!'s

x1, x2, x3 , % & , xn en e+ *'+ | A|+ 0 ( en#n*es e6!se n' s#+*!n

@n!*' ( )')' $ +' "#$%+'s:

x '= 1

| A|∑) =1

n

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D#n)e ∑) =1

n

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$e%&+''$ +' *#+%n'( )e A $ +' %'$! *#%n' B(

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a)' ( es e+ )ee$%!n'ne )e +' s,-%'$! A () / ') /e $es+' )e

'n+'$ +' "!+' 4 +' *#+%n' ( *#n s!n# (−1)) + '

.

En *#n*+s!n ene%#s +' s!!ene "#$%+':



54/90


x '=|* '|| A|

2.2.".". METODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DEECUACIONES ALGEBRECIAS LINELAES : METODODE GAUSS- JORDAN

5*gori+o de* +)odo de 7auss8ordn.!. Tene%#s e+ s!se%' )e e*'*!#nes +!ne'+es( e+ n@%e$# )e

!n*n!'s n.!!. De"!n!%#s +' %'$! *#e"!*!ene=A> ( +' %'$! )e n-

!n*n!'s=>( +' %'$! 8$%!n#s !n)e&en)!enes=B> 4 +'

%'$! '%en')' )e+ s!se%'=AZB>.!!!. Se es*$!,e +' "#$%' %'$!*!'+ A


55/90


Ese %8#)# es %s !+!')# 4 &e$%!e %'ne'$ n '*e$*'%!en# '

+' s#+*!n( 'n#( *#%# se' $e/e$!)#( es )e*!$( &e)e &$e"!'$se n

e$$#.

5*gori+o de* +)odo de 7aussSeide*.

!. De*+'$'%#s +'s e*'*!#nes )e+ s!se%' +!ne'+( 4 e+ n@%e$# )e

*!"$'s s!n!"!*'!5's n.

¿¿

a11 x1+¿a12 x1+¿a13 x3+¿a21 x1+¿a22 x2+¿ a23 x3+¿a31 x1+¿ ⋮

am 1 x1+¿ a32 x2+¿

⋮

am 2 x2+¿a33 x3+%

⋮

am3 x3+%

%

%

& f

¿

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Se$ %'$! )!'#n'+ )#%!n'ne( %'$! s!%8$!*'.!5. Des&e'%#s *')' n' )e +'s 5'$!',+es *#n $es&e*# ' *')'

5'$!',+e 4 #,ene%#s +'s e*'*!#nes ,'se.

x1=b1−a2 x2−a3 x03−⋯−an xn

a1⋮

xn=bm−am 2 x2−am3 x03−⋯−amn−1 xn−1

amn

5. En*#n$'%#s +' &$!%e$' '&$#6!%'*!n( &'$' es# !'+'%#s e+

$es# )e 5'$!',+es ' *e$#( &'$' *'+*+'$ )!*0' 5'$!',+e. x1 [ 1 ] , s i x2= x3=⋯= xn=0 x2 [ 1 ] , s i x1= x1 [ 1 ] , x3= x4=⋯= xn=0

⋮ xn [ 1 ] ,s ix1= x1 [1 ] , x2= x2 [1 ] ,⋯ , xn−1= xn−1 [ 1 ]

5!. E5'+'%#s e+ e$$#$ &'$' *')' 5'$!',+e( ' &'$!$ )e +' sen)'

!e$'*!n.



56/90


Ei= x i−1− x i

xi

5!!. P'$' /e &'$e )e !e$'$ ene%#s /e e5'+'$ s! e+ e$$#$ )e *')'

5'$!',+e es %en#$ /e = 0.5∗10n−2

>( s! se *%&+e es# &'$' *')'

e$$#$ )'$e%#s ( "!n ' +' !e$'*!n.



57/90


CAPITULO III

REGRESIÓN E

INTERPOLACI

ÓN



58/90


INTRODUCCIÓN

Ese !n"#$%e( se )e'++'$' e+ 'ses )e *$5's( $ +#s )!5e$s#s

%8#)#s /e e6!sen 4 /e )e'++'$e %s ')e+'ne( es# n#s '4)'$' en

+#s e6&e$!%en#s *!en7"!*#s( 4' /e '07 se ',+'n )'#s( *#%# &n#s

)!s*$e#( es#s &n#s n#s se$5!$n &'$' )e$ 0'++'$ +' "n*!n /e

en*!e$$e ' )!*0#s &n#s( 's7 /e se )!s*!$n +#s %8#)#s 4 8*n!*'s &'$'

es!%'$ e+ 5'+#$ )e +' "n*!n( ' &'$!$ )e n $ )e )'#s.

E+ %8#)# %s s!%&+e )e 's'$ n' *$5' es $''$ ss &n#s 4

n!$+#s *#n n' +7ne' $e*'. Pe$# +#s $es+')#s )e&en)en )e +' &$e*!s!n

)e /!en $'' +' *$5'. P'$' e+ *'+ se !+!'$'n )!5e$s#s %8#)#s )e

'ses( '&+!*')#s en e+ MAPLE.



59/90


".1. CONCEPTOS PREVIOS.

".1.1.EST5DISTIC5 5PIC5D5 5 5 RE7RESI4N".1.1.1. EDI5 5RITETIC5

L' media aritmética, # ,$e5e%ene +' media, )e n *#nn# )e N n@%e$#s

\1( \2 ( \3(. . .( \N se )en#' 's7: ́ =/e se +ee \ ,'$$'> 4

%'e%!*'%ene es )e"!n!)# 's7:

́ = 1+ 2+ 3+%+ $

$ =

∑i=0

$

i

$

".1.1.2. DESVI5CI4N EST5ND5R

L' des!iación esn)'$ es n' %e)!)' )e+ $')# )e )!s&e$s!n )e +#s

)'#s *#n $es&e*# '+ 5'+#$ &$#%e)!#. D!*0# )e #$' %'ne$'( +' des!iación

esndar es s!%&+e%ene e+ ]&$#%e)!#] # 5'$!'*!n es&e$')' *#n $es&e*#

' +' %e)!' '$!%8!*'. L' )es5!'*!n esn)'$ es n' %e)!)' )e +'

!n*e$e' )e nes$'s %e)!*!#nes.

7 =√ 7t

$ −1

D#n)e 7 t es +' s%' #'+ )e +#s *')$')#s )e +'s )!"e$en*!'s en$e +#s

)'#s 4 +' %e)!'( %!)e +' )!s&e$s!n =5'$!'*!n #'+> en +#s 5'+#$es

#,se$5')#s )e \.

7 t =∑ ( y i−́ )2



60/90


".1.1.". ERROR EST5ND5R DE DESVI5CI4N

7 / X =√ 7r

$ −2

E+ s,7n)!*e 4Z6 )es!n' /e e+ e$$#$ es &'$' n 5'+#$ &$e)!*0# )e 4

*#$$esn)!ene ' n 5'+#$ &'$!*+'$ )e 6. T'%,!8n( #,se$5e /e '0#$'

)!5!)!%#s en$e n 2 )e,!)# ' /e se s'$#n )#s )'#s es!%')#s.

".1.1.%. V5RI5N


61/90


Se !ne$&$e' *#%# n' %e)!)' )e 'se )e +#s )'#s #,se$5')#s 4

&$#$*!#n' e+ $*en'e )e +' 5'$!'*!n #'+ e6&+!*')' $ +' $e$es!n.

S &$!n*!&'+ &$#&s!# es &$e)e*!$ "$#s $es+')#s # &$#,'$ n'

0!&es!s. E+ *#e"!*!ene )ee$%!n' +' *'+!)') )e+ %#)e+# &'$' $e&+!*'$ +#s

$es+')#s( 4 +' &$#$*!n )e 5'$!'*!n )e +#s $es+')#s /e &e)e

e6&+!*'$se $ e+ %#)e+#.

R2=

7 t −7r7t

".1.1.0. COEFICIENTE DE CORRE5CI4N

Es n n@%e$# /e !n)!*' e+ $')# # !nens!)') )e 's#*!'*!n en$e +'s

5'$!',+es e \. S 5'+#$ 5'$7' en$e -1 4 X1 es# es:

R=√ R2



62/90


".2. RE7RESI4N".2.1.1. RE7RESI4N INE5 POR INIOS C35DR5DOS

En ese %8#)# se &$een)e $''$ +' $e*' /e %s se '*e$/e '+ *#nn#

)e )'#s( ' +' *'+ se +e ++'%' +7ne' $e*' )e $e$es!n e6&$es')'

%'e%!*'%ene *#%#:

y=ax+b+error

L#s 5'+#$es )e ' 4 , se &e)en *'+*+'$( '%,!8n e+ e$$#$ )e +' s!!ene

%'ne$':

a=¿

xi¿

¿∑ xi ¿2¿

n∑ ¿n∑ ( xi ) ( y i )−(∑ xi)(∑ yi)

¿

b=´ y

- a ´ x

yi−b−a xi¿2

¿error=∑ ¿



63/90


C'n!"!*'*!n )e+ e$$#$ en +' $e$es!n +!ne'+

E$$#$ esn)'$ )e+ es!%')#

s y x

=√ srn−2

D#n)e e+ s,7n)!*e y

x )es!n' /e e+ e$$#$ es &'$' n 5'+#$ &$e)!*0#

)e 4 4 *#$$esn)e ' n 5'+#$ &'$!*+'$ )e 6

S!: sr=∑ ( y i−f ( xi))2

COE9ICIENTE DE DETERMINACIÓN

r2=

s t −srst

COE9ICIENTE DE CORRELACION

r=√ x2

5*gori+o de regresión inea* por ini+os cuadrados .

!.De"!n!$ +' n,e )e &n#s( n < n%e$# )e &n#s.



64/90


!!. C'+*+'%#s ( +' %e)!' '$!%8!*' )e 6 4 4 ( +' s%' )e #)#s +#s 6(

+' s%' )e #)#s +#s 4 ( +' s%' )e +' %+!&+!*'*!n )e +#s 64( +'

$es' )e +#s 4 *#n +' %e)!' '$!%8!*' )e 4 e+e5')' '+ *')$')#.!!!. C'+*+'%#s e+ '( , ( *#n +'s "#$%+'s $es&e*!5's.!5. De"!n# %! *$5' )e $e$es!n +!ne'+ .

5. C'+*+# +#s &'$%e$#s )e $e$es!n ( S( S4( C.V( S$( S4Z6( r2

( $ .

5!. E5'+# s! S4Z6 S4 ( en#n*es e+ %#)e+# )e $e$es!n es '*e&',+e.

5!!. S! r2

es !'+ ' 1 en#n*es e+ 'se es 1 5'$!',+e ( s! r2

es

!'+ ' *e$# en#n*es e+ 'se n# &$esen' %e#$7's.

Ee%&+#: 'se ' n' +7ne' $e*' +#s 5'+#$es )e 6 4 4

x i 1 2 3 F

y i . 2. 2 F 3. .

S#+*!n:

E+ n@%e$# )e )'#s: n


65/90


En*#n$'%#s: st =∑ ( y i− ́y)2

< 22.1F3

∑ ( xi)

2

=140

∑ ( xi ) ( y i )=119.5

a=n∑ ( x i ) ( y i )−∑ xi∑ y i

n∑( x i)2−(∑ x i)2

a=

7 (119.5 )−28(24 )

7 (140 )−(28)2

a=0.8392857

b=´ y−a ´ x

b=3.4228571−0.839287(4)

b=0.07142857

E$$#$ < ∑ ( yi−b−a xi)2

< .1

< .2

< .3F3

< .32

< .K

< .K2

< .1KK3



66/90


L' s%'#$!' )e+ e$$#$ es: sr=∑ 2.9911

c & v= s y´ y

c & v= 1.9457

3.428571∗100

c & v < .

s y x

=√ srn−2 < √ 2.99117−2 =0.7735

r2=

s t −srst

< 22.7143−2.9911

22.7143 =0.868

r=0.932

s y=√ st n−1

=√ 22.71437−1 =1.9457

(s y )2=3.78572

L' e*'*!n es:

y=ax+b



67/90


y=0.84 x+0.07

".2.1.2. RE7RESI4N NO INE5

L's 8*n!*'s )e $e$es!n n# +!ne'+ se s'n &'$' 's'$ )!$e*'%ene es's

e*'*!#nes ' +#s )'#s e6&e$!%en'+es. S!n e%,'$#( n' '+e$n'!5' %s

s!%&+e es +' )e s'$ %'n!&+'*!#nes %'e%!*'s 4 $'ns"#$%'$ +'s

e*'*!#nes ' +' "#$%' +!ne'+. En se!)' se &e)e '&+!*'$ +' $e$es!n

+!ne'+ s!%&+e &'$' 's'$ +'s e*'*!#nes ' +#s )'#s.

P#$ ee%&+#( +' e*'*!n y=a1eb1 x

se &e)e +!ne'+!'$ %e)!'ne

+#'$!%#s n'$'+es 4 #,ene$:

ln y=

ln a1+

b1 x ln e

Pe$#( 4' /e ln e=1 ( se !ene

ln y= ln a1+b1 x



68/90


P#$ +# 'n# n' $"!*' se%!-+#'$7%!*' )e ln 4 *#n$' x ene$' n'

+7ne' $e*' *#n n' &en)!ene )e b1 4 n' !ne$se**!n )e ln a1 .

L' e*'*!n y=a2 xb2

se &e)e +!ne'+!'$ #%')# +#'$!%#s )e ,'se 1

4 #,ene$:

log y=b2 log x+log a2

De es' "#$%'( n' $"!*' +#'$7%!*' )e log 4 *#n$' log x ene$'

n' +7ne' $e*' *#n n' &en)!ene )e b2 4 n' !ne$se**!n )e log a2 .

L' e*'*!n y=a3 x

b3+ x se +!ne'+!' !n5!$!8n)#+'( 4 se #,!ene:

1

y=b3

a3

1

x+ 1

a3

P#$ +# 'n#( n' $"!*' )e1

y *#n$'1

x se$ +!ne'+( *#n &en)!ene

b3

a3 4 n' !ne$se**!n )e

1

a3 . Es#s %#)e+#s( en ss es')#s

$'ns"#$%')#s( se 's'n s'n)# $e$es!n +!ne'+ &'$' e5'+'$ +#s

*#e"!*!enes *#ns'nes.

Co+enarios genera*es soKre *a regresión *inea*.



69/90


Anes )e *#n!n'$ se )e,e $e*'+*'$ +' n'$'+e' !n$#)*#$!' )e+ %'e$!'+

'ne$!#$ s#,$e $e$es!n +!ne'+. Se 0' en"#*')# en +' "#$%' s!%&+e 4 e+ s#

&$*!*# )e +'s e*'*!#nes &'$' 's'$ )'#s. Se )e,e es'$ *#n*!ene )e/e e6!sen 's&e*#s e$!*#s )e $e$es!n /e !enen !%$'n*!' en +'

s#+*!n )e &$#,+e%'s &e$# /e 5'n %s '++ )e+ '+*'n*e )e ese +!,$#. P#$

ee%&+#( e6!sen '+n's 0!&es!s es')7s!*'s !n0e$enes '+ &$#*e)!%!en#

)e %7n!%#s *')$')#s +!ne'+es '+es *#%#:

1. !ene n 5'+#$ "!# n# es '+e'#$!# 4 se %!)e s!n e$$#$ 2. L#s 5'+#$es )e 4 s#n 5'$!',+es '+e'#$!#s !n)e&en)!enes 4 !enen

#)'s +' %!s%' 5'$!'n'.3. L#s 5'+#$es )e 4 &'$' n' )')' )e,en es'$ )!s$!,!)#s )e

%'ne$' n!"#$%e.

Es's 0!&es!s s#n !%$'nes en e+ )es'$$#++# 4 s# *#$$e*# )e +'

$e$es!n.

5*gori+o de* Regresión no *inea*

!. N,e )e &n#s.!!. L!ne'+!'$ %! e*'*!n se@n e+ ! )e $e$es!n n# +!ne'+ =e6nen*!'+(

en*!'+( +#7s!*'>

EPONENCIAL POTENCIAL LOGISTICA

y=a1eb1 x y=a2 x

b2 y=a3 x

b3+ x

ln y= ln a1+b1 x log y=b2 log x+log a21

y=

b3

a3

1

x+

1

a3



70/90


!. C'+*+# %! ne5' )e &n#s se@n e+ ! )e $e$es!n n# +!ne'+

=e6nen*!'+( en*!'+( +#7s!*'>

EPONENCIAL POTENCIAL LOGISTICA

6 ln l l 1

x

!!. C#n %! ne5' n,e )e &n#s( s'$e REGRESION LINEAL( )#n)e

en*#n$'$e n' $e*'.!!!. I'+# +#s )'#s )e *')' n# se@n e+ ! )e $e$es!n n# +!ne'+

=e6nen*!'+( en*!'+( +#7s!*'>.!5. 9!n'+%ene en*#n$'$e %! *$5' n# +!ne'+.

Para poder enender +s soKre regresión *ogar#+ica +osra+os e*

siguiene e/e+p*o:

L' *$5' +#'$7%!*' y=a∗lnx+b es '%,!8n n' $e*'( &e$# en +'$ )e

es'$ $e"e$!)' ' +'s 5'$!',+es #$!!n'+es e \( es' $e"e$!)' ' lnx 4 ' \.

x y ln x ln2 x ln x∗ y y2

1 3 K1.2 3.F .123 .332 .1K 11.1. .FF .1F3 2.2 22 2 .K31 .F3 1.32 F3 F.1 1.K 1.2K F.F2 1.13. 1.33 1.11 .F1 2F 1.32 1.K21 K.3F FK

F. . 1.F 2.22 K. F2.2



71/90


^ 2.K ^ 3 ^ .K ^ .K ^ 3F.1 ^ 12.2

∑ (ln ( x))2−¿ ln ( x)∑ ln ( x)= 34.5581−4.5(6.5779)7.7798−0.8222(6.5779)

a=∑ ln ( x) y−´ y∑ ln ( x)

¿

a=2.090513

b=´ y−(a∗ln ( ´ x ) )=4.5− (2.090513 ) (0.8222 )=2.78117

En#n*es +' e*'*!n "!n'+ /e %#)e+' e+ s!se%' es:

̂y=2.090513ln x+2.78117

".". INTERPO5CI4N".".1.1. DEFINICI4N

Sn'%#s /e *#n#*e%#s N X1 &n#s ( x0, y 0) ,( x1 , y 0) , ... ,( x $ , y $ ) , )e

+' *$5'

y= f ( x) , D#n)e +'s ',s*!s's xk se )!s$!,4en en n !ne$5'+# QaGbQ )e

%'ne$' /e

a ≤ x0


72/90


f = x > en #)# e+ !ne$5'+# a(bQ n# #,s'ne( s! /e$e%#s *#n#*e$ +' "n*!n

e$$#$ E = x > < f = x > . P = x >( en#n*es s7 ne*es!'$e%#s *#n#*e$ f ( $ +1)

= x > #

,!en n' *#' )e s '%'# *#%#

" =maxa ≤ x ≤ b

{|f ( $ +1)( X )|}

E6!sen "n*!#nes es&e*!'+es y f H x ( /e '&'$e*en en 'n+!s!s

es')7s!*#s # *!en7"!*#s( &'$' +'s /e s+# se )!sne )e n' ',+' )e

5'+#$es es )e*!$( s+# *#n#*e%#s

N X1 &n#s ( x) , y) ) 4 es ne*es'$!# n %8#)# &'$' '&$#6!%'$ f = x > en

',s*!s's /e n# esn ',+')'s. S! e+ e$$#$ )e +#s 5'+#$es ',+')#s es

s!n!"!*'!5#( en#n*es es %e#$ s'$ +#s %8#)#s )e '&$#6!%'*!n. S!( $

e+ *#n$'$!#( +#s &n#s ( x) , y) ) !enen n $')# '+# )e &$e*!s!n(

en#n*es )e%#s *#ns!)e$'$ e+ +!n#%!# y < P = x > /e &'s' $ #)#s

e++#s *#%# n' ,en' '&$#6!%'*!n )e f = x >.

C'n)# x0


73/90


Re*#$)e%#s ,$e5e%ene /e +' "#$%' e"!*!ene )e e5'+'$ n +!n#%!#

P = x >:

P ( x )=a $ x $

+a $ −1 x $ −1

+%+a2 x2

+a1 x+a0

Es e+ %8#)# )e H#$ne$:

P ( x )=(% (a $ x+a $ −1 ) x+%+a1 ) x+a0

".".1.2. INTERPO5CI4N DE 57R5N7E

E+ +!n#%!# )e !ne$+'*!n )e L'$'ne( ese %8#)# s!%&+e%ene es

n' $e"#$%+'*!n )e+ +!n#%!# )e Ne;#n /e e5!' +#s *+*+#s )e +'s

)!"e$en*!'s )!5!)!)'s. C#ns!se en *#ns$!$ e+ +!n#%!# !ne$+')#$ )e

$')# n /e &'s' $ nX1 &n#s = xi ( yi > )e +' "#$%'

Pn ( x )=∑i=0n

=i( x) yi

D#n)e +' "n*!n =i( x) *%&+e =i( x ')


74/90


Pn ( x )=∑i=0

n

f ( xi)∏ '=0 '+ i

n ( x− x i)

( xi− x ')

5*gori+o de Inerpo*ación de 57R5N7E

!.De*+'$# %! n,e )e &n#s ( n@%e$# )e &n#s


75/90


D')# +#s &n#s ( x0 , y0 )=(−6,8) ( ( x1, y 1 )=(6,−16) , ( x2, y2 )=(−1,−2)

)e%#s #,ene$ e+ +!n#%!# )e !ne$+'*!n '$e5es )e +' s!!ene

"#$%+':

Pn ( x )=∑i=0

n

f ( xi)∏ '=0 '+ i

n ( x− x i)

( xi− x ')

=0 ( x )= ( x− x1 ) ( x− x2 )( x0− x1 ) ( x0− x2 )

=( x−6 ) ( x+1 )

60

¿ x

2−5 x−660

=1 ( x )= ( x− x0 )( x− x2)

( x1− x0 )( x1− x2 )= ( x+6 ) ( x+1)

84

¿ x

2+7 x+684

=2 ( x )= ( x− x0 ) ( x− x1)( x2− x0 ) ( x2− x1 )

=−( x+6 ) ( x−6 )

35

¿ x

2−3684

E+ +!n#%!# s#+*!n es



76/90


Pn ( x )=∑i=0

2

=i( x) yi=8 =0 ( x )−16 =1 ( x )−2 =2 ( x )=−4−2 x

".1.1.1. INTERPO5CI4N DE NE9TON CON DIFERENCI5SDIVIDID5S

H'4 #*'s!#nes en +'s /e $es+' @!+ *#ns$!$ 5'$!#s +!n#%!#s

'&$#6!%'nes P 1= x >( P 2= x >(...( PN = x > 4( )es&8s( e+e!$ e+ %s ')e*')# '

nes$'s ne*es!)')es. S! s'%#s +#s +!n#%!#s )e !ne$+'*!n )e

L'$'ne( n# )e +#s !n*#n5en!enes es /e n# se &e)en !+!'$ +#s

*+*+#s $e'+!')#s en +' *#ns$**!n )e PN -1= x > &'$' +' )e PN = x > *')'

+!n#%!# )e,e *#ns$!$se !n)!5!)'+%ene 4 &'$' *'+*+'$ +!n#%!#s )e

$')# e+e5')# es ne*es'$!# 0'*e$ %*0's #&e$'*!#nes. V'%#s ' se!$

'0#$' n *'%!n# )e *#ns$**!n )!s!n#( en e+ *'+ +#s +!n#%!#s )e

!ne$+'*!n( /e se ++'%'$n )e

P1=a0+a1 ( x− x0 )

P2=a0+a1 ( x− x0)+a2 ( x− x0 ) ( x− x1 )

P2=a0+a1 ( x− x0)+a2 ( x− x0 ) ( x− x1 )+a3 ( x− x0 )( x− x1 ) ( x− x2 ) ⋮

P $ =a0+a1 ( x− x0 )+a2 ( x− x0 ) ( x− x1 )+a3 ( x− x0 ) ( x− x1 ) ( x− x2 )+⋯+a $ ( x− x0 ) ( x− x1 ) ( x− x2 ) ⋯ x− x $

Ne;#n( se *'+*+'n %e)!'ne n es/e%' $e*$s!5#:

E+ +!n#%!# PN = x > se #,!ene ' &'$!$ )e PN -1= x > s'n)# +' $e*$$en*!':

P $ = P $ −1 ( x )+a $ ( x− x0 ) ( x− x1 ) ( x− x2)%( x− x $ −1)



77/90


E+ +!n#%!# PN = x > *'+*+')# 's7 es e+ +!n#%!# )e !ne$+'*!n )e

Ne;#n.

C*cu*o de* Po*ino+io de Inerpo*ación de Neon

Sn'%#s /e /e$e%#s en*#n$'$ +#s *#e"!*!enes ai )e #)#s +#s

+!n#%!#s P 1= x >( P 2= x >( ...( PN = x > /e n#s s!$5en &'$' !ne$+'$ n'

"n*!n )')' f = x >. En#n*es *')' Pk = x > es e+ +!n#%!# )e Ne;#n /e

!ene *#%# n#)#s x ( x 1(...( xi . P'$' e+ +!n#%!# P 1= x >( +#s *#e"!*!enes a

4 a1 !enen

f ( x0 )= P 1 ( x0 )=a0+a1 ( x0− x0 )=a0 P#$ 'n#:

x

f (¿¿ 1)= P1 ( x1 )=a0+a1 ( x1− x0 )=f ( x0 )+a1 ( x1− x0 )¿

E+ *+*+# )e +#s *#e"!*!enes se &e)e $e'+!'$ )e "#$%' %s $&!)' 4

sen*!++' !+!'n)# +' n#'*!n )e +'s )!"e$en*!'s )!5!)!)'s. Definición:

Diferencias di!ididas. L's diferencias di!ididas )e n' "n*!n f = x > se

)e"!nen *#%#: +' )!"e$en*!' )!5!)!)' )e #$)en *e$#: f [ xi ]=f ( xi)

L' )!"e$en*!' )!5!)!)' )e &$!%e$ #$)en:

f [ x i−1, x i ]=f [ x i ]−f [ x i−1 ]

x i− x i−1

L' )!"e$en*!' )!5!)!)' )e sen)# #$)en:



78/90


f [ x i−2 , x i−1, x i ]=f [ xi−1 , xi ]−f [ x i−2, x i−1 ]

xi− xi−2

L's )!"e$en*!'s )!5!)!)'s )e #$)en s&e$!#$ se "#$%'n )e '*e$)# *#n +'

s!!ene "$%+' )e $e*$s!n:

f [ x i− ' , xi− '+1 , % , x i ]=f [ x i− '+1, % , xi ]−f [ x i− ' , % , x i−1 ]

x i− x i− '

e se !+!' &'$' *'+*+'$ +' T',+' )e D!"e$en*!'s D!5!)!)'s:

5*gori+o Inerpo*ación NE9TON

!. De"!n# %! n,e )e &n#s( e+ n@%e$# )e &n#s nX1.!!. C'+*+# %!s )!"e$en*!'s )!5!)!)'s )e&en)!en)# '+ n@%e$# e &n#s!!!. M+!&+!*'%#s +'s )!"e$en*!'s )!5!)!)'s *#n ss $es&e*!5#s 5'$!',+es.!5. 9!n'+%ene #,en# %! +!n#%!# )e Ne;#n.



79/90


CAPITULO IV

INTEGRACIÓN

INTRODUCCIÓN



80/90


L' !ne$'*!n es n *#n*e&# "n)'%en'+ )e+ *+*+# 4 )e+ 'n+!s!s

%'e%!*#. Bs!*'%ene( n' !ne$'+ es n' ene$'+!'*!n )e

+'s%' )e !n"!n!#s s%'n)#s( !n"!n!'%ene &e/e#s.

E+ *+*+# !ne$'+( en*')$')# en e+ *+*+# !n"!n!es!%'+( es n' $'%' )e

+'s %'e%!*'s en e+ &$#*es# )e !ne$'*!n # 'n!)e$!5'*!n( es %4

*#%@n en +' !nen!e$7' 4 en +' *!en*!' '%,!8n se !+!' &$!n*!&'+%ene

&'$' e+ *+*+# )e $e's 4 5#+@%enes )e $e!#nes 4 s+!)#s )e $e5#+*!n.

9e s')# $ &$!%e$' 5e $ *!en7"!*#s *#%# A$/7%e)es( Ren8

Des*'$es( Is''* Ne;#n( G#"$!e) Le!,n! e Is''* B'$$#;. L#s $','#s )e

ese @+!%# 4 +#s '$es )e Ne;#n ene$'$#n e+ e#$e%' "n)'%en'+ )e+

*+*+# !ne$'+( /e &$#ne /e +' )e$!5'*!n 4 +' !ne$'*!n s#n

&$#*es#s !n5e$s#s.

Es' @+!%' &'$e )e+ es)!# )e %8#)#s n%8$!*#s( se *#n*e&'+!'$' +#s

)!5e$s#s %8#)#s )e $es#+5e$ !ne$'+es )!"7*!+es )e $es#+5e$( &'$' n

es)!'ne( es&e$'%#s +#$'$ +e se' @!+ #)# +# ,$!n)')# 0's' '0#$'.

".1. CONCEPTOS PREVIOS.".1.1.INTE7R5


https://es.wikipedia.org/wiki/Concepto_primitivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Concepto_primitivohttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttps://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrowhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Concepto_primitivohttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrowhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral


81/90


D')' n' "n*!n f ( x) )e n' 5'$!',+e $e'+ x 4

n !ne$5'+#

[ a , b ] )e +' $e*' $e'+( +' !ne$'+ es !'+ '+ $e' )e

+' $e!n )e+ &+'n# xy +!%!')' en$e +' $"!*' )e ( e+ ee x (

4 +'s +7ne's 5e$!*'+es x=a 4 x=b ( )#n)e s#n ne'!5's +'s

$e's $ )e,'# )e+ ee x .

∫b

a

f ( x ) x

L' &'+',$' ]!ne$'+] '%,!8n &e)e 0'*e$ $e"e$en*!' ' +' n#*!n

)e &$!%!!5': n' "n*!n 9( *4' )e$!5')' es +' "n*!n )')' f .

En ese *'s# se )en#%!n' !ne$'+ !n)e"!n!)'( %!en$'s /e +'s

!ne$'+es $'')'s en ese '$7*+# s#n +'s !ne$'+es )e"!n!)'s.

A+n#s '#$es %'n!enen n' )!s!n*!n en$e !ne$'+es &$!%!!5's

e !n)e"!n!)'s.


https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttps://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttps://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinida


82/90


".2. ETODOS DE INTE7R5CI4N

".2.1.POINOIO DE T5AOR

A$-('%( )* '*-+9 ;( *$ ($(%( )* T+$(

. D*( % '*-+$ ∫a

b

f ( x)x , eclaromi a , b ,

*$ -+)( )*$ ;($(%(

. C+$$( *$ m=a+b

2

,

. C+$$( %/ )*+)+/ )* #= /*- *$ -+)( )+)( .. E+$9 % +)+ * +)+ )*+)+ @* +'*(%*'* +$$*.. R*%;$+ +

( x−m ) f ! (m)1>

+( x−m)2 f ! ! (m)

2 > +% % % % ..

( x−m)n f n(m)n>

. "+$%*'* ∫a

b

P( x )x Y OBTENGO LA AROKIMACI!N.

".2.2. RECT5N73O

A$-('%( )* I'*-+9 R*'+-$+.

. D*( % '*-+$ ∫a

b

f ( x)x , eclaromia , b %*(

)* *'?-$(/.

. C+$$( *$ / =b−a

n

. *alculo , x i=a+ i / ; mi= xi−1+ x i

2

. C( $(/ )+'(/ +'*(*/ +$$+%(/

I = / ∑i=1

n

f (mi )=interalaproximaa

".2.".RE75 DE TR5PECIO



83/90


LA REGLA DEL TRAECIO

L+ regla del trapecio */ $+ ;%*+ )* $+/ 9%$+/ *+)+/ )* '*-+9 )*N*'(. C(*/;()* +$ +/( )()* *$ ;($(%( */ )* ;%* -+)(

I ∫a

b

f ( x)x ?∫a

b

P1( x)x

Do!de" P1 ( x )=( x−b )a−b

f ( a )+( x−a )b−a

f (b )

Re&$esen'*!n $'"!*' )e +' $e+' )e+ $'&e*!#

"(%$+ -**+$ )* $+ *-$+ )*$ '+;*( ;++ ;'(/

∫a

b

f ( x ) x=12[ f ( x0 )+f ( x1 )]

"(%$+ -**+$ )* $+ *-$+ )*$ '+;*( ;++ 1 ;'(/

∫a

b

f ( x ) x=1

2[ f ( x0 )+2 f ( x1 )+2 f ( x2)+2 f ( x3 ) %+2 f ( xn−1 )+ f ( xn )]

Algotitmo de la regla del trapecio

.D*( % '*-+$ ∫a

b

f ( x)x , eclaromi a , b , *$ %*( )* '+;*(/

.C+$$( *$ / =b−a

n ,

.

*alculo , x i=a+ i / ; f ( x i ) ,



84/90


. E+$( %/ )+'(/ * $+ (%$+ /-*'*

∫a

b

f ( x ) x=1

2

[f ( x0 )+2∑

i=1

n−1

f ( x i )+ f ( xn )

]. "+$%*'* (:'*-( % '*-+9 .

".2.%.SIPSON 1B"

L' $e+' S!%&s#n 1Z3 $es+' *'n)# n +!n#%!# )e sen)# $')# sess!4e en +' e*'*!n:

I =∫a

b

f ( x ) x≅∫a

b

P ( x)x

P'$' #,ene$:

I = /

3 [f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2 ) ]

D#n)e 1=(b @ a)/2 . Es' e*'*!n se ++'%' reg*a de Si+pson 1/3

)e,!)# ' /e 1 es )!5!)!)' en$e 3.

P'$' ese %8#)# n#s#$#s %#s$'$e%#s *#%# se $ese+5e e+ +!n#%!#$ %e)!# )e LAGRANGE

P ( x )= ( x− x1 ) ( x− x2 )( x0− x1 ) ( x0− x2 )

f ( x0 )+ ( x− x0 ) ( x− x2 )( x1− x0 ) ( x1− x2)

f ( x1 )+ ( x− x0 ) ( x− x1 )( x2− x0 ) ( x2− x1 )

f ( x2 )

Ine$'%#s nes$# +!n#%!# 4 #,ene%#s:



85/90


I =∫a

b

P ( x ) x= / 3

[ f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2) ]

T'%,!8n '&+!*'%#s es' $e+' &'$' n-8s!%# &n#s +#s *'+es 5e$e%#s '

*#n!n'*!n( )#n)e a= x0 4 b= xn :

I = ∫a= x0

b= xn

P( x )x=∫ x0

x2

P( x)x+∫ x2

x4

P( x)x+%+∫ x n−2

xn

P( x )x

Ine$'%#s 4 #,ene%#s:

I = / 3 [f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2 ) ]+ / 3 [ f ( x2 )+4 f ( x3 )+ f ( x4 )]+%+ / 3 [ f ( xn−2 )+4 f ( xn−1 )+4 f ( xn−1)+ f ( xn)]

P#$ +!%# en)$e%#s +' "#$%+' ene$'+:

f ( xi )+2 ∑i=2,4,6,8%

n−2

f ( x i )+¿ f ( xn)

f ( x0 )+4 ∑i=1,3,5,7 %

n−1

¿

I = / 3 ¿

5*gori+o de inegración por Si+pson 1B"

!. De"!n# %! !ne$'+ ∫a

b

f ( x)x , eclaromi a , b , 4 e+

n@%e$# )e se%en'*!#nes


86/90


".2.&.SIPSON "B=De %'ne$' s!%!+'$ ' +' #,en*!n )e +' $e+' )e+ $'&e*!# 4 S!%&s#n 1Z3( es

s!,+e 's'$ n +!n#%!# )e L'$'ne )e e$*e$ $')# ' *'$# &n#s e

!ne$'$+#:

I =∫a

b

f ( x ) x≅∫a

b

P ( x)x

P'$' #,ene$:

I =3 /

8 [ f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+ f ( x3)]

D#n)e 1=(b @ a)/3 . Es' e*'*!n se ++'%' reg*a de Si+pson 3/8

)e,!)# ' /e 1 se %+!&+!*' $ 3/8 . Es' es +' e$*e$' "$%+' )e

!ne$'*!n *e$$')' )e Ne;#n-C#es.

P'$' ese %8#)# n#s#$#s %#s$'$e%#s *#%# se $ese+5e e+ +!n#%!#

$ %e)!# )e LAGRANGE: ene%#s &'$' *'$# &n#s )#n)e a= x0

,< x3

P ( x )= ( x− x1) ( x− x2 ) ( x− x3 )( x0− x1 ) ( x0− x2 ) ( x0− x3 ) f ( x

0 )+ ( x− x0 ) ( x− x2 ) ( x− x3)( x1− x0 ) ( x1− x2 ) ( x1− x3 ) f ( x

1 )+ ( x− x0 ) ( x− x1 ) ( x− x3 )( x2− x0 ) ( x2− x1 ) ( x2− x3 ) f ( x

2 )+ (

Ine$'%#s nes$# +!n#%!# 4 #,ene%#s:

I =∫a

b

P ( x ) x=3 / 8

[f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+ f ( x3) ]



87/90


T'%,!8n '&+!*'%#s es' $e+' &'$' n-8s!%# &n#s +#s *'+es 5e$e%#s '

*#n!n'*!n( )#n)e a= x0 4 b= xn :

I = ∫a= x0

b= xn

P( x )x=∫ x0

x3

P( x)x+∫ x3

x6

P( x)x+%+∫ xn−3

xn

P( x)x

Ine$'%#s 4 #,ene%#s:

I =3 / 8 [ f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+ f ( x3)]+ 3 / 8 [f ( x3 )+3 f ( x4 )+3 f ( x5 )+ f ( x6)]+%+ 3 / 8 [ f ( xn−3 )+3 f ( xn−2

P#$ +!%# en)$e%#s +' "#$%+' ene$'+:

x

f (¿¿ i)+ f ( xn)

f ( xi )+3

∑i=2,5,8,11%

n−2

f ( x i)+¿2

∑i=3,6,9,12%

n−1

¿

f ( x0 )+3 ∑i=1,4,7,10 %

n−3

¿

I =3 /

8 ¿

5*gori+o de inegración por Si+pson "B=

!. De"!n# %! !ne$'+ ∫a

b

f ( x)x , eclaromi a , b , 4 e+

n@%e$# )e se%en'*!#nes


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x

f (¿¿ i)+ f ( xn)

f ( x i )+3 ∑i=2,5,8,11%

n−2

f ( x i)+¿2 ∑i=3,6,9,12%

n−1

¿

f ( x0 )+3 ∑i=1,4,7,10 %

n−3

¿

I =3 /

8 ¿



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ANEXOS

1. RESOLUCIÓN DE 1 EJERCICIOS UTILI_ANDO RESOLUCIÓN

DE ECUACIONES NO LINEALES EN MAPLE. =CONTROLXCLIC`>2. PROGRAMAS DE SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES( REGRESIÓN( INTERPOLACIÓN E INTEGRACIÓN(EN

MAPLE. =CONTROLXCLIC`>


http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/LABORATORIO%20DEMETODOS%20NUMERICOS.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/LABORATORIO%20DEMETODOS%20NUMERICOS.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/LABORATORIO%20DEMETODOS%20NUMERICOS.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/LABORATORIO%20DEMETODOS%20NUMERICOS.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mw


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3. EL METODO DE REGRESIÓN LINEAL EN ECEL.

=CONTROLXCLIC`>F. DIAPOSITIVAS DE TODO LO EPLICADO EN ESTE IN9ORME

=CONTROLXCLIC`>
http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/MINIMOS%20CUADRADOS.xlsxhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/METODOS%20NUMERICOS.pptxhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/MINIMOS%20CUADRADOS.xlsxhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/METODOS%20NUMERICOS.pptx

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