Informe MAS

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INFORME DE LABORATORIOMOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Eduardo Artavia Alfaro B00671e-mail: eduardo.artaviaalfaro@ucr

Arianna Rojas Ramíreze-mail: arianna.rojasramirez@ucr

– RESUMEN: El presente reporte inicia con una sección introductoria, en ella se explicarán aspectos generales sobre el objeto de estudio: movimiento armónico simple. Seguido de esto, se abre la parte de materiales y métodos, en donde se manifestará el método empleado para llevar a cabo el experimento, así como los materiales utilizados en el mismo. La sección contigua, es la de resultados, allí se encontrarán todas aquellas tablas que contenga datos recopilados en el experimento, así como las gráficas que se consideran pertinentes. El análisis de resultados se encuentra en la parte siguiente: discusión y conclusiones.

– PALABRAS CLAVES: Amplitud, constante de elasticidad, movimiento armónico, período.

1. INTRODUCCIÓNEl movimiento armónico simple es un movimiento periódico, también se le llama movimiento vibratorio armónico simple. En función de tiempo, este movimiento es descrito por una función sinusoidal o cosenoidal y posee una amplitud. El movimiento sobre el eje X, de una partícula sometida a este tipo de movimiento se describe mediante la ecuación x(t)=A·sen( t+ω φ) (García,2010).

Dentro de las características principales del MAS, se encuentran:

Dado que los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se lleva a cabo en el eje X y es compren-dida entre +A y -A.

El movimiento se repite cuando el argumento de la función seno en x(t)=A·sen( t+ω φ) se incrementa en 2π , esto debido a que la función seno se repite cada 2π (García, 2010).

Como se citó antes la ecuación del movimiento de este tipo, es necesario recordar las ecuaciones que serán probadas en este experimento.

v=dxdt

=−Aω sin (ωt+φ ) (2)

a=dvdt

=−A ω2 cos (ωt+φ )=−ω2 x (3)

2

F=ma=m dvdt

=mAω2 cos (ωt+φ )=−mω2 x (4 )

Para los dos sistemas que se trabajaron en el laboratorio (sistema masa-resorte y péndulo simple) el período viene dado por las siguientes expresiones:

T=2π √ mk (5)

T=2π √ Lg (6)

Donde m: masa del cuerpo atado al resorte; k: constante de elongación del resorte; L: longitud del péndulo y g: aceleración de la gravedad (Figueroa, 2010).

Se denomina péndulo simple (o péndulo matemático) a una masa suspendida de un hilo inelástico y de masa despreciable, que puede oscilar en torno a una posición de equilibrio, por lo general la vertical. La distancia del punto pesado al punto de suspensión se denomina longitud.Tanto el sistema masa – resorte como el péndulo simple, son tan solo sistemas ideales, pues siempre tendremos fricción, cuerdas con masa apreciable pero despreciable al compararla con la del cuerpo oscilante, pero que en tiempos cortos son buenas aproximaciones del comportamiento de los cuerpos oscilantes(Figueroa, 2010).

2. MATERIALES Y MÉTODOS

Procedimiento metodológico:

Primero, se procedió a medir el período de oscilación de una masa con una cuerda con la ayuda de un cronómetro y su sensor de movimiento. Se hicieron varias medi-ciones del mismo. Luego, se variaba el ángulo de inicio y se procedía a documentar el resultado. Esto se llevó a cabo de la misma manera pero variando a ahora los valo-res para la longitud de la cuerda y la masa suspendida. Resultó importante el hecho de dejar las demás variables intactas y solo variar una a la vez.Segundo se procedió a estudiar el sistema masa – resorte: para esto, inicialmente se midió la constante de elasticidad del resorte con la ayuda de un medidor de fuerzas, un sensor de movimiento y la interface ScienceWorkshop750. Con el software Da-taStudio se construyeron las gráficas de: posición contra tiempo, velocidad contra tiempo y, aceleración contra tiempo (el sensor de movimiento medía la amplitud, y el de fuerza la fuerza del resorte. El mismo hacía una gráfica cuya pendiente era la constante K1).

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Luego de determinar la constante de dos resortes, se precedió a experimentar con el movimiento oscilatorio. Se tomaron mediciones variando la amplitud, la masa y las constantes de resorte.

Materiales:

- Soporte de metal (de aproximadamente 1 m de alto)- Interface 750 ScienceWorkshop - Sensor de fuerza CI-6746 - Sensor de movimiento (Cl-6742) - Péndulo cónico - Resorte helicoidal - Masas de 10 g, 20 g, 30 g y 50 g (cinco de cada una)- Nuez o prensa universal. - Smart timer y fotocelda para smart timer - Cuerda de nylon - Metro de madera y transportador.

3. RESULTADOS

Tabla 1. Determinación del período promedio de oscilación de un péndulo simple.

Experimento

Valor Variable

Modificada

Periodo de Oscilación Valor Tpromedi

oT1 T2 T3Variación de la Amplitud m=0,0256kg

L=0,545m

=15°Ө 1,5154 1,5119 1,5149 1,51406667

=13°Ө 1,5139 1,5146 1,5144 1,5143

=10°Ө 1,5123 1,516 1,5061 1,51146667

=8°Ө 1,5062 1,5052 1,5056 1,50566667

=5°Ө 1,5053 1,5029 1,5049 1,50436667Variación de la Longitud m=0,0256kg

=15°Ө

L=0,545m 1,5154 1,5119 1,5149 1,51406667

L= 0,51m 1,4703 1,4717 1,4698 1,4706

L=0,47m 1,4193 1,42 1,419 1,41943333

L=0,415m 1,3417 1,334 1,3399 1,33853333

L=0,365m 1,2356 1,2472 1,245 1,2426Variación de

la Masa L=0,545m

=15°Ө

m=0,0256kg 1,5154 1,5119 1,5149 1,51406667

m=0,01kg 1,5034 1,5065 1,5033 1,5044

m=0,02kg 1,5143 1,5137 1,5109 1,51296667

m=0,0041kg 1,4948 1,4829 1,4832 1,48696667

m=0,041kg 1,56 1,5557 1,5636 1,55976667

4

1.502 1.504 1.506 1.508 1.51 1.512 1.514 1.5160

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

f(x) = 13.9513462613258 x − 20.8881372349983R² = 0.89218685438161

Series2Linear (Series2)

Amplitud Ө

Per

iod

o

Figura 1. Período promedio en función de la Amplitud.

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

f(x) = 1.49275355374543 x + 0.708887278390024R² = 0.991945330284107


Longitud (m)

Per

iod

o

Figura 2. Período promedio en función de la longitud.

5

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.051.44

1.46

1.48

1.5

1.52

1.54

1.56

1.58

f(x) = 1.80124886070553 x + 1.47935618127873R² = 0.921405840145387


Masa (kg)

Per

iod

o

Figura 3. Período promedio en función de la masa.

Tabla 2. Determinación de la constante de fuerza de un resorte

Fuerza(N)0 0,2 0,37 0,4 0,43 0,55 RESORTE 1

0,122 0,153 0,24 0,336 0,427 0,488 RESORTE 2

Elongación(m)0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 RESORTE 1

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 RESORTE 2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

f(x) = 9.91428571428572 x + 0.0771428571428571R² = 0.902717696892454


Elongación (m)

Fuer

za (

N)

Figura 4. Variación de la fuerza respecto a la posición.

Tabla 3. Período del sistema masas resorte

ExperimentoPeriodo

Teórico (s)

Periodo Experimenta

l (s)% Error

6

Variación de la Masa K1=9,9143N/m A1=3m

m1=0,0244kg 0,311704989 0,71

127,779479

m2=0,01kg 0,199548671 0,69245,78030

3

m3=0,072kg 0,535445272 0,6521,394292

5

Variación de la constante k A1=3m m1=0,072

k1=9,9143 N/m 0,535445272 0,05

90,6619775

k2=0,0785 N/m 6,017433344 0,69

88,5333171

Variación de la Amplitud K1=9,9143N/m m1=0,072

A =3m₁ 0,535445272 0,0590,661977

5

A =2m₂ 0,535445272 0,6725,129501

5A =NA₃ NA NA NAA =NA₄ NA NA NA

Para obtener el período teórico se empleó la expresión:

T=2π √ mkPor ejemplo, para el experimento de variación de la constante k del primer resorte el período teórico y el porcentaje de error, presentados en la tabla se derivan de los siguientes cálculos; mientras que los demás datos se extraían propiamente de los dispositivos digitales:

T=2π √ 0,0729,9143T=0,535 s

4. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

Se logra determinar la validez de la ecuación (5) según los resultados de la parte de variación de la amplitud de la tabla 1. Podemos observar que los cambios en el período son de nivel despreciable cuando se cambia esta variable. Esto tiene sentido ya que en la ecuación (5) se puede observar que el periodo no depende de la amplitud, sino solo del largo y la gravedad, la cual es una constante para efectos de este laboratorio.

Se puede decir lo mismo de la parte correspondiente a la variación del largo. Se logra demostrar la validez de la ecuación (5), a la hora de observar que, conforme se disminuye el largo, el periodo tiende a aumentar. En la ecuación, la variable del largo se encuentra en un numerador fraccional, el cual a la hora de aumentar, aumenta también el valor de la fracción, y por ende el valor del radical.

%ERROR=|T teórico−T experimentalT teórico |∗100%%ERROR=|0,535−0,050,535 |∗100%%ERROR=¿90,66%

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En la variación de la masa, se observa que esta es mínima en las primeras dos pruebas, las cuales fueron realizadas con dos péndulos de geometría relativamente similar: ambos péndulos tenían su densidad concentrada de manera uniforme y simetría radial. Para las siguientes dos pruebas, se colocaron péndulos con distribución de masa variable: unas llaves y una prensa de pelo. En estas pruebas, se puede ver que el grado de variación del período fue mayor. Esto se puede atribuir a la distribución de masa de los dos últimos objetos. Las llaves, consistían de llave y un llavero unidos a un aro, el cual era amarrado por el hilo del péndulo. A la hora de hacer la prueba, se determinó considerar las llaves como una partícula; en la realidad, eran 3 partículas. Es posible que gracias a esto, el período tuviera una variación considerable. Aunque no mayor a 1s.

En cuanto a los resultados de la tabla 2, se puede observar, según los instrumentos utilizados, la fuerza que ejercía el resorte en cada elongación.Es importante recalcar que el sensor de fuerza, era incapaz de tararse con el resorte ya que una vez en la posición de 0N, el resorte oscilaba y por ende alteraba nuevamente la fuerza. En la práctica es complicado lograr que un resorte esté relajado completamente e inmóvil. Para obtener el valor de la constante de resorte, se empleó la medida de la pendiente de la figura 4.

Finalmente, para la última parte de la práctica de laboratorio se buscó determinar tanto el período teórico del sistema masa-resorte, así como el período experimental, y el cálculo de los correspondientes porcentajes de error.

Al momento de variar la masa repetidas veces, y apreciar la gráfica generada en el programa DataStudioTM mediante el sensor de movimiento, se obtuvo un período teórico mayor al calculado mediante la ecuación (5). Esto ocurrió en los tres casos. Similar fue donde se variaron las constantes de resorte; al desconocer el valor de la constante del segundo resorte, se trabajó con el de otro grupo para ahorrar tiempo, por lo cual se desconocen algunos posibles fallos de medición. A como se muestra en la tabla 3, los valores alcanzados en ambos casos se encuentran muy distantes uno del otro. Sin embargo esto no favorece la comparación con el valor teórico del período. Luego, al variar la amplitud, por el tiempo restante de laboratorio se lograron obtener únicamente dos medidas de esta. De las cuales se aprecia que al variar la amplitud varió considerablemente el período entre ambos. Aunque lo esperado era que se mantuviera, dado que en el movimiento armónico simple (MAS), el período y la frecuencia no dependen de la amplitud (Young, 2013).

Conclusiones:

El problema de tratar de dar una demostración del MAS con los dispositivos que fueron empleados y en ambiente en el cual se desarrolló el experimento, radica en el grado de incertidumbre por factores como la presencia de fuerzas no conservativas que se oponen al movimiento y otros antes mencionados, aun empleando amplitudes muy pequeñas los porcentajes de error se mantuvieron altos por la ausencia de condiciones ideales.

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Luego de haber realizado los cálculos y mediciones respectivas con respecto al péndulo simple y el sistema masa-resorte, y su relación con las distintas variables, se llegó a concluir que el período de ambos sistemas se ve influenciado por el peso, en el caso del péndulo también por la longitud de la cuerda porque a mayor longitud de esta, mayor período, lo cual es fácilmente apreciable en la tabla 1.

5. REFERENCIAS

Figueroa, R. (2010). Manual de Prácticas de Laboratorio. San José, Costa Rica.García, A. (2010). Curso Interactivo de Física en Internet. Recuperado el 6 de 09 de

2014, de sc.ehu: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm

Young, H. D. (2013). Física Universitaria (Vol. 1). México: PEARSON.

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