DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA

1. REGLA TRAPEZOIDAL.-

La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas e integracin de Newton Cotes. Corresponde al caso donde le polinomio de la ecuacin, es de primer grado

Una lnea recta se puede representar como:

El rea bajo esta lnea recta es una aproximacin de la integral de f(x) entre los lmites a y b:

El resultado de la integracin es:

Que se denomina regla del trapecio.

Geomtricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el rea del trapecio bajo la lnea recta que une f(a) y f (b) en la figura. Recuerde que la frmula para calcular el rea de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases. En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide est sobre su lado. Por lo tanto, la integral aproximada se representa como

Figura 1.1 Representacin de la regla del trapecio

Figura 1.2 a) La frmula para calcular el rea de un trapezoide: altura por el promedio de las basesb) Para la regla del trapecio, el concepto es el mismo pero ahora el trapezoide esta sobre su lado

Donde, para la regla del trapecio, la altura promedio es el promedio de los valores de la funcin en los puntos extremos, o [f(a) + f (b)]/2.1 .1 ERROR DE LA REGLA DEL TRAPECIO.-Cuando empleamos la integral bajo un segmento de lnea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante. Una estimacin al error de un truncamiento local para una sola aplicacin de la regla del trapecio es:

Donde est en algn lugar en el intervalo de a a b. La ecuacin indica que si la funcin sujeta a integracin es lineal, la regla del trapecio ser exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algn error.A. Obtencin y error estimado de la regla del trapecio.

Una manera alternativa para obtener la regla del trapecio consiste en integrar el polinomio hacia adelante de Newton-Gregory. Recuerde que para la versin de primer grado en el trmino del error, la integral ser.

Para simplificar el anlisis, considere que si , entonces

Debido a que h=b-a ( para un segmento de la regla del trapecio), los lmites de integracin a y b corresponden a 0 y 1, respectivamente. Por lo tanto, la ecuacin se expresar como:

Si se supone que para una h pequea, el trmino es aproximadamente constante, entonces el resultado de la integracin es:

Y tomando los lmites de integracin

Como , el resultado puede escribirse como

R. del trapecioError de truncamiento

As, el primer trmino es la regla del trapecio y el segundo es una aproximacin para el error.

B. LA REGLA DEL TRAPECIO DE APLICACIN MUTIPLE.-

Una forma de mejorar la precisin de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de integracin de a a b en varios segmentos, y aplicar el mtodo a cada uno de ellos. Las reas de los segmentos se suman despus para obtener la integral enTodo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman frmulas de integracin, deAplicacin mltiple o compuesta.El formato general y la nomenclatura que usaremos para obtener integrales de aplicacin mltiple. Hay n + 1 puntos igualmente espaciados (X0, x1, x2,..., xn). En consecuencia, existen n segmentos del mismo ancho:

Si a y b se designan como x0 y xn, respectivamente, la integral completa se representar como

Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene

O agrupando trminos,

Figura 1.3 Ilustracin de la regla del trapecio de aplicacin mltiple. a) Dos segmentos, b) tres segmentos, c) cuatro segmentos d) cinco segmentos.

Figura 1.4 Formato general y nomenclatura para integrales de aplicacin mltiple.

En forma general:

Altura promedioAncho

Como la sumatoria de los coeficientes de f(x) en el numerador dividido entre 2n es igual a 1, la altura promedio representa un promedio ponderado de los valores de la funcin. De acuerdo con la ecuacin (21.10), a los puntos interiores se les da el doble de peso que a los dos puntos extremos f(x0) y f(xn).

Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicacin mltiple al sumar los erroresIndividuales de cada segmento, as

Donde f(Ei) es la segunda derivada en un punto xi, localizado en el segmento i. Esteresultado se simplifica al estimar la media o valor promedio de la segunda derivada entodo el intervalo como.

Por lo tanto y la ecuacin se reescribe como

As, si se duplica el nmero de segmentos, el error de truncamiento se divide entre cuatro. Observe que la ecuacin es un error aproximado debido a la naturaleza aproximada de la ecuacin

C. APLICACIONES DE LA REGLA TRAPEZOIDAL.-

-Aplicacin simple de la regla trapezoidalProblema. Con la ecuacin integre numricamente

Desde a=0 hasta b=8. El valor exacto de la integral puede determinar de forma analtica y es 1.640533.

Solucin. Al evaluar la funcin en los lmites

F(0)=0.2F(0.8)=0.232

Sustituyendo en la ecuacin se tiene

La cual representa un error de

Que corresponde a un erro relativo porcentual . La razn de error tan grandes evidente en la grfica. Observe que el rea bajo la lnea recta no toma en cuenta una porcin significativa de la integral que est por encima de la lnea.En situaciones reales, tal vez no conozcamos previamente el valor verdadero. Por lo tanto, se requiere dos veces la funcin original una estimacin del error aproximado. Para obtener dicha estimacin se calcula la segunda derivada de la funcin en el intervalo, derivado dos veces la funcin original:

El valor promedio de la segunda derivada se calcula mediante la ecuacin:

Que se sustituye en la ecuacin y el resultado es:

Que es el mismo orden de magnitud y signo que el error verdadero. Sin embargo, de hecho, existe una discrepancia, ya que en un intervalo de este tamao, el promedio de la segunda derivada no es necesariamente una aproximacin exacta de . As, indicamos que el erro es aproximado mediante la notacin , y no exacto usando .-Aplicacin mltiple de la regla trapezoidalProblema. Use la regla dl trapecio con dos segmentos para estimar la integral de

Desde a=0 hasta b=8. Emplee una ecuacin parar estimar el error. Recuerde que el valor correcto parar la integral es 1.640533.Solucin. n=2 (h=0.4):F (0)=0.2 f (0.4)=2.456 f (0.8)=0.232

Donde -60 es el promedio de la segunda derivada, determinada anteriormente en la aplicacin simple de la regla trapezoidal