1.1 Introducción a la Mecánica de Materiales1.1.1 Hipótesis Fundamentales

1.2 Esfuerzo y Deformación Unitaria Normales1.2.1 Esfuerzos 1.2.2 Deformación Unitaria Normal1.2.2 Limitaciones

1.3 Línea de Acción de las Fuerzas Axiales en una Distribución Uniforme de Esfuerzos1.4 Propiedades Mecánicas de los Materiales

1.4.1 Teoría Elástica1.4.2 Ensayo de Tensión 1.4.3 Curva tensión-deformación1.4.4 Esfuerzo y Deformación Ingeniériles1.4.5 Fragilidad1.4.6 Compresión

1.4.6.1 Realización de la Prueba de Compresión1.4.7 Tabla de Propiedades Mecánicas

1.5 Elasticidad, Plasticidad y Flujo Plástico. 1.5.1 Carga Repetida de un Material1.5.2 Flujo Plástico

1.6 Elasticidad Lineal Ley de Hooke y Relación de Poisson1.6.1 Ley de Hooke1.6.2 Relación de Poisson

1.7 Esfuerzos Cortantes y Deformación Unitaria Cortante1.7.1 Igualdad de los Esfuerzos Cortantes sobre Planos Perpendiculares1.7.2 Deformación Unitaria Cortante1.7.3 Convención de signos para esfuerzos cortantes y deformaciones unitarias cortantes1.7.4 Ley de Hooke en Corte

1.8 Esfuerzo y Cargas Admisible1.8.1 Factores de Seguridad1.8.2 Esfuerzos Admisibles1.8.3 Cargas Admisibles

1.9 Diseño para Cargas Axiales y Corte Directo

Tema 1

Introducción a la Mecánica de MaterialesTensión, Compresión y Cortante

1.1 INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE MATERIALES

La resistencia de materiales clásica es una disciplina de la ingeniería mecánica y la ingeniería estructural que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo.

Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Típicamente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.

Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica de sólidos deformables más generales.

La teoría de sólidos deformables requiere generalmente trabajar con tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, para ciertas geometrías aproximadamente unidimensionales (vigas, pilares, celosías, arcos, etc.) o bidimensionales (placas y láminas, membranas, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar mediante el cálculo de esfuerzos internos definidos sobre una línea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional. Además las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a través de cierta hipótesis cinemática. En resumen, para esas geometrías todo el estudio puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a deformaciones y tensiones. El esquema teórico de un análisis de resistencia de materiales comprende:

Hipótesis cinemática establece como serán las deformaciones o el campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo cierto tipo de solicitudes. Para piezas prismáticas las hipótesis más comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier para la flexión y la hipótesis de Saint-Venant para la torsión.

Ecuación constitutiva que establece una relación entre las deformaciones o desplazamientos deducibles de la hipótesis cinemática y las tensiones asociadas. Estas ecuaciones son casos siempre casos particulares de las ecuaciones de Lamé-Hooke.

Ecuaciones de equivalencia, son ecuaciones en forma de integral que relacionan las tensiones con los esfuerzos internos.

Ecuaciones de equilibrio que relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores.

En las aplicaciones prácticas el análisis es sencillo, se construye un esquema ideal de cálculo formado por elementos unidimensionales o bidimensionales, y se aplican fórmulas preestablecidas en base al tipo de solicitación que presentan los elementos. Esas fórmulas preestablecidas que no necesitan ser deducidas para cada caso, se basan en el esquema de cuatro puntos anterior. Más concretamente la resolución práctica de un problema de resistencia de materiales sigue los siguientes pasos:

1. Cálculo de esfuerzos, se plantean las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar los esfuerzos internos en función de las fuerzas aplicadas.

2. Análisis resistente, se calculan las tensiones a partir de los esfuerzos internos. La relación entre tensiones y deformaciones depende del tipo de solicitación y de la hipótesis cinemática asociada: flexión de Bernouilli, flexión de Timoshenko, tracción, pandeo, torsión de Coulomb, teoría de Collignon para tensiones cortantes, etc.

3. Análisis de rigidez, se calculan los desplazamientos máximos a partir de las fuerzas aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello puede recurrirse directamente a la forma de la hipótesis cinemática o bien a la ecuación de la curva elástica, las fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.

Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, con los que se ha tratado en la materia de Estática I, no existen en la realidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con instrumentos especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido, por lo que la Mecánica Teórica prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio de estas deformaciones seria imposible resolver un problema de gran importancia practica como es el de determinar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las que la misma puede servir sin tal peligro.

Las construcciones que el ingeniero encuentre en su práctica tienen, en la mayoría de los casos configuraciones bastante complejas. Los diversos elementos de estas se reducen a los siguientes tipos simples.

Barra: Es un cuerpo que tiene dos dimensiones pequeñas en comparación con la tercera, como caso particular, pueden ser de sección transversal constante y de eje rectilíneo.

La línea que une los centros de gravedad de sus secciones transversales se denomina eje de la barra.

Placa: Es un cuerpo limitado por dos planos, a distancia pequeña en comparación con las otras dimensiones.

Bóveda: Es un cuerpo limitado por dos superficies curvilíneas, a distancia pequeña en comparación con las otras dimensiones.

En la Resistencia de Materiales se estudian principalmente, los casos de barras que tienen sección constante y eje recto.

Entenderemos por falla de una estructura o de determinadas partes de la misma: a la rotura, o sin llegar a ello, a la existencia de un estado inadecuado. Esto último puede ocurrir por varios motivos: deformaciones demasiado grandes, falta de estabilidad de los materiales, fisuraciones, pérdida del equilibrio estático por pandeo, abollamiento o vuelco, etc. En este curso limitaremos el estudio a la falla por rotura, deformaciones excesivas o pandeo.

La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores. La diferencia entre la Mecánica Teórica y la Resistencia de Materiales radica en que para ésta lo esencial son las propiedades de los cuerpos deformables, mientras que en general, no tienen importancia para la primera. Feodosiev ha dicho que la Resistencia de Materiales puede considerarse como Mecánica de Los Sólidos Deformables.

La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras, empleando para ello diversos procedimientos aproximados. La necesidad de obtener resultados concretos al resolver los problemas prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas, que pueden ser justificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos, o los obtenidos aplicando teorías más exactas, las cuales son más complicadas y por ende usualmente poco expeditivas.

Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos: 1- Dimensionamiento 2- Verificación

En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y dimensiones mas adecuadas de una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido: Trabajar con seguridad, en perfecto estado y con gastos adecuados

El segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y es necesario conocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones actuantes.

1.1.1 Hipótesis Fundamentales

a) El material se considera macizo (continuo): El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis aún cuando pueda

detectarse la presencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la

materia, compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada.Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de las funciones continuas.

b) El material de la pieza es homogéneo (idénticas propiedades en todos los puntos): El acero es un material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el hormigón y la piedra son bastante heterogéneos. Sin embargo, los experimentos demuestran que los cálculos basados en esta hipótesis son satisfactorios.

c) El material de la pieza es isótropo: Esto significa que admitimos que el material mantiene idénticas propiedades en todas las direcciones.

d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, son nulas. Las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas moleculares que existen en sólido no sometido a cargas.

1.2 ESFUERZO Y DEFORMACIÓN UNITARIA NORMALES

Los conceptos fundamentales de la mecánica de materiales son el esfuerzo y deformación unitaria.

1.2.1 Esfuerzos : se representa con la letra (σ) y se define como magnitudes físicas con unidades de fuerza sobre área utilizadas en el cálculo de piezas prismáticas como vigas o pilares y también en el cálculo de placas y láminas.

Pσ = -------

A

Las unidades de los esfuerzos son las mismas que para la presión, fuerza dividida por área, se utilizan con frecuencia: MPa, psi, Kpsi, Kg. /mm2, Kg. /cm2.

Cuando se utilizan unidades del SI, la fuerza se expresa en newtons (N) y el área en metros cuadrados (m2). Por lo tanto las unidades de esfuerzos serán newtons por metro cuadrado (N/m2) o también llamado Pascal (Pa). Por ser esto una unidad muy pequeña, es mejor utilizar Megapascal (Mpa) (que es 106 veces Pa).

Cuando la barra se estira debido a las fuerzas P, los esfuerzos que se producen son esfuerzos de tensión o esfuerzos de tracción.

Si las fuerzas tienen una dirección contraria y hacen que la barra se comprima se trata de esfuerzos de compresión.

Siempre que los esfuerzos actúen en una forma perpendicular a la superficie de corte, se llama esfuerzos normales. Por lo tanto los esfuerzos normales pueden solamente ser de tracción o de compresión. Mas adelante veremos otro tipo de esfuerzo (esfuerzo cortante), que es el que actúa de forma paralela a la superficie de aplicación.

1.2.2 Deformación Unitaria Normal: Una forma de comparar la deformación entre dos elementos, es expresarla como una deformación porcentual, o en otras palabras, calcular la deformación que sufrirá una longitud unitaria del material, la cual se denomina deformación unitaria e. La deformación unitaria se calculará como:

= /Lo

 

Deformación debida a esfuerzos de tensión y de compresión, respectivamente.

Algunas características mecánicas de los materiales como su resistencia (capacidad de oponerse a la rotura), su rigidez (capacidad de oponerse a las deformaciones) y su ductilidad (capacidad de deformarse antes de romperse), por lo general se obtienen mediante ensayos en laboratorio (resistencia de materiales experimental), sometiendo a pruebas determinadas porciones del material (probetas normalizadas) para obtener esta información. Parece que el primero que realizó ensayos para conocer la resistencia de alambres fue Leonardo Da Vinci, pero probablemente el primero en sistematizar la realización de ensayos y en publicar sus resultados en forma de una ley fue Robert Hooke, sometiendo alambres enrollados (resortes), a la acción de diferentes cargas y midiendo las deformaciones producidas, lo que le permitió enunciar los resultados obtenidos en forma de ley (“como la tensión así es la fuerza”), en su tratado publicado en 1678; esto es lo que se conoce en su forma moderna como la LEY DE HOOKE

En la práctica, a veces se anotan las unidades originales de δ y L en las deformaciones unitarias y entonces su valor aparece en formas como mm/m, μm/m y pulg/pulg.

1.2.3 Limitaciones

A partir de todas las consideraciones anteriores podemos formular una hipótesis: “Los esfuerzos internos en una sección cualquiera de un cuerpo se desarrollan punto a punto”. Esta hipótesis será de gran importancia y, como se ve en otros cursos, pueden demostrarse experimentalmente.

donde, : deformación unitaria, : deformación total. Lo: longitud inicial del elemento deformado.

Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lo dividimos en dos partes mediante la intersección con un plano cualquiera, sabemos que en la sección originada aparecerán fuerzas que mantienen el equilibrio de la porción. Si en la sección tomamos un punto P y un entorno de área ΔΩ, sobre dicha área existirá una fuerza elemental ΔF. Haciendo el cociente de ΔF/ΔΩ, con ΔΩ tendiendo a cero, definiremos como “vector tensión total o tensión resultante en el punto P, al siguiente límite.

La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres parámetros: intensidad, dirección y sentido. Por otro lado, la dimensión que tiene es la de una fuerza por unidad de área, y puede medírsela, por ejemplo, en Kg. /cm2 (KN/cm2)

El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, una normal al plano de la sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así dos componentes de tensión denominadas tensión normal (s) y tensión tangencial (t).

Tomando el caso de una barra lateral de una prensa, cuando más gira el volante superior mayor es la fuerza que debe absorber la barra. Se observa así mismo que la barra se estira ligeramente de modo que para cada valor de F se produce un pequeño alargamiento d.

Como el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas las fibras longitudinales están estiradas uniformemente. Podemos entonces establecer el cociente entre el desplazamiento d y la longitud L de la barra cuando está descargada, a este cociente lo denominamos “deformación unitaria o especifica”

Observamos que ésta no tiene unidades, es decir, es una magnitud adimensional. Ahora bien, si todas las fibras se han alargado igual, cada punto del cuerpo está caracterizado por tener la misma deformación especifica, aunque en otros casos esto podría no ser así, con lo que cada punto tendría un valor distinto de ε.

De las consideraciones anteriores podemos deducir que cada punto de la barra tiene una tensión y una deformación.

1.3 LÍNEA DE ACCIÓN DE LAS FUERZAS AXIALES EN UNA DISTRIBUCIÓN UNIFORME DE ESFUERZOS

De toda la explicación anterior de lo que es esfuerzo y deformación unitaria en una barra prismática hemos supuesto que el esfuerzo normal σ esta distribuido uniformemente sobre el corte o la sección transversal. Lo que nos toca ahora demostrar es precisamente esta hipótesis de que “El esfuerzo normal esta distribuido uniformemente sobre la sección transversal si la línea de acción de las fuerzas axiales pasa por el centroide del área transversal”.

Para esto, imaginémonos una barra prismática de una forma arbitraria en su sección transversal, y sometida a fuerzas axiales P, que producen esfuerzos σ uniformemente distribuidos (ver figura).

Sea p1 el punto de corte transversal donde la línea de acción de las fuerzas cruza la sección transversal. Se define un conjunto de ejes xy en el plano de la sección transversal, las coordenadas del punto p1 se representan por x-y. Para determinar las coordenadas, se observan que los momentos Mx y My de la fuerza P respecto a los ejes x-y, respectivamente deben ser iguales a los momentos correspondientes de los esfuerzos uniformemente distribuidos.

Los momentos de la fuerza P son:Mx = Py My = - Px

donde se considera positivo un momento cuando su vector, de acuerdo a la regla de la mano derecha, actúa en la dirección positiva del eje correspondiente.

Los momentos de los esfuerzos distribuidos se obtienen integrando sobre el área transversal A. La fuerza diferencial que actúa sobre un elemento de área dA es igual a σdA; y de acuerdo al eje en que actúa son σydA y - σxdA respectivamente.

Los momentos totales se obtienen integrando sobre el área transversal:

Estas ecuaciones dan como resultado los momentos producidos por los esfuerzos σ.

Si igualamos los momentos Mx y My que obtuvimos con la fuerza P, con los momentos que obtuvimos con los esfuerzos distribuidos, tenemos que:

Como los esfuerzos σ están uniformemente distribuidos, se sabe que son constantes sobre el área transversal A y pueden salir de los signos de integración. También recordemos que σ = P/A; por consiguiente llegaremos a las siguientes ecuaciones:

Estas ecuaciones son precisamente las mismas que definen las coordenadas de un centroide de cualquier área determinada. Así podemos llegar a la siguiente conclusión

Para que exista tensión o compresión uniforme en una barra prismática, la fuerza axial debe de actuar a través del centroide del área transversal.

Ejemplo 1-1

Un pequeño poste construido con un tubo circular hueco de aluminio, soporta una carga de compresión de 26 kips. Los diámetros internos y externos del tubo son d1 = 4.0 pulg y d2 = 4.5 pulg respectivamente y su longitud es de 16 pulg. Se mide el acortamiento del poste debido a la carga y resulta ser de 0.012 pulg.Determinar el esfuerzo y la deformación unitaria de compresión en el poste (no tenga en cuenta el peso del poste miso y suponga que el poste no se pandea bajo la carga).

Datos Formulas Grafico πP = 26 Klb. = 26,000 lb A = ----- (d2

2 – d12)

L = 16 pulg. 4d1 = 4.0 pulgd2 = 4.5 pulg σ = P/Aδ = 0.012 pulg

ε = δ/L

Solución:Esfuerzo de CompresiónSuponiendo que la carga de compresión actúa en el centro del tubo hueco, se puede usar la ecuación σ = P/A, para calcular el esfuerzo normal. El área la calculamos con la formula: π πA = ----- (d2

2 – d12) = ----- [(4.5 pulg)2 – (4.0 pulg)2]

4

A = 3.338 pulg2

σ = 26,000 lb / 3.338 pulg2 =

Deformación Unitaria 0.012 pulgε = δ/L = ----------------- = 16 pulg 750 x 10-6

7,790 lb/pulg2

Practica 1: Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios:Pagina 49 ejercicios 1.2-1, 1.2-2, 1.2-3, 1.2-4Pagina 50 ejercicios 1.2-5, 1.2-6, 1.2-7, 1.2-8, 1.2-9Pagina 51 ejercicios 1.2-10, 1.2-11 y 1.2-12

Ejemplo 1-2Una varilla redonda de acero de longitud L y diámetro d cuelga en un tiro de mina y sostiene una canasta de mineral con peso W en su extremo inferior.

a) deducir la formula del esfuerzo máximo σmax en la varilla, teniendo en cuenta el peso de la varilla misma.b) calcular el esfuerzo máximo si L=40 m. d = 8 mm y W = 1.5 kN

DatosP = W = 1.5 kNPvarilla = W0 = γVL = 40 md = 8 mm

Solución a)La fuerza axial máxima Fmax en la varilla esta en el extremo superior y es igual al peso W de la canasta + el peso W0 de la varilla misma. Esta ultima es igual a la densidad gravimetrica o densidad de peso γ, del acero multiplicado por el volumen de la varilla.

W0 = γV = γAL donde A es el área transversal de la varilla

Fmax W + γσmax = ---------- = -------------- = W/A + γL

A A

σmax = W/A + γL

b) Para calcular el esfuerzo máximo sustituimos los valores numéricos en la ecuación anterior. El área será πd2/4, siendo d = 8mm y la densidad de peso γ del acero es 77 kN/m3 (Tabla H-1 pagina 912)

σmax = W/A + γL

1.5 Kn x 1000 1000σmax = -------------------------------- + [77 Kn/m x ---------- x (40 x 1000)]

π (8mm)2/4 106

σmax = 29.8 MPa + 3.1 MPa = 32.9 MPa

1.4 PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

Las propiedades mecánicas pueden definirse como aquellas que tienen que ver con el comportamiento de un material bajo fuerzas aplicadas. Las propiedades mecánicas se expresan en términos de cantidades que son funciones del esfuerzo o de la deformación o ambas simultáneamente.

En ingeniería, las propiedades mecánicas de los materiales son las características inherentes que permiten diferenciar un material de otros, desde el punto de vista del comportamiento mecánico de los materiales en ingeniería, también hay que tener en cuenta el comportamiento que puede tener un material en los diferentes procesos de mecanizados que pueda tener. Entre estas características mecánicas y tecnológicas destacan:

Resistencia a esfuerzos de tracción, compresión, flexión y torsión, así como desgaste y fatiga, dureza, resiliencia, elasticidad, tenacidad, fragilidad, cohesión, plasticidad, ductilidad, maleabilidad, porosidad, magnetismo, las facilidades que tenga el material para soldadura, mecanizado, tratamiento térmico así como la resistencia que tenga a los procesos de oxidación, corrosión. Asimismo es interesante conocer el grado de conductividad eléctrica y la conductividad térmica que tenga y las facilidades que tenga para formar aleaciones.

Aparte de estas propiedades mecánicas y tecnológicas cabe destacar cuando se elige un material para un componente determinado, la densidad de ese material, el color, el punto de fusión la disponibilidad y el precio que tenga.

Debido a que cada material se comporta diferente, es necesario analizar su comportamiento mediante pruebas experimentales... Entre las propiedades mecánicas más comunes que se mide en los materiales están la resistencia a tracción, a compresión, la deformación, el coeficiente de Poisson y el módulo de elasticidad o módulo de Young.

1.4.1 Teoría Elástica

La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, que a su vez es parte de la mecánica de sólidos deformables. La teoría de la elasticidad (TE) describe como un sólido se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores.

La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un sólido de sufrir transformaciones termodinámicas reversibles. Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un aumento de la energía interna.

El sólido se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, en este caso decimos que el sólido es elástico.

Modulo de Young o Modulo de Elasticidad es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de Young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud, no disminuye.

El límite elástico es distinto para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que puede calcularse empíricamente en base al ensayo de tracción del material. El modulo de elasticidad se representa mediante la letra E y podemos definirla como:

fE = -----

s

Recordemos que f = P/A; y si l es la longitud del miembro y e la deformación total, y definimos a S como la deformación unitaria, entonces tenemos que

εs = ------ l

Entonces podemos describir el modulo de elasticidad como:

P lE = ------- A ε

Ley de Hooke: la deformación ε de un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F.

El modulo de elasticidad de un material es el cociente de la división del esfuerzo unitario entre la deformación unitaria.

Donde:

f = es el esfuerzo unitario

s = deformación unitaria

Donde:

E: modulo de elasticidadε: deformación total, en pulg. o

centímetroP: fuerzas en lbs. o kilogramosA: área de la sección transversal,

en pulg2 o cm2

l: longitud en pulg. o centímetro

P lε = ------- A E

1.4.2 Ensayo de Tensión

El ensayo de tensión de un material consiste en someter a una probeta normalizada realizada con dicho material a un esfuerzo axial de tracción creciente hasta que se produce la rotura de la probeta. En un ensayo de tensión pueden determinarse diversas características de los materiales elásticos:

Módulo de elasticidad o Módulo de Young, que cuantifica la proporcionalidad anterior. Coeficiente de Poisson, que cuantifica la razón entre el alargamiento longitudinal y el acortamiento

de las longitudes transversales a la dirección de la fuerza. Límite de proporcionalidad: valor de la tensión por debajo de la cual el alargamiento es

proporcional a la carga aplicada. Límite de fluencia o límite elástico aparente: valor de la tensión que soporta la probeta en el

momento de producirse el fenómeno de la cedencia o fluencia. Este fenómeno tiene lugar en la

zona de transición entre las deformaciones elásticas y plásticas y se caracteriza por un rápido incremento de la deformación sin aumento apreciable de la carga aplicada.

Límite elástico (límite elástico convencional o práctico): valor de la tensión ha la que se produce un alargamiento prefijado de antemano (0,2%, 0,1%, etc.) en función del extensómetro empleado.

Carga de rotura o resistencia a la tracción: carga máxima resistida por la probeta dividida por la sección inicial de la probeta.

Alargamiento de rotura: incremento de longitud que ha sufrido la probeta. Se mide entre dos puntos cuya posición está normalizada y se expresa en tanto por ciento.

Estricción: es la reducción de la sección que se produce en la zona de la rotura.

Normalmente, el límite de proporcionalidad no suele determinarse ya que carece de interés para los

cálculos. Tampoco se calcula el Módulo de Young, ya que éste es característico del material; así, todos los

aceros tienen el mismo módulo de elasticidad aunque sus resistencias puedan ser muy diferentes.

Existen materiales (ejemplo el aluminio) que no tienen un punto de fluencia bien determinado, pero que sufre grandes deformaciones unitarias después de rebasar el límite de proporcionalidad. Se puede determinar un esfuerzo arbitrario de fluencia llamado de fluencia desplazado. En el diagrama esfuerzo deformación se traza una recta paralela a la parte inicial lineal de la curva, desplazada cierta deformación unitaria normalizada en un 0.2%. El cruce de la línea desplazada con la curva esfuerzo deformación unitaria (ver figura anterior) define el limite de fluencia.

Como este esfuerzo se determina con una regla arbitraria y no es una propiedad física intrínseca del material se debe diferenciar de una resistencia real de fluencia llamándolo esfuerzo de fluencia desplazado.

1.4.3 Curva tensión-deformación

En el ensayo se mide la deformación (alargamiento) de

la probeta entre dos puntos fijos de la misma a medida

que se incrementa la carga aplicada, y se representa

gráficamente en función de la tensión (carga aplicada

dividida por la sección de la probeta). En general, la

curva tensión-deformación así obtenida presenta cuatro

zonas diferenciadas:

1. Deformaciones elásticas: en esta zona las deformaciones se reparten a lo largo de la probeta, son de pequeña magnitud y, si se retirara la carga aplicada, la probeta recuperaría su forma inicial. El coeficiente de proporcionalidad entre la tensión y la deformación se denomina módulo de elasticidad o de Young y es característico del material. Así, todos los aceros tienen el mismo módulo de elasticidad aunque sus resistencias puedan ser muy diferentes. La tensión más elevada que se alcanza en esta región se denomina límite de fluencia y es el que marca la aparición de este fenómeno. Pueden existir dos zonas de deformación elástica, la primera recta y la segunda curva, siendo el límite de proporcionalidad el valor de la tensión que marca la transición entre ambas.

2. Fluencia o cedencia. Es la deformación brusca de la probeta sin incremento de la carga aplicada. El fenómeno de fluencia se da cuando las impurezas o los elementos de aleación bloquean las dislocaciones de la red cristalina impidiendo su deslizamiento, mecanismo mediante el cual el material se deforma plásticamente. Alcanzado el límite de fluencia se logra liberar las dislocaciones produciéndose la deformación bruscamente. La deformación en este caso también se distribuye uniformemente a lo largo de la probeta pero concentrándose en las zonas en las que se ha logrado liberar las dislocaciones (bandas de Luders). No todos los materiales presentan este fenómeno, en cuyo caso la transición entre la deformación elástica y plástica del material no se aprecia de forma clara.

3. Deformaciones plásticas: si se retira la carga aplicada en dicha zona, la probeta recupera sólo parcialmente su forma quedando deformada permanentemente. Las deformaciones en esta región son más acusadas que en la zona elástica.

4. Estricción o Falla. Llegado un punto del ensayo, las deformaciones se concentran en la parte central de la probeta apreciándose una acusada reducción de la sección de la probeta, momento a partir del cual las deformaciones continuarán acumulándose hasta la rotura de la probeta por ese zona. La estricción es la responsable del descenso de la curva tensión-deformación; realmente las tensiones no disminuyen hasta la rotura, sucede que lo que se representa es el cociente de la fuerza aplicada (creciente) entre la sección inicial y cuando se produce la estricción la sección disminuye, efecto que no se tiene en cuenta en la representación gráfica. Los materiales frágiles no sufren estricción ni deformaciones plásticas significativas, rompiéndose la probeta de forma brusca. Terminado el ensayo se determina la carga de rotura, carga última o resistencia a la tracción: la máxima resistida por la probeta dividida por su sección inicial, el alargamiento en (%) y la estricción en la zona de la rotura.

Otras características que pueden caracterizarse mediante el ensayo de tracción son la resiliencia y la tenacidad, que son, respectivamente, la energía elástica y total absorbida y que vienen representadas por el

área comprendida bajo la curva tensión-deformación hasta el límite elástico en el primer caso y hasta la rotura en el segundo.

1.4.4 Esfuerzo y Deformación Ingeniériles

Los resultados de un solo ensayo se aplican a todos los tamaños y secciones transversales de especimenes de determinado material, siempre que se convierta la fuerza en esfuerzo, y la distancia entre marcas de calibración se conviertan en deformaciones.

FEsfuerzo Ingenieril σ = ---- A0

ΔlDeformación Ingenieril ε = ---- l0

Propiedades Ingeniériles de la Prueba de Tensión σ Propiedades Elásticas E = ---- ε LDeformación verdadera εv = ln ----- L0

Donde A0 es el área de la sección transversal original del espécimen antes de que comience el ensayo, l0 es la distancia original entre las marcas de calibración y Δl Es el cambio de longitud o elongación después de haber aplicado la fuerza F.

Ductilidad % elongación (%e) y % de reducción de área (%RA) capacidad de un material para deformarse permanentemente sin romperse cuando se le aplica una fuerza en relación a su longitud o área.

Lf – L0

%e = ----------- x 100 L0

A0 - Af

%RA = ------------- x 100 A0

1.4.5 Fragilidad

La fragilidad es la cualidad de los objetos y materiales de romperse con facilidad.

Técnicamente sin embargo la fragilidad se define como la capacidad de un material de fracturarse con

escasa deformación, a diferencia de los materiales dúctiles que se rompen tras sufrir acusadas

deformaciones plásticas. La rotura frágil tiene la peculiaridad de absorber relativamente poca energía, a

deferencia de la rotura dúctil, ya que la energía absorbida por unidad de volumen viene dada por:

Si un material se rompe prácticamente sin deformación las componentes del tensor deformación ε ij

resultan pequeñas y la suma anterior resulta en una cantidad relativamente pequeña.

Los materiales que fallan bajo tensión a valores relativamente bajos de deformación unitaria se consideran frágiles. Ejemplos de materiales frágiles serian el concreto, piedra, hierro colado, vidrio, cerámica, etc. estos materiales fallan solo con un alargamiento pequeño después de llegar a su limite de proporcionalidad. Además, la reducción en su área es insignificante, por lo que el esfuerzo nominal de fractura es igual al esfuerzo ultimo real (ver diagrama).

El vidrio ordinario es un material frágil casi ideal, porque casi no tiene ductilidad. La curva esfuerzo deformación unitaria para el vidrio sometido a tensión es básicamente una recta y la falla se presenta antes de que haya fluencia alguna.

Ejemplo 1-3

Un espécimen para ensayo de tensión se maquino con un diámetro de 25mm en la sección de calibre y se sometió al ensayo con los resultados de carga-elongación siguientes:

Cargas (N) Longitud del Calibre (mm) 0 50.0000 50,000 50.0613100,000 50.1227150,000 50.1848175,000 50.50200,000 51.35225,000 52.90231,000 (ruptura) 53.40

Después de la fractura, se midió una longitud de calibre de 53.1mm y el diámetro fue de 23.25mm. Convierta los datos a esfuerzo-deformación ingenieril, grafíquelos y determine: a) El modulo elásticob) La ductilidad en por ciento de e y en por ciento de RAc) El esfuerzo verdadero y la deformación verdadera en la fractura.

π (D0)2

A0 = ----------- = π/4 (25)2 = 490.87 mm2

4Deformación Esfuerzo

Carga (N)

Lcalibre

(mm)ΔL (mm)(Lcalibre –L)

Ainst (mm2)([A0 * L]/Lcalibre)

Ing (e) (ΔL/L)

Verdadero (ε)

(ΔL/Lcalibre)

S (N/mm2)(carga/A0)

σ (N/mm2)(carga/Ainst)

0 50.0000 0 490.87 0 0 0 0 50,000 50.0613 0.0613 490.27 0.001226 0.001225 101.86 101.98100,000 50.1227 0.1227 489.67 0.002454 0.002451 203.72 204.22150,000 50.1848 0.1848 489.07 0.003696 0.003689 305.58 306.70175,000 50.50 0.50 486.01 0.100000 0.009950 356.51 360.07200,000 51.35 1.35 477.97 0.027000 0.02664 407.44 418.44225,000 52.90 2.90 463.96 0.0580 0.05638 458.37 484.96231,000 53.40 3.40 459.62 0.0680 0.06579 470.59 502.59

Grafico esfuerzo Deformacion

0

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8

Esfuerzo Deformacion Real

Esfuerzo - Deformacion Ingenieril

a) Calcular el modulo elástico o de Young

sE = -------- = 101.86/ 0.001226 = 83,083 Pascal = 83.08 GPa. e

σE = ------ = 101.98/0.001225 = 83, 248 Pascal = 83.25 GPa ε

1.4.6 Compresión

Para conocer el comportamiento de los materiales cuando están sometidos a un trabajo bajo fuerza de presión en su destino final, entiéndase esto como el momento en que se ha terminado una obra, es necesario conocer qué tanto resistirá este material cuando ya esté en uso. Para ello empleamos una de las tantas pruebas a las que se someten los materiales, la compresión. Veremos que la misma consiste básicamente en simular la presión a la cuál se somete el material en condiciones normales de uso pero de forma acelerada hasta llegar al punto de ruptura con el objetivo de analizar la resistencia máxima que el mismo puede alcanzar. En nuestro caso la descripción y análisis de la prueba de compresión tendrá su apoyo en el comportamiento del hormigón donde veremos que, al aplicar una fuerza en dirección al eje longitudinal de la probeta de prueba, que simulan las vigas de concreto, ésta tiende a disminuir su volumen hasta llevar al punto de ruptura.

Durante el estudio de la prueba veremos que no solo es importante conocer las características del material a examinar sino que para llevar a cabo con éxito la prueba de compresión, es necesario conocer el funcionamiento y componentes de la maquina con la que se realiza la prueba. Veremos que la maquina consiste básicamente en un aparato que controla una fuerza gradual que se va aplicando al material el cual se quiere examinar durante un periodo de tiempo constante.

Las curvas esfuerzo-deformación unitaria que se deriva para materiales en compresión difieren de las curvas de tensión. Los metales dúctiles, como el acero, aluminio y cobre, tienen límites de proporcionalidad en compresión muy cercanos a los de tensión y las regiones iniciales de sus diagramas de esfuerzo deformación unitaria en tensión y en compresión son más o menos iguales. Sin embargo, después de que comienza la fluencia el comportamiento es muy distinto.

E = 83.5 GPa.

b) La ductilidad en por ciento de e y en por ciento de RA

Lf – L0

%e = ----------- x 100 = {(53.1 -50)/50} X 100 = 6.2% L0

A0 - Af (π/4) (25)2 – (π/4) (23.25)2

%RA = ------------- x 100 = ------------------------------------ x 100 = 13.51 A0 (π/4) (25)2

c) El esfuerzo verdadero y la deformación verdadera en la fractura.

Esfuerzo Verdadero = 502.59 (esfuerzo de rotura σ)

Lf

Deformación verdadera = ln ------ = ln (53.10/50) = 0.060 L0

En una prueba de tensión, el espécimen se estira, puede haber una estricción y finalmente se presenta la fractura. Cuando el material se comprime, se expande hacia fuera en los lados y su forma se vuelve como un barril, porque la fricción entre el espécimen y las placas en los extremo evita la expansión lateral. Al aumentar la carga, el espécimen se aplana y ofrece una resistencia alta a mayores acortamiento, lo cual significa que la curva esfuerzo deformación unitaria aumenta su pendiente. Esta característica se puede ver en la figura adjunta. Donde se ve un diagrama esfuerzo-deformación para el cobre. Ya que el área transversal real de un espécimen probado en compresión es mayor que el área inicial, el esfuerzo real en una prueba de compresión es menor que el esfuerzo nominal.

La compresión es una presión que tiende a causar una reducción de volumen. Cuando se somete un material a una fuerza de flexión, cizalladura o torsión, actúan simultáneamente fuerzas de tensión y de compresión. Por ejemplo, cuando se flexiona una varilla, uno de sus lados se estira y el otro se comprime. Los ensayos practicados para medir el esfuerzo de compresión son contrarios a los aplicados al de tracción donde se somete a los cuerpos o materiales a fuerzas opuestas que actúan sobre los mismos produciendo cierto estiramiento.

Por lo regular el ensayo de compresión se realiza en materiales duros, semiduros o blandos teniendo en cuenta que a los materiales duros como los metales no son muy comunes que se les haga este tipo de prueba. El ensayo consiste básicamente en aplicar una fuerza en dirección del eje longitudinal o en otras palabras aplicar una fuerza estática directamente sobre el cuerpo que se quiere examinar. Esta fuerza tiende a provocar un acortamiento o disminución de volumen hasta que el material llegue al punto de ruptura.

Existen varias desventajas especiales del ensayo de compresión a los cuales nos debemos dirigir con atención:

La dificultad de aplicar una carga verdaderamente concéntrica o axial. Esto se refiere al control que se debe tener en el momento de aplicar la carga o fuerza que actuará en nuestro material de tal modo que quede justamente en el centro de forma que la fuerza sea igual en todo momento para todo en cuerpo del material.

El carácter relativamente inestable de este tipo de carga en contraste con la carga. Existe siempre una tendencia en el establecimiento de esfuerzos flexionantes ya que el efecto de las irregularidades de alineación accidentales dentro de la probeta se acentúa a medida que la carga prosigue.

La fricción entre los puentes de la máquina de ensayo o placa de apoyo y las superficies de los extremos de la probeta debido a la expansión lateral de esta altera considerablemente los resultados que se obtendrían si tal condición de ensayo no estuviera presente.

Las áreas secciónales, relativamente mayores de la probeta para ensayo de compresión para obtener un grado apropiado de estabilidad de la pieza. Esto se traduce en la necesidad de una máquina de ensaye de capacidad relativamente grandes o probetas tan pequeñas y por lo tanto, cortas que resulta difícil obtener de ellas mediciones de deformación de precisión adecuada se supone que se desean las características simples del material y no la acción de los miembros estructurales como columnas, de modo que la tensión se limita aquí al bloque de compresión corto.

Para el esfuerzo uniforme de la probeta de compresión, una sección circular es preferible a otras formas. Sin embargo, la sección cuadrada o rectangular se usa frecuentemente par piezas manufacturadas tale como el azulejo.

La selección de la relación de la longitud y el diámetro de una probeta de compresión parece se más o menos un compromiso entre varias condiciones indeseables. A medida que la longitud de la probeta aumenta se presenta una tendencia creciente hacia la tensión de la pieza. Con la consiguiente distribución no uniforme del esfuerzo sobre una sección recta se sugiere una relación en que la longitud de la probeta disminuya el efecto de la restricción fricciona en los extremos. Comúnmente se emplea una relación entre longitud y diámetro de dos o más probetas aunque la relación de altura y diámetro varié para materiales diferentes. Es por ello que para acomodar un compresómetro con la precisión y frecuencia deseada es necesario utilizar una probeta relativamente larga. El tamaño real depende del tipo de material homogéneo para los cuales se requiera solamente la resistencia ultima, pueden usarse probetas pequeñas el tamaño de las probetas de material heterogéneas debe ajustarse al tamaño de las partículas componentes o agregados. Los extremos a los cuales se aplica la carga deben ser planos y perpendiculares al eje de la probeta o de hecho, convertidos así mediante el uso del cabeceo y dispositivos de montaje. Los tramos de calibración para mediciones de deformación deben preferiblemente ser más cortos que el largo de la probeta cuando menos en diámetro de la probeta.

Las probetas para ensayos de compresión de materiales metálicos recomendados por ASTM [3] dice que las probetas cortas son para usarse con metales antifricción, las de longitud mediana para uso general y las largas para ensayos que determine él modulo de elasticidad. Las probetas para ensayos de compresión de láminas metálica deben cargarse en una plantía que provee apoyo lateral con el pandeo sin interferir con las deformaciones axiales de la probeta los detalles de estas plantillas y las probetas correspondientes estas cubiertos por la ASTM.

Para el concreto, las probetas estándar son cilindros con una altura del doble del diámetro [4]. Para el concreto con agregado de tamaño máximo no mayor de 2 pulg. El tamaño normal del cilindro es de 6 * 12 pulg. Para el concreto que contenga agregados de tamaño máximo hasta de 2.5 pulg. que se usa en un cilindro de 8 * 16 es práctica común en muchos laboratorios usar 3 * 6 pulg. para concreto con lo de agregados hasta d ¾ e pulg y para ensayos de concreto con agregados hasta de 6 pulg.)

1.4.6.1 Realización de la Prueba de Compresión

Preparación previa Cuando se quiere someter a una prueba de compresión algún material, en nuestro caso digamos cilindros de hormigón, es necesario hacer un curado del mismo donde adquiera ciertas propiedades que demuestres como será su comportamiento cuando esté sometido a un trabajo. Después de terminado este proceso, se mueven los cilindros, que por lo general mas de tres para obtener mejores resultados, y se seca la superficie de los mismos. El siguiente paso será hacer una marca de referencia en cada una de las bases de los cilindros. Esto nos servirá para ubicar el centro de los mismos y colocarlos lo mas ajustado posible en la cámara de compresión o bases circulares de la maquina. Luego de esto se conectan los cables para hacer las lecturas digitales pero sin encender la maquina hasta después de haberlas ajustado a 15 voltios. Pasado esto, colocamos el compresómetro en el cilindro y se da inicio al proceso de compresión.

Durante la prueba de compresión nuestro objetivo será reconocer la resistencia del hormigón con relación a la mezcla ya preparada de acuerdo al diseño de mezcla según fue asignado a los diferentes grupos. Con estas pruebas podemos confirmar los resultados del diseño de la mezcla y además establecer la relación entre las resistencias de tensión y flexión con la resistencia a compresión. También tendremos la oportunidad de comparar resultados a 7 y 28 días de madurez, notando el desarrollo de resistencia con respecto al tiempo y poder luego predecir resistencias a 28 días con resultados a tiempos menores.

Durante la prueba compresión también determinaremos el módulo de elasticidad del Hormigón tomando lecturas de carga y deformación del cilindro.

Aparato de compresión: El aparato de compresión puede ser una báscula de plataforma equipada con un

marco de carga activado con un gato de tornillo, o con un mecanismo de carga

hidráulica, o cualquier otro instrumento de compresión con suficiente capacidad de

control para proporcionar la velocidad de carga. En lugar de la báscula de

plataforma es común que la carga sea medida con un anillo o una celda de carga

fijada al marco (Figura 1). Para suelos cuya resistencia a la compresión

inconfinada sea menor de 100 kPa (1kg/cm2) el aparato de compresión debe ser

capaz de medir los esfuerzos compresivos con una precisión de 1 kPa (0.01

kg/cm2); para suelos con una resistencia a la compresión inconfinada de 100 kPa

(1 kg/cm2) o mayor el aparato de compresión debe ser capaz de medir los

esfuerzos compresivos con una precisión de 5 kPa (0.05 Kg/cm2).

Uno de los aparatos mas utilizados es la prensa universal (ver figura) modelos RH-10 hasta RH-50 que tienen una capacidad de carga de 10 a 50 toneladas según el modelo.

Tomemos un ejemplo: Un cubo de madera de 20 x 19.8 x 102.3 mm es sometido a una prueba de compresión. La carga máxima se determino cuando el material comienza a presentar alguna fractura y esta fue cuando la madera alcanzo una carga máxima de 1880 kg.

La altura de la madera que inicialmente es de 102.3 mm se determina su compresión en el momento en que esta cambia; considerando en todo momento que el volumen antes y después de la compresión siempre es el mismo. Calcule: esfuerzo máximo, deformación máxima y el modulo de young.

Esfuerzo

δ Deformación

a) Esfuerzo Máximo

Carga Máxima: 1880 Kg

Área de la pieza: 396 mm2

donde

h1 = 102.3 mm

h2 = 99.9 mm, por tanto:

V1 = V2 = A1 h1 =A2h2, para A2 tenemos:

A2 = (A1h1)/h2

σ = P / A2 = (P/A1) (h2/h1) de donde σ= (1880Kg / 396 mm2) (102.3mm/99.9mm)

σ = 4.8615 Kg / mm2

b) Deformación máxima

= F/A (Li-Lf)/Li

(102.3/99.9)/102.3 = 0.0234 mm / mm

c) Modulo de Young

E = σ /= 4.8615 kg/mm2 / 0.0234 mm/mm

E = 207.75/kg/mm2

1.4.7 Tabla de Propiedades Mecánicas En su libro de texto, Mecánica de Materiales” de James M. Gere existen unas tablas con propiedades mecánicas de diversos materiales, en el apéndice H empezando en la pagina 911. Estas tablas las estaremos utilizando exclusivamente para fines didácticos, por lo que se recomienda no utilizar estas tablas con fines específicos de ingeniería o de diseño. Para uso de ingeniería o diseño se recomienda consultar a los fabricantes o proveedores de materiales para obtener de ellos información acerca de sus productos.

1.5 ELASTICIDAD, PLASTICIDAD Y FLUJO PLÁSTICO.

Los diagramas esfuerzo-deformación unitaria reflejan el comportamiento de los materiales ingeniériles cuando se ensayan a tensión o en compresión, ahora que pasa cuando retiramos la carga y el material ya no esta “sometido a una carga” o descargamos el material.

Por ejemplo si aplicamos una carga a un espécimen de tensión, de forma tal que el esfuerzo y la deformación vayan desde el origen O hasta un punto A de la curva esfuerzo-deformación unitaria. Además supongamos que cuando se quita la carga el material sigue exactamente la curva y regresa al origen O. Esta propiedad del material, que es capaz de regresar a su dimensión original durante la descarga se llama elasticidad, y se dice entonces que este material es elástico.

Practica 2:Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios:Pagina 51 ejercicios 1.3-1, 1.3-2, 1.3-3, Pagina 50 ejercicios 1.3-4, 1.3-5, 1.3-6, 1.3-7

Un detalle importante es que la curva esfuerzo-deformación no necesariamente debe de ser lineal del punto O al punto A para que el material sea elástico.

Ahora imaginémonos que el mismo material se carga hasta un valor mayor, de forma tal que alcanzamos el punto B en la curva esfuerzo deformación unitaria. Cuando se descarga partiendo del punto B, el material sigue la línea BC en el diagrama. Esta línea de descarga, es paralela a la parte inicial de la curva de descarga. La línea BC será paralela a una tangente a la curva esfuerzo-deformación unitaria en el punto O.

Al llegar al punto C ya no se tiene el espécimen cargado, pero el material ha quedado con una deformación permanente, que es representada en nuestro grafico por la línea OC. La barra es más larga que antes de hincar la prueba de tensión. A este alargamiento residual se le llama cedencia permanente. De la deformación total posible (OD) la barra se recupero un poco (CD),-recuperación elástica-; pero se deformo permanentemente otro tanto (OC). Así durante la descarga, regresa a su forma original en forma parcial, por lo que se dice que el material es parcialmente elástico.

Por lo tanto es lógico pensar que en la curva esfuerzo-deformación unitario entre los puntos A y B debe haber un punto del cual el material sea elástico y inmediatamente después el material será parcialmente elástico. A este punto es el que llamamos límite elástico.

Cuando un material es cargado hasta la región plástica se presentan grandes deformaciones permanentes, se dice que el material sufre un flujo plástico.

1.5.1 Carga Repetida de un Material

Cuando un material trabaja constantemente dentro de los límites elásticos, este se puede cargar y descargar innumerables veces sin que cambie su comportamiento en forma apreciable. Sin embargo cuando se carga hasta el intervalo plástico, se altera su estructura interna y cambia sus propiedades.

Ya hemos visto que se da en un espécimen una deformación unitaria permanente después de descargarlo de la región plástica. Ahora supongamos que el material vuelve a cargarse después de la descarga. La nueva carga no se iniciara en el punto O sino que se iniciara en el punto C del diagrama y continua subiendo hasta el punto B, donde se inicio el ciclo de deformación plástica. Posteriormente seguirá su curva original de esfuerzo deformación unitaria hacia un punto F cualquiera.

Durante la segunda carga el material se comportara de forma elástica desde C hasta B, y la pendiente de la recta CB es igual a la pendiente de la tangente a la curva original de carga, en el punto O. Ahora el limite de proporcionalidad esta en el punto B, con mayor esfuerzo que el limite elástico original (punto E). De este modo al estirar un material como el acero o el aluminio hasta llevarlo al intervalo inelástico, o plástico, cambian las propiedades del material, aumenta la región linealmente elástica, aumenta el limite de proporcionalidad y aumenta el limite elástico. Sin embargo el material reducirá su ductilidad, ya que en

el “nuevo material” la cantidad de fluencia mas allá del limite elástico (de B a F) es menor que en el material original (de E a F)

1.5.2 Flujo Plástico

El flujo plástico es la propiedad de muchos materiales mediante la cual ellos continúan deformándose a través de lapsos considerables bajo un estado constante de esfuerzo o carga. La velocidad del incremento de la deformación es grande al principio, pero disminuye con el tiempo, hasta que después de muchos meses alcanza asintóticamente un valor constante.

Para entender mejor imaginémonos que una barra vertical se carga lentamente con una fuerza P y se produce un alargamiento igual a δ0. Supongamos que la carga y el alargamiento correspondientes se llevan a cabo durante un intervalo de tiempo t0. Después del tiempo t0, la carga permanece constante. Sin embargo, debido al flujo plástico la barra puede alargarse en forma gradual aun cuando la carga no cambie; nótese que después ya el alargamiento es casi mínimo.

Otra forma de interpretar el flujo plástico es la de un alambre que se estira entre dos soportes inmóviles (p.e. el alambre de tender la ropa en cada una de sus casas), por lo que tiene un esfuerzo inicial de tensión σ0 y t0 el tiempo durante el cual se estiro el alambre en el principio. Con el paso del tiempo el esfuerzo en el alambre disminuye en forma gradual y termina por llegar a un valor constante, aun cuando los extremos de los alambres no se muevan. A este proceso se le llama relajación de un material.

Es de vital importancia el flujo plástico a temperaturas elevadas y en consecuencia se debe de tener especial cuidado cuando se diseñan motores, hornos y otras estructuras que funcionen a temperaturas altas por largos periodos de tiempo.

También es importante para hormigones pretensados, los cuales pueden causar ondulaciones en las vigas, hundimientos o deformaciones.

1.6 ELASTICIDAD LINEAL LEY DE HOOKE Y RELACIÓN DE POISSON

La mayoría de los materiales estructurales (metales, madera, plásticos y cerámicos), se comportan en forma tanto elástica como lineal cuando se comienzan a cargar. En consecuencia, sus curvas de esfuerzo-deformación unitaria comienzan con una recta que pasa por el origen.

Practica 3:Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios:Pagina 53 ejercicios 1.4-1, 1.4-2, 1.4-3, 1.4-4, 1.4-5,

Un ejemplo de esto es la curva esfuerzo-deformación unitaria del acero estructural que mostramos a la derecha, donde la región desde el origen O hasta la limite proporcional (punto A) es tanto lineal como elástico.

Cuando un material se comporta en forma elástica y también presenta una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria se llama linealmente elástico. Esta clase de comportamiento tiene extrema importancia en ingeniería, por una razón mas que obvia: al diseñar estructuras y maquinarias que funcionen en esta región uno evita deformaciones permanentes debido a la fluencia. Es de vital importancia para los ingenieros diseñar, ya sean maquinarias y/o estructuras siempre en el renglón elástico lineal, y evitar así que estas maquinarias y estructuras fallen causando perdidas humanas y monetarias.

16.1 Ley de Hooke Ya vimos con anterioridad que la relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria en una barra en tensión o compresión simple se expresa con la expresión:

σ = E ε

Esta

expresión σ = E ε se acostumbra llamar Ley de Hooke. Esta expresión es una versión limitada de la Ley de Hooke porque solo se relaciona con los esfuerzos y las deformaciones unitarias axiales causadas en tensión o compresión simple de una barra. La ley completa seria estudiada en un postgrado, por su complejidad. A nosotros nos basta esta versión

El modulo de elasticidad es la pendiente del diagrama esfuerzo-deformación unitaria en la región linealmente elástica. Su unidad será Pascales en el sistema internacional.

1.6.2 Relación de Poisson

Cuando una barra prismática se carga a tensión, hemos visto que se produce una alargamiento (deformación axial), es decir la barra se hace más larga. La pregunta es de donde sale este material para hacerse mas larga… la respuesta es de su sección transversal (es decir del ancho de la barra) haciéndose mas estrecha.

A este fenómeno se llama contracción lateral que no es más que una contracción normal a la dirección de la carga aplicada.

La forma más fácil de apreciar la contracción lateral es al estirar una banda de hule, donde a simple vista se ve la reducción. Sin embargo en los metales los cambios en las dimensiones laterales (siempre en la región linealmente elástica) suelen ser demasiados pequeños para ser visibles, solamente se pueden apreciar con instrumentos de medición sensibles.

donde

σ = es el esfuerzo axialε = es la deformación unitaria axialE = constante de proporcionalidad llamada Modulo de Elasticidad

Relación de Poisson (ν): la deformación unitaria lateral ε’ en cualquier punto de una barra es proporcional a la deformación unitaria axial ε en el mismo punto, si el material es linealmente elástico. La relación de esas deformaciones unitarias es una propiedad intrínseca del material.

Esta relación adimensional suele representarse con la letra griega ni (ν) y se puede definir con la ecuación:

El signo menos significa que las deformaciones unitarias lateral y axial suelen tener signos opuestos. Por ejemplo, la deformación unitaria axial en una barra en tensión es positiva (porque aumenta la longitud de la barra) y la deformación unitaria lateral es negativa (porque disminuye el ancho de la barra). Por consiguiente, para la mayoría de los materiales ordinarios la relación de Poisson tiene un valor positivo.

Cuando conocemos la relación de Poisson de un material, se puede obtener la deformación unitaria lateral a partir de la axial como la siguiente formula:

Recuerde que estas formulas solo son aplicables a una barra bajo esfuerzo uniaxial, es decir, una barra en la que el único esfuerzo es el esfuerzo normal σ en la dirección axial.

Para todos los materiales isotropitos, Poisson determino que ν = ¼. Cálculos mas recientes, basados en mejores modelos de estructura atómica, dan como resultado que ν = 1/3. Ambos valores se acercan bastante a los valores reales experimentales, que están entre un intervalo de 0.25 a 0.35 para la mayor parte de los metales y muchos otros materiales. La excepción de esto seria el hule cuya relación de Poisson es cercana a los 0.50.

En los apéndices H-2 de su libro de texto se presentan tablas de relaciones de Poisson para diversos materiales en la región linealmente elástica. Para nuestros fines consideraremos que la relación de Poisson es igual tanto para tensión como para compresión.

ε' = -ν ε

Ejemplo 1-4

Un tubo de acero de L =4 pies de longitud, diámetro externo d2 = 6.0 pulg y diámetro interno d1 =4.5 pulg se comprime con una fuerza axial P = 140 klb. El modulo de elasticidad del material es de E = 30,000 klb/pulg2 y la relación de Poisson es ν = 0.30.Determine las siguientes variables para el tubo: a) el acortamiento δ b) la deformación unitaria lateral ε’ c) el aumento Δd2 del diámetro interior y el aumento Δd1 del diámetro interiord) el aumento Δt del espesor de la pared.

Solución

π πA = ----- (d2

2 – d12) = ------- [(6.0 pulg)2 – (4.5 pulg)2]

4 4

A = 12.37 pulg2

P 140 klbσ = - -------- = - ---------------- = - 11.32 klb/pulg2

A 12.37 pulg2

DatosL = 4 pies = 48 pulgd1 = 4.5 pulgd2 = 6 pulgP = 140 klbE = 30,000 klb/pulg2ν = 0.30

El signo menos nos indica que el tubo se reduce

σ = -11.32 klb/pulg2; se chequea este esfuerzo a ver si esta en el renglón linealmente elástico.

Para esto nos vamos a la página 914, tabla H-3 y se chequea el esfuerzo de fluencia σ Y para el acero, los cuales todos andan por los rangos de 40 hasta 150 klb/pulg2. Por lo tanto:

σ < σY

σ -11.32 klb/pulg2

ε = ------ = ----------------------- = -377.3 x 10-6 E 30,000 klb/pulg2

a) acortamiento δComo ya conocemos la deformación unitaria axial, se puede determinar el cambio de longitud en el tubo.

δ = ε L = (-377.3 x 10-6) (48 pulg) = -0.018 pulg

b) deformación unitaria lateraldesde la relación de Poisson

ε’ = - ν ε = - (0.30) (-377.3 x 10-6) = 113.2 x 10-6

c) Aumento diámetro exterior e interior

Δd2 = ε’ d2 = (113.2 x10-6) (6.0 pulg) = 0.000679 pulg

Δd1 = ε’ d1 = (113.2 x10-6) (4.5 pulg) = 0.000509 pulg

d) Aumento del espesor t

Δt = ε’ t = (113.2 x 10-6) (0.75) = 0.000085 pulg.

Δd2 - Δd1

Δt = ---------------- ½ (0.0000679 – 0.000509) = 0.000085 2

Los resultados numéricos obtenidos en este ejercicio ilustran ampliamente la magnitud de los cambios que se producen al ser aplicados un esfuerzo (no importa si es de compresión o tensión), donde se producen cambios extremadamente pequeños. A pesar de ser tan pequeños, estos cambios son muy útiles para cuando tengamos que realizar análisis de estructuras estáticamente indeterminadas y/o en la determinación experimental de esfuerzos y deformaciones unitarias.

Esto nos dice que esta muy por debajo del esfuerzo de fluencia por lo tanto el material se comporta en forma linealmente elástica y la deformación unitaria axial se puede calcular con la ley de Hooke

El signo positivo de ε’ indica el aumento de las dimensiones laterales, como se supone frente a una compresión

Otra vez el signo negativo indica una reducción en el tubo

1.7 ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORMACIÓN UNITARIA CORTANTE

Hasta ahora nos hemos ocupado de los esfuerzos normales producidos por cargas axiales que actúan sobre barras rectas. Estos esfuerzos llamados “esfuerzos normales” porque actúan en dirección perpendicular a la superficie (sección transversal) del material.

Ahora empezaremos a estudiar aquellos esfuerzos que actúan de manera tangencial a la superficie del material, llamados esfuerzos cortantes, esfuerzo de corte o esfuerzo de cizallamiento.

Uno de los mejores ejemplos para analizar el esfuerzo cortante es examinar una conexión atornillada como el que mostramos en la figura.

Esta conexión consiste de una barra plana A, una horquilla C y un tornillo B que atraviesa a la barra y a la horquilla. Sometidos a una carga de tensión P, la barra y la horquilla oprimen al tornillo en compresión y se desarrollan los esfuerzos de contactos, llamados esfuerzos de compresión o esfuerzos de carga. Además, la barra y la horquilla tienden a cortar (o cizallar) el tornillo, y son los esfuerzos cortantes quienes resisten esa tendencia.

Mas claro, veamos la conexión en una vista lateral (figura b). Con este esquema en mente tracemos un diagrama de cuerpo libre en el tornillo (figura c). Los esfuerzos que transmite la horquilla contra el tornillo aparecen del lado izquierdo del tornillo y lo hemos identificado como 1 y 3. Los esfuerzos de la barra están del lado derecho y lo identificamos con un 2.

Practica 4:Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios:Pagina 54 ejercicios 1.5-1, 1.5-2, 1.5-3, 1.5-4, 1.5-5, 1.5-6, 1.5-7Pagina 55 ejercicios 1.5-8

La distribución real de los esfuerzos de carga es difícil de determinar, por lo que se acostumbra suponer que están distribuidos uniformemente. Basándonos en la hipótesis de distribución uniforme se puede calcular un esfuerzo de carga promedio σb, dividiendo la fuerza total de carga Fb entre el área Ab.

Fb

σb = ----------------

Ab

Donde suponemos que Ab no es el área proyectada de la superficie portante curva, sino que seria el rectángulo cuya altura es igual al espesor de la horquilla y el ancho al diámetro del tornillo. F b por su parte es representada por los esfuerzos marcados con 1, y que es igual a P/2. Lo mismo ocurre para la otra sección de la horquilla con el área y los esfuerzos marcados con 3.

Para el área marcada con el 2, recordemos que tiene una barra plana y que su área Ab será igual al rectángulo con altura igual al espesor de la barra plana y ancho igual al diámetro del tornillo. La fuerza correspondiente Fb es igual a la carga P.

Si vemos con detenimiento la figura c observaremos que hay una tendencia a cortar el tornillo en los cortes transversales mn y pq, llamados planos de corte y es donde actúa las fuerzas de corte V. En este ejemplo existen dos planos de corte por lo que decimos que el tornillo esta bajo doble cortante, que es igual a la mitad de la carga transmitida por el tornillo, es decir V = P/2.

Otro ejemplo seria el de una conexión atornillada en corte simple (ver figura), en donde la fuerza axial P en la barra metálica se transmite a la brida de la columna de acero a través de un tornillo.

Si realizamos un corte transversal a la columna (figura b) vemos con más detalle la conexión. De igual modo, en un esquema del tornillo (figura c) se ve la distribución supuesta de los esfuerzos de carga que actúan sobre el tornillo. Haciendo un corte en el tornillo en mn obtenemos el diagrama de la figura d, que incluye la fuerza cortante V que en este caso es igual a P que actúa sobre el área transversal del tornillo.

El esfuerzo cortante promedio sobre el área transversal de un tornillo se obtiene dividiendo la fuerza total de corte V entre el área A de la sección transversal sobre la cual actúa.

1.7.1 Igualdad de los Esfuerzos Cortantes sobre Planos Perpendiculares

Si queremos tener una imagen mas completa de la acción de los esfuerzos cortantes, consideremos un elemento pequeño de material cualquiera con forma de un paralepípedo rectangular con sus lados de longitudes a, b, y c en las direcciones x, y, y z. las caras frontal y trasera de este elemento no tienen esfuerzos.

Suponga ahora que un esfuerzo cortante τ1 esta uniformemente distribuido sobre la cara de la derecha cuya área es bc. Para que el elemento este en equilibrio en la dirección y, la fuerza total de corte τ1bc que actúa sobre la cara de la derecha debe de estar equilibrada por una fuerza de corte igual y dirección contraria que actué sobre la cara izquierda. Ya que las áreas de esas dos caras son iguales los

esfuerzos cortantes deberán de ser iguales.

Las fuerzas τ1bc que actúan sobre la cara de la derecha y de la izquierda forma un par que tiene un momento respecto al eje z de magnitud τ1abc, que actúa en dirección contraria a las manecillas del reloj como se ve en la figura. Para que el elemento este en equilibrio se requiere que este momento se equilibre con uno igual y opuesto, resultante de los esfuerzos cortantes que actúan sobre las caras superior e inferior del elemento. Si se representan los esfuerzos sobre las caras superiores e inferiores por τ2, se ve que las fuerzas cortantes horizontales son iguales a τ2ac. Esas fuerzas forman un par en el sentido de las manecillas del reloj de magnitud τ2abc. Para que haya equilibrio de momentos para el elemento, respecto al eje z se ve que τ1abc es igual τ2abc, o sea que

τ1 = τ2

En resumen podemos llegar a las siguientes observaciones sobre un paralepípedo rectangular sometido a esfuerzos cortantes:

1. los esfuerzos cortantes sobre caras opuestas (y paralelas) de un elemento son de igual magnitud y de dirección opuesta.

Vτprom = ---------- A

Nota Importante: En las descripciones anteriores de conexiones atornilladas no se tuvieron en cuenta la fricción (producidas al apretar el tornillo) entre los elementos que se conectan. La presencia de la fricción equivale a la parte de la carga que es tomada por fuerzas de fricción reduciendo con ello las cargas sobre los tornillos. Como es difícil y poco fiable la estimación de fuerzas de fricción, se acostumbra a dejar de lado estas fuerzas y omitirlas en los cálculos.

2. Los esfuerzos cortantes sobre las caras adyacentes (y perpendiculares) de un elemento son de igual magnitud y sus direcciones son tales que ambos esfuerzos apunta o se alejan de la línea de intersección de las caras.

1.7.2 Deformación Unitaria Cortante

Los esfuerzos cortantes que actúan sobre un elemento de material se acompañan con deformaciones unitarias cortantes. Para visualizarlas lo primero que debemos tener en cuenta que estas deformaciones por cortante no tienden a alargar o acortar el elemento x,y,y z, en otras palabras las longitudes no cambian .

Los esfuerzos cortantes producen un cambio en la forma del elemento.

Si suponemos que el elemento original es un paralepípedo rectangular, al deformarse tomara la forma de un paralepípedo oblicuo y las caras frontales y posteriores se vuelven romboides.

Esta deformación será un ángulo (γ) de distorsión medido con respecto a la vertical y/o horizontal, y se llama deformación unitaria cortante. Como es un ángulo se mide en grados o radianes.

1.7.3 Convención de signos para esfuerzos cortantes y deformaciones unitarias cortantes

Para poder comunicar nuestros resultados con otras personas es necesario unificar criterios sobre los signos de los esfuerzos que aplicamos. En nuestro caso es de establecer la de los esfuerzos y las deformaciones unitarias cortantes. Utilizando el mismo esquema anterior de un paralepípedo, llamaremos caras positivas del elemento a las que se encuentran orientadas en las direcciones positiva de los ejes. Es decir, una cara positiva tiene su normal al exterior dirigida hacia la dirección positiva de un eje coordenado. Las caras opuestas serán las negativas.

Utilizando la terminología del párrafo anterior, la convención de signos para los esfuerzos cortantes y las deformaciones unitarias cortantes son las siguientes:

Un esfuerzo cortante que actúa sobre una cara positiva de un elemento es positivo si actúa en la dirección positiva de uno de los ejes coordenados y es negativa si actúa en la dirección negativa de un eje. Un esfuerzo cortante que actúa sobre una cara negativa de un elemento es positivo si actúa en la dirección negativa del eje y es negativo si actúa en dirección contraria.

La deformación unitaria cortante de un elemento es positiva cuando se reduce el ángulo entre dos caras positivas (o entre dos caras negativas). La deformación unitaria es negativa cuando aumenta el ángulo entre dos caras positivas (o entre dos caras negativas).

1.7.4 Ley de Hooke en Corte

Los materiales sometidos a esfuerzo cortante sus propiedades pueden obtenerse normalmente de forma experimental. Para ello es necesario someter un tubo circular a torsión, que producirá un estado de corte puro (explicado en la segunda parte de esta materia).

A partir de los resultados de estas pruebas se puede trazar el diagrama de esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante (es decir un diagrama de τ en función de γ). Los diagramas que se obtienen son semejantes a los de esfuerzo axial-deformación.

El tramo inicial de diagrama de esfuerzo cortante- deformación unitaria cortante es una línea recta análoga a la del esfuerzo axial- deformación, por lo que, de forma semejante, puede establecerse la Ley de Hooke para esfuerzo cortante, cuya expresión tiene la forma:

El modulo de rigidez (G) tiene las mismas unidades que el modulo de Elasticidad (E), que son lb/pulg2, klb/pulg2 en el sistema ingles y Pascal (o sus múltiplos) en el SI. Para el hierro fundido los valores característicos de G es de 32 hasta 69 GPa mientras que el modulo de elasticidad para el hierro fundido es de 83 a 170 GPa.

Los módulos de elasticidad y el modulo de rigidez se relacionan entre si por medio de la siguiente ecuación:

donde ν es la relación Poisson.

Esta ecuación nos indica que E, G y ν no son propiedades independientes entre si, sino todo lo contrario. Si como dijimos los valores de ν varían entre cero y 0.50, en la ecuación se ve que G debe de ser de un tercio a la mitad de E.

donde: τ: es el esfuerzo cortante en Pascal γ: es la deformación angular en radianesG: es el denominado modulo de elasticidad a esfuerzo

cortante, también llamado modulo de rigidez.

Ejemplo 1-5En la figura se ve un punzón para perforar placas de acero. Supongamos que para generar un agujero en una placa de 8 mm se usa un punzón cuyo diámetro es de d= 20 mm. Si se requiere una fuerza P=110 kN para realizar el agujero ¿cuál es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio en el punzón?

Datos t= 8 mmd= 20 mmP= 110 kN

Solución:

a) esfuerzo cortante promedio en la placa

se obtendrá dividiendo la fuerza P entre el área de la placa sometida al corte. El área de corte A s es igual a la circunferencia del agujero por el espesor de la placa

As = π d t = π (20 mm) (8 mm) = 502.7 mm2

P 110 * 1000τprom = ------ = --------------------- = 219 MPa

As 502.7

b) el esfuerzo promedio de compresión en el punzón es:

P P 110 (1000)σc = ----------- = ------------- = ---------------- = 350 MPa

Apunzón π d2/4 π (20mm)2/4

Ejemplo 1-6Un tornapunta de acero (S) sirve como puntal en un montacargas para botes; transmite una fuerza de compresión P = 12 klb a la cubierta de un muelle. El puntal tiene una sección transversal cuadrada hueca con espesor de pared t = 0.375 pulg, y el ángulo θ entre el poste y la horizontal es 40º. Un pasador atraviesa el poste transmite la fuerza de compresión del poste a dos soportes G, soldados a la placa de base B. La placa de base esta sujeta a la cubierta con cuatro anclas.El diámetro del pasador es dpas= 0.75 pulg, el espesor de las cartelas es tG = 0.625 pulg, el espesor de la placa de la base es tB = 0.375 pulg y el diámetro de las anclas es de dancla = 0.50 pulg. Determinar los siguientes esfuerzos:a) el esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasadorb) el esfuerzo cortante en el pasadorc) el esfuerzo de soporte entre el pasador y las cartelasd) el esfuerzo de soporte entre las anclas y la placa de basee) el esfuerzo cortante en las anclasNo tenga en cuenta fricción alguna entre la placa de base y la cubierta.

a) Esfuerzo de Soporte entre el puntal y el pasadorCalcularemos el esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasador dividiendo la fuerza en el puntal entre el área total de soporte del puntal contra el pasador . Esta área es igual a dos veces el espesor del puntal (ya que el apoyo está en dos lugares) por el diámetro del pasador

Datos: dpas= 0.75 pulgtG = 0.625 pulgtB = 0.375 pulgdancla = 0.50 pulgP = 12 klbtpared = 0.375 pulgθ = 40º

P 12 klbσb1 = ------------ = ---------------------------------- = 21.3 klb/pulg2

2 t dpas 2 (0.375 pulg) (0.75 pulg)

b) esfuerzo cortante en el pasadorEl pasador se corta en dos planos, que son los planos entre el puntal y las cartelas. Por consiguiente el esfuerzo cortante promedio en el pasador (que esta a cortante doble) es igual a la carga total aplicada al pasador dividida entre dos veces su área transversal.

P 12 klbτpas = --------------- = ------------------- = 13.6 klb/pulg2

2 π d2pas/4 2 π (0.75)2/4

c) esfuerzo de apoyo entre pasador y soporteEl pasador se apoya contra los soportes en dos lugares, por lo que el área e apoyo es el doble del espesor de los soportes por el diámetro del pasador

P 12 klbσb2 = ------------ = -------------------- = 12.8 klb/pulg2

2 tG dpas 2 (0.625) (0.75)

d) esfuerzo de soporte entre las anclas y la placa de basela componente vertical de la fuerza P se transmite al muelle por apoyo directo entre la placa de base y el muelle. Sin embargo la componente horizontal se transmite a través de las anclas. El esfuerzo promedio de carga entre la placa de la base y las anclas es igual al componente horizontal de la fuerza P dividido entre el área de carga de cuatro tornillos. El área de carga de un tornillo es igual al espesor de la placa de base multiplicado por el diámetro del tornillo.

P cos 40º 12 cos 40 ºσb3 = ------------ = ------------------------------- = 12.3 klb/pulg2

4 tB dtorn 4 (0.375pulg) (0.50pulg)

e) esfuerzo cortante en las anclas

El esfuerzo cortante promedio en las anclas es igual al componente horizontal de la fuerza P dividido entre el área transversal total de los cuatro tornillos de anclaje(note que cada tornillo está sometido a cortante sencillo.

P cos 40 º 12 klb (cos40º)τtorn = --------------- = ------------------------ = 13.6 klb/pulg2

4 π d2torn/4 4 π (0.50pulg)2/4

Ejemplo 1-7

Una placa de apoyo de las que se usan para soportar maquinas y vigas de puente consiste en un material linealmente elástico (por lo general un elastómero, como hule) recubierto con una placa de acero. Suponer que el espesor del elastómero es h, las dimensiones de la placa son a x b y que la placa de apoyo esta sujeta a una fuerza cortante horizontal V. Deducir las formulas del esfuerzo cortante promedio τprom, en el elastómero y el desplazamiento horizontal d de la placa. Ver figura.

SoluciónSe supone que los esfuerzos cortantes se distribuyen uniformemente en todo el volumen del elastómero. Entonces, el esfuerzo cortante en cualquier plano horizontal del elastómero es igual a la fuerza de corte V dividida en el área ab del plano: V

τprom= --------- ab

la deformación cortante (de acuerdo a la ley de Hooke) τprom Vγ = ----------- = ----------- Ge ab Ge

El desplazamiento horizontal d es igual a h tan γ V

d = h tan γ = h tan (--------- ) ab Ge

h Vd = h γ = --------------

ab Ge

Datos

espesor = hdimensiones = a x bcortante horizontal = Vdesplazamiento horizontal = d

donde Ge es el modulo del material elastomérico en corte.

como para ángulos muy pequeños tan γ ≈ γ por lo que podemos sustituir en la formula tan γ por γ

Practica 5:Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios:Pagina 55 ejercicios 1.6-1, 1.6-2, 1.6-3, Pagina 56 ejercicios 1.6-4, 1.6-5, 1.6-6, 1.6-7Pagina 57 ejercicios 1.6-8, 1.6-9, 1.6-10, 1.6-11Pagina 58 ejercicios 1.6-12, 1.6-13

1.8 ESFUERZO Y CARGAS ADMISIBLES

En Introducción a la Ingeniería a ustedes les definieron la ingeniería como la aplicación de la ciencia a las finalidades comunes de la ciencia.

Si queremos cumplir con esta finalidad o misión profesional los ingenieros debemos de diseñar una variedad de objetos para satisfacer las necesidades básicas de la sociedad. Entre estas necesidades están: las viviendas, agricultura, transporte, comunicaciones, entre muchas otras…

Los factores a considerar cuando uno realiza un diseño comprenden funcionalidad, resistencia, apariencia, economía, efectos ambientales, durabilidad, etc. Sin embargo como nuestra finalidad aquí es el estudio de la resistencia de los materiales, nuestra finalidad principal en este curso será diseñar estos elementos para que tengan la resistencia necesaria para cumplir con su cometido.

Podemos definir la resistencia como la capacidad que tiene un elemento de soportar y transmitir cargas. Los objetos de que hablamos son vigas, columnas, losas de entrepiso o techo, maquinarias, recipientes, camiones, aviones, barcos, etc. A estos objetos se les llama normalmente cuando nosotros le trabajamos, “estructuras”.

Por lo tanto podemos concluir que “una estructura es cualquier objeto que debe soportar o transmitir cargas”.

1.8.1 Factores de Seguridad

Un requisito esencial para que la construcción cumpla sus funciones es que no sufra fallas o mal comportamiento debido a su incapacidad para soportar las cargas que sobre ella se imponen. Además, deben de cuidarse otros aspectos como los relativos al funcionamiento y a la habitabilidad, que en general son responsabilidad de otras materias. En general, el ingeniero estructuralista no debe olvidar que:

Las obras no se construyen para que resistan. Se construyen para alguna otra finalidad o función que lleva como consecuencia esencial, el que la construcción mantenga su forma y condiciones a lo largo del tiempo. Su resistencia es una condición fundamental, pero no es su finalidad única, ni siquiera la finalidad primaria.1

Basándonos en lo anterior de que la resistencia es la capacidad de una estructura para resistir cargas, podemos reformular esta afirmación para que diga que: “la resistencia real de una estructura cualquiera debe de ser mayor que la resistencia requerida”.

La relación de la resistencia real comparada con la resistencia requerida es lo que se llama factor de seguridad (n).

1 Diseño Estructural, Roberto Meli Piralla, Ediciones Revolucionarias, Abril 1987

Una estructura es un mecanismo diseñado y construido para soportar cargas y resistir fuerzas. El objeto de la mecánica de materiales es la de estudiar de forma metódica la formación y el análisis de las estructuras.

Resistencia RealFactor de Seguridad (n) = ----------------------------

Resistencia Requerida

Como es lógico este factor de seguridad siempre deberá ser mayor que 1, para evitar la falla. Dependiendo de que se este diseñando, para que y la economía entre muchos otros factores, n variara de un poco mas de 1 hasta 10. En la practica real este numero varia entre 1.5 hasta 8.

La determinación de una factor de seguridad también debe tener en cuenta lo siguiente: probabilidad de sobrecargas accidentales de la estructura, debido a que las cargas exceden las cargas de diseño; tipos de cargas (estáticas o dinámicas); si las cargas se aplican una vez o si son reiterativas; la exactitud de conocer las cargas; la posibilidad de que el material falle por fatiga; inexactitudes en la construcción (error humano); deterioro debido a efectos ambientales; exactitud de los métodos de análisis, etc. Si al sumar todos estos, el factor de seguridad es muy grande, la estructura será muy costosa, y quizás inadecuada para sus funciones (por ejemplo muy grande y pesada ).

Imaginémonos que usted debe de diseñar un techo de una vivienda cerca del mar. Usted deberá tomar en consideración para realizar sus cálculos el peso del techo, el peso de los hombres que van a trabajar en el, si viene un huracán, tener en cuenta la velocidad de sus vientos, estamos en una zona sísmica, el salitre es un elemento altamente corrosivo, existe un río cercano así que deberíamos tomar en cuanta lo posibilidad de que hubiera una inundación, pero luego que la colocación del techo se haya hecho de forma errónea, o que la madera utilizada fuera de mala calidad, el hormigón que se vació quedo con burbujas dentro de el, etc.

Si tomamos en cuanta todos los factores que enunciamos este será el techo mas caro del mundo, cuales son las probabilidades de que en medio de un huracán estén dos hombres trabajando encima del techo, que ocurra un terremoto, que la mano haya sido mala al igual que el hormigón… si usted es un ingeniero serio, mínimas.

Por eso es que los factores de seguridad deben de determinarse deforma probabilística y tomar los riesgos mas probables y que de alguna manera ya incluyan algunos otros (p.e. si la resistencia del viento ya es mayor que la de dos hombres trabajando… solo utilice la resistencia al viento). En general los factores de seguridad ya vienen dados en las normas y especificaciones de construcción y son establecidos por ingenieros con una vasta experiencia. Estos códigos y reglamentos lo que pretenden darnos un grado razonable de seguridad sin que los costos aumenten demasiados.

Ahora en la ingeniería mas que factores de seguridad se habla de márgenes de seguridad, y se define como el margen de seguridad menos uno multiplicado por 100, y se expresa en por ciento.

Margen de seguridad = (n-1) x 100.

1.8.2 Esfuerzos Admisibles

Para muchas estructuras (por no decir que la mayoría) es mucho mas importante que el material permanezca dentro del intervalo linealmente elástico, para evitar deformaciones permanentes cuando se quiten las cargas. Para esto es necesario establecer el factor de seguridad con respecto al punto de fluencia de la estructura.

La fluencia se inicia cuando se llega al esfuerzo de fluencia en cualquier punto de la estructura. En consecuencia, al aplicar un factor de seguridad con respecto al esfuerzo de fluencia(o resistencia de fluencia) se obtiene un esfuerzo admisible (o esfuerzo de trabajo) que no se debe rebasar en lugar alguno de la estructura.

Resistencia de FluenciaEsfuerzo Admisible = --------------------------------

Factor de Seguridad

Para tensión y corte respectivamente lo podemos escribir como:

σY τY

σadm = ------ y τadm = ------ n1 n2

siendo σY y τY los esfuerzos de fluencia y n1 y n2 los factores de seguridad correspondientes.

Uno de los factores de seguridad mas utilizados en la construcción para los aceros estructurales es de 1.67; así un acero dulce con un esfuerzo de fluencia de 36klb/pulg2 tiene un esfuerzo admisible de 21.6 klb/pulg2.

En algunos casos el factor de seguridad se aplica al esfuerzo último y no al esfuerzo de fluencia, este método es adecuado para materiales frágiles, como el concreto, el vidrio o algunos plásticos y para materiales que no tengan un esfuerzo de fluencia claramente definido, como la madera y los aceros de alta resistencia. En estos casos, los esfuerzos admisibles en tensión y corte son:

σU τU

σadm = ------ y τadm = ------ n3 n4

Utilizando el ejemplo anterior para el acero dulce cuyo factor de seguridad es de 1.67 con respecto a la fluencia, le corresponde un factor de seguridad aproximado de 2.8 con respecto a la última resistencia.

1.8.3 Cargas Admisibles

Habiendo ya establecido el esfuerzo admisible para un material y estructura determinado, se puede determinar la carga admisible para esa estructura.

La relación entre la carga admisible y el esfuerzo admisible depende directamente del tipo de estructura. Aquí nos ocuparemos por ahora de las estructuras más elementales tales como: barras en tensión o compresión, pasadores o tornillos en corte directo y en apoyos.

En estas estructuras los esfuerzos están uniformemente distribuidos (o suponemos que lo están) sobre un área.

Por ejemplo:1. en el caso de una barra en tensión el esfuerzo esta uniformemente distribuido sobre el área

transversal, siempre que la fuerza axial resultante actué pasando por el centroide del área transversal.

2. lo mismo ocurre con una barra sometida a compresión, siempre que esta no se pandee.

3. en el caso de un pasador sometido a corte, solo tendremos en cuenta el esfuerzo cortante promedio sobre el área transversal lo que equivales a suponer que el esfuerzo cortante esta uniformemente distribuido

4. De igual manera, solo consideraremos un valor promedio esfuerzo de apoyo que actúa sobre el área proyectada del pasador.

Para los cuatro casos precedentes la carga admisible (también llamada carga permisible) es igual al esfuerzo admisible por el área sobre la que actúa.

Carga admisible = (Esfuerzo Admisible) (Área)

Para barras en tensión y compresión directas (sin pandeo), la ecuación se transforma en

Padm = σadm A

Siendo σadm el esfuerzo normal admisible y A la sección transversal de la barra. Si la barra tiene un orificio (es decir es un tubo) se utiliza el área neta cuando la barra esta en tensión. Si la barra esta en compresión puede usarse el área bruta si el orificio se ocupa con un pasador o tornillo, que pueda transmitir los esfuerzos de compresión.

Para pasadores o pernos en corte directo, la ecuación se transforma en:

Padm = τadm ADonde τadm es el esfuerzo cortante admisible y A es el área sobre la cual actúan los esfuerzos cortantes. Si el pasador esta sometido a corte sencillo, el área en es área transversal del pasador; si esta en corte doble, es el doble del área transversal.

Por último para calcular la carga admisible en el apoyo es:

Padm = σb Ab

En la que σb es el esfuerzo admisible en el apoyo y Ab es el área proyectada del pasador, u otra superficie sobre la cual actúen los esfuerzos de apoyo.

Ejemplo 1-8

Una barra de acero sirve de soporte colgante para maquinaria pesada en una fábrica y se fija en un soporte mediante la conexión atornillada que se muestra en la figura. La parte principal del colgante tiene una sección transversal rectangular b1 =1.5 pulg de ancho y t = 0.5 pulg de espesor. En la conexión aumenta el soporte colgante hasta alcanzar un ancho b = 3.0 pulg. El tornillo que transfiere la carga del colgador a las dos cartelas, tiene un diámetro d =1.0 pulg.Determinar el valor admisible de la carga de tensión P en el colgante con base en las cuatro consideraciones siguiente:

a) el esfuerzo admisible de tensión en la parte principal del soporte colgante es de 16,000 lb/pulg2.

b) es esfuerzo admisible de tensión en su sección transversal por el orificio del tornillo es 11,000 lb/pulg2 (en esta parte, el esfuerzo admisible es menor, por las concentraciones de esfuerzos en torno al orificio).

c) el esfuerzo admisible de carga entre el soporte colgante y el tornillo es de 26,000 lb/pulg2.

d) el esfuerzo cortante admisible en el tornillo es de 6,500 lb/pulg2.

Solución: a) la carga admisible P1 según el esfuerzo en la parte principal del soporte colgante, es igual al

esfuerzo admisible en tensión por el área transversal del colgador P1 = σadm A = σadm b1t = 16,000 lb/pulg2) (1.5 pulg x 0.5 pulg)

P1 = 12,000 lb

b) El área transversal del soporte colgante que atraviesa su orificio de tornillo, se debe de hacer un calculo parecido, pero con un esfuerzo admisible distinto y un área distinta. El área transversal neta, es decir, el área que queda después de haber perforado el orificio en la barra, es igual al ancho neto por el espesor.

P2 = σadm A = σadm (b2-d) t = (11,000 lb/pulg2) (3.0 pulg – 1.0 pulg) (0.5 pulg)

P2 = 11,000 lb

c) la carga admisible respecto al apoyo entre el soporte colgante y el tornillo es igual al esfuerzo admisible de apoyo por el área de apoyo. El área portante es la proyección del área real de contacto que a su vez es igual al diámetro de tornillo por el espesor del soporte colgante.

P3 = σb A = σb d t = (26,000 lb/pulg2) (1.0 pulg) (0.5 pulg)

P3 = 13,000

d) la carga admisible por corte en el tornillo es igual al esfuerzo cortante admisible multiplicado por el área de corte. Esta rea de corte es el doble del área transversal del tornillo (ya que el tornillo esta a doble corte).

P4 = τadm A = τadm (πd2/4) = (6,500 lb/pulg2) (2) (π) (1.0 pulg)2/4

P4 = 10,200 lb.

Al comparar los resultados anteriores se ve que el valor mínimo de la carga es

Padm = 10,200 lb.

1.9 DISEÑO PARA CARGAS AXIALES Y CORTE DIRECTO

Practica 5:Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios:Pagina 60 ejercicios 1.7-1, 1.7-2, 1.7-3, 1.7-4, 1.7-5,Pagina 61 ejercicios 1.7-6, 1.7-7, 1.7-8, Pagina 62 ejercicios 1.7-9, 1.7-10, 1.7-11, 1.7-12Pagina 63 ejercicios 1.7-13, 1.7-14

Acabamos de ver la determinación de las cargas admisibles en estructuras sencillas y como determinar los esfuerzos, y las deformaciones totales de barras. El determinar la cantidad y dirección de estas magnitudes es lo que se llama “analizar una estructura” o simplemente “análisis”.

En el contexto de la mecánica de materiales, el análisis consiste en determinar la respuesta de una estructura a las cargas, cambios de temperatura y cualquier otra acción o reacción física.

Por respuesta de una estructura se entienden los esfuerzos, deformaciones unitarias, y deformaciones totales producidas por las cargas. Una respuestas también puede ser la capacidad de carga de una estructura (p.e. la carga admisible sobre una estructura es una forma de respuesta).

Se dice que conocemos una estructura cuando se cuenta con una descripción física completa de ella, esto es, cuando conocemos todas sus propiedades. Entre las propiedades que debemos conocer de una estructura están:

1. tipos de miembros y la forma en que están dispuestos

2. las dimensiones de todos los miembros,

3. los tipos de apoyo y los lugares donde se ubican

4. los materiales usados

5. las propiedades de dichos materiales

Así, cuando se analiza una estructura, se dan las propiedades y se determina la respuesta.

El proceso inverso de un análisis, es el diseño. Cuando uno diseña una estructura, se deben de determinar las propiedades de la estructura para que puedan soportar las cargas y cumplir sus funciones. El ejemplo clásico de un diseño técnico es determinar el tamaño de un miembro que va a soportar las cargas dadas.

El diseño de una estructura suele ser un proceso mucho mas largo y difícil que el de analizarla; el análisis realmente no es mas que una parte característica del proceso de diseño.

Lo que haremos ahora será ver el diseño en su forma más elemental, calculando los tamaños necesarios de miembros a tensión y a compresión simple, así como pasadores y tornillos cargados en corte. En estos casos el proceso de diseño es bastante directo, si se conocen las cargas que se van a transmitir y los esfuerzos admisibles en los materiales, se puede calcular las áreas requeridas en los miembros, utilizando la siguiente ecuación:

Carga por transmitir

Área requerida = ----------------------------

Esfuerzo Admisible

Esta ecuación es valida para cualquier estructura en la que los esfuerzos este uniformemente distribuidos sobre el área.

Además las consideraciones de resistencia es muy probable que en el diseño de una estructura entren la rigidez y la estabilidad.

La rigidez es la capacidad de la estructura para resistir cambios de forma.

La estabilidad es la capacidad de la estructura de recibir pandeo bajo fuerzas de compresión.

El pandeo es la variable principal que se considera al diseñar columnas (miembros esbeltos sometidos a compresión).

Al analizar o diseñar una estructura, las fuerzas que actúan sobre ella las llamaremos carga o reacciones.

Las cargas son fuerzas activas que se aplican a la estructura debido a algunas causas externas, como la gravedad, presión de agua, viento, movimientos sísmicos del suelo, etc.

Las reacciones son fuerzas pasivas que se inducen en los soportes de la estructura. Sus magnitudes y direcciones se determinan por la naturaleza de la estructura mínima.

Por esto es que como parte de un análisis es necesario calcular las reacciones mientras que las cargas las conocemos de antemano.

Ejemplo 1-9

La armadura de dos barras ABC (ver figura anexa) tiene soportes con pasadores en los puntos A y C, que están a 2.0 m de distancia. Los miembros AB y BC son barras de acero conectadas por un pasador en la junta B. La longitud de la barra BC es de 3.0 m. Un letrero que pesa 5.4 kN esta colgado de la barra BC en los puntos D y E a 0.8 y a 0.4 m, respectivamente, de los extremos de la barra.Determinar el área transversal necesaria en la barra AB, y el diámetro necesario del pasador en el soporte C, si los esfuerzos admisibles en tensión y corte son 125Mpa y 45 Mpa respectivamente. Los pasadores en los soportes están en corte doble. No tome en cuenta los pesos de los miembros AC y BC.

DatosLAC = 2.0 mLCB = 3.0 mLCD = 0.80 mLEB = 0.40 mLED = 1.80 mW = 5.4 kNσadm = 125 MPaτadm = 45 MPa

Diagrama de Cuerpo Libre

Solución

El objetivo de este ejercicio es determinar el tamaño de la barra AB y del perno en el soporte C requerido. Para poder llegar a esto primero deberemos de determinar las fuerzas de tensión en la barra y la fuerza de corte que actúa sobre el pasador. Esto lo podemos obtener basándonos en el diagrama de cuerpo libre.

Calculo de las Reacciones Basándonos en el diagrama de cuerpo libre (a) vemos todas las fuerzas que actúan sobre la armadura que son las cargas debidas al peso del letrero y las fuerzas de reacción que se ejercen sobre los pasadores de soporte en A y C. Cada reacción se indica con sus componentes horizontal y vertical, y la reacción resultante se representa por una línea interrumpida. (fíjense el uso de líneas diagonales que cruzan las flechas, para que podamos distinguir las reacciones de las cargas).

Para poder calcular la reacción horizontal en A debemos de tomar momento con respecto a C:

∑MC = 0 = RAH (2.0) – 2.7kN (0.8m) – 2.7 kN(2.6m)

2RAH = 2.16 + 7.02

RAH = 9.18/2

RAH = 4.59 kN

Si sumamos las fuerzas horizontales tenemos que

∑FH = 0 = RCH + RAH = 0 RAH = RCH = 4.59 kN

Para obtener la componente vertical de la relación en el soporte C se puede usar un diagrama de cuerpo libre del miembro BC. Al sumar momentos con respecto a la junta B encontramos la reacción vertical en C

∑MB = 0 = -RCV (3.0 m) + (2.7kN) (2.2m) + (2.7kN) (0.4m) = 0

RCV = 2.34 kN

Para obtener la reacción vertical en A debemos volver a usar el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y hacer una sumatoria de fuerzas verticales.

∑Fvert = 0 = RAV + RCV – 2.7 KN – 2.7 kN = RAV + 2.34 kN - 5.4 kN

RAV = 3.06 kN

Conociendo las componentes verticales y horizontales de los apoyos A y C podemos obtener la reacción.

RA = √ (RAV)2+ (RAH)2 = 5.516 kN

RC = √ (RCV)2+ (RCH)2 = 5.152 kN

La fuerza de tensión en la barra AB es igual a la reacción en A.FAB = RA = 5.516 kN

La fuerza cortante que actúa en el pasador C es igual a la reacción en CVC = RC = 5.152 Kn

área Necesaria en la Barra

El área transversal requerida en la barra AB se calcula dividiendo la fuerza de tensión entre el esfuerzo admisible. FAB 5.516 kN (1000)

AAB = ------------ = ---------------------- = 44.13 mm2

σadm 125 Mpa

La barra se deberá diseñar con una área transversal igual o mayor a los 44.13 mm2, para que pueda soportar el peso del letrero.

Diámetro requerido en el pasador

Recordemos que el pasador esta sometido a doble corte por lo que VC 5.152 kN (1000)

Apas = --------- = ------------------------- = 57. 2 mm2

2 τadm 2 (45 Mpa)

El diámetro del pasador se puede calcular con la formula

dpas = √ 4Apas/π = 8.54 mm

Se necesitara un pasador de por lo menos 8.54 mm para que pueda soportar el letrero.

Practica 6:Del libro de texto “Mecánica de Materiales” de James M Geres, los ejercicios:Pagina 63 ejercicios 1.8-1, 1.8-2, 1.8-3, Pagina 64 ejercicios 1.8-4, 1.8-5, 1.8-6, 1.8-7, Pagina 65 ejercicios 1.8-8, 1.8-9, 1.8-10, 1.8-11Pagina 63 ejercicios 1.8-12, 1.8-13