INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

CÁLCULO DIFERENCIAL

TEMAS:

APLICACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA DE LA DERIVADA

LA VARIACIÓN EN FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

AUTOR:

VEINTIMILLA DAVID

NIVEL: SEGUNDO

DOCENTE: MG. CESAR MEJÍA

FECHA: 28/01/2016

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TABLA DE CONTENIDO1. INTRODUCCION 32. OBETIVO GENERAL 4

2.2OBJETIVOS ESPECIFICOS 43. APLICACIÓN GEOMETRICA Y FISICA DE LA DERIVADA

54. LA VARIACION EN FUNCIONES CRECIENTES Y

DECRECIENTES 95. BIBLIOGRAFIA 6

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1. INTRODUCCION

Este trabajo enfoca plenamente el desarrollo sobre temas como Aplicación geométrica y física de la derivada y La variación de funciones crecientes y decrecientes, donde se verán conceptos, definiciones de los respectivos temas. Así teniendo un mejor enfoque y entendimiento sobre Aplicaciones geométricas y físicas de la derivada y La variación de funciones creciente y decreciente.

Se ha propuesto ejercicios sobre los temas a tratar, la cual se aplicaran conocimientos anteriormente adquiridos, como es la derivación, para dar a conocer la resolución de este tipo de problemas o ejercicios, esperando tener la comprensión requerida.

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2. OBJETIVO ESPECIFICO

Conceptualización de la Aplicación geométrica y física de la derivada y la variación de funciones crecientes y decrecientes.

2.1. OBJETIVOS GENERALES Comprender la aplicación geométrica y física de la derivada, y la

variación de funciones crecientes y decrecientes. Manejo en la resolución de los temas tratados

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3. FUNDAMENTACION TEORICA3.1. APLICACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA DE LA DERIVADA

APLICACIÓN GENERAL:

Su aplicación más conocida es la determinación de máximos y mínimos de una función, en otras palabras sirve para determinar: las coordenadas del punto más alto o más bajo de una curva, (o ambos), es decir, donde la pendiente es cero.

Para cálculos de probabilidades, existen funciones de distribución de probabilidad y también funciones de densidades de probabilidad. Para obtener las segundas se debe obtener la derivada de distribución.

APLICACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA:

Definición: geométricamente la derivada se define como la pendiente de la recta tangente a la curva de un punto previamente establecido.

Donde, la recta tangente: es una recta que tiene un punto común con una curva o función,

La pendiente de una recta está definida como el cambio o diferencia en el eje vertical divido por el respectivo cambio o diferencia en el eje horizontal (relación de cambio

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Recta secante es una recta que interseca dos o más puntos en una curva

Demostración geométrica:

Tenemos una recta tangente y una secante con un punto común P. por otra parte la secante pasa por los puntos P y Q y la distancia entre ellos sobre el eje x está dada por ∆ X.

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APLICACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA:

La derivada se utilizó en principio para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vio que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variación de la función.

Desde los primero pasos del cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una función y=f (x ) , su derivada en forma de diferencial de una función de una sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas, como el Teorema Fundamental del Calculo Integral, que nos muestra la vinculación, entre la derivada de una función, y la integral de dicha función; si F (x) es la función integral que debe ser integrable en el intervalo.

Por ejemplo en Cinemática de fluido se usa para buscar la deformación de un fluido durante un intervalo de tiempo.

Sea la deformación d=(x ,t ), por lo que al derivada a resolver

Es: ∆∅∆ t

=∆∅∆ t

Y la derivada material con respecto al tiempo es: D∅Dt

=∆∅∆ t

A partir de allí se puede calcular la velocidad, aceleración del fluido

El mundo de la física nos da una buena herramienta para la comprensión de las derivadas.

Tasa de Variación Media = Velocidad Media

Un conductor recorre los 20km que separan su casa de su oficina en 10minutos. ¿Cuál es la velocidad media?

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Igual que la TVM, la velocidad media se define como el incremento de distancia Δd(o sea, la distancia recorrida) dividido por el incremento de tiempo Δtempleado en recorrerla.

Derivada en un punto = Velocidad instantánea

El conductor no va estrictamente a 120km/h durante todo el trayecto, sino que su velocidad irá variando (no sale del parking de su casa a 120km/h !).

La velocidad instantánea es la velocidad en un instante preciso. Dicho de otra manera, hacemos que el intervalo de tiempo transcurrido sea prácticamente cero y miramos cual sería la distancia recorrida.

La función velocidad es la función derivada de la función posición (o espacio).

Ejemplos:

Se bombea aire en el interior de un globo esférico a razón de 4.5 pies cúbicos por minuto. Calcular la razón es de 2 pies.

Sol.: V= volumen dVdt

=4.5=92

r = radio

Ritmo constante: dVdt

=92

Calcular drdt

→ r=2

Volumen esfera: V= 43

π r3

dVdt

=4 π r2 Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a ‘t’

drdt

= 14 π r2 ( dV

dt ) Despejar drdt

drdt

= 14 π ¿¿ Sustituir valores dados, en formula derivada y despejada

8drdt

=0.09 pies por minuto

Resultado

En un lago en calma se deja caer una piedra, lo que provoca ondas circulares. El radio r del circulo está creciendo a una razón constante de 1pies/s. Cuando el radio es 4 pies.¿A qué razón está cambiando el área A de la región circular perturbada?

Sol.: las variables “r” y “A” están relacionadas por A=π r2

Razón de cambio del radio es: drdt

=1

Datos: ecuación A=π r2

Ritmo dado drdt

=1

Hallar: dAdt cuando r = 4

Derivar con respecto a t:ddt

[ A ]= ddt

[π r2]

dAdt

=2 πr drdt

dAdt

=2π (4 ) (1 )

4. LA VARIACIÓN EN FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES.

Una función Creciente sobre un intervalo si para cualquiera de dos números x1 y x2en el intervalo, x1<x2 implica f ( x1 )< f (x¿¿2)¿.

Una función Decreciente sobre un intervalo si para cualquiera de dos números x1 y x2

en el intervalo, x1> x2 implifa f ( x1 )> f (x¿¿2)¿.

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dAdt

=8 π

Criterio para funciones crecientes y decrecientes:

Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b)

Si f’(x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b]. Si f’(x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]. Si f’(x) = 0 para todo x en (a, b), entonces f es constante en [a, b].

Ejemplo:

Determinar los intervalos abiertos sobre los cuales f(x) es creciente o decreciente:

f ( x )=x3−32

x2

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5. REFERENCIA

BibliografíaLarson, R. (2010). Calculo 1 de una variable. Mexico: Mc Graw Hill.

Link-grafíahttp://www.sangakoo.com/es/temas/interpretacion-fisica-de-la-derivada

http://es.slideshare.net/JulioLp00/aplicacion-del-calculo-diferencial-en-la-vida-diaria-37854417?qid=1118b0b0-0f26-41fd-a766-b86f483f6b23&v=default&b=&from_search=2

http://es.slideshare.net/videoconferencias/calculo-i-aplicaciones-de-la-derivada?qid=1118b0b0-0f26-41fd-a766-b86f483f6b23&v=default&b=&from_search=5

http://es.slideshare.net/Maria_Alejos/aplicacin-de-la-derivada-43765122?qid=1118b0b0-0f26-41fd-a766-b86f483f6b23&v=default&b=&from_search=7

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RÚBRICA ASIGNATURAS PUCE SD 2015 01ACTIVIDADES REALIZADAS POR EL/LOS ESTUDIANTE/S

CARRERAS DE GRADOApellidos y nombres del profesor/a Mg. Cesar Mejía

Apellidos y nombres del estudiante/s

Veintimilla Bustos Carlos David

Escuela: ESIS Carrera: Ing. Sistemas Asignatura: Calculo Diferencia. Nivel: SegundoUnidad: 4 Actividad: Investigación Aplicaciones Derivadas Fecha: 28/01/2016

RÚBRICA PARA INVESTIGACION

CATEGORIA

Escala de ValoraciónExcelente Satisfactorio Necesita Apoyo Insatisfactorio

1. Carátula

Logo Carrera

AsignaturaTema

Autor / autoresNivel/paralelo

Nombre del profesor

Fecha, de entregaCalidad del diseño

Si faltan uno o más datos

Si faltan datos

[7….5] [4….3] [2] [0]

2. contenidos

Tiene el índice elaborado con herramienta de Word.(completo)Buena estética

Tiene el índice elaborado con herramienta de Word.( incompleto)Buena estética

No tiene el índice elaborado con herramienta de

Word..

[7….4] [3….1] [0]4.

IntroducciónTiene relación la con el trabajo General (80 PALABRAS)

Tiene poca relación con el trabajo general

No tiene

[7….5] [4….2] [0]3. Objetivo

específicoTiene 2 variables que contrastan

Tiene una variable No tiene variables

[7] [3] [0]3. Redacción

de losObjetivos

específicos

Tiene 3 objetivosespecíficos

-Expresan con claridad

las tareas a realizar

Tiene 2 objetivos específicos

expresan con claridadlas tareas a realizar

[7…5] [4….1] [0]4. Desarroll El contraste del

aporte personal con El contraste del aporte El contraste del El contraste del

12

oconceptual

la bibliografía citatada es :

Alto:

personal con la bibliografía citatada

es:Medio

aporte personal con la bibliografía citatada

es:Bajo

aporte personal con la bibliografía citatada es :

10….8 7….4 3….1 05.

Desarrollo

procedimental

Resuelve un problema tipo paso a paso. Explicando

razones

Resuelve un problema tipo paso a paso. Sin

explicación

NO Resuelve un problema tipo paso a

paso. Explicando razones

[10….6] [5….1] [0]6. Uso de la

bibliografíaReferenciada con normas APA 6.

El uso de la Bibliografía es:

Alto

El uso de la Bibliografía es:

medioEl uso de la

Bibliografía es: Bajo No usa Bibliografía

10…8 7….4 3…1 0

PUNTOS TOTAL:65

CALIFICACION: (65/65)*2=2

OBSERVACIONES GENERALES:

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