ContenidoINTRODUCCION..................................................................................................................................2

1.1 IMPORTANCIA DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA...............................................................4

1.1.1 LA INGENIERÍA ECONÓMICA EN LA TOMA DE DECISIONES................................................5

PRINCIPIOS DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA..................................................................................5

1.1.2 TASA DE INTERÉS Y TASA DE RENDIMIENTO.......................................................................8

TASA DE INTERES............................................................................................................................8

TASA DE RENDIMIENTO..................................................................................................................9

1.1.3 INTRODUCCIÓN A LAS SOLUCIONES POR COMPUTADORA.....................................................10

1.1.4 FLUJOS DE EFECTIVO: ESTIMACIÓN Y DIAGRAMACIÓN...........................................................13

FLUJOS DE EFECTIVO....................................................................................................................13

ESTIMACIÓN.................................................................................................................................15

DIAGRAMACIÓN...........................................................................................................................15

1.2 EL VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO....................................................................17

1.2.1 INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO................................................................................20

INTERES SIMPLE...........................................................................................................................20

INTERES COMPUESTO..................................................................................................................20

1.2.2 CONCEPTO DE EQUIVALENCIA................................................................................................22

1.2.3 FACTORES DE PAGO ÚNICO.....................................................................................................25

1.2.4 FACTORES DE VALOR PRESENTE Y RECUPERACIÓN DE CAPITAL.............................................28

VALOR PRESENTE.........................................................................................................................28

VALOR ACTUAL NETO:..................................................................................................................30

1.2.5 FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN Y CANTIDAD COMPUESTA........................................32

1.3 FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN DE INTERÉS...........................................................................35

1.3.1 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA.................................................................................36

1.3.2 CUANDO LOS PERIODOS DE INTERÉS COINCIDEN CON LOS PERIODOS DE PAGO...................39

1.3.3 CUANDO LOS PERIODOS DE INTERÉS SON MENORES QUE LOS PERIODOS DE PAGO.............41

1.3.4 CUANDO LOS PERIODOS DE INTERÉS SON MAYORES QUE LOS PERIODOS DE PAGO..............42

1.3.5 TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARA CAPITALIZACIÓN CONTINÚA.............................................43

CONCLUSION....................................................................................................................................45

FUENTES CONSULTADAS..................................................................................................................46

1

UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ECONÓMICA, VALOR DEL

DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO Y FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN DE

INTERESES.

INTRODUCCION

La ingeniería económica es la disciplina que se preocupa de los aspectos

económicos de la ingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y

beneficios de los proyectos técnicos propuestos. Va enfocada en la aplicación de

todos los métodos relacionados con las finanzas dentro de una organización. La

importancia destaca que es una ciencia que permite el apoyo para toma de

decisiones.

En el mundo globalizado en el que vivimos en la actualidad, la toma de decisiones

es primordial para la competitividad en las empresas; por lo que la Ingeniería

Económica es necesaria por dos razones según el autor Gabriel Baca Urbina:

-Proporciona herramientas analíticas para tomar mejores decisiones económicas-

-Esto se logra al comparar cantidades de dinero que se tienen en diferentes

periodos de tiempo, a su valor equivalente en un solo instante de tiempo, es decir,

toda su teoría está basada en su consideración de que el valor del dinero cambia

a través del tiempo

La ingeniería económica nos sirve como base para conocer la valoración

sistemática de los resultados económicos de las soluciones sugeridas a

cuestiones de ingeniería es por ello que aunque siempre contamos con la

economía como acto cotidiano en nuestras vidas se necesita precisión para

obtener información acerca de los cálculos de unidades monetarias y de esta

forma lograr que una empresa sea altamente rentable y competitiva en el mercado

económico.

Se define la ingeniería económica como una forma eficaz de analizar el aspecto

económico de un entorno que involucra la estabilidad y sostenibilidad de una

empresa, para así llevar a cabo la toma de decisiones de forma acertada en

2

cuanto al manejo de los recursos económicos se refiere. Está caracterizada por la

utilización de una serie de técnicas y alternativasque aplicadas en conjunto,

conllevan a obtener logros exitosos en el desarrollo de un determinado proyecto

dentro del aspecto económico. Generando así eficaces resultados tanto en

grandes como en pequeñas empresas.

Dentro del campo de la ingeniería en general, se maneja mucho la investigación,

manejo de proyectos y creación de empresas, todo con el fin de buscar una

solución a diferentes necesidades del ser humano. Aplicando la esencia del

conocimiento según el campo de desempeño de cada ingeniero, he aquí la

importancia de aplicar la ingeniería económica como tal ya que uno de los factores

más importantes al momento de desarrollar un proyecto está presente el factor

dinero. Incluso se debe resaltar por encima de cualquier otra cosa la viabilidad y

utilidad como el fruto de las bases y el desarrollo de las actividades u operaciones

de la empresa o proceso de investigación.

Otra característica esencial de la ingeniería económica es la facilidad en el manejo

y la comprensión de sus temáticas como el modelo matemático y financiero y

también las herramientas que posee, ya que son necesarias para un mejor manejo

y comprensión de la parte contable y financiera de un negocio o proyecto, y es

verdaderamente una excelente ayuda puesto que los ingenieros carecen de

conocimientos financieros y contables.

Podemos decir entonces que la ingeniería económica se encarga del dinero en las

decisiones tomadas por los ingenieros para hacer que una empresa sea lucrativa

en un mercado altamente competitivo, y lograr un análisis técnico, con énfasis en

los aspectos económicos, de manera de contribuir notoriamente en la toma de

decisiones. Los principios y metodología de la ingeniería económica son parte

integral de la administración y sonaplicados en la operación diaria de compañías

y corporaciones del sector privado, servicios públicos regulados, unidades o

agencias gubernamentales, y organizaciones no lucrativas, estos principios se

utilizan para analizar usos alternativos de recursos financieros, particularmente en

relación con las cualidades físicas y la operación de una organización.

Así, la ingeniería económica se refiere a particularmente a llevar al éxito a una

empresa de forma sistemática creando alternativas para la solución de problemas

tomando en cuenta la situación económica y los valores relevantes optando por

3

decisiones efectivas que conlleven al futuro de una organización con mejores

estimaciones de lo que se espera que sucederá.

1.1 IMPORTANCIA DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA.

Prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones

que se tomen cambian la vida de las personas poco y algunas veces

considerablemente. Por ejemplo, la compra en efectivo de una nueva camisa

aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada día y reduce la

suma de dinero que lleva consigo en el momento. Por otra parte, el comprar un

nuevo automóvil y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones

nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo

disponible a medida que se efectúan los pagos mensuales. En ambos casos, los

factores económicos y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e

intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el automóvil.

Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes de grandes

corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan

rutinariamente al desafío de tomar decisiones significativas al seleccionar una

alternativa sobre otra. Éstas son decisiones de cómo invertir en la mejor forma los

fondos, o el capital, de la compañía y sus propietarios. El monto del capital

siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo

disponible de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán

invariablemente el futuro, con la esperanza de que sea para mejorar. Por lo

normal, los factores considerados pueden ser, una vez más, económicos y no

económicos, lo mismo que tangibles e intangibles. Sin embargo, cuando las

corporaciones y agencias públicas seleccionan una alternativa sobre otra, los

aspectos financieros, el retorno del capital invertido, las consideraciones sociales y

los marcos de tiempo con frecuencia adquieren mayor importancia que los

aspectos correspondientes a una selección individual.

4

1.1.1 LA INGENIERÍA ECONÓMICA EN LA TOMA DE DECISIONES.

La ingeniería económica es la disciplina que se preocupa de los aspectos

económicos de la ingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y

beneficios de los proyectos técnicos propuestos. Los principios y metodología de

la ingeniería económica son partes integral de la administración y operación diaria

de compañías y corporaciones del sector privado, servicios públicos regulados,

unidades o agencias gubernamentales, y organizaciones no lucrativas. Estos

principios se utilizan para analizar usos alternativos de recursos financieros,

particularmente en relación con las cualidades físicas y la operación de una

organización. Por último, la ingeniería económica es sumamente importante para

usted al evaluar los méritos económicos de los usos alternativos de sus recursos

personales.

Por tanto, la ingeniería económica se encarga del aspecto monetario de las

decisiones tomadas por los ingenieros al trabajar para hacer que una empresa sea

lucrativa en un mercado altamente competitivo. Inherentes a estas decisiones son

los cambios entre diferentes tipos de costos y el desempeño (tiempo de respuesta,

seguridad, peso, confiabilidad, etcétera) proporcionado por el diseño propuesto o

la solución del problema. La misión de la ingeniería económica es balancear esos

cambios de la forma más económica.

PRINCIPIOS DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA

Principio 1: desarrollar las alternativas

La elección (decisión) se da entre las alternativas. Es necesario identificar las

alternativas y después definirlas para el análisis subsecuente.

Principio 2: enfocarse en las diferencias

Al comparar las alternativas debe considerarse solo aquello que resulta relevante

para la toma de decisiones, es decir, las diferencias en los posibles resultados.

5

Principio 3: utilizar un punto de vista consistente

Los resultados probables de las alternativas, económicas y de otro tipo, deben

llevarse a cabo consistentemente desde un punto de vista definido (perspectiva).

Principio 4: utilizar una unidad de medición común

Utilizar una unidad de medición común para enumerar todos los resultados

probables hará más fácil el análisis y comparación de las alternativas.

Principio 5: considerar los criterios relevantes

La selección de una alternativa (toma de decisiones) requiere del uso de un

criterio (o de varios criterios). El proceso de decisión debe considerar los

resultados enumerados en la unidad monetaria y los expresados en alguna otra

unidad de medida o hechos explícitos de una manera descriptiva.

Principio 6: hacer explicita la incertidumbre

La incertidumbre es inherente al proyectar (o estimar los resultados futuros de las

alternativas y debe reconocerse en su análisis y comparación.

Principio 7 revisar sus decisiones

La toma de decisiones mejorada resulta de un proceso adaptativo, hasta donde

sea posible, los resultados iniciales proyectados de la alternativa seleccionada

deben comparase posteriormente con los resultados reales logrados.

Prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones

que se tomen cambian la vida de las personas poco y algunas veces

considerablemente. Por ejemplo, la compra en efectivo de una nueva camisa

aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada día y reduce la

suma de dinero que lleva consigo en el momento. Por otra parte, el comprar un

nuevo automóvil y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones

nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo

disponible a medida que se efectúan los pagos mensuales. En ambos casos, los

factores económicos y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e

intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el automóvil.

6

La gente toma decisiones; los computadores, las metodologías y otras

herramientas no lo hacen. Las técnicas y los modelos de ingeniería económica

ayudan a la gente a tomar decisiones. Puesto que las decisiones afectan lo que se

realizará, el marco de tiempo de la ingeniería económica es generalmente el

futuro. Por consiguiente, los números utilizados en un análisis de ingeniería

económica son las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurra.

Es común incluir resultados en un análisis de hechos observados. Éste utiliza los

métodos de la ingeniería económica para analizar el pasado, puesto que no se

toma una decisión de seleccionar una alternativa (futura) sobre otra. En lugar de

ello, el análisis explica o caracteriza los resultados. Por ejemplo, una corporación

puede haber iniciado una división de pedidos por correo hace 5 años. Ahora ésta

desea conocer el retorno real sobre la inversión (RSI) o la tasa de retorno (TR)

experimentada por esta división.

El análisis de resultados y la decisión de alternativas futuras se consideran el

dominio de la ingeniería económica.

¿Cuál es el papel de la ingeniería económica en la toma de decisiones?

Un procedimiento muy popular utilizado para considerar el desarrollo y selección

de alternativas es el denominado enfoque de solución de problemas o proceso de

toma de decisiones. Los pasos habituales en el enfoque son los siguientes:

Pasos en la solución de problemas

Ø Entender el problema y la meta.

Ø Reunir información relevante.

Ø Definir las soluciones alternativas.

Ø Evaluar cada alternativa.

Ø Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios.

Ø Implementar la solución y hacer seguimiento a los resultados.

7

1.1.2 TASA DE INTERÉS Y TASA DE RENDIMIENTO.

TASA DE INTERES

Las tasas de interés son el precio del dinero. Si una persona, empresa o gobierno

requiere de dinero para adquirir bienes o financiar sus operaciones, y solicita un

préstamo, el interés que se pague sobre el dinero solicitado será el costo que

tendrá que pagar por ese servicio. Como en cualquier producto, se cumple la ley

de la oferta y la demanda: mientras sea más fácil conseguir dinero (mayor oferta,

mayor liquidez), la tasa de interés será más baja. Por el contrario, si no hay

suficiente dinero para prestar, la tasa será más alta.

¿Cómo influyen las tasas de interés en la economía? Tasas de interés bajas

ayudan al crecimiento de la economía, ya que facilitan el consumo y por tanto la

demanda de productos. Mientras más productos se consuman, más crecimiento

económico. El lado negativo es que este consumo tiene tendencias inflacionarias.

Tasas de interés altas favorecen el ahorro y frenan la inflación, ya que el consumo

disminuye al incrementarse el costo de las deudas. Pero al disminuir el consumo

también se frena el crecimiento económico.

Los bancos centrales de cada país (Banco de México, en el caso de nuestro país)

utilizan las tasas de interés principalmente para frenar lainflación, aumentando la

tasa para frenar el consumo, o disminuyéndola ante una posible recesión.

En México, la tasa sobre CETES (Certificados de la Tesorería de la Federación,

modo de financiamiento del gobierno Federal) es la tasa base sobre la que se fijan

la mayoría de las otras tasas de interés.

Otra tasa de interés que se utiliza como indicador macroeconómico es la TIIE

(Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio), la cual surgió en marzo de 1995

8

como necesidad de tener una referencia diaria de la Tasa Base de

Financiamiento. Los bancos la utilizan como tasa de interés base para aumentarle

su margen de intermediación.

TASA DE RENDIMIENTO

Tasa de rendimiento: (Rateearned). Porcentaje que, aplicado al monto de

inversión. Muestra la ganancia de la inversión.

Tasa de rendimiento interna (TRI): (internalrate of return). Es la tasa que se gana

en una proposición de inversión, siendo la tasa de interés la que corresponde con

la inversión inicial (1) con el valor actual (VA) de futuras entradas de efectivo, es

decir, a la TRI, 1 = VA, o bien, VAN (valor actual neto) = 0. De acuerdo con el

método de la tasa de rendimiento interna, la regla de decisión es: Aceptar el

proyecto si la TRI excede el costo de capital; de otra manera, rechazar dicha

proposición. Tasa de rendimiento simple: (simple rate of return). Es una medida de

rentabilidad que se obtiene, dividiendo los ingresos netos anuales esperados en el

futuro entre la inversión requerida. También se conoce como la tasa de

rendimiento contable, o bien, la tasa de rendimiento no ajustada. Algunas veces,

se utliza la inversión promedio en lugar de la inversión inicial original, la cual se

llama la tasa de rendimiento promedio. Tasa de rendimiento sobre la inversión:

(rate of returnoninvestment). Es el porcentaje anual de rendimiento después de

impuestos que realmente se genera o se anticipa de una inversión. Por ejemplo, si

se realiza una inversión de $100,000 en acciones y el rendimiento sobre las

mismas después de impuestos asciende a $8,000, la tasa de rendimiento es del

8%. La tasa de rendimiento se expresará en términos de porcentaje, y deberá

indicar la cantidad de mercancías que se aprovechará y las mermas, subproductos

y desperdicios, con indicación de sí estos últimos, son comercializables o no.

Dicha tasa es requisito indispensable en la matriz insumo producto, a los efectos

de otorgar autorizaciones bajo los regímenes aduaneros especiales de Admisión

Temporal para Perfeccionamiento Activo, Exportación Temporal para

Perfeccionamiento Pasivo, Draw Back y Reposición con Franquicia Arancelaria.

9

1.1.3 INTRODUCCIÓN A LAS SOLUCIONES PORCOMPUTADORA.

La solución de un problema por computadora, requiere de siete pasos, dispuestos

de tal forma que cada uno es dependiente de los anteriores, lo cual indica que se

trata de un proceso complementario y por lo tanto cada paso exige el mismo

cuidado en su elaboración. Los siete pasos de la metodología son los siguientes:

Ø Definición del problema: Es el enunciado del problema, el cual debe ser claro y

completo. Es fundamental conocer y delimitar por completo el problema, saber que

es lo se desea realice la computadora, mientras esto no se conozca del todo, no

tiene caso continuar con el siguiente paso.

Ø Análisis de la solución: Consiste en establecer una serie de preguntas acerca

de lo que establece el problema, para poder determinar si se cuenta con los

elementos suficientes para llevar a cabo la solución del mismo, algunas preguntas

son:

¿Con qué cuento? Cuáles son los datos con los que se va a iniciar el proceso, qué

tenemos que proporcionarle a la computadora y si los datos con los que cuento

son suficientes para dar solución al problema.

¿Qué hago con esos datos? Una vez que tenemos todos los datos que

necesitamos, debemos determinar que hacer con ellos, es decir que fórmula,

cálculos, que proceso o transformación deben seguir los datos para convertirse en

resultados.

¿Qué se espera obtener? Que información deseamos obtener con el proceso de

datos y de que forma presentarla; en caso de la información obtenida no sea la

deseada replantear nuevamente un análisis en los puntos anteriores.

10

Es recomendable que nos pongamos en el lugar de la computadora y analicemos

que es lo que necesitamos que nos ordenen y en que secuencia para producir los

resultados esperados.

Ø Diseño de la solución: Una vez definido y analizado el problema, se procede a

la creación del algoritmo (Diagrama de flujo ó pseudocódigo), en el cual se da la

serie de pasos ordenados que nos proporcione un método explícito para la

solución del problema. Es recomendable la realización de pruebas de escritorio al

algoritmo diseñado, para determinar su confiabilidad y detectar los errores que se

pueden presentar en ciertas situaciones. Estas pruebas consisten en dar valores a

la variable e ir probando el algoritmo paso a paso para obtener una solución y si

ésta es satisfactoria continuar con el siguiente paso de la metodología; de no ser

así y de existir errores deben corregirse y volver a hacer las pruebas de escritorio

al algoritmo.

Ø Codificación: Consiste en escribir la solución del problema (de acuerdo al

pseudocódigo); en una serie de instrucciones detalladas en un código reconocible

por la computadora; es decir en un lenguaje de programación (ya sea de bajo o

alto nivel), a esta serie de instrucciones se le conoce como programa.

Ø Prueba y Depuración: Prueba es el proceso de identificar los errores que se

presenten durante la ejecución del programa; es conveniente que cuando se

pruebe un programa se tomen en cuenta los siguientes puntos:

Tratar de iniciar la prueba con una mentalidad saboteadora, casi disfrutando

la tarea de encontrar un error.

Sospechar de todos los resultados que arroje la solución, con lo cual se

deberán verificar todos.

Considerar todas las situaciones posibles, normales y aún las anormales.

La Depuración consiste en eliminar los errores que se hayan detectado durante la

prueba, para dar paso a una solución adecuada y sin errores.

Ø Documentación: Es la guía o comunicación escrita que sirve como ayuda para

usar un programa, o facilitar futuras modificaciones. A menudo un programa

escrito por una persona es usado por muchas otras, por ello la documentación es

11

muy importante; ésta debe presentarse en tres formas: EXTERNA, INTERNA y AL

USUARIO FINAL.

Documentación Interna. Consiste en los comentarios o mensajes que se

agregan al código del programa, que explican las funciones que realizan

ciertos procesos, cálculos o fórmulas para el entendimiento del mismo.

Documentación Externa. También conocida como Manual Técnico, está

integrada por los siguientes elementos: Descripción del Problema, Nombre

del Autor, Diagrama del Flujo y/o Pseudocódigo, Lista de variables y

constantes, y Codificación del Programa, esto con la finalidad de permitir su

posterior adecuación a los cambios.

Manual del Usuario. Es la documentación que se le proporciona al usuario

final, es una guía que indica el usuario como navegar en el programa,

presentando todas las pantallas y menús que se va a encontrar y una

explicación de los mismos, no contiene información de tipo técnico.

Ø Mantenimiento: Se lleva a cabo después de determinado el programa, cuando

se ha estado trabajando un tiempo, y se detecta que es necesario hacer un

cambio, ajuste y/o complementación al programa para que siga trabajando de

manera correcta.

Para realizar esta función, el programa debe estar debida mente documentado, lo

cual facilitará la tarea.

12

1.1.4 FLUJOS DE EFECTIVO:ESTIMACIÓN Y DIAGRAMACIÓN.

FLUJOS DE EFECTIVO

El concepto de flujo de caja se refiere al análisis de las entradas y salidas de

dinero que se producen (en una empresa, en un producto financiero, etc.), y tiene

en cuenta el importe de esos movimientos, y también el momento en el que se

producen. Estas van a ser las dos variables principales que van a determinar si

una inversión es interesante o no.

Generalmente el diagrama de flujo de efectivo se representa gráficamente por

flechas hacia arriba que indican un ingreso y flechas hacia abajo que indican un

egreso. Estas flechas se dibujan en una recta horizontal cuya longitud representa

la escala total de tiempo del estudio que se esté haciendo. Esta recta se divide en

los periodos de interés del estudio, la duración de estos periodos debe ser la

misma que el periodo en el cual se aplica la tasa de interés.

El propósito básico de la estimación de los flujos de efectivo es proporcionar

información sobre los ingresos y pagos efectivos de una entidad comercial durante

un período contable. Además, pretende proporcionar información acerca de todas

las actividades de inversión y financiación de la empresa durante el período.

Así, un estado de flujo de efectivo debe ayudar a los inversionistas, acreedores y

otros usuarios en la evaluación de aspectos tales como:

a) La capacidad de la empresa para generar flujo efectivo positivo en períodos

futuros.

13

b) La capacidad de la empresa para cumplir con sus obligaciones.

c) Razones para explicar diferencias entre el valor de la utilidad neta y el flujo de

efectivo neto relacionado con la operación.

d) Tanto el efectivo como las transacciones de inversión de financiación que no

hacen uso de efectivo durante el período.

Las empresas muestran por separado los flujos de efectivos relacionados con

actividades de operación, de inversión y de financiación.

Los flujos efectivos relacionados con las actividades de inversión incluyen:

Ingresos de efectivo:Efectivo producto de la venta de inversiones o activo fijo.

Efectivo producto del recaudo de valores sobre préstamos.

Pagos efectivos:

Pagos para adquirir inversiones y activos fijos.

Valores anticipados a prestatarios.

Los flujos efectivos clasificados como actividades de financiación, incluyen:

Ingreso de efectivo:

Productos de préstamos obtenidos a corto y largo plazo.

Efectivos recibidos de propietarios (ejemplo, por emisión de acciones).

Pagos de efectivo:

Pagos de valores prestados (excluye pagos de intereses).

Pagos a propietarios, como dividendos en efectivo.

Generalmente el diagrama de flujo de efectivo se representa gráficamente por

flechas hacia arriba que indican un ingreso y flechas hacia abajo que indican un

egreso. Estas flechas se dibujan en una recta horizontal cuya longitud representa

la escala total de tiempo del estudio que se esté haciendo. Esta recta se divide en

14

los periodos de interés del estudio, la duración de estos periodos debe ser la

misma que el periodo en el cual se aplica la tasa de interés.

Los esquemas de flujo de efectivo se clasifican en:

Ordinarios

No ordinarios

Anualidad

Flujo mixto

ESTIMACIÓN

Existen dos métodos para exponer este estado. El método directo y el indirecto.

El directo expone las principales clases de entrada y salida bruta en efectivo y sus

equivalentes, que aumentaron o disminuyeron a estos.

El método indirecto parte del resultado del ejercicio y a través de ciertos

procedimientos se convierte el resultado devengado en resultado percibido.

El resultado que se obtiene puede ser positivo o negativo. La importancia de este

estado es que nos muestra si la empresa genera o consume fondos en su

actividad productiva. Además permite ver si la empresa realiza inversiones en

activos de largo plazo como bienes de uso o inversiones permanentes en otras

sociedades.

Finalmente el estado muestra la cifra de fondos generados o consumidos por la

financiación en las cuales se informa sobre el importe de fondos recibidos de

prestadores de capital externo o los mismos accionistas y los montos devueltos

por vía de reducción de pasivos o dividendos.

Este estado es seguido y analizado con mucha atención por los analistas que

estudian a las empresas ya que de él surge una explicación de las corrientes de

generación y uso de los fondos, lo cual permite conjeturar sobre el futuro de la

misma.

15

DIAGRAMACIÓN

La presentación gráfica de sistemas es una forma ampliamente utilizada como

herramienta de análisis, ya que permite identificar aspectos relevantes de una

manera rápida y simple. Una esfera donde esta técnica puede ser utilizada con

éxito es en la elaboración del Manual de Normas y Procedimientos, ya sea para la

asistencia al proceso de dirección o para la comprobación del adecuado

cumplimiento de los Principios de Control Interno en las entidades subordinadas.

Tipos de Diagramas

Conceptualmente, los diagramas tienen como objetivo fundamental garantizar la

modelación, tanto lógica (representación del sistema basado en la función que

realiza, en lo que hace), como física (representación del sistema en una forma

real: departamentos, soportes, etc) del objeto de estudio y de acuerdo a sus

características pueden clasificarse en: árboles de decisión, organigramas,

diagramas de flujo y otros.

De manera resumida, los árboles de decisión consisten en una herramienta gráfica

donde se recogen las condiciones y las acciones relacionadas con el desarrollo de

una actividad; en tanto los diagramas de flujo constituyen la representación de un

sistema, que lo define en términos de sus componentes y de las relaciones entre

éstos.

16

1.2 EL VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO.

Este concepto surge para estudiar de qué manera el valor o suma de dinero en el

presente, se convierte en otra cantidad el día de mañana, un mes después, un

trimestre después, un semestre después o al año después.

Esta transferencia o cambio del valor del dinero en el tiempo es producto de la

agregación o influencia de la tasa de interés, la cual constituye el precio que la

empresa o persona debe pagar por disponer de cierta suma de dinero, en el

presente, para devolver una suma mayor en el futuro, o la inversión en el presente

compensará en el futuro una cantidad adicional en la invertida.

De allí que, hablar del valor agregado del dinero en el tiempo, implique hablar de

tasas de interés anualizadas, nominales, reales y efectivas de periodos, de las

fechas en las que se dan los movimientos de dinero y de la naturaleza de estos

movimientos iniciándose siempre con un valor presente para llegar a un valor

futuro. El primer (VP), se refiere a la cantidad de dinero que será invertida o

tomada en préstamos al principio de un periodo determinado, y el segundo (VF),

se refiere a la cantidad de dinero que será obtenida por el inversionista o pagada

por el solicitante en una fecha futura al final del plazo.

Hay un fenómeno económico conocido como inflación, el cual consiste en la pérdi-

da de poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. Ningún país en el

17

mundo está exento de inflación, ya sea que tenga un valor bajo, de 2 a 5 % anual

en países desarrollados, o por arriba del 1000 % anual, como en algunos países

de América del Sur. Nadie puede escapar de ella. De la misma forma, nadie sabe

con certeza por qué es necesaria la inflación o por qué se origina en cualquier

economía. Lo único que se aprecia claramente es que en países con economías

fuertes y estables, la inflación es muy baja, pero nunca de cero.

Lo único en que se hace énfasis, es que el valor del dinero cambia con el tiempo

debido principalmente a este fenómeno, de lo contrario, es decir, si no hubiera in-

flación, el poder adquisitivo del dinero sería el mismo a través de los años y la eva-

luación económica probablemente se limitaría a hacer sumas y restas simples de

las ganancias futuras (sin embargo, no debe olvidarse la capacidad todavía más

importante del dinero de generar ganancias o generar riqueza en el transcurso del

tiempo).

Pero sucede lo opuesto. Es posible, mediante algunas técnicas, pronosticar cierto

ingreso en el futuro. Por ejemplo, hoy se adquiere un auto por $ 20,000 y se

espera poder venderlo dentro de cinco años en $ 60,000, en una economía de alta

inflación. El valor nominal del dinero, por la venta del auto, es mucho mayor que el

valor actual, pero dadas las tasas de inflación que se tendrán en los próximos

cinco años el valor de $ 60,000 traído o calculado a su equivalente al día de hoy,

resulta mucho más bajo que $ 20,000.

El valor del dinero en el tiempo es un concepto basado en la premisa de que un

inversionista prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de

recibir el mismo monto en una fecha futura.

En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener interés sobre

ese dinero. Adicionalmente, debido al efecto de inflación (si esta es positiva), en el

futuro esa misma suma de dinero perderá poder de compra.

Todas las fórmulas relacionadas con este concepto están basadas en la misma

fórmula básica, el valor presente de una suma futura de dinero, descontada al

presente.

Algunos de los cálculos comunes basados en el valor tiempo del dinero son:

18

§ Valor presente (PV) de una suma de dinero que será recibida en el futuro.

§ Valor presente de una anualidad (PVA) es el valor presente de un flujo de

pagos futuros iguales, como los pagos que se hacen sobre una hipoteca.

§ Valor presente de una perpetuidad es el valor de un flujo de pagos

perpetuos, o que se estima no serán interrumpidos ni modificados nunca.

§ Valor futuro (FV) de un monto invertido (por ejemplo, en una cuenta de

depósito) a una cierta tasa de interés.

§ Valor futuro de una anualidad (FVA) es el valor futuro de un flujo de pagos

(anualidades), donde se asume que los pagos se reinvierten a una determinada

tasa de interés.

De todas las técnicas que se utilizan en finanzas ninguna es más importan te

como la del valor del dinero a través del tiempo o análisis de flujo de efectivo

descontado (DCF). La línea del tiempo es una herramienta que se utiliza en el

análisis del valor del dinero a través del tiempo, es una representación gráfica que

se usa para mostrar la periodicidad de los flujos de efectivo.

ª Flujo de salida es el depósito, un costo o cantidad pagada

ª Flujo de entrada, son los ingresos en una fecha determinada

ª FVn = PV (1+i)n

19

1.2.1 INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO.

Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés, son útiles para el cálculo

de sumas equivalentes de dinero para un periodo de interés en el pasado y un

periodo en el futuro. Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos

interés simple e interés compuesto resultan importantes.

INTERES SIMPLE

El interés simple se calcula utilizando solo el principal, ignorando cualquier interés

causado en los periodos de interés anteriores.

El interés simple total durante diversos periodos se calcula como:

Interés = (principal) (número de periodos) (tasa de interés)

En donde la tasa de interés está expresada en forma decimal.

Ejemplo:

20

Si se obtiene un préstamo de $1000 para pagar en 3 años a una tasa de interés

simple del 5% anual. ¿Cuánto dinero se pagará al final de los tres años?

Interés anual = $1000 * 0.05 = $50

Interés por los tres años = $50 * 3 = $150

Total a pagar al final de los 3 años = $1000 + $150 = $1150

INTERES COMPUESTO

Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se

calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los

periodos anteriores.

Por lo tanto, el interés compuesto significa un interés sobre el interés, es decir,

reflejael efecto del valor del dinero en el tiempo también sobre el interés.

El interés compuesto para un periodo de tiempo se calcula:

Interés = (principal + todo el interés causado) (tasa de interés)

Ejemplo:

Si se obtiene un préstamo de $1000 al 5% anual compuesto, calcule la suma total

a pagar después de los tres años.

Interés año 1 = $1000 * 0.05 = $50

Suma después del año 1 = $1050

Interés año 2 = $1050 * 0.05 = $52.50

Suma después del año 2 = $1102.50

Interés año 3 = $1102.50 * 0.05 = $55.13

21

Suma después del año 3 = $1157.63

1.2.2 CONCEPTO DE EQUIVALENCIA.

Es un concepto de mucha importancia en el ámbito financiero; utilizado como

modelo para simplificar aspectos de la realidad.

Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una

suma de dinero hoy (VA - valor actual) y recibir otra diferente (VF - valor futuro) de

mayor cantidad transcurrido un período; expresamos este concepto con la fórmula

general del interés compuesto:

Fundamental en el análisis y evaluación financiera, esta fórmula, es la base de

todo lo conocido como Matemáticas Financieras.

Cuando se consideran juntos, el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés

ayudan a desarrollar el concepto de equivalencia, el cual significa que sumas

diferentes de dinero en momentos diferentes son iguales en valor económico.

22

Para evaluar alternativas de inversión, deben compararse montos monetarios que

se producen en diferentes momentos, ello sólo es posible si sus características se

analizan sobre una base equivalente. Dos situaciones son equivalentes cuando

tienen el mismo efecto, el mismo peso o valor. Tres factores participan en la

equivalencia de las alternativas de inversión:

- el monto del dinero,

- el tiempo de ocurrencia

- la tasa de interés

Los factores de interés que se desarrollarán, consideran el tiempo y la tasa de

interés. Luego, ellos constituyen el camino adecuado para la transformación de

alternativas en términos de una base temporal común.

Si se trata de capitales, igualdad de los valores actuales de cada uno de ellos.

Por ejemplo, si la tasa de interés es de 6% anual, $100 hoy serían equivalentes a

$106 en un año a partir de hoy ó $94.34 hace un año.

En el análisis económico, “equivalencia” significa “el hecho de tener igual valor”.

Este concepto se aplica primordialmente a la comparación de flujos de efectivo

diferentes.

Como sabemos, el valor del dinero cambia con el tiempo; por lo tanto, uno de los

factores principales al considerar la equivalencia es determinar cuándo tienen

lugar las transacciones. El segundo factor lo constituyen las cantidades

específicas de dinero que intervienen en la transacción y por último, también debe

considerarse la tasa de interés a la que se evalúa la equivalencia.

Ejemplo

Suponga que en el verano Ud. estuvo trabajando de tiempo parcial y por su

trabajo obtuvo $1,000.00.

Ud. piensa que si los ahorra, podrá tener para el enganche de su iPhone.

23

Su amigo Panchito le insiste en que le preste ese dinero y promete regresarle

$1,060.00 (1,000*0.06+1,000) o bien, (1,000 * 1.06) dentro de un año, pues según

él, esto es lo que recibiría si Ud. depositara ese dinero en una cuenta de ahorros

que paga una tasa de interés anual efectiva del 6%.

¿Qué haría usted. Depositaría los $1,000.00 o se los prestaría a su amigo

Panchito?

Solución

Consideremos que Ud. tiene únicamente esas dos alternativas, entonces las dos

son equivalentes, ya que las dos le proporcionán $1,060.00 (1,000*0.06+1,000);

dentro de un año como recompensa por no usar el dinero hoy; por lo que dada

esta equivalencia, su decisión estará basada en factores externos a la ingeniería

económica, tales como la confianza que le tenga a su amigo Panchito o la

alternativa de obtener su iPhone, entre otros.

Por otro lado, si Ud. tuviera otra opción de invertir su dinero con mayor

rendimiento, por ejemplo al 9% anual, el valor equivalente de su dinero dentro de

un año, sería de $1,090.00 (1,000*0.09+1,000); por lo tanto las alternativas de

prestar o ahorrar, ya no serían equivalentes.

No siempre se puede distinguir la equivalencia de manera directa, ya que flujos de

efectivo con estructuras muy distintas, tales como transacciones por diferentes

cantidades efectuadas en diferentes momentos, pueden ser equivalentes a cierta

tasa de interés.

24

1.2.3 FACTORES DE PAGO ÚNICO.

Factores de pago único.

La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo

específicamente interés (i) y número de periodos (n), una persona recibe capital

una sola vez, realizando un solo pago durante el periodo determinado

posteriormente. Para hallar estas relaciones únicas, sólo se toman los parámetros

de valores presentes y valores futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo

mediante la tasa de interés. A continuación se presentan los significados de los

símbolos a utilizaren las fórmulas financieras de pagos únicos:,

P: Valor presente de algo que se recibe o que se paga en el momento cero.

F: Valor futuro de algo que se recibirá o se pagará al final del periodo evaluado.

25

N: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos entre

lo que se recibe y lo que se paga, o lo contrario; es decir, período de tiempo

necesario para realizar una transacción. Es de anotar, que n se puede o no

presentar en forma continua según la situación que se evaluando.

I: Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o la

financiación obtenida; el interés que se considera en las relaciones de pago único

es compuesto.

Factor de cantidad compuesta de un pago único:

Ø F/P = ( 1 + i )n → ( F/P, i%, n )

Factor de Valor Presente de un Pago Único

Ø P/F = (F/P) −1 = (1 + i ) − n → ( P/F, i%, n)

Para esta condición debemos satisfacer dos requisitos:

1) Debe utilizarse la tasa periódica para i, y

2) las unidades no deben ser las mismas que aquéllas en i.

Luego, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente forma:

VA = VF (VA/VF), i periódica, número de períodos

VF = VA (VF/VA), i periódica, número de períodos

Así, para la tasa de interés del 18% anual compuesto mensualmente, podemos

utilizar variedad de valores para i y los valores correspondientes de n como

indicamos a continuación con algunos ejemplos:

Tasa de interés efectiva i Unidades para n

Ø 1.5% mensual Meses

Ø 4.57% trimestral Trimestres

26

Ø 9.34% semestral Semestral

Ø 19.56% anual Años

Ø 42.95% cada 2 años Período de dos años

Ø 70.91% cada 3 años Período de tres años

El factor fundamental en la ingeniería económica es el que determina la cantidad

de dinero F que se acumula después de n años (o periodos), a partir de un valor

único presente P con interés compuesto una vez por año (o por periodo). El

interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés. Por consiguiente,

si una cantidad P se invierte en algún momento t=0, la cantidad de dinero F1 que

se habrá acumulado en un año a partir del momento de la inversión a una tasa de

interés de i por cierto anual será:

F1 = P + Pi

= P ( 1 + i )

Donde la tasa de interés se expresa en forma decimal. Al final del segundo año, la

cantidad de dinero acumulada F2 es la cantidad acumulada después del año 1,

más el interés desde el final del año 1, hasta el final del año 2 sobre la cantidad

total F1.

F2 = F1 + F1i

= P (1+i) + P (1+i) i

Ésta es la lógica que se utiliza para el interés compuesto. La cantidad F2 se

expresa como:

F2 = P (1 + i + i + i2)

= P (1 + 2i + i2)

= P (1 + i)2

27

En forma similar, la cantidad de dinero acumulada al final del año 3, si se utiliza la

ecuación, será:

F3 = F2 + F2i

Al sustituir P (1 + i)2 por F2 y simplificar, se obtiene

F3 = P (1 + i)3

De acuerdo con los valores anteriores, por inducción matemática es evidente que

la fórmula puede generalizarse para n años de la siguiente manera:

F = P(1 + i)n

El factor (1 + i)n se denomina factor de cantidad compuesta de pago único

(FCCPU); pero en general se hace referencia a éste como el factor F/P. Éste es el

factor de conversión que, cuando se multiplica por P, produce la cantidad futura F

de una inversión inicial P después de n años, a la tasa de interés i.

1.2.4 FACTORES DE VALOR PRESENTEY RECUPERACIÓN DE CAPITAL.

VALOR PRESENTE

El valor presente considera el valor del dinero a través del tiempo, significa traer

del futuro al presente, cantidades numéricas a su valor equivalente.

Representa la ganancia o pérdida en términos del valor del dinero en tiempo

presente, después de haber recuperado la inversión inicial a una tasa igual a la

TREMA.

Si al aplicar la fórmula del valor presente, el resultado es mayor a 0, entonces se

acepta la inversión, de lo contrario lo conveniente es rechazarla.

EJEMPLO:

28

Es el factor utilizado en el cálculo de un valor presente, dado el valor de una

anualidad, con una tasa de interés del 5% y un valor de 10 periodos de

capitalización.

Si utilizamos la fórmula para calcular el valor de este factor (P/A), tenemos:

(P/A,5%,10) = [(1+i)n-1 / i(1+i)n]= (1.05)10-1 / 0.05(1.05)10= 7.7217

EJEMPLO:

Un contratista independiente realizó una auditoria de algunos registros viejos y

encontró que el costo de los suministros de oficinas variaban como se muestra en

la siguiente tabla:

Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5

$600 $175 $300 $135 $250 $400

Si el contratista deseaba conocer el valor equivalente de las 3 sumas más grandes

solamente, ¿Cuál será ese total auna tasa de interés del 5%?

F = 600(F/P,5%,10) + 300(F/P,5%,8)+400(F/P,5%,5)

F=?

F = $1931.11

Otra forma de solucionarlo

P = 600+300(P/F,5%,2)+400(P/F,5%,5) = $1185.50

F = $1185.50(F/P,5%,10) = 1185.50(1.6289) = $1931.06

EJEMPLO:

¿Cuánto dinero tendría un hombre en su cuenta de inversión después de 8 años,

si depositó $1000 anualmente durante 8 años al 14 % anual empezando en una

año a partir de hoy?

F = A(F/A,14%,8) = 1000(13.2328) = $13232.80

EJEMPLO:

29

¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a gastar ahora con el fin de evitar el

gasto de $500 dentro de 7 años a partir de hoy si la tasa de interés es del 18%

anual?

P = F(P/F,18%,7) = 500(0.3139) = $156.95

EJEMPLO:

¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a pagar ahora por una inversión

cuyo retorno garantizado será de $600 anual durante 9 años empezando el año

próximo a una tasa de interés del 16% anual?

P = A(P/A,16%,9) = 600(4.6065) = $2763.90

EJEMPLO:

¿Cuánto dinero debo depositar cada año empezando dentro de 1 año al 5.5%

anual con el fin de acumular $6000 dentro de 7 años?

A = F(F/A,5.5%,7) = 6000(0.12096) = $725.76 anual.

VALOR ACTUAL NETO:

El Valor actual neto también conocido valor actualizado neto, es un procedimiento

que permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja

futuros, originados por una inversión. La metodología consiste en descontar al

momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja

futuros del proyecto. A este valor se le resta la inversión inicial, de tal modo que el

valor obtenido es el valor actual neto del proyecto.

Determina cuánto van a valer los flujos de entrada y salida el día de hoy. Admite

introducir en los cálculos flujos, tanto de signo positivo como negativo, en los

diferentes momentos de la inversión.

Al homogenizar flujos netos de caja a un mismo momento de tiempo, reduce a una

unidad de medida común de cantidades de dinero generadas o aportadas en

momento de tiempos diferentes.

30

Vt representa los flujos de caja en cada periodo t.

I0 es el valor del desembolso inicial de la inversión.

n es el número de períodos considerado.

El tipo de interés es k. Si el proyecto no tiene riesgo, se tomará como referencia el

tipo de la renta fija, de tal manera que con el VAN se estimará si la inversión es

mejor que invertir en algo seguro, sin riesgo específico. En otros casos, se utilizará

el coste de oportunidad.

Cuando el VAN toma un valor igual a 0, k pasa a llamarse TIR (tasa interna de

retorno). La TIR es la rentabilidad que nos está proporcionando el proyecto.

Cuando utilizamos uno o más factores de serie uniforme o gradiente, debemos

determinar la relación entre el período de capitalización, PC, y el período de pago,

PP. Encontramos esta relación en cada uno de los 3 casos:

1. El período de pago es igual al período de capitalización, PP = PC

2. El período de pago es mayor que el período de capitalización, PP > PC

3. El período de pago es menor que el período de capitalización, PP < PC

Para los dos primeros casos PP = PC y PP > PC, debemos:

a) Contar el número de pagos y utilizar este valor como n. Por ejemplo, para

pagos semestrales durante 8 años, n = 16 semestres.

b) Debemos encontrar la tasa de interés efectiva durante el mismo período que n

en (a).

c) Operar en las fórmulas de los tres grupos de problemas sólo con los valores de

n e i.

Factor de Valor Presente de una Serie Uniforme

P/A = (A/P) −1 = 1 − (1 + i ) – n/ i = (1 + i ) n −1 / i (1 + i ) n → (P/A, i%, n)

Factor de Recuperación de Capital de una Serie Uniforme

A/P = i/ 1 − (1 + i ) –n = i (1 + i ) n / (1 + i ) n – 1 → ( A/P, i%, n)

31

Ejemplo

Un ingeniero que está a punto de retirarse ha reunido $50,000 en una cuenta de

ahorros que paga 6% anual, capitalizado cada año. Supóngase que quiere retirar

una suma de dinero fija al final de cada año, durante 10 años.

¿Cuál es la cantidad máxima que puede retirar?

A=P*(A/P, i%, n)=$50,000((A/P, 6%, 10)=$50,000(0.1359)=$6,795

1.2.5FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN YCANTIDAD COMPUESTA.

Las amortizaciones son utilizadas en el ámbito de las finanzas y el comercio para

calcular el pago gradual de una deuda, ya que sabemos que en la actividad

financiera es común que las empresas y las personas busquen financiamiento o

crédito, sea para capitalizarse o para la adquisición de bienes (activos). Ahora el

punto podría ser a la inversa, es decir, cuando tenemos una obligación en el corto

o largo plazo, podemos empezar ahorrando gradualmente hasta reunir el importe

deseado, claro está, con sus respectivos rendimientos. Es aquí cuando la figura

del "Fondo de Amortización" se hace necesaria.

El proceso de pago de una deuda mediante desembolsos que comprenden el

principal y los intereses se conoce como amortización. Las tablas de amortización

muestran los pagos periódicos necesarios para reembolsar una cierta cantidad de

principal a para cierta tasa de interés a lo largo de un período específico. Desde el

32

punto de vista financiero, se entiende por amortización, el reembolso gradual de

una deuda. La obligación de devolver un préstamo recibido de un banco es un

pasivo, cuyo importe se va reintegrando en varios pagos diferidos en el tiempo.

La parte del capital prestado (o principal) que se cancela en cada uno de esos

pagos es una amortización.

Métodos de amortización

Al tratar los diferentes métodos amortizativos debemos hacer referencia de forma

previa a algunos conceptos relativos a las formas de calcular la amortización

Vida útil: la vida útil de un activo es el número de años de duración del mismo.

Base de amortización: es la diferencia entre el valor de adquisición del activo y su

valor residual.

Tipo de amortización: es el porcentaje que se aplica sobre la base amortizable

para calcular la amortización anual.

Factor de Fondo de Amortización de una Serie Uniforme i

A/F = (F/A) −1 = i / (1 + i ) n – 1→ ( A/F, i%, n)

EJEMPLO

Supóngase que se deposita una cantidad fija de dinero, A, en una cuenta de

ahorros al final de cada año durante 20 años. Si el banco paga 6% anual,

capitalizado cada año, encuéntrese A, tal que al final de los 20 años se hayan

acumulado $50,000.

A=F*(A/F, i%, n)=$50,000(A/F, 6%, 20)=$50,000(0.02718)=$1,359

Factor de Cantidad Compuesta de Una Serie Uniforme

33

F/A = (1 + i ) n – 1/ i → ( F/A, i%, n)

EJEMPLO

Un estudiante deposita $1,000 en una cuenta de ahorros que paga interés de 6%

anual, capitalizada cada año. Si se deja que el dinero se acumule, ¿cuánto dinero

tendrá el estudiante después de 12 años?

Se quiere obtener F, dados P, i, y n. Entonces:

F=P*(F/P, i%, n)=$1,000(F/P, 6%, 12)=$1,000(2.0122)=$2,012.20

Método de fondo de amortización de salvamento

Cuando un activo tiene un valor de salvamento terminal (VS), hay muchas formas

de calcular el VA.

En el método del fondo de amortización de salvamento, el costo inicial P se

convierte primero en una cantidad anual uniforme equivalente utilizando el factor

A/P. Dado normalmente, su carácter de flujo de efectivo positivo, después de su

conversión a una cantidad uniforme equivalente a través del factor A/F, el valor de

salvamento se agrega al equivalente anual del costo inicial.

Estos cálculos pueden estar representados por la ecuación general:

VA = -P(A/P,i,n) + VS(A/F,i,n) ; naturalmente, si la alternativa tiene cualquier otro

flujo de efectivo, éste debe ser incluido en el cálculo completo de VA.

34

1.3 FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN DE INTERÉS.

Frecuencia de capitalización de interés.

Es el número de veces en un año que de interés se suma al capital. En un sistema

de capitalización, se define la frecuencia como el número de veces que los

intereses producidos se acumulan al capital para producir nuevos intereses,

durante un período de tiempo.

Es decir, si consideramos un período de tiempo anual (n = 12 meses), la

frecuencia será 2 si los intereses se capitalizan semestralmente, 3 si se capitalizan

cuatrimestralmente, 4 si se capitalizan trimestralmente, 12 si se capitalizan

mensualmente. Generalizando la frecuencia de capitalización m, se dará cuando

los intereses se capitalicen n/m.

35

El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de

capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en

que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.

Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:

1º. El capital original (P o VA)

2º. La tasa de interés por período (i)

3º. El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción

(n).

Las transacciones financieras generalmente requieren que el interés se capitalice

con más frecuencia que una vez al año (por ejemplo, semestral, trimestral,

bimestral, mensual, diariamente, etc. Por ello se tienen dos expresiones para la

tasa de interés: Tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva.

1.3.1 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA.

Tasa de Interés es un índice utilizado para medir la rentabilidad de los ahorros o

también el coste de un crédito. Se expresa generalmente como un porcentaje.

Dada una cantidad de dinero y un plazo o término para su devolución o su uso, la

tasa de interés indica qué porcentaje de ese dinero se obtendría como beneficio, o

en el caso de un crédito, qué porcentaje de ese dinero habría que pagar. Es

habitual aplicar el interés sobre períodos de un año, aunque se pueden utilizar

períodos diferentes como un mes o el número días. El tipo de interés puede

medirse como el tipo de interés nominal, como tasa anual equivalente o como tasa

nominal anual. Los dos primeros números están relacionados aunque no son

iguales.

36

Interés nominal

Tasa de interés nominal. Se refiere al regreso de los ahorros en términos de la

cantidad de dinero que se obtiene en el futuro (un tiempo determinado) para un

monto dado de ahorro reciente.

La tasa efectiva anual (TEA) aplicada una sola vez, produce el mismo resultado

que la tasa nominal según el período de capitalización. La tasa del período tiene la

característica de ser simultáneamente nominal y efectiva.

Tasa de interés nominal ( r ), se expresa sobre una base anual. Es la tasa que

generalmente se cita al describir transacciones que involucran un interés.

Tasa Nominal

La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa

convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país

para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y

ahorros) del sistema financiero. Es una tasa de interés simple.

Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es

anual resulta equivalente decir tasa nominal o tasa nominal anual. La ecuación de

la tasa nominal es:

j = tasa de interés por período x número de períodos

El prestamista fijará un tipo de interés nominalque tendrá en cuenta los tres tipos

de factores, de tal manera que al final, recibirá la cantidad inicial más un fracción

de esa cantidad dada por el tipo de interés nominal

Hay tres tipos de riesgo que el prestatario debe compensar en el préstamo: el

riesgo sistemático, el riesgo regulatorio y el riesgo inflacionario.

37

El riesgo sistemático incluye la posibilidad de que el tomador de préstamo

no pueda devolverlo a tiempo según las condiciones inicialmente

acordadas.

El riesgo regulatorio incluye la posibilidad de que alguna reforma impositiva

o legal obligue a pagar al prestamista alguna cantidad diferente que la

inicialmente prevista.

El tercer tipo de riesgo, el riesgo inflacionario, tiene en cuenta que el dinero

devuelto puede no tener tanto poder de compra como el original, ya que si

los precios han subido se podrán comprar menos cosas con la misma

cantidad de dinero.

Tasa de interés efectiva

La tasa efectiva es aquella tasa que se calcula para un período determinado y que

puede cubrir períodos intermedios. Se representa por (i).

Enunciados de tasas de interés

Los enunciados de tasa de interés efectiva son:

El 12% anual, compuesto mensualmente

El 12% anual, compuesto trimestralmente, y

El 3% compuesto trimestralmente

La fórmula para encontrar una tasa de interés efectiva es:

i= (1+j/m)n -1

Donde:

i= Tasa de interés anual

m = Número de periodos de capitalización en el año

n = Número total de periodos

38

Tasa de interés efectiva ( i ) es la tasa que corresponde al periodo real de interés .

Se obtiene dividiendo la tasa nominal ( r ) entre ( m ) que representa el número de

períodos de interés por año

i= r / m

La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La

capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una

tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de

intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación

financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa

periódica.

Las tasas nominales y efectivas, tienen la misma relación entre sí que el interés

simple con el compuesto. Las diferencias están manifiestas en la definición de

ambas tasas.

Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo, es

necesario que las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas.

Por definición de la palabra nominal «pretendida, llamada, ostensible o profesada»

diríamos que la tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o

efectiva.

1.3.2 CUANDO LOS PERIODOS DE INTERÉSCOINCIDEN CON LOS PERIODOS DE PAGO.

Cuando los periodos de interés y los periodos de pago coinciden, es posible usar

enforna directa tanto las fórmulas de interés compuesto desarrolladas

anteriormente, así como las tablas de interés compuesto que se encuentran en

todos los libros de Ingeniería Económica, siempre que la tasa de interés i se tome

como la tasa de interés efectiva para ese periodo de interés. Aún más, el número

de años n debe remplazarse por el número total de periodos de interés mn.

39

Las fórmulas del interés continuo simplifican frecuentemente la solución de

modelos matemáticos complejos. En todas las fórmulas anteriores hemos utilizado

el convenio de fin de período para pagos globales a interés discreto. A partir de

ahora, en la solución de los ejemplos y/o ejercicios utilizaremos cualquiera de

estos dos métodos según el requerimiento de cada caso.

Cuando el interés capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito, la fórmula

puede escribirse de forma diferente. Pero antes es necesario, definir el valor de la

constante de Neper (e) o logaritmo natural que viene pre programada en la

mayoría de calculadoras representado por ex.

Anualidades Generales

Las anualidades ordinarias y anticipadas son aquellas en que el periodo de interés

coincide con el periodo de pago. En el caso de las anualidades generales los

periodos de pago no coinciden con los periodos de interés, tales como una serie

de pagos trimestrales con una tasa efectiva semestral.

Para realizar un análisis financiero confiable es necesario aplicar todas las

herramientas necesarias y correctas en cada caso

Una anualidad general puede ser reducida a una anualidad simple, si hacemos

que los periodos de tiempo y los periodos de interés coincidan, hay dos formas

como se puede realizar:

1. La primera forma consiste en calcular pagos equivalentes, que deben hacerse

en concordancia con los periodos de interés. Consiste en encontrar el valor de los

pagos que, hechos al final de cada periodo de interés, sean equivalentes al pago

único que se hace al final de un periodo de pago.

2. La segunda forma consiste en modificar la tasa, haciendo uso del concepto de

tasas equivalentes, para hacer que coincidan los periodos de interés y de pago.

40

1.3.3 CUANDO LOS PERIODOS DE INTERÉS SONMENORES QUE LOS PERIODOS DE PAGO.

Cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago, entonces

el interés puede capitalizarse varias veces entre los pagos. Una manera de

resolver problemas de este tipo es determinar la tasa de interés efectiva para los

periodos de interés dados y después analizar los pagos por separado.

Esta parte corresponde a la relación 3, de la sección 2.3.2. Caso en que el período

de pago es menor al período de capitalización (PP < PC). El cálculo del valor

actual o futuro depende de las condiciones establecidas para la capitalización

41

entre períodos. Específicamente nos referimos al manejo de los pagos efectuados

entre los períodos de capitalización. Esto puede conducir a tres posibilidades:

1. No pagamos intereses sobre el dinero depositado (o retirado) entre los

períodos de capitalización.

2. Los abonos (o retiros) de dinero entre los períodos de capitalización

ganan interés simple.

3. Finalmente, todas las operaciones entre los períodos ganan interés

compuesto.

De las tres posibilidades la primera corresponde al mundo real de los negocios.

Esto quiere decir, sobre cualquier dinero depositado o retirado entre los períodos

de capitalización no pagamos intereses, en consecuencia estos retiros o depósitos

corresponden al principio o al final del período de capitalización. Esta es la forma

en que operan las instituciones del sistema financiero y muchas empresas de

crédito.

1.3.4 CUANDO LOS PERIODOS DE INTERÉS SONMAYORES QUE LOS PERIODOS DE PAGO.

Si los periodos de interés son mayores que los periodos de pago, puede ocurrir

que algunos pagos no hayan quedado en depósito durante un periodo de interés

completo. Estos pagos no ganan interés durante ese periodo. En otras palabras,

sólo ganan interés aquellos pagos que han sido depositados o invertidos durante

un periodo de interés completo. Las situaciones de este tipo pueden manejarse

según el siguiente algoritmo:

42

Considérense todos los depósitos hechos durante el periodo de interés

como si se hubieran hecho al final del periodo (por lo tanto no habrán

ganado interés en ese periodo)

Considérese que los retiros hechos durante el periodo de interés se hicieron

al principio del periodo (de nuevo sin ganar interés)

Después procédase como si los periodos de pago y de interés coincidieran.

En los casos en que el período de capitalización de un préstamo o inversión no

coincide con el de pago, necesariamente debemos manipular adecuadamente la

tasa de interés y/o el pago al objeto de establecer la cantidad correcta de dinero

acumulado o pagado en diversos momentos. Cuando no hay coincidencia entre

los períodos de capitalización y pago no es posible utilizar las tablas de interés en

tanto efectuemos las correcciones respectivas.

Si consideramos como ejemplo, que el período de pago (un año) es igual o mayor

que el período de capitalización (un mes); pueden darse dos condiciones:

1. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar los factores del 1º Grupo

de problemas factores de pago único (VA/VF, VF/VA).

2. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar series uniformes (2º y 3º

Grupo de problemas) o factores de gradientes.

1.3.5 TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARACAPITALIZACIÓN CONTINÚA.

La tasa efectiva anual (TEA) aplicada una sola vez, produce el mismo resultado

que la tasa nominal según el período de capitalización. La tasa del período tiene la

característica de ser simultáneamente nominal y efectiva.

Podemos definir que la capitalización continua es el caso límite de la situación de

capitalización múltiple de cuando los periodos de interés son menores que los

periodos de pago. Al fijar la tasa de interés nominal anual como r y haciendo que

43

el número de periodos de interés tienda a infinito, mientras que la duración de

cada periodo de interés se vuelve infinitamente pequeña.

De la ecuación

i = (1 + r / m ) m − 1

Se obtiene la tasa de interés efectiva anual con capitalización continua

A medida que el periodo de capitalización disminuye el valor de m, número de

periodos de capitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se

capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito.

Suponga que se capitaliza anualmente un depósito inicial de $1000, por un plazo

de tres años; el banco paga un 4% de interés anual. ¿Cuál es el monto de dinero

que se acumulará al término del tercer año, tanto en capital como en intereses, sin

retiro de fondos?

Monto al final de tres años = $1000(1.04)³ = $1,124.86

En este caso, ya que la capitalización es anual, sólo existe una capitalización al

año. Si fuese semestral, entonces habría dos capitalizaciones de intereses al año

y así se pueden presentar las siguientes situaciones:

Periodo de Capitalización Número de capitalizaciones al año

Anual 1

Semestral 2

Trimestral 4

Mensual 12

44

Semanal 52

Diario 365

Horaria 8,760

Minuto 525,600

Segundo 31,536,000

Cuando el número de capitalizaciones, en un año, es muy grande (se dice: n

tiende al infinito), se denomina Capitalización Continua, tal como ocurre con la

capitalización por segundos, que son 31,536 millones de capitalizaciones en un

año. Este ejemplo pareciera ser más bien teórico, sin embargo no lo es tanto, pues

hoy se pueden efectuar transferencias electrónicas de dinero y así hacer depósitos

por cortos periodos de tiempo, como pueden ser en horas y minutos, por lo que el

número de capitalizaciones en un año puede llegar a ser muy grande y tender al

infinito, y frente a tal caso la expresión matemática de la capitalización cambia, lo

que será aplicado más delante.

CONCLUSION

La ingeniería económica es una herramienta en la que se aplican métodos o

técnicas en cuanto a la economía de una empresa y tomando en cuenta factores

internos y externos económicos con la finalidad de facilitar la toma de decisiones

para los que están al mando en una empresa.

Los Ingenieros en Gestión Empresarial debemos aprender a usar los distintos

métodos de la ingeniería económica para salvaguardar el bienestar de la empresa

sea a corto, mediano o a largo plazo, pues de esta manera podremos invertir el

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capital de manera que genere utilidades siempre y cuando este dentro de un

marco legal.

Se debe tener en cuenta el valor del dinero a través del tiempo, con ayuda de la

planeación pues así la empresa tendrá claro sus objetivos, analizará su posición

actual y hacia qué dirección quiere ir, para luego lograr alcanzar sus expectativas

esto con ayuda de estrategias, herramientas y métodos. Por ende sabrá cómo

invertir muy bien su capital.

La tasa de interés es un precio adicional que se tiene que pagar por un dinero

prestado, dependiendo del tipo de interés (simple o compuesto) y según el periodo

de tiempo prestado.

FUENTES CONSULTADAS

www.itson.mx

www.ulsa.edu.mx

www.cuceinetwork.net

www. ingenieria .unam.mx

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www.cucea.udg.mx

www.matematicaexercice.com

www.itlalaguna.edu.mx

www.arqhys.com

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