Ingenieria Parte 2 Bonos

Bonos sin sorteo emitidos a la par

Según lo expresa Alberto Álvarez Arango

Como su nombre lo indica, solo tienen una fecha de redención y se colocan en el mercado a su valor nominal (Vn). Estos bonos pueden ofrecer incentivos como exenciones tributarias o tasas de interés atractivas. (p. 378)

Ejemplo

Un bono de $1000 se emitió a 4 años y paga el 26% anual.

Ve= 1000= VnVe=pVn=F

Ve= A [ (1+i)n−1i(1+ i)n ]+ F [ 1

(1+i)n ]Ve= 260 [ (1,26)4−1

0,26 (1,26)4 ]+ 1000 [ 1

(1,26)4 ]Ve= 1000

Bonos sin sorteo emitidos bajo la par


Como el caso anterior, solo tienen una fecha de redención, pero se diferencian porque estos se negocian en el mercado secundario por un valor inferior al nominal. (p. 379)

Ejemplo

¿Por cuanto tiempo debe venderse un bono de $1000 emitido a 5 años al 28% anual, para que el comprador obtenga una tasa del 32% efectiva anual?

1000

260 260 260

260+1000

0 1 2 3 4

P= A [ (1+i )n−1i (1+i )n ] + F [ 1

(1+i )n ]P= 280 [ (1,32 )5−1

0,32 (1,32 )5 ] + 1000 [ 1

(1,32 )5 ]P= $906,18

Bonos con Sorteo emitidos a la par


Son bonos con varias fechas de redención, es decir, se reembolsan periódicamente. Además, los bonos se colocan en el mercado a su valor nominal. (p. 381)

Ejemplo

Una empresa hizo una emisión de 50000 bonos. El valor nominal de cada uno es de $1000 y se redimen en 4 años, pero se reembolsaran cada año mediante sorteos, y reconocen una tasa del 28%. ¿Cuáles bonos se rescataran cada año?

1. Valor de la emisión:

50000(1000) = 50000000

2. Los $50000000 corresponden al empréstito que una compañía debe amortizar en 4 años. Supóngase que el sistema para amortizarlo es el de cuota constante.

Luego:

A= P [ i (1+i )n(1+i )n−1 ]

Ve=?

280 280 280

280+1000

0 1 2 3 4 5

280

A= 50000000 [ 0,28 (1,28 )4

(1,28 )4−1 ]= 22311789,18

Cada año se pagaran $22311789,18 de los cuales una parte corresponde a intereses y la otra es la amortización real. El número de bonos, a amortizar en cada periodo está dado por la amortización real de dicho periodo dividida por el valor nominal del bono

Ni= T iV n

Donde Ni= número de bonos rescatados en el periodo i

Ti= amortización real en el periodo iTi= A = Ii

Primer periodo

Ii= 50000000(0,28)= 14000000Ti= 22311789,18-14000000= 8311789,18

Ni= T iV n

= 8311789,181000

= 8,311

Queda un sobrante de $789 que produce intereses asi:

789,18(0,28)= 220,97

Sobrante total= 789,18 + 220,97= $1010,15

Segundo periodo:

Saldo= 50000000-8311000= 41689000I2= 41689000 (0,28) = 11672,920

T2= A-I2T2= 22311789,18 – 11672,920= 10638869,18T2+ sobrante= 10638869,18 + 1010,15= 10639879,33

N2=10639879,33

1000=¿10639

Sobrante= $879,33Interés del sobrante= 879,33(0,28)= 246,21Sobrante total= 879,33 + 246,21= $1125,54

La siguiente tabla puede construirse asi:

n Deuda Interés Amortización Ni Sobrant Intereses Sobrante

inicial I real e + Intereses

1 50000000 14000000 8311789,18 8311 789,18 220,97 1010,152 41689000 11672920 10639879,33 10639 879,33 246,21 1125,543 31050000 8694000 13618914,72 13618 914,72 256,12 1170,844 17432000 4880960 17432000 17432 0 0 0

TotalBonos con sorteo emitidos bajo la par


Es uno de los sistemas más utilizados en el mercado financiero. Difiere del anterior en el precio por el cual se coloca el bono en el mercado. (p.386)

Ejemplo

Con los datos el problema anterior y considerando que al colocar los bonos bajo la par la empresa AB terminara por pagar el 26% efectivo anual. a) ¿Cuánto recibe la empresa?b) ¿Cuál es el Ve de cada bono?c) ¿Cuál es el número de bonos rescatados n el segundo sorteo?

A= 36424771,49

a) Calcular ahora el valor presente de esta serie de cuotas pero a la tasa del 26% efectivo anual, para conocer cuánto recibió la compañía AB

P= A [ (1+i )n−1i (1+i )n ]

P= 36424771,49 [ (1,26 )5−10,26 (1,26 )5 ]= 95981851,55

b) Ve= 95981851,5520000

= 4799,09

Ve<Vn

c) Numero de bonos rescatados en el segundo sorteo:

Nk= N1(1+i )k−1

N1= 2484,954298N2= 2484,954298(1,24 )2−1= 3081

Bonos con sorteo emitidos bajo la par y con lote


Lote. Es un premio que se adjudica a los bonos favorecidos en un determinado sorteo. (p.387)

Ejemplo

Resuelva el problema anterior considerando que por el hecho de otorgar un premio al bono favorecido en un sorteo, la empresa AB pagara una tasa del 28% efectiva anual.

a) ¿Cuánto recibirá la empresa AB?b) ¿Cuál es el precio de venta de cada bono?c) ¿Cuál es el valor del lote?d) ¿A qué costo se rescatan los bonos favorecidos en el cuarto sorteo?

Solución

a) Ya estaba resuelto: $95981851,55b) Ya estaba resuelto: $4799,09c) Calcule ahora la nueva cuota que amortiza el capital de los $95981851,55 al

28% anual

A= 95981851,55 [ 0,28 (1,28)5(1,28)5 ] = 37907433,66

El valor del lote es igual a la diferencia entre las dos cuotas

37907433,66 – 36424771,49 = $1482662,17

d) Para saber a qué costo se rescatan los bonos del cuarto sorteo es necesario conocer primero cuantos bonos se rescataran en el mismo

N4= N1(1+i)3

N4= 2484,954298(1,284)3 = 4738

Valor del premio para cada bono = 1482662,174738

= 312,92

Valor de rescate de cada bono= 5000 + 312,92 = $5312,92

Bonos Reembolsables

Según lo expresa Robert L. Brown

Como los bonos reembolsables o bonos con fecha opcional de liberación permiten al emisor pagar la deuda (redimir el bono) antes de su fecha de vencimiento, presentan un problema con respecto al cálculo del precio de compra, porque el termino del bono no está definido. El inversionista pagara un precio que le garantice el rendimiento que desea, independientemente de la fecha de reembolso. Para determinar el precio se debe suponer que el emisor

del bono ejercitara su opción de reembolso con desventaja para el inversionista.

Para un bono reembolsable a la par (C=F):

Si la tasa de rendimiento es mayor que la tasa del cupón, el inversionista deber calcular usando la última fecha posible de reembolso.

Si la tasa de rendimiento es menor que la tasa del cupón, el inversionista debe calcular usando la primera fecha posible de reembolso

Para todo bono reembolsable, aunque no sea reembolsable a la par (C≠F), el inversionista puede determinar todos los precios de compra posibles que correspondan a su rendimiento deseado y entonces pagar el mínimo de ellos. (p.153)

Ejemplo

Un bono reembolsable de $5000 paga interés de j12= 921% y vence a la par en

20 años. Puede reembolsarse al final de 10 años o 15 (inclusive) por $5200. Calcular el precio para que rinda un mínimo de j12= 82

1% hasta su liberación.

Si el bono se reembolsa a los 10 años:

Pc= 5200 + (237,50 – 221) a20∨.0425 = $5419,36

Si el bono se reembolsa a los 15 años:

Pc= 5200 + (237,50 – 221) a30∨.0425 = $5476,85

El precio Pc para las fechas de reembolso al final de los años 10 a 15, aumentara en forma gradual, desde $5419,36 hasta $5476,85

Si el bono se vence en 20 años:

Pm= 5000 + (237,50 – 212,50) a40∨.0425 = $5476,93

Por consiguiente, el precio para garantizar un rendimiento mínimo de j12= 821%

hasta el vencimiento es $5419,36

Premio y Descuento


Se dice que un bono se compra a premio si su precio de compra P es mayor que su valor de liberación C; el premio es P-C. Se dice que un bono se compra a descuento si el precio de compra P es menor que su valor de vencimiento C; el descuento es C-P.

Premio= P-C= (Fr-Ci)an∨iDescuento= C-P (Ci-Fr)an∨i

El valor en libros de un bono en determinado momento es la suma que se registra como invertida en el bono en ese momento. El valor en libros de un bono en una fecha de compra que coincida con una fecha de pago con el interés (con más precisión, la fecha de compra antecede a la de pago con el interés en un periodo) es justo el precio de compra del bono. El valor en libros en la fecha de vencimiento es el valor de vencimiento del bono.

Cuando un bono es comprado a premio (P>C), el valor del bono en libros será anotado (disminuido) en cada fecha con el interés del bono, para que en la fecha de liberación el valor en libros sea igual al valor de vencimiento. A este proceso se le llama amortización del premio o disminución. Cuando un bono se compra con descuento (C>P), el valor en libros será anotado (incrementando) en cada fecha con el interés del bono para que en la liberación el valor en libros sea igual al valor de vencimiento. A este proceso se le llama incremento de descuento o acumulación.El calendario de amortización (o acumulación) de un bono muestra la división de cada cupón del banco en sus fracciones con el interés producido y ajuste del principal, junto con el valor en libros después de pagar cada cupón.

Los pagos hechos durante el término de un bono se pueden considerar como pagos de préstamo que hace el prestatario (emisor del bono) al prestamista (el tenedor del bono) para pagar el préstamo en una cantidad igual al precio de compra de un bono. El precio de compra del bono se calcula como el valor descontado de esos pagos (cupones más el valor de liberación) a cierta tasa de rendimiento (la tasa de interés sobre el préstamo). Así, la transacción del bono se puede considerar como la amortización de un préstamo, y el programa de amortización del bono (o tabla de inversión) se puede elaborar como un programa de amortización del préstamo. (p.154)

Ejemplo

Un bono de $1000, rescatable al 105% el 1 de octubre de 1997, paga cupones semestrales al 102

1%. El banco se compra el 1 de abril de 1995, para producir j365= 14%. Calcular el precio de compra y elaborar un programa para el bono.Se calcula i semestral, tal que

(1+i )n = (1+ 0,14365 )365

es decir i= 0,072493786

P= 52,50a5∨.072493786= 1050(1,072493786)−5= $953,80

Fecha Pago de interés del bono

Interés sobre el valor en libros a la tasa de

Ajuste principal

Valor en libros

rendimiento1 de abril, 19951 de octubre, 19951 de abril, 19961 de octubre, de 19961 de abril, del 19971 de octubre, 1997

0

52,50

52,50

52,50

52,50

52,50

0

69,14

70,35

71,64

73,03

74,52

0

-16,64

-17,85

-19,14

-20,53

-22,02

953,80

970,44

988,29

1007,43

1027,96

1049,98

Totales 262,50 358,68 -96,18Precio de un bono entre fechas con pago de interés


Supongamos que un bono es comparado entre fechas de interés, para que el comprador obtenga un rendimiento la tasa i. siendo:

Po= precio de un bono en la fecha anterior con pago de interés (justo después de haber pagado un cupón)

k= parte fraccionaria transcurrida de un periodo con interés (0<k<1)

P= precio de compra del bono en la fecha real de la compra, llamado precio fijo usando el método teórico, esto es, interés compuesto para la parte fraccionaria de un periodo con interés; se determina por

P= Po(1+i)k

Sin embargo, en realidad, se usa el método práctico, esto es, el interés simple, para la parte fraccionaria de un periodo con interés; el precio de compra se determina con:

P= Po (1+ki)

El método practico produce valores un poco mayores y es el que se usara en esta descripción a menos que se indique otra cosa.Se puede considerar que el precio de compra P está formado por dos partes: el precio de mercado, Q, que siempre es igual a valor en libros del bono, mas el interés devengado del bono I, en la fecha de la compra. Al definir

P1= precio del bono en la próxima fecha de interés (exactamente después de haber pagado un cupón) se tiene

P1= (1+i) Po-Fr

Se puede obtener el precio de mercado por interpolación lineal entre Po y P1

Q= Po+k(P1-Po)

El interés devengado del bono es

I= KFr

Cuando Po y P1 se eliminan de las anteriores ecuaciones, el resultado es

P= Q+I

Si se cotizara al precio real de compra P, habría una gran discontinuidad en el precio en cada fecha de cupón, cuando el interés devengado por el bono cambiaria en forma abrupta de Fr a cero. Por consiguiente, el precio de mercado Q es cotizado; o más bien se da el precio de mercado de un bono de $100, llamado cotización en el mercado, q. se redondea hasta el octavo más cercano, pero se edita en su forma decimal equivalente. (

Ejemplo

Un bono de $10000 con cupones semestrales a 921%, es rescatable a la par el

25 de agosto del 2005. Este bono fue vendido el 10 de septiembre de 1996, con una cotización de mercado de 988

7. ¿Cuánto pago el comprado?

Se ordenan los datos; el precio de mercado el 10 de septiembre de 1996 fue

Q= 100x9887= $9887,50

El interés devengado por el bono del 25 de agosto de 1996 al 10 de septiembre de 1996 es

I= 16184

x 475= $41,30

Entonces, de acuerdo con la formula general, el precio total de la compra es:

P= Q+I= 9887,50+41,30= $9928,80

Calculo de la tasa de rendimiento


La tasa de rendimiento por periodo de interés (llamado con frecuencia rendimiento hasta el vencimiento) se calcula en forma aproximado con

i= ingreso promedio por periodocantidad promedioinvertida

= (nFr+C−P)/n

(P+C)/2

Si se desea un resultado más exacto, el método de promedios debe seguir al método de interpolación. (p.161)

Ejemplo

Un bono de $2000 que paga cupones semestrales a 921 % y es rescatable a la

par el 20 de julio de 2009, se cotiza al 9621 el 20 de julio de 1995. Calcular un

valor aproximado de la tasa de rendimiento hasta el vencimiento, j2, con el método de los promedios.

El precio de compra es P= 20x 9621= $1930, porque el bono se vende en una

fecha de interés. Si se conserva hasta el vencimiento (28 periodos), el comprador habrá obtenido 28x95= $2660 en cupones, más 2000-1930=$70 en ganancia de capital; es decir, el ingreso promedio por periodo es

2660+7028

=$97,50

La cantidad promedio invertida es

1930+20002

=$1965

Así el valor aproximado de la tasa de rendimiento por medio año es

i=97,501965

=0,0496=4,96%

Es decir, j2=9,92%

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