IX.- SUPERFICIES AMPLIADAS

DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE

IX.1.- INTRODUCCIÓN

Las superficies ampliadas tienen un extenso campo de aplicaciones en problemas de transmisión

de calor, desde radiadores de automóviles o equipos de aire acondicionado, hasta los elementos com-

bustibles de reactores nucleares refrigerados por gases, o los elementos de absorción y disipación de

energía en vehículos espaciales, o los equipos de refrigeración y calentamiento en la industria quími-

ca, etc.

Antes de entrar en la resolución de los problemas térmicos en superficies específicas, es convenien-

te hacer una interpretación intuitiva de la necesidad de las superficies ampliadas, que se conocen

como aletas, así como de sus secciones transversales, laterales y perfiles (sección recta), que se corres-

ponden con figuras geométricas con posibilidades de fabricación en serie, tales como las rectangula-

res, triangulares, trapezoidales, parabólicas e hiperbólicas, con dimensiones en las que la relación

(longitud/espesor) es del orden de 5/1 ÷ 50/1, y espesores del orden de 0,5 ÷10 mm.

Las aletas se pueden disponer sobre superficies planas o curvas. Si la disposición es de tipo longi-

tudinal, se puede admitir que la superficie de encastre donde se apoya la aleta es plana, siempre que

el radio del tubo sea elevado frente al espesor de la aleta.

Cuando las aletas son sólidos de revolución o paralelepípedos se denominan protuberancias y su dis-

posición puede admitirse sobre superficies planas cuando la superficie de la protuberancia en la base

sea pequeña frente a la superficie de esta última. Las protuberancias se tratan con distribución de

temperatura constante para cada sección recta paralela a la base, lo que equivale a admitir que la re-

lación entre la longitud L de la protuberancia y el diámetro o longitud equivalente en la base, es ele-

vada, pudiéndose considerar la transmisión de calor como unidireccional; cuando esta hipótesis no se

cumpla se estudia el fenómeno de la transmisión de calor en tres dimensiones.

Las aletas y las protuberancias se disponen en la superficie base constituyendo un conjunto, sien-

do el más frecuente un tubo en el que el número de aletas o protuberancias es variable, con una sepa-

ración del orden de 1 a 6 centímetros para las aletas, y una distribución de retícula cuadrada o trian-

gular para las protuberancias. Para satisfacer las necesidades térmicas, los elementos se acoplan en

serie o en paralelo constituyendo un intercambiador de calor.

IX.-135

Cuando el fluido que circula por las aletas está confinado y se mueve mediante un sistema de bom-

beo, hay que tener en cuenta la energía necesaria para mantener el coeficiente de convección hC a tra-

vés de las aletas, procurando que la energía térmica extraída sea máxima frente a la energía utilizada

en mover el fluido.

a) Aletas longitudinales

b) Aletas transversales c) Tubos aplastados con aletas continuas Fig IX.1.- Diferentes tipos de aletas

Esta situación conduce a un estudio de métodos y costes de fabricación, mantenimiento y rendi-

miento de los elementos de las aletas, cuyos valores óptimos pueden no coincidir con los óptimos tér-

micos, por lo que un análisis de estos últimos es importante desde el punto de vista de la fabricación

de modelos normalizados, así como de la elección del modelo más adecuado para el usuario.

IX.2.- TRANSFERENCIA DE CALOR EN ALETAS LONGITUDINALES DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE

Los perfiles rectangulares sobre superficies planas constituyen el caso más simple de superficies

ampliadas. Se pueden disponer en una pared plana, o sobre la longitud axial de un tubo en dirección

longitudinal, con hélices de paso elevado o sobre superficies arbitrarias de gran radio de curvatura. El

conjunto constituido con aletas longitudinales rectangulares es de fácil fabricación por extrusión, fun-

dición, colada continua, etc.

En casos especiales, las aletas longitudinales se mecanizan sobre el material de aleación de la ba-

se. Las aletas unidas a la base sin discontinuidades, mediante soldadura o presión, no tienen resisten-

cias térmicas de contacto y son adecuadas para temperaturas elevadas dado que la base no se altera

por dilataciones térmicas diferenciales siempre que no sufran efectos corrosivos o una excesiva defor-

mación. En régimen estacionario, el calor que se conduce a través de un sistema de aletas se elimina

al exterior mediante un proceso de convección, siendo la energía disipada, en la unidad de tiempo,

proporcional a su área superficial.

En primer lugar vamos a considerar una aleta de sección transversal constante, de longitud a

igual a la longitud del tubo; aunque en la Fig IX.2 hemos representado una de sección transversal rec-

tangular, de altura L, el método es válido para cualquier otra geometría, por la forma que toma el nú-

mero de Biot. El calor se transmite por conducción a través del material de la aleta y luego se elimina

por convección al fluido que le rodea. La temperatura del fluido ambiente es TF, y el coeficiente de

transmisión de calor por convección es hC, siendo constantes ambos valores.

El balance de flujos térmicos en régimen estacionario, en la unidad de tiempo, en el volumen ele-

mental situado en la posición x, es igual a la suma del calor conducido en dicho tiempo fuera del volu-

men en (x + Δx) más el calor transferido por convección en dicho tiempo, desde la superficie del volu-

men elemental, es decir:

IX.-136

Q x - (Q x +

∂Qx

∂x Δx ) - QC = 0 ⇒

∂Q x

∂x Δx + QC = 0

siendo: Qx = - k S ( ∂T

∂x)x ⇒

∂Qx∂x

= - k S ( ∂2T∂x2 )x

QC = hC dA (Tx - TF ) = h C (p Δx) (Tx - TF )

en las que p es el perímetro y S el área de la sección transversal.

Fig IX.2.- Aleta de sección transversal constante

La ecuación diferencial de la distribución de temperaturas es:

- k S ( ∂

2T∂x2

)x Δx + hC p Δx (Tx - TF ) = 0 ⇒ ( ∂2T

∂x 2 )x - hC pk S (Tx - TF ) = 0

Definimos una función Φ(ξ) de temperaturas, con ξ = x

L en la forma:

Φ(ξ) =

Tx − TFTb − TF

; Tx = TF + Φ(ξ)(Tb − TF)

por lo que: dTdx

= (Tb - TF ) dΦ(ξ)dξ

dξdx

= ξ = xL

; dξdx

= 1L

= Tb - TF

L dΦ(ξ)dξ

d2T

dx2 =

Tb - TFL

d2Φ(ξ)dξ2

dξdx

= Tb - TFL2

d2Φ(ξ)dξ2

Sustituyendo en ( ∂

2T∂x2

)x - h C pk S (Tx - TF ) = 0 ⇒

d2Φ(ξ)

dξ2 -

hC p L2

k S Φ(ξ) = 0

La distribución de temperaturas se puede expresar en forma adimensional, en función del número

de Biot; teniendo en cuenta que el perímetro p multiplicado por la longitud L de la aleta, es igual al

área total de la superficie lateral (A = p L), resulta:

p L2

S = A L

S = L *

que tiene dimensiones de longitud, por lo que se puede considerar como la longitud característica L*

de la aleta; el número de Biot se define en la forma:

Bi =

hC p L2

k S = hC L*

k

La expresión de la ecuación diferencial de la distribución de temperaturas en forma adimensional, IX.-137

correspondiente a la aleta, en función del número de Biot, es:

d2Φdξ 2

- Bi Φ = 0 cuya soluci ón general es → Φ (ξ) = C1 e - Bi ξ + C2 e Bi ξ

Los valores de las constantes de integración C1 y C2 se determinan una vez se especifiquen las

condiciones de contorno.

CONDICIONES DE CONTORNO.- La temperatura que se suele conocer inicialmente es la

correspondiente a la base de la aleta (x = 0), (Tx=0 = Tb), que es la primera condición de contorno, por

lo que:

x = 0 ; ξ = 0 ; Φ(0) =

Tb - TFTb - TF

= 1 ; C1 + C2 = 1

común a los tipos de aletas de sección transversal constante.

El calor que entra a la aleta por conducción por la base (x = 0), es:

Q = - k S ( ∂T

∂x)x=0 = - k S

L (Tb - TF ) (

∂Φ(ξ)

∂ξ)ξ=0 = k S

L (Tb - TF ) Bi (C1 - C2 )

La segunda condición de contorno toma diversas formas, según sea:

a) Aleta muy larga.- La temperatura de su extremo libre es igual a la del medio exterior del fluido

que la rodea:

Tx→∞ = TF ; ξ = xL = 1 ; Φ(1) =

TF - TFTb - TF

= 0 = C1 e- Bi + C2 e Bi

y como L es muy grande y Bi es proporcional en este caso a L2 resulta que Bi es también muy grande,

siendo la distribución de temperaturas correspondiente:

0 + C2 e Bi = 0 ⇒

C2 = 0 C1 = 1

Φ(ξ) =

Tξ - TFTb - TF

= e - Bi ξ ; Tξ = TF + (Tb - TF ) e- Bi ξ

El calor intercambiado por convección con el exterior se calcula teniendo en cuenta que es igual al

que entra por la base de la aleta (x = 0) por conducción:

Q = - k S (

∂T∂x

)x=0 = k SL

(Tb - TF ) Bi (C1 - C2 ) = C1 = 1

C2 = 0 =

k SL

(Tb - TF ) Bi

b) Aleta con su extremo libre térmicamente aislado.- Este tipo de aletas no disipa calor por el

extremo libre (x = L) ó (ξ = 1), por lo que:

dTdx x=L = 0 ; dTdx x=L =

Tb - TFL

dΦ (ξ)dξ ξ=1 = 0 ⇒

dΦ (ξ)dξ ξ=1 = 0

Las constantes C1 y C2 se obtienen en la forma:

IX.-138

dΦdξ

)ξ=1 = 0 ⇒ - Bi C1 e- Bi + Bi C2 e Bi = 0 ⇒ C1 = C2 e Bi

e − Bi

C1 = C2 e Bi

e − Bi

C1 + C2 = 1

⇒ C2

e Bi

e− Bi + C2 = 1 ⇒

C2 = e− Bi

e Bi + e− Bi = e − Bi

2 Ch Bi

C1= e Bi

2 Ch Bi

por lo que la distribución de temperaturas es:

Φ(ξ) = T(ξ) - TFTb - TF

= e Bi e- Bi ξ + e- Bi e Bi ξ

e Bi + e- Bi = e Bi(1-ξ) + e- Bi(1-ξ)

e Bi + e- Bi =

Ch{ Bi (1- ξ)}Ch Bi

La temperatura TL en el extremo libre de la aleta, ξ = 1, es:

TL - TF Tb - TF

= 1 Ch Bi

; TL = TF + Tb - TF Ch Bi

El calor disipado por la aleta por convección en la unidad de tiempo, se determina como en el caso

anterior, considerando que es el mismo que entra por conducción por la base de la aleta (x = 0), es

decir:

Q = - k S ( ∂T

∂x)x=0 = k S

L (Tb - TF ) Bi (C1 - C2 ) =

= k S Tb - TF

L Bi e Bi - e- Bi

2 Ch Bi = k S Tb - TF

L Bi Sh Bi

Ch Bi = k S Tb - TF

L Bi Th Bi

c) Aleta con convección desde su extremo libre.- La condición de contorno en el extremo libre es:

- k dTdx

)x=L = hC(T - TF)x=L = hCΦ(1)(Tb - TF)

- k dTdx

)x=L = - k Tb - TF

L dΦdξ

)ξ=1

⇒ dΦ

dξ)ξ=1 = -

hCLk Φ(1) = -

h CLk (C1e - Bi + C2e Bi )

que igualada a:

dΦdξ

|ξ=1 = - Bi C1 e- Bi + Bi C2 e Bi

permite obtener la segunda relación entre las constantes C1 y C2:

- hCLk (C1 e - Bi + C2 e Bi ) = - Bi C1 e- Bi + Bi C2 e Bi

C1 e - Bi (- Bi + hCLk ) + C 2 e Bi ( Bi +

hCLk ) = 0 ⇒ C1 =

e Bi ( Bi + hCLk

)

e- Bi ( Bi - hCLk

) C2

y como C1 + C2 = 1 resulta:

C1 = ( Bi +

hCLk

) e Bi

Bi (e Bi + e- Bi ) + hCLk

(e Bi - e- Bi ) = 12

( Bi + hCLk

) e Bi

Bi Ch Bi + h CLk

Sh Bi

C2 = ( Bi -

h CLk

) e- Bi

Bi (e Bi + e- Bi ) + hCLk

(e Bi - e- Bi ) = 12

( Bi - hCLk

) e - Bi

Bi Ch Bi + hCLk

Sh Bi

IX.-139

La distribución de temperaturas es:

Φ(ξ) =

T( ξ) - TFTb - TF

= C1 e- Bi ξ + C2 e Bi ξ =

= 12 e Bi( Bi +

h CLk

) e- Bi ξ + e− Bi( Bi - hCLk

) e Bi ξ

Bi Ch Bi + h CLk

Sh Bi =

= Bi Ch {(1 - ξ ) Bi} +

hCLk

Sh{(1 - ξ ) Bi}

Bi Ch Bi + hCLk

Sh Bi = Bi =

hCp L2

k S ; hC Lk = S Bi

p L =

= Ch {(1 - ξ) Bi} + S Bi

p L Sh{(1 - ξ ) Bi}

Ch Bi + S Bi p L

Sh Bi =

El calor disipado en la unidad de tiempo es:

Q = k S

L (Tb - TF ) Bi (C1 - C2 ) =

= k S2 L (Tb - TF ) Bi

e Bi ( Bi + hC Lk

) - e− Bi ( Bi - h C Lk

)

Bi Ch Bi + hC Lk

Sh Bi =

= k SL

(Tb - TF ) Bi Bi Sh Bi +

hC Lk

Ch Bi

Bi Ch Bi + hC Lk

Sh Bi = k S

L (Tb - TF ) Bi

Th Bi + h C L

k Bi

1 + hC L

k Bi Th Bi

=

= k S (Tb - TF ) Bi

L Th Bi + S Bi

p L

1 + S Bip L

Th Bi =

Bi = h C p L2

k S ≅

h C 2 a L2

k a e =

2 hC L2

k e = m 2 L2

Bi = m L ; m = 2 hCk e

=

= k S (Tb - TF ) m Th(m L ) +

hC

k m

1 + hCk m

Th (mL )

d) Aleta entre dos paredes a temperaturas distintas Tb y TL.- La condición de contorno en el extremo TL es:

x = L ; T = TL ; ξ = xL = 1

Φ(1) =

TL - TFTb - TF

= C1 e - Bi + C2 e Bi = C1 = 1 - C2 = (1 - C2 ) e- Bi + C2 e Bi =

= e- Bi + C2 ( e Bi - e- Bi ) = e- Bi + 2 C2 Sh Bi

C2 = Φ (1) - e - Bi

2 Sh Bi ; C1 = 1 - Φ(1) - e - Bi

2 Sh Bi = e

Bi - Φ(1)2 Sh Bi

en las que Tb, TL y TF son conocidas por lo que Φ(1) también lo es.

Distribución de temperaturas:

IX.-140

Φ(ξ) =

e Bi - Φ(1)2 Sh Bi

e- Bi ξ + Φ(1) - e- Bi

2 Sh Bi e Bi ξ =

=

e Bi (1 - ξ)- Φ(1) e- Bi ξ + Φ(1) e Bi ξ - e− Bi (1 - ξ)

2 Sh Bi =

Sh { Bi (1 - ξ )} + Φ(1) Sh ( Bi ξ)Sh Bi

El calor Q para cualquier valor de ξ es:

Q = - k S dTdx = - k S

L (Tb - TF ) dΦ(ξ)dξ

= - k SL (Tb - TF ) Bi

- Ch{ Bi (1 - ξ )} + Φ (1) Ch ( Bi ξ)

Sh Bi

El calor disipado por la aleta es igual al calor entrante por la pared a Tb, menos el calor saliente

por la pared a TL, es decir:

Q = Q ξ=0 - Q ξ=1 = - k S

L (Tb - TF ) Bi Φ(1) - Ch Bi - Φ(1) Ch Bi + 1

Sh Bi =

= - k S

L (Tb - TF ) Bi (1 - Ch Bi ) {Φ(1) + 1}

Sh Bi

IX.3.- CAMPO DE APLICACIÓN DE LAS ALETAS RECTAS DE PERFIL UNIFORME

La condición dQdL

= 0 aplicada a la ecuación:

Q = k S (Tb - TF ) m Th(m L) +

hCk m

1 + hCk m

Th(m L) es:

dQdL = k S (Tb - TF ) m

mCh2(m L)

{1 + hC

k m Th (m L )} - {Th (m L ) +

h C

k m} hCk m

mCh2(m L)

{1 + hCk m

Th (m L)}2 = 0

1 +

hCk m Th (m L) = {Th (m L) +

hCk m }

hCk m ; 1 = (

hCk m )2 = m =

2 hCk e =

h C e2 k

que se cumple para cualquier valor de L, e indica las condiciones técnicas a tener en cuenta para

colocar aletas sobre una superficie y el efecto que estas producen.

Esta ecuación indica que si la resistencia térmica por unidad de superficie frontal de la aleta es

menor que la resistencia térmica correspondiente a la convección, hay que colocar aletas, mientras

que en el caso contrario, las aletas producen un efecto refrigerante.

Al sustituir este valor en la segunda derivada se obtiene un punto de inflexión, que se corresponde

con una evacuación de calor del tubo sin aletas.

a) Cuando

h C e2 k > 1, resulta que la adición de aletas produce un efecto aislante o refrigerante,

por cuanto el calor que se elimina es inferior al del tubo sin aletas, que se interpreta como el que las

aletas absorben calor del medio ambiente y lo transmiten al fluido (Vaporizador de una máquina

frigorífica)

b) Cuando

h C e2 k = 1, las aletas no producen ningún efecto, y es equivalente al tubo sin aletas

IX.-141

c) Cuando

h C e2 k < 1, la adición de aletas produce un incremento del flujo de calor al fluido

ambiente, (sistema de calefacción) En los procesos de calefacción, por razones de tipo económico, es mejor que la superficie primaria

carezca de aletas, a menos que se cumpla que

h C e2 k << 1. Por razones de espacio o de resistencia

mecánica, se tiende a que las aletas no sean muy largas.

En aletas cortas, para que tenga interés la disipación de calor, se tiene que cumplir que:

h C e2 k ≤ 15 ;

pS =

2 (a + e)a e ≅ 2e ;

hC Sp k ≤ 15

ya que de no ser así, no merece la pena poner aletas.

Para que una aleta sea eficaz, debe tener un espesor e muy pequeño, y estar construida por un

material de elevada conductividad térmica.

IX.4.- PERFIL OPTIMO

Es interesante lograr un valor óptimo de Q para una superficie del perfil Ω dada, por unidad a de

longitud de tubo; el espesor óptimo cumple que dQde

= 0.

Para el caso de una aleta con su extremo libre térmicamente aislado se tiene:

Q = k S

Tb - TFL Bi Th Bi = k S (Tb - TF ) m Th (m L) = m =

2 hCk e =

= k S (Tb - TF)

2 hCk e Th (

2 hCk e L) =

S = a e ; a = 1 S = e ; Ω = L e

= (Tb - TF) 2 hC k e Th (2 hC

k e3 Ω)

Para una aleta cuya masa esté fijada, Ω es constante, por lo que esta ecuación indica la variación del

flujo térmico en función del espesor e de la aleta.

Derivando Q respecto de e, e igualando a cero, resulta:

dQde = (Tb - TF ) {

2 hC k

2 2 h C e k Th (

2 h C

k e3 Ω) -

2 h C e k

Ch2(2 hCk e3

Ω)

Ω

2 2 hC

k e3

6 hC

k e4} = 0

Th (

2 hCk e3

Ω) = 3 (2 hC

k e3 Ω) Sech2 (

2 hCk e3

Ω) ; Th Bi = 3 Bi Sech2 Bi

Resolviendo se obtiene: Bi ópt= 2,0141945, por lo que el espesor y longitud óptimas son:

m2 = 2 hCk e

m2 = BiL2

= Bi e2

Ω 2

⇒

2 hCk e = Bi e2

Ω 2 ; eópt = 2 hC Ω2

k Bi ópt3 = 0,997

hC Ω 2

k3

Lópt = Ω

eópt = Ω

0,997 Ω2 hCk

3

= 1,007 Ω khC

3

En general se suelen conocer las constantes físicas y las condiciones de funcionamiento de la aleta, como

IX.-142

son, hC , k, Q, (Tb - TF), por lo que se puede obtener otra formulación para las dimensiones óptimas en

función de éstos parámetros y de Bi ópt en la forma:

Q = (Tb - TF ) 2 hC e k Th Biópt

eópt = ( Q

Tb - TF)2 1

2 hC k Th2 Biópt =

0,6321hC k ( Q

Tb - TF)2

Igualando los valores de eópt se obtienen las ecuaciones que se utilizan para diseñar la aleta recta

de espesor constante, de mínimo material:

eópt = 0,6321h C k

( QTb - TF

)2 = 0,997 Ω2 hCk

3 ⇒ Ωópt = 0,5048

hC2 k

( QTb - TF

)3

Lópt = 0,7979hC

QTb - TF

Las aletas no deben emplearse nunca en aquellos casos en que el coeficiente de película hC sea

grande. Para aletas normales en las que e < 1,5 mm, construidas con materiales corrientes, como el

acero o el aluminio, no se recomienda el empleo de superficies ampliadas si el fluido ambiente es un

líquido sometido a convección forzada, o un vapor que condensa, ya que es fácil encontrar coeficientes

hC > 5000 W/m2ºC, que proporcionan valores de

h C e2 k del orden de la unidad, por lo que el empleo de

la aleta sería antieconómico.

Con aletas de dimensiones normales se hace un intercambio térmico muy efectivo, entre la

superficie y el gas que la rodea. En los gases convectores es frecuente obtener coeficientes de película

del orden de 50 a 120 W/m2ºC, que permiten valores de

h C e2 k lo bastante bajos como para que las ale-

tas ejerzan su efecto y de ahí el que algunas de sus aplicaciones más interesantes lo sean por ejemplo

en:

- Motores enfriados por aire- Precalentadores de aire y economizadores de calderas

- Serpentines de calentamiento y enfriamiento de los acondicionadores de aire - Radiadores de automóviles - Intercambiadores de calefacción agua-aire, etc.

Para aletas con convección en el extremo se puede hacer uso del concepto de longitud corregida LC

despreciando los efectos de convección en dicho extremo, mediante la expresión:

LC = L +

e2

y se tratan como aletas con su extremo libre aislado térmicamente.

IX.5.- CASOS ESPECIALES

Una de las características fundamentales del análisis de protuberancias de sección constante, consiste

en que dado el pequeño espesor de las mismas se puede considerar la conducción como unidireccional

y, por lo tanto, que la variación de la temperatura a través de su sección transversal permanece

IX.-143

prácticamente constante.

Esta suposición se puede aplicar a una serie de situaciones como:

a) Determinadas superficies conductoras, hilos o placas, recubiertas con un aislante, de forma que

transversalmente a ellas, entre el hilo o placa y el medio que les rodea, apenas varía la temperatura,

pero que a lo largo de los mismos existe una diferencia de temperatura significativa; esta situación no

se corresponde físicamente con la de la protuberancia, pero el proceso térmico que acontece sí, ya que

en la protuberancia existe un gradiente de temperaturas a lo largo de ella, pero no transversalmente,

por lo que esta casuística se puede aplicar de alguna forma a dicha situación.

b) La instalación de un termopar utilizado para medir la temperatura de una corriente de gases calientes, hace que la esfera del termopar se encuentre a una temperatura inferior a la de los gases cuya

temperatura va a medir, existiendo un flujo térmico conductivo a lo largo de los hilos del termopar

que le unen con la pared más fría, que está equilibrado por la convección desde los gases, por lo que la

variación de la temperatura transversal de los hilos del termopar es prácticamente uniforme,

existiendo una diferencia de temperaturas entre el termopar (caliente) y el equipo de registro (frío)

similar a la de la protuberancia, lo que permite determinar el error esperado en la lectura del

termopar.

c) Existen intercambiadores de calor de placas perforadas que se pueden asimilar a aletas, ya que la

variación de la temperatura a través de ellas es pequeña comparada con la variación de temperaturas

en la región que separa la corriente caliente de la corriente fría.

d) Los conductores de cobre en un circuito impreso se pueden considerar como aletas, al igual que la porción del circuito que los separa.

En estos ejemplos se observa que la situación no guarda parecido alguno con el caso geométrico de

la protuberancia y, sin embargo, la suposición de que la variación de la temperatura es mínima en la

sección transversal del hilo o de la placa permite obtener una ecuación diferencial similar a la dedu-

cida para la protuberancia.

IX.-144