Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica. … · Tema 3 (Resultados ... De las matrices Am×n y Bn×p se sabe que ninguna de las columnas de B es nula ... las condiciones

Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica.Matematicas I. 2010-2011.

Departamento de Matematica Aplicada II.Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 3 (Resultados).- Matrices, determinantes y sistemas de ecua-ciones lineales.

Ejercicio 1. De las matrices Am×n y Bn×p se sabe que ninguna de las columnas de B esnula pero que, sin embargo, la matriz AB tiene una columna nula. ¿Que puede asegurarsede las columnas de A?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si una columna de AB es nula, la matriz A por la correspondiente columna de B es nula, yesto es equivalente a que una combinacion lineal de las columnas de A (la combinacion linealcuyos coeficientes son los elementos de la columna de B considerada). Puesto que ningunacolumna de B es nula, en la combinacion lineal considerada aparece algun coeficiente nonulo y, por tanto, alguna columna de A se puede expresar como combinacion lineal de lasrestantes. De forma equivalente, el sistema homogeneo Ax = 0 tiene alguna solucion notrivial (es un sistema compatible indetermnado).

Ejercicio 2. Suponiendo que las dimensiones de las matrices son coherentes (permiten hacerlas operaciones indicadas) despeja la matriz X de las siguientes ecuaciones matriciales dandolas condiciones bajo las cuales es posible:

(a) AX = BX, (b) AXB + C = D, (c) X2 = X.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Si A − B es cuadrada y ∃(A − B)−1,

AX = BX ⇐⇒ (A − B)X = 0 =⇒ X = 0.

(b) Si A y B son cuadradas y ∃A−1 y ∃B−1,

AXB + C = D ⇐⇒ AXB = D − C ⇐⇒ X = A−1(D − C)B−1.

(c) Si X es cuadrada y (∃X−1 o ∃(X − I)−1),

X2 = X ⇐⇒ X(X − I) = 0 ⇐⇒ X = 0 o X = I

Ejercicio 3. Resolver los siguientes sistemas:

(1)

8><>: x1+ x2+ x3 = 32x1+3x2+ x3 = 6x1+5x2+2x3 = 8

9>=>; , (2)

8><>: x1+2x2+x3 = 52x1+4x2−x3 = 7x1− x2 = 1

9>=>; , (3)

8><>: 2x1+x2+ x3 = 1x1−x2+2x3 = −1x1+x2+3x3 = 1

9>=>; .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Reducimos los sistemas trabajando sobre la matriz ampliada de cada sistema:

29

R-30 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. (Resultados)

(1) 264 1 1 1 32 3 1 61 5 2 8

375 operacionesfila

-

264 1 0 0 10 1 0 10 0 1 1

375 →

8><>: x1 = 1x2 = 1x3 = 1

9>=>; .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) 264 1 2 1 52 4 −1 71 −1 0 1

375 operacionesfila

-

264 1 0 0 20 1 0 10 0 1 1

375 →

8><>: x1 = 2x2 = 1x3 = 1

9>=>; .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3) 264 2 1 1 11 −1 2 −11 1 3 1

375 operacionesfila

-

264 1 −1 2 −10 1 −1 10 0 1 0

375 operacionesfila

-

264 1 0 0 00 1 0 10 0 1 0

375⇒

8><>: x1 = 0x2 = 1x3 = 0

9>=>; .

Ejercicio 4. Resolver los siguientes sistemas y escribir la solucion en forma vectorial parame-trica:

(1)

8>><>>: x1+x2+2x3+2x4 = 0x1+x2−3x3−3x4 = 0x1+x2+4x3+4x4 = 0x1+x2+5x3+5x4 = 0

9>>=>>; .

26664 1 1 2 2 01 1 −3 −3 01 1 4 4 01 1 5 5 0

37775 operacionesfila

-

26664 1 1 0 0 00 0 1 1 00 0 0 0 00 0 0 0 0

37775⇒

26664 x1

x2

x3

x4

37775 = α

26664 −1100

37775+ β

26664 00−11

37775 , ∀ α, β ∈ R.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2)

8><>: x1+2x2+ x3 = 32x1+4x2+3x3+x4 = 9−x1−2x2+ x3+x4 = 2

9>=>; .

264 1 2 1 0 32 4 3 1 9−1 −2 1 1 2

375 operacionesfila

-

264 1 2 1 0 31 1 3

1 1

375⇒

26664 x1

x2

x3

x4

37775 =

26664 1021

37775 + λ

26664 −2100

37775 , ∀ λ ∈ R.

Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. (Resultados) R-31

Ejercicio 5. Discutir los siguientes sistemas segun los valores de los parametros:

(1)

8>><>>: ax + y + z + u = a

x + ay + z + u = a

x + y + az + u = a

x + y + z + au = a

9>>=>>; , (2)

8>><>>: ax + y + z = a

x + ay − z = 13x + y + bz = 2

x − y − z = 1

9>>=>>; .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1) 26664 a 1 1 1 a

1 a 1 1 a

1 1 a 1 a

1 1 1 a 1


-

26664 1 1 1 a a

0 a − 1 0 1 − a 00 0 a − 1 1 − a 00 1 − a 1 − a 1 − a2 a − a2

37775 .

Ahora tenemos que distinguir si a 6= 1 o a = 1.

Si a 6= 1 podemos seguir reduciendo y obtenemos

1a−1F2,

1a−1F3

-

11−a

F4

26664 1 1 1 a a

0 1 0 −1 00 0 1 −1 00 1 1 1 + a a


-

26664 1 1 1 a a

0 1 0 −1 00 0 1 −1 00 0 0 3 + a a

37775 .

Si a = 1, ya habrıamos hemos llegado a una forma escalonada26664 1 1 1 1 10 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

37775 .

Por tanto:

Si el sistema esa 6= 1 y a 6= −3 compatible determinado

a = −3 incompatiblea = 1 compatible indeterminado

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) 26664 a 1 1 a

1 a −1 13 1 b 21 −1 −1 1


-

26664 1 −1 −1 1a + 1 0 0

4 b + 3 −11 + a 1 + a 0

37775operaciones

fila-

26664 1 −1 −1 1a + 1 0 0

4 b + 3 −11 + a 0

37775Matematicas I. 2010-2011


Si a 6= −1

operacionesfila

-

26664 1 −1 −1 11 0 0

1 00 0 −1

37775sistema

incompatible ∀ b

Si a = −1

operacionesfila

-

26664 1 −1 −1 10 4 b + 3 −10 0 0 00 0 0 0

37775sistema

compatibleindeterminado ∀ b

Ejercicio 6. Sean

A =

264 1 0 −1 20 2 1 01 −2 −2 2

375 , b =

264 12α

β − 2α

375 y x =

26664 x1

x2

x3

x4

37775 .

(a) Calcular los valores de α y β para los que el sistema Ax = b es compatible.

(b) Con α = 0 y β = 1, hallar la solucion (o soluciones) de Ax = b que verifican x2 = 0 yx1 − x3 + x4 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Reducimos el sistema a forma escalonada264 1 0 −1 2 10 2 1 0 2α1 −2 −2 2 β − 2α

375 F3−F1−→

264 1 0 −1 2 10 2 1 0 2α0 −2 −1 0 β − 2α − 1

375F3+F2−→

264 1 0 −1 2 10 2 1 0 2α0 0 0 0 β − 1

375 .

Por tanto, el sistema es compatible ⇐⇒ β = 1 (independientemente de α).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Para α = 0 y β = 1 el sistema es compatible segun lo obtenido en (a). Calculemos lassoluciones del sistema dado y, de entre ellas, obtengamos las que ademas verifican lasdos condiciones adicionales: x2 = 0 y x1 − x3 + x4 = 0.264 1 0 −1 2 1

0 2 1 0 00 0 0 0 0

375 =⇒

26664 x1

x2

x3

x4

37775 =

26664 1 + x3 − 2x4

−12x3

x3

x4

37775 =

26664 1000

37775+ λ

26664 1−1

2

10

37775+ µ

26664 −2001

37775 .

Con las condiciones/ecuaciones adicionales tenemos¨x2 = 0

x1 − x3 + x4 = 0

«⇔

¨ −12λ = 0

1 + λ − 2µ − λ + µ = 0

«⇔

¨λ = 0µ = 1

«Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica


y, por tanto, la unica solucion es 26664 −1001

37775 .

Ejercicio 7. Consideremos un sistema de ecuaciones lineales Ax = b =

264 4−12

375 y supon-

gamos que tenemos dos soluciones u =

264 123

375 y v =

264 −112

375 del sistema dado. Calcula,

cuando sea posible:

(a) Otras dos soluciones del sistema de ecuaciones dado Ax = b.

(b) Dos soluciones del sistema homogeneo asociado Ax = 0.

(c) Una solucion del sistema A1x =

264 4−12

375 siendo A1 la matriz que se obtiene de A al

intercambiar sus columnas 1 y 2.

(d) Una solucion del sistema A2x =

264 4−12

375 siendo A2 la matriz que se obtiene de A al

multiplicar su primera columna por 3.

(e) Una solucion del sistema Ax = 5b.

(f) Una solucion del sistema homogeneo A

26664 x1

x2

x3

t

37775 =

264 000

375 . siendo A la matriz que se

obtiene al anadirle a la matriz A el vector columna b =

264 4−12

375 como cuarto vector

columna.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Puesto que Au = b y Av = b, si tomamos dos escalares α y β, obtenemos

A(αu + βv) = αb + βb = (α + β)b.

Por tanto, basta considerar α y β que verifiquen α + β = 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matematicas I. 2010-2011


(b) A(u − v) = Au − Av = b − b = 0 y A(αu − αv) = 0 para cualquier escalar α.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) Al multiplicar una matriz A por un vector

264 x1

x2

x3

375 se obtiene una combinacion lineal de

las columnas de A. En dicha combinacion lineal los coeficientes respectivos son x1, x2

y x3. Si hacemos un intercambio en las columnas de A basta hacer el correspondientesintercambio entre los coeficientes para obtener el mismo resultado. Por tanto

A1

264 213

375 = A

264 123

375 = b y A1

264 1−12

375 = A

264 −112

375 = b.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d) Siguiendo un planteamiento similar al de (c) tenemos que A2

264 13

23

375 = A2

264 −13

12

375 = b.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(e) A(5u) = 5Au = 5b.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(f) Siguiendo un planteamiento similar al de los apartados (c) y (d) la igualdad vectorialque se obtiene de Au = b se puede reescribir como

A

26664 123−1

37775 = A

264 123

375− b =

264 000

375 .

Por otra parte si tenemos una solucion (x1, x2, x3)T del sistema homogeneo Ax = 0,

tambien tenemos 264 A b

375 26664 x1

x2

x3

0

37775 =

264 000

375 .

Ejercicio 8. Encontrar todas las matrices cuadradas A de orden 2 tales que:

A

�a 00 b

�=

�a 00 b

�A, con a, b ∈ R, a 6= b.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Siendo A la matriz A =

�x1 x2

x3 x4

�la ecuacion matricial dada se reduce al sistema de

ecuaciones lineales ¨ax2 = bx2

ax3 = bx3

«⇔

�puesto que

a 6= b

�⇔

¨x2 = 0x3 = 0

«.



Por tanto, las matrices A que conmutan con las matrices

�a 00 b

�, a 6= b, son todas las

matrices diagonales

A =

�x1 00 x4

�, x1, x4 ∈ R.

Observacion: Cualquier matriz A, 2 × 2, conmuta con cualquier matriz que sea multiplo de lamatriz identidad, �

a 00 a

�.

Ejercicio 9. Consideremos el siguiente sistema:26664 1 2 −32 −1 43 a 1b 4 −b

37775 264 x1

x2

x3

375 =

26664 −132

b − 4

37775 .

Determinar las condiciones a satisfacer por a y b para que dicho sistema sea:

(a) incompatible, (b) compatible determinado, (c) compatible indeterminado.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26664 1 2 −3 −12 −1 4 −33 a 1 2b 4 −b b − 4


-

26664 1 2 −3 −10 1 −2 −10 0 2a − 2 a − 10 0 4 − b 0

37775Por tanto:

Si el sistema esa 6= 1 y b 6= 4 incompatiblea = 1 y b 6= 4

oa 6= 1 y b = 4

compatible determinado

a = 1 y b = 4 compatible indeterminado

Ejercicio 10. ¿Para que valores de a y b se verifica que el vector (0, a, b, 1) pertenece a

Gen{(1, 2, 3, 4), (1, 0, 3, 1)}?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26664 1 1 02 0 a

3 3 b

4 1 1


-

26664 1 1 00 1 −a

2

0 0 b

0 0 1 − 32a

37775 es un sistemacompatible

⇔ a =2

3, b = 0.



Ejercicio 11. (1) ¿Para que vectores (b1, b2, b3, b4) ∈ R4 es compatible el sistema8>><>>: x1+ x2 +x4 = b1

2x1 +3x3+x4 = b2

2x2+ x3 = b3

x1+ x2+4x3 = b4

9>>=>>;?

(2) Describir mediante una ecuacion los vectores (b1, b2, b3, b4) ∈ R4 que pertenecen a

Gen{(1, 2, 0, 1), (1, 0, 2, 1), (0, 3, 1, 4), (1, 1, 0, 0)}.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1) Reduciendo el sistema tenemos26664 1 1 0 1 b1

2 0 3 1 b2

0 2 1 0 b3

1 1 4 0 b4


-

26664 1 1 0 1 b1

0 −2 3 −1 b2 − 2b1

0 0 4 −1 b3 + b2 − 2b1

0 0 0 0 b1 − b2 − b3 + b4

37775y, por tanto, el sistema es compatible ⇐⇒ las coordenadas del vector b verifican queb1 − b2 − b3 + b4 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) Los vectores b ∈ R4 que pertenecen al subespacio generado por los vectores dados son

aquellos para los que el sistema de ecuaciones que resulta de la ecuacion vectorial

x1

26664 1201

37775 + x2

26664 1021

37775 + x3

26664 0314

37775 + x4

26664 1100

37775 =

26664 b1

b2

b3

b4

37775es un sistema compatible (con incgnitas x1, x2, x3 y x4). Por tanto, este apartado tienela misma respuesta que el anterior.

Ejercicio 12. Calcula vectores tales que el subespacio generado por ellos coincida con elconjunto solucion del sistema

2x1 +x3−x4+2x5 = 0−x1+2x2 +x4 = 0−x1+2x2+x3 +2x5 = 0

9>=>; .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Se trata de resolver el sistema dado. Reduciendo tenemos264 2 0 1 −1 2 0

−1 2 0 1 0 0−1 2 1 0 2 0

375 operacionesfila

-

264 −1 2 0 1 0 00 4 0 2 0 00 0 1 −1 2 0

375Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica


y, por tanto, las soluciones del sistema dado son26666664 x1

x2

x3

x4

x5

37777775 = λ

26666664 0−1

2

110

37777775+ µ

26666664 00−201

37777775 , λ, µ ∈ R.

Puesto que el conjunto-solucion del sistema dado es el formado por todas las combinacioneslineales consideradas en la igualdad anterior, dicho conjunto solucion es

Gen

8>>>><>>>>:26666664 0−1

2

110

37777775 ,

26666664 00−201

377777759>>>>=>>>>; = Gen

8>>>><>>>>:26666664 0−1220

37777775 ,

26666664 00−201

377777759>>>>=>>>>; .

Ejercicio 13. Calcula la inversa de la matriz A =

266666664 12 1

2 1. . .

. . .

2 1

377777775 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aplicamos el metodo de Gauss-Jordan. Restando en la matriz [A|I] cada fila menos dosveces la anterior, de forma consecutiva, de arriba abajo tenemos

[A|I]F2 − 2F1

-

266666664 10 1

2 1. . .

. . .

2 1

��1 0 0 · · · 0−2 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

377777775F3 − 2F2

-

266666664 10 1

0 1. . .

. . .

2 1

��1 0 0 · · · 0−2 1 0 · · · 0

(−2)2 −2 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

377777775 −→ · · ·

Fn − 2Fn−1-

266666664 10 1

0 1. . .

. . .

0 1

��1 0 0 0 · · · 0−2 1 0 0 · · · 0

(−2)2 −2 1 0 · · · 0(−2)3 (−2)2 −2 1 · · · 0

......

.... . .

. . ....

(−2)n−1 (−2)n−2 (−2)n−3 · · · · · · 1

37777777775 .



Por tanto, la matriz inversa de A es la matriz B = A−1 = [bij ] dada por

bij =

¨0 si i < j,

(−2)i−j si i ≥ j,A−1 =

266666664 1−2 14 −2 1...

. . .. . .

. . .

(−2)n−1 . . . 4 −2 1

377777775 .

Ejercicio 14. Sean

D = diag(1, 2, . . . , n), b = (1, 2, . . . , n)T y A =

�D b

bT α

�.

Determina el valor del escalar α para el que la matriz A no es invertible.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solo tenemos que estudiar el numero de pivotes que se obtienen al reducir A a forma

escalonada. No obstante, aplicamos el metodo de Gauss-Jordan, sin llegar a obtener la inversaen los casos en los que exista.266666664 1 0 · · · 0 1 1 0 · · · 0 0

0 2 · · · 0 2 0 1 · · · 0 0...

.... . .

......

......

. . ....

...0 0 · · · n n 0 0 · · · 1 01 2 · · · n α 0 0 · · · 0 1

377777775 restando a la ultima fila-

la suma de todas las demas

Fn+1 − F1

Fn+1 − F2-

...Fn+1 − Fn

266666664 1 0 · · · 0 1 1 0 · · · 0 00 2 · · · 0 2 0 1 · · · 0 0...

.... . .

......

......

. . ....

...0 0 · · · n n 0 0 · · · 1 0

0 0 · · · 0 α − n(n+1)2

−1 −1 · · · −1 1

377777775puesto que 1 + 2 + · · ·+ n =

n(n + 1)

2.

Por tanto, A es invertible para α 6= n(n+1)2

y es no invertible para α = n(n+1)2

, es decir,

∃A−1 ⇐⇒ α 6= n(n + 1)

2.

Para obtener la inversa de A, para α 6= n(n+1)2

, bastarıa con seguir reduciendo por filashasta obtener la matriz identidad en la parte de la izquierda: (i) pivotar sobre el elemento(n + 1, n + 1) para anular los restantes elementos de su columna, (ii) dividir cada fila por supivote.

Ejercicio 15.



(1) Determina, si existen, dos sistemas de ecuaciones lineales cuyo conjunto-solucion sea elconjunto de los vectores de la forma26664 x1

x2

x3

x4

37775 =

26664 1 + β

α − β

−1 + 2α + 2β1 + 3α + β

37775 , α, β ∈ R.

(2) Determina, si existen, dos sistemas de ecuaciones lineales cuyo conjunto-solucion sea elconjunto de los vectores de la forma26664 x1

x2

x3

x4

37775 = α

26664 0123

37775+ β

26664 1−121

37775 , α, β ∈ R.

(3) Considera los conjuntos S1 y S2 de vectores de R2 definidos respectivamente por

S1 ≡¨

x1 = 1 − 2αx2 = −2 + α2

«, (α ∈ R); S2 ≡

¨x1 = 1 − 2lnβ

x2 = −2 + lnβ

«, (β > 0).

¿Es S1 el conjunto-solucion de algun sistema de ecuaciones lineales? ¿Por que? ¿Lo esS2? ¿Por que?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1) Por ejemplo, ¨4x1 + 2x2 − x3 = 54x1 + 3x2 − x4 = 3

«y

¨4x1 + 2x2 − x3 = 5

x2 + x3 − x4 = −2

«.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) Por ejemplo, los sistemas homogeneos asociados a los sistemas anteriores,¨4x1 + 2x2 − x3 = 04x1 + 3x2 − x4 = 0

«y

¨4x1 + 2x2 − x3 = 0

x2 + x3 − x4 = 0

«.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3) S1: Los puntos de S1 son los puntos de una parabola. Eliminando el parametro es facilobtener su ecuacion implıcita x2 + 2 = 1

4(x1 − 1)2. Obviamente S1 no puede ser el

conjunto solucion de una ecuacion lineal o de un sistema de ecuaciones lineales.Es facil comprobar que si tenemos dos puntos distintos (x1, x2) y (x′

1, x′

2) de S1

entonces en la recta que une dichos puntos hay puntos que no estan en S1.

S2: Eliminando el parametro tenemosx1 − 1

−2=

x2 + 2

1. Por tanto todos los puntos

de S2 pertenecen a la recta definida por la ecuacion anterior. Y viceversa, puestoque ln(β) recorre todo R cuando β recorre el intervalo (0, +∞), cualquier puntode la recta es un punto de S2. Por tanto, S2 es el conjunto solucion de la ecuacionlineal x1 + 2x2 = −3.



Ejercicio 16. Sea A una matriz n× n y supongamos que det (A) = −3, calcula el determi-nante de las siguientes matrices:

(a) AT , 2A, 2A−1, (2A)−1, 2A3, A4, AAT .

(b) La matriz que se obtiene de A al multiplicarla por la izquierda por la matriz diagonalcuyos elementos diagonales son (1, 2, . . . , n).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a)

det (AT ) = det (A) det (2A) = 2ndet (A) det (2A−1) =2n

det (A)

det ((2A)−1) =1

2ndet (A)det (2A3) = 2ndet (A)3 det (A4) = det (A)4

det (AAT ) = det (A)2

(b) (n!)det (A).

Ejercicio 17. Sea A una matriz 6 × 6. Calcula el determinante de la matriz B, 7 × 7, quese obtiene al intercalar entre las filas 4 y 5 de A la fila (0, 0, 2, 0, 0, 0, 0) y entre las columnas2 y 3 de A la columna (−3, 1, 0,−1, 2, 5, 3), es decir, A se obtiene de B suprimiendo la fila yla columna indicada (en las posiciones correspondientes).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

det (B) = (−1)3+52det (A).

Ejercicio 18. (1) Sea M la matriz n× n cuyas entradas son los numeros 1, 2, . . . , n2 orde-nados por filas, de izquierda a derecha y de arriba abajo. Calcula el determinante deM segn los valores de n ∈ N.

(2) Sea a1, a2, . . . una progresion aritmetica y sea An la matriz cuadrada, n × n, cuyasentradas son aij = ai+j−1, 1 ≤ i, j ≤ n. Calcula el determinante de An segun los valoresde n ∈ N.

(3) Sea b1, b2, . . . una progresion geometrica y sea Bn la matriz cuadrada, n × n, cuyasentradas son bij = ai+j−1, 1 ≤ i, j ≤ n. Calcula el determinante de Bn segun los valoresde n ∈ N.

Recuerdese que:



(a) Se dice que a1, a2, . . . es una progresion aritmetica (de diferencia d) si la diferencia entre dosterminos consecutivos es constante (igual a d). Es decir si

a2 − a1 = a3 − a2 = · · · = d.

En este caso, tenemos que

a2 = a1 + d, a3 = a1 + 2d, · · · , ak = a1 + (k − 1)d, · · ·

(b) Se dice que b1, b2, . . . es una progresion geometrica (de razon r 6= 0) si el cociente entre dosterminos consecutivos es constante (igual a r). Es decir si

b2

b1=

b3

b2= · · · = r.

En este caso, tenemos que

b2 = b1r, b3 = b1r2, · · · , bk = b1r

k−1, · · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1) Para n = 2, det (M) = −2 y para n ≥ 3, det (M) = 0.

(2) Para n = 2, det (A2) = −2d2 y para n ≥ 3, det (An) = 0.

(3) Para n ≥ 2, det (Bn) = 0.

Ejercicio 19. (1) Calcula el determinante de la matriz A−λI siendo λ un escalar y siendoA la matriz:

A =

266666666640 1 0 0 . . . 00 0 1 0 . . . 00 0 0 1 . . . 0...

......

.... . .

...0 0 0 0 . . . 1

−ak −ak−1 −ak−2 . . . . . . −a1

37777777775 , a1, a2, . . . , ak ∈ R (o ∈ C).

Nota. La matriz A (k × k) se denomina matriz companera del polinomio (de grado k)

p(λ) = λk + a1λk−1 + · · · + ak−1λ + ak.

(2) Calcula el determinante de una matriz de Vandermonde:

A =

266664 1 x1 x21 . . . xn

1

1 x2 x22 . . . xn

2...

......

. . ....

1 xn+1 x2n+1 . . . xn

n+1

377775y demuestra que dados n + 1 puntos del plano (x1, y1), . . . , (xn+1, yn+1) de forma queno hay dos en una misma vertical, hay un unico polinomio

p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn

de grado menor o igual que n cuya grafica pasa por los n + 1 puntos dados.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



(1) Si en la matriz A − λI suprimimos la primera fila y la primera columna nos queda unamatriz del mismo tipo (y un orden menor). Vamos a calcular el determinante pedidopara orden pequeno k = 2, 3 y a partir de lo que obtengamos podremos conjeturar laexpresion de dicho determinante para un orden arbitrario.

Para k = 2 tenemos

det (A − λI) = det

� −λ 1−a2 −a1 − λ

�= −λ (−a1 − λ) + a2 = λ2 + a1λ + a2.

Para k = 3 tenemos

det (A − λI) = det

264 −λ 1 00 −λ 1

−a3 −a2 −a1 − λ

375 =

264 desarrollandopor la primera

columna

375 =

= −λ

�� −λ 1−a2 −a1 − λ

��+ (−a3)

�� 1 0−λ 1

�� == −λ (λ2 + a1λ + a2) − a3 = − (λ3 + a1λ

2 + a2λ + a3) .

Para un orden k ≥ 3, generico, podemos abordar el calculo teniendo en cuenta quela ultima fila de la matriz A − λI es suma de las filas [−ak,−ak−1,−ak−2, . . . ,−a1] y[0, 0, 0, . . . ,−λ] y, por tanto, podemos expresar el det (A − λI) mediante

det

26666666664−λ 1 0 0 . . . 00 −λ 1 0 . . . 00 0 −λ 1 . . . 0...

......

.... . .

...0 0 0 0 . . . 1

−ak −ak−1 −ak−2 . . . . . . −a1

37777777775+ det

26666666664−λ 1 0 0 . . . 00 −λ 1 0 . . . 00 0 −λ 1 . . . 0...

......

.... . .

...0 0 0 0 . . . 10 0 0 . . . 0 −λ

37777777775 .

El segundo determinante es (−λ)k. Desarrollando el primer determinante por los ele-mentos de la ultima columna tenemos sumandos del tipo que se obtiene al considerarel sumando correspondiente a, por ejemplo, el elemento (k, 3):

(−1)k+3(−ak−2)det

266666666664−λ 1 0 0 · · · 00 −λ 0 0 · · · 00 0 1 0 · · · 0

0 0 −λ 1. . .

......

......

. . .. . . 0

0 0 0 · · · −λ 1

377777777775 = (−1)k+3(−ak−2)(−λ)21k−3 =

= (−1)kak−2λ2.

Por tanto

det (A − λI) = (−λ)k + (−1)ka1λk−1 + · · ·+ (−1)kak−2λ

2 + (−1)kak−1λ + (−1)kak =

= (−1)k�λk + a1λ

k−1 + a2λk−2 + · · ·+ ak−2λ

2 + ak−1λ + ak

�.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



(2) Calcula el determinante de una matriz de Vandermonde:

det (A) = det

266664 1 x1 x21 . . . xn

1

1 x2 x22 . . . xn

2...

......

. . ....

1 xn+1 x2n+1 . . . xn

n+1

377775 =

26664 Comenzando por laultima columna,

hacemosCk+1 − x1Ck

37775 =

= det

266664 1 0 0 . . . 01 x2 − x1 x2

2 − x1x2 . . . xn2 − x1x

n−12

......

.... . .

...1 xn+1 − x1 x2

n+1 − x1xn+1 . . . xnn+1 − x1xn+1

377775 =

= det

2664 x2 − x1 (x2 − x1)x2 . . . (x2 − x1)xn−12

......

. . ....

xn+1 − x1 (xn+1 − x1)xn+1 . . . (xn+1 − x1)xn−1n+1

3775 =

=

264 Sacando factorcomun encada fila

375 = (x2 − x1) · · · (xn+1 − x1)det

2664 1 x2 . . . xn−12

......

. . ....

1 xn+1 . . . xn−1n+1

3775 =

= [(x2 − x1) · · · (xn+1 − x1)] [(x3 − x2) · · · (xn+1 − x2)] · · ·det

�1 xn

1 xn+1

�=

= [(x2 − x1) · · · (xn+1 − x1)] [(x3 − x2) · · · (xn+1 − x2)] · · · (xn+1 − xn).

• Polinomio de interpolacion. Dados n+1 puntos del plano (x1, y1), . . . , (xn+1, yn+1)de forma que no hay dos en una misma vertical, es decir las abscisas

x1, x2, . . . , xn+1

son distintas dos a dos, vamos a comprobar que hay un unico polinomio de grado menoro igual que n, es decir un polinomio de la forma

p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn

cuya grafica pasa por los n + 1 puntos dados. Es decir tiene que verificarse que

a0 + a1x1 + · · · + anxn1 = y1

a0 + a1x2 + · · · + anxn2 = y2

......

...a0 + a1xn+1 + · · · + anx

nn+1 = yn+1

9>>>=>>>; ,

266664 1 x1 · · · xn1

1 x2 · · · xn2

...... · · · ...

1 xn+1 · · · xnn+1

377775 266664 a0

a1...

an

377775 =

2664 y1...yn

3775 .

Puesto que la matriz de los coeficientes es una matriz de Vandermonde, su determinanteesYi>j

(xi − xj) = [(x2 − x1) · · · (xn+1 − x1)] [(x3 − x2) · · · (xn+1 − x2)] · · · (xn+1 − xn) 6= 0

puesto que las abscisas x1, . . . , xn son distintas entre sı. Por tanto, el sistema tienesolucion unica y la solucion nos darıa (si resolvieramos el sistema) los coeficientes delunico polinomio de grado ≤ n cuya grafica pasa por los n + 1 puntos dados.



Ejercicio 20. Sean A y D matrices cuadradas y sean B y C matrices de las dimensionesadecuadas.

(a) Demuestra que det

��A B

0 D

��= det (A) det (D).

(b) Da un ejemplo de matrices A, B, C y D tales que

det

��A B

C D

��6= det (A) det (D) − det (B) det (C).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Basta reducir A y D a forma escalonada y considerar la reduccion a forma escalonadade �

A B

0 D

�.

(b) Consideremos las siguientes matrices A, B, C y D,

A = C = I, B =

�1

2

�, D =

�3

4

�.

Entonces det (A) = det (C) = 1, det (B) = 2 y det (D) = 12. Pero

det

��A B

C D

��= det

26664 1 11 2

1 31 4

37775 = det

26664 1 11 2

0 20 2

37775 = 4.

Ejercicio 21. Determina la matriz de cada una de las siguientes transformaciones:

(1) Proyeccion ortogonal sobre la recta 2x − 3y = 0.

(2) Simetrıa respecto de la recta 2x − 3y = 0.

(3) Proyeccion sobre la recta 2x − 3y = 0 en la direccion de la recta x + y = 0.

(4) Proyeccion ortogonal sobre la recta

¨2x − 3y + z = 0x + y + z = 0

«.

(5) Simetrıa respecto de la recta del apartado anterior.

(6) Proyeccion ortogonal sobre el plano 2x − 3y + z = 0.

(7) Simetrıa respecto al plano 2x − 3y + z = 0.

(8) Proyeccion sobre la recta

¨2x − 3y + z = 0x + y + z = 0

«segun el plano x + y − z = 0.



(9) Proyeccion sobre el plano 2x − 3y + z = 0 segun el vector u = [1 2 − 1].

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1) Proyeccion ortogonal sobre la recta 2x − 3y = 0. Teniendo en cuenta que

el proyectado de cualquier vector de la recta dada r ≡ 2x − 3y = 0 es el propiovector y que

el proyectado de cualquier vector de la recta perpendicular a r que pasa por elorigen, s ≡ 3x + 2y = 0, es el vector nulo,

la matriz P de la proyeccion tiene que verificar:

v1 =

�32

�∈ r =⇒ P

�32

�=

�32

�,

v2 =

� −23

�=⇒ P

� −23

�=

� −23

�.

Por tanto

P

�3 −22 3

�=

�3 02 0

�=⇒ · · ·P =

1

13

�9 66 4

�.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) Simetrıa respecto de la recta 2x − 3y = 0. Siendo v1 un vector direccion de la rectaconsiderada y v2 un vector perpendicular a dicho vector direccion, la matriz S quetiene que verificar

Sv1 = v1 y Sv2 = −v2.

Escribiendo estas igualdades vectoriales en forma matricial, tenemos que la matrizbuscada A tiene que verificar que

S

264 v1 v2

375 =

264 v1 −v2

375 =⇒ S =

264 v1 v2

375 264 v1 v2

375−1

.

La matriz cuyos vectores columna son los vectores v1 y v2 tiene inversa puesto quedichos vectores son linealmente independientes.

Tomando

v1 =

�32

�y v2 =

� −23

�obtenemos

S =

�3 22 −3

� �3 −22 3

�−1

=1

13

�5 1212 −5

�.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



(3) Proyeccion sobre la recta r ≡ 2x − 3y = 0 en la direccion de la recta s ≡ x + y = 0. Setrata de obtener, para cada vector v ∈ R

2, una descomposicion

v = u + w

de forma que u esta en r y w esta en s. Puesto que, en la direccion de la recta s, cadavector de r se proyecta sobre si mismo y cada vector de s sobre el vector nulo, tenemosque la matriz P pedida debe verificar

P

�32

�=

�32

�, P

� −11

�=

�00

�.

Por tanto,

P

�3 −12 1

�=

�3 02 0

�=⇒ P =

�3 02 0

� �3 −12 1

�−1

=1

5

�3 32 2

�.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4) Proyeccion ortogonal sobre la recta

¨2x − 3y + z = 0x + y + z = 0

«. Utilizando un vector de la

recta, por ejemplo v1 = (4, 1,−5) y dos vectores perpendiculares, por ejemplo v2 =(1,−4, 0) y v3 = (1, 1, 1) (generan el plano perpendicular que pasa por el origen decoordenadas), la matriz P de la proyeccion tiene que verificar

Pv1 = v1, P v2 = Pv3 = 0.

Expresando estas igualdades vectoriales en forma matricial y despejando P se obtiene

P =1

42

264 16 4 −204 1 −5

−20 −5 25

375 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(5) Simetrıa respecto de la recta del apartado anterior. Utilizando los mismos vectores queen el aparatado anterior, la matriz S de la simetrıa tiene que verificar

Sv1 = v1, Sv2 = −v2 y Sv3 = −v3.

Expresando estas igualdades vectoriales en forma matricial y despejando S se obtiene

S =1

21

264 −5 4 −204 −20 −5

−20 −5 4

375 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(6) Proyeccion ortogonal sobre el plano 2x−3y+z = 0. Utilizando dos vectores, v1 y v2, delplano y un vector v3 de la recta perpendicular que pasa por el origen de coordenadas,la matriz P de la proyeccion tiene que verificar

Pv1 = v1, P v2 = v2 y Pv3 = 0.


P =1

14

264 10 6 −26 5 3−2 3 13

375 .



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(7) Simetrıa respecto al plano 2x − 3y + z = 0.

Con los mismos vectores que en el apartado anterior, la matriz S de la simetrıa tieneque verificar

Sv1 = v1, Sv2 = v2 y Sv3 = −v3.

Expresando estas igualdades vectoriales en forma matricial y despejando S se obtiene

A =1

7

264 3 6 −26 −2 3−2 3 6

375. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(8) Proyeccion sobre la recta

¨2x − 3y + z = 0x + y + z = 0

«segun el plano x + y − z = 0. Utilizando

un vecto v1 de la recta proyeccion y dos vectores, v2 y v3, del plano proyectante,la matrz P de la proyeccion tiene que verificar

Pv1 = v1, P v2 = 0 y Pv3 = 0.


P =1

10

264 4 4 −41 1 −1−5 −5 5

375 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(9) Proyeccion sobre el plano 2x− 3y + z = 0 segun el vector u = [1 2 − 1]. Utilizando dosvectores v1 y v2 del plano proyeccion y el vector u (que da la direccion proyectante),la matrz P de la proyeccion tiene que verificar

Pv1 = v1, P v2 = v2 y Pu = 0.


P =1

5

264 7 −3 14 −1 2−2 3 4

375 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Las matrices que se obtienen en todos los apartados de este ejercicio tienen algunas

caracterısticas comunes entre sı. Consideremos una recta o plano (que pase por el origen decoordenadas), la matriz P de una proyeccion sobre dicha recta o plano (proyeccion ortogonalo no) y la matriz S de la simetrıa correspondiente. Las matrices P y S verifican:

P 2 = P , puesto que para cualquier vector x, PPx = Px (el proyectado del proyectadode x es igual al primer proyectado que se obtiene).

S2 = I, puesto que para cualquier vector x, SSx = x (el simetrico del simetrico de x

es x).



P = 12(S + I).

Ejercicio 22. Calcula la matriz de la simetrıa respecto a un plano (que pasa por el origende coordenadas) sabiendo que transforma el vector u = [1, 2, 2] en un multiplo positivo dee1 = [1, 0, 0].. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Denotemos por S : R3 −→ R3 la simetrıa descrita y por A la matriz asociada (S es unatransformacion lineal). La transformacion considerada respeta las distancias. Por tanto, lanorma del vector transformado tiene que ser igual a la del original. Siendo S(u) = αe1, α > 0,tenemos

||u|| =√

1 + 22 + 22 = ||αe1|| = α ⇐⇒ α = 3.

El plano que define la simetrıa tiene que ser el plano que

pasa por el origen de coordenadas y

un vector normal al plano es ~n = S(u) − u =

264 2−2−2

375 .

Por tanto, el plano considerado tiene por ecuacion x − y − z = 0.La matriz A de la simetrıa considerada puede determinarse sabiendo que los vectores del

plano se transforman en sı mismos y los vectores de la recta perpendicular al plano que pasapor el origen de coordenadas se transforman en su opuesto,

A

264 110

375 =

264 110

375 , A

264 101

375 =

264 101

375 , A

264 1−1−1

375 = −

264 1−1−1

375 .

La matriz A puede despejarse de la ecuacion matricial

A

264 1 1 11 0 −10 1 −1

375 =

264 1 1 −11 0 10 1 1

375 =⇒ A =1

3

264 1 2 22 1 −22 −2 1

375 .

Ejercicio 23. Describe como se transforman:

(a) los vectores canonicos, (b) el cuadrado unidad y (c) el rectangulo [2, 4] × [1, 2]

mediante las matrices

A =

�3

−2

�, B =

�1 2

1

�, AB y BA.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sean e1 y e2 los vectores canonicos de R

2 y consideremos la transformacion T : R2 −→ R

2

definida por una matriz real M, 2 × 2, T (x) = Mx.



Los vectores canonicos se transforman, respectivamente, en los vectores Me1 y Me2

que son los dos vectores columna de M .

El cuadrado unidad (superficie) esta formado por los vectores x ∈ R2 de la formax1e1 + x2e2 con 0 ≤ x1 ≤ 1 y 0 ≤ x2 ≤ 1. Al transformar estos vectores medianteT (x) = Mx obtenemos los vectores

T (x) = Mx = x1Me1 + x2Me2 con 0 ≤ x1, x2 ≤ 1.

Es decir, es el paralelogramo determinado por los dos vectores columna de M .

El rectangulo (superficie) [2, 4]× [1, 2] esta formado por los vectores x ∈ R2 de la forma�x1

x2

�=

�21

�+ αe1 + βe2 con 0 ≤ α ≤ 2 y 0 ≤ β ≤ 1.

Al transformar estos vectores mediante T (x) = Mx obtenemos los vectores

T (x) = Mx = M

�21

�+ αMe1 + βMe2 con 0 ≤ α ≤ 2, 0 ≤ β ≤ 1.

Es decir, es la traslacion, segun el vector M

�21

�del paralelogramo (con uno de sus

vertices en el origen de coordenadas) determinado por el ectores 2Me1 (primer vectorcolumna de M multiplicado por 2) y Me2 (segundo vector columna de M).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A: (a) Vectores columna de A.

(b) Rectangulo [3, 0] × [0,−2].

(c) Rectangulo [6, 12] × [−4,−2].

B: (a) Vectores columna de B.

(b) Paralelogramo ... (uno de los vertices es el origen).

(c) Paralelogramo ... (uno de los vertices es (6,−2)).

AB: (a) Vectores columna de AB.


(c) Paralelogramo ... (uno de los vertices es ...).

BA: (a) Vectores columna de BA.


(c) Paralelogramo ... (uno de los vertices es ...).


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Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica. … · Tema 3 (Resultados ... De las matrices Am×n y Bn×p se sabe que ninguna de las columnas de B es nula ... las condiciones