Ingreso 2020Matemática

UNIDAD N°6

TRIGONOMETRÍA

Primer Semestre

CONSULTARESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 4 Y 5

EJERCICIO 4 Y 5

Ejercicio N°4

Suponga que el punto definido por t es el punto3

5,4

5de la circunferencia unitario. Encuentre las

coordenadas del punto sobre la circunferencia definido por cada uno de los siguientes valores:

a. 𝜋 − 𝑡 b. – 𝑡 c. 𝜋 + 𝑡 d. 𝑡 − 𝜋

Ejercicio N° 5

a) Calcule el número de referencia para cada valor de t y

b) el punto determinado por t.

1. t =5

4π 2 ) t =

7

3π 3) t = −

4

3π 4) t =

π

6

Revisión de conceptos

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es “la medición de los triángulos”.

¿Qué es la trigonometría desde el punto de vista del vocablo?

y

del griego metron, que remite a medida

La trigonometría, la aritmética y la geometría son ramas de la matemática que surgieron en el mismo contexto histórico.

Deriva de los términos griegos

trigonom, que remite a la figura

del triángulo

• el prefijo tri-, por el número tres,

y

• el vocablo gōnia, que refiere a un ángulo o esquina

Y es anterior al concepto de función

conjugando

Esto es importante porque de aquí deriva el error de pensar latrigonometría sólo en función de los ángulos de un triángulo.

Revisión de conceptos

Con la aparición del concepto de función y de su representacióngráfica, surge la trigonometría como función de números reales.

Claro está que ambas trigonometría se pueden poner en correspondencia biunívoca. Para esto, la medida de los ángulos debe ser expresada por la longitud del arco que recorre su abertura, sobre una circunferencia de radio uno.

Este nuevo sistema de medición se conoce como sistema circular y su unidad de medida es el radián, o sea que, el ángulo central de la circunferencia unitaria, cuyo arco tiene una longitud de 1 radio, es el ángulo de 1 radián

Revisión de conceptos

Podemos considerar que un ángulo consta de dos rayos 𝑅1 y 𝑅2con un vértice común 𝑂; uno de los rayos gira sobre el otro como muestra el ejemplo.

¿A qué hacemos referencia en un ángulo?A una porción del

plano

Si el sistema de medición utilizado es el sexagesimal, la “dimensión” (el tamaño) del ángulo, como una medida (en grados), no puede ser representada en la recta, pues ésta solo admite longitudes

¿A qué podemos hacer referencia en una recta? A longitudes

Los números reales pueden ser representados sobre la recta, pues podemos interpretarlos como longitudes.

ℝ

3

𝑥

Circunferencia Unitaria

La Circunferencia Unitaria, ∁ 𝑂,1 , es el lugar

geométrico de los puntos del plano que equidistan del

origen O una distancia de 1 unidad. Su ecuación es

Revisión de conceptos

P(𝑥, 𝑦)

𝑦

𝑥Q

Medida del 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑄𝑃es una longitud

Podemos localizar esta longitud en la recta real

Longitud de la circunferencia: 2𝜋𝑟 ณ=𝑟=1

2𝜋

𝑥2 + 𝑦2 = 1

P Q

Revisión de conceptos

Eje de abscisas

Longitud de un arco Segmento del eje de las abscisasNúmero en la

recta real 𝒕P (𝑥, 𝑦)

𝑡 ∈ ℝLongitud de un arcoP (𝑥, 𝑦)

Punto Terminal

P (𝑥, 𝑦)

𝑡

𝑡

Longitud de la circunferencia unitaria: 𝐶 = 2𝜋,

Punto de partida de t: 1 , 0 ,

Recorrido de 𝑡 ∶ 1 giro en el sentido contrario a las agujas del reloj (retorna al punto departida)

Distancia recorrida por 𝑡: 2𝜋 unidades (de longitud)

𝐶 = 2𝜋𝑟 = 2𝜋 1 = 2𝜋

𝑃 𝑥, 𝑦 se encuentra en la posición (1,0)

1

22𝜋 = 𝜋

𝑃 𝑥, 𝑦 se encuentra en la posición (−1,0)

1

42𝜋 =

𝜋

2𝑃 𝑥, 𝑦 se encuentra en la posición (0,1)

3

42𝜋 =

3

2𝜋

𝑃 𝑥, 𝑦 se encuentra en la posición (0, −1)

Puntos sobre la Circunferencia Unitaria

Analicemos otros posibles recorridos

Revisión de conceptos

Observemos que dividimos la mitad (superior en este caso) de la circunferencia unitaria en : 6 ; 4 ; 3 y 2

Número de Referencia

Sea 𝑡 un número real. El número de referencia ҧ𝑡 asociado a 𝑡 es la

distancia más corta a lo largo de la circunferencia unitaria entre el punto

sobre la circunferencia determinado por 𝑡 y el 𝑒𝑗𝑒 𝑥.

𝑡 =7𝜋

4→ ҧ𝑡 = 2𝜋 −

7𝜋

4=𝜋

4

Primero

y

Cuarto Cuadrante

Revisión de conceptos

𝑷

𝑷 𝒙, 𝒚 𝑡 =7𝜋

4

¿Cuál es su número de referencia ҧ𝑡 ?

ҧ𝑡 =𝜋

4

Este número de referencia, ҧ𝑡 , nos permite llevar al primer cuadrante los números 𝑡 ∈ ℝdel II, III, y IV Cuadrante, que es donde conocemos las coordenadas de los puntos terminales de los números especiales.

Revisión de conceptos

Esto se conoce como reducción al primer cuadrante

¿Cuál es la importancia del número de referencia?

Revisión de conceptos

𝑄: (−𝑥, 𝑦) 𝑃: (𝑥, 𝑦)

𝑅: (−𝑥,−𝑦)𝑆: (𝑥, −𝑦)

• Sea 𝑡 un número real, al cual se le asocia el punto 𝑃 de coordenadas (𝑥 , 𝑦) sobre la circunferencia trigonométrica.

• El punto (−1,0) está asociado al número t = 𝜋

• Por lo tanto el punto 𝑄, de coordenadas (−𝑥, 𝑦) está asociado al número real 𝜋 − 𝑡

−𝒕

• Como vemos en el dibujo, el punto 𝑅, de coordenadas (−𝑥,−𝑦) está asociado al número real 𝜋 + 𝑡, pero también al número 𝑡 − 𝜋, según el sentido en que recorramos la circunferencia unitaria.

• Por otro lado, el punto 𝑆, de coordenadas (𝑥, −𝑦) está asociado al número real −𝑡

Es bueno recordar el signo de 𝑥 y de 𝑦 según el cuadrante

Suponga que el punto definido por t es el punto3

5,4

5de la circunferencia unitario.

Encuentre las coordenadas del punto sobre la circunferencia definido por cada uno de lossiguientes valores:

a. 𝜋 − 𝑡 b. – 𝑡 c. 𝜋 + 𝑡 d. 𝑡 − 𝜋

P: 𝟑

𝟓,𝟒

𝟓𝒕

t

Dato:

Por la diapositiva anterior:

a. 𝜋 − 𝑡 Q : −𝟑

𝟓,𝟒

𝟓

b. – 𝑡 S : 𝟑

𝟓, −

𝟒

𝟓

c. 𝜋 + 𝑡 R : −𝟑

𝟓, −

𝟒

𝟓

d. 𝑡 − 𝜋 R : −𝟑

𝟓, −

𝟒

𝟓

Q : −𝟑

𝟓,𝟒

𝟓

R : −𝟑

𝟓, −

𝟒

𝟓 S : 𝟑

𝟓, −

𝟒

𝟓

P: 𝟑

𝟓,𝟒

𝟓

𝑡 = 𝜋

Ejercicio N°4

a) Calcule el número de referencia para cada valor de t y

b) el punto determinado por t.

1. t =5

4π 2 ) t =

7

3π 3) t = −

4

3π 4) t =

π

6

Ejercicio N° 5

Solución

1. t =5

4π ҧ𝒕 =

5

4π − π =

𝜋

4

El número de referencia está en el primer cuadrante y las

coordenadas del punto terminal P del número 𝜋

4es P:

2

2,

2

2.

P

Q

Como el punto terminal de t =5

4π está en el III Cuadrante, las

coordenadas de Q: −2

2, −

2

2

2 ) t =7

3π

Ejercicio N° 5

En este caso, la semicircunferencia fue dividida en 3 porciones congruentes. La circunferencia toda, en 6 partes.

Como debemos tomar 7 de estas partes, debemos dar la vuelta completa y tomar un tercio más

a) Para t =7

3π, el ҧ𝑡 =

𝜋

3

b) El punto terminal de t =7

3π está en el primer

cuadrante y coincide con el punto final de 𝑡 =𝜋

3,

P: 1

2,

3

2

P

Ejercicio N° 5

En los ítems restantes se procede de la misma manera