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RESUMEN CURSO INTRODUCTORIO DE MATEMÁTICA INGRESO A LA UNIVERSIDAD AUTORA: PIERINI, MAIRA E AÑO 2015

Ingreso UNL Matemática

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Resumen de matemática. Ingreso a la universidad.

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RESUMEN

CURSO INTRODUCTORIO DE MATEMÁTICA

INGRESO A LA UNIVERSIDAD

AUTORA: PIERINI, MAIRA E

AÑO 2015

CURSO INTRODUCTORIO DE MATEMÁTICA

PIERINI, MAIRA E.

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UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS

POTENCIACIÓN:

Definición:

𝑎𝑛 = 𝑏 → √𝑏𝑛

= 𝑎 ; para todo b≥0, si n es par

Propiedades de la potenciación:

*Distributiva respecto del producto y del cociente

(𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑏𝑛

(𝑎

𝑏)

𝑛

= 𝑎𝑛

𝑏𝑛

*NO es distributiva respecto de la suma y la resta

(𝑎 ± 𝑏)𝑛 ≠ 𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛

*Todo número con exponente 0 es igual a 1

𝑎0 = 1

*Todo número elevado a uno es el mismo número

𝑎1 = 𝑎

*Exponentes negativos

𝑎−𝑛 = 1

𝑎𝑛

(𝑎

𝑏)−𝑛 =

𝑏𝑛

𝑎𝑛

*Producto de potencias de igual base: “se deja la misma base y se suman los

exponentes”

𝑎𝑛. 𝑎𝑝. 𝑎𝑞 . 𝑎𝑤 = 𝑎𝑛+𝑝+𝑞+𝑤

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*Cociente de potencias de igual base: “se deja la misma base y se restan los

exponentes”

𝑎𝑛

𝑎𝑝= 𝑎𝑛−𝑝

*Potencia de otra potencia: “se mantiene la base y se multiplican los exponentes”

((𝑎𝑛)𝑝)𝑞 = 𝑎𝑛.𝑝𝑞

Trinomio cuadrado perfecto: “el primero al cuadrado, más el doble producto del

primero por el segundo más el segundo al cuadrado”

(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Cuatrinomio cubo perfecto:

(𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3

Diferencia de cuadrados:

𝑥2 − 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎). (𝑥 + 𝑎)

RADICACIÓN:

Definición:

√𝑏𝑛

= 𝑎 → 𝑎𝑛 = 𝑏

*Exponentes fraccionarios:

√𝑎𝑛 = 𝑎1𝑛

√𝑎𝑝𝑛= 𝑎

𝑝𝑛

Aplicando exponentes fraccionario, verificamos que para la radicación, valen las

mismas propiedades que para la potenciación.

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CONJUNTOS, INTERVALOS Y VALOR ABSOLUTO:

La recta numérica es una representación gráfica de los números en su orden y además es

muy útil para la representación de conjuntos numéricos, como ser intervalos y entornos

−∞ 0 ∞

Intervalos:

Intervalos abiertos: los paréntesis indican que los extremos del intervalo no están

incluidos dentro del intervalo. Esto se puede traducir como, “todos los valores ente a y b

sin incluir a y b”

(𝑎; 𝑏)

a b

Intervalos cerrados: Los corchetes indican que los extremos están incluidos

dentro del intervalo. Esto se puede traducir como “todos los valores entre a y b,

incluidos a y b”

[𝑎; 𝑏]

a b

Intervalos semiabiertos – semicerrados: estos intervalos incluyen a uno de los

extremos y al otro no.

(𝑎; 𝑏]

a b

[𝑎; 𝑏)

a b

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Valor absoluto de un número real:

El valor absoluto de un número real indica la distancia de éste al origen de

coordenadas.

Al ser una distancia, el valor absoluto de un número real será siempre positivo.

|-a| = a

a a

-a 0 a

Obsérvese que a pesar de ser a negativo, la distancia al cero es positiva.

Propiedades del valor absoluto:

*|𝒙 − 𝒂| ≤ 𝒌

−𝒌 ≤ 𝒙 − 𝒂 ≤ 𝒌 x

𝒂 − 𝒌 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂 + 𝒌 a-k a+k

Solución: [a-k;a+k]

conjunto solución: {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 − 𝑘 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑘}

*|𝒙 − 𝒂| < 𝒌

−𝒌 < 𝒙 − 𝒂 < 𝒌 x

𝒂 − 𝒌 < 𝒙 < 𝒂 + 𝒌 a-k a+k

Solución: (a-k;a+k)

conjunto solución: {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑎 − 𝑘 < 𝑥 < 𝑎 + 𝑘}

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𝑥 − 𝑎 ≥ 𝑘 → 𝑥 ≥ 𝑎 + 𝑘

*|𝑥 − 𝑎| ≥ 𝑘

𝑥 − 𝑎 ≤ −𝑘 → 𝑥 < 𝑎 − 𝑘

x x

a-k a+k

Solución: (-∞;𝑎 − 𝑘] ∪ [𝑎 + 𝑘; ∞)

𝑥 − 𝑎 > 𝑘 → 𝑥 > 𝑎 + 𝑘

*|𝑥 − 𝑎| > 𝑘

𝑥 − 𝑎 > −𝑘 → 𝑥 > 𝑎 − 𝑘

x x

a-k a+k

Solución: (-∞;𝑎 − 𝑘)∪(𝑎 + 𝑘; ∞)

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LOGARITMOS:

Definición:

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒙 ↔ 𝒂𝒙 = 𝒃; Para todo b> 0

Propiedades de los logaritmos

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏 = 𝟎

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂 = 𝟏

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟎 = ∄

𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙. 𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚

𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙

𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝒏 = 𝒏. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 → 𝒙 = 𝒃 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂

Logaritmo Neperiano (con base e)

𝐥𝐧 𝒂 = 𝒃 ↔ 𝒆𝒃 = 𝒂

𝐥𝐧 𝒆 = 𝟏

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UNIDAD II: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS

POLINOMIOS:

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 𝑎 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙

𝑛 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 (𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒)

𝑎0 = 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Polinomio completo y ordenado:

Un polinomio está completo cuando están presentes todas las variables de

orden menor al grado del polinomio y está ordenado cuando éstas variables

están ordenadas de mayor a menor o viceversa.

𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥7 + 5𝑥5 + 9 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 𝑦 𝑛𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜

𝑃(𝑥) = −3𝑥7 + 0𝑥6 + 5𝑥5 + 0𝑥4 + 0𝑥3 + 2𝑥2 + 0𝑥 + 9

𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 𝑦 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜

El polinomio se completa agregando ceros por las variables faltantes.

Valor numérico de un polinomio:

Es el valor que toma la expresión para un determinado valor x = a esto se

simboliza P(a) y se resuelve reemplazando las variables por el valor

asignado.

Volviendo a nuestro polinomio de ejemplo: queremos conocer el valor que

toma el mismo para x=2

𝑃(2) = 2.22 − 3.27 + 5.25 + 9 =

Raíces de un polinomio: son los números que hacen que el valor

numérico de un polinomio sea cero.

Un polinomio tiene tantas raíces como su grado lo indique, así un polinomio

de grado cuatro, por ejemplo, tendrá cuatro raíces. El orden de multiplicidad

de las raíces hace referencia a la cantidad de veces que aparecen a la hora

de factorizar el polinomio, así, una determinada raíz que haga que el valor

numérico del polinomio sea cero dos veces, será una raíz de multiplicidad

dos.

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Expresión de un polinomio en función de sus raíces:

P(x) = (x – x1)(x - x2)(x –x3)…(x – xn)

Suma de polinomios:

se suman entre sí los términos del mismo grado

Ejemplo:

Diferencia de polinomios:

Ejemplo:

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Producto entre polinomios:

Ejemplo: se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación

Cocientes entre polinomios (división larga): se utiliza para dividir un polinomio

dividendo P(x), el cual debe estar completo y ordenado, por otro polinomio divisor

Q(x), que debe encontrarse ordenado. Esto dará como resultado un cociente C(x)

y un resto R(x), como en cualquier división. En consecuencia:

P(x) Q(x)

C(x)

R(x)

Luego tendremos, como en toda división: que P(x) = C(x) x Q(x) + R(x), así

estamos en presencia de una forma de factorización de polinomios.

Ejemplo:

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División de polinomios (Regla de Ruffini):

Se utiliza cuando queremos dividir un polinomio P(x), el cual debe estar completo

y ordenado, por otro de la forma (x- a), con grado uno y coeficiente principal uno,

cabe destacar que si estas dos últimas condiciones no se cumplen en simultáneo,

no se podrá aplicar el teorema de Ruffini.

Ejemplo: efectuar el cociente de

P(x)= 2x4 – 3x2 + 2x - 3, por Q(x)= x - ½

1) Se ubican en la tabla los coeficientes del polinomio dividendo (completo y

ordenado)

2) Se ubica a un costado el término independiente del polinomio divisor

cambiado de signo

3) El primer término del dividendo baja a la zona del cociente, se lo multiplica

por el término independiente del divisor y a ese resultado se lo suma o resta

(según el signo) al siguiente término del dividendo

4) Se obtienen los coeficientes del polinomio cociente, al armarlo, debemos

recordar que esto se efectúa con un grado menos al del polinomio

dividendo.

Luego, como en toda división: dividendo = cociente x divisor + resto

2x4 – 3x2 – 2 x – 3 = (2x3 + x2 – 5/2 x + 3/4) x (x – 1/2) – 21/8

Ésta es quizás, la forma de factorización más utilizada.

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Teorema del resto:

se utiliza cuando queremos conocer directamente el resto de una división de un

polinomio dividendo P(x), por otro polinomio divisor de la forma Q(x), para realizar

esto no hace falta que el dividendo esté completo y ordenado, el resto de esta

división debe ser el mismo que el resto de Ruffini. Este teorema facilita mucho la

tarea de buscar las raíces de un polinomio

Ejemplo:

Factorización de polinomios aplicando Ruffini:

Teniendo en cuenta los conceptos vistos anteriormente, estamos en condiciones

de factorizar completamente polinomios aplicando la regla de Ruffini

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OTRAS FORMAS DE FACTORIZACIÓN:

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UNIDAD III: FUNCIONES

Definición: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que

a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada

imagen.

X = variable independiente

Y = variable dependiente

Dominio de una función: es el conjunto de valores que puede tomar la variable

independiente x tal que la reación y = f(x) tenga sentido

Rango – conjunto imagen – codominio – conjunto de llegada: es el conjunto

de valores que toma la variable independiente y a partir de los valores de f(x)

¿Cuándo un gráfico representa una función?

Prueba de la recta vertical: al trazar rectas verticales sobre la gráfica de una

función, éstas no deben cortarlas más de una vez.

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Intervalos de positividad y negatividad:

Se observan sobre el eje de abscisas

Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Se observan también sobre el eje de abscisas

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Función Lineal (recta):

ax + by + c = 0 Ecuación General o implícita de la recta

Despejando la variable dependiente y obtenemos:

y = −𝒂

𝒃𝒙 -

𝒄

𝒃

Ordenada al origen

Pendiente

Pendiente: es la tangente del ángulo de inclinación de la recta respecto del eje de

abscisas.

Ordenada al origen: es el punto de intersección de la recta con el eje de

ordenadas.

Llamando m = −𝒂

𝒃 y b=-

𝒄

𝒃 , obtenemos:

y = mx + b Ecuación explícita de la recta

Gráfica de una recta en el plano: para graficar una recta en el plano, solamente

vamos a necesitar dos puntos.

Ejemplo: y =

X Y

0 -2

-3 0

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Ecuación de la recta dada por un punto de paso y una dirección:

Datos:

P (x;y) punto genérico de la recta

P0 (xo;yo) punto de paso y – y0 = m(x – x0) m pendiente de la recta

Ejemplo: hallar la ecución de la recta que pasa por el punto (-2, 1) y tiene

pendiente m = -2

y - 1 = - 2 (x + 2)

y = -2x -4 +1

y = -2x -3

Ecuación de la recta dada por dos puntos de paso:

Datos:

P (x, y) punto genérico de la recta

P0 (x0, y0) 𝒚−𝒚𝟎

𝒚𝟏−𝒚𝟎=

𝒙−𝒙𝟎

𝒙𝟏−𝒙𝟎

P1 (x1, y1)

Ejemplo: hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1,0) y (-2,2)

𝑦 − 0

2 − 0=

𝑥 + 1

−2 + 1

𝑦

2=

𝑥 + 1

−1

−𝑦 = 2(𝑥 + 1)

𝒚 = −𝟐𝒙 − 𝟐

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Condición de paralelismo: dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la

misma pendiente

Condición de perpendicularidad: dos rectas son perpendiculares si y sólo si

tienen pendientes opuestas y recíprocas.

𝒎𝟏 = −𝟏

𝒎𝟐

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

Resolver un sistema de ecuaciones lineales, significa encontrar un par de números

que satisfagan simultáneamente a todas las ecuaciones que lo componen, en

base a esto, el sistema puede resultar:

Compatible determinado: cuando tiene solución y ésta es única. Geométricamente

representa restas que se cortan en el plano en un punto en común.

Compatible indeterminado: cuando tiene infinitas soluciones. Geométricamente,

representa en el plano rectas coincidentes

Imcompatible: cuando el sistema no tiene solución. Geométricamente representa

rectas paralelas en el plano

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Método de sustitución:

(1)

(2)

1- De la ecuación (1)

𝒚 = −𝟏

𝟓𝒙 + 𝟏

2- Reemplazo ese valor en la segunda ecuación

𝟑(𝒙) − 𝟓 (−𝟏

𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟑

𝟑𝒙 + 𝒙 − 𝟓 = 𝟑

𝟒𝒙 = 𝟖

𝒙 = 𝟐

3- Reemplazo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones del

sistema para obtener la coordenada faltante del punto

𝟐 + 𝟓𝒚 = 𝟓

𝒚 =𝟓 − 𝟐

𝟓

𝒙 =𝟑

𝟓

4- Verificar gráficamente que las rectas se cortan en el punto (2;3

5)

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Método de igualación:

1- Despejo la misma variable en ambas ecuaciones:

𝒚 = −𝟏

𝟓𝒙 + 𝟏

𝒚 =𝟑

𝟓𝒙 −

𝟑

𝟓

2- Al ser iguales los primeros miembros, también lo son los segundos

−𝟏

𝟓𝒙 + 𝟏 =

𝟑

𝟓𝒙 −

𝟑

𝟓

−𝟏

𝟓𝒙 −

𝟑

𝟓𝒙 = −

𝟑

𝟓− 𝟏

−𝟒

𝟓𝒙 = −

𝟖

𝟓

𝒙 = 𝟐

3- Reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones el valor obtenido para

obtener la coordenada restante del punto de intersección de las dos rectas

𝒚 =𝟑

𝟓

4- Verificamos el resultado gráficamente

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Función cuadrática:

Ecuación general de la parábola: 𝒂 > 𝟎 ⇾ U

𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

𝒂 > 𝟎 ⇾∩ 1- Intersección con el eje y

Haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola

𝒚 = 𝒄

2- Intersecciones con el eje x

𝒌

𝒙𝟏

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝒙𝟐 𝒄

3- Vértice (h; k)

𝒉 = −𝒃

𝟐𝒂

𝒌 = 𝒇(𝒉) 𝒙𝟏 𝒉 𝒙𝟐

4- Eje de simetría:

𝒙 = 𝒉

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Ecuación canónica de la parábola: se arma con los vértices de la misma

𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒌

Forma factorizada de la parábola: se arma con las raíces de la misma

𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏)(𝒙 − 𝒙𝟐)

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UNIDAD IV: TRIGONOMETRÍA

Circunferencia trigonométrica de radio 1

De la figura anterior podemos deducir las funciones trigonométricas para el

ángulo α

𝐬𝐢𝐧 𝛂 = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂=

𝒚

𝒉

𝐜𝐨𝐬 𝛂 = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂=

𝒙

𝒉

𝐭𝐠 𝛂 = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆=

𝒔𝒆𝒏 ∝

𝒄𝒐𝒔 ∝=

𝒚

𝒙

-Funciones trigonométricas inversas

𝐬𝐞𝐜 𝛂 = 𝟏

𝒄𝒐𝒔 ∝

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𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝛂 = 𝟏

𝒔𝒆𝒏 ∝

𝐜𝐨𝐭𝐠 𝛂 = 𝟏

𝒕𝒈 ∝=

𝒄𝒐𝒔 ∝

𝒔𝒆𝒏 ∝

Relación fundamental entre las funciones trigonométricas de un triángulo:

𝒔𝒆𝒏𝟐 ∝ + 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝ = 𝟏