Upload
lydat
View
235
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
1 MATEMÁTICAS
INSTITUCIÓN EDUCATIVA
CIUDADELA DEL SUR
MODELO PEDAGÓGICO
“ESCUELA ACTIVA URBANA”
EDUCACIÓN BÁSICA SECUNDARIA
GRADO 9º
AREA MATEMÁTICAS
ELABORADO POR:
ALBA LORENA GALEANO RUIZ
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
2 MATEMÁTICAS
GRAFIQUEMOS FUNCIONES LINEALES
LOGRO
COMPETENCIAS
INTERPRETATIVA: Identifica las relaciones que son funciones, también
las características de la función lineal.
ARGUMENTATIVA: Sustenta y explica resultados por medio de la verificación de datos.
PROPOSITIVA: Propone métodos de solución diferentes al propuesto por
el docente.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Momento A: Apropiación de conceptos
Momento B: Análisis y propuesta de solución de problemas
Momento C: Práctica en el contexto
Momento D: capacidad de hacer nuevas propuestas e inventiva.
Cumplimiento y responsabilidad con trabajos y tareas
Participación activa
Puntualidad
Asistencia
Cumplimiento del convenio de convivencia pacífica del colegio.
Identifica la función lineal y la forma general de la recta, desarrolla ejercicios de aplicación con dos ecuaciones lineales y
argumenta los resultados por medio de la verificación de los datos, de tal forma que sean coherentes con la situación dada.
Demuestra interés por proponer otros métodos de solución.
I PERIODO
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
3 MATEMÁTICAS
CONTENIDOS
UNIDAD DIDÁCTICA: Grafiquemos funciones lineales
Guía
Tema
Subtemas
Logros
Estándares
Tiempo
Nº 1
Concepto
de función
Dominio, codominio,
rango y grafo de una función
Formas para representar una función.
Reconoce el concepto de
función y lo relaciona con
situaciones de la vida real.
Usar procesos
inductivos y lenguaje
algebraico para verificar conjeturas.
2 semanas
Nº 2
Función lineal
Representación gráfica.
Función afín.
Identifica las características de la función lineal y de la función afín.
Interpretar la relación entre el parámetro de funciones con la familia
de funciones que genera.
2 semanas
Nº 3
La recta
Pendiente de la recta.
Ecuación
explícita de la recta.
Ecuación general de la
recta.
Halla la ecuación explícita y la
ecuación general
de una recta. Establece la
posición relativa de dos rectas en un mismo plano
Identificar relaciones
entre
propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones
algebraicas
2 semanas
Nº 4
Sistema de
ecuaciones lineales
con 2 incógnitas
Método gráfico. Método de
Sustitución. Método de
Igualación. Método de
Reducción. Método de
determinantes. Problemas de
aplicación.
Determina la solución de un sistema de
ecuaciones con dos incógnitas, utilizando diferentes métodos de
solución. Plantea y
resuelve problemas que conducen a sistemas de ecuaciones 2 x 2.
Identificar diferentes métodos
para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.
2 semanas
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
4 MATEMÁTICAS
GUIA No. 01 (2 SEMANAS)
PRESABERES. Trabajo Individual.
Intenta resolver los siguientes ejercicios relacionados con el tema que vamos
a trabajar:
I. Dados { } y { }, escribir por extensión cada uno de
los siguientes conjuntos.
a. {( ) }
b. {( ) }
c. {( ) }
II. Ubicar las siguientes parejas ordenadas en el plano cartesiano.
a. ( ) c.
3
7,0
b.
3
5,
2
1 d.
0,
2
5
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
5 MATEMÁTICAS
III. Identificar las rectas paralelas.
a. b.
c. d.
IV. Trazar una recta perpendicular a cada recta dada.
a. l b.
c. l d.
PARA REALIZAR EN EL AULA. Escribe en tu cuaderno la siguiente definición
Sean A y B conjuntos. Una función definida del conjunto A en el conjunto B, es una correspondencia que asigna a cada elemento de A un único elemento de B.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
6 MATEMÁTICAS
Las funciones se simbolizan por letras tales como entre otras.
Así, para notar la función definida de A (conjunto de salida) en B (conjunto
de llegada), se escribe y se lee “efe” de A en B.
Supóngase que { } y { } y es la correspondencia
mediante la cual cada elemento de A debe ser asociado con su anterior en B.
Entonces, es una función de A en B, pues a cada elemento del conjunto de
salida le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada.
Una forma de representar esta función, se muestra en el siguiente diagrama
sagital.
En general, si es cualquier elemento del
conjunto de salida y es el elemento del
conjunto de llegada que le corresponde a
mediante la función , se dice que es la
imagen de a través de .
Esto se simboliza por ( ) y se lee igual a “efe” de .
En el diagrama se tiene que ( ) ( ) ( ) ( )
EJEMPLO: A continuación se han representado cuatro correspondencias
entre los conjuntos { } y { }. Determinar cuáles de estas
correspondencias son funciones y cuáles no.
1
2
3
a
b
c
d
M N
f
1
2
3
4
0
1
2
3
4
A B
f
1
2
3
a
b
c
d
M N
g
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
7 MATEMÁTICAS
SOLUCIÓN:
y sí son funciones porque en cada caso cada elemento de está
relacionado con un único elemento de .
e no son funciones, pues en la correspondencia , 1 tiene dos
imágenes, y en la correspondencia , 3 no tiene imagen.
Dada una función establecida entre dos conjuntos, se identifican los
siguientes elementos:
Dominio: es el conjunto de salida o conjunto de pre imágenes. Se nota
Dom .
Codominio: es el conjunto de llegada.
Rango: es el subconjunto del codominio, formado por las imágenes de los
elementos del dominio. Se nota Ran .
Grafo: es el conjunto formado por todas las parejas ordenadas en las
cuales la primera componente es un elemento del dominio y la segunda componente es un elemento del rango. Esto es {( ) ( )}.
1
2
3
a
b
c
d
M N
h
1
2
3
a
b
c
d
M N
i
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
8 MATEMÁTICAS
EJEMPLO: Determinar el dominio, el codominio, el rango y el grafo de la función representada en el siguiente diagrama sagital.
SOLUCIÓN
{ }
{ }
{ }
{( ) ( ) ( )}
Además del diagrama sagital, para representar una función se utilizan otras
formas, tales como el diagrama cartesiano, la fórmula o la tabla de valores.
Diagrama Cartesiano: el eje horizontal representa el dominio y el eje
vertical, el codominio. En este diagrama se representan las parejas ordenadas que pertenecen al grafo de la función.
La Fórmula: es la expresión algebraica de la función, en la cual los
elementos de los conjuntos se simbolizan, de manera general, mediante variables. Las fórmulas de las funciones son de la forma ( ), en la
cual ( ) es una expresión en términos de ; es la variable
independiente y representa los elementos de ; es la variable
dependiente y representa los elementos de Ran .
La Tabla de Valores: está formada por dos filas de casillas. En la fila
superior se ubican los valores que toma la variable independiente y en la
fila inferior se ubican los valores que se obtienen para la variable dependiente.
a
e
i
k
m
n
o
p
R S
h
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
9 MATEMÁTICAS
EJEMPLO: Dados los conjuntos { } y { }, y la función
tal que a cada elemento de x le asigna su doble en , representar
la función mediante:
a. La fórmula b. La tabla de valores
c. El diagrama sagital d. El diagrama cartesiano
SOLUCIÓN
a. La fórmula b. La tabla de valores
( ) ó
c. El diagrama sagital d. El diagrama cartesiano
X 0 1 2 3
y 0 2 4 6
0
1
2
3
0
1
2
3
4 5 6
X Y
f
1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
-1
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
10 MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES PARA REALIZAR EN CLASE. Trabajo Colectivo.
Reúnete con tus compañeros de mesa para desarrollar los siguientes ejercicios de aplicación del tema visto.
I. Indicar cuáles de los diagramas sagitales representan funciones. Justificar cada respuesta.
a. b. c.
II. Escribir en el cuaderno el dominio, codominio, rango y grafo de cada
una de las siguientes funciones.
a.
a
e
i
m
n
o
p
A B
f
1 0
2
A B
f
4
8
12
r
s
t
M N
h
m
n
o
p
q
C D
g
2
3
4
5
1
O P
i
4
2
3
4
5
R T
h
1
-1
0
2
1
0
4
M N
g
b.
c.
d.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
11 MATEMÁTICAS
III. El grafo de cierta función f es {( ) ( ) ( ) ( ) ( )}. Responder
las siguientes preguntas:
a. ¿Qué elementos pertenecen al dominio de la función?
b. ¿Cuáles números forman el rango de la función?
c. ¿5 pertenece al codominio de la función?
d. ¿Cuántos elementos tiene el dominio de la función?
e. ¿Se podría representar el grafo anterior en un diagrama sagital?
¿Cómo?
IV. Definir cada una de las siguientes funciones mediante un diagrama cartesiano y una tabla de valores.
a.
V. Sean los conjuntos { } y { } y la función tal
que a cada elemento de se asocia su doble en . Definir la función
mediante.
b. Diagrama sagital
c. Diagrama cartesiano
d. Fórmula
e. Tabla de valores
2
3
4
1
2
3
4
M N
h
4
5
6
2
3
4
5
A B
f
1
2
3
2
4
6
A B
f
1
3
5
7
6
2
4
8
E F
h
b.
c.
d.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
12 MATEMÁTICAS
GUIA No. 02 (2 SEMANAS)
TRABAJO COLECTIVO PARA REALIZAR EN EL AULA. Observa el ejemplo y construya una gráfica similar, donde sea representada una función lineal.
La siguiente situación no representa una línea recta, pero muestra por tramos una línea que cambia de dirección.
a. Un vehículo se mueve uniformemente si recorre distancias iguales en
tiempos iguales. La velocidad en el movimiento uniforme es el espacio recorrido entre la unidad de tiempo.
b. En este caso, intenta graficar los siguientes datos sobre un plano cartesiano, hasta obtener una línea recta.
La empresa de libros “el pensamiento” vende la siguiente cantidad de libros,
representados de la siguiente forma:
Durante el mes 1, vende 15 libros.
Para el mes 2, ya tiene vendidos 30 libros.
En el mes 3, vuelve a vender otros 15 libros, alcanzando una venta de 45
libros y así sucesivamente durante los meses siguientes.
Durante las primeras 8 horas, el vehículo avanza 40
Kms.
Entre las 8 – 16 horas, merma su velocidad de 40 a
20 Kms.
Entre las 16 – 24 horas,
aumenta su velocidad de 20 a 60 Kms.
20 km
40 km
60 km
Espacio en km
8 h 16 h 24 h Tiempo en horas
0
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
13 MATEMÁTICAS
PARA REALIZAR EN EL AULA. Escribe en tu cuaderno la siguiente
definición
Ejemplos: ( ) , ( )
, y
La función lineal es una función real cuya principal característica consiste en que su representación gráfica es una recta que pasa por el origen del plano
cartesiano.
-
Toda función de la forma donde es una constante
diferente de cero, es una función lineal.
EJEMPLO: Construir la gráfica de la función ( )
SOLUCIÓN:
La tabla de valores para la
función ( ) es:
-2
-1
0
1
2
-6 -3 0 3 6
y se obtiene la siguiente gráfica
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
14 MATEMÁTICAS
Se denomina función afín a toda función de la forma donde y
son constantes no nulas.
Este tipo de funciones tienen como
representación gráfica una recta
que no pasa por el origen del plano cartesiano.
Por ejemplo, la gráfica de la
función es una recta que
corta el eje y en el punto (0, -1)
( )
x -2 -1 0 1 2
y -7 -4 -1 2 5
Es posible encontrar los puntos de corte de la recta correspondiente a la
gráfica de una función afín, con los ejes coordenados, mediante una sencilla sustitución algebraica.
Para hallar el punto ( , 0) o punto de corte de la recta con el eje , en
la expresión ( ) se hace y se despeja .
Para hallar el punto (0, ) o punto de corte de la recta con el eje , se
hace y se despeja .
EJEMPLO: Hallar los puntos de corte de la gráfica con los
ejes coordenados.
-
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
15 MATEMÁTICAS
SOLUCIÓN:
Para hallar ( , 0) se hace
Luego
.
Así, ( , 0) =
0,
2
1 es el
Punto de corte con el eje .
Para hallar (0, y ) se hace
( ) es decir
Por tanto, (0, ) = (0, -1) es
el punto de corte con el eje .
ACTIVIDADES PARA REALIZAR EN CLASE. Trabajo Individual.
Este momento se desarrollará proponiendo ejercicios de aplicación del
tema visto. Estos ejercicios contienen el desarrollo de competencias y transversalidad con otras áreas del conocimiento:
I. Graficar cada tabla de valores en el plano cartesiano. Escoger una
escala apropiada para el eje y.
a. b.
-
Número de libros
Costo en $
1 10.500
4
52.500
3
2
5
21.000
31.500
42.000
Número de manzanas
Precio en gramos
1 400
2.5
2.000
2
1.5
3
800
1.200
1.600
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
16 MATEMÁTICAS
c. d.
II. Indicar cuáles de las siguientes relaciones representan funciones
lineales o afines. Justificar la respuesta.
a. Cierta población de bacterias se duplica en cada minuto. Relación: Crecimiento de una población de bacterias y el tiempo.
b. Para reparar la instalación de una casa, el servicio técnico cobra $25.000 más $10.000 por hora.
Relación: Tiempo trabajado y costo.
c. Una empresa fabrica cajas de zapatos. Por cada caja vendida recibe
$5.000 de ganancia. Relación: Cantidad de cajas vendidas y ganancias.
III. Realizar la gráfica de las siguientes funciones.
a. xxf 2)(
b. xxf 3)(
c. xxf 5)(
d. 5)( xxf
e. 32)( xxf
f. 22
1)( xxf
IV. Hallar los puntos de corte de la gráfica de cada función, con los ejes coordenados, sin representarlo en el plano.
a. xxf 5)(
b. 23)( xxf
c. 15)( xxf
d. 24
3)( xxf
Número de horas
Cantidad de minutos
1 400
4
2.000
3
2
5
800
1.200
1.600
Núm. de art. vendidos
Comisión por ventas en $
1 400
4
2.000
3
2
5
800
1.200
1.600
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
17 MATEMÁTICAS
GUIA No. 03 (2 SEMANAS)
PARA REALIZAR EN EL AULA. Escribe en tu cuaderno la siguiente definición La siguiente gráfica representa el crecimiento de un árbol durante un año.
De acuerdo con el gráfico:
¿En qué mes se produjo el mayor crecimiento del árbol?
¿El crecimiento del árbol fue uniforme?
¿En qué mes se produjo el menor crecimiento del árbol?
Seleccione uno de los segmentos de recta pertenecientes a la gráfica y encuentre la
pendiente y la ecuación de la recta que la determina.
Seleccione dos segmentos de la gráfica distintos y demuestre según los criterios de la
pendiente, si estos son paralelos o simplemente secantes.
E F M A M J J A S O N D
10
20
30
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
18 MATEMÁTICAS
PARA REALIZAR EN EL AULA. Escribe en tu cuaderno la siguiente definición
En la expresión , el valor de es una constante diferente de
cero, denominada pendiente.
La pendiente está directamente relacionada con la inclinación de la recta cuya ecuación es .
Si ( ) y ( ) son dos puntos distintos de dicha recta, la pendiente
se calcula mediante las igualdades:
21
21
xx
yym
ó
12
12
xx
yym
EJEMPLO: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos )5,3(A y
)3,2(B .
SOLUCIÓN:
Si se consideran ),()5,3( 11 yxA y ),()3,2( 22 yxB al remplazar en la
fórmula anterior, se obtiene:
21
2
23
35
m 2
1
2
32
53
mó
las cuales se interpretan
como la razón de incremento vertical con respecto al
incremento horizontal en la recta.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
19 MATEMÁTICAS
El signo de la pendiente de una recta depende del ángulo de inclinación de
dicha recta con respecto al eje .
Se pueden distinguir cuatro casos:
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Caso 4:
Caso 1: Si la recta forma un
ángulo agudo con el eje , la
pendiente es positiva.
Caso 2: Si la recta forma un
ángulo obtuso con el eje , la
pendiente es negativa.
Caso 3: Si la recta es vertical
(paralela al eje ), se dice que la
pendiente no está definida.
Caso 4: Si la recta es horizontal
(paralela el eje ), la pendiente es
cero.
0
r
𝑚
r
𝑚
0
r
𝑚
r
𝑚 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
20
MATEMÁTICAS
Así como aprendimos a graficar funciones lineales o de primer grado, donde siempre resultaba una línea recta en el plano cartesiano, podemos
también encontrar la Ecuación Explícita de la Recta y la Ecuación General de la Recta donde solo necesitas conocer algunos datos de la
gráfica para luego proceder a encontrarlos.
Pues bien, recordemos que la Ecuación Explícita de la Recta es
aquella que tiene la forma , donde m es la Pendiente y b
es el Punto de corte de la recta con el eje y. Para poder determinarla,
se pueden presentar 2 casos.
CUANDO SE CONOCE LA PENDIENTE Y UN PUNTO
Cuando se conoce la Pendiente y un Punto de la Recta, basta remplazar
dichos valores en la expresión general con el fin de encontrar
el valor de de manera algebraica.
EJEMPLO: Encontrar la ecuación explícita de la recta que pasa por el
punto (3, 2) y cuya pendiente es 4.
SOLUCIÓN: Dado que 4m y )2,3(),( yx al remplazar dichos
valores en la expresión se obtiene:
b )3.(42 Por tanto, la ecuación pedida es:
b122 104 xy
b122
10b
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
21
MATEMÁTICAS
CUANDO SE CONOCEN LOS DOS PUNTOS
Cuando se conocen los dos Puntos que pertenecen a la recta, primero se halla su pendiente mediante la expresión
12
12
xx
yym
Luego, se remplazan m y las coordenadas de cualquiera de los puntos
conocidos en la expresión bxmy . y se procede como en el caso
anterior.
EJEMPLO: Hallar la ecuación explícita de la recta que pasa por los
puntos )3,2( y )5,3( .
SOLUCIÓN: se determina la pendiente de la recta según la fórmula
12
12
xx
yym
=
23
35
=
1
2 = 2
Luego, se toma la pendiente y la coordenada de cualquiera de los puntos conocidos.
2m y )5,3( . Estos valores se remplazan en la expresión
b )3.(25 bxmy . como en el caso anterior
b 65
b 65 Por tanto, la ecuación pedida es:
1b
La expresión donde y (es decir, no
son ceros simultáneamente) es llamada Ecuación General de la Recta.
Esta ecuación está definida de la forma .
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
22
MATEMÁTICAS
Si la ecuación de una recta está dada en forma explícita, basta realizar algunas operaciones algebraicas para obtener la forma general.
EJEMPLO: expresar la ecuación
en forma general.
SOLUCIÓN: Se multiplica ambos miembros de la igualdad por el
(
) ( )
Luego, es la forma general de la ecuación dada.
a. Dada la ecuación explícita
,14 xy obtener la ecuación
general de la recta.
14 xy
014 yx la expresión se iguala a 0.
b. Dada la ecuación general
,0523 yx hallar la
ecuación explícita de la recta.
532 xy se despeja y así
2
53
xy
2
3
xy
2
5
2
3xy +
2
5
Representar gráficamente la recta cuya ecuación es .01236 yx
SOLUCIÓN
Para encontrar el punto de corte
con el eje ,x hacemos que 0x y
lo reemplazamos en la ecuación
general hasta encontrar el valor de
y .
Para encontrar el punto de corte
con el eje ,y hacemos que 0y y lo
reemplazamos en la ecuación
general hasta encontrar el valor de
x .
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
23
MATEMÁTICAS
012306 y
01230 y
123 y
3
12
y
3
12
y
3
12y
4y
Así el y intersecto es (0, 4)
012036 x
01206 x
126 x
6
12x
2x
Así el x intersecto es (-2, 0)
-
Gráficamente se puede observar que la recta corta el eje x en el valor de -2 y que corta el eje y en el valor de 4.
Lo que significa que al hacer que cada variable se convierta en cero, encontramos el punto de corte con el eje coordenado de manera algebraica. Además, estos valores también se pueden reemplazar sobre la ecuación general de la recta.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
24
MATEMÁTICAS
PARA REALIZAR EN EL AULA. Escribe en tu cuaderno la siguiente
definición
I. Hallar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.
a. )5,5( y )6,6(
b. )3,4( y )3,5(
c. )3,2( y )5,6(
d. )5,3( y )5,2(
II. Indicar la pendiente y el intercepto con el eje y de cada una de las
siguientes rectas.
a. 53 xy
b. 25 yx
c. 43 yx
d. 69 yx
III. Encontrar la ecuación explícita de la recta que tiene el punto y la
pendiente indicados.
a. Punto )4,1( 2m
b. Punto )2,3( 3m
c. Punto )6,5( 0m
d. Punto )1,3( 2m
IV. Escribir V en cada afirmación se es verdadera, o F si es falsa. Justificar
la respuesta.
a. La ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos )2,1( y
)3,2( es 2 xy .
b. La recta cuya ecuación es 23 yx contiene el punto )2,0(
y su pendiente es 3.
c. La ecuación de una recta cuya pendiente es indefinida es 6x .
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
25
MATEMÁTICAS
d. La ecuación 5x corresponde a una recta cuya intersección con el
eje y es 5 y su pendiente es nula.
e. La recta que pasa por los puntos )1,1( y )4,4( tiene la misma
pendiente que la recta que pasa por los puntos )7,7( y )10,10( .
f. La ecuación de la recta 53 xy corta el eje y en 5.
g. La expresión 5
1
4
3 xy corresponde a una recta cuya
pendiente es 5
1.
V. Escribir cada ecuación en su forma general.
a. yx 9
b. yx 43
c. 152 xy
d. 3
423 yx
e. 6
35
9 yx
f. 8312 yx
g. 252
1 xy
h. 123 xyx
i. 6324 xyx
j. yxx 43
12
3
5
VI. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y es
perpendicular a la recta dada.
a. 69 xy punto )0,0(
b. 28 xy punto )1,1(
c. 15 yx punto )3,2(
d. 624 yx punto )1,4(
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
26
MATEMÁTICAS
VII. Escribir V si la afirmación se es verdadera, o F si es falsa. Justificar la respuesta.
Sean l y s dos rectas cuyas pendientes son 1m y 2m
respectivamente.
a. Si l y s son paralelas, entonces sus pendientes cumplen:
121 2mmm
b. Si l y s son perpendiculares: 2
1
1
mm
c. Si l y s son paralelas, se cumple: 021 mm
d. Si l tiene pendiente ,3
1m entonces una recta perpendicular a
ella debe tener pendiente positiva.
ACTUALIDAD
Las funciones constituyen una poderosa herramienta para describir fenómenos. Son usadas por biólogos, físicos, ingenieros y economistas para analizar, por ejemplo, la variación del precio de un producto a través de los años, el crecimiento de la población en un periodo de tiempo y la resistencia de un material a distintas temperaturas, entre otras.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
27
MATEMÁTICAS
GUIA No. 04 (2 SEMANAS)
MOTIVACION. Trabajo cooperativo para realizar en el aula.
Realiza la lectura del siguiente fragmento y luego responde las preguntas en tu cuaderno:
CONVERSATORIO
Responde las siguientes preguntas sobre la lectura anterior
¿Qué hecho aporta la época babilónica al desarrollo de las siguientes ecuaciones lineales?
¿Qué contribución algebraica hizo la cultura China al desarrollo de sistemas de ecuaciones lineales?
¿En qué siglo la teoría de los sistemas lineales dio origen al álgebra lineal?
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
Desde la antigüedad el problema de resolver ecuaciones lineales simultáneas ya era objeto de interés entre los matemáticos.
Por ejemplo, en un texto de la época babilónica antigua se encuentra un sistema de dos ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas, llamadas respectivamente el primer anillo de plata y el segundo anillo de plata.
En la cultura china, la contribución algebraica más importante fue, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución se sistemas de ecuaciones lineales, según consta en el libro de Los nueve capítulos sobre el arte matemático (año 250 a. de C.). En esta obra, se establece un método genérico de resolución para todos los sistemas, muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando los coeficientes en forma matricial y transformándolos en ceros de manera escalonada.
En el siglo XIX, la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales dio origen a lo que hoy se conoce como el álgebra lineal, la cual está relacionada con la teoría de los determinantes y las matrices.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
28
MATEMÁTICAS
PARA REALIZAR EN EL AULA. Escribe en tu cuaderno la siguiente
definición
Toda igualdad de la forma donde es una ecuación
lineal con dos incógnitas. Cada pareja ordenada de números reales que satisface esta ecuación es una solución de ella. Por ejemplo, para
encontrar las soluciones de la ecuación se despeja luego se
asignan valores arbitrarios a De esta forma, dando valores a se
pueden obtener infinitos valores para Así, se dice que la ecuación lineal
es una ecuación indeterminada.
Toda ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación indeterminada.
Un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales es llamado
sistema de ecuaciones lineales o sistema de ecuaciones simultáneas.
Por ejemplo, el conjunto
82
73
yx
yx
Es un sistema 2 X 2, pues está formado por dos ecuaciones con dos incógnitas. La solución de este sistema es la pareja (3, 2) ya que satisface
las dos ecuaciones simultáneamente.
Existen cinco métodos para resolver o solucionar un sistema de ecuaciones lineales 2 X 2. Estos métodos son: el gráfico, el de sustitución, igualación,
reducción y determinantes. A continuación, veremos únicamente los cuatro primeros casos, dado que el caso de determinantes será visto en clase con
ayuda del docente.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
29
MATEMÁTICAS
Para determinar la solución o soluciones de un sistema 2 X 2 se emplean varios métodos, entre los cuales tenemos el método gráfico. Este
consiste en graficar las rectas que corresponden a las ecuaciones que
forman el sistema, despejando en cada una de las ecuaciones la variable
para que la ecuación tome forma de función y posteriormente construir
ambas gráficas sobre un mismo plano cartesiano, para determinar las coordenadas del punto ( ) en el que se cortan dichas rectas.
Cuando se utiliza el método gráfico para resolver un sistema 2 X 2, se pueden presentar tres casos:
CASO 1: Las rectas se cortan en un solo punto ( ). Esto significa que el
sistema tiene una única solución, dada por los valores que son
coordenadas del punto de corte.
CASO 2: Las rectas coinciden en todos sus puntos. Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones, es decir, es indeterminado.
CASO 3: Las rectas son paralelas. Luego no tienen puntos en común. Es
decir, el sistema no tiene solución.
EJEMPLO: Encontrar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el método gráfico.
a.
3
13
xy
xy b.
43
23
xy
xy c.
242
12
yx
yx
SOLUCIÓN: Al graficar las rectas de cada sistema en un plano cartesiano, se obtiene:
a.
3
13
xy
xy b.
43
23
xy
xy
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
30
MATEMÁTICAS
13 xy 3 xy 23 xy 43 xy
c.
4
2
4
2
2
1
2
1
xy
xy
2
1
2
1 xy
4
2
4
2 xy
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución, se despeja una de las variables en cualquiera de las
ecuaciones dadas. Luego se remplaza dicho valor en la otra ecuación y se
0 1
3 4
0 1
1 4
0 1
2 -1
0 1
4 1
0 1
2
1 0
0 1
4
2 0
Masa (Kg)
-
Sol:(1,4)
-
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
31
MATEMÁTICAS
despeja nuevamente la otra variable. Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para hallar la variable inicial.
EJEMPLO: Resolver por el método de sustitución el sistema de ecuaciones lineales.
2822
11123
yx
yx
SOLUCIÓN: En la ecuación 1 se despeja la variable x.
1123 yx
yx 2113
3
211 yx
Luego, se remplaza dicho valor en la ecuación 2 y se despeja la variable .
823
2112
y
y
823
4
3
22 y
y
3
2282
3
4 y
y
3
2224
3
64
yy
22 y
1y
El valor encontrado se remplaza en la ecuación 1 y luego se despeja
1123 yx
11)1(23 x
1123 x
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
32
MATEMÁTICAS
3
211x
3
9x Luego, 3x
Así, la solución del sistema es la pareja ordenada: ( 3, -1)
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación, se despeja la misma variable en las dos ecuaciones dadas.
Luego se igualan las expresiones obtenidas y se despeja la otra variable. Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para
encontrar el valor faltante.
EJEMPLO: Resolver por el método de igualación el sistema de ecuaciones
lineales.
1053
24
yx
yx
SOLUCIÓN: Se despeja la variable en las dos ecuaciones y se igualan
las expresiones obtenidas.
24 yx 1053 yx
yx 24 yx 5103
4
2 yx
3
510 yx
3
510
4
2 yy
12
2040
12
36 yy
Se despeja en la ecuación resultante.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
33
MATEMÁTICAS
yy 204036
640203 yy
4623 y
23
46y
2y
Este valor se remplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema.
24 yx
224 x
224 x
224 x
04 x Luego, 0x
Por lo tanto, la solución del sistema es la pareja ordenada: (0, -2)
En la solución de un sistema de ecuaciones por el método de reducción,
se reducen las dos ecuaciones del sistema a una sola sumándolas. Para
esto, es necesario amplificar convenientemente una de las dos, de modo que los coeficientes en una de las variables sean opuestos. Al sumar las
ecuaciones transformadas, la variable se elimina y es posible despejar la otra. Luego se procede como en los métodos anteriores.
EJEMPLO: Resolver por el método de reducción el sistema de ecuaciones lineales.
123
234
yx
yx
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
34
MATEMÁTICAS
SOLUCIÓN: Al multiplicar por 3 la primera ecuación y por 4 la segunda
ecuación, se puede cancelar la variable .
4.2123
3.1234
pormultyx
pormultyx
4812
6912
yx
yx
2y
Posteriormente, dicho valor de y se remplaza en cualquiera de las dos
ecuaciones lineales y se despeja la variable .
234 yx
2)2(34 x
264 x
624 x
44 x
4
4x
1x
Cuando se resuelve un sistema por el método de reducción, al transformar las dos ecuaciones en una sola se presentan dos casos especiales.
CASO 1: Se obtiene la expresión 0 = constante (diferente de cero). En este caso el sistema no tiene solución y se denomina inconsistente.
CASO 2: Se obtiene la expresión 0 = 0. Significa que el sistema tiene
infinitas soluciones y es llamado dependiente o indeterminado.
Luego, el conjunto solución es: (-1, 2).
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
35
MATEMÁTICAS
CASO 1
CASO 2
CASO 3
Gráfica
Número de soluciones
Una solución
Infinitas soluciones
No tiene solución
Clase de
sistema
Consistente
Indeterminado-
consistente
Inconsistente
Un determinante es un número asociado a un arreglo de números reales
en igual cantidad de filas y de columnas. Por ejemplo, la notación
dc
ba
Corresponde a la determinante 2 X 2 o de orden dos, asociado a un arreglo de dos filas y dos columnas.
En esta determinante, a y d forman diagonal principal y c y b forman la
diagonal secundaria
Elementos de una determinante 2 X 2
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
36
MATEMÁTICAS
dc
ba
dc
ba
Al producto de los números de la diagonal principal se le resta el producto de los números en la diagonal secundaria.
dc
ba
= a.d - b.c
EJEMPLO: evaluar los siguientes determinantes:
a.
96
23
b.
01
2
15
SOLUCIÓN
a.
96
23
= 3(9) – 2(6)
= 27 – 12 = 15
b.
01
2
15
= (-5)(0)-
2
1(-1)
= 0 - 2
1 =
2
1
columna
fila
diagonal secundaria
diagonal principal
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
Cardán, en “Ars Magna” (1545), da una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales que llama regla de modo. Esta regla corresponde en
esencia a la conocida Regla de Crámer para la resolución de un sistema 2 X 2.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
37
MATEMÁTICAS
Es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando
determinantes, mediante un método denominado Regla de Crámer. Este método se resume de la siguiente forma.
Sea
feydx
cbyax
un sistema de ecuaciones
Se cumple que:
ed
ba
ef
bc
x = bdae
bfce
y
ed
ba
fd
ca
y = bdae
cdaf
EJEMPLO: resolver mediante la Regla de Crámer el siguiente sistema de ecuaciones lineales
29
543
yx
yx
feydx
cbyax
SOLUCIÓN
Se organizan los determinantes necesarios y se resuelven.
Determinante del sistema Determinante del sistema
ed
ba
ef
bc
x
91
43
92
45
=
427
845
=
23
37
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
38
MATEMÁTICAS
Luego, la solución del sistema es
23
1,
23
37
En el proceso de resolución de problemas se deben realizar los siguientes
pasos.
PASO 1. COMPRENDER EL PROBLEMA:
Leer con atención el problema, primero en forma general y luego parte
por parte.
Realizar un dibujo, esquema o tabla que facilite la comprensión del
problema.
Identificar los datos necesarios para aplicar la mejor estrategia a
utilizar.
PASO 2. PLANEAR LA SOLUCIÓN:
Adecuar un plan de trabajo que permita anticipar una respuesta razonable.
Escoger las operaciones a realizar.
PASO 3. DESARROLLAR EL PLAN:
Resolver las operaciones en el orden establecido.
ed
ba
fd
ca
y
91
43
21
53
= 427
56
=
23
1
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
39
MATEMÁTICAS
Verificar si todas las preguntas han sido resueltas.
PASO 4. REVISAR Y REFLEXIONAR SOBRE LA SOLUCIÓN:
Verificar si la solución encontrada es válida.
Reflexionar sobre el proceso seguido para hallar la solución.
Analizar si existen otras maneras de solucionar el problema.
EJEMPLO: Resolver el problema.
La suma de las cifras de un número es 7. Si al número se le resta 9, las cifras se invierten. Hallar el número.
SOLUCIÓN
Una vez realizada la lectura atenta, se determinan las incógnitas.
x: cifra de las decenas.
y: cifra de las unidades.
Se plantean dos ecuaciones, según las condiciones del problema.
xyyx
yx
10910
7
Se resuelve el sistema por cualquier método. En este caso se ha elegido
el método de reducción.
999
7
yx
yx
Para sumar las dos ecuaciones se ha transformado la primera ecuación
Se multiplica la 1ª ecuación x 9
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
40
MATEMÁTICAS
999
6399
yx
yx
x18 = 72
18
72x
4x
Luego, si x = 4 entonces reemplazamos este mismo valor en la 1ª ecuación del sistema.
7 yx
7)4( y
47 y
3y
Por lo tanto, se tiene que y = 3. Entonces el número pedido es 43.
VERIFICACIÓN: Comprobamos la solución de acuerdo con las
condiciones dadas en el problema.
4 + 3 = 7 y 43 – 9 = 34
PARA REALIZAR EN EL AULA. Trabajo cooperativo
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
41
MATEMÁTICAS
I. Hallar la solución a los siguientes sistemas de ecuaciones lineales,
por el método gráfico.
a.
3
13
yx
yx b.
72
54
yx
yx
II. Resolver los siguientes sistemas por el método de sustitución.
a.
822
1123
yx
yx b.
92
12
yx
yx
III. Resolver por el método de reducción.
a.
123
234
yx
yx b.
93
1246
yx
yx
IV. Resolver por el método de igualación.
a.
1053
24
yx
yx b.
24
04
yx
yx
V. Resolver por el método de determinantes o Regla de Crámer.
a.
2587
85
yx
yx b.
342
1323
yx
yx
VI. Resolver los problemas de aplicación utilizando un método distinto
para cada uno de ellos.
a. La suma de dos números es 38 y su diferencia es 8. Hallar los
números.
b. El perímetro de una sala rectangular es 18 metros y 4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones de la
sala.
c. En un teatro, 10 entradas de adulto y 9 de niños cuestan $81.500; 17 entradas de niños y 14 de adultos cuestan
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
42
MATEMÁTICAS
$134.500. Hallar el precio de una entrada de adulto y de una de niño.
d. La diferencia entre dos números es 17. Si el mayor se divide
entre el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4. Hallar los números.
PARA REALIZAR EN EL AULA. Trabajo cooperativo
Reúnete con tus compañeros de grupo y resuelve el siguiente Crucigrama.
HORIZONTAL
1. Conjunto formado por los primeros
componentes de las parejas de una
función.
2. Clase de ángulo que se forma entre una recta con pendiente negativas y el eje x.
3. Nombre que recibe la ecuación de la recta
.bmxy
4. Nombre que reciben dos rectas cuyo producto de las pendientes es –1.
5. Nombre que recibe un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones.
VERTICAL
1. Nombre que recibe la constante m en la
expresión .bmxy
2. Clases de rectas que se tienen cuando ambas poseen la misma pendiente.
3. Cantidad de soluciones que hay en un
sistema de ecuaciones lineales cuya gráfica representa dos rectas secantes.
4. Nombre de uno de los métodos de
solución de un sistema de ecuaciones lineales.
5. Nombre que recibe un sistema de
ecuaciones lineales que no tiene solución.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
43
MATEMÁTICAS
CONCEPTUALIZACIÓN DEL TEMA. Trabajo Individual.
Teniendo en cuenta el siguiente mapa conceptual, escribe un párrafo
donde expliques con tus propias palabras lo que aprendiste acerca de los sistemas de ecuaciones lineales.
1
3
1
22
2
4
3 4
5
5
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
44
MATEMÁTICAS
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Son
Conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales
cada ecuación representa una
Línea recta
de la forma
y = mx + b
en la cual
m es la pendiente b es el punto de corte con el eje y
y se expresan
En forma general como: Ax + By + C = 0
En forma explícita como: y = mx + b
Pueden ser
2 x 2 3 x 3
se define como se define como
Un conjunto formado por dos ecuaciones con dos incógnitas
Un conjunto formado por tres ecuaciones con tres incógnitas
y se resuelve por los
Métodos
y se resuelve por los
Métodos
de de
Sustitución
Igualación
Reducción
Determinantes de segundo
orden
Reducción Determinantes de tercer orden
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
45
MATEMÁTICAS
Las siguientes son preguntas de selección múltiple con única respuesta.
I. Si { } y { } una de las siguientes relaciones no
corresponde a una función.
a. {( ) ( ) ( ) ( )}
b. {( ) ( ) ( ) ( )}
c. {( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
d. {( ) ( ) ( ) ( )}
II. El grupo de parejas ordenadas que corresponde a la fórmula
( ) es:
a. {( ) ( ) ( )}
b. {( ) ( ) ( )}
c. {( ) ( ) ( )}
d. {( ) ( ) ( )}
III. La función 2)( 2 xxfy tiene como dominio, codominio y rango:
a. Dom: R ; Cod: R ; Ran: R .
b. Dom: R ; Cod: R ; Ran: R .
c. Dom: R ; Cod: R ; Ran: 0x .
d. Dom: R ; Cod: R ; Ran: 2x .
IV. La pendiente m de la recta es:
a. 3m
b. 2m
c. 3
2m
d. 3
2m
V. La ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos )1,5( y
)1,8( es:
a. 3
16
3
2 xy
b. 53
2 xy
c. 3
13
3
2 xy
d. 3
13
13
2 xy
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
46
MATEMÁTICAS
VI. Una recta perpendicular a la recta 453 yx es:
a. 3
16
3
2 xy
b. 53
2 xy
c. 3
13
3
2 xy
d. 3
13
13
2 xy
VII. La solución del sistema de ecuaciones lineales
1452
1434
yx
yx utilizando cualquier método es:
a. )0,0(
b. )2,2(
c. )6,1(
d. )2,5(
VIII. En el sistema
43
132
yx
yx el determinante para hallar x es:
a.
31
32
31
32
b.
41
32
34
31
c.
31
32
31
12
d.
34
31
31
32
IX. Cuatro personas van al circo. Por las entradas pagan $9.000. El precio por adulto es $3.500 y por niño $1.000. La distribución de personas
era:
a. 3 niños y 1 adulto.
b. 2 niños y 2 adultos.
c. 1 niño y 3 adultos.
d. 4 adultos.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
47
MATEMÁTICAS
Resuelve los ejercicios propuestos en cada numeral.
VII. Construye la gráfica de las siguientes funciones lineales.
a. ( ) b. ( )
VIII. Hallar los puntos de corte de la gráfica de cada función, con los ejes
coordenados, sin representarlo en el plano.
a. ( ) b. ( )
IX. Hallar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.
a. (3, 4) y (2, 1) b. (-2, -3) y (6, 5)
X. Encontrar la ecuación explícita de la recta a partir de los datos que
se dan a continuación:
a. Punto (-2, 3) m = -1 b. P1 (-1, 0) P2 (0, -4)
XI. Escribir cada ecuación en su forma general.
a. b.
XII. Hallar la solución a los siguientes sistemas de ecuaciones lineales,
por el método gráfico.
c.
3
13
yx
yx d.
72
54
yx
yx
XIII. Resolver los siguientes sistemas por el método de sustitución.
a.
822
1123
yx
yx b.
92
12
yx
yx
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
48
MATEMÁTICAS
XIV. Resolver por el método de reducción.
a.
123
234
yx
yx b.
93
1246
yx
yx
XV. Resolver por el método de igualación.
a.
1053
24
yx
yx b.
24
04
yx
yx
XVI. Resolver por el método de determinantes o Regla de Crámer.
a.
2587
85
yx
yx b.
342
1323
yx
yx
XVII. Resolver los problemas de aplicación utilizando un método distinto para
cada uno de ellos.
a. La suma de dos números es 38 y su diferencia es 8. Hallar los
números.
b. El perímetro de una sala rectangular es 18 metros y 4 veces el largo
equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones de la sala.
c. En un teatro, 10 entradas de adulto y 9 de niños cuestan $81.500; 17 entradas de niños y 14 de adultos cuestan $134.500. Hallar el
precio de una entrada de adulto y de una de niño.
d. La diferencia entre dos números es 17. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4. Hallar los números.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
49 MATEMÁTICAS
GRAFIQUEMOS FUNCIONES CUADRÁTICAS
LOGRO
COMPETENCIAS
INTERPRETATIVA: Identifica las propiedades de la función cuadrática y construye su gráfica apoyado en tales propiedades.
ARGUMENTATIVA: Justificar el planteamiento y desarrollo de conjeturas.
PROPOSITIVA: Propone métodos de solución diferentes al propuesto por el docente.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Momento A: Apropiación de conceptos
Momento B: Análisis y propuesta de solución de problemas
Momento C: Práctica en el contexto
Momento D: capacidad de hacer nuevas propuestas e inventiva.
Cumplimiento y responsabilidad con trabajos y tareas
Participación activa
Puntualidad
Asistencia
I PERIODO II PERIODO
Construir la grafica de una función cuadrática identificando en
ella sus características principales de desplazamiento, eje de
simetría, puntos de corte con el eje y posición.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
50 MATEMÁTICAS
CONTENIDOS
UNIDAD DIDÁCTICA: Grafiquemos funciones cuadráticas
Guía
Tema
Subtemas
Logros
Estándares
Tiempo
Nº 1
Función
Cuadrática
Concepto. Gráfica de una
función
cuadrática Ceros, raíces o
soluciones de una función
cuadrática.
Comprende las características
de la función cuadrática y su
representación gráfica.
Halla e interpreta los
ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática.
Identificar relaciones
entre propiedades
de las gráficas y propiedades de las ecuaciones
algebraicas.
4 semanas
Nº 2
Ecuación
Cuadrática
Solución de
ecuaciones cuadráticas incompletas.
Solución de ecuaciones
cuadráticas completas.
Identifica
ecuaciones cuadráticas.
Resuelve ecuaciones cuadráticas por
factorización y fórmula general.
Usar
procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
4 semanas
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
51 MATEMÁTICAS
GUIA No. 01 (4 SEMANAS)
PRESABERES. Trabajo Individual.
Intenta resolver los siguientes ejercicios relacionados con el tema que vamos a trabajar:
I. Resolver las siguientes ecuaciones.
a. 604 x
b. 73
5x
c. 65155 x
d. 219
73
x
II. Marcar con una X la ecuación en la cual la pareja 1,2, yx es
solución.
a. 022 x
b. 0 yx
c. 022 yx
d. 042 yx
III. Factorizar los siguientes polinomios.
a. 1662 xx
b. 4379 2 xx
c. 656 24 xx
d. 482 24 xx
MATEMÁTICAS
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
52
IV. Hallar el valor numérico de la expresión √ si
a.
b.
V. Si la suma de dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 50, los
números son:
a. 3 y 5
b. 4 y 4
c. 2 y 6
d. 1 y 7
¿Qué es una función cuadrática?
De la misma manera como aprendimos a graficar funciones lineales o de
primer grado, donde siempre resultaba una línea recta, podemos también graficar funciones cuadráticas o de segundo grado; reconocer en ella su
forma y su gráfica. Para ello, debemos comenzar por decir, que una función cuadrática es aquella que tiene la forma:
( ) donde y
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
53 MATEMÁTICAS
EJEMPLOS:
( )
( )
( )
( )
Las funciones cuadráticas también reciben el nombre de funciones de
segundo grado, debido a que el exponente del término es 2.
Al representar gráficamente una función cuadrática se obtiene una curva llamada parábola.
La parábola que representa una función cuadrática puede abrir hacia arriba o hacia abajo.
Si en la función entonces la parábola abre
hacia arriba.
En este caso, existe un punto mínimo llamado vértice.
Si en la función entonces la parábola abre
hacia abajo.
En este caso, el vértice es un punto máximo.
La recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola, se
denomina eje de simetría.
El valor de en la función , también indica la abertura de
la parábola. Así, si:
a >1, la parábola es más estrecha, en relación con la parábola donde
1a .
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
54 MATEMÁTICAS
a <1, la parábola es más ancha, en relación con la parábola donde
1a .
EJEMPLO: Para graficar la función ( ) debemos tener en cuenta lo
siguiente:
Como , entonces la gráfica abre hacia arriba. El vértice es un
punto mínimo y esta ubicado en el origen del sistema cartesiano.
El eje de simetría es el eje .
, por tanto no es ni muy estrecha, ni muy ancha.
Para realizar la gráfica de la función ( ) , lo primero que se debe
hacer es construir una tabla de valores con variando entre -2, y 2; para
luego ubicar las parejas ordenas ( ) en un plano cartesiano y después
con éstos puntos trazar una parábola.
Así: ( )
2 1 0 1 2
( ) 4 1 0 1 4
4)2).(2()2()2( 2 f
1)1).(1()1()1( 2 f
0)0).(0()0()0( 2 f
1)1).(1()1()1( 2 f
4)2).(2()2()2( 2 f
-1
-1 -2 -3 1 2 3
1
2
3
4
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
55 MATEMÁTICAS
EJERCICIO RESUELTO
Construir la grafica de la función ( ) .
SOLUCIÓN
( )
84.2)2).(2(2)2(2)2( 2 f
21.2)1).(1(2)1(2)1( 2 f
00.2)0).(0(2)0(2)0( 2 f
21.2)1).(1(2)1(2)1( 2 f
84.2)2).(2(2)2(2)2( 2 f
La forma general de una función cuadrática es: ( ) y
como tal podemos encontrar 4 tipos de funciones cuadráticas, las cuales se diferencian únicamente por los términos que contenga. Estos casos
son:
A. Cuando la función tiene sólo el término cuadrático, o sea ( ) .
B. Cuando se compone de dos términos, el cuadrático y el de grado cero.
Entonces decimos que la función tiene la forma ( ) .
C. Cuando los términos que contiene son el cuadrático y el lineal, la
función presenta la forma: ( )
D. Cuando la expresión está completa, ya que tiene todos los términos de la ecuación en su forma general. Es entonces cuando la función tiene la
forma: ( ) .
x 2 1 0 1 2
)(xf 8 2 0 2 8
-1
-1 -2 -3 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
56 MATEMÁTICAS
Ahora solo nos queda por ver cada una de las formas anteriores y analizar para cada una sus características principales como vértice, eje de simetría,
traslación, etc.
CASO A: ( ) , donde y .
Para analizar las características de una función cuadráticas que posea esta
forma, vamos a construir la gráfica de la función ( ) y
posteriormente seguimos graficando otras funciones que tengan la misma forma sobre un mismo plano cartesiano, para ir observando el
comportamiento de la parábola en la medida que el coeficiente de la
variable aumenta o disminuye de valor.
( ) ( ) ( )
SOLUCIÓN
Para graficar cada una de estas funciones, lo primero que se debe hacer es
construir una tabla de valores para cada una de ellas.
2)( xxf
x 2 1 0 1 2
)(xf 4 1 0 1 4
22)( xxf
x 2 1 0 1 2
)(xf 8 2 0 2 8
2
2
1)( xxf
x 2 1 0 1 2
)(xf 2
2
1
0
2
1 2
-1 -2 -3 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
57 MATEMÁTICAS
( )
a. Todas las parábolas tienen el vértice en el punto (0,0) o también llamado origen del sistema.
b. El eje de simetría de todas las gráficas es el eje .
Grafica las siguientes funciones cuadráticas de la forma ( )
sobre un mismo plano cartesiano y luego contesta las preguntas para
cada uno de los ejemplos.
a. b. ( ) c. ( )
PREGUNTAS DE ANÁLISIS
a. ¿Cuál es el vértice de la gráfica?
b. ¿Cuál es su eje de simetría?
c. ¿Hacia donde abre la parábola?
d. ¿Cuándo a > 1 qué comportamiento asume la gráfica?
e. ¿Cuándo a < 1 qué ocurre con la parábola?
CASO B: ( ) donde 0b
La gráfica de la función ( ) se obtiene trasladando c
unidades la gráfica de la función ( ) Si c >0, la traslación es hacia arriba.
Si c <0, la traslación es hacia abajo.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
58 MATEMÁTICAS
El eje de simetría es el eje y y el vértice de la parábola es le punto
),0( c o el punto ),0( c , según sea la traslación.
EJEMPLO: Graficar las funciones y sobre un
mismo plano cartesiano.
SOLUCIÓN
Se grafica la parábola luego, para graficar se
traslada 2 unidades arriba, y para graficar se traslada 2
unidades abajo.
2)( xxf
2)( 2 xxf
x 2 1 0 1 2
)(xf
2)( 2 xxf
x 2 1 0 1 2
)(xf 2
ANÁLISIS DE LA GRÁFICA:
a. ¿Cuál es el vértice de cada una de las parábolas?
b. ¿Cuál es el eje de simetría para cada función?
c. ¿Cuál es la traslación para cada una de las gráficas y a que valor
corresponde dentro de la forma general de la función?
x 2 1 0 1 2
)(xf 4 1 0 1 4
x
-1 -2 -3 1 2 3
1
2
3
4
5
-1
-2
6
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
59 MATEMÁTICAS
Ahora, grafica las siguientes funciones cuadráticas de la forma
( ) y luego contesta las preguntas para cada uno de los
ejemplos.
a. ( )
b. ( )
PREGUNTAS DE ANÁLISIS
a. ¿Cuál es el vértice para cada gráfica?
b. ¿Cuál es su eje de simetría?
c. ¿Si c > 0 hacia donde se traslada la gráfica?
d. ¿Qué pasa sí c < 0?
C: ( ) , donde
En este caso el eje de simetría de la parábola es una recta paralela
al eje .
Para representar gráficamente esta función, se elabora una tabla de valores, teniendo en cuenta que las coordenadas del vértice se hallan
haciendo
y remplazando dicho valor en la función dada.
EJEMPLO: Representar gráficamente la función
SOLUCIÓN
Como y , la parábola abre hacia abajo.
Para determinar las coordenadas del vértice, se remplazan los valores de 2a y 4b en la fórmula, así:
a
bx
2
=
)2(2
4
= 1
Como x=1, entonces reemplazo este valor en la función para encontrar el valor de la coordenada en y
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
60 MATEMÁTICAS
El valor de es:
( ) ( )
Para encontrar los puntos de corte con el eje la función se iguala a cero
y luego se factoriza.
( )
Luego, al representar gráficamente la función se obtiene:
( )
x 2 1 0 1 2
)(xf 16 6 0 2 0
ANÁLISIS DE LA GRÁFICA:
a. La parábola tiene vértice en el
punto (1, 2).
b. Su eje de simetría es la recta
paralela al eje .
c. Los puntos de corte de la gráfica
con el eje , son los puntos (0, 0) y (2, 0)
1 2 3 4 -1 -2 -3
-1
-2
-3
1
2
3
-4
Luego, el vértice está en el punto (1, 2)
Por tanto los puntos de corte con el
eje x son los puntos 0x y 2x .
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
61 MATEMÁTICAS
Encontrar, sin hacer la gráfica, hacia dónde abre la parábola, el vértice y
los puntos de corte con el eje de la parábola ( ) Luego,
responder las preguntas.
a. ¿Hacia donde abre la gráfica?
b. ¿Cuál es el eje de simetría de la curva?
c. ¿Cómo se pueden encontrar los puntos de corte con el eje ?
CASO D: ( )
La gráfica de la función ( ) se puede obtener a partir de la
parábola que representa la función ( ) trasladando la gráfica
unidades hacia arriba sí o unidades hacia abajo si
Por ejemplo, la función ( ) es una traslación de la función
( )
Comprobar que la función ( ) es una traslación de la
función ( ) construyendo la gráfica de ambas funciones
elaborando tablas de valores. Luego, responde las siguientes preguntas.
a. ¿Cuál es el vértice de la función ( ) ?
b. ¿Cuál es el eje de simetría de la curva?
c. ¿Cuántas unidades se ha desplazado la parábola?
d. ¿Existen puntos de corte con el eje Si, no, Porqué?
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
62 MATEMÁTICAS
I.
Se denominan ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática los
puntos de corte de la gráfica con el eje .
Dependiendo de los puntos de corte (si existen), se presentan tres casos:
CASO 1: LA PARÁBOLA CORTA EL EJE X EN UN SOLO PUNTO Esto significa que el vértice está sobre el eje . En este caso se dice que la
solución es un único valor real.
Por ejemplo: Al graficar la función ( ) nos damos cuenta
que la gráfica solo tiene un cero o una solución que es
Así, para encontrar los ceros o raíces de la función ( ) solo
debemos igualar el polinomio a cero y luego factorizar.
ACTUALIDAD
El estudio de las funciones cuadráticas se aplica
en la ingeniería civil, para resolver problemas
específicos como la construcción de puentes
colgantes que se encuentran suspendidos en uno
de los cables amarrados a dos torres. Los
biólogos utilizan las funciones cuadráticas para
estudiar los efectos nutricionales de los
organismos.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
63 MATEMÁTICAS
( )( )
( ) Despejando la
Por tanto, el valor de es -2
CASO 2: LA PARÁBOLA CORTA EL EJE X EN DOS PUNTOS
En este caso se dice que la función tiene dos soluciones reales y
diferentes. Por ejemplo: Si queremos graficar la función
podemos ver que la gráfica tiene dos ceros reales o soluciones que son
y .
Para encontrar los ceros o raíces de la función ( ) se iguala el
polinomio a cero y luego despejar la
√ √
y
Por tanto, los valores de son 1 y -1
1
3
4
-1
-1 -2 -3 1 2 -4
2
1 2 3 -1 -2 -3
-1
-2
-3
1
2
3
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
64 MATEMÁTICAS
CASO 3: LA PARÁBOLA NO CORTA EL EJE X.
En este caso se dice que la función no tiene soluciones en los números
reales. Sus raíces o soluciones son números complejos. Por ejemplo: al
graficar la función podemos ver que la gráfica no corta el eje .
No es posible encontrar los valores de la que hagan que la función valga
cero. Ya que al igualar el polinomio a cero y tratar de despejar la , no se
puede hacer.
√ √
Como conclusión, la función anterior no tiene ceros (no corta el eje ) o no
tiene solución en los números reales.
I. Encuentra los ceros, raíces o soluciones de las siguientes funciones cuadráticas y luego realiza la gráfica indicando a que caso pertenece.
a. 23)( xxf
b. xxxf 3)( 2
c. 82)( 2 xxf
d. xxxf 5)( 2
NO ES POSIBLE SACAR RAIZ
CUADRADA A UN NÚMERO NEGATIVO
EN LOS REALES
Por tanto, el valor de x es un número Complejo
-1 -2 -3 1 2 3
1
2
3
4
5
-1
6
No tiene soluciones Reales
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
65 MATEMÁTICAS
II. Inventar los elementos que hacen falta para construir la gráfica de una función cuadrática que cumpla cada condición.
a) Una de sus soluciones es el punto (3, 0).
b) No tiene soluciones reales.
c) Tiene como única solución el punto (-1, 0).
d) Tiene una solución real y abre hacia abajo.
ACTIVIDADES EXTRACLASE. Trabajo Individual.
Este momento se desarrollará proponiendo ejercicios de aplicación del tema visto. Estos ejercicios contienen el desarrollo de competencias y
transversalidad con otras áreas del conocimiento:
I. Identificar cuáles de las siguientes expresiones corresponden a
funciones cuadráticas.
a.
b. ( )
c.
d.
e. ( )
f.
II. Indicar hacia dónde abre la parábola que representa cada función
cuadrática. a. ( )
b.
c. ( )
d.
e.
f. ( )
III. Graficar los siguientes conjuntos de funciones cuadráticas. Utilizar un
plano para cada conjunto.
a.
b.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
66 MATEMÁTICAS
c.
IV. Hallar el vértice y los puntos de corte con el eje de las siguientes
parábolas. Luego graficar.
a. ( )
b.
c. ( )
d.
e. ( )
f.
g. ( )
h.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
67 MATEMÁTICAS
GUIA No. 02 (4 SEMANAS)
PRESABERES. Trabajo Individual.
Lee el siguiente fragmento y responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:
¿En la época de la edad Media, qué movimiento se creía que daba un proyectil al ser
disparado?
¿Quién desarrollo la moderna teoría del movimiento y gracias a que situación fue
desarrollada?
Matemáticamente hablando, que se utiliza para resolver problemas relacionados con
proyectiles?
Historia de las matemáticas
La descripción de la trayectoria de un proyectil desde su salida hasta el punto en donde toca
el suelo, fue uno de los grandes problemas de la ingeniería militar medieval.
En la edad Media se creía que los proyectiles ascendían oblicuamente hasta que se gastaba
su provisión de ímpetus, una especie de fuerza que le imprimía la pólvora a la bala. Agotado
el ímpetus, el proyectil caía perpendicularmente al suelo.
Esta teoría del movimiento entraba en desacuerdo con la observación: los proyectiles
parecían describir una curva y no una línea quebrada.
La moderna teoría del movimiento, que aparece con Galileo, debe muchos de sus logros al
problema del movimiento del proyectil. Desde el siglo XVII se sabe que la trayectoria de un
proyectil es una curva de segundo grado. A partir de entonces, muchos de los problemas
relacionados con estas trayectorias se resuelven usando ecuaciones cuadráticas.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
68 MATEMÁTICAS
Una ecuación de la forma con y se
denomina ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado.
Dependiendo del valor de las constantes y las ecuaciones cuadráticas
se clasifican en incompletas y completas.
Ecuaciones incompletas: Son aquellas en las cuales 0b o 0c .
Ejemplos:
053 2 xx 072 2 x 04 2 x
Ecuaciones completas: Son aquellas en las cuales 0b y 0c .
Ejemplos:
En la solución de una ecuación incompleta, se pueden distinguir tres
casos:
Solucionar una ecuación cuadrática consiste en encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.
Gráficamente, la solución representa los cortes, si los hay, de la parábola con el eje
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
69 MATEMÁTICAS
CASO 1: Ecuación de la forma
En este caso, al despejar la variable la única solución es Es decir,
la ecuación tiene una solución real.
EJEMPLO: Resolver la ecuación
SOLUCIÓN:
√ √
CASO 2: Ecuación de la forma
Se factoriza la variable y se iguala a cero cada uno de los factores
determinados.
EJEMPLO: Resolver la ecuación
SOLUCIÓN: Se extrae el factor común y se despeja la así:
( )
o
CASO 3: Ecuación de la forma
Se despeja la variable y se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros.
Se obtienen dos soluciones diferentes dependiendo del tipo de raíz, las soluciones pueden ser reales o complejas.
En este caso el valor de la
variable siempre será 0
Luego, las soluciones son:
y
Soluciones reales.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
70 MATEMÁTICAS
EJEMPLO 1: Resolver la ecuación
SOLUCIÓN:
√ √
y
EJEMPLO 2: Resolver la ecuación
SOLUCIÓN: Revisar el ejercicio del Caso 3 para encontrar los Ceros,
raíces o soluciones de la función cuadrática. Cuando la variable tiene
soluciones complejas.
Para resolver una ecuación completa, de la forma , se
utilizan tres métodos: solución por factorización, solución por completación de cuadrados y solución por fórmula general.
Para el desarrollo de este tema, solo vamos a revisar la solución por
fórmula general. Los otros dos casos se dejan para que el estudiante los consulte.
SOLUCIÓN POR FÓRMULA GENERAL
Para resolver una ecuación cuadrática completa existe una fórmula
matemática con la cual al reemplazar los valores de y dentro de la
misma, se realizan todos los procedimientos matemáticos y encontramos
los dos valores de la variable . Veamos un ejemplo:
En este caso la variable tiene 2
valores: y
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
71 MATEMÁTICAS
√
EJEMPLO: Determinar las soluciones de la ecuación utilizando la fórmula
general de la ecuación cuadrática.
SOLUCIÓN: Se tiene la ecuación
Como la ecuación tiene la forma entonces los valores
de y son:
√
( ) √( ) ( )( )
( )
√
Luego, las soluciones de la ecuación son: y
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
72 MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES EXTRACLASE. Trabajo Individual.
Este momento se desarrollará proponiendo ejercicios de aplicación del tema visto. Estos ejercicios contienen el desarrollo de competencias y
transversalidad con otras áreas del conocimiento:
I. Subrayar las ecuaciones que sean cuadráticas incompletas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
II. Resolver las ecuaciones cuadráticas incompletas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
III. Resolver cada una de las ecuaciones cuadráticas completas, usando la fórmula general.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
73 MATEMÁTICAS
COMPROBEMOS LO APRENDIDO.
I. Reúnete con tus compañeros y busca las siguientes palabras en la sopa
de letras.
M I U H B K F Z Y A J L B N N H Q F Z L B J F V N
L O L E L A R A P O I R W O F G S Y U P T A G H H
B O A N Z A V F J P R M X X Q O V A C N O C P V Z
C L B S O R J R I Y T K V D U R V X Y R R T W K W
F L Y C K D R T S G A J Z M C B S N O Q K T T F K
L B Z Q Y N L P N R C S O B F A E D O P H E R G V
A B F W Z N H U L N W U O I N W A V W I G Z I L C
R Z E F P H N Q A V A T A R E Z T J E I C X B L I
E Q N O I C A U C E T Y N D E X B W M E D U M Z B
N E N P H S C M F C I V W I R C H A H K S F L K K
E J C J Q K A O G O N Z X F I A N M W F J L D O Z
G L U N C C H K F O G W Z N Z M T U E G A H E S S
A K W J O A I M X R O R V L N T B I J M Y B G C J
L J E F R Q B H W D C K U Z M A E M C C V I P K I
U V E R T I C E B E N Q M X X D G V A A J A W T I
M Y S I X F S S R N I M I P I L C Q Q N R F M B S
R F J A M F Q Q B A Z E P B U C U Y I A S K W X Z
O Z E J J F J Q F D E R V A O V S W B D S M Y P U
F L Z R Z D E B E A V B N B I K O O G E V P G I L
E U W W E J W S V S V Q D G P R L L C R X A G E Q
W X Z Y X I H B U I R O I E R A T I Z Q W M U G O
T C W P X H B C D E E C X Z R X A E S V M J R R A
N O J I W P T D Y S Z D L Q J R F G M P B U G O Q
A L F H M B S W G R A C I S M O Y M M I I Z N D K
J Y C G H B E T T L L J H Q Z I T E D K S P L C P
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
74 MATEMÁTICAS
Cuadrática
Parábola
Vértice Simetría
Cóncavo
Solución Paralelo
Coordenada Ceros
Raíces
Ecuación Incógnita
Fórmula general
II. TRANSVERSALIDAD CON OTRAS AREAS. Trabajo cooperativo.
Realiza la siguiente lectura y con base en ella resuelve los ejercicios
propuestos:
CIENCIAS: En la naturaleza existen muchos animales que tienen la
capacidad de hacer saltos de gran altura. Por ejemplo, el antílope de África meridional puede saltar 15 veces su propia altura, el canguro rojo que
mide 2 metros, puede saltar hasta los 3 metros de alto, la pulga común
puede saltar hasta una altura de 130 veces su tamaño corporal.
Este tipo de saltos se pueden mostrar usando gráficas que suponen una parábola, y se hace su análisis a partir del estudio de las características de
ese tipo de gráficas.
La gráfica de la derecha representa la altura alcanzada por una pulga en un salto.
0,1
0,2 0,3 0,4
0,5
0,6
1
2
3
4
5
Segundos
Centímetros
6
7
0,8
0,7
a. ¿Cuál es la altura
máxima alcanzada por la pulga?
b. ¿A los cuántos
segundos la pulga alcanza el punto
más alto?
c. ¿En qué momento la pulga esta a 5
centímetros de altura?
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
75
MATEMÁTICAS
III. CONCEPTUALIZACIÓN DEL TEMA. Trabajo Individual.
Teniendo en cuenta el siguiente mapa conceptual, escribe un párrafo donde expliques con tus propias palabras lo que aprendiste acerca de la
solución de las ecuaciones cuadráticas.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Se define como
𝑦 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 con 𝑎 𝑏 𝑐 𝑅 y 𝑎
Se presentan los casos
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 con 𝑎 𝑏 𝑐 𝑅 y 𝑎
de la forma
Ecuaciones Incompletas
𝑎𝑥
𝑎𝑥 𝑐
y pueden ser
Ecuaciones Completas
Ecuaciones cuadráticas
se resuelve por
𝒙 𝒃 √𝒃𝟐 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
𝑎𝑥 𝑏𝑥
determina
que son de la forma
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
76
MATEMÁTICAS
Las siguientes son preguntas de selección múltiple con única respuesta.
I. El punto (-2,1) pertenece a la parábola:
a.
b.
c.
d.
II. Según la siguiente gráfica, la proposición incorrecta es:
III. La parábola más ancha es:
a.
b.
c.
d.
IV. La parábola cuya coordenada del vértice es (
)
a.
b.
c.
d.
𝒙
𝒚
-1
-1
1
1
a. El eje de simetría es 𝑥
b. El vértice es el punto
( )
c. Los ceros de la función son
𝒙𝟏 𝟏 y 𝒙𝟐 𝟏
d. El eje de simetría es 𝑦
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
77
MATEMÁTICAS
V. Una ecuación cuadrática que tiene por soluciones y es:
a.
b.
c.
d.
VI. La solución de la ecuación √ es:
a.
b.
c.
d.
VII. La solución de la ecuación √ √ es:
a.
b.
c.
d.
VIII. Cierto número de dulces costaron $3.600. Si cada dulce costara $20 menos, habría comprado 6 dulces más. La ecuación que corresponde
al problema es:
a. ( )
b. (
) ( )
c. (
) ( )
d. (
)
IX. La suma de un número entero con su recíproco es
Los números
son:
a. y
b.
y
c. y
d.
y
X. De las siguientes afirmaciones la falsa es:
a. El vértice de una parábola de la forma se encuentra
con la fórmula
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
78 MATEMÁTICAS
b. Si en la parábola ésta abre hacia abajo.
c. Si las raíces de la ecuación son reales.
d. La ecuación tiene solución para
Resuelve los ejercicios propuestos en cada numeral.
I. Graficar las siguientes funciones cuadráticas teniendo en cuenta las
características de cada caso.
a. CASO 1: ( ) Tabla de valores
b. CASO 2: ( ) Desplazando la gráfica c unidades
c. CASO 3: ( ) Hallar vértice y puntos de corte
d. CASO 4: ( ) Hallar vértice, puntos de corte y
desplazando c unidades la parábola.
II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas, de acuerdo al método que
se indica al frente:
Ecuaciones Incompletas
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Ecuaciones Completas
a. fórmula general
b. fórmula general
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
79
MATEMÁTICAS
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
80
MATEMÁTICAS
ANALICEMOS INFORMACIÓN A PARTIR DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
COMPETENCIAS:
INTERPRETATIVA: Interpreta gráficas donde se recogen datos de situaciones cotidianas y deduce información a partir de ellas.
ARGUMENTATIVA: Elabora tablas de frecuencias a partir de un
conjunto de datos.
PROPOSITIVA: Propone situaciones que involucren la recolección sistemática y organizada de datos.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Momento A: Apropiación de conceptos
Momento B: Análisis y propuesta de solución de problemas
Momento C: Práctica en el contexto
Momento D: capacidad de hacer nuevas propuestas e inventiva.
Cumplimiento y responsabilidad con trabajos y tareas
Participación activa
Puntualidad
Asistencia
LOGRO
Identifica y maneja los conceptos básicos de
estadística. Plantea situaciones a partir de gráficos hechos y le hace el respectivo análisis de
la información.
III PERIODO
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
81
MATEMÁTICAS
CONTENIDOS
UNIDAD DIDÁCTICA: Analicemos información a partir
de gráficos estadísticos
Guía
Tema
Subtemas
Logros
Estándares
Tiempo
Nº 1
Concepto
básicos de estadística
y tablas de frecuencias
Población, muestra y
variables. Tablas de
frecuencias absolutas, relativas y porcentuales.
Identifica y maneja los
conceptos básicos de estadística.
Elabora tablas de frecuencias a partir de un conjunto de datos.
Reconocer que diferentes
maneras de presentar la información,
pueden dar origen a distintas interpretaciones.
3 semanas
Nº 2
Representa
ciones gráficas de
datos
Diagrama de barras.
Diagrama circular.
Histograma. Polígono de
frecuencias.
Construye representaciones gráficas de la información obtenida de una tabla de
frecuencias.
Interpretar analítica y críticamente información estadística proveniente
de diversas
fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos,
consultas, entrevistas).
3 semanas
Nº 3
Medidas de
tendencia central
Media aritmética o promedio.
Mediana o valor central.
Moda.
Calcula la media, la mediana y la moda a partir de
los datos obtenidos mediante una encuesta.
Interpretar conceptos de media,
mediana y moda.
2 semanas
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
82
MATEMÁTICAS
GUIA No. 01 (2 SEMANAS)
1. MOTIVACION. Trabajo cooperativo.
Realiza la lectura del siguiente fragmento:
Historia
El origen de la Estadística se remonta a los comienzos de la historia. En los antiguos monumentos egipcios se han encontrado documentos según los cuales, a partir del año 3050 a. de C., se llevaban cuentas de los movimientos de población y continuamente hacían censos, bajo la dirección del faraón.
En la Biblia, por ejemplo, en el libro de los Números, se encuentra registrado el censo que realizó Moisés después de la salida de Egipto.
En China, Confucio en uno de sus clásicos Shu-King escrito hacia el año 550 a de C., narra como el rey Yao, ordenó hacer una estadística agrícola, industrial y comercial.
Grecia también tuvo importantes observaciones estadísticas en lo que se refiere a distribución de terreno, servicio militar, entre otras. Sócrates, Herodoto y Aristóteles, a través de sus escritos incentivaron la estadística por su importancia para el Estado.
Con Carlo Magno, en Francia regresaron las estadísticas a Europa, teniendo un carácter netamente financiero y administrativo. En Inglaterra Guillermo el conquistador mandó a realizar una especie de catastro, que constituyó un documento estadístico administrativo.
A mediados del siglo XVII, gracias a Vito Seckendorff y, sobre todo, a Germán Conring la estadística se empezó a considerar como la descripción de los hechos notables de un estado. Conring perfeccionó y mejoró notablemente la nueva tendencia, sistematizando los conocimientos y los datos. El mejor de sus seguidores fue Godofredo Achenwall, quién consolidó definitivamente los postulados de esta nueva ciencia y le dio el nombre de “estadística”, palabra que etimológicamente se deriva de la palabra status que significa estado o situación.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
83
MATEMÁTICAS
CONVERSATORIO
Responde las siguientes preguntas sobre la lectura anterior
¿Qué hechos demuestran los orígenes de la estadística en Egipto?
¿Qué registro bíblico demuestra la existencia de la estadística?
¿Qué hecho demostró en China (550 a.C.) la existencia de la
estadística?
¿Cómo se aplicó en Grecia la estadística?
¿Qué aportes hizo Germán Conring al desarrollo de la estadística?
¿A qué matemático se le atribuye el origen de la palabra estadística?
2. PRESABERES. Trabajo Individual.
Intenta resolver los siguientes ejercicios relacionados con el tema que vamos a trabajar:
I. Reducir:
a. 3
7
4
12
5
4
b. 25% + 75% + 31%
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
84
MATEMÁTICAS
c. 30
7441331313825216
II. Ordenar los siguientes números en forma creciente.
14, 12, 32, 5, 24, 72, 7, 36, 23, 17, 10, 9, 30
III. Hallar:
a. El 5% de 20
b. El 80% de 47
c. El 25% de 89
d. El 50% de 550
IV. Simplificar hasta su mínima expresión cada fracción, luego, expresar
cada fracción simplificada como número decimal.
a. 36
88
b. 100
25
c.
11
33
d. 120
104
e. 6
12
V. Hallar las siguientes potencias:
a. 25
b. 52
c. 24
d. 42
e. 110
f. 106
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
85
MATEMÁTICAS
¿Qué es Estadística?
La estadística es la ciencia que trata de la recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos, con el fin de hacer
deducciones y previsiones a partir de ellos. Según su objetivo, la estadística puede ser descriptiva o inductiva.
La estadística descriptiva se centra en obtener conclusiones sobre un
conjunto de datos sin hacer predicciones o generalizaciones a partir de
ellos.
La estadística inductiva tiene por objeto establecer conclusiones o predicciones sobre una población, basándose en los resultados obtenidos
de un conjunto de datos.
El conjunto de individuos o elementos que son objeto de un estudio
estadístico, se denomina población. En la mayoría de los casos, dado el
tamaño de la población, resulta mucho más práctico estudiar una parte representativa de la misma, la cual es llamada muestra.
ESTADÍSTICA
Descriptiva Inductiva
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
86
MATEMÁTICAS
La característica que se desea estudiar en una población recibe el nombre de variable estadística.
Por ejemplo, al considerar un estudio sobre la producción de trigo en el
mundo, la población es el conjunto de los países del mundo y la variable estadística es la producción de trigo.
Las variables estadísticas se clasifican en cuantitativas y cualitativas.
Si los valores que toma una variable son numéricos, entonces dicha
variable es cuantitativa. Pero si la variable representa valores que no son numéricos, es cualitativa.
Por ejemplo, la estatura, el peso, la edad, la producción agrícola mensual o el número de accidentes automovilísticos son algunas variables
cuantitativas; mientras que el sexo, el estado civil, la raza y las preferencias culturales de una comunidad son ejemplos de variables
cualitativas.
Una variable cuantitativa es continua si toma cualquier valor intermedio entre dos valores dados; y es discreta, si toma pocos valores.
POBLACIÓN Y MUESTRA
Variable estadística
Cualitativa Cuantitativa
Discreta Continua
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
87
MATEMÁTICAS
Son ejemplos de variables continuas la estatura de las personas de un grupo y la velocidad de un vehículo. Y son variables discretas el número de
hijos de una familia, el número de páginas de un libro y el número de viviendas en un edificio, entre otras.
Resulta un ejercicio interesante analizar las variables de tipo estadístico que se manejan a diario en los medios de comunicación, Por ejemplo, el
número promedio de nacimientos en un país o en una ciudad, los índices
de inflación a lo largo de una década o el número de partidos ganados por un equipo de fútbol en un campeonato.
I. TABLAS DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS, RELATIVAS Y PORCENTUAL
Para ordenar y estudiar los datos de una variable estadística se utilizan tablas de frecuencias. Una tabla de frecuencias se elabora teniendo en
cuenta el número de datos y el tipo de variables que se van a estudiar.
Datos No Agrupados. Variable Estadística Discreta
Cuando la variable x toma pocos valores, éstos se registran en una tabla de dos columnas. En la primera columna se escriben los valores de la
variable en forma creciente y en la segunda columna se escribe el número de veces que aparece cada uno de ellos. Este número se llama frecuencia
absoluta y se representa por . La suma de las frecuencias absolutas
de la tabla debe ser el total de la muestra. La cantidad de elementos de la
muestra se representa, de manera general, mediante la letra
Al dividir las frecuencias absolutas , entre el número de total de datos
, se obtiene la frecuencia relativa
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
88
MATEMÁTICAS
Al multiplicar los valores de la frecuencia relativa por 100, se obtiene la
frecuencia porcentual, que se representa con el símbolo % (por ciento).
Es decir,
La suma de las frecuencias porcentuales de la tabla es igual a 100.
Por ejemplo, Alicia tiene una colección de libros e historietas, al
organizarlos los clasificó por colores y luego por el número de páginas.
Portada azul: 10 páginas, 15 páginas, 15 páginas, 18 páginas.
Portada verde: 15 páginas, 15 páginas, 18 páginas, 18 páginas, 20 páginas, 20 páginas, 22 páginas.
Portada amarilla: 10 páginas, 20 páginas. 20 páginas, páginas.
En estos datos se identifican dos variables: el color, que es una variable
cualitativa y el número de páginas que es una variable cuantitativa discreta.
Para organizar la información se elabora una tabla de frecuencias para el número de páginas y otra para el color.
Tabla de frecuencias x
if ih %
Azul 4 0,27 27 Verde 7 0,46 46 Amarillo 4 0,27 27 n 15 1 100%
Tabla de frecuencias x
if ih %
10 2 0,13 13 15 4 0,27 27 18 3 0,2 20 20 5 0,33 33 22 1 0,07 7 n 15 1 100%
FRECUENCIAS
Absoluta Relativa Porcentual
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
89
MATEMÁTICAS
Del análisis de las tablas anteriores se puede concluir que, en la colección de libros hay libros de portada verde, hay el mismo número de libros de
portada azul y amarilla, de los libros con mayor número de páginas solamente hay uno, con menor número de páginas hay dos, la mayor
cantidad de libros tienen 20 páginas, el 20% de los libros tienen 18
páginas.
Datos Agrupados. Variable Estadística Continua
Para estudiar una variable estadística continua, se agrupan los datos en
intervalos de la misma amplitud, denominados intervalos de clase. Se acostumbra a tomar entre 5 y 18 intervalos según el número de datos
de la población o muestra estudiada.
La longitud de cada intervalo se calcula mediante el siguiente proceso:
a. Se halla la diferencia entre el mayor valor MX y el menor valor mX que
toma la variable . Esta diferencia se llama rango o recorrido. Es
decir,
mM XXRango
b. Se divide el rango entre el número de intervalos definidos para
determinar la longitud de cada intervalo. Es decir,
Longitud del intervaloervalosdeeroNum
XX mM
int.....
Cuando el resultados de la operación anterior no es un número entero, se
redondea al entero inmediatamente mayor.
Los intervalos usados en estadística son de la forma ba, ). Esta notación se
usa para indicar que el intervalo incluye todos los valores mayores o
iguales que y menores que . El número es el límite inferior y el
número es el límite superior.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
90
MATEMÁTICAS
El valor central de cada intervalo se llama marca de clase, el cual se nota
cM y se calcula haciendo 2
baM c
.
Las marcas de clase se utilizan para nombrar los intervalos a los que
pertenecen.
EJEMPLO: Al medir la longitud en milímetros de 50 tornillos, se
obtuvieron los siguientes resultados:
101; 103; 100; 102; 101; 104; 103; 105; 106; 107; 108; 109; 110;
111; 102; 112; 104; 105; 106; 108; 106; 101; 104; 107; 106; 115;
112; 110; 106; 109; 107; 103; 104; 110; 114; 118; 109; 117; 109;
110; 111; 104; 106; 116; 115; 113; 101; 112; 106; 112.
a. Elaborar una tabla de frecuencias para organizar los datos obtenidos.
b. Analizar la información y enunciar las conclusiones del análisis.
SOLUCIÓN
a. Inicialmente se organizaron los datos en forma creciente.
100; 101; 101; 101; 101; 102; 102; 103; 103; 103; 104; 104; 104; 104;
104; 105; 105; 106; 106; 106; 106; 106; 106; 106; 107; 107; 107;
108; 108; 109; 109; 109; 109; 110; 110; 110; 110; 111; 111; 112; 112;
112; 112; 113; 114; 115; 115; 116; 117; 118.
Para realizar la tabla de frecuencias se agruparán los datos en 6 intervalos.
Como el mayor valor es 118MX y el menor valor es 100mX , la longitud
de cada intervalo es 3, pues
36
18
6
100118
6
mM XX
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
91
MATEMÁTICAS
Con lo cual los intervalos son: 103,100 ), 106,103 ), 109,106 ), 112,109 ),
115,112 ), 118,115 . La notación del último intervalo significa que está
incluido el valor 118. Así, la tabla de frecuencias correspondiente es:
ACTIVIDADES EXTRACLASE. Trabajo Individual.
PRÁCTICA No 1
I. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas.
a. Nacionalidad
b. Color de cabello
c. Calificación en matemáticas
d. Número de calzado
e. Preferencias deportivas.
f. Estado civil.
g. Número de páginas de los libros de una biblioteca.
Tabla de frecuencias
ba, ) Mc if ih %
103,100 ) 101,5 7 0,14 14
106,103 ) 104,5 10 0,2 20
109,106 ) 107,5 12 0,24 24
112,109 ) 110,5 10 0,2 20
115,112 ) 113,5 6 0,12 12
118,115 116,5 5 0,1 10
Total 50 1 100
Al analizar la información registrada en
la tabla se concluye que: el mayor
número de tornillos tiene una longitud
entre 106 mm y 109 mm; el porcentaje
de los tornillos con mayor longitud es
10% y el porcentaje de los tornillos con
menor longitud es 14%. El 12% de los
tornillos tiene longitud entre 112 mm y
118mm.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
92
MATEMÁTICAS
h. El peso que pueden transportar las grúas que se producen en una
fábrica.
i. El coeficiente intelectual de los estudiantes de noveno grado.
II. Indicar cuáles de las siguientes variables son discretas y cuáles son
continuas.
a. Número de habitantes de un edificio.
b. Número de horas dedicadas a ver televisión.
c. Contenido de las latas de refresco.
d. Edades de los empleados de una fábrica.
e. Temperaturas registradas cada hora en una ciudad.
f. El número de hermanos de los estudiantes del colegio.
g. La superficie de las piezas de un rompecabezas.
h. Número de litros de agua que contiene una caneca.
PRÁCTICA No 2
I. Al preguntar a 30 estudiantes del curso noveno sobre su número de calzado, se obtuvieron los siguientes datos.
40 35 42 36 35 37
36 37 39 40 37 38
37 38 36 37 36 37
40 36 37 41 37 39
37 39 35 37 38 36
II. Dos equipos de baloncesto profesional, tienen cada uno en su planilla
15 jugadores, con las siguientes edades en años:
A. 26, 27, 26, 27, 25, 26, 22, 26, 23, 25, 27 26, 18, 20, 26.
a. Construir una tabla de frecuencias.
b. ¿Cuántos estudiantes calzan 39?
c. ¿Cuántos estudiantes calzan 35?
d. ¿Cuál es el porcentaje de los
estudiantes que calzan más de 38?
e. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los
estudiantes que calzan 38?
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
93
MATEMÁTICAS
B. 27, 21, 20, 23, 25, 20, 23, 22, 21, 25, 24,21, 23, 24, 21.
a. Elaborar una tabla de frecuencias para cada equipo.
b. ¿Cuál es la menor y la mayor edad en cada equipo?
c. ¿Cuál es el equipo que tiene al jugador más joven?
d. ¿Cuál es el equipo que tiene al jugador de mayor edad?
e. Elaborar una tabla de frecuencias para el total de los jugadores.
f. ¿Cuál es el porcentaje de los jugadores que tienen la edad que más
se repite?
g. ¿Cuál es el porcentaje de los jugadores que tienen 25 años?
III. Se ha propuesto un test de 70 preguntas a cierto número de personas. El número de respuestas correctas se refleja en la siguiente
tabla.
IV. La estatura en centímetros de los alumnos del grado noveno de un colegio son:
ba, ) cM if ih %
10,0 ) 40
20,10 ) 60
30,20 ) 75
40,30 ) 90
50,40 ) 105
60,50 ) 85
70,60 ) 80
80,70 ) 65
a. Completar en el cuaderno, la tabla
anterior.
b. ¿Cuántas personas presentaron el
test?
c. Si el test se aprueba con 50 o más
respuestas correctas, ¿cuántas
personas aprobaron el test?
d. ¿Cuál es el porcentaje de las
personas que no aprobaron el test?
e. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las personas que obtuvieron menos de 10
respuestas correctas?
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
94
MATEMÁTICAS
165, 158, 160, 158, 167, 160, 158, 158, 160, 160, 158, 160,
155, 155, 167, 167, 158, 167, 175, 160, 155, 158, 160, 167,
179, 154, 173, 163, 163, 170, 165, 170, 168, 170, 160,
a. Agrupar los datos en 5 intervalos y elaborar una tabla de
frecuencias.
b. ¿Cuántos alumnos fueron encuestados?
c. ¿Cuántos alumnos miden más de 169 cm?
d. ¿Cuántos alumnos miden menos de 160 cm?
e. ¿Cuál es el porcentaje de los alumnos más altos? ¿A qué estatura
corresponde?
f. ¿Cuál es la frecuencia relativa del intervalo donde está la estatura
155?
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
95
MATEMÁTICAS
GUIA No. 02 (2 SEMANAS)
MOTIVACION. Trabajo cooperativo.
Observa la tabla y responde las siguientes preguntas:
El valor de un subsidio de vivienda se determina en función del tipo de
vivienda que se va a adquirir, construir o mejorar. En la siguiente tabla se registran los tipos de vivienda y el máximo valor de subsidio al que se
puede aspirar.
Subsidio de vivienda
Tipo de vivienda
Valor máximo de la vivienda
1 $ 9`960.000
2 $ 16`600.000
3 $ 23`240.000
4 $ 33`200.000
5 $ 39`840.000
6 $ 44`820.000
Si Roberto Castro solicita el subsidio de vivienda para adquirir una casa de
$44`900.000, ¿podrá obtener el subsidio? ¿por qué?
Ahora, construye un diagrama de barras verticales donde se muestren los
valores asignados para cada tipo de vivienda.
El señor Rodrigo Martínez solicitó el
subsidio de vivienda para adquirir una casa de $13.000.000, a qué tipo
de vivienda corresponde?
¿Qué valores corresponden al tipo de
vivienda tipo 3?
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
96
MATEMÁTICAS
Con los datos de una muestra o de una población, se pueden elaborar
representaciones gráficas que faciliten la comprensión de la información obtenida a partir de un estudio estadístico.
Las representaciones más usadas son: el gráfico de barras verticales, el
gráfico de barras horizontales, el gráfico circular, el histograma y el polígono de frecuencias.
I. GRÁFICO DE BARRAS VERTICALES
Este tipo de gráfico o diagrama se utiliza para representar los datos de una variable cualitativa o de una variable cuantitativa discreta. Para ello,
sobre el eje de un plano cartesiano, se anotan los valores de la variable
en los cuales se elevan rectángulos de igual base, cuya altura es igual a la frecuencia (absoluta, relativa o porcentual) de cada uno.
EJEMPLO: Con base en la información que aparece en la siguiente tabla de frecuencias, construir un gráfico de barras verticales.
SOLUCIÓN
Programas preferidos
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
97
MATEMÁTICAS
Telenovelas 4
Humor 7
Noticieros 5
Concursos 4
n 20
El gráfico obtenido es el siguiente:
II. GRÁFICO DE BARRAS HORIZONTALES Los datos de las variables cualitativas o cuantitativas discretas también se
pueden representar mediante gráficos de barras horizontales. En este tipo de gráficos, sobre el eje y del plano cartesiano, se anotan los valores de la
variable y se construyen barras horizontales de igual base, cuya longitud depende de la frecuencia correspondiente a cada dato.
EJEMPLO: Observar la siguiente tabla de frecuencias y a partir de la
información dada, construir un gráfico de barras horizontal.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Telenovelas Humor Noticieros Concursos
Alumnos por grado
Sexto 140 Séptimo 80 Octavo 100
A partir de la información que se observa en el gráfico, se puede concluir que: el tipo de
programas de mayor preferencia entre las personas encuestadas
son los de humor; los programas menos preferidos son las telenovelas y los
concursos; cinco personas prefieren los noticieros.
Programas preferidos
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
98
MATEMÁTICAS
SOLUCIÓN
III. GRÁFICO CIRCULAR
El gráfico circular es la representación de las frecuencias de cada valor de
una variable estadística, en sectores circulares.
Para elaborar este tipo de diagramas se debe dividir 360º en partes directamente proporcionales a los valores de las frecuencias dadas.
El gráfico circular se utiliza para comparar la frecuencia porcentual de los
valores de la variable.
EJEMPLO: En la siguiente tabla de frecuencias aparecen los resultados de
una encuesta realizada a 100 personas sobre sus deportes preferidos.
Construir un gráfico circular a partir de la información de la tabla.
0 50 100 150 200
Sexto
Séptimo
Octavo
Noveno
Décimo
Undécimo
Noveno 90 Décimo 70 undécimo 90
n 570
Del gráfico se puede concluir
que el grado más numeroso es
sexto, el menos numeroso es
décimo y tienen el mismo
número de alumnos noveno y
undécimo.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
99
MATEMÁTICAS
SOLUCIÓN
Las conclusiones obtenidas a partir del análisis del gráfico son: el deporte
de mayor preferencia es el fútbol, el de menor preferencia es el tenis, el 25% prefieren el baloncesto, natación y voleibol son los deportes
preferidos por la cuarta parte de la población encuestada.
IV. HISTOGRAMA
Cuando los valores de una variable estadística se representan agrupados
en intervalos, se utiliza el histograma.
Para construir un histograma, sobre el eje del plano cartesiano, se
ubican los intervalos de clase o, si se desea, la marca de clase. Sobre
cada intervalo se construyen barras, entre las que no se deja espacio y cuya altura depende de las frecuencias absolutas correspondientes.
Deporte preferido
Natación
15%
Fútbol
45%
Baloncesto
25%
Voleibol
10%
Tenis
5%
Deporte preferido
x %
Natación 15
Fútbol 45
Baloncesto 25
Volleyball 10
Tennis 5
n 100
El gráfico correspondiente a
la información de la tabla es:
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
100
MATEMÁTICAS
EJEMPLO: En la siguiente tabla se registran los intervalos entre los que se encuentra el peso de 100 personas que participaron en una competencia
atlética. Construir un histograma a partir de la información registrada en la tabla.
SOLUCIÓN
La información que se obtiene a partir del gráfico es: la mayoría de los atletas pesan entre 55 y 60 kg; solo hay 2 atletas cuyo peso es mayor o
igual a 75 kg; 20 atletas pesan entre 65 kg y 70 kg.
V. POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Para construir un polígono de frecuencias correspondiente a un histograma se unen mediante segmentos, los puntos medios de las bases superiores
de cada uno de los rectángulos.
Peso (kg)
No de atletas
x if
50,45 ) 4
55,50 ) 11
60,55 ) 30
65,60 ) 28
70,65 ) 20
75,70 ) 5
80,75 2
El histograma
correspondiente
es:
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
101
MATEMÁTICAS
EJEMPLOS: Construir un polígono de frecuencias para el ejercicio del ejemplo anterior, teniendo en cuenta la tabla de frecuencias representada.
SOLUCIÓN
Algunas conclusiones que se pueden sacar a partir del polígono de
frecuencias son: la frecuencia más alta corresponde a los atletas que pesan 57,5 kg; la frecuencia más baja es la de los atletas que pesan 77,5
kg; sólo 4 atletas pesan 47,5 kg.
45 50 55 60 65 70 75 80
2
4
6
8
10
0
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
N
Ú
M
E
R O
D
E
A
T
L
E T
A
S
PESO (Kg)
PESO DE 100
ATLETAS
x cM if
50,45 ) 47,5 4
55,50 ) 52,5 11
60,55 ) 57,5 30
65,60 ) 62,5 28
70,65 ) 67,5 20
75,70 ) 72,5 5
80,75 77,5 2
Al unir los puntos medios en la parte superior de cada rectángulo, se obtiene el siguiente polígono de frecuencias.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
102
MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES EXTRACLASE. Trabajo Individual.
I. Se preguntó la edad a 20 aspirantes que desean ingresar a la universidad y al organizar los datos obtenidos se construyó la
siguiente tabla.
II. La tabla que se muestra a continuación corresponde a la tabla de frecuencias que registra las estaturas de 40 personad medidas en un
gimnasio.
Edad x if ih %
16 13
17 3
18 3
19 1
Intervalo cM if
150,145 ) 4
155,150 ) 8
160,155 ) 10
165,160 ) 6
170,165 ) 4
175,170 ) 6
180,175 ) 2
a. Completar la tabla anterior.
b. Elaborar un gráfico de barras vertical para la
frecuencia absoluta.
c. Realizar un gráfico circular para la frecuencia
porcentual.
a. Completar la tabla.
b. Construir el histograma de frecuencias
absolutas.
c. Elaborar el polígono de frecuencias
porcentuales.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
103
MATEMÁTICAS
III. El siguiente gráfico corresponde al registro de la temperatura de un enfermo en distintas horas durante un día.
IV. Plantear una situación que se adapte a la información del siguiente
gráfico. Luego, escribir dos conclusiones a partir del análisis de los datos.
Responder:
a. Si el límite de la temperatura normal de
una persona es 37,5º, ¿entre qué horas
tuvo fiebre el enfermo?
b. ¿A qué hora tuvo el enfermo la
temperatura más baja?
c. ¿En qué intervalo de tiempo tuvo la
temperatura más alta el enfermo?
d. Cuál fue el cambio más significativo de temperatura que tuvo el enfermo? ¿A
qué hora se produjo? Explicar la respuesta.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
104
MATEMÁTICAS
V. Los siguientes datos representan las estaturas en metros de los 50
estudiantes de un curso.
1,38; 1,67; 1,51; 1,70; 1,75; 1,38; 1,48; 1,53; 1,78; 1,42;
1,37; 1,57; 1,45; 1,46; 1,48; 1,55; 1,67; 1,42; 1,54; 1,33;
1,33; 1,52; 1,57; 1,49; 1,69; 1,59; 1,48; 1,50; 1,53; 1,45;
1,40; 1,61; 1,56; 1,49; 1,52; 1,40; 1,46; 1,51; 1,43; 1,40;
1,52; 1,38; 1,60; 1,53; 1,65; 1,57; 1,58; 1,62; 1,55; 1,44.
a. Estudiar los datos formando intervalos, primero con 6 intervalos y
luego con 9 intervalos.
b. Representar los datos de las tablas de frecuencias, elaboradas en el
literal anterior, en un histograma para cada sexo.
c. Con las frecuencias absolutas hacer un polígono de frecuencias.
d. Con la frecuencia porcentual hacer el gráfico circular.
e. Comparar los resultados de los dos ejercicios y decir si hay
diferencias significativas en las conclusiones al agrupar con diferente
número de intervalos.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
105
MATEMÁTICAS
PARA REALIZAR EN EL AULA. Trabajo cooperativo
El estado del tiempo, nombre dado a las condiciones del clima y los fenómenos que lo caracterizan, ha sido un factor de gran importancia para
el ser humano desde los tiempos remotos.
El primer tratado sistemático que aborda los fenómenos del clima se
atribuyen a Aristóteles, aunque en él se incluyen fenómenos que hoy no interesan a la meteorología como ciencia.
En la actualidad, el conocimiento del clima y sus cambios constituyen una
ciencia, y como tal busca establecer mediante registros de datos (humedad, temperatura, presión atmosférica, irradiación solar, etc.)
relaciones causales que permiten hacer previsiones más o menos exactas acerca de la evolución de las condiciones del tiempo.
En Colombia, el IDEAM (Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios
Ambientales) es la entidad encargada de la vigilancia meteorológica y ofrece sus servicios a la aeronáutica, la agricultura, la marina y los
organismos de recursos hidráulicos. El siguiente gráfico muestra las
tormentas y huracanes en el Caribe en un periodo de 125 años, registrados por el IDEAM.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
106
MATEMÁTICAS
PARA REALIZAR EN EL AULA. Trabajo cooperativo
La distribución de frecuencias y la representación gráfica permiten estudiar cualitativamente el comportamiento de una variable estadística. Sin
embargo, es necesario recurrir a otros valores para establecer un resumen cuantitativo de la distribución. Entre estos valores se encuentran las
medidas de tendencia central.
Como su nombre lo indica, las medidas de tendencia central o medidas de centralización son aquellas en torno a las cuales tienden a agruparse los
valores de una variable estadística, los más importantes son: la media aritmética o promedio, la mediana o valor central y la moda.
Tormentas y huracanes
entre 1873 y 1998
2 04
16
32
10
2
0
510
1520
2530
35
May
o
Junio
Julio
Ago
sto
Sep
tiem
bre
Octubr
e
Novi
embr
e
Responde las siguientes
preguntas:
a. ¿En qué mes se registra el
mayor número de tormentas
y huracanes?
b. ¿Cuál es el total de tormentas
y huracanes que muestra la
gráfica?
c. ¿Qué porcentaje del total de
tormentas y huracanes del
período, corresponden a
agosto y septiembre?
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
107
MATEMÁTICAS
I. LA MEDIA ARITMÉTICA O PROMEDIO
La media aritmética de los valores de una variable, es el número que se
obtiene al dividir la suma de todos los valores entre el número total de
ellos. Esta medida se simboliza con la letra X .
EJEMPLO: Pedro ahorró en enero $45.000, en febrero $30.000, en marzo
$50.000, en abril $40.000, en mayo $45.000 y en junio $30.000. Hallar el promedio del ahorro realizado por Pedro durante el primer semestre del
año.
SOLUCIÓN
Para hallar el promedio, se suman los ahorros de cada mes y se divide
este resultado entre el número de meses.
000.406
000.240
6
000.30000.45000.40000.50000.30000.450
X
Luego el promedio de ahorro de Pedro en el primer semestre fue de $40.000.
A. Media o promedio de una variable continua
Cuando los datos de una variable están agrupados en intervalos, para facilitar el cálculo de la media, a la tabla original se le añade una nueva
columna que incorpora los productos de cada una de las marcas de clase por sus frecuencias absolutas correspondientes. La media se obtiene al
dividir la suma de los productos de dicha columna entre el número total de datos.
EJEMPLO: Hallar el promedio de minutos utilizados en teléfono celular
con los datos registrados en la tabla.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
108
MATEMÁTICAS
SOLUCIÓN
Minutos utilizados por 50 personas,
durante un mes, en su teléfono celular
x cM if cM . if
153,147 ) 150 6 900
159,153 ) 156 10 1.560
165,159 ) 162 8 1.296
171,165 ) 168 15 2.520
177,171 ) 174 9 1.566
183,177 ) 180 2 360
n 50 8.202
Para hallar el promedio se multiplica la marca de clase ( cM ) y la
frecuencia absoluta ( if ) y este resultado se divide entre 50, que es el
número total de datos.
04,16450
202.8
50
360566.1520.2296.1560.1900
50
21809174151688162101566150
X
X
El promedio ó la media de los minutos utilizados en un mes es X =164,04.
II. LA MEDIANA O VALOR CENTRAL
Se denomina mediana o valor central, al número que ocupa el valor central de un conjunto de datos ordenados. La mediana divide el número
de datos en dos partes iguales. El símbolo de este valor es Me .
Al calcular la mediana de un conjunto de datos se presentan tres casos.
CASO 1: Número impar de datos no agrupados. Cuando el número de
datos es impar, la mediana coincide con el valor central de los valores de la variable ordenados en forma creciente o decreciente.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
109
MATEMÁTICAS
Por ejemplo, para hallar la mediana de los datos 8, 12, 26, 15, 4, 30 y 1,
primero se ordenan de menor a mayor y luego se identifica el dato que ocupa el lugar central.
1, 4, 8, 12 , 15, 26, 30.
Por tanto la mediana o valor central es 12. Es decir, .12Me
CASO 2: Número par de datos no agrupados. En este caso la mediana es
el promedio de los dos valores centrales.
Así, la mediana de los datos 6, 1, 14, 9, 5 y 7 se determina después de ordenar los datos, de la siguiente manera:
1, 5, 6, 7, 9, 14
Como los dos valores centrales son 6 y 7, la mediana es el promedio de estos valores, luego:
.5,62
13
2
76 Me
CASO 3: Datos agrupados en intervalos. El proceso para hallar la mediana
de un conjunto de datos agrupados, en la tabla de frecuencias se agrega una nueva columna (∑ ) en la que se registran las frecuencias
acumuladas, es decir, los resultados que se obtienen sumando la
frecuencia absoluta de cada valor con las frecuencias absolutas de los valores anteriores.
El valor de la última frecuencia acumulada debe ser el número total de datos y se determina el intervalo para el cual la frecuencia acumulada es
igual a la mitad de los datos .2
h
La mediana es la marca de clase que representa este intervalo.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
110
MATEMÁTICAS
EJEMPLO: La siguiente tabla corresponde al resultado de una encuesta realizada sobre la edad de 100 personas asistentes a un espectáculo de
circo. Hallar la mediana de los datos.
SOLUCIÓN
A la tabla de frecuencias se le adiciona la columna iF de las frecuencias
acumuladas.
Edad en años x
No. de personas
if
20,0 ) 45
40,20 ) 12
60,40 ) 20
80,60 ) 18
100,80 ) 5
n 100
X cM if iF
20,0 ) 10 45 45
40,20 ) 30 12 57
60,40 ) 50 20 77
80,60 ) 70 18 95
100,80 ) 90 5 100
Total 100
Luego, se halla la mitad de los datos .502
100
2
n
De acuerdo con la frecuencia acumulada, el dato central se encuentra en el intervalo 40,20 ), el cual es llamado intervalo mediana, pero el valor que
se toma como representativo es la marca de clase. En este caso, la
mediana es 30. Esto es, .30Me
III. LA MODA
La Moda de un conjunto de datos es el valor de la variable que tiene la
mayor frecuencia absoluta. Se simboliza con la expresión .Mo
Un conjunto de datos es multimodal cuando tiene más de una moda.
Cuando los datos están agrupados en intervalos, aquel que tiene la mayor
frecuencia absoluta es denominado intervalo modal.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
111
MATEMÁTICAS
Así, en el ejemplo anterior, el intervalo modal es 20,0 ) pues tiene la
mayor frecuencia absoluta.
PARA REALIZAR EN EL AULA. Trabajo cooperativo
I. Cinco números naturales consecutivos tienen a 8 como media aritmética. ¿Cuáles son dichos números?
II. La media aritmética de 3 números es 4 y la de otros 7 es 8. ¿Cuál es
la media aritmética de los 10 números?
III. Hallar la media, la mediana y la moda para los datos representados
en cada una de las siguientes tablas.
IV. Con la información obtenida de un grupo de 40 alumnos se ha
elaborado la siguiente tabla.
Edad if ih %
15 12
16 35
17 0,15
Calif.
Mat.
3 3 4 2 5 4 6 2 7 4 8 3 9 2 n 20
No de
calzado
36 2 37 3 38 3 39 3 40 4 41 1 42 3 43 1 n 20
Peso
0 – 50 2 50 – 60 8 60 – 70 5 70 – 80 5
n 20
Peso
150 – 160 1 160 – 170 7 170 – 180 9 180 – 190 3
n 20
a. Completar la tabla.
b. Calcular la media, la mediana y la moda de
los datos de la tabla.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
112
MATEMÁTICAS
V. El peso en gramos de los bebés nacidos en una clínica durante un fin
de semana fue:
2.350 3.300 2.950 4.100 4.650
3.450 3.100 3.785 3.920 4.000
3.750 2.800 3.100 2.400 2.900
2.550 4.500 3.250 2.800 3.400
COMPROBEMOS LO APRENDIDO.
I. TRABAJO FINAL
Como trabajo final de la asignatura debes presentar un trabajo escrito que
se compone de las siguientes partes:
1. PARTE TÉÓRICA
Para la construcción de la parte teórica, debes incluir a manera de resumen cada uno de los temas vistos y explicados durante este
periodo sobre Estadística. Por ejemplo:
18
c. ¿Cuál es la mediana de los datos?
d. ¿Cuál es el peso más frecuente de los bebés nacidos en la clínica
durante el fin de semana?
a. Formar intervalos de 500 g de
amplitud, a partir de 2.000 g,
para construir la tabla de
frecuencias para los datos
anteriores.
b. ¿Cuál es el promedio del peso de los bebés nacidos durante el fin de semana en
la clínica?
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
113
MATEMÁTICAS
Definición de Estadística
Población, Muestra y variable Como se construye una tabla de frecuencias
Como se construyen las gráficas Como se encuentran las medidas de tendencia central (media,
mediana y moda)
El trabajo debe ser presentado a mano y cumpliendo con las normas
Icontec. Este debe quedar muy bien presentado y debe contener:
Portada Subportada
Tabla de contenido Introducción
Objetivos Parte Teórica
Parte Práctica Anexos (para la parte de los diagramas si se prefiere)
Conclusiones Bibliografía
2. PARTE PRÁCTICA
Forma grupos de trabajo de 3 ó 4 integrantes y escoge un grupo de
personas que sean de la institución que más te llamen la atención entre cualquiera de las siguientes opciones:
Estudiantes de grado 11º ambas jornadas Estudiantes de grado 10º ambas jornadas
Estudiantes de grado 9º ambas jornadas Estudiantes de grado 8º ambas jornadas
Estudiantes de grado 7º ambas jornadas Estudiantes de grado 6º ambas jornadas
Estudiantes de Primaria ambas jornadas Estudiantes de la jornada Nocturna
Estudiantes de la sede Fachada Estudiantes de la sede Puerto espejo
Grupo de Profesores de toda la Institución Padres de familia, únicamente de estudiantes del colegio.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
114
MATEMÁTICAS
Nota: La encuesta será realizada a un grupo que oscile entre 50 a 100 personas
A cada grupo se le deben hacer 3 tipos de preguntas diferentes, las
cuales estarán distribuidas así
CUALITATIVAS CUANTITATIVAS
Discreta Contínua
1 1 1
Organiza la información recogida a partir de la encuesta y elabora las
tablas de frecuencias correspondientes para cada pregunta.
Para cada pregunta y con los datos de tabla, construye como mínimo 2 diagramas distintos según sea el tipo de pregunta hecha o variable.
Determine la media, la mediana y la moda de cada pregunta.
Cada trabajo debe ser expuesto en la
clase de matemáticas y socializado para que se conozcan. Cada grupo se debe encargar de preparar muy bien su exposición incluyendo
carteleras donde se muestren las tablas de frecuencias y sus respectivas gráficas darlas a conocer a sus compañeros de curso.
NOTA: LA NOTA FINAL Y DEFINITIVA SERÁ BASADA EN UN 80% EN EL CUMPLIMIENTO
DE ESTE TRABAJO. EL OTRO 20% LO CONSTITUYEN LAS DEMÁS EVALUACIONES Y
TRABAJOS EN CLASE.
II. PARA REALIZAR EN EL AULA. Trabajo cooperativo
Reúnete con tus compañeros de grupo y resuelve la siguiente Sopa de Letras.
Estadística Variable Frecuencia Diagrama Relativa Barras Porcentual Absoluta Tabla Moda
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
115
MATEMÁTICAS
Dato Media Circular Mediana
H V N E T O T M M U F B K I T E R B C R
X F M J S F H I Y P O R C E N T U A L U
P C U N H T W Q W D L N Z M W D S X S X
J J I J D V A R I A B L E W M Z E S I T
O Y S R W I J D D S A M T W Y E A A N L
G L R V C V A F I V Z X P V D K S T G S
A F C B C U S G I S M R A F D C Y U I Y
V A B G P D L T R E T V C L Y R N L D K
Z P A B R I A A U A A I D E M S Y O X O
Y X R L N L M L R L M D C M L A M S F K
U W R F E O E Y X M E A P A F V R B P J
H B A R T P O Q M T L O R C A L G A O L
Q Z S A S F R E C U E N C I A L X B L K
D E D G Q C B M Y X K J M Z Q F B S Y Q
J G N E J S I X L E I O Q I J D E A I E
H O F R S P Z V G Y D Z K T E H D X T U
M E D I A N A H A A F M P K N E L B S U
N B D Z B H F A E M L N P F E T H Z I W
J R V G E P S H N T R S A N O J K L Q O
C Y Z R O L H U P U U M R V M J N Q D J
III. CONCEPTUALIZACIÓN DEL TEMA. Trabajo Individual.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
116
MATEMÁTICAS
Teniendo en cuenta el siguiente mapa conceptual, escribe un párrafo donde expliques con tus propias palabras lo que aprendiste acerca de los
sistemas de ecuaciones lineales.
ESTADÍSTICA
La ciencia encargada de reunir, clasificar, describir y analizar información para tomar decisiones
Datos
Tablas de frecuencia Diagramas
es
a partir de
que se organizan en
que son que son
Registros de datos y de las veces que se repiten
Representaciones gráficas de la información
y pueden ser
que se interpretan mediante
De Barras Circulares
Pictogramas
Probabilidad Medidas de Tendencia Central
que se define como
que se definen como
Ciencia que estudia fenómenos relacionados
con el azar
Medidas que reflejan la tendencia de los datos hacia un dato central
se basa en como
y son
La predicción de los resultados en
experimentos aleatorios
Media Mediana Moda
y se calcula mediante
El cociente entre Casos favorables y
casos posibles
que se definen como
que se definen como
que se definen como
Suma de los datos divida
entre el número de datos
El valor del dato del medio,
en datos organizados
Valor que ocurre con
mayor frecuencia
y son
Absoluta (fi)
Relativa (hi)
Porcentual (%)
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
117
MATEMÁTICAS
Las siguientes son preguntas de selección múltiple con única respuesta.
I. Para estudiar una variable cuantitativa continua, se deben agrupar los datos en:
a. Intervalos de clase
b. Marcas de clase
c. Rangos
d. Valores entrados
II. Entre las siguientes frecuencias, identifique cual de ellas no hace parte de una tabla de frecuencias para datos no agrupados:
a. Porcentual
b. Absoluta
c. Acumulada
d. Relativa
III. Al sumar todos los datos de una variable y dividir el resultado entre el número total de datos, encontramos:
a. La mediana
b. La frecuencia relativa
c. La frecuencia acumulada
d. La media aritmética
IV. El siguiente diagrama de barras muestra los datos obtenidos en una
encuesta acerca del color preferido de cierto número de personas. De acuerdo con el gráfico, el número de personas encuestadas fue:
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
118
MATEMÁTICAS
a. 50 personas
b. 30 personas
c. 45 personas
d. 100 personas
V. En el diagrama anterior, la media corresponde al valor de:
a. 12
b. 13
c. 6
d. 9
VI. La mediana corresponde entonces al valor de:
a. 9
b. 11
c. 12
d. 13
VII. La moda es:
a. 12
b. 9
c. 5
d. 13
Utilizar la siguiente información para contestar las preguntas de la 8 - 12
En un colegio se preguntó a 80 estudiantes por el cantante preferido de cada uno. Los datos recogidos aparecen en la siguiente tabla:
0
2
4
6
8
10
12
14
Azul Amarillo Rojo Verde Naranja
Cantante preferido
Shakira 26
Juanes 18
Cabas 6
Carlos Vives 24
Andrés Cepeda 6
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
119
MATEMÁTICAS
VIII. ¿Los datos de la tabla corresponden a que tipo de variable estadística?
a. Cuantitativa
b. Continua
c. Frecuencial
d. Cualitativa
IX. Cuál es la frecuencia relativa de los alumnos que prefieren a Shakira?
a. 1
b. 1,2%
c. 0,325
d. 0,255
X. ¿Cuál es la frecuencia porcentual de los alumnos que prefieren a Cabas?
a. 12%
b. 7,5%
c. 6%
d. 2,5%
XI. ¿Según la tabla cuál de los datos se considera la moda?
a. 26
b. Juanes
c. 24
d. Andrés Cepeda
XII. ¿A quién corresponde la frecuencia de la tabla del 30%:
a. 16
b. Carlos Vives
c. Cabas
d. 8
Contestar las preguntas 13-14, con base en la siguiente
información
En un supermercado se realizó una encuesta a 1.000 visitantes. La pregunta fue: ¿Qué actividad realiza en le periodo de vacaciones?. Las
opciones fueron Salir de paseo, llevar los hijos a chequeos médicos y visitar sitios de interés en la ciudad.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
120
MATEMÁTICAS
XIII. ¿Cuántas personas visitan sitios de interés de la ciudad?
a. 150
b. 225
c. 230
d. 350
XIV. ¿Cuántas personas dedican las vacaciones a chequeos médicos?
a. 150
b. 225
c. 240
d. 350
XV. Para representar datos no agrupados, no se utiliza el diagramas:
a. Circular b. De barras Verticales
c. Histograma d. De barras horizontales
XVI. Para construir un diagrama circular, la frecuencia que se utiliza es:
a. Relativa
b. Porcentual
c. Acumulada
d. Absoluta
Actividad en vacaciones
Salir de paseo
42%
Visitar sitios de
interés
35%
Chequeos
médicos
23%
Los resultados están representados en el
siguiente gráfico circular:
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
121 MATEMÁTICAS
Resuelve los siguientes ejercicios estadísticos de acuerdo con la información
y los gráficos.
I. La fábrica de gaseosas “Tutifruti” proyecta lanzar al mercado un nuevo sabor. Se realiza un test de aceptación de dicho sabor en una muestra de
30’ niños, utilizando una escala de 10 puntos, para medir el grado de aceptación. Los puntos obtenidos en los niños fueron los siguientes:
2, 6, 8, 7, 4, 5, 10, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 8, 7, 6, 8, 6, 5, 4, 7, 8, 5, 7, 6, 7, 2, 7, 2, 7.
La muestra estuvo compuesta por igual número de niños de ambos sexos,
de 6 a 12 años, pertenecientes a una concentración escolar del barrio “Nueva Granada” de la ciudad de Santa Rosa.
a. ¿Cuál es la población?
b. ¿Cuál es la muestra?
c. ¿Qué tipo de variable es la pregunta de la encuesta?
d. Construya la tabla de frecuencias y el diagrama de barras
correspondiente.
e. Determine la media, la mediana y la moda.
II. Los ingresos mensuales de una familia son $ 800.000. De acuerdo al
gráfico responde las siguientes preguntas:
Gastos de la familia
Alimentación
42%
Vivienda
22%
Serv.
Públicos
10%
Salud
5%
Educación
9%
Transporte
7%
Recreación
5%a. ¿Cuánto dinero gasta en
alimentos?
b. ¿Cuánto dinero gasta en servicios
públicos?
c. Si los gastos principales de la
familia son: alimentación,
vivienda, servicios públicos, salud,
educación y transporte. ¿Cuánto
le queda para recreación?
d. Construya una tabla de
frecuencias completa.
e. Determine la media, la mediana y
la moda.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
122 MATEMÁTICAS
III. Se preguntó a 700 estudiantes de un plantel, por el tipo de programa de televisión que ven en los ratos libres, después de haber estudiado. Las
respuestas se pueden observar en el siguiente gráfico.
IV. Al registrar los datos sobre el peso de 50 estudiantes de grado 9º, se
obtuvieron los siguientes resultados:
50; 63; 48; 49; 48; 52; 55; 51; 49; 60; 55; 57; 54; 57; 54; 53; 48; 50; 51; 54; 62; 60; 62; 51; 49; 54; 56; 62; 48; 54; 56; 65; 66; 48; 49; 50;
52; 49; 54; 56; 63; 62; 66; 65; 64; 58; 59; 60; 59; 57.
a. Elaborar una tabla de frecuencias donde la información quede es 6 intervalos de 3 unidades de longitud.
b. Elabora un Histograma, un polígono de frecuencias y un diagrama
circular, donde se pueda ver gráficamente la información anterior y responde las siguientes preguntas:
¿Cuántos estudiantes pesan menos de 50 kilos? ¿Cuántos pesan más de 60 Kilos?
¿Cuál es el intervalo donde esta el mayor número de estudiantes? ¿Cuál es el intervalo de los estudiantes que tienen menor peso?
¿Cuántos pesan entre 50 y 60 kilos?
V. Se ha puesto un test de 79 preguntas a cierto número de personas. El
número de respuestas correctas se refleja en la siguiente tabla.
Deportes 40%
Culturales 10%
Comics 15%
Novelas 10%
Noticias 5%
Peliculas 20%
Programas de televisión a. ¿Cuántos estudiantes ven comics y
deportes? ¿Qué porcentaje suma?
b. ¿Cuál es el número de estudiantes
que ven programas culturales y
noticias?
c. ¿Cuántos ven novelas y películas al
mismo tiempo?
d. ¿Luego de los deportes, qué
programas prefieren y cuál ven
menos?
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
123 MATEMÁTICAS
VI. El siguiente diagrama de barras muestra los datos obtenidos en una encuesta acerca del color preferido de cierto número de personas. De
acuerdo con el gráfico, responda las siguientes preguntas:
[a, b) Mc fi hi %
[0, 10) 40
[10, 20) 60
[20, 30) 75
[30, 40) 90
[40, 50) 105
[50, 60) 85
[60, 70) 80
0
2
4
6
8
10
12
14
Azul Amarillo Rojo Verde Naranja
a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
b. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las
personas que prefieren el color rojo?
c. ¿Cuál es el porcentaje de personas que
prefieren el color verde?
d. ¿Cuál es el color de menor preferencia?
e. ¿Cuál es la moda?
f. Construya el diagrama circular.
a. Completar la tabla anterior
b. ¿Cuántas personas presentaron el test?
c. Si el test se aprueba con 50 o más
respuestas correctas, ¿cuántas
personas aprobaron el test?
d. ¿Cuál es el porcentaje de las personas
que no aprobaron el test?
e. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las
personas que obtuvieron menos de 10 respuestas correctas?
f. Construya el histograma y el polígono de frecuencias con la tabla anterior.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
124 MATEMÁTICAS
TRABAJEMOS CON NÚMEROS COMPLEJOS
LOGRO
COMPETENCIAS:
INTERPRETATIVA: Identifica y comprende el concepto de números complejos y lo aplica en la solución de problemas.
ARGUMENTATIVA: Explica en forma clara cómo se compone el conjunto
de los números complejos.
PROPOSITIVA: Plantea estrategias para resolver ecuaciones con números complejos y aplicarlas en los conocimientos adquiridos
anteriormente con las gráficas de las funciones cuadráticas.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Momento A: Apropiación de conceptos
Momento B: Análisis y propuesta de solución de problemas
Momento C: Práctica en el contexto
Momento D: capacidad de hacer nuevas propuestas e inventiva.
Cumplimiento y responsabilidad con trabajos y tareas
Participación activa
Puntualidad
Asistencia
I PERIODO IV PERIODO
Determinar la solución de una ecuación con números
complejos y aplicarlo en la solución de problemas prácticos de funciones. Encontrar soluciones que contengan números
complejos.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
125 MATEMÁTICAS
GUIA No. 04 (4 SEMANAS)
1. MOTIVACION. Trabajo cooperativo.
Realiza la lectura del siguiente fragmento:
CONVERSATORIO
Responde las siguientes preguntas sobre la lectura anterior
Historia
El proceso para la construcción de los números complejos ha recorrido un largo camino de tres siglos. Durante mucho los matemáticos evitaron considerar las soluciones de ecuaciones de la forma x2 = -1, dado que éstas no se encontraban dentro del conjunto de los números reales. En el siglo XVI, el italiano Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuvieran raíces cuadradas. A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números. Por ejemplo, Cardano
sugirió que el número real 40 se puede expresar (5 + 15 ) (5 – 15 ). En 1777, el matemático suizo Leonhard Euler simbolizó la raíz cuadrada de -1 con la letra i, probablemente porque aquellos números fueron llamados imaginarios. Veinte años después, el danés Kaspar Wessel propuso una explicación del número 1 con base en un triángulo isósceles situado entre un sistema de coordenadas. Esta idea, también sugerida por Jean-Robert Argand, fue utilizada mas tarde por Carl Friedridch Gauss para dar la interpretación geométrica de los números complejos. Los números complejos forman parte importante de los métodos matemáticos con los cuales se analizan algunos fenómenos periódicos. Estos números sirven para describir las propiedades de los fenómenos como las corrientes alternas, las vibraciones mecánicas, los ritmos cardiacos.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
126 MATEMÁTICAS
¿Qué aportes hicieron las tablillas en el desarrollo de la matemática?
¿En qué consistió el algoritmo para calcular raíces cuadradas dispuesta por los babilonios? ¿A qué matemático se le debe este aporte?
¿Qué aporte hizo a la matemática el profesor Nicole Oresmes?
¿En qué año se empezó a usar el símbolo de raíz?
¿Qué otros símbolos fueron usados?
2. PRESABERES. Trabajo Individual.
Intenta resolver los siguientes ejercicios relacionados con el tema que vamos
a trabajar:
I. Resolver, si es posible, las siguientes raíces.
a. 144 c. 3 216
b. 144 d. 4 81
II. Escribir el conjugado de las siguientes expresiones:
a. 23 c. 97
b. 54 d. ym 34
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
127 MATEMÁTICAS
III. Determinar en qué cuadrante del plano cartesiano quedan las parejas ordenadas.
a. 1,3 c. 5,3
b. 7,4 d. 7,4
IV. Resolver las operaciones con potencias.
a. 28 c.
43
5
1
5
4
b. 2
3
1
d.
043
3
2
3
2
2
3
V. Con base en la figura, hallar el valor del lado desconocido en cada caso,
utilizando el teorema de Pitágoras.
222 bac
a. 3a ; 4b ; ?c
b. 5a ; ?b ; 169c
VI. Resolver las siguientes ecuaciones.
a. 604 x
b. 73
5x
c. 65155 x
d. 219
73
x
a
b c
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
128 MATEMÁTICAS
Números Imaginarios
A partir de la necesidad de dar soluciones a ecuaciones de la forma x2 + 1= 0, se generó un nuevo conjunto numérico cuya unidad principal está
representada por la letra i y se denomina unidad imaginaria.
1i
Esta definición permite expresar una raíz par de un número negativo,
como el producto de un número real por la unidad imaginaria.
Por ejemplo, 4 = 14 = 14 = i2
El producto de los números reales por la unidad imaginaria, origina los números imaginarios puros.
EJEMPLOS
A. Escribir los siguientes radicales como números imaginarios puros.
a. 25 b. 160 c. 13
SOLUCION
Utilizando la definición 1i se tiene:
a. 25 = 125 = 125 = i5
b. 160 = 1160 = 11016 = 11016 = i104
c. 13 = 113 = 113 = i13
B. Resolver las siguientes ecuaciones:
a. 92 x b. 022 x
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
129 MATEMÁTICAS
SOLUCION
Al despejar la incógnita en cada ecuación, se obtiene:
a. 92 x b. 022 x
9x 22 x
ix 3 ix 2
Potencias de i
Las potencias de la unidad imaginaria i, se obtienen a partir de su
definición.
Dado que 1i entonces:
ii 1
112
2 i
iiiii 123
11234 iiiiii
Estas cuatro potencias se denominan potencias básicas de i , ya que a
partir de 5i se repiten en periodos de a 4.
Así,
iiiii 1145 1
12156 iiiiii
EJEMPLOS: Calcular 18i
SOLUCION
Para calcular 18i se recurre a las potencias básicas de i y se aplican las
propiedades de la potenciación.
Como 24418 , entonces la potencia se expresa como:
Potencias de i ii 1
12 i
ii 3 14 i
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
130 MATEMÁTICAS
24424418 iiii
114
porque 14 i y además 12 i
11
1
El conjunto de los números complejos, es el conjunto formado por los números de la forma
bia , donde a y b son números reales. Este se nota con la letra C.
Es decir,
1Re,/ ibabiaC
En todo número complejo bia se distinguen dos partes: la parte real a y
la parte imaginaria .bi
Por ejemplo, en el número complejo i53 , la parte real es 3 y la
parte imaginaria es i5 .
Para identificar un número complejo bia se deben tener en cuenta los
siguientes casos:
Si a≠ 0 y b = 0 entonces bia = .0 aia Por lo tanto, todo
número real es un número complejo. Luego R C.
Por ejemplo, .04
3
4
3i Entonces
4
3 es un número complejo en el
que la parte imaginaria es 0.
Si a =0 y b ≠ 0, entonces bia = bibi 0 . Es decir, todo número
imaginario es un número complejo en el que la parte real es 0.
Así, las cantidades i8 , i4 y i3 son números complejos.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
131 MATEMÁTICAS
HISTORIA DE LAS MATEMATICAS
La aceptación de los números complejos entre los matemáticos fue resultado de un largo proceso. Mahavira, en el siglo IX d. de C., tropezó con los números complejos y los rechazó. En 1545, Cardano los utilizaba para descomponer factorialmente ciertos números, pero los consideraba ficticios. Los complejos ingresaron a las matemáticas definitivamente con Gauss.
Forma cartesiana de un número complejo
Hasta el momento se han representado los números complejos en la forma bia . Esta forma se denomina forma binomial del números
complejo.
Los números complejos también se pueden representar como una pareja
ordenada ba, en la cual a es la parte real y b es el coeficiente de la parte
imaginaria. En este caso, se dice que el número está representado en forma cartesiana.
Por ejemplo, el número complejo i73 , expresado en forma cartesiana es
7,3 .
Así mismo, el número complejo i4 , expresado en forma cartesiana es
4,0 .
Todo número complejo se puede representar geométricamente sobre el
plano complejo.
El plano complejo es un sistema similar al plano cartesiano, en el cual el eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario.
Así, para representar el número bia se emplea su forma cartesiana .,ba
La primera componente a , se ubica sobre el eje real, y la segunda
componente b , se ubica sobre el eje imaginario.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
132 MATEMÁTICAS
EJEMPLO: Representar los números i23 , i25 y i24 sobre el plano
complejo.
SOLUCION
La forma cartesiana de cada número es 2,3 , 2,5 y 2,4 ,
respectivamente.
Al ubicar estas parejas ordenadas sobre el plano complejo, se obtiene:
Números complejos conjugados
Dos números complejos se denominan conjugados si difieren únicamente en el signo de la parte imaginaria.
Si biaz , el conjugado de z se escribe z , y es igual a biaz
Si los números complejos se van a escribir en forma binomial, los números sobre el eje complejo se escriben ,3,2, iii etc.
Actualidad
Los principios fundamentales de los cuerpos tienen muchas aplicaciones: la ingeniería
electrónica y la física teórica utilizan el campo de los números complejos para estudiar
la electricidad, el magnetismo y la teoría cuántica.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
133 MATEMÁTICAS
EJEMPLO
Hallar el conjunto de los siguientes números complejos.
a. iz 53 b. iw 3 c. 7v
SOLUCION
a. iz 53 = i53
b. iw 30 = i30 = i3
Al representar gráficamente un número complejo y su conjugado, estos
quedan ubicados de manera simétrica respecto al eje real del plano complejo.
Por ejemplo, al representar el número iz 21 y su conjugado iz 21
sobre el plano complejo, se tiene
La forma cartesiana de i21 es 2,1
y de su conjugado i21 es 2,1 .
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
134 MATEMÁTICAS
I. Adición de números complejos
Para sumar dos números complejos, se suman respectivamente sus
partes reales y sus partes imaginarias.
EJEMPLO: Sumar
a. (-7 + 3i) + (4 – 7i); b. (4i – 2) + (-4i + 2)
SOLUCION
Al sumar respectivamente sus partes reales y sus partes imaginarias, se
tiene:
a. (-7 + 3i) + (4 – 7i) = (-7 + 4) + (3 – 7)i = -3 – 4i
b. (4i – 2) + (-4i + 2) = (-2 +2) + (4 - 4)i = 0 +0i =0
II. Sustracción de números complejos La diferencia de dos números complejos se obtienen restando
respectivamente sus partes reales y sus partes imaginarias.
EJEMPLOS
a. Determinar los valores de x y y que satisfacen la igualdad
iiyx 53345,7
SOLUCION
Si Czz 21, tal que biaz 1= ba, y dicz 2
= dc, la adición
de idbcadicbiazz 21 en notación binomial.
dbcadcbazz ,21 en notación cartesiana.
Si bia y dic son dos números complejos, entonces
idbcadiciba También dbcadcba ,,,
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
135 MATEMÁTICAS
Igualando respectivamente sus partes reales y sus partes imaginarias, se obtiene:
357 x 534 y
105 x 84 y
2x 2y
Luego, 2x e 2y .
b. Hallar los valores x y y de la igualdad 1,11,31,4, yx .
SOLUCION
1,11,31,4, yx
1,2111,134, yx
Luego, 2x e 1y .
Responde en grupo las siguientes preguntas:
I. ¿En qué consiste cada uno de los métodos vistos?
II. ¿Cuál de ellos es más difícil de trabajar y de la misma manera, cuál les
parece más sencillo de resolver?
III. ¿Qué tema les gustó más?
IV. ¿En qué se puede aplicar esta información?
V. Escriban una lista de los procedimientos que se diferencian entre sí para
cada ejemplo y de igual forma, cuáles procesos son los que se repiten.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
136 MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES EXTRACLASE. Trabajo Individual.
Este momento se desarrollará proponiendo ejercicios de aplicación del tema visto, donde esta inmerso el desarrollo de las competencias básicas.
PRACTICA 1
I. Indicar cuáles de las siguientes expresiones corresponden a números
imaginarios.
a. 25 e. 5 i. 18
b. 16 f. 4 j. 49
c. 3 8 g. 3 64 k. 100
d. 36 h. 3 125 l. 7
II. Expresar cada una de las raíces cuadradas como número imaginario.
Raíz Número Imaginario
9
7
48
800.13
1
225 nm
100
2336 mn
2255
2w
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
137 MATEMÁTICAS
III. Resolver las siguientes ecuaciones.
a. 362 n e. 252 w i. 1862 m
b. 162 w f. 123 2 n j. 842 m
c. 82 x g. 1255 2 m k. 1652 t
d. 302 q h. 1062 z l. 1753 2 n
IV. Escribir el valor correspondiente a cada potencia de .
a. 5i
b. 12i
c. 19i
d. 7i
e. 14i
f. 25i
g. 6i
h. 16i
i. 30i
j. 11i
k. 18i
l. 40i
PRACTICA 2
I. Escribir si es posible para cada número su forma binomial bia .
a. 3
b. 25
c. 1625
d. 100100
e. 1636
f. 42
g. 644
h. 369
II. Representar gráficamente cada número complejo.
a. i53
b. i24
c. i1
d. i63
e. i54
f. i78
g. 2
h. i
5
3
2
1
III. Escribir el opuesto y el conjugado de cada número complejo.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
138
MATEMÁTICAS
Número Opuesto Conjugado
i23 i23 i23
i48
35 i
i124
COMPROBEMOS LO APRENDIDO.
I. PARA REALIZAR EN EL AULA. Trabajo cooperativo
Reúnete con tus compañeros de grupo y resuelve la siguiente Sopa de Letras buscando las siguientes palabras.
Complejo
Potencia
Imaginario
Conjugada
Número
Unidad
Puro
Cardano
Euler
Wessel
Argand
Gauss
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
139
MATEMÁTICAS
Q Y Q Q X Z C G S A O G N D O D M X F F P K J N C
Y Q Y L Z L W D L C H M F Y K W R Z O H J V K S N
Y S L S Q B T Z A B S A G N C P P O T E N C I A Z
Q J G N M E V R O S Y A T F W F P G A D R N F I N
Z Q O S R T D A U E J G Q U G H D H A Q Z E Q K W
C Q X N W A Q A R S M W U Q J C G D L B C P Z Z K
Y O F Q N K G Y W P L V P U R A I E K P F M M T T
P O N O K J K F C U H T S Z S N Y Q A L R H T N Z
E M F J R U R C J O N T Z W U S D F Z I Y F T A R
D E Q J U D I R Z S M N M S C W C Y Y L V I H J W
H M T T Q G G N A O S P A X B U R R G W K R O H D
A J U M C F A Y M C Q N L G G R X A X T W F X E Q
M R E R C R I D B P I O B E I O O R E M U N I S Z
D H G N L G D G A F U H I G J X S D X X U Q G A G
K A K A P P A Z T W D R Y R Z O L M C A D A A Y L
W L B U N Y I R D Z U J U O A Q R S F K W L T O E
P W R H O D C C Z Z O H A J T N S R T B V I Q N S
U O S V T A Z Z O M P L J E W L I W X X K D D D U
G U B V R B B J V L S U Z X P V B G N M A W K G M
N O M G N X L S W G X A K M A B O B A O T A Z U N
Q P H A D L X Y M N F F X P L V K G E M G E N R G
S K F V F N S I V V R L W M C L K W N A I I U J W
Y G H K I M B Y B U W F Q Z F R V K W Y P W Q Z X
O W E S S E L H M F K R R O U W T Z O Y Q R F Q E
P H T J Q D T J I P J W K S O B E D R E L U E F H
II. CONCEPTUALIZACIÓN DEL TEMA. Trabajo Individual.
Teniendo en cuenta el siguiente mapa conceptual, escribe un párrafo
donde expliques con tus propias palabras lo que aprendiste acerca de los sistemas de ecuaciones lineales.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
140
MATEMÁTICAS
NÚMEROS COMPLEJOS
Son
ℂ 𝑎 𝑏𝑖 𝑎 𝑏 𝑖 √
La unidad principal es
𝑖 √
y determina
Potencias principales de 𝒊
que son
Multiplicación
se define como
(𝑎 𝑏𝑖) ∙ (𝑐 𝑑𝑖) (𝑎𝑐 𝑏𝑑) (𝑎𝑑 𝑏𝑐)𝑖
(𝑎 𝑏𝑖) ÷ (𝑐 𝑑𝑖)
(𝑎𝑐 𝑏𝑑) (𝑏𝑐 𝑎𝑑)𝑖
𝑐 𝑑
se operan con
Suma
Forma cartesiana
se define como
se representan en
División
(𝑎 𝑏𝑖) (𝑐 𝑑𝑖) (𝑎 𝑐) (𝑏 𝑑)𝑖
se define como
(𝑎 ∙ 𝑏) 𝑎 𝑏𝑖
se define como
los
Resta
como
Clausurativa
Conmutativa
Modulativa
Asociativa
Propiedades
(𝑎 𝑏𝑖) (𝑐 𝑑𝑖) (𝑎 𝑐) (𝑏 𝑑)𝑖
cumplen
como
Invertiva
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
141
MATEMÁTICAS
III. TRANSVERSALIDAD CON OTRAS AREAS. Trabajo cooperativo.
SOCIALES: La siguiente cuadrícula representa los ejes cartesianos del plano complejo, superponemos el mapa de Colombia.
El origen de las coordenadas coincide con la ciudad de Bogotá y sobre este
plano complejo se han ubicado, aproximadamente, algunas ciudades.
Completar el siguiente cuadro.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
142
MATEMÁTICAS
Coordenada Capital
Escribir V si la afirmación es Verdadera y F si es Falsa.
a. El número complejo que representa la ciudad de Cúcuta es
b. El número complejo que representa la ciudad de San José del Guaviare
es
c. Las ciudades de Neiva y Florencia tienen la misma parte real.
d. Las ciudades de Tunja y Villavicencio tienen la misma parte Imaginaria.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
143
MATEMÁTICAS
Las siguientes son preguntas de selección múltiple con única respuesta.
I. Cuál de las siguientes cantidades no es un número imaginario.
a.
b. √
c. √
d. √
II. El valor de la expresión
es:
a.
b.
c.
d.
III. El inverso multiplicativo de es:
a.
b.
c.
d.
IV. La afirmación falsa es:
a. Al restar dos números complejos se obtiene otro número complejo.
b. Al dividir dos números complejos se obtiene otro número complejo.
c. Al multiplicar un número complejo por su conjugado, se obtiene un número real.
d. Al sumar un número complejo con su inverso aditivo se obtiene un
número real.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
144
MATEMÁTICAS
V. Si , entonces | | es:
a. Mayor que 3 y menor que 4
b. Mayor que 4 y menor que 5
c. Igual a 3
d. Igual a 5
VI. Si es un número complejo:
a. | | es menor que cero
b. | | es mayor que 1
c. | | es mayor que cero
d. | | es igual a cero
Para responder las preguntas de la VII a la X se requiere de la información
dada a continuación.
El crecimiento semanal de una bacteria x en un laboratorio se presenta en
la siguiente tabla.
Día Número de bacterias en potencias de
Número de bacterias
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Completar la tabla anterior.
VII. Los días en que hubo mayor crecimiento de la bacteria fueron:
a. Lunes y Sábado
b. Miércoles y Jueves
c. Lunes y Viernes
d. Martes y Jueves
VIII. El crecimiento de la bacteria el día Lunes fue:
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
145
MATEMÁTICAS
a. Entre 5 y 8
b. Mayor que 5 y menor que 7
c. Mayor que 2 y menor que 8
d. Menor que 3
IX. La suma del número de bacterias del Miércoles y las bacterias del Jueves es:
a. Menor que 15
b. Entre 17 y 19
c. Mayor que 16 y menor que 19
d. Igual a 16
X. La suma del número de bacterias de la semana fue:
a. Menor que 45
b. Mayor que 45
c. Entre 44 y 46
d. Entre 40 y 44
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
146 MATEMÁTICAS
RESPONDA CALIFICANDO DE 1 A 5 SEGÚN EL NIVEL DE APRENDIZAJE (El
puntaje más alto es 5 y el más bajo es 1) 1. Indique si los temas propuestos en esta guía de aprendizaje, quedaron claros
y entendidos por usted.
2. Manejando la misma escala numérica, qué tan importante resultó la guía para el aprendizaje de este tema.
3. La guía tenía buenas actividades que motivaron su aprendizaje.
4. Como califica el diseño de esta guía en cuanto a su diagramación.
5. Los contenidos de la guía estaban bien explicados.
6. Las actividades de aplicación propuestas estaban acordes con el tema.
7. Las explicaciones del docente fueron muy necesarias para entender el tema
8. Me interesé por adelantarme con los temas de la guía, ya que los tenía a la mano.
1 2
5
3 4
1 2
5 3 4
1 2
5 3 4
1 2
5 3 4
1 2
5 3 4
1 2
5 3 4
1 2
5 3 4
1 2
5 3 4
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
147 MATEMÁTICAS
9. Fueron necesarias otras ayudas para aprender el tema. (libros, Internet, otros)
10. Considera que la guía es un buen o mal elemento de aprendizaje.
1 2
5 3
4
1 2
5
3 4
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
148 MATEMÁTICAS
I. Indicar cuáles de las siguientes expresiones corresponden a números imaginarios.
a. 49
b. 144
c. 18
d. 81
e. 121
f. 49
g. 3 27
h. 3 64
i. 100
j. 100
k. 3 125
l. 7
II. Escribir el valor correspondiente a cada potencia de .
a. 5i
b. 12i
c. 19i
d. 7i
e. 14i
f. 25i
g. 6i
h. 16i
i. 30i
j. 11i
k. 18i
l. 40i
V. Representar gráficamente cada número complejo.
a. i53
b. i24
c. i1
d. i63
e. i54
f. i78
g. 2
h. i
5
3
2
1
INSTITUCIÓN EDUCATIVA CIUDADELA DEL SUR
Guía de Aprendizaje Grado 9º
149 MATEMÁTICAS
Álgebra y Geometría II. Editorial Santillana. Año 2004
Santafé de Bogotá D.C.
Autores:
Adolfo Javier Herrera Ruiz
Diana Constanza Salgado
Luisa Fernanda Nivia
Martha Lucía Acosta
Julia Patricia Orjuela
Olimpiadas matemáticas Grado 9º. Edi Voluntad. Año 2000
Santafé de Bogotá D.C.
Autor:
Blanca Nubia Torres López