El álgebra es una rama de las Matemáticas, que se caracteriza por el empleo de letras para representar números, con ellas y con los símbolos que se han utilizado para indicar operaciones y agrupamientos, se ha elaborado un código especial: el lenguaje algebraico. El simbolismo del lenguaje algebraico ha ido modificándose al paso del tiempo. Sus orígenes se remontan a Babilonia, Egipto, Grecia y Arabia. Años más tarde el álgebra fue expresada mediante el lenguaje ordinario, a través de palabras.

EL ÁLGEBRA PARA SU ESTUDIO UTILIZA: SÍMBOLOS: NÚMEROS Y LETRAS SIGNOS: Operación, como: +, -, /, *, ( ), etc. RELACIÓN: Son los que se utilizan para comparar; , ≥, ≤, ≠ AGRUPACIÓN: Son los que se utilizan para agrupar operaciones: ( ), [ ], { }, etc. Un ejemplo de expresión con una única letra es:

3𝑥2 + 4𝑥 − 2 − 𝑥2 + 7𝑥 Importancia del álgebra. El álgebra es de gran utilidad en nuestra vida, ya que nos simplifica muchos trabajos y cuentas que usamos en todas las cosas. Como ejemplo; si compramos 5 lápices y 6 borradores, en nuestra mente se representa con 5a + 6b, y si nos dan los precios de a y b, nos facilita más para sacar el total que se pagaría. Otro ejemplo seria hacer inventarios. Cuando hago un inventario, podemos representar los artículos con una letra y numero para su cantidad, osea 10x puede significar 10 piezas de “x” cosa. La Diferencia con la aritmética es que en ésta las cantidades son representadas por números que expresan valores determinados; en álgebra se generaliza un poco más y las cantidades se representan por medio de letras y pueden expresar cualquier valor que se le asigne. Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSE PRUDENCIO PADILLA - CASD

AREA DE MATEMÁTICAS GUÍA 2 GRADO: 8º SEGUNDO PERIODO DOCENTE: ________________________________ NOMBRE: _____________________________________________ FECHA: ________________________

Revisar por favor el video del siguiente link para profundizar en la introducción al Algebra, por favor tome nota de lo mencionado en el video como un resumen personal de la temática: https://www.youtube.com/watch?v=u3oRuflq4rg

EXPRESIÓN ALGEBRÁICA: Una expresión algebraica es una combinación de letras y números unidos con los signos de las operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radiación). Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual. Ejemplo para aclarar mejor el tema: Una empresa de aseo tiene varias tarifas. En una oficina cobra a $35.000 la hora y en un hotel cobra $10.000 más por hora. ¿Cuáles serían las expresiones que se obtienen de esta situación? Primero identificamos variables => lo que puede variar en ésta situación cuando calculemos cuando cobraríamos sería: El tiempo en horas: al cual le asignamos una letra cualquiera en minúscula. En nuestro caso podríamos usar la letra:

t Ahora, escribimos las dos expresiones que le servirían a la empresa para hacer el cobro por su trabajo,

teniendo en cuenta que en el Algebra no se usa el símbolo x para multiplicar ya que puede ser

confundido con la variable x, a cambio de éste usamos un punto entre el número y la variable: _________________________________________________________________________________________________________________________

Prestación de servicio en oficina: 35000 ∙ 𝑡 _________________________________________________________________________________________________________________________

Prestación de servicio en hotel: 35000 ∙ 𝑡 + 10000 ∙ 𝑡 _________________________________________________________________________________________________________________________

Por lo tanto, si la empresa quisiera por ejemplo realizar un cálculo de cuanto debe cobrar por 3 horas en oficina tendría que reemplazar la t por el 3 osea:

35000 ∙ (3) = 𝟏𝟎𝟓𝟎𝟎𝟎

Si la empresa quisiera por ejemplo realizar un cálculo de cuanto debe cobrar por 6 horas en hotel tendría que reemplazar todas las t por 6 osea:

35000 ∙ (6) + 10000 ∙ (6) = 210000 + 60000 = 𝟐𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎

EJERCICIOS RESUELTOS Nota: Cuando un número se encuentra al lado de una letra, se puede omitir el signo de multiplicación pero se asume que entre los dos existe esa operación y será desarrollada cuando le demos valores a la variable. El doble o duplo de un número: El triple de un número: El cuádruplo de un número:

La mitad de un número:

Un tercio de un número:

Un cuarto de un número:

Un número es proporcional a 2, 3, 4,...:

Un número al cuadrado:

Un número al cubo: Un número par:

Un número impar:

Dos números consecutivos:

Dos números pares consecutivos:

Dos números impares consecutivos:

La suma de dos números es 24: 𝑥 + 𝑦 = 24

La diferencia de dos números es 30: 𝑥 − 𝑦 = 30

El producto de dos números es 40: 𝑥 ∙ 𝑦 = 40

El cociente de dos números es 20: 𝑥

𝑦= 20

El triple de un número menos dos:

El doble de la suma de un número más dos:

La quinta parte de un número al cubo:

El cuadrado de la suma de un número más tres:

El doble de un número más su mitad: El número siete menos el cuádruple de un número:

Un número más el triple de su siguiente:

El cuadrado del triple de un número menos cuatro:

EJERCICIOS PARA PROFUNDIZAR

- En esta actividad tienes varias máquinas de operación fija, averigua la expresión algebraica que representa cada una de ellas.

- En esta actividad tienes varias máquinas de operación fija, escribe en los huecos destinados a ello la correspondiente expresión numérica que resulta de cambiar la letra x por cada uno de los números que hay en las bolas.

ELEMENTOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS En esta sección veremos cómo identificar los elementos de las expresiones algebraicas: Términos, Signos, Coeficientes, Variables y Exponentes. Términos Están compuesto por signo, coeficiente, variable y exponente. Los términos están separados unos de otros por el signo más (+) o el signo menos (-). Signos: Pueden ser más (+) o menos (-). En el primer término el signo (+) se omite. Coeficientes: Son los números a la derecha del signo, si este es uno (1) se omite. Variables: Son las letras indicadas a la derecha del coeficiente. Exponentes: Son los elementos de menor tamaño, indicados a la derecha y en la parte de arriba de la variable, si estos no están indicados se sobreentiende que es 1. Parte literal: Son las letras que hayan en el término incluido sus exponentes. Ejemplos: Expresión:

Expresión algebraica Parte literal

5xy xy

4𝑥𝑦3

3𝑧4

𝑥𝑦3

𝑧4

8𝑎5𝑏4𝑐 𝑎5𝑏4𝑐

EJEMPLO:

−5𝑥4

En este primer ejemplo sólo tenemos un término y su parte literal es 𝑥4. EJERCICIO PARA PROFUNDIZAR:

3𝑥2𝑦4 −3

4𝑥5𝑦 + 7𝑥𝑦9

En este segundo ejemplo tenemos 3 términos, indique en cada uno de ellos el coeficiente, el signo, las variables y los exponentes:

3𝑥2𝑦4

Coeficiente: 3 Signo: + positivo Variables: x, y Exponentes: 2, 4 Parte literal: 𝒙𝟐𝒚𝟒

−3

4𝑥5𝑦

7𝑥𝑦9

Signo

Variable

Exponente

Coeficiente

GRADO DE UN TÉRMINO Puede ser de 2 clases: ABSULTO o CON RELACIÓN A UNA LETRA: Grado absoluto: Es la suma de los exponentes de sus factores literales. Por ejemplo:

El término 𝟒𝒂 es de primer grado porque el exponente del factor literal a es 1.

El término 𝒂𝒃 es de segundo grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 1 + 1 = 2.

El término 𝒂𝟐𝒃 o es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2 + 1 = 3.

El término 𝟑𝒙𝟒𝒚𝟑𝒛𝟐es de noveno grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es: 4 + 3 + 2 = 9. Grado con relación a una letra:

Es el exponente de dicha letra. Por ejemplo:

El término 𝒃𝒙𝟑 es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x;

El término 𝟒𝒙𝟐𝒚𝟒 es de segundo grado con relación a x y de cuarto grado con relación a y;

EJEMPLOS:

Expresión algebraica

Grado absoluto Grado relativo con respecto a

x

Grado relativo con respecto a

y

Grado relativo con respecto a

z

5xyz 3 1 1 1

4𝑥𝑦3𝑧4 8 1 3 4

8𝑥5𝑦4𝑧 10 5 4 1

EJERCICIO PARA PROFUNDIZAR:

Hallar el grado absoluto y el grado de relativo con respecto a cada una de las variables que tengan las siguientes expresiones algebraicas:

3𝑥3𝑦6𝑧2:

9𝑎4𝑏

𝑎10𝑏2𝑐7

TIPOS DE TÉRMINOS

ENTEROS: cuando no tienen letras en el denominador

Ejemplos: 3

4𝑎𝑏3 3x² 25xyz³

FRACCIONARIOS: cuando tienen letras en el denominador

Ejemplos: 3a 2ax²y 98ac³ 4b n a²b³

RACIONALES: cuando no tienen ninguna letra bajo signo radical

Ejemplos: 5ab 25ab√29 8mn√5 √95

IRRACIONALES: cuando tienen letras bajo un signo radical

Ejemplos: 5√𝑚𝑥 25√𝑚 8xy

√𝑧

HOMOGÉNEOS: son los que tiene el mismo grado absoluto (g.a.).

Ejemplos:

3𝑥3𝑦7 g.a. = 10 4𝑥2𝑦2𝑧6 g.a. = 10 Grados absolutos iguales por lo tanto son

Homogéneos.

10𝑎6𝑏 g.a. = 7 𝑎2𝑏5 g.a. = 7 Grados absolutos iguales por lo tanto

Son Homogéneos.

HETEROGÉNEOS: son las expresiones con distinto grado absoluto.

Ejemplos:

41𝑥6𝑦2 g.a. = 8 2𝑥7𝑦9 g.a. = 16 Grados absolutos diferentes por lo tanto son

Heterogéneos.

CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS De acuerdo al número de términos, las expresiones algebraicas se pueden clasificar generalmente en monomios y polinomios.

MONOMIO: Es una expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplo: 12m⁴ -a² b 3x⁴

POLINOMIO: Son expresiones algebraicas que constan de dos o más términos. Ejemplo: x+y+z 9m² - 16n⁴ 2x⁴ + 5x⁵ - 54x – 135 Los polinomios de dos términos reciben el nombre especial de BINOMIOS. Ejemplos de binomios: x² - y² a⁴ b⁵ + 3 a² b² c⁷ Los polinomios de tres términos reciben el nombre de TRINOMIOS. Son ejemplos de trinomios: x² - 10x + 25 ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵

GRADO DE UN POLINOMIO

Grado absoluto: Es el grado de su término de mayor grado. Por ejemplo:

x² - 10x + 25 Grado de x² : 2 Grado de - 10x : 1 Grado de 25 : 0 Por lo tanto el Grado absoluto del polinomio es 2

Revisar por favor los videos de los siguientes link para profundizar en la temática, por favor tome nota de lo mencionado en el video como un resumen personal: https://www.youtube.com/watch?v=1nmlpW5uHB4

https://www.youtube.com/watch?v=wl-W31nOAZ4

ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵; Grado de ab³ : 4 Grado de 5a² b⁷ m : 10 Grado de – 35 abx⁵ : 7 Por lo tanto el Grado absoluto del polinomio es 10

Grado con relación a una letra:

Es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Ejemplos:

4𝑥𝑦𝑧 – 3𝑥𝑦2 + 5𝑧3 + 2 Grado relativo según x= 1 Grado relativo según y= 2 Grado relativo según z = 3

5𝑥8𝑦4𝑧 – 9𝑥3𝑦2𝑧3 − 7𝑥2𝑧8 Grado relativo según x= 8 Grado relativo según y= 4 Grado relativo según z = 8

EJERCICIO PARA PROFUNDIZAR:

Hallar el grado absoluto y el grado de relativo con respecto a cada una de las variables que el siguiente polinomio:

4𝑥3𝑦6𝑧2 − 5𝑥4𝑦2𝑧9 + 13𝑥𝑦4𝑧3

TÉRMINO INDEPENDIENTE CON RELACIÓN A UNA LETRA: Es el término que en el polinomio NO tiene dicha letra. Ej.:

En el polinomio: 𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 7 La variable independiente con relación a x en este Caso es el 7

En el polinomio: 𝑥3 + 𝑥2𝑦4 − 2𝑥𝑦 + 𝑦3 La variable independiente con relación a x en este Caso es 𝑦3

Revisar por favor el video del siguiente link para profundizar la temática de grado absoluto, por favor tome nota de lo mencionado en el video como un resumen personal de la temática: https://www.youtube.com/watch?v=Q_ml7t0idmc

ORDEN DE UN POLINOMIO: Para ordenar un polinomio existen dos formas: a) Descendente: Un polinomio está organizado de forma descendente con relación a una letra, cuando se inicia con el término que tiene mayor grado con relación a dicha letra y siguiéndole los demás términos en forma descendente con relación al grado. b) Ascendente: Cuando se inicia con el término de menor grado relativo a la letra y termina en el mayor grado, decimos que el polinomio está organizado de forma ascendente. Ejemplos:

Dado el polinomio 5x2 + 4x + x3 + x5 +3 ordenar la expresión de forma ascendente Se deberá determinar cuál es el exponente de menor grado, el cual en este polinomio resulta equivalente a cero, puesto que el término independiente en este caso el “3” al no contar con una variable y requerirla le es atribuido este grado el “0”.

Solución: 5x2 + 4x + x3 + x5 + 3 ------------------ 3 + 4x + 5x2 + x3+ x5

Dado el polinomio 5xy2 + xy3 + 4x2y – 4 ordenar en forma ascendente con relación a y Como el orden debe ser ascendente, se debe identificar cuál es el exponente de menor valor, al haber presencia de un término independiente, es equivalente a cero.

Solución: 5xy2 + xy3 + 4x2y – 4 ------------------- – 4 + 4x2y + 5xy2 + xy3

Dado el polinomio 7x2y2 + x5y3 – 4x4y – 4 ordenar en forma descendente con relación a x Como el orden debe ser descendente, se debe identificar cuál es el exponente de mayor valor y de ahí vamos ordenando teniendo en cuenta el siguiente exponente menor con respecto a la variable x.

Solución: 7x2y2 + x5y3 – 4x4y – 4 ------------------- x5y3 – 4x4y + 7x2y2 – 4

EJERCICIO PARA PROFUNDIZAR:

Ordenar el polinomio siguiente de forma ascendente con respecto a z y descendente con respecto a x:

4𝑥3𝑦6𝑧2 − 5𝑥4𝑦2𝑧9 + 13𝑥𝑦4𝑧3 − 6𝑥𝑦𝑧6

Revisar por favor el video del siguiente link para profundizar la temática de orden de polinomios, por favor tome nota de lo mencionado en el video como un resumen personal de la temática: https://www.youtube.com/watch?v=et5mw91vjMg

TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. Esto quiere decir que además de la variable, un término semejante debe también tener el mismo exponente. Esto quiere decir que si un término tiene la misma variable (s) pero diferente exponente, no es semejante. Ejemplos:

3x + 4x ------------ SI son términos semejantes

3x + 4y ---------- NO son términos semejantes

3x² 2x³ ------ Estos dos términos NO son semejantes, tienen la misma variable pero diferente exponente.

5yz² 4yz 3yz²:

Sólo 5yz² 3yz² ----- son semejantes porque tienen las mismas variables -letras- y el mismo exponente.

xy 3 – 3 x 2 y + 5 xy 3 – 12 x 2 y + 6

En éste polinomio los términos semejantes son:

xy 3 5 xy 3

– 3 x 2 y – 12 x 2 y

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES: Operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes. Para desarrollar los ejercicios nos basamos en la suma y resta de números reales en los que en clase determinado que:

REGLA PARA REDUCIR:

Se suman o se restan (dependiendo el signo) los coeficientes de los términos que son semejantes en el polinomio, aplicando los pasos que nos da la cápsula anterior.

CAPSULA Suma de 2 o más números de igual signo: Se suman y se deja el mismo signo.

Suma de 2 o más números de diferente signo: Se restan y se deja el signo del mayor

EJEMPLOS:

11b + 9b = (11+9)b = 20b –8m – m = (–8–1)m = –9m

3

5𝑎𝑏 +

1

10𝑎𝑏 = (

3

5+

1

10) 𝑎𝑏 = (

6+1

10) 𝑎𝑏 =

7

10𝑎𝑏

-3z3 + 6z3 – 2z3 = (-3 + 6 – 2) z3 = 1z3 = z3

xy 3 – 3 x 2 y + 5 xy 3 – 12 x 2 y + 6 Hay dos tipos de factores literales: xy 3 x 2 y

Hay también una constante numérica o término independiente: 6

Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de:

xy 3 con 5xy 3

–3 x 2 y con –12 x 2 y

Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, es como si tuviera

un “1” invisible y se le debe asignar para las operaciones: xy 3 = 1xy 3

Entonces:

Sumamos los coeficientes de los términos semejantes y le asignamos la parte literal al resultado,

osea:

(1 + 5) xy 3 = 6 xy 3

(–3 – 12) x 2 y = –15 x 2 y

Solución final: 6 xy 3 + – 15 x 2 y + 6

5xy3 + 3xy3 – 12z2 + 6z2 + z2 + 9xy3

(5 + 3 + 9) xy3 + (–12 +6 + 1) z2 = 17xy3 + (-5) z2 = 17xy3 – 5z2

14ab4 – 5ab2 + 8ab2 ̶ 3ab4

(14 – 3)ab4 + (–5 + 8)ab2 = 11ab4 + 3ab2

Rompo paréntesis usando ley de

los signos + . - = -

Revisar por favor el video del siguiente link para profundizar la temática de reducción de términos semejantes, por favor resuelva los ejercicios que realizan en los videos para un mayor entendimiento:

https://www.youtube.com/watch?v=FDZ18L6kooQ

https://www.youtube.com/watch?v=hP7nEVWtetM

1. Resolver los siguientes ejercicios:

TENER EN CUENTA LOS SIGUIENTE: Las respuestas a las preguntas y los ejercicios planteados en las guías pueden ser resueltos y presentados de las siguientes maneras: Resolver en el mismo documento de Word y me lo reenvían pero por favor guardarlo de la siguiente forma:

Nombre_Apellido_grado8_guia2

Lo resuelven en una hoja cuadriculada con buena letra y que se entiendan los números y los símbolos, lo escanean ya sea con algún dispositivo scanner o con aplicación del celular (recomendación: Tiny Scanner) con la condición que se tome perfectamente la imagen y se entiendan los ejercicios. Si no se entiende nada del desarrollo de la actividad, será devuelto el ejercicio y no será calificado.

Imprimen sólo la parte del ejercicio ojalá en hojas reutilizables para no contaminar el ambiente con tanto residuo, lo escanean y me lo reenvían.

En el piso bajo de un hotel hay x habitaciones. En el segundo piso hay doble número de habitaciones que en el primero; en el tercero la mitad de las que hay en el primero. ¿Cuántas habitaciones tiene el hotel? Escribir como expresión algebraica.