INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE

INGENIERÍA Y CIENCIAS SOCIALES Y

ADMINISTRATIVAS

Daniel Alejandro Díaz Tapia

CIUDAD DE MÉXICO 2018

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

Easy Maths, una alternativa para

mejorar el desempeño matemático de

alumnos de nivel secundaria.

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS EN

INFORMÁTICA

P R E S E N T A

3

4

5

AGRADECIMIENTOS

A Dios

Porque Él siempre cumple los anhelos del corazón y es el motor y

motivo de mi existencia.

"Bendito el varón que confía en Jehová, y cuya confianza es

Jehová. Porque será como el árbol plantado junto a las aguas,

que junto a la corriente echará sus raíces, y no verá cuando viene

el calor, sino que su hoja estará verde; y en el año de sequía no se

fatigará, ni dejará de dar fruto."

Jeremías 17:7-8

A mis padres

Por estar siempre conmigo, apoyarme en todo y alentarme a seguir

adelante. Por ser mis amigos y mi más grande ejemplo e inspiración.

Por darme todo el amor de su corazón y lo mejor de sus vidas.

A Berenice Villegas

Mi compañera de aventuras, amiga y confidente, por ayudarme

a levantar cuando ya no podía más. Por alentarme a seguir

adelante a pesar de lo difícil del camino. Por apoyarme con todo

lo que estaba a su alcance.

A la Dra. Martha Jiménez García

Hermana en Cristo, gran Profesora y excelente persona, por estar

conmigo desde el inicio de esta aventura y apoyarme

incondicionalmente en todo hasta el final.

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RESUMEN

La educación es uno de los factores que más influye en el avance y el progreso de las personas y sociedades. Además de proveer conocimientos, enriquece la cultura, el espíritu, los valores y todo aquello que nos caracteriza como seres humanos. La educación es necesaria en todos los sentidos, puesto que con ella se logran alcanzar mejores niveles de bienestar social y de crecimiento económico. También permite acceder a mejores niveles de empleo, elevar las condiciones culturales de la población, ampliar las oportunidades de los jóvenes, fortalecer valores cívicos y laicos de las sociedades, así como para el impulso de la ciencia, la tecnología y la innovación. A lo largo de la historia de la humanidad la educación ha jugado un papel muy importante, no obstante, ha adquirido una mayor relevancia en el mundo actual debido al avance de la ciencia y el desarrollo de tecnologías de información. De hecho, las sociedades que más han avanzado en lo económico y en lo social son las que han logrado cimentar su progreso en la educación, la investigación y el uso de dichas tecnologías. Para que México comience a dirigir su camino en la misma dirección que los países de primer mundo, es necesario generar estrategias de aprendizaje que refuercen el desarrollo del conocimiento de los alumnos que pertenecen al sector de educación básica. Los resultados de las pruebas ENLACE y PLANEA son un reflejo de la crisis educacional por la que está atravesando nuestro país, es por ello que el presente trabajo está destinado a ofrecer una alternativa de estudio que sea interesante e innovadora, con el objetivo de ayudar a fortalecer el aprendizaje matemático de los alumnos de nivel secundaria.

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ABSTRACT

The education is one of the factors that most influence the progress of people and societies. Besides of providing knowledge, it enriches culture, spirit, values and everything that characterizes us as human beings. The education is necessary in all senses, because with it, it is possible to achieve better levels of social welfare and economic growth. It also allows access to better employment levels, raise the cultural conditions of the population, expand opportunities for young people, strengthen civic and secular values of societies, as well as for the promotion of science, technology and innovation. Throughout the history of mankind, education has played a very important role, however, it has acquired greater relevance in today's world due to the advancement of science and the development of information technologies. In fact, the societies that have advanced the most in the economic and social are those that have managed to cement their progress in education, research and the use of these technologies. If Mexico wants to go in the same direction as the first world countries, it is necessary to generate learning strategies that reinforce the development of knowledge of students who belong to the basic education sector. The results of the ENLACE and PLANEA tests are a reflection of the educational crisis that our country is going through, which is why the present work is intended to offer an interesting and innovative study alternative, with the objective of helping strengthen the mathematical learning of secondary school students.

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ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL ............................................................................................................... 8 RELACIÓN DE TABLAS ....................................................................................................... 9 RELACIÓN DE FIGURAS ..................................................................................................... 9 RELACIÓN DE MAPAS ....................................................................................................... 10 RELACIÓN DE GRÁFICAS ................................................................................................. 11 Glosario ........................................................................................................................... 11 Planteamiento del problema ............................................................................................ 12 Justificación ..................................................................................................................... 13 Objetivo ........................................................................................................................... 14 Metodología ..................................................................................................................... 14 Introducción ..................................................................................................................... 16

1. Capítulo 1. Matemáticas, una necesidad para la humanidad ................................ 17 1.1 Antecedentes y origen de las matemáticas ................................................ 17 1.2 Matemáticas en el mundo .......................................................................... 22

1.2.1 Civilizaciones y sus aportes ........................................................... 23 1.2.2 Estudiosos matemáticos y sus aportaciones ................................. 27 1.2.3 Matemáticas como ciencia y su aplicación a la tecnología ............ 36 1.2.3.1 Evolución de las computadoras ..................................... 37 1.2.3.2 Evolución de los dispositivos móviles ............................ 40 1.2.4 Perspectiva de las matemáticas hoy.............................................. 44 1.2.4.1 Métodos matemáticos .................................................... 45 1.2.4.2 Matemáticas aplicadas a la ciencia y la tecnología ........ 45 1.3 Matemáticas en México, situación actual .................................................. 48 1.3.1 Prueba ENLACE............................................................................ 49 1.3.2 Prueba PLANEA ............................................................................ 55

2. Capítulo 2. Aplicaciones móviles y su importancia ............................................... 59 2.1 Antecedentes de las aplicaciones móviles ................................................ 59 2.2 Situación actual de las aplicaciones móviles ............................................. 60 2.2.1 Aplicaciones nativas ...................................................................... 60 2.2.2 Aplicaciones web ........................................................................... 61 2.2.3 Aplicaciones híbridas ..................................................................... 62 2.3 El futuro de las aplicaciones móviles ......................................................... 63 2.4 Plataformas móviles .................................................................................. 65 2.4.1 Android, una plataforma innovadora .............................................. 72 2.5 Apps de matemáticas hoy en día .............................................................. 74

3. Capítulo 3. Metodología ....................................................................................... 76 3.1 Metodología de desarrollo de Software ..................................................... 76 3.1.1 Metodología Mobile-D ................................................................... 79 3.1.1.1 Etapas del ciclo de vida de un proyecto con Mobile-D ... 81 3.1.2 Metodología DCU .......................................................................... 84 3.1.2.1 Etapas del ciclo de vida de un proyecto con DCU .......... 85

4. Capítulo 4. Easy Maths ........................................................................................ 87 4.1 Temas de matemáticas involucrados ........................................................ 87 4.1.1 Estándares de matemáticas de SEP ............................................. 87 4.1.2 Plan de estudios de SEP y temas a considerar dentro de Easy

Maths ........................................................................................................................... 89

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4.2 Aplicación de metodología DCU a Easy Maths ......................................... 93 4.3 Aplicación de metodología Mobile-D a Easy Maths ................................... 99 4.4 Características y funcionalidad de Easy Maths ....................................... 109

5. Capítulo 5. Resultados y conclusiones ............................................................... 119 5.1 Resultados .............................................................................................. 119 5.2 Trabajos futuros ...................................................................................... 119 5.3 Conclusiones ........................................................................................... 120 Bibliografía ..................................................................................................................... 121

RELACIÓN DE TABLAS Evolución de la prueba ENLACE de 2006-2013 ............................................................... 51 Resultados de la prueba ENLACE del 2006-2013 ........................................................... 51 Lenguajes de programación por sistema operativo .......................................................... 60 Ventajas y desventajas de desarrollar una App nativa ..................................................... 61 Ventajas y desventajas de desarrollar una webapp ......................................................... 62 Ventajas y desventajas de desarrollar una App hibrida .................................................... 62 Tiendas de aplicaciones móviles más populares en la actualidad .................................... 66 Comparativa de plataformas móviles y Apps Stores más populares en la actualidad ...... 69 Ventas de Smartphones a nivel mundial durante el primer trimestre de 2017

(Strategyanalytics.com, 2017) ...................................................................................... 71 Ventajas y desventajas de Mobile-D ................................................................................ 84

RELACIÓN DE FIGURAS Roca de Ocre .................................................................................................................. 17 Hueso de Ishango ............................................................................................................ 18 Hueso de Lebombo ......................................................................................................... 18 Inicios de sistema decimal en la India .............................................................................. 19 Símbolo del número ......................................................................................................... 20 Calendario Maya .............................................................................................................. 21 Teclado Nepohualtzintzin ................................................................................................. 22 Sistema vigesimal Maya .................................................................................................. 24 Símbolos Mayas del calendario Haab .............................................................................. 25 Símbolos Mayas del calendario Tzolkin ........................................................................... 25 Símbolos Mayas de la rueda calendárica ......................................................................... 26 Composición de teclado Nepohualtzintzin(Orbe, 2015) .................................................... 27 Línea del tiempo de la evolución de las computadoras (Zamora, 2014) ........................... 38 Línea del tiempo de la evolución de los dispositivos móviles (Crespo, 2016) ................... 40 Resultados a obtener en la prueba ENLACE ................................................................... 50 Resultados a obtener en la prueba PLANEA ................................................................... 55 Diferencias entre las diferentes aplicaciones móviles existentes ..................................... 63 Concepto de Internet de las cosas ................................................................................... 64 Concepto de la transformación de datos complejos en imágenes simples ....................... 64 Concepto de Open Data .................................................................................................. 65 Edición especial 2017 de iPhone 7 y iPhone 7 Plus (SDPnoticias.com, 2017) ................. 72

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Versiones de Android que existen hasta hoy ................................................................... 73 Android 8.0 Oreo ............................................................................................................. 73 Esquema de funcionamiento de una metodología ágil (Grupo16, 2016) .......................... 80 Etapas y actividades de la metodología Mobile-D ............................................................ 81 Etapas y actividades de la metodología DCU .................................................................. 85 Bloque I del plan de estudios de SEP para alumnos de nivel secundaria ........................ 90 Bloque II del plan de estudios de SEP para alumnos de nivel secundaria ....................... 90 Bloque III del plan de estudios de SEP para alumnos de nivel secundaria ...................... 91 Bloque IV del plan de estudios de SEP para alumnos de nivel secundaria ...................... 92 Bloque V del plan de estudios de SEP para alumnos de nivel secundaria ....................... 92 DCU adaptado con Mobile-D ........................................................................................... 94 Etapas y actividades de la metodología Mobile-D .......................................................... 101 Inicio de instalación de Java JRE................................................................................... 103 Fin de instalación de Java JRE ...................................................................................... 103 Inicio de instalación de Java JDK................................................................................... 104 Selección de herramientas Java JDK ............................................................................ 104 Fin de instalación de Java JDK ...................................................................................... 105 Inicio de instalación de controlador Adb ......................................................................... 105 Fin de instalación de controlador Adb ............................................................................ 106 Inicio de instalación de Android Studio .......................................................................... 106 Fin de instalación de Android Studio .............................................................................. 107 Bienvenida de Android Studio ........................................................................................ 107 Configuración de Android Studio ................................................................................... 108 Menú principal de Android Studio .................................................................................. 108 Pantalla de Inicio de Easy Maths ................................................................................... 110 Pantalla de selección de categoría ................................................................................ 110 Pantalla de inicio de geometría ...................................................................................... 111 Pantalla de respuesta correcta ...................................................................................... 111 Pantalla de respuesta incorrecta .................................................................................... 112 Pantalla que muestra la solución de la pregunta ............................................................ 112 Pantalla de inicio de probabilidad .................................................................................. 113 Pantalla de respuesta correcta ...................................................................................... 113 Pantalla de respuesta incorrecta .................................................................................... 114 Pantalla que muestra la solución de la pregunta ............................................................ 114 Pantalla de inicio de aritmética ...................................................................................... 115 Pantalla de respuesta correcta ...................................................................................... 115 Pantalla de respuesta incorrecta .................................................................................... 116 Pantalla que muestra la solución de la pregunta ............................................................ 116 Pantalla de inicio de álgebra .......................................................................................... 117 Pantalla de respuesta correcta ...................................................................................... 117 Pantalla de respuesta incorrecta .................................................................................... 118 Pantalla que muestra la solución de la pregunta ............................................................ 118

RELACIÓN DE MAPAS Sudáfrica ......................................................................................................................... 17 Suazilandia ...................................................................................................................... 18 Congo .............................................................................................................................. 19 India ................................................................................................................................. 19

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Ubicación de la cultura Maya ........................................................................................... 21 Ubicación de culturas Azteca, Olmeca y Maya ................................................................ 22

RELACIÓN DE GRÁFICAS Porcentaje de alumnos por niveles de logro ........................................................................... 52 Porcentaje de alumnos por niveles de logro de la prueba ENLACE en los últimos años .............. 52 Resultados a nivel geográfico de la prueba ENLACE en los últimos años ................................. 53 Porcentaje de alumnos en Bueno y Excelente por Modalidad Educativa ................................... 53 Resultados a nivel geográfico de la prueba ENLACE en el último año ...................................... 54 Resultados de la prueba PLANEA del 2015 ........................................................................... 56 Resultados de la prueba PLANEA por Estado ........................................................................ 57 Resultados de la prueba PLANEA por sexo ........................................................................... 57 Resultados de la prueba PLANEA por tipo de escuela ............................................................ 58 Ventas mundiales de dispositivos móviles del año 2010 al 2015 (Jurquera, 2016) ...................... 70 Proyección de ventas de dispositivos móviles para el 2020 (Jurquera, 2016) ............................. 70 Estadísticas de uso de Easy Maths .................................................................................... 119

Glosario Las palabras y conceptos de este trabajo se explican a lo largo del desarrollo del mismo.

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i. Planteamiento del problema En México, la educación básica comprende los niveles de primaria y secundaria. Desde el 2006 y hasta el año 2013, la Secretaría de Educación Pública (SEP) realizaba una prueba de conocimientos a los estudiantes de educación básica llamada “Evaluación Nacional de Logro Académico en Centros Escolares” (ENLACE), la cual estaba destinada a valorar el rendimiento académico de las asignaturas de español y matemáticas de los alumnos que la presentaban. En el año 2013, de acuerdo con los resultados de la prueba, se detectó que el 75.5% de los jóvenes estudiantes de secundaria se encuentran en niveles insuficientes y elementales de conocimiento en la asignatura de matemáticas (Lluvia, 2013). Con el propósito de mejorar los resultados obtenidos hasta ese momento, la SEP implementó en 2013 el más reciente Plan de Estudios para la educación básica en nuestro país. Este nuevo plan coloca al estudiante como el centro del proceso educativo, con el fin de brindarle la formación adecuada que lo posibilite a enfrentar y resolver problemas en su quehacer cotidiano a través de la propia construcción de su conocimiento, así como a adquirir un desarrollo de habilidades y actitudes. Este nuevo esquema exige al profesor el diseño y la aplicación de tareas didácticas que despierten el interés del alumno por el aprendizaje; sin embargo, esta estructura de trabajo representa en muchos casos una barrera de resistencia al cambio por parte de los propios docentes, puesto que significa una evolución en el sistema de educación, dejando atrás el tipo de enseñanza tradicional e introduciendo nuevas herramientas de estudio como son las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC). En adición a este nuevo plan de estudios, a partir del año 2013 la SEP implantó una nueva prueba llamada “Plan Nacional para la Evaluación de los Aprendizajes” (PLANEA). Esta prueba sustituyó a la prueba ENLACE, por lo que su objetivo es el mismo, sin embargo, se conforma de reactivos que contienen un enfoque distinto en cuanto a la evaluación obtenida por los alumnos se refiere. Desafortunadamente los resultados obtenidos en la prueba no han mejorado en lo absoluto, sino por el contrario. En el año 2015, de acuerdo a los resultados de la Prueba PLANEA (SEP, 2015), se detectó que solamente el 6.4% de los alumnos evaluados lograron un dominio de los conocimientos y habilidades en el área de matemáticas. Estos indicadores representan una alarma para el Gobierno de México, puesto que los resultados de dichas pruebas se encuentran apegados a los compromisos que la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) exige a sus países miembros para garantizar una educación de calidad.

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ii. Justificación La educación es uno de los factores que más influye en el avance y el progreso de las personas y sociedades. Además de proveer conocimientos, enriquece la cultura, el espíritu, los valores y todo aquello que nos caracteriza como seres humanos. La educación es necesaria en todos los sentidos, puesto que con ella se logran alcanzar mejores niveles de bienestar social y de crecimiento económico. También permite acceder a mejores niveles de empleo, elevar las condiciones culturales de la población, ampliar las oportunidades de los jóvenes, fortalecer valores cívicos y laicos de las sociedades, así como para el impulso de la ciencia, la tecnología y la innovación. A lo largo de la historia de la humanidad la educación ha jugado un papel muy importante, no obstante, ha adquirido una mayor relevancia en el mundo actual debido al avance de la ciencia y el desarrollo de tecnologías de información. De hecho, las sociedades que más han avanzado en lo económico y en lo social son las que han logrado cimentar su progreso en la educación, la investigación y el uso de dichas tecnologías. Para que México comience a dirigir su camino en la misma dirección que los países de primer mundo, es necesario generar estrategias de aprendizaje que refuercen el desarrollo del conocimiento de los alumnos que pertenecen al sector de educación básica. Los resultados de las pruebas ENLACE y PLANEA son un reflejo de la crisis educacional por la que está atravesando nuestro país, es por ello que el presente trabajo está destinado a ofrecer una alternativa de estudio que sea interesante e innovadora, con el objetivo de ayudar a fortalecer el aprendizaje matemático de los alumnos de nivel secundaria.

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iii. Objetivo Desarrollar una aplicación para dispositivos móviles que cuenten con Sistema Operativo Android, la cual será nombrada como Easy Maths y que tiene como fin ayudar a fortalecer el aprendizaje matemático de los alumnos de nivel secundaria.

iv. Metodología

a) ¿Cómo se logrará el objetivo?

1. Se debe realizar una investigación de los temarios de matemáticas establecidos por la SEP para los alumnos que estudian la secundaria en México.

2. Se debe instalar en una computadora personal el Software necesario para desarrollar una aplicación móvil que pueda ser ejecutada dentro del Sistema Operativo Android.

3. Se deben adquirir los conocimientos técnicos para desarrollar una aplicación móvil que sea ejecutada dentro del Sistema Operativo Android.

4. Se debe desarrollar una aplicación móvil que contenga ejercicios, soluciones y explicaciones de los temas más relevantes de la investigación realizada en el punto 1 de la presente lista.

b) ¿Qué metodología se utilizará?

Para el desarrollo de este trabajo se va a utilizar la metodología Mobile-D. El objetivo de esta metodología es conseguir ciclos de desarrollo muy rápidos en equipos de trabajo muy pequeños y con bajos costos. Esta metodología está basada en otras conocidas como son: Extreme Programming, Crystal Methodologies y Rational Unified Process (RUP). Las fases que componen esta metodología son:

1. Fase de exploración: Se centra en la planificación y definición de los conceptos

básicos del proyecto. Se realiza la definición del alcance del proyecto y los objetivos que se pretenden cumplir.

2. Fase de inicialización: Es la fase en la que se definen todos los recursos necesarios para el desarrollo del proyecto así como las tareas que se van a realizar en fases posteriores.

3. Fase de producción: En esta fase se diseñan, desarrollan e implementan todas las funciones que el Software necesita, así mismo se ejecutan las correspondientes pruebas al Software desarrollado.

4. Fase de estabilización: Esta fase se encarga de que cada nuevo Software agregado funcione correctamente con el resto del Software, y se realiza para cada nueva función desarrollada.

5. Fase de pruebas y reparaciones: En esta última fase se prueba el Software completo en búsqueda de errores inesperados, a fin de solucionarlos y entregar un producto final lo más completo y estable posible.

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c) ¿Qué Software se va a utilizar para resolver el problema?

Easy Maths es una aplicación pensada para ejecutarse dentro del Sistema Operativo Android, por lo que el Software que se debe utilizar es Android Studio. En cuanto al lenguaje de programación que se utilizará para su desarrollo se ha elegido Java.

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v. Introducción

Desde tiempos remotos, la humanidad se ha encontrado en la necesidad de adquirir una formación en el ámbito de la educación y la comunicación, esto debido a su propia naturaleza la cual tiene como base principal la relación interpersonal entre los seres que conforman una sociedad, así como el intercambio de bienes y/o servicios entre los mismos. Con el paso del tiempo, los seres humanos han evolucionado en todos los aspectos, desde cuestiones simples como su forma de vestir, hasta aspectos complejos como la creación de tecnología que le haga la vida más sencilla. Es por ello que durante el paso del tiempo han surgido distintas formas de aprender y enseñar, con lo cual el hombre ha buscado obtener una mejor educación día con día. Por otro lado, existe un concepto llamado ‘Proceso de aprendizaje’, el cual se refiere al procedimiento que una persona vive para adquirir una nueva habilidad, asimilar información que no conocía anteriormente, o adoptar una nuevas estrategia de conocimiento y acción sobre algún tema. Este proceso comienza con la educación básica, debido a que para poder estudiar un tema es necesario partir de los conceptos más simples hasta llegar a los más complejos. Existen decenas de ramas de estudio que son necesarias en el desarrollo humano, entonces, ¿Cómo determinar a una asignatura como ‘básica’?. Desde mi punto de vista, una asignatura básica es aquella que desarrolla una persona por su propia naturaleza, como pueden ser la comunicación o el conteo de cosas. Tomando este concepto como verdadero, se puede determinar que una de las asignaturas que debe ser tomada en cuenta como base en el proceso de adquisición del conocimiento son las matemáticas. Es por ello que en la actualidad existen pruebas de conocimientos que reflejan la situación académica de una sociedad, y, en el caso particular de nuestro país, reflejan el bajo nivel de conocimiento que presentan los estudiantes de nivel secundaria en dicha asignatura, con lo que se puede concluir que existe la necesidad de implementar nuevas estrategias que aumenten el interés de los alumnos por el aprendizaje en esa materia.

La presente investigación tiene como objetivo principal el desarrollo de una aplicación móvil como herramienta complementaria de estudio, la cual fortalezca el desarrollo del pensamiento lógico-matemático, así como la asimilación y aplicación de contenidos de dicha materia para los alumnos que estudian el nivel secundaria en México.

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1. Capítulo 1. Matemáticas, una necesidad para la humanidad

1.1 Antecedentes y origen de las matemáticas Durante el transcurso de la historia humana, distintas naciones se han destacado por su interés en el estudio y la enseñanza de las matemáticas; Hasta hoy no se conoce con exactitud quién fue el creador de esta rama de estudio, sin embargo, es claro que sus inicios datan de cuando los seres humanos se vieron en la necesidad de cuantificar objetos o realizar trueques. Estos pioneros comenzaron a crear y emplear diferentes símbolos para representar ideas, formas o números, sin siquiera imaginar que se encontraban creando una de las más importantes ciencias en la historia de la humanidad. Es así como surgió la escritura y la aparición de símbolos matemáticos. A continuación se mencionarán importantes hallazgos del origen de las matemáticas en la humanidad:

a. Rocas de Ocre

Existen diferentes suposiciones evolutivas acerca del origen de las matemáticas, sin embargo, estas teorías son difíciles de comprobar en su totalidad. Sin embargo, se ha determinado oficialmente que uno de los primeros objetos arqueológicos encontrados que demuestran la aparición de conceptos matemáticos en antiguas culturas fue hallada en una cueva en Sudáfrica (Mapa 1), las cuales se les conoce como Rocas de ocre (Figura 1); Estas rocas están adornadas con hendiduras en formas geométricas datadas en 70.000 años de antigüedad. (Stauffer, 2010).

Figura 1. Roca de Ocre

Mapa 1. Sudáfrica

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b. Hueso de Lebombo

Otro descubrimiento arqueológico del origen de las matemáticas es el hueso de Lebombo (Figura 2), hallado en Suazilandia (Mapa 2) y datado en 35.000 años de antigüedad. Este objeto es un peroné de babuino con un total de 29 hendiduras que, según unas excavaciones arqueológicas que se llevaron a cabo en 1973, fueron usadas por las mujeres de la época para mantener la cuenta de sus ciclos menstruales, ya que otros huesos y piedras que se han encontrado cuentan con entre 28 y 30 hendiduras, existiendo siempre una marca significativa en la última hendidura. (Stauffer, 2010).

Figura 2. Hueso de Lebombo

Mapa 2. Suazilandia

c. Hueso de Ishiango

El siguiente hito de restos arqueológicos descubierto se encuentra en el hueso de Ishango (Figura 3) el cual fue hallado cerca del nacimiento del río Nilo, al noreste del Congo (Mapa 3), y que cuenta con una antigüedad de alrededor de 20.000 años. Este hueso contiene una serie de marcas a lo largo de él divididas en tres columnas; La asimetría de estas líneas hace pensar que estos huesos fueron utilizados con fines más funcionales que decorativos. (Stauffer, 2010).

Figura 3. Hueso de Ishango

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Mapa 3. Congo

d. Primer sistema decimal

Las primeras civilizaciones con un sistema matemático más complejo fueron localizadas en la India (Mapa 4). Estos descubrimientos datan de aproximadamente el año 3.000 a. C., donde se haya las primeras evidencias de un sistema decimal (Figura 4), la aparición de ángulos rectos y de formas geométricas complejas (Como conos o cilindros), así como reglas con subdivisiones pequeñas y precisas para establecer mediciones. (Stauffer, 2010).

Figura 4. Inicios de sistema decimal en la India

Mapa 4. India

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e. Numeración posicional babilónica

Este sistema apareció por primera vez alrededor de 1800-1900 a. C. Se le llama posicional porque un valor de un dígito particular depende tanto de su valor como de su posición en el número que se quiere representar. Esto fue un desarrollo extremadamente importante debido a que antes de su existencia las personas estaban obligadas a utilizar símbolos únicos para representar cada potencia de una base (diez, cien, mil…), llegando a ser incluso los cálculos más básicos poco manejables (Cajori, 2007). Aunque su sistema tenía claramente un sistema decimal interno, prefirieron utilizar el número 60 como la segunda unidad más pequeña en vez de 100 como lo hacemos hoy día, más apropiadamente se considera un sistema mixto de las bases 10 y 60. La mayor desventaja de este sistema es que no contenía un símbolo dedicado al cero sino que se dejaba un espacio para su representación.

f. Invención del cero en los viejos continentes

Inspirados en la numeración posicional de los babilonios, la cultura india mejoró el sistema de numeración posicional con el descubrimiento del 0, llamado sunya (shuunia) o bindu en lengua sánscrita, aunque los mayas también conocieron tanto el 0 como la numeración posicional. (En párrafos posteriores hablaremos de ello). En la India se usaba un sistema numerales posicional base 10 con 9 glifos y se conocía el concepto del cero representado por un punto (Cajori, 2007).

g. Invención del cero en América La contribución más importante a las matemáticas en este sitio (Ubicado al sur de México como se muestra en el mapa 5) fue la introducción del cero en el continente americano (Figura 5)

por parte de la cultura Maya en el año 36 a.C. (Fernández, 2016). Este concepto sirvió para cálculos astronómicos y para el señalamiento de fechas calendáricas.

Figura 5. Símbolo del número cero creado por los Mayas

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Mapa 5. Ubicación de la cultura Maya

h. Calendario más sofisticado del mundo

Además de la invención del cero, las sociedades mesoamericanas utilizaron cálculos matemáticos y la observación del universo para desempeñar actividades como la agricultura, el diseño de sus ciudades, y (aunque los calendarios ya habían sido inventados en Europa para ese momento) la creación del calendario más sofisticado (Figura 6) que ninguna civilización haya producido (Medio, 2016). Este calendario fue inventado por los Olmecas, no obstante, fue perfeccionado por los Mayas tiempo después. Se dice que está compuesto de 3 calendarios en 1 debido a que contiene 3 cálculos de tiempo diferentes dentro de sí (Estos periodos de tiempo serán explicados en el siguiente tema). Hasta hoy no se conoce con exactitud el año de creación de este instrumento.

Figura 6. Calendario Maya

i. Nepohualtzintzin

Otro hallazgo importante fechado alrededor del año 1300 d. C. fue un teclado llamado Nepohualtzintzin (Figura 7). Esta herramienta era utilizada por las culturas Azteca, Maya y Olmeca (Ubicadas al sur de México como lo muestra el mapa 6). Era una especie de ábaco para realizar operaciones matemáticas. Su nombre proviene de los vocablos en

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náhuatl Nepóhuatl (la cuenta) y Tzintzin (venerable), por lo que su significado literal es la cuenta venerable, y que hasta hoy día se considera como una ‘Computadora prehispánica’. (Espinosa Ávila, 2015). Este teclado podía colocarse en el brazo para poder ser utilizado, sin embargo, los estudiosos de este sistema de conteo hacen referencia de que también se utilizaba con varas y piedras, o incluso dibujado en el propio suelo.

Figura 7. Teclado Nepohualtzintzin

Mapa 6. Ubicación de culturas Azteca, Olmeca y Maya

Los acontecimientos mencionados con anterioridad fueron los que dieron origen a las matemáticas alrededor de todo el mundo, no obstante, con el paso de los años numerosas civilizaciones se han preocupado por realizar más aportes a dicha rama, en el próximo tema se abordarán los más importantes.

1.2 Matemáticas en el mundo Los libros relatan acerca de Civilizaciones que se destacaron por sus aportes a la humanidad en el área de las matemáticas. Estos avances se pueden agrupar en distintas clasificaciones, no obstante, este trabajo propone presentarlos en dos rubros:

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1. Los aportes realizados a nivel Cultural o por una Civilización 2. Los aportes realizados a nivel individual por estudiosos matemáticos.

1.2.1 Civilizaciones y sus aportes

a. China siglo - XIII a. C. La civilización asiática más avanzada la cual fue una de las más importantes del mundo antiguo. Las matemáticas fueron usadas especialmente en la geometría debido a que sus construcciones eran complicadas, llegando a tener templos con techos en pico, construcciones de presas y su construcción más importante que hasta hoy permanece, la gran muralla china, la cual mide aproximadamente 6000 km. de longitud. Los chinos inventaron un sistema de numeración decimal muy parecido al actual.

b. Mesopotamia - siglo X a. C. Fue una de las civilizaciones más importantes ya que comenzaron el uso intensivo de la agricultura. En las matemáticas se basaron en la geometría, numeración y la astrología. Median el tiempo por medio de la posición del sol y los astros para saber el tiempo de siembra. Utilizaron la geometría para la construcción de sus palacios como el de Nimrud y Nínive.

c. India - siglo VIII a. C. Sus aportaciones se encuentran en periodos muy aislados entre los siglos VIII y VII a.C., centrándose en la geometría para hacer sus construcciones. La primera numeración fue hecha por ellos, así mismo crearon los números negativos, el álgebra aritmética y la trigonometría, incluyeron el número como nulo así como el cálculo de la deducción, además introdujeron la numeración de base 10. d. Egipto siglo - VII a. C. La civilización egipcia fue una de las grandes civilizaciones del mundo antiguo, desarrollaron un sistema de escritura y numeración con jeroglíficos, también tuvieron elementales conocimientos en el cálculo y geometría que les sirvieron para la agricultura y la construcción de sus monumentos. Utilizaron también la astronomía, solo que no la desarrollaron tan bien como los mesopotámicos. e. Grecia siglo - VI a. C.

Dieron el mayor avance a las matemáticas con un uso perfecto de la geometría usando la lógica, después la academia con más aportaciones fue la escuela Pitagórica fundada por Pitágoras, fue ahí donde se dio a conocer el teorema de Pitágoras, los números y sus relaciones, la aritmética y también la música, en la que veían la influencia de los números al obtener diferentes sonidos relacionados entre sí al dar diferentes tamaños a las cuerdas de una lira.

f. Babilonia siglo II a. C.

Desarrollaron una escritura basada en símbolos escritos en arcilla y en esas mismas tablas hacían cálculos matemáticos. Conocían la geometría, la aritmética, la escritura, la astronomía,

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la astrología, la estática y la mecánica. Estudiaron las estrellas, determinaron los 12 signos zodiacales, desarrollaron la medida de tiempo dividieron los años en 12 meses, las 12 horas del día, las 12 horas de la noche, los 60 minutos de la hora y los 60 segundos del minuto. Su número más importante era el 12 y sus múltiplos hasta llegar al 60.

g. Romanos siglo I a. C. Civilización que no desarrolló ramas matemáticas sino que perfeccionaron algunas ya existentes como la geometría la cual era usada para hacer los templos de sus emperadores. Adoptaron la ciencia griega utilizando la matemática para el uso de la contabilidad y crearon varios modelos matemáticos para la astronomía. Aportaron una gran evolución en problemas de cálculo e inventaron los números romanos, los cuales se representan por las letras I, V, X, L, C, D, M.

h. Mayas siglo I a. C. Una de las civilizaciones más importantes no sólo de América sino de todo el mundo. Contaban con un uso exacto de la astronomía, además tenían una precisión envidiable en la geometría con lo que lograron construir sus templos. Desarrollaron un sistema de numeración perfecto con base 20, es decir, un sistema vigesimal representado por los símbolos mostrados en la figura 8:

Figura 8. Sistema vigesimal Maya Como se ha mencionado previamente, sus aportes más grandes fueron la creación del cero, así como la invención del calendario más sofisticado que se haya inventado el cual estaba conformado por 3 calendarios dentro de sí. El primero de ellos es llamado Tzolkin - El calendario de 260 días, el segundo es Haab - El calendario de 365 días, y el tercero es La rueda calendárica - El ciclo de 18,980 días. Según Mayacalendar (2004), los mencionados calendarios funcionan de la siguiente manera:

h.a. Tzolkin - El calendario de 260 días

El calendario Tzolkin de 260 días es el más usado por los pueblos del mundo maya. Lo usaban para regir los tiempos de su quehacer agrícola, su ceremonial religioso y sus costumbres familiares, pues la vida del hombre maya estaba predestinada por el día del Tzolkin que correspondía a la fecha de su nacimiento. Esta cuenta consta de los números del 1 al 13, y 20 nombres para los días representados asimismo por glifos individuales. Al llegar al decimocuarto día, el número del día regresa al 1 continuando la sucesión del 1 al 13 una y otra vez. El día 21 se repite la sucesión de los nombres de los días y así sucesivamente. Ambos ciclos continúan de esta manera hasta los 260 días sin que se repita la combinación de número y nombre, pues 260 es el mínimo común múltiplo de 13 y 20. Después el ciclo de 260 días a su vez se repite. Los glifos y los nombres de los Kin o días se muestran en la figura 9:

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Figura 9. Símbolos Mayas del calendario Tzolkin

h.b. Haab - El calendario de 365 días

El calendario llamado Haab se basa en el recorrido anual de la Tierra alrededor del Sol en 365 días. Los mayas dividieron el año de 365 días en 18 "meses" llamados Winal, de 20 días cada uno y 5 días sobrantes que se les denominaba Wayeb. Cada día se escribe usando un número del 0 al 19 y un nombre del Winal representado por un glifo, con la excepción de los días del Wayeb que se acompañan de números del 0 al 4. Los glifos y nombres de los Winal o meses mayas se muestran en la figura 10:

Figura 10. Símbolos Mayas del calendario Haab

h.c. La rueda calendárica - El ciclo de 18,980 días

La combinación de los calendarios de 260 y 365 días crea un ciclo mayor, el de 18,980 días (el mínimo común múltiplo de 260 y 365), a esta combinación se le ha llamado la Rueda Calendárica. Sus cuatro elementos (numeral-glifo Kin y numeral-glifo Winal) juntos solo se repiten cada 18,980 días (Lo que en su momento levantó la hipótesis de que el mundo llegaría a su fin el 21 de diciembre de 2012). Una gran cantidad de monumentos mayas solamente registran la fecha de la Rueda Calendárica. Aquí se ven los cuatro elementos de la Rueda Calendárica para el Wuinal maya llamado Pop que corresponde a las fechas del 7 al 26 de abril del año 2000 y el primer día del siguiente Winal maya llamado Uo que se muestra en la figura 11:

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Figura 11. Símbolos Mayas de la rueda calendárica

i. Aztecas siglo I d. C. Otra civilización importante de Mesoamérica fueron los Aztecas, quienes mostraron un excelente manejo de las matemáticas en sus actividades cotidianas. Alrededor del año 1300 d. C. (Se cree que los inventores de esta herramienta fueron los Aztecas, no obstante no eran los únicos en utilizarla) las culturas Azteca, Maya y Olmeca utilizaban un sistema matemático llamado Nepohualtzintzin (Espinosa Ávila, 2015), el cual ha sido mencionado con anterioridad, sin embargo, en esta sección se explicará a fondo esta herramienta.

i.a. Teclado Nepohualtzintzin Este teclado podía colocarse en el brazo para poder ser utilizado, sin embargo, los estudiosos de este sistema de conteo hacen referencia de que también se utilizaba con varas y piedras, o incluso dibujado en el propio suelo. Este sistema de conteo es de base 20, con el mismo número de cifras diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, y 19, que también se pueden representar como 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I y J. Con el sistema numérico vigesimal, estas culturas podían efectuar las operaciones matemáticas fundamentales por medio de tablas de sumar y de multiplicar. Estaba constituido por una cuadrícula hecha con varillas y se utilizaban piedrecillas o semillas para representar los números. La figura 12 detalla claramente la forma en la que este teclado se componía:

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Figura 12. Composición de teclado Nepohualtzintzin(Orbe, 2015)

1.2.2 Estudiosos matemáticos y sus aportaciones

En la antigüedad la mayoría de los matemáticos se dedicaban a varias ciencias diferentes, podían ser estudiosos de matemáticas y al mismo tiempo, filósofos, ingenieros, astrónomos o astrólogos. En la actualidad sucede lo contrario, pues los matemáticos normalmente solo investigan unas pocas ramas (o áreas parciales) de las matemáticas. John O'Connor (2003) presenta la siguiente lista de los matemáticos más importantes que han existido a través del tiempo, desde la antigüedad hasta tiempos presentes.

A. Época antigua

a. Tales de Mileto 624 - 546 a. C.

Filósofo griego, estadista, matemático, astrónomo e ingeniero. Según se señala en los escritos conservados, Tales habría demostrado teoremas geométricos sobre la base de definiciones y premisas con ayuda de reflexiones sobre la simetría. Aspiraba a encontrar una explicación racional del universo. El teorema sobre la proporcionalidad de los segmentos correspondientes al cortar rectas concurrentes por líneas paralelas se llama teorema de Tales en su honor.

b. Pitágoras de Samos 570 – 510 a. C.

Matemático, filósofo y fundador de la agrupación secreta de los pitagóricos, fue considerado el primer matemático puro. El teorema de Pitágoras, llamado así por Euclides, ya era conocido con mucha anterioridad a Pitágoras.

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c. Eudoxo de Cnidos 410 - 355 a. C.

Matemático, astrónomo, geógrafo y médico griego. Clasificó los conceptos de número, longitud, dimensión espacial y temporal y estableció los fundamentos para la teoría de la proporción. Su teoría de la proporción ya contenía el axioma de Arquímedes o "axioma de continuidad" y anticipaba resultados del comportamiento de los irracionales. Determinó el volumen de la pirámide y del cono.

d. Euclides de Alejandría 365 - 300 a. C.

Intentó establecer la matemática, y especialmente la geometría, sobre fundamentos axiomáticos. En su manual de 13 volúmenes "Los Elementos" resumió el conocimiento matemático de aquel entonces. La geometría euclidiana o euclídea y el algoritmo de Euclides son conceptos que se denominan así en su honor.

e. Arquímedes de Siracusa 287 - 212 a. C.

Arquímedes fue un matemático, físico e ingeniero griego, considerado el más importante de los matemáticos de la antigüedad. Demostró que la circunferencia de un círculo mantiene la misma relación respecto de su diámetro que la superficie del círculo respecto del cuadrado del radio. La relación se denomina hoy en día con el número pi. Además calculó la superficie bajo una parábola. El principio de Arquímedes se llama así en su honor.

f. Herón de Alejandría 200 - 144 a. C.

Herón de Alejandría fue un destacado matemático e ingeniero griego. Desarrolló un procedimiento que lleva su nombre para el cálculo de raíces cuadradas y la fórmula de Herón, la que permite calcular la superficie de un triángulo conociendo la longitud de sus lados.

g. Liu Hui 280 - 220 a. C.

Matemático chino conocido por haber escrito en el año 263 una serie acerca de matemáticas para la vida cotidiana. Entre sus aportes más destacados se cuentan el cálculo del número PI a través de la inscripción de polígonos regulares en un círculo, la solución de sistemas de ecuaciones lineales a través de un procedimiento que más tarde se denominaría procedimiento de eliminación de Gaus, y el cálculo del volumen del prisma, el tetraedro, la pirámide, el cilindro y el cono.

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h. Eratóstenes de Cirene 276 - a. C.

El principal motivo de su celebridad es sin duda la determinación del tamaño de la Tierra. Para ello inventó y empleó un método trigonométrico, además de las nociones de latitud y longitud, por lo que bien merece el título de padre de la geodesia.

B. Edad media

a. Brahmagupta 598 - 668

Desempeñó sus labores como matemático, así como también de astrónomo en India. Estableció reglas para la aritmética con los números negativos y fue el primero que definió y utilizó el cero para los cálculos. La fórmula de Brahmagupta lleva su nombre.

b. Al-Juarismi 780 - 835

Matemático, astrónomo y geógrafo persa. Se le considera como uno de los matemáticos más relevantes debido a que se dedicó al álgebra como forma de investigación elemental. Al-Juarismi introdujo de la matemática hindú la cifra cero en el sistema arábico y con ello en todos los sistemas numéricos modernos. En sus libros expone estrategias de solución sistemáticas para ecuaciones lineales y cuadráticas. El término "álgebra" se debe a la traducción de su libro Hisab al-dschabr wa-l-muqabala.

c. Thabit ibn Qurra 826 - 901

Hizo contribuciones a la generalización del teorema de Pitágoras y del postulado de las paralelas. Se dedicó a los cuadrados mágicos y a la teoría de números. Su teorema de los números amigos es muy conocido.

d. Al-Battani entre 850 - 929

Matemático y astrónomo de la edad media islámica. Transmitió al mundo árabe los fundamentos de la matemática hindú y el concepto de cero. Pero, sobre todo, el mérito de Al-Battanis gira en torno a la trigonometría; fue el primero en utilizar el seno en lugar de las cuerdas. Halló y demostró por primera vez el teorema del seno, así como el hecho de que la tangente representa la relación entre el seno y el coseno. e. Abu'l Wafa 940 - 998

Hizo aportes significativos a la trigonometría. Fue el primero en introducir las funciones secante y cosecante y en utilizar la función tangente. Propuso también la definición de las funciones trigonométricas de la circunferencia unitaria. Además simplificó los métodos antiguos de la trigonometría esférica y demostró el teorema del seno para los triángulos esféricos en general.

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f. Omar Jayam 1048 - 1131

Fue un matemático y astrónomo persa. Halló la solución para las ecuaciones de tercer grado y sus raíces a través de su expresión geométrica. Se dedicó también principalmente al problema de las paralelas y a los números irracionales. Los desarrollos de su obra prevalecieron en álgebra durante mucho tiempo.

g. Leonardo Fibonacci 1180 - 1241

Considerado el matemático europeo más importante de la Edad Media. Hoy en día se le conoce sobre todo por los números que llevan su nombre y conforman la sucesión de Fibonacci. A través del estudio de la geometría de Euclides, escribió un compendio de sus conocimientos matemáticos en su obra principal Liber abbaci.

h. Zhu Shijie 1260 - 1320

Matemático chino. Su trabajo establece 260 problemas de las áreas de la aritmética y del álgebra. Su segundo libro “El precioso espejo de los cuatro elementos”, escrito en el año 1303, elevó al álgebra china al más alto nivel. La obra incluye una explicación de su método de los cuatro elementos, el que se puede usar para representar ecuaciones algebraicas con cuatro incógnitas.

C. Renacimiento y edad moderna

a. Regiomontanus 1436 - 1476 Johannes Müller de Königsberg, más tarde llamado Regiomontanus, fue un matemático, astrónomo y editor de la Baja Edad Media. Regiomontanus destaca como el fundador de la trigonometría moderna y reformador temprano del Calendario Juliano.

b. Luca Pacioli 1450 - 1510

Matemático italiano y monje franciscano. Su principal obra Summa de arithmetica geometría, proporzioni e proporzionalita se publicó en 1494, el primer libro impreso de matemáticas en la historia y con ello la sistematización aritmética. Este libro está dividido en dos partes: la primera parte trata de aritmética y álgebra, un método para extracción de raíces, y diversos temas de la matemática aplicada al comercio y de contabilidad (Método de partida doble). La segunda parte está dedicada a temas de geometría y el álgebra.

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c. Gerolamo Cardano 1501 - 1576

Médico, filósofo y matemático italiano. Hizo importantes descubrimientos en el cálculo de probabilidades, así como también fue el primero en sugerir la existencia de números imaginarios. Cardano encontró un algoritmo para hallar la solución de las ecuaciones de tercer grado, ahora conocida como fórmula de Cardano. También en su honor se denomina así la junta cardán (un componente mecánico que articula dos ejes).

d. Rafael Bombelli 1526 - 1572

Matemático e ingeniero italiano. En su libro L'algebra, publicado en 1572 introduce los números negativos e incluso números imaginarios. Se le atribuye la introducción de los paréntesis en la notación algebraica. Sus aportes como ingeniero se centraron en resolver problemas de desagües de pantanos y otras obras de importancia para la explotación agraria.

e. François Viète 1540 - 1603

Fue un abogado y matemático francés. A Viète se debe el uso de letras como variables en la notación matemática. En realidad la matemática era para él una ocupación colateral, pero, a pesar de ello, se transformó en uno de los matemáticos más influyentes de su época. Además, destacó en el ámbito de la trigonometría y aportó valiosos trabajos previos para el posterior desarrollo del cálculo infinitesimal. Las fórmulas de Viète llevan su nombre.

f. Johannes Kepler 1571 - 1630

Johannes Kepler fue un filósofo natural, matemático, astrónomo, astrólogo y óptico alemán. Se dedicó a la teoría general de polígonos y poliedros. Kepler desarrolló muchas configuraciones espaciales hasta ese entonces desconocidas, que actualmente se conocen como sólidos de Kepler-Poinsot. La definición de antiprisma es también de su autoría. Además desarrolló la regla de Kepler que permite obtener una aproximación numérica de la integral. Su aporte más significativo es el descubrimiento de las leyes que llevan su nombre acerca del movimiento de los planetas que describen una elipse cuyo foco es el sol.

g. René Descartes 1596 - 1650

René Descartes fue un filósofo, matemático y científico francés. Como matemático se le conoce sobre todo por sus aportes a la geometría. El tratamiento de un sistema de referencias en coordenadas cartesianas es obra suya. En 1640 hizo un aporte a la solución de problema de la tangente del cálculo diferencial.

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h. Blaise Pascal 1623 - 1662

Blaise Pascal fue un matemático, físico, escritor y filósofo francés. Pascal aportó una serie de conocimientos elementales. Se dedicó al cálculo de probabilidades e investigó especialmente los juegos de dados. El triángulo de Pascal, aunque no fue descubierto por él, se llama así en su honor; también lleva su nombre el teorema de Pascal, sobre hexágonos inscritos en una sección cónica.

i. Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 - 1716

Fue un filósofo, científico, matemático, diplomático, físico, historiador y bibliotecario alemán. En 1672 Leibniz construyó una máquina calculadora que podía multiplicar, dividir y extraer la raíz cuadrada. Entre los años 1672 y 1676, desarrolló los fundamentos del cálculo infinitesimal. Se debe la notación del diferencial así como el signo para integral. Además descubrió el criterio que lleva su nombre, un criterio matemático de convergencia para series infinitas, como asimismo la fórmula de Leibniz que se usa para el cálculo de determinantes en matrices.

j. Isaac Newton 1643 - 1727

Físico, matemático, astrónomo, alquimista, filósofo y alto funcionario administrativo inglés. Fundó el cálculo infinitesimal independientemente de Leibniz y realizó importantes aportes al álgebra. En matemática, el método de Newton lleva su nombre y en física, la mecánica newtoniana, con ayuda de la cual, entre otras cosas, se pudieron derivar matemáticamente las leyes de Kepler.

k. Leonhard Euler 1707 - 1783

Fue uno de los matemáticos más importantes y prolíficos de la historia. Escribió en total 866 publicaciones y sus resultados fundamentales crearon nuevos campos de la matemática. Una gran parte de la actual simbólica matemática se debe a Euler. Además de su dedicación al cálculo diferencial e integral, trabajó, entre otros temas, con ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, ecuaciones recurrentes, integrales elípticas, así como también en la teoría de las funciones gamma y beta. Muchos conceptos y teoremas matemáticos llevan su nombre.

D. Siglo XIX

a. Sophie Germain 1776 - 1831 Fue una matemática francesa que hizo importantes contribuciones a la teoría de números y la teoría de la elasticidad. A ella se deben conceptos como el término de curvatura media en teoría de la elasticidad, identidad y número primo de Sophie Germain.

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b. Carl Friedrich Gauss 1777 - 1855

Fue un matemático, astrónomo, geodésico y físico alemán considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia, y fue honrado por sus meritorios trabajos científicos ya en tiempos de vida. Se dedicó a casi todos los campos de la matemática y reconoció muy tempranamente la utilidad de los números complejos. Una gran cantidad de procedimientos, conceptos y teoremas llevan su nombre, como por ejemplo el método de eliminación gaussiana y los enteros gaussianos.

c. August Ferdinand Möbius 1790 - 1868

August Ferdinand Möbius fue un matemático y astrónomo alemán. Möbius escribió numerosos y extensos ensayos y textos sobre astronomía, geometría y estática. Realizó valiosos aportes a la geometría analítica, entre otros, con la introducción de las coordenadas homogéneas y del principio de dualidad. Möbius es considerado un pionero de la topología. La banda de Möbius que lleva su nombre es conocida más allá del ámbito de la matemática.

d. Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805 - 1859

Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue un matemático alemán. Dirichlet trabajó principalmente en las áreas del análisis y la teoría de números. Demostró la convergencia de las series de Fourier y la existencia de infinitos números primos en las progresiones aritméticas. Lleva su nombre el teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas.

e. Leopold Kronecker 1823 - 1891

Leopold Kronecker fue uno de los más importantes matemáticos alemanes. Sus investigaciones arrojaron como resultado contribuciones fundamentales al álgebra y a la teoría de números, pero también al análisis matemático y al análisis complejo. Con el transcurso del tiempo se transformó en partidario del finitismo e intentó definir la matemática únicamente sobre la base de los números naturales.

f. Bernhard Riemann 1826 - 1866

Matemático alemán que desarrolló su trabajo en el campo del análisis, la geometría diferencial, la física matemática y la teoría de números. La hipótesis de Riemann, que lleva su nombre, se cuenta entre los problemas no resueltos de la matemática más notables. La función zeta de Riemann, una función de variable compleja, desempeña un importante papel en la teoría analítica de números.

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g. Georg Cantor 1845 - 1918

Matemático alemán que hizo importantes contribuciones a la matemática moderna. En particular, es en fundador de la teoría de conjuntos. En 1870 creó, con sus "conjuntos de puntos", las bases para los más tarde denominados fractales por Benoît Mandelbrot. El conjunto de puntos de Cantor sigue el principio de la repetición infinita de procesos autosimilares. El conjunto de Cantor es considerado como el fractal más antiguo de todos.

h. Felix Klein 1849 - 1925

Felix Klein fue un matemático alemán. Klein obtuvo importantes resultados en geometría en el siglo XIX. Colateralmente recibió reconocimiento también por sus aportes a la matemática aplicada y a la didáctica de las matemáticas. Además se desempeñó en el ámbito de la teoría de funciones. Llevan su nombre la botella de Klein, die Grupo de Klein de cuatro elementos, y sobre todo el modelo de Klein de la geometría no euclidiana (hiperbólica).

i. Sofia Vasílievna 1850 - 1891

Fue una matemática rusa y la primera mujer catedrática universitaria de matemáticas en la historia (Estocolmo, 1889). Kovalévskaya tomó clases particulares con Weierstrass, porque en aquel entonces las mujeres no eran aceptadas en la universidad para esta rama de estudios. En 1886 logró una solución para un caso especial del problema de la rotación de cuerpos rígidos en torno a un punto fijo.

j. Henri Poincaré 1854 - 1912

Matemático francés, físico teórico y filósofo. Desarrolló la teoría de las funciones automorfas y se le considera el fundador de la topología algebraica. La geometría y la teoría de números constituyeron también áreas de su trabajo. Lleva su nombre, entre otros, el semiplano de Poincaré, de la geometría no euclidiana, que posee una característica de transformación conforme, es decir, que conserva los ángulos, pero no así las distancias.

E. Renacimiento y edad moderna

a. David Hilbert 1862 – 1943

Su obra es fundamental en la mayoría de sectores de las matemáticas y de la física matemática. Muchos de sus trabajos sirvieron de fundamento para áreas de investigación autónomas. En 1900, Hilbert presentó una lista muy completa e influyente de 23 problemas matemáticos no resueltos. Se le considera el fundador y más importante representante de la línea del Formalismo en la matemática. Levantó la exigencia de establecer la matemática como un sistema axiomático completo que fuese demostrable y carente de contradicciones.

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b. Hermann Minkowski 1864 - 1909

Matemático y físico alemán. Desarrolló la geometría de los números. Su obra principal apareció en 1896. En 1907 apareció su segunda obra en teoría de números aproximaciones diofánticas, en la que entrega aplicaciones de su geometría de los números. El diagrama de Minkowski desarrollado por él muestra de modo gráfico las propiedades de espacio y tiempo en la teoría de la relatividad especial.

c. Emmy Noether 1882 - 1935

Emmy Noether fue una matemática y física alemana. Pertenece al grupo de fundadores del álgebra moderna. Llevan su nombre los anillos y módulos noetherianos, así como también el teorema de Noether de normalización. En el último cuarto del siglo XX se desarrolló el teorema de Noether convirtiéndose en uno de los fundamentos más importantes de la física.

d. Stefan Banach 1892 - 1945

Matemático polaco. Es considerado el fundador del análisis funcional moderno. En su tesis doctoral “Teoría de las operaciones lineales” definió axiomáticamente aquellos espacios que más tarde llevarían su nombre (Los espacios de Banach).

e. Andréi Nikoláyevich Kolmogórov 1903 - 1987

Fue uno de los más notables matemáticos del siglo XX. Realizó aportes esenciales en las áreas de la teoría de la probabilidad y de la topología. Se le considera el fundador de la teoría de la complejidad algorítmica. Su contribución más conocida fue la axiomatización de la teoría de la probabilidad.

f. John von Neumann 1903 - 1957

Matemático de origen austrohúngaro. Realizó notables contribuciones en muchas ramas de las matemáticas. Desarrolló la teoría del álgebra de operadores limitados en espacios de Hilbert, cuyos objetos fueron denominados más tarde álgebras de von Neumann y que actualmente encuentran aplicación en la teoría cuántica de campos y en la estadística de partículas. Contribuyó de manera decisiva al desarrollo de las primeras computadoras electrónicas. g. Kurt Gödel 1906 - 1978

Hizo aportes decisivos en el área de la lógica de predicados (problema de la decisión) así como al cálculo proposicional clásico e intuicionista. Llevan su nombre los teoremas fundamentales de la lógica que Gödel demostró: teorema de completitud de Gödel y teorema de incompletitud de Gödel.

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h. Alan Turing 1912 - 1954

Lógico, matemático y criptoanalista británico. Creó una buena parte de las bases teóricas para las tecnologías modernas de la información y de la computación. Se evidenciaron también como orientadores sus aportes a la biología teórica. Es considerado hoy uno de los más influyentes teóricos del desarrollo temprano de la computación y la informática. El modelo de calculabilidad (o computabilidad) de la máquina de Turing que él desarrolló constituye uno de los fundamentos de la informática teórica.

i. Paul Erdos 1913 - 1996

Junto con Euler, fue unos de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos. Paul Erdos trabajó en colaboración con cientos de colegas (de ahí que se definiera el Número de Erdos) en las áreas de la combinatoria, teoría de grafos y teoría de números. Formuló numerosas conjeturas y estableció para la solución de varias de ellas premios monetarios.

j. Andrew Wiles 1953 – continúa con vida

En 1984 demostró, en conjunto con el matemático estadounidense Barry Mazur, la hipótesis central de la teoría de Iwasawa acerca de los números racionales, la que luego amplió también para todo cuerpo real total. En 1995 logró en conjunto con uno de sus estudiantes la demostración del último teorema de Fermat. A partir de este momento se denomina también como teorema de Fermat-Wiles.

Cada uno de estos seres humanos (Y probablemente muchos otros, que por alguna razón se perdieron en el tiempo) brillaron con luz propia, ofreciendo su vida, su talento e inteligencia para ayudar al desarrollo de las matemáticas. Esto provocó como resultado que en un punto de la historia comenzara a considerarse a las matemáticas como una ciencia, además, la aplicación de las matemáticas avanzadas permitió el desarrollo y creación de tecnología que ha hecho más sencilla la vida de las personas.

1.2.3 Matemáticas como ciencia y su aplicación a la tecnología Tradicionalmente se ha considerado que las matemáticas como ciencia surgieron con el fin de mejorar la actividad del comercio, medir las distancias de un punto a otro, predecir acontecimientos astronómicos, calcular la velocidad, medir el tiempo, entre otras tantas y tantas aplicaciones que existen, sin embargo, es la ciencia más abstracta y la que le da soporte al resto de ciencias, pero a su vez es la ciencia más incomprendida y alejada de la cultura popular. Durante el transcurso de mi vida he conocido a un gran número de personas que mencionan cosas como: ‘¿Y para qué sirven las matemáticas?, ¿Por qué durante toda la vida tenemos que estudiar matemáticas?, ¿Cuándo vamos aplicar los conocimientos de cierta materia en la vida cotidiana?’; Y aunque es un hecho que en muchas ocasiones suelen ser complejas, las matemáticas son la base de todo ya que sin ellas no se podría concebir la vida de la misma forma, no existirían los puentes, los edificios con estructuras complejas, los aviones, los cohetes, las computadoras, nuestros amados celulares y tabletas, entre miles de inventos más que no alcanzaría el tiempo para mencionar.

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Y no sólo son la base de todo en la actualidad, así ha sido desde tiempos antiguos. Tales de Mileto utilizó las matemáticas para calcular la altura de la pirámide de Guiza ubicada en Egipto por el año 500 a.C. Otro caso importante se suscitó alrededor del 230 a.C., cuando Eratóstenes de Alejandría determinó el tamaño la Tierra y que ésta era esférica gracias a las matemáticas y a un reloj de sol con el que pudo realizar sus cálculos con bastante precisión. En 1642 Blaise Pascal construyó la primera máquina de calcular que admitía sumas y restas de hasta 6 cifras, y para 1694 Gottfried Leibniz, inspirado por Pascal, inventó una máquina con la capacidad de multiplicar y dividir; Estos dos sucesos se conocen como el origen de las computadoras. Casi 200 años después, un hombre llamado Charles Babbage diseñó en 1822 una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente, siguiendo una lista de instrucciones escritas en tarjetas o cintas que interpretaba una computadora al ejecutarse un programa dentro de ella. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé1, la válvula de vacío y después la del transistor, cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad. Fue así que tomando el legado que había dejado Pascal, Leibniz y Babbage, Konrad Zuse inventó 1936 la primera computadora programable a la cual llamó Z1. Este suceso impulsó a gran escala algunas ramas de las matemáticas como el análisis numérico, las matemáticas finitas, la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta; Así mismo, generó nuevas áreas de investigación matemática como es el estudio de los algoritmos.

1.2.3.1 Evolución de las computadoras La invención de la computadora permitió resolver varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente. Un ejemplo de esto es el famoso teorema de los cuatro colores, el cual establece que: Dado cualquier mapa geográfico con regiones continuas, este puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color (Fritsch, 1998). Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois, Estados Unidos.

Las computadoras han dejado de ser los artefactos complejos que solían ser en el pasado, aquellos que sólo podían ser utilizados por personas con un alto grado de conocimientos en la materia; Hoy en día se han convertido en herramientas que nos brindan una gran ayuda en cualquier ámbito en el que las utilicemos, de en una forma tan sencilla que resulta asombroso. En la actualidad, las computadoras pueden ser localizadas prácticamente en cualquier oficina, así como en cualquier hogar de una familia de clase media. Sus funciones pueden ir desde tareas escolares, juegos de entretenimiento o actividades importantes de trabajo. Su objetivo primordial es el de hacer la vida más sencilla al ser humano, y por ello es que ha tenido una evolución que ha permitido la aparición de nuevos dispositivos como PC’s más pequeñas, laptops, notebooks, tablets y algunos celulares con las funciones básicas que posee una computadora. La figura 13 presenta una línea del tiempo de la evolución de las computadoras desde sus inicios hasta hoy.

1 Dispositivo electromagnético que, estimulado por una corriente eléctrica muy débil, abre o cierra un circuito en el cual se disipa una potencia mayor que en el circuito estimulador.

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Figura 13. Línea del tiempo de la evolución de las computadoras (Zamora, 2014) Los acontecimientos más importantes de esta línea del tiempo se presentan a continuación:

a. Ábaco Chino El origen de las máquinas de calcular está dado por el ábaco chino. Era una tablilla dividida en columnas en la cual la primera (comenzando desde la derecha) correspondía a las unidades, la siguiente a la de las decenas, y así sucesivamente. A través de sus movimientos se podía realizar operaciones de adición y sustracción. Es un artefacto muy similar al Nepohualtzintzin que conocimos en temas previos. b. Pascalina Fue inventada por el científico francés Blaise Pascal. Fue la primera calculadora mecánica, funcionaba a base de ruedas y engranajes. Su función era realizar sumas y restas.

c. Calculadora de Leibniz Este dispositivo fue inspirado en la Pascalina, ya que tomó sus bases de sumas y restas, pero adicionando a su funcionamiento operaciones de producto y cociente. Fue inventada por el alemán Gottfried Leibniz.

d. Máquina diferencial de Babbage Charles Babbage desarrolló lo que se llamó ‘Máquina Analítica’ la cual podía realizar cualquier operación matemática. Disponía de una memoria que podía almacenar 1000 números de 50 cifras y podía usar funciones auxiliares.

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e. Tarjetas perforadas Herman Hollerith desarrolló la tecnología de procesamiento de tarjetas perforadas de datos para el censo de los Estados Unidos de América de 1890 y fundó la compañía Tabulating Machine Company (1896) la cual fue una de las tres compañías que se unieron para formar la Computing Tabulating Recording Corporation (CTR), luego renombrada IBM.

f. Máquinas de contabilidad IBM lanza la primera máquina de contabilidad llamada EAM.

g. Computadora digital Konrad Zuse inventa la computadora Z1, pero esta fue destruida junto a todos sus planos de construcción en diciembre de 1943. Posteriormente crea la Z2 y Z3.

h. Computadora electrónica En 1944 se construyó el primer ordenador con fines prácticos que se denominó Eniac. i. Computadoras de primera generación Eran a base de bulbos o tubos de vacío, y la comunicación era en términos de nivel más bajo que puede existir, que se conoce como lenguaje de máquina. Fueron desarrollados el Univac I y el Univac II. j. Computadoras de segunda generación Aparecen las primeras computadoras comerciales, las cuales ya tenían una programación previa (Lo que sería su sistema operativo). Interpretaban instrucciones en lenguaje de programación de Cobol y Fortran.

k. Computadoras de tercera generación Se comienzan a utilizar los circuitos integrados, lo que permitió abaratar costos y aumentar la capacidad de procesamiento, reduciendo además el tamaño físico de las máquinas. Por otra parte, esta generación es importante porque se da un notable mejoramiento en los lenguajes de programación.

l. Computadoras de cuarta generación Esta fase de evolución se caracterizó por la integración de los componentes electrónicos, y esto dio lugar a la aparición del microprocesador, que es la integración de todos los elementos básicos de la computadora en un sólo circuito integrado.

m. Computadoras de quinta generación Esta es la generación en la que nos encontramos actualmente, aquella que brindó el surgimiento de la PC portátil, laptos, notebooks, entre otras ya mencionadas.

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n. Computadoras de sexta generación No existen aún, pero se podría llamar a la era de las computadoras inteligentes basadas en redes neuronales artificiales o cerebros artificiales. Serían computadoras que utilizarían superconductores como materia prima para sus procesadores, lo cual permitirían no malgastar electricidad en calor debido a su nula resistencia, ganando performance y economizando energía.

1.2.3.2 Evolución de los dispositivos móviles Al igual que las computadoras, los dispositivos móviles han ido evolucionando rápidamente con el paso del tiempo, desde sus inicios en 1980 hasta hoy día han cambiado física y funcionalmente, tanto que prácticamente se han convertido en computadoras portátiles. La siguiente imagen (figura 14) presenta una línea del tiempo de la evolución de los dispositivos móviles desde sus inicios hasta hoy:

Figura 14. Línea del tiempo de la evolución de los dispositivos móviles (Crespo, 2016) Esta evolución de dispositivos móviles se fue dando de una forma rápida, Dayra Mendoza (2015), una estudiante de tecnología, comparte en su sitio web una interesante recopilación acerca de la evolución de los dispositivos móviles desde sus inicios hasta nuestros días:

a. 1980 Una red celular es lanzada en Japón por NTT. Esta red cubría toda el área de Tokyo, con 23 estaciones base a las que se comunicaba. Después ésta red se expandió hasta cubrir todo Japón y se convirtió en la primera red 1G nacional. b. 1983 El primer antecedente respecto al teléfono móvil en Estados Unidos es de la compañía Motorola con su modelo DynaTAC 8000X. El modelo fue diseñado por el ingeniero Rudy Krolopp en 1983, pesaba poco menos de un kilo y tenía un valor de casi 4000 dólares.

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c. 1984 Nokia lanza su Mobira Talkman. El problema básico del DynaTAC fue la tecnología del momento de las baterías, que permitía un funcionamiento máximo de 60 minutos. Por ello, Nokia lanzó Mobira Talkman que llegaba junto con un maletín que incluía una autonomía de varias horas de funcionamiento continuo.

d. 1989 Motorola lanza el teléfono más ligero, el MicroTAC. Motorola siguió innovando en el terreno móvil y lanzó el teléfono móvil más pequeño y ligero de la época, el primer móvil con diseño de tapa que permitía reducir el tamaño del mismo en reposo y poder ser desdoblado para utilizarlo.

e. 1990 Las calculadoras programables de Casio Las calculadores se dividían en dos ramas, la S para los modelos estándar y la G para los de mayor funcionalidad. Las especificaciones comunes a todos los modelos de la gama eran una pantalla de 131x63 píxeles, un puerto de comunicaciones por infrarrojos y 512 KB de memoria. f. 1994 Motorola lanza un teléfono para ser utilizado en coches. El teléfono venía conectado por cable, como un teléfono tradicional a una bolsa que integraba el transmisor y receptor y una batería, más pesada. Ello hacía posible una emisión con mayor potencia, algo importante en aquéllos años cuando la cobertura no era todo lo buena que hoy día.

g. 1997 Nace el concepto de Smarthphone. Nokia lanza al mercado el primer Smartphone, que aunque era algo básico, venía con un CPU derivado de un Intel 386 y 8 Mbytes de RAM. El teléfono en cuestión es el Nokia 9000i. Trajo al mundo el diseño tradicional de los Nokia Communicator en el que el teléfono podía abrirse de manera horizontal, mostrando una pantalla panorámica y un teclado QWERTY. El teléfono podía recibir y enviar faxes, SMS y emails, pudiendo acceder a Internet a través de mensajes SMS.

h. 1999. Nace Internet móvil. Con ello estamos hablando de las conexiones WAP2, algo que Nokia comenzó a implementar en sus terminales, en particular con su Nokia 7110, conocido por ser el móvil que publicitaron en la primera película de la saga Matrix.

2 Wireless Application Protocol o Protocolo de Aplicación de Red, que permite acceder a Internet desde un teléfono móvil.

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i. 2000. Surge el primer PocketPC Los primeros PocketPC tenían como sistema operativo el llamado Windows CE 3.0. Por su nombre podría parecer que era una versión aligerada del sistema operativo más utilizado en el mundo, pero en realidad no tenía mucho que ver con éste.

j. 2002. La compañía RIM comienza a despegar Fue ese año cuando presentó su BlackBerry 5810, el primer modelo de la serie BlackBerry en integrar soporte de datos móvil. Gracias a dicha característica y su teclado, disponía de funciones de agenda personal y soporte de email push. Por otro lado, se lanza al mercado los Tablet PC. Estos dispositivos iban equipados con Windows XP Tablet PC Edition que permitía su manejo a través de un lápiz. Tenía soporte para reconocimiento de escritura a mano y reconocimiento de voz, pero su uso seguía siendo prácticamente el mismo que el de un ordenador portátil. Fue el precursor, ya que a partir de este momento las versiones de Windows incluyeron soporte para lápiz.

k. 2006. Windows entra en el ámbito de los Ultra-mobile PC o UMPC. Son unos equipos más pequeños también con lápiz y pantalla TFT. Muchos fabricantes lanzaron este tipo de dispositivos pero en realidad no gozaron de demasiado éxito entre los usuarios por varias razones: muchos modelos pesaban demasiado como para que fueran manejados con una sola mano, las interfaces táctiles no estaban presentes en todo el equipo y sus distintas funcionalidades y las aplicaciones específicas para estas plataformas no eran abundantes, por no decir que eran más bien pocas. l. 2007. Nace un dispositivo que provocó un parteaguas en la historia de los Smarthphones y las aplicaciones móviles, el iPhone 1. Con él llegaron multitud de novedades al mercado, como es la popularidad de las pantallas táctiles (multitáctil) en su caso, una sencillez de acceso a Internet y capacidades multimedia avanzadas.

m. 2008. Aparece el primer dispositivo Android de la historia. Android es un sistema operativo desarrollado en un primer momento para dispositivos móviles pero que ha ido evolucionando a lo largo del tiempo y en la actualidad es posible utilizarlo en diversos dispositivos que nada tienen que ver con un terminal móvil. El 5 de Noviembre de 2007 se hizo el anuncio oficial de Android y el primer dispositivo de Android HTC, el Dream, lanzado el 22 de octubre de 2008.

n. 2009. Aparece el tercer modelo de iPhone, 3GS, y terminales que han copiado varias de sus características, aunque con otros sistemas operativos como son Nokia N97, Palm Pre o cualquier terminal con Android. Este año es importante porque se comienza a disparar el mercado de Smartphones y aplicaciones móviles no sólo por parte de Apple sino de varias compañías telefónicas.

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o. 2010. Apple lanza su primer iPad No cabe duda que el mercado de los tablets experimentó ese auge que estaba buscando con todos estos avances gracias a la aparición del iPad en 2010. Su principal novedad con respecto a sus predecesores fue la interfaz diseñada específicamente para usar con los dedos. De este modo el tablet se convirtió en un dispositivo completamente diferente y separado de los ordenadores de mesa y portátiles.

p. 2014. Samsung lanza el Galaxy S5. Desde el 2010 en que anunciaba el primer Galaxy S, pasando por los modelos de toda la familia, llega el estreno del Galaxy S5, con un cuerpo a prueba de agua y polvo, teniendo una pantalla Super AMOLED de 5.1 pulgadas y con resolución Full HD. Contando con un sistema operativo Android KitKat 4.4.2 y su nueva versión de la interfaz TouchWiz3. Equipado con una cámara trasera de 16MP, brinda la posibilidad de grabar video en 4K, aunque su cámara frontal cuenta con los mismos 2MP de modelos anteriores y grabación FullHD de su antecesor. El iPhone 6 y iPhone 6 Plus son teléfonos inteligentes que funcionan con el sistema operativo iOS 8, desarrollado por Apple Inc. Los dispositivos son parte de la nueva línea iPhone, presentados el 9 de septiembre de 2014 y lanzados a la venta el 19 de octubre de 2014. La serie iPhone 6 es en conjunto un sucesor del iPhone 5s y el iPhone 5C. Ambos incluyen una serie de cambios respecto a su predecesor, incluyendo pantallas más grandes (de 4.7 y 5.5 pulgadas), un procesador más rápido (de dos núcleos), cámaras mejoradas de 8 megapíxeles, conectividad LTE, conectividad Wi-Fi mejorada y un nuevo soporte NFC para pagos móviles que la compañía nombró como Apple Pay. q. 2016-2017. Han aparecido muchas compañías telefónicas nuevas como Huawei, Lenovo, HTC o OnePlus, y las no tan nuevas como Sony, LG y Motorola entre otras; Éstas marcas han buscado introducir al mercado numerosos dispositivos que ofrezcan competencia hacia las grandes empresas Apple y Samsung, que en los últimos años han sido las dos más exitosas en la venta de Smartphones en el mundo. Las principales características de los dispositivos de esta época son:

q.a. Consolidación de la búsqueda de datos utilizando la voz Los usuarios acudirán cada vez más a los "Asistentes Personales Virtuales" que portan en sus teléfonos. El más reciente informe de Grey Group para el periodo 2016-2017 arrojó que durante 2016, el 25% de las búsquedas en Google desde el móvil en Estados Unidos se realizaron por voz. q.b. Aplicaciones móviles con realidad aumentada Según predicciones de la consultora Gartner Inc.4, en 2018 la integración de los dispositivos móviles con las tecnologías inmersivas5 mejorará la experiencia del usuario, y

3 Interfaz táctil desarrollada por Samsung. Trata de una capa de personalización implantada en los sistemas operativos Android de Google y su objetivo es dotar a los dispositivos de una apariencia modificada a la ya suministrada por el sistema operativo en su versión de fábrica. 4 Gartner Inc. Es una empresa consultora de investigación de las tecnologías de la información con sede en Stamford, Connecticut, Estados Unidos. 5 Nueva tecnología que busca integrar diferentes tipos de contenidos digitales para proporcionar experiencias más reales y naturales a los usuarios.

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permitirán que los teléfonos y otros dispositivos procesen un flujo de información con el mundo de la realidad virtual y la realidad aumentada. En el presente año 2017, estas tecnologías ya están siendo introducidas poco a poco al mercado, y buscan ofrecer un entretenimiento diferente al usuario. q.c. Smartphones más potentes y eficientes El cambio en los hábitos del usuario móvil ha requerido que las nuevas generaciones de teléfonos inteligentes estén equipadas con más y mejores recursos para tareas como el uso de la red, los datos, la reproducción de video y audio, el GPS o el procesamiento gráfico. Hoy día los Smarthphones más sofisticados están equipados con procesadores de 8 núcleos llamados Octa-Core, lo que permite que el dispositivo sea más eficiente y emplee sólo la cantidad de núcleos que necesita para las funciones que requiere el usuario. Esto es importante, porque el teléfono, al ser más eficiente, tiene una mayor duración de su batería y se calientan menos. Otra tecnología con la que cuentan es CorePilot, que permite un ahorro en el consumo de batería de hasta 20% y un incremento en el funcionamiento del teléfono de otro 20%. q.d. Mayor penetración de Tecnología LTE

Desde que la población tiene mayor acceso a teléfonos inteligentes de bajo costo, no solo aumentó la cobertura y penetración móvil, también lo hizo la penetración de nuevos servicios y la preferencia por mejores tecnologías como la LTE. Se le llama tecnología LTE a aquella que integra las comunicaciones inalámbricas de transmisión de datos de alta velocidad para teléfonos móviles y otros dispositivos electrónicos de transmisión.

q.e. Sistemas más robustos de seguridad para celulares

Los teléfonos inteligentes y las tabletas ocuparán un rol de computadoras personales en este 2017. Los riesgos de estas plataformas trascienden los ecosistemas virtuales y podrían atentar contra el bienestar físico y virtual del usuario. Expertos proyectan que este año las aplicaciones que concentran datos sensibles del usuario son la puerta de entrada para que el malware móvil aumente. Debido a ello es que se están desarrollando soluciones más robustas en seguridad a nivel de Hardware y Software para proteger los dispositivos móviles y la información que utiliza el usuario.

1.2.4 Perspectiva de las matemáticas hoy En la actualidad el conocimiento matemático del mundo está avanzando más rápido que nunca, teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas, e incluso, las matemáticas se utilizan en disciplinas que aparentemente no están vinculadas con ellas, como lo es música; Ésta última utiliza a las matemáticas al contar los tiempos de una melodía, o durante la resonancia armónica6. Por otro lado, existen un par de conceptos muy interesantes relacionados con las matemáticas y su forma de relacionarse con otras ciencias. Estos conceptos se conocen como ‘Métodos Matemáticos’ y ‘Matemáticas Aplicadas’.

6 Vibración que producen los objetos al ser tocados.

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1.2.4.1 Métodos matemáticos Son procedimientos basados en la utilización de las matemáticas para resolver problemas de física, química, biología, ingeniería, medicina, ciencias sociales, informática, economía, finanzas o ecología. Algunos ejemplos de estos métodos son:

1. Cálculo de variables 2. Cálculo Vectorial 3. Álgebra lineal (Espacios vectoriales, formas cuadráticas, diagonalización de matrices) 4. Resolución de ecuaciones diferenciales 5. Economía matemática 6. Biomatemática o Biología matemática

1.2.4.2 Matemáticas aplicadas a la ciencia y la tecnología Su objetivo es el desarrollo de las matemáticas ‘hacia afuera’, es decir, su aplicación hacia otras áreas, y en menor grado ‘hacia dentro’, es decir, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Las matemáticas aplicadas se usan con frecuencia en distintas áreas tecnológicas como modelado, simulación, optimización de procesos o diseño de experimentos. En las últimas décadas, las matemáticas aplicadas se han enfocado al trabajo con álgebra lineal, geometría plana y del espacio, cálculo, física, entre otras, y han sido un fundamento para el desarrollo de simuladores y videojuegos en 3D.

A continuación se presentan algunos ejemplos de matemáticas aplicadas hasta hoy:

a. Mecánica celeste Es una rama de la astronomía y la mecánica que tiene por objeto el estudio de los movimientos de los cuerpos celestes en virtud de los efectos gravitatorios que ejercen sobre él otros cuerpos masivos. Estudia los problemas de la ciencia aeroespacial, estabilidad y caos en sistemas dinámicos.

b. Teoría de fluidos Aplicación a la Meteorología y la Climatología. Fluidos marinos. Glaciología. Acústica y aplicación a la industria del sonido. Turbulencia. Predictibilidad y caos. Estabilidad, bifurcación. Problemas de frontera libre. Jerarquías de problemas aproximados (como el modelo geostrófico)

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c. Aeronáutica Problemas de la hidrodinámica. Problemas de la combustión (propagación de llamas). Ondas de choque y ecuaciones hiperbólicas. Capas límite y desarrollos asintóticos. Ondas viajeras.

d. Física fundamental Las matemáticas del mundo atómico y de las partículas elementales. El modelo estándar, la supersimetría, la QED, renormalización y teorías Gauge.

e. Astrofísica Relatividad general, modelos estelares. Matemáticas de la física de plasmas, magneto-hidrodinámica. Ecuaciones cinéticas.

f. Telecomunicaciones Antenas y radares, la teoría de campos electromagnéticos, estudio y aplicación de técnicas que permiten la comunicación a larga distancia. IPs en las redes Integradas

g. Ciencia e ingeniería de materiales Elasticidad lineal y no lineal, teoría de la homogenización. Teorías de fractura. Polímeros. Superconductores.

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h. Teoría de la información Codificación de mensajes, códigos correctores de errores. La sorprendente aplicabilidad de la teoría de números y el álgebra. Tratamiento de imágenes. Compresión. Ondículas, fractales, teorías de EDPs no lineales.

i. Robótica Redes neuronales, geometría algebraica, simuladores de realidad virtual, inteligencia artificial, ingeniería mecatrónica, de la ingeniería eléctrica.

j. Química cuántica Simulación de la estructura atómica y molecular a partir de las ecuaciones fundamentales. Dinámica de reacciones. Matemáticas de la nucleación, crecimiento de cristales y quemotaxis.

k. Computación e informática La construcción del computador cuántico abriría un nuevo mundo a la computación. Complejidad computacional.

l. Dispositivos móviles Desarrollo de aplicaciones, realidad virtual, juegos en 3D, m-Learning o Aprendizaje Móvil, gamification. Estos dos últimos conceptos son las corrientes de aprendizaje más nuevas que existen actualmente y tienen como propósito el aprendizaje de las personas a través de sus dispositivos móviles de una forma divertida. De hecho, son esas dos nuevas vertientes la fuente de inspiración del desarrollo de este proyecto con Easy Maths.

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1.3 Matemáticas en México, situación actual

Una vez que hemos abordado el tema de las matemáticas de manera general, es importante para el desarrollo del presente trabajo conocer la situación actual que se vive en nuestro país con respecto a esta área. Todos los países del mundo requieren contar con un sistema educativo robusto que asegure que todos sus niños y jóvenes reciban una educación de calidad que les permita desarrollarse profesionalmente, participar activamente en la sociedad y realizarse como seres humanos, sin embargo, sabemos que esto no ocurre en todo el mundo, ya que para que esto suceda se requiere que tomadores de decisiones, autoridades educativas y escolares y la sociedad en general estén informados sobre las fortalezas y debilidades del Sistema Educativo Nacional donde se encuentren, para que con ello se puedan implementar programas y políticas educativas ad hoc a las necesidades del país en materia. Basado en lo anterior, la Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE) instituyó a partir del año 2000 dos tipos de estudios sobre estudiantes, docentes, directores y escuelas: PISA y TALIS. El primero de los mencionados estudios es el llamado “Programa Internacional de Evaluación de los Alumnos” (PISA), y tiene como objetivo estudiar las habilidades cognitivas y socio-afectivas de los estudiantes de 15 y 16 años. Por otro lado, el segundo es llamado “Estudio Internacional de Enseñanza y Aprendizaje” (TALIS), y tiene como objetivo informar sobre características de directores y docentes, así como de algunos procesos educativos y pedagógicos que se dan al interior de las escuelas. Inspirada en PISA y TALIS, la Secretaría de Educación Pública (SEP) implementó en el año 2006 la “Evaluación Nacional de Logro Académico en Centros Escolares” (ENLACE), la cual estaba destinada a valorar el rendimiento académico de las asignaturas de español y matemáticas de los alumnos que estudiaban los grados de primaria y secundaria (Más adelante se abordará a detalle dicha prueba). Corría el año 2013 cuando la OCDE diseñó un esquema en el que los países participantes debían seleccionar a un subgrupo de escuelas para que participaran en aplicar ambos estudios. Los países invitados a este evento fueron:

➢ Australia ➢ España ➢ Finlandia ➢ Letonia ➢ México ➢ Portugal ➢ Rumania ➢ Singapur

Uno de los objetivos de este estudio era conocer la frecuencia con la que los docentes utilizan distintas estrategias pedagógicas para enseñar matemáticas, así como su relación con el logro educativo y las actitudes de los estudiantes hacia las matemáticas. El estudio agrupó prácticas pedagógicas en tres grandes estrategias de enseñanza de las matemáticas:

1. Enseñanza Activa: Involucra a los estudiantes a hacer las cosas y pensar en las cosas que están haciendo. Aquí el estudiante es el centro del proceso pedagógico. 2. Activación Cognitiva: Consiste en que los docentes "reten" a sus alumnos para estudiar

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un tema en particular, de tal manera que estimule el uso del pensamiento crítico, la solución de problemas, la síntesis y la formulación de preguntas. 3. Instrucción Dirigida: El docente hace uso de varias técnicas de enseñanza sencillas, tales como la exposición de un tema o la descripción de un fenómeno. Aquí el docente es el centro de la enseñanza.

De acuerdo con la opinión de los docentes mexicanos en el estudio PISA-TALIS, los resultados nacionales muestran las siguientes conclusiones:

1) La práctica pedagógica más utilizada en nuestro país es la “Activación Cognitiva”, seguida de la “Instrucción Directa” y en tercer lugar la “Enseñanza Activa”.

2) El uso de estas tres estrategias de enseñanza por parte de los docentes mexicanos depende en gran medida de la escuela donde trabajan, mientras que en otros países depende más de las características personales y profesionales del docente.

3) Existe una relación muy débil entre el uso de las estrategias de enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas de los estudiantes. Esta relación cambia de un país a otro y de una estrategia a otra. En el caso de México, la única estrategia que tuvo una relación (Aunque fue mínima) fue la “Enseñanza Activa”.

4) Las actitudes de los estudiantes hacia las matemáticas, en cuanto a interés se refiere, muestra una débil relación con las estrategias de enseñanza, relación que cambia de un país a otro. Para el caso de México, la “Enseñanza Activa” fue la única estrategia que se relacionó negativamente con el interés hacia las matemáticas.

La prueba PISA-TALIS, las conclusiones obtenidas en ella, y los malos resultados obtenidos por los alumnos que hasta el momento habían aplicado la prueba ENLACE en México, impulsaron a la SEP a implementar en ese año el más reciente Plan de Estudios para la educación básica en nuestro país. Este nuevo plan coloca al estudiante como el centro del proceso educativo (Como lo indica la “Enseñanza Activa”), con el fin de brindarle la formación adecuada que lo posibilite a enfrentar y resolver problemas en su quehacer cotidiano a través de la propia construcción de su conocimiento, así como a adquirir un desarrollo de habilidades y actitudes. Por otro lado, el nuevo plan de estudios exige al profesor el diseño y la aplicación de tareas didácticas que despierten el interés del alumno por el aprendizaje (Como lo indica la “Activación Cognitiva”). No obstante, en muchas ocasiones esta estructura de trabajo representa en muchos casos una barrera de resistencia al cambio por parte de los propios docentes, puesto que significa una evolución en el sistema de educación, dejando atrás el tipo de enseñanza tradicional e introduciendo nuevas herramientas de estudio como son las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC). Adicionalmente al nuevo plan de estudios, a partir del año 2013 la SEP implementó una nueva prueba llamada “Plan Nacional para la Evaluación de los Aprendizajes” (PLANEA) la cual sustituyó a la prueba ENLACE, por lo que su objetivo es el mismo, pero se compone de reactivos que contienen un enfoque distinto en cuanto a la evaluación obtenida por los alumnos se refiere (Más adelante se abordará a detalle dicha prueba).

1.3.1 Prueba ENLACE Previamente se ha mencionado en cuestiones generales lo que es la prueba ENLACE, sin embargo, para el desarrollo del presente trabajo es vital conocer más detalles de ella.

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Esta prueba comenzó a aplicarse anualmente por la SEP a partir del año 2006 a todas las escuelas públicas y privadas para conocer el nivel de desempeño en las materias de español y matemáticas de los alumnos que estudian la primaria y secundaria. Su último año de aplicación fue en 2013. El propósito de ENLACE es generar una sola escala de carácter nacional que proporcione información comparable de los conocimientos y habilidades que tienen los estudiantes en los temas evaluados que permita:

• Estimular la participación de los padres de familia así como de los jóvenes, en la tarea educativa.

• Proporcionar elementos para facilitar la planeación de la enseñanza en el aula.

• Atender requerimientos específicos de capacitación a docentes y directivos.

• Sustentar procesos efectivos y pertinentes de planeación educativa y políticas públicas.

• Atender criterios de transparencia y rendición de cuentas. Los posibles resultados a obtener en la prueba se muestran en la figura 15:

Figura 15. Resultados a obtener en la prueba ENLACE Durante los años de su aplicación la prueba tuvo una cierta evolución en cuanto a las asignaturas a evaluar. La siguiente tabla (Tabla 1) muestra dicha información:

Año Escuelas aplicadas Alumnos evaluados Asignaturas Evaluadas

2006 112,912 9,529,490 Español y Matemáticas

2007 121,585 10,148,666 Español y Matemáticas

2008 121,668 9,930,309 Español, Matemáticas y Ciencias

2009 120,583 13,187,688 Español, Matemáticas y Formación Cívica y Ética

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2010 121,833 13,772,359 Español, Matemáticas e Historia

2011 123,725 14,064,814 Español, Matemáticas y Geografía

2012 116,251 13,507,157 Español, Matemáticas y Ciencias

2013 122,608 14,098,879 Español, Matemáticas y Formación Cívica y Ética

Tabla 1. Evolución de la prueba ENLACE de 2006-2013

En cada ocasión que la prueba ENLACE era aplicada, la SEP realizaba un estudio completo de resultados y tendencias de los mismos. Los resultados obtenidos en dicha prueba parecían ir empeorando con el paso de los años, puesto que cada año se veían resultados más y más bajos. A continuación se mostrarán los resultados obtenidos en la Prueba ENLACE en el área de matemáticas en el periodo 2006-2013.

1. Prueba ENLACE 2006-2013. Con respecto a los resultados obtenidos durante la aplicación de la prueba del 2006-2013, la SEP (2013) proporcionó la siguiente información:

a. Tabla 2: Porcentaje de alumnos y sus resultados.

Tabla 2. Resultados de la prueba ENLACE del 2006-2013

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b. Gráfica 1: Porcentaje de alumnos por niveles de logro, agrupados por Insuficiente/Elemental y Bueno/Excelente.

Gráfica 1. Porcentaje de alumnos por niveles de logro

c. Gráfica 2: Porcentaje de alumnos por niveles de logro.

Gráfica 2. Porcentaje de alumnos por niveles de logro de la prueba ENLACE en los últimos años

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d. Gráfica 3: Resultados históricos a nivel geográfico.

Gráfica 3. Resultados a nivel geográfico de la prueba ENLACE en los últimos años

e. Gráfica 4: Porcentaje de resultados obtenidos en la prueba agrupados por tipo modalidad Educativa.

Gráfica 4. Porcentaje de alumnos en Bueno y Excelente por Modalidad Educativa

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2. Prueba ENLACE 2013. Con respecto a los resultados obtenidos durante la última aplicación de la prueba del 2013 la SEP (2013) proporcionó la siguiente información:

f. Gráfica 5. Resultados a nivel geográfico:

Gráfica 5. Resultados a nivel geográfico de la prueba ENLACE en el último año

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1.3.2 Prueba PLANEA

De la misma forma que ha sucedido con la prueba ENLACE, se ha mencionado con anterioridad en cuestiones generales lo que es la prueba PLANEA, sin embargo, para el desarrollo del presente trabajo es vital conocer más detalles de ella. Esta prueba comenzó a aplicarse anualmente por el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE) en coordinación con la SEP a partir del ciclo escolar 2014-2015. El propósito de PLANEA es conocer en qué medida los estudiantes logran dominar un conjunto de aprendizajes esenciales al término, tanto de la educación primaria como de la educación secundaria, en dos campos de formación: Lenguaje y Comunicación (Comprensión Lectora) y Matemáticas. En cierto sentido es la evolución de la prueba ENLACE, pero con cuestionamientos establecidos desde otra perspectiva que permita:

• Conocer el aprendizaje alcanzado por los estudiantes al terminar cada nivel de la educación obligatoria, para informar a la sociedad sobre la calidad del Sistema Educativo Nacional y de cada una de sus entidades federativas.

• Aportar a las autoridades educativas, federales, estatales y municipales, información útil para el monitoreo, planeación, programación y operación de sus escuelas.

• Aportar a los directores y consejos técnicos información útil para realizar una planeación de las actividades escolares orientada al logro de resultados educativos.

• Ofrecer a los docentes información que ayude a mejorar sus prácticas de enseñanza y el aprendizaje de sus estudiantes.

Los posibles resultados a obtener en la prueba se muestran en la figura 16:

Figura 16. Resultados a obtener en la prueba PLANEA La prueba PLANEA se ha aplicado en los años 2014, 2015 y 2016. En las 3 ocasiones se han evaluado dos asignaturas:

1. Lenguaje y comunicación 2. Matemáticas

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Los resultados más recientes publicados por el INEE son los correspondientes al año 2015, y aunque debo comentar que parecen ser resultados incompletos (En comparativa con los que hemos obtenido de la prueba ENLACE), sirven para conocer la situación actual de los alumnos que aplicaron la prueba en ese año. A continuación se muestran gráficos de los resultados obtenidos en la Prueba PLANEA en el área de matemáticas en el año 2015:

a. Gráfica 6: Porcentaje de alumnos y sus resultados.

Gráfica 6. Resultados de la prueba PLANEA del 2015

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b. Gráfica 7: Resultados por Estado.

Gráfica 7. Resultados de la prueba PLANEA por Estado

c. Gráfica 8: Resultados por sexo.

Gráfica 8. Resultados de la prueba PLANEA por sexo

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d. Gráfica 9: Resultados por tipo de escuela.

Gráfica 9. Resultados de la prueba PLANEA por tipo de escuela

Los resultados que provee el INEE acerca de la prueba PLANEA del 2015 no muestran información tan completa como la que presentaba la SEP cuando aplicaba la prueba ENLACE, sin embargo, por lo poco que se puede observar, es innegable que la situación educativa de los alumnos de nivel secundaria se encuentra muy por debajo de los estándares mínimos de conocimiento deseado. Pensando en ello es que este trabajo busca ofrecer una alternativa que pueda cambiar estos resultados de forma positiva, ofreciendo a los alumnos una App móvil para motivarlos a aprender matemáticas de una forma diferente.

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2. Capítulo 2. Aplicaciones móviles y su importancia Durante el desarrollo de temas previos se ha mencionado la importancia que tienen las Aplicaciones Móviles (Apps) en la actualidad, y sin duda, estas últimas están tomando una fuerza incontrolable en todos los ámbitos de nuestras vidas, en cuanto a la tecnología móvil se refiere. En el tema “1.2.3.2 Evolución de los dispositivos móviles” abordado con anterioridad, hemos conocido una interesante línea del tiempo que muestra la transformación que han experimentado los dispositivos móviles desde sus orígenes hasta hoy. Así mismo, tuvimos oportunidad de conocer sucesos que marcaron un parteaguas en el desarrollo de esta tecnología, como el nacimiento de los Smartphones en 1997, la creación del protocolo WAP en 1999, la aparición del primer iPhone de la historia en 2007, entre otros puntos. En adición a ello, el presente capítulo tiene el objetivo realizar un análisis del surgimiento de las aplicaciones móviles así como su evolución a través del tiempo, echando un vistazo al pasado, presente y futuro de estas maravillosas herramientas digitales.

2.1. Antecedentes de las aplicaciones móviles Junto con el nacimiento de los Smartphones aparecieron las primeras Apps a finales de los 90’s, algunas de ellas eran: Agendas, arcade games, editores de ringtones, entre otras; Estas cumplían funciones muy elementales y su diseño era bastante simple. Su evolución a través de los años es algo realmente impresionante ya que hoy en día existen Apps para todo tipo de actividades, desde contenidos de juegos, entretenimiento, música, redes sociales, ocio, tiempo libre y otras categorías. El momento clave en el que se revolucionó la industria tecnológica de las Apps y los dispositivos móviles fue con la llegada del primer móvil de Apple, el iPhone 1. Este aparato contaba con su propio Sistema Operativo llamado iOS, conexión a Internet de forma sencilla, pantalla táctil multitouch y una serie de Apps que lo convirtieron en un dispositivo multiusos. Además, Apple abrió su App Store para que compañías y desarrolladores externos agregaran sus Apps para venderlas. Desde entonces el concepto Smartphone comenzó a popularizarse hasta el punto de que todos los fabricantes de dispositivos móviles tuvieron que readaptar sus estrategias para aclimatarse a la nueva situación del mercado Fue entonces que siguiendo los pasos de Apple, nació la compañía Android - Open Handset Alliance en el año 2007, un consorcio de compañías de Hardware, Software y telecomunicaciones con el objetivo de avanzar en los estándares abiertos de los dispositivos móviles. Con este objetivo en mente, un año más tarde lanzaron al mercado el primer móvil con el Sistema Operativo Android, el HTC Dream. Con el HTC Dream llegó la segunda store de Apps del mercado. Nombrada Adroid Market, comenzó siendo una tienda con alrededor de sólo 50 Apps, sin embargo, de acuerdo con datos de la propia tienda (Misma que cambió su nombre de Android Market a Google Play en 2012), cuenta ya con más de 1,500,000 Apps al día de hoy. Poco tiempo después empresas ya ubicadas en el mercado comenzaron a desarrollar sus propios Sistemas Operativos; Nokia y Sony Ericsson integraron a sus móviles el Symbian OS, Blackberry trabajaba con su Sistema Operativo del mismo nombre, y aparecieron nuevas empresas que crearon Sistemas Operativos como BREW, Samsung Bada y Palm OS. A partir de ese momento comenzó el despunte de las Apps en el mercado, desarrollando aplicaciones como juegos, ocio, noticias, fotografía, medicina y más, así continuó su evolución y hoy día no ha llegado a su fin.

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2.2. Situación actual de las aplicaciones móviles Las aplicaciones se han vuelto parte de nuestra vida, son ya tan comunes por la variedad de plataformas en las que se pueden llegar a encontrar que cualquiera puede acceder a ellas de forma relativamente sencilla. Las Apps están con nosotros en nuestro día a día, las llevamos a todas partes y son capaces de entretenernos, informarnos, ayudarnos a aprender cosas y hasta trabajar con nosotros. La función principal de un Smartphone es de servir como plataforma para que sus Apps hagan provecho de las características del teléfono mismo. Hoy en día las principales descargas de Apps se centran contenidos de entretenimiento, música, redes sociales, ocio y tiempo libre, pero el uso que más destaca entre el 80% de la población es la de Mensajería Instantánea a través aplicaciones como Line, Telegram, Snapchat, Skype, Hangouts, Viber, y quizá el más importante de todos, WhatsApp. En la actualidad existen 3 categorías de desarrollo para aplicaciones móviles:

1. Nativas 2. Web 3. Hibridas

2.2.1. Aplicaciones nativas Las aplicaciones nativas son aquellas desarrolladas bajo un lenguaje y entorno de desarrollo especifico, lo cual permite que su funcionamiento sea muy fluido y estable para el sistema operativo en el que es creada. Este lenguaje de desarrollo es el propio del dispositivo móvil, y dependiendo de la plataforma para la que se desea que funcione la App es el lenguaje sobre el que se debe programar. La tabla 3 muestra los lenguajes de programación que se utilizan en los sistemas operativos más populares en la actualidad, los cuales son Android, iOS y Windows:

FABRICANTE SISTEMA OPERATIVO LENGUAJE DE

PROGRAMACIÓN

Apple iOS Objective C, Swift

Google Android Java

Microsoft Windows Phone C#, Visual Basic .NET

Research In Motion Blackberry OS C/C++

Mozilla Firefox OS HTML5

Tabla 3. Lenguajes de programación por sistema operativo

Este tipo de aplicaciones podría presentar una gran complicación al momento de desarrollarlas, pues es complejo que una persona pueda poseer conocimientos de todos los diferentes lenguajes de programación mencionados, por ello existe un Software llamado "Titanium Appcelerator" el cual es un framework para desarrollar aplicaciones en lenguaje Javascript pero que permite transformar el código compilado final como nativo. Esto significa que con Titanium se puede hacer todo lo que se haría con una App desarrollada directamente en nativo y montarse en la App Store correspondiente. Ejemplos de aplicaciones nativas:

1. Whatsapp 2. Mario run 3. Spotify

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Las ventajas y desventajas de desarrollar una App nativa se muestran en la tabla 4:

VENTAJAS DESVENTAJAS

Acceso completo al dispositivo Diferentes habilidades / idiomas /

herramientas para cada plataforma de destino

Mejor experiencia del usuario Tienden a ser más cara de

desarrollar

Visibilidad en App Store El código del cliente no es reutilizable

entre diferentes plataformas

Envío de notificaciones a los usuarios

La actualización de la App es constante

Tabla 4. Ventajas y desventajas de desarrollar una App nativa

2.2.2. Aplicaciones web Una aplicación web o webapp es aquella que se ejecuta dentro del propio navegador web del dispositivo móvil a través de una URL, por ejemplo, para la plataforma iOS la webapp se ejecuta en Safari, para Symbian se ejecuta Skyfire y para Android se puede ejecutar Dolphin, Chrome, Firefox o algún otro disponible. Al igual que las aplicaciones nativas, se pueden utilizar frameworks como Titanium Appcelerator para desarrollar estas aplicaciones, utilizando los lenguajes de programación HTML5, CSS3 y Javascript. Una vez creada y montada la App en un servidor web, su contenido se adaptará a la pantalla del móvil en el que se esté utilizando, adquiriendo así un aspecto de navegación App. La gran diferencia que existe entre una webapp contra una aplicación nativa es que las aplicaciones web no necesitan ser instaladas, por lo que no pueden estar visibles en App store y la promoción y comercialización debe realizarse de forma independiente, sin embargo, se puede crear un acceso directo en el móvil, lo que sería como “instalar” la aplicación en el dispositivo. Ejemplos de aplicaciones web:

1. Buscador de Google 2. Google Docs 3. Evernote

Las ventajas y desventajas de desarrollar una webapp se muestran en la tabla 5:

VENTAJAS DESVENTAJAS

El mismo código base es reutilizable en múltiples plataformas

Requiere conexión a internet

Proceso de desarrollo más sencillo y económico

Acceso muy limitado a los elementos y características del Hardware del

dispositivo

No necesitan ninguna aprobación externa para publicarse (A diferencia de

las nativas para estar visibles en App Store)

Los tiempos de respuesta e interacción con la App son más largos que con una app Nativa

El usuario siempre dispone de la última versión

Requiere de mayor esfuerzo en la promoción y visibilidad de la App

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Pueden reutilizarse sitios “responsive”7 ya diseñados para su desarrollo

Tabla 5. Ventajas y desventajas de desarrollar una webapp

2.2.3. Aplicaciones híbridas Como su nombre lo indica, este ‘híbrido’ es una mezcla de una aplicación nativa y una webapp.

Por un lado, contienen en su interior el navegador web del propio dispositivo y su despliegue se realiza mediante vistas web; Por otro lado, son aplicaciones empaquetadas dentro del móvil para poder ser desplegadas en el mismo, por lo que trabajan en conjunto con el API8 del sistema nativo para poder funcionar. Para su desarrollo se utilizan frameworks que trabajan con los lenguajes de programación HTML5, CSS3 y Javascript. En la actualidad el más conocido de dichos frameworks es Phonegap. Ejemplos de aplicaciones híbridas:

1. Instagram 2. Facebook 3. Twitter

Las ventajas y desventajas de desarrollar una App híbrida se muestran en la tabla 6:

VENTAJAS DESVENTAJAS

Es posible distribuirla en las App Store Experiencia del usuario más propia de la aplicación web que de la app

nativa

Instalación nativa per oconstruida con Javascript, HTML5 o CSS3

Diseño visual no siempre relacionado con el sistema operativo en el que se

muestra

El mismo código base puede utilizarse para múltiples plataformas

Alto acceso a la parte del Hardware del dispositivo

Tabla 6. Ventajas y desventajas de desarrollar una App hibrida Una vez que hemos conocido los 3 tipos de Apps que existen, es importante visualizar de forma gráfica sus diferencias, con el fin de poder determinar de una manera sencilla cuál es el tipo de App que queremos utilizar para desarrollar nuestra aplicación Easy Maths. En la figura 17 se muestran dichas diferencias:

7 Técnica de diseño web que busca la correcta visualización de una misma página en distintos dispositivos. 8 Aplication Programming Interface o Interfaz de Programación de Aplicaciones. Son una serie de servicios o

funciones que el Sistema Operativo ofrece al programador durante su desarrollo.

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Figura 17. Diferencias entre las diferentes aplicaciones móviles existentes

Por lo anterior, se determina que Easy Maths será desarrollada como una aplicación híbrida.

2.3. El futuro de las aplicaciones móviles Hay muchos rumores acerca de hacia dónde va la humanidad y todos sus avances tecnológicos en el futuro. Esto se debe a que hace 15 o 20 años sólo se veía en películas de ciencia ficción que un robot, una tablet, un reloj digital y otros inventos pudieran existir; Hoy día la tecnología avanza más rápido de lo que podemos imaginar, por ello es que se especula acerca de cosas que no han sido inventadas pero que pudieran llegar en pocos años (Probablemente no más de 3) a nuestras manos. La revista Forbes publicó en 2016 un artículo acerca de lo que se espera en el futuro para las aplicaciones móviles, y escribe lo siguiente: “Si el sitio web de una empresa no es compatible con teléfonos móviles, Google la quita de su algoritmo de búsqueda. Así de importante es el ecosistema de Smartphones para los gigantes tecnológicos, y el futuro de estos dispositivos (y de las empresas) depende de sus aplicaciones (Forbes, 2016).” Según expertos del mercado de Apps, los siguientes son algunos de los puntos que se esperan para el futuro de las aplicaciones móviles:

a. Internet de las cosas

Es un concepto un poco abstracto (Figura 18), sin embargo, ha ido ganando popularidad en los últimos años. La idea que intenta representar queda perfectamente ilustrada por su nombre, cosas cotidianas que se conectan a Internet. Se trata de una red que interconecta objetos físicos a través de Internet para que estos tengan comunicación en todo momento y puedan seguir eventos específicos en función de las tareas que le sean dictadas remotamente.

Velocidad de

respuesta

Acceso al

dispositivo

Costo de

desarrollo

App Store

Proceso de

aprobación

Acceso al

dispositivo

App Store

Disponible Razonable Bajos

requisitos Rápida Total

Muy rápida Total Costoso Altos

requisitos Disponible

Normal Parcial No disponible

Ninguna Razonable

Nativa

Webapp

Híbrida

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Figura 18. Concepto de Internet de las cosas

b. La transformación de datos complejos en imágenes simples

En la actualidad se tiene basta información acerca de cualquier tema que se desee conocer. Los buscadores de internet arrojan cientos y cientos de sitios con información, sin embargo, no siempre se encuentra fácilmente el concepto exacto de lo que se busca. El propósito de la transformación de datos complejos en imágenes simples pretende reducir toda esa información para poder proveernos de las cosas que realmente queremos saber (figura 19). Un ejemplo de lo anterior es una app de clima agropecuario. Esta incluye datos derivados de la medición de la humedad, el viento, la temperatura y la precipitación. Si una persona ubicada en un sitio rural no está interesada en cuál es la humedad o la presión, sino que desea saber si puede fumigar en cierta época, es ahí cuando se aplicaría la transformación de los datos complejos en imágenes simples.

Figura 19. Concepto de la transformación de datos complejos en imágenes simples

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c. Nuevas interfaces

Los expertos del mercado de las Apps consideran que en cinco años las APIs, es decir, el ‘esqueleto’ para desarrollar apps, serán inadecuadas. Esto será debido a su crecimiento desmedido, sin embargo, desde hoy ya se están tomando medidas con respecto de ese tema. Un ejemplo de esto es que Facebook ya lanzó su propio lenguaje abierto, el GraphQL. Las nuevas interfaces deberán apuntar al ‘Open Data’ (Descrito en la figura 20). Su característica principal es el acceso más fácil a los datos, lo que permite que se pueda interactuar mejor con las necesidades de los consumidores en el desarrollo de apps. Un caso de éxito de Open Data es la app de la liga de futbol mexicana, BBVA Bancomer, que ha registrado más de un millón de descargas, con 400,000 usuarios que ingresan los fines de semana, 35,000 simultáneos y que envía 200,000 notificaciones por segundo.

Figura 20. Concepto de Open Data

2.4. Plataformas móviles

Los dispositivos móviles así como las computadoras necesitan sistemas operativos que manejen el Hardware y ofrezcan funcionalidades específicas básicas para el Software que contienen. Estos sistemas operativos determinan la forma en que se pueden obtener nuevas aplicaciones y los dispositivos en que se pueden ejecutar. La mayoría de las empresas que desarrollan aplicaciones móviles han optado por el modelo propuesto por Apple basado en una App Store, aunque evidentemente cada fabricante cuenta con su propia tienda de aplicaciones. La tabla 7 muestra la información de las plataformas y tiendas de aplicaciones móviles más populares en la actualidad:

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FABRICANTE SISTEMA OPERATIVO TIENDA

Apple iOS App Store

Google Android Play Store

Microsoft Windows Phone Phone Store

Research In Motion Blackberry OS App World

Mozilla Firefox OS Marketplace

Tabla 7. Tiendas de aplicaciones móviles más populares en la actualidad Estos fabricantes se han preocupado por desarrollar sus propios sistemas operativos con el propósito siempre de ser el mejor del mercado. A continuación se describen las características principales de cada uno de estos sistemas operativos, y con esa información podremos determinar cuál es el sistema operativo idóneo para desarrollar nuestra aplicación móvil Easy Maths.

a. iOs

iOS es un sistema operativo móvil desarrollado por la empresa Apple. Originalmente desarrollado para el iPhone (iPhone OS), siendo después usado en dispositivos como el iPod Touch, iPad y el Apple TV. Su principal característica desde su aparición es que Apple no permite la instalación de su iOS en Hardware de terceros. La interfaz de usuario de iOS está basada en el concepto de manipulación directa, usando gestos multitáctiles. Los elementos de control consisten de deslizadores, interruptores y botones. La interacción con el sistema operativo incluye gestos como deslices, toques, pellizcos, los cuales tienen definiciones diferentes dependiendo del contexto de la interfaz. Se utilizan acelerómetros internos para hacer que algunas aplicaciones respondan a sacudir el dispositivo, como su función de deshacer, o funciones como cambiar de modo vertical a horizontal al rotar el teléfono. iOS trajo consigo la App Store, considerada la primera tienda de aplicaciones para Smartphones, de donde se popularizó el término App para referirse a las aplicaciones. iOS es un sistema operativo cerrado, que sólo permite instalar aplicaciones que vengan de la App Store. Finalmente, como se mencionó en temas previos, Apple tiene un alto grado de restricción para evaluar las nuevas Apps antes de ponerlas a la venta.

b. Android Android es un sistema operativo móvil desarrollado en el kernel de Linux. Está diseñado para dispositivos móviles con pantalla táctil como teléfonos inteligentes o tabletas. Vio la luz por primera vez en el año 2007 junto la fundación del Open Handset Alliance: un consorcio de compañías de Hardware, Software y telecomunicaciones para avanzar en los estándares abiertos de los dispositivos móviles. El primer móvil con el sistema operativo Android fue el HTC Dream y se vendió a finales del 2008. La App Store de Android se llamaba Google Play en sus inicios, sin embargo, esta cambio de nombre a Play Store unos años después. Está cargada en el sistema operativo para que los usuarios ingresen a ella y puedan descargar sus aplicaciones. En cuanto a los desarrolladores de Apps, Google retribuye con el 70% del precio de las aplicaciones a los que suben sus Apps a la Play Store. A diferencia de iOS, con Android los usuarios pueden instalar aplicaciones desde otras tiendas virtuales como Amazon Appstore, SlideME, o directamente en el dispositivo si se dispone del archivo APK de la aplicación.

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c. Windows Phone

Windows Phone es un sistema operativo móvil desarrollado por Microsoft. Su predecesor fue en Windows Mobile, y a diferencia de este último, Windows Phone está enfocado hacia el mercado de consumo en lugar del mercado empresarial.

Cuenta con una nueva interfaz de usuario llamada Modern UI. La pantalla de inicio se compone de Live Tiles, que son mosaicos dinámicos que enlazan a aplicaciones u objetos individuales como contactos, páginas web o archivos multimedia. Estos mosaicos se actualizan frecuentemente manteniendo informado de cualquier cambio al usuario. La información que se muestra en los mosaicos dinámicos puede ser desde llamadas, mensajes recibidos, correos electrónicos pendientes, citas previstas, juegos o enlaces rápidos a aplicaciones. La pantalla de inicio y la posición de los mosaicos dinámicos se pueden personalizar pulsando y arrastrando los mosaicos a la posición que se desee. Esta interfaz es similar a la de Windows en computadoras personales, con el propósito de hacer un funcionamiento similar entre ambos sistemas operativos. Su App Store es llamada Windows Phone Store, y se utiliza para distribuir digitalmente aplicaciones, juegos, música y vídeos. Está gestionada por Microsoft, que prueba una por una cada aplicación que le es enviada, por lo que sus restricciones son medias al tiempo de desarrollar una aplicación. Por ejemplo, no se permite contenido que incluya discriminación de ningún tipo, uso de drogas, alcohol, tabaco, o material sexualmente sugestivo.

d. Blackberry OS

BlackBerry OS es un sistema operativo móvil de código cerrado desarrollado por Research In Motion (RIM) para los dispositivos BlackBerry. El sistema permite multitarea y tiene soporte para diferentes métodos de entrada adoptados por RIM para su uso en dispositivos móviles como la trackwheel, trackball, touchpad y pantallas táctiles. Los dispositivos de que cuentan con este sistema operativo cuentan con las funciones usuales de un Smartphone, adicionalmente de permitir el acceso a correo electrónico, navegación web y sincronización con programas como Microsoft Exchange o Lotus Notes. Su App Store es llamada App Word y cuenta con aplicaciones desarrolladas en C y C++. Los desarrolladores de apps independientes pueden crear aplicaciones móviles para BlackBerry, sin embargo, en caso de querer tener acceso a ciertas funcionalidades restringidas del móvil necesitan ser firmados digitalmente para poder ser asociados a una cuenta de desarrollador de RIM. A pesar de los intentos de modernizarlo, Blackberry ha perdido en tiempos recientes gran parte de su cuota de mercado que poseía en el pasado.

e. Firefox OS

Firefox OS es un sistema operativo desarrollado por la fundación Mozilla bajo la idea de aplicaciones móviles basadas en estándares web HTML5. Su objetivo principal es que todo su funcionamiento sea desarrollado como webapps, ya sean llamadas, mensajes, navegación, entre otras aplicaciones que son nativas en un Smartphone convencional. Ha sido creado en una plataforma abierta utilizando Linux para arrancar sobre el mismo motor del navegador Firefox. Firefox OS se compone de 3 capas:

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1. Gaia - Interfaz de usuario: Ofrece una experiencia de usuario clara, intuitiva y fácil de personalizar como una página web.

2. Gecko - Motor de renderizado Web: Expone las capacidades de Hardware del teléfono a los contenidos web a través de APIs web creadas por Mozilla. Está desarrollada en código abierto sin necesidad de utilizar ninguna capa propietaria entre el motor y el núcleo del sistema, lo que permite que pueda ser utilizado en dispositivos tanto de gama baja como alta.

3. Gonk - Núcleo: Son las librerías del sistema, firmware y los controladores del Hardware para permitir compatibilidades entre ciertas funcionalidades como Bluetooth y el motor web. El núcleo Linux que utiliza Firefox es el mismo que ya utilizan muchos de los fabricantes de dispositivos móviles actuales.

Su App Store es llamada Firefox Marketplace. Es de código abierta y sus aplicaciones son desarrolladas en HTML5. En esta Store se puede encontrar toda la información necesaria para crear y publicar aplicaciones web en el Firefox Marketplace.

Ya que hemos conocido a detalle cada una de las plataformas móviles y Apps Stores más populares hoy en día, se presentará en la tabla 8 una comparativa con las características de cada plataforma, con lo que podremos determinar con precisión cuál es la ideal para desarrollar nuestra App Easy Maths.

FABRICANTE

Apple

Google

Microsoft

RIM -

Blackberry

Mozilla

NÚCLEO DEL SO

Mac OS Linux Windows NT QNX Linux

LICENCIA DE SOFTWARE

Propietaria Libre y abierto Propietaria Propietaria Libre y abierto

AÑO DE LANZAMIENTO

2007 2008 2010 1999 2013

FABRICANTE ÚNICO

Sí No No Sí No

VARIEDAD DE DISPOSITIVOS

Único Muy alta Media Baja Muy baja

SOPORTE MEMORIA EXTERNA

No Sí Sí Sí Sí

MOTOR DE NAVEGADOR

WEB WebKit

WebKit/Chromium

Trident WebKit WebKit

TIENDA DE APPS

App Store Play Store Phone Store App World Marketplace

COSTO EN DOLARES POR PLUBICAR APP

$99 por año Pagó único de

$25 $99 por año Sin costo Sin costo

OTRAS TIENDAS SIN SUPERVISIÓN

No Si No Si Si

SOPORTE A 64 BITS

Si Si No No No

MÁQUINA No Dalvik / ART .NET No Navegador

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VIRTUAL Web LENGUAJE DE PROGRAMACI

ÓN

Objective C, Swift

Java C#, Visual Basic .NET

C/C++ HTML5

PLATAFORMA DE

DESARROLLO Mac

Windows, Mac, Linux

Windows Windows,

Mac Windows, Mac, Linux

MULTIUSUARIO No Si No No No MODO

INVITADO Si Si No No No

Tabla 8. Comparativa de plataformas móviles y Apps Stores más populares en la actualidad La comparativa anterior muestra una amplia información con la que se puede determinar cuál es la plataforma móvil que se debe elegir al momento de desarrollar una App. Con respecto a ello, existen 3 aspectos que han tomado gran influencia en el mercado de compradores y desarrolladores de aplicaciones móviles:

1. El costo de publicar: Se refiere al costo que hay que pagar para que una App pueda estar disponible para su descarga en la App Store de la plataforma para la que se haya creado. 2. Variedad de dispositivos: Se refiere a la gama de dispositivos móviles que cuentan con determinado sistema operativo. 3. Multiusuario: Es una característica que permite acceder al dispositivo móvil con diferentes perfiles. En una computadora esta funcionalidad es el equivalente a iniciar sesión como ‘Invitado’.

Google ha sido quien más ha puesto atención sobre estas vertientes, puesto que además de otras cuestiones, ha trabajado fuertemente en estos 3 puntos, lo que le ha permitido posicionarse como la plataforma número uno en los últimos años, ganando así la preferencia de la mayoría de los clientes del mercado con su sistema operativo Android. El segundo lugar de preferencia lo ocupa Apple con su poderoso iPhone y su iOS. Los siguientes lugares de preferencia están repartidos casi equitativamente entre el resto de los competidores. En un estudio realizado por la empresa Gartner9 en el año 2016, se presenta un análisis histórico de las ventas mundiales de dispositivos móviles por marca, del año 2010 al 2015. Con respecto de esta información, se pueden destacar los siguientes aspectos:

• La consolidación de Android como la número 1

• La consistencia de Apple, que aunque no eleva sus ventas, tampoco pierde el sector de clientes que tiene cautivo

• El declive continuo de algunas plataformas como Symbian de Nokia y BlackBerry

A continuación se muestra la gráfica 10 con dicha información:

9 Ver referencia número 4, página 33.

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Gráfica 10. Ventas mundiales de dispositivos móviles del año 2010 al 2015 (Jurquera, 2016) Así mismo, la compañía Gartner presenta una proyección de ventas para el 2020 de acuerdo a sus investigaciones de mercado. La gráfica 11 muestra esta proyección:

Gráfica 11. Proyección de ventas de dispositivos móviles para el 2020 (Jurquera, 2016)

Con respecto de esta información, se pueden destacar los siguientes aspectos:

• Android no aumentará sus ventas, sin embargo, seguirá en el número 1 con alrededor del 80% del total de ventas de dispositivos móviles.

• Apple igualmente se mantendrá en segundo lugar, manteniendo su porcentaje de público cautivo como hasta hoy.

• Algunas empresas desaparecerán ya que sus ventas de dispositivos móviles será mínima.

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Finalmente, en cuanto a las ventas de Smartphones del presente año 2017, al día de hoy ya se cuenta con la información concerniente al primer trimestre del año. La siguiente tabla (Tabla 9) muestra dicha numerología:

Tabla 9. Ventas de Smartphones a nivel mundial durante el primer trimestre de 2017 (Strategyanalytics.com, 2017)

A primera vista, estas estadísticas reflejan un cambio en cuanto a la tendencia de ventas que observamos en las gráficas 10 y 11 del presente trabajo, ya que muestran que durante el primer trimestre del año Apple vendió el 11% del total de los dispositivos móviles del mercado (iPhone 7 con el 6.1% + iPhone 7 Plus con el 4.9%), en contraste con su máximo competidor Android, que ingresó apenas el %5.6% del total de los dispositivos móviles del mercado (OPPO R9s con 2.5% + Samsung Galaxy J3 con el 1.7% + Samsung Galaxy J5 con el 1.4%). En mi opinión, estas cifras no deben representar una alarma para Android, ya Apple lanzó al mercado durante el pasado mes de Marzo una edición especial en color rojo de sus equipos iPhone 7 y iPhone 7 Plus (El número 1 y 2 de los más vendidos en el primer trimestre del año,

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presentados en la figura 21), por lo que considero que al ser un color nunca antes visto causó una euforia en los consumidores, provocando que se dispararan las ventas de los mencionados equipos.

Figura 21. Edición especial 2017 de iPhone 7 y iPhone 7 Plus (SDPnoticias.com, 2017) En conclusión a este tema, y con base en toda la información abordada en el mismo, se ha determinado que el sistema operativo sobre el cual se desarrollará Easy Maths será la plataforma Android.

2.4.1. Android, una plataforma innovadora Hasta ahora hemos descubierto que Android es hoy por hoy el sistema operativo para móviles número 1 del mercado, Conocimos las razones que lo han llevado hasta ese punto y (Se estima) que posiblemente le permitan continuar en ese preciado lugar por muchos años. Además de las ventajas ya mencionadas que posee este sistema operativo sobre sus competidores, una de las causas por las que se considera que Android continuará siendo el sistema operativo más buscado por los clientes es su alcance, ya que inicialmente fue diseñado para su uso dentro de dispositivos móviles con pantalla táctil como Smartphones, tablets y relojes inteligentes, sin embargo, hoy día ha crecido tanto que su aplicación se extiende a otros dispositivos como televisiones y automóviles. Otro punto clave de su éxito es que Android ha buscado renovarse en todos los sentidos, desde el desarrollo de nuevas e innovadoras versiones de su sistema operativo, hasta el propio nombre con que llama a las mismas, agregando un toque de originalidad a cada nueva versión de sistema operativo que lanza, cuestión que hace inevitable que el mercado voltee la vista hacia sus desarrollos. Todas las versiones de Android que se han lanzado al mercado, desde sus inicios hasta hoy, llevan el nombre de un postre o dulce en inglés, y su vez, el inicio de dicho nombre comienza con una letra del abecedario, siempre por orden.

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Las versiones de Android que han surgido hasta el año 2017 se muestran en la figura 22:

Figura 22. Versiones de Android que existen hasta hoy Para el año 2018 Android ha lanzado la versión 8.0 nombrada Oreo (Figura 23), los smarthphones lanzados a la venta en el pasado mes de Diciembre ya cuentan con esta versión.

Figura 23. Android 8.0 Oreo

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2.5. Apps de matemáticas hoy en día Con el auge de las aplicaciones móviles en su máximo esplendor, es complicado que en la actualidad no exista ya una App relacionada a una idea que deseemos poner en marcha, es decir, existen un sinfín de aplicaciones móviles en el mercado, por lo que suena complicado mencionar que nuestro proyecto es un desarrollo es completamente nuevo. Sin embargo, lo que sí se puede hacer es innovar un tema con nuestras, desarrollando propuestas diferentes que solucionen los problemas que otras Apps no han resuelto. En relación con el desarrollo del presente trabajo, hoy en día ya existen algunas aplicaciones de matemáticas en las Apps Stores, no obstante, ninguna de ellas se estructura como se tiene planeada Easy Maths, por lo que dichas Apps no representan una competencia directa hacia nuestra aplicación. A continuación se listan las mencionadas aplicaciones:

a. iMathematics

Se trata de una guía de consulta para recordar fórmulas matemáticas. Cuenta con más de cien temas. Incluye cuestionarios y diversas calculadoras

b. Photomath

Es una calculadora con cámara en la cual es posible resolver cálculos matemáticos con la cámara del celular, no reconoce texto escrito a mano. La aplicación resuelve operaciones de aritmética, ecuaciones, fracciones, logaritmos y cálculos con decimales, sin embargo no lleva al alumno a la asimilación del proceso.

c. MathStep

Es una calculadora, sin embargo su uso está enfocado a nivel bachillerato. Es de ayuda en la resolución de ecuaciones y fórmulas de forma simbólica, su contenido está enfocado a nivel bachillerato, en ocasiones la app proporciona pistas para la resolución del problema.

d. Mathway

Es una aplicación bastante para resolver ecuaciones de forma sencilla. El menú de inicio está clasificado en diferentes bloques, tales como matemáticas básicas, álgebra, trigonometría, cálculo y estadística. Sus contenidos son generales.

e. Fórmulas Matemáticas

Es una compilación de fórmulas correspondientes a diferentes ramas de las matemáticas: aritmética, álgebra, análisis, trigonometría y geometría.

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f. KhanAcademy

Es una aplicación para aprender sobre matemáticas, arte, programación, economía, física, química, biología, medicina, finanzas e historia.

g. Easy Maths

Por último, se presenta la aplicación estrella de este proyecto. Nombrada Easy Maths, es una aplicación con contenido matemático relacionado al programa de estudios implantado por la SEP para el nivel secundaria de nuestro país. Los alumnos podrán encontrar los temas abordados en clase, analizarlos y estudiarlos paso a paso y a su propio ritmo, con la opción de repetirlos una y otra vez en caso de ser necesario, con el fin de fortalecer sus conocimientos y habilidades en el área de matemáticas.

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3. Capítulo 3. Metodología La palabra ‘metodología’ se deriva de un vocablo griego generado a partir de tres palabras:

• -Metà-, que significa “Más allá”

• -Odòs-, que significa “Camino”

• -Logos-, que significa “Estudio” El término ‘metodología’, se define como el grupo de mecanismos y/o procedimientos racionales empleados para el logro de un objetivo, o una serie de objetivos dentro de una investigación (Venemedia, 2014). En cuestiones generales, dicho término se relaciona directamente con la ciencia, sin embargo, la metodología puede presentarse en distintas áreas como la educativa, la tecnológica o la social. Para que una metodología sea eficiente, debe ser disciplinada y sistemática, además, debe permitir un enfoque que permita analizar un problema en su totalidad. Para el desarrollo de un proyecto cualquiera, es vital la elección de la metodología que se va a utilizar, puesto que con su ayuda se podrán sistematizar procedimientos y técnicas para lograr alcanzar el objetivo del proyecto.

3.1. Metodología de desarrollo de Software La Metodología de desarrollo de Software hace referencia al conjunto de técnicas, procedimientos y soportes documentales empleados en el diseño de sistemas de información. Su objetivo principal es exponer una serie de técnicas clásicas y modernas de modelado de sistemas que permitan desarrollar un Software de calidad, que incluyen heurísticas10 de construcción y criterios de comparación de modelos de sistemas. A este podemos agregar que la metodología de Software es un marco de trabajo usado para estructurar, planificar y controlar el proceso de desarrollo en sistemas de información. En la actualidad existen diversas metodologías de desarrollo de Software. Para poder conocerlas de una manera más detallada, las agruparemos en cuatro sectores:

- Metodologías tradicionales - Metodologías modernas - Metodologías para el desarrollo de aplicaciones móviles - Técnicas que participan en el desarrollo de Software, pero que no son metodologías de

desarrollo a. Metodologías tradicionales Este grupo cuenta con las siguientes metodologías:

a.a. Desarrollo de sistemas de Jackson (JSD)

El objetivo de esta metodología es que los programas creados sean fáciles de modificar y mantener a lo largo de su vida.

a.b. Structured Analysis and Design Technique (SADT)

10 Arte de inventar, por parte de los seres humanos, con la intención de procurar estrategias, métodos y

criterios que permitan resolver problemas a través de la creatividad del pensamiento.

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Es una metodología de ingeniería de Software para describir sistemas como una jerarquía de funciones. Plantea una notación basada en diagramas, diseñados específicamente para ayudar a las personas a describir y entender los sistemas.

a.c. Structured System Analysis and Design Method (SSADM)

Es un método de tipo cascada para el análisis y diseño de sistemas de información.

b. Metodologías modernas Este grupo cuenta con las siguientes metodologías:

b.a. Rapid Application Development (RAD)

El método comprende el desarrollo interactivo, la construcción de prototipos y el uso de herramientas CASE11. Buscar mejorar la usabilidad, utilidad y la rapidez de ejecución del desarrollo.

Algunas de las plataformas más conocidas son:

- Visual Studio - Delphi - Foxpro

b.b. Scrum

Es un proceso en el que se aplican de manera regular un conjunto de buenas prácticas para trabajar colaborativamente en equipo. Su proceso consta de realizar entregas parciales y regulares del producto final, priorizadas por el beneficio que aportan al dueño del proyecto. Se especializa en obtener prontos resultados dentro de un proyecto con requisitos cambiantes o poco definidos.

b.c. Extreme programming (XP)

Se caracteriza por ser una de las más conocidas dentro de los procesos ágiles de desarrollo de Software, ya que pone mayor énfasis en la adaptabilidad, más que en la previsibilidad.

b.d. Rational Unified Process (RUP)

No es un sistema con pasos firmemente establecidos, sino que está compuesto por un conjunto de metodologías adaptables al contexto y necesidades de cada organización. Está centrado en la arquitectura del proyecto y es guiado por los casos de uso. Es iterativo e incremental. Incluye la utilización de aspectos tangibles (Como el modelo de casos de uso o el código fuente), así como los roles del proyecto (Papel que desempeñan las personas dentro del proceso).

11 Computer Aided Software Engineering o Ingeniería de Software Asistida por Computadora. Son diversas

aplicaciones informáticas destinadas a aumentar la productividad en el desarrollo de Software reduciendo el costo de las mismas en términos de tiempo y de dinero.

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b.e. Agile Unified Process (AUP)

Es una versión simplificada del RUP. Describe de una forma simple y fácil de entender la forma de desarrollar aplicaciones de Software de negocio. Aplica técnicas ágiles incluyendo desarrollo dirigido por pruebas TDD12, modelado ágil, gestión de cambios ágil, y refactorización de Base de Datos para mejorar la productividad.

c. Metodologías para el desarrollo de aplicaciones móviles Las metodologías mencionadas en los dos grupos anteriores pueden ser utilizadas sin ningún conflicto para el desarrollo de una aplicación móvil, sin embargo, con el reciente incremento de desarrollos de Apps en la actualidad, ha surgido una nueva corriente de metodologías para el desarrollo de aplicaciones móviles. Y aunque parece ser que esta corriente no es demasiado popular hasta ahora, está comenzando a tomar fuerza. Este grupo cuenta con las siguientes metodologías:

c.a. MADAMDM

Sus siglas significan ‘Metodología ágil para el diseño de aplicaciones multimedia de dispositivos móviles’ (Clubensayos, 2016). Es una metodología muy poco conocida, por lo que no es sencillo describirla a fondo. Su objetivo es brindar un apoyo a todos los desarrolladores que desean elaborar algún tipo de aplicación para Smartphones o Tablets.

c.b. Mobile-D.

Es una metodología de desarrollo ágil. Su diseño obtiene información de otras metodologías existentes como XP, RUP y AUP. Tiene como objetivo ser una metodología de resultados rápidos, con mira al trabajo de grupos pequeños de personas. En ella se establece que los integrantes del grupo deben poseer habilidades y capacidades de trabajo similares. c.c. DCU. Es un conjunto de técnicas que se pueden aplicar a lo largo del ciclo de vida del desarrollo de software para dispositivos móviles. Tiene como objetivo incluir al usuario como principal protagonista del proyecto. Esta metodología es útil porque permite obtener documentación importante durante sus etapas.

d. Técnicas que participan en el desarrollo de Software, pero que no son metodologías de desarrollo La siguiente lista presenta cuáles ‘NO’ son metodologías de desarrollo de Software, pero participan en el desarrollo del mismo. Es importante aclarar este punto debido a que en la actualidad muchos colegas informáticos se mantienen con la errónea creencia de que estas herramientas sí son una metodología de desarrollo de Software (Incluso hay un número considerable de sitios Web que así las reconocen), sin embargo, no lo son:

d.a. Programación estructurada y Programación Orientada a Objetos.

12 Es una práctica de ingeniería de Software que involucra escribir las pruebas primero (Test First Development) y Refactorización (Refactoring).

79

Estas no son metodologías de desarrollo, son paradigmas o modelos de programación que indican pautas de comportamiento en los sistemas de programación. No tienen relación con el ciclo de vida del Software ni la manera en la que debe realizarse cada tarea para un proyecto concreto, por tanto, no son metodologías de desarrollo de Software.

d.b. Modelo de espiral, Modelo de incremental, Modelo de Cascada y Modelo de prototipos.

Son esquemas generales de organización en las tareas del ciclo de vida de un proyecto. En otras palabras, son patrones del ciclo de vida del Software que indican ideas estructurales sencillas en el proceso de desarrollo, sin embargo, no determinan la manera en la que debe realizarse cada tarea del ciclo para un proyecto concreto, por tanto, no son metodologías de desarrollo de Software.

d.c. UML (Unified Modeling Languaje) Es el lenguaje de modelado de sistemas de Software más conocido y utilizado en la actualidad. Es utilizado para visualizar, especificar, construir y documentar un sistema, sin embargo, UML no le indica en ningún momento la manera de realizar las tareas en un proyecto concreto, sino que solo es una herramienta para expresar cómo está descrito el modelo de Software, por tanto, no es una metodología de desarrollo de Software.

En conclusión a este tema, y con base en la información expuesta en el mismo, se ha determinado que las metodologías que se utilizarán para el desarrollo de Easy Maths serán Mobile-D y DCU. En el siguiente tema abordaremos a detalle estas interesantes metodologías para el desarrollo de aplicaciones móviles.

3.1.1. Metodología Mobile-D En los últimos tiempos han surgido las llamadas ‘Metodologías Agiles’. Estas son metodologías enfocadas a obtener resultados rápidos y reducir la documentación producida durante el desarrollo de un proyecto. Poseen métodos de ingeniería del Software basados en el desarrollo iterativo e incremental, donde los requisitos y soluciones evolucionan con el tiempo según la necesidad del proyecto. Además enfatizan las comunicaciones cara a cara en vez de la documentación, por lo que los equipos de trabajo deben ser pequeños para su mejor desempeño. Las metodologías ágiles desarrollan 5 etapas de trabajo dentro del ciclo de vida de un proyecto, la figura 24 muestra cómo se desarrollan:

80

Figura 24. Esquema de funcionamiento de una metodología ágil (Grupo16, 2016) La razón de abordar el tema de las metodologías ágiles es porque Mobile-D es precisamente una de ellas. Es por eso que se ha mencionado con anterioridad que la metodología de trabajo sobre la cual se apoyará el desarrollo de Easy Maths será Mobile-D, esto debido a que sus características de funcionamiento se adaptan perfectamente a la estrategia de desarrollo de nuestra App. Dichas características son:

- Es una metodología de desarrollo ágil - Su diseño es una mezcla de metodologías como XP, RUP y AUP - Está enfocada a resultados rápidos - Requiere de grupos de trabajo reducidos

En cuanto a sus inicios, Mobile-D nació en el año 2004. Fue creada por un grupo de investigadores de Finlandia en el VTT Technical Research Centre of Finland. Es una metodología enfocada principalmente al mercado de dispositivos móviles, sin embargo, también se puede utilizar para el desarrollo de Software de computadoras personales. Su objetivo primordial es generar resultados rápidos en el desarrollo de Software, por lo que sus avances de trabajo deben presentarse a lo más, cada dos semanas. Así mismo, las entregas finales de cada etapa deben efectuarse en periodos cortos de tiempo, los cuales no deberán ser superiores a 10 semanas. Esta metodología está diseñada para utilizarse en grupos colaborativos pequeños (No más de 5 integrantes), los cuales deben poseer un nivel de habilidad y conocimiento similar. En la actualidad, Mobile-D es considerada una metodología ideal para el desarrollo de aplicaciones móviles, esto se debe a 4 características que posee:

1. Ofrece una reducción en los costos de producción de un proyecto 2. Está preparada para cambios constantes en los requerimientos 3. Está preparada para desarrollar el Software con rapidez y calidad 4. Asegura entregas de trabajo constantes en periodos cortos de tiempo

81

Estas particularidades se logran debido a las actividades que se realizan dentro de cada etapa del ciclo de vida del proyecto con Mobile-D, las cuales se muestran en la figura 25:

Figura 25. Etapas y actividades de la metodología Mobile-D 3.1.1.1 Etapas del ciclo de vida de un proyecto con Mobile-D 1. Exploración El propósito de la fase de exploración es la planificación y definición del proyecto. Se especifica su alcance, las partes involucradas durante el desarrollo, el equipo de trabajo y las fechas de entrega. Las subtareas de la etapa de exploración son:

1.1. Definición de los participantes

El propósito de esta actividad es identificar y establecer los Stakeholders13 involucrados dentro

del desarrollo del proyecto, excluyendo al equipo de desarrollo del Software. Para este proyecto dividiremos a los Stakeholders en 4 grupos:

- Empresas u organizaciones: Un proyecto puede requerir certificados, aprobaciones, o permisos para ser ejecutado o poder realizar su actividad.

- Usuarios: Personas que van a utilizar el producto resultante del proyecto. - Afectados: Personas que sin estar directamente implicadas con el proyecto ni con

el producto resultante, están afectadas por la ejecución de este. - Organización que ejecuta el proyecto: Integrantes que desarrollan el proyecto.

13 Término inglés utilizado en el ámbito empresarial para hacer referencia al 'interesado' o 'parte interesada', y que se refiere a todas aquellas personas u organizaciones afectadas por las actividades y las decisiones de un proyecto.

Inicialización Producción Estabilización Pruebas y

reparaciones

Definición de participantes

Configuración del proyecto

Día de planeación

Día de planeación

Pruebas del sistema

Definición del alcance

Día de planeación

Día de trabajo Día de trabajo

Día de

planeación

Definición del proyecto

Día de trabajo Día de

liberación

Día de documentaci

ón

Día de trabajo

Día de liberación

Día de liberación

Día de liberación

Exploración

82

1.2. Definición del alcance El propósito de esta actividad es definir los objetivos del proyecto, el contenido del mismo y el plan de trabajo a seguir.

1.3. Definición del proyecto

El propósito de esta actividad es definir y asignar los recursos técnicos y humanos necesarios para el desarrollo del proyecto. Esta subtarea es de suma importancia para asegurar que el equipo de trabajo comience a trabajar sin retrasos causados por algún inconveniente como la falta de Software o la falta de capacitación para el desarrollo del trabajo.

2. Inicialización

El propósito de esta etapa es permitir el éxito de las fases posteriores, preparando y verificando todos los puntos críticos del proyecto, con el fin de que dichos puntos se encuentren concluidos al final de la fase y poder implementar los requerimientos seleccionados por el cliente. La etapa de inicialización se subdivide en las siguientes etapas:

2.1. Configuración del proyecto

Esta subtarea se conforma de tres actividades:

- Preparar los recursos físicos y técnicos para el proyecto, así como la organización del

monitoreo del proyecto. - Entrenamiento del equipo de trabajo tanto como sea necesario - Definir la manera específica en que se mantendrá en contacto el grupo de trabajo con el

cliente. 2.2. Día de planeación (Iteración 0)

El propósito de esta subtarea es establecer un buen entendimiento en general del producto a desarrollar, preparar y planes para las siguientes fases del proyecto, y establecer planes para verificar y resolver todos los hallazgos de desarrollo en el final de la etapa 2.3. Día de trabajo (Iteración 0)

El propósito de esta subtarea es implementar los requerimientos técnicos necesarios para poder comenzar a trabajar con el desarrollo del Software. En esta etapa no se desarrolla código, se implementan funcionalidades necesarias como configuración de un servidor, instalación de Software a utilizar, configuración de la arquitectura que se va a utilizar, entre otras actividades.

2.4. Día de liberación (Iteración 0)

Es una subtarea opcional, y su objetivo es entregar avances del trabajo. 3. Producción

El propósito de esta etapa es implementar la funcionalidad requerida dentro del producto a desarrollar, estableciendo un ciclo de trabajo iterativo e incremental. La forma en la que se pueden documentar los requerimientos a es a través de historias de usuario. Estas son tarjetas que

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describen un requisito escrito de manera breve, utilizando el lenguaje común del usuario. 3.1. Día de planeación

El propósito de esta subtarea es seccionar y planear el trabajo que se va a realizar en la jornada.

3.2. Día de trabajo

El propósito de esta subetapa es desarrollar el trabajo seleccionado en la subtarea anterior. 3.3. Día de liberación

El propósito de esta subetapa es realizar la entrega total del trabajo seleccionado en las dos subtareas anteriores.

4. Estabilización

Después de creada una función de un Software, esta es integrada al resto del mismo. La etapa de estabilización se encarga de dos actividades:

- Que cada nuevo módulo agregado funcione correctamente con el resto del Software - Realizar documentación de dicho módulo

Estas actividades se deben realizar siempre que se haya desarrollado una nueva funcionalidad.

4.1. Día de planeación El propósito de esta subtarea es seccionar y planear el trabajo que se va a realizar en la jornada. 4.2. Día de trabajo

El propósito de esta subetapa es integrar al Software el trabajo seleccionado en la subtarea anterior.

4.3. Día de documentación

El propósito de esta subtarea es realizar documentación; Un desarrollo de Software sin documentación está condenado al fracaso, puesto que al inicio no habrá problemas para adecuaciones, sin embargo, con el paso del tiempo se perderá el contacto y posiblemente el contenido del desarrollo. Esta documentación debe ser realizada por los Stakeholders y no por el equipo desarrollador.

4.4. Día de liberación

El propósito de esta subetapa es realizar la entrega total del trabajo seleccionado en las dos primeras subtareas de esta etapa.

84

5. Pruebas y reparaciones El propósito de esta etapa es verificar si el sistema desarrollado implementa la funcionalidad solicitada por el cliente de manera correcta, proveyendo al equipo desarrollador la correspondiente retroalimentación de la funcionalidad del sistema y los defectos encontrados.

5.1. Pruebas del sistema

El propósito de esta subetapa es encontrar defectos en el Software desarrollado. 5.2. Día de planeación El propósito de esta subtarea es seccionar y planear el trabajo que se va a realizar en la jornada. Con el apoyo activo del cliente, se planean las actividades correspondientes para asegurar que los requerimientos son entendidos correctamente. 5.3. Día de trabajo

El propósito de esta subetapa es reparar el Software seleccionado en la subtarea anterior. 5.4. Día de liberación

El propósito de esta subetapa es realizar la entrega total del trabajo seleccionado en las dos primeras subtareas de esta etapa.

Una vez que hemos conocido el total de tareas y subtareas que componen a Mobile-D, concluiremos el presente capítulo mencionando los aspectos positivos y negativos de la metodología, los cuales se muestran a continuación en la tabla 10:

VENTAJAS DESVENTAJAS

Ofrece una reducción en los costos de producción de un proyecto

No sirve para grupos de desarrollo grandes

Está preparada para cambios constantes en los requerimientos

El éxito del proyecto depende en gran manera de que exista una buena

relación entre los miembros del equipo

Está preparada para desarrollar el Software con rapidez y calidad

Asegura entregas de trabajo constantes en periodos cortos de tiempo

Tabla 10. Ventajas y desventajas de Mobile-D

3.1.2. Metodología DCU Como se ha observado en el tema anterior, la metodología Mobile-D es 100% funcional para el presente proyecto, sin embargo, existen dos etapas que interesa desarrollar más a fondo y que dicha metodología no considera en cuanto a una documentación formal se trata.

85

Estas etapas son:

- Análisis - Diseño

La metodología DCU es una técnica llamada de ese nombre por su significado ‘Diseño Centrado en el Usuario’. Se relaciona con un conjunto de metodologías y técnicas que comparten un objetivo común: Conocer y comprender las necesidades, limitaciones, comportamiento y características del usuario, involucrando a usuarios potenciales o reales en el proceso de desarrollo. La figura 26 muestra las etapas de la metodología DCU:

Figura 26. Etapas y actividades de la metodología DCU 1.1.1.1 E

3.1.2.1 Etapas del ciclo de vida de un proyecto con DCU 1. Investigación Esta etapa es muy importante para que el desarrollo del Software tenga éxito ya que en ella se definen los planes de lo que se quiere realizar, cómo se va a realizar el desarrollo del Software (En cuestiones generales se menciona el Software, el Hardware y los recursos humanos). 2. Análisis

En esta etapa de la metodología DCU se define claramente el problema que se desea resolver y se identifican los componentes principales que se integrarán al Software. Las subetapas de esta tarea son:

- Reconocimiento del problema - Evaluación y síntesis - Especificación

3. Diseño El objetivo de esta etapa es definir las relaciones entre los módulos del programa y garantizar que se cumplen cabalmente los requerimientos solicitados de una manera eficiente, lógica y completa.

Investigación Análisis Diseño Construcción

Negocio Negocio Negocio Negocio

Cliente

Cliente Cliente Cliente

86

4. Construcción Finalmente, la etapa de construcción es aquella en la que se lleva a cabo la creación del Software en cuestión. El siguiente tema del presente trabajo muestra el desarrollo de cada una de las etapas mencionadas de esta metodología.

87

Capítulo 4. Easy Maths El objetivo de este capítulo es presentar nuestra aplicación móvil y las características físicas y lógicas que posee. Para ello abordaremos todo lo concerniente a la mencionada lo cual incluye:

- Estándares de matemáticas de SEP - Plan de estudios de SEP - Temas que aborda Easy Maths - Aplicación de la metodología Mobile-D a Easy Maths - Características y funcionalidad de Easy Maths

4.1. Temas de matemáticas involucrados Para poder delimitar cuáles son los temas que debe contener nuestra App, es necesario tomar en cuenta el plan de estudios de la asignatura de matemáticas que ha decretado la SEP para los alumnos que estudian la secundaria.

4.1.1. Estándares de matemáticas de SEP La SEP (2012) ha determinado que el plan de estudios para el nivel secundaria en México debe considerar 4 ejes temáticos:

1. Sentido numérico y pensamiento algebraico 2. Forma, espacio y medida 3. Manejo de la información 4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas

La aplicación de dichos 4 ejes valora los siguientes aspectos: 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico:

1.1 Números y sistemas de numeración.

Con este eje el alumno podrá:

1.1.1.Resolver problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.

1.1.2.Resolver problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.

1.2 Problemas aditivos.

Con este eje el alumno podrá:

1.2.1.Resolver problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con expresiones algebraicas.

1.3 Problemas multiplicativos.

Con este eje el alumno podrá:

88

1.3.1.Resolver problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios.

1.4 Patrones y ecuaciones.

Con este eje el alumno podrá:

1.4.1.Resolver problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o

cuadrática de una sucesión.

1.4.2.Resolver problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas. 2. Forma, espacio y medida

2.1 Figuras y cuerpos.

Con este eje el alumno podrá:

2.1.1.Resolver problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa, y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables.

2.1.2.Utilizar la regla y el compás para realizar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera.

2.1.3.Resolver problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos polígonos.

2.2 Medida.

Con este eje el alumno podrá:

2.2.1.Calcular cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen.

2.2.2.Determinar la medida de diversos elementos del círculo, como circunferencia, superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coronas circulares.

2.2.3.Aplicar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en la resolución de problemas.

3. Manejo de la información

3.1 Proporcionalidad y funciones.

Con este eje el alumno podrá:

3.1.1.Resolver problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto.

3.1.2.Expresar algebraicamente una relación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.

3.2 Nociones de probabilidad.

Con este eje el alumno podrá:

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3.2.1.Calcular la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

3.3 Análisis y representación de datos.

Con este eje el alumno podrá:

3.3.1.Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado del rango y la desviación media.

4. Actitudes hacia el estudio de las matemáticas

4.1 Manejo de las matemáticas

Con este eje el alumno podrá:

4.1.1.Desarrollar un concepto positivo de sí mismo como usuario de las matemáticas, el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, el vocabulario y los procesos matemáticos.

4.1.2.Aplicar el razonamiento matemático a la solución de problemas personales, sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos procedimientos para resolver los problemas particulares.

4.1.3.Desarrollar el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate matemático al formular explicaciones o mostrar soluciones.

4.1.4.Compartir e intercambiar ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver problemas.

4.1.2. Plan de estudios de SEP y temas a considerar dentro de Easy Maths La Secretaría de Educación Pública presenta su plan de estudios de matemáticas para los alumnos de nivel secundaria de la siguiente forma:

Bloque I (Figura 27):

90

Figura 27. Bloque I del plan de estudios de SEP para alumnos de nivel secundaria

Bloque II (Figura 28):

Figura 28. Bloque II del plan de estudios de SEP para alumnos de nivel secundaria

91

Bloque III (Figura 29):

Figura 29. Bloque III del plan de estudios de SEP para alumnos de nivel secundaria

Bloque IV (Figura 30):

92

Figura 30. Bloque IV del plan de estudios de SEP para alumnos de nivel secundaria

Bloque V (Figura 31):

Figura 31. Bloque V del plan de estudios de SEP para alumnos de nivel secundaria Por lo anterior, se ha determinado que Easy Maths abordará los siguientes temas dentro de su funcionamiento: 1. Aritmética

1.1. Divisibilidad 1.2. Números racionales 1.3. Derivadas e integrales

93

2. Álgebra 2.1. Polinomios 2.2. Ecuaciones de segundo grado 2.3. Problemas resueltos con sistemas de ecuaciones

3. Probabilidad

3.1. Cálculo de probabilidades 3.2. Interpretación de gráficas

4. Geometría

4.1. Identificar figuras planas: círculo, triángulo, cuadrado, etc 4.2. Cálculo de ángulos en diferentes contextos 4.3. Triángulos: tipos y cálculo de lados, perímetro y área

4.2. Aplicación de metodología DCU a Easy Maths En el capítulo anterior se mencionó de manera general la metodología DCU, la cual involucra 4 etapas de trabajo las cuales son:

- Investigación - Análisis - Diseño - Construcción

Así mismo, se mencionó de manera general la metodología Mobile-D, la cual involucra 5 etapas de trabajo las cuales son:

- Exploración - Inicialización - Producción - Estabilización - Pruebas y reparaciones

Se ha mencionado también que la metodología Mobile-D se adapta al 100% a lo que pretende desarrollarse en este trabajo, sin embargo, se ha determinado utilizar la metodología DCU para tratar más a fondo dos etapas importantes en el proceso de desarrollo de Software. Estas etapas son: Estas etapas son:

- Análisis - Diseño

Esto se debe a que Mobile-D no cuenta con un proceso específico de documentación formal para las mencionadas etapas, por tanto, utilizaremos DCU para robustecer este tema. La figura 32 muestra la manera en que se ha determinado unir ambas metodologías para ser utilizadas en el desarrollo de esta investigación:

94

Figura 32. DCU adaptado con Mobile-D 1. Investigación Esta etapa ha sido abordada en los siguientes puntos de este trabajo:

- Planteamiento del problema - Justificación - Objetivo - Metodología

Adicionalmente se agregará información en la aplicación de la metodología Mobile-D a Easy Maths. 2. Análisis

2.1. Reconocimiento del problema

De acuerdo a las cifras presentadas por la SEP en el año 2015, solamente el 6.4% de los alumnos de secundaria que han aplicado el examen PLANEA lograron un dominio de los conocimientos y habilidades en el área de matemáticas, lo cual implica que más del 90% tiene deficiencias en el conocimiento de dicha materia.

2.2. Evaluación y síntesis

El objetivo del presente trabajo es desarrollar una aplicación para dispositivos móviles que cuenten con Sistema Operativo Android, la cual tiene como fin ayudar a fortalecer el aprendizaje matemático de los alumnos de nivel secundaria.

Con esto se ofrecerá una alternativa de estudio interesante e innovadora que ofrezca a los jóvenes una oportunidad de aprender los temas de la materia de una forma distinta.

Investigación Análisis Diseño

Construcción

Negocio

Cliente

Negocio

Cliente

Negocio

Cliente

Requisitos

Lanzamiento del producto

Negocio

Test y validación

Codificación

Cliente

DCU

Mobile-D

Iteración

95

2.3. Especificación

Para lograr el objetivo mencionado en el punto anterior se deben realizar las siguientes actividades:

1. Se debe realizar una investigación de los temarios de matemáticas establecidos por la SEP para los alumnos que estudian la secundaria en México. 2. Se debe instalar en una computadora personal el Software necesario para desarrollar una aplicación móvil que pueda ser ejecutada dentro del Sistema Operativo Android. 3. Se deben adquirir los conocimientos técnicos para desarrollar una aplicación móvil que sea ejecutada dentro del Sistema Operativo Android. 4. Se debe desarrollar una aplicación móvil que contenga ejercicios, soluciones y explicaciones de los temas más relevantes del temario que la SEP establece para este nivel de estudios.

3. Diseño

3.1. Participantes

Se considera que el proyecto debe contar con los siguientes roles como participantes del mismo: - Director de proyecto: El alumno de maestría y su director de Tesis serán los encargados

de la dirección del proyecto.

- Diseñador: El alumno de maestría será el encargado del diseño del proyecto.

- Programador: El alumno de maestría será el encargado de la programación e implementación del proyecto.

- Clientes: Se consideran clientes a los usuarios finales de la aplicación, como los profesores sinodales y los alumnos de secundaria.

Los clientes podrán efectuar las siguientes tareas:

1. Ingresar a la aplicación 2. Elegir la categoría de estudio de su preferencia 3. Comenzar a jugar en la categoría 4. Elegir si desea saber la explicación de la respuesta de una pregunta que no conozca

3.2. Diseño conceptual

3.2.1. Escenarios de uso

Escenario 1

Perfil de usuario Usuario activo

Objetivo Ingresar a la aplicación

Tareas - Instalar la aplicación (En caso de no tenerla instalada)

- Ingresar a la aplicación

96

Necesidad de información - Conocer cómo se instala la aplicación - Conocer cómo ingresar a la

aplicación Escenario 2

Perfil de usuario Usuario activo

Objetivo Elegir la categoría de estudio

Tareas - Ingresar a la aplicación - Elegir la categoría de estudio de su

preferencia

Necesidad de información - Conocer cómo ingresar a la aplicación

- Conocer cómo ingresar a la sección de categorías de la aplicación

Escenario 3

Perfil de usuario Usuario activo

Objetivo Comenzar a jugar en la categoría

Tareas - Ingresar a la aplicación - Elegir la categoría de estudio de su

preferencia - Comenzar a jugar en la categoría

elegida

Necesidad de información - Conocer cómo ingresar a la aplicación

- Conocer cómo ingresar a la sección de categorías de la aplicación

- Conocer cómo jugar en la categoría elegida

Escenario 4

Perfil de usuario Usuario activo

Objetivo Elegir si desea saber la explicación de la respuesta de una pregunta que no conozca

Tareas - Ingresar a la aplicación - Elegir la categoría de estudio de su

preferencia - Comenzar a jugar en la categoría

elegida - Elegir si desea saber la explicación

de la respuesta de una respuesta que no conozca

97

Necesidad de información - Conocer cómo ingresar a la aplicación

- Conocer cómo ingresar a la sección de categorías de la aplicación

- Conocer cómo jugar en la categoría elegida

- Conocer cómo saber la explicación de una respuesta

3.2.2. Diagramas de casos de uso

Ingresar a Easy Maths

Elegir una categoría

Álgebra Jugar

Probabilidad Jugar

Estadística Jugar

Geometría Jugar

Si la respuesta es correcta, continuar con una nueva pregunta

Si la respuesta es incorrecta, conocer la respuesta correcta

a) Continuar con una nueva pregunta hasta que se terminen b) Regresar al menú de categorías para elegir otra

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

98

3.2.3. Flujos de interacción

Tarea 1: Ingresar a la aplicación

Tarea 2: Elegir la categoría de estudio de su preferencia

Instalar aplicación en caso de no

tenerla instalada

Ingresar a Easy Maths

Ingresar a Easy Maths

Elegir categoría de estudio de su preferencia

99

Tarea 3: Comenzar a jugar en la categoría

Tarea 4: Elegir si desea conocer la explicación de la respuesta de una pregunta que no conozca

4. Construcción Esta etapa se desarrollará completamente la aplicación de la metodología Mobile-D a Easy Maths.

4.3. Aplicación de metodología Mobile-D a Easy Maths 1. Exploración El propósito de la fase de exploración es la planificación y definición del proyecto. Se especifica su alcance, las partes involucradas durante el desarrollo, el equipo de trabajo y las fechas de entrega.

Ingresar a Easy Maths

Elegir categoría de estudio de su preferencia

Comenzar a jugar en la categoría

elegida

Ingresar a Easy Maths

Elegir categoría de estudio de su preferencia

Comenzar a jugar en la categoría

elegida

Elegir si desea conocer la explicación de la respuesta de una

pregunta

100

1.1. Definición de los participantes Los Stakeholders de este proyecto son:

1. Empresas u organizaciones:

- Este proyecto no requiere certificados ni permisos para ser ejecutado

2. Usuarios:

- Alumnos que estudien la secundaria en México

- Personas que deseen aprender de las materias de matemáticas contenidas dentro de Easy Maths

- Profesores participantes de este proyecto: ▪ M. en A. Antonio Romero Hernández ▪ Dra. Elizabeth Acosta González ▪ Dra. Martha Jiménez García ▪ M. en C. Abraham Gordillo Mejía ▪ M. en C. Emilia Abad Ruíz

3. Afectados:

- Los afectos indirectos de la creación de Easy Maths son su competencia, los cuales han sido mencionados en la página 64 de este trabajo.

4. Organización que ejecuta el proyecto:

- Lic. Daniel Alejandro Díaz Tapia

1.2. Definición del alcance 1. El objetivo de este proyecto es: Desarrollar una aplicación móvil para dispositivos que

cuenten con Sistema Operativo Android, la cual será nombrada Easy Maths y que tiene como fin ayudar a fortalecer el aprendizaje matemático de los alumnos de nivel secundaria.

2. El contenido de Easy Maths estará basado en 4 ramas de matemáticas

a. Aritmética b. Álgebra c. Probabilidad d. Geometría

101

3. El plan de trabajo a seguir se presenta a continuación en la figura 33:

Figura 33. Etapas y actividades de la metodología Mobile-D

1.3. Definición del proyecto

1. Los recursos que se utilizarán en este proyecto se dividen en 2:

a. Recursos técnicos:

i.Un dispositivo móvil con la siguientes características:

1. Sistema operativo Android 2.3 o superior 2. Pantalla de 4 pulgadas o superior 3. Procesador de 800MHZ o superior 4. Memoria interna de 512 MB o superior 5. Conexión Wifi IEEE 802.11 o más reciente

ii.Una computadora personal con las siguientes características:

1. Windows 10 de 64 bits 2. Memoria RAM de 8 GB 3. Disco Duro de 500 GB

b. Recursos humanos:

i.Lo adecuado sería trabajar con un equipo de al menos tres personas, sin embargo, por la naturaleza de este proyecto el recurso humano asignado es:

1. Una persona

102

2. Inicialización. 2.1. Configuración del proyecto

1. Se han preparado los recursos físicos y técnicos requeridos para este proyecto, los cuales

han sido mencionados en la fase previa. Así mismo, el monitoreo de actividades que se realicen durante el desarrollo de la App se controlará con el plan definido con anterioridad, en el cual se deberá capturar semanalmente el avance de actividades.

2. Se han descargado manuales de uso de Android Studio y Java para poder desarrollar nuestra App.

2.2. Día de planeación (Iteración 0)

1. Se ha realizado un análisis general de la App a desarrollar, lo que ha permitido determinar

el orden en el que se desarrollaran los módulos que componen a la aplicación, los cuales se trabajarán en el siguiente orden:

1. Aritmética 1.1. Divisibilidad 1.2. Números racionales 1.3. Derivadas e integrales

2. Álgebra

2.1. Polinomios 2.2. Ecuaciones de segundo grado 2.3. Problemas resueltos con sistemas de ecuaciones

3. Probabilidad

3.1. Cálculo de probabilidades 3.2. Interpretación de gráficas

4. Geometría

4.1. Identificar figuras planas: círculo, triángulo, cuadrado, etc 4.2. Cálculo de ángulos en diferentes contextos 4.3. Triángulos: tipos y cálculo de lados, perímetro y área

2. Los hallazgos encontrados dentro del desarrollo de la aplicación deberán resolverse de

inmediato, sin poder avanzar con el tema siguiente si no se ha resuelto la incidencia.

3. La forma de monitoreo se deberá realizar presentando avances al director de tesis (O en su caso a los sinodales) con el fin de dar seguimiento al proyecto.

2.3. Día de trabajo (Iteración 0)

1. Se ha descargado, instalado y configurado el Software necesario para poder comenzar con

el desarrollo de nuestra aplicación, lo cual incluye lo siguiente:

103

1. Pantalla de inicio (Figura 34) y finalización (Figura 35) de instalación de Java JRE de 64 bits

Figura 34. Inicio de instalación de Java JRE

Figura 35. Fin de instalación de Java JRE

104

2. Pantalla de inicio (Figura 36), selección de herramientas a instalar (Figura 37) y finalización (Figura 38) de instalación de Java JDK de 64 bits

Figura 36. Inicio de instalación de Java JDK

Figura 37. Selección de herramientas Java JDK

105

Figura 38. Fin de instalación de Java JDK

3. Pantalla de inicio (Figura 39) y finalización (Figura 40) de controlador universal Adb Driver para comunicación de la computadora con el Smartphone.

Figura 39. Inicio de instalación de controlador Adb

106

Figura 40. Fin de instalación de controlador Adb

4. Pantalla de inicio (Figura 41), finalización (Figura 42), bienvenida (Figura 43), menú de configuración (Figuro 44) y menú principal (Figura 45) de Android Studio.

Figura 41. Inicio de instalación de Android Studio

107

Figura 42. Fin de instalación de Android Studio

Figura 43. Bienvenida de Android Studio

108

Figura 44. Configuración de Android Studio

Figura 45. Menú principal de Android Studio

109

2.4. Día de liberación (Iteración 0)

1. Los avances del trabajo son los presentados en este documento. 3. Producción.

1. Se ha desarrollado la aplicación EasyMaths conforme a las actividades establecidas en el

plan de trabajo.

4. Estabilización 1. Esta etapa se ha trabajado a la par con la etapa de producción.

5. Pruebas y reparaciones

1. La aplicación ha sido probada por una muestra de diez estudiantes de nivel secundaria, quienes han aportado valiosos comentarios y han mostrado aceptación en cuanto a la funcionalidad de las diferentes categorías de la app.

2. Los estudiantes entrevistados mencionaron los siguientes comentarios:

a. Es una app muy llamativa b. Los temas que hay dentro de ella son interesantes c. La usabilidad de la app es sencilla e intuitiva d. La app es útil para conocer la respuesta y su explicación de manera clara e. Es una app que puede crecer si se agregan nuevas materias

4.4. Características y funcionalidad de Easy Maths 1. Los requerimientos que se deben considerar para la instalación de Easy Maths son los siguientes:

1.1. Requisitos de Software

a. Sistema operativo Android 2.3 o superior. b. Capacidad de conexión a internet

1.2. Requisitos de Hardware

a. Pantalla de 4 pulgadas o superior. b. Procesador de 800MHZ o superior. c. Memoria interna de 512 MB o superior. d. Conexión Wifi IEEE 802.11 o más reciente.

110

2. Las pantallas de funcionalidad de Easy Maths se muestra en las siguientes figuras:

2.1. Figura 46, pantalla de inicio:

Figura 46. Pantalla de Inicio de Easy Maths

2.2. Figura 47, pantalla de selección de categoría:

Figura 47. Pantalla de selección de categoría

111

Dependiendo de la opción que se seleccione, se mostrará la pantalla correspondiente de la categoría y se podrá iniciar el juego.

2.3. Figura 48, 49, 50 y 51, pantallas de geometría

Figura 48. Pantalla de inicio de geometría

Figura 49. Pantalla de respuesta correcta

112

Figura 50. Pantalla de respuesta incorrecta

Figura 51. Pantalla que muestra la solución de la pregunta

113

2.4. Figura 52, 53, 54 y 55, pantallas de probabilidad

Figura 52. Pantalla de inicio de probabilidad

Figura 53. Pantalla de respuesta correcta

114

Figura 54. Pantalla de respuesta incorrecta

Figura 55. Pantalla que muestra la solución de la pregunta

115

2.5. Figura 56, 57, 58 y 59, pantallas de aritmética

Figura 56. Pantalla de inicio de aritmética

Figura 57. Pantalla de respuesta correcta

116

Figura 58. Pantalla de respuesta incorrecta

Figura 59. Pantalla que muestra la solución de la pregunta

117

2.6. Figura 60, 61, 62 y 63, pantallas de álgebra

Figura 60. Pantalla de inicio de álgebra

Figura 61. Pantalla de respuesta correcta

118

Figura 62. Pantalla de respuesta incorrecta

Figura 63. Pantalla que muestra la solución de la pregunta

119

5. Capítulo 5. Resultados y conclusiones

5.1. Resultados La primera versión de la app EasyMaths se terminó de desarrollar recientemente, se trata de una aplicación que tiene potencial de crecimiento sin límites en el futuro, ya que puede adecuarse a las necesidades de los usuarios con base en los planes y programas de estudio de educación básica en nuestro país. Se aplicó una encuesta a una muestra de 10 estudiantes de nivel secundaria, quienes han aportado valiosos comentarios y han mostrado aceptación en cuanto a la funcionalidad de las diferentes categorías de la app. Los estudiantes respondieron de acuerdo a la gráfica 12:

Gráfica 12. Estadísticas de uso de Easy Maths Los estudiantes entrevistados mencionaron los siguientes comentarios en una sección llamada “Críticas constructivas”:

1. Es una app muy llamativa 2. Los temas que hay dentro de ella son interesantes 3. La usabilidad de la app es sencilla e intuitiva 4. La app es útil para conocer la respuesta y su explicación de manera clara 5. Es una app que puede crecer si se agregan nuevas materias

5.2. Trabajos futuros

Actualmente Easy Maths cuenta con un banco de 5 preguntas para cada materia que aborda, la siguiente versión de esta app puede aumentar dicho banco al número de preguntas que desee, ya que no tiene límites de crecimiento en su desarrollo.

61%8%

23%

8%

Estadísticas de uso

Le gustó

No le gustó

Creen que puede mejorar

No le interesa

120

5.3. Conclusiones

La inclusión de la tecnología es esencial en el proceso de enseñanza - aprendizaje de Ias

Matemáticas ya que esta influye de forma positiva en la generación de aprendizajes significativos

que dan pauta a una mejor asimilación del conocimiento por parte de los estudiantes. Herramientas

como Ia calculadora y Ia computadora son vitales hoy día para enseñar y aprender matemáticas ya

que pueden apoyar a Ias investigaciones de los estudiantes en diferentes áreas de estudio como

aritmética, geometría, estadística, y álgebra, entre otras.

Como se mencionó con anterioridad, la tecnología es parteaguas para un proceso eficaz en el

aprendizaje de las matemáticas, a través del poder grafico de Ias herramientas tecnológicas se

posibilita el acceso a modelos visuales que ofrecen a los estudiantes opciones de aprender de

formas distintas a como se realizaba en el pasado, permitiéndoles ejecutar procedimientos

rutinarios en forma rápida y precisa, liberándoles tiempo para elaborar conceptos y modelos

matemáticos. Igualmente ofrece a los docentes opciones para adaptar el proceso de enseñanza-

aprendizaje a Ias necesidades actuales de los alumnos.

Por otro lado, es importante mencionar que el uso de la tecnología no reemplaza al docente de

matemáticas, ya que este desempaña diversos roles importantes en aula, siendo la tecnología una

herramienta para enriquecer la metodología empleada. El docente es el responsable de la toma

decisiones que afectan el proceso de aprendizaje de los alumnos de manera importante, por lo

tanto, Ia tecnología ayuda en Ia evaluación del docente, permitiéndole examinar los procesos que

han seguido los alumnos en sus investigaciones matemáticas, así como los resultados obtenidos.

Dotar a los alumnos con herramientas que les permitan ver más allá del aula de clases, les

mostrará un mundo repleto de posibilidades que despertará en ellos la curiosidad y el deseo por

generar más conocimiento, conduciéndolos de esta manera a la aplicación de los conocimientos ya

adquiridos para la generación de nuevos aprendizajes en un contexto real, favoreciendo en ellos el

saber hacer.

Esta aplicación fue creada para ayudar a los alumnos en su proceso de formación, brindándoles

una herramienta de estudio accesible y diferente que les permita comprender temas complejos de

las asignaturas de álgebra, aritmética, geometría y estadística, mostrándoles una nueva forma de

aprender Matemáticas.

121

vi. Bibliografía Lluvia, G. (2013). México reprobado en matemáticas y español: Enlace. International Business Times. Disponible en: http://mx.ibtimes.com/articles/27321/20130830/resultados-prueba-enlace-mexico-reprobados.htm Canva.com. (2016). Amazingly Simple Graphic Design Software – Canva. https://www.canva.com/ Consumidor.ftc.gov. (2016). Aplicaciones móviles: Qué son y cómo funcionan | Información para consumidores. https://www.consumidor.ftc.gov/articulos/s0018-aplicaciones-moviles-que-son-y-como-funcionan Appsmoviles.mx. (2016). Apps Móviles En México. Desarrollo de Aplicaciones Móviles en México. Diseño de Apps para IOS (iPhone, iPad), Android y Windows. Desarrollo de Apps Nativas y Multiplataforma. Diseño de Páginas Web. Diseño Gráfico Multimedia y Animación. http://www.appsmoviles.mx/index.php Es.slideshare.net. (2016). Cfe Móvil por SONCORP. http://es.slideshare.net/egael1/cfe-movil-por-soncorp Transformacion-educativa.com. (2016). Congreso de Transformación Educativa. http://www.transformacion-educativa.com/congreso/mesas-redondas-magistrales/02-ticc-transformacion.html Cuello, J. (2016). Capítulo 1: Las aplicaciones – Diseñando apps para móviles. Diseñando apps para móviles. http://appdesignbook.com/es/contenidos/las-aplicaciones/ Enlace.sep.gob.mx. (2016). Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares, ENLACE 2014. http://www.enlace.sep.gob.mx/ Sites.google.com. (2016). Introducción a las Telecomunicaciones. https://sites.google.com/site/cursotelecomunicaciones/home Khan Academy. (2016). Khan Academy. https://es.khanacademy.org/math Marke, E. (2016). mobile.de – El mayor mercado de vehículos en línea de Alemania. Busque, compre y venda vehículos nuevos y de ocasión. http://www.mobile.de/?lang=es Thatquiz.org. (2016). Matemáticas. https://www.thatquiz.org/es/ Disfrutalasmatematicas.com. (2016). Menú de Álgebra. http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ Mocholí, A. (2015). Top 10 aplicaciones móviles para convertir tu Smartphone en una oficina móvil.

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