INSTITUTO TECNOLÒGICO DE MAZATLAN

PROGRAMA DE ESTUDIO

PLAN DE ESTUDIO VIGENTE CLAVE IEE-93

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CARRERA: INGENIERIA ELECTRÒNICA SEMESTRE: VIII OPCIÓN: SISTEMAS DIGITALES MATERIA: ROBOTICA CLAVE: SROB-E1158 OBJETIVO: EL ALUMNO COMPRENDERÁ LOS CONCEPTOS MATEMÁTICOS, DE ACTUADORES Y SENSORES PARA EL MODELADO DEL ROBOT, ASÍ COMO DE SU CONTROL Y PROGRAMACIÓN.

UNIDAD I

INTRODUCCION Y CONCEPTOS DE ROBOTICA

1.1 ANTECEDENTES DE LA ROBOTICA 1.2 AREAS DE APLICACIÓN DE LA ROBOTICA 1.3 ARQUITECTURA DE ROBOTICA

UNIDAD II

MODELADO DEL ROBOT 2.1CINEMATICA DIRECTA 2.1.1 MATRIZ DE ROTACION 2.1.2 ANGULOS DE EULER 2.1.3 CUATERNION UNITARIO 2.1.4 TRANSFORMACION HOMOGENEA 2.1.5 CONVENCION DENAVIT-HARTENGERG 2.1.6 CINEMATICA DE MANIPULADORES TIPICOS 2.1.7 CINEMATICA INVERSA 2.2 DINAMICA DEL ROBOT 2.2.1. FORMULACION LAGRANG’E-EULER 2.2.2. FORMULACION NEWTON-EULER 2.2.3. MODELO DINAMICO DE ESTRUCTURAS MANIPULADORAS SIMPLES

UNIDAD III

INTRODUCCION AL CONTROL Y PROGRAMACION DE ROBOTS 3.1 PLANEACION DE TRAYECTORIA 3.2 EL PROBLEMA DE CONTROL 3.3 ESQUEMAS DE CONTROL 3.3.1. CONTROL INDEPENDIENTE EN LAS ARTICULACIONES

3.3.2. CONTROL PREALIMENTADO DE PAR CALCULADO 3.3.3. CONTROL DENTRALIZADO 3.4 PROGRAMACION DEL ROBOT 3.4.1. PROGRAMACION DIRECTA 3.4.2. LENGUAJES DE PROGRAMACION DE ROBOTS

UNIDAD IV

ACTUADORES Y SENSORES 4.1 SISTEMAS DE ACTUADORES DE ARTICULACION 4.1.1 TRANSMISIONES 4.1.2. SERVOMOTORES 4.1.3. AMPLIFICADORES Y FUENTES DE PODER 4.2. SERVOMOTORES 4.2.1. ELECTRICOS 4.2.2. HIDRAULICOS 4.3 SENSORES 4.3.1. TRANSDUCTORES DE POSICION Y VELOCIDAD 4.3.2. SENSORES DE FUERZA 4.3.3. SENSORES DE VISION

UNIDAD I INTRODUCCION Y CONCEPTOS DE ROBOTICA La robótica es una ciencia o rama de la tecnología, que estudia el diseño y construcción de máquinas capaces de desempeñar tareas realizadas por el ser humano o que requieren del uso de inteligencia. las ciencias y tecnologías de las que deriva podrían ser: el álgebra, los autómatas programables, las máquinas de estados, la mecánica o la informática. De forma general, la robótica se define como: el conjunto de conocimientos teóricos y prácticos que permiten concebir, realizar y automatizar sistemas basados en estructuras mecánicas poli articuladas, dotados de un determinado grado de "inteligencia" y destinados a la producción industrial o al sustitución del hombre en muy diversas tareas.

Un sistema robótico se puede describirse, como "aquel que es capaz de recibir información, de comprender su entorno a través del empleo de modelos, de formular y de ejecutar planes, y de controlar o supervisar su operación". La robótica es esencialmente pluridisciplinaria y se apoya en gran medida en los progresos de la microelectrónica y de la informática, así como en los de nuevas disciplinas tales como el reconocimiento de patrones y de inteligencia artificial.

1.1.-ANTECEDENTES DE LA ROBOTICA. Antiguamente, se creaban artefactos capaces de realizar tareas diarias y comunes para los hombres, o bien, para facilitarles las labores cotidianas; se daban cuenta de que había tareas repetitivas que se podían igualar con un complejo sistema, y es así como se comienza a crear máquinas capaces de repetir las mismas labores que el hombre realizaba, y como ejemplo de estas máquinas podemos citar las siguientes: La rueda como medio de transporte o como herramienta, por ejemplo, para un alfarero. El engrane. La catapulta como arma de combate. El molino, ya sea para obtener agua de las entrañas de la tierra, o como moledor de granos. Y así una gran variedad de máquinas que antiguamente se creaban para facilitarles las tareas a los hombres. Pero no todos estos artefactos tenían una utilidad, algunas máquinas solamente servían para entretener a sus dueños, y no hacían nada más que realizar movimientos repetitivos ó emitir sonidos. La palabra robot surge con la obra RUR, los "robots universales de rossum" de karel capek, es una palabra checoeslovaca que significa trabajador, sirviente. Sin embargo podemos encontrar en casi todos los mitos de las diversas culturas una referencia a la posibilidad de crear un ente con inteligencia, desde el popol-vuh de nuestros antepasados mayas hasta el golem del judaísmo. desde la época de los griegos se intentó crear dispositivos que tuvieran un movimiento sin fin, que no fuera controlado ni supervisado por personas, en los siglos XVII y XVIII la construcción de autómatas humanoides fabricados con mecanismos de relojería por Jacques de vaucanson, Pierre Henri-Louis, jaquet- droz, como el escribiente, the draughtsman, el músico Henri maillar det (1800),

Olimpia de la ópera de offenback de hoffman, fortalecieron la búsqueda de mecanismos que auxiliaran a los hombres en sus tareas. Estos autómatas desataron controversias alrededor de la posible inteligencia que pudieran tener estos dispositivos pesadas y en la búsqueda de la posibilidad de crear vida artificialmente. El escribiente hacía mofa de la frase de descartes de "pienso luego existo", parafraseándola al escribir "escribo luego existo".

FIG 1.-Los Maillardet (Henri, Jean-David, julien-auguste, Jacques-rodolphe) hicieron su aparición a finales del siglo XVIII y principios del XIX. Cabe mencionar que los árabes fueron unos maestros en la construcción de autómatas y en la precisión de sus cálculos, y como ejemplo de ello, se puede mencionar que inventaron el reloj mecánico, así como sus grandes aportaciones a la astrología. También los ingenieros griegos aportaron grandes conocimientos a los autómatas, aunque su interés era más bien hacia el saber humano más que hacia las aplicaciones prácticas. En el año 1235, villard d’honnecourt hace un libro de esbozos que incluyen secciones de dispositivos mecánicos, como un ángel autómata, e indicaciones para la construcción de figuras humanas y animales. Reloj con forma de gallo que canta en la catedral de strasbourg, que funcionó desde 1352 hasta 1789. Leonardo da vinci construye en el año 1500 un león automático en honor de Luis XII que actúa en la entrada del rey de milán. Salomón de caus (1576 - 1626) construye fuentes ornamentales y jardines placenteros, pájaros cantarines e imitaciones de los efectos de la naturaleza. En 1640, René descartes inventó un autómata al que se refiere como "mi hijo francine". En 1662, se abre en osaka el teatro takedo de autómatas. Jacques de vaucanson, construye el pato, el autómata más conocido; un pato hecho de cobre, que bebe, come, grazna, chapotea en el agua y digiere su comida como un pato real. Previamente construye un flautista y un tamborilero en 1738; el primero consistía en un complejo mecanismo de aire que causaba el movimiento de dedos y labios, como el funcionamiento normal de una flauta.

FIG 2.-Jacques de Vaucanson, construye el pato, el autómata más conocido; un pato hecho de cobre, que bebe, come, grazna, chapotea en el agua y digiere su comida como un pato real. Los maillardet (Henri, Jean-David, julien-auguste, Jacques-rodolphe) hicieron su aparición a finales del siglo XVIII y principios del XIX, construyen un escritor-dibujante, con la forma de un chico arrodillado con un lápiz en su mano, escribe en inglés y en francés y dibuja paisajes. Construyen un mecanismo "mágico" que responde preguntas y un pájaro que canta en una caja. Robert houdini construye una muñeca que escribe. También realiza un pastelero, un acróbata, una bailarina en la cuerda floja, un hombre que apunta con una escopeta y una artista del trapecio. Thomas Alva Edison construyó en el año 1891 una muñeca que habla. Como nos podemos dar cuenta, los autómatas construidos hasta este entonces, solamente servían para entretener a propios y extraños, no tenían una aplicación práctica en alguna área en específico. "estas máquinas funcionaban generalmente por medio de movimientos ascendentes de aire o agua caliente. El vertido progresivo de un líquido provocaba rupturas de equilibrio (o bien la caída de un peso) en diversos recipientes provistos de válvulas; otros mecanismos se basaban en palancas o contrapesos. Mediante sistemas de este tipo se construían pájaros artificiales que podían "cantar" o "volar", o puertas que se abrían solas. Las construcciones de la escuela de Alejandría se extendieron por todo el imperio romano y posteriormente por el mundo árabe. En el siglo XIII, al-djazari apareció como el heredero de todas ellas con la publicación de su "libro del conocimiento de los procedimientos mecánicos", uno de cuyos grabados se reproduce aquí, se trata de una fuente de distribución de agua."(figura 3).

FIG. 3.-Imagen tomada, del libro del conocimiento de los procedimientos mecánicos, uno de cuyos grabados se reproduce aquí. se trata de una fuente de distribución de agua.

FIG.4.-Imagen de un pato mecánico impulsado por agua

CIENCIA FICCIÓN Tiempo después, los autómatas fueron los protagonistas principales de una infinidad de relatos de ciencia-ficción. La mayoría de los novelistas de aquellos tiempos, consideraban a los autómatas como una amenaza para la existencia de la raza humana. Con este tipo de relatos, el temor hacia los autómatas fue creciendo considerablemente. En el año de 1920, el escritor de origen checoslovaco karel capek, publicó su novela rur (russum’s universal robots), la cual fue presentada en obra de teatro en el teatro nacional de Praga el 25 de enero de 1921. "esta obra trata de dos pequeños seres artificiales de forma humana que responden perfectamente a las órdenes de su creador, aunque al final

acaban rebelándose contra él." para referirse a estos seres, el autor les llamaba robots, derivación del vocablo checo robota, que significa "trabajo obligatorio". Y es así como surge la palabra robot para referirse a los autómatas mecánicos de aquellas épocas. Y a partir de esta novela, se les llama robots a los autómatas. Existe un miedo a los robots debido a la evolución tan acelerada que se ha proyectado en muchas de las novelas de ciencia-ficción. Y aunque muchas de estas novelas no están tan fuera de la realidad, no hay por que tenerles pavor al desarrollo de robots, sino todo lo contrario, ya que estos existen para poder facilitar las tareas de los humanos. En la obra de Isaac Asimov, yo robot publicada en 1940, postula tres leyes que los robots deberán de seguir:

• UN ROBOT NO DEBE DAÑAR A UN SER HUMANO O, POR SU INACCIÓN, DEJAR QUE UN SER HUMANO SUFRA DAÑO.

• UN ROBOT DEBE OBEDECER LAS ÓRDENES QUE LE SON DADAS POR UN SER HUMANO, EXCEPTO CUANDO ESTAS ÓRDENES ESTÁN EN CONTRADICCIÓN CON LA PRIMERA LEY.

• UN ROBOT DEBE PROTEGER SU PROPIA EXISTENCIA, HASTA DONDE ESTA PROTECCIÓN NO ENTRE EN CONFLICTO CON LA PRIMERA O SEGUNDA LEY.

FIG.5 .- ISAAC ASIMOV Aún después de esta publicación de Isaac Asimov, los novelistas seguían cuestionándose en sus obras acerca de la naturaleza de un robot, tienen la idea de que algún día, el hombre será esclavo de las máquinas, esta idea la plasman en sus novelas; como por ejemplo la novela de jack williamson en con las manos cruzadas, se muestra como es que la libertad humana se esclaviza por unos robots eficientes que cumplen todas las órdenes que se les dan. Una de las primeras películas que tratan el tema de la robótica es la titulada "metrópolis", la cual trata de un robot femenino que posee inteligencia propia, obedece todas las ordenes de su creador, y aunque es una película antigua, es un buen ejemplo de como veían a los robots en aquellas épocas.

FIG.6 .-Imagen del robot (Maria) de la película Metrópolis Otro buen ejemplo de películas de ciencia-ficción, es la trilogía de las guerras de las galaxias (star wars), de George Lucas, que muestra a los robots de dos maneras: buenos y malos. La novela muestra, principalmente, a dos robots que respetan y siguen las órdenes de sus dueños, muestra que los robots pueden tener inteligencia propia y hasta sentido del humor; aunque contradice las tres leyes de Isaac Asimov, ya que los robots de esta novela pueden llegar a destruir formas de vida, humana y extraterrestre.

FIG.7 .- robots de la película starwars RD-D2 y C3PO. La imaginación del hombre ha llegado a crear una infinidad de relatos relacionados con los robots; muchos de estos relatos han sido la punta del iceberg en cuanto a nuevas tecnologías,

FIG.8 .- robots de series de TV, BENDER Y ROBBY

un ejemplo de ello son las novelas de julio verne, en especial la llamada "viaje a la luna" en donde relata con lujo de detalle como es que tres hombres podrían llegar a la luna, y a pesar de que eran relatos de ciencia-ficción, estas novelas no están tan fuera de la realidad que hoy vivimos. 1.2.-AREAS DE LA APLICACIÓN DE LA ROBOTICA. La robótica, recordemos, que es una área interdisciplinaria formada por la ingeniería mecánica, eléctrica, electrónica y sistemas computacionales. La mecánica comprende tres aspectos: diseño mecánico de la máquina, análisis estático y análisis dinámico. La microelectrónica le permite al robot trasmitir la información que se le entrega, coordinando impulsos eléctricos que hacen que el robot realice los movimientos requeridos por la tarea. La informática provee de los programas necesarios para lograr la coordinación mecánica requerida en los movimientos del robot, dar un cierto grado de inteligencia a la máquina, es decir adaptabilidad, autonomía y capacidad interpretativa y correctiva. El término de robótica inteligente combina cierta destreza física de locomoción y manipulación, que caracteriza a lo que conocemos como robot, con habilidades de percepción y de razonamiento residentes en una computadora. La locomoción y manipulación están directamente relacionadas con los componentes mecánicos de un robot. La percepción está directamente relacionada con dispositivos que proporcionan información del medio ambiente (sensores); estos dispositivos pueden ser de tipo ultrasonido (radares), cámaras de visión, láseres, infrarrojos, por mencionar algunos. Los procesos de razonamiento seleccionan las acciones que se deben tomar para realizar cierta tarea encomendada. La habilidad de razonamiento permite el acoplamiento natural entre las habilidades de percepción y acción. La robótica en la actualidad tiene dos ramas: una que trata con ambientes preparados (industriales) y la otra que trata con ambientes no estructurados y no predecibles (submarinos, catástrofes y el espacio). En algún tiempo se pensó erróneamente que se necesitaría de un gran desarrollo en sensado, percepción y razonamiento aún para robots industriales.

Actualmente, la robótica industrial se está extendiendo en muchos países, especialmente en Japón, debido exactamente a que se tiene disponibles el tiempo y el ambiente para preparar al robot en su tarea a realizar para practicarla y perfeccionarla, de tal forma que se pueda repetir muchas veces. El sensado se utiliza raramente para cubrir cosas ligeramente impredecibles. Sin embargo, lo del proceso anterior es suficiente dado que la planeación y preparación son las palabras claves en manufactura. ¿QUÉ ES EL ROBOT INDUSTRIAL? se entiende por robot industrial a un dispositivo de maniobra destinado a ser utilizado en la industria y dotado de uno o varios brazos, fácilmente programable para cumplir operaciones diversas con varios grados de libertad y destinado a sustituir la actividad física del hombre en las tareas repetitivas, monótonas, desagradables o peligrosas. El RIA robot institute of América define al robot como "un manipulador multifuncional reprogramable, diseñado para mover materiales, partes, herramientas o dispositivos especializados a través de movimientos variables programados para la performance de una variedad de labores". Estas definiciones indudablemente no abarcan todas las posibilidades de aplicación presente y futuras de los robots y en opinión de quienes escriben, el robot es para la producción, lo que el computador es para el procesamiento de datos. Es decir, una nueva y revolucionaria concepción del sistema productivo cuyos alcances recién comienzan a percibirse en los países altamente industrializados. Realmente, los robots no incorporan nada nuevo a la tecnología en general, la novedad radica en la particularidad de su arquitectura y en los objetivos que se procura con los mismos. El trabajo del robot se limita generalmente a pocos movimientos repetitivos de sus ejes, estos son casi siempre 3 para el cuerpo y 3 para la mano o puño, su radio de acción queda determinado por un sector circular en el espacio donde este alcanza a actuar. Cuando las partes o piezas a manipular son idénticas entre sí y se presentan en la misma posición, los movimientos destinados a reubicar o montar partes se efectúan mediante dispositivos articulados que a menudo finalizan con pinzas. La sucesión de los movimientos se ordena en función del fin que se persigue, siendo fundamental la memorización de las secuencias correspondientes a los diversos movimientos. puede presentarse el caso en el que las piezas o partes a ser manipuladas no se presenten en posiciones prefijadas, en este caso el robot deberá poder reconocer la posición de la pieza y actuar u orientarse para operar sobre ella en forma correcta, es decir se lo deberá proveer de un sistema de control adaptativo. Si bien no existen reglas acerca de la forma que debe tener un robot industrial, la tecnología incorporada a él está perfectamente establecida y en algunos casos esta procede de las aplicadas a las máquinas-herramientas. Los desplazamientos rectilíneos y giratorios son neumáticos, hidráulicos o eléctricos. Como es sabido, los sistemas neumáticos no proveen movimientos precisos debido a la compresibilidad del aire y en ellos deben emplearse topes positivos para el posicionamiento, lo que implica la utilización de dispositivos de desaceleración. Los robots neumáticos poseen una alta velocidad de operación manipulando elementos de reducido peso. Los accionamientos hidráulicos proporcionan elevadas fuerzas, excelente control de la velocidad y posicionamiento exacto. En cuanto a los sistemas eléctricos se utilizan

motores de corriente continúa o motores paso a paso. Estos dos tipos de robots quedan reservados a la manipulación de elementos más pesados o los procesos de trayectorias complejas como las tareas de soldadura por punto o continua. CLASIFICACIÓN DE LOS ROBOTS BASADOS EN LAS GENERACIONES DE SISTEMAS DE CONTROL. LA PRIMERA GENERACIÓN: el sistema de control usado en la primera generación de robots esta basado en la "paradas fijas" mecánicamente. Esta estrategia es conocida como control de lazo abierto o control "bang bang". Podemos considerar como ejemplo esta primera etapa aquellos mecanismos de relojería que permiten mover a las cajas musicales o a los juguetes de cuerda. Este tipo de control es muy similar al ciclo de control que tienen algunos lavadores de ciclo fijo y son equivalentes en principio al autómata escribiente de h. m. son útiles para las aplicaciones industriales de tomar y colocar pero están limitados a un número pequeño de movimientos. LA SEGUNDA GENERACIÓN: utiliza una estructura de control de ciclo abierto, pero en lugar de utilizar interruptores y botones mecánicos utiliza una secuencia numérica de control de movimientos almacenados en un disco o cinta magnética. El programa de control entra mediante la elección de secuencias de movimiento en una caja de botones o a través de palancas de control con los que se "camina", la secuencia deseada de movimientos. El mayor número de aplicaciones en los que se utilizan los robots de esta generación son de la industria automotriz, en soldadura, pintado con "spray". Este tipo de robots constituyen la clase más grande de robots industriales en e.u., incluso algunos autores sugieren que cerca del 90 % de los robots industriales en EU pertenecen a esta 2ª generación de control. LA TERCERA GENERACIÓN: de robots utiliza las computadoras para su estrategia de control y tiene algún conocimiento del ambiente local a través del uso de sensores, los cuales miden el ambiente y modifican su estrategia de control, con esta generación se inicia la era de los robots inteligentes y aparecen los lenguajes de programación para escribir los programas de control. La estrategia de control utilizada se denomina de "ciclo cerrado". LA CUARTA GENERACIÓN DE ROBOTS: ya los califica de inteligentes con más y mejores extensiones sensoriales, para comprender sus acciones y el mundo que los rodea. Incorpora un concepto de "modelo del mundo" de su propia conducta y del ambiente en el que operan. Utilizan conocimiento difuso y procesamiento dirigido por expectativas que mejoran el desempeño del sistema de manera que la tarea de los sensores se extiende a la supervisión del ambiente global, registrando los efectos de sus acciones en un modelo del mundo y auxiliar en la determinación de tareas y metas. LA QUINTA GENERACIÓN: actualmente está en desarrollo esta nueva generación de robots, que pretende que el control emerja de la adecuada organización y distribución de módulos conductuales, esta nueva arquitectura es denominada arquitectura de subsumición, cuyo promotor es Rodney Brooks CAMPOS DE APLICACIÓN DE LA ROBÓTICA. La clasificación de los robots se establece de diversas maneras, temporalmente, por su funcionalidad, por su geometría, por la inteligencia, por lo que hablar de generaciones de robots se puede plantear desde esos diversos puntos de vista.

Las características con las que se clasifican principalmente los robots son:

• Propósito o función • Sistema de coordenadas empleado • Número de grados de libertad del efector formal • Generación del sistema control.

Clasificación basada en su propósito o función:

a. industriales b. personales / educativos c. militares vehículos autónomos

Los elementos que constituyen un robot industrial son: Efectores finales, brazos manipuladores, controladores, sensores, fuentes de poder. Teóricamente el uso de sistemas robóticos podría extenderse a casi todas las áreas imaginables en donde se necesite de la ejecución de tareas mecánicas, tareas hoy ejecutadas por el hombre o imposibles de ejecutar por él (por ej. una exploración sobre el terreno de la superficie marciana). Se entiende, en este contexto, que tarea mecánica es toda actividad que involucra presencia física y movimiento por parte de su ejecutor. Pero al situarnos en el contexto real, en la práctica, nos damos cuenta de que existen factores que limitan el vuelo de nuestra imaginación, los que mencionaremos en el siguiente punto. ALGUNOS DE LOS CAMPOS DE APLICACIÓN ACTUALES DE LA ROBÓTICA SON: INVESTIGACIÓN - EXPLORACIÓN. En donde los robots presentan la ventaja de resistir mejor los medioambientes hostiles para el ser humano. ENTRETENIMIENTO. Esta industria se favorece del uso de robots para recrear situaciones ficticias o posibles, haciendo uso de los llamados "efectos especiales". CONSTRUCCIÓN. Industria en que ya se registran proyectos que incluyen el uso de robots como ejecutores de tareas de dimensionamiento, transporte, montaje, entre otras.

AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL. Es el más relevante y de interés para nosotros. Corresponde al uso de robots en la industria a fin de mejorar, agilizar y aumentar la producción en los diferentes procesos. FACTORES QUE LIMITAN EL DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE SISTEMAS ROBÓTICOS. Como mencionamos anteriormente, las aplicaciones de los sistemas robóticos podrían ser innumerables. Pero existen dos factores, fuertes y decisivos, que inhiben el crecimiento y desarrollo de esta tecnología. Estos a considerar son: LIMITACIONES ECONÓMICAS: Dado que la robótica es una disciplina de avanzada y en desarrollo, los costos asociados a ella son altísimos, puesto que se necesitan recursos no sólo para su construcción. Hay muchas áreas de investigación relacionadas que también son fuentes de costo, y hacen que en la actualidad un sistema robótico sea un producto carísimo y no masificado. LIMITACIONES TECNOLÓGICAS: Un campo de investigación como la robótica está orientado a tratar de llevar a la práctica ideas que pueden haber sido concebidas hace ya mucho tiempo. Además del factor recursos, la concreción de dichas ideas dependerá de que se hayan encontrado o desarrollado los medios tecnológicos que la permitan.

1.3.-ARQUITECTURA DE ROBOTICA. MORFOLOGIA DE ROBOTS

FIG. 9 – Estructura antropomórfica.

ESTRUCTURA DE LOS ROBOTS MANIPULADORES. Los manipuladores son, esencialmente, brazos articulados de forma mas precisa, un manipulador industrial convencional es una cadena cinemática abierta formada por un conjunto de eslabones o elementos de la cadena interrelacionados mediante articulaciones o pares cinemáticos. Las articulaciones permiten el movimiento relativo entre los sucesivos eslabones.

FIG. 10 .-de cadena cinemática abierta. DEFINICION DE GRADOS DE LIBERTAD. Es cada uno de los movimientos básicos que definen la movilidad de un determinado robot. Puede iniciar un movimiento de traslación o de rotación (eje), también se puede definir como grado de libertad, como el numero de movimientos que se deben realizar para generar una secuencia entre 2 puntos del espacio tridimensional.

GRADOS DE LIBERTAD = GL = GDL TIPOS DE ARTICULACIONES ARTICULACION DE ROTACION: Suministra un grado de libertad, consistente en una rotación alrededor del eje de la articulación (es la más empleada).

ARTICULACION PRISMATICA: El grado de libertad consiste en una traslación a lo largo del eje de la articulación.

ARTICULACION CILINDRICA: Existen 2 grados de libertad que son: 1 es rotación y el otro es traslación.

ARTICULACION PLANAR: Se caracteriza por el movimiento de desplazamiento en un plano, existiendo 2 grados de libertad.

ARTICULACION ESFERICA: Combinan 3 giros en 3 direcciones perpendiculares al espacio.

ESTRUCTURA BÁSICA

La estructura típica de un manipulador consiste en un brazo compuesto por elementos con articulaciones entre ellos. En el último se coloca un elemento Terminal o efector tal

como una pinza o un dispositivo especial para realizar operaciones.

FIG. 11.- Configuración básica de un robot manipulador

Existen 4 configuraciones básicas, depende del espacio de trabajo.

Estas estructuras tienen diferentes propiedades en cuanto a espacio de trabajo y accesibilidad de posiciones determinadas. El espacio de trabajo es el conjunto de puntos en los que puede situarse el efector final del manipulador corresponde al volumen encerrado por las superficies que determinan los puntos a los que accede el manipulador con su estructura totalmente extendida y totalmente plegada. Por otra parte, todos los puntos del espacio de trabajo no tienen la misma accesibilidad, los puntos de accesibilidad mínima son los de las superficies que delimitan el espacio de trabajo ya que ellos sólo pueden llegarse con una única orientación. CONFIGURACION CARTESIANA: Tiene 3 articulaciones prismáticas (3D o estructura PPP), es bastante usual en estructuras industriales, como pórticos, empleados para transportar cargas voluminosas. Las especificaciones de la posición de un punto se efectúa mediante coordenadas cartesianas (X, Y, Z). El controlador del robot que debe de generar las ordenes para ejecutar una trayectoria definida mediante una secuencia de puntos expresados en coordenadas cartesianas.

CONFIGURACION CILINDRICA: Tiene 2 articulaciones prismáticas y una de rotación (2D 1G), la primera articulación es normalmente de rotación (estructura RPP), la posición se especifica de forma natural en coordenadas cilíndricas.

CONFIGURACION POLAR: Esta configuración se caracteriza por 2 articulaciones de rotación y una prismática (2G 1D ó RRP) en este caso, las variables articulares expresan la posición del extremo del 3er enlace en coordenadas polares. Este tipo de manipulador, puede mover gran volumen de trabajo.

CONFIGURACION ANGULAR: Es una estructura con 3 articulaciones de rotación (3G ó RRR). La posición del extremo final se especifica de forma natural con coordenadas angulares. Este tipo de estructura tiene mejor acceso a espacios cerrados y es fácil desde el punto de vista constructivo. Se utiliza en procesos donde se requiera cierta complejidad. (Se especifica en coordenadas cartesianas y luego se hace la transformación).

UNIDAD II MODELADO DE ROBOT 2.1.- CINEMATICA DIRECTA La cinemática del robot trata con el estudio analítico de la geometría del movimiento de un robot con respecto a un sistema de coordenadas de referencia fijo, como una función del tiempo, sin considerar las fuerzas/momentos que originan dicho movimiento, así pues, trata de la descripción analítica del desplazamiento espacial del robot como función del tiempo, en particular las relaciones entre variables espaciales de tipo articulación y la posición y orientación del efector final del manipulador. En el estudio cinematico de un robot se abordan 2 problemas: 1.- El modelo directo. 2.-Modelado inverso. La cinemática directa parte de los ángulos de las articulaciones para obtener la posición/orientación del efector final, mientras que la cinemática inversa se obtiene los ángulos de las articulaciones requeridos para que el efector quede en una posición/orientación deseada. El problema cinematico directo.

Se utiliza fundamentalmente el álgebra vectorial y matricial para representar y describir la localización de un objeto en el espacio tridimensional con respecto aun sistema de referencia fijo. Dado que un robot puede considerar como una cadena cinemática formada por objetos rígidos o eslabones unidos entre sí mediante articulaciones, se puede establecer un sistema de referencia fijo situado en la base del robot y describir la localización de cada uno de los eslabones con respecto a dicho sistema de referencia. De esta forma, el problema cinemática directo se reduce a encontrar una matriz homogénea de transformación T que relacione la posición y orientación del extremo del robot respecto del sistema de referencia fijo situado en la base del mismo. Esta matriz T será función de las coordenadas articulares.

FIG.12 .- Cinemática directa.

Un sistema de mando de robot causa a un manipulador remoto, seguir una trayectoria de referencia estrechamente en un marco de referencia Cartesiano en el espacio de trabajo, sin el recurso a un modelo matemático intensivo de dinámica del robot y sin el conocimiento del robot y parámetros de carga. El sistema, derivado de la teoría lineal multivariable, utiliza a los manipuladores delanteros relativamente simples y controladores de retroalimentación con modelo y adaptable de referencia del mando. El sistema requiere dimensiones de posición y velocidad del extremo manipulador del efector. Éstos pueden obtenerse directamente de los sensores ópticos o por cálculo que utiliza las relaciones de la cinemática conocidas entre el manipulador modelado y el extremo de la juntura de la posición del efector. Derivando las ecuaciones de control, las ecuaciones diferenciales no lineales acopladas a la dinámica del robot, expresan primero la forma general de la cinemática, entonces la linealizacion por cálculo de perturbaciones sobre una especifica operación del punto en las coordenadas Cartesianas del extremo del efector. El modelo matemático resultante es un sistema multivariable lineal de orden de 2n (donde n = es el número de coordenadas espaciales independientes del manipulador) esto expresa la relación entre los incrementos del actuador de n voltajes de control (las entradas) y los incrementos de las coordenadas de n, la trayectoria de extremo del efector (los rendimientos). La trayectoria del efector incrementa la referencia, la trayectoria se incrementa: esto requiere la retroalimentación independiente y controladores de manipulación. Para este propósito, le basta aplicar posición y retroalimentación de velocidad a través de la matriz de n x n posición y velocidad, la matriz de ganancia de retroalimentación.

2.1.1.- MATRIZ DE ROTACIÒN.

Una matriz de rotación de 3x3 se puede definir como una matriz de transformación que opera sobre un vector de posición en su espacio euclideo tridimensional y transforma sus coordenadas expresadas en un sistema de coordenadas rotado O U V W, (sistema ligado al cuerpo) a un sistema de coordenadas de referencia O X Y Z

Se dan 2 sistemas de coordenadas rectangulares ( Puvw= (Pu Pv Pz)T y Pxyz = (Px Py Pz) T ) el sistema de coordenadas OXYZ y el sistema OUVW, teniendo sus orígenes coincidentes en el punto O.

El sistema OXYZ está fijo en el espacio tridimensional y se considera como el sistema de referencia.

El sistema OUVW puede girar con respecto al sistema de referencia. Físicamente, uno puede considerar que el sistema OUVW está ligado al cuerpo. Esto es, está permanente y convenientemente unido al cuerpo rígido, y se mueve junto con el. Sean además (ik jy kz) y (iu jv kw) los vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas de los sistemas OXYZ, OUVW, respectivamente. Un punto “P” en el espacio se puede representar por sus coordenadas con respecto a ambos sistemas de coordenadas.

Supondremos además que P esta en reposo y fijo respecto a OUVW, entonces P se puede representar como:

Puvw = (Pu Pv Pz) T y Pxyz = (Px Py Pz) T

2.1.2.-ANGULOS DE EULER.

Los ángulos de Euler de tipo 2, también denominado ZYZ, y utilizados por ejemplo por los robots de la marca ABB, son las siguientes rotaciones alrededor de los ejes principales de los sistemas fijo y móvil:

1. Rotación en Z de ángulo α (Rz,α)

2. Rotación en V de ángulo β (Rv,β)

3. Rotación en W de ángulo γ (Rw,γ)

La matriz de rotación resultante es:

Rα,β,γ=Rz,αRv,βRw,γ

2.1.3.- CUATERNION UNITARIO.

Cuaternión unitario

Es aquel cuaternión cuya norma o valor absoluto es uno.

Normalización de un cuaternión

Dado un cuaternión cuya norma no sea igual a uno

podemos normalizarlo definiendo un nuevo cuaternión,

asociado al primero, mediante la siguiente operación:

2.1.4.-TRANSFORMACIÒN HOMOGENEA.

Una extensa parte del estudio de la cinemática trata de establecer la relación que existe entre un sistema de coordenadas y otro marco de referencia. La relación que existe entre ambos sistemas se llama transformación homogénea, la cual involucra a la geometría en tres dimensiones, por lo tanto, este esquema permite analizar las operaciones de rotación de un sistema de coordenadas a otro, así como las operaciones de translación en la que se conocen las coordenadas de un vector que se desplaza en algunos de los tres ejes del marco de referencia.

ROTACIÓN

Si se tiene un marco de referencia fijo X0,YQ,Z0 y otro XX,YX,ZX, que está rotado un ángulo 6 con respecto al primero como se muestra en la siguiente figura.

FIG. 13 .-Rotación de un sistema de coordenadas alrededor de eje Z0

La rotación del marco XX,YX,ZX, está hecho tomando como base el eje Z0, por lo tanto, cualquier vector representando en el eje Zx, tendrá el mismo componente en el eje Z0; esto no sucede para los ejes X1 y Y1, para poder representar un vector que se encuentra en el marco X1, Y1, Z1, en el marco XQ ,Y0 Z0 . Es necesario hacer una transformación de coordenadas, y el procedimiento es el siguiente:

Se busca la proyección del vector unitario i1, (del eje X1), en i0 (del eje X0), el valor de esta proyección es cosθ. Posteriormente se busca la proyección de j1, en el mismo i0 y k1, con el mismo procedimiento entonces se tiene que la proyección de j1, en i0 es igual a -senθ y la proyección k1 i0 es 0.

Con estos resultados se obtiene los tres primeros elementos de la matriz de transformación la cual tiene la siguiente estructura:

Como se dijo:

El paso siguiente es encontrar las proyecciones restantes, las cuales son:

Finalmente la matriz de transformación resulta:

Como conclusión de lo anterior, se puede decir de la matriz R lo siguiente:

• Es útil para conocer la orientación de un vector, que está vinculado a un marco de referencia en otro marco de referencia.

• El marco de referencia dos está rotado 9 radianes con respecto al marco de referencia uno, tomando como pivote el eje Z.

• El marco de referencia uno es denominado marco fijo y el dos es variable con respecto al primero.

Cada eslabón de un robot manipulador se considera idealmente rígido, con una longitud conocida, de esta forma el motor o los motores que mueven a cada eslabón harán que el robot manipulador tenga una dirección y sentido, por lo tanto, cada una de las articulaciones puede ser representada en forma vectorial.

La transformación de rotación Rl0 es la matriz de transformación asociada a cada eslabón

en otro marco de referencia rotado 0 radiantes, es decir, es la representación del eslabón uno (sistema de referencia uno), respecto al sistema (base) del eslabón cero.

La situación anterior resuelve parcialmente el problema de representar un vector (la posición y orientación de un eslabón) en un marco de referencia rotado un ángulo 6xm eje con respecto al otro, sin embargo, la cinemática en un robot manipulador, por ser en un espacio de tres dimensiones, las rotaciones puedan presentarse para cualquiera de los tres ejes, por lo tanto, al aplicar el mismo análisis presentado en el primer caso, se tienen permite obtener los siguientes resultados:

Para el caso de la rotación respecto al eje XO :

Y para la rotación respecto al eje Y0:

Estas tres transformaciones permiten describir un vector en un marco (uno) que rota un ángulo θ,α,β alrededor de los ejes X0,Y0,Z0 respectivamente, es decir, sólo se tienen que multiplicar las matrices RZ,θ,,Rx,α , Ry,β en el orden adecuado, puesto que en la multiplicación de matrices no existe la propiedad de conmutación.

Como puede apreciarse, el análisis anterior solo define la matriz rotación en los tres ejes, y debido a que algunos robots manipuladores poseen articulaciones (prismáticas) que se mueven linealmente, por lo tanto, se tiene que definir ahora la matriz (transformación) de translación, la cual permitirá describir un vector asociado a un marco que se traslada una distancia lineal con respecto a otro sistema de referencia.

Así, tomando un marco X0,Y0,Z0 fijo con respecto a otro X1,Y1,Z1 que se mueve como se observa en la siguiente figura, se requiere representar un vector asociado al marco móvil respecto al marco fijo, es decir, se desea conocer la orientación y dirección de un vector asociado al sistema X1,Y1,Z1 que se mueve linealmente con respecto a los ejes del sistema X0,Y0,Z0.

FIG. 14.- Un sistema de referencia desplazado linealmente con respecto a otro.

Entonces, cualquier punto P tiene una representación tanto en X0, Y0, Z0 como en X1, Y1, Z1. Puesto que los ejes coordenados respectivos de los dos sistemas son paralelos, los vectores del sistema X0, Y0, Z0 y los del sistema X1, Y1, Z1 están relacionados por:

o también,

Como se puede observar, a cada uno de los ejes (del sistema móvil) se le suma la distancia que existe entre el marco móvil y fijo con respecto a cada eje (del sistema fijo), es decir, se suma una distancia a para el eje X, una distancia b para Y, y una distancia c para el eje Z.

Una relación más general entre los sistemas de coordenadas X0, Y0, Z0 y X1, Y1, Z1 puede ser expresada como una combinación de una rotación pura y una traslación pura, es decir;

Por lo tanto, la transformación homogénea puede ser expresada como:

De esta forma, se tiene que para el primer caso, que representa un movimiento de traslación respecto al eje X, se tiene una matriz de traslación en representación homogénea es:

Siguiendo con el mismo análisis, las matrices de traslación para el eje Y y Z resultan:

La representación homogénea de las matrices de rotación, esta dada por:

Mediante la integración de las matrices de rotación y de traslación, es posible obtener la representación de un vector en un marco que se rota un ángulo θ alrededor de Z, un ángulo α alrededor de X, un ángulo β alrededor de Y, se desplaza una distancia a con respecto al eje X, una distancia b con respecto al eje Y, o una distancia c con respecto al eje z, todo esto transforma a las coordenadas de un marco fijo.

2.1.5.- CONVENCIÓN DENAVIT- HARTENBERG.

Resolución del problema cinemático directo mediante matrices de transformación homogénea.

La resolución del problema cinemático directo consiste en encontrar las relaciones que permiten conocer la localización espacial del extremo del robot a partir de los valores de sus coordenadas articulares.

FIG. 15.- Cinemática directa.

Así, si se han escogido coordenadas cartesianas y ángulos de Euler para representar la posición y orientación del extremo de un robot de seis grados de libertad, la solución al problema cinemático directo vendrá dada por las relaciones:

x = Fx ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 ) y = Fy ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 ) z = Fz ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 ) � = F�( q1,q2,q3,q4,q5,q6 ) ß = Fß ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 ) � = F�( q1,q2,q3,q4,q5,q6 )

La obtención de estas relaciones no es en general complicada, siendo incluso en ciertos casos (robots de pocos grados de libertad) fácil de encontrar mediante simples consideraciones geométricas. Por ejemplo, para el caso de un robot con 2 grados de libertad es fácil comprobar que:

X = I1 cosq1 + I2 cos( q1 + q2 ) y = I1 cosq1 + I2 cos( q1 + q2 )

Para robots de mas grados de libertad puede plantearse un método sistemático basado en la utilización de las matrices de transformación homogénea. En general, un robot de n grados de libertad esta formado por n eslabones unidos por n articulaciones, de forma que cada par articulación-eslabón constituye un grado de libertad. A cada eslabón se le puede asociar un sistema de referencia

solidario a el y, utilizando las transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que componen el robot.

FIG. 16 .- Robot planar de 2G de libertad.

Normalmente, la matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se le suele denominar (i-1)1/Ai. Así pues, 0Ai describe la posición y orientación del sistema de referencia solidario al primer eslabón con respecto al sistema de referencia solidario a la base, 1A2 describe la posición y orientación del segundo eslabón respecto del primero, etc. Del mismo modo, denominando 0Ak a las matrices resultantes del producto de las matrices (i-1) Ai con i desde 1 hasta k, se puede representar de forma total o parcial la cadena cinemática que forma el robot. Así, por ejemplo, la posición y orientación del sistema solidario con el segundo eslabón del robot con respecto al sistema de coordenadas de la base se puede expresar mediante la matriz 0A2:

0A2 = 0A1 (1A2)

De manera análoga, la matriz 0A3 representa la localización del sistema del tercer eslabón:

0A3 = 0A1 (1A2) (2A3)

Cuando se consideran todos los grados de libertad, a la matriz 0An se le suele denominar T. Así, dado un robot de seis grados de libertad, se tiene que la posición y orientación del eslabón final vendrá dada por la matriz T:

T = 0A6 = 0A1 ( 1A2 )( 2A3 )( 3A4 )( 4A5 )( 5A6 )

Aunque para descubrir la relación que existe entre dos elementos contiguos se puede hacer uso de cualquier sistema de referencia ligado a cada elemento, la forma habitual que se suele utilizar en robótica es la representación de Denavit-Hartenberg.

Denavit-Hartenberg propusieron en 1955 un método matricial que permite establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas (Si) ligado a cada eslabón i de una cadena articulada, pudiéndose determinar a continuación las ecuaciones cinemáticas de la cadena completa.

Según la representación D-H, escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados para cada eslabón, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón.

Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que permitan relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1. Las transformaciones en cuestión son las siguientes:

1. Rotación alrededor del eje Zi-1 un ángulo θι. 2. Traslación a lo largo de Zi-1 una distancia di; vector di ( 0,0,di ). 3. Traslación a lo largo de Xi una distancia ai; vector ai ( 0,0,ai ). 4. Rotación alrededor del eje Xi, un ángulo αi..

Dado que el producto de matrices no es conmutativo, las transformaciones se han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:

i-1A i = T( z,θi ) T( 0,0,di ) T ( ai,0,0 ) T( x,αi )

Y realizando el producto de matrices:

Donde θi, ai, di, αi, son los parámetros D-H del eslabón i. De este modo, basta con identificar los parámetros θi, ai, di, αi, para obtener matrices A y relacionar así todos y cada uno de los eslabones del robot.

Como se ha indicado, para que la matriz i-1Ai, relacione los sistemas (Si) y (Si-1), es necesario que los sistemas se hayan escogido de acuerdo a unas determinadas normas. Estas, junto con la definición de los 4 parámetros de Denavit-Hartenberg, conforman el siguiente algoritmo para la resolución del problema cinematico directo.

Algoritmo de Denavit- Hartenberg para la obtención del modelo.

DH1.Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil dela cadena) y acabando con n (ultimo eslabón móvil). Se numerara como eslabón 0 a la base fija del robot.

DH2.Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n).

DH3.Localizar el eje de cada articulación. Si esta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento. DH4.Para i de 0 a n-1, situar el eje Zi, sobre el eje de la articulación i+1. DH5.Situar el origen del sistema de la base (S0) en cualquier punto del eje Z0. Los ejes X0 e Y0 se situaran dé modo que formen un sistema dextrógiro con Z0. DH6.Para i de 1 a n-1, situar el sistema (Si) (solidario al eslabón i) en la intersección del eje Zi con la línea normal común a Zi-1 y Zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría (Si) en el punto de corte. Si fuesen paralelos (Si) se situaría en la articulación i+1.

DH7.Situar Xi en la línea normal común a Zi-1 y Zi.

DH8.Situar Yi de modo que forme un sistema dextrógiro con Xi y Zi.

DH9.Situar el sistema (Sn) en el extremo del robot de modo que Zn coincida con la dirección de Zn-1 y Xn sea normal a Zn-1 y Zn.

DH10.Obtener Øi como el ángulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos.

DH11.Obtener Di como la distancia, medida a lo largo de Zi-1, que habría que desplazar (Si-1) para que Xi y Xi-1 quedasen alineados.

DH12.Obtener Ai como la distancia medida a lo largo de Xi (que ahora coincidiría con Xi-1) que habría que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si).

DH13.Obtener ai como el ángulo que habría que girar entorno a Xi (que ahora coincidiría con Xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si). DH14.Obtener las matrices de transformación i-1Ai.

DH15.Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T = 0Ai, 1A2... n-1An.

DH16.La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido ala base en función de las n coordenadas articulares.

FIG. 17.- Parámetros DH para un eslabón giratorio.

Los cuatro parámetros de DH (θi, di, ai, αi) dependen únicamente de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente.

θi Es el ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi medido en un plano perpendicular al eje Zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias.

di Es la distancia a lo largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema de

coordenadas (i-1)- esimo hasta la intersección del eje Zi-1 con el eje Xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.

ai Es a la distancia a lo largo del eje Xi que va desde la intersección del eje Zi-1 con el eje Xi hasta el origen del sistema i-esimo, en el caso de articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia mas corta entre los ejes Zi-1 y Zi.

αi Es el ángulo de separación del eje Zi-1 y el eje Zi, medido en un plano perpendicular al eje Xi, utilizando la regla de la mano derecha.

Una vez obtenidos los parámetros DH, el calculo de las relaciones entre los eslabones consecutivos del robot es inmediato, ya que vienen dadas por las matrices A, que se calcula según la expresión general. Las relaciones entre eslabones no consecutivos vienen dadas por las matrices T que se obtienen como producto de un conjunto de matrices A.

Obtenida la matriz T, esta expresara la orientación (submatriz (3x3) de rotación) y posición (submatriz (3x1) de traslación) del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, con lo que quedara resuelto el problema cinematico directo.

Parámetros DH para el robot. Articulación θ d a α

1 q1 I1 0 0 2 90° d2 0 90° 3 0 D3 0 0 4 q4 I4 0 0

FIG. 18 Robot cilíndrico.

Una vez calculados los parámetros de cada eslabón, se calculan las matrices A:

0A1 1A2 2A3 3A4 C1 -S1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 C4 -S4 0 0 S1 C1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 S4 C4 0 0 0 0 1 I1 0 1 0 D2 0 0 1 D3 0 0 1 I4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Así pues, se puede calcular la matriz T que indica la localización del sistema final con respecto al sistema de referencia de la base del robot.

T = 0A1 (1A2)(2A3)(3A4) = -S1C4 S1S4 C1 C1(D3+I4) C1C4 -C1S4 S1 S1(D3+I4)

S4 C4 0 (D2+I1) 0 0 0 1

2.1.6. - CINEMATICA DE MANIPULADORES TIPICOS.

Resolución del problema cinemáico directo mediante uso de cuaternios.

Puesto que las matrices de transformación homogénea y los cuaternios son los métodos alternativos para representar transformaciones de rotación y desplazamiento, será posible utilizar estos últimos de manera equivalente a las matrices para la resolución del problema cinematico directo de un robot. Para aclarar el uso de los cuaternios con ese fin, se van a utilizar a continuación para resolver el problema cinematico directo de un robot tipo SCARA cuya estructura se representa en la figura.

El procedimiento a seguir será el de obtener la expresión que permite conocer las coordenadas de posición y orientación del sistema de referencia asociado al extremo del robot (S4) con respecto al sistema de referencia asociado a la base (S0). Esta relación será función de las magnitudes I1, I2, y I3, de los elementos del robot así como de las coordenadas articulares q1, q2, q3 y q4.

Para obtener la relación entre (S0) y (S4) se ira convirtiendo sucesivamente (S0) en (S1), (S2), (S3) y (S4) según la siguiente serie de transformaciones:

1. Desplazamiento de (S0) una distancia I1 a lo largo del eje Z0 y giro un ángulo q1 alrededor del eje Z0, llegándose a (S1).

2. Desplazamiento de (S1) una distancia I2 a lo largo del eje X1 y giro un ángulo q2 alrededor del nuevo eje Z, para llegar al sistema (S2).

3. Desplazamiento alo largo del eje X2 una distancia I3 para llegar al sistema (S3).

4. Desplazamiento de (S3) una distancia q3 a lo largo del eje Z3 y un giro en torno a Z4 de un ángulo q4, llegándose finalmente a (S4).

De manera abreviada las sucesivas transformaciones quedan representadas por:

S0 ---> S1: T( z,I1 ) Rot( z,q1 ) S1 ---> S2: T( x,I2 ) Rot( z,q2 ) S2 ---> S3: T( x,I3 ) Rot ( z,0 )

S3 ---> S4: T( z,-q3 ) Rot( z,q4 )

FIG. 19.- Asignación de sistemas de referencia en un Robot SCARA.

Donde los desplazamientos quedan definidos por los vectores:

p1 = ( 0,0,1 ) p2 = ( I2,0,0 ) p3 = ( I3,0,0 )

p4 = ( 0,0,-q3 )

Y los giros de los cuaternios:

Q1 = ( ^C1, 0, 0, ^S1 ) Q2 = ( ^C2, 0, 0, ^S2 )

Q3 = ( 1, 0, 0, 0 ) Q4 = ( ^C4, 0, 0, ^S4 )

Donde:

^C1 = cos ( q1/2 ) ^S1 = sen ( q1/2 )

Lo que indica que el extremo del robot referido al sistema de su base (S0), esta posicionado en:

x = a0x = I3 cos( q1 + q2 ) + I2 cosq1 y = a0y = I3 sen( q1 + q2 ) + I2 senq1

z = a0z = I1 -q3

Y esta girando respecto al sistema de la base con un ángulo q1 + q2 +q4 según a la rotación entorno al eje z:

Rot( z, q1+q2+q4 )

Las expresiones anteriores permiten conocer la localización del extremo del robot referidas al sistema de la base en función de las coordenadas articulares (q1, q2, q3, q4), correspondiendo por tanto a la solución del problema cinematico directo.

2.1.7.- CINEMATICA INVERSA.

Cinemática Inversa.

El objetivo del problema cinematico inverso consiste en encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot q=(q1, q2,..., qn)exp. T para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial.

Así como es posible abordar el problema cinematico directo de una manera sistemática a partir de la utilización de matrices de transformación homogéneas, e independientemente de la configuración del robot, no ocurre lo mismo con el problema cinemático inverso, siendo el procedimiento de obtención de las ecuaciones fuertemente dependiente de la configuración del robot.

FIG. 19.- Cinemática inversa.

Se han desarrollado algunos procedimientos genéricos susceptibles de ser programados, de modo que un computador pueda, a partir del conocimiento de la cinemática del robot (con sus parámetros de DH, por ejemplo) obtener la n-upla de valores articulares que posicionan y orientan su extremo. El inconveniente de estos procedimientos es que se trata de métodos numéricos iterativos, cuya velocidad de convergencia e incluso su convergencia en si no esta siempre garantizada. A la hora de resolver el problema cinematico inverso es mucho más adecuado encontrar una solución cerrada. Esto es, encontrar una relación matemática explicita de la forma:

qk = Fk( x, y, z, a, ß, g ) K = 1...n ( grados de libertad )

Este tipo de solución presenta, entre otras, las siguientes ventajas:

1. En muchas aplicaciones, el problema cinematico inverso ha de resolverse en tiempo real (por ejemplo, en el seguimiento de una determinada trayectoria). Una solución de tipo iterativo no garantiza tener la solución en el momento adecuado. 2. Al contrario de lo que ocurría en el problema cinematico directo, con cierta frecuencia la solución del problema cinematico inverso no es única; existiendo diferentes n-uplas(q1,...,qn)exp T que posicionan y orientan el extremo del robot de mismo modo. En estos casos una solución cerrada permite incluir determinadas reglas o restricciones que aseguren que la solución obtenida sea la mas adecuada posible. No obstante, a pesar de las dificultades comentadas, la mayor parte de los robots poseen cinemáticas relativamente simples que facilitan en cierta medida la resolución de su problema cinematico inverso. Por ejemplo si se consideran solo tres primeros grados de libertad de muchos robots, estos tienen una estructura planar, esto es, los tres primeros elementos quedan contenidos en un plano. Esta circunstancia facilita la resolución del problema. Asimismo, en muchos robots se da la circunstancia de que los tres grados de libertad últimos, dedicados fundamentalmente a orientar el extremo del robot, correspondan a giros sobre los ejes que se cortan en un punto.

De nuevo esta situación facilita el calculo de la n-upla (q1,...,qn)exp. T correspondiente a la posición y orientación deseadas. Por lo tanto, para los casos citados y otros, es posible establecer ciertas pautas generales que permitan plantear y resolver el problema cinematico inverso de una manera sistemática. Los métodos geométricos permiten tener normalmente los valores de las primeras variables articulares, que son las que consiguen posicionar el robot. Para ello utilizan relaciones trigonometrías y geométricas sobre los elementos del robot. Se suele recurrir a la resolución de triángulos formados por los elementos y articulaciones del robot.

Como alternativa para resolver el mismo problema se puede recurrir a manipular directamente las ecuaciones correspondientes al problema cinematico directo. Es decir, puesto que este establece la relación:

Tij = n o a p 0 0 0 1

FIG. 20.- Robot articular.

Donde los elementos Tij son funciones de las coordenadas articulares (q1,...,qn)exp. T, es posible pensar que mediante ciertas combinaciones de las ecuaciones planteadas se puedan despejar las n variables articulares qi en función de las componentes de los vectores n, o, a y p.

Por ultimo, si se consideran robots con capacidad de posicionar y orientar su extremo en el espacio, esto es, robots con 6 grados de libertad, el método de desacoplamiento cinematico permite, para determinados tipos de robots, resolver los primeros grados de libertad, dedicados al posicionamiento, de una manera independiente a la resolución de los últimos grados de libertad, dedicados a la orientación. Cada uno de estos dos problemas simples podrá ser tratado y resuelto por cualquier procedimiento.

2.2.- DINAMICA DEL ROBOT.

Antes de entrar de lleno con la dinamica del manipulador, resolvamos algunos puntos de la cinematica inversa.

Resolución del problema cinematico inverso por métodos geométricos.

Como se ha indicado, este procedimiento es adecuado para robots de pocos grados de libertad o para el caso de que se consideren solo los primeros grados de libertad, dedicados a posicionar el extremo.

El procedimiento en si se basa en encontrar suficiente número de relaciones geométricas en las que intervendrán las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones físicas de sus elementos. Para mostrar el procedimiento a seguir se va a aplicar el método a la resolución del problema cinematico inverso de un robot con 3 grados de libertad de rotación (estructura típica articular). El dato de partida son las coordenadas (Px, Py, Pz) referidas a (S0) en las que se requiere posicionar su extremo.

Como se ve este robot posee una estructura planar, quedando este plano definido por el ángulo de la primera variable articular q1.

El valor de q1 se obtiene inmediatamente como:

q1 = arctg ( Py / Px )

Considerando ahora únicamente los dos elementos 2 y 3 que están situados en un plano y utilizando el teorema del coseno, se tendrá: r² = ( Px )² + ( Py )² r² + ( Px )² = ( I2 )² + ( I3 )² + 2( I2 )( I3 )cosq3 cosq3 = ( Px )² + ( Py )² + ( Pz )² - ( I2 )² - ( I3 )² / 2( I2 )( I3 )

Esta expresión permite obtener q1 en función del vector de posición del extremo P. No obstante, por motivos de ventajas computacionales, es más conveniente utilizar la expresión del arco tangente en lugar del arco seno.

Puesto que: sen q3 = ± ( 1 - cos²q3 )½ Se tendrá que: q3 = arctg ( ± ( 1 - cos²q3 )½ / cosq3 ) cosq3 = ( Px )² + ( Py )² + ( Pz )² - ( I2 )² - ( I3 )² / 2( I2 )( I3 )

Como se ve, existen dos posibles soluciones para q3 según se tome el signo positivo o negativo de la raíz. Estas corresponden a las configuraciones de codo arriba y codo abajo del robot.

a) Codo abajo. b) Codo arriba

FIG. 21 .- Elementos 2 y 3 del robot contenido en el plano.

El calculo de q2 se hace a partir de la diferencia entre ß y a: q2 = ß - a Siendo: ß = arctg ( Pz / r ) = arctg ( Pz / ± ( ( px )² + ( Py )² )½ ) a = arctg ( I3 senq3 / I2 + I3 cosq3 ) Luego finalmente: q2 = arctg ( Pz / ± ( ( px )² + ( Py )² )½ ) - arctg ( I3 senq3 / I2 + I3 cosq3)

De nuevo los dos posibles valores según la elección del signo dan lugar a dos valores diferentes de q2 correspondientes a las configuraciones codo arriba y abajo.

Resolución del problema cinematico inverso a partir de la matriz de transformación homogénea.

En principio es posible tratar de obtener el modelo cinematico inverso de un robot a partir del conocimiento de su modelo directo. Es decir, suponiendo conocidas las relaciones que expresan el valor de la posición y orientación del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, obtener por manipulación de aquellas las relaciones inversas.

Sin embargo, en la práctica esta tarea no es trivial siendo en muchas ocasiones tan compleja que obliga a desecharla. Además, puesto que el problema cinematico directo, resuelto a través de Tij contiene en el caso de un robot de 6 grados de libertad 12 ecuaciones, y se busca solo 6 relaciones (una por cada grado de libertad), existirá, necesariamente ciertas dependencias entre las 12 expresiones de partida con lo cual la elección de las ecuaciones debe hacerse con sumo cuidado.

Se va a aplicar este procedimiento al robot de 3 grados de libertad de configuración esférica (2 giros y un desplazamiento) mostrado en la figura. El robot queda siempre contenido en un plano determinado por el ángulo q1.

FIG. 22.- Robot polar de 3 GDL.

El primer paso a dar para resolver el problema cinematico inverso es obtener Tij correspondiente a este robot. Es decir, obtener la matriz T que relaciona el sistema de referencia (S0) asociado a la base con el sistema de referencia (S3) asociado a su extremo.

La siguiente figura muestra la asignación de sistemas de referencia según los criterios de DH con el robot situado en su posición de partida (q1 = q2 = 0), y la tabla muestra los valores de los parámetros de DH.

A partir de estos es inmediato obtener las matrices A y la matriz T. Obtenida la expresión de T en función de las coordenadas articulares (q1, q2, q3), y supuesta una localización de destino para el extremo del robot definida por los vectores n, o, a y p se podría intentar manipular directamente las 12 ecuaciones resultantes de T a fin de despejar q1, q2, y q3 en función de n, o, a y p.

Parámetros DH del robot polar de 3 GDL.

Articulación q d a a

1 q1 I1 0 90°

2 q2 0 0 -90°

3 0 q3 0 0

FIG. 22.- Asignación de sistemas de referencia del robot polar.

Sin embargo, este procedimiento directo es complicado, apareciendo ecuaciones trascendentes. En lugar de ello, suele ser más adecuado aplicar el siguiente procedimiento: Puesto que T = 0A1 ( 1A2 )( 2A3 ), se tendrá que:

( 1 / 0A1 ) T = 1A2( 2A3 ) ( 1 / 1A2 ) ( 1 / 0A1 ) T = 2A3

Puesto que: T = n o a p 0 0 0 1 Es conocida, los miembros a la izquierda en las expresiones anteriores, son función de las variables articulares (qk+1,...,qn).

De modo, que la primera de las expresiones se tendrá q1 aislado del resto de las variables articulares y tal vez será posible obtener su valor sin la complejidad que se tendría abordando directamente la manipulación de la expresión T. A su vez, una vez obtenida q1, la segunda expresión anterior (2A3), permitirá tener el valor de q2 aislado respecto de q3. Por ultimo, conocidos q1 y q2 se podrá obtener q3 de la expresión T sin excesiva dificultad.

Para poder aplicar este procedimiento, es necesario en primer lugar obtener las inversas de las matrices, i-1Ai. Esto es sencillo si se considera que la inversa de una matriz viene dada por:

inversa

nx ox ax Px ny oy ay Py nz oz az Pz 0 0 0 1

=

nx ox ax -n(exp)T(P) ny oy ay -o(exp)T(P) nz oz az -a(exp)T(P)

0 0 0 1

1 / ( 0A1 )

inversa

C1 0 S1 0 S1 0 -C1 0 0 1 0 I1 0 0 0 1

=

C1 S1 0 0 0 0 1 -I1 S1 -C1 0 0 0 0 0 1

1 / ( 1A2 )

inversa

C2 0 -S2 0 S2 0 C2 0 0 -1 0 0 0 0 0 1

=

C2 S2 0 0 0 0 -1 0

-S2 C2 0 0 0 0 0 1

1 / ( 2A3 )

inversa

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 q3 0 0 0 1

=

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -q3 0 0 0 1

Por lo tanto, utilizando la primera de las ecuaciones definidas al principio del tema, se tiene que:

( 1 / 0A1 ) 0T3 = 1A3 ( 2A3 ) =

C2 0 -S2 -S2q3 S2 0 C2 C2q3 0 -1 0 0 0 0 0 1

De las 12 relaciones establecidas en la ecuación anterior, interesan aquellas que expresan q1 en función de constantes. Así por ejemplo se tiene:

S1 ( Px ) - C1 ( Py ) = 0 tan( q1 ) = ( Py / Px ) q1 =arctg ( Py / Px )

Se tiene finalmente:

q2 = arctg( ( ( Px )² + ( Py )² )½ / ( I1 – Pz )) q3 = C2 ( Pz - I1 ) - S2 ( ( Px )² + ( Py )² )½

Las expresiones anteriores corresponden a la solución del problema cinematico inverso del robot considerado.

A los mismos resultados se podría haber llegado mediante consideraciones geométricas

Desacoplo cinematico.

Los procedimientos vistos en los apartados anteriores permiten obtener los valores de las 3 primeras variables articulares del robot, aquellas que posicionan su extremo en las coordenadas (Px, Py, Pz) determinadas, aunque pueden ser igualmente utilizadas para la obtención de las 6 a costa de una mayor complejidad. Ahora bien, como es sabido, en general no basta con posicionar el extremo del robot en un punto del espacio, sino que casi siempre es preciso también conseguir que la herramienta que aquel porta se oriente de una manera determinada. Para ello, los robots cuentan con otros tres grados de libertad adicionales, situados al final de la cadena cinemática y cuyos ejes, generalmente, se cortan en un punto, que informalmente se denomina muñeca del robot.

Si bien la variación de estos tres últimos grados de libertad origina un cambio en la posición final del extremo real del robot, su verdadero objetivo es poder orientar la herramienta del robot libremente en el espacio.

El método de desacoplo cinematico saca partido de este hecho, separando ambos problemas: Posición y orientación. Para ello, dada una posición y orientación final deseadas, establece las coordenadas del punto de corte de los 3 últimos ejes

(muñeca del robot) calculándose los valores de las tres primeras variables articulares (q1, q2, q3) que consiguen posicionar este punto. A continuación, a partir de los datos de orientación y de los ya calculados (q1, q2, q3) obtiene los valores del resto de las variables articulares.

Parámetros DH del robot de la figura.

Articulación q d a a

1 Ø1 I1 0 -90°

2 Ø2 0 I2 0

3 Ø3 0 0 90°

4 Ø4 I3 0 -90°

5 Ø5 0 0 90°

6 Ø6 I4 0 0

FIG. 23.- Cinemática del robot IRB2400, cuya inversa se puede desacoplar.

En la figura se representa un robot que reúne las citadas características, con indicación de los sistemas de coordenadas asociados según el procedimiento de Denavit-Hartemberg, cuyos parámetros se pueden observar en la tabla.

El punto central de la muñeca del robot corresponde al origen del sistema (S5): O5. Por su parte, el punto final del robot será el origen del sistema (S6): O6. Enseguida se utilizaran los vectores:

Pm = O0__O5 Pr = O0__O6

Que van desde el origen del sistema asociado a la base del robot (S0)hasta los puntos centro de la muñeca y fin del robot, respectivamente. puesto que la dirección del eje Z6 debe coincidir con la de Z5 y la distancia entre O5 y O6 medida a lo largo de Z5 es precisamente d4 = I4, se tendrá que:

Pr = ( Px, Py, Pz ) (exp)T

El director Z6 es el vector A correspondiente a la orientación deseada Z6 = ( Ax, Ay, Az ) (exp) T e I4 es un parámetro asociado con el robot. Por lo tanto, las coordenadas del punto central de la muñeca ( Pmx, Pmy, Pmz ) son fácilmente obtenibles.

Es posible, mediante un método geométrico, por ejemplo, calcular los valores de ( q1, q2, q3 ) que consiguen posicionar el robot en el Pm deseado. Quedan ahora obtener los valores de q4, q5, y q6 que consiguen la orientación deseada. Para ello denominando 0R6 a la submatriz de rotación de 0T6 se tendrá:

0R6 = ( n o a ) = 0R3( 3R6 )

Donde 0R6 es conocida por la orientación deseada del extremo del robot, y 0R3 definida por:

0R3 = 0A1 ( 1A2 ) ( 2A3 )

También lo será a partir de los valores ya obtenidos de q1, q2 y q3. Por lo tanto:

3R6 = ( Rij ) = ( 1 / 0R3 ) ( 0R6 ) = ( 0R )(exp)T ( n o a )

Tendrá sus componentes numéricas conocidas. Por otra parte, 3R6 corresponde a una submatriz (3X3)de rotación de la matriz de transformación homogénea 3T6 que relaciona el sistema (S3) con el (S6), por lo tanto:

3R6 = 3R4 ( 4R5 )( 5R6 )

Donde i-1Ri es la submatriz de rotación de la matriz de Denavit-Hartemberg i-1Ai, cuyos valores son:

3R4 4R5 5R6

C4 0 -S4 C5 0 S5 C6 -S6 0

S4 0 C4 S5 0 -C5 S6 C6 0

0 -1 0 0 1 0 0 0 1

Luego se tiene que:

3R6 =

C4C5C6-S4S6 -C4C5S6-S4C6 C4S5 S4C5C6 + C4S6 -S4C5S6 + C4C6 -S4C5 -S5C6 S5S6 C5

Donde Rij, será por valores numéricos conocidos:

Rij =

C4C5C6-S4S6 -C4C5S6-S4C6 C4S5 S4C5C6 + C4S6 -S4C5S6 + C4C6 -S4C5 -S5C6 S5S6 C5

De estas nueve relaciones expresadas se puede tomar las correspondientes a R13, R23, R33, R31, R32:

R13 = C4S5 R23 = -S4C5 R33 = C5 R31 = -S5C6 R32 = S5S6

Del conjunto de ecuaciones es inmediato obtener los parámetros articulares:

q4 = arcsen ( R23 / R33 ) q5 = arccos ( R33 ) q6 = arctg ( -R32 / R31 )

Estas expresiones y teniendo en cuenta que las posiciones de cero son distintas, constituyen la solución completa del problema cinematico inverso del robot articular.

Matriz Jacobiana.

El modelado cinematico de un robot busca las relaciones entre las variables articulares y la posición (expresada normalmente en forma de coordenadas cartesianas) y orientación del extremo del robot. En esta relación no se tienen en cuenta las fuerzas o pares que actúan sobre el robot (actuadores, cargas, fricciones, etc.) y que pueden originar el movimiento del mismo.

Sin embargo, si que debe permitir conocer, además de la relación entre las coordenadas articulares y del extremo, la relación entre sus respectivas derivadas. Así, el sistema de control del robot debe establecer que velocidades debe imprimir a cada articulación (a través de sus respectivos actuadotes) para conseguir que el extremo desarrolle una trayectoria temporal concreta, por ejemplo, una línea recta a velocidad constante.

Para este y otros fines, es de gran utilidad disponer de la relación entre las velocidades de las coordenadas articulares y las de posición y orientación del extremo del robot. La relación entre ambos vectores de velocidad se obtiene a través de la denominada matriz Jacobiana.

La matriz jacobiana directa permite conocer las velocidades del extremo del robot a partir de los valores de las velocidades de cada articulación. Por su parte, la matriz Jacobiana inversa permitirá conocer las velocidades determinadas en el extremo del robot.

Relaciones diferenciales.

El método más directo para obtener la relación entre las velocidades articulares y del extremo del robot consiste en diferenciar las ecuaciones correspondientes al modelo cinematico directo.

Así, supóngase las ecuaciones que resuelven el problema cinematico directo de un robot de n grados de libertad.

Matriz Jacobiana directa e inversa.

Jacobiana directa ->->

Velocidad de las Articulaciones (q0, q1, ... qn)

Velocidades del extremo del robot (x, y, z, a, ß, g)

<-<- Jacobiana inversa

x = Fx(q1,...qn) y = Fy(q1,...qn) z = Fz(q1,...qn) a = Fa(q1,...qn) ß = Fß(q1,...qn) g = Fg(q1,...qn)

Si se derivan con respecto al tiempo ambos miembros del conjunto de ecuaciones anteriores, se tendrá:

Derivadas de cada elemento:

(x, y, z, a, ß, g) = J (q1,....,qn)

J =

Fx / q1, ...., Fx / qn ...., ...., .... Fg / q1, ...., Fg / qn

La matriz J se denomina matriz Jacobiana.

Puesto que el valor numérico de cada uno de los elementos (Jpq) de la Jacobiana dependerá de los valores instantáneos de las coordenadas articulares qi, el valor de la jacobiana será diferente en cada uno de los puntos del espacio articular.

Jacobiana Inversa.

Del mismo modo que se ha obtenido la relación directa que permite obtener las velocidades del extremo a partir de las velocidades articulares, puede obtenerse la relación inversa que permite calcular las velocidades articulares partiendo de las del extremo. En la obtención de la relación inversa pueden emplearse diferentes procedimientos. En primer lugar, supuesta conocida la relación directa, dada por la matriz Jacobiana, se puede obtener la relación inversa invirtiendo simbólicamente la matriz.

(q1,....,qn) = (1 / J) (x, y, z, a, ß, g)

Esta alternativa de planeamiento sencillo, es en la práctica de difícil realización. Suponiendo que la matriz J sea cuadrada, la inversión simbólica de una matriz 6x6, cuyos elementos son funciones trigonometricas, es de gran complejidad, siendo este procedimiento inviable.

Como segunda alternativa puede plantearse la evaluación numérica de la matriz J para una configuración (q1) concreta del robot, e invirtiendo numéricamente esta

matriz encontrar la relación inversa valida para esta configuración. En este caso hay que considerar, en primer lugar, que el valor numérico de la Jacobiana va cambiando a medida que el robot se mueve y, por lo tanto, la jacobiana inversa ha de ser recalculada constantemente. Además, pueden existir n-uplas (q1,... , qn) para las cuales la matriz jacobiana J no sea invertible por ser su determinante, denominado Jacobiano, nulo. Estas configuraciones del robot en las que el Jacobiano se anula se denominan configuraciones singulares y serán tratadas en el siguiente tema.

Una tercera dificultad que puede surgir con este y otros procedimientos de cómputo de la matriz Jacobiana inversa, se deriva de la circunstancia de que la matriz J no sea cuadrada. Esto ocurre cuando el número de grados de libertad del robot no coincide con la dimensión del espacio de la tarea (normalmente seis).

En el caso de que el número de grados de libertad sea inferior, la matriz Jacobiana tendrá mas filas que columnas. Esto quiere decir que el movimiento del robot esta sometido a ciertas restricciones (por ejemplo, no se puede alcanzar cualquier orientación).

Típicamente esto ocurre en los casos en los que esta restricción no tiene importancia, como en robots dedicados a tareas como soldadura por arco o desbardado, en las que la orientación de la herramienta en cuanto a su giro en torno al vector A es indiferente, por lo que puede ser eliminado este grado de libertad del espacio de la tarea, quedando una nueva matriz Jacobiana cuadrada. En los casos en el que el robot sea redundante (mas de 6 grados de libertad o más columnas que filas en la matriz Jacobiana) existirán grados de libertad articulares innecesarios, es decir, que no será preciso mover para alcanzar las nuevas posiciones y velocidades del extremo requeridas. Por ello, la correspondiente velocidad articular podrá ser tomada como cero, o si fuera útil, como un valor constante.

En general, en el caso de que la Jacobiana no sea cuadrada podrá ser usado algún tipo de matriz pseudo inversa, como por ejemplo (1 / J (J)expT). La tercera alternativa para obtener la matriz Jacobiana inversa es repetir el procedimiento seguido por la obtención de la Jacobiana directa, pero ahora partiendo del modelo cinematico inverso. Esto es conocida la relación:

q1 = F1(x, y, z, a, ß, g) . . . qn = Fn(x, y, z, a, ß, g)

La matriz Jacobiana inversa se obtendrá por diferenciación con respecto del tiempo de ambos miembros de la igualdad:

Derivadas de cada elemento:

(q1,....,qn) = (1 / J) (x, y, z, a, ß, g)

(1 / J) =

F1 / dx, ...., F1 / dg ...., ...., .... Fn / dx, ...., Fn / dg

Como en el caso de la primera alternativa, este método puede ser algebraicamente complicado.

Dada la importancia que para el control del movimiento del robot tiene la Jacobiana, se han desarrollado otros procedimientos numéricos para el cálculo rápido de la Jacobiana.

Configuraciones singulares.

Se denominan configuraciones singulares de un robot a aquellas en el que el determinante de su matriz Jacobiana (Jacobiano) se anula. Por esta circunstancia, en las configuraciones singulares no existe jacobiana inversa.

Al anularse el Jacobiano, un incremento infinitesimal de las coordenadas cartesianas supondría un incremento infinito de las coordenadas articulares, lo que en la practica se traduce en que las inmediaciones de las configuraciones singulares, el pretender que el extremo del robot se mueva a velocidad constante, obligaría a movimientos de las articulaciones a velocidades inabordables por sus actuadores.

Por ello, en las inmediaciones de las configuraciones singulares se pierde alguno de los grados de libertad del robot, siendo imposible que su extremo se mueva en una determinada dirección cartesiana.

Las diferentes configuraciones singulares del robot pueden ser clasificadas como: -Singularidades en los límites del espacio de trabajo del robot. Se presentan cuando el extremo del robot esta en algún punto del limite de trabajo interior o exterior. En esta situación resulta obvio que el robot no podrá desplazarse en las direcciones que lo alejan de este espacio de trabajo.

-Singularidades en el interior del espacio de trabajo del robot. Ocurren dentro de la zona de trabajo y se producen generalmente por el alineamiento de dos o más ejes de las articulaciones del robot.

Se debe prestar especial atención a la localización de las configuraciones singulares del robot para que sean tenidas en cuenta en su control, evitándose solicitar a los actuadores movimientos a velocidades inabordables o cambios bruscos de las mismas.

La figura muestra el resultado de intentar realizar con un robot tipo PUMA, una trayectoria en línea recta a velocidad constante que pasa por una configuración singular. Obsérvese la brusca variación de la velocidad articular q1 que crece hasta valores inalcanzables en la practica.

Para evitar la aparición de configuraciones singulares debe considerarse su existencia desde la propia fase de diseño mecánico, imponiendo restricciones al movimiento del robot o utilizando robots redundantes. Finalmente, el sistema de control debe detectar y tratar estas configuraciones evitando pasar precisamente por ellas.

Un posible procedimiento para resolver la presencia de una singularidad interior al espacio de trabajo, en la que se pierde la utilidad de alguna articulación (perdida de algún grado de libertad) seria lo siguiente:

1. Identificar la articulación correspondiente al grado de libertad perdido (causante de que el determinante se anule).

2. Eliminar la fila de la Jacobiana correspondiente al grado de libertad perdido y la columna correspondiente a al articulación causante.

3. Con la nueva Jacobiana reducida (rango n-1) obtener las velocidades de todas las articulaciones, a excepción de la eliminada, necesarias para conseguir las velocidades cartesianas deseadas. La velocidad de la articulación eliminada se mantendrá a cero.

2.2.1.- FORMULACIÓN LAGRANGE-EULER.

Retomamos el tema de la dinámica, que se ocupa de la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que en el se origina. Por lo tanto, el modelo dinámico de un robot tiene por objeto conocer la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismo.

FIG. 24.- Modelo dinámico.

Esta relación se obtiene mediante el denominado modelo dinámico, que relaciona matemáticamente:

1. La localización del robot definida por sus variables articulares o por las coordenadas de localización de su extremo, y sus derivadas: velocidad y aceleración.

2. Las fuerzas pares aplicados en las articulaciones (o en el extremo del robot).

3. Los parámetros dimensiónales del robot, como longitud, masa e inercias de sus elementos.

La obtención de este modelo para mecanismos de uno o dos grados de libertad no es excesivamente compleja, pero a medida que el número de grados de libertad aumenta, el planteamiento y obtención del modelo se complica enormemente. Por este motivo no siempre es posible obtener un modelo dinámico expresado de una forma cerrada, esto es, mediante una serie de ecuaciones, normalmente del tipo diferencial de segundo orden, cuya integración permita conocer que el movimiento surge al aplicar unas fuerzas o que fuerzas hay que aplicar para obtener un movimiento determinado.

El modelo dinámico debe ser resuelto entonces de manera iterativa mediante la utilización de un procedimiento numérico. El problema de la obtención del modelo dinámico de un robot es, por lo tanto, uno de los aspectos más complejos de la robótica, lo que ha llevado a ser obviado en

numerosas ocasiones. Sin embargo, el modelo dinámico es imprescindible para conseguir los siguientes fines:

1. Simulación del movimiento del robot.

2. Diseño y evaluación de la estructura mecánica del robot.

3. Dimensionamiento de los actuadores.

4. Diseño y evaluación del control dinámico del robot.

Este último fin es evidentemente de gran importancia, pues de la calidad del control dinámico del robot depende la preescisión y velocidad de sus movimientos. La gran complejidad ya comentada existente en la obtención del modelo dinámico del robot, ha motivado que se realicen ciertas simplificaciones, de manera que así pueda ser utilizado en el diseño del controlador.

Es importante hacer notar que el modelo dinámico completo de un robot debe incluir no solo la dinámica de sus elementos (barras o eslabones) sino también la propia de sus sistemas de transmisión, de los actuadores y sus equipos electrónicos de mando. Estos elementos incorporan al modelo dinámico nuevas inercias, rozamientos, saturaciones de los circuitos electrónicos, etc. aumentando aun más su complejidad.

Por ultimo, es preciso señalar que si bien en la mayor parte de las aplicaciones reales de robótica, las cargas e inercias manejadas no son suficientes como para originar deformaciones en los eslabones del robot, en determinadas ocasiones no ocurre así, siendo preciso considerar al robot como un conjunto de eslabones no rígidos. Aplicaciones de este tipo pueden encontrarse en la robótica espacial o en robots de grandes dimensiones.

Modelo dinámico de la estructura de un Robot rígido.

La obtención del modelo dinámico de un mecanismo, y en particular de un robot, se basa fundamentalmente en el planteamiento del equilibrio de fuerzas establecido en la segunda ley de Newton, o su equivalente para movimientos de rotación, la denominada ley de Euler:

F= m dv T= I dw + w (Iw)

Así, en el caso simple de un robot monoarticular como el representado en la figura, el equilibrio de fuerzas-pares daría como resultado la ecuación:

t = I (d²q/ dt²) + MgL cos q = ML² d²q + MgL cosq

En donde se ha supuesto que toda la masa se encuentre concentrada en el centro de la gravedad del elemento, que no existe rozamiento alguno y que no se manipula ninguna carga.

Para un par motor t determinado, la integración de la ecuación anterior, daría lugar a la expresión de q(t) y de sus derivadas dq(t) y d²q(t), con lo que seria posible conocer la evolución de la coordenada articular del robot y de su velocidad y aceleración. De forma inversa, si se pretende que q(t) evolucione según una determinada función del tiempo, sustituyendo en la ecuación anterior, podría obtenerse el par t(t) que seria necesario aplicar. Si el robot tuviese que ejercer alguna fuerza en su extremo, ya sea al manipular una carga o por ejemplo, realizar un proceso sobre alguna pieza, bastaría con incluir esta condición en la mencionada ecuación y proceder del mismo modo.

Se tiene así que del planteamiento del equilibrio de fuerzas y pares que intervienen sobre el robot se obtienen los denominados modelos dinámicos directo e inverso:

• Modelo dinámico directo: expresa la evolución temporal de las coordenadas articulares del robot en función de las fuerzas y pares que intervienen.

• Modelo dinámico inverso: expresa las fuerzas y pares que intervienen en función de la evolución de las coordenadas articulares y sus derivadas.

El planteamiento del equilibrio de fuerzas en un robot real de 5 o 6 grados de libertad, es mucho más complicado. Debe tenerse en cuenta que junto con las fuerzas de inercia y gravedad, aparecen fuerzas de Coriolis debidas al movimiento relativo existente entre los diversos elementos, así como de fuerzas centrípetas que dependen de la configuración instantánea del manipulador.

FIG. 25 .- Modelo de eslabón con masa concentrada.

La obtención del modelo dinámico de un robot ha sido y es objeto de estudio e investigación. Numerosos investigadores han desarrollado formulaciones alternativas, basadas fundamentalmente en la mecánica Newtoniana y Lagrangiana, con el objeto de obtener modelos manejables por los sistemas de calculo de una manera más eficiente.

Modelado mediante la formulación de Lagrange-Euler.

Uicker en 1965, utilizo la representación de D-H basada en las matrices de transformación homogénea para formular el modelo dinámico de un robot mediante la ecuación de Lagrange.

Este planteamiento utiliza, por tanto, las matrices i-1Ai que relacionan el sistema de coordenadas de referencia del elemento i con el elemento i-1. Se realizan en este caso operaciones de producto y suma innecesarias. Se trata de un procedimiento ineficiente desde el punto de vista computacional.

Puede comprobarse que el algoritmo es de un orden de complejidad computacional O(n²²), es decir, el número de operaciones a realizar crece con la potencia 4 del número de grados de libertad. Sin embargo, conduce a unas ecuaciones finales bien estructuradas donde aparecen de manera clara los diversos pares y fuerzas que intervienen en el movimiento.

Se presenta a continuación al algoritmo a seguir para obtener el modelo dinámico del robot por el procedimiento de Lagrange-Euler (L-E).

Algoritmo computacional para el modelado dinámico por Lagrange-Euler.

L-E 1.Asignar a cada eslabón un sistema de referencia de acuerdo a las normas de D-H. L-E 2.Obtener las matrices de transformación 0Ai para cada elemento i. L-E 3.Obtener las matrices Uij definidas por:

Uij = d0Ai / dqj

L-E 4.Obtener las matrices Uijk definidas por:

Uijk = dUij / dqk

L-E 5.Obtener las matrices de pseudo inercias Ji para cada elemento, que vienen definidas por: Integral de cada uno de los elementos que componen la matriz:

Ji =

X² dm XiYi dm XiZi dm Xi dm YiXi dm Yi² dm YiZi dm Yi dm ZiXi dm ZiYi dm Zi² dm Zi dm Xi dm Yi dm Zi dm dm

Donde las integrales están extendidas al elemento i considerando, y (Xi Yi Zi) son las coordenadas del diferencial de masa dm respecto al sistema de coordenadas del elemento.

L-E 6.Obtener la matriz de inercias D = (dij) cuyos elementos vienen definidos por:

dij = k=(max i,j)--sigma-->n Traza(Ukj Jk Uki).

Con i, j = 1,2,...,n n: Número de grados de libertad. L-E 7.Obtener los términos hikm definidos por:

hikm = j=(max i,k,m)--sigma-->n Traza(Ujkm Jj Uji).

Con i,k,m = 1,2,...,n L-E 8.Obtener la matriz columna de fuerzas de Coriolis y centrípeta H = hi cuyos elementos vienen definidos por:

hi = k=1 --sigma-->n m=1 --sigma-->n hikm d qk d qm

L-E 9.Obtener la matriz de fuerzas de gravedad C = ci cuyos elementos están definidos por:

ci = j=1--sigma-->n (-mj g Uji irj)

Con i = 1,2,...,n g: Es el vector de gravedad expresado en el sistema de la base S0 y viene expresado por (gx, gy, gz, 0) irj : Es el vector de coordenadas homogéneas del centro de masas del elemento j expresado en el sistema de referencia del elemento i. L-E 10.La ecuación dinámica del sistema será:

t = D d²q + H + C.

Donde t es el vector de fuerzas y pares motores efectivos aplicados sobre cada coordenada qi.

FIG. 26.- Robot polar de dos grados de libertad.

2.2.2.- FORMULACIÓN NEWTON-EULER.

Modelado mediante la formulación de Newton-Euler.

La obtención del modelo dinámico de un robot a partir de la función Lagrangiana conduce a un algoritmo con un coste computacional de orden O(n²²). Es decir, el número de operaciones a realizar crece con la potencia cuarta del número de grados de libertad. En el caso habitual de robots de 6 grados de libertad, este número de operaciones hace al algoritmo presentado en el tema anterior materialmente inutilizable para ser utilizado en tiempo real.

La formulación de Newton-Euler parte del equilibrio de fuerzas y pares:

sigma F = m dv sigma T = Iw + w (Iw)

Un adecuado desarrollo de estas ecuaciones conduce a una formulación recursiva en la que se obtienen la posición, velocidad y aceleración del eslabón i referidos a la base del robot a partir de los correspondientes del eslabón i-1 y del movimiento relativo de la articulación i. De este modo, partiendo del eslabón 1 se llega al eslabón n. Con estos datos se procede a obtener las fuerzas y pares actuantes sobre el eslabón i referidos a la base del robot a partir de los correspondientes al eslabón i+1, recorriéndose de esta forma todos los eslabones desde el eslabón n al eslabón 1.

El algoritmo se basa en operaciones vectoriales (con productos escalares y vectoriales entre magnitudes vectoriales, y productos de matrices con vectores) siendo más eficiente en comparación con las operaciones matriciales asociadas a la formulación Lagrangiana. De hecho, el orden de complejidad computacional de

la formulación recursiva de Newton-Euler es O(n) lo que indica que depende directamente del numero de grados de libertad.

Algoritmo computacional para el modelo dinámico de Newton-Euler.

N-E 1.Asignar a cada eslabón un sistema de referencia de acuerdo a las normas de D-H.

N-E 2.Obtener las matrices de rotación i-1Ri y sus inversas iRi-1 siendo:

i-1Ri =

Cqi -Cai Sqi Sai Sqi Sqi Cai Cqi -Sai Cqi 0 Sai Cai

N-E 3Establecer las condiciones iniciales. Para el sistema de la base S0: 0w0 : velocidad angular = (0,0,0)exp T 0dw0 : aceleración angular = (0,0,0)exp T 0v0 : velocidad lineal = (0,0,0)exp T 0dv0 : aceleración lineal = (gx, gy, gz)exp T 0w0, 0dw0 y 0v0 son típicamente nulos salvo que la base del robot este en movimiento. Para el extremo del robot se conocerá la fuerza y el par ejercidos externamente n+1 Fn+1 y n+1 N n+1. Z0 = (0,0,1)exp T iPi = coordenadas del origen del sistema Si respecto a Si-1.= ( ai, di, Si, di, Ci ). iSi = coordenadas del centro de masas del eslabón i respecto del sistema Si. iIi = matriz de inercia del eslabón i respecto de su centro de masas expresado en Si. Para i = 1...n realizar los pasos 4 a 7: N-E 4.Obtener la velocidad angular del sistema Si.

iwi = iRi-1 (i-1 wi-1 + Z0 dq1) si el eslabón i es de rotación iRi (i-1 wi-1) si el eslabón i es de traslación.

N-E 5.Obtener la aceleración angular del sistema Si.

idwi = iRi-1 (i-1 dwi-1 + Z0 d²q1) si el eslabón i es de rotación iRi (i-1 dwi-1) si el eslabón i es de traslación.

N-E 6.Obtener la aceleración lineal del sistema i:

idvi = idwi (iPi) + iwi (iPi) + iRi-1 (i-1 dvi-1) si el eslabón i es de rotación. iRi-1 (Z0 d²qi + i-1 dvi-1) + idwi (iPi) + 2wi (iRi-1) Z0 (dqi) + iwi (iwi)(iPi) si el es de traslación.

N-E 7.Obtener la aceleración lineal del centro de gravedad del eslabón i:

iAi = idwi (iSi) + iwi (iSi) + idvi

Para i = n...1 realizar los pasos 8 a 10. N-E 8.Obtener la fuerza ejercida sobre el eslabón i:

iFi = iRi+1 (i+1 Fi+1) + mi ai

N-E 9.Obtener el par ejercido sobre el eslabón i:

iNi = iRi+1 (i+1ni + (i+1Ri)(iPi)(i+1 Fi+1)) + (iPi + iSi)(mi)(iai) + iIi (idwi) + iwi (iIi)(iwi).

N-E 10.Obtener la fuerza o par aplicado a la articulación i.

ti = (iNi)exp T (iRi-1) Z0. Si el eslabón i es de rotación. (iFi)exp T (iRi-1) Z0. Si el eslabón i es de traslación.

Donde t es el par o fuerza efectivo (par motor menos pares de rozamiento o perturbación).

2.2.3.- MODELO DINAMICO DE ESTRUCTURAS MANIPULADORAS SIMPLES.

Modelo dinámico de los actuadores.

El modelo dinámico de un robot se compone por una parte del modelo de su estructura mecánica, que relaciona su movimiento con las fuerzas y pares que lo originan, y por otra parte el modelo de su sistema de accionamiento, que relaciona las ordenes de mando generadas en la unidad de control con las fuerzas y pares utilizados para producir el movimiento.

En el tema dedicado a la morfología del robot, se indico que son los actuadores eléctricos de corriente continua los más utilizados en la actualidad, si bien es notable la tendencia a sustituir estos por motores sin escobillas. En un caso u otro, el modelo dinámico del actuador responde a ecuaciones similares, por lo que a efectos de establecerlo se considerara el de motor de corriente continua. Por su parte, los actuadores hidráulicos son usados en robots en los que la relación peso manipulable-peso del robot deba ser elevada. El modelo dinámico de un actuador hidráulico es significativamente más complejo que el de un actuador eléctrico.

A las características dinámicas del conjunto servo-válvula cilindro (o motor) se le debe incorporar el comportamiento no invariante del fluido (aceite), cuyas constantes dinámicas (índice de Bulk, viscosidad, etc.) varían notablemente con la temperatura.

Por ultimo las propias líneas de transmisión, tuberías o mangueras, que canalizan al fluido desde la bomba a las servo-válvulas y de estas a los actuadotes, pueden influir en el comportamiento dinámico del conjunto.

Motor eléctrico de corriente continúa.

Un accionamiento eléctrico de corriente continua consta de un motor de corriente con Continua por una etapa de potencia y controlado Por un dispositivo analógico o digital.

El modelado del motor de corriente continua controlado por inducido Cuando el rotor gira, se introduce en el una tensión eb directamente proporcional a la velocidad angular y que se conoce como fuerza contraelectromotriz

eb = kb dq.

La velocidad de giros se controla mediante la tensión ea, salida del amplificador de potencia. La ecuación diferencial del circuito del motor es:

La di + Ri + eb = ea.

Por otra parte, el motor desarrolla un par proporcional al producto del flujo en el entrehierro Ý y la intensidad i, siendo el flujo en el entrehierro:

y = kf (if)

Donde if es la corriente de campo. De esta manera, la expresión del par desarrollado por el motor es el siguiente:

t = k1 i y

Para una corriente de campo if constante, el flujo se vuelve constante, y el par es directamente proporcional a la corriente que circula por el rotor:

t = kp i

Este par se emplea para vencer la inercia y la fricción, además de posibles pares perturbadores:

J d²q + B dq = t - tp

Por lo tanto, las ecuaciones del motor de corriente continua controlado por inducción son:

eb = kb dq ( Ls + R )i + eb = ea t = kp i dq = ( t - tp ) / ( Js +B )

Donde todas las variables son en transformada de Laplace. Para el control del motor se incluyen las etapas de potencia y control, utilizándose realimentación de intensidad y velocidad, tal y como se presenta en la figura anterior. En la siguiente figura se ha representado el diagrama de bloques correspondiente haciendo uso de funciones de transferencia, donde pueden realizarse ciertas simplificaciones:

G1 = K ( s + a / s + b ) G2 = k2 L = 0 J, B : Inercia y rozamiento viscoso vistos a la salida del eje del rotor.

FIG. 27.-Diagrama a bloques del sistema.

Las simplificaciones del anterior diagrama permiten obtener:

dq(s) / u(s) = kp k1 k2 / ( R + k1 k2 )( Js + B ) + kp( kb + kt k1 k2 ) = km / ( Tms + 1 ) T(s) / u(s) = kp k1 k2( Js + B ) / ( R + k1 k2 )( Js + B ) + kp( kb + kt k1 k2 )

Se observa, por lo tanto, que el comportamiento tensión velocidad del motor de corriente continua responde al de un sistema de primer orden. En cuanto a la relación tensión-par, responde a un par polo-cero. En la practica, la calidad de los motores utilizados en servo accionamientos y las elevadas prestaciones de sus sistemas de control, hace que esta relación pueda considerarse casi constante (sin la dinámica propia de los polos y ceros).

Motor hidráulico con servo válvula.

La introducción de sistemas electrónicos analógicos, y recientemente digitales, para el control de las válvulas de distribución de caudal utilizadas en los accionamientos hidráulicos (lineales y rotativos), ha permitido la evolución de las válvulas proporcionales a las servo válvulas, consiguiendo que el comportamiento dinámico de los actuadores hidráulicos tenga la calidad adecuada para ser utilizada en servomecanismos, y en especial en la robótica.

En conjunto equipo electrónico, servo válvula y motor hidráulico puede ser modelado en una versión simplificada según las siguientes ecuaciones: Equilibrio de pares:

t = J d²q + B dq + tp

Par desarrollado por el motor:

t = kp Dp

Continuidad de caudales:

Q1 = dv1 + Qf + Qc

Caudal de fuga:

Qf = kf Dp

Perdida de caudal por compresión del fluido:

Qc = kc Ddp

Electrónica de mando de la corredera de la servo válvula:

Y = g( u )

Caudal suministrado por la servo válvula:

Q1 = f(y) ( Dp )½

Donde: q: Ángulo girado por la paleta (y el eje) del rotor. t : par proporcionado por el motor. tp : par externo perturbador. J, B: Inercia y constante de rozamiento viscoso (de motor y carga) asociados a la articulación. Dp : diferencia de presión entre las dos cámaras del motor. Q1 : caudal proporcionado por la servo válvula (entrada al motor). Qf : caudal que se fuga entre las dos cámaras del motor. Qc : caudal perdido por la compresibilidad del fluido. v1 : volumen en la cámara de entrada del motor. y : posición de la corredera de la servo válvula. u : tensión de referencia a la electrónica de mando de la servo válvula. kp, kf y kc se consideran constantes.

El dispositivo electrónico de mando de la corredera de la válvula se diseña con el objetivo de que la relación entre señal de mando (u) y posición de la corredera ( y ) sea lo mas parecida posible a una constante.

Si bien este objetivo no es del todo alcanzable, existiendo siempre una cierta dinámica en dicha relación, la velocidad de la misma es muy superior a la dinámica propia del accionamiento hidráulico y de la articulación, por lo que puede ser considerada como constante.

Por este motivo la relación y = g(u), se sustituye por:

y = k1(u)

Por otra parte, la relación entre la posición de la corredera de la válvula, la diferencia de presiones y el caudal suministrado es en principio no lineal. Linealizando entorno a un punto de funcionamiento se obtiene:

Q1 = ( k2 ) y - ( ki ) Dp

Por lo tanto, la relación entre la señal de mando (u), el caudal Q1 y al presión diferencial Dp será:

Q1 = k1 ( u ) - ki ( Dp )

por ultimo, la velocidad de variación de volumen en la cámara del motor dv1 será proporcional a la velocidad de giro de la paleta, luego:

dv1 = kb dq

Con lo que las ecuaciones 3, 4 y 5, podrían agruparse como:

Q1 = ( kb ) dq + ( kf ) Dp + ( kc ) Ddp.

Transformando por Laplace las ecuaciones, se obtiene el diagrama de bloques de la figura, que como se observa presenta una absoluta analogía con el correspondiente a un accionamiento eléctrico salvo por la realimentación de velocidad de giro del actuador presente en aquel. Esta ultima puede ser incluida en la electrónica de mando, siendo entonces el modelado de ambos actuadores equivalente aunque con características dinámicas y posibilidades diferentes. En el caso de utilizar un cilindro hidráulico el modelado se hace mas complicado, motivado entre otras razones por la diferencia de áreas del embolo en ambas cámaras, lo que hace que su funcionamiento a extensión y retracción sea notablemente diferente.