Instituto cientfico del pacifico

INSTITUTO CIENTFICO DEL PACFICO

CURSO DE DIBUJO EN CONSTRUCCIN

Vistenos en: www.icip.edu.pe

PLANOS CARTESIANOS (X,Y)

El plano cartesiano est formado por dos

rectas numricas perpendiculares, una

horizontal y otra vertical que se cortan en

un punto. La recta horizontal es

llamada eje de las abscisas o de las equis

(x), y la vertical, eje de las ordenadas o de

las yes, (y); el punto donde se cortan

recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad

describir la posicin de puntos, los cuales

se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente

procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes

hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del

punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes

(en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son

negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

Ejemplo:

Localizar el punto A (-4, 5) en el plano

cartesiano.

El punto A se ubica 4 lugares hacia la

izquierda en la abcisa (x) y 5 lugares

hacia arriba en ordenada (y).

PLANOS CARTESIANOS (X, Y, Z)

En matemticas el sistema

tridimensional se representa en el plano

cartesiano con los ejes X, Y y Z. Por lo

general en estas representaciones se

manejan las formas geomtricas de tres

dimensiones como los cubos o las

esferas en dos dimensiones

utilizando perspectivas.

Recuerda: Para determinar las

coordenadas de un punto o localizarlo

en el plano cartesiano, se encuentran

unidades correspondientes en el eje de

las x hacia la derecha o hacia la

izquierda y luego las unidades del eje de

las y hacia arriba o hacia abajo, segn

sean positivas o negativas,

respectivamente

GEOMETRIA PLANA

Los principales elementos de la geometra son:

El Punto

Es el elemento ms pequeo de la geometra. No tiene dimensin. Slo designa un lugar en el espacio.

Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras maysculas o nmeros.

La lnea

Es una sucesin de puntos. Se nombra con letras minsculas.

o Recta:

Se conoce a la recta como la sucesin infinita de puntos.

Lnea recta. Sucesin de puntos en una misma

direccin. Para la designacin se utilizan letras

minsculas, generalmente a partir de la letra r, por

ejemplo, r, s, t. vea Recta r.

Lnea curva. Sucesin de puntos que no estn en una

misma direccin. Vea recta s.

Lnea quebrada. Sucesin de puntos formados por

lneas rectas que cambian de direccin. Vea recta t.

Paralelas

El concepto de paralelismo y perpendicularidad es bsico para un sin fin de

operaciones en dibujo. Por este motivo nos detendremos en conocer bien sus caractersticas y la forma de construccin.

Son rectas paralelas aquellas que estn separadas

por una misma distancia hasta el infinito, es decir,

no se tocan nunca.

La recta r es paralela a la recta s. Las dos rectas son

paralelas entre s.

Perpendiculares

Se trata de dos rectas que se cortan en un punto, es decir,

tienen un punto en comn. En este punto que se cortan

forman un ngulo recto (ngulo de 90). Tambin se dice

que dos rectas son perpendiculares cuando en el punto en

que se cortan, dividen al espacio en 4 partes iguales,

formndo 4 ngulos de 90.

La recta r es perpendicular a la recta s. De la

misma forma, la recta s es perpendicular a la recta r

(carcter recproco de la perpendicularidad). Entre

las dos rectas se forma un ngulo de 90.

Para indicar que dos rectas son perpendiculares

entre s, se pone un arco o un ngulo recto pequeo,

con un punto dentro.

o Semirrecta

Una semirrecta es una porcin de recta, que tiene principio pero no final.

o Segmento

Un segmento es una porcin de recta con principio y final. Se nombra con una letra minscula o con las letras maysculas de los puntos extremos.

o Curvas

Las curvas pueden ser cerradas o abiertas, mientras que en cuanto a su ejecucin

se pueden construir mediante puntos previamente definidos (obtenidos a partir de unas operaciones grficas determinadas) o mediante arcos aplicados con el comps.

Se clasifican en:

valo

Ovoide

Espiral

Hlice

Curvas cnicas:

valo: Es una curva cerrada y plana, compuesta por cuatro arcos de

circunferencia, iguales dos a dos. Tiene dos ejes de simetra perpendiculares entre

s. Los ejes de simetra se denominan como eje mayor (en el dibujo: eje

horizontal) y eje menor (en el dibujo: eje vertical).

Ovoide: Es una curva cerrada y plana, compuesta por dos arcos de circunferencia

iguales y otros dos desiguales.

Tiene un solo eje de simetra.

Espiral

Es una curva abierta y plana, engendrada por un punto que se desplaza

uniformemente a lo largo de una recta mientras est girando alrededor de uno de

sus extremos. Es decir, el punto se va desplazando del punto A al punto B,

mientras el segmento AB va girando alrededor del punto A.

El paso en una espiral es la distancia longitudinal que se desplaza el punto en una

vuelta completa de circunferencia, en la imagen corresponde al segmento AB.

Curvas cnicas

Las curvas cnicas forman parte de las curvas geomtricas. Son las que surgen a

partir de las secciones producidas por un plano, cuando corta la superficie de un

cono recto. Tipos de secciones:

Seccin circular

El plano de corte es perpendicular al eje del cono. La curva geomtrica que se

obtiene a partir de esta seccin es: la circunferencia.

La circunferencia

Es la curva cerrada y plana formada por

puntos que equidistan de otro punto O

llamado centro.

Radio. Es cualquier segmento (r) que tiene

un extremo en el centro de la circunferencia

y el otro sobre ella.

Dimetro. Es el segmento (d) que une dos

puntos de la circunferencia alineados con el

centro.

Crculo. Es la superficie comprendida

dentro de la circunferencia.

Circunferencias y arcos

Seccin elptica

El plano de corte forma un ngulo oblicuo,

con el eje del cono, sin llegar a ser paralelo

a ninguna generatriz del cono. La curva

geomtrica que se obtiene a partir de esta

seccin es: la elipse.

La elipse

Es una curva cerrada y plana formada

por puntos que tienen la propiedad de

que la suma de las distancias de cada

uno de ellos a otros dos fijos, llamados

focos, es constante e igual al eje mayor

de la elipse. En todos los puntos de la

elipse (por ejemplo el Q2) se cumple:

r + r = AB

Seccin parablica

Surge cuando el plano de corte es paralelo

a una de las generatrices del cono. La

curva geomtrica que se obtiene a partir

de esta seccin es: la parbola.

La parbola

Es una curva plana, formada por puntos

que tienen la propiedad de estar cada uno

de ellos equidistante de un punto fijo,

llamado foco, y de una recta llamada

directriz. En todos los puntos de la curva,

por ejemplo el punto F, se cumple que r

= r El vrtice V es el punto medio de OF,

distancia existente entre el foco y la

directriz

Seccin hiperblica

El plano de corte es paralelo al eje del cono y corta

dos conos, opuestos por el vrtice y con el mismo

eje. La curva geomtrica que se obtiene a partir de

esta seccin es: la hiprbola.

La Hiprbola

Es una curva abierta y plana formada por puntos,

cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos de

un plano, llamados focos, es constante. Por tanto

se cumple que r r = VV Asntotas Son las rectas

tangentes a la curva en el infinito.

ngulos

Caractersticas generales de los ngulos

Descripcin. Un ngulo es la porcin de

espacio comprendido entre dos rectas que se

cortan en un punto llamado vrtice. Las rectas

que lo forman se llaman lados.

.

Denominacin

Los ngulos se denominan por:

una letra mayscula que identifica el

vrtice: ngulo A.

letras del alfabeto griego (, , ,):

ngulo .

los lados y el vrtice: ngulo AOB (en este

caso, el vrtice siempre debe ir en el medio)

Clasificacin de ngulos: Los ngulos se pueden clasificar segn su medida, es decir,

la medida de la abertura del ngulo.

ngulo llano. Los lados se sitan en una misma lnea y su valor es de180.

ngulo obtuso. Su valor es menor de un ngulo llano, su valor es mayor de 90.

ngulo recto. En dibujo es una figura muy importante porque sus dos lados son

perpendiculares entre si. El valor del ngulo es de90.

ngulo agudo. Su valor es menor de 90.

.

Otros tipos de ngulos

Segn la disposicin de los lados o los tipos de lados, podemos encontrar los

siguientes tipos:

ngulos complementarios. Son aquellos cuya suma es equivalente a un

ngulo recto (90).

ngulos suplementarios. Son aquellos cuya suma equivale a 180, es decir,

un ngulo llano.

ngulo curvilneo. Est formado por dos lados curvos.

ngulo mixtilneo. Est formado por un lado recto y otro curvo.

Los Polgonos

Polgono es la figura plana y cerrada que est formada por rectas que se cortan dos

a dos. Para que formen una figura plana y cerrada el nmero mnimo de rectas que

se necesitan son tres. A estos polgonos se les llama Tringulos.

Polgonos regulares, son aquellos que tienen sus lados iguales y sus ngulos

tambin. Dependiendo del nmero de lados los polgonos son: Tringulos (tres

lados), Cuadrilteros (cuatro lados), Pentgonos (cinco lados), etc.

Para profundizar en las caractersticas y la forma de construccin de los distintos

polgonos se ha realizado la siguiente distribucin.

Triangulo

Un tringulo es una figura plana formada por tres lados que se cortan dos a dos.

Denominacin:

ngulos: se utilizan letras maysculas (A, B, C, etc).

Lados: los lados opuestos a los ngulos, utilizan las mismas letras, pero en

minsculas.

Tipos de Tringulos:

Segn la longitud de sus lados se clasifican

en: Equiltero, Issceles y Escaleno.

Segn el tipo de ngulo se clasifican

en: Rectngulo, Acutngulo y Obtusngulo.

Elementos notables de los Tringulos:

Los elementos notables de los tringulos se componen de rectas con unas

caractersticas especiales y de los puntos generados por dichas rectas.

Distribucin (mayor detalle en los enlaces):

1. Mediana Baricentro.

2. Bisectriz Incentro.

3. Altura Ortocentro.

4. Mediatriz Circucentro.

CUADRILTEROS

Los cuadrilteros son polgonos de cuatro lados. Los tipos de cuadrilteros son

variados y dependen de si sus lados son o no paralelos, tienen o no la misma longitud

y son o no perpendiculares entre s.

Estas y otras caractersticas se debern tener en cuenta para poder construir los

distintos tipos de cuadrilteros.

Caractersticas generales

Un cuadriltero es una figura plana

formada por cuatro lados que se cortan

dos a dos. Segn la disposicin de los

lados y los ngulos que forman, se

obtienen distintos tipos de

cuadrilteros.

Cuando los lados son paralelos dos a dos, los

cuadrilteros se llaman Paralelogramos.

Cuando solamente son dos los lados

paralelos, el cuadriltero se

llama Trapecio.

Cuando no existe ningn lado paralelo a otro, el

cuadriltero se llama Trapezoide.

CLASES DE PARALELOGRAMOS.

El cuadrado tiene todos los lados iguales y sus vrtices forman ngulos rectos

(de 90).

El rectngulo tiene los lados iguales dos a dos. Sus vrtices tambin forman

ngulos rectos.

El rombo tiene todos sus lados iguales pero sus vrtices tienen ngulos distintos

al ngulo recto e iguales dos a dos.

El romboide tiene los lados iguales dos a dos y sus ngulos iguales dos a dos y

distintos del ngulo recto.

CLASES DE TRAPECIOS.

El trapecio tiene dos de sus cuatro lados paralelos, los otros dos no.

El trapecio rectngulo se caracteriza porque uno de los ngulos es un ngulo

recto.

El trapecio issceles se caracteriza porque sus dos lados no paralelos tienen el

mismo tamao

POLIGONOS GENERALES

Los polgonos son porciones de espacio limitadas por lneas rectas, es decir se trata

de figuras planas que, por el hecho de ser regulares, estn formados por lados que

miden lo mismo.

Los polgonos son porciones de espacio limitadas por lneas rectas, es decir se trata

de figuras planas que, por el hecho de ser regulares, estn formados por lados que

miden lo mismo.

Caractersticas generales

Un polgono es la porcin de plano formado por lneas que se cortan dos a dos

POLGONO IRREGULAR. Es el que tiene los lados y los ngulos desiguales.

POLGONO REGULAR. Es el que tiene los lados iguales y los ngulos tambin.

POLGONOS INSCRITOS. Tiene sus vrtices en una circunferencia. Los lados son

cuerdas de la circunferencia.

POLGONOS CIRCUNSCRITOS. Los lados son tangentes a una circunferencia.

POLGONOS ESTRELLADOS. Los polgonos que tengan sus ngulos salientes y

entrantes de forma alternativa, y cuyos lados constituyen una lnea quebrada

continua y cerrada, se llaman Polgonos Estrellados.

Tipos de polgonos

Polgonos inscritos

Cuando un polgono tiene todos sus vrtices en la circunferencia, el polgono recibe

el nombre de polgono inscrito en una circunferencia. En el caso de que la

circunferencia pase por el punto medio de los lados, es decir, el polgono queda por

la parte interna de la circunferencia.

POLGONOS CIRCUNSCRITOS

En el caso de los polgonos circunscritos a una circunferencia, los lados son

tangentes a una circunferencia. La circunferencia queda por dentro del polgono.

El radio de la circunferencia se convierte en la apotema del polgono.

Apotema en un polgono regular es el segmento que une el centro del polgono con

el punto medio de un lado.

RECORDANDO OPERACIONES DE DIBUJO EN

GEOMETRA PLANA

NGULOS

Los ngulos, como ya se ha vistos, son porciones de espacio encerradas entre dos

lneas (lados del ngulo) que se cortan en un punto llamado vrtice. Los ngulos

permiten que se hagan una serie de operaciones con ellos.

Trazando una bisectriz

La bisectriz es la lnea que divide el ngulo en dos partes iguales. Esta propiedad

hace que el trazado de la bisectriz sea muy importante.

Nos plantean el siguiente ejercicio: nos dan

el ngulo A y nos piden dividirlo en 2 partes

iguales, es decir, nos piden trazar la bisectriz

del ngulo A.

1. Pinchando con el comps en el vrtice del

ngulo A y abriendo el comps la medida que

se quiera, se traza un arco que corta a los

lados del ngulo en los puntos 1 y 2.

2. Ahora cogemos una abertura del comps,

algo superior a la mitad del arco comprendido

entre los puntos 1 y 2.

La abertura puede ser cualquiera pero tiene

que ser algo mayor a la mitad del citado arco.

3. Con esta abertura se trazar un arco

desde 1 y otro desde 2. Se cortan en el

punto 3.

4. Uniendo 3 con el vrtice del ngulo A, obtenemos la BISECTRIZ

Construccin de un ngulo de 90.

OPERACIONES

1. Desde el punto O de la semirecta O r, se traza un arco con un radio cualquiera.

El arco corta a la semirecta O r en el punto 1.

2. Desde el punto 1, con la misma abertura del comps, se traza un arco,

obteniendo el punto 2. De igual manera obtengo el punto 3.

3. Utilizando los puntos 2 y 3, realizo otro arco con el mismo radio obteniendo el

punto 4.

4. Al unir el punto 4 con el punto O, consigo la recta perpendicular a la semirecta

Or en el extremo de la semirecta.

Construccin de un ngulo de 45.

Partiendo del ngulo de 90 construido anteriormente, trazamos la bisectriz del

ngulo y obtenemos el ngulo de 45.

Construccin de un ngulo de 60.

Partimos del ngulo de 90

OPERACIONES:

1. Con una abertura cualquiera

del comps y pinchando en el vrtice

del ngulo de 90(vrtice O),

trazamos un arco que corta a la

recta r en el punto 1.

2. Pinchando con el comps en

1, trazamos un arco CON LA

MISMA abertura que habamos

utilizado en el arco anterior. Corta al

arco anterior en 2.

3. Unimos 2 con el vrtice del ngulo (O) y obtenemos el ngulo de 60.

Construccin de un ngulo de 30

En este caso partimos del ngulo

de 60. Trazamos la bisectriz del

ngulo de 60 y obtenemos el

ngulo de 30.

Dividiendo en partes iguales un Angulo

Podemos encontrar cmo dividir un segmento en un nmero de partes

iguales. El procedimiento es independiente del nmero de partes, es decir, sirve

para dividir entre 2, 4, 5, 7

Esto no pasa con los ngulos. Los ngulos solamente se pueden dividir entre 2, o

bien en mltiplos de 2. Para ello utilizamos la BISECTRIZ. Pero no hay ningn

mtodo EXACTO, para dividir un ngulo en 3 partes iguales o en 5 partes iguales.

Los mtodos existentes, son aproximados.

Lgicamente esta divisin se puede hacer matemticamente, y para construir el

ngulo obtenido, se utiliza el transportador de ngulos. Pero como en este

espacio trabajamos las soluciones grficas, dejaremos aparte el procedimiento

matemtico,

Solo hay un caso en el que un ngulo se puede dividir en tres partes iguales, de una

forma exacta. Es cuando el ngulo es de 90. Las matemticas ya nos dicen que

vamos a obtener tres ngulos de 30 cada uno, pero cmo se hace?.

Ejercicio

Nos plantean el siguiente ejercicio: Dividir en tres partes iguales el ngulo recto

(triseccin de un ngulo recto) que se construir en el punto O.

Las operaciones sern las siguientes:

OPERACIONES

1. A partir del punto O, situado en el

extremo de una recta (nos lo dan como

dato), se traza una perpendicular. Como

nos piden que se haga por medio del

comps, se sigue el mtodo descrito en:

Perpendicular con comps.

Se obtiene el ngulo recto, de 90, que

tenemos que dividir en tres partes

iguales.

2. Sobre este ngulo recto, se construye un ngulo de 60 grados (desde la

horizontal), o bien 30 (desde la vertical). Para ello utilizamos el proceso descrito en

el punto:

Construccin de un ngulo de 60

Como vemos en la imagen, obtenemos

un ngulo de 30 y un ngulo de

60.

3. Utilizando la BISECTRIZ en

el ngulo , este ngulo queda dividido

en otros dos ngulos iguales

al ngulo creado en el punto anterior.

Con lo que queda dividido el ngulo de

90 en tres partes iguales.

SEGMENTOS

Aprender a operar con los elementos ms simples del dibujo, esto es, con los

segmentos. Se detallan distintas construcciones que, aunque simples, conviene

tenerlas siempre presentes ya que gran parte de los trabajos que se hagan

posteriormente se basarn en ellas.

Sumar los segmentos AB, CD y EF

Sumar segmentos es llevarlos uno a continuacin de otro sobre una recta cualquiera.

OPERACIONES:

1. Trazar una recta cualquiera donde se colocar la suma de los tres segmentos.

Indicamos el inicio (O) del segmento suma, por ejemplo el punto O.

2. Con ayuda del comps (no de la regla milimetrada) se coge la medida del

segmento AB y se lleva a continuacin del punto O.

3. De la misma forma, llevamos los segmentos CD y EF.

4. Obtenemos el ltimo punto, el punto O. El segmento resultante de

sumar AB+CD+EF, es el segmento OO.

Restar al segmento AB, el segmento CD

Restar segmentos es llevarlos uno a continuacin de otro sobre una recta cualquiera,

pero en sentido contrario.

OPERACIONES:

1. Se traza una recta r cualquiera, indicando el punto (O) donde se iniciar el

resultado de la resta de segmentos.

2. Con la ayuda del comps, se coge la medida del segmento AB y se coloca al

partir del punto O.

3. A partir de esta medida, se lleva el otro segmento, pero en sentido contrario,

es decir, hacia O. Obtenemos el punto O.

4. El resultado de la resta AB-CD es OO.

MEDIATRIZ

La MEDIATRIZ es la recta que divide al segmento en dos partes iguales. Esta

caracterstica hace que el trazado de la Mediatriz sea muy importante a la hora de

buscar soluciones grficas.

Segn esto, podremos dividir un segmento entre 2, 4, 8, etc. Para poder dividir un

segmento en un nmero distinto, por ejemplo 5 habr que utilizar otro mtodo,

descrito en el siguiente punto.

Dividir el segmento AB en dos partes iguales

OPERACIONES:

1. Se traza una recta r cualquiera, y a partir del punto (O), se coloca el

segmento AB.

2. Con una abertura cualquiera del comps, algo mayor a la mitad del

segmento, se traza un arco desde A.

3. Con la misma medida del comps, se traza otro arco desde el punto B.

4. Los dos arcos se cortan en los puntos 1 y 2. Uniendo estos dos puntos

obtenemos la MEDIATRIZ. Donde la Mediatriz corta al segmento, se

encuentra el punto medio del segmento.

Dividir un segmento en un nmero de partes iguales.

Esta operacin es muy importante ya que permite poder dividir un segmento en un

nmero de partes que se desee. Vamos a ver, como ejemplo, la divisin del

segmento AB en 5 partes iguales.

OPERACIONES:

1. Desde un extremo del segmento AB, por ejemplo el A, se traza una recta

cualquiera, por ejemplo la s.

2. Con una abertura cualquiera en el comps, se lleva 5 veces la misma medida

sobre la recta s.

3. El ltimo punto que se obtiene (en nuestro caso el 5) se une con el otro

extremo del segmento, el B.

4. Por el resto de las divisiones, se trazan paralelas a la ltima lnea trazada (la

formada entre los puntos 5 y B) y todos los cortes en el segmento AB sern

las divisiones del segmento.

TRAZADOS

Trazar una recta perpendicular en el extremo de una semirecta

OPERACIONES

1. Desde el punto O de la

semirecta Or, utilizando el comps,

se traza un arco con un radio

cualquiera. El arco corta a la

semirecta Or en el punto 1.

2. Desde el punto 1, con la misma

abertura del comps, se traza un

arco, obteniendo el punto 2. De

igual manera obtengo el punto 3.

3. Utilizando los puntos 2 y 3, realizo

otro arcocon la misma abertura

del comps, obteniendo el punto 4.

4. Al unir el punto 4 con el punto O, consigo la recta perpendicular a la

semirecta Or en el extremo de la semirecta.

Trazar una recta paralela a otra recta que pase por un punto

En este caso nos dan un punto P, exterior a una recta r. Nos piden que hagamos

una recta que pase por el punto P y que sea paralela a la recta r.

OPERACIONES:

1. Desde el punto P y con una

abertura del comps cualquiera,

se traza un arco que corte a

la recta r. Obtengo el punto 1.

2. Desde el punto 1 y con la misma abertura del comps, se traza otro arco

que tendr que pasar por el punto P y cortar a la recta r. Se obtiene el punto

2.

3. Con la ayuda del comps, se toma la distancia que hay entre el punto 2 y

el punto P. Se lleva a partir del punto 1. Se obtiene el punto 3.

4. Se unen los puntos P y 3 y obtengo la recta que pasa por P y es paralela

a la recta r.

CIRCUNFERENCIAS

Circunferencia tangente a dos rectas que se cortan

En este caso, se nos pide que tracemos una circunferencia de radio R conocido, y

que sta circunferencia sea tangente a dos rectas que se cortan. Lgicamente, las

dos rectas que se cortan, forman un ngulo.

El centro de la circunferencia deber estar sobre la bisectriz.Los datos con los que

partimos son:

Radio R de la circunferencia

Rectas a y b, o bien un ngulo formado por estas dos rectas.

1. Se traza la BISECTRIZ del ngulo

formado por las rectas a y b. Estas

rectas se convierten en los lados del

ngulo.

2. Sobre una perpendicular al lado a,

se lleva la medida R del radio de

circunferencia que queremos trazar.

A partir de esta medida, se traza una

recta paralela al lado a, hasta que

corta a la bisectriz en el punto O.

.

3. Desde el punto O, se trazan

perpendiculares a los lados a y b.

Obtenemos los puntos de

tangencia Tg1 y Tg2.

.

4. Desde el centro O y con

el radio R, se traza la

circunferencia que tendr que

pasar por los puntos Tg1 y Tg2.

Solucin:

TRIANGULOS

Construccin de un tringulo, conocidos los tres lados.

OPERACIONES:

1. Se coloca un lado (por ejemplo, el lado a)

como base.

2. Desde un extremo del lado a (punto C) se

traza un arco con una abertura del comps

igual al lado b.

3. Desde el otro extremo (punto B) se traza

un arco con un radio de longitud igual

al lado c.

4. Unir el punto donde se cortan los dos arcos

(punto A) con los extremos del lado a

(puntos C y B). Se obtiene el tringulo.

Construccin de un tringulo conocidos dos lados y el ngulocomprendido entre ellos

OPERACIONES:

1. Se sita el ngulo A en la posicin elegida para construir el tringulo.

2. A partir del vrtice A se traza un arco con la medida del lado b, hasta cortar

un lado del ngulo A.

3. Desde el vrtice A, se traza un arco con el lado c, hasta cortar el otro lado del

ngulo A.

4. Se unen los puntos de interseccin conseguidos y se obtiene el tringulo

solicitado.

CUADRILATEROS

Construir un cuadrado conociendo el lado

OPERACIONES:

1. Se coloca el lado a (lado del cuadrado que se da como dato) en la posicin de

la base.

2. Desde los extremos del lado a, se trazan dos perpendiculares.

3. Mediante dos arcos, se lleva el lado a sobre las perpendiculares.

4. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el cuadrado pedido.

Construir un cuadrado conociendo su diagonal d.

OPERACIONES:

1. Sobre un punto cualquiera se trazan dos rectas perpendiculares entre si:

recta r y recta s.

2. Se traza la bisectriz del ngulo formado por las dos rectas r y s.

3. Sobre la bisectriz se lleva la diagonal.

4. Desde este punto se trazan paralelas a las rectas r y s.

5. Utilizando estos puntos, se construye el cuadrado.

Construir un rectngulo conocidos los lados

OPERACIONES:

1. Sobre una recta cualquiera r se coloca un lado del rectngulo, por ejemplo el

lado a.

2. Sobre un extremo del lado a (por ejemplo el punto A) se traza una

recta s perpendicular a este lado y, sobre la perpendicular, se lleva el lado b.

3. Desde el otro extremo del lado a (punto B) se traza un arco de radio b.

4. Desde el punto D (extremo del lado b) se traza un arco de radio igual al lado a.

5. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el rectngulo.

Construir un rectngulo conocidos la diagonal y un lado

OPERACIONES:

1. Se coloca la diagonal d (segmento AB) sobre una recta cualquiera r.

2. Se halla el punto medio M de la diagonal y se traza una circunferencia que

pase por sus extremos (puntos A y C).

3. Desde A y C se trazan dos arcos de radio a.

4. Se unen los puntos hallados (B y D), con los extremos de la diagonal (A y C),

y se obtiene el rectngulo.

Construir un rombo conocidos una diagonal y su lado.

OPERACIONES:

1. Se coloca la diagonal sobre una recta r cualquiera. Se obtienen los

puntos A y C.

2. Con el lado a como radio, se trazan dos arcos desde A y C. Obtenemos los

puntos B y D.

3. Se unen los extremos de la diagonal (A y C) con los puntos hallados (B y D) y

se obtiene el rombo.

Construir un romboide conocidos los lados y la altura

OPERACIONES:

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el lado AB.

2. Se traza una perpendicular al lado AB en uno de sus extremos (por ejemplo,

en B) y se lleva la altura h.

3. Por el punto 1 se traza una paralela a lado AB. Desde los extremos A y B, se

trazan dos arcos, de radio BC.

4. Se unen los puntos A, B, C y D y se obtiene el romboide.

POLGONOS REGULARES

Los polgonos regulares son la base para muchas construcciones, sobre todo en el

mbito arquitectnico, pero no solo.

http://ibiguri.net/temas/poligono/3-5-trazado-de-poligonos/

Construir un pentgono regular conociendo el lado

OPERACIONES:

1. Se traza la mediatriz del lado AB para

determinar su punto medio M.

2. A partir de un extremo, p.e. el B, se

traza una perpendicular y se lleva el

lado AB.

3. Con centro en M y radio MN, se traza

un arco.

4. Con radio AO se trazan arcos desde A y

B. Se obtiene D.

5. Desde D, se traza un arco de radio AB.

Se obtiene E y C.

6. Se unen los puntos A, B, C, D y E. Se

obtiene el pentgono.

Construir un hexgono regular conociendo el lado

Un hexgono regular est inscrito en una circunferencia de radio igual al lado.

OPERACIONES:

1. Desde un punto cualquiera de una recta r, se traza una circunferencia de radio

AB.

2. Desde los puntos A y D se trazan arcos con el radio AB.

3. Se unen los puntos A, B, C, D, E y F obteniendo el hexgono regular.

Construir un heptgono conocido el lado

OPERACIONES:

1. Sobre una recta r cualquiera se

coloca la base AB.

2. Con el radio AB se traza un arco

desde A y otro desde B.

3. Por 1 y por B se trazan dos

perpendiculares a r.

4. Se traza la bisectriz del ngulo

1AB. Corta a la perpendicular en

2.

5. Con el radio A2 se traza un arco

hasta cortar a la perpendicular s.

6. Desde O, con un radio AO, se

traza una circunferencia. A partir

de B se lleva 7 veces el lado AB.

7. Se unen todos los puntos y se

obtiene el heptgono.

Construir un octgono conocido el lado OPERACIONES:

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca

el lado AB y se traza su mediatriz.

2. En el punto B, se traza una

perpendicular y se coloca el lado AB.

3. Se une el punto A con 1. Corta a la

mediatriz en 2.

4. Haciendo centro en 2 y con radio 2-2,

se traza un arco. Se obtiene O.

5. Haciendo centro en O, y radio OA, se

traza la circunferencia. Se sta, se lleva

el lado 8 veces.

6. Se unen todos los puntos y se obtiene

el octgono.

Construir un enegono conocido el lado

OPERACIONES:

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el lado

AB y se traza su mediatriz utilizando el lado.

2. Se traza la bisectriz del ngulo A. Corta a la

mediatriz en el punto 2.

3. Se trazan dos rectas que salen de A y B, y

pasan por el punto 1.

4. Con centro en 1 y radio 1-2, se traza un arco.

Se obtiene 3 y 4.

5. Se unen 3 y 4, y se obtiene O, centro de la

circunferencia donde se sita el enegono.

6. Se lleva el lado 9 veces sobre la

circunferencia y se unen los puntos.

Construir un decgono conocido el lado

OPERACIONES:

1. Sobre una recta r cualquiera se realizan

las operaciones para construir un

pentgono.

2. El vrtice superior del pentgono (O) es

el centro de la circunferencia donde se

sita el decgono.

3. Sobre la circunferencia se lleva 10 veces

el lado.

4. Se unen todos los puntos y se obtiene el

decgono.

POLIGONOS INSCRITOS

Podemos crear polgonos a partir de conocer el lado del polgono o bien a partir de

la circunferencia donde estn inscritos.

Conociendo el radio de la circunferencia donde se inscribe un polgono, en este

apartado se determinarn las operaciones a realizar para llegar a la construccin del

citado polgono.

Construir un pentgono inscrito en una circunferencia

OPERACIONES:

1. Con el radio (segmento AB) que nos dan como dato, se traza una

circunferencia.

2. Donde uno de los dos ejes (horizontal) de la circunferencia corta a la propia

circunferencia, por ejemplo el punto A, se traza un arco hasta cortarla,

obteniendo los puntos B y C.

3. Uniendo los puntos B y C, obtenemos el punto D.

4. Con centro en D y radio D1, se traza un arco hasta cortar al eje en el punto

E.

5. El segmento 1E ser el lado del pentgono mientras que el OE es el lado del

decgono. Ahora nos fijaremos en el pentgono.

6. Desde el punto 1, se traza un arco con un radio de 1E. Se obtienen los

puntos 2 y 5.

7. Desde el punto 2 y desde el punto 5, se trazan arcos (con el mismo radio) para

obtener los puntos 3 y 4.

8. Se juntan todos los puntos y se obtiene el pentgono inscrito en la

circunferencia de radio AB.

Construir un heptgono inscrito en una circunferencia

OPERACIONES:

1. Con el radio (segmento AB) que nos dan como dato, se traza una

circunferencia.

2. Donde uno de los dos ejes (horizontal) de la circunferencia corta a la propia

circunferencia, por ejemplo el punto A, se traza un arco hasta cortarla,

obteniendo los puntos B y C.

3. Uniendo los puntos B y C, obtenemos el punto D.

4. La distancia BD (o bien la DC) es el lado del heptgono inscrito en la

circunferencia. Esta medida habr que llevarla 7 veces a partir de un punto,

por ejemplo el punto 1.

5. Para mitigar el posible error, llevaremos tres veces hacia la izquierda (2, 3 y 4)

y otras 3 veces hacia la derecha (7, 6 y 5). El sptimo lado, quedar por

defecto en la base.

6. Se unen todos los puntos y se obtiene el heptgono.

NOTA

Si hemos empezado a distribuir los lados desde el eje vertical, en su punto superior

(punto 1), el lado contruido como base (lado 4-5) tiene que ser perpendicular al eje

vertical, o bien, paralelo al eje horizontal.

Construir un octgono inscrito en una circunferencia

OPERACIONES:

1. Con el radio (segmento AB) que nos dan como dato, se traza una

circunferencia.

2. Los dos ejes (horizontal y vertical) cortan a la circunferencia en cuatro

puntos: 1, 3, 5 y 7.

3. Se trazan las bisectrices de los ngulos formados por los ejes. Se obtienen dos

lneas decaladas 45 con los ejes horizontal y vertical. Estas lneas cortan a la

circunferencia en otros cuatro puntos: 2, 4, 6 y 8.

4. Se unen todos los puntos y tenemos el octgono inscrito.

.

POLGONOS INSCRITOS Y CINCUNSCRITOS USANDO AUTOCAD

Ejemplo: dibuje un pentgono inscrito en una circunferencia el que el radio sea de

20 unidades y el centro del polgono este ubicado en el punto (0, 0, 0)

PASO 1: Llamamos el comando polygon, aceptamos

Paso 2: seguidamente nos solicitar el nmero de lados que tendr nuestro

polgono, en este caso al tratarse de un pentgono, digitaremos el nmero 5, de 5

lados. Aceptamos

Paso 3: luego de aceptar nos solicita marcar el punto de centro, si nos dan datos de

ubicacin, lo colocaremos, en este caso escribiremos (0, 0, 0) para que el centro

sea en el punto de origen del plano cartesiano de AUTOCAD. Aceptamos.

Paso 4: luego nos solicitarn si queremos que el polgono est inscrito (dentro de

una circunferencia) o circunscrito (que dentro de ella halla una circunferencia). En

este caso escogeremos Inscrit in circle, aceptamos

Paso 5: nos solicitan escribir el radio de la circunferencia. En este caso escribiremos

20 unidades como radio. Aceptamos. (Observe que el centro del pentgono ya se

ubic en el punto de origen de las rectas X,Y y Z).

Paso 6: graficamos una circunferencia de radio 20 en el que el centro sea el centro

del polgono.

Para polgonos circunscritos: la misma operacin pero

seleccionamos la opcin circunscrito

Pentgono inscrito en circunferencia. Donde r= 20 (distancia entre el centro del

polgono y el vrtice de este), adems, el centro del polgono est ubicado en el

punto (0, 0, 0)

REFERENCIAS:

1. http://ibiguri.net/temas/poligono/por/

2. http://ibiguri.net/temas/cur/

3. http://dibujotecni.com/geometria-plana/ovalo-ovoide-espirales/

Pentgono circunscrito. Donde r= 20 = apotema del polgono. El centro del polgono

est ubicado en el punto (0, 0, 0)