Apuntes de ecuaciones diferencialesJose S. Cnovas Pea 7 de mayo de 2004

ndice General1 Introduccin a las ecuaciones diferenciales 1.1 Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Soluciones de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Problemas de condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ecuaciones diferenciales de orden uno 2.1 Ecuaciones diferenciales de variables separadas 2.2 Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . 2.3 Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . 2.4 Factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . 2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 3 5 5 7 9 11 12 13 17 17 18 19 19 20 22 24 25

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3 Aplicaciones de las ecuaciones de orden uno 3.1 Problemas geomtricos . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Familias ortogonales . . . . . . . . . . . 3.2 Descomposicin radioactiva . . . . . . . . . . . 3.3 Ley de enfriamiento de Newton. . . . . . . . . . 3.3.1 Aplicacin a la climatizacin de edicios 3.4 Problemas de mezclas qumicas. . . . . . . . . . 3.5 La catenaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Teora general de sistemas y ecuaciones lineales 29 4.1 Introduccin a los sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 Teora general para ecuaciones lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5 Resolucin de ecuaciones lineales de orden n 5.1 Ecuacin lineal homognea con coecientes constantes . 5.1.1 Ecuacin de orden dos . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Ecuacin de orden n . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Aproximacin a las ecuaciones con coecientes variables: y de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ecuacin lineal homognea de coecientes variables . . i 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ecuaciones de CauchyEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

ndice General 5.4 Ecuacin lineal no homognea . . 5.4.1 Variacin de constantes. . 5.4.2 Mtodo de los Coecientes 5.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indeterminados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 48 50 51

6 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos 53 6.1 Oscilaciones mecnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2 Circuito elctrico LRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7 Resolucin de sistemas lineales de coecientes constantes 7.1 Resolucin del sistema homogneo . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Teorema de CayleyHamilton . . . . . . . . . . . . . 7.2 Resolucin de sistemas. La exponencial de una matriz . . . . 7.2.1 La exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Clculo prctico de la exponencial . . . . . . . . . . . 7.3 El mtodo de variacin de constantes . . . . . . . . . . . . . 7.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 61 61 62 63 64 68 70 73 73 76 78 80 81 87 88 89 91 92 93 94 97 100 100 113 116 117 117 121 123 123 124 124

8 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 8.1 Vibraciones mecnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Circuitos elctricos con varias ramas . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Problemas de mezclas con varios recipientes . . . . . . . . . . . . . 8.4 Climatizacin de edicios con varias estancias . . . . . . . . . . . . 8.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Teora cualitativa de ecuaciones diferenciales 9.1 Ecuaciones y sistemas autnomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Soluciones y rbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Teora cualitativa ecuaciones autnomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Teora cualitativa de sistemas planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Clculo de los puntos crticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Isoclinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Integrales primeras y diagramas de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Clasicacin de sistemas planos lineales. Estabilidad de sistemas lineales . . . 9.5.1 Diagramas de fases de sistemas planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2 Estabilidad de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3 Por qu un sistema estable es til en ingeniera? . . . . . . . . . . . . 9.6 Estabilidad local de sistemas autnomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.1 Mtodo de linealizacin de Lyapunov. Teorema de HartmanGrobman 9.6.2 El mtodo directo de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Aplicaciones de la teora cualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.1 El pndulo con y sin rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.2 La ecuacin de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.3 El circuito de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Captulo 1 Introduccin a las ecuaciones diferencialesSumario. Denicin de ecuacin diferencial. Orden de una ecuacin diferencial. Solucin de una ecuacin diferencial. Ecuaciones resueltas respecto a la derivada mayor. Familias paramtricas de soluciones. Problemas de condiciones iniciales.

1.1

Ecuaciones diferencialesF (x, y, y 0 , ..., y n) ) = 0, (1.1)

Una ecuacin diferencial una expresin de la forma

donde F es una funcin real denida en un cierto abierto A Rn+2 , e y(x) es una funcin real de variable real. Como vemos, una ecuacin diferencial es una expresin en la que aparecen ligadas una variable x, que llamaremos variable independiente y las n primeras derivadas respecto de x de una variable y, que se llama variable dependiente por ser una funcin dependiente de la variable x. Se llama orden de la ecuacin (1.1) al valor de la derivada ms alta en dicha expresin. Ejemplos de ecuaciones diferenciales son los siguientes: y 00 + log(xy) x = y, y 3) + xy 0 + ex sinh y = 0, y y 0 y 00 = x, que tienen rdenes 2, 3 y 2, respectivamente. Diremos que una funcin y : (a, b) R R es solucin de la ecuacin (1.1) si existe la derivada nsima de y en todo punto del intervalo (a, b), (x, y(x), y 0 (x), ..., y n) (x)) A para todo x (a, b) y F (x, y(x), y 0 (x), ..., y n) (x)) = 0 para todo x (a, b). Por ejemplo tomemos la ecuacin diferencial de orden uno y 0 y tan x = 0. 1 (1.2)

Introduccin a las ecuaciones diferenciales Esta ecuacin viene denida por la funcin F : A R3 R dada por F (x, y, y 0 ) = y 0 y tan x. El dominio de denicin de F es en este caso A = {(/2 + 2k, /2 + 2k) : k Z} R2 . Entonces c la funcin y : (/2, /2) R dada por y(x) = cos x , donde c es una constante arbitraria es una solucin de dicha ecuacin diferencial. En efecto, esta funcin es una vez derivable con derivada c sin y 0 (x) = cos2 x , se verica que (x, y(x), y 0 (x)) A para todo x (/2, /2), y adems satisface que x y 0 (x) y(x) tan x = para todo punto x (/2, /2). Con frecuencia las soluciones de la ecuacin (1.1) no podrn obtenerse de forma explcita y vendrn 2 y2 dadas de forma mplicita por una ecuacin de la forma g(x, y) = 0. As las curvas x+ = c > 0 0 denen implcitamente las soluciones de la ecuacin yy + x = 0 denidas en ( c, c), como puede verse fcilmente derivando de forma implcita la expresin x2 + y 2 = c respecto a la variable independiente x. A lo largo del curso estudiaremos fundamentalmente ecuaciones resueltas respecto de la derivada de mayor orden de la ecuacin, es decir, ecuaciones de la forma y n) = f (x, y, y 0 , ..., y n1) ), donde f : A Rn+1 R. Estas ecuaciones son obtenidas cuando sea posible despejar y n) en (1.1). Sern tambin de especial inters para nosotros las ecuaciones autnomas, de la forma F (y, y 0 , ..., y n) ) = 0, donde F no depende de la variable independiente y las ecuaciones lineales a0 (x)y n) + a1 (x)y n1) + ... + an1 (x)y 0 + an (x)y = b(x) con an , an1 , ..., a1 , a0 y b funciones reales de variable real. Las anteriores deniciones se extienden de manera natural al contexto de los sistemas de ecuaciones diferenciales, es decir, sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma n) n) n) 0 0 0 F1 (x, y1 , y1 , ..., y1 , y2 , y2 , ..., y2 , ..., ym , ym , ..., ym ) = 0; F (x, y , y 0 , ..., y n) , y , y 0 , ..., y n) , ..., y , y 0 , ..., y n) ) = 0; m 2 1 1 2 2 m m 1 2 . . . n) n) n) 0 0 0 Fk (x, y1 , y1 , ..., y1 , y2 , y2 , ..., y2 , ..., ym , ym , ..., ym ) = 0; c sin x c tan x = 0, 2x cos cos x

donde y1 , y2 , ..., ym son funciones reales a determinar que dependen de x. Se suele suponer que hay igual nmero de ecuaciones que de incgnitas (k = m) de manera que todas las ecuaciones son independientes, es decir, ninguna puede deducirse de las dems. En el Tema 4 se encuentran denidas con precisin los conceptos relativos a sistemas de ecuaciones diferenciales. 2

Introduccin a las ecuaciones diferenciales

1.2

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Como vimos en el ejemplo (1.2) las soluciones de una ecuacin diferencial en caso de existir no son nicas, sino que dependen de ciertas constantes arbitrarias provenientes de la integracin. En general, dada una ecuacin diferencial de la forma F (x, y, y 0 , ..., y n) ) = 0, las soluciones de la misma pueden escribirse como g(x, y, c1 , ..., cn ) = 0 (1.4) (1.3)

con ci R, i = 1, 2, ..., n. As las soluciones de una ecuacin diferencial de orden uno generan una familia nparamtrica de curvas en el plano. En el ejemplo anterior, la solucin y(x) = c/ cos x dene una familia de curvas en el plano dependiente del valor o parmetro de c. Recprocamente, a partir de una familia nparamtrica de curvas denida por (1.4) puede construirse una ecuacin diferencial de la manera siguiente. Derivando n veces (1.4) respecto de x obtenemos n + 1 ecuaciones de las que, eliminando los parmetros c1 , c2 , ..., cn , obtendremos una ecuacin diferencial de orden n dada por (1.3). Las soluciones obtenidas como familia nparamtrica de curvas se llaman soluciones generales de la ecuacin diferencial. Por ejemplo, si consideramos la familia de las curvas del plano dependiente de dos parmetros dada por la ecuacin y = c1 ex +c2 ex , c1 , c2 R, derivando implcitamente respecto de x tenemos que y 0 = c1 ex c2 ex , y 00 = c1 ex + c2 ex . Despejando c1 y c2 y sustituyendo en la primera ecuacin tenemos que y 00 = y es la ecuacin diferencial que dene a la familia de curva anteriores. Ntese que es una ecuacin de orden dos dado que la familia depende de dos parmetros. Sin embargo, no siempre es posible la situacin anterior. Por ejemplo, la ecuacin y 2 + (y 0 )2 = 1 no posee ninguna solucin, mientras que y 2 + (y 0 )2 = 0 tiene como nica solucin y(x) = 0, que no depende de parmetro alguno. Adems la ecuacin de orden uno (y 0 y)(y 0 2y) = 0 tiene por soluciones a las funciones dadas por la expresin (y c1 et )(y c2 e2t ) = 0. Mencin aparte merecen aquellas que no aparecen comprendidas en la familia nparamtrica, las llamadas soluciones singulares. Por ejemplo y 0 = 2y 3/2 tiene como solucin general y(x) = 1/(t + c)2 y como solucin singular y(x) = 0. Ntese que esta denicin es ambigua y depende de la familia de curvas al ser y(x) = C 2 /(Cx+1)2 una familia uniparamtrica de soluciones de y 0 = 2y 3/2 conteniendo la solucin nula.

1.3

Problemas de condiciones iniciales

De acuerdo con lo visto anteriormente, las soluciones de las ecuaciones diferenciales vienen dadas por una familia nparamtrica de curvas y por lo tanto la solucin no es en general nica. Para evitar este hecho, suele acompaarse a una ecuacin diferencial F (x, y, y 0 , ..., y n) ) = 0 3

Introduccin a las ecuaciones diferenciales0 de n condiciones iniciales de la forma y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y0 ,...,y n1) (x0 ) = y0 donde las consn1) 0 tantes x0 , y0 , y0 , ..., y0 son nmeros reales, de manera que encontremos la solucin de la ecuacin diferencial satisfaga adicionalmente estas condiciones. Se dene un problema de condiciones iniciales o de Cauchy al problema de la forma F (x, y, y 0 , ..., y n) ) = 0; y(x0 ) = y0 ; 0 0 y (x0 ) = y0 ; . . . n1) n1) y (x0 ) = y0 . n1)

Lo que se espera aadiendo estas condiciones es eliminar los parmetros de la familia nparamtrica de soluciones, obteniendo entonces una solucin que sea nica. Ntese que se aaden tantas condiciones iniciales como orden tiene la ecuacin. Por ejemplo, tomemos la ecuacin de orden uno (1.2), que c recordemos, tena por solucin y : (/2, /2) R dada por y(x) = cos x , donde c es una constante arbitraria. Si consideramos el problema de condiciones iniciales 0 y y tan x = 0 y(0) = 1, tendramos que necesariamente 1 = y(0) = c/ cos(0) = c, por lo que c = 1 y la nica solucin del problema de condiciones iniciales es y(x) = 1/ cos x. Sin embargo esta estrategia no siempre produce los frutos deseados. Sin ir ms lejos, el problema 2 y + (y 0 )2 = 0 y(0) = 0 no tiene solucin y y 0 = 3y 2/3 y(0) = 0

tiene al menos dos soluciones dadas por y(x) = 0 e y(x) = x3 . Se ver el la siguiente leccin bajo qu condiciones los problemas de existencia y unicidad tienen asociados una nica solucin.

4

Captulo 2 Ecuaciones diferenciales de orden unoSumario. Ecuacin de variables separables. Ecuacin lineal homognea y no homognea. Ecuaciones exactas. Factores integrantes. Problema de condiciones iniciales. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. En este tema vamos a aprender a resolver algunos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden uno. Todas las ecuaciones que vamos a considerar dependen para su resolucin de tcnicas de integracin estudiadas en la asignatura de clculo, por lo que el clculo de primitivas ser crucial en este tema. Por otra parte hay que destacar el siguiente hecho: dada una ecuacin diferencial de orden uno al azar, es prcticamente seguro que no vamos a saber resolverla. Vamos a ver en este tema que por lo menos se puede garantizar que la solucin existe. Garantizar la existencia de solucin es importante ya que, una vez conocida que una ecuacin tiene solucin, pueden usarse mtodos numricos y cuantitativos para aproximar la solucin, como se ver en la asignatura de cuarto curso mtodos numricos.

2.1

Ecuaciones diferenciales de variables separadasy 0 = f (y)g(x)

Una ecuacin de primer orden se dice que es de variables separadas si tiene la forma

donde f y g son dos funciones reales denidas sobre intervalos abiertos. Suponiendo que f (y) 6= 0 en el dominio de denicin de f podemos transformar nuestra ecuacin en la forma y0 = g(x), f (y) que nos proporciona una expresin de la ecuacin con cada variable a un lado de la igualdad. Entonces, si somos capaces de calcular las primitivas Z Z y 0 (x) dx = g(x)dx, f (y(x)) 5

Ecuaciones diferenciales de orden uno tendremos resuelta la ecuacin inicial. Por ejemplo, si consideramos la ecuacin y 0 = yx, y seguimos el proceso anterior obtendremos que Z Z 0 y (x) dx = xdx, y(x) siempre que y 6= 0. Integrando log y(x) = k + x2 /2 y despejando y(x) en la ecuacin anterior se tiene que y(x) = cex2 /2

podemos calcular de forma nica la constante c imponiendo la condicin y(0) = 1 en la solucin 2 general, tenindose que y(0) = 1 = ce0 = c, con lo que y(x) = ex /2 es la nica solucin de dicho problema. Si f (y0 ) = 0 para algn y0 R, entonces y(x) = y0 es una solucin de la ecuacin diferencial que se llama singular. Por ejemplo, si hubisemos querido resolver el problema de condiciones iniciales y 0 = yx y(0) = 0, tendramos que y(x) = 0 es la nica solucin (singular) de dicha ecuacin. A veces las soluciones singulares se engloban dentro de la solucin general, como en el ejemplo 2 anterior donde si cogemos la solucin general y(x) = cex /2 e imponemos la condicin inicial y(0) = 0, obtenemos que c = 0 y por tanto y(x) = 0. Sin embargo, a veces las soluciones singulares no pueden englobarse dentro de la solucin general como pone de maniesto el siguiente ejemplo. Tomamos la ecuacin y 0 = y(1 y), que tiene por soluciones singulares (constantes) y(x) = 0 e y(x) = 1 y por solucin general cex , c R. (2.1) y(x) = x ce 1 Haciendo c = 0 obtenemos la solucin singular y(x) = 0, sin embargo, si imponemos la condicin y(0) = 1 tenemos que c 1= c1 o lo que es lo mismo c1=c con lo que 1 = 0, que es un absurdo, por lo que la solucin singular y(x) = 1 no est englobada dentro de la solucin general (2.1). 6

es su solucin general. Si lo que tenemos es el problema de condiciones iniciales y 0 = yx y(0) = 1,

, c = ek R+

Ecuaciones diferenciales de orden uno

2.2

Ecuaciones diferenciales linealesf1 (x)y 0 + f2 (x)y = g(x),

La ecuacin lineal de primer orden es de la forma

donde f1 , f2 y g son funciones reales continuas en el denidas sobre un intervalo abierto (a, b). Si f1 (x) 6= 0 para todo elemento x (a, b), podemos escribir la ecuacin anterior de la forma y 0 + p(x)y = q(x), donde p(x) = f2 (x)/f1 (x) y q(x) = g(x)/f1 (x). Si q(x) = 0 para todo x (a, b) la ecuacin se dice homognea, y en caso contrario no homognea. Las soluciones de la ecuacin lineal homognea pueden calcularse fcilmente al ser sta de variables separadas. En efecto, si consideramos la ecuacin y 0 + p(x)y = 0, podemos reducirla a la forma y0 = p(x), y Z y 0 (x) dx = y(x) Z p(x)dx.

y entonces

Si G(x) es una primitiva de p(x) tendremos Z 0 y (x) dx = ln y(x) = G(x) + C, y(x) y as y(x) = KeG(x) donde K R. Para calcular las soluciones de la ecuacin lineal no homognea procederemos por el mtodo de variacin de constantes. Dicho mtodo permite calcular las soluciones de la ecuacin no homognea a partir de las soluciones de la homognea. Supongamos la ecuacin y 0 + p(x)y = q(x), y sea yh (x) = KeG(x) la solucin de la ecuacin homognea calculada anteriormente. El mtodo de variacin de constantes se basa en suponer que las soluciones de la ecuacin no homognea son de la forma y(x) = K(x)eG(x) , donde K(x) es ahora una funcin arbitraria que suponemos derivable. Derivando esta expresin teniendo en cuenta que G0 (x) = p(x) obtenemos y 0 (x) = K 0 (x)eG(x) K(x)p(x)eG(x) . Suponiendo que y(x) es solucin de la ecuacin lineal no homognea y sustituyendo en dicha ecuacin se tiene K 0 (x)eG(x) p(x)K(x)eG(x) + p(x)K(x)eG(x) = q(x), 7

Ecuaciones diferenciales de orden uno o lo que es lo mismo K 0 (x) = q(x)eG(x) . As K(x) = Z q(x)eG(x) dx = H(x) + C,

donde H(x) es una primitiva de q(x)eG(x) . Por lo tanto, la solucin de la ecuacin no homognea es de la forma y(x) = CeG(x) + H(x)eG(x) . Por ejemplo consideremos la ecuacin lineal xy 0 + 2y = sin x. Dicha ecuacin puede escribirse como sin x 2 y0 + y = . x x 2 La ecuacin homognea es de la forma y 0 + x y = 0, cuyas soluciones son de la forma yh (x) = K/x2 . Procediendo por el mtodo de variacin de constantes obtenemos que Z K(x) = x sin xdx = sin x x cos x + C, de donde obtenemos que las soluciones de nuestra ecuacin son y(x) = Si consideramos el problema2 y 0 + x y = sin x x y(/2) = 0

1 (sin x x cos x + C). x2

tendramos utilizando el dato y(/2) = 0 que 0 = y(/2) = con lo que C = 1 y la funcin y(x) = 1 (sin x x cos x 1) x2 4 (1 + C) 2

es la nica solucin de dicho problema de condiciones iniciales. Es importante en este punto hacer una reexin. El alumno puede obtar por aprender las frmulas anteriores de memoria y aplicarlas. Sin embargo, nosotros proponemos que se aprenda a resolver la ecuacin a partir de las ideas que permiten obtener las frmulas anteriores. Por ejemplo, vamos a resolver de nuevo la ecuacin sin x 2 . y0 + y = x x Resolvemos en primer lugar la ecuacin homognea, que ser de variables separables. Consideramos as y 0 + 2y/x = 0, de donde y0 2 = , y x 8

Ecuaciones diferenciales de orden uno e integrando Z Z

y 0 (x) dx = y(x)

2 dx x

obtenemos de donde despejando

log y(x) = 2 log x + c = log x2 + c, y(x) =

k , k = ec . x2 Ahora obtenemos por el mtodo de variacin de constantes la solucin de la ecuacin no homognea, para lo cual, segn dicho mtodo, hemos de proponer una solucin de la forma y(x) = k(x)/x2 . Derivamos esta expresin, y 0 (x) = k0 (x)/x2 2k(x)/x3 , y sustituimos en la ecuacin original teniendo k0 (x) k(x) 2 k(x) sin x 2 3 + = , 2 2 x x x x x simplicando obtenemos k0 (x) = x sin x e integrando k(x) = Z x sin xdx = sin x x cos x + C, 1 (sin x x cos x + C). x2

de donde obtenemos que las soluciones de nuestra ecuacin son y(x) =

Como se ve, slo hemos usado las ideas y no las frmulas. Aconsejamos al alumno proceder de esta manera a la hora de resolver estas ecuaciones.

2.3

Ecuaciones diferenciales exactas

Consideremos una ecuacin diferencial de primer orden de la forma y 0 = M(x,y) donde M(x, y) y N(x,y) N(x, y) son funciones reales denidas sobre un dominio (a, b) (c, d) R2 con a, b, c, d R. Dicha ecuacin puede llevarse a la forma M(x, y) + N(x, y)y 0 = 0. Supongamos que existe una funcin derivable f : (a, b) (c, d) R2 R de manera que f (x, y) = M(x, y) y f (x, y) = N(x, y). x y Entonces la ecuacin f (x, y) = C, donde C es un nmero real, dene a y como funcin implcita de forma que dicha funcin y(x) es solucin de la ecuacin diferencial anterior. En efecto, si calculamos 0= d f f dC = f (x, y(x)) = (x, y(x)) + (x, y(x))y 0 (x) = M(x, y(x)) + N(x, y(x))y 0 (x). dt dx x y

Recprocamente, una ecuacin f (x, y) = C donde f (x, y) es una funcin que supondremos de clase C 1 ((a, b) (c, d)), y que dene de forma implcita una funcin y(x) proporciona las soluciones de la ecuacin diferencial M(x, y) + N(x, y)y 0 = 0 donde f (x, y) = M(x, y) y f (x, y) = N(x, y). x y Deniremos las ecuaciones diferenciales exactas como aquellas de forma M(x, y) + N(x, y)y 0 = 0 9

Ecuaciones diferenciales de orden uno donde M, N : (a, b) (c, d) R son funciones de clase C 0 ((a, b) (c, d)) con a, b, c, d R, de manera que existe una funcin f : (a, b) (c, d) R cumpliendo f f (x, y) = M(x, y) y (x, y) = N(x, y). x y Si dicha ecuacin es exacta y las funciones M y N son de clase C 1 ((a, b) (c, d)), se verica aplicando el Teorema de Schwarz que M 2f 2f N (x, y) = (x, y) = (x, y) = (x, y). y xy yx x Es ms, el siguiente resultado caracteriza las ecuaciones exactas. Teorema 2.1 Sea la ecuacin diferencial M(x, y) + N(x, y)y 0 = 0 donde M, N : (a, b) (c, d) R son funciones de clase C 1 ((a, b) (c, d)) con a, b, c, d R. Dicha ecuacin es exacta si y slo si M (x, y) = N (x, y). y x Este resultado garantiza en qu circunstancias puede decirse que una ecuacin es exacta y la demostracin es constructiva, ya que permite obtener las soluciones de la ecuacin diferencial en cuestin. En el siguiente ejemplo, reproducimos las ideas de dicha demostracin. Consideremos la ecuacin 3x2 + 4xy + (2x2 + 2y)y 0 = 0. En dicha ecuacin M(x, y) = 3x2 + 4xy y N(x, y) = 2x2 + 2y son ambas funciones de clase C 1 (R2 ) y se verica que 4x = N M (x, y) = (x, y) = 4x. y x

Entonces, si la ecuacin es exacta, existir una funcin f : R2 R de clase C 2 (R2 ) de forma que f (x, y) = M(x, y) = 3x2 + 4xy x f (x, y) = N(x, y) = 2x2 + 2y. y Tomando la primera expresin e integrando respecto de x obtenemos que Z Z f (x, y) = M(x, y)dx = (3x2 + 4xy)dx = x3 + 2x2 y + g(y), donde g(y) es una funcin que proviene de la integracin constante respecto de la variable x, pero que puede depender de la variable y. Utilizando la segunda igualdad se tiene que 2x2 + g0 (y) = es decir g0 (y) = 2y. Entonces g(y) = y 2 + C, 10 f (x, y) = N(x, y) = 2x2 + 2y, y

Ecuaciones diferenciales de orden uno y la ecuacin f (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + C = 0 dene de forma implcita las soluciones de nuestra ecuacin diferencial. Si ahora consideramos el problema de condiciones iniciales 3x2 + 4xy + (2x2 + 2y)y 0 = 0 y(1) = 1 tenemos al ser y(1) = 1 que f (1, 1) = 1 + 2 + 1 + C = 0, con lo que C = 4 y la ecuacin x3 + 2x2 y + y 2 4 = 0,

dene implcitamente la nica solucin de dicho problema.

2.4

Factores integrantes

Tomemos como en el apartado anterior una ecuacin diferencial de la forma M(x, y) + N(x, y)y 0 = 0. Qu ocurre cundo la ecuacin no es exacta? Consideremos por ejemplo el caso de la ecuacin xy x2 y 0 = 0. As M(x, y) = xy y N(x, y) = x2 , y como podemos comprobar fcilmente M (x, y) = y x y N (x, y) = 2x, con lo que dicha ecuacin no es exacta. Sin embargo, si despejamos en la ecuacin x y 0 , para valores de x distintos de cero obtenemos una nueva ecuacin y 0 = y/x que es de variables separadas y que por tanto es posible calcular sus soluciones. Sin embargo para ecuaciones como y + (2x yey )y 0 = 0, esto no es factible. Para abordar el clculo de las soluciones de estas ecuaciones que no son exactas se introduce el concepto de factor integrante. Un factor integrante es una funcin : R2 R de clase C 1 (R2 ) con (x, y) 6= 0 para todo (x, y) R2 y tal que la ecuacin diferencial (x, y)M(x, y) + (x, y)N(x, y)y 0 = 0 es exacta. Como (x, y) 6= 0 para todo punto de R2 , esta funcin no introduce soluciones adicionales en la ecuacin diferencial original. Adems, las soluciones de sta ltima ecuacin diferencial tambin son solucin de la ecuacin M(x, y) (x, y)M(x, y) y0 = = , (x, y)N(x, y) N(x, y) siempre que N(x, y) 6= 0. Para que la ecuacin sea exacta ha de cumplirse que ((x, y)M(x, y)) = ((x, y)N(x, y)), y x es decir, M N (x, y)M(x, y) + (x, y) (x, y) = (x, y)N(x, y) + (x, y) (x, y). y y x x 11

Ecuaciones diferenciales de orden uno Dicha ecuacin es en general muy difcil de resolver. Para hacer el clculo del factor integrante ms fcil, suelen aadirse hiptesis adicionales sobre el factor integrante, como que slo dependa de la variable x o y o combinaciones de ambas. Por ejemplo, considerando la ecuacin anterior y + (2x yey )y 0 = 0, tenemos que M(x, y) = y y N(x, y) = 2x yey , y claramente no es una ecuacin exacta. Si planteamos las ecuaciones del factor integrante tendremos que (x, y)y + (x, y) = (x, y)(2x yey ) + (x, y)2. y x Si suponemos que el factor integrante slo depende de la variable y, se verica cndose as notablemente la ecuacin, reducindose a 0 (y)y = (y), que resulta ser una ecuacin diferencial de variables separadas. Resolviendo dicha ecuacin tenemos que (y) = y es un factor integrante. Entonces la ecuacin y 2 + (2xy y 2 ey )y 0 = 0 es exacta y por tanto existir una funcin f (x, y) tal que f (x, y) = y 2 x f (x, y) = 2xy y 2 ey . y Entonces f (x, y) = y utilizando la otra igualdad Z y 2 dx = y 2 x + g(y), (x, y) x

= 0, simpli-

2yx + g0 (y) = Por lo tanto g(y) = Z

f (x, y) = 2xy y 2 ey . y

y 2 ey dy = y 2 ey + 2yey 2ey + C

con lo que la solucin de la ecuacin diferencial viene denida de forma implcita por la ecuacin y 2 x y 2 ey + 2yey 2ey + C = 0.

2.5

Existencia y unicidad de soluciones

Llegado este punto y dado que planteamos siempre problemas de condiciones iniciales con solucin nica, el alumno podra pensar que este tipo de problemas tienen siempre solucin nica. Es por 12

Ecuaciones diferenciales de orden uno ello que abordamos el estudio de los problemas de condiciones iniciales desde un punto de vista ms terico para poner de maniesto cundo existe solucin nica, aun cuando sta no pueda calcularse. En primer lugar, ejemplos como y 0 = x log y y(0) = 1

ponen de maniesto que la solucin a este tipo de problemas no tiene porque existir. Es ms, 0 y = 3y 2/3 y(0) = 0 tiene ms de una solucin a saber y(x) = 0 e y(x) = x3 . El siguiente resultado podr orden a todas estas ideas. Teorema 2.2 Sea f : D = [t0 a, t0 +a][y0 b, y0 +b] R una funcin continua tal que la derivada parcial de f respecto a la segunda variable f es tambin continua en D. Sea M = max{|f (x, y)| : y (x, y) D}. Entonces el problema de condiciones iniciales 0 y = f (x, y) y(t0 ) = y0 tiene solucin nica denida en [t0 , t0 + ] donde = min{a, b/M}. Para demostrar el resultados se puede seguir la referencia [Bra, pag. 6780], la cual utiliza muchas herramientas del clculo ya estudiadas como el Teorema del valor medio, convergencia de series funcionales, etc. Est basada en la sucesin de Picard y0 (t) = y0 Rt yn+1 (t) = y0 + t0 f (s, yn (s))ds

generada a partir del problema integral asociado de la forma Z t f (s, y(s))ds. y(t) = y0 +t0

Dicha sucesin de Picard tambin proporciona una primera idea sobre mtodos numricos de ecuaciones diferenciales que los alumnos estudiarn en la asignatura de cuarto curso de clculo numrico.

2.6

Ejercicios

1. Vericar en cada caso que las siguientes funciones son solucin de la ecuacin diferencial correspondiente: c de y 0 y tan x = 0. cos x (b) x = y (x) log y (x) de y 0 (y + x) = y. (c) y (x) = x2 cx de 1 (x2 + y 2 ) xyy 0 = 0. 2 (a) y (x) = 13

Ecuaciones diferenciales de orden uno (d) x = y (x) sin(t2 )dt de y = xy 0 + y 2 sin(x2 ). p y (e) arctan x log c x2 + y 2 = 0 de x + y (x y)y 0 = 0.0

Rx

2. Demostrar que los siguientes problemas de condiciones iniciales tienen solucin nica. p 0 0 0 y = x log(xy) y = x2 eyx y = x2 x2 + y 2 (c) (b) (a) y(1) = 2 y(0) = 0 y(0) = 3 3. Resolver las siguientes ecuaciones de variables separables: (a) 3ex tan y + y 0 (2 ex ) sec2 y = 0 (b) (1 + ex )yy 0 = ex ; y(0) = 1 (c) ey (1 + y 0 ) = 1 (d) y 0 sin x = y log y; y(/2) = e (e) y 0 = cos(x + y) (f) y 0 = ex+2y 4. Resolver las siguientes ecuaciones lineales: (b) y 0 y = 2xex+x (a) y 0 + 2xy = 2xex (c) y 0 + y cos x = sin x cos x; y(0) = 1 (d) y 0 + 2y = x2 + 2x; y(3) = 0 (e) (a2 x2 )y 0 + 2xy = a2 (f) x(x 1)y 0 + y = x2 (2x 1) (g) y 0 2xy = cos x 2x sin x y tal que y es una funcin acotada cuando x +. sin x (h) y 0 sin x y cos x = e y 0 cuando x +. x 5. Resolver las siguientes ecuaciones exactas o buscando un apropiado factor integrante: (a) sin(xy) + xy cos(xy) + x2 cos(xy)y 0 = 0 (c) x2 + y xy 0 = 0 x2 + y 2 x2 + y 2 (e) 2x + = y0 x2 y xy 2 2 (g) 3x + 2y + y + (2x + 2xy + 5y 2 )y 0 = 0 (i) 2xy + y 3 + (x2 + 3xy 2 )y 0 = 0 (b) x + y 2 2yxy 0 = 0 p (d) 2xy log y + (x2 + y 2 y 2 + 1)y 0 = 02 2

(h) x3 + xy 2 + (x2 y + y 3 )y 0 = 0 (j) x2 + 2xy + (yx + 2x2 )y 0 = 0

(f) 1 x2 y + x2 (y x)y 0 = 0

6. Una funcin f (x, y) se dice homognea de grado si se cumple que f (tx, ty) = t f (x, y). Probar que las siguientes funciones son homogneas. (a) f (x, y) = x2 + y 2 xy (b) f (x, y) = x + y (c) f (x, y) = x3 + 2xy 2 + 2y 3

7. Ecuaciones homogneas. Una ecuacin diferencial se dice homognea si es de la forma y 0 = f (x, y)/g(x, y) donde f (x, y) y g(x, y) son funciones homogneas del mismo grado. Toda ecuacin homognea puede reducirse a una ecuacin de variables separables introduciendo la nueva variable dependiente v = y/x. Utilizando este hecho resolver las siguientes ecuaciones homogneas: (a) y 0 = 2xy 3x2 y 2 (b) xy 0 = p x2 y 2 + y (c) 2xy 0 (x2 + y 2 ) = y(y 2 + 2x2 )

(d) 4x 3y + y 0 (2y 3x) = 0 (e) 4x2 xy + y 2 = y 0 (xy x2 4y 2 ) 14

Ecuaciones diferenciales de orden uno 8. Ecuacin de Bernuilli. Una ecuacin diferencial se dice de Bernuilli si puede escribirse en la forma y 0 + f (x)y = q(x)y , 6= 0 o 1. Toda ecuacin de Bernuilli puede escribirse como una ecuacin lineal haciendo un cambio de variable en la variable dependiente v = y 1 . Utilizando este hecho, resolver las siguientes ecuaciones: (a) xy 0 + y = y 2 log x (b) 3xy 0 2y = x3 /y 2 1 (c) 8xy 0 y = 3 y x+1 1 y = (x + 1)3 y 2 (f) y 0 + x+1 2

(d) x2 y 0 + 2x3 y = y 2 (1 + 2x2 ) (e) (1 + x2 )y 0 = xy + (xy)2 9. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales (a) y 0 = (x y)2 + 1 (c) y xy 2 log x + xy 0 = 0 (e) 3y 2 x + (2y 3 6xy)y 0 = 0 (g) x2 + y 2 xyy 0 = 0 (i) x y 2 + 2xyy 0 = 0 (k) x3 3xy 2 + (y 3 3x2 y)y 0 = 0

(b) y 0 + y cos x = y n sin 2x; n 6= 1 (d) y 0 1 = ex+2y (f) x2 + xy 0 = 3x + y 0 p 2 + ny + 2 + nx y 0 = 0; y(0) = n (h) 1 + x 1+y 0 (j) (x + 1)y = y 1 (l) 2xy 00 y 0 = 3x2

Ayuda: Probar en (c) un factor integrante de la forma (x y). Probar en (e) un factor integrante de la forma (x + y 2 ). 10. Resolver los problemas de condiciones iniciales siguientes: y3 0 0 x + yex y 0 = 0 x + y cos x = y sin x y = 2 (c) (a) (b) 1 2xy y (/2) = 2. y (0) = 1. y (0) = 1. 0 2x = y0 y = 2xy 2 2y (d) (e) y+x y (0) = 1. y (0) = 2. (f) y 0 y = 2xe2x y (0) = 1. (g) ( cos x 2 y0 + y = 2 x x y () = 0. (h) xy 0 + 2y = sin x y (/2) = 1.

15

Ecuaciones diferenciales de orden uno

16

Captulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones de orden unoSumario. Problemas geomtricos. Familias ortogonales. Descomposicn radioactiva. Ley de enfriamiento de Newton: aplicacin a la climatizacin de edicios. Problemas de mezclas qumicas. La catenaria.

3.1

Problemas geomtricos

En un principio, las ecuaciones diferenciales permiten resolver problemas geomtricos que son dicilmente abordables desde otro punto de partida. Por ejemplo, consideremos el siguiente: determinar la familia de curvas del plano que verican que en cada punto P su recta normal corta al eje Y en un punto M tal que la distancia de M a P es uno. Para resolver este problema, supongamos que y(x) es una curva de la familia y vamos a determinar la ecuacin diferencial de dicha familia. Resolviendo la ecuacin diferencial obtendremos la familia uniparamtrica de curvas que cumplen con la condicin pedida. Fijemos un punto arbitrario (x, y) 1 de la grca de y(x) y sea Y y = y 0 (X x) su recta tangente y por tanto Y y = y0 (X x) (ntese las variables de las rectas las escribimos en maysculas). El punto de corte con el eje Y lo obtenemos resolviendo el sistema 1 Y y = y0 (X x), Y = 0. Despejando X se tiene que el punto de corte es M = (x + yy 0 , 0) . Calculamos ahora la distancia de M a P , p p d(P, M) = (x yy 0 x)2 + (0 y)2 = (yy 0 )2 + y 2 = 1, (yy 0 )2 + y 2 = 1. 17

de donde

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden uno Despejamos y 0 , teniendo las ecuaciones de variables separables 1 y0 = p y 1 y2

que tienen por solucin en el caso positivo y

1p (1 + y 2 )3 = x + c 3

en el caso negativo.

1p (1 + y 2 )3 = x + c 3

3.1.1

Familias ortogonales

Otro problema geomtrico que se aborda mediante ecuaciones diferenciales es el clculo de las familas ortogonales. Dos familias de curvas se dicen ortogonales si en cada punto de interseccin de una curva de cada familia, las rectas tangentes a cada curva de cada familia son perpendiculares. Por ejemplo vamos a hallar la familia de curvas ortogonales a la familia de curvas y = cx4 . Para ello, en primer lugar obtenemos la ecuacin diferencial de la familia de curvas eliminando c en el sistema 0 y = 4cx3 , y = cx4 , de donde xy 0 = 4y y la ecuacin diferencial de la familia ortogonal es x = 4y, y0

teniendo en cuenta que si y 0 es la pendiente de la recta tangente a una curva de la primera familia, 1/y 0 es la pendiente de la recta tangente de la familia ortogonal, al ser ambas rectas perpendiculares. Resolviendo la ecuacin 4yy 0 = x tenemos que x2 2y = + c, c 0 22

o equivalentemente y2 x2 + =1 2c (c/2) es la familia uniparamtrica de elipses ortogonal a la familia y = cx4 . 18

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden uno

3.2

Descomposicin radioactiva

Consideremos un istopo radioactivo del cual tenemos una cantidad y(t) que vara con el tiempo t. Una sustancia radioactiva tiende a descomponerse con el tiempo formando nuevas sustancias y liberando a su vez una gran cantidad de energa. Se ha comprobado experimentalmente que la velocidad con que una sustancia radioactiva se descompone es directamente proporcional a la cantidad de sustancia existente en dicho instante, es decir, satisface la ecuacin diferencial y 0 = Ky donde K es una constante que depende de la sustancia considerada. Esta ecuacin es de variables separadas, y proporciona las soluciones y(t) = CeKt , con C la constante proveniente de la integracin. Se dene la vida media de una sustancia radioactiva tm , como el tiempo necesario para que una cantidad de dicha sustancia se reduzca a la mitad. Si tenemos una cantidad inicial de una sustancia N0 , su vida media puede calcularse resolviendo primero el problema de condiciones iniciales y 0 = Ky y(0) = N0 que proporciona la solucin y(t) = N0 eKt , y posteriormente la ecuacin N0 = N0 eKtm , 2 con lo que la vida media es log 2 . K Como podemos observar, la vida media de la sustancia depende de la constante K, que es intrnseca de cada sustancia. tm =

3.3

Ley de enfriamiento de Newton.

Los contenidos de esta seccin pueden verse en [NaSa]. Supongamos que tenemos un cuerpo inerte que no produce calor de manera autosuciente, cmo por ejemplo el agua, una piedra o un reloj. De observaciones experimentales se sabe que la temperatura supercial de dicho cuerpo vara con una rapidez proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno. Es decir, si denotamos por y(t) la temperatura del cuerpo con el tiempo, sta verica la ecuacin diferencial y 0 = K(T y), donde K es una constante de proporcionalidad y T es la temperatura ambiente en ese momento. Dicho comportamiento es conocido cmo la ley de enfriamiento de Newton. Por ejemplo, si servimos 19

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden uno una taza de caf a una temperatura de 950 C y al minuto est a 850 C, y suponiendo que la habitacin est a 200 C, cundo podremos tomar el caf si la temperatura idnea para tomarlo es de 650 C ? Para responder a esta pregunta, basta con resolver el problema de condiciones iniciales y 0 = K(20 y) y(0) = 95. Obtenemos la solucin de la ecuacin diferencial, que es de variables separadas calculando Z Z y 0 (t) dt = Kdt, 20 y(t) que nos proporciona la solucin y(t) = CeKt + 20, donde K es una constante proveniente de la integracin. Imponiendo ahora que y(0) = 95, calculamos dicha constante resolviendo la ecuacin 95 = y(0) = C + 20, con lo que C = 75. Por otra parte, como al minuto de haber servido el caf la temperatura de ste haba descendido hasta los 850 C tenemos que 85 = y(1) = 75eK + 20, que permite obtener el valor de la constante K = log(13/15). La funcin y(t) = 75et log(13/15) + 20 dene entonces la evolucin de la temperatura de la taza de caf con el tiempo. Para averiguar el momento en el cual la temperatura de dicha taza es de 650 C basta resolver la ecuacin 65 = 75et log(13/15) + 20, que da la solucin t= log(9/15) = 3.57 minutos. log(13/15)

Es decir, aproximadamente unos tres minutos y medio despus de haber servido el caf.

3.3.1

Aplicacin a la climatizacin de edicios

Supongamos que tenemos un edicio que en un principio vamos a considerar como una unidad, es decir, no vamos a tener en cuenta el nmero de habitaciones que tiene (ya veremos posteriormente este caso). Si T (t) es la temperatura del edicio vaco en un instante de tiempo t y E(t) es la temperatura en el exterior (que puede ser variable), la ley de Newton arma que T 0 (t) = K(E(t) T (t)). 20

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden uno Si suponemos constante E(t) = E0 , entonces la ecuacin puede escribirse como T 0 (t) = que nos proporciona la solucin Si T (0) es la temperatura inicial del edicio c = T (0) E0 y la solucin es T (t) E0 = (T (0) E0 )eKt . El tiempo que transcurre desde el valor T (0) E0 hasta el valor (T (0) E0 )/e e t0 = 1/K, que recibe el nombre de constante de tiempo del edicio, y que suele medirse en horas. Un valor normal para un edicio cerrado oscila entre la 2 y las 4 horas para la constante 1/K. Si el edicio no esta vaco se produce un calentamiento adicional debido al calor corporal, luces, mquinas en funcionamiento, etctera, cuya razn denotaremos por H(t). Si adicionalmente el edicio dispone de un sistema de calefaccin o de aire acondicionado, se produce un aumento o disminucin de la temperatura que denotaremos por U(t). Entonces, la ecuacin anterior queda como T 0 (t) = K(E(t) T (t)) + H(t) + U(t), que escribindola como vemos claramente que es lineal. T 0 (t) = KT (t) + (KE(t) + H(t) + U(t)) T (t) E0 = ceKt ; c R. d dT (t) = (T (t) E0 ) = K(T (t) E0 ), dt dt

Ejemplo 3.1 Supongamos una maana de sbado caluroso que en una tienda, mientras las personas estn trabajando el aire acondicionado mantiene la temperatura de la tienda a 20 o C. A mediodia se apaga el aparato de aire acondicionado y la gente se va a sus casas. La temperatura exterior permanece constante a 35 o C. Si la constante de tiempo del edicio es de 4 horas, cul ser la temperatura del edicio a las 2 de la tarde? En que momento la temperatura en el interior ser de 27 o C? Para responder a esta pregunta planteamos la ecuacin diferencial 1 T 0 (t) = (35 T (t)), 4 dado que H(t) = U (t) = 0, junto con la condicin inicial T (0) = 20, que se corresponde con la temperatura al medioda. La solucin de la ecuacin diferencial ser T (t) = cet/4 + 35, y con la condicin inicial obtenemos c que nos proporciona la solucin T (t) = 15et/4 + 35. As a las dos de la tarde la temperatura ser de T (2) = 15/ e + 35 ' 25.9 o C. 21

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden uno El momento t0 en que la temperatura ser de 27 o C se obtendr al resolver la ecuacin 27 = 15et0 /4 + 35, que nos da 8 ' 2.51 horas 15 es decir, aproximadamente a la 2 horas y media. t0 = 4 log Ejemplo 3.2 Un calentador solar de agua consta de un tanque de agua y un panel solar. El tanque se encuentra bien aislado y tiene una constante de tiempo de 64 horas. El panel solar genera 2000 kilocaloras por hora durante el da y el tanque tiene una capacidad calorca de 2 o C por cada 1000 kilocaloras. Si el agua se encuentra inicialmente a 30 o C y la temperatura ambiente es de 20 o C, cul ser la temperatura del tanque al cabo de 12 horas de luz solar? En este caso U(t) = 2 o C/1000 Kcal 2000 Kcal/h = 4 o C/h, con lo que la ecuacin diferencial que modeliza el fenmeno es T 0 (t) = 1 (20 T (t)) + 4, 64

junto con la condicin inicial T (0) = 30 o C. La solucin de dicha ecuacin diferencial es T (t) = cet/64 + 276, de donde la solucin del problema de condiciones iniciales es T (t) = 246et/64 + 276. Al cabo de 12 horas la temperatura del agua del tanque es T (12) = 72.06 o C.

3.4

Problemas de mezclas qumicas.

Las ecuaciones diferenciales tambin tienen aplicacin dentro de los problemas de mezclas. En estos problemas aparecen involucradas sustancias, las cuales se mezclan dentro de un recipiente de volumen dado V0 . Supongamos que inicialmente tenamos una cantidad de X0 kilogramos de una sustancia diluida en una concentracin de X0 /V0 Kg/m3 , y que introducimos otra solucin que contiene una concentracin b Kg/m3 de dicha sustancia la cual es introducida en el recipiente a una velocidad de e m3 /sg. Adems sacamos parte de la solucin que se produce dentro del recipiente a una velocidad de f m3 /sg. Si denotamos por y(t) la cantidad de sustancia en cuestin dentro del recipiente por unidad de tiempo, tenemos que la variacin de dicha cantidad viene dada por y 0 = ve vs , 22

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden uno donde ve y vs son las velocidades de entrada y salida de dicha sustancia respectivamente. Como ve = be Kg/sg y vs = y(t)/V (t) Kg/sg donde V (t) = V0 + et f t es el volumen de disolucin en el recipiente por unidad de tiempo, el problema de condiciones iniciales y y 0 = be + V0 +etf t f y(0) = X0 modeliza la cantidad de sustancia que hay en el recipiente por unidad de tiempo. Por ejemplo, supongamos una tanque que contiene originalmente 400 litros de agua limpia. Vertemos en el tanque agua que contiene 0.05 kilogramos de sal por litro a una velocidad de 8 litros por minuto, y se deja que la mezcla salga del recipiente a la misma rapidez. Vamos a determinar la cantidad de sal que habr en el recipiente al cabo de 20 minutos. Para ello, teniendo en cuenta que el volumen se mantiene constante, planteamos el problema de condiciones iniciales y y 0 = 0.4 + 1000 y(0) = 0.y La ecuacin diferencial implicada es lineal. La ecuacin homognea y 0 = 1000 tiene por solucin y(t) = Ket/1000 , donde K es la constante procedente de la integracin. Por el mtodo de variacin de constantes calculamos la solucin de la ecuacin no homognea imponiendo que y(t) = K(t)et/1000 sea solucin de la misma. Entonces

K 0 (t)et/1000 + K(t) con lo que K(t) = 0.4 Z

et/1000 et/1000 = 0, 4 + K(t) , 1000 1000 4 et/1000 + C. 10000

et/1000 dt =

As la solucin de la ecuacin diferencial ser y(t) = Adems, como y(0) = 0, tenemos que 0= 4 + C, 10000 4 + Cet/1000 . 10000

con lo que C = 1/1000, y la solucin del problema de condiciones iniciales es y(t) = 4 (et/1000 1). 10000

A los 20 minutos, la cantidad de sal que hay dentro del tanque es y(20) = 4 (e1/50 1) = 0.808 106 kilogramos. 10000 23

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden uno

3.5

La catenaria.

Al estudiar las ecuaciones de orden uno, tambin explicaremos aquellas ecuaciones de orden superior que son reducibles a ecuaciones de orden uno. Tomemos por ejemplo el caso de la catenaria (ver [Sim, pag. 69] o [Pui, pag. 62]). Supongamos un cable colgado entre dos puntos tal como muestra la gura y sea P0 el punto de tangencia horizontal, donde situamos el eje vertical.

Si denotamos por s la longitud del arco, la relacin entre las fuerzas en un punto cualquiera de la curva viene dada por Z s (s)ds = T sin 0

y

T0 = T cos , donde T0 es la tensin del cable en el punto P0 , T es la tensin en dicho punto y (s) es la densidad de masa en cada punto del cable. Teniendo en cuenta que T sin = T0 tan = T0 obtenemos que T0 y (x) =0

dy , dx

de donde obtenemos la ecuacin diferencial

Derivando respecto de x la ecuacin anterior Z p d s ds 00 T0 y (x) = = (s) 1 + y 0 (x)2 , (s)ds ds 0 dx p T0 y 00 (x) = (s) 1 + y 0 (x)2 . 24

Z

s

(s)ds.

0

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden uno Para continuar necesitamos alguna informacin adicional sobre (s). Si suponemos por ejemplo que sta es constante, la ecuacin anterior queda de la forma p y 00 = a 1 + (y 0 )2 , a = 0 /T0 , de donde resolviendo la ecuacin en y 0 con las condiciones iniciales y 0 (0) = 0, 1 y 0 (x) = (eax eax ). 2 Situando el eje horizontal de manera que y(0) = 1/a concluimos que la solucin es de la forma y(x) = 1 cosh(ax). a

Informacin adicional sobre la catenaria puede verse en la referencia [Pui, pag. 6264], donde se ofrecen algunas aplicaciones a la tcnica de esta curva.

3.6

Ejercicios

1. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus rectas normales pasan por un punto constante es una circunferencia. 2. Una bala se introduce en una table con una velocidad v0 = 200 m/s y al atravesarla sale con una velocidad v1 = 80 m/s. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar en cunto tiempo atraviesa la tabla la bala. 3. El istopo radioactivo del Torio 234 se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad existente en ese instante de tiempo. Si 100 miligramos de este material se reducen a 82.04 miligramos en un semana, cunto Torio tendremos al cabo de tres semanas? Cunto tiempo tiene que transcurrir para que la cantidad de Torio se reduzca a la mitad? 4. De observaciones experimentales se sabe que la temperatura supercial de un objeto cambia con una rapidez proporcional a la diferencia de temperatura del objeto y su entorno. Este hecho es conocido como la ley de enfriamiento de Newton. Si la temperatura de una taza de caf es de 950 C recin servida, y al minuto se enfri a 880 C en un cuarto que est a 200 C, cunto tiempo debe de transcurrir para que se enfrie hasta los 650 C? 5. Supongamos que decids matar al profesor de ecuaciones diferenciales. Una vez perpetrado el hecho, se encuentra el cuerpo en el despacho del mismo que est a una temperatura de 200 C a las 6 de la tarde. La temperatura corporal de cadver era de 350 C en dicho momento. Una hora ms tarde la temperatura era de 330 C. A que hora se produjo el horripilante y brutal suceso? 6. Un tanque contiene originalmente 400 litros de agua limpia. Entonces se vierte en el tanque agua que contiene 0.05 kilogramos de sal por litro a una velocidad de 8 litros por minuto, y se deja que la mezcla salga del tanque con la misma rapidez. Determinar la sal que habr en el tanque despus de 20 minutos. 25

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden uno 7. Hallar las curvas que verican cada una de las siguientes propiedades geomtricas: a) La distancia de un punto de la curva al origen es igual a la longitud del segmento de la normal en el punto delimitado por el propio punto y el eje OX. b) La proyeccin sobre el eje OX de la parte de la normal en (x, y) delimitada por (x, y) y el eje OX es 1. c) La proyeccin sobre el eje OX de la parte tangente entre (x, y) y el eje OX tiene longitud 1. d) La distancia del origen a cada tangente es igual a la abcisa del punto de tangencia correspondiente. 8. Hallar las trayectorias ortogonales a las familias de curvas siguientes: (a) x2 + y 2 = c2 . (b) y 2 = 4c(x + c). (c) y = cx4 . 9. Hallar la ecuacin diferencial que proporcionan las curvas planas (respecto de un sistema de coordenadas cartesianas regular) tales que la tangente a la curva en los puntos M de ella que corta al eje OY en un punto B de forma que MB = AB siendo A=(0, 0) en un punto jo del eje OX. 10. Hallar la ecuacin de las curvas planas tales que la tangente en un punto M cualquiera de ellas corta al eje OY en un punto P de modo que el punto medio del segmento MP est en la elipse de ecuacin 4x2 + y 2 = 1. 11. Comenz a nevar una maana y continu nevando con regularidad durante todo el da. Al medioda una maquina quitanieve comenz a limpiar una carretera a ritmo constante en trminos de volumen de nieve retirado por hora. A las dos de la tarde la mquina haba avanzado dos kilmetros y a las cuatro de la tarde tan slo un kilmetro ms. A que hora comenz a nevar? 12. Entre los alumnos de esta asignatura se extiende el rumor de que el examen de problemas va a ser muy difcil. Si hay 1000 alumnos de dicha asignatura y el rumor se extiende de manera proporcional al nmero de alumnos que todava no lo han odo, cuntos das tardarn en saberlo 950 alumnos sabiendo que a los dos das lo saban 850 alumnos? 13. Un tanque contiene inicialmente 1000 litros de solucin salina que contiene 10 Kg. de sal. Otra solucin salina que contiene 25 Kg. de sal por litro se vierte en el tanque a la razn de 10 l/ min mientras que simultaneamente, la solucin bien mezclada sale del tanque a razn de 15 l/ min . Encontrar la cantidad de sal que hay en el tanque en un momento t. 14. En una galera subterranea de 15 15 1.2m hay un 0.2% de CO2 , mientras que el aire del exterior tiene un 0.055% de CO2 . Se instalan ventiladores que introducen en la galera 9 metros cbicos de aire del exterior por minuto, de forma que por el otro extremo de la galera sale la misma cantidad de aire. Qu concentracin de CO2 habr al cabo de 20 minutos en la galera? 15. En una maana de sbado, mientras las personas trabajan, un calefactor mantiene la temperatura interior de un edicio a 21 o C. A medioda se apaga el calentador y la gente regresa a 26

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden uno casa. La temperatura exterior permanece constante a 12 o C durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo del edicio es de 3 horas, en qu momento la temperatura interior del edicio ser de 16 o C? 16. Un taller mecnico sin calefaccin ni aire acondicionado tiene una constante de tiempo de 2 horas. Si la temperatura exterior vara segn la funcin E(t) = 30 15 cos(2t/24), determinar la temperatura del taller a lo largo del da. 17. En un da caluroso con una temperatura exterior de 40 o C, se enciende dentro de un edicio un aparato aire acondicionado que disipa 24000 kilocaloras por hora. El aprovechamiento es de medio grado por cada 1000 kilocaloras y la constante de tiempo del edicio es de 3 horas. Si inicialmente la temperatura del edicio era de 35 o C, determinar la temperatura al cabo de 3 horas. Cul es el valor mximo de temperatura que puede tener el edicio en estas condiciones?

27

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden uno

28

Captulo 4 Teora general de sistemas y ecuaciones linealesSumario. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. Sistemas homogneos: Teorema de caracterizacin de soluciones. Sistemas no homogneos: Teorema de caracterizacin de soluciones. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Teoremas de caracterizacin de soluciones.

4.1

Introduccin a los sistemas de ecuaciones diferenciales

donde y1 , y2 , ..., ym son funciones reales a determinar que dependen de x y Fi : A R1+2m R, 1 i m, son funciones reales de varias variables. Se suele suponer que hay igual nmero de ecuaciones que de incgnitas de manera que todas las ecuaciones son independientes, es decir, ninguna puede deducirse de las dems. Estamos interesados en aquellos sistemas de ecuaciones diferenciales en los que podemos despejar la primera derivada de cada una de las funciones incgnita, es decir, sistemas de la forma 0 y1 = f1 (x, y1 , y2 , ..., ym ); 0 y = f2 (x, y1 , y2 , ..., ym ); 2 . . . 0 y = f (x, y , y , ..., y ); m 1 2 m m donde fi : A R1+m R, 1 i m, son funciones reales. Ejemplos de estos sistemas son 0 2 y1 = xy1 + y2 ; 0 y2 = x + y1 + y2 ; 29

Para nosotros, un sistema de ecuaciones diferenciales es una expresin de la forma 0 0 0 F1 (x, y1 , y1 , y2 , y2 , ..., ym , ym ) = 0; F2 (x, y1 , y 0 , y2 , y 0 , ..., ym , y 0 ) = 0; 1 2 m . . . F (x, y , y 0 , y , y 0 , ..., y , y 0 ) = 0; m 1 1 2 2 m m

Teora general de sistemas y ecuaciones lineales 0 2 y1 = xy1 + y2 y3 ; 0 y = x + y1 + y2 y3 ; 2 0 y3 = y1 y2 y3 ; En general la resolucin de estos sistemas no es posible, salvo en casos excepcionales. Slo para el caso de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coecientes constantes, que veremos un poco ms tarde existen algoritmos que permiten el clculo explcito de las soluciones. Sin embargo, es relativamente sencillo saber cundo un sistema tiene solucin, o ms precisamente cundo un problema de condiciones iniciales asociado tiene solucn. Primero claro est, debemos denir qu entendemos por un problema de condiciones iniciales para sistemas de ecuaciones diferenciales. Dicho problema es un sistema de ecuaciones diferenciales 0 y1 = f1 (x, y1 , y2 , ..., ym ); 0 y = f2 (x, y1 , y2 , ..., ym ); 2 . . .0 y = f (x, y , y , ..., y ); m m 1 2 m y (x ) = y , y (x ) = y , ..., y (x ) = y 1 0 1 2 0 2 m 0 m junto con las condiciones yi (x0 ) = yi , donde x0 , y1 , y2 , ..., ym son nmeros reales. Por ejemplo 0 2 y1 = xy1 + y2 y3 ; 0 y2 = x + y1 + y2 y3 ; 0 y3 = y1 y2 y3 ; y1 (0) = 2, y2 (0) = 0, y3 (0) = 1,

es un problema de condiciones iniciales. Ntese que todas las condiciones iniciales implican el conocimiento de la funcin en 0, es decir, lo siguiente 0 2 y1 = xy1 + y2 y3 ; 0 y2 = x + y1 + y2 y3 ; 0 y3 = y1 y2 y3 ; y1 (0) = 2, y2 (1) = 0, y3 (0) = 1, no sera un problema de condiciones iniciales, ya que conocemos y2 en 1 e y1 e y3 en 0. Para el caso de los problemas de condiciones iniciales para sistemas de ecuaciones diferenciales tenemos el siguiente resultado anlogo al de ecuaciones diferenciales de orden uno. Teorema 4.1 Sea el problema de condiciones iniciales 0 y1 = f1 (x, y1 , y2 , ..., ym ); y 0 = f2 (x, y1 , y2 , ..., ym ); 2 . . . y 0 = f (x, y , y , ..., y ); m m 1 2 m y (x ) = y , y (x ) = y , ..., y (x ) = y 1 0 1 2 0 2 m 0 m

donde (x0 , y1 , ..., ym ) A, fi : A R1+m R, 1 i m, son funciones reales continuas en el fi abierto A. Supongamos adems que las funciones yj existen y son continuas en A. Entonces existe una solucin del problema de condiciones iniciales anterior yi : I R, 1 i m, denido en un intervalo abierto I de la recta real. 30

Teora general de sistemas y ecuaciones lineales Este resultado es fcil de aplicar. Por ejemplo el problema que consideramos anteriormente 0 2 y1 = xy1 + y2 y3 ; 0 y2 = x + y1 + y2 y3 ; 0 y3 = y1 y2 y3 ; y1 (0) = 2, y2 (0) = 0, y3 (0) = 1,

2 es tal que f1 (x, y1 , y2 , y3 ) = xy1 +y2 y3 , f2 (x, y1 , y2 , y3 ) = x+y1 +y2 y3 y f3 (x, y1 , y2 , y3 ) = y1 y2 y3 son funciones denidas en R4 , continuas y las derivadas parciales de cada funcin respecto de y1 , y2 e y3 son continuas. Entonces este problema de condiciones iniciales tiene solucin nica, aunque no tengamos ni idea de cmo calcularla. Se ver en la asignatura de cuarto curso mtodos numricos cmo obtener soluciones aproximadas, y en esta misma asignatura estudiaremos cmo obtener informacin parcial sobre el sistema incluso sin conocer las soluciones.

4.2

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

donde para cada 1 i, j n, aij y bj son funciones reales denotamos por a11 (x) a12 (x) a21 (x) a22 (x) A(x) = (aij (x))1jn = 1in ... ... an1 (x) an2 (x) y por e

Como hemos comentado anteriormente en general no va a ser posible resolver sistemas de ecuaciones diferenciales salvo en ciertos casos particulares. Uno de ellos va a ser el de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de coecientes constantes, cuya teora general pasamos a estudiar. Vamos a ver a continuacin cmo son las soluciones de un sistema de este tipo, pero antes necesitamos conocer un poco ms sobre stos. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es una expresin de la forma 0 y1 = a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + ... + a1n (x)yn + b1 (x) 0 y2 = a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + ... + a2n (x)yn + b2 (x) 0 ................................................................ yn = an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + ... + ann (x)yn + bn (x) denidas sobre un intervalo I. Si ... a1n (x) ... a2n (x) ... ... ... ann (x)

el sistema anterior puede escribirse de forma matricial como

b1 (x) b (x) b(x) = (b1 (x), b2 (x), ..., bn (x))t = 2 ... bn (x) y1 y y = (y1 , y2 , ..., yn )t = 2 , ... yn y0 = A(x) y + b(x), 31

(4.1)

Teora general de sistemas y ecuaciones lineales donde por y0 se entender la derivada coordenada a coordenada, es decir, 0 y1 0 y2 0 0 0 y0 = (y1 , y2 , ..., yn )t = ... . 0 yn Por ejemplo, los sistemas 0 y1 = xy1 + ex y2 + 1 x2 , 0 y2 = y1 y2 + ex

son lineales. Un sistema se dir homogneo si b(x) = (0, 0, ..., 0)t , es decir, el sistema 0 y1 = y1 + x2 y2 + y3 , y 0 = xy1 x2 y2 , 2 0 y3 = y1 + (1 x)y2 + y3

0 y1 = y1 + x2 y2 + y3 + 1 x2 , y 0 = xy1 x2 y2 + ex , 2 0 y3 = y1 + (1 x)y2 + y3

es homogneo. Se dir no homogneo en caso contrario. Nosotros le prestaremos una gran atencin a los sistemas lineales con coecioentes constantes. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se dir de coecientes constantes si la matriz A(x) = A es constante. Ejemplos de tales sistemas, tanto homogneos como no homogneos son 0 y1 = 2y1 + y2 + 1 x2 , 0 y2 = y1 y2 + ex 0 y1 = 2y1 y2 + y3 , y 0 = y1 y2 + 7y3 , 2 0 y3 = 4y1 + y2 + y3 . Veremos en los sucesivos temas cmo resolver estos ltimos sistemas, dando un algoritmo que permitir el clculo de la solucin general del mismo. Previamente, estudiaremos la teora general de los sistemas de ecuaciones lineales y para posteriormente particularizarla al caso de las ecuaciones lineales de orden mayor o igual que dos (ver la ltima seccin de este tema). Esta teora general de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales se sustenta en la nocin de espacio vectorial de dimensin nita estudiadas en la parte de lgebra lineal impartida durante el curso y utiliza el siguiente resultado sobre existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones y sistemas que se deducen directamente del Teorema 4.1. Teorema 4.2 Sea y0 = A(x) y + b(x) un sistema de ecuaciones diferenciales lineales donde A y b estn denidas en un intervalo Ix0 = [x0 a, x0 + a]. Si estas funciones son continuas en dicho intervalo, entonces el problema de condiciones iniciales 0 y = A(x) y + b(x) y(x0 ) = y0 tiene solucin nica denido en todo Ix0 . 32

Teora general de sistemas y ecuaciones lineales Recordemos por un instante dos nociones que ser importante tener claras para entender la teora que a continuacin vamos a desarrollar. Por un lado hemos de tener presente que bajo la notacin que estamos utilizando, una solucin de un sistema lineal es una funcin y : (a, b) R Rn , o dicho de otro modo, un vector cuyas componentes son funciones reales. Por ejemplo, dado el sistema 0 y1 = y2 , 0 y2 = y1 , una solucin del mismo es y(x) = (sin x, cos x)t , es decir, y1 (x) = sin x e y2 (x) = cos x. Por otra parte, recordemos una nocin de bsica del lgebra lineal. Si tenemos n vectores cuyas componentes son funciones y1 , y2 , ..., yn , se dicen linealmente independientes si para toda combinacin lineal 1 y1 + 2 y2 + ... + n yn = 0, donde i R, 1 i n, y 0 es el vector que tiene a la funcin nula en cada componente, entonces necesariamente i = 0, 1 i n. Vamos a empezar el estudio de los sistemas homogneos, empezando por el siguiente resultado. Las demostraciones de los siguientes resultados estn basados en el Teorema 4.2. Teorema 4.3 El conjunto de soluciones del sistema homogneo y0 = A(x) y (4.2)

tiene estructura de espacio vectorial de dimensin n sobre R, esto es, cualquier solucin y del mismo es de la forma y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn donde c1 , c2 , ..., cn R e y1 , y2 , ..., yn son soluciones linealmente independientes del mismo. Demostracin. En primer lugar, veamos que cualquier combinacin lineal de soluciones del sistema (4.2) es una solucin del mismo. Para ello, sean y1 , y2 , ..., yk soluciones de (4.2) y 1 , 2 , ..., k R. Consideramos el vector de funciones z = 1 y1 + 2 y2 + ... + k yk y derivamos respecto de la variable independiente (notar que z = z(x)), obtenindose, por ser y1 , y2 , ..., yk soluciones de (4.2) que z0 = = = =0 0 0 1 y1 + 2 y2 + ... + k yk 1 A(x) y1 + 2 A(x) y2 + ... + k A(x) yk A(x) [1 y1 + 2 y2 + ... + k yk ] A(x) z,

que prueba que z es solucin. Sea ahora C = {u1 , u2 , ..., un } la base cannica de Rn , es decir, para cada i {1, 2, ..., n}, ui es el vector de Rn que tiene 0 en todas las componentes salvo en la isima, donde tiene un 1. Sea x0 un 33

Teora general de sistemas y ecuaciones lineales nmero real y supongamos que A(x) est denida en Ix0 (ver Teorema 4.2). Para cada 1 i n, consideramos el problema de condiciones iniciales 0 y = A(x) y; y(x0 ) = ui . En virtud del Teorema 4.2, para cada i {1, 2, ..., n} existe una nica solucin de dicho problema, que denotaremos por yi , denida en Ix0 . Vamos a ver que B = {y1 , y2 , ..., yn } forman una base del conjunto de soluciones del sistema 4.2. Veamos primero que son linealmente independientes. Para ello sea 1 y1 + 2 y2 + ... + n yn = 0. Particularizamos en x0 y obtenemos que 1 y1 (x0 ) + 2 y2 (x0 ) + ... + n yn (x0 ) = 0(x0 ) = 0, y por ser cada yi solucin del problema de condiciones iniciales, yi (x0 ) = ui , 1 i n, de donde 1 u1 + 2 u2 + ... + n un = 0. Como los vectores ui son los elementos de la base cannica de Rn , son linealmente independientes y por tanto i = 0, 1 i n, de donde y1 , y2 , ..., yn son linealmente independientes. Acto seguido, vamos a ver que B es un sistema generador del conjunto de soluciones del sistema (4.2). Para ello sea z una solucin arbitraria del sistema (4.2). Sea x0 el nmero real del apartado anterior. Como C es una base de Rn , se verica que existen 1 , 2 , ..., n R tales que z(x0 ) = 1 u1 + 2 u2 + ... + n un . Sea el vector de funciones z1 = 1 y1 + 2 y2 + ... + n yn y consideremos el problema de condiciones iniciales 0 y = A(x) y; y(x0 ) = z(x0 ). Claramente tanto z como z1 son soluciones de dicho problema. Como la solucin es nica en virtud del Teorema 4.2, se tiene que z = z1 = 1 y1 + 2 y2 + ... + n yn , por lo que B tambin es un sistema generador y la demostracin concluye. Aunque el resultado anterior caracteriza las soluciones del sistema homogneo, el clculo explcito de las soluciones dista mucho de estar al alcance. Un primer avance en el objetivo del clculo de las soluciones lo proporciona el determinante wronskiano, denido de la manera siguiente. 34

Teora general de sistemas y ecuaciones lineales Dadas y1 , y2 , ..., yn : I R Rn se dene su determinante wronskiano como la funcin real W [y1 , y2 , ..., yn ] : I R R denida todo x I como W [y1 , y2 , ..., yn ](x) := |y1 (x); y2 (x); ...; yn (x)|. El determinante wronskiano resulta ser til a la hora de determinar si n soluciones del sistema homogneo son o no linealmente independientes, como pone de maniesto el siguiente resultado. Proposicin 4.4 Sean y1 , y2 , ..., yn : I R Rn soluciones del sistema homogneo y0 = A(x) y. Son equivalentes: (a) y1 , y2 , ..., yn son linealmente independientes. (b) W [y1 , y2 , ..., yn ](x) 6= 0 para todo x I. (c) Existe x0 I tal que W [y1 , y2 , ..., yn ](x0 ) 6= 0. Demostracin. Veamos en primer lugar que (a) implica (b). Procedemos por reduccin al absurdo suponiendo que (b) es falso, esto es, existe x0 I tal que W [y1 , y2 , ..., yn ](x0 ) = 0. Entonces los vectores de Rn son linealmente dependientes, es decir, existen 1 , 2 , ..., n R, no todos nulos, tal que 1 y1 (x0 ) + 2 y2 (x0 ) + ... + n yn (x0 ) = 0. Consideremos el problema de condiciones iniciales 0 y = A(x) y; y(x0 ) = 0. Obviamente el vector de funciones 0 (cuyas componentes son la funcin nula) es solucin de dicho problema. Por otra parte, procediendo como en el nal de la demostracin del Teorema 4.3, vemos que la funcin z = 1 y1 + 2 y2 + ... + n yn tambin es solucin de dicho problema. Como la solucin debe ser nica por el Teorema 4.2, tenemos que z = 0 = 1 y1 + 2 y2 + ... + n yn . Como los escalares i no eran todos nulos, tenemos que las funciones y1 , y2 , ..., yn no pueden ser linealmente independientes, lo que nos lleva a una contradiccin. (b) implica (c) es trivial. La demostracin de (c) implica (a) es anloga a la demostracin del Teorema 4.3, cuando se comprueba que las funciones son linealmente independientes. Ahora bien, seguimos todava muy lejos de resolver un sistema homogneo. De hecho, los mtodos que permitirn dar soluciones explcitas a los sistemas planteados tendrn que esperar a los prximos temas. La teora general, en lo que a la estructura de las soluciones, queda cerrada al establecer la siguiente caracterizacin de los sistemas no homogneos. 35

Teora general de sistemas y ecuaciones lineales Teorema 4.5 El conjunto de soluciones del sistema y0 = A(x) y + b(x) es de la forma y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn + yp , donde c1 , c2 , ..., cn R, y1 , y2 , ..., yn son soluciones linealmente independientes del problema homogneo e yp es una solucin particular del problema no homogneo. Demostracin. Sea yp una solucion particular del sistema (4.3) y sea y otra solucin. Consideremos el vector de funciones z = y yp y veamos que es solucin del sistema homogneo asociado a (4.3). Para ello calculamos z0 = = = =0 y0 yp A(x) y + b(x) [A(x) yp +b(x)] A(x) [y yp ] A(x) z.

(4.3)

Por el Teorema 4.2, existen soluciones del sistema homogneo asociado linealmente independientes y1 , y2 , ..., yn tales que z = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn , donde c1 , c2 , ..., cn R. Teniendo en cuenta la denicin de z concluimos que y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn + yp , con lo que se concluye la demostracin.

4.3

Teora general para ecuaciones lineales de orden ny n) = f (x, y, y 0 , ..., y n1) ), (4.4)

Una ecuacin diferencial de orden n > 1 es una expresin de la forma

Por ejemplo, la ecuacin de orden tres

donde f : A Rn+1 R. Esta ecuacin puede transformarse en un sistema de ecuaciones diferenciales de orden uno de la manera siguiente. Introducimos las variables dependientes y1 = y, y2 = y 0 , y3 = y 00 ,...,yn = y n1) y entonces la ecuacin (4.4) puede escribirse como el sistema 0 y1 = y2 , 0 y2 = y3 , ... 0 yn1 = yn , 0 yn = f (x, y1 , y2 , ..., yn ). y 3) = x + yy 0 y 00 , 36

Teora general de sistemas y ecuaciones lineales 0 y1 = y2 , y 0 = y3 , 2 0 y3 = x + y1 y2 y3 . De aqui se ve que para tener un problema de condiciones para la ecuacin, necesitamos n condiciones n1 0 iniciales y1 (x0 ) = y(x0 ) = y0 , y2 (x0 ) = y 0 (x0 ) = y0 ,...,yn (x0 ) = y n1) (x0 ) = y0 , es decir, necesitamos conocer el valor de la funcin y de las sucesivas derivadas hasta la n 1 en un punto x0 . Entonces, f en virtud del Teorema 4.1 vemos que si f es continua y las derivadas yi , 1 i n, son continuas, el problema de condiciones iniciales tiene solucin nica. Por ejemplo, el problema de condiciones iniciales 3) y = x + yy 0 y 00 , y(0) = 0, y 0 (0) = 1, y 00 (0) = 2, tiene solucin nica. Nos ocuparemos expecialmente de ecuaciones diferenciales de orden n que llamaremos lineales y que a continuacin describimos. Por una ecuacin diferencial lineal de orden n entenderemos una expresin de la forma an (x)y n) + an1 (x)y n1) + ... + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = b(x), (4.5) puede escribirse como el sistema

donde para 0 i < n, ai y b son funciones reales de variable real denidas en un intervalo de la recta real I. Siempre que an (x) sea diferente de cero, podemos escribir la ecuacin como y n) + pn1 (x)y n1) + ... + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = q(x) donde pi (x) = ai (x)/an (x), 0 i < n, y q(x) = b(x)/an (x). Por ejemplo, las ecuaciones y 000 + x2 y 0 = x, y 00 + 2y 0 + y = ex , son ecuaciones lineales de rdenes tres, dos y seis, respectivamente. Como hemos visto anteriormente, una ecuacin de orden n puede escribirse como el sistema 0 y1 = y2 , 0 y2 = y3 , ... 0 yn1 = yn , 0 yn = q(x) [pn1 (x)yn + ... + p1 (x)y2 + p0 (x)y1 ], que en forma matricial se escribe como y0 = A(x) y + b(x) donde A(x) = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ... ... ... ... p0 (x) p1 (x) p2 (x) p3 (x) 37 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... pn1 (x) y 6) 7ex y 3) + x2 y 00 + (log x)y = 0 (4.6)

Teora general de sistemas y ecuaciones lineales y b(x) = (0, 0, ..., 0, q(x))t . Diremos entonces que la ecuacin (4.5) es homognea o no homognea segn se sea b(x) nulo o no, es decir, si q(x) = 0 para todo x. Adems, la ecuacin se dir de coecientes constantes cuando A(x) sea constante, es decir, cuando pi (x) = pi R para todo 0 i < n. Tanto los Teoremas 4.3 y 4.5 como la Proposicin 4.4 admiten la siguiente lectura en trminos de ecuaciones lineales. A la vista de que cualquier ecuacin lineal puede escribirse como un sistema aadiendo las derivadas como funciones, cualquier solucin del sistema y es de la forma (y, y 0 , ..., y n1 ), donde y : I R R es una funcin sucientemente derivable. En esta lnea, destacamos entonces que el wronskiano puede escribirse como W [y1 , y2 , ..., yn ](x) = W [y1 , y2 , ..., yn ](x) := |y1 (x); y2 (x); ...; yn (x)| y1 (x) ... y2 (x) yn (x) 0 0 0 y1 (x) ... y2 (x) yn (x) = ... ... ... ... n1) n1) n1) y (x) ... y (x) yn (x) 1 2

donde y1 , y2 , ..., yn son las primeras componentes de y1 , y2 , ..., yn . Podremos enunciar entonces los siguientes resultados. Teorema 4.6 El conjunto de soluciones de la ecuacin homognea y n) + pn1 (x)y n1) + ... + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = 0 tiene estructura de espacio vectorial de dimensin n sobre R, esto es, cualquier solucin y de la misma es de la forma y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn donde c1 , c2 , ..., cn R e y1 , y2 , ..., yn son soluciones linealmente independientes del mismo. y n) + pn1 (x)y n1) + ... + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = 0. Son equivalentes: (a) y1 , y2 , ..., yn son linealmente independientes. (b) W [y1 , y2 , ..., yn ](x) 6= 0 para todo x I. (c) Existe x0 I tal que W [y1 , y2 , ..., yn ](x0 ) 6= 0. Teorema 4.8 El conjunto de soluciones de la ecuacin y n) + pn1 (x)y n1) + ... + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = q(x) es de la forma donde c1 , c2 , ..., cn R, y1 , y2 , ..., yn son soluciones linealmente independientes del problema homogneo e yp es una solucin particular del problema no homogneo. y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn + yp , Proposicin 4.7 Sean y1 , y2 , ..., yn : I R Rn soluciones de la ecuacin homognea

38

Captulo 5 Resolucin de ecuaciones lineales de orden nSumario. Ecuaciones lineales homogneas de coecientes constantes. Ecuacin de CauchyEuler y Legendre. Ecuaciones homogneas con coecientes constantes: mtodo de reduccin del orden. Ecuaciones no homogneas: mtodos de variacin de constantes y coecientes indeterminados. Recordemos que una ecuacin diferencial lineal de orden n es una expresin de la forma an (x)y n) + an1 (x)y n1) + ... + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = b(x), (5.1)

donde an (x), ..., a0 (x) y b(x) son funciones reales de variable real denidas sobre un intervalo abierto (a, b). En el caso de que n = 1 tenemos la ecuacin lineal de orden uno estudiada anteriormente. Por otro lado, siempre que an (x) sea distinto de cero, la ecuacin anterior suele escribirse de la forma y n) + pn1 (x)y n1) + ... + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = q(x), (5.2)

donde pi (x) = ai (x)/an (x) para i = 0, 1, ..., n 1 y q(x) = b(x)/an (x). La ecuacin (5.2) se dice homognea si q(x) = 0 para todo x (a, b). En caso contrario sta se dice no homognea. Un ejemplo de ecuacin homognea es y 000 + xy 00 + x2 y = 0, mientras que sera no homognea la ecuacin y 000 + xy 00 + x2 y = log x. Como sabemos, toda solucin de la ecuacin (5.2) es de la forma y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn + yp , donde son y1 , y2 , ..., yn soluciones linealmente independientes de la ecuacin homognea asociada, c1 , c2 , ..., cn son nmeros reales e yp es una solucin particular de la ecuacin no homognea. En esta tema vamos a ver cmo calcular dichas funciones para algunos tipos de ecuaciones lineales. 39

Resolucin de Ecuaciones lineales de orden n

5.1

Ecuacin lineal homognea con coecientes constantes

Consideremos ecuaciones lineales de la forma de (5.2) donde pn1 , ..., p1 , p0 son constantes reales. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones puede ser y 4) y 000 + y 00 + y = 0. Vamos a ver cmo, de una manera bastante sencilla, es posible obtener todas las soluciones de esta ecuacin diferencial. Para ello empezaremos estudiando la ecuacin de orden dos.

5.1.1

Ecuacin de orden dos

Consideramos una ecuacin de orden dos de la forma a1 y 00 + a2 y 0 + a3 y = 0, que dado que a1 6= 0 (por qu alumno curioso?), puede escribirse como y 00 + ay 0 + by = 0 donde a = a2 /a1 y b = a3 /a1 . Para resolver esta ecuacin proponemos una solucin de la forma y(x) = erx , r R. Una justicacin para proponer esta solucin viene de cmo son las soluciones de las ecuaciones lineales homogneas de orden uno con coecientes constantes. Si y 0 + ay = 0 es tal ecuacin, su solucin es de la forma y(x) = ceax , c R. El buscar soluciones de la forma y(x) = erx juega con la idea de que el aumento del orden no debe de cambiar sustancialmente la forma de la solucin. Para que y(x) = erx sea solucin de la ecuacin (5.3) derivamos dos veces y(x) y sustituimos es la ecuacin, teniendo que r2 erx + arerx + berx = 0 o equivalentemente erx (r2 + ar + b) = 0. Como erx 6= 0 para todo x R, necesariamente r2 + ar + b = 0, es decir, r debe ser una raz del polinomio p(x) = x2 +ax+b, que llamaremos polinomio caracterstico de la ecuacin (5.3). Entonces, para obtener las soluciones de la ecuacin diferencial hemos de ser capaces de encontrar las races de p(x), que es una cosa que somos capaces de hacer. Analizando las soluciones de p(x) = x2 +ax+b = 0 tenemos que distinguir los siguientes casos. 40 (5.3)

Resolucin de Ecuaciones lineales de orden n Dos races reales de multiplicidad uno Consideremos la ecuacin y 00 + ay 0 + by = 0 y supongamos que las races del polinomio x2 + ax + b son dos nmeros reales que se obtienen calculando a a2 4b 2 y sean r1 y r2 tales races. Entonces las funciones y1 (x) = er1 x e y2 (x) = er2 x son soluciones de la ecuacin diferencial y 00 + p1 y 0 + p0 = 0. Si comprobamos que ambas soluciones son linealmente independientes, entonces toda solucin de la ecuacin homognea ser combinacin lineal de ambas soluciones. Para ver que estas dos soluciones son realmente linealmente independientes es suciente calcular el Wronskiano de ambas y ver que es distinto de cero. Dicho determinante es y1 (x) y2 (x) er1 x er2 x r1 x r2 x W (y1 , y2 )(x) = 0 0 y1 (x) y2 (x) = r1 er1 x r2 er2 x = (r2 r1 )e e 6= 0 ya que r1 6= r2 y las funciones er1 x y er2 x no se anulan nunca. Por lo tanto toda solucin de la ecuacin y 00 + p1 y 0 + p0 = 0 es de la forma y(x) = c1 er1 x + c2 er2 x , donde c1 y c2 son dos nmeros reales. Por ejemplo, para calcular las soluciones de la ecuacin y 00 3y 0 + 2y = 0, basta con calcular las races del polinomio p(x) = x2 3x + 2, que son 1 y 2. As las soluciones de la ecuacin lineal anterior son y(x) = c1 ex + c2 e2x . Si lo que tenemos es un problema de condiciones iniciales como por ejemplo 00 y 3y 0 + 2y = 0 y(0) = 1, y 0 (0) = 0, las soluciones de dicha ecuacin se calculan, teniendo en cuenta que y 0 (x) = c1 ex + 2c2 e2x , e imponiendo las condiciones iniciales en la solucin anterior y(0) = 1 = c1 + c2 y 0 (0) = 0 = c1 + 2c2 , con lo que c1 = 2 y c2 = 1, y la nica solucin del problema de condiciones iniciales anterior es de la forma y(x) = 2ex e2x . No repetiremos este clculo de las soluciones del problema de condiciones iniciales en los dems tipos de ecuaciones por ser totalmente anlogos. 41

Resolucin de Ecuaciones lineales de orden n Una raz real de multiplicidad dos Consideremos la ecuacin y 00 + ay 0 + by = 0 y supongamos que las races del polinomio x2 + ax + b, calculando a a2 4b a = =r 2 2 es una nica raz real de multiplicidad dos. Entonces sabemos que la funcin y1 (x) = erx es solucin de la ecuacin lineal homognea, pero necesitamos otra solucin linealmente independiente para obtener todas las soluciones del mismo. Esta otra funcin va a ser y2 (x) = xerx . Dicha funcin verica que00 0 y2 (x) + ay2 (x) + by2 (x) = (2r + r2 x)erx + a(1 + rx)erx + bxerx = erx (2r + a) + xerx (r2 + ar + b) = 0

usando que r = a/2, y que r2 + ar + b = 0 por ser r raz del polinomio. As la funcin y2 (x) = xerx es solucin de la ecuacin lineal considerada. Vamos a ver ahora que las soluciones y1 (x) = erx e y2 (x) = xerx son linealmente independientes. Para ello calculamos el Wronskiano y1 (x) y2 (x) erx xerx 2rx = rx W (y1 , y2 )(x) = 0 6= 0, 0 rx = e y1 (x) y2 (x) ae (1 + rx)e y(x) = c1 erx + c2 xerx , c1 , c2 R. Por ejemplo, para calcular las soluciones de la ecuacin y 00 + 2y 0 + y = 0, basta calcular las races del polinomio x2 + 2x + 1, que es la raz doble 1. Por tanto las soluciones de dicha ecuacin lineal son y(x) = c1 ex + c2 xex , con c1 y c2 dos nmeros reales. Dos races complejas conjugadas Consideremos la ecuacin y 00 + ay 0 + by = 0 y supongamos que las races del polinomio x2 + ax + b calculando a a2 4b 2 son dos races complejas conjugadas + i y i, donde = 42 a 2 (5.4)

con lo que ambas soluciones son linealmente independientes. Por tanto toda solucin de la ecuacin diferencial lineal es de la forma

Resolucin de Ecuaciones lineales de orden n y 4b a2 . (5.5) = 2 Vamos a ver que las funciones y1 (x) = ex cos(x) e y2 (x) = ex sin(x) son dos soluciones de la ecuacin lineal. Vemoslo con y1 (x), ya que con y2 (x) el proceso es anlogo. Calculamos las dos primeras derivadas 0 y1 (x) = ex [ cos(x) sin(x)],00 y1 (x) = ex [(2 2 ) cos(x) 2 sin(x)],

y sustituimos en la ecuacin diferencial00 0 y1 (x) + ay1 (x) + by1 (x)

tenindose ex [(2 2 ) cos(x) 2 sin(x)] + aex [ cos(x) sin(x)] + bex cos(x). Agrupando convenientemente ex [(2 2 + a + b) cos(x) (2 + a) sin(x)]. Sustituyendo y por los valores obtenidos en (5.4) y (5.5) tenemos que 2 2 + a + b = y 2 + a = 2 2 = 0, con lo que ex [(2 2 + a + b) cos(x) (2 + a) sin(x)] = 0 y por tanto y1 (x) es solucin de la ecuacin diferencial. Una vez comprobado que ambas funciones son soluciones, vamos a ver que son linealmente independientes calculando su Wronskiano y1 (x) y2 (x) W (y1 , y2 )(x) = 0 0 y1 (x) y2 (x) ex cos(x) ex sin(x) x = e ( cos(x) sin(x)) ex ( sin(x) + cos(x)) = ex (cos2 (x) + sin2 (x)) = ex 6= 0. Entonces toda solucin de la ecuacin lineal homognea es de la forma y(x) = c1 ex cos(x) + c2 ex sin(x), c1 , c2 R. Por ejemplo, para calcular las soluciones de la ecuacin y 00 + 4y 0 + 5y = 0, 43 a2 4b a2 a2 +b=0 4 4 2

Resolucin de Ecuaciones lineales de orden n calculamos las races del polinomio x2 + 4x + 5 que se calculan como 4 4 4 i 4 = = 2 2i. 2 2 Entonces todas las soluciones de la ecuacin lineal homognea de orden dos anterior son de la forma y(x) = c1 e2x cos(2x) + c2 e2x sin(2x), donde c1 y c2 son dos nmeros reales.

5.1.2

Ecuacin de orden n

Partimos de la ecuacin homognea y n) + pn1 y n1) + ... + p1 y 0 + p0 y = 0, y suponemos que la funcin y(x) = erx , r R, es solucin de la misma. Derivando n veces dicha funcin y sustituyendo en la ecuacin diferencial original tenemos que 0 = (rn + pn1 rn1 + ... + p1 r + p0 )erx , y dado que erx es siempre distinto de cero, tiene que vericarse que rn + pn1 rn1 + ... + p1 r + p0 = 0, o sea que r sea una raz del polinomio P (x) = xn + pn1 xn1 + ... + p1 x + p0 . Como los coecientes del polinomio pn1 , ..., p1 , p0 son reales, tenemos que las nicas posibles races de dicho polinomio son nmeros reales y nmeros complejos conjugados. Entonces P (x) puede descomponerse como P (x) = (1)n (x a1 )r1 ...(x aj )rj (x2 + A1 x + B1 )s1 ...(x2 + Aj x + Bj )si , donde a1 , ..., aj son las races reales del polinomio con sus multiplicidades r1 , ..., rj , y cada polinomio de la forma (x2 + A1 x + B1 )s1 , ..., (x2 + Aj x + Bj )sj tienen dos soluciones complejas conjugadas de multiplicidades s1 , ..., sj . Entonces un conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuacin considerada es el siguiente: {ea1 x , xea1 x , ..., xr1 1 ea1 x , ..., eaj x , xeaj x , ..., xrj 1 eaj x , e1 x cos( 1 x), xe1 x cos( 1 x), ..., xs1 1 e1 x cos( 1 x), e1 x sin( 1 x), xe1 x sin( 1 x), ..., xs1 1 e1 x sin( 1 x), ............................................................................. ek x cos( k x), xek x cos( k x), ..., xsk 1 ek x cos( k x), ek x sin( k x), xek x sin( k x), ..., xsk 1 ek x sin( k x)}, por lo que las soluciones de dicha ecuacin diferencial sern combinaciones lineales de las funciones anteriores. xt ex cos(x) xt ex sin(x) (5.6) donde 0 t < s. 44

Resolucin de Ecuaciones lineales de orden n En el caso de ecuaciones lineales de mayor orden, el problema radica en la dicultad de resolver la ecuacin algebraica asociada a la ecuacin diferencial. As, para calcular las soluciones de la ecuacin y 6) 3y 5) 5y 4 + 17y 000 + 18y 00 68y 0 + 40y = 0 debemos calcular las races del polinomio x6 3x5 5x4 + 17x3 + 18x2 68x + 40 que son 1 con multiplicidad uno, 2 con multiplicidad tres y 2 2i con multiplicidad uno. Entonces las soluciones de dicha ecuacin diferencial son de la forma y(x) = c1 ex + c2 e2x + c3 xe2x + c4 x2 e2x + c5 e2x cos(2x) + c6 e2x sin(2x), ci R.

5.2

Aproximacin a las ecuaciones con coecientes variables: Ecuaciones de CauchyEuler y de Legendre

Estas ecuaciones lineales pueden resolverse reducindolas a ecuaciones lineales de coecientes constantes estudiadas con anterioridad. La ecuacin de CauchyEuler es de la forma xn y n) + an1 xn1 y n1) + ... + a1 xy 0 + a0 y = b(x) donde an1 , ..., a1 , a0 R. La ecuacin de Legendre es de la forma (x + )n y n) + an1 (x + )n1 y n1) + ... + a1 (x + )y 0 + a0 y = b(x) (5.8) (5.7)

donde , , an1 , ..., a1 , a0 R. La ecuacin (5.7) se obtiene como caso particular de (5.8) cuando = 1 y = 0. En cualquier caso, el cambio de variable independiente de la forma x+ = et transforma ambas ecuaciones en ecuaciones con coecientes constantes, pudindose obtener las soluciones de la ecuacin homognea de la forma estudiada anteriormente. Por ejemplo, consideremos la ecuacin x2 y 00 + 11 0 xy y = 0, x > 0. 3 (5.9)

El cambio de variable que debemos realizar es x = et . Entonces por la regla de la cadena y0 =.

dy dt . 1 dy = =y dx dt dx x

siendo y la derivada de y respecto de la nueva variable t y teniendo en cuenta que t = log x. Calculamos la segunda derivada y00 . d . 1 dy1 . 1 y = = y 2 dx x dx x x . . 1 d y dt 1 . 1 1 y 2 = y 2 y 2. = dt dx x x x x

45

Resolucin de Ecuaciones lineales de orden n Sustituimos en la ecuacin (5.9) y obtenemos . 1 1 11 . 1 2 y + x y y = 0, x y 2 x x2 3 x de donde dimplicando obtenemos la ecuacin y+ 8 . y y = 0, 3 (5.10)

dependiendo ahora y de la nueva variable t. Las soluciones de (5.10) son de la forma y(t) = c1 et/3 + c2 e3t = c1 (et )1/3 + c2 (et )3 de donde deshaciendo el cambio, obtenemos para x > 0 la solucin de (5.9) y(x) = c1 x1/3 + c2 x3 .

5.3

Ecuacin lineal homognea de coecientes variables

En esta seccin vamos a considerar las ecuaciones lineales homogneas de orden dos con coecientes variables. Vamos a ver como, una vez calculada una solucin particular de dicha ecuacin, es posible hallar otra solucin linealmente independiente para construir todas las soluciones posibles. Consideremos la ecuacin y 00 + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = 0, y supongamos que conocemos una solucin particular no nula de la misma y1 (x). A partir de esta solucin particular intentaremos construir una nueva solucin particular de la forma y2 (x) = z(x)y1 (x), donde z(x) es una funcin a determinar. Imponiendo que y2 sea solucin de dicha ecuacin tenemos que0 00 0 0 = z 00 (x)y1 (x) + 2z 0 (x)y1 (x) + z(x)y1 (x) + p1 (x)(z 0 (x)y1 (x) + z(x)y1 (x)) + p0 (x)z(x)y1 (x) 00 0 0 = z(x)(y1 (x) + p1 (x)y1 (x) + p0 (x)y1 (x)) + z 00 (x)y1 (x) + z 0 (x)(2y1 (x) + p1 (x)y1 (x)) 0 = z 00 (x)y1 (x) + z 0 (x)(2y1 (x) + p1 (x)y1 (x)), 00 0 puesto que y1 (x) + p1 (x)y1 (x) + p0 (x)y1 (x) = 0 por ser solucin de la ecuacin lineal homognea. Como vemos, la ecuacin que nos queda es de la forma 0 z 00 y1 (x) + z 0 (2y1 (x) + p1 (x)y1 (x)) = 0,

donde la variable dependiente es la funcin z 0 . Esta ecuacin es lineal de orden uno y la manera de calcular las soluciones ya se vio en el captulo anterior. Una vez obtenido z 0 (x), calculamos por integracin la funcin z(x) y calculando y1 (x) y2 (x) W (y1 , y2 )(x) = 0 0 y1 (x) y2 (x) y1 (x) z(x)y1 (x) 0 = 0 y1 (x) z 0 (x)y1 (x) + z(x)y1 (x) = z 0 (x)y1 (x)2 . 46

Resolucin de Ecuaciones lineales de orden n Como y1 (x) es una funcin no nula y z 0 (x) es de la forma eg(x) (ver el tema donde se resuelve la ecuacin lineal de primer orden), se tiene que el Wronskiano no se anula y por tanto y1 e y2 son soluciones linealmente independientes. As todas las soluciones de la ecuacin lineal homognea de orden dos sern de la forma y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x), con c1 y c2 constantes reales. Por ejemplo, vamos a calcular las soluciones de la ecuacin (1 x2 )y 00 2xy 0 + 2y = 0. Como se puede comprobar la funcin y1 (x) = x es una solucin particular de dicha ecuacin. Para obtener otra ecuacin linealmente independiente con la anterior construimos la funcin y2 (x) = y1 (x)z(x) = xz(x), e imponemos la condicin de que sea solucin de la ecuacin diferencial que estamos considerando. Obtenemos entonces 0 = (1 x2 )(xz 00 (x) + 2z 0 (x)) 2x(xz 0 (x) + z(x)) + 2xz(x) = z 00 (x)x(1 x2 ) + z 0 (x)(2 4x2 ), teniendo entonces la ecuacin 0 = z 00 (x)x(1 x2 ) + z 0 (x)(2 4x2 ). Para calcular las soluciones de la misma separamos las variables y obtenemos 4x2 2 z 00 (x) = , z 0 (x) x(1 x2 ) y entonces Z z 00 (x) dx = z 0 (x) Z 4x2 2 dx = log[x2 (x2 1)] + C, 2) x(1 x z 0 (x) = y as 1 1 1 1 1 z(x) = + log (x 1) log (x + 1) = + log x 2 2 x 2 1 x2 (x2 1) , x1 , x+1

con lo que una solucin particular de dicha ecuacin ser de la forma

con lo que otra solucin linealmente independiente de dicha ecuacin es x1 1 y2 (x) = 1 + x log